Utilizarea vectorilor de artă vectorială

pentru a calcula Piața

niste cifrele geometrice

Cercetare matematică

Student 10 B Class

Mou Sosh №73.

Mikhaila comparată

Ofițeri:

Matematică Profesor Mou Sosh№73 Dragunova Svetlana Nikolaevna

Asistent cafenea. Analiza matematică a facultății mecanice și matematice a SSU. N.g. Chernyshevsky Berdnikov Gleb Sergeevich

Saratov, 2015.

Introducere

1. Revizuirea teoretică.

1.1. Vectori și calcule cu vectori.

1.2. Folosind un produs scalar al vectorilor în soluții de activitate

1.3 Produs scalar al vectorilor din coordonate

1.4. Vector de artă vectorilor în spațiul tridimensional Euclidian: definiția conceptului.

1.5. Coordonatele vectorului Lucrări de vectori.

2. Partea practică.

2.1. Comunicarea artei vectoriale cu o zonă de triunghi și o paralelogramă. Dezacord cu formula și semnificația geometrică a vectorului vectorului de artă vector.

2.2. Cunoscând doar coordonatele punctelor, găsiți zona triunghiului. Dovada teoremei

2.3. Verificarea exemplelor de corectitudine a formulei.

2.4. Uz practic Vector algebră și lucrări ale vectorilor.

Concluzie

Introducere

După cum se știe, multe sarcini geometrice au două modalități cheie de rezolvare - grafică și analitică. Metoda grafică Este asociat cu construirea de grafice și desene, iar analiticul presupune rezolvarea problemelor în principal cu ajutorul acțiunilor algebrice. ÎN ultimul caz Algoritmul pentru rezolvarea problemelor este asociat cu geometria analitică. Geometria analitică este o zonă de matematică sau mai degrabă o algebră liniară care ia în considerare soluția de probleme geometrice cu mijloace de algebră pe baza metodei coordonatelor din plan și în spațiu. Geometria analitică vă permite să analizați imaginile geometrice, să explorați liniile și suprafețele, importante pentru aplicațiile practice. În același timp, în această știință, opera de artă vectorială a vectorilor este uneori folosită pentru a extinde înțelegerea spațială a formelor.

In conexiune cu distribuție largă Tehnologii spațiale tridimensionale, studiul proprietăților unor forme geometrice care utilizează un produs vectorial pare relevant.

În acest sens, obiectivul a fost indicat acest proiect - Utilizarea produsului vectorial al vectorilor de a calcula zona unor forme geometrice.

În legătură cu scopul a fost rezolvat următoarele sarcini:

1. Examinați teoretic elementele de bază ale algebrei vectoriale și oferă definiția produsului vector al vectorilor din sistemul de coordonate;

2. Analizați prezența unei legări a unui produs vector cu o zonă de triunghi și o paralelogramă;

3. să obțină formula zonei triunghiului și paralelogramei în coordonate;

4. Verificați prin exemple specifice loialitatea formulei derivate.

1. Revizuirea teoretică.

1. Vectori și calcule cu vectori

Direcția segmentului direcțional pentru care este indicat începutul și sfârșitul:

ÎN acest caz Începutul segmentului este punctul DAR, punct de tăiere ÎN. Vectorul în sine este indicat prin
sau . Pentru a găsi coordonatele vectoriale
, cunoașterea coordonatelor punctelor sale inițiale A și punctul de sfârșit B este necesar din coordonatele punctului final pentru a scădea coordonatele corespunzătoare ale punctului de plecare:

= { B. x. - A. x. ; B. y. - A. y. }

Colinearii sunt numiți vectori care se află pe linie paralelă dreaptă sau pe o linie dreaptă. În acest caz, segmentul vectorial caracterizat printr-o lungime și direcție.

Lungimea segmentului direcțional determină valoare numerica Vector și numit lungimea vectorului sau modulul vectorial.

Lungimea vectorului ||. În coordonatele decartulare dreptunghiulare este egală cu rădăcina pătrată din suma pătratelor coordonatelor sale.

Cu vectori puteți face diverse acțiuni.

De exemplu, adăugarea. Pentru a le plia, trebuie să țineți mai întâi cel de-al doilea vector de la sfârșitul primului și apoi să conectați începutul primului cu capătul al doilea (figura 1). Suma vectorilor este un alt vector cu noi coordonate.

Suma vectorilor = {a. x. ; A. y. ) I. = {b. x. ; B. y. ) Puteți găsi utilizând următoarea formulă:

+ \u003d (A. x. + B. x. ; A. y. + B. y. }

Smochin. 1. Acțiuni cu vectorii

Vectorii sumeriți, trebuie să le cheltuiți mai întâi de la un punct și apoi să conectați sfârșitul celui de-al doilea cu sfârșitul primului.

Vector diferența. = {a. x. ; A. y. ) I. = {b. x. ; B. y. } pot fi găsite prin formula:

- = { a. x. - B. x. ; A. y. - B. y. }

De asemenea, vectorii pot fi înmulțită cu numărul. Rezultatul va fi, de asemenea, un vector care este în k ori mai mult (sau mai puțin) din acest lucru. Direcția lui va depinde de semnul K: cu K, vectorii sunt co-direcționați și cu negativ - îndreptată opus.

Vector de lucru = {a. x. ; A. y. } Și numărul K poate fi găsit utilizând următoarea formulă:

k · \u003d (K. · A. x. ; k · A. y. }

Este posibil să multiplicați vectorul de pe vector? Desigur, chiar și două opțiuni!

Prima opțiune este un produs scalar.

Smochin. 2. Produs scalar în coordonate

Pentru a găsi produsul vectorilor, puteți utiliza unghiul  între vectorii de date prezentați în Figura 3.

Din formula rezultă că produsul scalar este egal cu produsul acestor lungimi ale vectorilor de pe cosinul unghiului dintre ele, rezultatul este numărul. Este important ca dacă vectorii sunt perpendiculară, produsul lor scalar este zero, deoarece unghiul direct al cosinului între ele egală cu zero..

În planul de coordonate, vectorul are, de asemenea, coordonate.ÎN interul, coordonatele lor și produsul scalar sunt una dintre cele mai multe metode confortabile Calculele unghiului dintre drept (sau segmentele lor) dacă este introdus sistemul de coordonate. Și dacă coordonatele
, produsul lor scalar este egal cu:

În spațiul tridimensional există 3 axe și, în consecință, punctele și vectorii dintr-un astfel de sistem vor fi 3 coordonate, iar produsul scalar al vectorilor este calculat prin formula:

1.2. Vector de artă vectorilor în spațiu tridimensional.

Al doilea exemplu de realizare a vectorilor este un produs vectorial. Dar astfel încât nu mai este un avion, ci spațiul tridimensional, în care începerea și sfârșitul vectorului au 3 coordonate.

Spre deosebire de produsul scalar al vectorilor într-un spațiu tridimensional, operația "multiplicarea vectorială" duce la un alt rezultat. Dacă în cazul precedent al unei multiplicări scalare a doi vectori, rezultatul a fost un număr, apoi în cazul multiplicării vectoriale a vectorilor, rezultatul va fi un alt vector, perpendicular pe vectorii care au intrat în lucrare. Prin urmare, acest produs al vectorilor este numit vector.

Evident, atunci când construiți un vector rezultat perpendicular pe cele două, care au intrat în muncă - și, pot fi selectate două direcții opuse. În același timp, direcția vectorului rezultat Determinată de regula mana dreaptasau regula Brocrouciverului. Dacă trageți vectorii astfel încât pornirea lor să coincidă și să rotească primul vector în cel mai scurt drum spre cel de-al doilea uter, iar cele patru degete ale mâinii drepte au arătat direcția de rotație (ca și cum ar fi acoperit Cilindrul rotativ), apoi degetul degetului mare va afișa operele vectoriale de direcție (figura 7).

Smochin. 7. Regula dreaptă

1.3 Proprietățile lucrărilor de artă vectoriale.

Lungimea vectorilor de rezultat este determinată de formula

.

În care
Vector art. După cum sa menționat mai sus, vectorul rezultat va fi perpendicular
Și direcția sa este determinată de regula dreaptă.

Produsul vectorial depinde de ordinea factorilor, este:

Produsul vectorial al vectorilor non-zero este 0 dacă sunt colinear, apoi colțul sinusului între ele va fi 0.

Coordonatele vectorilor din spațiul tridimensional sunt exprimate În felul următor:. Apoi coordonatele vectorilor de rezultate se găsesc cu formula

Lungimea vectorului rezultat este prin formula:

.

2. Partea practică.

2.1. Comunicarea artei vectoriale cu o zonă de triunghi și o paralelogramă într-un avion. Semnificația geometrică a vectorilor vectorilor de artă.

Să primim un triunghi abc (figura 8). Se știe că .

Dacă trimiteți părțile la triunghi și difuzoare sub formă de doi vectori, atunci în formula zonei triunghi găsim expresia vectorilor vectori de artă:

Din cele de mai sus, puteți determina sensul geometric al produsului vectorial (figura 9):

lungimea produsului vector al vectorilor este egală cu zona dublă a triunghiului având părțile laterale ale vectorilor și, dacă sunt amânate de la un punct.

Cu alte cuvinte, lungimea produsului vector al vectorilor și este egal cu zona paralelogramei, Construit în vectoriși Cu părțile laterale și unghiul dintre ele, egale.

Smochin. 9. Semnificația geometrică a vectorilor vectorilor

În acest sens, se poate conduce o altă definiție a vectorilor de artă vectorială :

Vector vector de produse Vectorul este numit vector , lungimea căreia este numerică egală cu suprafața paralelogramei construite în vectori și, perpendicular pe planul acestor vectori și îndreptat astfel încât să se rotească cea mai mică În jurul vectorului A fost efectuată în sens invers acelor de ceasornic, dacă este privită de la capătul vectorului (figura 10).

Smochin. 10. Determinarea vectorilor vectorilor

folosind o paralelogramă

2.2. Ieșirea formulei pentru găsirea zonei triunghiului în coordonate.

Deci, ni se dă un triunghi ABC în avion și coordonatele vârfurilor sale. Vom găsi zona acestui triunghi (figura 11).

Smochin. 11. Un exemplu de rezolvare a problemei de a găsi zona triunghiului prin coordonatele vârfurilor sale

Decizie.

Pentru a începe, luăm în considerare coordonatele vârfurilor în spațiu și calculați coordonatele vectorilor AV și UA.

Pentru acest lucru înainte de formula, calculează coordonatele vectorului lor. Lungimea acestui vector este de 2 pătrate ale triunghiului ABC. Zona triunghiului este egală cu 10.

Mai mult, dacă privim triunghiul din avion, primele 2 coordonate ale produsului vector vor fi întotdeauna zero, astfel încât să putem formula următoarea teoremă.

Teorema: Lăsați triunghiul ABC și coordonatele vârfurilor sale (figura 12).

Atunci.

Smochin. 12. Dovada teoremei

Dovezi.

Luați în considerare punctele în spațiu și calculați coordonatele vectorilor Soarelui și BA. . Conform formulei de mai jos, calculează coordonatele produsului vector al acestor vectori. Să notăm că toți membrii care conținz.1 sau z.2, egal cu 0, pentru că z.1st. z.2 \u003d 0. Eliminare!

Astfel prin urmare,

2.3. Verificarea corectitudinii formulei de pe exemple

Găsiți zona triunghiului formată de vectori A \u003d (-1; 2; -2) și b \u003d (2; 1; -1).

Decizie: Noi găsim un produs vector al acestor vectori:

a. × B \u003d.

I (2 · (-1) - (-2) · 1) - J ((- 1) · (-1) - (-2) · 2) + k ((- 1) · 1-2 · 2) \u003d.

I (-2 + 2) - J (1 + 4) + K (-1-4) \u003d -5 J - 5 K \u003d (0; -5; -5)

Din proprietățile lucrărilor vectoriale:

Sδ \u003d.

| A × B | \u003d.

√ 02 + 52 + 52 =

√ 25 + 25 =

√ 50 =

5√ 2

Răspuns: SΔ \u003d 2.5√2.

Concluzie

2.4. Aplicații Algebra vectorială

și lucrări de artă scalară și vectorială.

De unde aveți nevoie de vectori? Spațiul vectorial și vectorii poartă nu numai caracterul teoretic, dar au și destul de reali uz practic în lumea modernă.

În mecanică și fizică, multe valori nu au doar o valoare numerică, ci și direcția. Astfel de valori sunt numite vector. Împreună cu utilizarea conceptelor mecanice elementare, bazându-se pe semnificația lor fizică, multe valori sunt considerate ca vectori glisante, iar proprietățile lor sunt descrise ca axiom, așa cum sunt adoptate în mecanica teoretică și cu ajutorul proprietăților matematice ale vectorilor. Cel mai exemple luminoase Cantitățile vectoriale sunt viteza, impulsul și puterea (figura 12). De exemplu, momentul impulsului și puterea Lorentz înregistrată matematic utilizând vectori.

În fizică, nu numai vectorul în sine sunt importanți, dar lucrările lor care ajută la calcularea unor valori sunt, de asemenea, importante. Produsul vector este util pentru determinarea collinearității vectorilor Modulul de produs al doi vectorilor este egal cu produsul modulelor lor, dacă acestea sunt perpendiculare și scade la zero dacă vectorii sunt acoperiți sau îndreptați opus.

Un alt exemplu: Un produs scalar este utilizat pentru a calcula lucrările de pe formula de mai jos, unde F este vectorul de putere și S este vectorul mișcării.

Un exemplu de utilizare a operei de artă a vectorilor este momentul forței egal cu produsul vectorului de rază cheltuit pe axa de rotație până la punctul de aplicare a forței, vectorul acestei forțe.

O mare parte din ceea ce se calculează în fizică în funcție de regula de mâna dreaptă este un produs vectorial. Găsiți confirmări pentru a aduce exemple.

Este demn de remarcat faptul că spațiul bidimensional și tridimensional nu este epuizat opțiuni posibile Spații vectoriale. Matematica superioară consideră spațiile de dimensiune mai mare, care definesc, de asemenea, analogi cu formule pentru o artă scalară și vectorială. În ciuda faptului că spațiile de dimensiune mai mare decât 3, conștiința umană nu poate să-și imagineze vizual, ei uimitor mod Găsiți aplicații în multe domenii ale științei și industriei.

În același timp, rezultatul unui produs vector al vectorilor într-un spațiu euclidian tridimensional nu este un număr, ci un vector rezultat cu coordonatele, direcția și lungimea acesteia.

Direcția vectorului rezultat este determinată de regula de mână dreaptă, care este una dintre cele mai uimitoare prevederi ale geometriei analitice.

Vector de artă vectorilor pot fi utilizați în găsirea unei zone de triunghi sau a unei paralelograme în conformitate cu coordonatele de vârf specifice, care au fost confirmate prin îndepărtarea formulei, dovada teoremei și soluția sarcini practice.

Vectorii sunt utilizați pe scară largă în fizică, unde astfel de indicatori ca viteza, impulsul și puterea pot fi reprezentate ca cantități vectoriale și sunt calculate geometric.

Lista surselor utilizate

Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. și alții. Geometria. 7-9 Clase: Tutorial pentru organizațiile de învățământ general. M.:, 2013. 383 p.

Atanasyan L.S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. și alții. Geometrie. 10-11 Clase: Tutorial pentru organizațiile generale de învățământ: niveluri de bază și de profil. M.:, 2013. 255 p.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică mai mare. Volumul Unu: Elemente de algebră liniară și geometria analitică.

TENIC D.V. Colectarea sarcinilor conform geometriei analitice. M.: ȘTIINȚA, FIZMATLIT, 1998.

Geometria analitică.

Matematică. Trifoi.

Învățarea matematicii online.

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/

Site-ul V. Koknev.

http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm.

Wikipedia.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2 %EE%F0 %%Ee%E5_%ef%F0 %EE%E8%E7%E2%E5%E4%5% % E8% E5

Atunci când constată problema aplicabilității metodei vectoriale de a rezolva o sarcină, este necesar să se stabilească posibilitatea de a exprima toate aceste relații între valorile cunoscute și cele dorite din vectori. Dacă acest lucru se poate face fără dificultăți, acesta este, are sens atunci când rezolvați o astfel de sarcină de a utiliza vectori.

Soluția de sarcini geometrice cu vectori continuă mai reușită dacă respectați reguli generale găsirea unei soluții. Utile pentru a utiliza nouă astfel de reguli:

1. Începând să rezolvați sarcina, să vedeți ce este dat și ceea ce doriți să dovediți; Separați starea sarcinii concluziei sale; Înregistrați starea și încheierea sarcinii prin denumirile general acceptate.

2. Aflați totul (dacă este posibil) relația din care trebuie încheiată încheierea problemei; Înregistrați-le în formularul vectorial.

3. Se potrivește cu fiecare dintre relațiile luate în considerare cu ceea ce este dat și cu o imagine și vedeți care dintre ele este mai bine să alegem să dovediți.

4. Din ceea ce este dat, obțineți consecințele care sunt conectate (sau pot fi legate de) cu raportul pe care îl alegeți.

5. Evidențierea vectorilor din figura din raportul pe care îl alegeți, întrebați în mod constant întrebarea: "Prin ce vectori le puteți exprima? »Pentru a răspunde la întrebarea atribuită, luați în considerare aceste vectori în toate rapoartele adecvate (încurajatoare) cu alții.

6. Dacă pentru exprimarea unui vector prin alții, trebuie să faceți clădiri suplimentare în figură, să le faceți astfel încât această expresie să fie cea mai simplă.

7. Amintiți-vă în mod constant, care este dat în starea sarcinii și, în caz de dificultăți, verificați dacă nu ați pierdut nimic din această condiție.

8. Deoarece dificultățile pot fi asociate și cu faptul că nu ați aplicat nicio sarcină sau teoremă, atunci în caz de dificultate, încercați să mutați mintal teoremele cunoscute și rezolvate problemele și gândiți-vă dacă oricare dintre ele nu poate fi utilizat.

9. În cazul în care raportul pe care l-ați ales (conform regulii 2) nu a demonstrat prin aplicarea tuturor regulilor 4-8, apoi selectați altul și urmați din nou regulile de 4-8.

I. Pentru a stăpâni capacitatea de a trece de la limba geometrică la vector și înapoi, este necesar să știm cum este exprimat acest raport vectorial în limba geometrică. De exemplu:

a) Egalitatea \u003d k (numărul k-mecanic), înseamnă că direct AV și SD sunt paralele.

b) Egalitatea \u003d M / N și \u003d N / (M + N) + M / (M + N), (M, N-Net-curent, punctul Q -Pripping al planului) înseamnă că punctul cu împarte unele Segment AV la M la N, adue AC: CB \u003d M: N. În acest caz, punctul q poate fi selectat astfel încât aceasta din urmă egalitate să fie cea mai simplă (această egalitate rezultă din teorema de împărțire a segmentului în această privință).

c) fiecare dintre egali \u003d K1, \u003d K2, \u003d K3, \u003d P + Q (unde K1, K2, K3, P, Q este unele numere, P + Q \u003d 1, Q este un punct arbitrar al avionului), A + B + G \u003d 0 (A, B, G - Unele numere, A + B + G \u003d 0, Punct de Perficit Q al planului) înseamnă apartenența a trei puncte A, B, cu o linie dreaptă (ultimul Două egali urmează din teorema apartenenței a trei puncte ale unui drept drept).

d). Egalitate. \u003d 0, unde a ¹ b; C¹d, înseamnă că direct AB și SD sunt perpendiculare. (Egalitatea specificată rezultă din proprietățile produsului scalar al vectorilor.)

Vectori de produse scalar

Continuăm să ne ocupăm de vectori. În prima lecție Vectori pentru ceainici Ne-am uitat la conceptul de vector, acțiuni cu vectori, coordonate vectoriale și sarcini cele mai simple cu vectori. Dacă ați intrat în această pagină pentru prima dată cu motorul de căutare, vă recomand cu tărie să citiți articolul introductiv de mai sus, deoarece este necesar să navigați în termenii, notație pentru mine cunostinte de baza Despre vectori și să poată rezolva sarcini elementare. Această lecție Este o continuare logică a subiectului, iar pe ea voi defini sarcinile tipice în care este utilizat produsul scalar al vectorilor. Aceasta este o ocupație foarte importantă.. Încercați să nu pierdeți exemple, este atașat de ele bonus util - Practica vă va ajuta să remediați materialul trecut și să vă completați mâna "pe rezolvarea sarcinilor comune ale geometriei analitice.

Adăugarea vectorilor, multiplicarea vectorilor pe număr .... Ar fi naiv să credem că matematica nu a venit cu nimic altceva. În plus față de acțiunile deja revizuite, există o serie de alte operațiuni cu vectori, și anume: vectori de produse scalar, vector vector de artă și vectori mixt. Produsul scalar al vectorilor este familiar pentru noi de la școală, alte două lucrări se referă în mod tradițional la cursul matematicii superioare. Temele sunt simple, algoritmul pentru rezolvarea multor sarcini de stemather și este de înțeles. Singurul lucru. Informațiile sunt decente, deci este nedorit să încercați să trimiteți totul și imediat. Acest lucru este valabil mai ales pentru ceainici, crede-mă, autorul nu vrea să se simtă chikatilo din matematică. Ei bine, nu din matematică, desigur, și) studenții mai pregătiți pot folosi materialele selectiv, într-un anumit sens ", pentru a obține" cunoștințe lipsă, pentru dvs. voi fi un grafic inofensiv Dracula \u003d)

Vom deschide, în cele din urmă, ușa și vom vedea cu pasiune ce se întâmplă când două versiuni se întâlnesc reciproc ....

Definiția unui produs scalar al vectorilor.
Proprietățile unui produs scalar. Sarcini tipice

Conceptul unei lucrări scalare

Primul pro Unghi între vectori. Cred că toată lumea este intuitivă că un astfel de unghi între vectori, dar doar în cazul puțin. Luați în considerare vectorii liberi nonzero și. Dacă amânați acești vectori dintr-un punct arbitrar, atunci se dovedește imaginea pe care mulți au prezentat deja mental:

Mărturisesc, aici am obdat situația numai la nivelul de înțelegere. Dacă aveți nevoie de o definiție strictă a unghiului dintre vectori, vă rugăm să contactați manualul, pentru sarcinile practice, este, în principiu, pentru nimic. De asemenea, în continuare, voi fi în locuri pentru a ignora vectorii zero datorită semnificației lor practice mici. Rezervarea făcută special pentru vizitatorii site-ului avansat, care mă pot reproșează în incompletă teoretică a unor declarații ulterioare.

Poate lua valori de la 0 la 180 de grade (de la 0 la radiani) inclusiv. Analical acest fapt este înregistrat sub formă de inegalități duble: sau (în radiani).

În literatura de specialitate, pictograma unghiului trece adesea și scrie pur și simplu.

Definiție: Produsul scalar al a doi vectori este numit numărul egal cu produsul acestor vectori pe cosinul colțului dintre ele:

Aceasta este acum o definiție strictă.

Ne concentrăm asupra informațiilor esențiale:

Desemnare: Produsul scalar este notat de sau pur și simplu.

Rezultatul operației este un număr: Vectorul este înmulțit cu vectorul, iar numărul este obținut. Într-adevăr, dacă lungimile vectorilor sunt numerele, cosinul unghiului - numărul, atunci munca lor De asemenea, va exista un număr.

Imediat câteva exemple de încălzire:

Exemplul 1.

Decizie: Folosim formula . În acest caz:

Răspuns:

Valorile cosinei pot fi găsite în trigonometric TIP.. Vă recomandăm să imprimați - va fi necesară în aproape toate secțiunile Turnului și va avea nevoie de mai multe ori.

Pur și dintr-un punct matematic, produsul scalar este fără dimensiuni, adică rezultatul, în acest caz, este pur și simplu numărul și asta este. Din punctul de vedere al sarcinilor fizicii, produsul scalar are întotdeauna un anumit sens fizic, adică după rezultatul, trebuie să specificați o anumită unitate fizică. Exemplul canonic al calculării activității forței poate fi găsit în orice manual (formula este exact un produs scalar). Lucrările de forță este măsurată în jouli, prin urmare, răspunsul va fi înregistrat destul de specific, de exemplu,.

Exemplul 2.

Găsiți dacă. Și unghiul dintre vectori este egal.

Acesta este un exemplu pentru auto-hotărâtă, răspundeți la sfârșitul lecției.

Unghiul dintre vectori și valoarea produsului scalar

În exemplul 1, produsul scalar a fost pozitiv și, în exemplul 2 - negativ. Aflați ce depinde semnul unui produs scalar. Ne uităm la formula noastră: . Lungimile vectorilor nonzero sunt întotdeauna pozitivi: prin urmare semnul poate depinde numai de valoarea cosiniei.

Notă: Pentru o mai bună înțelegere a informațiilor de mai jos, este mai bine să explorați programul cosinus în metode Graficele și proprietățile funcției. Vedeți cum se comportă cosinul de pe segment.

După cum sa menționat deja, unghiul dintre vectori poate varia în interiorul și în același timp posibil următoarele cazuri:

1) Dacă unghi între vectori acut: (de la 0 la 90 de grade), atunci , I. produsul scalar va fi pozitiv sondatulColțul dintre ele este considerat zero, iar produsul scalar va fi, de asemenea, pozitiv. Deoarece formula este simplificată :.

2) Dacă unghi între vectori prost: (de la 90 la 180 de grade) , și în mod corespunzător, produsul scalar negativ: . Un caz special: Dacă vectorii direcționate opusApoi este luată în considerare colțul dintre ele a plecat: (180 de grade). Produsul scalar este, de asemenea, negativ deoarece

Declarații corecte și de returnare:

1) Dacă unghiul dintre datele vectorilor este ascuțit. Alternativ, vectorii sunt acoperiți.

2) Dacă unghiul dintre vectorii de date este prost. Alternativ, vectorii sunt direcționați opus.

Dar al treilea caz are un interes deosebit:

3) Dacă unghi între vectori drept: (90 de grade), atunci produsul scalar este zero:. Opusul este, de asemenea, adevărat: dacă, atunci. Declarația compactă este formulată după cum urmează: Produsul scalar al a doi vectori este zero dacă și numai dacă acești vectori sunt ortogonali. Mic de statura Înregistrarea matematică:

Fotografiile! Notă : Repeta bazele logicii matematice: O pictogramă de consecință logică cu două căi este de obicei citită "dacă și numai atunci", "în acest caz și numai în cazul". După cum puteți vedea, săgețile sunt îndreptate în ambele părți - "Aceasta rezultă din acest lucru și înapoi - de la asta, rezultă". Ce, apropo, diferența de la pictograma următoare unilaterală? Icoana aprobă doar astacă "rezultă din acest lucru", și nu faptul că opusul este corect. De exemplu: dar nu fiecare fiară este un panter, deci în acest caz este imposibil să folosiți pictograma. În același timp, în loc de icoană poate sa Utilizați pictograma unică. De exemplu, rezolvarea sarcinii, am aflat că am concluzionat că vectorii sunt ortogonali: - o astfel de înregistrare va fi corectă și chiar mai relevantă decât .

Al treilea caz are un mare semnificație practică Deoarece vă permite să verificați, vectori ortogonali sau nu. Aceasta sarcina Rezolvăm în cea de-a doua secțiune a lecției.

Proprietățile unei piese scalare

Să revenim la situația în care două versiuni sondatul. În acest caz, unghiul dintre ele este zero, iar formula produsului scalar ia forma :.

Și ce se va întâmpla dacă vectorul se înmulțește cu tine însuți? Este clar că vectorul este acoperit cu el însuși, așa că folosim formula simplificată de mai sus:

Numărul este numit piața scalară Vector și denumit.

În acest fel, Piața scalară vectorială este egală cu pătratul lungimii acestui vector:

Din această egalitate, puteți obține o formulă pentru calcularea lungimii vectorului:

Deși pare neîntreruptă, dar sarcinile lecției vor dispărea cu toții. Pentru a rezolva problemele, de asemenea, vom avea nevoie proprietățile unei piese scalare.

Pentru vectorii arbitrari și orice număr sunt corecte următoarele proprietăți:

1) - mișcare sau comutativ Legea muncii scalare.

2) - Distribuție Or. distributiv. Legea muncii scalare. Pur și simplu, puteți dezvălui paranteze.

3) - respirabil sau asociativ Legea muncii scalare. Constata poate fi scos din produsul scalar.

Adesea, tot felul de proprietăți (care încă mai trebuie să dovedească!) Sunt percepute de studenți ca coș de gunoi inutilcare trebuie doar să fie trimise și imediat după ce examenul este uitat în siguranță. Se pare că există importante aici, totul și așa de la prima clasă știu că lucrarea nu se schimbă de la permutarea multiplicatorilor :. Trebuie să avertizeze în matematică mai mare cu abordare similară Ușor de blocat lemn de foc. Deci, de exemplu, proprietatea de tranziție nu este corectă pentru matricele algebrice. Este greșit pentru vector vector de artă. Prin urmare, în orice proprietăți pe care le veți întâlni în cursul matematicii superioare, cel puțin este mai bine să vă desfaceți ce puteți face, dar de ce este imposibil.

Exemplul 3.

.

Decizie:În primul rând, clarificați situația cu vectorul. Ce este deloc? Suma vectorilor este un vector complet definit, care este indicat prin. Interpretarea geometrică a acțiunilor cu vectori poate fi găsită în articol Vectori pentru ceainici. Același patrunjel cu un vector este suma vectorilor și.

Deci, după condiție, este necesar să găsiți un produs scalar. În teorie, trebuie să aplicați formula de lucru Dar necazul este că suntem necunoscuți de lungimea vectorilor și unghiul dintre ei. Dar, în condiția de parametri similari pentru vectori, deci vom merge diferite moduri:

(1) Înlocuim expresia vectorilor.

(2) Revelați paranteze În conformitate cu regula de multiplicare a polinomilor, puteți găsi o vrajă în articol. Numere complexe sau Integrarea unei funcții raționale fracționate. Nu voi repeta \u003d) Apropo, pentru a dezvălui parantezele pentru noi toată proprietatea de distribuție a produsului scalar. Avem dreptate.

(3) În primul și ultimul termen, pătratele scalare ale vectorilor sunt compacte: . În al doilea rând, folosim rearanjarea produsului scalar :.

(4) Dăm termeni similari :.

(5) În primul termen, folosim formula unui pătrat scalar, care a fost menționat nu cu mult timp în urmă. În ultimul termen, în consecință, același lucru funcționează :. Al doilea termen se extinde în conformitate cu formula standard .

(6) Înlocuim aceste condiții , și efectuați cu atenție calculele finale.

Răspuns:

Valoarea negativă a produsului scalar afirmă faptul că unghiul dintre vectori este blunt.

Sarcina tipică, aici este un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 4.

Găsiți un produs scalar al vectorilor și, dacă știți asta .

Acum o altă sarcină comună, doar pe noua formulă Vector lungime. Denumirile de aici vor fi un pic coincid, deci pentru claritate o voi rescrie cu altă scrisoare:

Exemplul 5.

Găsiți lungimea vectorului dacă .

Decizie Acesta va fi după cum urmează:

(1) Furnizăm expresia vectorului.

(2) Utilizarea formulei de lungime:, în timp ce vectorul "ve", avem o expresie întregă.

(3) Folosim formula rezumatului sumar de vară. Vă rugăm să rețineți cum funcționează curios aici: "De fapt, acesta este un pătrat de diferența și, de fapt, este". Cei care doresc să poată rearanja vectorii în locuri: - sa dovedit la fel cu acuratețea alcaliei.

(4) Mai sunt deja familiarizate de cele două sarcini anterioare.

Răspuns:

Dacă vorbiți despre lungime, nu uitați să specificați dimensiunea - "unități".

Exemplul 6.

Găsiți lungimea vectorului dacă .

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Soluție completă Și răspunsul la sfârșitul lecției.

Continuăm să strângem lucrurile utile din produsul scalar. Din nou să ne uităm la formula noastră . Conform regulii proporției de resetare a lungimii vectorilor din numitorul din partea stângă:

Și piesele vor schimba locurile:

Care este sensul acestei formule? Dacă sunt cunoscute lungimile a doi vectori și produsul lor scalar, atunci cosinul unghiului dintre vectorii de date poate fi calculat și, în consecință, unghiul însuși.

Produsul scalar este un număr? Număr. Lungimea vectorului - numere? Numere. Deci, fracțiunea este, de asemenea, un număr. Și dacă cosinul colțului este cunoscut: apoi folosind funcția inversă Ușor de găsit un unghi în sine: .

Exemplul 7.

Găsiți unghiul dintre vectori și, dacă este cunoscut faptul că.

Decizie: Folosim formula:

Pe stadiu final Calcule utilizate recepție tehnică - eliminarea iraționalității în numitor. Pentru a elimina iraționalitatea, am domnit Nizer și numitorul.

Astfel, dacă , atunci:

Valorile funcțiilor trigonometrice inverse pot fi găsite de către trigonometric TIP.. Deși se întâmplă rar. În sarcinile geometriei analitice, un fel de urs vag pare să apară mult mai des, iar valoarea unghiului trebuie să găsească aproximativ utilizarea calculatorului. De fapt, vom repeta o astfel de imagine.

Răspuns:

Din nou, nu uitați să indicați dimensiunea - radiani și grade. Personal, voi fi sigur de a "elimina toate întrebările", prefer să indice atât că (dacă, cu condiție, desigur, nu este necesar să prezentăm răspunsul numai în radiani sau numai în grade).

Acum puteți face față mai mult sarcină dificilă:

Exemplul 7 *

Danies - lungimile vectorilor și unghiul dintre ele. Găsiți unghiul dintre vectori ,.

Sarcina nu este chiar atât de complicată ca mai multiplă.
Vom analiza algoritmul soluției:

1) În condiția de a găsi unghiul dintre vectori și, deci trebuie să utilizați formula .

2) Găsiți un produs scalar (vezi exemplele Număr 3, 4).

3) găsim lungimea vectorului și lungimea vectorului (vezi exemplele numărul 5, 6).

4) Sfârșitul deciziei coincide cu exemplul numărul 7 - știm numărul și, prin urmare, este ușor să găsim un unghi în sine:

rezumat Și răspunsul la sfârșitul lecției.

A doua secțiune a lecției este dedicată aceluiași produs scalar. Coordonate. Va fi chiar mai ușoară decât în \u200b\u200bprima parte.

Produs scalar al vectorilor,
a cerut coordonate în baza ortonormală

Răspuns:

Ce să spun, pentru a face față coordonatelor este mult mai plăcut.

Exemplul 14.

Găsiți un produs scalar al vectorilor și dacă

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Aici puteți utiliza asociația operațiunii, adică nu numărați, dar imediat aduceți primele trei în afara produsului scalar și faceți upgrade la acesta. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

În încheierea exemplului provincial al paragrafului privind calcularea duratei vectorului:

Exemplul 15.

Găsiți vectori de lungime , în cazul în care un

Decizie:metoda secțiunii anterioare apare din nou: dar există un alt drum:

Găsiți un vector:

Și lungimea sa în formula trivială :

Produsul scalar nu este deloc aici.

Nu ca nu, atunci când se calculează lungimea vectorului:
Stop. Nu profitați de proprietatea evidentă a lungimii vectorului? Ce se poate spune despre lungimea vectorului? Acest vector este mai lung vector de 5 ori. Direcția este opusă, dar nu joacă un rol, pentru că vorbește despre lungime. Evident, lungimea vectorului este egală cu lucrarea modul Numere pentru lungimea vectorului:
- semnul modulului "mănâncă" un posibil minus număr.

În acest fel:

Răspuns:

Formula cosinică a unghiului dintre vectorii care sunt stabiliți de coordonate

acum avem informații completela colțul de formulare a cosinului derivat anterior între vectori Express prin coordonatele vectorilor:

Unghiul de cosinie între vectorii de avion și specificate în baza ortonormală, formula este exprimată:
.

Unghiul de cosinie între vectorii spațiali definită în baza ortonormală formula este exprimată:

Exemplul 16.

Sunt date trei vârfuri ale triunghiului. Găsiți (unghiul din partea de sus).

Decizie:Cu condiție, desenul nu este necesar, dar totuși:

Unghiul dorit este marcat cu un arc verde. Amintiți-vă imediat desemnarea școlii: - atentie speciala pe mijloc Scrisoarea este partea de sus a colțului de care aveți nevoie. Pentru concurs, a fost, de asemenea, posibil să se înregistreze pur și simplu.

Este clar din desenul că unghiul de triunghi coincide cu unghiul dintre vectori și, cu alte cuvinte: .

Analiza este, de preferință, învățând să efectueze mental.

Găsiți vectori:

Calculăm produsul scalar:

Și lungimea vectorilor:

Corner Cosine:

Este această procedură pentru îndeplinirea sarcinii care recomandă ceapte. Cititorii mai pregătiți pot înregistra calculele "One Line":

Iată un exemplu de valoare a cosiniei "rele". Valoarea obținută nu este definitivă, deci nu există nici un sens special pentru a scăpa de iraționalitate în numitor.

Găsiți unghiul în sine:

Dacă vă uitați la desen, rezultatul este destul de credibil. Pentru a verifica unghiul poate fi de asemenea măsurat și transportator. Nu deteriorați stratul de monitorizare \u003d)

Răspuns:

Ca răspuns, nu uitați asta Întrebat despre colțul triunghiului (și nu despre unghiul dintre vectori), nu uitați să specificați răspunsul exact: și valoarea aproximativă a unghiului: găsite folosind calculatorul.

Cei care s-au bucurat de procesul pot calcula unghiurile și pot asigura justiția egalității canonice

Exemplul 17.

Spațiul este dat de coordonatele triunghi ale vârfurilor lor. Găsiți unghiul dintre părți și

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției

Secțiunea finală mică va fi dedicată proiecțiilor în care produsul scalar este, de asemenea, "implicat":

Proiecție vectorială pe vector. Proiectarea vectorului pe axele de coordonate.
Cosine Ghids Vector.

Luați în considerare vectorii și:

Vector de sporit pe vector, pentru acest lucru, din nou și la sfârșitul vectorului omite perpendiculare pe vector (linii verzi punctate). Imaginați-vă că razele de lumină perpendicular se încadrează în vector. Apoi segmentul (linia roșie) va fi o "umbră" vectorului. În acest caz, proiecția vectorului de pe vector este lungimea segmentului. Adică, proiecția este un număr.

Acest număr este indicat după cum urmează: "Vector mare" indică vectorul Pe care proiecție, "un vector de substrat mic" indică vectorul PE care este proiectat.

Recordul în sine este citit astfel: "Proiecția vectorului" A "pe vectorul Fii."

Ce se întâmplă dacă vectorul este "prea scurt"? Realizăm o linie dreaptă care conține vectorul Fii. Și vectorul "A" va fi proiectat deja În direcția vectorului "Fii"Pur și simplu - pe o linie dreaptă care conține vectorul Fii. Același lucru se întâmplă dacă vectorul "A" este amânat în a treizecea împărăție - este încă ușor dezrădăcinată unei linii drepte care conține vectorul Fii.

Dacă colțul între vectori acut (ca în figură), atunci

Dacă vectorii ortogonal, atunci (proiecția este un punct, ale căror dimensiuni sunt considerate zero).

Dacă colțul între vectori prost(În figură, rearanjați mintal săgeata vectorului), apoi (aceeași lungime, dar luată cu un semn minus).

Voi amâna acești vectori dintr-un punct:

Evident, atunci când se mișcă vectorul, proiecția lui nu se schimbă

Procentul de o sută parte a numărului este, dacă, de exemplu, în orașul de 45 mii de locuitori, atunci 450 de persoane sunt unul din populația P.. Să presupunem că unele întreprinderi sunt cheltuite 20 de mii de ruble. și venit net Au fost obținute 3 mii de ruble. În acest caz, venitul este de 15/100 de piese de capital sau 15 P., care, de obicei, este indicat ca: 15%. Dacă nu doriți să participați la riscurile întreprinderii, atunci oferiți bani pentru împrumut, vă rog venit micobținerea, de exemplu, 4% sau 5%. Înseamnă că În continuarea anului Venitul este de 4/100 sau 5/100 părți ale capitalei, acordate interesului. Acest venit este numit bani de interes. În discursul de zi cu zi, ei folosesc expresia "pentru a primi interes" în loc de dreapta "obține procentaj".

Dicționar enciclopedică f.a. Brockhaus și i.a. Efron. - S.-PB.: Brockhaus-efron. 1890-1907 .

Urmăriți ceea ce este "procentul de o sută parte a numărului" în alte dicționare:

Dacă, de exemplu, în orașul de 45 de mii de locuitori, atunci 450 de persoane constituie un populație P. Să presupunem că unele întreprinderi sunt cheltuite 20 de mii de ruble. și venitul pur a primit 3 mii de ruble. În acest caz, venitul este de 15/100 părți ... ...

LA SUTĂ - o sută parte a numărului luate pe unitate; denotă semnul% ... Enciclopedia politehnică mare

- (Lat.). Figura, adică profitul sau taxa cu sute. În chimie: exprimată în numere părți componente Substanțe. În statistici: atitudinea populației etc. Dicționarul de cuvinte străine, care fac parte din limba rusă. Chudinov a ... Dicționar de cuvinte străine din limba rusă

-% la sută (lat. la sută) o sută de acțiune. Este indicat de semnul "%". Folosit pentru a desemna ponderea oricărui lucru în raport cu întregul. De exemplu, 17% din 500 kg înseamnă 17 părți de 5 kg fiecare, adică ... ... Wikipedia

Investiții - Investingpod I. Se înțelege prin investirea capitalului pentru a profita. Profitul așteptat poate fi sub formă de dividende, la sută sau creștere capital real. Încercarea de a beneficia de schimbările pe termen scurt ale valorii activului se numește ... ... Enciclopedia bancară și finanțe

Dicționar enciclopedică f.a. Brockhaus și i.a. Efron.

Antichitatea nu a cunoscut acum pretutindeni tipuri comune de vodcă (Eau de Vie, Branntwein, Schnaps, Brandy, Whisky, vezi Vodka), ca un puternic puternic, sau alcool, băutură, deoarece arta distilării (a se vedea.) Are dezvoltat în epoca ... ... Dicționar enciclopedică f.a. Brockhaus și i.a. Efron.

Acest termen are, de asemenea, alte semnificații, vezi mașina Kalashnikov (valori). Masina Kalashnikov ... Wikipedia

Chf. - (Swiss Frank) moneda nationala Elveția, istoria aspectului, informații despre dezvoltare despre Swiss Frank, istoria aspectului și dezvoltarea locului franc economie modernă Conținutul unității monetare. Swiss Frank. - Acesta este (cod pentru ... ... Enciclopedia Investitor

Dacă, de exemplu, în orașul de 45 de mii de locuitori, atunci 450 de persoane constituie un populație P. Să presupunem că unele întreprinderi sunt cheltuite 20 de mii de ruble. și venitul pur a primit 3 mii de ruble. În acest caz, venitul este de 15/100 părți ... ... Dicționar enciclopedică f.a. Brockhaus și i.a. Efron.

I. soții. Pe uscat. sute II adj. . Foarte mic, minor, mic, parte, parte din ceva. Numerele III. . Parte, împărtășiți de la împărțirea oricărui lucru la o sută părti egale; O sută. Dicționar explicativ Efremova. T. F. Efremova. 2000 ... Modern dicţionar Limba rusă Efremova.

I. soții. Pe uscat. sute II adj. . Foarte mic, minor, mic, parte, parte din ceva. Numerele III. . Parte, proporția obținută de a împărți orice pe o sută de părți egale; O sută. Dicționar explicativ Efremova. T. F. Efremova. 2000 ... Dicționarul explicativ modern al limbii rusești

O sută parte a procentului în astfel de unități este făcută pentru a măsura diferența în ratele dobânzilor. De exemplu, dacă rata dobânzii a crescut de la 10,4% la 10,8%, apoi sa schimbat la 40 de puncte de bază ... Enciclopedice dicționar de economie și de drept

Punct, de bază - o sută parte a procentului; Indicatorul utilizat pentru a caracteriza diferența dintre ratele dobânzilor de modificare a veniturilor valori mobiliare etc. De exemplu, dacă ordin de plata in trezorerie Aduce venituri la 7,17%, iar prețul său se schimbă astfel încât să joace acum ... ... Mare dicționar economic.

baseplace. - partea de cabană a procentului. În astfel de unități, este obișnuit să se caracterizeze, să măsoare diferența dintre ratele dobânzilor. De exemplu, dacă rata dobânzii a crescut de la 6,2% la 6,5%, atunci sa schimbat la 20 de puncte de bază ... Dicționar de termeni economici

La sută - Partea Sota a ceva, denotă% ... Dicționar politic popular.

Lista unităților de măsură sumele monetareegal cota definită De bază unitate monetara (Valute). De regulă, acestea sunt monede, bancnote mai puțin frecvente sau nu au forma fizica unități de accidentcare sunt folosite pentru calcule mici și sunt numite ... ... Wikipedia

- (Lat.). Figura, adică profitul sau taxa cu sute. În chimie: raportul dintre diferitele componente ale substanței exprimate în număr. În statistici: atitudinea populației etc. Dicționarul de cuvinte străine, care fac parte din limba rusă. Chudinov a ... Dicționar de cuvinte străine din limba rusă

Cărți

• 11 luni pe drum, sau cum să conduci două America pe o bicicletă, Pokayev e .. În jurnalul căutătorului de aventură și eroul prezent al timpului nostru, Yevgeny Podiaeva vorbește despre cucerirea pe bicicleta cea mai lungă cale continuă Planeta - Două America, de la ...