În practica financiară, este adesea necesar să se rezolve probleme care sunt opuse determinării sumei acumulate: în funcție de suma acumulată (VF) deja cunoscută, ar trebui determinată o sumă inițială necunoscută a datoriei (PV).
Asemenea situații apar la elaborarea termenilor unei tranzacții financiare, sau când dobânda la suma acumulată este reținută direct la eliberarea împrumutului.
Procesul de calcul și reținere a dobânzii în avans, până la scadența datoriei, se numește contabilitate, iar dobânda în sine se numește diferența dintre sumele acumulate și sumele inițiale ale datoriei, o reducere. "
Termenul de actualizare în sens larg înseamnă determinarea valorii unei valori la un anumit moment în timp, cu condiția ca în viitor să fie o valoare dată.
Figura 6 - Logica operațiunii de actualizare financiară |
Nu este neobișnuit ca un astfel de calcul să fie numit reducerea indicatorului de cost la un moment dat în timp, iar valoarea RU se numește valoarea redusă (modernă sau actuală) a FV. Astfel, reducerea - reducerea va fi
bani la momentul actual de timp și nu contează dacă această tranzacție financiară a avut loc sau nu și, de asemenea, indiferent dacă suma actualizată poate fi considerată literalmente acumulată.
Reducerea face posibilă luarea în considerare a factorului timp în calculele costurilor, deoarece oferă estimarea de astăzi a sumei care va fi primită în viitor. Puteți aduce valoarea banilor în orice moment în timp și nu neapărat la începutul unei tranzacții financiare.
Pe baza metodei de calcul a dobânzii, se utilizează două tipuri de actualizare:
Scontare matematică la o rată a dobânzii;
Contabilitate bancara la rata de scont.
Diferența dintre rata dobânzii și rata de actualizare constă în diferența în baza de calcul a dobânzii:
Rata dobânzii se bazează pe suma inițială
| (1.29) |
În rata de actualizare, valoarea datoriei acumulată este luată ca bază
RU-RU L. (0 °)
Dobânda calculată la rata dobânzii se numește antisipativă, iar la rata de actualizare se numește decursivă.
Rata de actualizare reflectă factorul timp mai strict decât rata dobânzii. Dacă comparăm actualizarea matematică și bancară în cazul în care dobânzile și ratele de actualizare sunt egale ca valoare, este clar că valoarea redusă la rata dobânzii este mai mare decât valoarea redusă la rata de actualizare.
Actualizarea matematică este determinarea sumei inițiale a datoriei, care, atunci când se calculează dobânda la o anumită rată a dobânzii (/), va permite până la sfârșitul termenului să se primească suma acumulată specificată pentru dobânda simplă:
RU = ---------- = ---------- = RU x (1 + nx /) - 1 = RU x kL, (1,31)
1 + n x I 1 + n x I
unde cd este factorul de reducere (factorul de reducere) pentru dobânda simplă.
Factorul de reducere arată cât de mult din valoarea datoriei inițiale în suma acumulată. Deoarece factorul de reducere (multiplicatorul cast) depinde de două argumente (rata dobânzii și termenul împrumutului), valorile sale sunt ușor de tabulat, ceea ce face calculele financiare mai ușoare.
Exemplu. După 150 de zile de la data semnării contractului, este necesar să se plătească 310 mii de ruble, în funcție de 8% pe an și o bază de timp de 360 de zile. Determinați valoarea inițială a datoriei. Soluţie:
Deoarece termenul împrumutului este mai mic de un an, folosim formula simplă a dobânzii:
RU = 310.000 x 1 / (1 + 150/360 x 0,08) = 300.000 ruble.
RU = 310.000 x 0,9677419 = 300.000 de ruble. Astfel, suma inițială a datoriei a fost de 300 de mii de ruble, iar dobânda pentru 150 de zile a fost de 10 mii de ruble. Pentru dobanda compusa -
RU = PG x (1 + 0-n = PG xka, (1,32)
unde cd este multiplicatorul discountului pentru dobânda compusă.
Dacă dobânda se acumulează o dată pe an, atunci formula va dura
| RU = GU x |
| (1.33) |
Exemplu. În doi ani, compania va avea nevoie de bani în valoare de 30 de milioane de ruble.Ce sumă ar trebui plasată astăzi într-o bancă care percepe 25% pe an pentru a primi suma necesară în 2 ani? Soluţie:
Întrucât durata tranzacției financiare este mai mare de un an, folosim formula de reducere pentru dobânda compusă:
RU = 30.000.000 x 1 / (1 + 0,25) 2 = 19.200.000 de ruble.
RU = 30.000.000 x 0,6400.000 = 19.200.000 de ruble.
Astfel, firma ar trebui să plaseze 19.200.000 de ruble în cont. la 25% pe an, pentru a obține 30.000.000 de ruble dorite în doi ani.
Valoarea curentă și rata dobânzii la care se efectuează actualizarea sunt invers legate: cu cât rata dobânzii este mai mare, cu atât valoarea curentă este mai mică, celelalte lucruri fiind egale.
Valoarea actuală și termenul unei tranzacții financiare sunt în aceeași relație inversă: cu cât termenul unei tranzacții financiare este mai lung, cu atât valoarea actuală este mai mică, celelalte lucruri fiind egale.
Contabilitatea bancară este al doilea tip de actualizare, în care, pe baza unei sume cunoscute în viitor, suma este determinată la un moment dat, deținând discountul.
Operațiunea contabilă (contabilitatea cambiilor) este aceea că o bancă sau altă instituție financiară, înainte de plata unei cambii, o cumpără de la purtător la un preț mai mic decât valoarea cambiei, adică o achiziționează cu reducere. .
Suma primită de către deținătorul unei cambii anticipat se numește valoarea actualizată a cambiei. În acest caz, banca reține în favoarea sa dobândă (discount) din suma cambiei pentru timpul rămas până la scadență. Într-un mod similar (cu reducere), guvernul vinde majoritatea titlurilor sale.
Pentru a calcula reducerea se folosește rata de actualizare:
B = RU - RU = RU x n x L = RU x ^ x L, (1,34)
unde n este durata perioadei în ani de la momentul contabilizării până la data plății unei sume cunoscute în viitor.
RU = RU - RUx n x L = RU x (1 - n x L), (1,35)
unde (1 - nx d) este factorul de reducere.
Evident, cu cât rata de actualizare este mai mare, cu atât reducerea este mai mare. Reducerea la o rată simplă de actualizare se realizează cel mai adesea conform practicii franceze de calculare a dobânzii, adică atunci când baza de timp este considerată ca 360 de zile, iar numărul de zile din perioadă este considerat exact.
Exemplu. Biletul la ordin a fost emis pentru 5.000 de ruble. cu plata pe 17 noiembrie, iar proprietarul l-a inregistrat la banca pe 19 august la o rată de reducere de 8%. Determinați suma primită de către purtătorul cambiei și venitul băncii la realizarea reducerii.
Pentru a determina suma la contabilizarea unui bilet la ordin, calculăm numărul de zile rămase până la rambursarea obligațiilor:
Prin urmare, suma determinată:
RU = 5000 x (1 - 90/360 x 0,08) = 4 900 ruble.
Atunci reducerea va fi:
B = RU - RU = 5000 - 4900 = 100 de ruble.
B = 5000 x 90/360 x 0,08 = 100 de ruble.
În consecință, purtătorul cambiei va primi suma de 4.900 de ruble, iar banca, la scadența cambiei, va realiza o reducere de 100 de ruble.
La o rată de actualizare complexă, valoarea curentă va fi:
RU = RU x (1 -!) P (1,36)
Atunci când se utilizează o rată de actualizare complexă, procesul de actualizare are loc cu o decelerare progresivă, deoarece rata de actualizare se aplică de fiecare dată la valoarea care este redusă cu valoarea reducerii.
Exemplu. Determinați suma sumei date împrumutatului, dacă acesta se angajează să o returneze după doi ani în valoare de 55 de mii de ruble. Banca își determină venitul folosind o rată de actualizare anuală de 30%.
Folosind formula de actualizare la o rată de actualizare complexă, determinăm:
RU = 55.000 x (1 - 0,3) 2 = 26.950 ruble.
Împrumutatul poate primi un împrumut în valoare de 26.950 de ruble, iar în doi ani va returna 55 de mii de ruble.
De asemenea, puteți combina plăți pe baza ratei de actualizare, de exemplu, atunci când consolidați cambii. În acest caz, suma de plată consolidată se calculează folosind următoarea formulă:
RUB = 1 RU) x (1 - c! X ^) A (1,37)
unde ^ este intervalul de timp dintre termenii facturilor.
Exemplu. Billet la ordin în valoare de 10 mii de ruble. cu o scadență de 10,06, precum și un bilet la ordin în valoare de 20 de mii de ruble. cu data de scadență 01.08 sunt înlocuite cu una cu prelungire până la 01.10. La combinarea biletelor la ordin, rata de actualizare este de 25%. Determinați suma facturii consolidate.
Pentru a utiliza formula de plată consolidată, trebuie să determinați termenul de reportare pentru biletele la ordin:
ї1 = 21 (iunie) + 31 (iulie) + 31 (august) + + 30 (septembrie) + 1 (octombrie) - 1 = 113 zile, = 31 (august) + 30 (septembrie) + 1 (octombrie) - 1 = 61 de zile.
Apoi, suma facturii consolidate va fi: ¥ Y0 = 10.000 x (1 - 113/360 x 0,25) -1 + 20.000 x (1 - 61/360 x 0.25) -1 = 31.736 ruble.
Astfel, valoarea biletului la ordin consolidat cu data de scadență 01.10 va fi de 31.736 de ruble.
În cazul în care o obligație de datorie este supusă contabilității, pentru care este prevăzută acumularea dobânzii, există o combinație între acumularea dobânzii la rata dobânzii și actualizarea la rata de actualizare:
RU2 = RU1 x (1 + n x i) x (1 - n2 x d), (1,38)
unde RU1 este valoarea inițială a datoriei;
RU2 - suma primită la contabilizarea obligației;
n1 - termenul total al obligației de plată;
n2 - perioada de la momentul contabilizării până la scadență.
Exemplu. Obligația de a plăti în 100 de zile suma datoriei în valoare de 50 de mii de ruble. cu o dobândă exactă percepută la o rată de 40%, a fost înregistrată cu 25 de zile înainte de scadență la o rată de actualizare de 25%. Determinați suma primită la contabilizarea datoriei.
Trebuie acordată atenție diferenței dintre bazele de timp utilizate pentru acumulare și contabilitate:
RU2 = 50.000 x (1 + 100/365 x 0,4) x (1 - 25/360 x 0.25) = 54.516 ruble.
În consecință, suma primită la contabilizarea acestei obligații va fi de 54.516 ruble.
Analiza investitiilor
Logica pentru construirea algoritmilor de bază este destul de clară și se bazează pe următoarea idee. Cel mai simplu tip de tranzacție financiară este un împrumut unic de o anumită sumă (PV) cu condiția ca după un timp t suma FV să fie returnată. Eficacitatea unei astfel de tranzacții poate fi caracterizată prin una dintre cele două dimensiuni:
rata de crestere:
rata de declin:
.
În calculele financiare, primul indicator () se mai numește „procent”, „creștere”, „rata dobânzii”, „rata rentabilității”, iar al doilea - „reducere”, „rata de reducere”, „rata de reducere”. Evident, ambele tarife sunt interconectate:
Ambii indicatori pot fi exprimați fie în fracții de unitate, fie ca procent. Diferența dintre aceste formule este valoarea care este luată ca bază de comparație: în formula (8.2) - suma inițială, în formula (8.3) - suma returnată.
Deci, în orice tranzacție financiară cea mai simplă există întotdeauna trei valori, dintre care două sunt date și una este cea dorită.
Procesul în care sunt stabilite o sumă inițială și o rată a dobânzii se numește proces de acumulare sau de capitalizare în calculele financiare. Procesul în care sunt specificate suma returnată și rata de reducere se numește proces de reducere. În primul caz, vorbim despre mișcarea fluxului de numerar din prezent în viitor, în al doilea - despre mișcarea din viitor în prezent (vezi Fig. 19).
Sensul economic al unei tranzactii financiare, dat de formula (8.2), consta in determinarea valorii sumei pe care investitorul o va sau doreste sa o aiba la finalul acestei tranzactii.
Deoarece din formula (8.2)
,
și atunci vă puteți imagina clar că timpul generează bani.
|
Construi
|
|
|
|
|
|
|
Orez. nouăsprezece. Logica tranzacțiilor financiare
În practică, rata rentabilității este o valoare variabilă, în funcție în principal de gradul de risc asociat unui anumit tip de afacere în care este investit capitalul (cu cât este mai mare gradul de risc, cu atât este mai mare rata de rentabilitate). De exemplu, investițiile în titluri de stat sau în Banca de Stat sunt cele mai puțin riscante, dar rata rentabilității în acest caz este relativ scăzută.
Factorul de reducere arată ce procent anual de rentabilitate dorește (sau poate) să aibă investitorul asupra capitalului investit de acesta. În acest caz, valoarea căutată (PV) arată, așa cum ar fi, valoarea actuală, „azi” a valorii viitoare (VF).
Reducerea asociată valorilor sumei (Formula 8.3) este utilizată în principal în operațiunile de contabilizare a biletelor la ordin de către bancă, adică în cazul în care proprietarul biletului la ordin în valoare de FV îl prezintă băncii, care este de acord să o ia în considerare, adică să cumpere, deținând în favoarea ta o parte din cambie, numită adesea și reducere. În acest caz, banca oferă proprietarului o sumă (PV) calculată pe baza ratei de scont anunțată de bancă (). Calculul acestei sume se efectuează conform formulei care rezultă din formula 8.3:
|
|
De exemplu, deținătorul unei facturi a prezentat o cambie în valoare de 10 mii UAH pentru contabilitate. cu scadenta la 15.04.2000.Cambia a fost prezentata la 31.03.2000. Banca a fost de acord să posteze biletul la ordin cu o reducere de 65% pe an. Atunci rata de actualizare pentru 15 zile va fi (15/360) · 0,65 = 0,027083. În consecință, suma pe care deținătorul unei cambii o poate primi de la bancă se calculează prin formula (8.4):
PV = 10 (1 - 0,027083) = 9,72917 mii UAH.
Comisionul perceput de bancă în favoarea acesteia pentru serviciul furnizat, în acest exemplu, a fost diferența dintre FV și PV, sau 270 UAH. 83 de copeici
FV – PV = 10–9,72917 = 0,27083 mii UAH.
Perioada standard de timp pentru tranzacțiile financiare este de 1 an. Există două scheme principale pentru construirea de capital:
schema de dobanda simpla;
schema dobânzii compuse.
Dacă capitalul investit inițial este P, iar rata de rentabilitate necesară pentru 1 an este r (ca coeficient în fracțiuni de una din suma inițială P), atunci se consideră că investiția a fost realizată pe baza dobânzii simple dacă capitalul investit creşte anual cu suma (P r ). Astfel, mărimea capitalului investițional în n ani Pn va fi egală cu:
Dacă următorul venit anual se calculează nu din suma inițială a capitalului investit, ci din suma totală, care include și dobânda acumulată anterior și nerevendicată de către investitor, atunci în acest caz investiția se face în condiții de dobândă compusă. În acest caz, mărimea capitalului investit va fi egală cu:
până la sfârșitul primului, al doilea și al n-lea an:
|
Investiția pe bază de dobândă compusă este mai profitabilă, deoarece.
sau Pn la dobândă simplă este mai mică decât Pn la dobândă compusă pentru n> 1.
În primul caz, la utilizarea dobânzii simple, veniturile, pe măsură ce se acumulează, se recomandă retragerea pentru consum sau investiții noi, iar în al doilea caz, la utilizarea dobânzii compuse, capitalul investit generează continuu venituri și crește constant și acolo nu este o nevoie obiectivă de a retrage dobânda acumulată pentru a fi utilizată în alte proiecte de investiții.
Formula 8.6 este de bază în calculele financiare. Pentru ușurință în utilizare, valorile factorului de factoring (FM), care asigură creșterea costului, sunt tabulate pentru diferite valori ale lui r și n. Când utilizați astfel de tabele, Formula 8.6 arată astfel:
|
Unde 
- un factor factor, al cărui sens economic este următorul: arată ceea ce va fi egal cu o unitate monetară (1 grivnă, 1 dolar etc.) în n perioade la o anumită rată a dobânzii r pentru fiecare dintre aceste perioade.
Schema dobânzii simple este utilizată în practica calculelor bancare la calcularea dobânzii la împrumuturile pe termen scurt (cu scadență de până la 1 an).
De exemplu, a fost acordat un împrumut în valoare de 10 mii UAH. timp de o lună (30 de zile) la 130% pe an. Apoi, suma plății de plătit va fi:
Rata de rentabilitate a acțiunilor unitare va fi pentru un an (360 de zile). Pentru 30 de zile, rata de rentabilitate ar trebui să fie 
,
unde este rata rentabilității pentru o zi:
Mie. grivne
În practica investițiilor, se folosesc adesea dobânzile intraanuale, adică la plata dividendelor la capitalul investit, de multe ori se negociază nu doar valoarea dobânzii anuale, ci și frecvența plății în cursul anului. În acest caz, calculul se efectuează conform formulei dobânzii compuse pe subintervale și la o rată egală cu o cotă proporțională a ratei anuale inițiale:
,
unde m este numărul de taxe pe an,
n - perioada de implementare a investitiilor, ani.
De exemplu, banii sunt investiți într-un depozit bancar în valoare de 10 mii UAH. timp de 2 ani cu dobânzi semestriale de 20% pe an. În acest caz, dobânda se acumulează de 4 ori (de 2 ori pe an timp de 2 ani) la o rată de 10% pe jumătate de an (20%: 2).
Folosind ecuația 8.7, suma la sfârșitul bienului ar fi:
mii UAH,
unde 0,20 / 2 este rata rentabilității în fracții unitare pe jumătate de an.
Se poate concluziona că, cu cât se percepe mai des dobândă, cu atât suma totală va fi mai mare atunci când se utilizează formula dobânzii compuse (adică, în acest caz, 12% pe an nu este echivalent cu 1% pe lună, dar ceva mai mult atunci când acestea sunt calculate lunar folosind formula dobânzii compuse) ...
Creșterea sumei la investiția inițială (investiția) are loc la rate diferite în funcție de frecvența de acumulare a dobânzii, iar odată cu creșterea frecvenței de acumulare, suma crește.
Creșterea maximă posibilă se realizează cu o fragmentare nesfârșită a intervalului anual.
,
(aceasta este cea mai importantă constantă a analizei matematice, aparținând grupului limitelor remarcabile - numărul transcendental e = 2,718281, este în același timp baza logaritmului natural).
Atunci:
.
În termen de un an, cu interes continuu, puteți folosi formula (n = 1):
Posibilitățile de utilizare a diferitelor scheme de calcul al dobânzii la contractele de investiții (investiții) determină necesitatea obiectivă și necesitatea unei analize comparative a eficacității unor astfel de investiții folosind un anumit indicator universal pentru oricare dintre schemele de calcul.
În analiza comparativă a eficienței investițiilor, este utilizat un indicator al ratei anuale efective a dobânzii, care asigură o tranziție de la P la Pn pentru valori date ale acestor indicatori.
În termen de un an, pe baza formulei 8.7, o astfel de tranziție este implementată de dependența:
.
Apoi, prin definiția ratei efective a dobânzii:
Echivalând aceste formule, obținem:
.
Se poate concluziona că rata anuală efectivă depinde de numărul de taxe intraanuale, cu creșterea cărora crește și el.
De exemplu, un antreprenor privat are posibilitatea de a obține un împrumut în condiții diferite:
1) în condițiile de calcul trimestrial a dobânzii la rata de 80% pe an;
2) pe baza calculului dobânzii semestriale la rata de 85% pe an.
Pentru a afla care opțiune este mai preferabilă, este necesar să se calculeze costurile relative ale întreprinzătorului pentru deservirea împrumutului, a căror valoare este estimată prin rata dobânzii anuale efective. Cu cât este mai mică, cu atât este mai preferabilă opțiunea (costurile relative sunt cele mai mici):
;
.
Din calcule rezultă că a doua variantă este mai de preferat.
Un antreprenor are întotdeauna de ales unde să investească bani gratuit. O astfel de alegere este întotdeauna alegerea tipului de afacere, investiție în care va aduce venituri maxime. Atunci când se evaluează fezabilitatea unor astfel de investiții, se pleacă de la faptul dacă o astfel de investiție va fi mai profitabilă (cu un nivel acceptabil de risc) decât investițiile în titluri de stat, sau invers, adică analizează veniturile viitoare la minimum ( „sigur”) nivelul de profitabilitate.
Pentru aceasta se folosesc metode matematice simple, a căror idee principală este evaluarea încasărilor viitoare P n (sub formă de profit, dobândă, dividende) din poziția momentului curent.
Importanța luării în considerare a factorului timp se datorează principiului inegalității banilor referitor la diferite momente în timp: sume egale de bani „azi” și „mâine” sunt evaluate diferit în valoare absolută - banii de astăzi sunt mai valoroși decât bani viitori. Dependența remarcată a valorii banilor de timp se datorează influenței factorului timp.
În primul rând, banii pot fi utilizați productiv în timp ca un activ financiar generator de venituri, adică banii pot fi investiți și, prin urmare, pot genera venituri. Rubla valorează astăzi mai mult decât rubla care ar trebui să fie primită mâine din cauza veniturilor din dobânzi pe care le puteți primi prin plasarea într-un cont de economii sau efectuarea unei alte tranzacții de investiții;
În al doilea rând, procesele inflaționiste duc la deprecierea banilor în timp. Astăzi puteți cumpăra mai multe bunuri pentru o rublă decât mâine pentru aceeași rublă, deoarece prețurile mărfurilor cresc.
În al treilea rând, incertitudinea viitorului și riscul asociat crește valoarea banilor disponibili. Astăzi rubla este deja acolo și poate fi cheltuită pentru consum, dar dacă va fi mâine este o altă întrebare.
De regulă, apar două sarcini.
Prima este determinarea valorii viitoare a banilor „de azi”. Dobânda este considerată ca preț al banilor, ca categorie economică folosită pentru a compara aceeași sumă de bani în diferite perioade de timp, ținând cont de faptul că suma de bani investită aduce venituri.
Al doilea este determinarea valorii prezente a banilor „viitori”.
Pentru a lua în considerare formulele utilizate în rezolvarea acestor probleme, introducem o serie de convenții:
PV - valoarea sumei inițiale sau valoarea actuală (actuală) a banilor (valoarea prezentă);
FV - suma acumulată sau valoarea viitoare a banilor (futurevalue), suma inițială cu dobânda acumulată asupra acesteia;
r - rata dobânzii pentru perioada de acumulare a dobânzii sau rata de rentabilitate (dobânda);
n este numărul de perioade de dobândă.
Să luăm în considerare esența și conținutul fiecăreia dintre aceste sarcini.
Valoarea viitoare a banilor este valoarea banilor reali după o anumită perioadă de timp, crescută (cumulată) atunci când o tranzacție financiară este efectuată în funcție de o anumită rată de rentabilitate. Operația de acumulare este procesul de creștere (acumulare) a valorii reale a banilor în conformitate cu o anumită rată de rentabilitate atunci când se efectuează o tranzacție financiară conform unei scheme de dobândă simplă sau compusă.
Schema de dobândă simplă presupune că dobânda este percepută la sfârșitul fiecărei perioade de acumulare la valoarea actuală a banilor.
În consecință, valoarea viitoare a banilor (conform schemei dobânzii simple) la sfârșitul celei de-a doua perioade de dobândă poate fi determinată după cum urmează:
FV = PV ∙ (1 + r ∙ n)
Schema dobânzii compuse presupune acumularea dobânzii la sfârșitul fiecărei perioade de acumulare asupra valorii banilor majorate cu suma dobânzii acumulate pentru perioadele anterioare. Principiul angajării la utilizarea schemei de dobândă compusă poate fi prezentat în Tabelul 2.
FV = PV ∙ 〖(1 + r)〗 ^ n
Să analizăm acum definiția valorii actuale a banilor (operațiunea de actualizare).
Valoarea actuală a banilor este valoarea încasărilor (plăților) viitoare în numerar la momentul actual. Valoarea actuală a banilor este determinată folosind o operațiune de actualizare. Actualizarea este procesul de aducere a valorii viitoare a banilor la valoarea sa actuală (prezentă) sau de estimare a încasărilor (plăților) viitoare de numerar din momentul actual.
Necesitatea de a determina valoarea curentă a banilor se datorează următorilor factori:
deprecierea banilor ca urmare a inflației;
circulatia fondurilor ca capital asigura incasarea veniturilor din aceasta cifra de afaceri;
prezentarea de către investitor a unor cerințe pentru rentabilitatea fondurilor investite (investitorul stabilește rata rentabilității).
Modelul operațiunii de reducere este descris prin următoarea formulă:
PV = FV / 〖(1 + r)〗 ^ n
Exemplul 1. „Estimarea valorii viitoare a banilor folosind schema dobânzii simple”.
Organizația plasează 100 u.c. în bancă. pentru trei ani. Atunci când calculează, Banca utilizează o schemă simplă de dobândă bazată pe 12% pe an.
Stabiliți: a) ce sumă de bani va fi în contul bancar la sfârșitul primului, al doilea și al treilea an; b) ce sumă de bani va fi în contul bancar în trei luni.
Soluţie:
a) Determinați suma de bani din contul bancar la sfârșitul anului corespunzător:
la sfarsitul primului an: FV 1 = 100 * (1 + 0,12 * 1) = 112 unități convenționale;
la sfarsitul celui de-al doilea an: FV 2 = 100 * (1 + 0,12 * 2) = 124 c.u .;
la sfarsitul celui de-al treilea an: FV 3 = 100 (1 + 0,12 3) = 136 c.u.
b) Pentru a determina suma de bani într-un cont bancar după trei luni, este necesar să se determine rata dobânzii pentru trei luni:
În consecință, suma de bani din cont în trei luni va fi:
FV 3 luni = 100 (1 + 0,03 1) = 103 c.u.
Exemplul 2. „Estimarea valorii viitoare a banilor folosind o schemă de dobândă compusă”.
Organizația plasează 100 u.c. în bancă. pentru trei ani. Atunci când calculează, Banca utilizează o schemă de dobândă compusă bazată pe 12% pe an.
Stabiliți ce sumă de bani va fi în contul bancar la sfârșitul primului, al doilea și al treilea an, dacă perioada de calcul a dobânzii este: a) un an; b) trei luni; c) luna.
Soluţie:
Suma de bani din contul bancar la sfârșitul primului, al doilea și al treilea an va depinde de durata perioadei de acumulare a dobânzii și va fi, respectiv:
a) durata perioadei de acumulare a dobânzii - un an
FV 1 = 100 (1 + 0,12) 1 = 112 unități convenționale;
FV 2 = 100 (1 + 0,12) 2 = 125,5 c.u.;
FV 3 = 100 (1 + 0,12) 3 = 140,5 c.u.
b) durata perioadei de acumulare a dobânzii - trei luni
FV 1 = 100 (1 + 0,12 / 4) 12/3 = 100 (1 + 0,03) 4 = 112,6 c.u .;
FV 2 = 100 (1 + 0,12 / 4) 24/3 = 100 (1 + 0,03) 8 = 126,7 c.u .;
FV 3 = 100 (1 + 0,12 / 4) 36/3 = 100 (1 + 0,03) 12 = 142,6 c.u.
c) durata perioadei de acumulare a dobânzii - o lună
FV 1 = 100 (1 + 0,01) 12 = 112,7 c.u.;
FV 2 = 100 (1 + 0,01) 24 = 126,9 c.u.;
FV 3 = 100 (1 + 0,01) 36 = 143,1 c.u.
Se poate concluziona că, cu cât durata perioadei de acumulare a dobânzii este mai scurtă, cu atât este mai mare suma acumulată pentru perioada analizată.
Exemplul 3. „Estimarea valorii actuale a banilor”.
Se așteaptă să primească 140,5 USD. peste trei ani. Rata de actualizare este luată la nivelul de 12% pe an (venitul este adus de suma investită și dobânda primită). Contribuția inițială este: a) 90 USD; b) 110 USD
Determinați fezabilitatea încheierii unei tranzacții financiare în ceea ce privește diferitele contribuții inițiale.
Soluţie:
Calculul valorii actuale a banilor conform modelului de actualizare este următorul:
140,5/(1,12^3)=100
Calculul valorii actuale nete a banilor este dat pentru două opțiuni pentru costurile inițiale:
A) PVnet= 100 - 90 = 10 c.u.
b) PVnet= 100 - 110 = - 10 USD
Pe baza rezultatelor calculelor, putem spune că este recomandabilă o tranzacție financiară, cu condiția unei investiții inițiale de 90 USD.
Operațiunile de acumulare și actualizare sunt bazele matematicii financiare. Sunt folosite atât în afaceri, cât și în viața de zi cu zi, de exemplu, atunci când solicitați un depozit sau un împrumut de consum. Folosind acești indicatori, puteți calcula valoarea banilor viitori în acest moment sau fondurile de astăzi în viitor. Astfel de tranzacții stau la baza analizei financiare a inițiativelor de investiții.
Cei mai mulți dintre noi am dat peste conceptul de dobândă bancară atunci când plasăm bani într-un cont de depozit și am calculat cât de mult venit pasiv poate fi obținut datorită unei investiții de succes. Reducerea în viața de zi cu zi este folosită mult mai rar, principalul său domeniu de aplicare fiind afacerile. Operațiunile de acumulare și actualizare sunt, de fapt, similare între ele, dar au o direcție diferită în timp:
Principalul element care reflectă factorul timp este rata dobânzii. Poate fi înțeles ca prețul de utilizare a banilor împrumutați.
Rata în managementul financiar se aplică ca rată de rentabilitate a tranzacțiilor. Se calculează ca procent sau fracțiune dintr-o unitate ca urmare a împărțirii venitului primit la suma de fonduri investite.
Există două tipuri de interese:
Economia de piață face posibil ca investitorii privați, companiile de investiții sau întreprinderile să plaseze bani gratuit în condiții de rambursare, plată și urgență, urmărind următoarele obiective:
Dacă cunoașteți suma inițială și finală, precum și perioada de investiție, atunci folosind formulele puteți calcula valorile reducerii și ratelor dobânzilor. De exemplu, se știe că un antreprenor a luat un împrumut pe trei ani pentru 300 de mii de ruble și, în cele din urmă, trebuie să returneze băncii 400 de mii de ruble:
r = (FV -PV) /PV *n = (400 - 300) / 300 * 3 = 100/900 = 0,11, adică 11%.
d = (FV -PV) /FV *n = (400 - 300) / 400 * 3 = 100/1200 = 0,08, adică 8%.
Întotdeauna există antreprenori sau companii care au nevoie de bani pentru a-și dezvolta afacerea, sunt gata să plătească pentru împrumutul care le este acordat. Pe de altă parte, există instituții sau organizații care sunt gata să ofere resursa necesară contra unei taxe. Este important să înțelegeți doar cât timp și în ce condiții puteți împrumuta bani pentru a rămâne un câștigător. Pentru a prezice procese de acest fel sunt folosite metodele de acumulare și actualizare.
Acumularea (compunerea) este o creștere a sumei inițiale (PV, Valoarea actuală) a capitalului prin adăugarea dobânzii la acesta după un anumit timp ca urmare a unei tranzacții financiare. După aceea, puteți vedea suma totală (FV, Future Value).
Există două tipuri de procente:
Formula pentru procente simple arată astfel:
FV =PV * (1 +r *n)
Să calculăm creșterea dobânzii simple cu un depozit de 20 de mii de ruble pentru o perioadă de 1 an la o rată de 7% pe an:
FV = 20.000 * (1 + 0,07 * 1) = 21400
Astfel, suma dobânzii acumulate pentru anul va fi de 1400 de ruble. Dacă punem bani pentru 3 ani în aceleași condiții, obținem următorul rezultat:
FV = 20.000 * (1 + 0,07 * 3) = 24.200 ruble.
Acum vom lua în considerare varianta în care aceiași bani sunt investiți timp de 3 ani la o dobândă similară, cu remunerație percepută anual. Aici puteți aplica formula dobânzii compuse:
FVn = PV (1 + r) n
FV1 = FV1 + FV1 * r = PV (1 + r) = 20000 (1 + 0,07) = 21400;
FV2 = FV2 + FV2 * r = PV (1 + r) 2 = 20.000 (1 + 0,07) 2 = 22898;
FV3 = FV3 + FV3 * r = PV (1 + r) 3 = 20.000 (1 + 0,07) 3 = 24500
Din calculele noastre, puteți vedea că creșterea folosind dobânda compusă pe 3 ani se va ridica la 4501 ruble. Să ne amintim că dacă ar fi vorba despre dobândă simplă, atunci deponentul ar primi o sumă ceva mai mică. Diferența este de 300 de ruble (24.500 - 24.200). La prima vedere, este destul de puțin, dar când vine vorba de depozite mari, această diferență devine semnificativă.
Dacă, în condițiile acordului, dobânda se acumulează mai des decât o dată pe an (trimestrial sau lunar), atunci creșterea sumei inițiale este într-un ritm mai rapid. Cu cât perioada de acumulare este mai des, cu atât capitalul investit crește mai repede.
Conceptul de actualizare este un element esențial în evaluarea și analiza fluxurilor de numerar care decurg din investirea finanțării în orice demers. Utilizarea reducerii la efectuarea tranzacțiilor și la încheierea contractelor permite proprietarilor să evite pierderile și să câștige din investițiile lor.
Actualizarea este un mecanism de aducere la stat a valorii viitoare a fondurilor la momentul calculului. Face posibilă, cunoscând mărimea sumei finale FV, să se găsească valoarea sumei PV care ar trebui investită. Exemple de reduceri includ următoarele cazuri:
Deoarece actualizarea și acumularea sunt, de fapt, o imagine în oglindă una a celeilalte, este ușor de găsit prin transformarea formulei de acumulare:
PV = FV * 1 / (1 + r) n
Rata de actualizare (d) și rata dobânzii (r) sunt interconectate prin rapoarte care pot fi exprimate după cum urmează:
d =r * (PV /FV)- se determină raportat la suma inițială
r =d * (FV /PV)- se determină raportat la indicatorul monetar majorat.
Să rezolvăm o problemă simplă. O persoană dorește să cumpere un nou model de mașină, care va intra pe piață în 3 ani. Costul estimat al mașinii declarat de producător este de 22 de mii de dolari. Este necesar să găsim câți bani trebuie să fie depuși acum la o rată de 7% pe an pentru a ajunge la indicatorul dorit în trei ani. Înlocuim datele inițiale în formula de reducere:
PV = 22000 * 1 / (1 + 0,07) 3= 22000 * 1 / 1,225 = 22000 * 0,8163 = 17959
Pentru a ajunge la indicatorul de 22.000 USD, astăzi, la 7% pe an, ar trebui investiți 17.959 USD.
În cazul nostru, totul este destul de evident, deoarece mărimea ratei dobânzii este cunoscută dinainte. Este mult mai dificil de determinat valoarea acestui criteriu în cazul evaluării unei propuneri de investiție. În acest caz, rata este determinată prin diverse metode, care folosesc indicatori precum dobânda medie a băncii, valoarea activelor companiei, mărimea și randamentul capitalului propriu, valoarea dividendelor aferente titlurilor de valoare și riscurile potențiale. În plus, sunt luate în considerare rata inflației și așteptările economice generale.
finantelor
decizii
Subiectul 1
Valoarea in timp a banilor.
Operațiuni de acumulare și decontare
În tranzacțiile financiare practice, sumele de bani, indiferent de scopul sau proveniența lor, într-un fel sau altul, dar neapărat asociate cu momente sau perioade specifice de timp. Pentru a face acest lucru, contractele stabilesc termenii, datele, frecvența plăților corespunzătoare. Factorul timp, în special în tranzacțiile pe termen lung, joacă nu mai puțin, și uneori chiar mai mult, un rol decât mărimea sumelor monetare. Necesitatea luării în considerare a factorului timp decurge din esența finanțării și creditării și se exprimă în principiu, inegalitatea banilor referitoare la diferite momente în timp(sau valoarea banilor în timp –timevalueofmoney). Este evident că 100.000 de ruble primite în 5 ani nu sunt echivalente cu aceeași sumă primită astăzi.
Valoarea în timp a banilor este determinată de prezența a două motive:
1) amortizarea numerarului în timp. Deci, dacă o întreprindere are fonduri gratuite în valoare de 10,0 milioane de ruble, iar inflația, adică deprecierea banilor, este de 20% pe an, atunci aceasta înseamnă că într-un an, dacă întreprinderea nu le investește în niciun fel. în felul acesta, vor scădea în ceea ce privește puterea lor de cumpărare și se vor ridica la doar 8 milioane de ruble la prețurile curente;
2) circulația capitalului (numerar). Să presupunem că o întreprindere are posibilitatea de a participa la un proiect de investiții care poate genera venituri în valoare de 20,0 mii de ruble. după doi ani. Există posibilitatea de a alege opțiunea de a obține venituri: fie 10 mii de ruble fiecare. la sfârșitul fiecărui an, sau o primire unică a întregii sume la sfârșitul bieniului. Evident, a doua variantă de generare a veniturilor este mai puțin profitabilă decât prima, întrucât suma primită la sfârșitul primului an poate aduce venituri suplimentare.
(În India, la o fabrică chimică a unei companii americane, a avut loc un accident major. În despăgubiri, victimelor li s-au oferit inițial 200 de milioane de dolari pe 35 de ani. Oferta a fost respinsă. Pentru a ilustra influența factorului timp, să spunem că 57,6 milioane de dolari către bancă la 10% pe an va asigura plata consecventă a 200 de milioane de dolari, adică 57,6 milioane de dolari plătiți astăzi echivalează cu 200 de milioane de dolari rambursați lunar în părți egale)
Cel mai simplu tip de tranzacție financiară este un împrumut unic de o anumită sumă PV (valoare prezentă) cu condiția ca după un timp o sumă mare de FV (valoare viitoare) să fie returnată.
Eficacitatea unei astfel de tranzacții poate fi caracterizată în două moduri: fie folosind un indicator absolut, fie prin calcularea unui anumit indicator relativ.
Indicatorul absolut este diferența I = FV-PV, care se numește dobândă (dobândă) sau suma de bani din dobândă. Aceasta este suma veniturilor din împrumutul de bani PV.
Cu toate acestea, pentru a evalua eficacitatea tranzacțiilor financiare, indicatorii absoluti sunt de puțin folos din cauza incomparabilității lor. Prin urmare, folosesc un coeficient special - rată.
Rata dobânzii este suma relativă a venitului pentru o perioadă fixă de timp, adică raportul dintre venit (bani din dobânzi) și suma datoriei pe unitatea de timp.
Se numește intervalul de timp căruia îi corespunde rata dobânzii perioada de acumulare(an, jumătate de an, trimestru, lună, chiar zi).
Mărimea ratei dobânzii depinde de o serie de factori obiectivi și subiectivi: starea generală a economiei, inclusiv piața monetară, așteptările pe termen scurt și lung ale dinamicii acesteia, tipul tranzacției, moneda sa, termenul împrumutului, etc.
În termeni generali, rata dobânzii poate fi reprezentată ca suma a patru componente principale care determină valoarea r :
r = i + f + E + g
Unde i - rata dobânzii care reflectă compensarea creditorului pentru refuzul de a utiliza suma furnizată în alte scopuri în timp t (până la rambursarea datoriei);
f - așa-numitul factor de risc (efectul Fisher), care este compensarea creditorului pentru incertitudinea (riscul) neprimirii dobânzii sau a întregii sume în general la scadența datoriei;
E - supliment inflationist, i.e. compensare pentru o eventuală modificare a nivelului prețurilor, pentru o scădere a puterii de cumpărare a banilor din cauza inflației;
g – compensație, în funcție de durata perioadei pentru care banii sunt împrumuți și cu cât este mai mare, cu atât mai lungă această perioadă.
În analiza financiară, rata dobânzii este folosită nu numai ca instrument de creștere a volumului datoriilor, ci și într-un sens mai larg - ca măsură a gradului de rentabilitate (eficiență) oricărei tranzacții financiare), indiferent dacă este sau nu. a existat un fapt de a împrumuta bani și procesul de creștere a acestei sume...
Există două principii pentru calcularea dobânzii - o creștere a sumei datoriei și o reducere a sumei finale a datoriei. Rata de bază a dobânzii și rata de bază a reducerii se aplică în mod corespunzător. Ambele tipuri de pariuri sunt folosite pentru a rezolva probleme similare. Cu toate acestea, pentru rata de acumulare, sarcina directă este de a determina suma acumulată, actualizarea inversă. Pentru rata de actualizare, dimpotrivă, sarcina directă este de a reduce, opusul este de a crește.
Pentru a calcula rata dobânzii se folosește următoarea formulă:
Pentru a calcula rata de actualizare se folosește următoarea formulă:
Ambii indicatori de mai sus sunt interconectați, adică cunoscând un indicator, îl puteți calcula pe celălalt:
Ambii indicatori pot fi exprimați fie în fracții zecimale, fie ca procent.
Din definirea indicatorilor rezultă că r › 0 și 0 ‹ d < unu. Cazul când r = 0 și d = 0, nu este luată în considerare, de atunci FV = PV , acestea. putem presupune că pur și simplu nu există nicio tranzacție financiară ca atare. Cazul când d = 1 corespunde la PV = 0 , adică nu este furnizată nicio sumă de datorie și după un timp primim FV .
Gradul de discrepanță între d (t) și r (t) depinde de nivelul ratelor dobânzii care apar la un anumit moment în timp. Astfel, dacă r = 7% , atunci d = 6,54 , adică discrepanța este relativ mică. Cu toate acestea, dacă r = 70% , atunci d = 41,18%, acestea. ratele variază semnificativ ca valoare.
În calculele de prognoză, de exemplu, la evaluarea proiectelor de investiții, de regulă, acestea se ocupă de rata dobânzii. Rata de actualizare este utilizată în principal în tranzacțiile bancare pentru a înregistra cambii.
Procesul în care se stabilesc suma inițială și rata dobânzii se numește în calculele financiare procesul de formare (compunere). Mai mult, valoarea FV arată valoarea viitoare a valorii „actuale”. PV la un anumit nivel de rentabilitate.
Procesul în care sunt stabilite suma estimată a încasării (sau returnării) viitoare și rata de actualizare este numit procesul de reducere... Sensul economic al actualizării este ordonarea temporală a fluxurilor de numerar din diferite perioade de timp. În acest caz, valoarea căutată PV arată valoarea actuală, „de azi” a valorii viitoare FV.
În primul caz, vorbim despre mișcarea fluxului de numerar din prezent în viitor, iar în al doilea - despre mișcarea din viitor în prezent.
Logica tranzacțiilor financiare este prezentată în Fig. unu.
Viitorul Prezent
Cantitatea originala
Acumulare Sumă rambursabilă
Dobândă
Suma estimată a fi primită
Suma actuală Reducere
Procent de reducere
Orez. 1. Logica tranzacţiilor financiare
Sensul economic al unei tranzacții financiare, care este reprezentat de formula (1), constă în determinarea sumei sumei pe care investitorul o va sau dorește să o aibă la finalul acestei tranzacții. Deoarece din formula (1) rezultă că FV = PV * (1 + r t ) , atunci FV › PV (deoarece (1 + r t) ›1), adică. timpul generează bani.
Desigur, aceeași concluzie poate fi trasă folosind formula (2), deoarece din aceasta rezultă că PV = FV *(1 – d t ) , și inegalitatea 1 – d < unu.
După cum sa menționat mai sus, atât rata dobânzii, cât și rata de actualizare pot acționa ca rata de angajare. Dacă suma acumulată este găsită prin formula FV = PV *(1 + r t ) , atunci rata de angajamente este rata dobânzii. Pe de altă parte, din formulă PV = FV *(1 – d ) rezultă că suma acumulată poate fi determinată prin formula:
Prin urmare, în acest caz, rata de angajamente este rata de actualizare. Rata de actualizare este utilizată pentru acreție în cazul înregistrării unei cambii în bancă, dacă luăm în considerare această operațiune din poziția băncii.
Raționament similar poate fi exprimat în legătură cu procesul de actualizare. Dacă suma dată este găsită prin formula PV = FV *(1 – d ) , atunci rata de actualizare este utilizată ca rată de reducere. Pe de altă parte, din formulă FV = PV *(1 + r ) rezultă că cantitatea redusă poate fi determinată și prin formulă . În acest caz, rata dobânzii este utilizată ca rată de actualizare.
