. Baza pentru calcularea dobânzii compuse, spre deosebire de dobânda simplă, nu rămâne constantă noah - crește cu fiecare pas în timp. Suma absolută a dobânzii percepute crește și procesul creșterea valorii datoriei se accelerează. Creșterea interesului compus poate fi considerată un adept reinvestirea fondurilor investite în afaceri simplecenți pentru o perioadă de acumulare ( perioada de rulare ). A te alaturase numește adesea creșterea dobânzii acumulate la suma care a servit drept bază pentru acumularea lor valorificarea dobânzii.
Să găsim o formulă pentru calcularea sumei acumulate în condiție vii că dobânda se acumulează și se capitalizează o datăanul (dobânda anuală). Pentru a face acest lucru, aplicați devenire dificilă kaconstrui. Pentru a scrie formula de acumulare, le folosimaceleași denumiri ca în formula de construire prin simplă cenți:
P - suma inițială a datoriilor (împrumuturi, credite, capital la, etc.),
S - suma acumulată la sfârșitul termenului de împrumut,
NS - termenul, numărul de ani de creștere,
eu - nivelul ratei anuale a dobânzii reprezentat defracție fracțională.
Evident, la sfârșitul primului an, procentele sunt egale cu R eu , iar suma acumulată va fi. Până la capătîn al doilea an va atinge valoarea V final n în anul, suma acumulată va fi este egal cu
(4.1)
Procentele pentru aceeași perioadă sunt în general următoarele:
(4.2)
Unii dintre ei sunt învățați prin acumularea dobânzii la dobândă. Ea face
(4.3)
După cum se arată mai sus, creșterea dobânzii compuse esteeste un proces corespunzător progresului geometric acesta, al cărui prim termen este R , iar numitorul este.Ultimul termen al progresiei este egal cu suma acumulată la sfârșit termenul împrumutului.
Cantitatea sunt numite multiplicator de acumulare asupra dobânzii compuse. Valorile acestui lucrufactor pentru numere întregi NS sunt date în tabele de complex la sută.Acuratețea calculării multiplicatorului în calcule practiceeste determinat de gradul permis de rotunjire a acumulatuluisume (până la ultimul copeck, rublă etc.).
Timpul pentru construirea într-un ritm complex măsoară de obicei Xia ca AST / A SF.
După cum puteți vedea, magnitudinea factorului de acumulare depinde de doi parametri - euși NS. Trebuie remarcat faptul că pentru o lungă perioadă de timpacumulare, chiar și o mică modificare a ratei afectează semnificativprin valoarea multiplicatorului. La rândul său, o perioadă foarte lungăduce la rezultate înfricoșătoare chiar și cu micirata dobânzii.
Se obține formula pentru creșterea dobânzii compusepentru anual rata dobânziiși un termen măsurat în ani.Cu toate acestea, poate fi aplicat și pentru alte perioade de acumulare.niya. În aceste cazurieuînseamnă rata pentru o perioadă de acumulare (lună, trimestru etc.) și n - numărul acestor perioade. Pe exemplu dacă eu- rata pentru o jumătate de an, atunci NS – numărul de semestre etc.
Formulele (4.1) - (4.3) presupun că interesul asupracenții se percep la aceeași rată ca atunci când se percepe suma principală a datoriei. Să complicăm condițiile de calcul al dobânziiCamarad Lăsați dobânda la principal să fie acumulată la curseuși dobânzile la dobândă - la rata În acest caz
Seria între paranteze pătrate reprezintă o formă geometricăprogresie cu primul termen egal cu 1 și numitorul. Ca urmare, avem
(4.4)
2. Acumularea de dobânzi în perioadele calendaristice adiacente. Tu Mai mult, la calcularea dobânzii, nu a fost luată în considerare locația perioadei pentru calcularea dobânzii în raport cu perioadele calendaristice. Cu toate acestea, adesea datele de începere și de încheiere ale unui împrumut sunt în două perioade. Este clar că cele acumulate pentru întreaga perioadă, dobânda nu poate fi atribuită doar ultimeila el punct. În contabilitate, în impozitare,în cele din urmă, în analiza activităților financiare ale companiei sarcina de distribuire a dobânzii acumulate pe perioade este eliminată.
Termenul total al împrumutului este împărțit în două perioaden 1 și n 2 . Respectiv,
Unde
3. Tarife variabile. Formula presupune constantărata pe întreaga perioadă a dobânzii acumulate. Instabilitate piața monetară forțează modernizarea schemei „clasice”, de exemplu, folosind exemplul neniya rate variabile ( plutitoare rată). Bineînțeles, calcululpentru viitor la astfel de rate este foarte condiționat. Este o chestiune diferită -calcul post factum. În acest caz, precum și atunci când înșelațidimensiunea pariurilor sunt fixate în contract, totalul Incrementul este definit ca produsul coeficienților, adică
(4.5)
unde - valori consecutive ale ratelor; - perioadele în care corespunde tarife.
4. Acumularea de dobânzi cu un număr fracționat de ani. Adesea un termen în th qax pentru calcularea dobânzii nu este un număr întreg. În regulile unui număr de bănci comerciale pentru unele tranzacții dobânda se calculează numai pentru un număr întreg de ani sau alte perioade de acumulare. Partea fracționată a perioadei este aruncată. În cele mai multe cazuri, termen complet... Undese folosesc două metode. Potrivit primului, să-i spunem general, calculul se efectuează conform formulei:
(4.6)
Al doilea, sm shany,metoda presupune acumularea dobânzii pentru întregnumărul de ani conform formulei dobânzii compuse și pentru parte fracționată termen conform formulei interes simplu:
,(4.7)
Unde - termenul împrumutului, A- un număr întreg de ani,b - parte fracționată a anului.
O metodă similară este utilizată în cazurile în care perioadaacumularea de case este de jumătate de an, trimestru sau lună.
Atunci când alegeți o metodă de calcul, trebuie avut în vedere că mulțirezidentul clădirii în conformitate cu metoda mixtă se dovedește a fi ceva mai mult decât în conformitate cu cea generală, deoarece pentru NS < 1 corectin relatie
Cea mai mare diferență se observă dat când b = 1/2.
Este obișnuit să se numească dobândă compusă efectul atunci când dobânda de profit se adaugă la suma principală și în viitor, ei înșiși participă la crearea noi profituri.Formula dobânzii compuse este formula prin care se calculează suma totală luând în considerare capitalizarea (dobânda acumulată).
Pentru a înțelege mai bine calculul dobânzii compuse, să ne uităm la un exemplu. Să ne imaginăm că ați băgat 10.000 de ruble. la bancă cu 10 la sută pe an.
După un an de viață cont bancar va exista suma SUMA = 10000 + 10000 * 10% = 11000 ruble.
Profitul dvs. este de 1000 de ruble.
Ai decis să lași 11.000 de ruble. pentru al doilea an în bancă la același 10 la sută.
După 2 ani, banca va acumula 11.000 + 11.000 * 10% = 12.100 ruble.
Profitul din primul an (1000 de ruble) a fost adăugat la suma principală (10000r), iar în al doilea an a generat noi profituri. Apoi, în al 3-lea an, profitul pentru al 2-lea an va fi adăugat la suma principală și va genera în sine noi profituri. Etc.
Acest efect se numește dobândă compusă.
Când tot profitul este adăugat la suma principală și în viitor, el produce deja noi profituri.
Utilizarea unei scheme de dobândă compusă este recomandabilă în cazurile în care:
Dobânzile nu sunt plătite pe măsură ce se acumulează, ci se adaugă la datoria inițială. Adăugarea dobânzii acumulate la valoarea datoriilor, care servește ca bază pentru acumularea lor, se numește capitalizarea dobânzii;
- termenul împrumutului este mai mare de un an.
Dacă banii dobânzii nu sunt plătiți imediat pe măsură ce se acumulează, dar se adaugă la suma inițială a datoriei, atunci datoria crește cu suma neplătită a dobânzii, iar acumularea ulterioară a dobânzii are loc la suma crescută a datoriei:
FV = PV + I = PV + PV • i = PV • (1 + i)
- pentru o perioadă de acumulare;
FV = (PV + I) • (1 + i) = PV • (1 + i) • (1 + i) = PV • (1 + i) 2
- pentru două perioade de acumulare;
Prin urmare, pentru n perioade de acumulare, formula va lua forma:
FV = PV • (1 + i) n = PV • kн,
Unde FV este suma acumulată a datoriei;
PV - În primul rând suma inițială creanţă;
i - rata dobânzii în perioada de acumulare;
n este numărul perioadelor de acumulare;
kн - coeficientul (multiplicatorul) acumulării dobânzii compuse.
Această formulă se numește formula dobânzii compuse.
După cum sa menționat mai sus, diferența în calculul dobânzii simple și compuse în baza calculului lor. Dacă se percepe tot timpul o dobândă simplă pentru aceeași sumă inițială a datoriilor, adică baza de acumulare este constantă, apoi dobânda compusă se percepe pe baza care crește cu fiecare perioadă de acumulare. Astfel, interesul simplu este inerent trepte absolute, iar formula pentru procente simple este similară cu formula pentru determinarea nivelului de dezvoltare al fenomenului studiat cu creșteri absolute constante.
Interes compus caracterizează procesul de creștere a sumei inițiale cu rate de creștere stabile, cu creșterea valorii absolute cu accelerare, prin urmare, formula dobânzii compuse poate fi considerată ca determinând nivelul pe baza unor rate de creștere stabile.
Conform teoria generală statistici, pentru a obține rata de creștere de bază, este necesar să se înmulțească ratele de creștere a lanțului.
Deoarece rata dobânzii pentru perioadă este o rată de creștere a lanțului, rata de creștere a lanțului este:
Atunci Rata de bază creșterea pentru întreaga perioadă, bazată pe o rată de creștere constantă, are forma:
(1 + i) n
Deci, ce este dobânda compusă. Vorbitor limbaj simplu, aceasta este o creștere constantă capital de investițiiîn detrimentul profitului, în timp ce veniturile primite participă la obținerea de noi profituri pentru următoarea perioadă de facturare. Magia dobânzii compuse constă în creșterea accelerată a capitalului și a profiturilor, datorită reinvestirii constante, în bănci se mai numește capitalizare.
Înainte de a înțelege cum se calculează dobânda compusă pentru un depozit, să înțelegem dobânda simplă. Dobânda simplă este adesea utilizată la calcularea profitului din depozit bancar, cu retragerea veniturilor în perioade de decontare... De exemplu, dacă investim 100 USD timp de 10 ani la 10% pe an, atunci într-un an vom putea retrage doar 110 USD.
Și după încheierea termenului de depunere, depozitul se va dubla:
Primul an: 100 USD + 100 USD * 0,10 = 110 USD
Al 10-lea an: 100 + 100 $ * 0,10 * 10 ani = 200 $
Un avantaj tangibil al dobânzii simple (investiții fără capitalizare) este capacitatea de utilizare profitul curentîn alte scopuri.
Acum la fel exemplu simplu să vedem cum să calculăm dobânda compusă pentru capitalizarea anuală:
Primul an: 100 + 10% = 110 $
Anul 2: 110 + 10% = 121 $
Anul 10: 236 + 10% = 260 $
După cum puteți vedea din exemplu, complexul interes bancar mult mai interesant, folosind această metodă, profitul deponentului este cu 30% mai mare decât cu o simplă dobândă. Această sumă poate fi și mai mare dacă nu utilizați capitalizare anuală (dobândă acumulată), ci trimestrial sau lunar.
Esența procesului de calcul al dobânzii compuse cu capitalizare este că veniturile sunt obținute nu numai prin suma inițială a depozitului, ci și prin fiecare acumulare de profit. În acest caz, suma crește cu o viteză mare și, cu cât profitul este mai des fixat, cu atât vor fi mai multe venituri.
C = C0 * (1 + P * m / 100 * 12) ^ n
Unde:
C - total,
C0 - valoarea depozitului inițial,
P - procent pe an,
m - perioada de valorificare (lună),
n - perioade de investiții.
C = C0 * (1 + P * m / 100 * 12) ^ n + (D * (1 + P * m / 100 * 12) ^ (n + 1) - D * (1 + P * m / 100 * 12)) / (P * m) / 100 * 12)
Aceeași formulă pentru calcularea dobânzii compuse poate fi utilizată și pentru depozitele bancare.
Aducerea de sume de bani care apar în timp diferit, la o formă comparabilă se numește o estimare temporară a fluxurilor de numerar. Aceste calcule implică dobânzi compuse, ceea ce înseamnă că întreaga sumă principală a depozitului trebuie să aducă dobânzi, inclusiv dobânzile rămase în cont din perioadele anterioare.
Teoria și practica utilizării funcțiilor interesului compus se bazează pe o serie de ipoteze:
1. Fluxul de numerar, în care sumele diferă ca mărime, se numește flux de numerar;
2. Un flux de numerar în care toate sumele sunt egale se numește anuitate;
3. Sumele fluxului de numerar apar la intervale regulate, numite perioadă;
4. Venituri primite de la capital investit, din cifra de afaceri economică nu retras, ci adăugat la capitalul fix;
5. Sumele fluxurilor de numerar apar la sfârșitul perioadei (în caz contrar este necesară o ajustare corespunzătoare).
Să aruncăm o privire mai atentă asupra celor șase funcții ale interesului compus:
1. Suma unitară acumulată. Această funcție vă permite să determinați valoarea viitoare a existentului suma de bani pe baza ratei preconizate a frecvenței veniturilor, a perioadei de acumulare și a dobânzii acumulate. Suma unitară acumulată - functie de bază dobândă compusă, care vă permite să determinați valoarea viitoare pentru o anumită perioadă, rata dobânzii și suma cunoscută in viitor:
FV = PV * (1 + i) n
Exemplu de sarcină: a primit un împrumut de 150 de milioane de ruble. pentru o perioadă de 2 ani, la 15% pe an; % acumulare are loc trimestrial. Determinați suma acumulată care trebuie rambursată.
2. Costul unitar curent (factor de inversare). Valoarea actuală a unei unități (reversiune) face posibilă determinarea valorii reale (curente, prezente) a sumei, a cărei valoare este cunoscută în viitor pentru o perioadă dată a ratei dobânzii. Acesta este un proces care este complet opus calculului dobânzii compuse:
PV = FV / (1 + i) n
Spectacole valoarea actuala o sumă de bani care trebuie primită la un moment dat în viitor.
Exemplu de problemă: Care este valoarea actuală de 1.000 USD primită la sfârșitul celui de-al cincilea an la 10% pe an cu dobândă anuală?
3. Acumularea de unități pentru perioada respectivă ( valoarea viitoare anuitate). Arată care va fi costul seriei după expirarea întregii perioade sume egale depus la sfârșitul fiecărui interval periodic, adică valoarea viitoare a rentei. (O renta este fluxul de numerar, în care toate sumele sunt egale și apar la intervale egale):
FVA = (1 + i) n - 1 i PMT
Exemplu de problemă: determinați valoarea viitoare a plăților lunare recurente de 12.000 USD pe o perioadă de 4 ani la o rată de 11,5% și a economiilor lunare.
4. Valoarea actuală a unei anuități regulate. Afișează valoarea actuală a unui flux uniform de venituri, cum ar fi veniturile dintr-o proprietate de închiriere. Prima admitere are loc la sfârșitul primei perioade; ulterior - la sfârșitul fiecărei perioade următoare:
PVA = PMT * 1 - (1 + i) -n i
Exemplu de problemă: determinați suma unui împrumut dacă se știe că 30.000 USD sunt plătiți anual în rambursare timp de 8 ani, la o rată de 15%.
5. Factorul fondului de compensare. Arată valoarea ratei periodice egale, care, împreună cu dobânda, este necesară pentru a se încheia o anumită perioadă acumulați o sumă egală cu:
FVA. SFF = FVA * i (1 + i) n - 1
Exemplu de problemă: determinați suma plătită lunar băncii la 15% pe an pentru achiziționarea unei case în valoare de 65.000.000 USD în 7 ani.
6. Contribuție pentru deprecierea unității. Prezintă izometric plata periodică cerut pentru depreciere totală credit, adică vă permite să determinați suma de plată necesară pentru rambursarea împrumutului, inclusiv dobânda și rambursarea sumei principale a datoriei:
PMT = PVA * i 1 - (1 + i) -n
Acest lucru se poate întâmpla dacă nu lăsați dobânda compusă. Creșterea datoriei devine o problemă dacă nu achitați un astfel de împrumut rapid.
Dobânda acumulată asupra sumei mărite crește în conformitate cu legile matematicii. La fel ca în cazul depozitelor, cantitate finala crește cu fiecare perioadă pentru care se percep dobânzi, inegal.
De regulă, dobânda pentru utilizarea împrumutului se ia lunar.
Mai devreme sau mai târziu, majoritatea oamenilor apelează la bancă cu dorința de a contracta un împrumut. Motivele lor sunt destul de înțelese - este mult mai ușor să împrumutați bani de la o bancă cu dobândă decât să cereți un împrumut. suma necesară de la prieteni și cunoscuți. V viata umana uneori există momente pentru care este imposibil să vă pregătiți în avans, când banii amânați pur și simplu nu sunt suficienți. Dupa citit povești de groazăîn presă, când banca ia locuințe sau transporturi de la oameni pentru întârzieri și datorii la împrumuturi, aproape fiecare persoană care decide să ia fonduri pe credit încearcă să se pregătească foarte bine pentru a merge la bancă. Puteți încerca să calculați singur dobânda la împrumutul selectat, precum și să determinați suma plății în exces pe acesta.
Aproape toate băncile, astăzi, emit împrumuturi, în condițiile cărora sunt obișnuite plati lunare nu schimba. Astfel de plăți se numesc plăți de anuitate. Orice plata creditului, de regulă, constă în suma plății datoriei principale și a dobânzii acumulate asupra acesteia. În unele cazuri, aceasta include și un comision lunar suplimentar al băncii. În suma primelor plăți, rata dobânzii este mai mare, iar pe durata plății împrumutului, aceasta scade treptat. În consecință, valoarea plăților datoriei principale crește.
De regulă, toate contractele de împrumut se întocmesc luând în considerare dobânzile simple sau compuse. Conceptul de dobândă simplă pentru un împrumut înseamnă că acestea vor fi determinate pe baza sumei inițiale a împrumutului, indiferent de durată acord de împrumutși numărul de plăți.
Dobânda compusă pentru un împrumut este o metodă de calcul al dobânzii, utilizând care se acumulează pe suma inițială a datoriei la un împrumut, precum și pe o creștere a datoriei la un împrumut, care se acumulează după prima acumulare de dobânzi. Adică, baza pentru calcularea acestor dobânzi va crește treptat, în funcție de fiecare perioadă de acumulare. În termeni mai simpli, calculul dobânzii compuse la un împrumut poate fi descris ca acumularea dobânzii la dobândă.
Atunci când utilizați un astfel de sistem de rambursare a împrumutului, plata dobânziiîn fiecare luna viitoare adăugat la sumă împrumut general, iar următorul se calculează pe baza acestei sume mărite împrumut inițial.
Formula dobânzii compuse pentru un împrumut arată cam așa:
B = C (1+ K) T
În această formulă, B este suma finală pe care împrumutatul se angajează să o plătească băncii la sfârșitul contractului de împrumut. C - suma inițială a împrumutului pe care împrumutatul o împrumută de la bancă. K este rata dobânzii la împrumutul selectat, stabilit de bancă, și T este durata totală a perioadei pentru care a fost luat împrumutul, în ani.
În plus față de aceste două metode principale de calcul, există și o alta, conform căreia se calculează așa-numita dobândă mixtă.
O creștere a ratei dobânzii compuse este rata la care baza de acumulare este variabilă, adică dobânda se percepe la dobândă.
Pentru a clarifica diferența dintre dobânda simplă și compusă, luați în considerare situația: un client a depus o sumă egală cu P în bancă de câțiva ani la dobândă simplă la o rată de i, iar contul poate fi închis oricând. Dacă clientul închide contul după 2 ani, atunci va primi suma S1 = P (1 + 2i).
Dar clientul poate face acest lucru: într-un an, închideți contul, obțineți suma S = P (1 + i) în mâinile sale, apoi puneți din nou această sumă timp de un an, efectuând operațiunea de reinvestire.
O astfel de acțiune îi va permite să primească la sfârșitul celui de-al doilea an:
S2 = P (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i) 2.
Valoarea S2> S1, este clar că este benefic pentru client să reînregistreze contul de fiecare dată, prin urmare, pentru a preveni astfel de acțiuni, băncile folosesc în unele cazuri dobânzi compuse.
În schema dobânzii compuse, următoarea venit anual se calculează nu din original, ci din suma totală, inclusiv dobânzile acumulate. Dobânda este valorificată, adică baza de la care este calculată este în continuă creștere.
Suma de returnat se calculează utilizând următoarele formule:
• după 1 an: S1 = S + Pi = P (1 + i);
• după 2 ani: S2 = S1 + S1i = S1 (1 + i) = P (1 + i) 2;
. . .
• după n ani:
Sn = P (1 + i) n
- formula pentru construirea dobânzii compuse
S - suma acumulată
Eu - rata anuala interes compus
n- termen de împrumut
(1 + i) - acumulați multiplicatorul
Formula de acumulare a dobânzii compuse este utilizată atunci când termenul pentru calcularea dobânzii este un număr fracțional.
Suma dobânzii acumulate va fi:
I = S - P = P [(1 + i) n - (1 + ni)].
Exemplu: Ce valoare va atinge o datorie egală cu 1 milion de ruble în 5 ani cu o creștere la o rată complexă de 15,5% pe an?
S = P (l + i) n = 1.000.000- (1 + 0.155) 5 = 2.055.464,22 ruble.
Pentru a compara rezultatele creșterii la diferite rate ale dobânzii, este suficient să comparați multiplicatorii corespunzători ai creșterii.
Este ușor de văzut că la aceleași rate ale dobânzii, raporturile acestor factori depind în mod semnificativ de termen.
Într-adevăr, cu condiția ca baza de timp pentru calcularea dobânzii să fie aceeași, găsim următoarele relații (în formulele de mai jos, indicele de subscriere este plasat la rata dobânzii simple):
Pentru termen mai putin de un an interesul simplu este mai complex:
(1 + nis)> (1 + i) n
- pentru o perioadă mai mare de un an, dobânda compusă este mai mult decât simplă:
(1 + nis) - pentru termen an egal factorii de acumulare sunt egali între ei.
La acumulare simplă dobânda, la sfârșitul fiecărei perioade, dobânda este calculată în funcție de rata dobânzii la capitalul dvs., adică corp. Indiferent de perioada de investiții, cel puțin un an, cel puțin 100 de ani, la sfârșitul fiecărei perioade, se percepe o dobândă simplă asupra organismului, adică asupra capitalului investit inițial.
La sarcină complexă dobânda, dobânda acumulată la sfârșitul perioadei se adaugă la capitalul propriu. Această adăugare a dobânzii acumulate la jocurile de capital rol crucialîn întregul proces de calcul al dobânzii compuse, tk. în perioada ulterioară, se vor percepe noi dobânzi pentru o nouă sumă majorată. Prin urmare, valoare totală contribuția crește cu o rată exponențială (adică din ce în ce mai rapidă), mai degrabă decât un model plictisitor de progresie aritmetică.
Interesul compus este numit diferit în diferite cercuri și domenii de activitate.
Folosim termenul dobândă compusă, dar pot fi găsite și următoarele denumiri pentru dobândă compusă:
Dobânzi pentru dobânzi
- interes efectiv
- procent compozițional
- rata rentabilității, luând în considerare reinvestirea
- rata rentabilității, ținând cont de capitalizare
Devine clar că procesul care are loc pentru calcularea dobânzii compuse se numește reinvestire sau capitalizare.
Exemplu:
1. Dobândă simplă pentru un împrumut în valoare de 100,0 mii de ruble. emis pentru o perioadă de 3 ani la 10% pe an:
100,0 x 10% x 3 = 30,0 mii ruble. pentru trei ani,
Adică, debitorul este obligat să plătească anual 10,0 mii de ruble. plata dobânzilor, iar plata totală a împrumutului pentru trei ani se va ridica la 130,0 mii de ruble.
2. Dobânda compusă la emiterea aceluiași împrumut în aceleași condiții obligă debitorul să plătească dobânzi în următoarele sume:
Pentru primul an: 100,0 x 0,1 = 10,0 mii de ruble.
Pentru anul II: (100,0 + 10,0) x 0,1 = 11,0 mii ruble.
Pentru anul III: (100,0 + 10,0 + 11,0) x 0,1 = 12,1 mii ruble.
Plăți totale ale dobânzilor: 33,1 mii ruble.
Plata totală a împrumutului se va ridica la 133,1 mii ruble.
Pe scurt, acest calcul al dobânzii compuse poate fi scris după cum urmează:
100,0 x 1,1x3 = 133,1 mii ruble.
Deci, folosind metoda dobânzii compuse, se calculează valoarea viitoare Bani investit acum.
CALCULUL INTERESULUI COMPLEX
Secțiunea II. Interes compus
Dobânda compusă se aplică pe termen lung operațiuni financiare și de credit dacă dobânda nu este plătită periodic imediat după acumulare pentru intervalul de timp trecut, ci se adaugă la suma datoriei. Adesea se adaugă dobânda acumulată la suma care a servit ca bază pentru determinarea lor
nutriționalizarea interesului.
Formula compusă pentru dobânda compusă
Fie suma inițială a datoriei P, apoi într-un an suma datoriei cu dobânda adăugată va fi P (1 + i), în 2 ani P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i ) 2, în n ani -P (1 + i) n. Astfel, obținem formula pentru construirea dobânzii compuse
S = P (1 + i) n |
unde S este suma acumulată, i este rata anuală a dobânzii compuse, n este termenul împrumutului, (1 + i) n este factorul de acumulare.
În calculele practice, se utilizează în principal procente discrete, adică dobândă calculată pentru aceleași intervale de timp (an, jumătate de an, trimestru etc.). Acumularea compusă este o creștere exponențială în care primul termen este P și numitorul este (1 + i).
Rețineți că pentru termenul n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а приn>1 - invers. Acest lucru este ușor de verificat cu exemple numerice specifice. Cel mai mare exces din suma acumulată pentru dobânda simplă peste suma acumulată pentru dobânda compusă (la aceleași rate ale dobânzii) se realizează la mijlocul perioadei.
Formula pentru creșterea dobânzii compuse atunci când rata se schimbă în timp
În cazul în care rata dobânzii compuse se modifică în timp, formula de acumulare este următoarea
S = P (1 + i) n 1 | (1+ i) n 2 | ... (1+ i) nk, | |
unde i1, i2, ..., ik sunt valori consecutive ale ratelor dobânzii în vigoare în perioadele n1, n2, ..., nk, respectiv.
Contractul conține rata variabilă dobândă compusă, definită ca 20% pe an plus o marjă de 10% în primii doi ani, 8% în al treilea an, 5% în al patrulea an. Determinați multiplicatorul de acumulare pe 4 ani.
(1+0,3)2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704
CALCULUL INTERESULUI COMPLEX
Formula cuantumului dublării
Pentru a-și evalua perspectivele, creditorul sau debitorul poate pune întrebarea: în câți ani suma împrumutului va crește de N ori la o anumită rată a dobânzii. Acest lucru este de obicei necesar atunci când vă preziceți propriul oportunități de investiții in viitor. Obținem răspunsul echivalând factorul de creștere cu valoarea N:
a) pentru interes simplu
(1 + ni-prim) = N, de unde | |||
n = | N - 1 | ||
pr ost. | |||
b) pentru dobânda compusă
(1 + icomp.) N = N, de unde
N = 2 este folosit mai ales. Apoi formulele (21) și (22) se numesc formule de dublare și iau următoarea formă:
a) pentru interes simplu
n = | ||||
b) pentru dobânda compusă
În timp ce formula (23) este ușor de utilizat pentru calcule aproximative, formula (24) necesită utilizarea unui calculator. Cu toate acestea, pentru ratele dobânzii scăzute (să zicem, mai puțin de 10%), se poate folosi în schimb o aproximare mai simplă. Este ușor de obținut dacă luăm în considerare faptul că ln 2 0,7 și ln (1 + i) i. Atunci
n ≈ 0,7 / i. |
a) Cu procente simple: | ||||||
n = | 10 | |||||
pr ost. | ||||||
CALCULUL INTERESULUI COMPLEX
b) Cu dobândă compusă și o formulă exactă:
n = | 7,27 | ||||||||
Eu | ln (1+ 01,) | ||||||||
complex n. | |||||||||
c) Cu dobândă compusă și o formulă aproximativă: n ≈ 0,7 / i = 0,7 / 0,1 = 7 ani.
1) Aceeași valoare a ratelor dobânzii simple și compuse duce la rezultate complet diferite.
2) La valori scăzute ale ratei dobânzii compuse, formulele exacte și aproximative dau aproape aceleași rezultate.
Acumularea dobânda anuală cu un număr fracționat de ani
Cu un număr fracționat de ani, se percepe dobândă căi diferite: 1) Conform formulei dobânzii compuse
S = P (1 + i) n, | ||
Pe baza metodei mixte, conform căreia, pentru un număr întreg de ani, |
||
dobândă compusă, iar pentru fracțional - simplu | ||
S = P (1 + i) a (1 + bi), | ||
unde n = a + b, a este un număr întreg de ani, b este o parte fracționată a unui an. | ||
Un număr de bănci comerciale aplică o regulă conform căreia pentru o reducere |
||
Dacă timpul este mai mic decât perioada de acumulare, dobânda nu se percepe, adică | ||
S = P (1 + i) a. | ||
Ratele nominale și efective ale dobânzii
Rata nominală... Fie rata anuală a dobânzii compuse să fie j, iar numărul perioadelor de acumulare dintr-un an m. Apoi, de fiecare dată, dobânda este calculată la rata j / m. Rata j se numește nominală. Dobânzile la rata nominală se acumulează conform formulei:
unde N / τ este numărul (posibil fracțional) al perioadelor de acumulare a dobânzii, τ este perioada de acumulare a dobânzii,
CALCULUL INTERESULUI COMPLEX
2) Conform formulei mixte
S = P (1 + | ) a (1+ b | ||||
m, |
|||||
unde a este un număr întreg de perioade de acumulare (adică a = - întreaga parte prin împărțirea întregului termen de împrumut N la perioada de acumulare τ),
b - partea fracțională rămasă a perioadei de acumulare (b = N / τ -a).
Suma împrumutului este de 20 de milioane de ruble. Furnizat pentru 28 de luni. Rata nominală este de 60% pe an. Dobânda acumulată trimestrial. Calculați suma acumulată în trei situații: 1) când se percepe dobândă compusă pe partea fracțională, 2) când se percepe dobândă simplă pe partea fracțională, 3) când partea fracțională este ignorată. Comparați rezultatele.
Dobânda acumulată trimestrial. Există 3 = 91 3 sferturi în total.
S = 20 (1+ 06, / 4) 9 | 73,713 milioane RUB |
||||||||||||
2) | S = 20 (1+ | )9 | (1+ | 73,875 milioane RUB |
|||||||||
3) S = 20 (1 + 0,6 / 4) 9 = 70,358 milioane de ruble.
Dintr-o comparație a sumelor acumulate, vedem că cea mai mare valoare ajunge în al doilea caz, adică la calcularea dobânzii simple pe o parte fracționată.
Rata efectivă arată care rata anuală a dobânzii compuse oferă același rezultat financiar ca creșterea m-timp pe an la rata j / m.
Dacă dobânda este capitalizată de m ori pe an, de fiecare dată cu o rată de j / m, atunci, prin definiție, putem scrie egalitatea pentru factorii de acumulare corespunzători:
(1 + ie) n = (1 + j / m) mn, |
unde i e - rata efectivă și j - nominală. Prin urmare, constatăm că relația dintre ratele efective și nominale este exprimată prin raport
i e = (1 + | −1 | ||||
Relația inversă are forma | |||||
j = m [(1 + ie) 1 / m -1]. | |||||
calculati rata efectivă procente, dacă banca calculează dobânda trimestrial, pe baza ratei nominale de 10% pe an.
CALCULUL INTERESULUI COMPLEX
Soluția i e = (1 + 0,1 / 4) 4 -1 = 0,1038, adică 10,38%.
Exemplul 10.
Determinați care ar trebui să fie rata nominală când acumulare trimestrială procent pentru a oferi o rată efectivă de 12% pe an.
Soluţie. j = 4 [(1 + 0,12) 1/4 -1] = 0,11495, adică 11,495%.
Contabilitate (actualizare) la o rată a dobânzii complexă
Aici, precum și în cazul dobânzii simple, vor fi luate în considerare două tipuri de contabilitate - matematică și bancară.
Contabilitate matematică... În acest caz, problema este rezolvată acumulare inversă asupra dobânzii compuse. Să notăm formula originală pentru construire
S = P (1 + i) n
și rezolvați-l cu privire la P +
valoarea totală sau valoarea redusă S. Sumele lui P și S sunt echivalente în sensul că plata în sumă S prin n ani este egal cu suma P în prezent fiind plătit.
Diferența D = S-P se numește reducere.
Contabilitate bancară. În acest caz, se presupune că se folosește un complex procent de reducere... Reducerea la o rată de actualizare complexă se efectuează conform formulei
P = S (1-dsl) n, (39)
unde d w este o rată anuală de actualizare compusă.
Reducerea în acest caz este
D = S-P = S-S (1-dsl) n = S. (40)
CALCULUL INTERESULUI COMPLEX
Când se utilizează o rată de actualizare complexă, procesul de reducere are loc cu o decelerare progresivă, deoarece rata de actualizare se aplică de fiecare dată la suma redusă pentru perioada anterioară prin valoarea reducerii.
Ratele de actualizare nominale și efective
Rata nominală de actualizare... În cazurile în care reducerea se aplică m o dată pe an, utilizați rata nominală de actualizare f. Apoi, în fiecare perioadă egală cu 1 / m parte a anului, actualizarea se efectuează la o rată de actualizare complexă f / m. Procesul de actualizare pentru această contabilitate complexă m o dată pe an este descris de formulă
P = S (1-f / m) N, |
unde N - numărul total perioade de reducere (N = mn).
Reducerea nu doar a unuia, ci de m ori pe an reduce mai rapid valoarea reducerii.
Rata de reducere efectivă... Rata efectivă de actualizare este înțeleasă ca o rată anuală de actualizare compusă echivalentă cu rezultate financiare) nominal aplicat la număr dat reduceri pe an m.
În conformitate cu definiția ratei efective de actualizare, găsim relația acesteia cu cea nominală din egalitatea factorilor de actualizare
Rețineți că rata efectivă de actualizare este întotdeauna mai mică decât cea nominală.
Creșteți la o rată de reducere complexă. Acumularea este problema inversă a ratelor de actualizare. Formulele de acumulare pentru rate de actualizare complexe pot fi obținute prin rezolvarea formulelor corespunzătoare de actualizare (39 și 41) în raport cu S. Obținem de la P = S (1-d sl) n
S = P | ||||
(1 - d w) n | ||||
și de la P = S (1-f / m) N | ||||
S = P | ||||
(1− f / m) N |
||||
Exemplul 11.
Ce sumă ar trebui pusă pe factură, dacă suma efectiv emisă este egală cu 20 de milioane de ruble, perioada de scadență este de 2 ani. Factura se calculează pe baza unei rate anuale compuse de actualizare de 10%.
S = (1 - 20 0,1) 2 = 24,691358 milioane de ruble.
Rata dobânzii compusă- rata care se percepe în fiecare nouă perioadă asupra sumei principalului și a dobânzii pentru perioada precedentă. De obicei, o rată a dobânzii compusă se aplică împrumuturilor care depășesc un an.
Rata dificilă este concepută pentru a motiva deponenții bancari nu trage cât mai mult posibil. Formula pentru calcularea sumei acumulate este următoarea:
S = P * (1 + Ic) ^ n
Să clarificăm ce indicatori sunt indicați prin variabile: P este suma inițială a depozitului, Ic este rata anuală, exprimată zecimal(1 / s), n este numărul de perioade (de obicei ani). Întregul multiplicator (1 + IC) ^ n poartă numele construi multiplicator... Poate fi calculat folosind un calculator de inginerie.
Să vedem cum să folosim formula dobânzii compuse, de exemplu:
Zpune 100 de mii de ruble pe un depozit în bancă (P) sub egal cu 20% (c) timp de cinci ani (n). Este necesar să se calculeze câți bani investitorul poate retrage din depozitZ peste cinci ani.
Înlocuind datele în formulă, obținem:
S = 100000 * (1 + 0.2) ^ 5 = 248832 ruble
Pentru a clarifica cât de fiabil s-a dovedit rezultatul calculului, să calculăm suma mai detaliat - prin tabel:
|
Suma inițială |
Cheltuieli cu dobânzile |
Cantitate finala |
|
Rezultatul sa dovedit a fi complet exact. Dacă investitorul Z pune bani sub pariu simplu, ar fi primit cu aproape 50 de mii de ruble mai puțin (exact 200 de mii de ruble). Distincţie rata complexă dintr-una simplă este că valoarea dobânzii acumulate variază de la o perioadă la alta: dacă în prima perioadă investitorul Z a primit doar 20 de mii de ruble în dobânzi, atunci pentru a cincea - deja 41 de mii 472 de ruble. Dacă investitorul ar fi lăsat banii în cont în continuare, dobânda s-ar fi acumulat pe principiul unui „ghiocel”. Cu o rată simplă a dobânzii, o astfel de acumulare intensivă nu ar fi avut loc - investitorul ar primi 20 de mii de ruble din perioadă în perioadă.
Pariurile complexe sunt clasificate în două tipuri:
Este stabilit inițial și reprezintă baza pentru calcularea ratei efective a dobânzii, care este notată ca Re. Se aplică formula inversă:
1 + Re = FV / PV
unde FV este suma de bază și PV este suma acumulată.
Se poate aplica un altul:
Re = ((1 + r / m) ^ m) – 1
unde R este rata nominală și m este numărul de plăți intra-anuale.
Merită menționate două modele:
Există încă două formule pe care un investitor trebuie să le calculeze cu dobândă compusă:
% = ((Sumă /X) ^ 1 / n) - 1
