Danes bomo govorili o logaritemske formule in dajte okvirno primeri rešitev.
Sami po sebi pomenijo odločitvene predloge glede na osnovne lastnosti logaritmov. Preden uporabite formule logaritmov za rešitev, vas spomnimo, najprej vse lastnosti:
Zdaj na podlagi teh formul (lastnosti) pokažemo primeri reševanja logaritmov.
Logaritem pozitivno število b v bazi a (označeno z log a b) je eksponent, na katerega je treba dvigniti a, da dobimo b, medtem ko je b> 0, a> 0 in 1.
Po definiciji log a b = x, kar je enakovredno a x = b, torej log a a x = x.
Logaritmi, primeri:
log 2 8 = 3, ker 2 3 = 8
log 7 49 = 2, ker 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, ker 5 -1 = 1/5
Decimalni logaritem je običajni logaritem, katerega osnova je 10. Označena je kot lg.
log 10 100 = 2, ker 10 2 = 100
Naravni logaritem- tudi običajni logaritem je logaritem, vendar z osnovo e (e = 2,71828 ... je iracionalno število). Označena je kot ln.
Priporočljivo je, da si zapomnimo formule oziroma lastnosti logaritmov, saj jih bomo v prihodnosti potrebovali pri reševanju logaritmov, logaritemskih enačb in neenakosti. Poskusimo vsako formulo še enkrat s primeri.
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4
9 log 5 50/9 log 5 2 = 9 log 5 50-log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Eksponent logaritma števila log a b m = mlog a b
Eksponent osnove logaritma log a n b = 1 / n * log a b
log a n b m = m / n * log a b,
če je m = n, dobimo log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
če je c = b, dobimo log b b = 1
potem log a b = 1 / log b a
log 0,8 3 * log 3 1,25 = log 0,8 3 * log 0,8 1,25 / log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Kot lahko vidite, formule za logaritme niso tako zapletene, kot se zdijo. Zdaj, ko smo obravnavali primere reševanja logaritmov, lahko preidemo na logaritemske enačbe. Primere reševanja logaritemskih enačb bomo podrobneje obravnavali v članku: "". Ne spreglejte!
Če imate še vedno vprašanja o rešitvi, jih zapišite v komentarje k članku.
Opomba: odločili smo se za izobraževanje v drugem razredu, študij v tujini kot možnost za razvoj dogodkov.
Podane so osnovne lastnosti naravnega logaritma, graf, domena definicije, niz vrednosti, osnovne formule, izvod, integral, razširitev potenčnih vrst in predstavitev funkcije ln x s pomočjo kompleksnih števil.
Naravni logaritem je funkcija y = ln x inverzno eksponentu, x = e y, in je osnovni logaritem od e: ln x = log e x.
Naravni logaritem se pogosto uporablja v matematiki, saj ima njegov izvod najpreprostejšo obliko: (ln x) ′ = 1 / x.
Temelji definicije, osnova naravnega logaritma je število e:
e ≅ 2,718281828459045 ...;
.
Funkcijski graf y = ln x.
Graf naravnega logaritma (funkcije y = ln x) dobimo iz eksponentnega grafa tako, da ga zrcalimo glede na premico y = x.
Naravni logaritem je definiran pri pozitivne vrednosti spremenljivka x. Na svoji domeni definicije se monotono povečuje.
Kot x → 0 meja naravnega logaritma je minus neskončnost (- ∞).
Ker je x → + ∞, je meja naravnega logaritma plus neskončnost (+ ∞). Pri velikem x logaritem raste precej počasi. Vsaka stopenjska funkcija x a s pozitivnim eksponentom a raste hitreje kot logaritem.
Naravni logaritem je monotono naraščajoča funkcija, zato nima ekstremov. Glavne lastnosti naravnega logaritma so predstavljene v tabeli.
ln 1 = 0
Formule, ki izhajajo iz definicije inverzne funkcije:
Vsak logaritem je mogoče izraziti z naravnimi logaritmi z uporabo formule za spremembo osnove:
Dokazi teh formul so predstavljeni v razdelku "Logaritm".
Inverzna vrednost naravnega logaritma je eksponent.
Če, potem
Če, potem.
Izpeljanka naravnega logaritma:
.
Izvod naravnega logaritma modula x:
.
Izpeljanka n-toga reda:
.
Izpeljava formul>>>
Integral se izračuna z integracijo po delih:
.
torej
Razmislite o funkciji kompleksne spremenljivke z:
.
Izrazimo kompleksno spremenljivko z preko modula r in argument φ
:
.
Z uporabo lastnosti logaritma imamo:
.
ali
.
Argument φ ni enolično definiran. Če damo
, kjer je n celo število,
bo isto število za različne n.
Zato naravni logaritem kot funkcija kompleksne spremenljivke ni nedvoumna funkcija.
Pri razgradnji poteka:
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik za matematiko za inženirje in študente tehničnih ustanov, "Lan", 2009.
Ko se je družba razvijala in proizvodnja postajala vse bolj kompleksna, se je razvijala tudi matematika. Premik od preprostega k zapletenemu. Od redno računovodstvo z metodo seštevanja in odštevanja so s svojim večkratnim ponavljanjem prišli do pojma množenja in deljenja. Zmanjševanje ponavljajoče se operacije množenja je postalo koncept stopnjevanja. Prve tabele odvisnosti števil od osnove in števila dvigov na potenco je sestavil že v 8. stoletju indijski matematik Varasen. Iz njih lahko preštejete čas nastanka logaritmov.
Preporod Evrope v 16. stoletju je spodbudil tudi razvoj mehanike. T zahteval veliko količino računanja v zvezi z množenjem in deljenjem večmestnih števil. Upodobljene starodavne mize odlična storitev... Omogočili so zamenjavo zapletenih operacij s preprostejšimi - seštevanjem in odštevanjem. Velik korak naprej je bilo delo matematika Michaela Stiefela, objavljeno leta 1544, v katerem je uresničil zamisel mnogih matematikov. To je omogočilo uporabo tabel ne samo za stopnje v obrazcu praštevila, ampak tudi za poljubne racionalne.
Leta 1614 je te ideje prvič predstavil Škot John Napier, ki je razvil te ideje nov izraz"Logaritem števila". Sestavljene so bile nove kompleksne tabele za izračun logaritmov sinusov in kosinusov ter tangent. To je močno zmanjšalo delo astronomov.
Začele so se pojavljati nove tabele, ki so jih znanstveniki vseskozi uspešno uporabljali tri stoletja... Prej je trajalo veliko časa novo operacijo v algebri je dobil svojo končno obliko. Podana je bila definicija logaritma in preučene njegove lastnosti.
Šele v 20. stoletju, s prihodom kalkulatorja in računalnika, je človeštvo opustilo starodavne mize, ki so uspešno delovale v 13. stoletju.
Danes osnovo imenujemo logaritem števila x, ki je potenca a, da nastane število b. To je zapisano v obliki formule: x = log a (b).
Na primer, log 3 (9) bo 2. To je očitno, če sledite definiciji. Če 3 dvignemo na potenco 2, dobimo 9.
Torej, oblikovana definicija postavlja samo eno omejitev, številki a in b morata biti realni.
Klasična definicija se imenuje realni logaritem in je pravzaprav rešitev enačbe a x = b. Možnost a = 1 je mejna in je ne zanima. Opomba: 1 je enako 1 v kateri koli stopnji.
Realna vrednost logaritma definirano samo, če sta osnova in argument večja od 0, osnova pa ne sme biti enaka 1.
Posebno mesto na področju matematike igrajte logaritme, ki bodo poimenovani glede na velikost njihove osnove:
Osnovna lastnost logaritmov je pravilo: logaritem produkta je enak logaritemski vsoti. log abp = log a (b) + log a (p).
Kot različica te izjave bo: log c (b / p) = log c (b) - log c (p), je kvocientna funkcija enaka razliki funkcij.
Iz prejšnjih dveh pravil je enostavno razbrati, da: log a (b p) = p * log a (b).
Druge lastnosti vključujejo:
Komentar. Ne delajte pogoste napake – logaritem vsote ni enak vsoti logaritmov.
Dolga stoletja je bila operacija iskanja logaritma precej naporna naloga. Uporabili so matematike znana formula teorija razgradnje logaritmičnih polinomov:
ln (1 + x) = x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 +… + ((-1) ^ (n + 1)) * (( x ^ n) / n), kjer je n - naravno število večja od 1, kar določa natančnost izračuna.
Logaritme z drugimi osnovami smo izračunali z uporabo izreka o prehodu iz ene baze v drugo in lastnosti logaritma produkta.
Ker je ta metoda zelo zamudna in pri odločanju praktične naloge težko izvedljivo, potem smo uporabili vnaprej sestavljene tabele logaritmov, kar je močno pospešilo celotno delo.
V nekaterih primerih so bili uporabljeni posebej sestavljeni grafi logaritmov, ki so dali manjšo natančnost, a bistveno pospešili iskanje. želeno vrednost... Krivulja funkcije y = log a (x), zgrajena na več točkah, omogoča uporabo običajnega ravnila za iskanje vrednosti funkcije na kateri koli drugi točki. Inženirji dolgo časa za te namene je bil uporabljen tako imenovani grafični papir.
V 17. stoletju so se pojavili prvi pomožni analogni računski pogoji, ki so jih XIX stoletje pridobil dodelan videz. Najuspešnejša naprava se imenuje drsno pravilo. Z vso preprostostjo naprave je njen videz bistveno pospešil proces vseh inženirskih izračunov in to je težko preceniti. Dandanes je malo ljudi že seznanjeno s to napravo.
Pojav kalkulatorjev in računalnikov je onemogočil uporabo katere koli druge naprave.
Za reševanje različnih enačb in neenakosti z uporabo logaritmov se uporabljajo naslednje formule:
Za reševanje neenakosti je koristno vedeti:
Razmislimo o več možnostih za uporabo logaritmov in njihovih lastnosti. Primeri reševanja enačb:
Razmislite o možnosti postavitve logaritma na moč:
Ker je zgolj matematično orodje, se zdi daleč od tega resnično življenje ki ga je logaritem nenadoma pridobil velik pomen za opis predmetov resnični svet... Težko je najti znanost, kjer se ne uporablja. To v celoti ne velja le za naravoslovna, ampak tudi humanitarna področja znanja.
Tukaj je nekaj primerov številčnih odvisnosti:
Zgodovinsko gledano sta se mehanika in fizika vedno razvijali z uporabo matematične metode raziskav in hkrati služil kot spodbuda za razvoj matematike, tudi logaritmov. Teorija večine zakonov fizike je napisana v jeziku matematike. Tukaj sta le dva primera opisa fizikalni zakoni z uporabo logaritma.
Računski problem rešite na naslednji način kompleksna vrednost kakšna je lahko hitrost rakete z uporabo formule Tsiolkovskega, ki je postavila temelje za teorijo raziskovanja vesolja:
V = I * ln (M1 / M2), kjer
drugega pomemben primer je uporaba v formuli drugega velikega znanstvenika Maxa Plancka, ki služi vrednotenju stanje ravnotežja v termodinamiki.
S = k * ln (Ω), kjer je
Manj očitna bi bila uporaba formul v kemiji, ki vsebujejo razmerje logaritmov. Navedli bomo tudi samo dva primera:
In povsem nerazumljivo je, kaj ima psihologija s tem. Izkazalo se je, da ta funkcija dobro opisuje moč občutka kot inverzno razmerje med vrednostjo intenzivnosti dražljaja in nižjo vrednostjo intenzivnosti.
Po zgornjih primerih ni več presenetljivo, da se tema logaritmov pogosto uporablja v biologiji. O bioloških oblikah, ki ustrezajo logaritemskim spiralam, je mogoče napisati zvezke.
Zdi se, da je obstoj sveta nemogoč brez povezave s to funkcijo in vlada vsem zakonom. Še posebej, če so zakoni narave povezani z geometrijsko progresijo. Vredno se je obrniti na spletno stran MatProfi, takih primerov pa je veliko na naslednjih področjih dejavnosti:
Seznam je lahko neskončen. Ko obvladate osnovne zakone te funkcije, se lahko potopite v svet neskončne modrosti.
(iz grškega λόγος - "beseda", "razmerje" in ἀριθμός - "število") števila b z razlogom a(log α b) se imenuje takšno število c, in b= a c, to je log α b=c in b = ac so enakovredni. Logaritem je smiseln, če je a> 0 in ≠ 1, b> 0.
Z drugimi besedami logaritemštevilke b z razlogom a je formuliran kot indikator stopnje, do katere je treba število dvigniti a da dobim številko b(Logaritem imajo samo pozitivna števila).
Ta formulacija pomeni, da je izračun x = log α b, je enakovredna reševanju enačbe a x = b.
Na primer:
log 2 8 = 3, ker je 8 = 2 3.
Poudarjamo, da navedena formulacija logaritma omogoča takojšnjo določitev logaritemska vrednost, ko je število pod znakom logaritma neka stopnja osnove. In v resnici formulacija logaritma omogoča dokazovanje, da če b = a c, nato logaritem števila b z razlogom a je enako z... Jasno je tudi, da je tema logaritma tesno povezana s temo stopnja števila.
Izračun logaritma se imenuje tako da vzamemo logaritem... Logaritem je matematična operacija vzamemo logaritem. Ko vzamemo logaritem, se produkti faktorjev pretvorijo v vsote členov.
Potenciranje je matematična operacija inverzna logaritmu. Pri potenciranju se podana osnova dvigne na moč izraza, nad katerim se potenciranje izvede. V tem primeru se vsote članov pretvorijo v zmnožek faktorjev.
Prav pogosto se uporabljajo realni logaritmi z osnovami 2 (binarni), e Eulerjevim številom e ≈ 2,718 (naravni logaritem) in 10 (decimalno).
Vklopljeno tej fazi priporočljivo je razmisliti vzorci logaritmov dnevnik 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.
In vnosi lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nimajo smisla, saj je v prvem pod znakom logaritma postavljeno negativno število, v drugem pa negativno število pri osnovo, v tretjem pa negativno število pod znakom logaritma in eno na dnu.
Ločeno je vredno razmisliti o pogojih a> 0, a ≠ 1, b> 0, pod katerimi definicija logaritma. Razmislimo, zakaj so te omejitve sprejete. Enakost v obliki x = log α b, ki se imenuje osnovna logaritemska identiteta, ki neposredno izhaja iz zgoraj navedene definicije logaritma.
Vzemimo pogoj a ≠ 1... Ker je ena enaka eni na kateri koli stopnji, je enakost x = log α b lahko obstaja le takrat b = 1 vendar bo dnevnik 1 1 poljubno realno število. Za odpravo te dvoumnosti vzamemo a ≠ 1.
Dokažimo nujnost pogoja a> 0... Ob a = 0 glede na formulacijo logaritma lahko obstaja samo za b = 0... In temu primerno potem dnevnik 0 0 je lahko katero koli realno število, ki ni nič, saj je nič v kateri koli stopnji, ki ni nič, nič. Za izključitev te dvoumnosti je podano pogoj a ≠ 0... In kdaj a<0 analizo racionalnih in iracionalnih vrednosti logaritma bi morali zavrniti, saj je stopnja z racionalnim in iracionalnim eksponentom definirana le za nenegativne razloge. Zaradi tega je pogoj določen a> 0.
IN zadnji pogoj b> 0 izhaja iz neenakosti a> 0 ker je x = log α b in vrednost stopnje s pozitivno bazo a vedno pozitiven.
Logaritmi za katerega je značilna značilna Lastnosti, kar je privedlo do njihove široke uporabe za znatno olajšanje mukotrpnih izračunov. Pri prehodu "v svet logaritmov" se množenje pretvori v veliko lažje seštevanje, deljenje v odštevanje, stopnjevanje in izločanje korena pa v množenje in deljenje z eksponentom.
Formulacijo logaritmov in tabelo njihovih vrednosti (za trigonometrične funkcije) je leta 1614 prvič objavil škotski matematik John Napier. Logaritemske tabele, ki so jih povečali in podrobno obdelali drugi znanstveniki, so se pogosto uporabljale v znanstvenih in inženirskih izračunih in so ostale pomembne, dokler niso bile uporabljene. elektronski kalkulatorji in računalniki.
274. Opombe.
a)Če izraz, ki ga želite oceniti, vsebuje vsota oz Razlikaštevila, potem jih je treba poiskati brez pomoči tabel z navadnim seštevanjem ali odštevanjem. Na primer:
log (35 + 7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.
b)Če znamo logaritem izraze, lahko, nasprotno, z ta rezultat vzamemo logaritem, da najdemo izraz, iz katerega smo dobili ta rezultat; torej če
dnevnik NS= dnevnik a+ dnevnik b- 3 dnevnika z,
to je enostavno ugotoviti
v) Preden nadaljujemo z obravnavanjem strukture logaritmičnih tabel, bomo navedli nekatere lastnosti decimalnih logaritmov, t.j. tiste, pri katerih je za osnovo vzeto število 10 (za izračune se uporabljajo samo takšni logaritmi).
Drugo poglavje.
Lastnosti decimalnih logaritmov.
275 . a) Ker je 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10 000 itd., potem je log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4 itd.
pomeni, Logaritem celega števila, ki ga predstavlja ena, ki ji sledijo ničle, je pozitivno celo število, ki vsebuje toliko enic, kolikor je nič na sliki števila.
Takole: dnevnik 100.000 = 5, dnevnik 1000 000 = 6 , itd
b) Ker
log 0,1 = -l; log 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4, itd.
pomeni, logaritem decimalka, ki ga prikazuje enota s predhodnimi ničlami, je negativno celo število, ki vsebuje toliko negativnih enih, kolikor je nič na sliki ulomka, vključno z 0 celimi števili.
Takole: log 0,00001 = - 5, log 0,000001 = -6, itd.
v) Vzemimo na primer celo število, ki ga ne predstavlja ena, ki ji sledijo ničle. 35 ali celo število z ulomkom, na primer. 10.7. Logaritem takšnega števila ne more biti celo število, saj s povišanjem 10 na potenco s celim eksponentom (pozitivnim ali negativnim) dobimo 1, ki ji sledijo ničle (za 1 ali pred njo). Recimo, da je logaritem takšnega števila ulomek a / b ... Potem bi imeli enakosti
Toda te enakosti so nemogoče, kako 10a obstaja 1 z ničlami, medtem ko eksponenti 35b in 10,7b v nobenem primeru b ne more dati 1 z ničlami. To pomeni, da ne smemo dovoliti dnevnik 35 in dnevnik 10.7 bili enaki ulomkom. Toda iz lastnosti logaritemske funkcije vemo (), da ima vsako pozitivno število logaritem; zato ima vsako od številk 35 in 10,7 svoj logaritem, in ker ne more biti celo število ali ulomno število, je iracionalno število in ga zato ni mogoče natančno izraziti s števili. Običajno so iracionalni logaritmi izraženi približno v obliki decimskega ulomka z več decimalnimi mesti. Celotno število tega ulomka (tudi če je "0 cela števila") se imenuje značilnost, a delni del- mantisa logaritma. Če je na primer logaritem 1,5441 , potem je njegova značilnost 1 , in mantisa je 0,5441 .
G) Vzemimo na primer neko celo ali mešano število. 623 oz 623,57 ... Logaritem takega števila je sestavljen iz značilnosti in mantise. Izkazalo se je, da imajo decimalni logaritmi priročnost njihovo značilnost lahko vedno najdemo po eni vrsti števila ... Da bi to naredili, preštejemo, koliko števk je v danem celem številu ali v celotnem delu mešanega števila. V naših primerih teh števk 3 ... Zato vsaka od številk 623 in 623,57 več kot 100, vendar manj kot 1000; zato je logaritem vsakega od njih večji dnevnik 100, torej več 2 ampak manj dnevnik 1000, torej manj 3 (ne pozabite, da ima večje število večji logaritem). zato dnevnik 623 = 2,..., in log 623,57 = 2, ... (pike nadomestijo neznane mantise).
Podobno najdemo:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 dnevnik 56,7 = 1, ... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 dnevnik 8634 = 3, ... |
Recimo, da na splošno v danem celem številu ali v celem delu danega mešanega števila vsebuje m števk. Ker najmanjše celo število vsebuje m števk, obstaja 1 z m - 1 ničle na koncu, nato (kar označuje dano število N) lahko zapišemo neenakosti:
in zato
m - 1 < log N < m ,
log N = ( m- 1) + pozitiven ulomek.
Zato značilnost logN = m - 1 .
Na ta način vidimo, da značilnost logaritma celega ali mešanega števila vsebuje toliko pozitivnih, kolikor je števk v celotnem delu števila brez enega.
Ko smo to opazili, lahko neposredno zapišemo:
log 7,205 = 0, ...; log 83 = 1, ...; log 720,4 = 2, ... itd.
e) Vzemimo nekaj decimalnih ulomkov manj kot 1 (tj. imeti 0 cela): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, itd.
Tako je vsak od teh logaritmov zaprt med dvema negativnima celima številkama, ki se razlikujeta za eno enoto; zato je vsako od njih enako manjšemu od teh negativnih števil, povečano za neki pozitivni ulomek. na primer log0,0056 = -3 + pozitivno... Recimo, da je ta ulomek 0,7482. Potem to pomeni:
log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).
Zneski kot npr - 3 + 0,7482 , sestavljen iz negativnega celega števila in pozitivnega decimskega ulomka, so se dogovorili, da bodo v logaritemskih izračunih zapisali v skrajšani obliki, kot sledi: 3 ,7482 (Takšno število se bere: 3 z minusom, 7482 deset tisočakov.), torej nad lastnostjo postavijo znak minus, da pokažejo, da se nanaša samo na to lastnost, ne pa na mantiso, ki ostane pozitivna. Tako je iz zgornje tabele razvidno, da
log 0,35 == 1, ....; log 0,07 = 2, ....; log 0,0008 = 4, ....
Tudi če 
... pred prvo pomembno številko je decimalni ulomek α
stroški m
ničle, vključno z 0 celimi števili. Potem je očitno, da
- m < log A < - (m- 1).
Ker iz dveh celih števil: - m in - (m- 1) manj je - m , potem
log А = - m+ pozitiven ulomek,
in zato značilnost log А = - m (s pozitivno mantiso).
tako, značilnost logaritma decimskega ulomka, manjša od 1, vsebuje toliko negativnih enot, kolikor je nič na sliki decimskega ulomka pred prvo pomembno števko, vključno z ničelnimi celimi števili; mantisa takega logaritma je pozitivna.
e) Pomnožimo neko število N(celo ali delno - vse je enako) za 10, za 100 za 1000 ..., običajno za 1 z ničlami. Poglejmo, kako se spreminja dnevnik N... Ker je logaritem produkta enak vsoti logaritmov faktorjev, potem
log (N 10) = log N + log 10 = log N + 1;
log (N 100) = log N + log 100 = log N + 2;
log (N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; itd.
Kdaj naj dnevnik N dodamo neko celo število, potem lahko to število vedno dodamo karakteristiki in ne mantisi.
Torej, če je log N = 2,7804, potem je 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 itd.;
ali če je log N = 3,5649, potem 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649 itd.
Od množenja števila z 10, 100, 1000, .., običajno z 1 z ničlami, se mantisa logaritma ne spremeni, značilnost pa se poveča za toliko enot, kolikor je nič v faktorju .
Podobno, če upoštevamo, da je logaritem količnika enak logaritmu dividende brez logaritma delitelja, dobimo:
log N / 10 = log N-log 10 = log N -1;
log N / 100 = log N-log 100 = log N -2;
log N / 1000 = log N-log 1000 = log N -3; itd.
Če se strinjamo, da odštejemo to celotno število od karakteristike, ko odštejemo celo število od logaritma, in pustimo mantiso nespremenjeno, lahko rečemo:
Od deljenja števila z 1 z ničlami se mantisa logaritma ne spremeni, značilnost pa se zmanjša za toliko enot, kolikor je nič v delilniku.
276. Posledice. Iz nepremičnine ( e), lahko izpeljemo naslednji dve posledici:
a) Mantisa logaritma decimskega števila se ne spremeni od decimalne vejice , ker je vejica enakovredna množenju ali deljenju z 10, 100, 1000 itd. Tako so logaritmi števil:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
razlikujejo le po značilnostih, ne pa tudi po mantisah (pod pogojem, da so vse mantise pozitivne).
b) Mantisa števil, ki imajo enako pomemben del, vendar se razlikujejo le v ničlah na koncu, so enaki: tako se logaritmi števil: 23, 230, 2300, 23.000 razlikujejo le po značilnostih.
Komentar. Iz navedenih lastnosti decimalnih logaritmov je razvidno, da lahko najdemo karakteristiko logaritma celega števila in decimskega ulomka brez pomoči tabel (to je velika priročnost decimalnih logaritmov); posledično je v logaritemske tabele postavljena samo ena mantisa; poleg tega, ker je iskanje logaritmov ulomkov reducirano na iskanje logaritmov celih števil (logaritem ulomka = logaritem števca brez logaritma imenovalca), tabele vsebujejo mantiso logaritma samo celih števil.
Tretje poglavje.
Naprava in uporaba štirimestne tabele.
277. Sistemi logaritmov. Sistem logaritmov je niz logaritmov, izračunanih za niz zaporednih celih števil v isti bazi. Uporabljata se dva sistema: sistem navadnih ali decimalnih logaritmov, pri katerem se za osnovo vzame število 10 , in sistem tako imenovanih naravnih logaritmov, v katerem je iracionalno število 2,7182818 ... Za izračune se uporabljajo decimalni logaritmi, zaradi priročnosti, ki smo jo navedli, ko smo naštevali lastnosti takšnih logaritmov.
Naravni logaritmi se imenujejo tudi Napierovi po izumitelju logaritmov, škotskem matematiku. Napier(1550-1617) in decimalni logaritmi - Briggsa po imenu prof. Brigga(Napierjev sodobnik in prijatelj), ki je prvi sestavil tabele teh logaritmov.
278. Transformacija negativnega logaritma v takega, pri katerem je mantisa pozitivna, in inverzna transformacija. Videli smo, da so logaritmi števil, manjših od 1, negativni. To pomeni, da so sestavljeni iz negativne lastnosti in negativne mantise. Takšne logaritme je mogoče vedno preoblikovati tako, da je njihova mantisa pozitivna, lastnost pa ostane negativna. Če želite to narediti, je dovolj, da mantisi dodate pozitivno enoto, lastnosti pa negativno (kar seveda ne bo spremenilo vrednosti logaritma).
Če imamo na primer logaritem - 2,0873 , potem lahko napišeš:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
ali skrajšano:
Nasprotno pa je mogoče kateri koli logaritem z negativno karakteristiko in pozitivno mantiso spremeniti v negativno. Če želite to narediti, je dovolj, da negativno enoto pritrdite na pozitivno mantiso, pozitivno pa na negativno lastnost: torej lahko napišete:
279. Opis štirimestne tabele. Za rešitev večine praktičnih problemov zadostujejo štirimestne tabele, katerih rokovanje je zelo preprosto. Te tabele (z napisom na vrhu njihovih "logaritmov") so nameščene na koncu te knjige, manjši del (za razlago lokacije) pa je natisnjen na tej strani.
Logaritmi.
logaritmi vseh celih števil iz 1 prej 9999 vključno, izračunano s štirimi decimalnimi mesti, pri čemer se zadnja od teh števk poveča za 1 v vseh primerih, ko bi moralo biti 5. decimalno mesto 5 ali več kot 5; zato 4-mestne tabele dajejo približne mantise s točnostjo 1 / 2 desettisoči del (s pomanjkanjem ali s presežkom).
Ker lahko značilnosti logaritma celega števila ali decimskega ulomka na podlagi lastnosti decimalnih logaritmov neposredno zapišemo, potem moramo iz tabel vzeti samo mantise; ne smemo pozabiti, da položaj vejice v decimalnem številu, kot tudi število ničel na koncu števila, ne vplivata na vrednost mantise. Zato pri iskanju mantise po dano številko zavržemo vejico v tem številu, pa tudi ničle na njegovem koncu, če obstajajo, in poiščemo mantiso nastalega celega števila. V tem primeru se lahko pojavijo naslednji primeri.
1) Celo število je sestavljeno iz 3 števk. Na primer, naj je treba najti mantiso logaritma števila 536. Prvi dve števki tega števila, to je 53, najdemo v tabelah v prvem navpičnem stolpcu na levi (glej tabelo) . Ko najdemo številko 53, se od nje premaknemo vzdolž vodoravne črte v desno do presečišča te črte z navpičnim stolpcem, ki poteka skozi stolpec številk 0, 1, 2, 3, ... 9, postavljen na vrhu (in dno) tabele, ki je 3-ta številka tega števila, to je v našem primeru številka 6. Na presečišču dobimo mantiso 7292 (to je 0,7292), ki pripada logaritmu število 536. Podobno za število 508 najdemo mantiso 0,7059, za število 500 0,6990 itd.
2) Celo število je sestavljeno iz 2 ali 1 števka. Nato miselno temu številu dodelimo eno ali dve ničli in poiščemo mantiso za tako oblikovano trimestno število. Številu 51 na primer dodelimo eno ničlo, iz katere dobimo 510 in najdemo mantiso 7070; številki 5 pripišemo 2 ničli in najdemo mantiso 6990 itd.
3) Celo število je izraženo v 4 števkah. Na primer, treba je najti dnevnik mantis 5436. Nato v tabelah najprej najdemo, kot je bilo že navedeno, mantiso za število, ki ga predstavljajo prve 3 števke danega števila, torej za 543 (to mantisa bo 7348); nato se premaknemo od najdene mantise vzdolž vodoravne črte v desno (na desno stran tabele, ki se nahaja za krepko navpično črto) do presečišča z navpičnim stolpcem, ki poteka skozi eno od številk: 1, 2 3, . .. 9, ki stoji na vrhu (in na dnu) tega dela tabele, ki je 4. številka danega števila, to je v našem primeru številka 6. V presečišču najdemo popravek ( številka 5), ki jo je treba v mislih uporabiti za mantiso 7348, da dobimo mantiso števila 5436; tako dobimo mantiso 0,7353.
4) Celo število je izraženo s 5 ali več števkami. Nato zavržemo vse številke, razen prvih 4, in vzamemo približno štirimestno število in zadnja številka to število se v tem poveča za 1. primer, ko je zavržena 5. številka števila 5 ali več kot 5. Torej, namesto 57842 vzamemo 5784, namesto 30257 vzamemo 3026, namesto 583263 vzamemo 5833 itd itd. Za to zaokroženo štirimestno število poiščite mantiso, kot je pravkar razloženo.
Na podlagi teh smernic bomo našli na primer logaritme naslednjih števil:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
Najprej, ne da bi se še sklicevali na tabele, bomo zapisali nekaj značilnosti in pustili prostor za mantiso, ki jo bomo zapisali po:
log 36,5 = 1, .... log 0,00345 = 3, ....
log 804,7 = 2, .... log 7,2634 = 0, ....
log 0,26 = 1, .... log 3456,86 = 3, ....
log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;
log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;
log 0,26 = 1,4150; log 3456,86 = 3,5387.
280. Opomba... V nekaterih štirimestnih tabelah (na primer v tabelah V. Lorchenko in N. Ogloblina, S. Glazenapa, N. Kamenshchikova) popravki za 4. številko te številke se ne dajo. Ko delate s takšnimi tabelami, morate te popravke poiskati s pomočjo preprost izračun, kar je mogoče izvesti na podlagi naslednje resnice: če številke presegajo 100 in je razlika med njima manjša od 1, potem brez občutljive napake lahko domnevamo, da razlike med logaritmi so sorazmerne z razlikami med ustreznimi števili ... Recimo, da je treba na primer najti mantiso, ki ustreza številu 5367. Ta mantisa je seveda enaka kot pri številu 536,7. V tabelah za število 536 najdemo mantiso 7292. Če primerjamo to mantiso s sosednjo mantiso 7300, ki ustreza številu 537, opazimo, da če se število 536 poveča za 1, se bo njena mantisa povečala za 8 desettisočink ( 8 je tako imenovana tabela razlika med dvema sosednjima mantisama); če se število 536 poveča za 0,7, se bo njegova mantisa povečala ne za 8 desettisočink, ampak za kakšno manjše število NS deset tisočink, ki morajo glede na priznano sorazmernost izpolnjevati razmerja:
NS : 8 = 0,7 : 1; kje NS = 8 07 = 5,6,
zaokrožimo na 6 deset tisočakov. To pomeni, da bo mantisa za število 536,7 (in torej za število 5367): 7292 + 6 = 7298.
Upoštevajte, da se iskanje vmesnega števila po dveh sosednjih številkah v tabelah imenuje interpolacija. Interpolacija, opisana tukaj, se imenuje sorazmerna, saj temelji na predpostavki, da je sprememba logaritma sorazmerna s spremembo števila. Imenuje se tudi linearna, saj predpostavlja, da je grafično sprememba logaritemske funkcije izražena kot ravna črta.
281. Meja napake približnega logaritma.Če je število, za katerega se išče logaritem, natančno število, potem je izven meje napake njegovega logaritma, ki ga najdemo v 4-mestni tabeli, mogoče, kot smo rekli, vzeti 1 / 2 deset tisočin del. Če podana številka ni natančna, je treba tej meji napake dodati mejo druge napake, ki izhaja iz netočnosti samega števila. Dokazano je (ta dokaz izpustimo), da je za takšno mejo mogoče vzeti izdelek
a(d +1) deset tisoč.,
v katerem a je meja napake najbolj nenatančnega števila ob predpostavki, da njen celo število vsebuje 3 števke, a d tabelarična razlika mantise, ki ustreza dvema zaporednima trimestnima številkama, med katerima je obdano dano nenatančno število. Tako bo meja končne napake logaritma izražena s formulo:
1 / 2 + a(d +1) deset tisočakov
Primer... Poiščite dnevnik π jemanje za π približno 3,14, natančno do 1 / 2 stoti.
Če premaknemo decimalno vejico za 3. številko v številu 3,14, štetje od leve, dobimo trimestno število 314, natančno na 1 / 2 enote; pomeni, da je meja napake za nenatančno številko, torej tisto, kar smo označili s črko a , če 1 / 2 Iz tabel najdemo:
log 3,14 = 0,4969.
Tablična razlika d med mantiso številk 314 in 315 je 14, zato bo napaka najdenega logaritma manjša
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 deset tisočakov.
Ker za logaritem 0,4969 ne vemo, ali gre za pomanjkanje ali presežek, lahko le jamčimo, da je natančen logaritem π je med 0,4969 - 0,0008 in 0,4969 + 0,0008, tj. 0,4961< log π < 0,4977.
282. Poišči število glede na logaritem... Za iskanje števila po danem logaritmu se lahko uporabijo iste tabele, po katerih se najde mantisa teh števil; vendar je bolj priročno uporabiti druge tabele, v katerih so postavljeni tako imenovani antilogaritmi, torej številke, ki ustrezajo dani mantisi. Te tabele, označene z napisom "antilogaritmi" na vrhu, so postavljene na koncu te knjige za tabelami logaritmov, manjši del je postavljen na tej strani (za razlago).
Naj je podana 4-mestna mantisa 2863 (na karakteristiko ne posvečamo pozornosti) in potrebno je najti ustrezno celo število. Potem, če imate tabele antilogaritmov, jih morate uporabiti na popolnoma enak način, kot je bilo pojasnjeno prej, da najdete mantiso za dano število, in sicer: prvi 2 števki mantise, ki jih najdemo v prvem stolpcu na levi. Nato se od teh številk premaknemo vzdolž vodoravne črte v desno do križišča z navpičnim stolpcem, ki prihaja iz 3. števke mantise, ki jo je treba iskati v zgornji vrstici (ali v spodnji). Na presečišču najdemo štirimestno številko 1932, ki ustreza mantisi 286. Nato se od te številke premaknemo naprej po vodoravni črti v desno do križišča z navpičnim stolpcem, ki poteka od 4. števke mantise, ki mora najdemo zgoraj (ali spodaj) med številkami 1, 2, postavljenimi tja , 3, ... 9. Na križišču najdemo popravek 1, ki ga moramo (miselno) uporabiti na prej najdeno številko 1032, da dobimo ustrezno število do mantise 2863.
Tako bo ta številka 1933. Po tem, pozoren na karakteristiko, je treba zaposlenega postaviti na pravo mesto v številko 1933. Na primer:
če dnevnik x = 3,2863, torej NS = 1933,
„ dnevnik x = 1,2863, „ NS = 19,33,
, dnevnik x = 0,2&63, „ NS = 1,933,
„ dnevnik x = 2 ,2863, „ NS = 0,01933
Tukaj je še nekaj primerov:
dnevnik x = 0,2287, NS = 1,693,
dnevnik x = 1 ,7635, NS = 0,5801,
dnevnik x = 3,5029, NS = 3184,
dnevnik x = 2 ,0436, NS = 0,01106.
Če mantisa vsebuje 5 ali več števk, potem vzamemo samo prve 4 števke, ostale zavržemo (in povečamo 4. številko za 1, če je 5. številka pet ali več). Na primer, namesto mantise 35478 vzamemo 3548, namesto 47562 vzamemo 4756.
283. Opomba. Amandma za 4. in naslednje številke mantise lahko najdemo tudi z interpolacijo. Torej, če je mantisa 84357, potem, ko smo našli številko 6966, ki ustreza mantisi 843, lahko trdimo še na naslednji način: če se mantisa poveča za 1 (tisočnjak), to je 844, potem je število kot je razvidno iz tabel, se bo povečala za 16 enot; če se mantisa ne poveča za 1 (tisočinko), ampak za 0,57 (tisočinko), se bo število povečalo za NS enote in NS mora izpolnjevati razmerja:
NS : 16 = 0,57: 1, od koder x = 16 0,57 = 9,12.
To pomeni, da bo zahtevana številka 6966+ 9,12 = 6975,12 ali (omejeno na samo štiri števke) 6975.
284. Meja napake najdenega števila. Dokazano je, da v primeru, ko je vejica v najdenem številu za 3. števko z leve, to je, ko je značilnost logaritma 2, lahko vsoto vzamemo za mejo napake
kje a je meja napake logaritma (izražena v desettisočinkah), po katerem je bilo število iskano, in d - razlika med mantiso dveh trimestnih zaporednih številk, med katerima je najdeno število (z vejico za 3. števko z leve). Kadar značilnost ni 2, ampak neka druga, potem bo treba vejico v najdenem številu premakniti v levo ali desno, torej število deliti ali pomnožiti s potenco 10. V tem primeru je napaka rezultat bo prav tako deljen ali pomnožen z isto močjo 10.
Recimo, da iščemo številko po logaritmu 1,5950 , za katerega je znano, da je natančen do 3 desettisočk; torej a = 3 ... Število, ki ustreza temu logaritmu, najdeno iz antilogaritmske tabele, je 39,36 ... Če premaknemo vejico za 3. številko z leve, bomo dobili številko 393,6 med 393 in 394 ... Iz tabel logaritmov vidimo, da je razlika med mantiso, ki ustreza tema dvema številkama 11 deset tisočink; pomeni d = 11 ... Napaka števila 393,6 bo manjša
Zato je napaka številke 39,36 bo manj 0,05 .
285. Dejanja nad logaritmi z negativnimi lastnostmi. Seštevanje in odštevanje logaritmov ni težko, kot je razvidno iz naslednje primere:
Prav tako ni težko pomnožiti logaritem s pozitivnim številom, na primer:
V zadnji primer ločeno pomnožite pozitivno mantiso s 34, nato negativna lastnost pri 34.
Če logaritem negativne karakteristike in pozitivne mantise pomnožimo z negativnim številom, potem delujeta na dva načina: bodisi se prej podani logaritem spremeni v negativen ali pa se mantisa pomnoži ločeno in se karakteristika in rezultati združijo skupaj. , na primer:
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
Pri delitvi se lahko pojavita dva primera: 1) negativna značilnost je razdeljena in 2) ni deljivo z delilnikom. V prvem primeru sta značilnost in mantisa ločeno razdeljeni:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
V drugem primeru se karakteristiki doda toliko negativnih enot, da se dobljeno število deli z delilnikom; Mantisi se doda enako število pozitivnih enot:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
To preobrazbo je treba izvesti v umu, zato je dejanje urejeno takole:
286. Zamenjava odštetih logaritmov s členi. Pri izračunu nekega kompleksnega izraza z uporabo logaritmov morate nekatere logaritme sešteti, druge odšteti; v tem primeru z običajnim načinom izvajanja dejanj ločeno najdemo vsoto seštevkov logaritmov, nato vsoto odštetih in od prve vsote odštejemo drugo. Na primer, če imamo:
dnevnik NS = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
potem bo običajno izvajanje dejanj urejeno tako:
Vendar pa je mogoče odštevanje nadomestiti s seštevanjem. Torej:
Zdaj lahko izračun uredite takole:
287. Primeri izračunov.
Primer 1... Oceni izraz:
če A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 in D = 7,246.
Vzemimo logaritem tega izraza:
dnevnik NS= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D
Zdaj, da bi se izognili nepotrebni izgubi časa in zmanjšali možnost napak, bomo najprej uredili vse izračune, ne da bi jih še izvajali in torej brez sklicevanja na tabele:
Po tem vzamemo tabele in zapišemo logaritme na preostale proste prostore:
Meja napake. Najprej poiščemo mejo napake za številko x 1 = 194,5 enako:
Torej, najprej morate najti a , to je meja napake približnega logaritma, izražena v desettisočinkah. Recimo, da so podane številke A, B, C in D vse točne. Potem bodo napake v posameznih logaritmih naslednje (v desettisočinkah):
v logА.......... 1 / 2
v 1/3 dnevnika A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 dodano, ker smo pri deljenju s 3 logaritma 1,9146 zaokrožili količnik in zavrgli njegovo 5. številko in zato naredili še eno napako, manjšo 1 / 2 deset tisočakov).
Zdaj najdemo mejo napake logaritma:
a = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (deset tisočakov).
Opredeljujemo naprej d ... Ker x 1 = 194,5 , nato 2 zaporedni celi števili, med katerimi je x 1 bo 194 in 195 ... Tablična razlika d med mantisami, ki ustrezajo tem številkam, je enako 22 ... Zato je stopnja napake za številko x 1 tukaj je:
Ker x = x 1 : 10, nato pa meja napake pri številu x je enako 0,3:10 = 0,03 ... Tako smo našli številko 19,45 razlikuje od natančnega števila za manj kot 0,03 ... Ker ne vemo, ali je bil naš približek ugotovljen s pomanjkanjem ali presežkom, lahko zagotovimo le, da
19,45 + 0,03 > NS > 19,45 - 0,03 , tj.
19,48 > NS > 19,42 ,
in zato, če sprejmemo NS =19,4 , potem bomo imeli približek s primanjkljajem natančno na 0,1.
Primer 2. Izračunaj:
NS = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
Ker negativne številke nimajo logaritmov, potem najprej najdemo:
NS" = (2,31) 3 5 √72
z razgradnjo:
dnevnik NS"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.
Po izračunu se izkaže:
NS" = 28,99 ;
torej,
x = - 28,99 .
Primer 3... Izračunaj:
Kontinuirnega logaritma tukaj ni mogoče uporabiti, saj pod znakom korena stoji umma. V podobni primeri izračunaj formulo po delih.
Najprej najdemo N = 5 √8 , po N 1 = 4 √3 ; nadalje s preprostim seštevanjem definiramo N+ N 1 , in na koncu izračunajte 3 √N+ N 1 ; izkaže se:
N = 1,514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .
dnevnik x= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 dnevnik 2.830 = 0,1506 ;
x = 1,415 .
Četrto poglavje.
Eksponentne in logaritemske enačbe.
288. Eksponentne enačbe so tiste, pri katerih je neznanka vključena v eksponent in logaritemsko- tiste, v katere neznano vstopi pod znak dnevnik... Takšne enačbe so lahko rešljive le v posebnih primerih, pri čemer se je treba zanašati na lastnosti logaritmov in na načelo, da če so števila enaka, so tudi njihovi logaritmi enaki, in obratno, če so logaritmi enaki, potem ustrezni tudi številke so enake.
Primer 1. Reši enačbo: 2 x = 1024 .
Logaritem obe strani enačbe:
Primer 2. Reši enačbo: a 2x - a x = 1 ... Polaganje a x = pri , dobimo kvadratno enačbo:
y 2 - pri - 1 = 0 ,
Ker 1-√5 < 0 , potem je zadnja enačba nemogoča (funkcija a x je vedno pozitivno število), prvo pa daje:
Primer 3. Reši enačbo:
dnevnik ( a + x) + dnevnik ( b + x) = dnevnik ( c + x) .
Enačbo lahko zapišemo takole:
dnevnik [( a + x) (b + x)] = dnevnik ( c + x) .
Iz enakosti logaritmov sklepamo, da so številke enake:
(a + x) (b + x) = c + x .
To je kvadratna enačba, katere rešitev ni težka.
Peto poglavje.
Sestavljene obresti, nujna plačila in terminska plačila.
289. Glavna naloga za sestavljene obresti. V kakšen znesek se bo kapital spremenil a rubljev, podano v rasti za R obrestno obrestovanje, po preteku t leta ( t je celo število)?
Rečeno je, da se kapital daje po sestavljenih obrestih, če se upoštevajo tako imenovane "obresti na obresti", to je, če se kapitalu ob koncu vsakega leta prištejejo denarne obresti, ki se dolgujejo kapitalu, da se poveča z zanimanje v naslednjih letih.
Vsak podarjen rubelj kapitala R %, bo prinesla dobiček v enem letu str / 100 rubelj, zato se bo vsak rubelj kapitala v enem letu spremenil v 1 + str / 100 rubelj (na primer, če je kapital naveden pri 5 %, potem se bo vsak rubelj v enem letu spremenil v 1 + 5 / 100 , torej v 1,05 rubelj).
Zaradi kratkosti označujemo ulomek str / 100 ena črka npr. r , lahko rečemo, da se bo vsak rubelj kapitala v enem letu spremenil v 1 + r rubljev; torej, a rubljev se bo spremenilo v 1 letu a (1 + r ) drgnite. Leto kasneje, torej 2 leti po začetku rasti, vsak rubelj teh a (1 + r ) drgnite. se bo vrnil k 1 + r rub.; zato se bo ves kapital spremenil v a (1 + r ) 2 drgnite. Na enak način ugotovimo, da bo čez tri leta prestolnica a (1 + r ) 3 , čez štiri leta bo a (1 + r ) 4 , ... na splošno skozi t leta, če t obstaja celo število, se bo spremenilo v a (1 + r ) t drgnite. Tako označuje z A končni kapital, bomo imeli naslednja formula obrestno obrestovanje:
A = a (1 + r ) t kje r = str / 100 .
Primer. Naj bo a =2300 rubljev, str = 4, t=20 let; potem formula daje:
r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2300 (1,04) 20.
Za izračun A, uporabimo logaritme:
dnevnik a = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617 + 0,3400 = 3,7017.
A = 5031 rubelj.
Komentar. V tem primeru smo morali dnevnik 1.04 pomnoži z 20 ... Od številke 0,0170 obstaja približna vrednost dnevnik 1.04 natančno do 1 / 2 deset tisočinki del, nato zmnožek tega števila za 20 bo zagotovo le do 1 / 2 20, torej do 10 desettisočakov = 1 tisočinka. Zato skupaj 3,7017 ne moremo jamčiti ne samo za deset tisočinke, ampak tudi za tisočinke. Za večjo natančnost v takih primerih je bolje za številko 1 + r vzemite logaritme ne 4-mestne, ampak z veliko številoštevke, npr. 7-mestno. V ta namen tukaj predstavljamo majhno tabelo, v kateri so za najpogostejše vrednosti izpisani 7-mestni logaritmi R .
290. Glavna naloga za nujna plačila. Nekdo si je sposodil a rubljev za R % s pogojem za poplačilo dolga, skupaj z zapadlimi obrestmi nanj, v t let, ki prispevajo enak znesek ob koncu vsakega leta. Koliko naj bi bil ta znesek?
vsota x letno plačano pod takimi pogoji se imenuje nujno plačilo. Ponovno označimo s črko r letne obresti od 1 rublja, to je številka str / 100 ... Nato do konca prvega leta dolg a poveča na a (1 + r ), aza s plačilom NS rubljev bo to postalo a (1 + r )-NS .
Do konca drugega leta se bo vsak rubelj tega zneska vrnil v 1 + r rubljev, zato bo dolg [ a (1 + r )-NS ](1 + r ) = a (1 + r ) 2 - x (1 + r ), in za plačilo x rubljev se bo izkazalo za: a (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - NS ... Na enak način bomo poskrbeli, da bo do konca 3. leta dolg
a (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,
in na splošno in konec t leto se bo izkazalo:
a (1 + r ) t - x (1 + r ) t -1 - x (1 + r ) t -2 ... - x (1 + r ) - x , oz
a (1 + r ) t - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]
Polinom znotraj oklepajev predstavlja vsoto členov geometrijske progresije; ki ima prvega člana 1 , zadnji ( 1 + r ) t -1, in imenovalec ( 1 + r ). Po formuli za vsoto členov geometrijske progresije (oddelek 10, poglavje 3 § 249) najdemo:
in znesek dolga po tem t -to plačilo bo:
Glede na stanje problema dolg na koncu t -th letnik mora biti enak 0 ; torej:
kje
Pri izračunu tega formule za nujno plačilo z uporabo logaritmov moramo najprej poiskati pomožno število N = (1 + r ) t po logaritmu: log N = t dnevnik (1 + r) ; ugotovitev N, od nje odštejemo 1, potem dobimo imenovalec formule za NS, po katerem s sekundarnim logaritmom najdemo:
dnevnik NS= dnevnik a+ log N + log r - log (N - 1).
291. Glavna naloga za nujne prispevke. Nekdo na začetku vsakega leta banki plača enak znesek a drgnite. Ugotovite, kateri kapital se nato ustvari iz teh prispevkov t let, če plača banka R obrestno obrestovanje.
Označevanje skozi r letne obresti od 1 rublja, t.j. str / 100 , trdimo takole: do konca prvega leta bo kapital a (1 + r );
na začetku 2. leta se ta znesek doda a rubljev; pomeni, da bo v tem času prestolnica a (1 + r ) + a ... Do konca 2. leta bo a (1 + r ) 2 + a (1 + r );
v začetku 3. letnika pa spet a rubljev; pomeni, da bo v tem času prestolnica a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) + a ; do konca 3. bo a (1 + r ) 3 + a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) Če nadaljujemo to razmišljanje naprej, ugotovimo, da do konca t . leto zahtevani kapital A volja:
To je formula za nujne prispevke na začetku vsakega leta.
Enako formulo lahko dobimo z naslednjim sklepanjem: prvi obrok za a rubljev, medtem ko ste v banki t let, se bo po formuli sestavljenih obresti spremenila v a (1 + r ) t drgnite. Drugi obrok v banki je eno leto manj, t.j. t - 1 leta, se bo obrnil na a (1 + r ) t-1 drgnite. Prav tako bo dal tretji obrok a (1 + r ) t-2 itd., in končno zadnji obrok, ki je v banki samo 1 leto, se bo prijavil za a (1 + r ) drgnite. Torej končni kapital A drgnite. volja:
A= a (1 + r ) t + a (1 + r ) t-1 + a (1 + r ) t-2 + . . . + a (1 + r ),
ki po poenostavitvi daje zgoraj najdeno formulo.
Pri izračunu te formule z uporabo logaritmov morate ravnati na enak način kot pri izračunu formule za nujna plačila, torej najprej poiskati številko N = ( 1 + r ) t po svojem logaritmu: log N = t dnevnik(1 + r ), nato številko N- 1 in tudi takrat vzemite logaritem formule:
log A = dnevnik a+ dnevnik (1 + r) + log (N - 1) - 1оgr
Komentar.Če je nujni obrok v a drgnite. je bila narejena ne na začetku, ampak ob koncu vsakega leta (kako npr. nujno plačilo NS odplačati dolg), nato pa, kot prejšnji, ugotovimo, da do konca t . leto zahtevani kapital A" drgnite. bo (vključno z zadnjim obrokom a rubljev, brez obresti):
A "= a (1 + r ) t-1 + a (1 + r ) t-2 + . . . + a (1 + r ) + a
kar je enako:
tj. A" se pojavi v ( 1 + r ) krat manj A, kar je bilo pričakovati, saj vsak rubelj kapitala A" leži v banki eno leto manj od ustreznega rublja kapitala A.
