Oamenii s-au gândit mereu la viitorul lor. Au încercat și încearcă să se protejeze pe ei înșiși, copiii și nepoții lor de dificultăți financiare, construind cel puțin o mică insulă de încredere în viitor. Începând să-l construiți acum cu ajutorul unor depozite bancare mici, vă puteți asigura stabilitatea și independența în viitor.
Principiul de bază al operațiunilor bancare este că fondurile pot crește doar atunci când sunt în circulație constantă. Pentru ca clienții să navigheze cu încredere în domeniul serviciilor financiare și să poată alege condițiile potrivite care le sunt benefice într-o anumită perioadă de timp, trebuie să cunoașteți o serie de reguli simple. Acest articol se va concentra asupra investițiilor pe termen lung care permit pentru un anumit număr de ani de la o cantitate relativ mică de capital inițial să obțină un profit semnificativ sau să utilizeze depozitul în continuare, retrăgând angajamente pentru nevoile de zi cu zi.
Pentru calcularea corectă a profitului este necesară efectuarea unor operații aritmetice simple pe baza formulelor de mai jos.
De exemplu, decideți să puneți 100.000,00 de ruble. la 11% pe an pentru a profita de economii în 10 ani, care au crescut semnificativ ca urmare a capitalizării. Pentru a calcula suma totală, ar trebui să aplicați metoda de calcul a dobânzii compuse.
Utilizarea dobânzii compuse presupune că la sfârșitul fiecărei perioade (an, trimestru, lună) se adaugă la contribuție profitul acumulat. Suma primită stă la baza creșterii ulterioare a profitului.
Pentru a calcula dobânda compusă, folosim o formulă simplă:
Înlocuind valorile în această formulă, vedem că:
după 5 ani suma va fi freca.,
si in 10 ani va fi 
freca.
Dacă am calcula pentru o perioadă scurtă, atunci ar fi mai convenabil să calculăm dobânda compusă folosind formula
Dar pentru cei care consideră că este mai convenabil să retragă lunar dobânda pe un depozit, este mai bine să vă familiarizați cu conceptul „Capitalizarea depozitului”, implicând calculul dobânzii simple.
Graficul arată cum va crește capitalul atunci când dobânda la depozit este capitalizată, dacă investiți 100.000,00 ruble. timp de 10 ani la 10%, 15% și 20%
Există o altă metodă, mai profitabilă pentru client, de acumulare și adăugare a unei rate a dobânzii – lunar. Pentru aceasta, se aplică următoarea formulă:
unde n corespunde și numărului de tranzacții de capitalizare, dar este deja exprimat în luni. Indicatorul procentual de aici este împărțit suplimentar la 12, deoarece există 12 luni într-un an și trebuie să calculăm rata lunară a dobânzii.
Dacă s-ar folosi această formulă pentru acumularea trimestrială a depozitului, atunci procentul anual ar fi împărțit la 4, iar indicatorul n ar fi egal cu numărul de trimestre, iar dacă dobânda ar fi calculată pe jumătate de ani, atunci dobânda rata ar fi împărțită la 2, iar denumirea n ar corespunde numărului de semestri.
Deci, dacă am făcut o contribuție în valoare de 100.000,00 ruble. cu capitalizarea lunară a dobânzii, atunci:
dupa 5 ani (60 luni) suma depozitului ar fi crescut la 172.891,57 ruble, adică aproximativ 10.000 de ruble. mai mult decât în cazul valorificării anuale a depozitului; 
freca.
și după 10 ani (120 luni) suma „acumulată” s-ar fi ridicat la 298.914,96 ruble, ceea ce înseamnă deja până la 15.000 de ruble. depășește cifra calculată folosind formula dobânzii compuse, care prevede calculul în ani.
freca.
Aceasta înseamnă că randamentul dobânzii lunare este mai mare decât al dobânzii anuale. Și dacă profitul nu este retras, atunci dobânda compusă funcționează în favoarea deponentului.
Formulele dobânzii compuse descrise mai sus sunt cel mai probabil exemple ilustrative pentru ca clienții să înțeleagă cum este calculată dobânda compusă. Aceste calcule sunt oarecum mai simple decât formula aplicata de banci la depozitele bancare reale.
Unitatea folosită aici este coeficientul ratei dobânzii pentru depozit (p). Se calculeaza astfel:
Dobânda compusă („suma acumulată”) pentru depozitele bancare se calculează folosind următoarea formulă:
Pe baza acestuia și luând ca exemplu aceleași date, vom calcula dobânda compusă folosind metoda bancară.
În primul rând, determinăm coeficientul ratei dobânzii pentru depozit:
Acum înlocuim datele în formula principală:
freca. - aceasta este suma depozitului, „in creștere” pe 5 ani*;
freca. - timp de 10 ani*.
*Calculele din exemple sunt aproximative, deoarece nu iau în considerare anii bisecți și numărul variabil de zile dintr-o lună.
Dacă comparăm sumele din aceste două exemple cu cele anterioare, atunci ele sunt ceva mai mici, dar totuși beneficiul din capitalizarea dobânzii este evident. Prin urmare, dacă sunteți hotărât să puneți bani în bancă pentru o lungă perioadă de timp, atunci este mai bine să faceți un calcul preliminar al profitului folosind formula „bancară” - acest lucru vă va ajuta să evitați dezamăgirea.
Dispoziții generale
Aproape toate calculele financiare și economice, într-un fel sau altul, sunt legate de calculul dobânzii. În practica bancară se utilizează dobânda simplă și compusă.
Banii de dobândă (dobânda) reprezintă suma veniturilor din împrumutul de bani sub diferite forme (împrumuturi, deschidere de conturi de depozit, cumpărare de obligațiuni, închiriere de echipamente etc.).
Suma dobânzii depinde de trei factori:
valoarea datoriei principale (suma împrumutului);
data scadenței;
rata dobânzii, care caracterizează intensitatea acumulării dobânzii.
Dobânda poate fi plătită pe măsură ce se acumulează sau adăugată la suma datorată. O creștere a valorii datoriei datorată adăugării dobânzii acumulate se numește creșterea valorii inițiale a datoriei.
Raportul dintre suma acumulată și suma inițială a datoriei se numește multiplicator (coeficient) de acumulare (KN):
Kn \u003d 8 / R,
unde 8 - suma acumulată (rambursată);
R este valoarea inițială a datoriei.
KN este întotdeauna mai mare decât unu.
Intervalul de timp pentru care se calculează dobânda se numește perioadă de acumulare.
La utilizarea ratelor simple ale dobânzii, suma de bani dobânzi pe întreaga durată a datoriei se determină pe baza sumei sale inițiale, indiferent de perioadele de acumulare și de durata acestora, i.e. nu există capitalizarea dobânzii (cumularea dobânzii la dobândă).
La utilizarea ratelor compuse, dobânda acumulată pentru perioada anterioară se adaugă la valoarea datoriei și se acumulează dobândă pentru acestea în perioada următoare (se realizează capitalizarea dobânzii).
Valoarea ratelor în sine (atât simple, cât și complexe) se poate modifica sau rămâne neschimbată. Dacă rata dobânzii se modifică, dar nu există capitalizare, adică dobânda se percepe întotdeauna la aceeași sumă, atunci va fi simplu. Dacă există capitalizare chiar și la rate constante ale dobânzii, atunci dobânda este compusă.
Atât dobânda simplă, cât și cea compusă pot fi calculate în două moduri:
decursiv - dobânda se calculează la sfârșitul fiecărui interval;
antisipativ - dobânda se calculează la începutul fiecărui interval.
În primul caz, suma dobânzii este determinată în funcție de suma împrumutului. Rata dobânzii decursivă se numește dobândă la împrumut. Acesta este raportul dintre suma venitului acumulat pe intervalul de timp și suma inițială (suma la începutul intervalului de calcul al dobânzii):
1 = Venit x 100% / R.
Cu metoda antisipativă (preliminară) de calcul a dobânzii, suma de bani a dobânzii este determinată pe baza sumei acumulate. Rata dobânzii (ё) se numește contabilă sau antisipativă:
e \u003d Venit x 100% / 8.
Metoda decursivă este mai frecventă în practica mondială.
Luați în considerare diferitele tipuri de rate și metode de calculare a acestora în conformitate cu următorul plan:
rate simple decursive ale dobânzii;
rate ale dobânzii decursive compuse;
tarife simple antisipative (reducere);
rate complexe antisipative (reducere);
rate echivalente ale dobânzii.
Metoda decursivă de calcul a dobânzii simple
Acumularea ratelor simple este utilizată, de regulă, pentru creditarea pe termen scurt.
Să introducem notația:
8 - cantitate acumulată, frecare;
R - suma inițială a datoriei, r.;
1 - rata anuală a dobânzii (în fracțiuni de unitate);
n este durata împrumutului în ani.
La sfârșitul primului an, suma acumulată a datoriei va fi
81 \u003d P + P 1 \u003d P (1 + 1);
la sfarsitul celui de-al doilea an:
82 \u003d 81 + P 1 \u003d P (1 + 1) + P 1 \u003d P (1 + 2 1); la sfarsitul celui de-al treilea an:
83 \u003d 82 + P1 \u003d P (1 + 2 1) + P 1 \u003d P (1 + 3 1) și așa mai departe. La sfârșitul termenului n: 81 \u003d P (1 + n 1).
Aceasta este formula de angajamente la o dobândă simplă.
Trebuie avut în vedere că rata dobânzii și termenul trebuie să corespundă între ele, adică. dacă se ia o rată anuală, atunci perioada trebuie exprimată în ani (dacă trimestrial, atunci perioada trebuie exprimată în trimestre etc.).
Expresia dintre paranteze este acumularea simplă a ratei dobânzii:
Kn \u003d (1 + n 1).
Prin urmare,
81 = R Cartea.
Sarcina 5.1
Banca a emis un împrumut în valoare de 5 milioane de ruble. timp de șase luni la o dobândă simplă de 12% pe an. Stabiliți suma care trebuie plătită.
Soluţie:
8 \u003d 5 milioane (1 + 0,5 ¦ 0,12) \u003d 5.300.000 de ruble.
Dacă termenul pentru care se împrumută banii este dat în zile, suma acumulată va fi egală cu 8 = P (1 + d / K 1),
unde d este durata perioadei în zile;
K este numărul de zile dintr-un an.
Valoarea lui K se numește baza de timp.
Baza de timp poate fi luată egală cu durata efectivă a anului - 365 sau 366 (atunci dobânda se numește exactă) sau aproximativă, egală cu 360 de zile (atunci este vorba de dobândă obișnuită).
Valoarea numărului de zile pentru care se împrumută bani poate fi, de asemenea, determinată exact sau aproximativ. În acest ultim caz, se presupune că durata oricărei luni întregi este de 30 de zile. În ambele cazuri, data emiterii banilor pe credit și data returnării acestora sunt considerate a fi de o zi.
Sarcina 5.2
Banca a emis un împrumut în valoare de 200 de mii de ruble. de la 12 martie până la 25 decembrie (an bisect) cu o rată de 7% pe an. Determinați suma de rambursare cu diferite opțiuni de bază de timp pentru numărul exact și aproximativ de zile ale împrumutului și trageți o concluzie despre opțiunile preferate din punctul de vedere al băncii și al împrumutatului.
Soluţie:
Numărul exact de zile de împrumut din 12.03. până la 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Numărul aproximativ de zile de împrumut:
20+8-30+25=285;
a) Dobânda exactă și numărul exact de zile de împrumut:
8 \u003d 200.000 (1 + 289 / 366 ¦ 0,07) \u003d 211.016 ruble;
b) dobânda obișnuită și numărul exact de zile de împrumut:
8 \u003d 200 000 (1 + 289/360 ¦ 0,07) \u003d 211 200;
c) dobânda obișnuită și numărul aproximativ de zile de împrumut:
8= 200.000 (1+285/360 ¦ 0,07) = 211.044;
d) dobânda exactă și numărul aproximativ de zile de împrumut:
8= 200.000 (1+285/366 ¦ 0,07) = 210.863.
Astfel, cea mai mare sumă acumulată va fi în opțiunea b) - dobândă obișnuită cu numărul exact de zile de împrumut, iar cea mai mică - în opțiunea d) - dobândă exactă cu un număr aproximativ de zile de împrumut.
Prin urmare, din punctul de vedere al băncii ca creditor, este de preferat opțiunea b), iar din punctul de vedere al împrumutatului, opțiunea d).
Trebuie avut în vedere că, în orice caz, dobânda obișnuită este mai benefică pentru creditor, iar dobânda exactă pentru debitor (în orice caz - simplă sau complexă). În primul caz, suma acumulată este întotdeauna mai mare, iar în al doilea caz, este mai mică.
Dacă ratele dobânzilor la diferite intervale de acumulare pe durata datoriei sunt diferite, suma acumulată este determinată de formula
n
8 \u003d P (1 + X n 10,
1=1
unde N este numărul de intervale de calcul al dobânzii;
n - durata primului interval de acumulare;
^ - rata dobânzii la intervalul I-lea de acumulare.
Sarcina 5.3
Banca acceptă depozite la o dobândă simplă, care este de 10% pentru primul an și apoi crește cu 2 puncte procentuale la fiecare șase luni. Determinați valoarea contribuției la 50 de mii de ruble. cu dobanda dupa 3 ani.
Soluţie:
8 \u003d 50.000 (1 + 0,1 + 0,5 0,12 + 0,5 0,14 + 0,5 0,16 + 0,5 0,18) \u003d 70.000 de ruble.
Folosind formula pentru suma acumulată, puteți determina termenul împrumutului în alte condiții specificate.
Durata împrumutului în ani:
8 - P N = .
R 1
Sarcina 5.4
Determinați termenul împrumutului în ani, pentru care datoria este de 200 de mii de ruble. va crește la 250 de mii de ruble. atunci când se utilizează o dobândă simplă - 16% pe an.
Soluţie:
(250.000 - 200.000) / (200.000 0,16) = 1,56 (ani).
Din formula pentru suma acumulată, puteți determina rata dobânzii simple, precum și suma inițială a datoriei.
Decide pe cont propriu
Sarcina 5.5
La eliberarea unui împrumut de 600 de mii de ruble. s-a convenit ca împrumutatul să returneze 800 de mii de ruble în doi ani. Determinați rata dobânzii utilizată de bancă.
Răspuns: 17%.
Sarcina 5.6
Un împrumut emis la o rată simplă de 15% pe an trebuie rambursat după 100 de zile. Determinați suma primită de împrumutat și suma dobânzii primite de bancă dacă suma care trebuie returnată ar trebui să fie de 500 de mii de ruble. cu o bază de timp de 360 de zile.
Răspuns: 480 000 de ruble.
Operația de găsire a sumei inițiale a datoriei pentru un rambursabil cunoscut se numește actualizare. Într-un sens larg, termenul „actualizare” înseamnă determinarea valorii P a unei valori la un anumit moment în timp, cu condiția ca în viitor să fie egală cu o valoare dată de 8. Astfel de calcule se mai numesc și aducerea indicatorului de valoare. la un moment dat în timp, iar valoarea lui P determinată prin actualizarea , se numește valoarea modernă sau redusă a valorii costului. Reducerea vă permite să luați în considerare factorul timp în calculele costurilor. Factorul de reducere este întotdeauna mai mic de unu.
Formula de actualizare la o dobândă simplă este:
P = 8 / (1 + w), unde 1 / (1 + w) este factorul de reducere.
Metoda decursivă de calcul a dobânzii compuse
În operațiunile financiare și de credit pe termen lung, la suma datoriei se adaugă dobânda după următoarea perioadă de acumulare, iar în perioada următoare se acumulează dobândă la suma totală, adică. cu capitalizarea dobânzii. O astfel de dobândă se numește dobândă compusă, baza pentru acumularea lor crește cu fiecare perioadă de acumulare succesivă.
Suma acumulată pentru n ani folosind o rată anuală constantă a dobânzii compuse 1c este determinată de formula
8 \u003d P (1 + 1s) p.
Sarcina 5.7
Banca a emis un împrumut de 500 de mii de ruble. de 3 ani. Determinați suma care trebuie rambursată utilizând o rată compusă de 18% pe an și suma dobânzii.
Soluţie:
8 \u003d 500.000 (1 + 0,18) 3 \u003d 821.516 ruble.
Bani cu dobândă \u003d 821.516 - 500.000 \u003d 321.516 ruble.
Calculul dobânzii compuse pentru un termen de împrumut mai mare de un an oferă o sumă mai mare de bani de dobândă decât calculul dobânzii simple.
Dacă dobânda compusă este calculată de mai multe ori pe an (pe luni, trimestre, semestri), atunci se utilizează rata nominală a dobânzii - rata anuală, pe baza căreia se determină rata dobânzii aplicată în fiecare perioadă de angajare.
Suma acumulată este determinată de formulă
8 \u003d P (1 + ] / t) tp, unde ] - rata nominală a dobânzii compuse, fracție zecimală;
m - numărul de perioade de acumulare a dobânzii într-un an;
n este termenul împrumutului în ani;
] / t - rata dobânzii în fiecare perioadă de angajare, fracție zecimală.
Sarcina 5.8
Banca acumulează trimestrial dobândă la depozite la o rată nominală de 16% pe an. Determinați suma primită de investitor după 5 ani, dacă suma inițială a depozitului este de 100 de mii de ruble.
Soluţie:
8 \u003d 100.000 (1 + 0,16 / 4) 4 x 5 \u003d 219 112,2 ruble.
Din formula pentru suma acumulată, puteți determina valoarea sumei emise împrumutatului, adică. reduceți suma 8 la rata dobânzii compuse.
Decide pentru tine
Sarcina 5.9
Determinați valoarea actuală a sumei de 500 de mii de ruble, care va fi plătită în 3 ani folosind o rată a dobânzii compusă de 20% pe an.
Răspuns: 289 351,8 ruble.
Se determină termenul împrumutului (din formula sumei acumulate).
n \u003d 1od (8 / P) / 1od (1 + 1).
Logaritmii pot fi luati cu orice baze egale.
Sarcina 5.10
Banca percepe dobândă compusă la o rată de 12% pe an. Determinați perioada în ani pentru care suma depozitului de 25 de mii de ruble. va crește la 40 de mii de ruble.
Răspuns: 4,15 ani.
Sarcina 5.11
Suma datoriei s-a dublat în 3 ani. Determinați rata anuală a dobânzii compuse utilizată.
Răspuns: 26%.
Metoda antisipativă de calcul a dobânzii simple (ratele simple de actualizare)
Atunci când se utilizează rate de actualizare, suma de bani din dobândă din împrumutul de bani este determinată pe baza sumei care trebuie returnată, adică suma împrumutului primit nu este suma primită, ci suma acumulată. Banii cu dobânzi acumulate la o rată de actualizare sunt reținuți imediat după emiterea unui împrumut, iar împrumutatul primește suma împrumutului imediat minus banii dobânzii. O astfel de operațiune se numește reducere la o rată de scont, precum și contabilitate bancară sau comercială. Suma dobânzii percepute la rata de actualizare se numește reducere.
Suma primită de împrumutat este determinată de formula
P \u003d 8 (1 - n-lea),
unde d - rata de actualizare simplă;
(1 - n e) - factor de reducere la o rată de actualizare simplă.
Din formula se poate observa că, spre deosebire de ratele creditelor, ratele de actualizare nu pot lua nicio valoare, factorul de actualizare nu poate fi negativ, adică. n^e trebuie să fie strict mai mic de unu. Valorile lui e apropiate de limită nu sunt întâlnite în practică. Sarcina 5.12
Împrumutatul ia un împrumut pentru un sfert cu obligația de a returna 100 de mii de ruble. Determinați suma primită de împrumutat și suma reducerii reținute de bancă la o rată de actualizare de 15% pe an.
Soluţie:
P \u003d 100.000 (1 - 0,25 x 0,15) \u003d 96.250 ruble.
Reducere \u003d 8 - P \u003d 100.000 - 96.250 \u003d 3.750 de ruble.
Dacă termenul de împrumut este dat în zile (d), suma primită de împrumutat va fi determinată prin formula
P = 8 (1 - a d / K),
unde K este numărul de zile dintr-un an (baza de timp).
Decide pentru tine
Sarcina 5.13
Determinați suma primită de împrumutat și suma reducerii primite de bancă dacă, conform contractului, împrumutatul trebuie să returneze 100 de mii de ruble în 200 de zile. la o rată de actualizare bancară de 10% pe an și o bază de timp de 360 de zile.
Răspuns: 94 444,44 ruble; 5 555,56r.
În practică, ratele de actualizare sunt utilizate la cumpărarea (contabilitatea) biletelor la ordin și a altor obligații bănești. În acest caz, banca sau altă instituție financiară cumpără nota de la proprietar (furnizor) înainte de scadență la un preț mai mic decât suma care trebuie plătită pe aceasta la sfârșitul termenului sau, după cum se spune, reducerile bancare. factura. Proprietarul cambiei primește în același timp bani mai devreme decât termenul indicat în factură, minus venitul băncii sub formă de reducere. Banca, după ce a primit la scadență suma indicată în factură, realizează (primește) reducerea.
Operațiunea specificată poate fi considerată ca emiterea unui împrumut de către bancă în suma indicată în cambie, la rata de actualizare utilizată la contabilizarea acesteia, pe o perioadă egală cu perioada de la data contabilizării până la data răscumpărării cambiei. . In consecinta, suma emisa proprietarului facturii reduse va fi determinata de formula
P \u003d 8 (1 - Dp-e) \u003d 8 (1 - e-Dd / K), unde Dp \u003d Dd / K - perioada în zile de la data contabilizării până la data rambursării facturii;
Hell - numărul de zile de la data contabilizării până la data rambursării facturii.
Sarcina 5.14
La contabilizarea unei facturi în valoare de 100 de mii de ruble, până la data scadenței din care au mai rămas 80 de zile, banca și-a plătit proprietarului 98 de mii de ruble. Determinați ce rată de actualizare a folosit banca cu o bază de timp de 360 de zile.
Soluţie:
e \u003d (100.000 - 98.000) x 360 / (100.000 x 80) \u003d 0,09 \u003d 9%.
Decide pentru tine
Sarcina 5.15
O factură în valoare de 200 de mii de ruble. contabilitate în bancă cu 30 de zile înainte de scadență la o rată de actualizare de 15% pe an. Determinați suma primită de titularul cambiei și suma reducerii primite de bancă, cu o bază de timp de 360 de zile.
Răspuns: 197 500 de ruble; 2 500 de ruble.
Sarcina 5.16
Banca emite credite la o rată de actualizare de 15% pe an. Determinați termenul împrumutului în ani dacă împrumutatul dorește să primească 500 de mii de ruble, iar suma rambursată ar trebui să fie de 550 de mii de ruble
. Răspuns: 0,61 ani.
Metoda antisipativă de calcul a dobânzii compuse (ratele de actualizare compuse)
Să introducem următoarea notație:
ёс - rata de actualizare complexă;
^ - rata de actualizare anuală nominală (utilizată atunci când dobânda este calculată la rata de actualizare de mai multe ori pe an);
Formula de reducere la o rată de actualizare compusă:
P \u003d 8 (1 - da) p.
Suma acumulată după n ani: 8 = P / (1 - Ds) p.
Aici 1 / (1 - ds)p - coeficientul de acumulare la o rată de actualizare complexă.
Dacă dobânda la împrumut și rata de actualizare sunt egale, acumularea sumei inițiale în al doilea caz (prin metoda antisipativă) este mai rapidă. Prin urmare, în literatura de specialitate se poate găsi afirmația că metoda decursivă de calcul a dobânzii este mai benefică pentru împrumutat, iar metoda antisipativă este mai benefică pentru creditor. Totuși, acest lucru poate fi considerat echitabil doar pentru dobânzi mici, atunci când discrepanța nu este atât de semnificativă. Dar pe măsură ce rata dobânzii crește, diferența dintre sumele acumulate devine uriașă (și crește odată cu creșterea de %), iar compararea acestor două metode își pierde orice sens.
Din formula rezultă că rata de actualizare poate lua doar valori strict mai mici de 100%. Suma acumulată crește rapid odată cu creșterea ratei de actualizare, tinde spre infinit.
Dacă rata de actualizare se modifică pe durata împrumutului:
n
8 \u003d R / P (1 - n-lea).
1=1
Aici n1, n2, ... nN este durata intervalelor de acumulare în ani;
d1, ... ^ - ratele de actualizare în aceste intervale;
Dacă dobânda este calculată de m ori pe an, atunci
8 = P/(1 - G/t)™
Dacă efectuăm calculele 8 pentru diferite tipuri de rate ale dobânzii (împrumuturi simple și compuse și rate de actualizare) cu același P și rate ale dobânzii, atunci cea mai mare creștere a capitalului se va obține dacă dobânda este percepută la o rată de actualizare simplă.
Sarcina 5.17
Valoarea inițială a datoriei este de 25 de mii de ruble. Determinați suma acumulată după 3 ani folosind metodele decursive și antisipative de calcul a dobânzii. Rata anuală a dobânzii - 25%.
Soluţie:
\u003d 25.000 (1 + 0,25) 3 \u003d 48.828,125 ruble;
\u003d 25.000 (1 - 0,25) -3 \u003d 59.255,747 ruble.
Decide pentru tine
Sarcina 5.18
Determinați valoarea actuală a sumei de 120.000 de ruble, care va fi plătită în 2 ani folosind o rată de actualizare complexă de 20% pe an.
Raspuns: 76 800 r
Problema 5.19.
Determinați sumele acumulate pentru diferite tipuri de rate ale dobânzii în aceleași condiții inițiale: P = 10.000 de ruble, rata dobânzii = 10%.
Rezultatele calculului sunt rezumate într-un tabel și ratele de variație sunt comparate. Tipul ratei și formula de calcul 8 Termp = 1 Termp =3 Termp =6 Împrumut simplu: 8 = Р (1 + t) 11.000 13.000 16.000 \u003d R e] p 11 044 Contabilitate simplă: 8 \u003d P / (1 - dp) Contabilitate complexă: 8 \u003d P / (1 - d) p
De exemplu, linia de sus arată rezultatele calculării sumelor acumulate la o rată simplă de împrumut cu termene de împrumut egale cu unu, trei și șase ani. Rândurile goale trebuie să fie completate de dvs.
În formula de calcul pentru calculul continuu al dobânzii, e este baza logaritmului natural. Pentru n = 1: 8 = 10.000 x 2,701 x 1 = 11.044.
Dobânzi echivalente Ratele echivalente ale dobânzii sunt acele rate de diferite tipuri, a căror aplicare, în aceleași condiții inițiale, dă aceleași rezultate financiare. Ele trebuie să fie cunoscute atunci când există o alegere de termeni pentru tranzacțiile financiare și este nevoie de un instrument pentru a compara corect diferitele rate ale dobânzii.
Ecuațiile de echivalență sunt utilizate pentru a găsi rate echivalente ale dobânzii. Este selectată o valoare care poate fi calculată folosind diferite tipuri de rate (de obicei, aceasta este o sumă acumulată). Pe baza egalității a două expresii pentru o valoare dată, se alcătuiește o ecuație de echivalență din care, prin transformări corespunzătoare, se obține un raport care exprimă relația dintre ratele dobânzii de diferite tipuri. De exemplu, pentru a găsi o rată simplă de actualizare care este echivalentă cu o rată simplă de împrumut, ecuația de echivalență ar fi
P (1 + w) \u003d P / (1 - nj) sau (1 + w) \u003d 1 / (1 - nj), adică. este necesar să se echivaleze factorii de creştere corespunzători. Prin urmare, th = 1 / (1 + w) și 1 = th / (1 - nth).
Sarcina 5.20
Scadența obligației datoriei este de șase luni, rata simplă de actualizare este de 18%. Care este randamentul acestei operațiuni, măsurat ca o simplă rată a dobânzii?
Soluţie:
1 = 0,18 / (1 - 0,5 x 0,18) = 0,198 = 19,8%. Pentru a găsi echivalența ratei anuale compuse ale creditului și a ratei anuale compuse nominale a creditului, echivalăm expresiile: (1 + dp = (1 + Ut)™
Prin urmare, 1c \u003d (1 + Ym) m - 1.
Rata dobânzii compusă anuală rezultată, care este echivalentă cu rata dobânzii nominale, se numește rata dobânzii compusă efectivă. Trebuie să-l cunoașteți pentru a determina randamentul real sau pentru a compara dobânda atunci când sunt utilizate diferite intervale de acumulare.
Sarcina 5.21
Calculați rata dobânzii compuse efective dacă rata nominală este de 24% și dobânda este compusă lunar.
Soluţie:
1s = (1 + 0,24 / 12)12 - 1 = 0,268 = 26,8%.
Sarcina 5.22
Determinați la ce rată a dobânzii este mai profitabil să plasați un capital de 10.000 de mii de ruble. pentru 5 ani:
a) la o rată a creditului simplu de 20% pe an;
b) la o rată compusă a creditului de 12% pe an cu dobândă trimestrială.
Soluţie:
Aici nu este necesar să se calculeze suma acumulată la rate diferite. Prin urmare, dimensiunea capitalului inițial nu este importantă. Este suficient, de exemplu, să găsiți o rată simplă a dobânzii echivalentă cu o anumită rată compusă, adică utilizați formula
1 = [(1 + ] / m)m - 1] / n = [(1 + 0,12 / 4)20 - 1] / 5 = 0,1612 = 16,12%.
Întrucât rata simplă a dobânzii de 16,12%, care ar da același rezultat ca dobânda compusă dată (12%), este semnificativ mai mică decât rata propusă în prima opțiune (20%), este clar că prima opțiune de investiție (la o rată simplă de 20% pe an) este mult mai profitabilă. .
Acum să calculăm sumele acumulate în ambele cazuri:
a) 8 \u003d 10.000 (1 + 5 x 0,2) \u003d 20.000 mii de ruble;
b) 8 \u003d 10.000 (1 + 0,12 / 4) 20 \u003d 18.061 mii de ruble.
Rezultatul obținut confirmă concluzia anterioară că prima opțiune este mai profitabilă, deoarece oferă o cantitate mare de acumulare. În același timp, utilizarea ratelor echivalente înjumătățește calculele.
Decide pentru tine
Sarcina 5.23
Biletul la ordin a fost actualizat cu trei luni înainte de scadență la o rată de actualizare de 20% pe an. Determinați valoarea ratei echivalente a dobânzii simple, care determină rentabilitatea operațiunii contabile.
Răspuns: 21,1%.
Sarcina 5.24
Dobânda simplă este de 20% pe an. Determinați valoarea ratei de actualizare echivalentă cu aceasta atunci când acordați un împrumut pe șase luni.
Răspuns: 18%.
Sarcina 5.25
A fost acordat un împrumut pe doi ani la o dobândă compusă de 16% pe an. Determinați valoarea ratei de actualizare echivalente atunci când acordați un împrumut pe șase luni.
Răspuns: 14,5%.
Problema 5.26
Certificatul de depozit pe o perioadă de cinci ani acumulează dobândă simplă la împrumut la o rată de 15% pe an. Determinați rata dobânzii compuse echivalente.
Răspuns: 11,84%.
Sarcina 5.27
Banca acumulează lunar dobândă la depozite la o rată anuală nominală de 12% pe an. Calculați rentabilitatea investiției la rata dobânzii anuale compuse.
Răspuns: 12,68%.
Se pot trage următoarele concluzii:
Valoarea ratei efective este mai mare decât valoarea ratei nominale și coincid la m = 1.
O rată de actualizare simplă este întotdeauna mai mică decât alte rate echivalente cu ea (deoarece acumularea la această rată, celelalte lucruri fiind egale, este întotdeauna mai rapidă).
Echivalența diferitelor rate ale dobânzii nu depinde de valoarea sumei inițiale P (se presupune că suma inițială este aceeași).
Echivalența ratelor dobânzilor depinde întotdeauna de durata perioadei de acumulare a dobânzii, cu excepția cazurilor de echivalență între ratele dobânzilor compuse de diferite tipuri (dacă perioada de acumulare este aceeași).
Probleme de luat în considerare:
1. Calculul dobânzii anuale compuse.
2. Comparația creșterii în interes compus și simplu.
3. Acumularea dobânzii de mai multe ori pe an.
4. Reducerea la o rată a dobânzii compusă.
5. Determinarea termenului tranzacției financiare și a ratei dobânzii.
6. Acumulare și reducere continuă.
În practica financiară, o parte semnificativă a calculelor sunt efectuate folosind schema dobânzii compuse. Utilizarea schemei de dobândă compusă este recomandabilă în cazurile în care:
- dobânda nu se plătește pe măsură ce se acumulează, ci se adaugă la suma inițială a datoriei. Adăugarea dobânzii acumulate la suma datoriei, care servește drept bază pentru calculul acestora, se numește capitalizare a dobânzii;
− durata împrumutului este mai mare de un an.
Dacă banii de dobândă nu sunt plătiți imediat pe măsură ce se acumulează, ci se adaugă la suma inițială a datoriei, atunci datoria este astfel majorată cu suma neachitată a dobânzii, iar acumularea ulterioară a dobânzii are loc la valoarea majorată a datoriei. :
- pentru o perioadă de acumulare;
- pentru două perioade de angajamente;
de aici, pentru n perioadele de acumulare, formula va lua forma:
Unde - suma acumulată a datoriilor; - cuantumul initial al datoriei; i- rata dobânzii în perioada de acumulare; n- numărul perioadelor de acumulare. Această formulă se numește formula dobânzii compuse.
Diferența dintre calculul dobânzii simple și compuse pe baza calculului lor. Dacă se percepe o dobândă simplă tot timpul pentru aceeași sumă inițială a datoriei, de ex. baza de angajamente este o valoare constantă, apoi dobânda compusă se acumulează pe bază crescând cu fiecare perioadă de acumulare. Astfel, dobânda simplă este în mod inerent creștere absolută, iar formula dobânzii simple este similară cu formula de determinare a nivelului de dezvoltare a fenomenului studiat cu creștere absolută constantă. Dobânda compusă caracterizează procesul de creștere a sumei inițiale cu rate de creștere stabile, în timp ce accelerează valoarea sa absolută, prin urmare, formula dobânzii compuse poate fi considerată ca determinând nivelul pe baza ratelor de creștere stabile.
Conform teoriei generale a statisticii, pentru a obține o rată de creștere de bază, este necesar să se înmulțească ratele de creștere în lanț. Deoarece rata dobânzii pentru perioada este o rată de creștere în lanț, rata de creștere a lanțului este:
(1 + i).
Atunci rata de bază de creștere pentru întreaga perioadă, bazată pe o rată de creștere constantă, este:
(1 + i) n .
Sensul economic al multiplicatorului de acumulare este că arată cu ce va fi egală o unitate monetară (o rublă, un dolar etc.) n perioade la o anumită rată a dobânzii i.
O ilustrare grafică a raportului dintre suma acumulată pentru dobânda simplă și compusă este prezentată în figură.
După cum se poate observa din figură, pentru împrumuturile pe termen scurt, acumularea dobânzii simple este de preferat celei a dobânzii compuse; cu termen de un an nu este nicio diferenta, insa la creditele pe termen mediu si lung suma cumulata calculata pentru dobanda compusa este mult mai mare decat pentru cele simple.
Pentru orice i,
Dacă 0 < n < 1, то (1 + ni) >(1 + i)n
Dacă n > 1, atunci (1 + ni)< (1 + i) n
Dacă n = 1, atunci (1 + ni) = (1 + i) n
Astfel, pentru creditori:
− schema dobânzii simple este mai profitabilă dacă durata împrumutului este mai mică de un an (dobânda se calculează o singură dată la sfârşitul anului);
- schema dobânzii compuse este mai profitabilă dacă durata creditului depășește un an;
- ambele scheme dau acelasi rezultat cu o perioada de un an si un singur calcul al dobanzii.
Destul de des, contractele financiare sunt încheiate pe o perioadă diferită de un număr întreg de ani.
În cazul în care termenul tranzacției financiare este exprimat ca număr fracționar de ani, dobânda poate fi calculată prin două metode:
− general Metoda constă în calcul direct folosind formula dobânzii compuse:
,
Unde n- perioada tranzactiei; A este un număr întreg de ani; b este partea fracțională a anului.
− amestecat metoda de calcul presupune că pentru un număr întreg de ani ai perioadei de calcul a dobânzii, se utilizează formula dobânzii compuse, iar pentru partea fracțională a anului se utilizează formula dobânzii simple:
.
Deoarece b< 1 , Acea (1 + bi) > (1 + i) a, prin urmare, suma acumulată va fi mai mare atunci când se utilizează o schemă mixtă.
O schemă mixtă este mai benefică pentru creditor.
Perioada pentru acumularea dobânzii compuse nu este întotdeauna egală cu un an, cu toate acestea, termenii unei tranzacții financiare nu indică rata pentru perioada respectivă, Arata anuală cu indicarea perioadei de acumulare - rata nominală (i).
Rata nominală (rata nominală) - rata anuală a dobânzii, pe baza căreia se determină valoarea ratei dobânzii în fiecare perioadă de acumulare, atunci când dobânda compusă se acumulează de mai multe ori pe an.
Acest tarif:
− în primul rând, nu reflectă eficiența reală a tranzacției;
− în al doilea rând, nu poate fi folosit pentru comparații.
Dacă se percepe dobândă m o dată pe an, iar termenul datoriei - n ani, atunci numărul total de perioade de acumulare pentru întreaga perioadă a tranzacției financiare va fi
Prin urmare, formula dobânzii compuse poate fi scrisă după cum urmează:
,
unde i este rata nominală anuală a dobânzii.
Alături de rata nominală, există rata efectivă (rata efectivă), care măsoară venit relativ real, care a fost obținută pentru întregul an, ținând cont de capitalizarea intraanuală. Rata efectivă arată ce dobândă anuală compusă dă același rezultat financiar ca m- creștere o singură dată pe an la rata j/m:
,
.
Din formulă rezultă că rata efectivă depinde de numărul de angajamente intraanuale.
Calcularea ratei efective este un instrument puternic de analiză financiară, deoarece valoarea acestuia vă permite să comparați tranzacțiile financiare cu diferite condiții: cu cât rata efectivă a unei tranzacții financiare este mai mare, cu atât (ceteris paribus) este mai profitabilă pentru creditor.
Trebuie remarcat faptul că formula dobânzii compuse de bază implică permanent rata dobânzii pe toată perioada dobânzii. Cu toate acestea, atunci când acordați un împrumut pe termen lung, sunt adesea utilizate rate ale dobânzii compuse care variază în timp, dar sunt prefixate pentru fiecare perioadă. În caz de utilizare variabile ratele dobânzii, formula de angajamente este următoarea:
Unde eu k– valori succesive ale ratelor dobânzilor în timp; nk– durata perioadelor în care se utilizează tarifele corespunzătoare.
Toate situațiile pe care le-am luat în considerare până acum au fost dobândă discretă, deoarece sunt calculate pe perioade fixe de timp (an, trimestru, lună, zi, oră). Cu toate acestea, în practică, există adesea cazuri când dobânda se acumulează continuu, pentru o perioadă de timp arbitrar scurtă. Dacă dobânda ar fi acumulată zilnic, atunci coeficientul (multiplicatorul) anual de acumulare ar arăta astfel:
.
Dar din moment ce dobânda se acumulează continuu, atunci m tinde spre infinit, iar coeficientul de acumulare (multiplicatorul) tinde spre ei, Unde e≈ 2,718281 se numește număr Euler și este una dintre cele mai importante constante din analiza matematică.
De aici, putem scrie formula pentru suma acumulată pentru n ani:
Rata dobânzii continuă se numește forta interesuluiși sunt simbolizate δ , spre deosebire de rata discretă a dobânzii ( i).
Grafic, modificarea sumei acumulate în funcție de frecvența de acumulare are următoarea formă:
Cu acumulare discretă, fiecare „etapă” caracterizează creșterea valorii principale a datoriei ca urmare a următoarei dobânzi acumulate. Vă rugăm să rețineți că înălțimea „trepților” crește tot timpul.
În decurs de un an, un „pas” din graficul din stânga corespunde cu doi „pași” pe graficul din mijloc de o dimensiune mai mică, dar în total depășesc înălțimea „treptei” a unui singur angajamente. Și mai rapid este acumularea cu calculul continuu al dobânzii, așa cum se arată în graficul din dreapta.
Astfel, în funcție de frecvența de acumulare a dobânzii, acumularea sumei inițiale se realizează la rate diferite, iar acumularea maximă posibilă se realizează cu o împărțire infinită a intervalului anual.
Calculul continuu al dobânzii este utilizat în analiza problemelor financiare complexe, cum ar fi rațiunea și selecția deciziilor de investiții. Atunci când se evaluează activitatea unei instituții financiare în care plățile pentru o perioadă sunt primite în mod repetat, este rezonabil să presupunem că suma acumulată se modifică continuu în timp și să se aplice calculul continuu al dobânzii.
La fel ca pentru dobânda simplă, pentru dobânda compusă este necesar să existe formule care să permită determinarea parametrilor lipsă ai unei tranzacții financiare:
− termenul împrumutului,
− rata dobânzii compusă.
Dobânda compusă este utilizată în tranzacțiile financiare și de credit pe termen lung, dacă dobânda nu este plătită periodic imediat după ce a fost acumulată pentru intervalul de timp trecut, ci se adaugă la suma datoriei. Adăugarea dobânzii acumulate la suma care a servit drept bază pentru determinarea acestora este adesea numită capitalizare la sută.
formula dobânzii compuse
Să fie datoria inițialăP, apoi într-un an suma datoriei cu dobândă adăugată va fiP(1+ i) , după 2 ani P(1+ i)(1+ i)= P(1+ i) 2 , prin n ani - P(1+ i) n. Astfel, obținem formula de angajamente pentru dobânda compusă
S=P(1+i)n, (19)
Unde S- suma acumulatăi- rata anuală a dobânzii compuse,n- termenul împrumutului (1+ i) n- multiplicatorul incremental.
În calculele practice, procentele discrete sunt utilizate în principal, adică. dobânzi acumulate pentru aceleași intervale de timp (an, jumătate de an, trimestru etc.). Interesul compus este creșterea conform legii unei progresii geometrice, al cărei prim termen este egal cuP, și numitorul (1+ i).
Rețineți că la momentul respectivn<1 acumularea dobânzii simple dă un rezultat mai mare decât dobânda compusă, iar cun>1 - viceversa. Este ușor să vedeți acest lucru în exemple numerice specifice. Cel mai mare excedent al sumei acumulate la dobânda simplă față de suma acumulată la dobânda compusă (la aceleași rate ale dobânzii) se realizează în mijlocul perioadei.
Formula dobânzii compuse
când rata se modifică în timp
În cazul în care rata dobânzii compuse se modifică în timp, formula de angajamente are următoarea formă
(20)
unde i 1 , i 2 ,..., i k - valorile succesive ale ratelor dobânzilor în vigoare în perioadele respective n1,n2,...,nk respectiv.
Exemplul 6
Contractul a fixat o rată variabilă a dobânzii compuse, definită ca 20% pe an plus o marjă de 10% în primii doi ani, 8% în al treilea an, 5% în al patrulea an. Determinați valoarea multiplicatorului de acumulare pentru 4 ani.
Soluţie.
(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704
Dublarea formulei sumei
Pentru a-și evalua perspectivele, un creditor sau un debitor poate întreba: în câți ani va crește suma împrumutului cuNori la o anumită rată a dobânzii. Acest lucru este de obicei necesar atunci când vă preziceți oportunitățile de investiții în viitor. Obținem răspunsul echivalând factorul de creștere cu valoareaN:
A) pentru dobândă simplă
(1+ nisimplu.) = N, Unde
. (21)
B) pentru dobânda compusă
(1+ icomplicat) n= N, Unde
. (22)
Mai ales folosit în mod obișnuitN=2. Atunci formulele (21) și (22) se numesc formule de dublare și iau următoarea formă:
A) pentru dobândă simplă
, (23)
B) pentru dobânda compusă
. (24)
Dacă formula (23) este ușor de aplicat pentru estimarea calculelor, atunci formula (24) necesită utilizarea unui calculator. Cu toate acestea, la rate scăzute ale dobânzii (să zicem, mai puțin de 10%), poate fi folosită o aproximare mai simplă. Este ușor de obținut, având în vedere că ln 2 0,7 și ln (1+ i ) i . Apoi
n» 0,7/ i. (25)
Exemplul 7
Soluţie.
a) La dobanda simpla:
ani.
b) Cu dobândă compusă și formula exactă:
Al anului.
c) Cu dobândă compusă și o formulă aproximativă:
n» 0,7/ i\u003d 0,7 / 0,1 \u003d 7 ani.
Concluzii:
1) Aceeași valoare a ratelor dobânzii simple și compuse duce la rezultate complet diferite.
2) La rate ale dobânzii compuse scăzute, formulele exacte și aproximative dau practic aceleași rezultate.
Calculul dobânzii anuale pentru un număr fracționar de ani
Cu un număr fracționar de ani, dobânda este calculată în diferite moduri:
1) Conform formulei dobânzii compuse
S=P(1+i)n, (26)
2) Pe baza unei metode mixte, conform căreia se percepe dobândă compusă pentru ani întregi și dobândă simplă pentru ani fracționari
S=P(1+i) a (1+bi), (27)
Unde n= A+ b, Aeste un număr întreg de anibeste partea fracțională a anului.
3) Într-un număr de bănci comerciale se aplică regula potrivit căreia nu se acumulează dobândă pentru perioade de timp mai mici decât perioada de acumulare, adică.
S=P(1+i) a. (28)
Ratele nominale și efective ale dobânzii
Rata nominală . Fie rata dobânzii compuse anualej, și numărul de perioade de acumulare pe anm. Apoi de fiecare dată dobânda este calculată la rata j/m. Licitați jnumit nominal. Dobânda se calculează la rata nominală după formula:
S=P(1+j/m) N, (29)
Unde N- numărul de perioade de acumulare.
Dacă termenul împrumutului este măsurat printr-un număr fracționar de perioade de acumulare, atunci lamdobândă acumulată unică pe an, suma acumulată poate fi calculată în mai multe moduri, ducând la rezultate diferite:
1) Formula dobânzii compuse
S=P(1+j/m) N/t, (30)
Unde N/ t- numărul (eventual fracțional) de perioade de dobândă,t- perioada de calcul a dobânzii,
2) Formula mixtă
, (31)
Unde A- un număr întreg de perioade de acumulare (de ex.A= [ N/ t] - parte întreagă a împărțirii întregului termen al împrumutuluiNpentru perioada de acumularet),
b- fracțiunea rămasă din perioada de acumulare ( b= N/ t- A).
Exemplul 8
Valoarea împrumutului este de 20 de milioane de ruble. Furnizat timp de 28 de luni. Rata nominală este de 60% pe an. Dobânda se calculează trimestrial. Calculați suma acumulată în trei situații: 1) când se percepe dobândă compusă pentru partea fracțională, 2) când se percepe dobândă simplă pentru partea fracțională, 3) când partea fracțională este ignorată. Comparați rezultatele.
Soluţie.
Dobânda se calculează trimestrial. În total sunt sferturi.
1)
= 73,713 milioane de ruble.
2)
= 73,875 milioane de ruble
3) S=20(1+0,6/4) 9= 70,358 milion frecați .
Dintr-o comparație a sumelor acumulate, vedem că acesta atinge valoarea maximă în al doilea caz, adică. la calcularea părţii fracţionale a dobânzii simple.
Rata efectivă arată ce dobândă anuală compusă dă același rezultat financiar cam- creștere o singură dată pe an la rataj/ m.
Dacă dobânda este capitalizatămo dată pe an, de fiecare dată cu un tarifj/ m, atunci, prin definiție, putem scrie egalitatea pentru factorii de creștere corespunzători:
(1+iuh) n =(1+j/m) mn, (32)
Unde iuheste rata efectivă șij- nominală. Din aceasta obținem că relația dintre ratele efective și nominale este exprimată prin relație
(33)
Relația inversă are forma
j=m[(1+iuh) 1/m -1].(34)
Exemplul 9
Calculați rata efectivă a dobânzii dacă banca calculează dobânda trimestrial, pe baza unei rate nominale de 10% pe an.
Soluţie
iuh=(1+0,1/4) 4 -1=0,1038, adică 10,38%.
Exemplul 10
Determinați care ar trebui să fie rata nominală pentru combinarea trimestrială a dobânzii pentru a oferi o rată efectivă de 12% pe an.
Soluţie.
j=4[(1+0,12) 1/4 -1]=0,11495, adică 11,495%.
Contabilitate (actualizare) la o rată a dobânzii compusă
Aici, ca și în cazul dobânzii simple, vor fi luate în considerare două tipuri de contabilitate - matematică și bancară.
Contabilitate matematică . În acest caz, problema este rezolvată invers cu dobânda compusă. Să notăm formula inițială pentru creștere
S=P(1+i)n
si rezolva ptP
, (35)
Unde
(36)
discount sau factor de reducere.
Dacă se percepe dobândămo dată pe an, primim
, (37)
Unde
(38)
multiplicator de reducere.
valoarea Pobtinut prin reducereS, numit contemporan sau Valoarea curentă sau dat magnitudinea S. Sume PȘi Ssunt echivalente în sensul că plata în cuantumS prin nani este egal cu sumaPplătit în prezent.
Diferență D= S- Pnumit reducere.
Contabilitate bancara. În acest caz, se presupune utilizarea unei rate de actualizare complexe. Reducerea la o rată de actualizare complexă se efectuează conform formulei
P=S(1-dsl)n, (39)
Unde dsl- Rata de actualizare anuală compusă.
Reducerea în acest caz este
D=S-P=S-S(1-dsl) n =S.(40)
Atunci când se utilizează o rată de actualizare complexă, procesul de actualizare are loc cu o încetinire progresivă, deoarece rata de actualizare se aplică de fiecare dată sumei reduse pentru perioada anterioară cu valoarea reducerii.
Ratele de actualizare nominale și efective ale dobânzii
Rata nominală de actualizare . Când se utilizează reducereamo dată pe an, folosiți rata nominală de actualizare f. Apoi în fiecare perioadă egală cu 1/ mparte a anului, actualizate la o rată de actualizare compusăf/ m. Procesul de actualizare pentru această contabilitate complexămo dată pe an este descrisă prin formula
P=S(1-f/m) N, (41)
Unde N- numărul total de perioade de reducere (N= mn).
Reducerea nu este una dar mo dată pe an reduce rata de actualizare mai rapid.
Rata de actualizare efectivă. Rata efectivă de actualizare este înțeleasă ca o rată de actualizare anuală compusă echivalentă (în funcție de rezultatele financiare) cu rata nominală aplicată pentru un anumit număr de reduceri pe an.m.
În conformitate cu definiția ratei efective de actualizare, găsim relația acesteia cu rata nominală din egalitatea factorilor de actualizare
(1-f/m) mn =(1-dsl)n,
din care rezultă că
dsl=1-(1-f/m) m. (42)
Rețineți că rata efectivă de actualizare este întotdeauna mai mică decât cea nominală.
Acreție la o rată de actualizare complexă. Acreția este problema inversă pentru ratele de actualizare. Formulele de acumulare la rate complexe de actualizare pot fi obținute prin rezolvarea formulelor corespunzătoare de actualizare (39 și 41) cu privire laS. Primim
din P=S(1-d sl) n
, (43)
iar din P= S(1- f/ m) N
. (44)
Exemplul 11.
Ce sumă ar trebui să fie menționată în biletul la ordin, dacă suma emisă efectiv este de 20 de milioane de ruble, scadența este de 2 ani. Factura este calculată pe baza unei rate de actualizare anuală compusă de 10%.
Soluţie.
milioane de ruble
Exemplul 12.
Rezolvați problema anterioară, cu condiția ca acumularea la o rată de actualizare complexă să fie efectuată nu o dată, ci de 4 ori pe an.
Soluţie.
milioane de ruble
Acumulare și reducere
Suma acumulată la dobândă discretă este determinată de formula
S= P(1+ j/ m) mn,
Unde jeste rata nominală a dobânzii șim- numărul de perioade de dobândă pe an.
Cu atât mai mult m, cu atât intervalele de timp dintre momentele de calcul ale dobânzii sunt mai scurte. În limita lam® ¥ avem
S= lim P(1+j/m) mn =P lim [(1+j/m) m ] n . (45)
m ® ¥ m ® ¥
Se știe că
lim (1+j/m) m =lim [(1+j/m) m/j ] j =e j ,
m ® ¥ m ® ¥
Unde eeste baza logaritmilor naturali.
Folosind această limită în expresia (45), constatăm în sfârșit că suma acumulată în cazul acumulării continue a dobânzii la rataj este egal cu
S= Pejn. (46)
Pentru a distinge rata dobânzii continue de ratele dobânzii discrete, se numește forța de creștere și se notează cu simbolul d. Apoi
S=Pedn. (47)
Puterea creșterii d este rata nominală a dobânzii lam® ¥ .
Decontarea pe baza ratelor dobânzii continue se efectuează conform formulei
P=Se-dn. (48)
Relația dintre ratele dobânzii discrete și continue
Dobânzile discrete și continue sunt într-o relație funcțională, datorită căreia se poate face trecerea de la calculul dobânzii continue la discrete și invers. Formula pentru tranziția echivalentă de la o rată la alta poate fi obținută prin echivalarea multiplicatorilor de acumulare corespunzători
(1+i)n=edn. (49)
Din egalitatea scrisă rezultă că
d = ln(1+ i) , (50)
i= ed-1 . (51)
Exemplul 13
Rata anuală a dobânzii compuse este de 15%, care este rata de creștere echivalentă,
Soluţie.
Folosim formula (50)
d = ln(1+ i)= ln(1+0,15)=0,13976,
acestea. forța de creștere echivalentă este de 13,976%.
Calculul termenului de împrumut și al ratelor dobânzii
Într-o serie de probleme practice, inițial ( P) și final (S ) sumele sunt specificate prin contract, iar se impune determinarea fie a termenului de plată, fie a ratei dobânzii, care în acest caz poate servi drept măsură de comparație cu indicatorii de piață și caracteristică a rentabilității operațiunii pentru creditor. . Aceste valori sunt ușor de găsit din formulele originale de creștere sau reducere. De altfel, în ambele cazuri problema inversă este rezolvată într-un anumit sens.
Termenul împrumutului
La elaborarea parametrilor acordului și estimarea momentului de obținere a rezultatului dorit, se impune determinarea duratei operațiunii (termenul împrumutului) prin intermediul parametrilor rămași ai tranzacției. Să luăm în considerare această întrebare mai detaliat.
i.
S=P(1+i)n
urmează că
(52)
unde logaritmul poate fi luat în orice bază, deoarece este prezent atât la numărător, cât și la numitor.
mo dată pe an de la formulă
S=P(1+j/m)mn
primim
(53)
d. Din formula
P=S(1-d)n
avem 
(54)
m odata pe an. Din
P=S(1-f/m)mn
ajungem la formula
(55)
Când construiți pe o forță constantă de creștere. Bazat
S= Pedn
primim
ln( S/ P)= d n. (56)
Calculul ratei dobânzii
Din aceleași formule inițiale ca mai sus, obținem expresii pentru ratele dobânzii.
A) Când se acumulează la o rată anuală compusăi. Din formula de creștere originală
S=P(1+i)n
urmează că
(57)
B) La creșterea la o rată nominală a dobânziimo dată pe an de la formulă
S=P(1+j/m)mn
primim 
(58)
C) Când sunt actualizate la o rată de actualizare anuală compusăd. Din formula
P=S(1-d)n
avem 
(59)
D) Când sunt actualizate la o rată de actualizare nominalăm odata pe an. Din
P=S(1-f/m)mn
ajungem la formula
(60)
E) Când se construiește pe o forță constantă de creștere. Bazat
S= Pedn
primim
(61)
Dobânda și inflația
Consecința inflației este o scădere a puterii de cumpărare a banilor, care pe o perioadăncaracterizat prin indiceJ n. Indicele puterii de cumpărare este egală cu reciproca indicelui prețurilorJp, adică
J n=1/ Jp. (62)
Indice de pretAfișează de câte ori au crescut prețurile într-o anumită perioadă de timp.
Acumularea dobânzii simple
Daca crescut pt n ani suma de bani esteS, iar indicele prețurilor esteJp, atunci suma de bani efectiv acumulată, ținând cont de puterea lor de cumpărare, este egală cu
C=S/Jp. (63)
Fie rata medie anuală așteptată a inflației (care caracterizează creșterea prețurilor pe an) să fie egală cu h . Atunci va fi indicele anual al prețurilor (1+ h).
Dacă se face majorarea la un ritm simplu pe parcursulnani, apoi creșterea reală la rata inflației h va fi
(64)
unde in general
(65)
și, în special, la o rată constantă de creștere a prețurilorh,
Jp =(1+h)n. (66)
Rata dobânzii care compensează inflația atunci când se calculează dobânda simplă este
(67)
O modalitate de a compensa deprecierea banilor este creșterea ratei dobânzii cu suma așa-numitului prima de inflatie. Rata ajustată în acest mod se numește rata bruta. Rata bruta, pe care o vom nota prin simbolr, se găsește din egalitatea multiplicatorului de angajamente ajustat în funcție de inflație la rata brută cu multiplicatorul de angajamente la rata reală a dobânzii
(68)
Unde
(69)
Creșterea dobânzii compuse
Extins interes compus suma până la sfârșitul termenului de împrumut, ținând cont de scăderea puterii de cumpărare a banilor (adică în ruble constante) va fi
(70)
unde indicele prețurilor este determinat prin expresia (65) sau (66), în funcție de variabilitatea sau constanța ratei inflației.
În acest caz, scăderea puterii de cumpărare a banilor este compensată cu ratai= h, oferind egalitateC= P.
aplica două moduri de a compensa pierderile din scăderea puterii de cumpărare a banilor la calcularea dobânzii compuse.
A) Ajustarea ratei dobânzii, de-a lungul căruia se face incrementul, cu valoarea prima de inflatie. Rata dobânzii majorată cu prima de inflație se numește rata brută. O vom nota prin simbolr. Presupunând că rata anuală a inflaţiei esteh, putem scrie egalitatea factorilor de creștere corespunzători
(71)
Unde i- rata reala.
De aici obținem formula Fisher
r=i+h+ih. (72)
Adică prima de inflație esteh+ ih.
B) Indexarea sumei inițiale P . În acest caz, sumaPajustat în funcție de mișcarea unui indice prestabilit. Apoi
S=PJ p (1+i) n. (73)
Este ușor de observat că atât în cazul A) cât și în cazul B) ajungem la aceeași formulă de creștere (73). În ea, primii doi factori din partea dreaptă reflectă indexarea sumei inițiale, iar ultimii doi - ajustarea ratei dobânzii.
Măsurarea ratei reale a dobânzii
În practică, este necesară și rezolvarea problemei inverse - găsirea ratei reale a dobânzii în termeni de inflație. Din aceleași rapoarte dintre multiplicatorii de acumulare, nu este dificil să se obțină formule care determină rata realăila o rată brută dată (sau anunțată). r .
La calcularea dobânzii simple, rata dobânzii reale anuale este egală cu
(74)
La calcularea dobânzii compuse, rata reală a dobânzii este determinată de următoarea expresie
(75)
Aplicații practice ale teoriei
Să luăm în considerare câteva aplicații practice ale teoriei pe care am luat-o în considerare. Să arătăm cum se utilizează formulele obținute mai sus în rezolvarea unor probleme reale de calcul a eficienței unor tranzacții financiare și să comparăm diferite metode de calcul.
Conversia valutară și calculul dobânzii
Luați în considerare combinația dintre conversia valutară (schimbul) și acumularea interes simplu, comparăm rezultatele din plasarea directă a fondurilor disponibile în depozite sau după un schimb preliminar cu o altă valută. În total, există 4 opțiuni pentru acumularea dobânzii:
1. Nicio conversie. Fondurile în valută sunt plasate ca depozit în valută, suma inițială se majorează la cursul valutar prin aplicarea directă a formulei dobânzii simple.
2. Cu conversie. Fondurile valutare inițiale sunt convertite în ruble, acumularea este la cursul rublei, la sfârșitul operațiunii, suma rublei este convertită înapoi în moneda inițială.
3. Nicio conversie. Suma rublei este plasată sub forma unui depozit de ruble, pe care se acumulează dobândă la rata rublei conform formulei dobânzii simple.
4. Cu conversie. Suma rublei este convertită într-o anumită monedă, care este investită într-un depozit în valută. Dobânda se percepe la cursul de schimb valutar. Suma acumulată la sfârșitul operațiunii este convertită înapoi în ruble.
Operațiunile fără conversie nu sunt dificile. Există două surse de venit în operațiunea de acumulare a dublei conversii: acumularea dobânzii și modificarea cursului de schimb. Mai mult, calculul dobânzii este o sursă necondiționată (rata este fixă, inflația nu este încă luată în considerare). O modificare a cursului de schimb poate fi într-una sau în cealaltă direcție și poate fi atât o sursă de venit suplimentar, cât și poate duce la pierderi. În continuare, ne vom concentra în mod special pe două opțiuni (2 și 4), care oferă o conversie dublă.
Să introducem mai întâi următoarea notație:
Pv- suma depozitului in valuta,
Relatii cu publicul- suma depozitului în ruble,
S v- suma acumulată în valută,
S r- suma acumulată în ruble,
K 0 - cursul de schimb la începutul tranzacției (cursul de schimb în ruble)
K 1 - cursul de schimb la finalul tranzacției,
n- termenul depozitului,
i- rata de acumulare pentru sumele de ruble (ca fracție zecimală),
j- rata de acumulare pentru o anumită monedă.
OPȚIUNE: VALUTĂ ® RUBLE ® RUBLE ® VALUTĂ
Operațiunea constă în trei etape: schimbul de monedă pentru ruble, acumularea sumei rublei, conversia inversă a sumei rublei în moneda originală. Suma acumulată primită la finalul tranzacției în valută va fi
.
După cum puteți vedea, cele trei etape ale operațiunii sunt reflectate în această formulă sub forma a trei factori.
Multiplicatorul creșterii, luând în considerare dubla conversie, este egal cu
,
Unde k= K 1 / K 0 - rata de creştere a cursului de schimb pe perioada operaţiunii.
Vedem că factorul de creșteremeste liniar legată de ratăiși inversați cu cursul de schimb la sfârșitul tranzacțieiK 1 (sau cu rata de creștere a cursului de schimbk).
Studiem teoretic dependenta profitabilitatii totale a unei operatii de dubla conversie conform schemei CURRENCY® RUBLE ® RUBLE ® VALUTĂ din raportul dintre cursurile de schimb finale și inițialek .
Dobânda anuală simplă, care caracterizează rentabilitatea operațiunii în ansamblu, este egală cu
.
Înlocuiți în această formulă expresia scrisă anterior pentruS v
.
Astfel, cu o creșterek rentabilitateai eff cade de-a lungul unei hiperbole cu asimptota -1 / n . Vezi fig. 2.
Orez. 2.
Să studiem punctele singulare ale acestei curbe. Rețineți că atunci cândk =1 rentabilitatea operațiunii este egală cu rata rublei, adică.i eff = i . Lak >1 i eff < i , și atunci cândk <1 i eff > i . Pe fig. 1 poate fi văzut, la o anumită valoare criticăk , pe care o vom nota cak * , rentabilitatea (eficiența) operațiunii se dovedește a fi egală cu zero. Din egalitatei eff =0 aflăm căk * =1+ ni , care la rândul său înseamnăK * 1 = K 0 (1+ ni ).
CONCLUZIA 1: Dacă valorile aşteptatek sauK 1 depășesc valorile lor critice, atunci operațiunea este în mod clar neprofitabilă (i eff <0 ).
Acum să definim valoarea maximă admisă a cursului de schimb la sfârșitul operațiunii K 1 , la care eficiența va fi egală cu rata existentă la depozitele în valută, iar utilizarea dublei conversii nu oferă niciun beneficiu suplimentar. Pentru a face acest lucru, echivalăm factorii de creștere pentru două operații alternative
.
Din egalitatea scrisă rezultă că
sau
.
CONCLUZIA 2: Un depozit în valută prin conversie în ruble este mai profitabil decât un depozit în valută dacă se așteaptă ca cursul de schimb la sfârșitul tranzacției să fie mai micmaxK 1 .
OPȚIUNE: RUBLE® VALUTĂ® VALUTĂ® RUBLE
Să luăm acum în considerare opțiunea cu conversie dublă, când există o sumă inițială în ruble. În acest caz, cele trei etape ale operațiunii corespund celor trei factori din următoarea expresie pentru suma acumulată
.
Și aici, multiplicatorul de angajamente depinde liniar de rată, dar acum de rata dobânzii valutare. De asemenea, depinde liniar de cursul de schimb final.
Să efectuăm o analiză teoretică a eficacității acestei operațiuni cu dublă conversie și să determinăm punctele critice.
.
Prin urmare, înlocuind expresia pentruS r , primim
.
Dependența indicatorului de eficiențăi eff dink liniar, este prezentat în fig. 3
Orez . 3.
La k=1 i
eff
=j
,
la k>1 i
eff
>j
,
la k<1
i
eff
Să găsim acum valoarea criticăk * , la carei eff =0 . Se dovedește a fi egal
sau .
CONCLUZIA 3: Dacă valorile aşteptatek sauK 1 mai puțin decât valorile sale critice, atunci operațiunea este în mod clar neprofitabilă (i eff <0 ).
Valoarea minimă admisăk (rata de creștere a cursului de schimb pentru întreaga perioadă a tranzacției), care oferă aceeași rentabilitate ca un depozit direct în ruble, este determinată prin echivalarea multiplicatorilor de angajamente pentru tranzacții alternative (sau din egalitatei eff = i )
,
Unde min saumin .
CONCLUZIA 4: Un depozit de sume în ruble prin conversie valutară este mai profitabil decât un depozit în ruble dacă se așteaptă ca cursul de schimb la sfârșitul tranzacției să fie mai mareminK 1 .
Acum luați în considerare combinația dintre conversia valutară și acumularea interes compus. Ne vom limita la o singură variantă.
OPȚIUNE: MONEDĂ® RUBLE® RUBLE® VALUTĂk =1 i uh = i , lak >1 i uh < i , și atunci cândk <1 i uh > i .
valoare criticak , la care randamentul operatiei este egal cu zero, i.e.i uh =0 ,
definit cak * =(1+ i ) n , ceea ce înseamnă că rata medie anuală de creștere a cursului de schimb este egală cu rata anuală de creștere la rata rublei: .
CONCLUZIA 5: Dacă valorile aşteptatek sauK 1 este mai mare decât valorile sale critice, atunci operațiunea considerată cu dublă conversie este în mod clar neprofitabilă (i uh <0 ).
Valoarea maximă admisăk , la care rentabilitatea operațiunii va fi egală cu rentabilitatea investiției directe a valutei străine la curs
Schița unei tranzacții financiare
Operațiunile financiare sau de credit implică un echilibru între investiții și rentabilitate. Conceptul de echilibru poate fi explicat pe grafic.
Orez. 5.
Lăsați suma împrumutuluiD 0 eliberat pentru o perioadăT . În această perioadă, de exemplu, se fac două plăți intermediare pentru achitarea datorieiR 1 ȘiR 2 , iar la sfârșitul termenului se achită soldul datorieiR 3 echilibrarea operatiei.
Pe intervalul de timpt 1 datoria se ridică laD 1 . Pe momentt 1 datoria se reduce laK 1 = D 1 - R 1 etc. Operațiunea se încheie cu primirea de către creditor a soldului datorieiR 3 . În acest moment, datoria este rambursată integral.
Să numim tipul de grafic b) schița unei tranzacții financiare. O operațiune echilibrată are în mod necesar o buclă închisă, adică. ultima plată acoperă integral soldul datoriei. Structura tranzacției este de obicei aplicată la achitarea datoriilor cu plăți parțiale de reper.
Cu ajutorul plăților parțiale succesive, obligațiile pe termen scurt sunt uneori rambursate. În acest caz, există două metode pentru calcularea dobânzii și determinarea soldului datoriei. Primul se numește actuarialși este utilizat în principal în tranzacțiile cu termen peste un an. A doua metodă este numită regula comerciantului. Este de obicei folosit de firmele comerciale în tranzacțiile cu un termen nu mai mult de un an.
Cometariu: La calcularea dobânzii, de regulă, dobânda obișnuită este utilizată cu un număr aproximativ de zile de perioade de timp.
metoda actuarială
Metoda actuarială presupune calculul secvenţial al dobânzii la valoarea reală a datoriei. Plata parțială este destinată în primul rând rambursării dobânzii acumulate la data plății. Dacă suma plății depășește suma dobânzii acumulate, atunci diferența se duce la rambursarea sumei principale a datoriei. Soldul restant al datoriei servește drept bază pentru calcularea dobânzii pentru perioada următoare etc. Dacă plata parțială este mai mică decât dobânda acumulată, atunci nu se efectuează compensații în valoarea datoriei. Acest venit se adaugă la următoarea plată.
Pentru cazul prezentat în fig. 5 b), obținem următoarele formule de calcul pentru determinarea soldului datoriilor:
K1 =D0 (1+t1i)-R1; K2 =K1 (1+t2i)-R2; K2 (1+t 3 i)-R 3 \u003d 0,
unde perioade de timpt 1 , t 2 , t 3 - sunt date în ani, iar rata dobânziii - anual.
Regula comerciantului
Regula comerciantului este o altă abordare a calculării ratelor. Două situații sunt posibile aici.
1) În cazul în care termenul împrumutului nu depășește, suma datoriei cu dobândă acumulată pe întregul termen rămâne neschimbată până la rambursarea integrală. În același timp, se acumulează plăți parțiale cu dobândă acumulată asupra acestora până la sfârșitul termenului.
2) În cazul în care perioada depășește un an, se fac calculele de mai sus anual perioada de îndatorare. La sfârșitul anului, suma acumulată a plăților parțiale acumulate este dedusă din valoarea datoriei. Restul se plătește anul viitor.
Cu termen total de împrumutT £ 1 algoritm poate fi scris după cum urmează
,
UndeS - soldul datoriei la sfarsitul termenului,
D - suma acumulată a datoriilor,
K - suma acumulată a plăților,
Rj - suma de plată parțială,
tj - intervalul de timp de la momentul plății până la sfârșitul termenului,
m - numărul de plăți parțiale (interimare).
Suma variabilă a facturii și calculul dobânzii
Luați în considerare o situație în care un cont de economii este deschis într-o bancă, iar valoarea contului se modifică în timpul perioadei de stocare: fondurile sunt retrase, se fac contribuții suplimentare. Apoi, în practica bancară, atunci când calculează dobânda, ei folosesc adesea o metodă de calcul cu calculul așa-numitului numere procentuale. De fiecare dată când soldul contului se modifică, se calculează un procentCj pentru perioada trecutăj , timp în care suma din cont a rămas neschimbată, conform formulei
,
Undetj - duratăj -a-a perioadă în zile.
Pentru a determina valoarea dobânzii acumulate pentru întregul termen, toate numerele de dobândă sunt adunate și suma lor este împărțită la un divizor constantD :
,
UndeK - baza de timp (numărul de zile dintr-un an, adică 360 sau 365 sau 366),i - rata anuală a dobânzii simple (în %).
La închiderea contului, proprietarul va primi o sumă egală cu ultima valoare a sumei de pe cont plus suma dobânzii.
Exemplul 14
Să presupunem că la 20 februarie a fost deschis un cont la vedere în valoare deP 1 \u003d 3000 de ruble, rata dobânzii la depozit a fost egală cui =20% pe an. Depunerea suplimentară în cont a fostR 1 =2000 rub. și a fost făcută pe 15 august. Retragere din cont în sumăR 2 = -4000 rub. înregistrată la 1 octombrie, iar la 21 noiembrie contul a fost închis. Este necesar să se determine suma dobânzii și suma totală primită de deponent la închiderea contului.
Soluţie.
Calculul se va efectua conform schemei (360/360). Există trei perioade în care suma din cont a rămas neschimbată: din 20 februarie până în 15 august (P 1 =3000, t 1 \u003d 10 + 5 * 30 + 15 \u003d 175), de la 15 august până la 1 octombrie (P 2 = P 1 + R 1 \u003d 3000 + 2000 \u003d 5000 de ruble,t 2
Suma plătită la închiderea unui cont este egală cu
P3 +I=1000+447,22=1447 freca. 22 poliţist.
Acum vom arăta legătura acestei tehnici cu formula dobânzii simple. Luați în considerare exemplul de mai sus în formă algebrică.
CUmmah a plătit la închiderea unui cont, găsim după cum urmează
Astfel, am obtinut o expresie din care rezulta ca pentru fiecare suma adaugata sau retrasa din cont se percepe dobanda din momentul in care se face tranzactia corespunzatoare pana la inchiderea contului. Această schemă urmează regula comerciantului discutată în secțiunea 6.2.
Modificarea termenilor contractului
În practică, adesea devine necesară modificarea termenilor contractului: de exemplu, debitorul poate cere o întârziere a scadenței datoriei sau, dimpotrivă, își poate exprima dorința de a o rambursa înainte de termen, în unele cazuri. poate fi nevoie de a combina (consolida) mai multe obligații de datorie într-una singură etc. În toate aceste cazuri, se aplică principiul echivalenței financiare a obligațiilor vechi (înlocuite) și noi (de înlocuire). Pentru a rezolva problemele de modificare a termenilor contractului, așa-numitul ecuația de echivalență, în care valoarea plăților de înlocuire, ajustată la un moment dat, este egală cu valoarea plăților pentru noua obligație, ajustată la aceeași dată. Pentru contractele pe termen scurt se aplică dobânzi simple, în timp ce pentru contractele pe termen mediu și lung se aplică rate compuse.
Calculele cu dobânzi simple sunt destul de ușoare și simple. Cu toate acestea, acestea au o utilizare limitată.
Să presupunem că banca plătește dobândă simplă timp de 3 ani la rata i. Cu un depozit inițial egal cu P, deponentul va avea o sumă S 1 în cont într-un an:
S 1 \u003d P (1 + i),
după 2 ani - suma S2:
S 2 \u003d P (1 + 2 i),
după 3 ani - suma S3:
S 3 \u003d P (1 + 3 i).
Cu toate acestea, deponentul poate închide contul după un an, poate primi suma S1 inclusiv dobânda și poate depune această sumă într-un cont nou. La sfârșitul anului viitor, poate repeta această operațiune. Ca urmare, după primul an, va primi o sumă S1 egală cu suma anterioară S1:
S = S 1 = P (1 + i),
după al doilea an deja o nouă sumă S1 :
după al treilea an suma S3:
Noile sume vor fi mai mari decât cele anterioare, deoarece conțin dobândă nu numai la depozitul inițial, ci și la dobânda deja acumulată anterior. În formă matematică, aceasta corespunde inegalităților:
Astfel, este benefic ca deponentul să retragă bani din cont și să îi depună într-un alt cont. Este mai profitabil să desfășori o astfel de operațiune în fiecare trimestru decât în fiecare an și fiecare lună este mai profitabilă decât fiecare trimestru. Cu cât deponentul transferă mai des bani, cu atât va primi mai multe venituri. În consecință, o parte semnificativă a deponenților băncii vor căuta să efectueze o astfel de operațiune.
Pentru bancă, acest lucru este asociat cu diferite tipuri de dificultăți în muncă. În primul rând, pentru a efectua astfel de operațiuni, banca trebuie să păstreze o rezervă suplimentară de fonduri. În al doilea rând, abundența unor astfel de tranzacții complică activitatea bancară actuală. În sfârșit, în al treilea rând, deponentul, după ce a închis contul, poate depune banii primiți într-o altă bancă, ale cărei condiții momentan i se par mai favorabile.
În acest sens, băncile însele iau inițiativa de a efectua o astfel de operațiune. Dobânda rezultată din depozit este adăugată la depozit, astfel încât dobânda nouă este percepută pentru o sumă crescută, inclusiv dobânda acumulată anterior. Această operațiune se numește dobândă compusă.
O creștere a sumei în conformitate cu dobânda compusă poate fi gândită ca o creștere a dobânzii simple aplicate unei sume în creștere care include dobânda acumulată anterior, adică ca o reinvestire periodică a fondurilor investite la dobândă simplă în fiecare perioadă de acumulare.
În practică, atunci când se calculează dobânda compusă, o anumită perioadă de timp este de obicei luată ca perioadă standard de acumulare (an, trimestru, lună etc.) și apoi se calculează dobânda acumulată pentru astfel de perioade standard identice. Cu alte cuvinte, timpul în astfel de calcule este considerat o valoare discretă, măsurată prin perioade standard. În acest caz, vorbim despre procente discrete.
Dacă reducem durata unui astfel de interval standard, de la un sfert la o lună, o săptămână, o zi etc., atunci în limită vom trece de la dobândă discretă la dobândă continuă acumulată pe o perioadă infinit de mică de timp.
Fie valoarea inițială egală cu P și crește în conformitate cu rata dobânzii compusă egală cu i într-o perioadă de timp. După n astfel de perioade, cantitatea crescută S va fi determinată de următoarea formulă (formula dobânzii compuse):
S = P(1+i)n
Valoarea (1 + i) n se numește de obicei factor de creștere sau factor de creștere. Acesta arată în ce sumă de bani se va transforma fiecare rublă din fondurile investite inițial după n perioade de timp.
Dacă calculăm suma de bani acumulată împreună cu dobânda secvenţial pentru fiecare an
pentru primul an: 
pentru al doilea an: 
pentru al n-lea an:
atunci obținem că sumele de bani primite sunt membre ale unei progresii geometrice, în care primul membru este valoarea lui P, iar numitorul progresiei este (1 + i)
Dacă, atunci când calculați conform formulei dobânzii compuse, utilizați operațiunea de reinvestire, adică retrageți bani din cont împreună cu dobânda și depuneți din nou în cont, atunci deponentul nu câștigă nimic la aceeași dobândă.
Într-adevăr, lăsați deponentul să pună fonduri în valoare de P în cont în condițiile dobânzii compuse. După k perioade de timp, a retras bani din cont și i-a depus din nou pentru încă m perioade. Apoi, după primele k perioade, el va primi suma Q:
Q = P(1+i)k.
Apoi această sumă Q după alte m perioade se transformă într-o nouă sumă S:
S = Q (1+i) m .
Exprimând suma finală S în termenii P originalului, obținem:
S \u003d Q (1 + i) m \u003d P (1 + i) k (1 + i) m \u003d P (1 + i) k + m.
Astfel, rezultatul este exact același ca și cum deponentul nu ar fi efectuat o operațiune intermediară, ci pur și simplu a pus suma inițială P pe un număr total de perioade de timp egal cu k + m.
Practica instituțiilor financiare prevede uneori calcularea dobânzii doar pentru un număr întreg de perioade. Dacă acest lucru nu este prevăzut, atunci când se calculează dobânda pentru un număr non-întreg de perioade, se folosesc metode diferite.
Acumularea pentru un număr neîntreger de perioade poate fi efectuată folosind aceeași formulă a dobânzii compuse ca și pentru un număr întreg. De exemplu, dacă doriți să calculați suma crescută pentru 5,2 perioade, atunci calculul în acest caz se efectuează conform formulei
S \u003d P (1 + i) 5 (1 + i) 0,2 \u003d P (1 + i) 5.2.
Cu alte cuvinte, pentru un număr fracționar de 0,2 perioade, dobânda este calculată după aceeași schemă ca și pentru un număr întreg de perioade. Acest lucru ne permite să scriem formula generală pentru dobânda compusă pentru orice moment t:
S \u003d P (1 + i) t,
indiferent dacă conține un număr întreg sau non-întreg de perioade.
În unele cazuri, acumularea pentru un număr non-întreg de perioade se efectuează conform unei formule diferite, mixte. Pentru un număr întreg de perioade, dobânda este calculată conform formulei dobânzii compuse, iar pentru un sold fracționar - conform formulei dobânzii simple. În acest caz, angajamentele pentru 5,2 perioade se vor efectua conform formulei
S \u003d P (1 + i) 5 (1 + i 0,2).
Trebuie avut în vedere că suma acumulată în acest caz va fi puțin mai mare decât atunci când se calculează conform primei metode.
În cele din urmă, după cum s-a menționat mai sus, uneori dobânda nu este percepută deloc pentru partea fracțională a perioadei. În acest caz, angajamentele pentru 5,2 perioade sunt determinate de formulă
S \u003d P (1 + i) 5.
De obicei, termenii contractului specifică o rată constantă a dobânzii. Cu toate acestea, în unele cazuri se poate negocia o rată variabilă. De obicei, acest lucru se datorează procesului de inflație, care reduce creșterea valorii reale a sumei de bani, sau unei modificări a cursului de schimb al monedei cu care sunt raportați termenii contractului.
În aceste cazuri și în cazuri similare, se negociază o modificare a ratei dobânzii.
Luați în considerare o situație cu o rată variabilă a dobânzii compuse. Să presupunem că pe primul interval de timp de lungime t1 rata este egală cu i1 , pe al doilea interval de lungime t2 rata este egală cu i2 , pe al treilea interval de lungime t3 rata este egală cu i3 etc. Intervalele, ca și înainte, poate avea lungimi diferite.
Se consideră n astfel de intervale de lungime t1 , t2 ... tn . Valoarea contribuției la o rată variabilă complexă până la sfârșitul ultimei perioade va fi:
Să determinăm rata medie a dobânzii i pentru cazul unui depozit la o rată variabilă complexă.
Fie, ca mai înainte, T termenul total al depozitului la o rată variabilă
a este ponderea intervalului t k în această perioadă totală:
Prin definiție, rata medie a dobânzii i îndeplinește următoarea condiție: dacă este substituită în formula de creștere în loc de fiecare dintre ratele ik, atunci rezultatul calculului nu se va modifica. Prin urmare:
De aici obținem formula pentru (1 + i) - valoarea medie a factorului de creștere pe unitatea de timp:
În cele din urmă, rata medie compusă a dobânzii i însăși este:
Conform formulei pentru factorul mediu de creștere (1 + i), este media ponderată geometrică a factorilor de creștere pentru perioade individuale de timp. Coeficienții de pondere sunt cotele intervalelor de timp corespunzătoare în termenul total al depozitului.
Factorii de creștere pentru acele perioade de timp care sunt relativ lungi vor fi incluși în media ponderată finală cu o pondere mare.
Într-un caz special, când lungimile tuturor intervalelor de timp sunt egale între ele, ponderea fiecăruia dintre ele este egală cu 1/n, iar media ponderată intră în media geometrică obișnuită:
Rata inflației pentru o anumită perioadă de timp caracterizează creșterea procentuală a nivelului prețurilor pentru o anumită perioadă.
Să presupunem că sunt cunoscute ratele inflației pentru ianuarie, februarie și martie. Notați cu h1 , h2 , h3 ratele inflației pentru aceste trei luni.
Este greșit să credem că rata inflației trimestrială este egală cu suma a trei rate lunare, adică
hq1 = h1 + h2 + h3 .
Acest lucru, desigur, nu este adevărat. Această formulă nu ține cont de faptul că inflația din februarie caracterizează creșterea procentuală a prețurilor față de prețurile care au crescut deja în ianuarie, iar inflația din martie indică o creștere procentuală a prețurilor față de prețurile din februarie.
Astfel, rata inflației pe mai multe perioade trebuie să conțină contabilizarea dobânzii la dobândă, ca în calculele cu o dobândă compusă.
În mod greșit, tratăm ratele inflației ca niște simple rate ale dobânzii. Modul corect este de a le trata ca niște pariuri compuse. Să ne uităm la modul corect.
Indicele de creștere a prețurilor este exprimat prin următoarea formulă:
unde q este numărul de bunuri luate în considerare la calcularea indicelui de creștere a prețurilor;
p - prețurile mărfurilor luate în considerare la calcularea indicelui de creștere a prețurilor în perioada de bază;
p - prețurile acelorași mărfuri în perioada de raportare.
Indicele de creștere a prețurilor pentru n perioade consecutive
Rata inflației h este exprimată prin formula:
Astfel, indicii de creștere I1 , I2 , I3 sunt determinați prin formulele:
I1 , = 1 + h1 , I2 , = 1 + h2 , I3 , = 1 + h3 .
Fiecare dintre indici arată de câte ori s-a schimbat nivelul prețurilor într-o anumită lună. Produsul acestor indici dă indicele trimestrial Iq1. Indicele trimestrial IQ1 arată de câte ori s-a schimbat nivelul prețurilor în primul trimestru:
Ikv1 \u003d I1 * I2 * I3.
Pentru a obține rata trimestrială a inflației, scădeți una din indicele trimestrial:
hkv1 \u003d Ikv1 - 1.
Astfel, până la urmă obținem
hkv1 \u003d Ikv1 - 1 \u003d I1 * I2 * I3 - 1 \u003d (1 + h1) * (1 + h2) * (1 + h3) - 1.
Ratele inflației pot varia de la o lună la alta. Cum se calculează rata medie lunară a inflației pe parcursul unui trimestru? Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să calculați indicele mediu lunar Iavmes conform formulei
I srmes \u003d (I 1 × I 2 × I 3) 1/3 \u003d (I sq1) 1/3.
Apoi rata medie lunară a inflației se obține prin scăderea 1 din indicele lunar mediu:
hsrmes = Isrms - 1.
Astfel, formula finală de calcul arată astfel:
h srmes \u003d I srmes - 1 \u003d (I 1 × I 2 × I 3) 1/3 - 1 \u003d ((1 + h 1) × (1 + h 2) × (1 + h 3)) 1 /3 - 1.
Este complet analogă cu formula pentru rata medie compusă a dobânzii.
Dobânda compusă este adesea calculată nu o dată, ci de mai multe ori pe an, în fiecare trimestru, în fiecare lună etc. În acest caz, rata nominală a dobânzii i este de obicei indicată în contract, care determină rata în fiecare perioadă de acumulare (pentru acumularea trimestrială). , cu lunar etc.).
Formulele care leagă între ele ratele dobânzii pentru diferite perioade de timp pot fi obținute folosind principiul echivalenței financiare a rezultatelor.
Rezultatul financiar pe an, obținut la rata anuală, trebuie să fie egal cu rezultatul financiar pentru 4 trimestre consecutive, calculat folosind formula dobânzii compuse pentru rata trimestrială echivalentă. De aici obținem egalitatea:
Prin urmare:
La derivarea formulelor s-a spus despre echivalența rezultatelor financiare pe an. Este important de menționat că echivalența rezultatelor este asigurată nu numai pentru anual, ci și pentru orice perioadă de timp.
Fie perioada de timp, calculată în ani, egală cu n (numărul n nu este neapărat un număr întreg). Atunci acest interval conține 4 . n sferturi. Acumulările la ratele dobânzilor anuale și trimestriale echivalente pentru această perioadă de timp sunt egale între ele,
Am stabilit o relație între ratele anuale și cele trimestriale. Același raționament ne permite să formăm o relație între ratele anuale, trimestriale și lunare:
Să luăm în considerare situația în termeni generali. Fie ca perioada de acumulare la rata dobânzii i să fie împărțită în m perioade egale de timp. Apoi rata dobânzii i asociată acestor intervale este determinată prin rata i în conformitate cu relația
(1 + i ) m = (1 + i).
i = (1 + i ) m - 1,
i = (1 + i) 1/m - 1.
În acest fel, se poate stabili o relație între ratele dobânzii pentru oricare două perioade de timp. Fie perioadele t și t exprimate în aceleași unități (ani, luni, zile etc.). Fie stabilită rata dobânzii i pentru perioada de timp t și rata dobânzii i pentru perioada t. Aceste rate sunt echivalente daca conduc la aceleasi rezultate pentru aceleasi perioade de timp, adica daca angajamentele corespunzatoare acestora pentru aceleasi perioade de timp sunt egale.
Ca un singur interval, luăm intervalul valorii txt. Conține perioadele t în cantitate de t și perioadele t în cantitatea de t. Condiția de echivalență poate fi scrisă ca o egalitate:
(1 + i) t = (1 + i ) t .
De aici obținem formule care exprimă o rată în termenii alteia:
De obicei, contractele prevăd o rată anuală a dobânzii. În acest caz, se numește rata nominală a dobânzii. Ratele dobânzii echivalente cu aceasta pentru alte perioade de timp, calculate în conformitate cu formulele de mai sus, se numesc echilibrate (sau echilibrate).
Astfel, se vorbește despre rata anuală nominală și ratele echilibrate (de echilibrare) semestriale, trimestriale, lunare, zilnice.
În paragraful anterior am primit formule care permit convertirea ratei dobânzii aferente unei perioade de angajare într-o altă rată a dobânzii echivalentă legată de o altă perioadă de angajare. În special, aceste formule permit convertirea ratei anuale nominale în alte rate echilibrate.
Formulele rezultate sunt precise, dar, datorită complexității lor, nu sunt întotdeauna convenabile pentru utilizare practică. În practica tranzacțiilor financiare, aceste formule sunt adesea înlocuite cu alte formule, mai simple. În loc de o rată echilibrată, aceste formule simplificate determină așa-numita rată relativă (relativă).
De remarcat faptul că calculul prin rate relative, fiind destul de simplu, duce la rezultate inexacte.
Fie rata anuală a dobânzii pe un an. Apoi rata relativă trimestrială iq este calculată prin formula
Rata relativă lunară lunară este determinată de formulă
În general, rata relativă pentru o perioadă de timp t, măsurată în ani, este determinată de valoarea:
i = i anul t.
Pentru un trimestru t = 1/4, pentru o lună t = 1/12, astfel încât din ultima formulă generală să se obțină automat cazurile sale particulare pentru ratele trimestriale și lunare.
Să luăm în considerare situația în termeni generali. Să presupunem că perioada de acumulare este împărțită în m intervale egale. Apoi rata relativă a dobânzii i asociată cu astfel de intervale este calculată prin formula
Raport invers
i = m i
permite exprimarea ratei inițiale i în termeni de relativă i. Să stabilim o relație între ratele dobânzilor relative pentru oricare două perioade de timp. Fie măsurate perioadele de timp t și t în aceleași unități. Pentru perioada t se stabilește rata dobânzii i, iar pentru perioada t rata i. Aceste rate sunt considerate una față de alta dacă sunt legate prin raportul:
adică dacă sunt egale pe unitatea de timp. Într-o formă echivalentă, această egalitate are forma
De aici obținem formule care ne permit să exprimăm o rată în termenii altuia:
Rata anuală nominală se transformă într-o rată relativă pentru o jumătate de an, un trimestru, o lună prin împărțirea ratei anuale la numărul corespunzător. O astfel de tranziție corespunde transformărilor după formula dobânzii simple. Cu toate acestea, transformări ulterioare asociate cu utilizarea ratei relative sunt efectuate folosind formule ale dobânzii compuse.
Astfel, creșterea depozitului pentru m luni la rata nominală anuală a dobânzii compuse se calculează utilizând rata relativă, după cum urmează. La rata anuală i an, rata lunară i luna se calculează:
i luna = i an /12,
iar apoi, după formula dobânzii compuse, se determină coeficientul de acumulare pentru m luni. Are dimensiunea:
Un astfel de calcul duce la distorsiuni.
De exemplu, cu m = 6, rata de acumulare folosind rata relativă poate fi calculată în mai multe moduri diferite. Ele vor duce la rezultate diferite.
O formulă de calcul specifică poate fi omisă în acele cazuri în care fiecare dintre părți este pregătită să se împace cu distorsiunile rezultate.
Un calcul precis, fără distorsiuni, se bazează pe rate echilibrate. Dacă există discrepanțe aici, atunci acest lucru nu se datorează esenței problemei, ci doar acurateței calculelor. Precizia este îmbunătățită dacă în calcule sunt implicate mai multe zecimale sau dacă calculele sunt efectuate în fracții obișnuite.
Calculele cu rate relative introduc întotdeauna anumite distorsiuni care nu pot fi eliminate prin simpla creștere a preciziei calculelor.
În practică, sunt adesea folosite rate relative. Utilizarea lor este asociată cu o mare comoditate (în detrimentul acurateței) și cu tradiția stabilită.
Cu toate acestea, atunci când se efectuează o analiză precisă și în studiile teoretice, se utilizează o rată echilibrată. Ea este numită și ea rata efectivă a dobânzii .
Rata efectivă a dobânzii arată venitul relativ real care apare într-un an în legătură cu calculul dobânzii. Cu alte cuvinte, rata efectivă este rata anuală a dobânzii compusă care oferă aceeași sumă de venit ca metoda utilizată efectiv de calculare a dobânzii.
Dacă dobânda este compusă o dată pe an, atunci rata efectivă corespunde ratei dobânzii nominale compuse. Dacă dobânda se acumulează mai des, atunci ratele efective și nominale pot fi diferite numeric. Corespondența dintre ele depinde de metoda de calcul a dobânzii pentru anumite perioade de timp.
Dacă metoda utilizată efectiv de calcul lunar (trimestrial) al dobânzii se bazează pe rate echilibrate, atunci rata efectivă coincide cu rata nominală a dobânzii. Dacă metoda utilizată efectiv de calcul al dobânzii lunare (trimestriale) se bazează pe rate relative (sau pe alte scheme de calcul), atunci ratele efective și nominale vor fi diferite.
Luați în considerare creșterea sumei depozitului conform formulelor dobânzii simple și compuse la aceeași rată a dobânzii.
Lăsați dobânda să se acumuleze la rata i pentru o perioadă de timp (de exemplu, timp de un an). Apoi, creșterea sumei în timp t de la valoarea inițială Р este determinată de următoarele formule:
Pentru interes simplu:
S \u003d P (1 + i t);
Pentru dobânda compusă:
S \u003d P (1 + i) t.
Acumulările pentru un număr de perioade care nu sunt întregi sunt efectuate aici conform aceleiași formule ca și pentru un număr întreg. Pentru dobânda simplă, valoarea lui S depinde de timpul t conform legii unei funcții liniare. Pentru dobânda compusă, aceasta depinde de t conform legii funcției exponențiale. Pe fig. 2.1 prezintă grafice ale unor astfel de dependențe.
Ambele linii din figură încep în același punct. Pentru t = 0:
Dacă durata intervalului de timp t este mai mică decât durata perioadei, atunci dobânda simplă dă o creștere mai mare a sumei decât dobânda compusă.
Daca 0< t < 1, то
Graficul funcției liniare care determină creșterea folosind formula dobânzii simple se află deasupra graficului funcției exponențiale care determină creșterea folosind formula dobânzii compuse. Prin urmare, dacă banca anunță rata anuală a dobânzii la depozite, iar termenul depozitului este mai mic de un an, atunci este mai profitabil pentru deponent ca banca să efectueze decontări cu el la o dobândă simplă. Dimpotrivă, este mai profitabil ca un împrumutat care a luat un împrumut de la o bancă pentru o perioadă mai mică de un an să plătească dobândă compusă.
Dacă intervalul de timp t este egal cu o perioadă, atunci calculul dobânzii simple și compuse dă același rezultat:
Ambele grafice la t = 1 trec prin același punct. Dacă termenul este egal cu durata perioadei de calcul a dobânzii (de exemplu, un an), atunci nu contează pentru deponent sau debitor dacă dobânda simplă sau compusă este decontată cu el.
Dacă durata intervalului t este mai mare de o perioadă, atunci dobânda compusă dă o creștere mai mare a sumei decât dobânda simplă. Dacă t > 1, atunci
Graficul funcției exponențiale se află deasupra liniei drepte, iar odată cu creșterea t, crește nu numai mărimea discrepanței dintre ele, ci și rata de creștere a acestei discrepanțe. Dacă termenul depozitului este mai mare decât perioada de acumulare a dobânzii, atunci este mai profitabil pentru deponent să acumuleze conform formulei dobânzii compuse, iar odată cu creșterea termenului depozitului, acest beneficiu crește. Împrumutatul, dimpotrivă, este mai profitabil să ramburseze împrumutul cu dobândă simplă.
Pentru a estima rata de creștere a unei sume de bani, se folosesc adesea așa-numitele formule ale perioadei de dublare. Astfel de formule vă permit să calculați perioada pentru care suma de bani investită se dublează.
Această perioadă se calculează prin rezolvarea ecuației care determină dublarea factorului de creștere.
Pentru interes simplu, ecuația este
1 + i t = 2.
Pentru dobânda compusă, ecuația este
Soluția acestei ecuații este:
Ratele dobânzilor sunt echivalente financiar dacă înlocuirea în contract a unei rate cu alta nu conduce la o modificare a rezultatelor financiare ale contractului, la o modificare a relațiilor părților implicate în tranzacție.
Dacă o creștere a ratei dobânzii simple într-un timp dat produce același rezultat ca și o creștere a ratei dobânzii compuse în același timp, atunci ratele sunt echivalente financiar. Fie in și ic rate ale dobânzii simple și compuse cu aceeași perioadă de acumulare (de exemplu, rate anuale). Echivalați factorii de creștere pentru aceste rate în timpul t:
De aici puteți obține formule care vă permit să calculați rata simplă echivalentă la o rată complexă și să determinați rata complexă echivalentă la o rată simplă.
Rețineți că formulele pentru calcularea ratelor echivalente implică valoarea intervalului de timp t. Când se modifică lungimea decalajului, se modifică și valoarea ratei echivalente.
Din formulele obținute rezultă direct că la t = 1, adică atunci când durata perioadei de timp luate în considerare este egală cu perioada de acumulare, ratele echivalente sunt egale între ele:
dacă t = 1, atunci în = ic .
După cum arată considerațiile noastre anterioare, sunt îndeplinite următoarele condiții pentru ratele dobânzilor echivalente în și ic:
dacă t< 1, то in < ic ,
dacă t > 1, atunci în > ic .
În practica bancară, este adesea folosită o formă mixtă de conversie a ratei dobânzii, în care rata anuală complexă este tradusă, de exemplu, într-o rată trimestrială nu la fel de complexă, ci la fel de simplă. Dobânda suplimentară este calculată conform formulei ratei compuse.
De exemplu, o bancă anunță termenii depozitului ca „48% pe an cu dobândă trimestrială”. Aceasta înseamnă că dobânda se adaugă trimestrial la suma deja acumulată a depozitului și se acumulează dobândă pentru acestea în viitor. Este, deci, un pariu complex. Cu toate acestea, dobânda trimestrială în sine este calculată folosind formula ratei simple, adică conform formulei
i trimestru \u003d i an / 4 \u003d 12 (%).
Convertit înapoi la rata anuală compusă, aceasta dă
adică 57,35% pe an în loc de 48%. Rezultatul este întotdeauna supraestimat, astfel încât această formă de transfer este neprofitabilă pentru bancă în sine. Este benefic pentru clienții băncii și este folosit practic.
Să vedem la ce va duce asta dacă reducem treptat perioada de calcul a dobânzii. Să presupunem că această formă de transfer al dobânzii se aplică nu unei perioade trimestriale, ci unei perioade lunare.
Acumularea lunară a ratei
determină ritmul anual de creştere
1,04 12 = 1,6010,
care corespunde cotei de 60,10% pe an.
Să presupunem că perioada de acumulare scade în continuare, adică anul este împărțit în m perioade egale de timp, iar valoarea lui m crește. Formula generală pentru noua rată anuală de creștere este atunci:
(1 + i/m) m .
In limita, la , obtinem cantitatea e eu . În acest caz, creșterea contribuției în timp t (măsurată în ani) este determinată de formula
S=P e aceasta.
Numărul e implicat în formulă este baza logaritmilor naturali. Joacă un rol important în analiza matematică a unei game largi de procese. Număr e- irațional, sensul său este
e = 2,7182818...
logaritmi de bază e se numesc logaritmi naturali si se noteaza cu ln. În foaia de calcul Excel, funcția corespunzătoare este notată LN.
Am ajuns la conceptul de dobândă continuă printr-o formă mixtă de acumulare, printr-o combinație de calcule la o rată simplă și compusă. Cu toate acestea, forma mixtă nu este importantă aici. Doar participarea la pariul compus este esențială.
De la conceptul de rata compusă la conceptul de dobândă continuă este posibil să se treacă în alt mod. Pentru aceasta, este suficientă formula dobânzii compuse, care determină creșterea cantității inițiale P:
S = P (1 + i) t ,
scrieți-l într-o formă diferită, echivalentă.
Formula dobânzii compuse determină creșterea sumei conform legii funcției exponențiale. Baza acestei funcții este mărimea (1 + i). Pentru valori diferite ale ratei dobânzii i, motivele se dovedesc a fi diferite. Formula dobânzii compuse pentru timp continuu este transformată în așa fel încât la rate diferite baza se dovedește a fi aceeași, dar exponentul se modifică.
Notează cu literă logaritmul natural al valorii (1 + i):
și, prin urmare
Astfel, formula dobânzii compuse poate fi înlocuită cu o formulă echivalentă:
Această formulă este de obicei folosită în analiza creșterii continue a sumei de bani.
În această formulă, valoarea α caracterizează rata de creștere a sumei. Se numește valoarea α puterea de crestere , sau prin puterea dobânzii . Este egală cu rata creșterii relative a cantității, adică este egală cu creșterea relativă a cantității într-o perioadă de timp infinit de mică. Puterea dobânzii este un tip special de rată a dobânzii menită să studieze procesul de creștere a unei sume de bani în timp continuu.
Puterea creșterii este strâns legată de rata dobânzii. Cu cât este mai mare rata dobânzii i, cu atât este mai mare forța de creștere α și invers, cu cât este mai mare forța de creștere α, cu atât este mai mare rata dobânzii. Cu toate acestea, relația dintre ele nu este direct proporțională, relație liniară. Are un caracter logaritmic.
Pentru valori mici, rata dobânzii coincide practic cu puterea creșterii, totuși, odată cu creșterea ratei, discrepanțele dintre valorile lor numerice cresc. În același timp, rata dobânzii în valoarea sa numerică este întotdeauna mai mare decât forța de creștere.
Trebuie subliniat că aceste diferențe nu conduc la o diferență de creștere a sumei monetare. Dimpotrivă, corespunzând între ele, dar valorile numeric diferite ale ratei dobânzii și ale forței de creștere asigură aceeași creștere a sumei de bani pentru aceleași intervale de timp.
Reducerea este o operațiune care permite ca o sumă viitoare de bani să fie readusă în momentul prezent în timp. Această operațiune vă permite să determinați valoarea actuală a sumei viitoare. Mai sus, ne-am gândit să reducem la o dobândă simplă. O astfel de reducere presupune o creștere a sumei de bani după formula dobânzii simple. Acum vom lua în considerare actualizarea la o rată a dobânzii compusă corespunzătoare creșterii sumei de bani folosind formula dobânzii compuse.
Suma inițială de bani Р conform formulei dobânzii compuse cu rata i în timpul t se transformă în suma S:
De aici rezultă că
Această formulă face posibilă efectuarea actualizării, adică determinarea valorii inițiale P din valoarea finală S. Multiplicatorul
se numește factor de reducere în timpul t. Este reciproca multiplicatorului de creștere. Valoarea lui P se numește valoarea modernă, sau redusă, S. Se mai numește și valoarea obținută prin actualizarea lui S. Diferența S - P se numește reducere și se notează de obicei cu litera D:
D = S - P.
Operația de actualizare este inversul operațiunii de creștere a sumei. Prin urmare, proprietățile actualizării sunt strâns legate de proprietățile acumulării. Mai sus a fost o comparație a creșterii în interes simplu și compus. Pentru reducere are loc relația inversă.
Dacă durata intervalului de timp este mai mică decât perioada de acumulare (de exemplu, un an), atunci creșterea dobânzii simple dă o sumă mai mare decât creșterea dobânzii compuse. Reducerea dobânzii simple este mai mică decât reducerea dobânzii compuse.
Dacă durata intervalului de timp este mai mare decât perioada de acumulare, atunci rata dobânzii compuse dă o creștere mai mare a sumei. Cu toate acestea, rata compusă dă o valoare mai mică atunci când este actualizată.
Reducerea poate fi efectuată nu numai pentru măsurarea discretă, ci și pentru măsurarea continuă a timpului. Din formula pentru timp continuu folosind forța de creștere, care are forma
obținem formula reducerii:
utilizat în calculele de reducere cu timp continuu.
În operațiunile contabile se folosesc atât rate de actualizare simple, cât și complexe. Procedurile simple de decontare a ratei de actualizare au fost studiate mai sus. Ne vom uita acum la procedurile adecvate pentru rata de actualizare compusă.
La aceeași sumă inițială se aplică o rată simplă de actualizare, reducerea acestei sume pe perioade de timp are loc uniform.
Rata de actualizare compusă la fiecare pas de actualizare se aplică nu sumei inițiale, ci sumei reduse cu valoarea de reducere determinată în pasul precedent. Procesul de reducere merge în același timp cu o încetinire.
Dacă suma finală este S și rata de actualizare este d, atunci actualizarea la rata de actualizare compusă pe t perioade de timp produce suma inițială P dată de formula
Mai sus, am analizat trecerea de la o rată anuală a dobânzii compusă la rate ale dobânzii trimestriale, lunare și alte dobânzi compuse. Mai general, aceasta corespunde trecerii de la o rată cu o perioadă de acumulare la o rată cu o perioadă de acumulare diferită. Au fost studiate două moduri de tranziție: trecerea la o rată echilibrată și trecerea la o rată relativă. Avantajul primei metode este acuratețea, avantajul celei de-a doua metode este simplitatea.
Trecerea de la rata anuală de actualizare la ratele trimestriale, lunare și alte rate se realizează în aceleași două moduri. Unul dintre ele oferă o rată de reducere echilibrată, iar celălalt vă permite să obțineți o rată de reducere relativă. Să le considerăm în ordine.
Ratele de actualizare echilibrate sunt determinate în conformitate cu principiul echivalenței financiare a rezultatelor.
Rezultatul financiar obținut pentru anul la rata de actualizare anuală din anul trebuie să fie egal cu rezultatul obținut pentru 4 trimestre la rata de actualizare compusă dkv. Cu alte cuvinte, egalitatea
Legăturile rezultate între rate asigură egalitatea rezultatelor financiare nu numai pentru anual, ci și pentru orice perioadă de timp.
Intervalul format din t ani conține 4 . t sferturi. Actualizarea pentru această perioadă de timp la o rată anuală compusă și la o rată trimestrială compusă conduce la aceleași rezultate, deoarece
Am stabilit o relație între rata de actualizare anuală și cea trimestrială. În mod similar, formăm o relație între anul anual și lunar lunar, zi zilnic și alte rate complexe de reducere:
Relațiile dintre rata de actualizare compusă trimestrială și lunară sunt exprimate în mod similar:
Prin urmare,
Să luăm în considerare situația în termeni generali. Fie perioada de calcul al ratei de actualizare d să fie împărțită în m intervale egale. Atunci rata de actualizare d asociată acestor intervale este determinată prin rata d folosind relația:
În general, relația dintre oricare două rate de actualizare compuse aplicate pe două perioade de timp diferite poate fi obținută în acest fel.
Fie măsurate perioadele t și t în aceleași unități de timp (ani, luni etc.). Fie perioada t să corespundă ratei de actualizare compusă d, iar perioada t cu rata de actualizare compusă d. Aceste rate sunt echivalente dacă dau aceleași rezultate financiare pentru perioade egale de timp, adică dacă multiplicatorii de discount corespunzători sunt aceiași.
Ca un singur interval de timp, alegem un interval de lungime txt. Conține perioadele t în cantitatea de t unități și perioadele t în numărul de t unități. Condiția de echivalență este exprimată ca o egalitate a factorilor de reducere pentru intervalele de timp corespunzătoare, adică ca o egalitate
De aici obținem formule care ne permit să exprimăm o rată de actualizare în termenii alteia:
De obicei, se stabilește o rată de actualizare anuală, numită rata de actualizare nominală. Este folosit pentru a calcula ratele de actualizare pentru alte perioade de timp. Dacă aceste rate sunt stabilite în modul indicat aici, atunci ele se numesc rate de actualizare compuse echilibrate (uneori numite echilibrare).
Ratele de actualizare compuse echilibrate asigură echivalența financiară a rezultatelor la orice interval de timp. În acest sens, astfel de rate în sine sunt echivalente.
Ratele de actualizare echilibrate sunt introduse în mod similar ratelor dobânzilor echilibrate. Ratele de actualizare relative sunt similare cu ratele dobânzilor relative.
Dacă rata de actualizare anuală este egală cu anul, atunci rata de actualizare trimestrială relativă dq, rata de actualizare lunară dlună, rata de actualizare zilnică dday sunt determinate de formulele:
În cazul general, fie perioada de calcul al ratei de actualizare d să fie împărțită în m intervale egale. Atunci rata de actualizare relativă d pentru aceste intervale este legată de rata d prin relațiile:
Este posibil să se stabilească o relație între ratele de actualizare relative pentru oricare două perioade de timp. Fie măsurate perioadele t și t în aceleași unități. Rata de actualizare d este stabilită pentru perioada t, iar rata de actualizare d este stabilită pentru perioada t. Aceste rate sunt relativ unele față de altele dacă satisfac relația
adică dacă cotele lor pe unitatea de timp sunt egale între ele. Această egalitate este echivalentă cu următoarele:
De aici puteți obține cu ușurință formule care vă permit să exprimați o rată de reducere în funcție de alta:
Aceste formule fac posibilă nu numai exprimarea ratelor de actualizare relative în termeni de rata de actualizare anuală nominală, ci și exprimarea ratelor de actualizare relative direct una în termenii altora.
Calculul ratelor de actualizare relative corespunde transformărilor după formulele ratelor simple. Cu toate acestea, utilizarea ratelor de actualizare relative este în concordanță cu formulele ratei compuse.
Factorul de reducere, de exemplu, pentru 6 luni, calculat la rata de actualizare lunară, este
Același multiplicator, calculat la rata trimestrială, are forma
Acest multiplicator poate fi determinat și direct prin rata de actualizare semestrială d semestrială:
1 - d jumătate de an = 1 - d an / 2.
Metodele de calcul a aceleiași cantități indicate aici conduc la rezultate numeric diferite.
Astfel, cu rate de actualizare echilibrate și relative, situația este aceeași ca și cu tipurile corespunzătoare de rate ale dobânzii. Și anume: ratele de actualizare de echilibrare dau un rezultat exact, dar sunt asociate cu calcule destul de greoaie. Ratele de actualizare relative sunt mai ușor de calculat, dar oferă un rezultat aproximativ.
Trebuie avut în vedere faptul că atunci când treceți la intervale de timp mai scurte (de exemplu, de la an la lună), rata de actualizare relativă are o valoare mai mică decât rata de actualizare echilibrată. Prin urmare, factorul de actualizare la rata de actualizare relativă este mai mare decât factorul de actualizare la rata de actualizare echilibrată.
Astfel, dacă se stabilește o rată de actualizare anuală nominală și rămâne mai puțin de un an înainte de expirarea facturii, atunci este mai profitabil pentru proprietarul facturii ca contabilitatea să fie efectuată la o rată de actualizare relativă.
Când treceți la intervale de timp mai lungi (de exemplu, de la lună la an), situația este inversă. Aici rata de actualizare relativă va fi mai mare decât cea echilibrată. Multiplicatorul de reducere calculat la rata relativă va fi în mod corespunzător mai mic decât multiplicatorul de reducere calculat la rata echilibrată. În acest caz, este mai profitabil pentru proprietarul facturii ca contabilitatea să fie efectuată la o rată echilibrată.
Decontarea sumei atunci când se contabilizează o rată de actualizare simplă este determinată de formulă
P \u003d S (1 - d t).
Actualizarea atunci când se contabilizează o rată de actualizare complexă - formula
Pe fig. 2.2 prezintă grafice ale dependenței sumei P obținute în contabilitate față de perioada contabilă t.
Orez. 2.2. Sumă în scădere la o rată de actualizare simplă și complexă
Scăderea sumei la o rată de actualizare simplă are loc conform legii unei funcții liniare, uniform. Graficul dependenței sumei în timp (de perioada de reducere) este o linie dreaptă.
Scăderea sumei la o rată de actualizare complexă se produce în mod neuniform, cu o încetinire. Graficul sumei în funcție de timp este graficul unei funcții exponențiale cu o bază mai mică de 1.
Ambele grafice încep în același punct la t = 0 și se intersectează la t = 1. Dacă perioada de reducere este 0, atunci, desigur, nu contează dacă actualizarea este efectuată la o rată complexă sau simplă. La fel, nu contează dacă perioada de reducere este egală cu o perioadă (1 an la rata anuală). Într-adevăr, la t = 1, obținem aceleași rezultate pentru ratele simple și complexe:
P \u003d S (1 - d t) \u003d S (1 - d).
P \u003d S (1 - d) t \u003d S (1 - d).
În toate celelalte cazuri, reducerea la o rată simplă și complexă dă rezultate diferite. În același timp, dacă perioada de reducere este mai mică de o perioadă, atunci se obține o sumă mai mare (și, în consecință, o valoare de reducere mai mică) la o rată simplă. Deținătorul unei obligații cu un termen rămas mai mic de o perioadă (un an la o rată anuală) este mai profitabil să contabilizeze obligația la o rată de actualizare simplă. Dacă termenul rămas este mai mult de o perioadă, atunci este mai profitabil să luăm în considerare obligația la o rată de actualizare complexă, iar această rentabilitate crește odată cu durata termenului.
Graficul unei funcții liniare corespunzătoare unei rate simple va traversa axa x la o anumită valoare a lui t. Aceasta înseamnă că pentru o anumită perioadă, suma rezultată din contabilizarea datoriei este 0, iar reducerea este egală cu întreaga sumă a pasivei. Nu are sens să luăm în considerare obligațiile în aceste condiții. Mai mult, nu are sens să luăm în considerare valorile ulterioare ale lui t, atunci când graficul scade sub axa x.
O rată de actualizare cu adevărat simplă este utilizată pentru perioade contabile nu prea lungi. În schimb, rata de actualizare compusă poate fi aplicată în orice moment. Graficul funcției exponențiale corespunzătoare ratei compuse nu va traversa niciodată axa orizontală, deși se va apropia de ea la nesfârșit odată cu creșterea timpului. Suma emisă la contabilizarea obligației în astfel de condiții va scădea pe termen nelimitat odată cu creșterea termenului, dar nu va deveni niciodată egală cu 0. În consecință, valoarea de actualizare se va apropia la nesfârșit de valoarea obligației în sine, dar nu va coincide niciodată cu aceasta. .
Echivalența ratelor de actualizare este legată de echivalența rezultatelor financiare la aceste rate pentru o anumită perioadă de timp.
Fie dn și dc rate de actualizare simple și compuse cu aceeași perioadă de acumulare (de exemplu, rate anuale). Echivalența ratelor pentru o perioadă de timp t înseamnă egalitatea multiplicatorilor de reducere asociați acestei perioade:
De aici obținem formulele pentru calcularea unei rate simple pentru o rată complexă echivalentă și pentru calcularea unei rate complexe pentru o rată simplă echivalentă:
Pentru ratele de actualizare, precum și pentru ratele dobânzilor, echivalența este determinată pentru o anumită perioadă de timp.
Tarifele care sunt echivalente pentru o perioadă de timp, atunci când durata perioadei de timp se modifică, încetează să fie echivalente.
Ratele echivalente sunt egale între ele atunci când durata perioadei de timp luate în considerare este egală cu perioada de acumulare, adică:
dacă t = 1, atunci dn = dc .
Aceasta rezultă direct din formulele obținute. Raționamentul anterior arată că ratele de actualizare echivalente îndeplinesc următoarele condiții:
dacă t< 1, то dn >DC,
dacă t > 1, atunci dn< dc .
Reducerea sumei de bani poate fi efectuată la un procent sau la o rată de reducere.
La actualizarea la o dobândă compusă, valoarea inițială a sumei monetare P este determinată de valoarea sa finală S, care a crescut în timp t la rata dobânzii i, conform formulei
Când se actualizează la o rată de actualizare complexă d, suma inițială de bani este determinată de formula
Dobânda și rata de actualizare sunt echivalente dacă dau același rezultat financiar, adică dacă dau aceleași sume inițiale P pentru aceleași sume finale S pentru același timp t.
Astfel, pentru rate echivalente, egalitatea
Extragând rădăcina gradului t din ambele părți, obținem
Aceasta poate fi scrisă după cum urmează:
(1 + i) (1 - d) = 1.
De aici este ușor de exprimat rata dobânzii în termeni de rata de actualizare și rata de actualizare în termeni de rata dobânzii:
Este important de reținut că aceste formule nu includ durata intervalului de timp t. Prin urmare, pariurile complexe echivalente sunt echivalente nu numai pentru o anumită perioadă de timp, ci pentru orice perioadă de timp. Amintiți-vă că nu este cazul pariurilor simple.
Formula de reducere la o rată de actualizare compusă în timp t
poate fi folosit nu numai în timp discret, ci și continuu. Ca și în cazul dobânzii compuse, la trecerea la timp continuu, formula este transformată astfel încât atunci când rata de actualizare d se modifică, nu se modifică baza funcției exponențiale, ci indicatorul acesteia. În acest scop, introduceți valoarea:
Expresia sublogaritmică este mai mică decât 1, adică.
ln(1-d)< 0,
și deci b este pozitiv. Din definiția pe care o obținem
Formula de actualizare la o rată de actualizare complexă ia forma
Prin analogie cu puterea dobânzii, valoarea este uneori numită forța de reducere . Formula de reducere rezultată cu participarea forței de reducere face posibilă efectuarea calculelor într-o formă convenabilă pentru timp continuu. Puterea reducerii caracterizează rata relativă de scădere a sumei actualizate.
Pe măsură ce rata de actualizare crește, crește și rata de actualizare corespunzătoare. Relația dintre aceste mărimi nu este directă, nu direct proporțională, ci logaritmică.
Odată cu creșterea ratei de actualizare, discrepanțele dintre valorile numerice ale ratei de actualizare și forța de actualizare cresc treptat. Puterea reducerii este mai mare decât rata de actualizare. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că valorile ratei de actualizare și ale forței de actualizare corespunzătoare una cu cealaltă specifică același proces de actualizare, aceeași sumă de reducere a sumei datoriei atunci când se ia în considerare obligația datoriei.
Formulele obtinute de noi permit, pe baza termenilor contractului, sa se calculeze suma finala de bani din suma sa initiala sau, invers, sa se calculeze suma initiala dintr-o suma finala cunoscuta. Un rol important în calculele financiare îl joacă o altă sarcină: determinarea termenilor contractului dintr-o sumă inițială și finală cunoscută. Cele mai importante caracteristici numerice ale contractului sunt durata termenului și tariful.
Conform formulei dobânzii compuse, avem
După transformări elementare și luarea de logaritmi, obținem de aici:
Această formulă vă permite să determinați durata perioadei t pentru o sumă inițială și finală dată și la o rată a dobânzii compusă cunoscută, pentru care suma inițială P va crește până la suma finală S la rata dobânzii compusă i. Logaritmii implicați în formulă pot avea orice bază (dar ambii logaritmi trebuie să aibă aceeași bază). În special, puteți utiliza logaritmi naturali sau zecimali.
Să presupunem acum că perioada de acumulare este împărțită în m perioade egale de timp și calculele sunt efectuate la rata recalculată pentru aceste perioade. De exemplu, de la decontări la o rată anuală nominală, au trecut la decontări la o rată lunară. După cum știm, sunt utilizate ratele lunare echilibrate și lunare relative.
Valoarea ratei echilibrate i pentru o perioadă de timp egală cu 1/m din perioada de acumulare la rata i este determinată de formula
Creșterea sumei de bani în timp t la ritmul i se va desfășura în conformitate cu formula
Când se calculează pe baza forței de creștere, se utilizează formula
Luând logaritmul natural (baza e) din ambele părți ale formulei după transformări simple obținem:
Forța de creștere (rată a dobânzii continue) α și rata inițială a dobânzii i sunt legate prin relație
Astfel, durata termenului, calculată la rata dobânzii continue, coincide cu durata, calculată la rata dobânzii inițială:
În conformitate cu formula de actualizare la o rată de actualizare complexă, avem:
După transformări simple ale acestei formule, obținem:
Această formulă vă permite să calculați perioada de reducere pentru suma finală S, suma contabilă P și rata de actualizare d. Ca și în cazul dobânzii compuse, logaritmii în calcule pot fi luați în orice bază (aceeași în numărătorul și numitorul fracției).
Luați în considerare o situație în care perioada de calcul a ratei de actualizare este împărțită în m intervale egale de lungime egală (de exemplu, un an este împărțit în luni). În acest caz, împreună cu rata de actualizare inițială d, sunt utilizate rate de actualizare echilibrate și relative d, pentru care aceste intervale egale mici sunt perioade de angajamente.
Valoarea ratei de actualizare echilibrată d pentru intervalul care face parte din perioada de acumulare la rata d este determinată de formula
Decontarea sumei de bani pentru timpul t la rata de actualizare d se calculează prin formula
De aici obținem:
Ratele de actualizare d și d sunt legate prin relație
Am constatat că calculul perioadei de actualizare t la rata de actualizare inițială d și la rata de actualizare echilibrată d oferă același rezultat.
Acesta nu este cazul ratei relative. Rata relativă se calculează folosind formula
Decontarea sumei de bani în timpul t în conformitate cu rata de actualizare relativă d este determinată de formula
De aici obținem:
Odată cu creșterea numărului de intervale m, rata de actualizare la rata de actualizare relativă scade, iar perioada de actualizare crește. Pe măsură ce m crește, această perioadă se abate din ce în ce mai mult de perioada calculată la rata inițială și echilibrată.
În calculele bazate pe puterea reducerii, se utilizează formula
Din această formulă obținem:
Întrucât forța reducerii și rata de actualizare d sunt legate de raport
atunci durata calculată pe baza forței reducerii și durata calculată pe baza ratei de actualizare sunt aceleași. Într-adevăr,
Din formula dobânzii compuse
urmează că
Ultima formulă vă permite să determinați suma necesară a ratei dobânzii i prin volumul sumei inițiale Р, suma finală S și timpul de creștere t.
Să presupunem că perioada de acumulare este împărțită în m intervale egale. Astfel de intervale corespund valorii proprii a ratei dobânzii i.
Valoarea lui i poate fi calculată în două moduri diferite. Prima modalitate este să găsiți i pe baza ratei deja primite i. Rezultatul va depinde de dacă această rată i este echilibrată sau relativă. Pentru o rată echilibrată, calculul trebuie efectuat conform formulei
De aici, folosind formula deja obținută pentru i, putem deriva următoarea formulă:
Pentru rata relativă, calculul trebuie efectuat conform formulei
A doua modalitate este să găsiți valoarea ratei i în mod direct, fără a recurge la rata i și abia apoi să determinați rata i din aceasta. .
Formula dobânzii compuse, exprimată în termeni de rata i, este:
Dacă rata i este considerată ca o rată echilibrată, atunci din ultima formulă se poate obține:
Astfel, pentru a calcula rata i, obținem formula anterioară. Pentru o rată echilibrată, rezultatele calculelor pentru prima și a doua metodă sunt aceleași.
Dacă rata i este considerată o rată relativă, atunci din formula de calcul se obține:
Această formulă diferă de formula originală pentru rata i și dă un rezultat diferit.
Astfel, pentru rata relativă, modul în care se calculează este important.
Luați în considerare acum calculul continuu al dobânzii bazat pe puterea creșterii. În acest caz, formula de creștere are forma
De aici obținem formula de calcul pentru determinarea forței de creștere (rata continuă a dobânzii):
Conform formulei de reducere,
De aici rezultă că
Această formulă vă permite să calculați valoarea ratei de actualizare d pentru suma finală S, suma la momentul contabilizării P și perioada de actualizare t.
Fie ca perioada de calcul a ratei de actualizare să fie împărțită în m intervale egale. Să determinăm valoarea ratei d corespunzătoare unor astfel de intervale. Ca și în cazul ratei dobânzii, există două metode de calcul aici. Prima modalitate este de a determina valoarea ratei de actualizare d pe baza ratei d deja primite.
Rata de actualizare echilibrată d în acest caz trebuie calculată folosind formula
Această egalitate poate fi continuată:
ceea ce face posibilă calcularea valorii ratei d direct prin datele iniţiale.
Pentru rata de actualizare relativă, calculul se efectuează conform formulei
A doua metodă se bazează pe găsirea ratei d fără a recurge la rata d. Rata d poate fi calculată apoi din rata d.
Formula de actualizare la rata de actualizare d este
Astfel, am primit din nou aceeași formulă care a fost derivată pentru rata echilibrată. Prin urmare, pentru o rată echilibrată, ambele metode de calcul dau aceleași rezultate, atât pentru d, cât și pentru d.
Pentru rata relativă, situația este diferită. Să definim rata d și d:
Această formulă și formula de calcul direct a ratei d date la începutul acestui paragraf sunt diferite una de cealaltă și conduc la rezultate diferite.
Astfel, pentru rata relativă de actualizare, precum și pentru rata relativă a dobânzii, este importantă metoda de calcul a acesteia.
Să trecem la luarea în considerare a reducerii continue. Formula care utilizează forța de reducere este
De aici, forța de actualizare (rata contabilă continuă) poate fi calculată folosind formula
Deoarece R < S, atunci expresia sublogaritmică este mai mică decât 1, logaritmul în sine este negativ și ținând cont de semnul minus, numărătorul fracției este pozitiv. Astfel, valoarea ratei de actualizare continuă este pozitivă.
Creșterea la o rată simplă a dobânzii este determinată de o funcție liniară sau progresie aritmetică. Creșterea la o rată a dobânzii compusă este determinată de o funcție exponențială (exponențială) sau de progresie geometrică.
Astfel, o dobândă compusă pe perioade lungi de timp este mai profitabilă pentru un investitor decât una simplă, iar odată cu creșterea termenului depozitului, profitabilitatea crește.
Amintiți-vă formulele de bază pentru creștere și reducere la rate compuse.
Creșterea la o rată a dobânzii compusă este determinată de formula
Reducerea la o rată a dobânzii compusă este determinată de formula
Reducerea la o rată de actualizare compusă este determinată de formula
Formula de crestere bazata pe forte de crestere:
Formula de reducere bazată pe forţe de reducere:
