Rata dobânzii compusă. Ratele dobânzilor compuse. Dobânzi simple și compuse

Rata dobânzii compusă

Formule de creștere

O rată a dobânzii compusă compusă este o rată a dobânzii la care baza de angajamente, spre deosebire de dobânda simplă, este variabilă, adică dobânda se calculează pe dobândă.

De asemenea, un anumit interval unitar pentru calcularea dobânzii (an, lună, trimestru etc.) și rata dobânzii i (sau i % = 100i) sunt convenite în prealabil. Fie valoarea inițială a datoriei egală cu P . Apoi, după un singur interval, valoarea datoriei va fi S 1 =P (1+i), ca în cazul dobânzii simple. Cu toate acestea, până la sfârșitul celui de-al doilea interval de unitate, valoarea datoriei va fi S 2 \u003d S 1 (1 + i ) \u003d P (1 + i ) 2 (spre deosebire de formula S 2 \u003d P (1 + 2i ) ) pentru dobândă simplă. Până la sfârșitul celei de-a treia perioade, obținem S 3 \u003d S 2 (1 + i) \u003d P (1 + i) 3. Etc. La sfârșitul intervalului de unitate a n-a, obținem

Deci, după n intervale, suma inițială P va crește de (1 + i )n ori. Se numește factorul (1+i )n multiplicator incremental. Rețineți că creșterea dobânzii compuse reprezintă creșterea sumei inițiale conform legii unei progresii geometrice, al cărei prim termen este egal cu P, iar numitorul este 1+i.

Sarcina 1 . Suma depozitului inițial P = 40.000 de ruble. Rata dobânzii %=10% pe an. Determinați acumularea dobânzii compuse pentru 3 ani și apoi comparați-o cu suma acumulată a schemei de dobândă simplă.

Soluție. Aplicând formula (1) avem

S 3, ori \u003d P (1 + i) 3 \u003d 40.000 (1 + 0,1) 3 \u003d 53.240 ruble.

Calculați suma acumulată folosind schema dobânzii simple:

S 3, inclusiv \u003d P (1 + 3i) \u003d 40.000 (1 + 0,3) \u003d 52.000 de ruble.< 53 240 р.

Deci, în cazul în cauză, utilizarea dobânzii compuse conduce la o sumă acumulată mai mare, care este mai profitabilă pentru deponent în comparație cu acumularea în regimul dobânzii simple.

Formula pentru acumularea dobânzii compuse (1), derivată pentru întreg

Aici P este suma inițială, n k este durata k --a perioadă de calcul a dobânzii și i k este rata simplă a dobânzii în perioada cu numărul k .

Sarcina 3. În acordul privind deservirea unui depozit bancar timp de 4 ani, o rată variabilă a dobânzii compuse este fixată după cum urmează. În anul 1 - 6% pe an, în anii 2 și 3 rata este aceeași - 5% pe an, în anul 4

- 8%. Determinați valoarea multiplicatorului de acumulare pentru 4 ani.

Soluție. Fie P o sumă inițială. Conform sarcinii

i 1 = 0,06, i 2 = i 3 = 0,05, i 4 = 0,08.

Notați i 23 = 0,05. Avem conform formulei (2):

S = P (1 i 1 ) 1 (1 i 23 ) 2 (1 i 4 ) 1 = P (1+0,06)(1+0,05)2 (1+0,08).

Ca rezultat al calculelor, obținem valoarea multiplicatorului de acumulare:

S/P = (1+0,06)(1+0,05)2 (1+0,08) = 1,262142.

Comparația puterii de creștere a interesului simplu și compus

Pentru aceeași rată a dobânzii i, dobânda compusă acumulată:

merge mai repede decât dobânda simplă dacă durata perioadei de acumulare este mai mare decât o singură perioadă;

este mai lent decât dobânda simplă, dacă durata perioadei de acumulare este mai mică decât o perioadă unitară.

S-a remarcat anterior că acumularea pentru o singură perioadă este aceeași, indiferent dacă este utilizată schema dobânzii simple sau compuse.

Să argumentăm cele spuse. Într-adevăr, pentru i > 0:

dacă t >1, atunci (1+i )t > 1+it ; daca 0

Pentru a demonstra acest fapt, se consideră funcțiile f (t ) = (1+i )t și g (t ) = 1+it . Evident, f (0) \u003d g (0), f (1) \u003d g (1) și ambele funcții cresc la t 0 nu numai în sensul lor semnificativ, ci și formal datorită pozitivității derivatelor lor f (t ) \u003d (1 + i) t ln (1+i ) și g (t ) =i . În același timp, derivata de ordinul doi f (t ) = (1+i )t ln 2 (1+i ) este pozitivă la t 0, ceea ce înseamnă că funcția f (t ) este convexă în jos la t 0 ( adică creştere accelerată). În acest caz, funcția g (t) crește liniar

(g(t) = 0).

Graficul arată funcțiile f (t) \u003d (1 + i) t și g (t) \u003d 1 + it în funcție de t:

Exemplu. Fie ca suma P =800 să fie mărită la rata i=8% a dobânzii simple și compuse. Atunci sumele acumulate sunt

Pentru a-și evalua perspectivele, este adesea important ca un creditor și un debitor să știe cât timp este nevoie pentru ca suma împrumutului să crească de N ori la o anumită rată a dobânzii. Pentru a face acest lucru, echivalăm factorul de creștere cu valoarea N , în urma căreia obținem:

A) pentru dobândă simplă 1 + ni =N , de unde n = (N –1) / i .

b) pentru dobândă compusă (1 + i )n =N , de unde n = lnN / ln(1 + i ).

Soluție. Prin condiția problemei i =0,04,N =2. Avem

a) pentru dobânda simplă n = (N –1) / i = 1 /i , de unde n = 1/0,04 = 25 ani

b) pentru dobânda compusă n = lnN / ln(1 +i ), de unde n = ln 2/ln(1,04) 17,67 ani. Dobânda compusă vă dublează mai repede datoria.

Unele metode de calculare a dobânzii pentru un număr fracționar de ani

În practica instituțiilor financiare cu un număr fracționar de ani t, dobânda este calculată în moduri diferite. Să aruncăm o privire la cele trei metode principale.

1. Formula dobânzii compuse: S = P(1+i)t.

2. Pe baza unei metode mixte, conform căreia se percepe dobândă compusă pentru ani întregi și dobândă simplă pentru ani fracționari: S = P (1+i )n (1+bi ), unde t=n+b ,n este un număr întreg de ani, b este partea fracțională a unui an.

3. Într-un număr de bănci comerciale se aplică regula potrivit căreia nu se acumulează dobândă pentru o perioadă de timp mai mică decât perioada de acumulare, adică.

S = P(1+ i) n .

Sarcina 5. Valoarea împrumutului acordat pentru 27 de luni este de 100.000 de ruble. Rata anuală a dobânzii este de 20%. Calculați suma acumulată în cele trei moduri indicate.

Soluție. După starea problemei, termenul împrumutului este de 2,25 ani. Avem următoarele calcule.

Conform primei metode: S I \u003d 100.000 (1 + 0,2) 2. 2 5 150 715 46 cop. Conform celei de-a doua metode: S II \u003d 100.000 (1 + 0,2) 2 (1 + 0,25 0,2) \u003d 151.200 ruble. Conform celei de-a treia metode: S III \u003d 100.000 (1 + 0,2) 2 \u003d 144.000 de ruble.

Formule de reducere pentru dobânda compusă

Sarcina 6. Scrieți un tabel pentru factorul de reducere (1 + i) - n pentru un termen de împrumut de 5, 10 și 20 de ani; rata de acumulare compusă este de 10% și 20%.

Soluție. Rezultatele calculelor prin formula (3) sunt date în tabel

Dacă actualizarea se efectuează conform schemei contabile bancare (comerciale), atunci rata de actualizare se negociază inițial d, 0d<1. Она применяется не к начальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем промежутке времени. Размер дисконта, или учета, удерживаемого финансовым учреждением, равен

Sarcina 7. Un bilet la ordin în valoare de 20.000 de ruble cu scadență în 1,5 ani este actualizat la o dobândă compusă de 18% pe an. Determinați suma primită de proprietarul facturii în contabilitate, precum și reducerea corespunzătoare.

Soluție. Aici, după condiția problemei, S = 20 000, n = 1,5, d = 0,18. Apoi, conform formulei (4), obținem următoarele rezultate de calcul:

suma primită de proprietar P = 20.000(1 – 0,18)1,5 14850 r. 83 cop.,

reducere D \u003d S - P 20.000 - 14850,83 \u003d 5149 ruble. 17 cop.

Luați în considerare dobânda compusă - calculul dobânzii atât pentru valoarea principală a datoriei, cât și pentru dobânda acumulată anterior.

Un pic de teorie

Proprietarul capitalului, împrumutându-l pentru un anumit timp, se așteaptă să primească venituri din această tranzacție. Valoarea venitului așteptat depinde de trei factori: de valoarea capitalului acordat pe credit, de perioada pentru care este acordat împrumutul și de valoarea dobânzii la împrumut sau, în caz contrar, rata dobânzii.

Există diferite metode de calculare a dobânzii. Principala lor diferență se rezumă la determinarea sumei inițiale (bază), pe care se percepe dobânda. Această sumă poate rămâne constantă pe parcursul perioadei sau poate modifica. În funcție de aceasta, se face distincția între metoda de angajare și dobânda compusă.

Când se utilizează rate ale dobânzii compuse, la suma datorată se adaugă dobânzile acumulate după fiecare perioadă de acumulare. Astfel, baza de calcul a dobânzii compuse, spre deosebire de utilizare, se modifică în fiecare perioadă de acumulare. Adăugarea dobânzii acumulate la suma care a servit drept bază pentru calculul acestora se numește capitalizare a dobânzii. Această metodă este uneori denumită „procent în procent”.

Fișierul exemplu conține un grafic pentru compararea sumei acumulate folosind dobânda simplă și compusă.

În acest articol, vom lua în considerare acumularea dobânzii compuse în cazul unei rate constante. Cu privire la rata variabilă în cazul dobânzii compuse.

Dobânda acumulată o dată pe an

Fie valoarea inițială a depozitului P, apoi după un an suma depozitului cu dobândă adăugată va fi =P*(1+i), după 2 ani =P*(1+i)*(1+i) =P*(1+i )^2, după n ani – P*(1+i)^n. Astfel, obținem formula de angajamente pentru dobânda compusă:
S = P*(1+i)^n
unde S este suma acumulată,
i - rata anuală,
n - termenul împrumutului în ani,
(1+ i)^n - multiplicatorul de acumulare.

În cazul discutat mai sus, valorificarea se realizează o dată pe an.
Cu capitalizarea de m ori pe an, formula de angajamente pentru dobânda compusă arată astfel:
S = P*(1+i/m)^(n*m)
i/m este rata pentru perioada.
În practică, se utilizează de obicei dobânda discretă (dobândă acumulată pentru aceleași intervale de timp: an (m=1), jumătate de an (m=2), trimestru (m=4), lună (m=12)).

În MS EXCEL, puteți calcula suma acumulată până la sfârșitul termenului de depozit pentru dobânda compusă în diferite moduri.

Luați în considerare problema: Lăsați suma inițială a depozitului egală cu 20 de mii de ruble, rata anuală = 15%, perioada de depozit este de 12 luni. Capitalizarea se face lunar la sfarsitul perioadei.

Metoda 1. Calcul folosind un tabel cu formule
Aceasta este metoda cea mai consumatoare de timp, dar cea mai vizuală. Constă în calcularea secvenţială a cuantumului contribuţiei la sfârşitul fiecărei perioade.
În fișierul exemplu, acest lucru este implementat pe foaie Rata constanta.

Pentru prima perioadă se vor acumula dobânzi în valoare de =20000*(15%/12) , deoarece valorificarea se face lunar, iar intr-un an, dupa cum se stie, 12 luni.
Atunci când se calculează dobânda pentru a doua perioadă, este necesar să se ia ca bază pe care se percepe % nu suma inițială a depozitului, ci suma depozitului la sfârșitul primei perioade (sau începutul celei de-a doua) . Și așa mai departe pentru toate cele 12 perioade.

Metoda 2. Calcul folosind formula dobânzii acumulate
Să substituim în formula sumei acumulate S = Р*(1+i)^n valorile din problemă.
S = 20000*(1+15%/12)^12
Trebuie retinut ca rata dobanzii trebuie indicata pentru perioada (perioada de capitalizare).
O altă modalitate de a scrie o formulă este prin funcția POWER ().
=20000*PUTERE(1+15%/12; 12)

Metoda 3. Calcul folosind funcția BS().
Funcția BS() vă permite să determinați investiții în condiția plăților egale periodice și a unei rate constante a dobânzii, de ex. este destinată în primul rând calculelor în cazul . Cu toate acestea, omițând al treilea parametru (PLT=0), îl puteți utiliza și pentru a calcula dobânda compusă.
=-BS(15%/12;12;;20000)

Sau așa = -BS(15%/12;12;0;20000;0)

Notă.În cazul unei rate variabile, pentru a găsi valoarea viitoare utilizând metoda dobânzii compuse BZRAISP() .

Determinați valoarea dobânzii acumulate

Să luăm în considerare problema: un client al unei bănci a depus 150.000 de ruble. timp de 5 ani cu dobândă compusă anuală la o rată de 12% pe an. Determinați valoarea dobânzii acumulate.

Suma dobânzii acumulate I este egală cu diferența dintre suma acumulată S și suma inițială Р. Utilizând formula de determinare a sumei acumulate S = Р*(1+i)^n, obținem:
I \u003d S - P \u003d P * (1 + i) ^ n - P \u003d P * ((1 + i) ^ n -1) \u003d 150000 * ((1 + 12%) ^5-1)
Rezultat: 114 351,25 ruble.
Pentru comparație: acumularea la o rată simplă va da un rezultat de 90.000 de ruble. (vezi exemplu de fișier).

Stabiliți termenul datoriei

Să luăm în considerare problema: un client al unei bănci a depus o anumită sumă cu dobândă compusă anuală la o rată de 12% pe an. Cât timp va dura până se dublează depozitul?
Luând logaritmul ambelor părți ale ecuației S = Р*(1+i)^n, îl rezolvăm pentru parametrul necunoscut n.

Există o soluție în fișierul exemplu, răspunsul este de 6,12 ani.

Calculați rata dobânzii compuse

Să luăm în considerare problema: un client al unei bănci a depus 150.000 de ruble. cu dobândă compusă anuală. Cu ce ​​rată anuală se va dubla suma depozitului în 5 ani?

Există o soluție în fișierul exemplu, răspunsul este 14,87%.

Notă. Despre rata efectivă a dobânzii.

Contabilitatea (actualizarea) pentru dobânda compusă

Reducerea se bazează pe conceptul valorii în timp a banilor: banii disponibili în prezent valorează mai mult decât aceeași sumă în viitor, datorită potențialului lor de a oferi venituri.
Luați în considerare 2 tipuri de contabilitate: matematică și bancară.

Contabilitate matematică. În acest caz, problema este rezolvată invers acumulării dobânzii compuse, adică. calculele se fac după formula Р=S/(1+i)^n
Valoarea lui P, obținută prin actualizarea lui S, se numește valoare prezentă sau curentă sau valoarea redusă a lui S.
P și S sunt echivalente în sensul că o plată a lui S în n ani este egală cu suma P plătită în prezent. Aici diferența D = S - P se numește reducere.

Exemplu. După 7 ani, asiguratului i se va plăti suma de 2.000.000 de ruble. Determinați valoarea actuală a sumei, cu condiția să se aplice o dobândă compusă de 15% pe an.
Cu alte cuvinte, știm:
n = 7 ani,
S = 2.000.000 de ruble,
i = 15%.

Soluţie. P = 2000000/(1+15%)^7
Valoarea valorii prezente va fi mai mică, deoarece deschidere azi o contribuție în valoare de P cu o capitalizare anuală la o rată de 15%, vom primi în 7 ani suma de 2 milioane de ruble.

Același rezultat poate fi obținut folosind formula =PS(15%;7;;-2000000;1)
Funcția PS() returnează costul redus (la momentul actual) al investiției și .

Contabilitate bancara. În acest caz, se presupune utilizarea unei rate de actualizare complexe. Reducerea la o rată de actualizare complexă se efectuează după formula:
P \u003d S * (1- dsl) ^ n
unde dcl este rata de actualizare anuală compusă.

Atunci când se utilizează o rată de actualizare complexă, procesul de actualizare are loc cu o încetinire progresivă, deoarece rata de actualizare se aplică de fiecare dată sumei reduse pentru perioada anterioară cu valoarea reducerii.

Comparând formula de angajamente pentru dobânda compusă S = Р*(1+i)^n și formula de actualizare la rata de actualizare complexă Р = S*(1- dsl)^n, ajungem la concluzia că prin înlocuirea semnului lui rata cu cea opusă, putem pentru calcularea valorii actualizate, să folosim toate cele trei metode pentru calcularea acumulării dobânzii compuse, discutate în secțiunea articolului Dobânda acumulată de mai multe ori pe an.

Și calculul parametrilor acestei tranzacții.

Cursul de matematică financiară constă din două secțiuni: plăți unice și fluxuri de plăți. Plăți unice- sunt tranzacții financiare în care fiecare parte, la implementarea termenilor contractului, plătește suma de bani o singură dată (fie împrumută, fie rambursează datoria). Fluxuri de plată- Sunt tranzacții financiare în care fiecare parte, la implementarea termenilor contractului, efectuează cel puțin o plată.

Există două părți implicate într-o tranzacție financiară: împrumutătorul și împrumutatul. Fiecare parte poate fi atât o bancă, cât și un client. Tranzacția financiară de bază este furnizarea unei anumite sume de bani în datorie. Banii nu sunt egali în raport cu timpul. Banii moderni sunt de obicei mai valoroși decât banii viitori. Valoarea în timp a banilor se reflectă în suma dobânzii acumulate și în schema de acumulare și plată a acestora.

Aparatul matematic pentru rezolvarea unor astfel de probleme este conceptul de „procent” și și .

Interesul - concepte de bază

La sută- o sutime dintr-o bază predeterminată (adică baza corespunde la 100%).

Răspuns: mai mult

Rata dobânzii

Rata dobânzii- suma relativă a venitului pentru o perioadă determinată de timp. Raportul dintre venit (bani din dobânzi - valoarea absolută a venitului din împrumutul de bani) și suma datoriei.

Perioada de acumulare- acesta este intervalul de timp pentru care este cronometrată rata dobânzii, nu trebuie confundat cu perioada de acumulare. De obicei iau un an, o jumătate de an, un sfert, o lună ca atare perioadă, dar cel mai adesea se ocupă de rate anuale.

Capitalizarea dobânzii- adăugarea dobânzii la valoarea principală a datoriei.

Acreția- procesul de creștere a sumei de bani în timp în legătură cu adăugarea dobânzii.

Reducere- acumulare inversă, în care suma de bani aferentă viitorului este redusă cu suma corespunzătoare reducerii (reducerii).

Valoarea se numește multiplicator de acumulare, iar valoarea se numește multiplicator de reducere cu schemele adecvate.

Cu schema " interes simplu„Baza inițială de calcul a dobânzii pe întregul termen al datoriei pentru fiecare perioadă de aplicare a ratei dobânzii este valoarea inițială a datoriei.

Cu schema " interes compus„(pentru numere întregi) baza inițială de acumulare a dobânzii pe întreaga perioadă în fiecare perioadă de aplicare a ratei dobânzii este valoarea datoriei acumulate în perioada anterioară.

Adăugarea dobânzii acumulate la suma care servește drept bază pentru calculul acestora se numește capitalizarea dobânzii (sau reinvestirea depozitului). La aplicarea schemei „dobândă compusă”, capitalizarea dobânzii are loc pe fiecare perioadă.

În cadrul schemei „dobândă simplă” ( reducere simplă) - baza inițială pentru acumularea dobânzii pe întregul termen al datoriei pentru fiecare perioadă de aplicare a ratei de actualizare este suma plătibilă la sfârșitul termenului de depozit.

Cu schema „dobândă compusă” (pentru numere întregi) ( reducere compusă) - baza inițială de acumulare a dobânzii pe întreaga perioadă pentru fiecare perioadă de aplicare a ratei de actualizare este valoarea datoriei la sfârșitul fiecărei perioade.

Dobânzi simple și compuse

Formule „directe”.

	Interes simplu	Interes compus
- rata dobânzii			construieste
- rata dobânzii			discount (contabilitate bancara)

Formule „inversate”.

Rata variabila a dobanzii si reinvestirea depozitelor

Fie ca termenul datoriei să aibă etape, a căror lungime este egală cu , ,

- schema de dobanda simpla

1 . Contractul prevede acumularea dobânzii a) simple, b) compuse în următoarea ordine: în prima jumătate a anului la o dobândă anuală de 0,09, apoi în anul următor rata a scăzut cu 0,01, iar în următorul două semestrii a crescut cu 0,005 în fiecare dintre ele . Găsiți valoarea depozitului acumulat la sfârșitul termenului, dacă valoarea depozitului inițial este de 800 USD.

Rata dobânzii de piață ca cel mai important indicator macroeconomic

Rata dobânzii este importantă. Rata dobânzii este comisionul pentru banii furnizați în . Au fost momente când legea nu permitea remunerarea pentru faptul că banii necheltuiți, împrumutați erau împrumuți. În lumea modernă, împrumuturile sunt utilizate pe scară largă, pentru utilizarea cărora se stabilește un procent. Deoarece ratele dobânzilor măsoară costurile utilizării banilor de către antreprenori și recompensa pentru neutilizarea banilor de către sectorul de consum, nivelul ratelor dobânzilor joacă un rol semnificativ în economia țării în ansamblu.

Foarte des în literatura economică se folosește termenul de „rată a dobânzii”, deși există multe rate ale dobânzii. Diferențierea ratelor dobânzii este asociată cu riscul asumat de creditor. Riscul crește odată cu durata împrumutului, deoarece devine mai probabil ca banii să fie solicitați de către creditor înainte de scadența împrumutului, rata dobânzii crește în mod corespunzător. Crește atunci când un antreprenor puțin cunoscut solicită un împrumut. O firmă mică plătește o dobândă mai mare decât una mare. Pentru consumatori, ratele dobânzilor variază și ele.

Oricum, indiferent cât de diferite ar fi ratele dobânzilor, toate sunt afectate: dacă masa monetară scade, atunci dobânzile cresc și invers. De aceea, luarea în considerare a tuturor ratelor dobânzii poate fi redusă la studiul modelelor unei rate a dobânzii și în viitor să se opereze cu termenul „rată a dobânzii”

Faceți distincția între ratele dobânzii nominale și cele reale

Rata reală a dobânzii se determină luând în considerare nivelul. Este egală cu rata nominală a dobânzii, care este stabilită sub influența cererii și ofertei, minus rata inflației:

Dacă, de exemplu, o bancă împrumută și percepe 15%, iar rata inflației este de 10%, atunci rata reală a dobânzii este de 5% (15% - 10%).

Metode de calcul a dobânzii:

Rata simplă a dobânzii

grafică simplă a dobânzii

Determinați dobânda și suma datoriei acumulate dacă rata dobânzii simple este de 20% pe an, împrumutul este de 700.000 de ruble, termenul este de 4 ani.

• Am \u003d 700.000 * 4 * 0,2 \u003d 560.000 de ruble.
• S \u003d 700.000 + 560.000 \u003d 1.260.000 de ruble.

Situație în care termenul împrumutului este mai mic decât perioada de acumulare

• 360 de zile. În acest caz se obține comun sau interes comercial.
• 365 sau 366 de zile. Folosit pentru a calcula dobânda exactă.

• Numărul exact de zile de împrumut - Determinat prin numărarea numărului de zile dintre data împrumutului și data rambursării acestuia. Ziua emiterii și ziua răscumpărării sunt considerate ca o zi. Numărul exact de zile dintre două date poate fi determinat din tabelul numerelor ordinale de zile dintr-un an.
• Numărul aproximativ de zile de împrumut - determinat din condiția ca orice lună să fie luată egal cu 30 de zile.

• Dobândă exactă cu numărul exact de zile de împrumut (365/365)
• Dobanda obisnuita cu numarul exact de zile de imprumut (banca; 365/360). Dacă numărul de zile de împrumut depășește 360, această metodă duce la faptul că valoarea dobânzii acumulate va fi mai mare decât rata anuală.
• Dobândă obișnuită cu un număr aproximativ de zile de împrumut (360/360). Este folosit în calcule intermediare, deoarece nu este foarte precis.

Un împrumut în valoare de 1 milion de ruble a fost acordat în perioada 20 ianuarie – 5 octombrie inclusiv la 18% pe an. Cât trebuie să plătească debitorul la sfârșitul termenului la calculul dobânzii simple? Calculați în trei moduri pentru a calcula dobânda simplă.

Pentru început, să stabilim numărul de zile de împrumut: 20 ianuarie este a 20-a zi a anului, 5 octombrie este a 278-a zi a anului. 278 - 20 \u003d 258. Cu un calcul aproximativ - 255. 30 ianuarie - 20 ianuarie \u003d 10. 8 luni înmulțit cu 30 de zile \u003d 240. total: 240 + 10 + 5 \u003d 255.

1. Dobândă exactă cu numărul exact de zile de împrumut (365/365)

• S \u003d 1.000.000 * (1 + (258/365) * 0,18) \u003d 1.127.233 ruble.

2. Dobândă obișnuită cu numărul exact de zile de împrumut (360/365)

• S \u003d 1.000.000 * (1 + (258/360) * 0,18 \u003d 1.129.000 de ruble.

3. Dobândă obișnuită cu număr aproximativ de zile de împrumut (360/360)

• S \u003d 1.000.000 (1 + (255/360) * 0,18 \u003d 1.127.500 de ruble.

Tarife variabile

Acordurile de împrumut prevăd uneori rate ale dobânzii care variază în timp. Dacă acestea sunt rate simple, atunci suma acumulată la sfârșitul termenului se determină după cum urmează.

Oamenii s-au gândit în orice moment la viitorul lor. Au încercat și încearcă să se protejeze pe ei înșiși, copiii și nepoții lor de dificultăți financiare, construind cel puțin o mică insulă de încredere în viitor. Începând să-l construiți acum cu ajutorul unor depozite bancare mici, vă puteți asigura stabilitatea și independența în viitor.

Principiul de bază al operațiunilor bancare este că fondurile pot crește doar atunci când sunt în circulație constantă. Pentru ca clienții să navigheze cu încredere în domeniul serviciilor financiare și să poată alege condițiile potrivite care le sunt benefice într-o anumită perioadă de timp, trebuie să cunoașteți o serie de reguli simple. Acest articol se va concentra asupra investițiilor pe termen lung care permit pentru un anumit număr de ani de la o sumă relativ mică de capital inițial să obțină un profit semnificativ sau să utilizeze depozitul în continuare, retrăgând angajamente pentru nevoile de zi cu zi.

Pentru calcularea corectă a profitului este necesară efectuarea unor operații aritmetice simple pe baza formulelor de mai jos.

Formula dobânzii compuse (calculată în ani)

De exemplu, decideți să puneți 100.000,00 de ruble. la 11% pe an pentru a profita de economii în 10 ani, care au crescut semnificativ ca urmare a capitalizării. Pentru a calcula suma totală, ar trebui să aplicați metoda de calcul a dobânzii compuse.

Utilizarea dobânzii compuse implică faptul că la sfârșitul fiecărei perioade (an, trimestru, lună), la contribuție se adaugă profitul acumulat. Suma primită stă la baza creșterii ulterioare a profitului.

Pentru a calcula dobânda compusă, folosim o formulă simplă:

• S - suma totală („corpul” depozitului + dobândă) care urmează a fi returnată deponentului la expirarea depozitului;
• P este valoarea inițială a contribuției;
• n - numărul total de operațiuni de capitalizare a dobânzii pe întreaga perioadă de strângere de fonduri (în acest caz, corespunde numărului de ani);
• I este rata anuală a dobânzii.

Înlocuind valorile în această formulă, vedem că:

după 5 ani suma va fi freca.,

si in 10 ani va fi freca.

Dacă am calcula pentru o perioadă scurtă, atunci ar fi mai convenabil să calculăm dobânda compusă folosind formula

• K este numărul de zile din anul curent,
• J - numărul de zile din perioadă, în urma rezultatelor cărora banca valorifică dobânda acumulată (alte denumiri sunt aceleași ca în formula anterioară).

Dar pentru cei care consideră că este mai convenabil să retragă lunar dobânda pe un depozit, este mai bine să vă familiarizați cu conceptul „Capitalizarea depozitului”, implicând calculul dobânzii simple.

Graficul arată cum va crește capitalul atunci când dobânda la depozit este capitalizată, dacă investiți 100.000,00 ruble. timp de 10 ani la 10%, 15% și 20%

Formula dobânzii compuse (calculată în luni)

Mai exista o metoda, mai profitabila pentru client, de acumulare si adaugare a unei rate a dobanzii – lunara. Pentru aceasta, se aplică următoarea formulă:

unde n corespunde și numărului de tranzacții de capitalizare, dar este deja exprimat în luni. Indicatorul procentual de aici este împărțit suplimentar la 12, deoarece există 12 luni într-un an și trebuie să calculăm rata lunară a dobânzii.

Dacă s-ar folosi această formulă pentru acumularea trimestrială a depozitului, atunci procentul anual ar fi împărțit la 4, iar indicatorul n ar fi egal cu numărul de trimestre, iar dacă dobânda ar fi calculată pe jumătate de ani, atunci dobânda rata ar fi împărțită la 2, iar denumirea n ar corespunde numărului de semestri.

Deci, dacă am făcut o contribuție în valoare de 100.000,00 ruble. cu capitalizarea lunară a dobânzii, atunci:

după 5 ani (60 luni) suma depozitului ar fi crescut la 172.891,57 ruble, adică aproximativ 10.000 de ruble. mai mult decât în ​​cazul valorificării anuale a depozitului; freca.

și după 10 ani (120 luni) suma „acumulată” s-ar fi ridicat la 298.914,96 ruble, ceea ce înseamnă deja până la 15.000 de ruble. depășește cifra calculată folosind formula dobânzii compuse, care prevede calculul în ani.

freca.

Aceasta înseamnă că randamentul dobânzii lunare este mai mare decât al dobânzii anuale. Și dacă profitul nu este retras, atunci dobânda compusă funcționează în favoarea deponentului.

Formula dobânzii compuse pentru depozitele bancare

Formulele dobânzii compuse descrise mai sus sunt cel mai probabil exemple ilustrative pentru ca clienții să înțeleagă cum este calculată dobânda compusă. Aceste calcule sunt oarecum mai simple decât formula aplicata de banci la depozitele bancare reale.

Unitatea folosită aici este coeficientul ratei dobânzii pentru depozit (p). Se calculeaza astfel:

Dobânda compusă („suma acumulată”) pentru depozitele bancare se calculează folosind următoarea formulă:

Pe baza acesteia și luând drept exemplu aceleași date, vom calcula dobânda compusă folosind metoda bancară.

În primul rând, determinăm coeficientul ratei dobânzii pentru depozit:

Acum înlocuim datele în formula principală:

freca. - aceasta este suma depozitului, „crescând” peste 5 ani*;

freca. - timp de 10 ani*.

*Calculele din exemple sunt aproximative, deoarece nu iau în considerare anii bisecți și numărul variabil de zile dintr-o lună.

Dacă comparăm sumele din aceste două exemple cu cele anterioare, acestea sunt oarecum mai mici, dar totuși beneficiul din capitalizarea dobânzii este evident. Prin urmare, dacă sunteți hotărât să puneți bani în bancă pentru o lungă perioadă de timp, atunci este mai bine să faceți un calcul preliminar al profitului folosind formula „bancară” - acest lucru vă va ajuta să evitați dezamăgirea.

Dispoziții generale
Aproape toate calculele financiare și economice, într-un fel sau altul, sunt legate de calculul dobânzii. În practica bancară se utilizează dobânda simplă și compusă.
Banii de dobândă (dobânda) reprezintă suma veniturilor din împrumutul de bani sub diferite forme (împrumuturi, deschidere de conturi de depozit, cumpărare de obligațiuni, închiriere de echipamente etc.).
Suma dobânzii depinde de trei factori:
valoarea datoriei principale (suma împrumutului);
data scadenței;
rata dobânzii, care caracterizează intensitatea acumulării dobânzii.
Dobânda poate fi plătită pe măsură ce se acumulează sau adăugată la suma datorată. O creștere a valorii datoriei datorată adăugării dobânzii acumulate se numește creșterea valorii inițiale a datoriei.
Raportul dintre suma acumulată și suma inițială a datoriei se numește multiplicator (coeficient) de acumulare (KN):
Kn \u003d 8 / R,
unde 8 - suma acumulată (rambursată);
R este valoarea inițială a datoriei.
KN este întotdeauna mai mare decât unu.
Intervalul de timp pentru care se calculează dobânda se numește perioadă de acumulare.
La utilizarea ratelor dobânzilor simple, suma de bani dobânzi pe întreaga durată a datoriei se determină pe baza sumei sale inițiale, indiferent de perioadele de acumulare și de durata acestora, i.e. nu există capitalizarea dobânzii (cumularea dobânzii la dobândă).
La utilizarea ratelor compuse, dobânda acumulată pentru perioada anterioară se adaugă la valoarea datoriei și se acumulează dobândă pentru acestea în perioada următoare (se realizează capitalizarea dobânzii).
Valoarea ratelor în sine (atât simple, cât și complexe) se poate modifica sau rămâne neschimbată. Dacă rata dobânzii se modifică, dar nu există capitalizare, adică dobânda se percepe întotdeauna la aceeași sumă, atunci va fi simplu. Dacă există capitalizare chiar și la rate constante ale dobânzii, atunci dobânda este compusă.
Atât dobânda simplă, cât și cea compusă pot fi calculate în două moduri:
decursivă - dobânda se calculează la sfârșitul fiecărui interval;
antisipativ - dobânda se calculează la începutul fiecărui interval.
În primul caz, suma dobânzii este determinată în funcție de suma împrumutului. Rata dobânzii decursivă se numește dobândă la împrumut. Acesta este raportul dintre suma veniturilor acumulate pe intervalul de timp și suma inițială (suma la începutul intervalului de calcul al dobânzii):
1 = Venit x 100% / R.
Cu metoda antisipativă (preliminară) de calcul a dobânzii, suma de bani a dobânzii este determinată pe baza sumei acumulate. Rata dobânzii (ё) se numește contabilă sau antisipativă:
e \u003d Venit x 100% / 8.
Metoda decursivă este mai frecventă în practica mondială.
Luați în considerare diferitele tipuri de rate și metode de calculare a acestora în conformitate cu următorul plan:
rate simple decursive ale dobânzii;
rate ale dobânzii decursive compuse;
tarife simple antisipative (reducere);
rate complexe antisipative (reducere);
rate echivalente ale dobânzii.
Metoda decursivă de calcul a dobânzii simple
Acumularea ratelor simple este utilizată, de regulă, pentru creditarea pe termen scurt.
Să introducem notația:
8 - cantitate acumulată, frecare;
R - suma inițială a datoriei, r.;
1 - rata anuală a dobânzii (în fracțiuni de unitate);
n este durata împrumutului în ani.
La sfârșitul primului an, suma acumulată a datoriei va fi
81 \u003d P + P 1 \u003d P (1 + 1);
la sfarsitul celui de-al doilea an:
82 \u003d 81 + P 1 \u003d P (1 + 1) + P 1 \u003d P (1 + 2 1); la sfarsitul celui de-al treilea an:
83 \u003d 82 + P1 \u003d P (1 + 2 1) + P 1 \u003d P (1 + 3 1) și așa mai departe. La sfârșitul termenului n: 81 \u003d P (1 + n 1).
Aceasta este formula de angajamente la o dobândă simplă.
Trebuie avut în vedere că rata dobânzii și termenul trebuie să corespundă între ele, adică. dacă se ia o rată anuală, atunci perioada trebuie exprimată în ani (dacă trimestrial, atunci perioada trebuie exprimată în trimestre etc.).
Expresia dintre paranteze este acumularea simplă a ratei dobânzii:
Kn \u003d (1 + n 1).
Prin urmare,
81 = R Cartea.
Sarcina 5.1
Banca a emis un împrumut în valoare de 5 milioane de ruble. timp de șase luni la o dobândă simplă de 12% pe an. Stabiliți suma care trebuie plătită.
Soluţie:
8 \u003d 5 milioane (1 + 0,5 ¦ 0,12) \u003d 5.300.000 de ruble.
Dacă termenul pentru care se împrumută banii este dat în zile, suma acumulată va fi egală cu 8 = P (1 + d / K 1),
unde d este durata perioadei în zile;
K este numărul de zile dintr-un an.
Valoarea lui K se numește baza de timp.
Baza de timp poate fi luată egală cu durata efectivă a anului - 365 sau 366 (atunci dobânda se numește exactă) sau aproximativă, egală cu 360 de zile (atunci este vorba de dobândă obișnuită).
Valoarea numărului de zile pentru care se împrumută bani poate fi de asemenea determinată exact sau aproximativ. În acest ultim caz, se presupune că durata oricărei luni întregi este de 30 de zile. În ambele cazuri, data emiterii banilor pe credit și data returnării acestora sunt considerate a fi de o zi.
Sarcina 5.2
Banca a emis un împrumut în valoare de 200 de mii de ruble. de la 12 martie până la 25 decembrie (an bisect) cu o rată de 7% pe an. Determinați suma de rambursare cu diferite opțiuni de bază de timp pentru numărul exact și aproximativ de zile de împrumut și trageți o concluzie despre opțiunile preferate din punctul de vedere al băncii și al împrumutatului.
Soluţie:
Numărul exact de zile de împrumut din 12.03. până la 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Numărul aproximativ de zile de împrumut:
20+8-30+25=285;
a) Dobânda exactă și numărul exact de zile de împrumut:
8 \u003d 200.000 (1 + 289 / 366 ¦ 0,07) \u003d 211.016 ruble;
b) dobânda obișnuită și numărul exact de zile de împrumut:
8 \u003d 200 000 (1 + 289/360 ¦ 0,07) \u003d 211 200;
c) dobânda obișnuită și numărul aproximativ de zile de împrumut:
8= 200.000 (1+285/360 ¦ 0,07) = 211.044;
d) dobânda exactă și numărul aproximativ de zile de împrumut:
8= 200.000 (1+285/366 ¦ 0,07) = 210.863.
Astfel, cea mai mare sumă acumulată va fi în opțiunea b) - dobândă obișnuită cu numărul exact de zile de împrumut, iar cea mai mică - în varianta d) - dobândă exactă cu un număr aproximativ de zile de împrumut.
Prin urmare, din punctul de vedere al băncii ca creditor, este de preferat opțiunea b), iar din punctul de vedere al împrumutatului, opțiunea d).
Trebuie avut în vedere că, în orice caz, dobânda obișnuită este mai benefică pentru creditor, iar dobânda exactă pentru debitor (în orice caz - simplă sau complexă). În primul caz, suma acumulată este întotdeauna mai mare, iar în al doilea caz, este mai mică.
Dacă ratele dobânzilor la diferite intervale de acumulare pe durata datoriei sunt diferite, suma acumulată este determinată de formula
n
8 \u003d P (1 + X n 10,
1=1
unde N este numărul de intervale de calcul al dobânzii;
n - durata primului interval de acumulare;
^ - rata dobânzii pe intervalul I-lea de acumulare.
Sarcina 5.3
Banca acceptă depozite la o dobândă simplă, care este de 10% pentru primul an și apoi crește cu 2 puncte procentuale la fiecare șase luni. Determinați valoarea contribuției la 50 de mii de ruble. cu dobanda dupa 3 ani.
Soluţie:
8 \u003d 50.000 (1 + 0,1 + 0,5 0,12 + 0,5 0,14 + 0,5 0,16 + 0,5 0,18) \u003d 70.000 de ruble.
Folosind formula pentru suma acumulată, puteți determina termenul împrumutului în alte condiții specificate.
Durata împrumutului în ani:
8 - P N = .
R 1
Sarcina 5.4
Determinați termenul împrumutului în ani, pentru care datoria este de 200 de mii de ruble. va crește la 250 de mii de ruble. atunci când se utilizează o dobândă simplă - 16% pe an.
Soluţie:
(250.000 - 200.000) / (200.000 0,16) = 1,56 (ani).
Din formula pentru suma acumulată, puteți determina rata dobânzii simple, precum și suma inițială a datoriei.
Decide pe cont propriu
Sarcina 5.5
La eliberarea unui împrumut de 600 de mii de ruble. s-a convenit ca împrumutatul să returneze 800 de mii de ruble în doi ani. Determinați rata dobânzii utilizată de bancă.
Răspuns: 17%.
Sarcina 5.6
Un împrumut emis la o rată simplă de 15% pe an trebuie rambursat după 100 de zile. Determinați suma primită de împrumutat și suma dobânzii primite de bancă dacă suma care trebuie returnată ar trebui să fie de 500 de mii de ruble. cu o bază de timp de 360 ​​de zile.
Răspuns: 480 000 de ruble.
Operația de găsire a sumei inițiale a datoriei pentru un rambursabil cunoscut se numește actualizare. Într-un sens larg, termenul „actualizare” înseamnă determinarea valorii P a unei valori la un anumit moment în timp, cu condiția ca în viitor să fie egală cu o valoare dată de 8. Astfel de calcule se mai numesc și aducerea indicatorului valoric. la un moment dat în timp, iar valoarea lui P determinată prin actualizare, se numește valoarea modernă sau redusă a valorii costului. Reducerea vă permite să luați în considerare factorul timp în calculele costurilor. Factorul de reducere este întotdeauna mai mic de unu.
Formula de reducere la o dobândă simplă este:
P = 8 / (1 + w), unde 1 / (1 + w) este factorul de reducere.
Metoda decursivă de calcul a dobânzii compuse
În operațiunile financiare și de credit pe termen lung, la suma datoriei se adaugă dobânda după următoarea perioadă de acumulare, iar în perioada următoare se acumulează dobândă la suma totală, adică. cu capitalizarea dobânzii. O astfel de dobândă se numește dobândă compusă, baza pentru acumularea lor crește cu fiecare perioadă de acumulare succesivă.
Suma acumulată pentru n ani folosind o rată anuală constantă a dobânzii compuse 1c este determinată de formula
8 \u003d P (1 + 1s) p.
Sarcina 5.7
Banca a emis un împrumut de 500 de mii de ruble. de 3 ani. Determinați suma care trebuie rambursată utilizând o rată compusă de 18% pe an și suma dobânzii.
Soluţie:
8 \u003d 500.000 (1 + 0,18) 3 \u003d 821.516 ruble.
Bani cu dobândă \u003d 821.516 - 500.000 \u003d 321.516 ruble.
Calculul dobânzii compuse pentru un termen de împrumut mai mare de un an oferă o sumă mai mare de bani de dobândă decât calculul dobânzii simple.
Dacă dobânda compusă este calculată de mai multe ori pe an (pe luni, trimestre, semestri), atunci se folosește rata nominală a dobânzii - rata anuală, pe baza căreia se determină rata dobânzii aplicată în fiecare perioadă de acumulare.
Suma acumulată este determinată de formulă
8 \u003d P (1 + ] / t) tp, unde ] - rata nominală a dobânzii compuse, fracție zecimală;
m - numărul de perioade de acumulare a dobânzii într-un an;
n este termenul împrumutului în ani;
] / t - rata dobânzii în fiecare perioadă de angajare, fracție zecimală.
Sarcina 5.8
Banca acumulează trimestrial dobândă la depozite la o rată nominală de 16% pe an. Determinați suma primită de investitor după 5 ani, dacă suma inițială a depozitului este de 100 de mii de ruble.
Soluţie:
8 \u003d 100.000 (1 + 0,16 / 4) 4 x 5 \u003d 219 112,2 ruble.
Din formula pentru suma acumulată, puteți determina valoarea sumei emise împrumutatului, adică. reduceți suma 8 la rata dobânzii compuse.
Decide pentru tine
Sarcina 5.9
Determinați valoarea actuală a sumei de 500 de mii de ruble, care va fi plătită în 3 ani folosind o rată a dobânzii compusă de 20% pe an.
Răspuns: 289 351,8 ruble.
Se determină termenul împrumutului (din formula sumei acumulate).
n \u003d 1od (8 / R) / 1od (1 + 1).
Logaritmii pot fi luați cu orice baze egale.
Sarcina 5.10
Banca percepe dobândă compusă la o rată de 12% pe an. Determinați perioada în ani pentru care suma depozitului de 25 de mii de ruble. va crește la 40 de mii de ruble.
Răspuns: 4,15 ani.
Sarcina 5.11
Suma datoriei s-a dublat în 3 ani. Determinați rata anuală a dobânzii compuse utilizată.
Răspuns: 26%.
Metoda antisipativă de calcul a dobânzii simple (ratele simple de actualizare)
Atunci când se utilizează rate de actualizare, suma de bani din dobândă din împrumutul de bani este determinată pe baza sumei care trebuie returnată, adică suma împrumutului primit nu este suma primită, ci suma acumulată. Dobânzile acumulate la o rată de actualizare sunt reținute imediat după emiterea unui împrumut, iar împrumutatul primește imediat suma împrumutului minus dobânzile. O astfel de operațiune se numește reducere la o rată de scont, precum și contabilitate bancară sau comercială. Suma dobânzii percepute la rata de actualizare se numește reducere.
Suma primită de împrumutat este determinată de formula
P \u003d 8 (1 - n-lea),
unde d - rata de actualizare simplă;
(1 - n e) - factor de reducere la o rată de actualizare simplă.
Din formula se poate observa că, spre deosebire de ratele creditelor, ratele de actualizare nu pot lua nicio valoare, factorul de actualizare nu poate fi negativ, adică. n^e trebuie să fie strict mai mic de unu. Valorile lui e apropiate de limită nu sunt întâlnite în practică. Sarcina 5.12
Împrumutatul ia un împrumut pentru un sfert cu obligația de a returna 100 de mii de ruble. Determinați suma primită de împrumutat și suma reducerii reținute de bancă la o rată de actualizare de 15% pe an.
Soluţie:
P \u003d 100.000 (1 - 0,25 x 0,15) \u003d 96.250 ruble.
Reducere \u003d 8 - P \u003d 100.000 - 96.250 \u003d 3.750 de ruble.
Dacă termenul de împrumut este dat în zile (d), suma primită de împrumutat va fi determinată prin formula
P = 8 (1 - a d / K),
unde K este numărul de zile dintr-un an (baza de timp).
Decide pentru tine
Sarcina 5.13
Determinați suma primită de împrumutat și suma reducerii primite de bancă dacă, conform contractului, împrumutatul trebuie să returneze 100 de mii de ruble în 200 de zile. la o rată de actualizare bancară de 10% pe an și o bază de timp de 360 ​​de zile.
Răspuns: 94 444,44 ruble; 5 555,56r.
În practică, ratele de actualizare sunt utilizate la cumpărarea (contabilitatea) biletelor la ordin și a altor obligații bănești. În acest caz, banca sau altă instituție financiară cumpără cambia de la proprietar (furnizor) înainte de scadență la un preț mai mic decât suma care trebuie plătită asupra acesteia la sfârșitul termenului sau, după cum se spune, banca reduce factura. Proprietarul cambiei primește în același timp bani mai devreme decât termenul indicat în factură, minus venitul băncii sub formă de reducere. Banca, după ce a primit la scadență suma indicată în cambie, realizează (primește) reducerea.
Operațiunea specificată poate fi considerată ca acordarea unui împrumut de către bancă în suma indicată în cambie, la rata de actualizare utilizată la contabilizarea acesteia, pe o perioadă egală cu perioada de la data contabilizării până la data răscumpărării cambiei. . In consecinta, suma emisa proprietarului facturii reduse va fi determinata de formula
P \u003d 8 (1 - Dp-e) \u003d 8 (1 - e-Dd / K), unde Dp \u003d Dd / K - perioada în zile de la data contabilizării până la data rambursării facturii;
Hell - numărul de zile de la data contabilizării până la data rambursării facturii.
Sarcina 5.14
La contabilizarea unei facturi în valoare de 100 de mii de ruble, până la data scadenței din care au mai rămas 80 de zile, banca și-a plătit proprietarului 98 de mii de ruble. Determinați ce rată de actualizare a folosit banca cu o bază de timp de 360 ​​de zile.
Soluţie:
e \u003d (100.000 - 98.000) x 360 / (100.000 x 80) \u003d 0,09 \u003d 9%.
Decide pentru tine
Sarcina 5.15
O factură în valoare de 200 de mii de ruble. contabilitate în bancă cu 30 de zile înainte de scadență la o rată de actualizare de 15% pe an. Determinați suma primită de titularul cambiei și suma reducerii primite de bancă, cu o bază de timp de 360 ​​de zile.
Răspuns: 197 500 de ruble; 2 500 de ruble.
Sarcina 5.16
Banca emite împrumuturi la o rată de actualizare de 15% pe an. Determinați termenul împrumutului în ani dacă împrumutatul dorește să primească 500 de mii de ruble, iar suma rambursată ar trebui să fie de 550 de mii de ruble
. Răspuns: 0,61 ani.
Metoda antisipativă de calcul a dobânzii compuse (ratele de actualizare compuse)
Să introducem următoarea notație:
ёс - rata de actualizare complexă;
^ - rata de actualizare anuală nominală (utilizată atunci când dobânda este calculată la rata de actualizare de mai multe ori pe an);
Formula de reducere la o rată de actualizare compusă:
P \u003d 8 (1 - da) p.
Suma acumulată după n ani: 8 = P / (1 - Ds) p.
Aici 1 / (1 - ds)p - coeficientul de acumulare la o rată de actualizare complexă.
Dacă dobânda la împrumut și rata de actualizare sunt egale, acumularea sumei inițiale în al doilea caz (prin metoda antisipativă) este mai rapidă. Prin urmare, în literatura de specialitate se poate găsi afirmația că metoda decursivă de calcul a dobânzii este mai benefică pentru împrumutat, iar metoda antisipativă este mai benefică pentru creditor. Totuși, acest lucru poate fi considerat echitabil doar pentru dobânzi mici, atunci când discrepanța nu este atât de semnificativă. Dar pe măsură ce rata dobânzii crește, diferența dintre sumele acumulate devine uriașă (și crește odată cu creșterea %), iar compararea acestor două metode își pierde orice sens.
Din formula rezultă că rata de actualizare poate lua doar valori strict mai mici de 100%. Suma acumulată crește rapid odată cu creșterea ratei de actualizare, tinde spre infinit.
Dacă rata de actualizare se modifică pe durata împrumutului:
n
8 \u003d R / P (1 - n-lea).
1=1
Aici n1, n2, ... nN este durata intervalelor de acumulare în ani;
d1, ... ^ - ratele de actualizare în aceste intervale;
Dacă dobânda este calculată de m ori pe an, atunci
8 = P/(1 - G/t)™
Dacă efectuăm calculele 8 pentru diferite tipuri de dobânzi (împrumuturi simple și compuse și rate de actualizare) cu același P și dobânzi, atunci cea mai mare creștere de capital se va obține în cazul acumulării dobânzii la o rată de actualizare simplă.
Sarcina 5.17
Valoarea inițială a datoriei este de 25 de mii de ruble. Determinați suma acumulată după 3 ani folosind metodele decursive și antisipative de calcul a dobânzii. Rata anuală a dobânzii - 25%.
Soluţie:
\u003d 25.000 (1 + 0,25) 3 \u003d 48.828,125 ruble;
\u003d 25.000 (1 - 0,25) -3 \u003d 59.255,747 ruble.
Decide pentru tine
Sarcina 5.18
Determinați valoarea actuală a sumei de 120.000 de ruble, care va fi plătită în 2 ani folosind o rată de actualizare complexă de 20% pe an.
Raspuns: 76 800 r
Problema 5.19.
Determinați sumele acumulate pentru diferite tipuri de rate ale dobânzii în aceleași condiții inițiale: P = 10.000 de ruble, rata dobânzii = 10%.
Rezultatele calculului sunt rezumate într-un tabel și ratele de variație sunt comparate. Tipul ratei și formula de calcul 8 Termp = 1 Termp =3 Termp =6 Împrumut simplu: 8 = Р (1 + t) 11.000 13.000 16.000 \u003d R e] p 11 044 Contabilitate simplă: 8 \u003d P / (1 - dp) Contabilitate complexă: 8 \u003d P / (1 - d) p
De exemplu, linia de sus arată rezultatele calculării sumelor acumulate la o rată simplă de împrumut cu termene de împrumut egale cu unu, trei și șase ani. Rândurile goale trebuie să fie completate de dvs.
În formula de calcul pentru calculul continuu al dobânzii, e este baza logaritmului natural. Pentru n = 1: 8 = 10.000 x 2,701 x 1 = 11.044.
Dobânzi echivalente Dobânzile echivalente sunt acele rate de diferite tipuri, a căror aplicare, în aceleași condiții inițiale, dă aceleași rezultate financiare. Ele trebuie să fie cunoscute atunci când există o alegere de termeni pentru tranzacțiile financiare și este nevoie de un instrument pentru a compara corect diferitele rate ale dobânzii.
Ecuațiile de echivalență sunt utilizate pentru a găsi rate echivalente ale dobânzii. Este selectată o valoare care poate fi calculată folosind diferite tipuri de rate (de obicei, aceasta este o sumă acumulată). Pe baza egalității a două expresii pentru o valoare dată, se alcătuiește o ecuație de echivalență din care, prin transformări corespunzătoare, se obține un raport care exprimă relația dintre ratele dobânzii de diferite tipuri. De exemplu, pentru a găsi o rată de actualizare simplă care este echivalentă cu o rată simplă de împrumut, ecuația de echivalență ar fi
P (1 + w) \u003d P / (1 - nj) sau (1 + w) \u003d 1 / (1 - nj), adică. este necesar să se echivaleze factorii de creștere corespunzători. Prin urmare, th = 1 / (1 + w) și 1 = th / (1 - nth).
Sarcina 5.20
Scadența obligației datoriei este de șase luni, rata simplă de actualizare este de 18%. Care este randamentul acestei operațiuni, măsurat ca o simplă rată a dobânzii?
Soluţie:
1 = 0,18 / (1 - 0,5 x 0,18) = 0,198 = 19,8%. Pentru a găsi echivalența dintre rata anuală compusă a creditului și rata anuală compusă a creditului nominal, echivalăm expresiile: (1 + dp = (1 + Ut)™
Prin urmare, 1c \u003d (1 + Ym) m - 1.
Rata dobânzii compusă anuală rezultată, care este echivalentă cu rata dobânzii nominale, se numește rata dobânzii compusă efectivă. Trebuie să-l cunoașteți pentru a determina randamentul real sau pentru a compara dobânda atunci când sunt utilizate diferite intervale de acumulare.
Sarcina 5.21
Calculați rata dobânzii compuse efective dacă rata nominală este de 24% și dobânda este compusă lunar.
Soluţie:
1s = (1 + 0,24 / 12)12 - 1 = 0,268 = 26,8%.
Sarcina 5.22
Determinați la ce rată a dobânzii este mai profitabil să plasați un capital de 10.000 de mii de ruble. pentru 5 ani:
a) la o rată a împrumutului simplu de 20% pe an;
b) la o rată compusă a creditului de 12% pe an cu dobândă trimestrială.
Soluţie:
Aici nu este necesar să se calculeze suma acumulată la rate diferite. Prin urmare, dimensiunea capitalului inițial nu este importantă. Este suficient, de exemplu, să găsiți o rată simplă a dobânzii echivalentă cu o anumită rată compusă, adică utilizați formula
1 = [(1 + ] / m)m - 1] / n = [(1 + 0,12 / 4)20 - 1] / 5 = 0,1612 = 16,12%.
Întrucât dobânda simplă de 16,12%, care ar da același rezultat ca dobânda compusă dată (12%), este semnificativ mai mică decât rata propusă în prima opțiune (20%), este clar că prima opțiune de investiție (la o rată simplă de 20% pe an) este mult mai profitabilă. .
Acum să calculăm sumele acumulate în ambele cazuri:
a) 8 \u003d 10.000 (1 + 5 x 0,2) \u003d 20.000 mii de ruble;
b) 8 \u003d 10.000 (1 + 0,12 / 4) 20 \u003d 18.061 mii de ruble.
Rezultatul obținut confirmă concluzia anterioară că prima opțiune este mai profitabilă, deoarece oferă o cantitate mare de acumulare. În același timp, utilizarea ratelor echivalente reduce la jumătate calculele.
Decide pentru tine
Sarcina 5.23
Biletul la ordin a fost actualizat cu trei luni înainte de scadență la o rată de actualizare de 20% pe an. Determinați valoarea ratei echivalente a dobânzii simple, care determină rentabilitatea operațiunii contabile.
Răspuns: 21,1%.
Sarcina 5.24
Dobânda simplă este de 20% pe an. Determinați valoarea ratei de actualizare echivalentă cu aceasta atunci când acordați un împrumut pe șase luni.
Răspuns: 18%.
Sarcina 5.25
A fost acordat un împrumut pe doi ani la o dobândă compusă de 16% pe an. Determinați valoarea ratei de actualizare echivalente la acordarea unui împrumut pe șase luni.
Răspuns: 14,5%.
Problema 5.26
Certificatul de depozit pe o perioadă de cinci ani acumulează dobândă simplă la împrumut la o rată de 15% pe an. Determinați rata dobânzii compuse echivalente.
Răspuns: 11,84%.
Sarcina 5.27
Banca acumulează lunar dobândă la depozite la o rată anuală nominală de 12% pe an. Calculați rentabilitatea investiției la rata dobânzii anuale compuse.
Răspuns: 12,68%.
Se pot trage următoarele concluzii:
Valoarea ratei efective este mai mare decât valoarea ratei nominale și coincid la m = 1.
O rată de actualizare simplă este întotdeauna mai mică decât alte rate echivalente cu ea (deoarece acumularea la această rată, celelalte lucruri fiind egale, este întotdeauna mai rapidă).
Echivalența diferitelor rate ale dobânzii nu depinde de valoarea sumei inițiale P (se presupune că suma inițială este aceeași).
Echivalența ratelor dobânzilor depinde întotdeauna de durata perioadei de acumulare a dobânzii, cu excepția cazurilor de echivalență între ratele dobânzilor compuse de diferite tipuri (dacă perioada de acumulare este aceeași).