De la simplu la complex...
De ce își aduce o persoană economiile la bancă? Desigur, pentru a le asigura siguranța și, cel mai important, pentru a primi venituri. Și aici, cunoașterea formulei pentru dobânda simplă sau compusă, precum și capacitatea de a face un calcul preliminar al dobânzii la un depozit, vor fi utile ca niciodată. La urma urmei, prognozarea dobânzii la depozite sau a dobânzii la împrumuturi este una dintre componentele unui management rezonabil al finanțelor tale. Este bine să efectuați astfel de previziuni înainte de semnarea contractelor și efectuarea tranzacțiilor financiare, precum și în perioadele următoarei acumulări de dobânzi și adăugarea acesteia la depozit în baza unui contract de depozit deja încheiat.
Pentru a calcula dobânda la depozite (depozite), precum și la împrumuturi, se folosesc următoarele formule:
O rată fixă este atunci când rata dobânzii stabilită pentru un depozit bancar este fixată într-un contract de depozit și rămâne neschimbată pe toată perioada investiției, de exemplu. fix. Această rată se poate modifica numai în momentul prelungirii automate a contractului pentru un nou termen sau în cazul încetării anticipate a relației contractuale și achitării dobânzii pentru perioada efectivă a investiției la rata „la cerere”, care este prevăzută de conditii.
O rată variabilă este atunci când rata dobânzii stabilită inițial prin contract se poate modifica pe toată perioada investiției. Condițiile și procedura de modificare a ratelor sunt stipulate în contractul de depozit. Ratele dobânzii se pot modifica: în legătură cu modificările ratei de refinanțare, cu modificările cursului de schimb, cu transferul sumei depozitului într-o altă categorie și alți factori.
Pentru a calcula dobânda folosind formule, trebuie să cunoașteți parametrii investiției fondurilor într-un cont de depozit, și anume:
Acum să ne uităm la formulele standard ale dobânzii de mai sus care sunt utilizate pentru a calcula dobânda la depozite (depozite).
Formula dobânzii simple este utilizată dacă dobânda acumulată la depozit se adaugă la depozit doar la sfârșitul termenului de depozit sau nu se adaugă deloc, ci este transferată într-un cont separat, adică. calculul dobânzii simple nu prevede capitalizarea dobânzii.
Atunci când alegeți tipul de depozit, ar trebui să acordați atenție procedurii de calculare a dobânzii. Atunci când suma depozitului și perioada de plasare sunt semnificative, iar banca utilizează formula dobânzii simple, aceasta duce la o subestimare a sumei veniturilor din dobânzi ale deponentului. Formula pentru dobânda simplă la depozite arată astfel:
Formula simplă a dobânzii
Formula simplă a dobânzii
Sensul simbolului:
Sp - suma dobânzii (venitului).
I - rata anuală a dobânzii
t - numărul de zile de acumulare a dobânzii la depozitul atras
K - numărul de zile dintr-un an calendaristic (365 sau 366)
P este suma de fonduri atrase de depozit.
Voi da exemple condiționate de calculare a dobânzii simple și a sumei unui depozit bancar cu dobândă simplă:
Exemplul 1 Să presupunem că banca a acceptat un depozit în valoare de 50.000 de ruble pentru o perioadă de 30 de zile. Rata fixă a dobânzii - 10,5% pe an. Aplicând formulele, obținem următoarele rezultate:
S = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50431,51
Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51
Exemplul 2 Banca a acceptat un depozit în aceeași sumă de 50.000 de ruble pentru o perioadă de 3 luni (90 de zile) la o rată fixă de 10,5 la sută „anual”. Doar termenul investiției s-a schimbat în condiții.
S = 50000 + 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 51294,52
Sp = 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 1294,52
Comparând cele două exemple, se poate observa că valoarea dobânzii lunare acumulate conform formulei dobânzii simple nu se modifică.
431,51 * 3 luni = 1294,52 ruble.
Exemplul 3 Banca a acceptat un depozit în valoare de 50.000 de ruble pentru o perioadă de 3 luni (90 de zile) la o rată fixă de 10,5 la sută „anual”. Depozitul este reîncărcat, iar în a 61-a zi, depozitul a fost completat în valoare de 10.000 de ruble.
S1 \u003d 50000 + 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 \u003d 50863,01
Sp1 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 = 863,01
S2 = 60000 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 60517,81
Sp2 = 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 517,81
Sp = Sp1 + Sp2 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 863,01 + 517,81 = 1380,82
Exemplul 4 Banca a acceptat un depozit în aceeași sumă de 50.000 de ruble pentru o perioadă de 3 luni (90 de zile), la o rată variabilă. Pentru prima lună (30 de zile) rata dobânzii este de 10,5%, pentru următoarele 2 luni (60 de zile) rata dobânzii este de 12%.
S1 = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50000 + 431,51 = 50431,51
Sp1 = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51
S2 = 50000 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 50000 + 986,3 = 50986,3
Sp2 = 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 986,3
Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 431,51 + 986,3 = 1417,81
Formula dobânzii compuse se aplică dacă dobânda la depozit este calculată la intervale regulate (zilnic, lunar, trimestrial) și la depozit se adaugă dobânda acumulată, adică calculul dobânzii compuse prevede capitalizarea dobânzii (calculul dobânzii). pe dobândă).
Majoritatea băncilor oferă depozite cu capitalizare trimestrială (Sberbank of Russia, VTB etc.), adică. cu dobândă compusă. Iar unele bănci, în ceea ce privește depozitele, oferă capitalizare la sfârșitul perioadei de investiție, adică. atunci când depozitul este prelungit pentru următorul termen, ceea ce, ca să spunem ușor, se referă la o cascadorie publicitară care încurajează deponentul să nu preia dobânda acumulată, dar dobânda în sine se calculează de fapt după formula dobânzii simple. Și repet, atunci când suma depozitului și perioada de plasare sunt semnificative, o astfel de „capitalizare” nu duce la o creștere a sumei veniturilor din dobânzi ale deponentului, deoarece nu există o acumulare de dobânzi la veniturile din dobânzi primite în anterioare. perioade.
Formula dobânzii compuse arată astfel:
Formula dobânzii compuse
Calcularea doar a dobânzii compuse folosind o formulă ar arăta astfel:
Numai calculul dobânzii compuse
Voi da un exemplu condiționat de calculare a dobânzii compuse și a sumei unui depozit bancar cu dobândă compusă:
Exemplul 5 A fost acceptat un depozit în valoare de 50 de mii de ruble. pentru o perioadă de 90 de zile cu o rată fixă de 10,5 la sută pe an. Dobânda se percepe lunar. În consecință, numărul operațiunilor de valorificare a dobânzilor acumulate (p) în termen de 90 de zile va fi - 3. Iar numărul de zile calendaristice din perioada următoare căreia banca valorifică dobânda acumulată (j) va fi - 30 de zile (90/). 3). Care va fi suma dobânzii?
S \u003d 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100) 3 \u003d 51305,72
Sp = 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100)3 - 50000 = 1305,72
Puteți verifica corectitudinea sumei dobânzii calculate folosind metoda dobânzii compuse verificând de două ori calculul folosind formula dobânzii simple.
Pentru a face acest lucru, împărțim termenul de depozit în 3 perioade independente (3 luni) a câte 30 de zile fiecare și calculăm dobânda pentru fiecare perioadă folosind formula dobânzii simple. Suma depozitului în fiecare perioadă următoare va fi luată în considerare ținând cont de dobânda pentru perioadele anterioare. Ca rezultat al calculului, a rezultat:
Deci, suma totală a dobânzii, ținând cont de capitalizarea lunară (calculul dobânzii la dobândă), este:
Sp = Sp1 + Sp2 + Sp3 = 431,51 + 435,23+ 438,98 = 1305,72
Aceasta corespunde cu suma calculată din dobânda compusă din exemplul 5.
Și când se calculează dobânda pentru aceeași perioadă folosind formula dobânzii simple din exemplul nr. 2, venitul s-a ridicat la doar 1294,52 ruble. Valorificarea dobânzii a adus deponentului încă 11,2 ruble. (1305,72 - 1294,52), adică randamente mai mari se obtin din depozitele cu capitalizare a dobanzii atunci cand se aplica dobanda compusa.
La calcularea dobânzii, trebuie luată în considerare încă o mică nuanță. La determinarea numărului de zile pentru acumularea dobânzii la un depozit (t) sau a numărului de zile calendaristice din perioada următoare căreia banca valorifică dobânda acumulată (j), ziua închiderii (retragerii) depozitului nu este luată în considerare. cont. Deci, de exemplu, pe 2 noiembrie 2007, banca a acceptat un depozit pentru o perioadă de 7 zile. Termenul complet al depozitului este de la 02.11.07 la 09.11.07, i.е. 8 zile calendaristice. Iar perioada de acumulare a dobânzii la depozit va fi de la 02.11.07 până la 08.11.07, i.е. – 7 zile calendaristice. Ziua 09.11.07 nu este luată în considerare deoarece depozitul este returnat clientului.
Terminând materialul, vreau să vă atrag încă o dată atenția asupra faptului că conform formulelor de dobândă de mai sus puteți calcula și dobânda la împrumuturi. Mult succes cu veniturile și cheltuielile tale.
Dobânda compusă diferă de dobânda obișnuită prin aceea că este percepută nu numai din principalul depozitului, ci și din suma dobânzii acumulate pe aceasta. Din acest motiv, sumele din conturile de economii cu dobândă compusă cresc mai repede decât în conturile cu dobândă simplă. Mai mult, economiile vor crește și mai repede dacă dobânda este capitalizată de mai multe ori pe an. Dobânda compusă se găsește în diverse tipuri de investiții, precum și în anumite tipuri de împrumuturi, cum ar fi cardurile de credit. Calcularea creșterii sumei inițiale la rata dobânzii compuse este destul de simplă dacă cunoașteți formula corectă.
Partea 1
Calcularea manuală a dobânzii compuse anualeDeterminați capitalizarea anuală. Rata dobânzii la investiții sau contracte de împrumut este stabilită pentru un an. De exemplu, dacă rata împrumutului auto este de 6%, atunci plătiți 6% din suma împrumutului anual. Când se capitalizează dobânda o dată pe an, este mai ușor să se calculeze dobânda compusă.
Calculați capitalizarea dobânzii pentru primul an. Să presupunem că ai 1.000 USD și îi investești în obligațiuni guvernamentale americane cu 6% pe an. Dobânda pentru obligațiunile guvernamentale SUA este calculată anual pe baza ratei dobânzii și a valorii curente a titlului.
Calculați capitalizarea dobânzii pentru anii următori. Pentru a vedea mai clar diferența dintre dobânda compusă și dobânda obișnuită, calculați valoarea acestora pentru anii următori. De la an la an, suma dobânzii va crește.
Creați o foaie de calcul în Excel pentru a calcula dobânda compusă în totalitate. Este util să vizualizați dobânda compusă ca o simplă foaie de calcul în Excel care vă va arăta creșterea investiției dvs. Deschideți documentul și etichetați celulele de sus din coloanele A, B și C ca „An”, „Cost” și „Dobândă acumulată”.
Efectuați operații matematice asupra formulei. Simplificați expresia calculând părțile individuale, începând cu paranteze și fracția aflată acolo.
Scădeți suma inițială din rezultat. Diferența va reprezenta suma dobânzii acumulate.
Partea 3
Calculul dobânzii compuse cu reînnoirea regulată a depozituluiÎnvață formula. Dobânda compusă va crește și mai rapid dacă creșteți în mod regulat suma depozitului, de exemplu, depunând o anumită sumă într-un cont de depozit în fiecare lună. Formula aplicată în acest caz devine mai mare, dar se bazează pe aceleași principii. Arata cam asa: FV = P (1 + ic) n ∗ c + R ((1 + ic) n ∗ c − 1) ic (\displaystyle FV=P(1+(\frac (i)(c)))^(n* c)+(\frac (R((1+(\frac (i)(c)))^(n*c)-1))(\frac (i)(c)))). Toate variabilele din formulă rămân aceleași, dar li se adaugă încă un indicator:
Determinați valorile inițiale ale variabilelor. Pentru a calcula valoarea viitoare a unui depozit, trebuie să cunoașteți suma inițială (actuală) a depozitului, rata anuală a dobânzii, frecvența capitalizării dobânzii, termenul depozitului și valoarea reîncărcării lunare a depozitului. Toate acestea pot fi găsite în contractul pe care l-ați semnat cu banca dumneavoastră.
Înlocuiți datele din formulă. Continuând cu exemplul de mai sus, să presupunem că decideți să depuneți 100 USD în fiecare lună. În același timp, suma inițială a depozitului este de 5.000 USD, rata este de 3,45% pe an, iar capitalizarea are loc lunar. Calculați creșterea depozitului timp de doi ani.
Faceți un calcul. Din nou, amintiți-vă ordinea corectă a operațiunilor. Aceasta înseamnă că trebuie să începeți prin a face acțiunile din paranteze.
Dobânda compusă este utilizată în tranzacțiile financiare și de credit pe termen lung, dacă dobânda nu este plătită periodic imediat după ce a fost acumulată pentru intervalul de timp trecut, ci se adaugă la suma datoriei. Adăugarea dobânzii acumulate la suma care a servit drept bază pentru determinarea acestora este adesea numită capitalizare la sută.
formula dobânzii compuse
Să fie datoria inițialăP, apoi într-un an suma datoriei cu dobândă adăugată va fiP(1+ i) , după 2 ani P(1+ i)(1+ i)= P(1+ i) 2 , peste n ani - P(1+ i) n. Astfel, obținem formula de angajamente pentru dobânda compusă
S=P(1+i)n, (19)
Unde S- suma acumulatăi- rata anuală a dobânzii compuse,n- termenul împrumutului (1+ i) n- multiplicatorul de increment.
În calculele practice se folosesc în principal procente discrete, adică. dobânzi acumulate pentru aceleași intervale de timp (an, jumătate de an, trimestru etc.). Interesul compus este creșterea conform legii unei progresii geometrice, al cărei prim termen este egal cuP, și numitorul (1+ i).
Rețineți că la momentul respectivn<1 acumularea dobânzii simple dă un rezultat mai mare decât dobânda compusă, iar cun>1 - viceversa. Este ușor să vedeți acest lucru în exemple numerice specifice. Cel mai mare excedent al sumei acumulate la dobânda simplă față de suma acumulată la dobânda compusă (la aceleași rate ale dobânzii) se realizează în mijlocul perioadei.
Formula dobânzii compuse
când rata se modifică în timp
În cazul în care rata dobânzii compuse se modifică în timp, formula de angajamente are următoarea formă
(20)
unde i 1 , i 2 ,..., i k - valorile succesive ale ratelor dobânzilor în vigoare în perioadele respective n1,n2,...,nk respectiv.
Exemplul 6
Contractul a fixat o rată variabilă a dobânzii compuse, definită ca 20% pe an plus o marjă de 10% în primii doi ani, 8% în al treilea an, 5% în al patrulea an. Determinați valoarea multiplicatorului de acumulare pentru 4 ani.
Soluţie.
(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704
Dublarea formulei sumei
Pentru a-și evalua perspectivele, un creditor sau un debitor poate întreba: în câți ani va crește suma împrumutului cuNori la o anumită rată a dobânzii. Acest lucru este de obicei necesar atunci când vă preziceți oportunitățile de investiții în viitor. Obținem răspunsul echivalând factorul de creștere cu valoareaN:
A) pentru dobândă simplă
(1+ nisimplu.) = N, Unde
. (21)
B) pentru dobânda compusă
(1+ icomplicat) n= N, Unde
. (22)
Mai ales folosit în mod obișnuitN=2. Atunci formulele (21) și (22) se numesc formule de dublare și iau următoarea formă:
A) pentru dobândă simplă
, (23)
B) pentru dobânda compusă
. (24)
Dacă formula (23) este ușor de aplicat pentru estimarea calculelor, atunci formula (24) necesită utilizarea unui calculator. Cu toate acestea, la rate scăzute ale dobânzii (să zicem, mai puțin de 10%), poate fi folosită o aproximare mai simplă. Este ușor de obținut, având în vedere că ln 2 0,7 și ln (1+ i ) i . Apoi
n» 0,7/ i. (25)
Exemplul 7
Soluţie.
a) La dobanda simpla:
ani.
b) Cu dobândă compusă și formula exactă:
Al anului.
c) Cu dobândă compusă și o formulă aproximativă:
n» 0,7/ i\u003d 0,7 / 0,1 \u003d 7 ani.
Concluzii:
1) Aceeași valoare a ratelor dobânzii simple și compuse duce la rezultate complet diferite.
2) La rate ale dobânzii compuse scăzute, formulele exacte și aproximative dau practic aceleași rezultate.
Calculul dobânzii anuale pentru un număr fracționar de ani
Cu un număr fracționar de ani, dobânda este calculată în diferite moduri:
1) Conform formulei dobânzii compuse
S=P(1+i)n, (26)
2) Pe baza unei metode mixte, conform căreia se percepe dobândă compusă pentru ani întregi și dobândă simplă pentru ani fracționari
S=P(1+i) a (1+bi), (27)
Unde n= A+ b, Aeste un număr întreg de anibeste partea fracțională a anului.
3) Într-un număr de bănci comerciale se aplică regula potrivit căreia nu se acumulează dobândă pentru perioade de timp mai mici decât perioada de acumulare, adică.
S=P(1+i) a. (28)
Ratele nominale și efective ale dobânzii
Rata nominală . Fie rata dobânzii compuse anualej, și numărul de perioade de acumulare pe anm. Apoi de fiecare dată dobânda este calculată la rata j/m. Licitați jnumit nominal. Dobânda se calculează la rata nominală după formula:
S=P(1+j/m) N, (29)
Unde N- numărul de perioade de acumulare.
Dacă termenul împrumutului este măsurat printr-un număr fracționar de perioade de acumulare, atunci lamdobândă acumulată unică pe an, suma acumulată poate fi calculată în mai multe moduri, ducând la rezultate diferite:
1) Formula dobânzii compuse
S=P(1+j/m) N/t, (30)
Unde N/ t- numărul (eventual fracționar) de perioade de dobândă,t- perioada de calcul a dobânzii,
2) Formula mixtă
, (31)
Unde A- un număr întreg de perioade de acumulare (de ex.A= [ N/ t] - parte întreagă a împărțirii întregului termen al împrumutuluiNpentru perioada de acumularet),
b- fracțiunea rămasă din perioada de acumulare ( b= N/ t- A).
Exemplul 8
Valoarea împrumutului este de 20 de milioane de ruble. Furnizat timp de 28 de luni. Rata nominală este de 60% pe an. Dobânda se calculează trimestrial. Calculați suma acumulată în trei situații: 1) când se percepe dobândă compusă pentru partea fracțională, 2) când se percepe dobândă simplă pentru partea fracțională, 3) când partea fracțională este ignorată. Comparați rezultatele.
Soluţie.
Dobânda se calculează trimestrial. În total sunt sferturi.
1)
= 73,713 milioane de ruble.
2) = 73,875 milioane de ruble
3) S=20(1+0,6/4) 9= 70,358 milion freca .
Dintr-o comparație a sumelor acumulate, vedem că acesta atinge valoarea maximă în al doilea caz, adică. la calcularea părţii fracţionale a dobânzii simple.
Rata efectivă arată ce dobândă anuală compusă dă același rezultat financiar cam- creștere o singură dată pe an la rataj/ m.
Dacă dobânda este capitalizatămo dată pe an, de fiecare dată cu un tarifj/ m, atunci, prin definiție, putem scrie egalitatea pentru factorii de creștere corespunzători:
(1+iuh) n =(1+j/m) mn, (32)
Unde iuheste rata efectivă șij- nominală. Din aceasta obținem că relația dintre ratele efective și nominale este exprimată prin relație
(33)
Relația inversă are forma
j=m[(1+iuh) 1/m -1].(34)
Exemplul 9
Calculați rata efectivă a dobânzii dacă banca calculează dobânda trimestrial, pe baza unei rate nominale de 10% pe an.
Soluţie
iuh=(1+0,1/4) 4 -1=0,1038, adică 10,38%.
Exemplul 10
Determinați care ar trebui să fie rata nominală pentru combinarea trimestrială a dobânzii pentru a oferi o rată efectivă de 12% pe an.
Soluţie.
j=4[(1+0,12) 1/4 -1]=0,11495, adică 11,495%.
Contabilitate (actualizare) la o rată a dobânzii compusă
Aici, ca și în cazul dobânzii simple, vor fi luate în considerare două tipuri de contabilitate - matematică și bancară.
Contabilitate matematică . În acest caz, problema este rezolvată invers cu dobânda compusă. Să notăm formula inițială pentru creștere
S=P(1+i)n
si rezolva ptP
, (35)
Unde
(36)
discount sau factor de reducere.
Dacă se percepe dobândămo dată pe an, primim
, (37)
Unde
(38)
multiplicator de reducere.
valoarea Pobtinut prin reducereS, numit contemporan sau Valoarea curentă sau dat magnitudinea S. Sume PȘi Ssunt echivalente în sensul că plata în cuantumS peste nani este egal cu sumaPplătit în prezent.
Diferență D= S- Pnumit reducere.
Contabilitate bancara. În acest caz, se presupune utilizarea unei rate de actualizare complexe. Reducerea la o rată de actualizare complexă se efectuează conform formulei
P=S(1-dsl)n, (39)
Unde dsl- Rata de actualizare anuală compusă.
Reducerea în acest caz este
D=S-P=S-S(1-dsl) n =S.(40)
Atunci când se utilizează o rată de actualizare complexă, procesul de actualizare are loc cu o încetinire progresivă, deoarece rata de actualizare se aplică de fiecare dată sumei reduse pentru perioada anterioară cu valoarea reducerii.
Ratele de actualizare nominale și efective ale dobânzii
Rata nominală de actualizare . Când se utilizează reducereamo dată pe an, folosiți rata nominală de actualizare f. Apoi în fiecare perioadă egală cu 1/ mparte a anului, actualizate la o rată de actualizare compusăf/ m. Procesul de actualizare pentru această contabilitate complexămo dată pe an este descris prin formula
P=S(1-f/m) N, (41)
Unde N- numărul total de perioade de reducere (N= mn).
Reducerea nu este una ci mo dată pe an reduce rata de actualizare mai rapid.
Rata de actualizare efectivă. Rata efectivă de actualizare este înțeleasă ca o rată de actualizare anuală compusă echivalentă (în funcție de rezultatele financiare) cu rata nominală aplicată pentru un anumit număr de reduceri pe an.m.
În conformitate cu definiția ratei efective de actualizare, găsim relația acesteia cu rata nominală din egalitatea factorilor de actualizare
(1-f/m) mn =(1-dsl)n,
din care rezultă că
dsl=1-(1-f/m) m. (42)
Rețineți că rata efectivă de actualizare este întotdeauna mai mică decât cea nominală.
Acreție la o rată de actualizare complexă. Acreția este problema inversă pentru ratele de actualizare. Formulele de acumulare la rate complexe de actualizare pot fi obținute prin rezolvarea formulelor corespunzătoare de actualizare (39 și 41) cu privire laS. Primim
din P=S(1-d sl) n
, (43)
iar din P= S(1- f/ m) N
. (44)
Exemplul 11.
Ce sumă trebuie menționată în biletul la ordin, dacă suma efectiv emisă este de 20 de milioane de ruble, scadența este de 2 ani. Factura este calculată pe baza unei rate de actualizare anuală compusă de 10%.
Soluţie.
milioane de ruble
Exemplul 12.
Rezolvați problema anterioară, cu condiția ca acumularea la o rată de actualizare complexă să fie efectuată nu o dată, ci de 4 ori pe an.
Soluţie.
milioane de ruble
Acumulare și reducere
Suma acumulată la dobândă discretă este determinată de formulă
S= P(1+ j/ m) mn,
Unde jeste rata nominală a dobânzii șim- numărul de perioade de dobândă pe an.
Cu atât mai mult m, cu atât intervalele de timp dintre momentele de calcul ale dobânzii sunt mai scurte. În limita lam® ¥ avem
S= lim P(1+j/m) mn =P lim [(1+j/m) m ] n . (45)
m ® ¥ m ® ¥
Se știe că
lim (1+j/m) m =lim [(1+j/m) m/j ] j =e j ,
m ® ¥ m ® ¥
Unde eeste baza logaritmilor naturali.
Folosind această limită în expresia (45), constatăm în sfârșit că suma acumulată în cazul dobânzii acumulate continue la rataj este egal cu
S= Pejn. (46)
Pentru a distinge rata dobânzii continue de ratele dobânzii discrete, se numește forța de creștere și se notează cu simbolul d. Apoi
S=Pedn. (47)
Puterea creșterii d este rata nominală a dobânzii lam® ¥ .
Decontarea pe baza ratelor dobânzii continue se efectuează conform formulei
P=Se-dn. (48)
Relația dintre ratele dobânzii discrete și continue
Ratele dobânzii discrete și continue sunt într-o relație funcțională, datorită căreia este posibil să se efectueze tranziția de la calculul dobânzii continue la discrete și invers. Formula pentru tranziția echivalentă de la o rată la alta poate fi obținută prin echivalarea multiplicatorilor de acumulare corespunzători
(1+i)n=edn. (49)
Din egalitatea scrisă rezultă că
d = ln(1+ i) , (50)
i= ed-1 . (51)
Exemplul 13
Rata anuală a dobânzii compuse este de 15%, care este rata de creștere echivalentă,
Soluţie.
Folosim formula (50)
d = ln(1+ i)= ln(1+0,15)=0,13976,
acestea. forța de creștere echivalentă este de 13,976%.
Calculul termenului împrumutului și al ratelor dobânzii
Într-o serie de probleme practice, inițial ( P) și final (S ) sumele sunt specificate prin contract, si se impune determinarea fie a termenului de plata, fie a ratei dobanzii, care in acest caz poate servi ca masura de comparatie cu indicatorii de piata si o caracteristica a rentabilitatii operatiunii pentru creditor. . Aceste valori sunt ușor de găsit din formulele originale de creștere sau reducere. De altfel, în ambele cazuri problema inversă este rezolvată într-un anumit sens.
Termenul împrumutului
La elaborarea parametrilor acordului și estimarea momentului de obținere a rezultatului dorit, este necesar să se determine durata operațiunii (termenul împrumutului) prin parametrii rămași ai tranzacției. Să luăm în considerare această întrebare mai detaliat.
i.
S=P(1+i)n
urmează că
(52)
unde logaritmul poate fi luat în orice bază, deoarece este prezent atât la numărător, cât și la numitor.
mo dată pe an de la formulă
S=P(1+j/m)mn
primim
(53)
d. Din formula
P=S(1-d)n
avem 
(54)
m odata pe an. Din
P=S(1-f/m)mn
ajungem la formula
(55)
Când construiți pe o forță constantă de creștere. Bazat
S= Pedn
primim
ln( S/ P)= d n. (56)
Calculul ratei dobânzii
Din aceleași formule inițiale ca mai sus, obținem expresii pentru ratele dobânzii.
A) Când se acumulează la o rată anuală compusăi. Din formula de creștere originală
S=P(1+i)n
urmează că
(57)
B) Când crește la o rată nominală a dobânziimo dată pe an de la formulă
S=P(1+j/m)mn
primim 
(58)
C) Când sunt actualizate la o rată de actualizare anuală compusăd. Din formula
P=S(1-d)n
avem 
(59)
D) Când sunt actualizate la o rată de actualizare nominalăm odata pe an. Din
P=S(1-f/m)mn
ajungem la formula
(60)
E) Când se construiește pe o forță constantă de creștere. Bazat
S= Pedn
primim
(61)
Dobândă și inflație
Consecința inflației este o scădere a puterii de cumpărare a banilor, care pe o perioadăncaracterizat prin indiceJ n. Indicele puterii de cumpărare este egală cu reciproca indicelui prețurilorJp, adică
J n=1/ Jp. (62)
Indice de pretAfișează de câte ori au crescut prețurile într-o anumită perioadă de timp.
Acumularea dobânzii simple
Daca crescut pt n ani suma de bani esteS, iar indicele prețurilor esteJp, atunci suma de bani efectiv acumulată, ținând cont de puterea lor de cumpărare, este egală cu
C=S/Jp. (63)
Fie rata medie anuală așteptată a inflației (care caracterizează creșterea prețurilor pe an) să fie egală cu h . Atunci va fi indicele anual al prețurilor (1+ h).
Dacă se face majorarea la un ritm simplu pe parcursulnani, apoi creșterea reală la rata inflației h va fi
(64)
unde in general
(65)
și, în special, la o rată constantă de creștere a prețurilorh,
Jp =(1+h)n. (66)
Rata dobânzii care compensează inflația atunci când se calculează dobânda simplă este
(67)
O modalitate de a compensa deprecierea banilor este creșterea ratei dobânzii cu suma așa-numitului prima de inflatie. Rata ajustată în acest mod se numește rata bruta. Rata bruta, pe care o vom nota prin simbolr, se găsește din egalitatea multiplicatorului de angajamente ajustat în funcție de inflație la rata brută cu multiplicatorul de angajamente la rata dobânzii reale
(68)
Unde
(69)
Creșterea dobânzii compuse
Extins interes compus suma până la sfârșitul termenului de împrumut, ținând cont de scăderea puterii de cumpărare a banilor (adică în ruble constante) va fi
(70)
unde indicele prețurilor este determinat prin expresia (65) sau (66), în funcție de variabilitatea sau constanța ratei inflației.
În acest caz, scăderea puterii de cumpărare a banilor este compensată cu ratai= h, oferind egalitateC= P.
aplica două moduri de a compensa pierderile din scăderea puterii de cumpărare a banilor la calcularea dobânzii compuse.
DAR) Ajustarea ratei dobânzii, de-a lungul căruia se face incrementul, cu valoarea prima de inflatie. Rata dobânzii majorată cu prima de inflație se numește rata brută. O vom nota prin simbolr. Presupunând că rata anuală a inflaţiei esteh, putem scrie egalitatea factorilor de creștere corespunzători
(71)
Unde i- rata reala.
De aici obținem formula Fisher
r=i+h+ih. (72)
Adică prima de inflație esteh+ ih.
B) Indexarea sumei inițiale P . În acest caz, sumaPajustat în funcție de mișcarea unui indice prestabilit. Apoi
S=PJ p (1+i) n. (73)
Este ușor de observat că atât în cazul A) cât și în cazul B) ajungem la aceeași formulă de creștere (73). În ea, primii doi factori din partea dreaptă reflectă indexarea sumei inițiale, iar ultimii doi - ajustarea ratei dobânzii.
Măsurarea ratei reale a dobânzii
În practică, este necesară și rezolvarea problemei inverse - găsirea ratei reale a dobânzii în termeni de inflație. Din aceleași rapoarte dintre multiplicatorii de acumulare, nu este dificil să se obțină formule care determină rata realăila o rată brută dată (sau anunțată). r .
La calcularea dobânzii simple, rata anuală reală a dobânzii este egală cu
(74)
La calcularea dobânzii compuse, rata reală a dobânzii este determinată de următoarea expresie
(75)
Aplicații practice ale teoriei
Să luăm în considerare câteva aplicații practice ale teoriei pe care am luat-o în considerare. Vom arăta cum se aplică formulele obținute mai sus în rezolvarea unor probleme reale de calcul a eficienței unor tranzacții financiare și vom compara diferite metode de calcul.
Conversia valutară și calculul dobânzii
Luați în considerare combinația dintre conversia valutară (schimbul) și acumularea interes simplu, comparăm rezultatele din plasarea directă a fondurilor disponibile în depozite sau după un schimb preliminar cu o altă valută. În total, există 4 opțiuni pentru acumularea dobânzii:
1. Nicio conversie. Fondurile în valută sunt plasate ca depozit în valută, suma inițială se majorează la cursul valutar prin aplicarea directă a formulei dobânzii simple.
2. Cu conversie. Fondurile valutare inițiale sunt convertite în ruble, acumularea este la cursul rublei, la sfârșitul operațiunii, suma rublei este convertită înapoi în moneda inițială.
3. Nicio conversie. Suma rublei este plasată sub forma unui depozit de ruble, pe care se acumulează dobândă la rata rublei conform formulei dobânzii simple.
4. Cu conversie. Suma rublei este convertită într-o anumită monedă, care este investită într-un depozit în valută. Dobânda se percepe la cursul de schimb valutar. Suma acumulată la sfârșitul operațiunii este convertită înapoi în ruble.
Operațiunile fără conversie nu sunt dificile. Există două surse de venit în operațiunea de acumulare a dublei conversii: acumularea dobânzii și modificarea cursului de schimb. Mai mult, calculul dobânzii este o sursă necondiționată (rata este fixă, inflația nu este încă luată în considerare). O modificare a cursului de schimb poate fi într-una sau în cealaltă direcție și poate fi atât o sursă de venit suplimentar, cât și poate duce la pierderi. În continuare, ne vom concentra în mod special pe două opțiuni (2 și 4), care oferă o conversie dublă.
Să introducem mai întâi următoarea notație:
Pv- suma depozitului in valuta,
Relatii cu publicul- suma depozitului în ruble,
Sv- suma acumulată în valută,
S r- suma acumulată în ruble,
K 0 - cursul de schimb la începutul tranzacției (cursul de schimb în ruble)
K 1 - cursul de schimb la finalul tranzacției,
n- termenul depozitului,
i- rata de acumulare pentru sumele de ruble (ca fracție zecimală),
j- rata de acumulare pentru o anumită monedă.
OPȚIUNE: VALUTĂ ® RUBLE ® RUBLE ® VALUTĂ
Operațiunea constă în trei etape: schimbul de valută pentru ruble, acumularea sumei rublei, conversia inversă a sumei rublei în moneda originală. Suma acumulată primită la finalul tranzacției în valută va fi
.
După cum puteți vedea, cele trei etape ale operației sunt reflectate în această formulă sub forma a trei factori.
Multiplicatorul creșterii, luând în considerare dubla conversie, este egal cu
,
Unde k= K 1 / K 0 - rata de creştere a cursului de schimb pe perioada operaţiunii.
Vedem că factorul de creșteremeste liniar legată de ratăiși inversați cu cursul de schimb la sfârșitul tranzacțieiK 1 (sau cu rata de creștere a cursului de schimbk).
Studiem teoretic dependenta profitabilitatii totale a unei operatii de dubla conversie conform schemei CURRENCY® RUBLE ® RUBLE ® VALUTĂ din raportul dintre cursurile de schimb finale și inițialek .
Dobânda anuală simplă, care caracterizează profitabilitatea operațiunii în ansamblu, este egală cu
.
Înlocuiți în această formulă expresia scrisă anterior pentruSv
.
Astfel, cu o creșterek rentabilitateai eff cade de-a lungul unei hiperbole cu asimptota -1 / n . Vezi fig. 2.
Orez. 2.
Să studiem punctele singulare ale acestei curbe. Rețineți că atunci cândk =1 rentabilitatea operațiunii este egală cu rata rublei, adică.i eff = i . Lak >1 i eff < i , și atunci cândk <1 i eff > i . Pe fig. 1 poate fi văzut, la o anumită valoare criticăk , pe care o vom nota cak * , rentabilitatea (eficiența) operațiunii se dovedește a fi egală cu zero. Din egalitatei eff =0 găsim căk * =1+ ni , care la rândul său înseamnăK * 1 = K 0 (1+ ni ).
CONCLUZIA 1: Dacă valorile aşteptatek sauK 1 depășesc valorile lor critice, atunci operațiunea este în mod clar neprofitabilă (i eff <0 ).
Acum să definim valoarea maximă admisă a cursului de schimb la sfârșitul operațiunii K 1 , la care eficiența va fi egală cu rata existentă la depozitele în valută, iar utilizarea dublei conversii nu oferă niciun beneficiu suplimentar. Pentru a face acest lucru, echivalăm factorii de creștere pentru două operații alternative
.
Din egalitatea scrisă rezultă că
sau
.
CONCLUZIA 2: Un depozit în valută prin conversie în ruble este mai profitabil decât un depozit în valută dacă se așteaptă ca cursul de schimb la sfârșitul tranzacției să fie mai micmaxK 1 .
OPȚIUNE: RUBLE® VALUTĂ® VALUTĂ® RUBLE
Să luăm acum în considerare opțiunea cu conversie dublă, când există o sumă inițială în ruble. În acest caz, cele trei etape ale operațiunii corespund celor trei factori din următoarea expresie pentru suma acumulată
.
Și aici, multiplicatorul de angajamente depinde liniar de rată, dar acum de rata dobânzii valutare. De asemenea, depinde liniar de cursul de schimb final.
Să efectuăm o analiză teoretică a eficacității acestei operațiuni cu dublă conversie și să determinăm punctele critice.
.
Prin urmare, înlocuind expresia pentruS r , primim
.
Dependența indicatorului de eficiențăi eff dink liniar, este prezentat în fig. 3
Orez . 3.
La k=1 i
eff
=j
,
la k>1 i
eff
>j
,
la k<1
i
eff
Să găsim acum valoarea criticăk * , la carei eff =0 . Se dovedește a fi egal
sau .
CONCLUZIA 3: Dacă valorile aşteptatek sauK 1 mai puțin decât valorile sale critice, atunci operațiunea este în mod clar neprofitabilă (i eff <0 ).
Valoarea minimă admisăk (rata de creștere a cursului de schimb pentru întreaga perioadă a operațiunii), oferind aceeași rentabilitate ca și un depozit direct în ruble, este determinată prin echivalarea multiplicatorilor de angajamente pentru operațiuni alternative (sau din egalitatei eff = i )
,
Unde min saumin .
CONCLUZIA 4: Un depozit de sume în ruble prin conversia valutară este mai profitabil decât un depozit în ruble dacă se așteaptă ca cursul de schimb la sfârșitul tranzacției să fie mai mareminK 1 .
Acum luați în considerare combinația dintre conversia valutară și acumularea interes compus. Ne vom limita la o singură variantă.
OPȚIUNE: MONEDĂ® RUBLE® RUBLE® VALUTĂk =1 i uh = i , lak >1 i uh < i , și atunci cândk <1 i uh > i .
valoare criticak , la care randamentul operatiei este egal cu zero, i.e.i uh =0 ,
definit cak * =(1+ i ) n , ceea ce înseamnă că rata medie anuală de creștere a cursului de schimb este egală cu rata anuală de creștere la rata rublei: .
CONCLUZIA 5: Dacă valorile aşteptatek sauK 1 este mai mare decât valorile sale critice, atunci operațiunea considerată cu dublă conversie este în mod clar neprofitabilă (i uh <0 ).
Valoarea maximă admisăk , la care rentabilitatea operațiunii va fi egală cu rentabilitatea investiției directe a valutei străine la curs
Schița unei tranzacții financiare
Operațiunile financiare sau de credit implică un echilibru între investiții și rentabilitate. Conceptul de echilibru poate fi explicat pe grafic.
Orez. cinci.
Lăsați suma împrumutuluiD 0 eliberat pentru o perioadăT . În această perioadă, de exemplu, se fac două plăți intermediare pentru achitarea datorieiR 1 ȘiR 2 , iar la sfârșitul termenului se achită soldul datorieiR 3 echilibrarea operatiei.
Pe intervalul de timpt 1 datoria se ridică laD 1 . Pe momentt 1 datoria se reduce laK 1 = D 1 - R 1 etc. Operațiunea se încheie cu primirea de către creditor a soldului datorieiR 3 . În acest moment, datoria este rambursată integral.
Să numim tipul de grafic b) schița unei tranzacții financiare. O operațiune echilibrată are în mod necesar o buclă închisă, adică. ultima plată acoperă integral soldul datoriei. Structura tranzacției este de obicei aplicată la achitarea datoriilor cu plăți parțiale de reper.
Cu ajutorul plăților parțiale succesive, obligațiile pe termen scurt sunt uneori rambursate. În acest caz, există două metode pentru calcularea dobânzii și determinarea soldului datoriei. Primul se numește actuarialși este utilizat în principal în tranzacțiile cu termen peste un an. A doua metodă este numită regula comerciantului. Este folosit de obicei de firmele comerciale în tranzacțiile cu termen nu mai mult de un an.
Cometariu: La calcularea dobânzii, de regulă, dobânda obișnuită este utilizată cu un număr aproximativ de zile de perioade de timp.
metoda actuarială
Metoda actuarială presupune calculul secvenţial al dobânzii la valoarea reală a datoriei. Plata parțială se referă în primul rând la rambursarea dobânzii acumulate la data plății. Dacă suma plății depășește valoarea dobânzii acumulate, atunci diferența se duce la rambursarea sumei principale a datoriei. Soldul restant al datoriei servește drept bază pentru calcularea dobânzii pentru perioada următoare etc. Dacă plata parțială este mai mică decât dobânda acumulată, atunci nu se efectuează compensații în valoarea datoriei. Acest venit se adaugă la următoarea plată.
Pentru cazul prezentat în fig. 5 b), obținem următoarele formule de calcul pentru determinarea soldului datoriilor:
K1 =D0 (1+t1i)-R1; K2 =K1 (1+t2i)-R2; K2 (1+t 3 i)-R 3 \u003d 0,
unde perioade de timpt 1 , t 2 , t 3 - sunt date în ani, iar rata dobânziii - anual.
Regula comerciantului
Regula comerciantului este o altă abordare a calculării ratelor. Două situații sunt posibile aici.
1) În cazul în care termenul împrumutului nu depășește, cuantumul datoriei cu dobândă acumulată pe întregul termen rămâne neschimbat până la rambursarea integrală. În același timp, se acumulează plăți parțiale cu dobândă acumulată asupra acestora până la sfârșitul termenului.
2) In cazul in care perioada depaseste un an, calculele de mai sus se fac pentru anual perioada de îndatorare. La sfârșitul anului, din suma datoriei se scade suma acumulată a plăților parțiale acumulate. Restul se plătește anul viitor.
Cu termen total de împrumutT £ 1 algoritm poate fi scris după cum urmează
,
UndeS - soldul datoriei la sfarsitul termenului,
D - suma acumulată a datoriilor,
K - suma acumulată a plăților,
Rj - suma de plată parțială,
tj - intervalul de timp de la momentul plății până la sfârșitul termenului,
m - numărul de plăți parțiale (interimare).
Valoarea variabilă a facturii și calculul dobânzii
Luați în considerare o situație în care un cont de economii este deschis într-o bancă, iar valoarea contului se modifică în timpul perioadei de stocare: fondurile sunt retrase, se fac contribuții suplimentare. Apoi, în practica bancară, atunci când calculează dobânda, ei folosesc adesea o metodă de calcul cu calculul așa-numitului numere procentuale. De fiecare dată când soldul contului se modifică, se calculează un procentCj pentru perioada trecutăj , timp în care suma din cont a rămas neschimbată, conform formulei
,
Undetj - duratăj -a-a perioadă în zile.
Pentru a determina valoarea dobânzii acumulate pentru întregul termen, toate numerele de dobândă sunt adunate și suma lor este împărțită la un divizor constantD :
,
UndeK - baza de timp (numărul de zile dintr-un an, adică 360 sau 365 sau 366),i - rata anuală a dobânzii simple (în %).
La inchiderea contului, proprietarul va primi o suma egala cu ultima valoare a sumei de pe cont plus suma dobanzii.
Exemplul 14
Să presupunem că la 20 februarie a fost deschis un cont la vedere în valoare deP 1 \u003d 3000 de ruble, rata dobânzii la depozit a fost egală cui = 20% pe an. Depunerea suplimentară în cont a fostR 1 =2000 rub. și a fost făcută pe 15 august. Retragere din cont in sumaR 2 = -4000 rub. înregistrată la 1 octombrie, iar la 21 noiembrie contul a fost închis. Este necesar să se determine suma dobânzii și suma totală primită de deponent la închiderea contului.
Soluţie.
Calculul se va efectua conform schemei (360/360). Există trei perioade în care suma din cont a rămas neschimbată: din 20 februarie până în 15 august (P 1 =3000, t 1 \u003d 10 + 5 * 30 + 15 \u003d 175), de la 15 august până la 1 octombrie (P 2 = P 1 + R 1 \u003d 3000 + 2000 \u003d 5000 de ruble,t 2
Suma plătită la închiderea unui cont este egală cu
P3 +I=1000+447,22=1447 freca. 22 poliţist.
Acum vom arăta legătura acestei tehnici cu formula dobânzii simple. Luați în considerare exemplul de mai sus în formă algebrică.
CUmmah a plătit la închiderea unui cont, găsim după cum urmează
Astfel, am obtinut o expresie din care rezulta ca pentru fiecare suma adaugata sau retrasa din cont se percepe dobanda din momentul in care se face tranzactia corespunzatoare pana la inchiderea contului. Această schemă urmează regula comerciantului discutată în secțiunea 6.2.
Modificarea termenilor contractului
În practică, adesea devine necesară modificarea termenilor contractului: de exemplu, debitorul poate cere o întârziere a scadenței datoriei sau, dimpotrivă, își poate exprima dorința de a o rambursa înainte de termen, în unele cazuri. poate fi nevoie de a combina (consolida) mai multe obligații de datorie într-una singură etc. În toate aceste cazuri se aplică principiul echivalenței financiare a obligațiilor vechi (înlocuite) și noi (de înlocuire). Pentru a rezolva problemele de modificare a termenilor contractului, așa-numitul ecuația de echivalență, în care valoarea plăților de înlocuire, ajustată la un moment dat, este egală cu valoarea plăților pentru noua obligație, ajustată la aceeași dată. Pentru contractele pe termen scurt se aplică dobânzi simple, în timp ce pentru contractele pe termen mediu și lung se aplică rate compuse.
Scopul principal al unui client care are economii să contacteze banca este să economisească și să crească bani. Pentru a alege cea mai profitabilă opțiune dintr-o gamă largă de oferte de la diverse organizații, trebuie să puteți calcula independent rentabilitatea investiției viitoare. Adesea, opțiunile care la prima vedere par a fi cele mai profitabile și interesante nu aduc rezultate bune. Prin urmare, trebuie să puteți prezice dobânda la depozit înainte de tranzacție.
Pentru a calcula randamentul depozitului, se folosesc metode simple și complexe de calculare a dobânzii. Fiecare dintre ele are propriile caracteristici și „capcane” care ar trebui luate în considerare. Să aruncăm o privire mai atentă asupra modului de utilizare formule de calcul a dobânzii la un depozit, ceea ce înseamnă fiecare componentă și vom calcula eficacitatea fiecărei metode folosind exemple.
Rentabilitatea aproape oricărui depozit poate fi calculată independent, cunoscând metoda de calcul. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți parametrii investiției viitoare, care includ:
Este utilizat atunci când venitul acumulat este adăugat la corpul principal al depozitului la sfârșitul termenului său sau nu este adăugat și retras într-un cont curent sau pe un card plastic. Această procedură de calcul ar trebui să fie luată în considerare atunci când o sumă substanțială este plasată pentru o perioadă lungă de timp. De obicei, în acest caz, băncile folosesc opțiuni de plasare fără capitalizare, ceea ce reduce beneficiul general al deponentului.
Formula % simplă:
Suma % este venitul primit după a i-a perioadă de timp.
P este investiția inițială.
t este perioada investiției.
T este numărul de zile dintr-un an.
Luați în considerare un exemplu: vom plasa 100.000 de ruble timp de șase luni la 12%. Să calculăm venitul primit:
Astfel, în șase luni va fi posibilă retragerea a 105.950,68 ruble din cont.
Este folosit mai rar în practica de depozit a băncii, dar se găsesc astfel de oferte. Pentru majoritatea deponenților, aceștia nu sunt atractivi din cauza faptului că ratele pentru aceștia sunt mai mici decât pentru produse, când veniturile sunt acumulate numai după expirarea contractului de depozit. Frecvența aderării la venit poate fi diferită: o dată pe lună, o dată pe săptămână, o dată pe trimestru, în fiecare an. Implică capitalizarea sau acumularea „dobânzii la dobândă”.
Formula % compus:
P este suma inițială a depozitului.
i - rata anuală de depozit.
k este numărul de zile din perioada prin care se acumulează venituri.
T este numărul de zile dintr-un an.
n este numărul de valorificări ale veniturilor pe toată durata depozitului.
Luați în considerare exemplul nr. 1: vom plasa 100.000 de ruble la 12% pe an timp de șase luni cu o capitalizare lunară.
Astfel, datorită capitalizării lunare, rezultatul total al investițiilor s-a dovedit a fi mai profitabil decât în opțiunea când se acumulează dobândă la sfârșitul termenului.
Exemplul nr. 2: vom plasa 100.000 de ruble timp de 6 luni la 12% pe an cu o capitalizare săptămânală.
Vom confirma valoarea obtinuta prin calcule in Excel.
Exemplul nr. 3: vom plasa 100.000 de ruble timp de 1 an la 12% pe an cu o capitalizare trimestrială.
Vom confirma valoarea obtinuta prin calcule in Excel.
Beneficiul unui depozit bancar este evaluat nu numai de rata dobânzii. Metoda de calcul a dobânzii are o mare influență asupra rentabilității depozitului. În sectorul financiar, există conceptul de dobândă simplă și compusă. Când se utilizează o metodă de calcul? Cum se calculează dobânda pentru fiecare metodă? Și care metodă este mai profitabilă pentru investitor?
Metoda de calcul a dobânzii simple se bazează pe principiul creșterii banilor prin progresie aritmetică. Să presupunem că un investitor la începutul anului a pus într-o bancă o sumă de 100.000 de ruble. sub 10% pe an:
Deoarece băncile cotează rata pentru anul, pentru a determina venitul pentru o altă perioadă (de exemplu, 3 luni), folosind o dobândă simplă, formula va fi:
S = (P x I xT/ K) / 100, Unde:
S- suma dobânzii acumulate (ruble);
P- suma inițială a fondurilor investite;
eu- dobândă anuală;
T– termenul depozitului în zile;
K- numărul de zile dintr-un an.
Adică, cu o contribuție de 100.000 de ruble. timp de 3 luni la 10% pe an, calculul dobânzii simple se va efectua astfel: (100.000 x 10 x 92 / 365) / 100 = 2520,55 (ruble).
Se pare că la sfârșitul termenului, investitorul va primi 100.000 de ruble depozitate. plus 2520,55 ruble. venituri, adica 102.520,55 RUB
Pentru a demonstra mai clar diferența dintre utilizarea unei scheme simple de calcul a dobânzii și a uneia complexe, datele sunt introduse în tabel:
La calcularea coeficienților s-a folosit capitalizarea anuală a dobânzii. Tabelul arată că:
După ce am întocmit un tabel similar, ținând cont de capitalizarea trimestrială, puteți vedea că venitul va fi același cu o contribuție trimestrială. Cu depozite mai scurte (pentru o lună sau două), se vor obține mai multe venituri din dobândă simplă. Cu depozite pe o perioadă mai mare de un sfert, dimpotrivă, dobânda compusă va fi mai profitabilă.
Acest principiu de determinare a rentabilității unui depozit, în funcție de metoda de calcul a dobânzii, se păstrează și în calculele lunare. În concluzie, putem spune că utilizarea dobânzii compuse este benefică dacă perioada de depozit depășește perioada de capitalizare. Cu alte cuvinte:
Dacă termenul depozitului este mai mic decât frecvența de capitalizare, atunci calculul dobânzii simple la depozite se va dovedi a fi mai profitabil.
