نيكيتينا كريستينا
الاهتمام هو أحد أصعب الموضوعات في الرياضيات بالنسبة للعديد من أطفال المدارس ، ويجد الكثير من الطلاب صعوبة أو حتى غير قادرين على حل المشكلات باهتمام. وفهم الفائدة والقدرة على إجراء حسابات النسبة المئوية ضروريان لكل شخص.
لسوء الحظ ، يتم تقديم حل المشكلات حسب الاهتمام بشكل أساسي في الصفوف 5-6 ، وفي الصفوف اللاحقة ، يتم تخصيص جزء صغير من وقت الدراسة لهذا الموضوع.
هناك حاجة كبيرة للقدرة على حل هذه المشكلات ، حيث إنها موجودة في مواد الاختبار ، سواء في الصف التاسع أو الحادي عشر. وتحتاج إلى البدء في التحضير مقدمًا من أجل استخدام وقتك بطريقة عقلانية لحل المهام الأخرى في المستقبل.
مؤسسة تعليمية الميزانية البلدية
"متوسط مدرسة شاملةرقم 22 "
كيف تتعلم حل المشكلات باهتمام
(مواد لمؤتمر المدينة الثالث العلمي والعملي
تلاميذ المدارس في الرياضيات "خطوات إلى العلم»)
نيكيتينا كريستينا ،
طالب الصف السابع
مشرف:
سالبانوفا ن.
مدرس رياضيات
Anzhero-Sudzhensk 2014
مقدمة ………………………………………………………………………………………… 3
1. من تاريخ أصل الفائدة ………………………………………… ..5
2. أنواع المهام الرئيسية للفائدة ، وطرق حلها …………… .. …… ..6
3. حل المشكلات بالصيغة الفائدة المركبة……………………………...9
4. مشاكل النسب المئوية من مواد الامتحانات للصفين 9 و 11 .. …… ... 11
الخلاصة ……………………………………………………………………………… ... 15
المراجع …………………………………………………………………… ..16
الملاحق ………………………………………………………………………… ... 17
مقدمة
دعونا ننظر حولنا: النسب المئوية موضحة على العبوات مع أي منتجات. ينظر إلينا رمز النسبة المئوية "٪" من الملصقات الترويجية للتخفيضات والمبيعات. في الأخبار ، يظهر الاهتمام على الفور عندما يأتيعن زيادة أسعار السلع أو خدمات... هل يمكننا فك كل هذا إذا لم نتعلم كيفية حل المشكلات بالنسب المئوية؟
لنفترض أنك اشتريت شيئًا عبر الإنترنت وتلقيت إشعارًا من الأقرب مكتب البريد... أو ستقوم أنت بنفسك بإرسال هدية إلى صديق في مدينة أخرى. أنت بالتأكيد بحاجة إلى معرفة كيفية التعامل مع الفائدة من أجل معرفة مقدار الأموال التي يريد مكتب البريد الحصول عليها مقابل خدمات الشحن.
أو الحصول على قروض مصرفية ورهون عقارية. دائمًا ما تكتب البنوك في العقود بأحرف صغيرة جميع أنواع الأشياء التي من المفيد فهمها. على سبيل المثال ، ما هي الفائدة على القرض التي يتعين عليك دفعها للبنك باستثناء الأموال التي "اقترضتها" منه وتلتزم بإعادتها.
ويرتبط أقرب مثال بالامتحان. كل عام بعد الامتحانات ينشرون إحصاءات رسمية، والتي تنطوي على الاهتمام أيضًا كثيرًا. وهذه النسب لها علاقة مباشرةلخريجي المستقبل. على سبيل المثال ، النسبة المئوية للخريجين الذين حصلوا على أكبر عدديشير إلى عدد المتقدمين الذين لديهم فرصة حقيقية لدخول جامعة معينة. كلما زاد عددها ، زادت المنافسة. إذا قارنت نتائجهم مع درجاتك ، يمكنك تقدير فرصك في القبول.
الاهتمام هو أحد أصعب الموضوعات في الرياضيات بالنسبة للعديد من أطفال المدارس ، ويجد الكثير من الطلاب صعوبة أو حتى غير قادرين على حل المشكلات باهتمام. وفهم الفائدة والقدرة على إجراء حسابات النسبة المئوية ضروريان لكل شخص.
لسوء الحظ ، يتم تقديم حل المشكلات حسب الاهتمام بشكل أساسي في الصفوف 5-6 ، وفي الصفوف اللاحقة ، يتم تخصيص جزء صغير من وقت الدراسة لهذا الموضوع.
هناك حاجة كبيرة للقدرة على حل هذه المشكلات ، حيث إنها موجودة في مواد الاختبار ، سواء في الصف التاسع أو الحادي عشر. وتحتاج إلى البدء في الاستعداد مسبقًا ، بحيث يمكنك في المستقبل استخدام وقتك بطريقة عقلانية لحل المهام الأخرى.
الغرض من عملنا:
توسيع المعرفة باستخدام حسابات النسبة المئوية في المشاكل الموجودة في مواد الاختبار.
مهام:
في الفصل الأول من عملنا ، نتذكر مفهوم الاهتمام ، ونتعرف على تاريخ أصله.
أما الفصل الثاني فقد خصص للتعرف على أنواع مشاكل الفائدة وكيفية حلها.
يوضح الفصل الثالث معادلة الفائدة المركبة وتطبيقاتها في حل المشكلات.
في الختام ، يتم تقديم مجموعة مختارة من المهام من مواد الامتحان للصفين 9 و 11.
بالإضافة إلى ذلك ، يحتوي العمل على ملحق يحتوي على جميع النماذج الأولية B2 و B14 من الاختبار ، المتعلقة بمشاكل الاهتمام.
من تاريخ أصل الفائدة
تأتي كلمة "بالمائة" من الكلمة اللاتينية pro centum ، والتي تعني حرفياً "أكثر من مائة" أو "أكثر من مائة".
يُعتقد أن علامة ٪ مشتقة من الكلمة الإيطالية Cento (مائة) ، والتي غالبًا ما يتم اختصارها على أنها cto في حسابات النسبة المئوية. هناك نسخة أخرى من أصل هذه العلامة. يُعتقد أن هذه العلامة كانت نتيجة خطأ مطبعي سخيف من قبل عامل الطباعة. في عام 1685 ، نُشر كتاب في باريس - دليل للحساب التجاري ، حيث أدخل عامل الطباعة عن طريق الخطأ ٪ بدلاً من cto.
تم استخدام الفائدة فقط في التداول و المعاملات المالية... ثم توسع نطاق تطبيقها ، والآن توجد النسب المئوية في الحسابات الاقتصادية والمالية والإحصاءات والعلوم والتكنولوجيا.
في الوقت الحاضر ، النسبة المئوية منظر خاصالكسور العشرية ، جزء من مائة من الكل (يؤخذ على أنه واحد).
ما الفائدة في الرياضيات؟
الشيء الوحيد الذي يجب تذكره هو بالضبط ما هو واحد بالمائة. هذا المفهوم هو المفتاح الرئيسي لحل المشاكل مع الاهتمام ، والعمل باهتمام بشكل عام.
واحد بالمائة هو واحد على مائة من رقم.
الرقم المشار إليه في التنازل. إذا كانت تتحدث عن السعر ، فإن الواحد في المائة هو واحد في المائة من السعر. بالحديث عن السرعة ، واحد بالمائة هو واحد على مائة من السرعة. إلخ.
تذكر ما هو واحد في المائة ، يمكنك بسهولة إيجاد اثنين في المائة ، وأربعة وثلاثين ، وسبعة عشر ، ومائة وستة وعشرين! ستجد كل ما تحتاجه.
وهذه ، بالمناسبة ، هي المهارة الرئيسية لحل المشكلات باهتمام.
الأنواع الرئيسية لمشاكل الاهتمام وطرق حلها
إيجاد النسبة المئوية للعدد
مهمة. في غضون شهر ، أنتجت المؤسسة 500 جهاز. 20٪ من الأجهزة المصنعة فشلت في اجتياز رقابة الجودة. كم عدد الأدوات التي لم تخضع لمراقبة الجودة؟
حل. عليك أن تجد 20٪ من العدد الإجمالي للأجهزة المصنعة (500).
20% = 0,2.
500 * 0,2 = 100.
100 من العدد الإجمالي للأجهزة المصنعة لم تجتاز السيطرة.
نحسب الرقم بنسبته المئوية.
مهمة. أثناء التحضير للامتحان حل الطالب 38 مشكلة من دليل الدراسة الذاتية. وهذا يمثل 23٪ من عدد جميع المهام في الدليل. كم عدد المهام الموجودة إجمالاً في دليل الدراسة الذاتية هذا؟
حل. لا نعرف عدد المهام الموجودة في الدليل. لكننا نعلم أن 38 مهمة تشكل 25٪ من إجماليها. لنكتب 23٪ على شكل كسر: 0.23. بعد ذلك ، يجب أن نقسم جزء الكل الذي نعرفه إلى الجزء الذي يتكون منه الكل:
38/0,25 = 38 * 100/25 = 152.
تم تضمين 152 مشكلة في هذه المجموعة.
أوجد النسبة المئوية لرقمين.
مهمة. يوجد 30 طالبًا في الفصل. 14 منهم من الفتيات. ما هي نسبة الفتيات في الصف؟
حل. لمعرفة النسبة المئوية لرقم واحد من رقم آخر ، تحتاج إلى الرقم الذي تريد البحث عنه مقسومًا عليه المبلغ الإجماليواضرب في 100٪. هذا يعني أن 14/30 * 100٪ = 7/15 * 100٪ = 7 * 100٪ / 15 = 47٪.
نزيد العدد بنسبة مئوية.
مهمة. في امتحان الرياضيات العام الماضي ، حصل 140 طالبًا ثانويًا على درجة A. هذا العام زاد عدد الطلاب المتفوقين بنسبة 15٪. كم عدد الأشخاص الذين حصلوا على A في امتحان الرياضيات هذا العام؟
حل ... إذا تمت زيادة رقم معين أ بنسبة x٪ ، فهذا يعني أنه قد زاد بمقدار (1 + x / 100) مرة.
من أين أ * (1 + س / 100). دعونا نستبدل الأرقام المعطاة لنا وفقًا لحالة المشكلة في هذه الصيغة ونحصل على الإجابة: 140 * (1 + 15/100) = 161.
إنقاص الرقم بنسبة مئوية.
مهمة. قبل عام ، تخرج 100 طفل من المدرسة. وهذا العام انخفض عدد الخريجين بمقدار 25. كم عدد الخريجين هذا العام؟
حل. إذا تم تقليل الرقم a بمقدار x٪ وفي نفس الوقت 0 ≤ x ≤ 100 ، فسيتم تقليل الرقم بمقدار (1 - x / 100) مرة. ونوجد العدد الذي نحتاجه في الصيغة
أ * (1 - × / 100).
نعوض بالأرقام من حالة المشكلة ونحصل على الإجابة: 100 * (1 - 25/100) = 75.
مشاكل باهتمام بسيط.
مهمة. أخذ الآباء قرضًا من البنك بقيمة 5000 روبل لمدة عام بنسبة 15 ٪ شهريًا. كم من المال سيدفعون للبنك في السنة؟
حل. تسمى الفائدة البسيطة بهذا الاسم لأنه يتم تحصيلها عدة مرات ، ولكن في كل مرة يتم تحصيل المبلغ الأصلي. إذا أشرنا المبلغ الأصليكالمبلغ المستحق كـ S ، وسعر الفائدة كـ x٪ وعدد فترات الفائدة كـ y ، ثم يمكن كتابة الصيغة على النحو التالي: S = a * (1 + y * x / 100). الآن دعنا نستبدل الأرقام من حالة المشكلة هنا ونكتشف مقدار المال الذي سيدفعه الوالدان للبنك: S = 5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000.
بالمناسبة ، يمكن حل مشاكل النسبة المئوية البسيطة بسهولة بالغة باستخدام التناسب. هذه الطريقة بديهية وتعطي نفس النتيجة ، بحيث يمكن للجميع اختيار الحل الذي يبدو أسهل. لنحل المشكلة رقم 3 حول الفصل ونسبة الفتيات فيه ، مع تكوين النسبة.
حل. دعنا نشير إلى النسبة المئوية المرغوبة للفتيات في الفصل على أنها x ، سيتم اعتبار إجمالي عدد الطلاب 100٪. تبدو النسبة كما يلي:
30–100%
14 - ×٪
نضرب الجزأين الأيمن والأيسر من النسبة بالعرض ونحصل على 30 * x = 14 * 100 ("30 تشير إلى x وكذلك 14 تشير إلى 100").
مكان العثور على x سهل للغاية بالفعل: x = 14 * 100/30 = 47٪.
حل المسائل باستخدام صيغة الفائدة المركبة
الفائدة المركبة هي مقدار الدخل الناتج عن استثمار الأموال ، بشرط ألا يتم دفع مبلغ الفائدة البسيطة المتراكمة في نهاية كل فترة ، بل يتم إضافتها إلى مبلغ المساهمة الرئيسية وفي الفترة التالية فترة الفاتورةنفسها تولد الدخل.
الفائدة المركبة هي الفائدة المكتسبة على الفائدة المتراكمة.
معادلة الفائدة المركبة هي الصيغة التي يتم من خلالها حساب المبلغ الإجمالي ، مع مراعاة استحقاق الفائدة.
x (1+ 0.01a) n - زيادة دورية في قيمة معينة بنفس عدد النسبة المئوية.
أين س - مساهمة أولية، مجموع.
أ - النسبة المئوية سنويا
ن- وقت إيداع الإيداع في البنك
لكن يمكننا أيضًا تقليل السعر ، لذلك يمكن كتابة هذه الصيغة بطريقة أخرى: x (1- 0.01a) n - انخفاض دوري في قيمة معينة بنفس عدد النسبة المئوية.
لنحل المشكلة: فتح المودع حسابًا مصرفيًا عن طريق تحويل 2000 روبل إلى الوديعة ، الدخل السنويعلى أساس أنها 12٪ ، وقرروا عدم تناوله رسوم الفائدة... كم سيكون على الحساب في ست سنوات؟
دعنا نطبق هذه الصيغة على مشكلتنا
المساهمة الأولية - 2000
النسبة المئوية سنويا - 12
ن - 6 سنوات ، لذلك
2000(1 + 0,12)6 = 2000*1,126 = 2000*1,973823 = 3947,65
الإجابة: خلال 6 سنوات ، سيحصل الحساب على مبلغ 3947 روبل. و 65 كوبيل.
مهمة أخرى: بعد تخفيضين متتاليين للأسعار لنفس العدد من النسب المئوية ، انخفضت تكلفة البضائع من 400 روبل إلى 324 روبل. كم انخفضت تكلفة المنتج في كل مرة؟
لنحل هذه المسألة باستخدام صيغة الفائدة المركبة - x (1-0.01a) n
نحن نحصل:
400 * (1-0.01 أ) 2 = 324
20 (1 - 0.01 أ) = 18
1 - 0.01 أ = 0.9
أ = 10
الإجابة: انخفضت تكلفة البضائع في كل مرة بنسبة 10٪
حل مسائل من مواد الامتحان للصفين التاسع والحادي عشر
الخامس مهام الاستخداممعدلات الفائدة تحظى بشعبية كبيرة. من الأبسط إلى الأكثر تعقيدًا. الخامس مهام بسيطةآه ، كقاعدة عامة ، تحتاج إلى الانتقال من النسبة المئوية إلى القيم التي تمت مناقشتها في المشكلة. للروبل ، الكيلوجرامات ، الثواني ، الأمتار ، وهلم جرا. أو العكس. بعد ذلك ، تصبح المهمة واضحة ويسهل حلها.
"تكلفة ركوب الحافلة 14 روبل. في أيام العطل المدرسية ، تم تقديم خصم 25٪ للطلاب. ما هي أجرة الحافلة خلال العطل المدرسية؟ "
واحد بالمئة من 14 روبل - 14/100 = 0.14 روبل. دعونا نضرب 0.14 روبل في 25. نحصل على 3.5 روبل. لقد حددنا مقدار الخصم بالروبل ، ولا يزال يتعين اكتشافه قيمة جديدةالسفر:
14 – 3,5 = 10,5.
"سابقًا ، حل فاسيا مشكلتين بشكل صحيح بنسبة عشرين بالمائة. بعد دراسة الموضوع على موقع واحد مفيد ، بدأ Vasya في حل 16 مشكلة من أصل 20. ما هي النسبة المئوية التي أصبح Vasya أكثر ذكاءً؟ نحن نعتبر 20 مشكلة تم حلها من أجل ذكاء مائة بالمائة "
مهمتان من أصل 20 - كم بالمائة؟ 2 أقل من 20 10 مرات ، أليس كذلك؟ ومن ثم ، فإن عدد المهامبالنسب المئوية سيكون 10 مرات أقل من 100٪. أي 100/10 = 10.
عشرة٪. لكنه الآن أصبح أكثر ذكاءً ، وحل 16 مشكلة من أصل 20. نحن نفكر في كم ستكون؟ كم مرة يكون 16 أقل من 20؟
5/4 مرات. حسنًا ، نقسم الآن 100 على 5/4:
لكن هذا ليس الجواب بعد! نقرأ المشكلة مرة أخرى حتى لا نخطئ من فراغ. نعم يطلب مناكم الثمن في المئة أكثر حكمة فاسيا؟ 80٪ - 10٪ = 70٪. 70٪.
"دفتر ملاحظات جميل يكلف 40 روبل في الصيف. قبل بدء العام الدراسي ، رفع البائع السعر بنسبة 25٪. ومع ذلك ، كان شراء أجهزة الكمبيوتر المحمولة سيئًا للغاية لدرجة أنه خفض السعر بنسبة 10٪. لا يأخذونها على أي حال! كان عليه أن يخفض السعر بنسبة 15٪ أخرى. هنا بدأت التجارة! ما هو السعر النهائي للكمبيوتر الدفتري؟ "
25٪ من 40 روبل - هذا 10 روبل. أي أن ارتفاع سعر الكمبيوتر المحمول بدأ يكلف 50 روبل.
والآن نحتاج إلى خفض السعر بنسبة 10٪ من 50 روبل.من 50 وليس 40! 10٪ من 50 روبل 5 روبل. وبالتالي ، بعد التخفيض الأول في السعر ، بدأ سعر الكمبيوتر المحمول يكلف 45 روبل.
نحن نعتبر التخفيض الثاني في السعر. 15٪ من 45 روبل (من 45 وليس 40 أو 50!) 6.75 روبل. لذلك فإن السعر النهائي للكمبيوتر الدفتري هو:
45-6.75 = 38.25 روبل.
ضع في اعتبارك بعض المهام الأكثر صعوبة من مواد الاختبار.
الهدف 1. بعد افتتاح التداول في البورصة يوم الاثنين ، ارتفعت أسعار أسهم شركة معينة بنسبة غير معروفة بنسبة مئوية. ويوم الثلاثاء هبط السعر بنفس النسبة. ونتيجة لذلك ، انخفض السعر بنسبة 4٪ مقارنة بقيمته الأصلية يوم الاثنين. ما هي نسبة ارتفاع قيمة أسهم هذه الشركة يوم الاثنين؟
حل. دعها تذهب التكلفة المبدئيةعدد الأسهم 1. يوم الاثنين ، ارتفعت أسعار الأسهم بنسبة 100٪ *. قيمتها في هذا الوقت: 1 + x * 1. في يوم الثلاثاء ، تكون الأسهم أرخص بمقدار x * 100٪. تكلفتها بعد ذلك: 1 + x - x * (1 + x). بعد ذلك أصبحت أرخص بنسبة 4٪ أي. بدأت تكلف 0.96.
ومن ثم 1 + س - س * (1 + س) = 0.96 ↔1 - س 2 = 0.96 × 2 = 0.04 ↔ س = 0.2. أولئك. وفي يوم الاثنين ، ارتفعت أسهم الشركة بنسبة 20٪.
الهدف 2. أربعة أزواج من البنطلونات أرخص بنسبة 8٪ من معطف واحد. احسب بنسبة خمسة أزواج من البنطلونات أغلى من معطف واحد.
حل. بناءً على حالة المشكلة ، فإن تكلفة أربعة أزواج من السراويل هي 92٪ من تكلفة المعطف. من السهل حساب أن تكلفة زوج واحد من البنطال تبلغ 23٪ من تكلفة المعطف (92/4 = 23). الآن نضرب تكلفة زوج واحد من البنطلونات في خمسة ونكتشف أن خمسة أزواج من البنطلونات ستكلف 115٪ من تكلفة المعطف (23 * 5 = 115). أولئك. خمسة أزواج من البنطلونات أغلى بنسبة 15٪ من معطف واحد.
الهدف 3. تتكون الأسرة من ثلاثة أشخاص: الزوج والزوجة وابنة الطالبة. إذا تضاعف راتب الزوج ، فإن إجمالي دخل الأسرة سيرتفع بنسبة 67٪. إذا قطعت البنات المنحة ثلاث مرات ، سينخفض إجمالي دخل هذه الأسرة بنسبة 4٪. من الضروري حساب النسبة المئوية من إجمالي دخل الأسرة الذي يأتي من دخل الزوجة.
حل. ويترتب على شرط أن يكون إجمالي دخل الأسرة متناسبًا بشكل مباشر مع دخل الزوج. ليس من المهم مقدار زيادة راتبه. على أي حال ، سينمو إجمالي دخل الأسرة بنسبة 67٪. وهذا يعني أن أجر الزوج هو 67٪ فقط إجمالي الدخل... إذا تم تخفيض منحة البنت بمقدار ثلاث مرات (أي بنسبة 1/3) ، فستبقى 2/3 - وهذا هو 4 ٪ ، والتي ستنخفض بها دخل العائلة... يمكنك عمل نسبة بسيطة ومعرفة أنه نظرًا لأن 2/3 من المنحة تمثل 4٪ من الدخل ، فإن المنحة بأكملها هي 6٪. والآن نقوم بطرح مساهمة الزوج والبنت من إجمالي الدخل ومعرفة نسبة دخل الزوجة في إجمالي دخل الأسرة وهي: 100٪ - 67٪ - 6٪ = 27٪.
المهمة 4. تحتوي العبوة على 5 لترات من محلول مائي بتركيز مادة 12٪. تمت إضافة 7 لترات أخرى من الماء إلى الحاوية. ما حل أي تركيز (مع أي نسبة من المادة) ظهر بعد ذلك؟
حل. دعونا نصف تركيز مادة في محلول بالصيغة التالية: C = Vsubstance / Vsolution * 100٪. في البداية ، يحتوي المحلول على 0.12 * 5 = 0.6 لتر من المادة. عندما تمت إضافة 7 لترات من الماء ، زاد حجم المحلول في الحاوية. لكن تركيز المادة انخفض (ظل حجمها دون تغيير). دعنا نستبدل جميع الأرقام التي نعرفها في الصيغة ونحصل على الإجابة: 0.6 / 5 + 7 * 100٪ = 0.6 / 12 * 100٪ = 5٪.
المهمة 5. يحتوي المشمش الطازج على 90٪ رطوبة ، والمشمش المجفف الذي يتم الحصول عليه منه 5٪ فقط. كم كيلو جرام من المشمش تحتاجه للحصول على 20 كيلو جرام من المشمش المجفف؟
حل. بناءً على الحالة ، يحتوي المشمش على 10٪ من العناصر الغذائية ، ويحتوي المشمش المجفف على شكل مركّز - 95٪. لذلك ، في 20 كجم من المشمش المجفف 20 * 0.95 = 19 كجم من المغذيات. سنجيب على سؤال المشكلة إذا قسمنا نفس الكمية من المغذيات الموجودة في أحجام مختلفة من المشمش الطازج والمشمش المجفف ، على نسبتها في المشمش. للحصول على 20 كجم من المشمش المجفف ، يجب أن تأخذ 19 / 0.1 = 190 كجم من المشمش الطازج.
استنتاج
في سياق العمل على الملخص ، قمنا بتعميق معرفتنا في حل المشكلات للفائدة ، وتعرّفنا على صيغة الفائدة المركبة. قمنا باختيار مجموعة من المشاكل من مواد الامتحان للصفين التاسع والحادي عشر.
حل مشاكل المصالح ليس بهذه الصعوبة. إذا تعلمت القواعد الأساسية وربطت خيالك ، يمكنك النقر فوق الألغاز مثل المكسرات. من الضروري الآن أن تتعلم كيف تحل مثل هذه المشاكل بنفسك ، حيث لا يُمنح سوى القليل من الوقت لها في دروس الرياضيات.
في الملحق ، نقدم مجموعة مختارة من النماذج الأولية B2 و B14 من الاختبار ، والتي تحتوي على مشكلات تتعلق بالاهتمام. B2 - هذه مهام أولية يجب أن يكون الجميع قادرين على حلها ، B14 - مهام أكثر صعوبة. ولكن يمكن أيضًا تعلم حلها. تحتاج فقط إلى الرغبة وتطبيق القليل من المثابرة والصبر.
كتب مستخدمة
1 بوصة العمل اللامنهجيفي الرياضيات "، Alkhova ZN ، Makeeva AV ، Saratov OJSC دار النشر" ليسيوم "، 2003.
2. "التحضير لامتحان الدولة الموحد في الرياضيات" ، Ye.A. Semenko وآخرون ، كراسنودار ، التعليم-الجنوب ، 2005.
3. Dorofeev G.V.، Sedova E.A. حسابات النسبة المئوية... م.باستارد 2003.
4. فتح البنكاستخدام الواجبات في الرياضيات
تطبيق
نماذج أولية لمهام B2 للامتحان
النماذج الأولية للمهام B14 في الامتحان
هل يحتاج هذا الشخص العادي؟
بالطبع ، في أغلب الأحيان ، يتعين على الأشخاص الذين يعملون مع العلم التعامل مع الاهتمام. ليس من غير المألوف أن تذهب هذه السعادة إلى الطلاب كجزء من منهج الرياضيات المدرسي. ومع ذلك ، فإن نطاق تطبيق النسب المئوية واسع جدًا لدرجة أن ممثلي معظمهم مهن مختلفةوالفصول. جمهور موقعنا ليس استثناء. في الواقع ، غالبًا ما يواجه المقيمون في الصيف مهمة تحديد تركيز محلول الأسمدة ، وحساب الضريبة على الأرض أو الممتلكات الأخرى ، وتحديد مبلغ أقساط القروض ، وما إلى ذلك.
في كل هذه الحالات ، لا يمكنك الاستغناء عن القدرة على التعامل مع الفائدة بشكل صحيح. وهم رفاق متقلدون ، لا يحبون الأخطاء. لذلك ، على الرغم من البساطة الظاهرة للمهام باهتمام ، عند حلها ، من الضروري ملاحظة عدد من قواعد معينة.
الاستقبال الأساسي
من السهل حل جميع المسائل التي تنطوي على نسب مئوية باستخدام مبدأ التناسب. ما هو جوهرها؟ على سبيل المثال ، تحتاج إلى تحديد ما يساوي 76٪ من الرقم 840؟ لهذا ، يتم وضع نسبة مناسبة. إنها تعادل 840 إلى 100٪. القيمة المطلوبة س هي 76٪. هذا يسمح لنا بتكوين النسبة التالية:
840 / س = 100٪ / 76٪ أو 840 * 76٪ = س * 100٪
ومن هنا اتضح أن:
س = 840 * 76٪ / 100٪ = 638.4
كما ترى ، كل شيء بسيط للغاية.
أنواع المشاكل الأساسية بالنسب المئوية
من وجهة نظر الرياضيات ، هناك ثلاث فئات من المسائل ، يرتبط حلها بحساب النسب المئوية.
النوع الأول
هذا عندما تحتاج إلى العثور على النسبة المئوية لرقم معين محدد في الشروط. يمكن الاستشهاد بتكييف هذا المثال مع ظروف حياة سكان الصيف المهمة التالية... لنفترض أنه وفقًا لقوانين منطقة معينة ، مالك خاص قطعة أرضيجب أن تدفع ضريبة الأرض سنويًا. يتم تحديد حجمها بنسبة 2٪ القيمة المساحيةالأرض. سعر المؤامرة 327 ألف روبل. ما هو معدل الضريبة السنوي؟ للإجابة على السؤال المطروح ، يتم وضع نسبة:
327 الف روبل. = 100٪ ؛
X ألف روبل = 2٪.
بإحضار هذا الاعتماد إلى المعادلة ، نحصل على: x * 100 = 327 * 2. ونتيجة لذلك: x = 327 * 2/100 = 6.54 ألف روبل.
مثال آخر على هذا النوع من المهام يتعلق بالقضية التي تقلق الغالبية العظمى من سكان الصيف - الزيادات في المعاشات التقاعدية أو أجور... لنفترض الآن أن معاش الشخص هو 7200 روبل ، ولكن مع الشهر القادموعدوا بزيادته بنسبة 15٪. كم ستكون مباشرة بالروبل؟ يتم تجميع النسبة مرة أخرى:
النوع الثاني
الخامس هذه القضيةمن الضروري حل المشكلة العكسية ، أي حساب الرقم من النسبة المئوية المتاحة. على سبيل المثال ، من المعروف أن 10 كجم من مادة معينة هي جزء من السماد ، بينما تمثل 40٪ من إجمالي الكمية. تحتاج إلى تحديد الحجم الكليالأسمدة الجاهزة. لهذا ، يتم أيضًا تجميع النسبة ، لكنها ستبدو مختلفة قليلاً:
10 كجم - 40٪
x كجم - 100٪
ويترتب على ذلك أن x = 10 * 100/40 = 25 كجم.
النوع الثالث
تتضمن هذه الفئة المهام التي تحتاج إلى تحديدها بعد رقم واحد النسبة المئويةاخر. على سبيل المثال ، يجب أن يكون حجم سقي الجزر في الصباح 60 لترًا. في المساء ، يجب سكب 150 لترًا على الأسرة. ما هي نسبة سقي المساء سقي الصباح؟ يبدو أن النسبة الأساسية بالطريقة الآتية:
150 لتر - 100٪ ؛
كوب 60 لتر - x٪
ثم: x = 60 * 100/150 = 40٪
بالنسبة لأولئك المقيمين في الصيف الذين يفكرون في مؤامرة خاصةكمصدر للدخل ، يجب أن يكون تكنولوجيا مثيرة للاهتمامحساب الربحية. يستخدم هذا المؤشر في الاقتصاد كمقياس لنجاح المؤسسة ويتم حسابه أيضًا كنسبة مئوية. ومن خلال مستوى الربحية فإنهم يحكمون على مدى عقلانية التنظيم عملية التصنيع.
لذلك ، يعتمد الحساب على كميتين:
* التكلفة الكاملةبما في ذلك جميع المصاريف النقدية، بما في ذلك النقل ، وكذلك شراء المخزون ، وما إلى ذلك ؛
* الدخل الوارد من بيع المحصول.
اختلافهم هو صافي الربح... Pr = D - C. في هذه الحالة ، يكون لصيغة الربحية الشكل: P = Pr / C * 100٪. حتى إذا التكلفة الإجماليةمن الإنتاج 8200 روبل ، وبيعت مقابل 9000 روبل ، وستكون الربحية: P = (9000 - 8200) / 8200 * 100 ٪ = 9.75 ٪. عادة، مستوى مقبولتعتبر الربحية في اقتصاد المؤسسة 5٪. بمعدلات منخفضة ، يُنصح الإدارة بالبحث عن خيارات لتنظيم عمل أكثر عقلانية.
على أي حال ، أنت بحاجة إلى معرفة كيفية حل مشاكل الجبر بالنسب المئوية حتى في المدرسة ، وبعد ذلك لن يكون الأمر صعبًا عليك.
بيتر ، www.site
كيف تعمل الفائدة
.
الفائدة واحدة من مفاهيم رياضية، والتي توجد غالبًا في الحياة اليومية. يمكنك أن تقرأ أو تسمع ، على سبيل المثال ، أن 57٪ من الناخبين شاركوا في الانتخابات ، وتقييم الفائز في العرض هو 75٪ ، والأداء الأكاديمي 85٪ ، والبنك 17٪ سنويًا ، والحليب يحتوي على 1.5٪ دهون ، المواد تحتوي على 100٪ قطن ، إلخ.
من الواضح أنه بدون فهم هذا النوع من المعلومات بتنسيق مجتمع حديثسيكون من الصعب ببساطة الوجود.
لقد أجريت استبيانًا بين الأشخاص الذين تبلغ أعمارهم 7 سنوات فما فوق ، واكتشفت فهمهم لماهية PERCENTAGE وكيف تعمل.
النسبة المئوية هي جزء من مائة رقم - 80٪
إنه يتبع هذا معظميعرف السكان ما هي النسبة المئوية ، ولكن لا يفهم الجميع كيف تعمل.
النسبة المئوية هي شيء من الرياضيات -15٪
الفائدة ربح - 3٪
وجدت صعوبة في الإجابة - 2٪تاريخ إنشاء الفائدة.
كلمة "النسبة المئوية" نفسها تأتي من اللات. "Pro Centum" ، والتي تعني "الجزء المائة" في الترجمة. في عام 1685 ، نُشر كتاب "دليل إلى الحساب التجاري" لماثيو دي لا بورتا في باريس. في مكان واحد ، كان الأمر يتعلق بالنسب المئوية ، والتي كانت ترمز بعد ذلك إلى "cto" (مختصر من cento). ومع ذلك ، فقد أخطأ عامل الطباعة في كتابة "cto" لكسر وكتب "٪". لذلك ، بسبب خطأ في الطباعة ، دخلت هذه العلامة حيز الاستخدام.
كانت المصالح معروفة أيضًا في الهند. قام علماء الرياضيات الهنود بحساب النسب المئوية باستخدام ما يسمى بالقاعدة الثلاثية ، أي باستخدام التناسب.
الخامس روما القديمةكانت منتشرة على نطاق واسع التسويات النقديةبإهتمام. أنشأ مجلس الشيوخ الروماني الحد الأقصى النسبة المئوية المتاحةالمشحونة من المدين.
في أوروبا خلال العصور الوسطى ، توسعت التجارة ، وبالتالي ، انتباه خاصتحولت إلى القدرة على حساب النسب المئوية. ثم كان من الضروري حساب ليس فقط الفائدة ، ولكن أيضًا الفائدة على الفائدة (الفائدة المركبة). في كثير من الأحيان ، تقوم المكاتب والمؤسسات بتطوير جداول خاصة لحساب النسب المئوية لتسهيل العمليات الحسابية. ظلت هذه الجداول سرية وتشكل السر التجاري للشركة. تم نشر الجداول لأول مرة في عام 1584 من قبل سيمون ستيفين.
لم يكن العالم الفلمنكي ، المهندس العسكري سيمون ستيفين ، عالم رياضيات من حيث المهنة ، لكن عمله الشاق وموهبته سمحا له بأخذ مكانة جيدة بين علماء الرياضيات الأوروبيين البارزين. كان أول من اكتشف في أوروبا الكسور العشرية... نشر Simon Stevin جدول بيانات لحساب الفائدة المركبة ، والتي تم استخدامها في المعاملات التجارية والمالية.
في الحياة العملية ، من المفيد معرفة العلاقة بين النسب المئوية الأبسط والكسور المقابلة: نصف - 50٪ ، ربع - 25٪ ، ثلاثة أرباع - 75٪ ، خمس - 20٪ ، ثلاثة أخماس - 60٪ ، إلخ.
الزيادة بمقدار الضعف تعني الزيادة بنسبة 100٪ ، والنقصان بمقدار الضعف يعني النقصان بنسبة 50٪. تجعل الحياة الحديثة لنا مرة أخرى مشاكل الفائدة ذات صلة ، حيث يتوسع نطاق التطبيق العملي لحسابات الفائدة. في كل مكان - في الصحف والإذاعة والتلفزيون وفي النقل والعمل ، ترتفع الأسعار والأجور وزيادة قيمة الأسهم وانخفاض في قوة شرائيةالسكان ، إلخ. دعنا نضيف هنا إعلانات البنوك التجارية التي تجذب الأموال من السكان ظروف مختلفة، معلومات عن أرباح الأسهم شركات مختلفةوالأموال ، عند تغير الفائدة قرض مصرفيوهكذا ، كل هذا يتطلب القدرة على الإنتاج البسيط على الأقل حسابات الفائدةللمقارنة والاختيار أكثر الظروف المواتية... إن تكوين المهارات ذات الصلة حاليًا يترك الكثير مما هو مرغوب فيه.
الاهتمام بالعمليات المصرفية يهمني بشكل خاص.
هذا يعني أنه عند حساب أي بيانات ، يتم تبسيط النسب المئوية عمليات حسابية، أي الحاجة إلى دراستها.
الغرض من العمل: دراسة تطبيق عمليحسابات الفائدة.
أبسط المهام للاهتمام.مهام:
- تحديد مفهوم "النسبة المئوية" ؛
- دراسة تاريخ منشأ الاهتمام ؛
- تحديد نطاق التطبيق العملي للاهتمام ؛
- حل أبسط مشاكل الفائدة والمشاكل الخاصة بالعمليات المصرفية ؛
- تقديم استنتاج.
كائن البحث: النسبة المئوية.
موضوع البحث: مهام لحساب الفائدة في العمليات المصرفية.
1. إيجاد النسبة المئوية للعدد.
لإيجاد النسبة المئوية لرقم ما ، تحتاج إلى ضرب هذا الرقم في الكسر المقابل.
على سبيل المثال.
20٪ من 45 كجم من القمح تساوي 45 * 0.2 = 9 كجم.2. إيجاد الرقم بالنسبة المئوية.
للعثور على رقم بنسبته المئوية ، تحتاج إلى قسمة الجزء المقابل لهذه النسبة المئوية على كسر.
على سبيل المثال.
إذا كان 8٪ من طول الشريط 2.4 سم ، فسيكون طول الشريط بأكمله 2.4: 0.08 = 30 سم.3. العثور نسبة مئويةرقمين.
لمعرفة عدد النسبة المئوية لرقم واحد من الثاني ، تحتاج إلى قسمة الرقم الأول على الثاني وضرب الناتج في 100٪.
على سبيل المثال.
9 جم من الملح في محلول وزنه 180 جم تساوي 9: 180 * 100٪ = 5٪.الفوائد المصرفية.
الآن دعنا نفكر في مهام حساب الفائدة في العمليات المصرفية.
هناك أنواع عديدة العمليات المصرفية... على سبيل المثال: الإقراض فرادى، الإقراض الكيانات القانونية، إيداع ، إلخ.
دعنا نعرض الصيغ والأمثلة على استخدامها.
كيف يتم تجميع حساب الفائدة على الودائع؟
لإدارة الخاص بك بمهارة نقدافي الودائع المصرفية ، من الضروري تحليل العائد المتوقع على أنواع الودائع المختارة ، لتعويض حساب الفائدة على الودائع.
للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة: قيمة معدل الفائدة ، والإجراءات الدورية لتراكم الفائدة ، وإجراءات استلام الفائدة (الإضافة إلى الإيداع ، والسحب النقدي ، والتحويل إلى حساب عند الطلب أو إلى بطاقة). كل هذا منصوص عليه من قبل البنوك في اتفاقيات الإيداع البنكي ويعتمد على نوع الإيداع.لحساب الفائدة على ودائع الأفراد ، تستخدم البنوك الأنواع التاليةاسعار الفائدة:
يتم حساب الفائدة على الأموال التي تجذب في الودائع (الودائع) باستخدام الصيغ القياسية. يطبق الصيغ التاليةحساب الفائدة:
- معدل ثابت عندما سعر الفائدةالبنك ، ثابت في اتفاقية الإيداعولا يتغير خلال كامل مدة الإيداع بموجب الاتفاقية.
- السعر العائم هو عندما يتغير سعر الفائدة المحدد مبدئيًا بموجب الاتفاقية خلال مدة الإيداع بأكملها ، بسبب التغيير في سعر إعادة التمويل ، والتغيير في سعر الصرف والعوامل الأخرى المحددة من قبل البنك في الاتفاقية.
1) صيغة الحساب مصلحة بسيطة.
إذا تم إضافة الفائدة المتراكمة على الوديعة إلى الوديعة في نهاية مدة الإيداع أو لم يتم إيداعها على الإطلاق ، ولكن تم تحويلها إلى حساب منفصل ، ففي هذه الحالات يتم حساب مبلغ الفائدة باستخدام صيغة الفائدة البسيطة. الفائدة البسيطة لا تنص على رسملة الفائدة. عند اختيار نوع الإيداع ، يجدر الانتباه إليه. عندما يكون مبلغ الوديعة كبيرًا ، ويتم تطبيق معادلة حساب الفائدة البسيطة ، يمكن فقد قدر كبير من الدخل. تبدو صيغة الفائدة البسيطة على الودائع كما يلي:
س =: 100 أين
Sp هو مقدار الفائدة (الدخل).S = P +: 100 ، أين
S - مبلغ وديعة بنكية(الإيداع) مع الفائدة ؛
أنا - معدل الفائدة السنوي ؛
t هو عدد أيام استحقاق الفائدة على الوديعة التي تم جذبها ؛
K هو عدد الأيام في تقويم سنوي(365 أو 366) ؛
ف - مقدار الأموال التي تجذب إلى الوديعة.لمزيد من الوضوح ، سأقدم أمثلة مشروطة لحساب الفائدة البسيطة والمبلغ وديعة بنكيةباهتمام بسيط.
مثال. لنفترض أن البنك قد قبل وديعة بمبلغ 50000 روبل لمدة 3 أشهر بمعدل 10.5 بالمائة "سنويًا".
Sp = 50000 * 10.5 * 90: 365: 100 = 1294.52
S = 50000 + 50000 * 10.5 * 30: 365: 100 = 51294.52
2) معادلة حساب الفائدة المركبة.
إذا تمت إضافة الفائدة المتراكمة على الوديعة إلى الإيداع على فترات منتظمة (يومية ، شهرية ، ربع سنوية) ، ففي هذه الحالات يتم حساب مبلغ الفائدة باستخدام صيغة الفائدة المركبة. توفر الفائدة المركبة رسملة الفائدة (تراكم الفائدة على الفائدة). لحساب الفائدة المركبة ، يمكنك استخدام صيغتين للفائدة المركبة على الودائع ، والتي تبدو كالتالي:
Sp = P * [(1 + I * t: K: 100) n - 1] أو
Sp = S - P = P * (1 + I * t: K: 100) n - P ، أين
أنا - معدل الفائدة السنوي ؛
t هو عدد أيام استحقاق الفائدة على الوديعة التي تم جذبها ؛
K هو عدد الأيام في السنة التقويمية (365 أو 366) ؛
ف - مقدار الأموال التي يتم جذبها إلى الوديعة ؛
Sp هو مقدار الفائدة (الدخل) ؛
n هو عدد فترات استحقاق الفائدة ؛
ق - مبلغ الوديعة (الوديعة) مع الفائدة.ومع ذلك ، عند حساب الفائدة ، يكون من الأسهل أولاً حساب المبلغ الإجمالي للإيداع مع الفائدة ، وبعد ذلك فقط حساب مقدار الفائدة (الدخل). ستبدو صيغة حساب الوديعة مع الفائدة كما يلي:
S = P * (1 + I * t: K: 100) ن
سأقدم أمثلة مشروطة لحساب الفائدة المركبة ومبلغ الإيداع المصرفي بالفائدة المركبة.
مثال. تم قبول وديعة بمبلغ 50000 روبل لمدة 90 يومًا بمعدل 10.5 بالمائة سنويًا مع استحقاق الفائدة كل 30 يومًا.
S = 50000 * (1 + 10.5 * 30: 365: 100) 3 = 51305.72
يمكن التحقق مرة أخرى من صحة حساب الفائدة في المثال أعلاه. للقيام بذلك ، نقسم مدة الإيداع إلى 3 فترات (شهر) ونحسب استحقاق الفائدة لكل فترة. أنا أستخدم صيغة الفائدة البسيطة.Sp = 50000 * [(1 + 10.5 * 30: 365: 100) 3-1] = 1305.72
شهر واحد S1 = 50،000 + 50،000 * 10.5 * 30: 365: 100 = 50431.51
Sp1 = 50000 * 10.5 * 30: 365: 100 = 431.51
شهرين S2 = 50431.51 + 50431.51 * 10.5 * 30: 365: 100 = 50866.74
Sp2 = 50431.51 * 10.5 * 30: 365: 100 = 435.23
3 أشهر S3 = 50866.74 + 50866.74 * 10.5 * 30: 365: 100 = 51305.72
SP3 = 50866.74 * 10.5 * 30: 365: 100 = 438.98
وبالتالي، المبلغ الإجماليفي المئة مع الأخذ بعين الاعتبار الرسملة الشهرية(استحقاق الفائدة على الفائدة) هو:
Sp = Sp1 + Sp2 + Sp3 = 1305.72 ، وهو ما يتوافق مع المبلغ المحسوب باستخدام الفائدة المركبة. وبالتالي ، تم وضع الحساب وفقًا للحساب باستخدام معادلة الفائدة المركبة وحسابها بشكل صحيح.
لنقم الآن بمقارنة بسيطة لنتائج حساب النسبة المئوية عند تطبيق صيغتين مختلفتين. في كلا المثالين ، تم أخذ نفس البيانات كأساس ، أي توفير مبلغ 50000 روبل في وديعة لمدة 90 يومًا.
عند حساب الفائدة باستخدام صيغة الفائدة البسيطة ، كان الدخل 1294.52 روبل. عند حساب الفائدة باستخدام صيغة الفائدة المركبة ، بلغ الدخل 1305.72 روبل. بلغت رسملة الفائدة 11.2 روبل. (1305.72 - 1294.52).
الاستنتاجات.
- يتم الحصول على المزيد من الدخل من خلال رسملة الفائدة ، وفي هذه الحالة يتم تطبيق معادلة الفائدة المركبة في الحساب. أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة أنه في الأمثلة المقدمة ، للراحة ، تم استخدام معدل ثابت فقط.
- يمكن استخدام هذه الصيغ لحساب الفائدة على القروض.
فهرس.
- برو ل. المال والبنوك ، وظائف الائتمان M. VSh 1993
- الخدمات المصرفية. الدليل المرجعي... إد. يو. أ. بابيتشيفا. - م: الاقتصاد ، 1994
- من ويكيبيديا - موسوعة مجانية www.wikipedia.ru
- أ. شيفكين "حل مشكلة الكلمات" موسكو كلمة روسية"2002
يحدث مفهوم النسبة المئوية في كثير من الأحيان في حياتنا ، لذلك من المهم جدًا معرفة كيفية حل المشكلات باهتمام. من حيث المبدأ ، هذه ليست مسألة صعبة ، الشيء الرئيسي هو فهم مبدأ العمل باهتمام.
نحن نعمل بمفهوم 100 في المائة ، وبالتالي ، واحد في المائة هو مائة عدد معين... وتستند جميع الحسابات على هذه النسبة.
على سبيل المثال ، 1٪ من 50 يساوي 0.5 ، و 15 من 700 يساوي 7.
15٪ من 150. الحل: 150/100 * 15 = 22.
28٪ من 1582. الحل: 1582/100 * 28 = 442.
توجد صيغة لهذا: 75-100٪
في هذه الصيغة ، يتم ضرب الأرقام في تقاطع بواسطة تقاطع ، أي x = 5 * 100/75. اتضح أن x = 6٪ وهذا يعني أن نسبة الورود القرمزية 6٪.
يوجد 30 طالبًا في الفصل ، 16 منهم من الأولاد. السؤال هو ، ما هي النسبة المئوية للفتيان أكثر من البنات. تحتاج أولاً إلى حساب النسبة المئوية للطلاب الذكور ، ثم تحتاج إلى معرفة عدد النسبة المئوية من الفتيات. أوجد الفرق في النهاية.
لذلك دعونا نبدأ. نصنع نسبة 30 لكل. - 100٪
16 حساب. -NS٪
الآن نحن نحسب. X = 16 * 100/30 ، س = 53.4٪ من جميع الطلاب في الفصل هم من الأولاد.
لنجد الآن النسبة المئوية للفتيات في نفس الفصل. 100-53.4 = 46.6٪
الآن كل ما تبقى هو إيجاد الفرق. 53.4-46.6 = 6.8٪. الجواب: يزيد عدد الفتيان بنسبة 6.8٪ عن عدد الفتيات.
لذا ، حتى لا تواجه مشكلات في كيفية حل المشكلات باهتمام ، تذكر بعض القواعد الأساسية:
وبالتالي ، فإن حل المشكلات بالنسب المئوية ليس بالأمر الصعب ، فالشيء الرئيسي فيه هو الانتباه والدقة ، كما هو الحال في جميع الرياضيات. ولا تنس أن الأمر يتطلب تدريبًا لإتقان أي مهارة. لذا قرر المزيد وكل شيء سيكون على ما يرام أو حتى رائعًا بالنسبة لك.
