فكر الناس في جميع الأوقات في مستقبلهم. لقد حاولوا ويحاولون حماية أنفسهم وأطفالهم وأحفادهم من المصاعب المالية ، وبناء جزيرة صغيرة من الثقة في المستقبل على الأقل. البدء في بنائه الآن بمساعدة الودائع المصرفية الصغيرة ، يمكنك تأمين الاستقرار والاستقلال في المستقبل.
المبدأ الأساسي للعمليات المصرفية هو أن الأموال لا يمكن أن تزيد إلا عندما تكون متداولة باستمرار. لكي يتنقل العملاء بثقة في مجال الخدمات المالية ويكونوا قادرين على اختيار الظروف المناسبة التي تفيدهم في فترة زمنية معينة ، فأنت بحاجة إلى معرفة عدد من القواعد البسيطة. ستركز هذه المقالة على الاستثمارات طويلة الأجل التي تسمح لعدد معين من السنوات من مبلغ صغير نسبيًا من رأس المال الأولي للحصول على ربح كبير أو استخدام الوديعة بشكل أكبر ، وسحب المستحقات للاحتياجات اليومية.
من أجل الحساب الصحيح للربح ، من الضروري إجراء عمليات حسابية بسيطة بناءً على الصيغ أدناه.
على سبيل المثال ، قررت وضع 100000 روبل. بمعدل 11٪ سنويًا من أجل الاستفادة من المدخرات في 10 سنوات ، والتي نمت بشكل كبير نتيجة للرسملة. لحساب المبلغ الإجمالي ، يجب عليك تطبيق طريقة حساب الفائدة المركبة.
يعني استخدام الفائدة المركبة أنه في نهاية كل فترة (سنة ، ربع ، شهر) ، يتم إضافة الأرباح المتراكمة إلى المساهمة. المبلغ المستلم هو أساس الزيادة اللاحقة في الأرباح.
لحساب الفائدة المركبة ، نستخدم صيغة بسيطة:
بالتعويض عن القيم في هذه الصيغة ، نرى ما يلي:
بعد 5 سنوات سيكون المبلغ فرك.،
وستكون كذلك بعد 10 سنوات 
فرك.
إذا قمنا بالحساب لفترة قصيرة ، فسيكون من الأنسب حساب الفائدة المركبة باستخدام الصيغة
ولكن بالنسبة لأولئك الذين يجدون أنه من الأنسب سحب الفائدة على وديعة على أساس شهري ، فمن الأفضل أن تتعرف على المفهوم "رسملة الوديعة" ، مما يعني حساب الفائدة البسيطة.
يوضح الرسم البياني كيف سينمو رأس المال عندما يتم رسملة الفائدة على الوديعة ، إذا استثمرت 100،000 روبل. لمدة 10 سنوات بنسبة 10٪ و 15٪ و 20٪
هناك طريقة أخرى أكثر ربحية للعميل تتمثل في تحصيل وإضافة سعر فائدة - شهريًا. لهذا ، يتم تطبيق الصيغة التالية:
حيث تقابل n أيضًا عدد معاملات الرسملة ، ولكن يتم التعبير عنها بالفعل بالأشهر. مؤشر النسبة المئوية هنا مقسوم بشكل إضافي على 12 لأن هناك 12 شهرًا في السنة ، ونحن بحاجة إلى حساب معدل الفائدة الشهري.
إذا تم استخدام هذه الصيغة للاستحقاق ربع السنوي للإيداع ، فسيتم قسمة النسبة المئوية السنوية على 4 ، وسيكون المؤشر n مساويًا لعدد الأرباع ، وإذا تم استحقاق الفائدة بنصف سنوات ، فسيتم حينئذٍ معدل الفائدة سيتم تقسيمها على 2 ، والتعيين n سوف يتوافق مع عدد نصف السنوات.
لذلك ، إذا قدمنا مساهمة بمبلغ 100000 روبل. مع رسملة الفائدة الشهرية ، ثم:
بعد 5 سنوات (60 شهر)كان من الممكن أن يرتفع مبلغ الوديعة إلى 172891.57 روبل ، أي ما يقرب من 10000 روبل. أكثر من حالة الرسملة السنوية للإيداع ؛ 
فرك.
وبعد 10 سنوات (120 شهرًا)وكان المبلغ "المتراكم" سيصل إلى 298914.96 روبل ، وهو بالفعل يصل إلى 15000 روبل. يتجاوز الرقم المحسوب باستخدام معادلة الفائدة المركبة ، والتي تنص على الحساب بالسنوات.
فرك.
هذا يعني أن العائد على الفائدة الشهرية أعلى من العائد السنوي. وإذا لم يتم سحب الربح ، فإن الفائدة المركبة تعمل لصالح المودع.
تعتبر معادلات الفائدة المركبة الموضحة أعلاه أمثلة توضيحية على الأرجح للعملاء لفهم كيفية حساب الفائدة المركبة. هذه الحسابات أبسط إلى حد ما من الصيغة التي تطبقها البنوك على الودائع المصرفية الحقيقية.
الوحدة المستخدمة هنا هي معامل سعر الفائدة للإيداع (ع). يتم حسابه على النحو التالي:
يتم احتساب الفائدة المركبة (المبلغ "المتراكم") للودائع المصرفية باستخدام الصيغة التالية:
بناءً عليه وأخذ نفس البيانات كمثال ، سنقوم بحساب الفائدة المركبة باستخدام الطريقة المصرفية.
أولاً ، نحدد معامل سعر الفائدة للإيداع:
الآن نستبدل البيانات في الصيغة الرئيسية:
فرك. - هذا هو مبلغ الوديعة "المتزايدة" على مدى 5 سنوات * ؛
فرك. - لمدة 10 سنوات*.
* الحسابات الواردة في الأمثلة تقريبية لأنها لا تأخذ في الاعتبار السنوات الكبيسة وعدد الأيام المتفاوتة في الشهر.
إذا قارنا المبالغ من هذين المثالين مع الأمثلة السابقة ، فإنها تكون أصغر إلى حد ما ، ولكن لا تزال الفائدة من رسملة الفائدة واضحة. لذلك ، إذا كنت عازمًا على وضع أموال في البنك لفترة طويلة ، فمن الأفضل إجراء حساب أولي للربح باستخدام الصيغة "المصرفية" - سيساعدك هذا على تجنب خيبة الأمل.
الأحكام العامة
ترتبط جميع الحسابات المالية والاقتصادية تقريبًا ، بطريقة أو بأخرى ، بحساب الفائدة. في الممارسة المصرفية ، يتم استخدام الفائدة البسيطة والمركبة.
أموال الفائدة (الفائدة) هي مقدار الدخل من إقراض الأموال بأشكال مختلفة (قروض ، فتح حسابات إيداع ، شراء سندات ، تأجير معدات ، إلخ).
يعتمد مبلغ الفائدة على ثلاثة عوامل:
مبلغ الدين الرئيسي (مبلغ القرض) ؛
تاريخ النضج؛
معدل الفائدة ، الذي يميز كثافة استحقاق الفائدة.
يمكن دفع الفائدة عند استحقاقها أو إضافتها إلى المبلغ المستحق. تسمى الزيادة في مبلغ الدين بسبب إضافة الفائدة المتراكمة الزيادة في المبلغ الأصلي للديون.
تسمى نسبة المبلغ المتراكم إلى المبلغ الأولي للدين بمضاعف التراكم (المعامل) (KN):
كن \ u003d 8 / ص ،
حيث 8 - المبلغ المتراكم (سداد) ؛
R هو المبلغ الأولي للديون.
KN دائمًا أكبر من واحد.
يسمى الفاصل الزمني الذي يتم حساب الفائدة من أجله فترة الاستحقاق.
عند استخدام أسعار الفائدة البسيطة ، يتم تحديد مبلغ الفائدة المالية خلال كامل مدة الدين على أساس المبلغ الأولي ، بغض النظر عن فترات الاستحقاق ومدتها ، أي لا يوجد رسملة للفائدة (استحقاق الفائدة على الفائدة).
عند استخدام الأسعار المركبة ، تتم إضافة الفائدة المستحقة عن الفترة السابقة إلى مبلغ الدين وتراكم الفائدة عليها في الفترة التالية (يتم رسملة الفائدة).
يمكن أن تتغير قيمة الأسعار نفسها (البسيطة والمعقدة) أو أن تظل دون تغيير. إذا تغير سعر الفائدة ، ولكن لا توجد رسملة ، أي يتم احتساب الفائدة دائمًا على نفس المبلغ ، فسيكون ذلك بسيطًا. إذا كان هناك رسملة حتى عند معدلات الفائدة الثابتة ، فإن الفائدة تكون مركبة.
يمكن حساب الفائدة البسيطة والمركبة بطريقتين:
تسلسلي - يتم احتساب الفائدة في نهاية كل فترة ؛
مضاد - تحسب الفائدة في بداية كل فترة.
في الحالة الأولى ، يتم تحديد مبلغ الفائدة على أساس مبلغ القرض. يُطلق على سعر الفائدة التقديري اسم فائدة القرض. هذه هي نسبة مبلغ الدخل المستحق خلال الفترة الزمنية إلى المبلغ الأولي (المبلغ في بداية فترة احتساب الفائدة):
1 = الدخل × 100٪ / ر.
باستخدام الطريقة المضادة (الأولية) لحساب الفائدة ، يتم تحديد مبلغ الفائدة على أساس المبلغ المستحق. سعر الفائدة (ё) يسمى المحاسبة أو مضاد:
هـ \ u003d الدخل × 100٪ / 8.
الطريقة الورقية أكثر شيوعًا في الممارسة العالمية.
ضع في اعتبارك الأنواع المختلفة من الأسعار وطرق حسابها وفقًا للخطة التالية:
أسعار فائدة متداخلة بسيطة ؛
أسعار الفائدة الانقباضية المركبة ؛
معدلات (خصم) بسيطة مضادة للجراثيم ؛
معدلات مضادات (الخصم) المعقدة ؛
معدلات فائدة معادلة.
طريقة ختامية لحساب الفائدة البسيطة
يستخدم استحقاق المعدلات البسيطة ، كقاعدة عامة ، للإقراض قصير الأجل.
دعونا نقدم التدوين:
8 - الكمية المتراكمة ، فرك ؛
R - المبلغ الأولي للدين ، ص ؛
1 - معدل الفائدة السنوي (في أجزاء من الوحدة) ؛
n هي مدة القرض بالسنوات.
في نهاية السنة الأولى ، سيكون المبلغ المتراكم للديون
81 \ u003d P + P 1 \ u003d P (1 + 1) ؛
في نهاية السنة الثانية:
82 \ u003d 81 + P 1 \ u003d P (1 + 1) + P 1 \ u003d P (1 + 2 1) ؛ في نهاية السنة الثالثة:
83 \ u003d 82 + P1 \ u003d P (1 + 2 1) + P 1 \ u003d P (1 + 3 1) وهكذا. في نهاية المصطلح n: 81 \ u003d P (1 + n 1).
هذه هي صيغة الاستحقاق بسعر فائدة بسيط.
يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن معدل الفائدة والمصطلح يجب أن يتوافق مع بعضهما البعض ، أي إذا تم أخذ معدل سنوي ، فيجب التعبير عن الفترة بالسنوات (إذا كانت ربع سنوية ، فيجب التعبير عن الفترة في أرباع ، وما إلى ذلك).
التعبير الموجود بين قوسين هو معدل الفائدة المستحق البسيط:
كن \ u003d (1 + ن 1).
لذلك،
81 = كتاب آر.
المهمة 5.1
أصدر البنك قرضًا بمبلغ 5 ملايين روبل. لمدة ستة أشهر بسعر فائدة بسيط 12٪ سنويًا. تحديد المبلغ المطلوب دفعه.
حل:
8 = 5 ملايين (1 + 0.5 ¦ 0.12) = 5300000 روبل.
إذا تم تحديد المدة التي يتم اقتراض الأموال من أجلها بالأيام ، فسيكون المبلغ المتراكم مساويًا لـ 8 = P (1 + d / K 1) ،
حيث d هي مدة الفترة بالأيام ؛
K هو عدد الأيام في السنة.
تسمى قيمة K الأساس الزمني.
يمكن أن تؤخذ القاعدة الزمنية مساوية للطول الفعلي للسنة - 365 أو 366 (ثم تسمى الفائدة بالضبط) أو تقريبية ، تساوي 360 يومًا (إذن فهي فائدة عادية).
يمكن أيضًا تحديد قيمة عدد الأيام التي يتم فيها اقتراض الأموال بشكل دقيق أو تقريبًا. في الحالة الأخيرة ، يُفترض أن تكون مدة أي شهر كامل 30 يومًا. في كلتا الحالتين ، يعتبر تاريخ إصدار الأموال بالدين وتاريخ إرجاعها يومًا واحدًا.
المهمة 5.2
أصدر البنك قرضًا بمبلغ 200 ألف روبل. من 12 مارس إلى 25 ديسمبر (سنة كبيسة) بمعدل 7٪ سنويًا. حدد مبلغ السداد بخيارات قاعدة زمنية مختلفة للعدد الدقيق والتقريبي لأيام القرض واستخلص نتيجة حول الخيارات المفضلة من وجهة نظر البنك والمقترض.
حل:
العدد الدقيق لأيام الإعارة اعتبارًا من 12.03.2007. إلى 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
العدد التقريبي لأيام الإعارة:
20+8-30+25=285;
أ) الفائدة المحددة والعدد الدقيق لأيام القرض:
8 = 200000 (1 + 289/366 ¦ 0.07) = 211016 روبل ؛
ب) الفائدة العادية والعدد الدقيق لأيام القرض:
8 = 200000 (1 + 289/360 ¦ 0.07) = 211200 ؛
ج) الفائدة العادية والعدد التقريبي لأيام القرض:
8 = 200000 (1 + 285/360 × 0.07) = 211،044 ؛
د) الفائدة الدقيقة والعدد التقريبي لأيام القرض:
8 = 200000 (1 + 285/366 0.07) = 210863.
وبالتالي ، سيكون أكبر مبلغ متراكم في الخيار ب) - فائدة عادية مع العدد الدقيق لأيام القرض ، والأصغر - في الخيار د) - فائدة محددة مع عدد تقريبي لأيام القرض.
لذلك ، من وجهة نظر البنك كدائن ، الخيار (ب) هو الأفضل ، ومن وجهة نظر المقترض الخيار د).
يجب ألا يغيب عن البال ، على أي حال ، أن الفائدة العادية هي أكثر فائدة للمقرض ، وفائدة محددة للمقترض (على أي حال - بسيطة أو معقدة). في الحالة الأولى ، يكون المبلغ المتراكم أكبر دائمًا ، وفي الحالة الثانية يكون أقل.
إذا كانت أسعار الفائدة على فترات استحقاق مختلفة خلال مدة الدين مختلفة ، يتم تحديد المبلغ المتراكم من خلال الصيغة
ن
8 \ u003d ف (1 + س ن 10 ،
1=1
حيث N هو عدد فترات حساب الفائدة ؛
ن - مدة فترة الاستحقاق الأولى ؛
^ - سعر الفائدة في فترة الاستحقاق I-th.
المهمة 5.3
يقبل البنك الودائع بسعر فائدة بسيط ، وهو 10٪ للسنة الأولى ثم يزيد بمقدار نقطتين مئويتين كل ستة أشهر. تحديد مبلغ المساهمة إلى 50 ألف روبل. باهتمام بعد 3 سنوات.
حل:
8 = 50000 (1 + 0.1 + 0.5 0.12 + 0.5 0.14 + 0.5 0.16 + 0.5 0.18) = 70000 روبل.
باستخدام صيغة المبلغ المستحق ، يمكنك تحديد مدة القرض وفقًا لشروط أخرى محددة.
مدة القرض بالسنوات:
8 - P N =.
ص 1
المهمة 5.4
حدد مدة القرض بالسنوات التي يبلغ الدين فيها 200 ألف روبل. سيرتفع إلى 250 ألف روبل. عند استخدام معدل فائدة بسيط - 16٪ سنويًا.
حل:
(250000 - 200000) / (200000 0.16) = 1.56 (سنة).
من معادلة المبلغ المتراكم ، يمكنك تحديد معدل الفائدة البسيطة ، وكذلك المبلغ الأولي للديون.
تقرر بنفسك
المهمة 5.5
عند اصدار قرض 600 الف روبل. تم الاتفاق على أن يعيد المقترض 800 ألف روبل في غضون عامين. تحديد معدل الفائدة المستخدم من قبل البنك.
الإجابة: 17٪.
المهمة 5.6
يجب سداد القرض الذي يتم إصداره بمعدل بسيط قدره 15٪ سنويًا بعد 100 يوم. حدد المبلغ الذي حصل عليه المقترض ومقدار الفائدة المالية التي يتلقاها البنك إذا كان المبلغ المراد إرجاعه 500 ألف روبل. بقاعدة زمنية تبلغ 360 يومًا.
الجواب: 480000 روبل.
تسمى عملية العثور على المبلغ الأولي للديون لسداد معروف بالخصم. بمعنى واسع ، يعني مصطلح "الخصم" تحديد القيمة P لقيمة في وقت معين ، بشرط أن تكون في المستقبل مساوية لقيمة معينة تبلغ 8. تسمى هذه الحسابات أيضًا جلب مؤشر القيمة إلى نقطة زمنية معينة ، وقيمة P التي يحددها الخصم ، تسمى القيمة الحديثة أو المخفضة لقيمة التكلفة. يتيح لك الخصم مراعاة عامل الوقت في حسابات التكلفة. دائمًا ما يكون عامل الخصم أقل من واحد.
صيغة الخصم بسعر فائدة بسيط هي:
P = 8 / (1 + w) ، حيث 1 / (1 + w) هو عامل الخصم.
طريقة ختامية لحساب الفائدة المركبة
في العمليات المالية والائتمانية طويلة الأجل ، تضاف الفائدة بعد فترة الاستحقاق التالية إلى مبلغ الدين ، وفي الفترة التالية يتم احتساب الفائدة على المبلغ الإجمالي ، أي مع رسملة الفائدة. تسمى هذه الفائدة الفائدة المركبة ، ويزداد أساس استحقاقها مع كل فترة استحقاق متتالية.
يتم تحديد المبلغ المتراكم لعدد n من السنوات باستخدام معدل فائدة مركب سنوي ثابت 1 ج بواسطة الصيغة
8 \ u003d P (1 + 1s) ص.
المهمة 5.7
أصدر البنك قرضًا بقيمة 500 ألف روبل. لمدة 3 سنوات. حدد المبلغ المراد سداده باستخدام معدل مركب قدره 18٪ سنويًا ومقدار أموال الفائدة.
حل:
8 = 500000 (1 + 0.18) 3 = 821.516 روبل.
أموال الفائدة = 821.516 - 500000 = 321516 روبل.
يعطي حساب الفائدة المركبة لفترة القرض التي تزيد عن عام مبلغًا أكبر من أموال الفائدة مقارنةً بحساب الفائدة البسيطة.
إذا تم حساب الفائدة المركبة عدة مرات في السنة (بالأشهر والأرباع ونصف السنة) ، فسيتم استخدام معدل الفائدة الاسمي - المعدل السنوي الذي على أساسه يتم تحديد معدل الفائدة المطبق في كل فترة استحقاق.
يتم تحديد المبلغ المتراكم بواسطة الصيغة
8 \ u003d P (1 +] / t) tp ، حيث] - المعدل الاسمي للفائدة المركبة ، الكسر العشري ؛
م - عدد فترات استحقاق الفائدة في السنة ؛
n هي مدة القرض بالسنوات ؛
] / t - سعر الفائدة في كل فترة استحقاق ، كسر عشري.
المهمة 5.8
يتراكم البنك بشكل ربع سنوي الفائدة على الودائع بمعدل اسمي يبلغ 16٪ سنويًا. تحديد المبلغ الذي يستلمه المستثمر بعد 5 سنوات إذا كان مبلغ الإيداع الأولي 100 ألف روبل.
حل:
8 \ u003d 100000 (1 + 0.16 / 4) 4 × 5 \ u003d 219 112.2 روبل.
من معادلة المبلغ المتراكم يمكنك تحديد قيمة المبلغ الصادر للمقترض ، أي قم بخصم المبلغ 8 بسعر الفائدة المركب.
تقرر لنفسك
المهمة 5.9
حدد القيمة الحالية لمبلغ 500 ألف روبل ، والتي سيتم دفعها في 3 سنوات باستخدام معدل فائدة مركب قدره 20٪ سنويًا.
الجواب: 289351.8 روبل.
يتم تحديد مدة القرض (من صيغة المبلغ المستحق)
n \ u003d 1od (8 / R) / 1od (1 + 1).
يمكن أخذ اللوغاريتمات بأي قواعد متساوية.
المهمة 5.10
يفرض البنك فائدة مركبة بمعدل 12٪ سنويًا. تحديد الفترة بالسنوات التي تم فيها إيداع مبلغ 25 ألف روبل. سوف ينمو إلى 40 ألف روبل.
الجواب: 4.15 سنة.
المهمة 5.11
تضاعف حجم الدين في 3 سنوات. تحديد معدل الفائدة السنوية المركبة المستخدمة.
الإجابة: 26٪.
طريقة مضادة لحساب الفائدة البسيطة (معدلات الخصم البسيطة)
عند استخدام معدلات الخصم ، يتم تحديد مبلغ الفائدة من إقراض الأموال بناءً على المبلغ الذي يجب إرجاعه ، أي مبلغ القرض المستلم ليس المبلغ المستلم ، بل المبلغ المتراكم. يتم اقتطاع أموال الفائدة المتراكمة بسعر الخصم فور إصدار القرض ، ويتلقى المقترض مبلغ القرض على الفور مطروحًا منه الفائدة المالية. تسمى هذه العملية الخصم بسعر الخصم ، بالإضافة إلى المحاسبة المصرفية أو التجارية. يسمى مقدار الفائدة التي يتم احتسابها بسعر الخصم بالخصم.
يتم تحديد المبلغ المستلم من قبل المقترض بواسطة الصيغة
P \ u003d 8 (1 - ن عشر) ،
حيث د - معدل الخصم البسيط ؛
(1 - ن هـ) - عامل الخصم بسعر خصم بسيط.
يمكن أن نرى من الصيغة أنه على عكس أسعار القروض ، لا يمكن لمعدلات الخصم أن تأخذ أي قيم ، ولا يمكن أن يكون عامل الخصم سالبًا ، أي يجب أن يكون n ^ e أقل من واحد تمامًا. لم يتم العثور على قيم e القريبة من الحد في الممارسة العملية. المهمة 5.12
يأخذ المقترض قرضًا لمدة ربع مع التزام بإعادة 100 ألف روبل. تحديد المبلغ الذي حصل عليه المقترض ومبلغ الخصم الذي يحتفظ به البنك بسعر خصم 15٪ سنويًا.
حل:
P = 100000 (1 - 0.25 × 0.15) = 96250 روبل.
خصم = 8 - P = 100000 - 96250 = 3750 روبل.
إذا تم تحديد مدة القرض بالأيام (د) ، فسيتم تحديد المبلغ الذي حصل عليه المقترض من خلال الصيغة
P = 8 (1 - أ د / ك) ،
حيث K هو عدد الأيام في السنة (القاعدة الزمنية).
تقرر لنفسك
المهمة 5.13
حدد المبلغ الذي حصل عليه المقترض ومقدار الخصم الذي حصل عليه البنك إذا كان يتعين على المقترض ، بموجب العقد ، إعادة 100 ألف روبل في 200 يوم. بمعدل خصم بنكي قدره 10٪ سنويًا وقاعدة زمنية تبلغ 360 يومًا.
الجواب: 94444.44 روبل ؛ 5 555.56r.
في الممارسة العملية ، يتم استخدام معدلات الخصم في شراء (محاسبة) السندات الإذنية والالتزامات النقدية الأخرى. في هذه الحالة ، يشتري البنك أو مؤسسة مالية أخرى الفاتورة من المالك (المورد) قبل استحقاقها بسعر أقل من المبلغ الذي يجب دفعه عليها في نهاية المدة ، أو كما يقولون ، خصومات البنك الفاتورة. يتلقى مالك الفاتورة في نفس الوقت الأموال في وقت أبكر من المدة المشار إليها في الفاتورة ، مطروحًا منها دخل البنك في شكل خصم. بعد أن استلم البنك المبلغ المشار إليه في الفاتورة عند الاستحقاق ، فإنه يدرك (يستلم) الخصم.
يمكن اعتبار العملية المحددة بمثابة إصدار لقرض من قبل البنك بالمبلغ المبين في الفاتورة ، بسعر الخصم المستخدم عند المحاسبة عنها ، لفترة تساوي الفترة من تاريخ المحاسبة إلى تاريخ استرداد الفاتورة . وبالتالي ، سيتم تحديد المبلغ الصادر لمالك الفاتورة المخصومة بواسطة الصيغة
P \ u003d 8 (1 - Dp-e) \ u003d 8 (1 - e-Dd / K) ، حيث Dp \ u003d Dd / K - الفترة بالأيام من تاريخ المحاسبة إلى تاريخ سداد الفاتورة ؛
الجحيم - عدد الأيام من تاريخ المحاسبة إلى تاريخ سداد الفاتورة.
المهمة 5.14
عند حساب فاتورة بمبلغ 100 ألف روبل ، حتى تاريخ الاستحقاق الذي بقي 80 يومًا ، دفع البنك لمالكه 98 ألف روبل. حدد معدل الخصم الذي استخدمه البنك مع قاعدة زمنية تتكون من 360 يومًا.
حل:
ه \ u003d (100000-98000) × 360 / (100000 × 80) \ u003d 0.09 \ u003d 9٪.
تقرر لنفسك
المهمة 5.15
فاتورة بمبلغ 200 ألف روبل. المحاسبة في البنك قبل 30 يومًا من تاريخ استحقاقها بمعدل خصم 15٪ سنويًا. تحديد المبلغ المستلم من قبل حامل الفاتورة ومقدار الخصم الذي حصل عليه البنك ، على أساس زمني 360 يومًا.
الجواب: 197500 روبل ؛ 2500 فرك.
المهمة 5.16
يصدر البنك قروضاً بسعر خصم 15٪ سنوياً. حدد مدة القرض بالسنوات إذا كان المقترض يريد الحصول على 500 ألف روبل ، والمبلغ المدفوع يجب أن يكون 550 ألف روبل
. الجواب: 0.61 سنة.
طريقة Antisipative لحساب الفائدة المركبة (معدلات الخصم المركبة)
دعونا نقدم الترميز التالي:
ёс - معدل الخصم المعقد ؛
^ - معدل الخصم السنوي الاسمي (يستخدم عند احتساب الفائدة بسعر الخصم عدة مرات في السنة) ؛
معادلة الخصم بسعر الخصم المركب:
الف \ u003d 8 (1 - يس) ص.
المبلغ المستحق بعد ن سنوات: 8 = P / (1 - Ds) p.
هنا 1 / (1 - ds) p - معامل التراكم بمعدل خصم معقد.
إذا تساوت فائدة القرض وسعر الخصم ، فإن تراكم المبلغ الأولي في الحالة الثانية (بالطريقة المضادة) يكون أسرع. لذلك ، في الأدبيات يمكن للمرء أن يجد تأكيدًا على أن الطريقة التعديلية لحساب الفائدة هي أكثر فائدة للمقترض ، والطريقة المضادة للمقرض أكثر فائدة للمقرض. ومع ذلك ، يمكن اعتبار هذا عادلاً فقط لأسعار الفائدة الصغيرة ، عندما لا يكون التناقض كبيرًا. لكن مع ارتفاع سعر الفائدة ، يصبح الفرق في المبالغ المتراكمة هائلاً (وينمو مع نمو النسبة المئوية) ، وتفقد المقارنة بين هاتين الطريقتين كل المعنى.
ويترتب على الصيغة أن معدل الخصم يمكنه فقط أن يأخذ قيمًا أقل بدقة من 100٪. يزداد المبلغ المتراكم بسرعة مع نمو معدل الخصم ، ويميل إلى اللانهاية.
إذا تغير معدل الخصم خلال مدة القرض:
ن
8 \ u003d R / P (1 - ن ث).
1=1
هنا n1، n2، ... nN هي مدة فترات الاستحقاق بالسنوات ؛
d1، ... ^ - معدلات الخصم في هذه الفترات ؛
إذا احتسبت الفائدة م مرات في السنة ، إذن
8 = P / (1 - G / t) ™
إذا أجرينا العمليات الحسابية 8 لأنواع مختلفة من أسعار الفائدة (القروض البسيطة والمركبة ومعدلات الخصم) بنفس P وأسعار الفائدة ، فسيتم الحصول على أكبر زيادة في رأس المال إذا تم تحميل الفائدة بسعر خصم بسيط.
المهمة 5.17
المبلغ الأولي للديون 25 ألف روبل. تحديد المبلغ المتراكم بعد 3 سنوات باستخدام طرق التوصيف والمضاد لحساب الفائدة. معدل الفائدة السنوي - 25٪.
حل:
= 25000 (1 + 0.25) 3 = 48828.125 روبل ؛
= 25000 (1 - 0.25) -3 = 59255.747 روبل.
تقرر لنفسك
المهمة 5.18
حدد القيمة الحالية لمبلغ 120000 روبل ، والتي سيتم دفعها في غضون عامين باستخدام معدل خصم معقد قدره 20 ٪ سنويًا.
الجواب: 76800 ص
المشكلة 5.19.
حدد المبالغ المتراكمة لأنواع مختلفة من أسعار الفائدة في ظل نفس الشروط الأولية: P = 10000 روبل ، وسعر الفائدة = 10٪.
يتم تلخيص نتائج الحساب في جدول وتتم مقارنة معدلات العدد الكبير. نوع السعر وصيغة الحساب 8 Termp = 1 Termp = 3 Termp = 6 قرض بسيط: 8 = Р (1 + t) 11000 13000 16000 \ u003d R e] p 11044 محاسبة بسيطة: 8 \ u003d P / (1 - dp) محاسبة معقدة: 8 \ u003d P / (1 - d) ص
على سبيل المثال ، يعرض السطر العلوي نتائج حساب المبالغ المستحقة بمعدل قرض بسيط مع شروط قرض تساوي سنة وثلاث وست سنوات. يجب ملء الأسطر الفارغة بنفسك.
في معادلة الحساب لحساب الفائدة المستمرة ، e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي. بالنسبة إلى n = 1: 8 = 10،000 x 2.701 x 1 = 11،044.
معدلات الفائدة المعادلة أسعار الفائدة المعادلة هي تلك المعدلات ذات الأنواع المختلفة ، والتي يؤدي تطبيقها ، في ظل نفس الظروف الأولية ، إلى نفس النتائج المالية. يجب أن يعرفوا عندما يكون هناك اختيار لشروط المعاملات المالية وهناك حاجة إلى أداة لمقارنة أسعار الفائدة المختلفة بشكل صحيح.
تستخدم معادلات التكافؤ لإيجاد أسعار فائدة معادلة. يتم تحديد قيمة يمكن حسابها باستخدام أنواع مختلفة من الأسعار (عادةً ما يكون هذا مبلغًا مستحقًا). بناءً على المساواة بين تعبيرين لقيمة معينة ، يتم تجميع معادلة تكافؤ ، يتم من خلالها ، عن طريق التحولات المناسبة ، الحصول على نسبة تعبر عن العلاقة بين أسعار الفائدة بأنواعها المختلفة. على سبيل المثال ، للعثور على معدل خصم بسيط يعادل سعر إقراض بسيط ، ستكون معادلة التكافؤ
P (1 + w) \ u003d P / (1 - nj) أو (1 + w) \ u003d 1 / (1 - nj) ، أي من الضروري معادلة عوامل النمو المقابلة. ومن ثم فإن th = 1 / (1 + w) و 1 = th / (1 - nth).
المهمة 5.20
استحقاق التزام الدين ستة أشهر ، ومعدل الخصم البسيط 18٪. ما هو العائد على هذه العملية مقاساً بسعر فائدة بسيط؟
حل:
1 = 0.18 / (1 - 0.5 × 0.18) = 0.198 = 19.8٪. للعثور على معادلة معدل القرض المركب السنوي ومعدل القرض الاسمي المركب السنوي ، فإننا نساوي التعبيرات: (1 + dp = (1 + Ut) ™
ومن ثم 1c \ u003d (1 + Ym) م - 1.
يُطلق على معدل الفائدة المركبة السنوي الناتج ، والذي يعادل معدل الفائدة الاسمي ، معدل الفائدة المركب الفعال. تحتاج إلى معرفته لتحديد العائد الحقيقي أو مقارنة الفائدة عند استخدام فترات استحقاق مختلفة.
المهمة 5.21
احسب معدل الفائدة المركب الفعال إذا كان المعدل الاسمي 24٪ وكانت الفائدة مركبة شهريًا.
حل:
1 ث = (1 + 0.24 / 12) 12-1 = 0.268 = 26.8٪.
المهمة 5.22
حدد معدل الفائدة الذي يكون من الأكثر ربحية أن تضع رأس مال قدره 10000 ألف روبل. لمدة 5 سنوات:
أ) بمعدل قرض بسيط قدره 20٪ سنويًا ؛
ب) بمعدل قرض مركب قدره 12٪ سنويًا بفائدة ربع سنوية.
حل:
هنا ليس من الضروري حساب مقدار المبلغ المتراكم بمعدلات مختلفة. لذلك ، فإن حجم رأس المال الأولي ليس مهمًا. يكفي ، على سبيل المثال ، العثور على سعر فائدة بسيط مكافئ لسعر مركب معين ، أي استخدم الصيغة
1 = [(1 +] / م) م - 1] / ن = [(1 + 0.12 / 4) 20-1] / 5 = 0.1612 = 16.12٪.
نظرًا لأن معدل الفائدة البسيط البالغ 16.12٪ ، والذي سيعطي نفس النتيجة مثل معدل الفائدة المركب المحدد (12٪) ، أقل بكثير من السعر المقترح في الخيار الأول (20٪) ، فمن الواضح أن خيار الاستثمار الأول (بمعدل بسيط قدره 20٪ سنويًا) أكثر ربحية.
لنحسب الآن المبالغ المتراكمة في كلتا الحالتين:
أ) 8 = 10000 (1 + 5 × 0.2) = 20000 ألف روبل ؛
ب) 8 = 10000 (1 + 0.12 / 4) 20 = 18061 ألف روبل.
تؤكد النتيجة التي تم الحصول عليها الاستنتاج السابق بأن الخيار الأول أكثر ربحية ، لأنه يعطي قدرًا كبيرًا من التراكم. في الوقت نفسه ، يؤدي استخدام معدلات مكافئة إلى خفض الحسابات إلى النصف.
تقرر لنفسك
المهمة 5.23
تم خصم الكمبيالة قبل ثلاثة أشهر من تاريخ استحقاقها بمعدل خصم 20٪ سنويًا. تحديد قيمة المعدل المكافئ للفائدة البسيطة ، والتي تحدد ربحية العملية المحاسبية.
الجواب: 21.1٪.
المهمة 5.24
معدل الفائدة البسيط هو 20٪ سنويًا. تحديد قيمة معدل الخصم المعادل له عند اصدار قرض لمدة ستة اشهر.
الإجابة: 18٪.
المهمة 5.25
تم تقديم قرض لمدة عامين بمعدل فائدة مركب قدره 16٪ سنويًا. تحديد قيمة معدل الخصم المعادل عند إصدار قرض لمدة ستة أشهر.
الجواب: 14.5٪.
المشكلة 5.26
تستحق شهادة الإيداع لمدة خمس سنوات فائدة بسيطة على القرض بمعدل 15٪ سنويًا. حدد معدل الفائدة المركب المكافئ.
الجواب: 11.84٪.
المهمة 5.27
يتراكم البنك فائدة شهرية على الودائع بمعدل سنوي اسمي يبلغ 12٪ سنويًا. احسب عائد الاستثمار بمعدل الفائدة السنوي المركب.
الجواب: 12.68٪.
الاستنتاجات التالية يمكن استخلاصها:
تكون قيمة المعدل الفعال أكبر من قيمة المعدل الاسمي ، وتتطابق عند م = 1.
دائمًا ما يكون معدل الخصم البسيط أقل من المعدلات الأخرى المكافئة له (نظرًا لأن التراكم بهذا المعدل ، مع تساوي الأشياء الأخرى ، يكون دائمًا أسرع).
لا يعتمد معادلة أسعار الفائدة المختلفة على قيمة المبلغ الأولي P (يُفترض أن يكون المبلغ الأولي هو نفسه).
يعتمد معادلة أسعار الفائدة دائمًا على مدة فترة استحقاق الفائدة ، باستثناء حالات التكافؤ بين أسعار الفائدة المركبة من أنواع مختلفة (إذا كانت فترة الاستحقاق هي نفسها).
قضايا يجب مراعاتها:
1. حساب الفائدة السنوية المركبة.
2. مقارنة النمو في الفائدة المركبة والبسيطة.
3. استحقاق الفائدة عدة مرات في السنة.
4. الخصم بمعدل فائدة مركب.
5. تحديد مدة المعاملة المالية وسعر الفائدة.
6. استمرار التراكم والخصم.
في الممارسة المالية ، يتم إجراء جزء كبير من الحسابات باستخدام مخطط الفائدة المركبة. يُنصح باستخدام مخطط الفائدة المركبة في الحالات التي:
- لا يتم دفع الفائدة عند استحقاقها بل تضاف إلى مبلغ الدين الأصلي. تسمى إضافة الفائدة المتراكمة على مبلغ الدين ، والتي تعمل كأساس لحسابها ، برسملة الفائدة ؛
- مدة القرض اكثر من عام.
إذا لم يتم دفع أموال الفائدة فور استحقاقها ، ولكن تمت إضافتها إلى المبلغ الأصلي للدين ، عندئذٍ يزداد الدين بمقدار الفائدة غير المسددة ، ويحدث الاستحقاق اللاحق للفائدة على المبلغ المتزايد للدين :
- لفترة استحقاق واحدة ؛
- لفترتين استحقاق ؛
من هنا ل نفترات الاستحقاق ، ستتخذ الصيغة الشكل:
أين - مبلغ الدين المتراكم ؛ - المبلغ الأولي للدين ؛ أنا- سعر الفائدة في فترة الاستحقاق ؛ ن- عدد فترات الاستحقاق. تسمى هذه الصيغة بصيغة الفائدة المركبة.
الفرق بين حساب الفائدة البسيطة والمركبة على أساس حسابهما. إذا تم تحصيل فائدة بسيطة طوال الوقت على نفس المبلغ الأولي للدين ، أي أساس الاستحقاق هو قيمة ثابتة ، ثم يتم استحقاق الفائدة المركبة على الأساس مع زيادة كل فترة استحقاق. وبالتالي ، فإن الفائدة البسيطة هي بطبيعتها النمو المطلق ، وصيغة الفائدة البسيطة تشبه صيغة تحديد مستوى تطور الظاهرة قيد الدراسة مع النمو المطلق المستمر. تميز الفائدة المركبة عملية نمو المبلغ الأولي بمعدلات نمو مستقرة ، مع تسريع قيمتها المطلقة ، وبالتالي ، يمكن اعتبار صيغة الفائدة المركبة على أنها تحدد المستوى بناءً على معدلات النمو المستقرة.
وفقًا للنظرية العامة للإحصاء ، للحصول على معدل نمو أساسي ، من الضروري مضاعفة معدلات نمو السلسلة. نظرًا لأن معدل الفائدة للفترة هو معدل نمو السلسلة ، فإن معدل نمو السلسلة هو:
(1 + أنا).
ثم معدل النمو الأساسي لكامل الفترة ، بناءً على معدل نمو ثابت ، هو:
(1 + ط) ن.
المعنى الاقتصادي لمضاعف التراكم هو أنه يوضح ما تساوي الوحدة النقدية (روبل واحد ، دولار واحد ، إلخ) من خلال نفترات بسعر فائدة معين أنا.
يظهر الرسم التوضيحي لنسبة المبلغ المستحق للفائدة البسيطة والمركبة في الشكل.
كما يتضح من الشكل ، بالنسبة للقروض قصيرة الأجل ، فإن استحقاق الفائدة البسيطة أفضل من الفائدة المركبة ؛ لمدة عام واحد ، لا يوجد فرق ، ولكن مع القروض متوسطة الأجل وطويلة الأجل ، يكون المبلغ المتراكم المحسوب للفائدة المركبة أعلى بكثير من القروض البسيطة.
لأي أنا,
لو 0 < n < 1, то (1 + ni) >(1 + ط) ن
لو ن> 1 ، ثم (1 + ني)< (1 + i) n
لو ن = 1 ، ثم (1 + ني) = (1 + أنا) ن
وهكذا ، بالنسبة للمقرضين:
- يكون مخطط الفائدة البسيطة أكثر ربحية إذا كانت مدة القرض أقل من عام (يتم احتساب الفائدة مرة واحدة في نهاية العام) ؛
- يكون مخطط الفائدة المركبة أكثر ربحية إذا تجاوزت مدة القرض سنة واحدة ؛
- يعطي كلا النظامين نفس النتيجة خلال فترة سنة واحدة وحساب واحد للفائدة.
في كثير من الأحيان ، يتم إبرام العقود المالية لفترة غير عدد كامل من السنوات.
في حالة التعبير عن مدة المعاملة المالية كعدد كسري من السنوات ، يمكن حساب الفائدة باستخدام طريقتين:
− عامتتكون الطريقة من الحساب المباشر باستخدام صيغة الفائدة المركبة:
,
أين ن- فترة الصفقة ؛ أهو عدد صحيح من السنوات ؛ بهو الجزء الكسري من السنة.
− مختلطتفترض طريقة الحساب أنه بالنسبة لعدد كامل من سنوات فترة حساب الفائدة ، استخدم صيغة الفائدة المركبة ، وبالنسبة للجزء الكسري من السنة ، استخدم صيغة الفائدة البسيطة:
.
بسبب ال ب< 1 ، الذي - التي (1 + ثنائية)> (1 + i) ألذلك ، سيكون المبلغ المتراكم أكبر عند استخدام نظام مختلط.
النظام المختلط أكثر فائدة للمقرض.
لا تكون فترة استحقاق الفائدة المركبة دائمًا مساوية لسنة ، ومع ذلك ، فإن شروط المعاملة المالية لا تشير إلى معدل الفترة ، أالمعدل السنوي مع الإشارة إلى فترة الاستحقاق - المعدل الاسمي (أنا).
المعدل الاسمي (المعدل الاسمي) - معدل الفائدة السنوي ، الذي يتم على أساسه تحديد قيمة معدل الفائدة في كل فترة استحقاق ، عندما يتم استحقاق الفائدة المركبة عدة مرات في السنة.
هذا المعدل:
- أولاً ، لا يعكس الكفاءة الحقيقية للصفقة ؛
- ثانيًا ، لا يمكن استخدامه للمقارنات.
إذا تم احتساب الفائدة ممرة واحدة في السنة ، ومدة الدين - نسنوات ، فسيكون العدد الإجمالي لفترات الاستحقاق لكامل فترة المعاملة المالية
ومن ثم ، يمكن كتابة صيغة الفائدة المركبة على النحو التالي:
,
حيث i هو معدل الفائدة السنوي الاسمي.
جنبا إلى جنب مع السعر الاسمي ، هناك المعدل الفعلي (المعدل الفعلي) ، والذي يقيس الدخل النسبي الحقيقي، والتي تم الحصول عليها للسنة ككل ، مع مراعاة الرسملة السنوية البينية. يُظهر المعدل الفعلي معدل الفائدة السنوية المركبة الذي يعطي نفس النتيجة المالية م- زيادة بمعدل مرة واحدة في السنة ي / م:
,
.
ويترتب على الصيغة أن المعدل الفعال يعتمد على عدد الاستحقاقات السنوية.
يعد حساب المعدل الفعال أداة قوية للتحليل المالي ، حيث تتيح لك قيمته مقارنة المعاملات المالية بشروط مختلفة: فكلما ارتفع المعدل الفعال للمعاملة المالية ، (مع افتراض ثبات العوامل الأخرى) يكون أكثر ربحية للدائن.
وتجدر الإشارة إلى أن صيغة الفائدة المركبة الأساسية تتضمن دائممعدل الفائدة طوال فترة الفائدة. ومع ذلك ، عند تقديم قرض طويل الأجل ، غالبًا ما يستخدمون معدلات فائدة مركبة تختلف بمرور الوقت ، ولكنها ثابتة مسبقًا لكل فترة. في حالة الاستخدام المتغيراتأسعار الفائدة ، تكون صيغة الاستحقاق كما يلي:
أين أنا ك- القيم المتتالية لأسعار الفائدة في الوقت المناسب ؛ nk- مدة الفترات التي يتم خلالها استخدام المعدلات المقابلة.
جميع المواقف التي نظرنا فيها حتى الآن كانت ذات فائدة منفصلة ، حيث يتم حسابها على فترات زمنية محددة (السنة ، ربع السنة ، الشهر ، اليوم ، الساعة). ومع ذلك ، في الممارسة العملية ، غالبًا ما تكون هناك حالات عندما تتراكم الفائدة بشكل مستمرلفترة زمنية قصيرة بشكل تعسفي. إذا تم تجميع الفائدة يوميًا ، فسيبدو المعامل السنوي (المضاعف) للتراكم كما يلي:
.
ولكن بما أن الفائدة تتراكم بشكل مستمر ، إذن ميميل إلى اللانهاية ، ويميل معامل التراكم (المضاعف) إلى ذلك هأنا، أين ه≈ 2.718281 يسمى رقم أويلر وهو أحد أهم الثوابت في التحليل الرياضي.
من هنا ، يمكننا كتابة معادلة المبلغ المتراكم لـ نسنين:
معدل الفائدة المستمر يسمى قوة الاهتمامويرمز لها δ ، على عكس سعر الفائدة المنفصل ( أنا).
بيانيا ، التغيير في المبلغ المستحق اعتمادًا على تكرار الاستحقاق له الشكل التالي:
مع الاستحقاق المنفصل ، تميز كل "خطوة" الزيادة في المبلغ الأساسي للدين نتيجة استحقاق الفائدة التالي. يرجى ملاحظة أن ارتفاع "الخطوات" يتزايد طوال الوقت.
في غضون عام واحد ، تقابل "خطوة" واحدة على الرسم البياني الأيسر "خطوتين" على الرسم البياني الأوسط بحجم أصغر ، ولكنها في المجمل تتجاوز ارتفاع "خطوة" استحقاق واحد. وبشكل أسرع هو التراكم مع الحساب المستمر للفائدة ، كما هو موضح في الرسم البياني على اليمين.
وبالتالي ، اعتمادًا على تواتر استحقاق الفائدة ، يتم تنفيذ تراكم المبلغ الأولي بمعدلات مختلفة ، ويتم تنفيذ أقصى قدر ممكن من التراكم بتقسيم لا نهائي للفاصل الزمني السنوي.
يتم استخدام حساب الفائدة المستمر في تحليل المشكلات المالية المعقدة ، مثل الأساس المنطقي واختيار قرارات الاستثمار. عند تقييم عمل مؤسسة مالية حيث يتم تلقي مدفوعات لفترة ما بشكل متكرر ، فمن المعقول افتراض أن المبلغ المستحق يتغير باستمرار بمرور الوقت وتطبيق حساب الفائدة المستمر.
تمامًا مثل الفائدة البسيطة ، بالنسبة للفائدة المركبة ، من الضروري وجود صيغ تسمح لك بتحديد المعلمات المفقودة للمعاملة المالية:
- مدة القرض ،
- معدل الفائدة المركب.
يتم استخدام الفائدة المركبة في المعاملات المالية والائتمانية طويلة الأجل ، إذا لم يتم دفع الفائدة بشكل دوري فور استحقاقها عن الفترة الزمنية الماضية ، ولكن يتم إضافتها إلى مبلغ الدين. غالبًا ما يتم استدعاء إضافة الفائدة المتراكمة إلى المبلغ الذي كان بمثابة أساس لتحديدها الكتابة بالأحرف الكبيرةنسبه مئويه.
صيغة الفائدة المركبة
دع الدين الأصلي يكونص، ثم في سنة واحدة سيكون مبلغ الدين مع الفائدة المضافةص(1+ أنا) بعد سنتين ص(1+ أنا)(1+ أنا)= ص(1+ أنا) 2 ، خلال نسنين - ص(1+ أنا) ن. وبالتالي ، نحصل على صيغة الاستحقاق للفائدة المركبة
S = P (1 + i) n, (19)
أين س- المبلغ المتراكمأنا- معدل الفائدة السنوية المركبة ،ن- مدة القرض (1+ أنا) ن- مضاعف الزيادة.
في الحسابات العملية ، يتم استخدام النسب المئوية المنفصلة بشكل أساسي ، أي الفائدة المتراكمة عن الفترات الزمنية نفسها (سنة ، نصف سنة ، ربع سنة ، إلخ). الفائدة المركبة هي النمو وفقًا لقانون التقدم الهندسي ، والذي يساوي المصطلح الأول منهصوالمقام (1+ أنا).
لاحظ ذلك في ذلك الوقتن<1 يعطي تراكم الفائدة البسيطة نتيجة أكبر من الفائدة المركبة ومعن>1 - والعكس صحيح. من السهل رؤية ذلك في أمثلة عددية محددة. يتم تحقيق أكبر زيادة للمبلغ المستحق على الفائدة البسيطة على المبلغ المستحق على الفائدة المركبة (بنفس أسعار الفائدة) في الجزء الأوسط من الفترة.
صيغة الفائدة المركبة
عندما يتغير المعدل بمرور الوقت
في حالة تغير معدل الفائدة المركبة بمرور الوقت ، فإن صيغة الاستحقاق لها الشكل التالي
(20)
حيث أنا 1 ، أنا 2 ، ... ، أنا ك - القيم المتتالية لأسعار الفائدة السارية خلال الفترات n1، n2، ...، nk على التوالى.
مثال 6
حدد العقد معدل فائدة مركب متغير ، محددًا بنسبة 20٪ سنويًا بالإضافة إلى هامش 10٪ في العامين الأولين ، و 8٪ في السنة الثالثة ، و 5٪ في السنة الرابعة. تحديد قيمة مضاعف التراكم لمدة 4 سنوات.
حل.
(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704
مضاعفة صيغة المجموع
من أجل تقييم توقعاتهم ، قد يسأل المقرض أو المدين: كم عدد السنوات التي سيزداد فيها مبلغ القرضنمرات بسعر فائدة معين. عادة ما يكون هذا مطلوبًا عند التنبؤ بفرص الاستثمار الخاصة بك في المستقبل. نحصل على الإجابة عن طريق مساواة عامل النمو بالقيمةن:
أ) لمصلحة بسيطة
(1+ نيبسيط.) = ن، أين
. (21)
ب) للفائدة المركبة
(1+ أنامعقد) ن= ن، أين
. (22)
شائع الاستخدام بشكل خاصن= 2. ثم تسمى الصيغتان (21) و (22) الصيغ المضاعفة وتتخذ الشكل التالي:
أ) لمصلحة بسيطة
, (23)
ب) للفائدة المركبة
. (24)
إذا كان من السهل تطبيق الصيغة (23) لتقدير الحسابات ، فإن الصيغة (24) تتطلب استخدام آلة حاسبة. ومع ذلك ، عند معدلات فائدة منخفضة (على سبيل المثال ، أقل من 10٪) ، يمكن استخدام تقريب أبسط بدلاً من ذلك. من السهل الحصول عليها ، بالنظر إلى ذلك ln 2 0.7 و ln (1+ i) i. ثم
ن»0.7 / أنا. (25)
مثال 7
حل.
أ) بمصلحة بسيطة:
سنين.
ب) مع الفائدة المركبة والمعادلة الدقيقة:
من السنة.
ج) مع الفائدة المركبة والصيغة التقريبية:
ن»0.7 / أنا= 0.7 / 0.1 = 7 سنوات.
الاستنتاجات:
1) تؤدي نفس قيمة معدلات الفائدة البسيطة والمركبة إلى نتائج مختلفة تمامًا.
2) عند معدلات الفائدة المركبة المنخفضة ، تعطي الصيغ الدقيقة والتقريبية نفس النتائج عمليًا.
حساب الفائدة السنوية لعدد كسري من السنوات
مع عدد كسري من السنوات ، يتم حساب الفائدة بطرق مختلفة:
1) حسب معادلة الفائدة المركبة
S = P (1 + i) n, (26)
2) بناءً على طريقة مختلطة ، يتم بموجبها احتساب الفائدة المركبة للسنوات الصحيحة ، والفائدة البسيطة على السنوات الكسرية
S = P (1 + i) a (1 + bi), (27)
أين ن= أ+ ب, أهو عدد صحيح من السنواتبهو الجزء الكسري من السنة.
3) في عدد من البنوك التجارية ، يتم تطبيق القاعدة ، والتي بموجبها لا يتم احتساب فائدة لفترات زمنية أقل من فترة الاستحقاق ، أي
S = P (1 + i) أ. (28)
معدلات الفائدة الاسمية والفعالة
المعدل الاسمي . دع معدل الفائدة السنوي المركب يكوني، وعدد فترات الاستحقاق في السنةم. ثم في كل مرة يتم احتساب الفائدة بالسعري / م. مُنَاقَصَة يتسمى الاسمية. يتم احتساب الفائدة بالسعر الاسمي وفقًا للصيغة:
S = P (1 + j / m) N, (29)
أين ن- عدد فترات الاستحقاق.
إذا تم قياس مدة القرض بعدد كسري من فترات الاستحقاق ، فعندئذٍ عندماستحقاق الفائدة لمرة واحدة في السنة ، يمكن حساب المبلغ المستحق بعدة طرق ، مما يؤدي إلى نتائج مختلفة:
1) صيغة الفائدة المركبة
S = P (1 + j / m) N /ر, (30)
أين ن/ ر- عدد (ربما كسور) فترات الفائدة ،ر- فترة احتساب الفائدة ،
2) صيغة مختلطة
, (31)
أين أ- عدد صحيح لفترات الاستحقاق (أيأ= [ ن/ ر] - جزء صحيح من قسمة مدة القرض بالكاملنلفترة الاستحقاقر),
ب- الجزء الكسري المتبقي من فترة الاستحقاق ( ب= ن/ ر- أ).
المثال 8
مبلغ القرض 20 مليون روبل. مقدمة لمدة 28 شهرًا. المعدل الاسمي 60٪ سنويا. يتم احتساب الفائدة كل ثلاثة أشهر. احسب المبلغ المستحق في ثلاث حالات: 1) عندما يتم احتساب الفائدة المركبة على الجزء الكسري ، 2) عندما يتم احتساب الفائدة البسيطة على الجزء الكسري ، 3) عندما يتم تجاهل الجزء الكسري. قارن النتائج.
حل.
يتم احتساب الفائدة كل ثلاثة أشهر. في المجموع هناك أرباع.
1)
= 73.713 مليون روبل.
2)
= 73.875 مليون روبل
3) S = 20 (1 + 0.6 / 4) 9= 70,358 مليون فرك .
ومن مقارنة المبالغ المتراكمة نرى أنها تصل إلى قيمتها القصوى في الحالة الثانية أي. عند حساب الجزء الكسري للفائدة البسيطة.
المعدل الفعلييوضح معدل الفائدة السنوية المركبة الذي يعطي نفس النتيجة الماليةم- زيادة بمعدل مرة واحدة في السنةي/ م.
إذا تمت رسملة الفائدةممرة في السنة ، في كل مرة بمعدلي/ م، إذن ، حسب التعريف ، يمكننا كتابة المساواة لعوامل النمو المقابلة:
(1 + أناأوه) ن = (1 + ي / م) مليون, (32)
أين أناأوههو المعدل الفعال ، وي- اسمى، صورى شكلى، بالاسم فقط. من هذا نحصل على أن العلاقة بين المعدلات الفعلية والاسمية يتم التعبير عنها من خلال العلاقة
(33)
العلاقة العكسية لها الشكل
ي = م [(1 + أناأوه) 1 / م -1].(34)
المثال 9
احسب معدل الفائدة الفعلي إذا قام البنك بحساب الفائدة كل ثلاثة أشهر ، بناءً على معدل رمزي قدره 10٪ سنويًا.
حل
أناأوه= (1 + 0.1 / 4) 4-1 = 0.1038 ، أي 10.38٪.
المثال 10
حدد المعدل الاسمي الذي يجب أن يكون عليه معدل الفائدة المركب ربع السنوي من أجل توفير معدل فعال قدره 12٪ سنويًا.
حل.
ي= 4 [(1 + 0.12) 1/4 -1] = 0.11495 ، أي 11.495٪.
المحاسبة (الخصم) بمعدل فائدة مركب
هنا ، وكذلك في حالة الفائدة البسيطة ، سيتم النظر في نوعين من المحاسبة - الرياضية والمصرفية.
محاسبة رياضية . في هذه الحالة ، يتم حل المشكلة عكسيًا للفائدة المركبة. دعنا نكتب الصيغة الأولية للزيادة
S = P (1 + i) n
وحلهاص
, (35)
أين
(36)
عامل الخصم أو الخصم.
إذا تم احتساب الفائدةممرة واحدة في السنة ، نحصل عليه
, (37)
أين
(38)
مضاعف الخصم.
القيمة صتم الحصول عليها عن طريق الخصمس، مُسَمًّى معاصرأو القيمة الحاليةأو منح ضخامة س. مسائل حسابية صو سمتكافئة بمعنى أن الدفع بالمبلغسخلال نسنوات يساوي المجموعصالمدفوعة حاليا.
اختلاف د= س- صمُسَمًّى تخفيض.
محاسبة البنوك. في هذه الحالة ، يفترض استخدام معدل خصم معقد. يتم إجراء الخصم بسعر خصم معقد وفقًا للصيغة
P = S (1-دsl)ن, (39)
أين دsl- معدل الخصم السنوي المركب.
الخصم في هذه الحالة هو
د = S-P = S-S (1-دsl) ن = S.(40)
عند استخدام معدل خصم معقد ، تحدث عملية الخصم مع تباطؤ تدريجي ، حيث يتم تطبيق معدل الخصم في كل مرة على المبلغ المخفض للفترة السابقة بمقدار الخصم.
معدلات الخصم الاسمية والفعالة للفائدة
معدل الخصم الاسمي . عند استخدام الخصمممرة واحدة في السنة ، استخدم معدل الخصم الاسمي F. ثم في كل فترة يساوي 1/ مجزء من السنة ، مخصومًا بسعر خصم مركبF/ م. عملية الخصم لهذه المحاسبة المعقدةممرة واحدة في السنة موصوفة بالصيغة
P = S (1-f / م) N, (41)
أين ن- إجمالي عدد فترات الخصم (ن= مليون).
الخصم ليس واحد ولكن ممرة واحدة في السنة يقلل من معدل الخصم بشكل أسرع.
معدل الخصم الفعال. يُفهم معدل الخصم الفعلي على أنه معادل معدل خصم سنوي مركب (وفقًا للنتائج المالية) للمعدل الاسمي المطبق على عدد معين من الخصومات في السنة.م.
وفقًا لتعريف معدل الخصم الفعال ، نجد علاقته بالمعدل الاسمي من مساواة عوامل الخصم
(1-f / m) mn = (1-dsl)ن,
من الذي يتبع ذلك
دsl= 1- (1-f / م) م. (42)
لاحظ أن معدل الخصم الفعلي دائمًا ما يكون أقل من المعدل الاسمي.
التراكم بمعدل خصم معقد. التراكم هو المشكلة العكسية لمعدلات الخصم. يمكن الحصول على صيغ الاستحقاق بمعدلات الخصم المعقدة عن طريق حل الصيغ المقابلة للخصم (39 و 41) فيما يتعلقس. نحن نحصل
من P = S (1-d sl) n
, (43)
و من ص= س(1- F/ م) ن
. (44)
المثال 11.
ما المبلغ الذي يجب وضعه في السند الإذني ، إذا كان المبلغ الذي تم إصداره بالفعل هو 20 مليون روبل ، فإن الاستحقاق هو سنتان. يتم احتساب الفاتورة على أساس معدل خصم سنوي مركب قدره 10٪.
حل.
مليون روبل
المثال 12.
حل المشكلة السابقة ، بشرط ألا يتم التجميع بمعدل خصم معقد مرة واحدة ، بل 4 مرات في السنة.
حل.
مليون روبل
التراكم والخصم
يتم تحديد المبلغ المستحق بفائدة منفصلة بواسطة الصيغة
س= ص(1+ ي/ م) مليون,
أين يهو معدل الفائدة الاسمي ، وم- عدد فترات الفائدة في السنة.
الاكثر م، كلما كانت الفترات الزمنية أقصر بين لحظات حساب الفائدة. في الحد عندم® ¥ لدينا
S = lim P (1 + j / m) mn = P lim [(1 + j / m) m] n. (45)
م ® ¥ م ® ¥
ومن المعروف أن
ليم (1 + ي / م) م = ليم [(1 + ي / م) م / ي] ي = ه ي ،
م ® ¥ م ® ¥
أين ههي قاعدة اللوغاريتمات الطبيعية.
باستخدام هذا الحد في التعبير (45) ، نجد أخيرًا أن المبلغ المتراكم في حالة استمرار الفائدة يتراكم بالسعريمساوي ل
س= بيجن. (46)
من أجل التمييز بين سعر الفائدة المستمر وأسعار الفائدة المنفصلة ، يطلق عليه قوة النمو ويُشار إليه بالرمزد. ثم
S = بيدن. (47)
قوة النمود هو معدل الفائدة الاسميم® ¥ .
يتم إجراء الخصم على أساس أسعار الفائدة المستمرة وفقًا للصيغة
P = Se-دن. (48)
العلاقة بين أسعار الفائدة المنفصلة والمستمرة
ترتبط أسعار الفائدة المنفصلة والمستمرة بعلاقة وظيفية ، وبفضلها يمكن الانتقال من حساب الفائدة المستمرة إلى الفائدة المنفصلة والعكس بالعكس. يمكن الحصول على صيغة الانتقال المكافئ من معدل إلى آخر عن طريق معادلة مضاعفات التراكم المقابلة
(1 + أنا) ن = هـدن. (49)
من المساواة المكتوبة يتبع ذلك
د = ln(1+ أنا) , (50)
أنا= هد-1 . (51)
المثال 13
معدل الفائدة السنوي المركب هو 15٪ ، وهو معدل النمو المكافئ ،
حل.
نستخدم الصيغة (50)
د = ln(1+ أنا)= ln(1+0,15)=0,13976,
أولئك. قوة النمو المكافئة 13.976٪.
حساب مدة القرض وأسعار الفائدة
في عدد من المشاكل العملية ، الأولية ( P) والنهائي (S ) يتم تحديد المبالغ في العقد ، ويلزم تحديد إما مدة السداد أو سعر الفائدة ، والتي يمكن في هذه الحالة أن تكون بمثابة مقياس للمقارنة مع مؤشرات السوق وخاصية ربحية العملية للمقرض . يسهل العثور على هذه القيم من صيغ التراكم أو الخصم الأصلية. في الواقع ، في كلتا الحالتين يتم حل المشكلة العكسية بمعنى معين.
فترة قرض
عند تطوير معايير الاتفاقية وتقدير توقيت تحقيق النتيجة المرجوة ، من الضروري تحديد مدة العملية (مدة القرض) من خلال المعلمات المتبقية للمعاملة. دعونا نفكر في هذا السؤال بمزيد من التفصيل.
أنا.
S = P (1 + i) n
يتبع ذلك
(52)
حيث يمكن أخذ اللوغاريتم في أي قاعدة ، لأنه موجود في كل من البسط والمقام.
ممرة واحدة في السنة من الصيغة
S = P (1 + j / m) مليون
نحن نحصل
(53)
د. من الصيغة
P = S (1-d) ن
لدينا 
(54)
ممرة كل سنة. من
P = S (1-f / م) مليون
نصل إلى الصيغة
(55)
عند البناء على قوة نمو ثابتة. قائم على
س= بيدن
نحن نحصل
ln( س/ ص)= د ن. (56)
حساب سعر الفائدة
من نفس الصيغ الأولية المذكورة أعلاه ، نحصل على تعبيرات عن أسعار الفائدة.
أ) عند البناء بمعدل سنوي مركبأنا. من صيغة النمو الأصلية
S = P (1 + i) n
يتبع ذلك
(57)
ب) عند الزيادة بمعدل فائدة اسميممرة واحدة في السنة من الصيغة
S = P (1 + j / m) مليون
نحن نحصل 
(58)
ج) عند خصمها بمعدل خصم سنوي مركبد. من الصيغة
P = S (1-d) ن
لدينا 
(59)
د) عند خصمها بسعر خصم رمزيممرة كل سنة. من
P = S (1-f / م) مليون
نصل إلى الصيغة
(60)
هـ) عند البناء على قوة نمو ثابتة. قائم على
س= بيدن
نحن نحصل
(61)
الفائدة والتضخم
نتيجة التضخم هو انخفاض في القوة الشرائية للنقود ، والتي على مدى فترةنتتميز بالمؤشري ن. مؤشر القوة الشرائية يساوي مقلوب مؤشر الأسعارجي بي، أي.
ي ن=1/ جي بي. (62)
مؤشر الأسعاريوضح عدد مرات ارتفاع الأسعار خلال فترة زمنية محددة.
استحقاق الفائدة البسيطة
إذا زادت لن سنوات مبلغ المالس، ومؤشر السعرجي بي، فإن المبلغ المتراكم فعليًا من المال ، مع مراعاة القوة الشرائية لهم ، يساوي
C = S / Jp. (63)
دع متوسط معدل التضخم السنوي المتوقع (الذي يميز الزيادة في الأسعار سنويًا) يساويح . ثم سيكون مؤشر الأسعار السنوي (1+ ح).
إذا تم إجراء الزيادة بمعدل بسيطخلالنسنوات ، ثم الزيادة الحقيقية بمعدل التضخمح سيكون
(64)
أين بشكل عام
(65)
وعلى وجه الخصوص ، بمعدل ثابت لنمو الأسعارح,
Jp = (1 + ح) ن. (66)
معدل الفائدة الذي يعوض عن التضخم عند احتساب الفائدة البسيطة هو
(67)
تتمثل إحدى طرق التعويض عن انخفاض قيمة المال في زيادة سعر الفائدة بمقدار ما يسمى علاوة التضخم.المعدل المعدل بهذه الطريقة يسمى المعدل الإجمالي. المعدل الإجمالي ، والذي سنشير إليه بالرمزص، من مساواة مضاعف الاستحقاق المعدل حسب التضخم بالسعر الإجمالي لمضاعف الاستحقاق بسعر الفائدة الحقيقي
(68)
أين
(69)
تراكم الفائدة المركبة
ممتد الفائدة المركبةسيكون المبلغ بنهاية مدة القرض ، مع الأخذ في الاعتبار انخفاض القوة الشرائية للنقود (أي بالروبل الثابت)
(70)
حيث يتحدد الرقم القياسي للسعر بالتعبير (65) أو (66) حسب تقلب أو ثبات معدل التضخم.
في هذه الحالة ، يتم تعويض الانخفاض في القوة الشرائية للمال بالمعدلأنا= ح، وتوفير المساواةج= ص.
يتقدم طريقتان لتعويض الخسائرمن انخفاض القوة الشرائية للمال عند حساب الفائدة المركبة.
أ) تعديل سعر الفائدة، التي يتم على طولها الزيادة ، بالقيمة علاوة التضخم.يُطلق على سعر الفائدة المُرتفع بعلاوة التضخم السعر الإجمالي. سوف نشير إليه بالرمزص. بافتراض أن معدل التضخم السنوي هوح، يمكننا كتابة المساواة في عوامل النمو المقابلة
(71)
أين أنا- السعر الحقيقي.
من هنا نحصل على صيغة فيشر
ص = أنا + ح + أنا. (72)
هذا هو ، علاوة التضخمح+ ih.
ب) فهرسة المبلغ الأولي ص . في هذه الحالة ، المبلغصيتم تعديلها وفقًا لحركة مؤشر محدد مسبقًا. ثم
S = PJ · p (1 + i) n. (73)
من السهل أن نرى أنه في كل من الحالة أ) وفي الحالة ب) ننتهي بنفس معادلة النمو (73). في ذلك ، يعكس العاملان الأولان على الجانب الأيمن مؤشر المبلغ الأولي ، والعاملان الأخيران - تعديل سعر الفائدة.
قياس معدل الفائدة الحقيقي
من الناحية العملية ، من الضروري أيضًا حل المشكلة العكسية - للعثور على سعر الفائدة الحقيقي من حيث التضخم. من نفس النسب بين مضاعفات التراكم ، ليس من الصعب اشتقاق الصيغ التي تحدد المعدل الحقيقيأنابسعر إجمالي معين (أو معلن عنه)ص.
عند حساب الفائدة البسيطة ، فإن معدل الفائدة الحقيقي السنوي يساوي
(74)
عند حساب الفائدة المركبة ، يتم تحديد معدل الفائدة الحقيقي بالتعبير التالي
(75)
تطبيقات عملية للنظرية
دعونا نفكر في بعض التطبيقات العملية للنظرية التي درسناها. دعنا نوضح كيف يتم استخدام الصيغ التي تم الحصول عليها أعلاه في حل المشكلات الحقيقية لحساب كفاءة بعض المعاملات المالية ، ومقارنة طرق الحساب المختلفة.
تحويل العملات وحساب الفائدة
ضع في اعتبارك الجمع بين تحويل العملات (الصرف) والتراكم مصلحة بسيطة، نقوم بمقارنة النتائج من الإيداع المباشر للأموال المتاحة في الودائع أو بعد التبادل الأولي لعملة أخرى. إجمالاً ، هناك 4 خيارات لتجميع الفوائد:
1. لا تحويل. يتم وضع الأموال بالعملات الأجنبية كوديعة بالعملة الأجنبية ، ويتم زيادة المبلغ الأولي بسعر الصرف الأجنبي عن طريق التطبيق المباشر لصيغة الفائدة البسيطة.
2. مع التحويل. يتم تحويل أموال العملة الأولية إلى روبل ، ويتم التراكم بسعر الروبل ، وفي نهاية العملية يتم تحويل مبلغ الروبل مرة أخرى إلى العملة الأصلية.
3. لا تحويل. يتم وضع مبلغ الروبل في شكل وديعة بالروبل ، يتم تحصيل الفائدة عليها بسعر الروبل وفقًا لمعادلة الفائدة البسيطة.
4. مع التحويل. يتم تحويل مبلغ الروبل إلى عملة معينة ، والتي يتم استثمارها في وديعة بالعملة الأجنبية. يتم احتساب الفائدة بسعر الصرف الأجنبي. يتم تحويل المبلغ المتراكم في نهاية العملية مرة أخرى إلى روبل.
العمليات بدون تحويل ليست صعبة. هناك نوعان من مصادر الدخل في عملية استحقاق التحويل المزدوج: استحقاق الفائدة وتغير سعر الصرف. علاوة على ذلك ، فإن حساب الفائدة هو مصدر غير مشروط (السعر ثابت ، والتضخم لم يؤخذ في الاعتبار بعد). يمكن أن يكون التغيير في سعر الصرف إما في اتجاه واحد أو آخر ، ويمكن أن يكون مصدر دخل إضافي ويؤدي إلى خسائر. بعد ذلك ، سنركز بشكل خاص على خيارين (2 و 4) ، يوفران تحويلًا مزدوجًا.
دعونا أولاً نقدم التدوين التالي:
بف- مبلغ الإيداع بالعملة الأجنبية ،
ص ص- مبلغ الإيداع بالروبل ،
سيفيرت- المبلغ المتراكم بالعملة الأجنبية ،
ريال سعودى- الكمية المتراكمة بالروبل ،
ك 0 - سعر الصرف في بداية المعاملة (سعر الصرف بالروبل)
ك 1 - سعر الصرف في نهاية المعاملة ،
ن- مدة الإيداع ،
أنا- معدل الاستحقاق لمبالغ الروبل (ككسر عشري) ،
ي- معدل التراكم لعملة معينة.
الخيار: CURRENCY® RUBLES® RUBLES® CURRENCY
تتكون العملية من ثلاث مراحل: تبادل العملة بالروبل ، وتراكم مبلغ الروبل ، والتحويل العكسي لمبلغ الروبل إلى العملة الأصلية. سيكون المبلغ المستحق المستلم في نهاية المعاملة بالعملة الأجنبية
.
كما ترى ، تنعكس المراحل الثلاث للعملية في هذه الصيغة في شكل ثلاثة عوامل.
مضاعف الزيادة ، مع الأخذ في الاعتبار التحويل المزدوج ، يساوي
,
أين ك= ك 1 / ك 0 - معدل نمو سعر الصرف لفترة العملية.
نرى أن عامل النموميرتبط خطيًا بالسعرأناوعكس سعر الصرف في نهاية المعاملةك 1 (أو مع معدل نمو سعر الصرفك).
ندرس نظريًا اعتماد الربحية الإجمالية لعملية تحويل مزدوج وفقًا لنظام CURRENCY® RUBLES ® RUBLES ® CURRENCY من نسبة أسعار الصرف النهائية والأوليةك .
معدل الفائدة السنوي البسيط ، الذي يميز ربحية العملية ككل ، يساوي
.
عوّض بهذه الصيغة عن التعبير المكتوب مسبقًا لـسيفيرت
.
وهكذا ، مع زيادةك الربحيةأنا إف يقع على طول القطع الزائد مع الخط المقارب -1 / ن . انظر الشكل. 2.
أرز. 2.
دعونا ندرس النقاط الفردية لهذا المنحنى. لاحظ أن متىك =1 ربحية العملية تساوي معدل الروبل ، أيأنا إف = أنا . فيك >1 أنا إف < أنا ، وعندماك <1 أنا إف > أنا . على التين. 1 يمكن رؤيته ، في بعض القيمة الحرجةك ، والتي سوف نشير إليها باسمك * ، تبين أن ربحية (كفاءة) العملية تساوي الصفر. من المساواةأنا إف = 0 نجد ذلكك * =1+ ني ، وهذا بدوره يعنيك * 1 = ك 0 (1+ ني ).
الخلاصة 1: إذا كانت القيم المتوقعةك أوك 1 تتجاوز قيمها الحرجة ، فمن الواضح أن العملية غير مربحة (أنا إف <0 ).
الآن دعنا نحدد الحد الأقصى المسموح به لقيمة سعر الصرف في نهاية العملية ك 1 ، حيث تكون الكفاءة مساوية للمعدل الحالي على الودائع بالعملة الأجنبية ، ولا يوفر استخدام التحويل المزدوج أي فائدة إضافية. للقيام بذلك ، نقوم بمساواة عوامل الزيادة لعمليتين بديلتين
.
من المساواة المكتوبة يتبع ذلك
أو
.
الخلاصة 2: يعتبر إيداع العملة من خلال التحويل إلى روبل أكثر ربحية من إيداع العملة الأجنبية إذا كان من المتوقع أن يكون سعر الصرف في نهاية المعاملة أقلالأعلىك 1 .
الخيار: ربل® عملة® عملة® الروبلات
دعونا الآن نفكر في الخيار مع التحويل المزدوج ، عندما يكون هناك مبلغ أولي بالروبل. في هذه الحالة ، تتوافق المراحل الثلاث للعملية مع العوامل الثلاثة للتعبير التالي للمبلغ المتراكم
.
هنا أيضًا ، يعتمد مضاعف الاستحقاق خطيًا على السعر ، ولكنه يعتمد الآن على سعر الفائدة على العملة. كما يعتمد خطيًا على سعر الصرف النهائي.
دعونا نجري تحليلًا نظريًا لفعالية هذه العملية بتحويل مزدوج وتحديد النقاط الحرجة.
.
ومن ثم ، استبدال التعبير عنريال سعودى ، نحن نحصل
.
الاعتماد على مؤشر الكفاءةأنا إف منك خطي ، يظهر في الشكل. 3
أرز . 3.
في ك = 1 ط
إف
= ي
,
في ك> 1 ط
إف
> ي
,
في ك<1
أنا
إف
دعونا الآن نجد القيمة الحرجةك * ، الذيأنا إف =0 . اتضح أنها متساوية
أو .
الخلاصة 3: إذا كانت القيم المتوقعةك أوك 1 أقل من قيمها الحرجة ، فمن الواضح أن العملية غير مربحة (أنا إف <0 ).
أدنى قيمة مسموح بهاك (معدل نمو سعر الصرف لكامل فترة العملية) ، الذي يوفر نفس الربحية كإيداع مباشر بالروبل ، يتم تحديده من خلال معادلة المضاعفات التراكمية للعمليات البديلة (أو من المساواةأنا إف = أنا )
,
أين دقيقة أودقيقة .
الخلاصة 4: إيداع مبالغ الروبل من خلال تحويل العملات أكثر ربحية من إيداع الروبل إذا كان من المتوقع أن يكون سعر الصرف في نهاية الصفقة أعلىدقيقةك 1 .
الآن ضع في اعتبارك الجمع بين تحويل العملات وتراكمها الفائدة المركبة.سنقتصر على خيار واحد.
الخيار: العملة® الروبلات® الروبلات® عملةك =1 أنا أوه = أنا ، فيك >1 أنا أوه < أنا ، وعندماك <1 أنا أوه > أنا .
قيمة حرجةك ، حيث تكون كفاءة العملية مساوية للصفر ، أيأنا أوه =0 ,
معرف كك * =(1+ أنا ) ن ، مما يعني أن متوسط معدل النمو السنوي لسعر الصرف يساوي معدل النمو السنوي بسعر الروبل: .
الخلاصة 5: إذا كانت القيم المتوقعةك أوك 1 أكبر من قيمها الحرجة ، فمن الواضح أن العملية المدروسة مع التحويل المزدوج غير مربحة (أنا أوه <0 ).
القيمة القصوى المسموح بهاك ، حيث يكون عائد العملية مساويًا لعائد الاستثمار المباشر للعملة الأجنبية بالسعر
الخطوط العريضة لصفقة مالية
تتضمن العمليات المالية أو الائتمانية توازنًا في الاستثمار والعائد. يمكن شرح مفهوم التوازن على الرسم البياني.
أرز. 5.
دع مبلغ القرضد 0 صدر لفترةتي . خلال هذه الفترة ، على سبيل المثال ، يتم سداد دفعتين مؤقتتين لسداد الدينص 1 وص 2 وفي نهاية المدة يتم سداد رصيد الدينص 3 موازنة العملية.
في الفاصل الزمنير 1 يرتفع الديون إلىد 1 . في هذه اللحظةر 1 يتم تقليل الديون إلىك 1 = د 1 - ص 1 إلخ. تنتهي العملية باستلام الدائن رصيد الدينص 3 . في هذه المرحلة ، يتم سداد الدين بالكامل.
دعنا نسمي الرسم البياني نوع ب) الخطوط العريضة لصفقة مالية. العملية المتوازنة لها بالضرورة حلقة مغلقة ، أي الدفعة الأخيرة تغطي كامل رصيد الدين. عادة ما يتم تطبيق الخطوط العريضة للمعاملة عند سداد الديون مع مدفوعات معلمة جزئية.
بمساعدة المدفوعات الجزئية المتتالية ، يتم سداد الالتزامات قصيرة الأجل في بعض الأحيان. في هذه الحالة هناك طريقتان لحساب الفائدة وتحديد رصيد الدين. أول واحد يسمى اكتواريويستخدم بشكل أساسي في المعاملات ذات المصطلح أكثر من عام. الطريقة الثانية تسمى حكم التاجر. عادة ما تستخدمه الشركات التجارية في المعاملات ذات المصطلح لا يزيد عن عام.
تعليق: عند حساب الفائدة ، كقاعدة عامة ، يتم استخدام الفائدة العادية مع عدد تقريبي لأيام الفترات الزمنية.
الطريقة الاكتوارية
تتضمن الطريقة الاكتوارية الحساب المتسلسل للفائدة على المبلغ الفعلي للدين. يذهب الدفعة الجزئية بشكل أساسي إلى سداد الفائدة المستحقة في تاريخ الدفع. إذا تجاوز مبلغ السداد مبلغ الفائدة المتراكمة ، فسيذهب الفرق إلى سداد المبلغ الأساسي للدين. يعمل الرصيد المستحق للدين كأساس لحساب الفائدة للفترة التالية ، إلخ. إذا كان السداد الجزئي أقل من الفائدة المتراكمة ، فلن يتم إجراء أي تعويضات في مبلغ الدين. يضاف هذا الدخل إلى الدفعة التالية.
للحالة الموضحة في الشكل. 5 ب) ، نحصل على صيغ الحساب التالية لتحديد رصيد الدين:
K 1 = D 0 (1 + t 1 i) -R 1 ؛ K2 = K 1 (1 + t 2 i) -R 2 ؛ K2 (1 + t 3 i) -R 3 \ u003d 0 ،
حيث الفترات الزمنيةر 1 , ر 2 , ر 3 - تعطى بالسنوات ، وسعر الفائدةأنا - سنوي.
حكم التاجر
قاعدة التاجر هي طريقة أخرى لحساب الأقساط. هناك حالتان ممكنتان هنا.
1) إذا لم تتجاوز مدة القرض ، يظل مبلغ الدين مع الفائدة المتراكمة لكامل المدة دون تغيير حتى السداد الكامل. في الوقت نفسه ، هناك تراكم لمدفوعات جزئية مع الفوائد المتراكمة عليها حتى نهاية المدة.
2) في حالة تجاوز الفترة سنة ، يتم إجراء الحسابات المذكورة أعلاه سنويفترة الديون. في نهاية العام ، يتم خصم المبلغ المتراكم للدفعات الجزئية المتراكمة من مبلغ الدين. يتم سداد الباقي في العام المقبل.
مع مدة القرض الإجماليةتي £ 1 الخوارزمية يمكن كتابتها على النحو التالي
,
أينس - رصيد الدين في نهاية المدة ،
د - الديون المتراكمة ،
ك - المبلغ المتراكم للمدفوعات ،
Rj - مبلغ السداد الجزئي ،
تي جي - الفترة الزمنية من لحظة الدفع حتى نهاية المدة ،
م - عدد الدفعات الجزئية (المؤقتة).
مبلغ الفاتورة المتغير وحساب الفائدة
ضع في اعتبارك الموقف الذي يتم فيه فتح حساب توفير في أحد البنوك ، ويتغير مبلغ الحساب خلال فترة التخزين: يتم سحب الأموال ، ويتم تقديم مساهمات إضافية. ثم في الممارسة المصرفية ، عند حساب الفائدة ، غالبًا ما يستخدمون طريقة حساب مع حساب ما يسمى أرقام النسبة المئوية. في كل مرة يتغير فيها رصيد الحساب ، يتم حساب النسبة المئويةCj للفترة الماضيةي ، والتي ظل خلالها المبلغ على الحساب دون تغيير ، وفقًا للصيغة
,
أينتي جي - مدةي الفترة -th في أيام.
لتحديد مقدار الفائدة المتراكمة على مدار الفصل بأكمله ، تتم إضافة جميع أرقام الفائدة وتقسيم قيمتها على مقسوم ثابتد :
,
أينك - القاعدة الزمنية (عدد الأيام في السنة ، أي 360 أو 365 أو 366) ،أنا - معدل الفائدة السنوي البسيط (٪).
عند إغلاق الحساب ، سيحصل المالك على مبلغ مساوٍ لآخر قيمة للمبلغ الموجود في الحساب بالإضافة إلى مبلغ الفائدة.
المثال 14
لنفترض أنه في 20 فبراير ، تم فتح حساب تحت الطلب بمبلغص 1 \ u003d 3000 روبل ، كان سعر الفائدة على الوديعة يساويأنا = 20٪ سنويا. الإيداع الإضافي للحساب كانص 1 = 2000 فرك. وتم صنعه في 15 أغسطس. سحب من الحساب بالمبلغص 2 = 4000 فرك. تم تسجيله في 1 أكتوبر ، وفي 21 نوفمبر تم إغلاق الحساب. مطلوب تحديد مقدار الفائدة والمبلغ الإجمالي الذي يتسلمه المودع عند إغلاق الحساب.
حل.
سيتم الحساب وفقًا للمخطط (360/360). هناك ثلاث فترات ظل خلالها المبلغ في الحساب دون تغيير: من 20 فبراير إلى 15 أغسطس (ص 1 =3000, ر 1 = 10 + 5 * 30 + 15 = 175) ، من 15 أغسطس إلى 1 أكتوبر (ص 2 = ص 1 + ص 1 = 3000 + 2000 = 5000 روبل ،ر 2
المبلغ المدفوع عند إغلاق الحساب يساوي
P3 + I = 1000 + 447.22 = 1447 فرك. 22 شرطي.
سنعرض الآن اتصال هذه التقنية بصيغة الفائدة البسيطة. تأمل المثال أعلاه بصيغة جبرية.
جالأمة تدفع عند إغلاق الحساب نجد كالتالي
وبالتالي ، حصلنا على تعبير يتبع منه أنه مقابل كل مبلغ مضاف إلى الحساب أو مسحوب منه ، يتم تحصيل الفائدة من لحظة إجراء المعاملة المقابلة حتى إغلاق الحساب. يتبع هذا المخطط قاعدة المتداول التي تمت مناقشتها في القسم 6.2.
تغيير شروط العقد
من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون من الضروري تغيير شروط العقد: على سبيل المثال ، قد يطلب المدين تأخير استحقاق الدين أو ، على العكس من ذلك ، يعبر عن رغبته في سداده قبل الموعد المحدد ، في بعض الحالات قد تكون هناك حاجة لدمج (توحيد) عدة التزامات دين في واحد ، وما إلى ذلك. في جميع هذه الحالات ، يتم تطبيق مبدأ التكافؤ المالي للالتزامات القديمة (المستبدلة) والجديدة (الاستبدال). لحل مشاكل تغيير شروط العقد يسمى ب معادلة التكافؤ، حيث يكون مبلغ مدفوعات الاستبدال ، المعدلة لأي نقطة زمنية واحدة ، مساويًا لمبلغ المدفوعات على الالتزام الجديد ، مع تعديله بنفس التاريخ. بالنسبة للعقود قصيرة الأجل ، يتم تطبيق أسعار الفائدة البسيطة ، بينما يتم تطبيق الأسعار المركبة على العقود المتوسطة والطويلة الأجل.
الحسابات بأسعار فائدة بسيطة سهلة وبسيطة للغاية. ومع ذلك ، فهي ذات استخدام محدود.
افترض أن البنك يدفع فائدة بسيطة لمدة 3 سنوات بالسعر i. مع إيداع أولي يساوي P ، سيكون لدى المودع مبلغ S 1 في الحساب خلال عام:
S 1 \ u003d P (1 + i) ،
بعد سنتين - المبلغ S2:
S 2 \ u003d P (1 + 2 i) ،
بعد 3 سنوات - المبلغ S3:
S 3 \ u003d P (1 + 3 i).
ومع ذلك ، يمكن للمودع إغلاق الحساب بعد عام واحد ، واستلام المبلغ S1 بما في ذلك الفائدة ، وإيداع هذا المبلغ في حساب جديد. في نهاية العام المقبل ، يمكنه تكرار هذه العملية. نتيجة لذلك ، بعد السنة الأولى ، سيحصل على مبلغ S1 يساوي المبلغ السابق S1:
S = S 1 = P (1 + i) ،
بعد السنة الثانية بالفعل مبلغ جديد S1:
بعد السنة الثالثة مجموع S3:
ستكون المبالغ الجديدة أكبر من المبالغ السابقة ، لأنها تحتوي على فائدة ليس فقط على الإيداع الأولي ، ولكن أيضًا على الفائدة المستحقة بالفعل في وقت سابق. في الشكل الرياضي ، هذا يتوافق مع عدم المساواة:
وبالتالي ، من المفيد للمودع سحب الأموال من الحساب وإيداعها في حساب آخر. إن إجراء مثل هذه العملية كل ربع سنة أكثر ربحية من كل عام ، وكل شهر يكون أكثر ربحية من كل ربع سنة. كلما قام المودع بتحويل الأموال في كثير من الأحيان ، زاد الدخل الذي سيحصل عليه. وبالتالي ، سيسعى جزء كبير من مودعي البنك إلى تنفيذ مثل هذه العملية.
بالنسبة للبنك ، يرتبط هذا بأنواع مختلفة من الصعوبات في العمل. أولاً ، من أجل تنفيذ مثل هذه العمليات ، يحتاج البنك إلى الاحتفاظ باحتياطي إضافي من الأموال. ثانياً ، كثرة هذه المعاملات تعقد العمل المصرفي الحالي. أخيرًا ، ثالثًا ، يمكن للمودع ، بعد إغلاق الحساب ، إيداع الأموال المستلمة في بنك آخر ، والتي تبدو شروطها في الوقت الحالي أكثر ملاءمة له.
في هذا الصدد ، تأخذ البنوك نفسها زمام المبادرة لإجراء مثل هذه العملية. تتم إضافة الفائدة الناشئة عن الوديعة إلى الوديعة ، بحيث يتم تحميل الفائدة الجديدة على المبلغ المتزايد ، بما في ذلك الفائدة المستحقة سابقًا. هذه العملية تسمى الفائدة المركبة.
يمكن اعتبار الزيادة في المبلغ بسبب الفائدة المركبة على أنها زيادة في الفائدة البسيطة المطبقة على مبلغ متزايد يتضمن الفائدة المستحقة سابقًا ، أي كإعادة استثمار دورية للأموال المستثمرة بفائدة بسيطة في كل فترة استحقاق.
من الناحية العملية ، عند حساب الفائدة المركبة ، عادة ما يتم أخذ فترة زمنية معينة على أنها فترة استحقاق قياسية (سنة ، ربع ، شهر ، إلخ) ثم يتم حساب الفائدة المتراكمة عن مثل هذه الفترات القياسية المماثلة. بمعنى آخر ، يعتبر الوقت في مثل هذه الحسابات قيمة منفصلة ، تقاس بالفترات القياسية. في هذه الحالة ، نتحدث عن النسب المئوية المنفصلة.
إذا قمنا بتقليص طول هذه الفترة القياسية ، من ربع إلى شهر ، أو أسبوع ، أو يوم ، وما إلى ذلك ، فسننتقل في الحد الأقصى من الفائدة المنفصلة إلى الفائدة المستمرة المتراكمة على مدى فترة زمنية صغيرة غير محدودة.
دع المبلغ الأولي يساوي P وينمو وفقًا لمعدل الفائدة المركب الذي يساوي i في فترة زمنية واحدة. بعد ن هذه الفترات ، سيتم تحديد المبلغ المتزايد S بالصيغة التالية (صيغة الفائدة المركبة):
S = P (1 + i) n
عادةً ما تسمى القيمة (1 + i) n بعامل النمو أو عامل النمو. يوضح مقدار المال الذي سيتحول إليه كل روبل من الأموال المستثمرة في البداية بعد فترات زمنية n.
إذا قمنا بحساب المبلغ المالي المتراكم مع الفائدة بالتتابع لكل عام
للسنة الأولى: 
للسنة الثانية: 
للسنة التاسعة:
ثم نحصل على أن المبالغ المالية المستلمة هي أعضاء في تسلسل هندسي ، يكون فيه العضو الأول هو قيمة P ، ومقام التقدم هو (1 + i)
إذا استخدمت عملية إعادة الاستثمار ، عند الحساب وفقًا لمعادلة الفائدة المركبة ، أي سحب الأموال من الحساب مع الفائدة وإيداعها في الحساب مرة أخرى ، فلن يربح المودع أي شيء بنفس معدل الفائدة.
في الواقع ، دع المودع يضع أموالًا بمبلغ P في الحساب وفقًا لشروط الفائدة المركبة. بعد فترات زمنية k ، قام بسحب الأموال من الحساب وإيداعها مرة أخرى لفترات m أخرى. ثم بعد فترات k الأولى ، سيحصل على مجموع Q:
س = ف (1 + أنا) ك.
ثم يتحول هذا المجموع Q بعد فترات m أخرى إلى مبلغ جديد S:
S = Q (1 + i) م.
بالتعبير عن المجموع النهائي S بدلالة P الأصلية ، نحصل على:
S \ u003d Q (1 + i) m \ u003d P (1 + i) k (1 + i) m \ u003d P (1 + i) k + m.
وبالتالي ، فإن النتيجة هي نفسها تمامًا كما لو أن المودع لم ينفذ عملية وسيطة ، ولكن ببساطة وضع المبلغ الأولي P على إجمالي عدد الفترات الزمنية التي تساوي k + m.
تنص ممارسات المؤسسات المالية في بعض الأحيان على حساب الفائدة فقط لعدد كامل من الفترات. إذا لم يتم توفير ذلك ، فعند حساب الفائدة لعدد غير صحيح من الفترات ، يتم استخدام طرق مختلفة.
يمكن تنفيذ الاستحقاق لعدد غير صحيح من الفترات باستخدام نفس صيغة الفائدة المركبة لرقم صحيح. على سبيل المثال ، إذا كنت تريد حساب المبلغ المتزايد لفترات 5.2 ، فسيتم تنفيذ الحساب في هذه الحالة وفقًا للصيغة
S \ u003d P (1 + i) 5 (1 + i) 0.2 \ u003d P (1 + i) 5.2.
بمعنى آخر ، بالنسبة لعدد كسري يبلغ 0.2 فترة ، يتم حساب الفائدة وفقًا لنفس المخطط الخاص بعدد صحيح من الفترات. هذا يسمح لنا بكتابة الصيغة العامة للفائدة المركبة في أي وقت t:
S \ u003d P (1 + i) t ،
ما إذا كان يحتوي على عدد صحيح أو عدد غير صحيح من النقاط.
في بعض الحالات ، يتم تنفيذ الاستحقاق لعدد غير صحيح من الفترات وفقًا لصيغة مختلطة مختلفة. بالنسبة لعدد صحيح من الفترات ، يتم حساب الفائدة وفقًا لصيغة الفائدة المركبة ، ولرصيد كسري - وفقًا لصيغة الفائدة البسيطة. في هذه الحالة ، سيتم تنفيذ مستحقات 5.2 فترات وفقًا للصيغة
S \ u003d P (1 + i) 5 (1 + i 0.2).
يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن المبلغ المتراكم في هذه الحالة سيكون أكبر قليلاً مما كان عليه عند الحساب وفقًا للطريقة الأولى.
أخيرًا ، كما هو مذكور أعلاه ، في بعض الأحيان لا يتم تحصيل الفائدة على الإطلاق للجزء الكسري من الفترة. في هذه الحالة ، يتم تحديد مستحقات 5.2 فترات بواسطة الصيغة
S \ u003d P (1 + i) 5.
عادة ، تحدد شروط العقد معدل فائدة ثابت. ومع ذلك ، في بعض الحالات يمكن التفاوض على سعر متغير. عادة ما يكون هذا بسبب عملية التضخم ، التي تقلل من نمو القيمة الحقيقية لمبلغ النقود ، أو إلى تغيير في سعر صرف العملة التي ترتبط بها شروط العقد.
في هذه الحالات وما شابهها ، يتم التفاوض على تغيير سعر الفائدة.
ضع في اعتبارك موقفًا بمعدل فائدة مركب متغير. لنفترض أنه في الفترة الزمنية الأولى للطول t1 ، يكون المعدل مساويًا لـ i1 ، وفي الفاصل الزمني الثاني للطول t2 ، يكون المعدل مساويًا لـ i2 ، وفي الفاصل الزمني الثالث للطول t3 ، يكون المعدل مساويًا لـ i3 ، إلخ. كما كان من قبل ، يمكن أن يكون لها أطوال مختلفة.
ضع في اعتبارك أن مثل هذه الفواصل الزمنية من الطول t1 ، t2 ... tn. ستكون قيمة المساهمة بمعدل متغير معقد بنهاية الفترة الماضية:
دعونا نحدد متوسط سعر الفائدة في حالة الإيداع بسعر متغير معقد.
لنفترض ، كما في السابق ، T هي المدة الإجمالية للإيداع بسعر متغير
أ هي حصة الفترة الزمنية t k في هذه الفترة الإجمالية:
حسب التعريف ، فإن متوسط سعر الفائدة i يفي بالشرط التالي: إذا تم استبداله في معادلة النمو بدلاً من كل معدلات ik ، فلن تتغير نتيجة الحساب. هكذا:
من هنا نحصل على صيغة (1 + i) - متوسط قيمة عامل النمو لكل وحدة زمنية:
أخيرًا ، متوسط سعر الفائدة المركبة نفسه هو:
وفقًا لصيغة متوسط عامل النمو (1 + i) ، فهو المتوسط المرجح هندسيًا لعوامل النمو للفترات الزمنية الفردية. معاملات الوزن هي حصص الفترات الزمنية المقابلة في المدة الإجمالية للإيداع.
سيتم تضمين عوامل النمو لتلك الفترات الزمنية الطويلة نسبيًا في المتوسط المرجح النهائي بوزن كبير.
في حالة خاصة ، عندما تكون أطوال جميع الفترات الزمنية متساوية مع بعضها البعض ، فإن حصة كل منها تساوي 1 / ن ، والمتوسط المرجح يذهب إلى المتوسط الهندسي المعتاد:
يميز معدل التضخم لفترة زمنية معينة النسبة المئوية للزيادة في مستوى السعر لفترة معينة.
لنفترض أن معدلات التضخم لشهر يناير وفبراير ومارس معروفة. قم بالإشارة إلى معدلات التضخم لهذه الأشهر الثلاثة بواسطة h1، h2، h3.
من الخطأ الاعتقاد بأن معدل التضخم الفصلي يساوي مجموع معدلات التضخم الثلاثة الشهرية ، أي أن
hq1 = h1 + h2 + h3.
هذا، بالطبع، ليس صحيحا. لا تأخذ هذه الصيغة في الاعتبار أن تضخم فبراير يميز النسبة المئوية للزيادة في الأسعار بالنسبة للأسعار التي ارتفعت بالفعل في يناير ، ويشير التضخم في مارس إلى زيادة النسبة المئوية في الأسعار مقارنة بأسعار فبراير.
وبالتالي ، يجب أن يحتوي معدل التضخم على مدى عدة فترات على محاسبة الفائدة على الفائدة ، كما هو الحال في الحسابات مع معدل الفائدة المركب.
بطريقة خاطئة ، نتعامل مع معدلات التضخم مثل أسعار الفائدة البسيطة. الطريقة الصحيحة هي معاملتهم مثل الرهانات المركبة. دعونا نلقي نظرة على الطريقة الصحيحة.
يتم التعبير عن مؤشر نمو الأسعار بالصيغة التالية:
حيث q هو عدد السلع المأخوذة في الاعتبار عند حساب مؤشر نمو الأسعار ؛
p - أسعار السلع التي تؤخذ في الاعتبار عند حساب مؤشر نمو الأسعار في فترة الأساس ؛
ع - أسعار نفس البضائع في الفترة المشمولة بالتقرير.
مؤشر نمو الأسعار ن فترات متتالية
يتم التعبير عن معدل التضخم h بالصيغة:
وبالتالي ، يتم تحديد مؤشرات النمو I1 و I2 و I3 بواسطة الصيغ:
I1، = 1 + h1، I2، = 1 + h2، I3، = 1 + h3.
يوضح كل مؤشر عدد المرات التي تغير فيها مستوى السعر في شهر معين. يعطي ناتج هذه المؤشرات المؤشر ربع السنوي Iq1. يُظهر المؤشر ربع السنوي IQ1 عدد المرات التي تغير فيها مستوى السعر في الربع الأول:
Ikv1 \ u003d I1 * I2 * I3.
للحصول على معدل التضخم ربع السنوي ، اطرح واحدًا من المؤشر ربع السنوي:
hkv1 = Ikv1 - 1.
وهكذا ، في النهاية نحصل عليه
hkv1 \ u003d Ikv1 - 1 \ u003d I1 * I2 * I3 - 1 \ u003d (1 + h1) * (1 + h2) * (1 + h3) - 1.
قد تختلف معدلات التضخم من شهر لآخر. كيف تحسب متوسطات معدل التضخم الشهري خلال الربع؟ للقيام بذلك ، يجب عليك أولاً حساب متوسط مؤشر Iavmes الشهري وفقًا للصيغة
أنا srmes \ u003d (I 1 × I 2 × I 3) 1/3 \ u003d (I sq1) 1/3.
ثم يتم الحصول على متوسط معدل التضخم الشهري عن طريق طرح 1 من متوسط المؤشر الشهري:
hsrmes = Isrms - 1.
وبالتالي ، تبدو صيغة الحساب النهائية كما يلي:
ح srmes \ u003d I srmes - 1 \ u003d (I 1 × I 2 × I 3) 1/3 - 1 \ u003d ((1 + h 1) × (1 + h 2) × (1 + h 3)) 1 / 3-1.
إنه مماثل تمامًا لصيغة متوسط سعر الفائدة المركبة.
غالبًا ما يتم حساب الفائدة المركبة ليس مرة واحدة ، ولكن عدة مرات في السنة ، كل ربع سنة ، كل شهر ، وما إلى ذلك. في هذه الحالة ، يُشار عادةً إلى معدل الفائدة الاسمي i في العقد ، والذي يحدد المعدل في كل فترة استحقاق (للاستحقاق ربع السنوي ، شهريًا ، وما إلى ذلك).
يمكن الحصول على الصيغ التي تربط أسعار الفائدة لفترات زمنية مختلفة ببعضها البعض باستخدام مبدأ التكافؤ المالي للنتائج.
يجب أن تكون النتيجة المالية للسنة ، التي يتم الحصول عليها بالمعدل السنوي ، مساوية للنتيجة المالية لأربعة أرباع متتالية ، محسوبة باستخدام صيغة الفائدة المركبة للمعدل ربع السنوي المكافئ. من هنا نحصل على المساواة:
هكذا:
عند اشتقاق الصيغ ، قيل عن معادلة النتائج المالية للسنة. من المهم ملاحظة أن معادلة النتائج مضمونة ليس فقط للسنة ، ولكن أيضًا لأي فترة زمنية.
اجعل الفترة الزمنية ، المحسوبة بالسنوات ، مساوية لـ n (الرقم n ليس بالضرورة عددًا صحيحًا). ثم هذه الفترة تحتوي على 4 . ن أرباع. المستحقات بمعدلات الفائدة السنوية والفصلية المكافئة لهذه الفترة الزمنية متساوية مع بعضها البعض ،
لقد أنشأنا علاقة بين المعدلات السنوية والفصلية. يسمح لنا نفس المنطق بتكوين علاقة بين المعدلات السنوية والفصلية والشهرية:
لنفكر في الموقف بشكل عام. دع فترة الاستحقاق بسعر الفائدة i تقسم إلى م فترات زمنية متساوية. ثم يتم تحديد معدل الفائدة i المرتبط بهذه الفترات من خلال السعر i وفقًا للعلاقة
(1 + أنا) م = (1 + أنا).
أنا = (1 + أنا) م - 1 ،
أنا = (1 + أنا) 1 / م - 1.
بهذه الطريقة ، يمكن إنشاء علاقة بين أسعار الفائدة لأي فترتين زمنيتين. دع الفترات t و t يتم التعبير عنها في نفس الوحدات (السنوات ، الأشهر ، الأيام ، إلخ). دع سعر الفائدة يتم تعيينه للفترة الزمنية t ، وسعر الفائدة i للفترة t. تكون هذه المعدلات متكافئة إذا أدت إلى نفس النتائج لنفس الفترات الزمنية ، أي إذا كانت الاستحقاقات المقابلة لها لنفس الفترات الزمنية متساوية.
كفترة واحدة ، نأخذ الفاصل الزمني للقيمة txt. يحتوي على فترات t في مقدار t وفترات t في مقدار t. يمكن كتابة شرط التكافؤ كمساواة:
(1 + i) t = (1 + i) t.
من هنا نحصل على صيغ تعبر عن معدل واحد من ناحية أخرى:
عادةً ما تنص العقود على معدل فائدة سنوي. في هذه الحالة ، يطلق عليه سعر الفائدة الاسمي. تسمى أسعار الفائدة المعادلة لها لفترات زمنية أخرى ، محسوبة وفقًا للصيغ المذكورة أعلاه ، متوازنة (أو موازنة).
وهكذا يتحدثون عن المعدل السنوي الاسمي والمتوازنة (الموازنة) ، نصف سنوية ، ربع سنوية ، شهرية ، ومعدلات يومية.
في الفقرة السابقة ، تلقينا صيغًا تسمح بتحويل سعر الفائدة المرتبط بفترة استحقاق واحدة إلى أخرى ، وسعر فائدة مكافئ مرتبط بفترة استحقاق أخرى. على وجه الخصوص ، تسمح هذه الصيغ بتحويل المعدل السنوي الاسمي إلى معدلات متوازنة أخرى.
الصيغ الناتجة دقيقة ، ولكن نظرًا لتعقيدها ، فهي ليست دائمًا ملائمة للاستخدام العملي. في ممارسة المعاملات المالية ، غالبًا ما يتم استبدال هذه الصيغ بصيغ أخرى أبسط. بدلاً من المعدل المتوازن ، تحدد هذه الصيغ المبسطة ما يسمى بالمعدل النسبي (النسبي).
وتجدر الإشارة إلى أن الحساب بالمعدلات النسبية ، لكونه بسيطًا للغاية ، يؤدي إلى نتائج غير دقيقة.
دع معدل الفائدة السنوي يكون iyear. ثم يتم حساب معدل الذكاء النسبي ربع السنوي بواسطة الصيغة
يتم تحديد معدل المعدل النسبي الشهري بواسطة الصيغة
بشكل عام ، يتم تحديد المعدل النسبي لفترة زمنية t ، مقاسة بالسنوات ، من خلال القيمة:
أنا = أنا عام ر.
بالنسبة لربع t = 1/4 ، لشهر t = 1/12 ، بحيث يتم الحصول تلقائيًا على الحالات الخاصة للمعدلات ربع السنوية والشهرية من آخر معادلة عامة.
لنفكر في الموقف بشكل عام. افترض أن فترة الاستحقاق مقسمة إلى م فترات متساوية. ثم يتم حساب معدل الفائدة النسبي i المرتبط بهذه الفترات من خلال الصيغة
نسبة عكسية
أنا = م أنا
يسمح بالتعبير عن المعدل الأولي i من حيث النسبي i. لنقم بإنشاء علاقة بين أسعار الفائدة النسبية لأي فترتين زمنيتين. دع الفترات الزمنية t و t تُقاس بنفس الوحدات. بالنسبة للفترة t ، يتم تحديد سعر الفائدة i ، وبالنسبة للفترة t يتم تحديد السعر i. تعتبر هذه المعدلات مرتبطة ببعضها البعض إذا كانت مرتبطة بالنسب:
أي إذا كانت متساوية لكل وحدة زمنية. في شكل معادل ، هذه المساواة لها الشكل
من هنا نحصل على صيغ تسمح لنا بالتعبير عن معدل مقابل معدل آخر:
يتم تحويل المعدل السنوي الاسمي إلى معدل نسبي لمدة نصف عام أو ربع سنة أو شهر بقسمة المعدل السنوي على الرقم المقابل. يتوافق هذا الانتقال مع التحولات وفقًا لصيغة الفائدة البسيطة. ومع ذلك ، يتم إجراء المزيد من التحويلات المرتبطة باستخدام المعدل النسبي باستخدام صيغ الفائدة المركبة.
وبالتالي ، يتم حساب نمو الوديعة لمدة مليون شهر بالمعدل السنوي الاسمي للفائدة المركبة باستخدام المعدل النسبي على النحو التالي. بالمعدل السنوي في السنة ، يتم حساب المعدل الشهري في الشهر:
أنا شهر = أنا عام / 12 ،
وبعد ذلك ، وفقًا لصيغة الفائدة المركبة ، يتم تحديد معامل التراكم لمليون شهر. لها الحجم:
مثل هذا الحساب يؤدي إلى التشوهات.
على سبيل المثال ، مع م = 6 ، يمكن حساب معدل الاستحقاق باستخدام المعدل النسبي بعدة طرق مختلفة. سوف تؤدي إلى نتائج مختلفة.
يمكن حذف صيغة حسابية محددة في تلك الحالات التي يكون فيها كل طرف على استعداد للتعامل مع التشوهات الناتجة.
يعتمد الحساب الدقيق وغير المشوه على معدلات متوازنة. إذا كان هناك تناقضات هنا ، فهذا لا يرجع إلى جوهر الأمر ، ولكن يرجع فقط إلى دقة الحسابات. يتم تحسين الدقة إذا تم تضمين المزيد من المنازل العشرية في العمليات الحسابية ، أو إذا تم إجراء العمليات الحسابية في الكسور العادية.
دائمًا ما تقدم الحسابات ذات المعدلات النسبية بعض التشوهات التي لا يمكن القضاء عليها بمجرد زيادة دقة الحسابات.
في الممارسة العملية ، غالبًا ما تستخدم المعدلات النسبية. يرتبط استخدامها براحة كبيرة (على حساب الدقة) وبالتقاليد الراسخة.
ومع ذلك ، عند إجراء تحليل دقيق وفي الدراسات النظرية ، يتم استخدام معدل متوازن. انها تسمى ايضا معدل الفائدة الفعلي .
يظهر معدل الفائدة الفعلي الدخل النسبي الحقيقي الذي ينشأ في السنة فيما يتعلق بحساب الفائدة. بمعنى آخر ، المعدل الفعلي هو معدل الفائدة السنوي المركب الذي يوفر نفس مبلغ الدخل مثل الطريقة المستخدمة بالفعل لحساب الفائدة.
إذا تم تجميع الفائدة مرة واحدة في السنة ، فإن المعدل الفعلي يتوافق مع معدل الفائدة الاسمي المركب. إذا كانت الفائدة متراكمة في كثير من الأحيان ، فقد تختلف المعدلات الفعلية والاسمية عدديًا. تعتمد المراسلات بينهما على طريقة حساب الفائدة لفترات زمنية معينة.
إذا كانت الطريقة المستخدمة فعليًا لحساب الفائدة الشهري (ربع السنوي) تستند إلى معدلات متوازنة ، فإن المعدل الفعلي يتطابق مع معدل الفائدة الاسمي. إذا كانت الطريقة المستخدمة فعليًا لحساب الفائدة الشهرية (ربع السنوية) تعتمد على المعدلات النسبية (أو على بعض مخططات الحساب الأخرى) ، فإن المعدلات الفعلية والاسمية ستكون مختلفة.
ضع في اعتبارك نمو مبلغ الإيداع وفقًا لصيغ الفائدة البسيطة والمركبة بنفس معدل الفائدة.
دع الفائدة تتراكم بالسعر i لفترة زمنية (على سبيل المثال ، لمدة عام). ثم يتم تحديد نمو المجموع بمرور الوقت t من القيمة الأولية Р بواسطة الصيغ التالية:
للفائدة البسيطة:
S \ u003d P (1 + i t) ؛
للفائدة المركبة:
S \ u003d P (1 + i) ر.
يتم هنا تنفيذ المستحقات لعدد غير صحيح من الفترات وفقًا لنفس الصيغة المستخدمة في عدد صحيح. للفائدة البسيطة ، تعتمد قيمة S على الوقت t وفقًا لقانون الدالة الخطية. بالنسبة للفائدة المركبة ، تعتمد على t وفقًا لقانون الدالة الأسية. على التين. 2.1 يوضح الرسوم البيانية لهذه التبعيات.
يبدأ كلا الخطين في الشكل من نفس النقطة. بالنسبة إلى t = 0:
إذا كان طول الفترة الزمنية t أقل من طول الفترة ، فإن الفائدة البسيطة تعطي زيادة في المبلغ أكبر من الفائدة المركبة.
إذا كان 0< t < 1, то
يقع الرسم البياني للدالة الخطية التي تحدد النمو باستخدام صيغة الفائدة البسيطة فوق الرسم البياني للدالة الأسية التي تحدد النمو باستخدام صيغة الفائدة المركبة. لذلك ، إذا أعلن البنك عن سعر الفائدة السنوي على الودائع ، وكانت مدة الإيداع أقل من عام ، يكون من المربح للمودع أن يقوم البنك بإجراء التسويات معه بسعر فائدة بسيط. على العكس من ذلك ، يكون من المربح أكثر للمقترض الذي أخذ قرضًا من أحد البنوك لمدة تقل عن عام أن يدفع فائدة مركبة.
إذا كانت الفترة الزمنية t تساوي فترة واحدة ، فإن حساب الفائدة البسيطة والمركبة يعطي نفس النتيجة:
كلا الرسمين البيانيين عند t = 1 يمر من نفس النقطة. إذا كان المصطلح مساويًا لطول فترة احتساب الفائدة (على سبيل المثال ، سنة) ، فلا يهم المودع أو المقترض ما إذا كان يتم تسوية الفائدة البسيطة أو المركبة معه.
إذا كان طول الفترة الزمنية t أكثر من فترة واحدة ، فإن الفائدة المركبة تعطي زيادة في المبلغ أكبر من الفائدة البسيطة. إذا كانت t> 1 ، إذن
يقع الرسم البياني للدالة الأسية فوق الخط المستقيم ، ومع زيادة t ، لا يزداد حجم التناقض بينهما فحسب ، بل يزداد أيضًا معدل الزيادة في هذا التناقض. إذا كانت مدة الإيداع أطول من فترة استحقاق الفائدة ، فمن الأفضل للمودع أن يتراكم وفقًا لصيغة الفائدة المركبة ، ومع نمو مدة الإيداع ، تزداد هذه الميزة. على العكس من ذلك ، يكون المقترض أكثر ربحية لسداد القرض بفائدة بسيطة.
لتقدير معدل نمو مبلغ من المال ، غالبًا ما يتم استخدام ما يسمى بصيغ فترة المضاعفة. تسمح لك هذه الصيغ بحساب الفترة التي يتضاعف فيها المبلغ المستثمر من المال.
يتم حساب هذه الفترة من خلال حل المعادلة التي تحدد مضاعفة عامل النمو.
من أجل الفائدة البسيطة ، المعادلة هي
1 + أنا ر = 2.
بالنسبة للفائدة المركبة ، تكون المعادلة هي
حل هذه المعادلة هو:
تكون أسعار الفائدة متكافئة من الناحية المالية إذا كان الاستبدال في العقد بسعر آخر لا يؤدي إلى تغيير في النتائج المالية للعقد ، إلى تغيير في العلاقات بين الأطراف المشاركة في الصفقة.
إذا كانت الزيادة في سعر الفائدة البسيط خلال فترة زمنية معينة تؤدي إلى نفس النتيجة مثل الزيادة في معدل الفائدة المركب خلال نفس الوقت ، فإن الأسعار تكون متكافئة ماليًا. اسمح في و IC أن تكون أسعار الفائدة بسيطة ومركبة بنفس فترة الاستحقاق (على سبيل المثال ، المعدلات السنوية). معادلة عوامل النمو لهذه المعدلات بمرور الوقت t:
من هنا يمكنك الحصول على صيغ تسمح لك بحساب المعدل البسيط المكافئ بمعدل معقد وتحديد المعدل المعقد المكافئ بمعدل بسيط.
لاحظ أن معادلات حساب المعدلات المكافئة تتضمن قيمة الفاصل الزمني t. عندما يتغير طول الفجوة ، تتغير أيضًا قيمة السعر المكافئ.
من الصيغ التي تم الحصول عليها ، يتبع ذلك بشكل مباشر أنه عند t = 1 ، أي عندما يكون طول الفترة الزمنية المعتبرة مساويًا لفترة الاستحقاق ، تكون المعدلات المكافئة متساوية مع بعضها البعض:
إذا كانت t = 1 ، ثم في = ic.
كما تظهر اعتباراتنا السابقة ، يتم استيفاء الشروط التالية لمعدلات الفائدة المكافئة في و IC:
إذا ر< 1, то in < ic ,
إذا كانت t> 1 ، ثم في> ic.
في الممارسة المصرفية ، غالبًا ما يتم استخدام شكل مختلط من تحويل أسعار الفائدة ، حيث يتم ترجمة المعدل السنوي المعقد ، على سبيل المثال ، إلى معدل ربع سنوي ليس معقدًا ، ولكن بسيطًا. يتم احتساب الفائدة الإضافية وفقًا لمعادلة المعدل المركب.
على سبيل المثال ، يعلن أحد البنوك عن شروط الإيداع على أنها "48٪ سنويًا بفائدة ربع سنوية". هذا يعني أنه يتم إضافة الفائدة ربع السنوية إلى المبلغ المتراكم بالفعل للإيداع والفائدة المستحقة عليها في المستقبل. لذلك فهو رهان معقد. ومع ذلك ، يتم حساب الفائدة ربع السنوية نفسها باستخدام معادلة السعر البسيطة ، أي وفقًا للصيغة
أنا ربع \ u003d أنا عام / 4 \ u003d 12 (٪).
يتم تحويلها مرة أخرى إلى المعدل السنوي المركب ، وهذا يعطي
أي 57.35٪ سنويًا بدلاً من 48٪. دائمًا ما يتم المبالغة في تقدير النتيجة ، لذا فإن هذا النوع من التحويل غير مربح للبنك نفسه. إنه مفيد لعملاء البنوك ويستخدم عمليا.
دعونا نرى ما سيؤدي إليه هذا إذا قللنا تدريجياً فترة احتساب الفائدة. افترض أن هذا النوع من تحويل الفائدة لا ينطبق على فترة ربع سنوية ، بل على فترة شهرية.
معدل الاستحقاق الشهري
يحدد معدل النمو السنوي
1,04 12 = 1,6010,
والذي يتوافق مع معدل 60.10٪ سنويًا.
لنفترض أن فترة الاستحقاق تتناقص أكثر ، أي أن السنة مقسمة إلى م فترات زمنية متساوية ، وأن قيمة م تزداد. إذن ، الصيغة العامة لمعدل النمو السنوي الجديد هي:
(1 + أنا / م) م.
في الحد ، عند ، نحصل على الكمية هأنا . في هذه الحالة ، يتم تحديد نمو المساهمة بمرور الوقت t (تقاس بالسنوات) بواسطة الصيغة
S = ف ههو - هي.
الرقم e المتضمن في الصيغة هو أساس اللوغاريتمات الطبيعية. يلعب دورًا مهمًا في التحليل الرياضي لمجموعة متنوعة من العمليات. رقم ه- غير عقلاني ، معناها
ه = 2,7182818...
اللوغاريتمات الأساسية هتسمى اللوغاريتمات الطبيعية ويتم الإشارة إليها بواسطة ln. في جدول بيانات Excel ، يتم الإشارة إلى الوظيفة المقابلة LN.
توصلنا إلى مفهوم الفائدة المستمرة من خلال شكل مختلط من الاستحقاق ، من خلال مجموعة من العمليات الحسابية بمعدل بسيط ومركب. ومع ذلك ، فإن الشكل المختلط ليس مهمًا هنا. فقط مشاركة الرهان المركب مهمة.
من مفهوم المعدل المركب إلى مفهوم الفائدة المستمرة ، من الممكن المرور بطريقة أخرى. لهذا ، فإن صيغة الفائدة المركبة كافية ، والتي تحدد نمو المبلغ الأولي P:
S = P (1 + i) t ،
اكتبه بصيغة مختلفة ومكافئة.
تحدد صيغة الفائدة المركبة نمو المبلغ وفقًا لقانون الدالة الأسية. قاعدة هذه الوظيفة هي الكمية (1 + i). بالنسبة للقيم المختلفة لسعر الفائدة i ، يتبين أن الأسباب مختلفة. يتم تحويل معادلة الفائدة المركبة للوقت المستمر بطريقة تجعل الأساس بمعدلات مختلفة هو نفسه ، ولكن يتغير الأس.
قم بالإشارة بالحرف اللوغاريتم الطبيعي للقيمة (1 + i):
وبالتالي
وبالتالي ، يمكن استبدال صيغة الفائدة المركبة بصيغة مكافئة:
تستخدم هذه الصيغة عادة في تحليل النمو المستمر لمبلغ المال.
في هذه الصيغة ، تميز القيمة α معدل نمو المجموع. تسمى القيمة α قوة النمو ، أو بقوة الفائدة . إنه يساوي معدل الزيادة النسبية في المبلغ ، أي أنه يساوي الزيادة النسبية في المبلغ خلال فترة زمنية صغيرة غير محدودة. قوة الفائدة هي نوع خاص من معدل الفائدة مصمم لدراسة عملية نمو مبلغ من المال في وقت مستمر.
ترتبط قوة النمو ارتباطًا وثيقًا بمعدل الفائدة. كلما زاد معدل الفائدة i ، زادت قوة النمو α ، والعكس صحيح ، كلما زادت قوة النمو α ، زاد معدل الفائدة. ومع ذلك ، فإن العلاقة بينهما ليست علاقة خطية متناسبة بشكل مباشر. لها طابع لوغاريتمي.
بالنسبة للقيم الصغيرة ، يتزامن معدل الفائدة عمليًا مع قوة النمو ، ومع ذلك ، مع زيادة المعدل ، تزداد التناقضات بين القيم العددية. في الوقت نفسه ، يكون معدل الفائدة بقيمته العددية دائمًا أكبر من قوة النمو.
يجب التأكيد على أن هذه الفروق لا تؤدي إلى اختلاف في نمو المبلغ النقدي. على العكس من ذلك ، فإن التناظر مع بعضها البعض ، ولكن القيم المختلفة عدديًا لمعدل الفائدة وقوة النمو توفر نفس الزيادة في مبلغ المال لنفس الفترات الزمنية.
الخصم هو عملية تسمح بإعادة مبلغ مستقبلي من المال إلى اللحظة الحالية في الوقت المناسب. تتيح لك هذه العملية تحديد القيمة الحالية للمبلغ المستقبلي. أعلاه ، نظرنا في الخصم بسعر فائدة بسيط. يعني هذا الخصم زيادة في مبلغ المال وفقًا لصيغة الفائدة البسيطة. الآن سننظر في الخصم بمعدل فائدة مركب يقابل نمو مبلغ المال باستخدام صيغة الفائدة المركبة.
المبلغ الأولي للمال Р وفقًا لمعادلة الفائدة المركبة بالسعر i في الوقت t يتحول إلى المبلغ S:
ومن ثم يتبع ذلك
تتيح هذه الصيغة إمكانية إجراء الخصم ، أي تحديد القيمة الأولية P من القيمة النهائية S. المضاعف
يسمى عامل الخصم بمرور الوقت t. إنه متبادل لمضاعف الارتفاع. تسمى قيمة P القيمة الحديثة أو المخفضة S. وتسمى أيضًا القيمة التي تم الحصول عليها بخصم S. يُطلق على الفرق S - P الخصم ويُشار إليه عادةً بالحرف D:
D = S - P.
عملية الخصم هي عكس عملية زيادة المبلغ. لذلك ، ترتبط خصائص الخصم ارتباطًا وثيقًا بخصائص التراكم. أعلاه كانت مقارنة النمو في الفائدة البسيطة والمركبة. للخصم ، تحدث العلاقة العكسية.
إذا كان طول الفترة الزمنية أقل من فترة الاستحقاق (على سبيل المثال ، سنة) ، فإن الزيادة في الفائدة البسيطة تعطي مبلغًا أكبر من الزيادة في الفائدة المركبة. خصم الفائدة البسيط أقل من خصم الفائدة المركبة.
إذا كان طول الفترة الزمنية أطول من فترة الاستحقاق ، فإن معدل الفائدة المركب يعطي زيادة أكبر في المبلغ. ومع ذلك ، فإن المعدل المركب ينتج عنه قيمة أصغر عند الخصم.
يمكن إجراء الخصم ليس فقط على أساس منفصل ، ولكن أيضًا للقياس المستمر للوقت. من صيغة الوقت المستمر باستخدام قوة النمو التي لها الشكل
نحصل على صيغة الخصم:
تستخدم في حسابات الخصم مع الوقت المستمر.
في العمليات المحاسبية ، يتم استخدام معدلات الخصم البسيطة والمعقدة. تمت دراسة إجراءات تسوية سعر الخصم البسيطة أعلاه. سننظر الآن في الإجراءات المناسبة لمعدل الخصم المركب.
يتم تطبيق معدل خصم بسيط على نفس المبلغ الأولي ، ويتم تخفيض هذا المبلغ على مدار فترات زمنية بالتساوي.
لا يتم تطبيق معدل الخصم المركب في كل خطوة خصم على المبلغ الأصلي ، ولكن على المبلغ المخفض بواسطة قيمة الخصم المحددة في الخطوة السابقة. تسير عملية الخصم في نفس الوقت مع تباطؤ.
إذا كان المبلغ النهائي هو S وسعر الخصم هو d ، فإن الخصم عند معدل الخصم المركب على مدى فترات زمنية t ينتج عنه المبلغ الأولي P المعطى بواسطة الصيغة
أعلاه ، نظرنا في الانتقال من معدل الفائدة السنوية المركبة إلى معدلات الفائدة الربعية والشهرية وأسعار الفائدة المركبة الأخرى. بشكل عام ، هذا يتوافق مع الانتقال من معدل بفترة استحقاق واحدة إلى معدل بفترة استحقاق مختلفة. تمت دراسة طريقتين للتحول: الانتقال إلى معدل متوازن والانتقال إلى معدل نسبي. ميزة الطريقة الأولى هي دقتها ، وميزة الطريقة الثانية هي بساطتها.
يتم الانتقال من معدل الخصم السنوي إلى معدلات ربع سنوية وشهرية وغيرها بنفس الطريقتين. أحدهما يعطي معدل خصم متوازن ، والآخر يسمح لك بالحصول على معدل خصم نسبي. دعونا نعتبرها بالترتيب.
يتم تحديد معدلات الخصم المتوازنة وفقًا لمبدأ التكافؤ المالي للنتائج.
يجب أن تكون النتيجة المالية التي تم الحصول عليها للسنة بسعر الخصم السنوي مساوية للنتيجة التي تم الحصول عليها لمدة أربعة أرباع بمعدل الخصم المركب dkv. وبعبارة أخرى ، المساواة
الروابط الناتجة بين المعدلات تضمن المساواة في النتائج المالية ليس فقط للسنة ، ولكن أيضًا لأي فترة زمنية.
الفترة التي تتكون من t سنوات تحتوي على 4. أرباع تي. يؤدي الخصم لهذه الفترة الزمنية بمعدل سنوي مركب وبمعدل ربع سنوي مركب إلى نفس النتائج ، منذ ذلك الحين
لقد أنشأنا علاقة بين معدل الخصم السنوي والربع السنوي. وبالمثل ، فإننا نشكل علاقة بين السنة السنوية والشهر الشهري واليوم اليومي ومعدلات الخصم المعقدة الأخرى:
يتم التعبير عن العلاقات بين معدل الخصم المركب ربع السنوي والشهري بالمثل:
لذلك،
لنفكر في الموقف بشكل عام. دع فترة حساب معدل الخصم d تقسم إلى م فترات متساوية. ثم يتم تحديد معدل الخصم d المرتبط بهذه الفترات من خلال المعدل d باستخدام العلاقة:
بشكل عام ، يمكن الحصول على علاقة بهذه الطريقة بين أي معدلين للخصم المركب يتم خصمهما على فترتين زمنيتين مختلفتين.
دع الفترات الزمنية t و t تُقاس في نفس الوحدات الزمنية (السنوات ، الأشهر ، إلخ). دع الفترة t تتوافق مع معدل الخصم المركب d ، والفترة t إلى معدل الخصم المركب d. تكون هذه المعدلات متكافئة إذا أعطت نفس النتائج المالية لفترات زمنية متساوية ، أي إذا كانت مضاعفات الخصم المقابلة هي نفسها.
كفاصل زمني واحد ، نختار فاصل زمني بطول txt. يحتوي على فترات t في مقدار t من الوحدات والفترات t في عدد t من الوحدات. يتم التعبير عن شرط التكافؤ كمساواة في عوامل الخصم للفترات الزمنية المقابلة ، أي كمساواة
من هنا نحصل على صيغ تسمح لنا بالتعبير عن سعر خصم واحد مقابل سعر آخر:
عادة ، يتم تعيين معدل خصم سنوي ، يسمى معدل الخصم الاسمي. يتم استخدامه لحساب معدلات الخصم لفترات زمنية أخرى. إذا تم تعيين هذه الأسعار بالطريقة الموضحة هنا ، فإنها تسمى معدلات خصم مركب متوازنة (تسمى أحيانًا موازنة).
توفر معدلات الخصم المركب المتوازنة التكافؤ المالي للنتائج في أي فترات زمنية. بهذا المعنى ، هذه المعدلات نفسها متكافئة.
يتم تقديم معدلات الخصم المتوازنة بشكل مشابه لمعدلات الفائدة المتوازنة. معدلات الخصم النسبية مماثلة لمعدلات الفائدة النسبية.
إذا كان معدل الخصم السنوي يساوي سنويًا ، فسيتم تحديد معدل الخصم النسبي ربع السنوي dq ، ومعدل الخصم الشهري dmonth ، ومعدل الخصم اليومي dday بواسطة الصيغ:
في الحالة العامة ، دع فترة حساب معدل الخصم d تقسم إلى م فترات متساوية. ثم يرتبط معدل الخصم النسبي d لهذه الفترات بالسعر d بالعلاقات:
من الممكن إقامة علاقة بين معدلات الخصم النسبية لأي فترتين زمنيتين. دع الفترتين t و t يتم قياسهما بنفس الوحدات. تم تعيين معدل الخصم d للفترة t ، ومعدل الخصم d للفترة t. هذه المعدلات مرتبطة ببعضها البعض إذا كانت ترضي العلاقة
أي إذا كانت حصصهم لكل وحدة زمنية متساوية مع بعضها البعض. هذه المساواة تعادل ما يلي:
من هنا يمكنك بسهولة الحصول على صيغ تسمح لك بالتعبير عن سعر خصم واحد مقابل سعر آخر:
هذه الصيغ تجعل من الممكن ليس فقط التعبير عن معدلات الخصم النسبية من حيث معدل الخصم السنوي الاسمي ، ولكن أيضًا للتعبير عن معدلات الخصم النسبية مباشرة فيما يتعلق ببعضها البعض.
يتوافق حساب معدلات الخصم النسبية مع التحولات وفقًا لصيغ المعدلات البسيطة. ومع ذلك ، فإن استخدام معدلات الخصم النسبية يتفق مع معادلات المعدل المركب.
عامل الخصم ، على سبيل المثال ، لمدة 6 أشهر ، محسوبًا بسعر الخصم الشهري ، هو
نفس المضاعف ، المحسوب بالمعدل ربع السنوي ، له الشكل
يمكن أيضًا تحديد هذا المضاعف مباشرة من خلال معدل الخصم نصف السنوي د نصف سنوي:
1 - د نصف سنة = 1 - د سنة / 2.
تؤدي طرق حساب نفس الكمية الموضحة هنا إلى نتائج مختلفة عدديًا.
وبالتالي ، مع معدلات الخصم المتوازنة والنسبية ، فإن الوضع هو نفسه مع الأنواع المقابلة من أسعار الفائدة. وهي: موازنة معدلات الخصم تعطي نتيجة دقيقة ، ولكنها مرتبطة بحسابات مرهقة نوعًا ما. من السهل حساب معدلات الخصم النسبية ، ولكنها تعطي نتيجة تقريبية.
يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه عند الانتقال إلى فترات زمنية أقصر (على سبيل المثال ، من سنة إلى شهر) ، يكون لمعدل الخصم النسبي قيمة أصغر من معدل الخصم المتوازن. وبالتالي فإن عامل الخصم بسعر الخصم النسبي أكبر من عامل الخصم بسعر الخصم المتوازن.
وبالتالي ، إذا تم تحديد معدل خصم سنوي اسمي وترك أقل من عام قبل انتهاء صلاحية الفاتورة ، فمن المربح لمالك الفاتورة أن تتم المحاسبة بمعدل خصم نسبي.
عند الانتقال إلى فترات زمنية أطول (على سبيل المثال ، من شهر إلى عام) ، يكون الوضع هو العكس. هنا سيكون معدل الخصم النسبي أكبر من المعدل المتوازن. سيكون مضاعف الخصم المحسوب بالمعدل النسبي أقل بالمقابل من مضاعف الخصم المحسوب بالمعدل المتوازن. في هذه الحالة ، من المربح لصاحب الفاتورة أن تتم المحاسبة بمعدل متوازن.
يتم تحديد خصم المبلغ عند احتساب معدل الخصم البسيط بواسطة الصيغة
الفوسفور \ u003d S (1 - د ر).
الخصم عند احتساب معدل الخصم المعقد - الصيغة
على التين. يوضح 2.2 الرسوم البيانية لاعتماد المبلغ P الذي تم الحصول عليه أثناء المحاسبة في الفترة المحاسبية t.
أرز. 2.2. انخفاض المبلغ بسعر خصم بسيط ومعقد
يحدث الانخفاض في المبلغ بمعدل خصم بسيط وفقًا لقانون الوظيفة الخطية بالتساوي. الرسم البياني لاعتماد المبلغ في الوقت المحدد (في فترة الخصم) هو خط مستقيم.
يحدث الانخفاض في المبلغ بمعدل خصم معقد بشكل غير متساو مع تباطؤ. الرسم البياني للمجموع مقابل الوقت هو الرسم البياني لدالة أسية ذات أساس أقل من 1.
يبدأ كلا الرسمين البيانيين من نفس النقطة عند t = 0 ويتقاطعان عند t = 1. إذا كانت فترة الخصم 0 ، فلا يهم بالطبع ما إذا كان الخصم يتم بمعدل معقد أو بسيط. بالطريقة نفسها ، لا يهم إذا كانت فترة الخصم تساوي فترة واحدة (سنة واحدة بالمعدل السنوي). في الواقع ، عند t = 1 ، نحصل على نفس النتائج للمعدلات البسيطة والمعقدة:
P \ u003d S (1 - d t) \ u003d S (1 - d).
الفوسفور \ u003d S (1 - د) t \ u003d S (1 - د).
في جميع الحالات الأخرى ، يؤدي الخصم بمعدل بسيط ومعقد إلى نتائج مختلفة. في الوقت نفسه ، إذا كانت فترة الخصم أقل من فترة واحدة ، فسيتم الحصول على مبلغ أعلى (وبالتالي قيمة خصم أقل) بسعر بسيط. يعتبر حامل التزام دين بمدة متبقية أقل من فترة واحدة (سنة واحدة بسعر سنوي) أكثر ربحية لحساب الالتزام بسعر خصم بسيط. إذا كانت المدة المتبقية أكثر من فترة واحدة ، فمن الأفضل أن تأخذ في الاعتبار الالتزام بسعر خصم معقد ، وتزداد هذه الربحية مع طول المدة.
الرسم البياني للدالة الخطية المقابلة لمعدل بسيط سيعبر المحور x عند قيمة معينة من t. هذا يعني أنه بالنسبة لفترة معينة ، فإن المبلغ الناتج عن المحاسبة عن الالتزام هو 0 ، والخصم يساوي المبلغ الكامل للالتزام. ليس من المنطقي مراعاة الالتزامات بموجب هذه الشروط. علاوة على ذلك ، ليس من المنطقي أن نأخذ في الاعتبار قيم أخرى لـ t ، عندما يقع الرسم البياني أسفل المحور x.
يتم استخدام معدل خصم بسيط حقًا لفترات محاسبية طويلة جدًا. في المقابل ، يمكن تطبيق معدل الخصم المركب في أي وقت. الرسم البياني للدالة الأسية المقابلة للمعدل المركب لن يعبر المحور الأفقي أبدًا ، على الرغم من أنه سيقترب منه إلى أجل غير مسمى مع زيادة الوقت. المبلغ الذي يتم إصداره عند المحاسبة عن الالتزام في ظل هذه الظروف سينخفض إلى أجل غير مسمى مع نمو المصطلح ، ولكنه لن يصبح أبدًا مساويًا للصفر. وبناءً عليه ، ستقترب قيمة الخصم إلى أجل غير مسمى من مبلغ الالتزام نفسه ، ولكنها لن تتطابق معه أبدًا .
يرتبط معادلة معدلات الخصم بتكافؤ النتائج المالية بهذه المعدلات لفترة زمنية معينة.
دع dn و dc يكونان بسيطًا ومعدلات خصم مركبة مع نفس فترة الاستحقاق (على سبيل المثال ، المعدلات السنوية). معادلة المعدلات لفترة زمنية t تعني المساواة في مضاعفات الخصم المرتبطة بهذه الفترة:
من هنا نحصل على الصيغ لحساب معدل بسيط لمعدل معقد مكافئ ولحساب معدل معقد لمعدل بسيط مكافئ:
بالنسبة لمعدلات الخصم ، وكذلك لأسعار الفائدة ، يتم تحديد التكافؤ لفترة زمنية محددة.
المعدلات المعادلة لفترة واحدة من الزمن ، عندما يتغير طول الفترة الزمنية ، تتوقف عن أن تكون مكافئة.
تتساوى المعدلات المعادلة مع بعضها البعض عندما يكون طول الفترة الزمنية المعتبرة مساويًا لفترة الاستحقاق ، أي:
إذا كانت t = 1 ، فإن dn = dc.
هذا يتبع مباشرة من الصيغ التي تم الحصول عليها. يوضح المنطق السابق أن معدلات الخصم المكافئة تستوفي الشروط التالية:
إذا ر< 1, то dn >العاصمة ،
إذا كانت t> 1 ، ثم dn< dc .
يمكن خصم مبلغ المال بنسبة مئوية أو بسعر مخفض.
عند الخصم بمعدل فائدة مركب ، يتم تحديد القيمة الأولية للمبلغ النقدي P من خلال قيمتها النهائية S ، والتي نمت بمرور الوقت t بسعر الفائدة i ، وفقًا للصيغة
عند الخصم بسعر الخصم المعقد د ، يتم تحديد المبلغ الأولي للمال بواسطة الصيغة
يكون معدل الفائدة والخصم متساويين إذا أعطوا نفس النتيجة المالية ، أي إذا أعطوا نفس المبالغ الأولية P لنفس المبالغ النهائية S لنفس الوقت t.
وهكذا ، لمعدلات معادلة ، المساواة
نحصل على استخراج جذر الدرجة t من كلا الجزأين
يمكن كتابة هذا على النحو التالي:
(1 + أنا) (1 - د) = 1.
من هنا يسهل التعبير عن سعر الفائدة من حيث معدل الخصم وسعر الخصم من حيث معدل الفائدة:
من المهم ملاحظة أن هذه الصيغ لا تتضمن طول الفاصل الزمني ر. لذلك ، فإن الرهانات المعقدة المكافئة تكون متكافئة ليس فقط لفترة زمنية معينة ، ولكن لأي فترة زمنية. تذكر أن هذا ليس هو الحال بالنسبة للرهانات البسيطة.
معادلة للخصم بمعدل خصم مركب بمرور الوقت ر
يمكن استخدامها ليس فقط في فترات منفصلة ولكن أيضًا في وقت مستمر. كما في حالة الفائدة المركبة ، عند التبديل إلى الوقت المستمر ، يتم تحويل الصيغة بحيث عندما يتغير معدل الخصم d ، لا يتغير أساس الوظيفة الأسية ، ولكن يتغير مؤشرها. لهذا الغرض ، أدخل القيمة:
التعبير اللوغاريتمي أقل من 1 ، أي
ln (1-د)< 0,
وبالتالي ب موجبة. من التعريف نحصل عليه
تأخذ صيغة الخصم بسعر خصم معقد الشكل
عن طريق القياس مع قوة الفائدة ، تسمى القيمة أحيانًا قوة الخصم . تتيح صيغة الخصم الناتجة بمشاركة قوة الخصم إجراء العمليات الحسابية في شكل مناسب للوقت المستمر. تميز قوة الخصم معدل الانخفاض النسبي للمبلغ المخصوم.
كلما زاد معدل الخصم ، زاد معدل الخصم المقابل. العلاقة بين هذه الكميات ليست مباشرة ، وليست متناسبة بشكل مباشر ، ولكنها لوغاريتمية.
مع زيادة معدل الخصم ، تزداد التناقضات بين القيم العددية لمعدل الخصم وقوة الخصم تدريجياً. قوة الخصم أعلى من معدل الخصم. ومع ذلك ، يجب ألا يغيب عن البال أن قيم معدل الخصم وقوة الخصم المقابلة لبعضهما البعض تحدد نفس عملية الخصم ، ونفس مبلغ التخفيض في مبلغ الدين عند مراعاة التزام الدين
تسمح الصيغ التي حصلنا عليها ، بناءً على شروط العقد ، بحساب المبلغ النهائي للمال من مبلغه الأولي أو ، على العكس من ذلك ، حساب المبلغ الأولي من مبلغ نهائي معروف. تلعب مهمة أخرى دورًا مهمًا في الحسابات المالية: تحديد شروط العقد من مبلغ أولي ونهائي معروف. أهم الخصائص العددية للعقد هي مدة المدة والسعر.
وفقًا لصيغة الفائدة المركبة ، لدينا
بعد التحولات الأولية وأخذ اللوغاريتمات ، نصل من هنا:
تتيح لك هذه الصيغة تحديد مدة الفترة t لمبلغ أولي ونهائي معين وبسعر فائدة مركب معروف ، حيث ينمو المبلغ الأولي P إلى المبلغ النهائي S بسعر الفائدة المركب i. يمكن أن يكون للوغاريتمات المتضمنة في الصيغة أي أساس (ولكن يجب أن يكون لكل من اللوغاريتمين نفس الأساس). على وجه الخصوص ، يمكنك استخدام اللوغاريتمات الطبيعية أو العشرية.
لنفترض الآن أن فترة الاستحقاق مقسمة إلى م فترات زمنية متساوية وأن الحسابات تتم بالمعدل المعاد حسابه لهذه الفترات. على سبيل المثال ، من المستوطنات بمعدل سنوي اسمي ، تحولوا إلى المستوطنات بمعدل شهري. كما نعلم ، يتم استخدام المعدلات النسبية الشهرية والمتوازنة.
يتم تحديد قيمة المعدل المتوازن i لفترة زمنية تساوي 1 / م من فترة الاستحقاق بالمعدل i بواسطة الصيغة
نمو مبلغ المال بمرور الوقت t بالسعر الذي سأستمر فيه وفقًا للصيغة
عند الحساب على أساس قوة النمو ، يتم استخدام الصيغة
أخذ اللوغاريتم الطبيعي (الأساس ه) من كلا الجزأين من الصيغة بعد التحولات البسيطة نحصل على:
ترتبط قوة النمو (معدل الفائدة المستمر) α وسعر الفائدة الأولي i من خلال العلاقة
وبالتالي ، فإن مدة المصطلح ، المحسوبة بمعدل الفائدة المستمرة ، تتزامن مع المدة ، محسوبة بسعر الفائدة الأصلي:
وفقًا لصيغة الخصم بسعر خصم معقد ، لدينا:
بعد التحولات البسيطة لهذه الصيغة ، نحصل على:
تسمح لك هذه الصيغة بحساب فترة الخصم للمبلغ النهائي S والمبلغ المحاسبي P ومعدل الخصم د. كما في حالة الفائدة المركبة ، يمكن أخذ اللوغاريتمات في العمليات الحسابية في أي قاعدة (نفس الشيء في البسط والمقام في الكسر).
ضع في اعتبارك حالة يتم فيها تقسيم فترة حساب معدل الخصم إلى م فترات متساوية الطول (على سبيل المثال ، يتم تقسيم السنة إلى أشهر). في هذه الحالة ، جنبًا إلى جنب مع معدل الخصم الأولي d ، يتم استخدام معدلات الخصم المتوازنة والنسبية d ، والتي تعتبر فترات الاستحقاق الصغيرة المتساوية لها فترات استحقاق.
يتم تحديد قيمة معدل الخصم المتوازن d للفترة الزمنية التي تعد جزءًا من فترة الاستحقاق بالمعدل d بواسطة الصيغة
يتم حساب خصم مبلغ المال للوقت t بسعر الخصم d بواسطة الصيغة
من هنا نحصل على:
ترتبط معدلات الخصم د و د بالعلاقة
لقد وجدنا أن حساب فترة الخصم t بسعر الخصم الأصلي d وبمعدل الخصم المتوازن d يعطي نفس النتيجة.
هذا ليس هو الحال بالنسبة للمعدل النسبي. يتم حساب المعدل النسبي باستخدام الصيغة
يتم تحديد خصم مبلغ المال بمرور الوقت t وفقًا لمعدل الخصم النسبي d بواسطة الصيغة
من هنا نحصل على:
مع زيادة عدد الفترات m ، ينخفض معدل الخصم بمعدل الخصم النسبي ، وتزداد فترة الخصم. مع زيادة m ، تتباعد هذه الفترة أكثر فأكثر عن الفترة المحسوبة بالمعدل الأولي والمتوازن.
في العمليات الحسابية على أساس قوة الخصم ، يتم استخدام الصيغة
من هذه الصيغة نحصل على:
بما أن قوة الخصم وسعر الخصم d مرتبطان بالنسب
ثم المدة المحسوبة على أساس قوة الخصم والمدة المحسوبة على أساس معدل الخصم هي نفسها. حقًا،
من صيغة الفائدة المركبة
يتبع ذلك
تسمح لك الصيغة الأخيرة بتحديد المبلغ المطلوب لسعر الفائدة i من خلال حجم المبلغ الأولي Р والمبلغ النهائي S ووقت الارتفاع t.
افترض أن فترة الاستحقاق مقسمة إلى م فترات متساوية. تتوافق هذه الفواصل الزمنية مع قيمتها الخاصة بمعدل الفائدة i.
يمكن حساب قيمة i بطريقتين مختلفتين. الطريقة الأولى هي العثور على i بناءً على السعر الذي تم استلامه بالفعل. ستعتمد النتيجة هنا على ما إذا كان هذا المعدل متوازنًا أم نسبيًا. للحصول على معدل متوازن ، يجب إجراء الحساب وفقًا للصيغة
من هنا ، باستخدام الصيغة التي تم الحصول عليها بالفعل لـ i ، يمكننا اشتقاق الصيغة التالية:
بالنسبة للمعدل النسبي ، يجب إجراء الحساب وفقًا للصيغة
الطريقة الثانية هي إيجاد قيمة المعدل i مباشرة ، دون اللجوء إلى المعدل i ، وعندها فقط تحديد المعدل i منه. .
معادلة الفائدة المركبة ، معبرًا عنها من حيث معدل i ، هي:
إذا تم اعتبار المعدل i معدلًا متوازنًا ، فيمكن للمرء من الصيغة الأخيرة الحصول على:
وبالتالي ، لحساب المعدل i ، نحصل على الصيغة السابقة. للحصول على معدل متوازن ، فإن نتائج الحسابات للطريقتين الأولى والثانية هي نفسها.
إذا كان المعدل i يعتبر معدلًا نسبيًا ، فمن الصيغة لحسابه نحصل على:
تنحرف هذه الصيغة عن الصيغة الأصلية للمعدل i وتعطي نتيجة مختلفة.
وبالتالي ، بالنسبة للمعدل النسبي ، فإن طريقة حسابه مهمة.
فكر الآن في الحساب المستمر للفائدة بناءً على قوة النمو. في هذه الحالة ، صيغة النمو لها الشكل
من هنا نحصل على صيغة الحساب لتحديد قوة النمو (معدل الفائدة المستمر):
وفقًا لصيغة الخصم ،
ومن ثم يتبع ذلك
تسمح لك هذه الصيغة بحساب قيمة معدل الخصم d للمبلغ النهائي S والمبلغ في وقت المحاسبة P وفترة الخصم t.
دع فترة حساب معدل الخصم تقسم إلى م فترات متساوية. دعونا نحدد قيمة المعدل d المقابل لهذه الفترات. كما هو الحال مع سعر الفائدة ، هناك طريقتان للحساب هنا. الطريقة الأولى هي تحديد قيمة معدل الخصم د على أساس السعر الذي تم استلامه بالفعل د.
يجب حساب معدل الخصم المتوازن d في هذه الحالة باستخدام الصيغة
يمكن أن تستمر هذه المساواة:
مما يجعل من الممكن حساب قيمة المعدل d مباشرة من خلال البيانات الأولية.
بالنسبة لمعدل الخصم النسبي ، يتم إجراء الحساب وفقًا للصيغة
الطريقة الثانية تعتمد على إيجاد المعدل d دون اللجوء إلى المعدل d. يمكن بعد ذلك حساب المعدل d من المعدل d.
صيغة الخصم بسعر الخصم د هي
وهكذا ، حصلنا مرة أخرى على نفس الصيغة التي تم اشتقاقها للمعدل المتوازن. لذلك ، بالنسبة لمعدل متوازن ، تعطي كلتا طريقتين الحساب نفس النتائج ، لكل من d و d.
بالنسبة للمعدل النسبي ، فإن الوضع مختلف. دعونا نحدد المعدل d و d:
تختلف هذه الصيغة وصيغة الحساب المباشر للمعدل d المعطى في بداية هذه الفقرة عن بعضهما البعض وتؤدي إلى نتائج مختلفة.
وبالتالي ، بالنسبة لمعدل الخصم النسبي ، وكذلك بالنسبة لمعدل الفائدة النسبي ، فإن طريقة حسابه مهمة.
دعنا ننتقل إلى التفكير في الخصم المستمر. الصيغة التي تستخدم قوة الخصم هي
من هنا ، يمكن حساب قوة الخصم (معدل المحاسبة المستمر) باستخدام الصيغة
بسبب ال ص < س، إذن يكون التعبير اللوغاريتمي الفرعي أقل من 1 ، واللوغاريتم نفسه سلبي ، ومع مراعاة علامة الطرح ، يكون بسط الكسر موجبًا. وبالتالي ، فإن قيمة معدل الخصم المستمر موجبة.
يتم تحديد النمو بمعدل فائدة بسيط من خلال دالة خطية أو تقدم حسابي. يتم تحديد النمو بمعدل فائدة مركب من خلال دالة أسية (أسية) ، أو تقدم هندسي.
وبالتالي ، فإن معدل الفائدة المركب لفترات طويلة من الوقت يكون مربحًا للمستثمر أكثر من المستثمر البسيط ، ومع زيادة مدة الإيداع ، تزداد الربحية.
تذكر الصيغ الأساسية للنمو والخصم بالمعدلات المركبة.
يتم تحديد النمو بمعدل فائدة مركب بواسطة الصيغة
يتم تحديد الخصم بسعر فائدة مركب بواسطة الصيغة
يتم تحديد الخصم بسعر الخصم المركب بواسطة الصيغة
صيغة النمو على أساس قوى النمو:
صيغة الخصم على أساس قوى الخصم:
