Ljudje so ves čas razmišljali o svoji prihodnosti. Sebe in svoje otroke in vnuke so poskušali in se trudijo zaščititi pred finančnimi stiskami in si zgraditi vsaj otoček zaupanja v prihodnost. Če ga začnete graditi zdaj s pomočjo majhnih bančnih depozitov, si lahko zagotovite stabilnost in neodvisnost v prihodnosti.
Osnovno načelo bančnega poslovanja je, da se denarna sredstva lahko povečujejo le, če so v stalnem obtoku. Da bi stranke samozavestno krmarile na področju finančnih storitev in lahko izbrale prave pogoje, ki so jim v določenem časovnem obdobju koristni, morate poznati številna preprosta pravila. Ta članek se bo osredotočil na dolgoročne naložbe, ki vam omogočajo, da v določenem številu let iz relativno majhnega zneska začetnega kapitala pridobite pomemben dobiček ali nadaljnjo uporabo depozita, pri čemer umaknete časovne razmejitve za vsakodnevne potrebe.
Za pravilen izračun dobička je potrebno izvesti preproste aritmetične operacije na podlagi spodnjih formul.
Na primer, odločite se vložiti 100.000,00 rubljev. 11 % letno, da bi čez 10 let izkoristili prihranke, ki so se zaradi dokapitalizacije močno povečali. Za izračun celotnega zneska morate uporabiti metodo izračuna obrestnih obresti.
Uporaba obrestnih obresti pomeni, da se na koncu vsakega obdobja (leto, četrtletje, mesec) prispevku prišteje natečeni dobiček. Prejeti znesek je osnova za kasnejše povečanje dobička.
Za izračun obrestnih obresti uporabljamo preprosto formulo:
Če nadomestimo vrednosti v to formulo, vidimo, da:
po 5 letih bo znesek rub.,
in čez 10 let bo 
drgnite.
Če bi izračunali za kratko obdobje, bi bilo bolj priročno izračunati obrestne obresti po formuli
Toda za tiste, ki se jim zdi bolj priročno dvigniti obresti na depozit na mesečni ravni, je bolje, da se seznanite s konceptom "Kapitalizacija depozita", kar pomeni izračun navadnih obresti.
Graf prikazuje, kako se bo povečal kapital, ko se kapitalizirajo obresti na depozit, če vložite 100.000,00 rubljev. za 10 let pri 10%, 15% in 20%
Obstaja še ena, bolj donosna za stranko metoda obračunavanja in dodajanja obrestne mere - mesečno. Za to se uporabi naslednja formula:
kjer n prav tako ustreza številu kapitalizacijskih transakcij, vendar je že izraženo v mesecih. Indikator v odstotkih je tu dodatno deljen z 12, ker je v letu 12 mesecev in moramo izračunati mesečno obrestno mero.
Če bi to formulo uporabili za četrtletno obračunavanje depozita, bi letni odstotek delili s 4, kazalnik n pa bi bil enak številu četrtletij, in če bi obresti izračunali po pol leta, potem obresti stopnja bi bila deljena z 2, oznaka n pa bi ustrezala številu polletja.
Torej, če smo dali prispevek v višini 100.000,00 rubljev. z mesečno kapitalizacijo obresti, potem:
po 5 letih (60 mesecih) znesek depozita bi narasel na 172.891,57 rubljev, kar je približno 10.000 rubljev. več kot v primeru letne kapitalizacije depozita; 
drgnite.
in po 10 letih (120 mesecev)“akumulirani” znesek bi znašal 298.914,96 rubljev, kar je že kar za 15.000 rubljev. presega številko, izračunano po formuli obrestnih obresti, ki predvideva izračun v letih.
drgnite.
To pomeni, da je donosnost mesečnih obresti višja kot donosnost letnih obresti. In če se dobiček ne dvigne, potem obrestne mere delujejo v korist vlagatelja.
Zgoraj opisane formule za obrestne obresti so najverjetneje ilustrativni primeri za stranke, da razumejo, kako se izračunajo obrestne obresti. Ti izračuni so nekoliko enostavnejši od formula, ki jo banke uporabljajo za dejanske bančne vloge.
Tukaj uporabljena enota je količnik obrestne mere za depozit (p). Izračuna se takole:
Obrestne obresti ("akumulirani" znesek) za bančne depozite se izračunajo po naslednji formuli:
Na podlagi tega in na primeru istih podatkov bomo bančno izračunali obrestne obresti.
Najprej določimo koeficient obrestne mere za depozit:
Zdaj nadomestimo podatke v glavni formuli:
drgnite. - to je znesek depozita, ki "raste" v 5 letih *;
drgnite. – za 10 let*.
*Izračuni v primerih so približni, saj ne upoštevajo prestopnih let in različnega števila dni v mesecu.
Če primerjamo zneske iz teh dveh primerov s prejšnjimi, potem so nekoliko manjši, a vseeno je korist od kapitalizacije obresti očitna. Torej, če ste odločeni, da boste dolgo časa položili denar v banko, potem je bolje, da naredite predhodni izračun dobička z "bančno" formulo - to vam bo pomagalo, da se izognete razočaranju.
Splošne določbe
Skoraj vsi finančni in ekonomski izračuni so tako ali drugače povezani z obračunom obresti. V bančni praksi se uporabljajo navadne in obrestne obresti.
Obrestni denar (obresti) je znesek dohodka iz posojanja denarja v različnih oblikah (posojila, odpiranje depozitnih računov, nakup obveznic, najem opreme itd.).
Višina obresti je odvisna od treh dejavnikov:
znesek glavnega dolga (znesek posojila);
Datum zapadlosti;
obrestna mera, ki označuje intenzivnost obrestovanja.
Obresti se lahko plačajo, ko nastanejo, ali pa se prištejejo dolgovanemu znesku. Povečanje zneska dolga zaradi pribitka natečenih obresti se imenuje povečanje prvotnega zneska dolga.
Razmerje med akumuliranim zneskom in začetnim zneskom dolga se imenuje multiplikator akumulacije (koeficient) (KN):
Kn \u003d 8 / R,
kjer je 8 - akumulirani znesek (odplačan);
R je začetni znesek dolga.
KN je vedno večji od ena.
Časovni interval, za katerega se obračunavajo obresti, se imenuje obdobje obračunavanja.
Pri uporabi enostavnih obrestnih mer se znesek obresti v celotnem obdobju dolga določi glede na začetni znesek, ne glede na obračunska obdobja in njihovo trajanje, tj. ni kapitalizacije obresti (obračunavanje obresti na obresti).
Pri uporabi obrestne mere se natečene obresti za preteklo obdobje prištejejo znesku dolga in se nanje obračunajo obresti v naslednjem obdobju (poteka kapitalizacija obresti).
Vrednost samih tečajev (enostavnih in zapletenih) se lahko spremeni ali ostane nespremenjena. Če se obrestna mera spremeni, vendar ni kapitalizacije, tj. obresti vedno enak znesek, potem bo preprosto. Če obstaja kapitalizacija tudi pri stalnih obrestnih merah, potem so obresti sestavljene.
Enostavne in sestavljene obresti je mogoče izračunati na dva načina:
dekurzivno - obresti se obračunavajo na koncu vsakega intervala;
antisipativno - obresti se obračunajo na začetku vsakega intervala.
V prvem primeru se znesek obresti določi glede na znesek posojila. Dekurzivna obrestna mera se imenuje posojilne obresti. To je razmerje med zneskom dohodka, natečenega v časovnem intervalu, in začetnim zneskom (znesek na začetku intervala izračuna obresti):
1 = dohodek x 100 % / R.
Pri antisipativni (predhodni) metodi izračuna obresti se znesek obresti določi glede na natečeni znesek. Obrestna mera (ё) se imenuje računovodska ali antisipativna:
e \u003d dohodek x 100% / 8.
Dekurzivna metoda je v svetovni praksi pogostejša.
Razmislite o različnih vrstah stopenj in metodah za njihov izračun v skladu z naslednjim načrtom:
enostavne dekurzivne obrestne mere;
sestavljene dekurzivne obrestne mere;
enostavne antisipativne (diskontne) stopnje;
kompleksne antisipativne (diskontne) stopnje;
enakovredne obrestne mere.
Dekurzivna metoda računanja enostavnih obresti
Obračun enostavnih obrestnih mer se praviloma uporablja za kratkoročna posojila.
Naj uvedemo zapis:
8 - akumulirani znesek, rub.;
R - začetni znesek dolga, r.;
1 - letna obrestna mera (v delih enote);
n je rok posojila v letih.
Ob koncu prvega leta bo nakopičeni znesek dolga
81 \u003d P + P 1 \u003d P (1 + 1);
ob koncu drugega leta:
82 \u003d 81 + P 1 \u003d P (1 + 1) + P 1 \u003d P (1 + 2 1); ob koncu tretjega leta:
83 \u003d 82 + P1 \u003d P (1 + 2 1) + P 1 \u003d P (1 + 3 1) in tako naprej. Na koncu izraza n: 81 \u003d P (1 + n 1).
To je obračunska formula po enostavni obrestni meri.
Upoštevati je treba, da se morata obrestna mera in rok ujemati, tj. če se upošteva letna stopnja, mora biti obdobje izraženo v letih (če je četrtletno, mora biti obdobje izraženo v četrtletjih itd.).
Izraz v oklepajih je preprost obračun obrestne mere:
Kn \u003d (1 + n 1).
torej
81 = R knjiga.
Naloga 5.1
Banka je izdala posojilo v višini 5 milijonov rubljev. za šest mesecev po enostavni obrestni meri 12 % letno. Določite znesek za plačilo.
rešitev:
8 \u003d 5 milijonov (1 + 0,5 ¦ 0,12) \u003d 5.300.000 rubljev.
Če je rok, za katerega je denar izposojen, podan v dnevih, bo zbrani znesek enak 8 = P (1 + d / K 1),
kjer je d trajanje obdobja v dnevih;
K je število dni v letu.
Vrednost K se imenuje časovna osnova.
Časovno osnovo lahko vzamemo enako dejanski dolžini leta - 365 ali 366 (takrat se obresti imenujejo natančne) ali približne, enake 360 dni (takrat so navadne obresti).
Natančno ali približno se lahko določi tudi vrednost števila dni, za katere se denar izposoja. V slednjem primeru se predvideva, da je trajanje katerega koli celega meseca 30 dni. V obeh primerih se datum izdaje denarja na kredit in datum njihovega vračila štejeta za en dan.
Naloga 5.2
Banka je izdala posojilo v višini 200 tisoč rubljev. od 12. marca do 25. decembra (prestopno leto) po stopnji 7% letno. Določite višino odplačila z različnimi časovnimi osnovami za točno in okvirno število dni kredita ter sklepajte o prednostnih možnostih z vidika banke in kreditojemalca.
rešitev:
Točno število dni izposoje od 12.03. do 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Približno število dni izposoje:
20+8-30+25=285;
a) Točne obresti in točno število dni posojila:
8 \u003d 200.000 (1 + 289 / 366 ¦ 0,07) \u003d 211.016 rubljev;
b) navadne obresti in točno število dni posojila:
8 \u003d 200 000 (1 + 289/360 ¦ 0,07) \u003d 211 200;
c) navadne obresti in okvirno število dni posojila:
8= 200.000 (1+285/360 ¦ 0,07) = 211.044;
d) točne obresti in okvirno število dni izposoje:
8= 200.000 (1+285/366 ¦ 0,07) = 210.863.
Tako bo največji akumulirani znesek pri možnosti b) - navadne obresti s točnim številom dni izposoje, najmanjši pa pri možnosti d) - točne obresti s približnim številom dni izposoje.
Zato je z vidika banke kot kreditodajalca prednostna možnost b), z vidika kreditojemalca pa možnost d).
Upoštevati je treba, da so v vsakem primeru navadne obresti bolj koristne za posojilodajalca in natančne obresti za posojilojemalca (v vsakem primeru - preproste ali zapletene). V prvem primeru je obračunani znesek vedno večji, v drugem primeru pa manjši.
Če so obrestne mere v različnih intervalih obračunavanja med trajanjem dolga različne, se akumulirani znesek določi s formulo
n
8 \u003d P (1 + X n 10,
1=1
kjer je N število intervalov obračunavanja obresti;
n - trajanje 1. intervala obračunavanja;
^ - obrestna mera na I. obračunski interval.
Naloga 5.3
Banka sprejema depozite po enostavni obrestni meri, ki je prvo leto 10 %, nato pa se vsakih šest mesecev zvišuje za 2 odstotni točki. Določite znesek prispevka na 50 tisoč rubljev. z obrestmi po 3 letih.
rešitev:
8 \u003d 50.000 (1 + 0,1 + 0,5 0,12 + 0,5 0,14 + 0,5 0,16 + 0,5 0,18) \u003d 70.000 rubljev.
S formulo za obračunani znesek lahko določite rok posojila pod drugimi določenimi pogoji.
Trajanje posojila v letih:
8 - P N = .
R 1
Naloga 5.4
Določite rok posojila v letih, za katerega je dolg 200 tisoč rubljev. se bo povečal na 250 tisoč rubljev. pri uporabi preproste obrestne mere - 16% letno.
rešitev:
(250.000 - 200.000) / (200.000 0,16) = 1,56 (leta).
Iz formule za akumulirani znesek lahko določite stopnjo navadnih obresti, pa tudi začetni znesek dolga.
Odločite se sami
Naloga 5.5
Pri izdaji posojila v višini 600 tisoč rubljev. dogovorjeno je bilo, da bo posojilojemalec v dveh letih vrnil 800 tisoč rubljev. Določite obrestno mero, ki jo uporablja banka.
Odgovor: 17 %.
Naloga 5.6
Posojilo, izdano po enostavni stopnji 15% letno, je treba odplačati po 100 dneh. Določite znesek, ki ga prejme posojilojemalec, in znesek obresti, ki jih prejme banka, če mora biti znesek, ki ga je treba vrniti, 500 tisoč rubljev. s časovno bazo 360 dni.
Odgovor: 480 000 rub.
Operacija iskanja začetnega zneska dolga za znano odplačljivo se imenuje diskontiranje. V širšem smislu izraz "diskontiranje" pomeni določitev vrednosti P vrednosti v določenem trenutku, pod pogojem, da bo v prihodnosti enaka dani vrednosti 8. Takšni izračuni se imenujejo tudi prinašanje indikatorja vrednosti do dane točke v času, in vrednost P, določena z diskontiranjem, se imenuje sodobna ali zmanjšana vrednost nabavne vrednosti. Diskontiranje vam omogoča, da pri izračunih stroškov upoštevate časovni dejavnik. Faktor popusta je vedno manjši od ena.
Formula za diskontiranje pri enostavni obrestni meri je:
P = 8 / (1 + w), kjer je 1 / (1 + w) diskontni faktor.
Dekurzivna metoda izračuna obrestnih obresti
Pri dolgoročnem finančnem in kreditnem poslovanju se znesku dolga prištejejo obresti po naslednjem obračunskem obdobju, v naslednjem obdobju pa se obresti obračunajo na celotni znesek, t.j. s kapitalizacijo obresti. Take obresti imenujemo obrestne obresti, osnova za njihov obračun pa se povečuje z vsakim nadaljnjim obračunskim obdobjem.
Akumulirani znesek za n let z uporabo konstantne letne obrestne mere 1c se določi s formulo
8 \u003d P (1 + 1s) str.
Naloga 5.7
Banka je izdala posojilo v višini 500 tisoč rubljev. za 3 leta. Določite znesek, ki ga je treba odplačati, z uporabo obrestne mere 18 % letno in zneska obresti.
rešitev:
8 \u003d 500.000 (1 + 0,18) 3 \u003d 821.516 rubljev.
Obresti \u003d 821.516 - 500.000 \u003d 321.516 rubljev.
Izračun obresti za posojilo, daljše od enega leta, daje večji znesek obresti kot izračun navadnih obresti.
Če se obresti obračunavajo večkrat letno (po mesecih, četrtletjih, polletjih), se uporabi nominalna obrestna mera – letna obrestna mera, na podlagi katere se določi obrestna mera, ki se uporablja v posameznem obračunskem obdobju.
Zbrani znesek se določi po formuli
8 \u003d P (1 + ] / t) tp, kjer je ] - nominalna obrestna mera, decimalni ulomek;
m - število obdobij obračunavanja obresti v enem letu;
n je rok posojila v letih;
] / t - obrestna mera v vsakem obračunskem obdobju, decimalni ulomek.
Naloga 5.8
Banka četrtletno obračunava obresti na depozite po nominalni obrestni meri 16 % letno. Določite znesek, ki ga vlagatelj prejme po 5 letih, če je začetni znesek depozita 100 tisoč rubljev.
rešitev:
8 \u003d 100.000 (1 + 0,16 / 4) 4 x 5 \u003d 219 112,2 rubljev.
Iz formule za akumulirani znesek lahko določite vrednost zneska, izdanega posojilojemalcu, tj. diskontirajte znesek 8 po obrestni meri.
Odločite se sami
Naloga 5.9
Določite trenutno vrednost zneska 500 tisoč rubljev, ki bo izplačan v 3 letih z obrestno mero 20% letno.
Odgovor: 289 351,8 rubljev.
Določi se rok posojila (iz formule obračunanega zneska).
n \u003d 1od (8 / P) / 1od (1 + 1).
Logaritme lahko vzamemo s poljubnimi enakimi osnovami.
Naloga 5.10
Banka zaračunava obresti po 12% letni obrestni meri. Določite obdobje v letih, za katero je znesek depozita 25 tisoč rubljev. bo zrasel na 40 tisoč rubljev.
Odgovor: 4,15 leta.
Naloga 5.11
Znesek dolga se je v 3 letih podvojil. Določite uporabljeno letno obrestno mero.
Odgovor: 26 %.
Antisipativna metoda izračuna navadnih obresti (enostavne diskontne stopnje)
Pri uporabi diskontnih stopenj se znesek obresti od posojanja denarja določi glede na znesek, ki ga je treba vrniti, tj. znesek prejetega posojila ni prejeti znesek, temveč akumulirani znesek. Obresti, obračunane po diskontni meri, se zadržijo takoj po izdaji posojila, posojilojemalec pa prejme znesek posojila takoj, zmanjšan za obresti. Takšna operacija se imenuje diskontiranje po diskontni stopnji, pa tudi bančno ali komercialno računovodstvo. Znesek obresti, zaračunan po diskontni meri, se imenuje diskont.
Znesek, ki ga prejme posojilojemalec, se določi po formuli
P \u003d 8 (1 - n.),
kjer je d - enostavna diskontna stopnja;
(1 - n e) - diskontni faktor pri enostavni diskontni stopnji.
Iz formule je razvidno, da za razliko od posojilnih obrestnih mer diskontne stopnje ne morejo imeti nobenih vrednosti, diskontni faktor ne more biti negativen, tj. n^e mora biti strogo manjši od ena. Vrednosti e blizu meje se v praksi ne srečujejo. Naloga 5.12
Posojilojemalec vzame posojilo za četrtino z obveznostjo vrnitve 100 tisoč rubljev. Določite znesek, ki ga prejme posojilojemalec, in znesek diskonta, ki ga zadrži banka po diskontni stopnji 15% letno.
rešitev:
P \u003d 100.000 (1 - 0,25 x 0,15) \u003d 96.250 rubljev.
Popust \u003d 8 - P \u003d 100.000 - 96.250 \u003d 3.750 rubljev.
Če je rok posojila naveden v dnevih (d), bo znesek, ki ga prejme posojilojemalec, določen s formulo
P = 8 (1 - a d / K),
kjer je K število dni v letu (časovna osnova).
Odločite se sami
Naloga 5.13
Določite znesek, ki ga prejme posojilojemalec, in znesek popusta, ki ga prejme banka, če mora posojilojemalec po pogodbi vrniti 100 tisoč rubljev v 200 dneh. po bančni diskontni stopnji 10 % letno in časovni osnovi 360 dni.
Odgovor: 94 444,44 rubljev; 5 555,56 rub.
V praksi se diskontne stopnje uporabljajo pri nakupu (obračunu) zadolžnic in drugih denarnih obveznosti. V tem primeru banka ali druga finančna institucija odkupi menico od lastnika (dobavitelja) pred zapadlostjo po ceni, ki je nižja od zneska, ki ga je treba plačati ob izteku roka, ali, kot pravijo, banko popusti. račun. Lastnik računa hkrati prejme denar pred rokom, navedenim na računu, zmanjšan za dohodek banke v obliki popusta. Banka po prejemu zneska, navedenega v menici ob zapadlosti, realizira (prejme) diskont.
Navedena operacija se lahko šteje za izdajo posojila s strani banke v znesku, navedenem v računu, po diskontni stopnji, ki se uporablja pri obračunu, za obdobje, ki je enako obdobju od datuma obračuna do datuma odkupa računa. . Posledično bo znesek, izdan lastniku diskontirane menice, določen s formulo
P \u003d 8 (1 - Dp-e) \u003d 8 (1 - e-Dd / K), kjer je Dp \u003d Dd / K - obdobje v dnevih od datuma obračuna do datuma odplačila računa;
Pekel - število dni od dneva obračuna do dneva odplačila računa.
Naloga 5.14
Ob obračunu računa v višini 100 tisoč rubljev, do roka zapadlosti, do katerega je ostalo še 80 dni, je banka lastniku plačala 98 tisoč rubljev. Ugotovite, kakšno diskontno stopnjo je banka uporabila s časovno osnovo 360 dni.
rešitev:
e \u003d (100.000 - 98.000) x 360 / (100.000 x 80) \u003d 0,09 \u003d 9%.
Odločite se sami
Naloga 5.15
Račun v višini 200 tisoč rubljev. računovodstvo v banki 30 dni pred zapadlostjo po diskontni stopnji 15% letno. Določite znesek, ki ga prejme imetnik menice, in znesek diskonta, ki ga prejme banka, s časovno osnovo 360 dni.
Odgovor: 197 500 rubljev; 2500 rubljev.
Naloga 5.16
Banka izdaja posojila po diskontni stopnji 15% letno. Določite rok posojila v letih, če želi posojilojemalec prejeti 500 tisoč rubljev, vrnjeni znesek pa mora biti 550 tisoč rubljev.
. Odgovor: 0,61 leta.
Antisipativna metoda izračuna obrestnih obresti (sestavljene diskontne stopnje)
Vstavimo naslednji zapis:
ёс - kompleksna diskontna stopnja;
^ - nominalna letna diskontna stopnja (uporablja se pri obračunu obresti po diskontni meri večkrat na leto);
Formula za diskontiranje pri sestavljeni diskontni stopnji:
P \u003d 8 (1 - let) str.
Obračunani znesek po n letih: 8 = P / (1 - Ds) str.
Tukaj je 1 / (1 - ds)p - koeficient akumulacije pri kompleksni diskontni stopnji.
Če sta obresti posojila in diskontna stopnja enaki, je akumulacija začetnega zneska v drugem primeru (po antisipativni metodi) hitrejša. Zato je v literaturi mogoče zaslediti trditev, da je za posojilojemalca bolj ugodna dekurzivna metoda obračunavanja obresti, za posojilodajalca pa antisipativna metoda. Vendar se to lahko šteje za pošteno le pri nizkih obrestnih merah, ko razlika ni tako velika. Toda z višanjem obrestne mere postane razlika v akumuliranih zneskih velika (in raste z rastjo %) in primerjava teh dveh metod izgubi vsakršen smisel.
Iz formule izhaja, da lahko diskontna stopnja sprejme le vrednosti, ki so strogo nižje od 100%. Akumulirani znesek hitro narašča z rastjo diskontne stopnje in teži v neskončnost.
Če se diskontna stopnja med trajanjem posojila spremeni:
n
8 \u003d R / P (1 - n th).
1=1
Tukaj je n1, n2, ... nN trajanje časovnih intervalov v letih;
d1, ... ^ - diskontne stopnje v teh intervalih;
Če se obresti obračunavajo m-krat na leto, potem
8 = P / (1 - G/t)™
Če izvedemo izračune 8 za različne vrste obrestnih mer (enostavne in sestavljene posojilne in diskontne mere) z istimi P in obrestnimi merami, potem bo največje povečanje kapitala doseženo, če se obresti obračunajo po enostavni diskontni meri.
Naloga 5.17
Začetni znesek dolga je 25 tisoč rubljev. Določite akumulirani znesek po 3 letih z uporabo dekurzivne in antisipativne metode izračuna obresti. Letna obrestna mera - 25%.
rešitev:
\u003d 25.000 (1 + 0,25) 3 \u003d 48.828,125 rubljev;
\u003d 25.000 (1 - 0,25) -3 \u003d 59.255,747 rubljev.
Odločite se sami
Naloga 5.18
Določite trenutno vrednost zneska 120.000 rubljev, ki bo izplačan v 2 letih z uporabo kompleksne diskontne stopnje 20% na leto.
Odgovor: 76 800 r
Problem 5.19.
Določite akumulirane zneske za različne vrste obrestnih mer pod enakimi začetnimi pogoji: P = 10.000 rubljev, obrestna mera = 10%.
Rezultate izračuna povzamemo v tabeli in primerjamo hitrosti vrtenja. Vrsta stopnje in formula za izračun 8 Termp = 1 Termp =3 Termp =6 \u003d R e] p 11 044 Enostavno računovodstvo: 8 \u003d P / (1 - dp) Kompleksno računovodstvo: 8 \u003d P / (1 - d) p
Na primer, zgornja vrstica prikazuje rezultate izračuna akumuliranih zneskov po enostavni posojilni obrestni meri s pogoji posojila, ki so enaki enemu, trem in šestim letom. Prazne vrstice morate izpolniti sami.
V formuli za izračun neprekinjenega izračuna obresti je e osnova naravnega logaritma. Za n = 1: 8 = 10.000 x 2,701 x 1 = 11.044.
Enakovredne obrestne mere Enakovredne obrestne mere so tiste obrestne mere različnih vrst, katerih uporaba ob enakih začetnih pogojih daje enake finančne rezultate. Poznati jih je treba, kadar obstaja izbira pogojev za finančne transakcije in je potrebno orodje za pravilno primerjavo različnih obrestnih mer.
Ekvivalenčne enačbe se uporabljajo za iskanje enakovrednih obrestnih mer. Izbrana je vrednost, ki jo je mogoče izračunati z različnimi vrstami stopenj (običajno je to vnaprej vračunani znesek). Na podlagi enakosti dveh izrazov za dano vrednost se sestavi ekvivalenčna enačba, iz katere z ustreznimi transformacijami dobimo razmerje, ki izraža razmerje med obrestnimi merami različnih vrst. Na primer, da bi našli preprosto diskontno stopnjo, ki je enakovredna preprosti posojilni obrestni meri, bi bila enačba enakovrednosti
P (1 + w) \u003d P / (1 - nj) ali (1 + w) \u003d 1 / (1 - nj), tj. je treba izenačiti ustrezne rastne faktorje. Zato je th = 1 / (1 + w) in 1 = th / (1 - nth).
Naloga 5.20
Ročnost dolžniške obveznosti je šest mesecev, enostavna diskontna stopnja je 18 %. Kakšen je donos te operacije, merjen kot navadna obrestna mera?
rešitev:
1 = 0,18 / (1 - 0,5 x 0,18) = 0,198 = 19,8 %. Da bi našli enakovrednost letne sestavljene posojilne obrestne mere in letne sestavljene nominalne posojilne obrestne mere, enačimo izraza: (1 + dp = (1 + Ut)™
Zato je 1c \u003d (1 + Ym) m - 1.
Dobljena letna obrestna mera, ki je enakovredna nominalni obrestni meri, se imenuje efektivna obrestna mera. Morate ga poznati, če želite določiti dejanski donos ali primerjati obresti, kadar se uporabljajo različni intervali obračunavanja.
Naloga 5.21
Izračunajte efektivno obrestno mero, če je nominalna obrestna mera 24 % in se obresti obračunavajo mesečno.
rešitev:
1s = (1 + 0,24 / 12)12 - 1 = 0,268 = 26,8 %.
Naloga 5.22
Ugotovite, po kakšni obrestni meri je bolj donosno položiti kapital v višini 10.000 tisoč rubljev. za 5 let:
a) po enostavni posojilni obrestni meri 20% letno;
b) po posojilni obrestni meri 12 % letno s četrtletnimi obrestmi.
rešitev:
Tukaj ni treba izračunati zneska zbranega zneska po različnih stopnjah. Zato velikost ustanovnega kapitala ni pomembna. Zadostuje na primer, če poiščemo preprosto obrestno mero, ki je enakovredna dani sestavljeni obrestni meri, tj. uporabite formulo
1 = [(1 + ] / m)m - 1] / n = [(1 + 0,12 / 4)20 - 1] / 5 = 0,1612 = 16,12 %.
Ker je enostavna obrestna mera 16,12 %, ki bi dala enak rezultat kot podana obrestna mera (12 %), bistveno nižja od obrestne mere, predlagane v prvi možnosti (20 %), je jasno, da prva možnost naložbe (po enostavni stopnji 20 % letno) je veliko bolj donosna.
Zdaj pa izračunajmo akumulirane zneske v obeh primerih:
a) 8 \u003d 10.000 (1 + 5 x 0,2) \u003d 20.000 tisoč rubljev;
b) 8 \u003d 10.000 (1 + 0,12 / 4) 20 \u003d 18.061 tisoč rubljev.
Dobljeni rezultat potrjuje prejšnjo ugotovitev, da je prva možnost bolj donosna, saj daje veliko količino akumulacije. Hkrati pa uporaba enakovrednih stopenj prepolovi izračune.
Odločite se sami
Naloga 5.23
Zadolžnica je bila diskontirana tri mesece pred zapadlostjo po diskontni stopnji 20 % letno. Določite vrednost ekvivalentne obrestne mere navadnih obresti, ki določa donosnost računovodske operacije.
Odgovor: 21,1 %.
Naloga 5.24
Enostavna obrestna mera je 20% letno. Določite vrednost diskontne stopnje, ki je enaka temu, ko izdate posojilo za šest mesecev.
Odgovor: 18 %.
Naloga 5.25
Dveletno posojilo je bilo dano po obrestni meri 16 % letno. Določite vrednost ekvivalentne diskontne stopnje pri izdaji posojila za šest mesecev.
Odgovor: 14,5 %.
Problem 5.26
Potrdilo o vlogi za dobo petih let obračunava navadne posojilne obresti po 15-odstotni letni stopnji. Določite ekvivalentno obrestno mero.
Odgovor: 11,84 %.
Naloga 5.27
Banka obračunava mesečne obresti na depozite po nominalni letni obrestni meri 12 % letno. Izračunajte donosnost naložbe po letni obrestni meri.
Odgovor: 12,68 %.
Iz tega je mogoče sklepati:
Vrednost efektivnega tečaja je večja od vrednosti nominalnega tečaja in sovpadata pri m = 1.
Enostavna diskontna stopnja je vedno nižja od drugih, njej enakovrednih stopenj (ker je kopičenje pri tej stopnji, ob drugih enakih pogojih, vedno hitrejše).
Enakovrednost različnih obrestnih mer ni odvisna od vrednosti začetnega zneska P (predpostavlja se, da je začetni znesek enak).
Enakovrednost obrestnih mer je vedno odvisna od trajanja obdobja obračunavanja obresti, razen v primerih enakovrednosti različnih vrst sestavljenih obrestnih mer (če je obdobje obračunavanja enako).
Težave, ki jih je treba upoštevati:
1. Izračun letnih obrestnih obresti.
2. Primerjava rasti obrestnih in navadnih obresti.
3. Obračunavanje obresti večkrat na leto.
4. Diskontiranje po obrestni meri.
5. Določitev roka finančnega posla in obrestne mere.
6. Nenehno kopičenje in diskontiranje.
V finančni praksi se pomemben del izračunov izvaja s shemo obrestnih obresti. Uporaba sheme obrestnih obresti je priporočljiva v primerih, ko:
- obresti se ne plačujejo sproti, ampak se prištejejo prvotnemu znesku dolga. Prištevek natečenih obresti k znesku dolga, ki služi kot osnova za njihov izračun, se imenuje kapitalizacija obresti;
− rok posojila je več kot eno leto.
Če se obresti ne plačajo takoj, ko nastanejo, ampak se prištejejo k prvotnemu znesku dolga, se dolg tako poveča za neplačani znesek obresti, na povečani znesek dolga pa se naknadno obračunajo obresti. :
- za eno obdobje obračunavanja;
- za dve obračunski obdobji;
od tukaj, za n obdobja obračunavanja, bo formula v obliki:
Kje - akumulirani znesek dolga; - začetni znesek dolga; jaz- obrestno mero v obračunskem obdobju; n- število obdobij obračunavanja. Ta formula se imenuje formula obrestnih obresti.
Razlika med obračunavanjem enostavnih in obrestnoobrestnih obresti v osnovi njihovega izračuna. Če se navadne obresti ves čas zaračunavajo na isti začetni znesek dolga, tj. obračunska osnova je stalna vrednost, potem se obresti obračunavajo na osnovo, ki se povečuje z vsakim obračunskim obdobjem. Tako so preproste obresti same po sebi absolutna rast, formula preprostih obresti pa je podobna formuli za določanje stopnje razvoja proučevanega pojava s konstantno absolutno rastjo. Sestavljene obresti označujejo proces rasti začetnega zneska s stabilnimi stopnjami rasti, hkrati pa pospešujejo njegovo absolutno vrednost, zato se formula za obrestne obresti lahko šteje za določanje ravni na podlagi stabilnih stopenj rasti.
V skladu s splošno teorijo statistike je treba za pridobitev osnovne stopnje rasti pomnožiti verižne stopnje rasti. Ker je obrestna mera za obdobje verižna stopnja rasti, je verižna stopnja rasti:
(1 + jaz).
Potem je osnovna stopnja rasti za celotno obdobje, ki temelji na konstantni stopnji rasti:
(1 + i) n.
Ekonomski pomen multiplikatorja akumulacije je, da pokaže, čemu bo enaka ena denarna enota (en rubelj, en dolar itd.) n obdobja po določeni obrestni meri jaz.
Grafični prikaz razmerja obračunanega zneska za navadne in obrestne obresti je prikazan na sliki.
Kot je razvidno iz slike, je za kratkoročna posojila prednostno obračunavanje navadnih obresti kot obrestnih obresti; pri ročnosti enega leta razlike ni, pri srednjeročnih in dolgoročnih posojilih pa je akumulirani znesek, izračunan za obrestne obresti, precej višji kot pri enostavnih.
Za katero koli jaz,
če 0 < n < 1, то (1 + ni) >(1 + i)n
če n > 1, potem (1 + ni)< (1 + i) n
če n = 1, potem je (1 + ni) = (1 + i) n
Tako za posojilodajalce:
− shema enostavnih obresti je donosnejša, če je posojilna doba krajša od enega leta (obresti se obračunajo enkrat na koncu leta);
- shema obrestnih obresti je donosnejša, če posojilo traja dlje kot eno leto;
- obe shemi dajeta enak rezultat z obdobjem enega leta in enotnim obračunom obresti.
Pogosto se finančne pogodbe sklepajo za obdobje, ki ni celo število let.
V primeru, da je rok finančne transakcije izražen kot delno število let, se obresti lahko izračunajo na dva načina:
− splošno Metoda je sestavljena iz neposrednega izračuna z uporabo formule obrestnih obresti:
,
Kje n- obdobje transakcije; a je celo število let; b je delni del leta.
− mešano metoda izračuna predvideva, da se za celo število let obračunskega obdobja obresti uporabi formula za obrestne obresti, za delni del leta pa po formuli enostavnih obresti:
.
Zaradi b< 1 , To (1 + bi) > (1 + i) a, zato bo akumulirani znesek večji pri uporabi mešane sheme.
Mešana shema je bolj ugodna za posojilodajalca.
Obdobje obračunavanja obresti ni vedno enako letu dni, vendar pogoji finančne transakcije ne navajajo obrestne mere za obdobje, Aletna obrestna mera z navedbo obdobja nastanka - nominalna obrestna mera (jaz).
Nominalna stopnja (nominalna stopnja) - letna obrestna mera, na podlagi katere se določi vrednost obrestne mere v posameznem obračunskem obdobju, kadar se obresti obračunavajo večkrat letno.
Ta stopnja:
− prvič, ne odraža dejanske učinkovitosti posla;
− drugič, ne more se uporabiti za primerjave.
Če se obračunajo obresti m enkrat letno in rok dolga - n let, potem bo skupno število obračunskih obdobij za celotno obdobje finančne transakcije
Zato lahko formulo obrestnih obresti zapišemo na naslednji način:
,
kjer je i nominalna letna obrestna mera.
Poleg nominalne obrestne mere obstaja efektivna stopnja (efektivna stopnja), ki meri realni relativni dohodek, ki je bila pridobljena za celotno leto z upoštevanjem znotrajletne kapitalizacije. Efektivna obrestna mera kaže, kakšna letna obrestna mera daje enak finančni rezultat m- enkratno povečanje letno v višini j/m:
,
.
Iz formule izhaja, da je efektivna stopnja odvisna od števila medletnih časovnih razmejitev.
Izračun efektivne obrestne mere je močno orodje za finančno analizo, saj njena vrednost omogoča primerjavo finančnih transakcij z različnimi pogoji: višja kot je efektivna obrestna mera finančne transakcije, (ceteris paribus) bolj je donosna za upnika.
Opozoriti je treba, da formula osnovnih obrestnih obresti vključuje trajno obrestno mero v celotnem obrestnem obdobju. Pri zagotavljanju dolgoročnega posojila pa se pogosto uporabljajo obrestne mere, ki se spreminjajo v času, vendar so vnaprej določene za vsako obdobje. V primeru uporabe spremenljivke obrestne mere je obračunska formula naslednja:
Kje vem– zaporedne vrednosti obrestnih mer v času; nk– trajanje obdobij, v katerih se uporabljajo ustrezne stopnje.
Vse situacije, ki smo jih do sedaj obravnavali, so bile diskretne obresti, saj so izračunane v določenih časovnih obdobjih (leto, četrtletje, mesec, dan, ura). Vendar pa v praksi pogosto obstajajo primeri, ko obresti tečejo nenehno, za poljubno kratek čas. Če bi se obresti obračunavale dnevno, bi letni koeficient (množilec) akumulacije izgledal takole:
.
Ker pa se obresti tečejo nenehno, potem m teži k neskončnosti, akumulacijski koeficient (množilnik) pa k ejaz, Kje e≈ 2,718281 se imenuje Eulerjevo število in je ena najpomembnejših konstant v matematični analizi.
Od tu lahko zapišemo formulo za akumulirani znesek za n leta:
Stalna obrestna mera se imenuje sila obresti in so simbolizirani δ , v nasprotju z diskretno obrestno mero ( jaz).
Grafično ima sprememba vračunanega zneska glede na pogostost vračunavanja naslednjo obliko:
Pri diskretnem obračunavanju vsak "korak" označuje povečanje glavnice dolga zaradi naslednjega obračunavanja obresti. Upoštevajte, da se višina "stopnic" ves čas povečuje.
Znotraj enega leta ena »stopnica« na levem grafu ustreza dvema »stopenicama« na srednjem grafu manjše velikosti, vendar skupaj presegata višino »stopnice« posameznega obračuna. Še hitrejše je kopičenje s sprotnim obračunom obresti, kot prikazuje graf na desni.
Tako se glede na pogostost obračunavanja obresti akumulacija začetnega zneska izvaja po različnih stopnjah, največja možna akumulacija pa se izvaja z neskončno delitvijo letnega intervala.
Kontinuirani izračun obresti se uporablja pri analizi kompleksnih finančnih problemov, kot sta utemeljitev in izbira naložbenih odločitev. Pri ocenjevanju dela finančne institucije, kjer se plačila za določeno obdobje prejemajo večkrat, je razumno domnevati, da se obračunani znesek skozi čas nenehno spreminja, in uporabiti neprekinjen izračun obresti.
Tako kot za preproste obresti so tudi za sestavljene obresti potrebne formule, ki vam omogočajo, da določite manjkajoče parametre finančne transakcije:
− rok posojila,
− obrestna mera.
Sestavljene obresti se uporabljajo pri dolgoročnih finančnih in kreditnih poslih, če se obresti ne plačujejo periodično takoj po obračunu za pretekli časovni interval, ampak se prištejejo znesku dolga. Pogosto se imenuje prištevek natečenih obresti k znesku, ki je služil kot osnova za njihovo določitev kapitalizacija odstotkov.
formula obrestne obresti
Naj bo prvotni dolgp, potem bo v enem letu znesek dolga z dodanimi obrestmip(1+ jaz) , po 2 letih p(1+ jaz)(1+ jaz)= p(1+ jaz) 2 , prek n leta - p(1+ jaz) n. Tako dobimo obračunsko formulo za obrestne obresti
S=P(1+i)n, (19)
Kje S- akumulirani znesekjaz- letna obrestna mera,n- rok posojila (1+ jaz) n- množitelj povečanja.
V praktičnih izračunih se uporabljajo predvsem diskretni odstotki, tj. obresti, obračunane za iste časovne intervale (leto, pol leta, četrtletje itd.). Sestavljene obresti so rast po zakonu geometrijskega napredovanja, katerega prvi člen je enakp, in imenovalec (1+ jaz).
Upoštevajte, da v časun<1 akumulacija preprostih obresti daje večji rezultat kot sestavljene obresti in sn>1 - obratno. To je enostavno videti na konkretnih numeričnih primerih. Največji presežek obračunanih navadnih obresti nad zneskom obračunanih obresti (pri enakih obrestnih merah) je dosežen v srednjem delu obdobja.
Formula obrestne obresti
ko se stopnja s časom spreminja
V primeru, da se obrestna mera skozi čas spreminja, ima obračunska formula naslednjo obliko
(20)
kjer je i 1, i 2,..., i k - zaporedne vrednosti veljavnih obrestnih mer v obdobjih n1,n2,...,nk oz.
Primer 6
V pogodbi je bila določena spremenljiva obrestna mera, opredeljena kot 20 % letno plus marža 10 % v prvih dveh letih, 8 % v tretjem letu in 5 % v četrtem letu. Določite vrednost množitelja akumulacije za 4 leta.
rešitev.
(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704
Formula za podvojitev vsote
Da bi ocenil svoje možnosti, se lahko posojilodajalec ali dolžnik vpraša: v koliko letih se bo znesek posojila povečal zankrat po določeni obrestni meri. To je običajno potrebno pri napovedovanju vaših naložbenih priložnosti v prihodnosti. Odgovor dobimo tako, da faktor rasti enačimo z vrednostjon:
A) za preproste obresti
(1+ nipreprosto.) = n, kje
. (21)
B) za obrestne obresti
(1+ jazzapleteno) n= n, kje
. (22)
Še posebej pogosto uporabljenan=2. Potem se formuli (21) in (22) imenujeta podvojitveni formuli in imata naslednjo obliko:
A) za preproste obresti
, (23)
B) za obrestne obresti
. (24)
Če je formulo (23) enostavno uporabiti za ocenjevanje izračunov, potem formula (24) zahteva uporabo kalkulatorja. Vendar pa je pri nizkih obrestnih merah (recimo manj kot 10 %) mogoče namesto tega uporabiti enostavnejši približek. Glede na to je enostavno dobiti ln 2 0,7 in ln (1+ i ) i . Potem
n» 0,7/ jaz. (25)
Primer 7
rešitev.
a) Pri navadnih obrestih:
leta.
b) Z obrestnimi obrestmi in natančno formulo:
Leta.
c) Z obrestno mero in približno formulo:
n» 0,7/ jaz\u003d 0,7 / 0,1 \u003d 7 let.
Sklepi:
1) Ista vrednost obrestne mere navadnih in obrestnih obresti vodi do popolnoma različnih rezultatov.
2) Pri nizkih sestavljenih obrestnih merah dajeta natančna in približna formula praktično enake rezultate.
Izračun letnih obresti za delno število let
Z delnim številom let se obresti izračunajo na različne načine:
1) Po formuli obrestnih obresti
S=P(1+i)n, (26)
2) Temelji na mešani metodi, po kateri se obresti zaračunavajo za cela leta, enostavne obresti pa za delna leta.
S=P(1+i) a (1+bi), (27)
Kje n= a+ b, aje celo število letbje delni del leta.
3) V številnih poslovnih bankah velja pravilo, po katerem se obresti ne obračunavajo za obdobja, krajša od obračunske dobe, tj.
S=P(1+i) a. (28)
Nominalne in efektivne obrestne mere
Nominalna stopnja . Naj bo letna obrestna meraj, in število obdobij obračunavanja na letom. Nato se vsakič obračunajo obresti po stopnji j/m. Ponudba jimenovano nominalno. Obresti se izračunajo po nominalni obrestni meri po formuli:
S=P(1+j/m) N, (29)
Kje n- število obdobij obračunavanja.
Če se rok posojila meri z delnim številom obračunskih obdobij, potem primenkratne obresti na leto, se lahko obračunani znesek izračuna na več načinov, kar vodi do različnih rezultatov:
1) Formula obrestne obresti
S=P(1+j/m) N/t, (30)
Kje n/ t- število (po možnosti delno) obrestnih dob,t- obdobje obračunavanja obresti,
2) Mešana formula
, (31)
Kje a- celo število obdobij obračunavanja (tj.a= [ n/ t] - celo število deljenja celotne dobe posojilanza obdobje obračunavanjat),
b- preostali delni del obdobja obračunavanja ( b= n/ t- a).
Primer 8
Znesek posojila je 20 milijonov rubljev. Zagotovljeno za 28 mesecev. Nominalna obrestna mera je 60% letno. Obresti se obračunavajo četrtletno. Izračunajte natečeni znesek v treh situacijah: 1) ko se na delni del obračunajo obresti, 2) na delni del se obračunajo navadne obresti, 3) ko se delni del ne upošteva. Primerjajte rezultate.
rešitev.
Obresti se obračunavajo četrtletno. Skupaj je četrtin.
1)
= 73,713 milijona rubljev.
2)
= 73,875 milijona rubljev
3) S=20(1+0,6/4) 9= 70,358 milijonov zbadanje
Iz primerjave akumuliranih zneskov vidimo, da največjo vrednost doseže v drugem primeru, tj. pri izračunu ulomnega dela navadnih obresti.
Efektivna stopnja kaže, kakšna letna obrestna mera daje enak finančni rezultat kotm- enkratno povečanje letno v višinij/ m.
Če so obresti kapitaliziranemenkrat letno, vsakič s stopnjoj/ m, potem lahko po definiciji zapišemo enakost za ustrezne faktorje rasti:
(1+iuh) n =(1+j/m) mn, (32)
Kje jazuhje efektivna stopnja inj- Nazivna. Iz tega dobimo, da je razmerje med efektivnimi in nominalnimi tečaji izraženo z razmerjem
(33)
Inverzno razmerje ima obliko
j=m[(1+iuh) 1/m -1].(34)
Primer 9
Izračunajte efektivno obrestno mero, če banka obračunava obresti četrtletno, po nominalni obrestni meri 10 % letno.
rešitev
jazuh=(1+0,1/4) 4 -1=0,1038, tj. 10,38 %.
Primer 10
Določite, kakšna bi morala biti nominalna obrestna mera za četrtletno obračunavanje obresti, da bi zagotovili efektivno obrestno mero 12 % letno.
rešitev.
j=4[(1+0,12) 1/4 -1]=0,11495, tj. 11,495 %.
Obračun (eskontiranje) po obrestni meri
Tukaj, kot tudi v primeru preprostih obresti, bosta obravnavani dve vrsti računovodstva - matematično in bančno.
Matematično računovodstvo . V tem primeru se problem rešuje obratno glede na obrestne obresti. Zapišimo začetno formulo za prirastek
S=P(1+i)n
in jo reši zap
, (35)
Kje
(36)
popust ali diskontni faktor.
Če se obračunajo obrestimenkrat letno dobimo
, (37)
Kje
(38)
multiplikator popusta.
vrednost ppridobljeno z diskontiranjemS, poklical sodoben oz trenutna vrednost oz dano velikost S. Vsote p in Sso enakovredni v smislu, da plačilo v zneskuS skozi nlet je enaka vsotiptrenutno plačan.
Razlika D= S- pklical popust.
Bančno računovodstvo. V tem primeru se predpostavlja uporaba kompleksne diskontne stopnje. Diskontiranje po kompleksni diskontni stopnji se izvaja po formuli
P=S(1-dsl)n, (39)
Kje dsl- Sestavljena letna diskontna stopnja.
Popust v tem primeru je
D=S-P=S-S(1-dsl) n = S.(40)
Pri uporabi kompleksne diskontne stopnje se postopek diskontiranja postopoma upočasni, saj se diskontna stopnja vsakič uporabi za znesek, zmanjšan za prejšnje obdobje za znesek popusta.
Nominalne in efektivne obrestne mere
Nominalna diskontna stopnja . Ko se uporablja diskontiranjemenkrat letno uporabite nominalno diskontno stopnjo f. Nato je v vsakem obdobju enako 1/ mdelu leta, diskontirano po sestavljeni diskontni stopnjif/ m. Postopek diskontiranja za to zapleteno računovodstvomenkrat letno opisuje formula
P=S(1-f/m) N, (41)
Kje n- skupno število obdobij popustov (n= mn).
Popust ni eno ampak menkrat letno zniža diskontno stopnjo hitreje.
Efektivna diskontna stopnja. Efektivna diskontna mera je sestavljena letna diskontna mera, ki je enaka (glede na finančne rezultate) nominalni stopnji, ki se uporablja za dano število popustov na leto.m.
V skladu z definicijo efektivne diskontne mere najdemo njeno razmerje z nominalno stopnjo iz enakosti diskontnih faktorjev.
(1-f/m) mn =(1-dsl)n,
iz česar izhaja, da
dsl=1-(1-f/m) m. (42)
Upoštevajte, da je efektivna diskontna stopnja vedno nižja od nominalne.
Povečanje po kompleksni diskontni stopnji. Povečanje je inverzni problem za diskontne stopnje. Formule za vračunavanje pri kompleksnih diskontnih stopnjah je mogoče dobiti z razrešitvijo ustreznih formul za diskontiranje (39 in 41) glede naS. Dobimo
od P=S(1-d sl) n
, (43)
in od p= S(1- f/ m) n
. (44)
Primer 11.
Kakšen znesek je treba navesti v zadolžnici, če je dejansko izdan znesek 20 milijonov rubljev, zapadlost je 2 leti. Račun je izračunan na podlagi 10-odstotne sestavljene letne diskontne stopnje.
rešitev.
milijonov rubljev
Primer 12.
Rešite prejšnji problem, pod pogojem, da se kopičenje po kompleksni diskontni stopnji ne izvaja enkrat, ampak 4-krat na leto.
rešitev.
milijonov rubljev
Akumulacija in diskontiranje
Obračunani znesek po ločenih obrestih se določi po formuli
S= p(1+ j/ m) mn,
Kje jje nominalna obrestna mera inm- število obrestnih obdobij na leto.
Bolj m, krajši so časovni intervali med trenutki obračuna obresti. V meji prim® ¥ imamo
S= lim P(1+j/m) mn =P lim [(1+j/m) m ] n . (45)
m ® ¥ m ® ¥
Znano je, da
lim (1+j/m) m =lim [(1+j/m) m/j ] j =e j,
m ® ¥ m ® ¥
Kje eje osnova naravnih logaritmov.
Z uporabo te omejitve v izrazu (45) končno ugotovimo, da akumulirani znesek v primeru neprekinjenega obračunavanja obresti po stopnjij je enako
S= Pejn. (46)
Za razlikovanje zvezne obrestne mere od diskretnih obrestnih mer se imenuje sila rasti in je označena s simbolom d. Potem
S=Pedn. (47)
Moč rasti d je nominalna obrestna mera prim® ¥ .
Diskontiranje na podlagi zveznih obrestnih mer se izvaja po formuli
P=Se-dn. (48)
Razmerje med diskretnimi in zveznimi obrestnimi merami
Diskretna in zvezna obrestna mera sta v funkcionalnem razmerju, zaradi česar je mogoč prehod iz izračuna zveznih na diskretne obresti in obratno. Formulo za enakovredni prehod iz ene stopnje v drugo lahko dobimo z enačenjem ustreznih množiteljev akumulacije
(1+i)n=edn. (49)
Iz zapisane enakosti izhaja, da
d = ln(1+ jaz) , (50)
jaz= ed-1 . (51)
Primer 13
Letna obrestna mera je 15 %, kar je enakovredna stopnji rasti,
rešitev.
Uporabljamo formulo (50)
d = ln(1+ jaz)= ln(1+0,15)=0,13976,
tiste. ekvivalentna sila rasti je 13,976 %.
Izračun dobe posojila in obrestnih mer
V številnih praktičnih problemih je začetni ( P ) in končni (S ) zneski so določeni s pogodbo in je treba določiti bodisi rok plačila bodisi obrestno mero, ki v tem primeru lahko služi kot merilo primerjave s tržnimi kazalniki in značilnost donosnosti operacije za posojilodajalca. . Te vrednosti je enostavno najti iz prvotnih formul za povečanje ali popust. Pravzaprav je v obeh primerih inverzni problem v določenem smislu rešen.
Trajanje posojila
Pri razvoju parametrov pogodbe in ocenjevanju časa doseganja želenega rezultata je treba določiti trajanje operacije (rok posojila) prek preostalih parametrov transakcije. Razmislimo o tem vprašanju podrobneje.
jaz.
S=P(1+i)n
temu sledi
(52)
kjer je logaritem mogoče vzeti v kateri koli osnovi, saj je prisoten tako v števcu kot v imenovalcu.
menkrat letno iz formule
S=P(1+j/m)mn
dobimo
(53)
d. Iz formule
P=S(1-d)n
imamo 
(54)
m enkrat letno. Od
P=S(1-f/m)mn
pridemo do formule
(55)
Ko gradimo na stalni sili rasti. Temelji
S= Pedn
dobimo
ln( S/ p)= d n. (56)
Izračun obresti
Iz istih začetnih formul kot zgoraj dobimo izraze za obrestne mere.
A) Pri gradnji po skupni letni stopnjijaz. Iz originalne formule rasti
S=P(1+i)n
temu sledi
(57)
B) Pri povečanju po nominalni obrestni merimenkrat letno iz formule
S=P(1+j/m)mn
dobimo 
(58)
C) Pri diskontiranju po sestavljeni letni diskontni merid. Iz formule
P=S(1-d)n
imamo 
(59)
D) Pri diskontiranju po nominalni diskontni stopnjim enkrat letno. Od
P=S(1-f/m)mn
pridemo do formule
(60)
E) Ko gradimo na stalni sili rasti. Temelji
S= Pedn
dobimo
(61)
Obresti in inflacija
Posledica inflacije je padec kupne moči denarja, ki v določenem obdobjunoznačen z indeksomJ n. Indeks kupne moči je enaka recipročni vrednosti indeksa cenJp, tj.
J n=1/ Jp. (62)
Indeks cenPrikazuje, kolikokrat so se cene dvignile v določenem časovnem obdobju.
Obračun navadnih obresti
Če se poveča za n letih je znesek denarjaS, indeks cen pa jeJp, potem je dejansko akumulirana količina denarja, upoštevajoč njihovo kupno moč, enaka
C=S/Jp. (63)
Naj bo pričakovana povprečna letna stopnja inflacije (ki označuje povečanje cen na leto) enaka h . Potem bo letni indeks cen (1+ h).
Če pride do povečanja po preprosti stopnji mednlet, nato realno povečanje po stopnji inflacije h bo
(64)
kje na splošno
(65)
in zlasti pri stalni stopnji rasti cenh,
Jp =(1+h)n. (66)
Obrestna mera, ki kompenzira inflacijo, ko se izračunajo navadne obresti, je
(67)
Eden od načinov za nadomestitev amortizacije denarja je zvišanje obrestne mere za znesek t.i. inflacijsko premijo. Tako prilagojena stopnja se imenuje bruto stopnja. Bruto stopnja, ki jo bomo označili s simbolomr, se ugotovi iz enakosti za inflacijo prilagojenega množitelja nastanka poslovnega dogodka pri bruto stopnji in množitelja nastanka poslovnega dogodka pri realni obrestni meri
(68)
kje
(69)
Povečanje obresti
Razširjeno obrestno obrestovanje znesek do konca obdobja posojila, ob upoštevanju padca kupne moči denarja (tj. v stalnih rubljih), bo
(70)
kjer je indeks cen določen z izrazom (65) ali (66), odvisno od variabilnosti ali konstantnosti stopnje inflacije.
V tem primeru se padec kupne moči denarja kompenzira s stopnjojaz= h, ki zagotavlja enakostC= p.
Prijavite se dva načina za nadomestilo izgub od zmanjšanja kupne moči denarja pri obračunu obrestnih obresti.
A) Prilagoditev obrestne mere, po katerem se naredi prirastek, za vrednost inflacijsko premijo. Obrestna mera, povečana za inflacijsko premijo, se imenuje bruto obrestna mera. Označili ga bomo s simbolomr. Ob predpostavki, da je letna stopnja inflacijeh, lahko zapišemo enakost ustreznih rastnih faktorjev
(71)
Kje jaz- realna stopnja.
Od tu dobimo Fisherjevo formulo
r=i+h+ih. (72)
To pomeni, da je inflacijska premijah+ ih.
B) Indeksacija začetnega zneska p . V tem primeru znesekpprilagojeno glede na gibanje vnaprej določenega indeksa. Potem
S=PJ p (1+i) n. (73)
Zlahka je videti, da tako v primeru A) kot v primeru B) dobimo isto formulo rasti (73). V njem prva dva dejavnika na desni strani odražata indeksacijo začetnega zneska, zadnja dva pa prilagoditev obrestne mere.
Merjenje realne obrestne mere
V praksi je treba rešiti tudi inverzni problem - poiskati realno obrestno mero glede na inflacijo. Iz enakih razmerij med multiplikatorji akumulacije ni težko izpeljati formul, ki določajo realno stopnjojazpo dani (ali oglaševani) bruto stopnji r.
Pri izračunu enostavnih obresti je letna realna obrestna mera enaka
(74)
Pri izračunu obresti se realna obrestna mera določi z naslednjim izrazom
(75)
Praktične aplikacije teorije
Oglejmo si nekaj praktičnih aplikacij teorije, ki smo jo obravnavali. Pokažimo, kako se zgoraj pridobljene formule uporabljajo pri reševanju resničnih problemov izračuna učinkovitosti nekaterih finančnih transakcij, in primerjajmo različne metode izračuna.
Pretvorba valut in izračun obresti
Razmislite o kombinaciji pretvorbe valut (menjave) in akumulacije preproste obresti, primerjamo rezultate iz neposredne polaganja razpoložljivih sredstev v depozite ali po predhodni zamenjavi za drugo valuto. Skupaj obstajajo 4 možnosti za nabiranje obresti:
1. Brez pretvorbe. Devizna sredstva so položena kot devizni depozit, začetni znesek se povečuje po deviznem tečaju z neposredno uporabo formule enostavnih obresti.
2. S pretvorbo. Sredstva začetne valute se pretvorijo v rublje, akumulacija poteka po tečaju rublja, na koncu operacije se znesek v rublju pretvori nazaj v prvotno valuto.
3. Brez pretvorbe. Znesek v rublju je položen v obliki depozita v rublju, na katerega se obresti obračunavajo po tečaju rublja po enostavni obrestni formuli.
4. S pretvorbo. Znesek v rublju se pretvori v določeno valuto, ki se naloži v depozit v tuji valuti. Obresti se obračunavajo po deviznem tečaju. Zbrani znesek ob koncu operacije se pretvori nazaj v rublje.
Operacije brez pretvorbe niso težke. V operaciji obračunavanja z dvojno konverzijo obstajata dva vira dohodka: obračunavanje obresti in sprememba menjalnega tečaja. Poleg tega je izračun obresti brezpogojni vir (stopnja je fiksna, inflacija še ni upoštevana). Sprememba tečaja je lahko v eno ali drugo smer in je lahko tako vir dodatnega dohodka kot tudi izgube. V nadaljevanju se bomo posebej osredotočili na dve možnosti (2 in 4), ki omogočata dvojno pretvorbo.
Najprej uvedemo naslednji zapis:
Pv- znesek depozita v tuji valuti,
P r- znesek depozita v rubljih,
S v- akumulirani znesek v tuji valuti,
S r- akumulirani znesek v rubljih,
K 0 - menjalni tečaj na začetku transakcije (menjalni tečaj v rubljih)
K 1 - menjalni tečaj ob koncu posla,
n- rok depozita,
jaz- obračunska stopnja za zneske v rubljih (kot decimalni ulomek),
j- stopnja akumulacije za določeno valuto.
MOŽNOST: VALUTA ® RUBLJI ® RUBLJI ® VALUTA
Operacija je sestavljena iz treh stopenj: zamenjava valute za rublje, kopičenje zneska v rublju, povratna pretvorba zneska v rublju v prvotno valuto. Obračunani znesek, prejet ob koncu transakcije v tuji valuti, bo
.
Kot lahko vidite, se tri stopnje operacije odražajo v tej formuli v obliki treh faktorjev.
Množitelj povečanja, ob upoštevanju dvojne pretvorbe, je enak
,
Kje k= K 1 / K 0 - stopnja rasti tečaja za obdobje operacije.
Vidimo, da je faktor rastimje linearno povezana s stopnjojazin obratno z menjalnim tečajem na koncu transakcijeK 1 (oz. s stopnjo rasti menjalnega tečajak).
Teoretično preučujemo odvisnost skupne donosnosti operacije dvojne konverzije po shemi VALUTA® RUBLJ ® RUBLJ ® VALUTA iz razmerja končnega in začetnega tečajak .
Enostavna letna obrestna mera, ki označuje donosnost operacije kot celote, je enaka
.
V to formulo nadomestite prej zapisani izraz zaS v
.
Tako s povečanjemk donosnostjaz eff pade vzdolž hiperbole z asimptoto -1 / n . Glej sl. 2.
riž. 2.
Preučimo singularne točke te krivulje. Upoštevajte, da kok =1 donosnost operacije je enaka tečaju rublja, tj.jaz eff = jaz . prik >1 jaz eff < jaz , in kdajk <1 jaz eff > jaz . Na sl. 1 je mogoče videti, pri neki kritični vrednostik , kar bomo označili kotk * , se izkaže, da je donosnost (učinkovitost) operacije enaka nič. Iz enakostijaz eff =0 ugotovimo, dak * =1+ ni , kar posledično pomeniK * 1 = K 0 (1+ ni ).
ZAKLJUČEK 1: Če so pričakovane vrednostik ozK 1 presegajo njihove kritične vrednosti, potem je operacija očitno nedonosna (jaz eff <0 ).
Zdaj pa definirajmo najvišja dovoljena vrednost tečaja ob koncu operacije K 1 , pri kateri bo učinkovitost enaka obstoječi obrestni meri na depozite v tuji valuti, uporaba dvojne konverzije pa ne prinaša dodatne ugodnosti. Da bi to naredili, izenačimo faktorje povečanja za dve alternativni operaciji
.
Iz zapisane enakosti izhaja, da
oz
.
SKLEP 2: Valutni depozit s pretvorbo v rublje je donosnejši od depozita v tuji valuti, če se pričakuje, da bo menjalni tečaj na koncu transakcije nižjimaksK 1 .
MOŽNOST: RUBLJ® VALUTA® VALUTA® rubljev
Zdaj razmislimo o možnosti z dvojno pretvorbo, ko je začetni znesek v rubljih. V tem primeru tri stopnje operacije ustrezajo trem faktorjem naslednjega izraza za akumulirani znesek
.
Tudi tu je množitelj nateka linearno odvisen od obrestne mere, zdaj pa od valutne obrestne mere. Linearno je odvisen tudi od končnega tečaja.
Opravimo teoretično analizo učinkovitosti te operacije z dvojno pretvorbo in določimo kritične točke.
.
Zato zamenjava izraza zaS r , dobimo
.
Odvisnost kazalnika učinkovitostijaz eff odk linearno, je prikazano na sl. 3
riž . 3.
pri k=1 i
eff
=j
,
pri k>1 i
eff
>j
,
pri k<1
jaz
eff
Poiščimo zdaj kritično vrednostk * , pri kateremjaz eff =0 . Izkazalo se je enako
oz .
ZAKLJUČEK 3: Če so pričakovane vrednostik ozK 1 manj od njegovih kritičnih vrednosti, potem je operacija očitno nedonosna (jaz eff <0 ).
Najmanjša dovoljena vrednostk (stopnja rasti menjalnega tečaja za celotno obdobje transakcije), ki zagotavlja enako donosnost kot neposredna vloga v rubljih, se določi z enačenjem množiteljev nastanka poslovnega dogodka za alternativne transakcije (ali iz enakostijaz eff = jaz )
,
kje min ozmin .
SKLEP 4: Polog zneskov v rubljih s pretvorbo valut je bolj donosen kot depozit v rubljih, če se pričakuje, da bo menjalni tečaj na koncu transakcije višjiminK 1 .
Zdaj razmislite o kombinaciji pretvorbe valut in kopičenja obrestno obrestovanje. Omejili se bomo na eno možnost.
MOŽNOST: VALUTA® rubljev® rubljev® VALUTAk =1 jaz uh = jaz , prik >1 jaz uh < jaz , in kdajk <1 jaz uh > jaz .
kritična vrednostk , pri kateri je učinkovitost delovanja enaka nič, tj.jaz uh =0 ,
definirano kotk * =(1+ jaz ) n , kar pomeni, da je povprečna letna stopnja rasti deviznega tečaja enaka letni stopnji rasti tečaja rublja: .
SKLEP 5: Če so pričakovane vrednostik ozK 1 večja od kritičnih vrednosti, potem je obravnavana operacija z dvojno pretvorbo očitno nedonosna (jaz uh <0 ).
Najvišja dovoljena vrednostk , pri kateri bo donosnost operacije enaka donosnosti neposredne naložbe tuje valute po tečaju
Oris finančne transakcije
Finančne ali kreditne operacije vključujejo ravnotežje med naložbo in donosom. Koncept ravnotežja lahko razložimo na grafu.
riž. 5.
Naj znesek posojilaD 0 izdano za obdobjeT . V tem obdobju se na primer izvedeta dve vmesni plačili za poplačilo dolgaR 1 inR 2 , ob koncu obdobja pa se plača preostanek dolgaR 3 uravnavanje delovanja.
Na časovnem intervalut 1 dolg naraste naD 1 . V trenutkut 1 dolg se zmanjša naK 1 = D 1 - R 1 itd. Operacija se konča tako, da upnik prejme preostanek dolgaR 3 . Na tej točki je dolg v celoti poplačan.
Imenujmo graf tipa b) oris finančne transakcije. Uravnotežena operacija ima nujno zaprto zanko, tj. zadnje plačilo v celoti pokrije stanje dolga. Okvir transakcije se običajno uporablja pri odplačevanju dolga z delnimi mejniškimi plačili.
S pomočjo zaporednih delnih plačil se včasih poplačajo kratkoročne obveznosti. V tem primeru obstajata dva načina za izračun obresti in določitev stanja dolga. Prvi se imenuje aktuarski in se uporablja predvsem pri transakcijah z rokom več kot eno leto. Druga metoda se imenuje pravilo trgovca. Običajno ga uporabljajo komercialna podjetja pri transakcijah s terminom ne več kot eno leto.
komentar: Pri izračunu obresti se praviloma uporabljajo navadne obresti s približnim številom dni časovnih obdobij.
aktuarska metoda
Aktuarska metoda vključuje zaporedni obračun obresti na dejanski znesek dolga. Delno plačilo gre predvsem za poplačilo natečenih obresti na dan plačila. Če znesek plačila presega znesek natečenih obresti, gre razlika za poplačilo glavnice dolga. Stanje dolga služi kot osnova za obračun obresti za naslednje obdobje itd. Če je delno plačilo nižje od obračunanih obresti, se v znesku dolga ne pobotajo. Ta dohodek se doda naslednjemu plačilu.
Za primer, prikazan na sl. 5 b), dobimo naslednje formule za izračun za določitev stanja dolga:
K1=D0(1+t1i)-R1; K2 =K1(1+t2i)-R2; K2 (1+t 3 i)-R 3 \u003d 0,
kjer časovna obdobjat 1 , t 2 , t 3 - so podani v letih in obrestni merijaz - letno.
Pravilo trgovca
Pravilo trgovca je še en pristop k obračunavanju obrokov. Tu sta možni dve situaciji.
1) Če rok posojila ne preseže, ostane znesek dolga z natečenimi obrestmi za celotno obdobje nespremenjen do popolnega odplačila. Hkrati se kopičijo delna plačila z natečenimi obrestmi do konca obdobja.
2) V primeru, da obdobje presega eno leto, se zgornji izračuni izvedejo za letno dolžniško obdobje. Ob koncu leta se od zneska dolga odšteje akumulirani znesek akumuliranih delnih plačil. Preostanek se izplača naslednje leto.
S celotno dobo posojilaT £ 1 algoritem lahko zapišemo na naslednji način
,
KjeS - stanje dolga ob koncu obdobja,
D - nabrani znesek dolga,
K - akumulirani znesek plačil,
Rj - znesek delnega plačila,
t j - časovni interval od trenutka plačila do konca roka,
m - število delnih (vmesnih) plačil.
Spremenljivi znesek računa in obračun obresti
Razmislite o situaciji, ko je v banki odprt varčevalni račun in se znesek računa med obdobjem hrambe spremeni: sredstva se dvignejo, opravijo se dodatni prispevki. Nato v bančni praksi pri obračunu obresti pogosto uporabljajo metodo izračuna z obračunom t.i. odstotne številke. Vsakič, ko se stanje na računu spremeni, se izračuna odstotekCj za preteklo obdobjej , pri čemer je znesek na računu po formuli ostal nespremenjen
,
Kjet j - trajanjej -to obdobje v dnevih.
Za določitev zneska natečenih obresti za celotno obdobje se vse obrestne številke seštejejo in njihov znesek deli s stalnim deliteljem.D :
,
KjeK - časovno bazo (število dni v letu, tj. 360 ali 365 ali 366),jaz - letna obrestna mera navadnih obresti (v %).
Ob zaprtju računa bo lastnik prejel znesek v višini zadnje vrednosti zneska na računu plus znesek obresti.
Primer 14
Recimo, da je bil 20. februarja odprt račun na vpogled v višinip 1 \u003d 3000 rubljev, obrestna mera za depozit je bila enakajaz =20 % letno. Dodatno polog na račun je bilR 1 = 2000 rubljev. in je bila narejena 15. avgusta. Dvig z računa v višiniR 2 = -4000 rub. zabeležen 1. oktobra, 21. novembra pa je bil račun zaprt. Določiti je treba višino obresti in skupni znesek, ki ga vlagatelj prejme ob zaprtju računa.
rešitev.
Izračun bo izveden po shemi (360/360). Obstajajo tri obdobja, v katerih je znesek na računu ostal nespremenjen: od 20. februarja do 15. avgusta (p 1 =3000, t 1 \u003d 10 + 5 * 30 + 15 \u003d 175), od 15. avgusta do 1. oktobra (p 2 = p 1 + R 1 \u003d 3000 + 2000 \u003d 5000 rubljev,t 2
Znesek, plačan ob zaprtju računa, je enak
P3 +I=1000+447,22=1447 drgnite. 22 policaj.
Zdaj bomo pokazali povezavo te tehnike s formulo preprostih obresti. Razmislite o zgornjem primeru v algebraični obliki.
CUmmah plačal ob zaprtju računa, ugotovimo, kot sledi
Tako smo dobili izraz, iz katerega izhaja, da se za vsak znesek, pripisan ali dvignjen z računa, zaračunavajo obresti od trenutka opravljene ustrezne transakcije do zaprtja računa. Ta shema sledi pravilu trgovca, obravnavanemu v razdelku 6.2.
Sprememba pogojev pogodbe
V praksi je pogosto treba spremeniti pogodbene pogoje: na primer, dolžnik lahko zaprosi za odlog zapadlosti dolga ali, nasprotno, izrazi željo po predčasnem odplačilu, v nekaterih primerih lahko se pojavi potreba po združitvi (konsolidaciji) več dolžniških obveznosti v eno itd. V vseh teh primerih se uporablja načelo finančne enakovrednosti starih (nadomeščenih) in novih (nadomestnih) obveznosti. Za reševanje težav pri spreminjanju pogodbenih pogojev, t.i ekvivalenčna enačba, v katerem je znesek nadomestnih plačil, prilagojen na katero koli časovno točko, enak znesku plačil na novo obveznost, prilagojen na isti datum. Za kratkoročne pogodbe veljajo enostavne obrestne mere, za srednje- in dolgoročne pogodbe pa obrestne mere.
Izračuni z enostavnimi obrestnimi merami so povsem enostavni in enostavni. Vendar so omejene uporabe.
Predpostavimo, da banka plačuje navadne obresti za 3 leta po stopnji i. Z začetnim vlogom, enakim P, bo imel vlagatelj čez leto na računu znesek S 1:
S 1 \u003d P (1 + i),
po 2 letih - vsota S2:
S 2 \u003d P (1 + 2 i),
po 3 letih - seštevek S3:
S 3 \u003d P (1 + 3 i).
Vendar pa lahko vlagatelj po enem letu zapre račun, prejme znesek S1 vključno z obrestmi in ta znesek položi na nov račun. Konec prihodnjega leta lahko to operacijo ponovi. Posledično bo po prvem letu prejel znesek S1, ki je enak prejšnjemu znesku S1:
S = S 1 = P (1 + i),
po drugem letu že nov seštevek S1 :
po tretjem letu vsota S3:
Novi zneski bodo večji od prejšnjih, saj vsebujejo obresti ne le na začetni depozit, ampak tudi na že natečene obresti. V matematični obliki to ustreza neenačbam:
Tako je za vlagatelja koristno dvigniti denar z računa in ga položiti na drug račun. Takšno operacijo je bolj donosno izvajati vsako četrtletje kot vsako leto, vsak mesec pa je bolj donosno kot vsako četrtletje. Pogosteje kot vlagatelj nakazuje denar, več dohodka bo prejel. Posledično bo velik del vlagateljev banke želel izvesti takšno operacijo.
Za banko je to povezano z različnimi težavami pri delu. Prvič, za izvajanje takšnih operacij mora banka imeti dodatno rezervo sredstev. Drugič, obilica tovrstnih transakcij otežuje sedanje bančno delo. Končno, tretjič, vlagatelj lahko po zaprtju računa prejeti denar položi v drugo banko, katere pogoji se mu trenutno zdijo ugodnejši.
V zvezi s tem banke same prevzamejo pobudo za izvedbo takšne operacije. Obresti iz naslova depozita se prištevajo k depozitu, tako da se nove obresti obračunajo na povečan znesek, vključno s predhodno obračunanimi obrestmi. Ta operacija se imenuje obrestna obrest.
Povečanje zneska zaradi obrestnih obresti je mogoče obravnavati kot povečanje navadnih obresti, ki se uporabljajo za naraščajoči znesek, ki vključuje predhodno obračunane obresti, tj. kot periodično ponovno vlaganje sredstev, vloženih z navadnimi obrestmi v vsakem obdobju obračunavanja.
V praksi se pri izračunu obrestnih obresti praviloma kot standardno obračunsko obdobje vzame določeno časovno obdobje (leto, četrtletje, mesec itd.) in se nato izračunajo obresti, ki so natečene za takšna enaka standardna obdobja. Z drugimi besedami, čas v takih izračunih velja za diskretno vrednost, merjeno s standardnimi obdobji. V tem primeru govorimo o diskretnih odstotkih.
Če skrajšamo dolžino takšnega standardnega intervala, s četrtletja na mesec, teden, dan itd., potem bomo v meji prešli z diskretnih obresti na kontinuirane obresti, ki se nabirajo v neskončno majhnem časovnem obdobju.
Naj bo začetni znesek enak P in raste skladno z obrestno mero, ki je enaka i, v enem časovnem obdobju. Po n takih obdobjih bo povečani znesek S določen z naslednjo formulo (formula za obrestne obresti):
S = P(1+i)n
Vrednost (1 + i) n običajno imenujemo faktor rasti ali faktor rasti. Prikazuje, v koliko denarja se bo vsak rubelj prvotno vloženih sredstev spremenil po n časovnih obdobjih.
Če izračunamo akumulirano količino denarja skupaj z obrestmi zaporedno za vsako leto
za prvo leto: 
za drugo leto: 
za n-to leto:
potem dobimo, da so prejeti denarni zneski členi geometrijske progresije, v kateri je prvi člen vrednost P, imenovalec progresije pa (1 + i)
Če pri izračunu po formuli obrestne obresti uporabite operacijo reinvestiranja, tj. dvignete denar z računa skupaj z obrestmi in ga ponovno položite na račun, potem vlagatelj ob enaki obrestni meri ne pridobi ničesar.
Dejansko naj vlagatelj položi sredstva v višini P na račun pod pogoji obrestnih obresti. Po k obdobjih je dvignil denar z računa in ga ponovno položil za nadaljnjih m obdobij. Potem bo po prvih k obdobjih prejel vsoto Q:
Q = P(1+i) k.
Nato se ta vsota Q po nadaljnjih m obdobjih spremeni v novo vsoto S:
S = Q (1+i) m.
Če končno vsoto S izrazimo s prvotnim P, dobimo:
S \u003d Q (1 + i) m \u003d P (1 + i) k (1 + i) m \u003d P (1 + i) k + m.
Tako je rezultat popolnoma enak, kot če vlagatelj ne bi izvedel vmesne operacije, ampak preprosto položi začetni znesek P na skupno število časovnih obdobij, ki je enako k + m.
Praksa finančnih institucij včasih predvideva izračun obresti samo za celo število obdobij. Če to ni predvideno, se pri izračunu obresti za necelo število obdobij uporabljajo različne metode.
Obračunavanje za necelo število obdobij se lahko izvede z uporabo iste formule za obrestne obresti kot za celo število. Na primer, če želite izračunati povečani znesek za 5,2 obdobja, se izračun v tem primeru izvede po formuli
S \u003d P (1 + i) 5 (1 + i) 0,2 \u003d P (1 + i) 5.2.
Z drugimi besedami, za delno število 0,2 obdobja se obresti izračunajo po isti shemi kot za celo število obdobij. To nam omogoča, da zapišemo splošno formulo za obrestne obresti za kateri koli čas t:
S \u003d P (1 + i) t,
ali vsebuje celo ali necelo število obdobij.
V nekaterih primerih se obračunavanje za necelo število obdobij izvede po drugi, mešani formuli. Za celo število obdobij se obresti izračunajo po formuli sestavljenih obresti, za delno stanje pa po formuli preprostih obresti. V tem primeru se časovne razmejitve za 5,2 obdobja izvedejo po formuli
S \u003d P (1 + i) 5 (1 + i 0,2).
Upoštevati je treba, da bo obračunani znesek v tem primeru nekoliko večji kot pri izračunu po prvi metodi.
Nazadnje, kot je navedeno zgoraj, se včasih obresti sploh ne zaračunajo za delni del obdobja. V tem primeru se časovne razmejitve za obdobja 5,2 določijo po formuli
S \u003d P (1 + i) 5.
Pogoji pogodbe običajno določajo stalno obrestno mero. Vendar se je v nekaterih primerih mogoče dogovoriti za spremenljivo obrestno mero. Običajno je to posledica procesa inflacije, ki zmanjšuje rast realne vrednosti zneska denarja, ali spremembe tečaja valute, s katero so povezani pogoji pogodbe.
V teh in podobnih primerih se sprememba obrestne mere pogaja.
Razmislite o situaciji s spremenljivo obrestno mero. Recimo, da je na prvem časovnem intervalu dolžine t1 stopnja enaka i1, na drugem intervalu dolžine t2 je stopnja enaka i2, na tretjem intervalu dolžine t3 je stopnja enaka i3 itd. Intervali, kot prej ima lahko različne dolžine.
Upoštevajte n takih intervalov dolžine t1, t2 ... tn. Vrednost prispevka po kompleksni spremenljivi obrestni meri do konca zadnjega obdobja bo:
Določimo povprečno obrestno mero i za primer depozita s kompleksno spremenljivo obrestno mero.
Naj bo, tako kot prej, T skupno obdobje depozita po spremenljivi obrestni meri
a je delež intervala t k v tem skupnem obdobju:
Po definiciji povprečna obrestna mera i izpolnjuje naslednji pogoj: če jo nadomestimo v formulo rasti namesto vsake od mer ik, se rezultat izračuna ne bo spremenil. Torej:
Od tu dobimo formulo za (1 + i) - povprečno vrednost faktorja rasti na časovno enoto:
Končno je povprečna obrestna mera i sama:
Po formuli za povprečni faktor rasti (1 + i) je to geometrično tehtano povprečje faktorjev rasti za posamezna časovna obdobja. Utežni koeficienti so deleži ustreznih časovnih intervalov v skupnem roku depozita.
Faktorji rasti za tista časovna obdobja, ki so relativno dolga, bodo vključeni v končno tehtano povprečje z veliko težo.
V posebnem primeru, ko so dolžine vseh časovnih intervalov med seboj enake, je delež vsakega od njih enak 1/n, uteženo povprečje pa gre v običajno geometrično sredino:
Stopnja inflacije za določeno časovno obdobje označuje odstotek povečanja ravni cen za določeno obdobje.
Predpostavimo, da so znane stopnje inflacije za januar, februar in marec. Označimo s h1 , h2 , h3 stopnje inflacije za te tri mesece.
Napačno je mišljenje, da je četrtletna stopnja inflacije enaka vsoti treh mesečnih stopenj, tj.
hq1 = h1 + h2 + h3.
To pa seveda ne drži. Ta formula ne upošteva, da februarska inflacija označuje odstotek rasti cen glede na cene, ki so se januarja že zvišale, marčna inflacija pa odstotek rasti cen glede na februarske cene.
Tako mora stopnja inflacije v več obdobjih vsebovati obračun obresti na obresti, kot pri izračunih z obrestno mero.
Na napačen način obravnavamo stopnje inflacije kot navadne obrestne mere. Pravilen način je, da jih obravnavate kot sestavljene stave. Poglejmo pravilen način.
Indeks rasti cen je izražen z naslednjo formulo:
kjer je q število blaga, ki se upošteva pri izračunu indeksa rasti cen;
p - cene blaga, upoštevane pri izračunu indeksa rasti cen v baznem obdobju;
p - cene istega blaga v obdobju poročanja.
Indeks rasti cen za n zaporednih obdobij
Stopnja inflacije h je izražena s formulo:
Tako so indeksi rasti I1, I2, I3 določeni s formulami:
I1, = 1 + h1, I2, = 1 + h2, I3, = 1 + h3.
Vsak od indeksov prikazuje, kolikokrat se je raven cen spremenila v določenem mesecu. Zmnožek teh indeksov daje četrtletni indeks Iq1. Četrtletni indeks IQ1 kaže, kolikokrat se je raven cen spremenila v prvem četrtletju:
Ikv1 \u003d I1 * I2 * I3.
Če želite dobiti četrtletno stopnjo inflacije, odštejte ena od četrtletnega indeksa:
hkv1 \u003d Ikv1 - 1.
Tako na koncu dobimo
hkv1 \u003d Ikv1 - 1 \u003d I1 * I2 * I3 - 1 \u003d (1 + h1) * (1 + h2) * (1 + h3) - 1.
Stopnje inflacije se lahko razlikujejo od meseca do meseca. Kako izračunati povprečno mesečno stopnjo inflacije v četrtletju? Če želite to narediti, morate najprej izračunati povprečni mesečni indeks Iavmes po formuli
I srmes \u003d (I 1 × I 2 × I 3) 1/3 \u003d (I sq1) 1/3.
Nato povprečno mesečno stopnjo inflacije havmes dobimo tako, da od povprečnega mesečnega indeksa odštejemo 1:
hsrmes = Isrms - 1.
Tako je končna formula za izračun videti takole:
h srmes \u003d I srmes - 1 \u003d (I 1 × I 2 × I 3) 1/3 - 1 = ((1 + h 1) × (1 + h 2) × (1 + h 3)) 1 /3 - 1.
Je popolnoma analogna formuli za povprečno obrestno mero.
Obrestne obresti se pogosto ne izračunavajo enkrat, ampak večkrat na leto, vsako četrtletje, vsak mesec itd. V tem primeru je v pogodbi običajno navedena nominalna obrestna mera i, ki določa obrestno mero v posameznem obračunskem obdobju (za četrtletno obračunavanje , z mesečnim itd.).
Formule, ki med seboj povezujejo obrestne mere za različna časovna obdobja, je mogoče dobiti z uporabo načela finančne enakovrednosti rezultatov.
Finančni rezultat leta, dobljen po letni obrestni meri, mora biti enak finančnemu rezultatu 4 zaporednih četrtletij, izračunanemu po formuli obrestno obrestnih mer za ekvivalentno četrtletno obrestno mero. Od tu dobimo enakost:
Torej:
Pri izpeljavi formul je bilo govora o enakovrednosti finančnih rezultatov za leto. Pomembno je omeniti, da je enakovrednost rezultatov zagotovljena ne samo za letno, ampak tudi za katero koli časovno obdobje.
Naj bo časovno obdobje, izračunano v letih, enako n (število n ni nujno celo število). Potem ta interval vsebuje 4 . n četrtine. Pripisi po letni in enakovredni četrtletni obrestni meri za to časovno obdobje so med seboj enaki,
Vzpostavili smo razmerje med letnimi in četrtletnimi tečaji. Enako razmišljanje nam omogoča oblikovanje razmerja med letnimi, četrtletnimi in mesečnimi tečaji:
Oglejmo si situacijo na splošno. Naj bo obračunska doba pri obrestni meri i razdeljena na m enakih časovnih obdobij. Nato je obrestna mera i, povezana s temi intervali, določena preko stopnje i v skladu z relacijo
(1 + i) m = (1 + i).
i = (1 + i) m - 1,
i = (1 + i) 1/m - 1.
Na ta način je mogoče vzpostaviti razmerje med obrestnimi merami za kateri koli dve časovni obdobji. Obdobji t in t naj bosta izraženi v enakih enotah (leta, meseci, dnevi itd.). Naj bo obrestna mera i določena za časovno obdobje t, obrestna mera i pa za obdobje t. Te stopnje so enakovredne, če vodijo do istih rezultatov za enake časovne intervale, to je, če so jim pripadajoči koeficienti obračunavanja za iste časovne intervale enaki.
Kot posamezen interval vzamemo interval vrednosti txt. Vsebuje obdobja t v količini t in obdobja t v količini t. Pogoj enakovrednosti lahko zapišemo kot enakost:
(1 + i) t = (1 + i) t.
Od tu dobimo formule, ki izražajo eno stopnjo v smislu druge:
Običajno je v pogodbah določena letna obrestna mera. V tem primeru se imenuje nominalna obrestna mera. Enakovredne obrestne mere za druga časovna obdobja, izračunane v skladu z zgornjimi formulami, se imenujejo uravnotežene (ali izravnalne).
Tako govorimo o nominalni letni obrestni meri in uravnoteženi (uravnalni) polletni, četrtletni, mesečni, dnevni.
V prejšnjem odstavku smo prejeli formule, ki omogočajo pretvorbo obrestne mere, vezane na eno obračunsko dobo, v drugo, enakovredno obrestno mero, vezano na drugo obračunsko dobo. Te formule zlasti omogočajo pretvorbo nominalne letne stopnje v druge uravnotežene stopnje.
Dobljene formule so natančne, vendar zaradi svoje kompleksnosti niso vedno primerne za praktično uporabo. V praksi finančnih transakcij te formule pogosto nadomestijo druge, enostavnejše formule. Namesto uravnotežene stopnje te poenostavljene formule določajo tako imenovano relativno (relativno) stopnjo.
Opozoriti je treba, da izračun z relativnimi stopnjami, ki je precej preprost, vodi do netočnih rezultatov.
Naj bo letna obrestna mera iyear. Nato se četrtletna relativna stopnja iq izračuna po formuli
Mesečna relativna stopnja imonth se določi po formuli
Na splošno je relativna stopnja za časovno obdobje t, merjena v letih, določena z vrednostjo:
i = i leto t.
Za četrtino t = 1/4, za mesec t = 1/12, tako da se iz zadnje splošne formule avtomatsko dobijo njeni posebni primeri za četrtletno in mesečno stopnjo.
Oglejmo si situacijo na splošno. Predpostavimo, da je obdobje obračunavanja razdeljeno na m enakih intervalov. Nato se relativna obrestna mera i, povezana s temi intervali, izračuna s formulo
Obratno razmerje
i = m i
omogoča izražanje začetne stopnje i v smislu relativnega i. Vzpostavimo razmerje med relativnimi obrestnimi merami za kateri koli dve časovni obdobji. Naj bosta časovni obdobji t in t merjeni v istih enotah. Za obdobje t je določena obrestna mera i, za obdobje t pa obrestna mera i. Te stopnje se štejejo za relativne, če so povezane z razmerjem:
če sta enaki na časovno enoto. V enakovredni obliki ima ta enakost obliko
Od tu dobimo formule, ki nam omogočajo, da eno stopnjo izrazimo z drugo:
Nominalna letna stopnja se pretvori v relativno stopnjo za pol leta, četrtletje, mesec tako, da se letna stopnja deli z ustreznim številom. Takšen prehod ustreza transformacijam po formuli preprostih obresti. Vendar se nadaljnje transformacije, povezane z uporabo relativne obrestne mere, izvedejo z uporabo formul za obrestne obresti.
Tako se rast depozita za m mesecev po nominalni letni obrestni meri izračuna z uporabo relativne stopnje, kot sledi. Pri letni stopnji i leto se mesečna stopnja i mesec izračuna:
i mesec = i leto /12,
nato pa se po formuli obrestnih obresti določi koeficient akumulacije za m mesecev. Ima velikost:
Takšen izračun vodi do izkrivljanj.
Na primer, pri m = 6 je mogoče obračunsko stopnjo z uporabo relativne stopnje izračunati na več različnih načinov. Pripeljali bodo do različnih rezultatov.
Posebna formula za izračun se lahko izpusti v primerih, ko se je vsaka od strank pripravljena sprijazniti s posledičnimi izkrivljanji.
Natančen izračun brez izkrivljanja temelji na uravnoteženih tečajih. Če tukaj obstajajo neskladja, potem to ni posledica bistva zadeve, temveč izključno točnost izračunov. Natančnost je večja, če je v izračunih vključenih več decimalnih mest ali če se izračuni izvajajo v navadnih ulomkih.
Izračuni z relativnimi stopnjami vedno prinašajo določena popačenja, ki jih ni mogoče odpraviti zgolj s povečanjem natančnosti izračunov.
V praksi se pogosto uporabljajo relativne stopnje. Njihova uporaba je povezana z velikim udobjem (na škodo natančnosti) in z ustaljeno tradicijo.
Vendar pa se pri izvajanju natančne analize in v teoretičnih študijah uporablja uravnotežena stopnja. Imenuje se tudi efektivna obrestna mera .
Efektivna obrestna mera prikazuje realni relativni dohodek, ki nastane v letu v zvezi z obračunom obresti. Z drugimi besedami, efektivna obrestna mera je letna obrestna mera, ki zagotavlja enak znesek dohodka kot dejansko uporabljena metoda izračuna obresti.
Če se obresti obračunavajo enkrat letno, potem efektivna obrestna mera ustreza nominalni obrestni meri. Če se obresti obračunavajo pogosteje, se lahko efektivna in nominalna obrestna mera številčno razlikujeta. Korespondenca med njimi je odvisna od načina izračuna obresti za določena časovna obdobja.
Če dejansko uporabljena metoda mesečnega (četrtletnega) izračuna obresti temelji na izravnanih obrestnih merah, potem efektivna obrestna mera sovpada z nominalno obrestno mero. Če dejansko uporabljena metoda izračuna mesečnih (četrtletnih) obresti temelji na relativnih obrestnih merah (ali na kakšni drugi shemi izračuna), se efektivna in nominalna obrestna mera razlikujeta.
Upoštevajte rast zneska depozita po formulah enostavnih in sestavljenih obresti pri enaki obrestni meri.
Naj se obresti obračunavajo po stopnji i za določeno časovno obdobje (na primer za eno leto). Nato je rast vsote v času t od začetne vrednosti Р določena z naslednjimi formulami:
Za preproste obresti:
S \u003d P (1 + i t);
Za obrestne obresti:
S \u003d P (1 + i) t.
Časovne razmejitve za necelo število obdobij se tukaj izvajajo po enaki formuli kot za celo število. Za preprosto zanimanje je vrednost S odvisna od časa t v skladu z zakonom linearne funkcije. Za obrestne obresti so odvisne od t po zakonu eksponentne funkcije. Na sl. 2.1 prikazuje grafe takih odvisnosti.
Obe črti na sliki se začneta na isti točki. Za t = 0:
Če je dolžina časovnega intervala t manjša od dolžine obdobja, potem navadne obresti povzročijo večje povečanje zneska kot obrestne obresti.
Če je 0< t < 1, то
Graf linearne funkcije, ki določa rast z uporabo formule za enostavne obresti, leži nad grafom eksponentne funkcije, ki določa rast z uporabo formule za obresti. Torej, če banka objavi letno obrestno mero za depozite in je rok depozita krajši od enega leta, potem je za vlagatelja bolj donosno, da banka z njim izvede poravnavo po enostavni obrestni meri. Nasprotno, posojilojemalcu, ki je pri banki najel posojilo za manj kot leto dni, se bolj splača plačati obresti.
Če je časovni interval t enak enemu obdobju, potem izračun enostavnih in sestavljenih obresti daje enak rezultat:
Oba grafa pri t = 1 gresta skozi isto točko. Če je rok enak dolžini obračunskega obdobja obresti (na primer eno leto), potem je za vlagatelja ali posojilojemalca vseeno, ali se z njim obračunavajo navadne ali obrestne obresti.
Če je dolžina intervala t več kot eno obdobje, potem sestavljene obresti povečajo znesek kot navadne obresti. Če je t > 1, potem
Graf eksponentne funkcije leži nad ravno črto in z naraščanjem t se ne povečuje le velikost odstopanja med njima, temveč tudi stopnja naraščanja tega odstopanja. Če je rok depozita daljši od obdobja obračunavanja obresti, je za vlagatelja bolj donosno obračunavanje po formuli obrestne obresti, z rastjo roka depozita pa se ta ugodnost povečuje. Posojilojemalcu je, nasprotno, bolj donosno odplačati posojilo z navadnimi obrestmi.
Za oceno stopnje rasti denarne vsote se pogosto uporabljajo tako imenovane formule obdobja podvajanja. Takšne formule vam omogočajo izračun obdobja, v katerem se vloženi denar podvoji.
To obdobje se izračuna z rešitvijo enačbe, ki določa podvojitev faktorja rasti.
Za preprosto zanimanje je enačba
1 + i t = 2.
Za obrestne obresti je enačba
Rešitev te enačbe je:
Obrestne mere so finančno enakovredne, če zamenjava ene obrestne mere za drugo v pogodbi ne vodi do spremembe finančnih rezultatov pogodbe, do spremembe odnosov med strankami, vključenimi v transakcijo.
Če zvišanje enostavne obrestne mere v določenem času povzroči enak rezultat kot zvišanje sestavljene obrestne mere v istem času, potem sta obrestni meri finančno enakovredni. Naj bosta in in ic enostavne in sestavljene obrestne mere z enakim obdobjem obračuna (na primer letne obrestne mere). Izenačite faktorje rasti za te stopnje v času t:
Od tu lahko dobite formule, ki vam omogočajo izračun ekvivalentne enostavne stopnje pri kompleksni stopnji in določitev ekvivalentne kompleksne stopnje pri enostavni stopnji.
Upoštevajte, da formule za izračun ekvivalentnih stopenj vključujejo vrednost časovnega intervala t. Ko se spremeni dolžina vrzeli, se spremeni tudi vrednost ekvivalentne stopnje.
Iz dobljenih formul neposredno sledi, da sta pri t = 1, tj. ko je dolžina obravnavanega obdobja enaka obračunski dobi, enakovredni stopnji med seboj enaki:
če je t = 1, potem je in = ic.
Kot kažejo naši prejšnji premisleki, so za enakovredne obrestne mere in in ic izpolnjeni naslednji pogoji:
če t< 1, то in < ic ,
če je t > 1, potem in > ic .
V bančni praksi se pogosto uporablja mešana oblika pretvorbe obrestnih mer, pri kateri se sestavljena letna obrestna mera prevede na primer v četrtletno obrestno mero, ki ni tako zapletena, ampak tako preprosta. Nadaljnje obresti se izračunajo po formuli obrestne mere.
Na primer, banka napove pogoje depozita kot "48% letno s četrtletnimi obrestmi." To pomeni, da se obresti četrtletno prištevajo k že nabranemu znesku depozita in se nanje obračunavajo obresti v prihodnje. Gre torej za kompleksno stavo. Same četrtletne obresti pa se izračunajo po formuli preproste obrestne mere, torej po formuli
i četrtletje \u003d i leto / 4 \u003d 12 (%).
Pretvorjeno nazaj v sestavljeno letno stopnjo, to daje
57,35 % letno namesto 48 %. Rezultat je vedno precenjen, zato je ta oblika nakazila nedonosna za samo banko. Za bančne stranke je koristen in se praktično uporablja.
Poglejmo, kaj bo to pripeljalo, če postopoma skrajšamo obdobje obračunavanja obresti. Recimo, da se ta oblika prenosa obresti ne uporablja za četrtletno, ampak za mesečno obdobje.
Obračun mesečne stopnje
določa letno stopnjo rasti
1,04 12 = 1,6010,
kar ustreza stopnji 60,10 % letno.
Predpostavimo, da se obračunsko obdobje še zmanjša, tj. da je leto razdeljeno na m enakih časovnih obdobij, vrednost m pa se poveča. Splošna formula za novo letno stopnjo rasti je potem:
(1 + i/m) m .
V limiti pri , dobimo količino e jaz . V tem primeru je rast prispevka v času t (merjeno v letih) določena s formulo
S=P e to.
Število e, vključeno v formulo, je osnova naravnih logaritmov. Ima pomembno vlogo pri matematični analizi najrazličnejših procesov. številka e- iracionalen, njegov pomen je
e = 2,7182818...
osnovni logaritmi e imenujemo naravni logaritmi in jih označujemo z ln. V Excelovi preglednici je ustrezna funkcija označena z LN.
Do pojma kontinuiranih obresti smo prišli z mešano obliko obračunavanja, s kombinacijo obračunov po enostavni in sestavljeni obrestni meri. Vendar mešana oblika tukaj ni pomembna. Pomembna je le udeležba sestavljene stave.
Od koncepta obrestne mere do koncepta kontinuiranih obresti je mogoče preiti na drugačen način. Za to zadostuje formula obrestne obresti, ki določa rast začetnega zneska P:
S = P (1 + i) t,
zapišite v drugačni, enakovredni obliki.
Obrestna formula določa rast zneska po zakonu eksponentne funkcije. Osnova te funkcije je količina (1 + i). Za različne vrednosti obrestne mere i se osnove izkažejo za različne. Formula za obrestne mere za neprekinjen čas se preoblikuje tako, da se pri različnih stopnjah izkaže, da je osnova enaka, vendar se eksponent spremeni.
S črko označimo naravni logaritem vrednosti (1 + i):
in zato
Tako lahko formulo za obrestne mere nadomestimo z enakovredno formulo:
Ta formula se običajno uporablja pri analizi nenehne rasti količine denarja.
V tej formuli vrednost α označuje stopnjo rasti vsote. Vrednost α se imenuje moč rasti , oz po moči obresti . Enaka je stopnji relativnega povečanja količine, tj. enaka je relativnemu povečanju količine v neskončno majhnem časovnem obdobju. Moč obresti je posebna vrsta obrestne mere, namenjena preučevanju procesa rasti vsote denarja v neprekinjenem času.
Moč rasti je tesno povezana z obrestno mero. Večja kot je obrestna mera i, večja je sila rasti α in obratno, večja kot je sila rasti α, večja je obrestna mera. Vendar razmerje med njima ni neposredno sorazmerno, linearno razmerje. Ima logaritemski značaj.
Pri majhnih vrednostih obrestna mera praktično sovpada z močjo rasti, vendar se s povečanjem stopnje povečujejo razlike med njihovimi številčnimi vrednostmi. Hkrati je obrestna mera v svoji številčni vrednosti vedno večja od sile rasti.
Poudariti je treba, da te razlike ne povzročajo razlike v rasti denarnega zneska. Nasprotno, med seboj ustrezne, vendar številčno različne vrednosti obrestne mere in sile rasti zagotavljajo enako povečanje količine denarja za enaka časovna obdobja.
Diskontiranje je operacija, ki omogoča vrnitev prihodnje količine denarja v sedanji trenutek. Ta operacija vam omogoča, da določite trenutno vrednost prihodnjega zneska. Zgoraj smo upoštevali diskontiranje po enostavni obrestni meri. Takšno diskontiranje pomeni povečanje količine denarja po formuli preprostih obresti. Zdaj bomo razmislili o diskontiranju po obrestni meri, ki ustreza rasti zneska denarja z uporabo formule obrestne mere.
Začetni znesek denarja Р se po formuli obrestnih mer z obrestno mero i v času t spremeni v znesek S:
Iz tega sledi, da
Ta formula omogoča diskontiranje, tj. določitev začetne vrednosti P iz končne vrednosti S. Množitelj
se imenuje diskontni faktor v času t. Je recipročna vrednost množitelja rasti. Vrednost P se imenuje sodobna ali zmanjšana vrednost S. Imenuje se tudi vrednost, dobljena z diskontiranjem S. Razlika S - P se imenuje diskont in je običajno označena s črko D:
D = S - P.
Operacija diskontiranja je obratna od operacije povečevanja zneska. Zato so lastnosti diskontiranja tesno povezane z lastnostmi akumulacije. Zgoraj je bila primerjava rasti navadnih in obrestnih obresti. Za diskontiranje velja obratno razmerje.
Če je dolžina časovnega intervala krajša od obračunske dobe (na primer eno leto), potem povečanje enostavnih obresti daje večji znesek kot povečanje obrestnih obresti. Enostavni obrestni diskont je nižji od obrestnega diskontiranja.
Če je dolžina časovnega intervala daljša od obračunske dobe, potem obrestna mera povzroči večje povečanje zneska. Vendar pa sestavljena obrestna mera pri diskontiranju daje manjšo vrednost.
Diskontiranje se lahko izvede ne le za diskretno, ampak tudi za kontinuirano merjenje časa. Iz formule za zvezni čas z uporabo sile rasti, ki ima obliko
dobimo formulo popusta:
uporablja se pri izračunih popustov z neprekinjenim časom.
Pri računovodskih operacijah se uporabljajo enostavne in kompleksne diskontne stopnje. Preprosti postopki poravnave diskontne stopnje so bili preučeni zgoraj. Zdaj si bomo ogledali ustrezne postopke za sestavljeno diskontno stopnjo.
Enostavna diskontna stopnja se uporablja za isti začetni znesek, zmanjševanje tega zneska v časovnih obdobjih poteka enakomerno.
Sestavljena diskontna stopnja v vsakem koraku diskontiranja se ne uporabi za prvotni znesek, temveč za znesek, zmanjšan za vrednost diskonta, določeno v prejšnjem koraku. Proces diskontiranja poteka hkrati z upočasnitvijo.
Če je končni znesek S in je diskontna stopnja d, potem diskontiranje po sestavljeni diskontni stopnji v t časovnih obdobjih da začetni znesek P, ki ga daje formula
Zgoraj smo si ogledali prehod z letne obrestne mere na četrtletno, mesečno in druge obrestne mere. Na splošno to ustreza prehodu s stopnje z enim obračunskim obdobjem na stopnjo z drugim obračunskim obdobjem. Proučevali smo dva načina prehoda: prehod na uravnoteženo stopnjo in prehod na relativno stopnjo. Prednost prve metode je njena natančnost, prednost druge metode pa njena preprostost.
Prehod z letne diskontne stopnje na četrtletno, mesečno in druge stopnje se izvede na enaka dva načina. Ena od njih daje uravnoteženo diskontno stopnjo, druga pa omogoča relativno diskontno stopnjo. Razmislimo o njih po vrstnem redu.
Uravnotežene diskontne stopnje so določene v skladu z načelom finančne enakovrednosti rezultatov.
Dobljeni finančni izid za leto po letni diskontni stopnji dleto naj bo enak rezultatu za 4 četrtletja po sestavljeni diskontni stopnji dkv. Z drugimi besedami, enakost
Iz tega izhajajoče povezave med stopnjami zagotavljajo enakost finančnih rezultatov ne le za letno, ampak tudi za poljubno časovno obdobje.
Interval t let vsebuje 4 . t četrtine. Diskontiranje za to časovno obdobje po sestavljeni letni obrestni meri in po sestavljeni četrtletni obrestni meri vodi do enakih rezultatov, saj
Vzpostavili smo razmerje med letno in četrtletno diskontno stopnjo. Podobno oblikujemo razmerje med letnim dletom in mesečnim dmesecem, dnevnim ddanom in drugimi kompleksnimi diskontnimi stopnjami:
Razmerja med četrtletno in mesečno sestavljeno diskontno mero so izražena podobno:
torej
Oglejmo si situacijo na splošno. Naj bo obdobje izračuna diskontne mere d razdeljeno na m enakih intervalov. Nato se diskontna stopnja d, povezana s temi intervali, določi prek stopnje d z uporabo razmerja:
Na splošno je na ta način mogoče pridobiti razmerje med katerima koli dvema sestavljenima diskontnima stopnjama, zaračunanima v dveh različnih časovnih obdobjih.
Časovni obdobji t in t naj bosta merjeni v istih časovnih enotah (letih, mesecih itd.). Naj obdobje t ustreza sestavljeni diskontni stopnji d, obdobje t pa sestavljeni diskontni meri d. Te stopnje so enakovredne, če dajejo enake finančne rezultate za enaka časovna obdobja, tj. če so ustrezni diskontni multiplikatorji enaki.
Kot en sam časovni interval izberemo interval dolžine txt. Vsebuje obdobja t v številu t enot in obdobja t v številu t enot. Pogoj enakovrednosti je izražen kot enakost diskontnih faktorjev za ustrezne časovne intervale, tj. kot enakost
Od tu dobimo formule, ki nam omogočajo, da eno diskontno stopnjo izrazimo z drugo:
Običajno je določena letna diskontna mera, imenovana nominalna diskontna mera. Uporablja se za izračun diskontnih stopenj za druga časovna obdobja. Če so te stopnje določene na tukaj naveden način, se imenujejo uravnotežene (včasih imenovane izravnalne) sestavljene diskontne stopnje.
Uravnotežene sestavljene diskontne stopnje zagotavljajo finančno enakovrednost rezultatov v vseh časovnih intervalih. V tem smislu so take stopnje enakovredne.
Uravnotežene diskontne mere se uvajajo podobno kot uravnotežene obrestne mere. Relativne diskontne stopnje so podobne relativnim obrestnim meram.
Če je letna diskontna stopnja enaka dyear, potem se relativna četrtletna diskontna stopnja dq, mesečna diskontna stopnja dmonth, dnevna diskontna stopnja dday določijo po formulah:
V splošnem primeru naj bo obdobje izračuna diskontne mere d razdeljeno na m enakih intervalov. Potem je relativna diskontna stopnja d za te intervale povezana s stopnjo d z razmerji:
Možno je vzpostaviti razmerje med relativnimi diskontnimi stopnjami za kateri koli dve časovni obdobji. Naj sta periodi t in t merjeni v istih enotah. Diskontna stopnja d je določena za obdobje t, diskontna stopnja d pa za obdobje t. Te stopnje so med seboj relativne, če izpolnjujejo razmerje
če sta njuna deleža na enoto časa med seboj enaka. Ta enakost je enakovredna naslednjemu:
Od tu lahko preprosto dobite formule, ki vam omogočajo, da eno diskontno stopnjo izrazite z drugo:
Te formule omogočajo ne samo izražanje relativnih diskontnih stopenj v smislu nominalne letne diskontne stopnje, temveč tudi izražanje relativnih diskontnih stopenj neposredno v smislu ena druge.
Izračun relativnih diskontnih stopenj ustreza transformacijam po formulah enostavnih stopenj. Vendar pa je uporaba relativnih diskontnih stopenj skladna s formulami sestavljenih stopenj.
Diskontni faktor, na primer za 6 mesecev, izračunan po mesečni diskontni stopnji, je
Isti množitelj, izračunan po četrtletni stopnji, ima obliko
Ta multiplikator je mogoče določiti tudi neposredno prek polletne diskontne mere d polletno:
1 - d pol leta = 1 - d leto / 2.
Tukaj navedene metode izračunavanja iste količine vodijo do številčno različnih rezultatov.
Tako je pri uravnoteženih in relativnih diskontnih merah enako kot pri ustreznih vrstah obrestnih mer. Namreč: izravnave diskontnih stopenj dajejo natančen rezultat, a so povezane z dokaj okornimi izračuni. Relativne diskontne stopnje je lažje izračunati, vendar dajejo približen rezultat.
Upoštevati je treba, da ima relativna diskontna mera pri prehodu na krajše časovne intervale (na primer iz leta v mesec) manjšo vrednost kot uravnotežena diskontna mera. Diskontni faktor pri relativni diskontni stopnji je torej večji od diskontnega faktorja pri uravnoteženi diskontni stopnji.
Torej, če je določena nominalna letna diskontna stopnja in je do izteka računa ostalo manj kot eno leto, je za lastnika računa bolj donosno, da se računovodstvo izvaja po relativni diskontni stopnji.
Pri prehodu na daljše časovne intervale (na primer iz meseca v leto) je situacija ravno obratna. Tu bo relativna diskontna stopnja večja od uravnotežene. Multiplikator diskonta, izračunan po relativni stopnji, bo ustrezno manjši od multiplikatorja diskonta, izračunanega po uravnoteženi stopnji. V tem primeru je za lastnika računa bolj donosno, da se računovodstvo izvaja po uravnoteženi stopnji.
Diskontiranje zneska pri obračunu enostavne diskontne mere se določi po formuli
P \u003d S (1 - d t).
Diskontiranje pri obračunu kompleksne diskontne mere - formula
Na sl. 2.2 prikazuje grafe odvisnosti zneska P, pridobljenega med obračunavanjem, od obračunskega obdobja t.
riž. 2.2. Padajoči znesek po enostavni in kompleksni diskontni stopnji
Zmanjšanje zneska pri enostavni diskontni stopnji poteka po zakonu linearne funkcije, enakomerno. Graf odvisnosti zneska od časa (od obdobja popusta) je ravna črta.
Zmanjšanje zneska pri kompleksni diskontni stopnji poteka neenakomerno, z upočasnitvijo. Graf vsote v odvisnosti od časa je graf eksponentne funkcije z osnovo, manjšo od 1.
Oba grafa se začneta na isti točki pri t = 0 in se sekata pri t = 1. Če je diskontno obdobje 0, potem seveda ni pomembno, ali se diskontiranje izvaja po kompleksni ali enostavni stopnji. Prav tako ni pomembno, če je obdobje popusta enako enemu obdobju (1 leto po letni stopnji). Dejansko pri t = 1 dobimo enake rezultate za enostavne in kompleksne stopnje:
P \u003d S (1 - d t) \u003d S (1 - d).
P \u003d S (1 - d) t \u003d S (1 - d).
V vseh drugih primerih daje diskontiranje po enostavni in zapleteni stopnji različne rezultate. Hkrati, če je obdobje popusta krajše od enega obdobja, se višji znesek (in s tem nižja vrednost popusta) pridobi po enostavni stopnji. Imetniku dolžniške obveznosti s preostalim rokom, krajšim od enega obdobja (eno leto po letni stopnji), je bolj donosno obračunati obveznost po enostavni diskontni stopnji. Če je preostalo obdobje več kot eno obdobje, potem je bolj donosno upoštevati obveznost po kompleksni diskontni stopnji, ta donosnost pa se povečuje z dolžino roka.
Graf linearne funkcije, ki ustreza enostavni stopnji, bo prečkal os x pri določeni vrednosti t. To pomeni, da je za dano obdobje znesek, ki izhaja iz obračuna obveznosti, enak 0, diskont pa je enak celotnemu znesku obveznosti. Obveznosti pod temi pogoji ni smiselno upoštevati. Poleg tega ni smiselno upoštevati nadaljnjih vrednosti t, ko graf pade pod os x.
Za ne predolga obračunska obdobja se uporablja zelo preprosta diskontna stopnja. Nasprotno pa se sestavljena diskontna stopnja lahko uporabi kadar koli. Graf eksponentne funkcije, ki ustreza sestavljeni stopnji, ne bo nikoli prečkal vodoravne osi, čeprav se ji bo s časom neomejeno približeval. Znesek, izdan pri obračunavanju obveznosti pod takšnimi pogoji, se bo neomejeno zmanjševal z naraščanjem roka, vendar nikoli ne bo enak 0. V skladu s tem se bo diskontna vrednost neomejeno približevala znesku same obveznosti, vendar nikoli ne bo sovpadala z njo .
Enakovrednost diskontnih stopenj je povezana z enakovrednostjo finančnih rezultatov pri teh stopnjah za določeno časovno obdobje.
Naj bosta dn in dc enostavni in sestavljeni diskontni stopnji z enakim obračunskim obdobjem (na primer letne stopnje). Enakovrednost tečajev za časovno obdobje t pomeni enakost diskontnih multiplikatorjev, povezanih s tem obdobjem:
Od tu dobimo formuli za izračun enostavne stopnje za enakovredno kompleksno stopnjo in za izračun kompleksne stopnje za enakovredno preprosto stopnjo:
Tako za diskontne mere kot tudi za obrestne mere se enakovrednost ugotavlja za določeno časovno obdobje.
Tečaji, ki so enakovredni za eno časovno obdobje, ko se dolžina časovnega obdobja spremeni, prenehajo biti enakovredni.
Ekvivalentne stopnje so med seboj enake, kadar je dolžina obravnavanega obdobja enaka obračunskemu obdobju, tj.
če je t = 1, potem je dn = dc.
To izhaja neposredno iz dobljenih formul. Prejšnje sklepanje kaže, da enakovredne diskontne stopnje izpolnjujejo naslednje pogoje:
če t< 1, то dn >DC,
če je t > 1, potem dn< dc .
Diskontiranje zneska denarja se lahko izvede v odstotkih ali diskontni stopnji.
Pri diskontiranju po obrestni meri je začetna vrednost denarnega zneska P določena z njegovo končno vrednostjo S, ki je v času t rasla pri obrestni meri i, po formuli
Pri diskontiranju po kompleksni diskontni stopnji d se začetni znesek denarja določi s formulo
Obrestna mera in diskontna mera sta enakovredni, če dajeta enak finančni rezultat, tj. če dajeta enake začetne zneske P za enake končne zneske S za isti čas t.
Tako je za enakovredne stopnje enakost
Če izvlečemo koren stopnje t iz obeh delov, dobimo
To lahko zapišemo takole:
(1 + i) (1 - d) = 1.
Od tu je enostavno izraziti obrestno mero z diskontno mero in diskontno mero z obrestno mero:
Pomembno je omeniti, da te formule ne vključujejo dolžine časovnega intervala t. Zato so enakovredne kompleksne stave enakovredne ne samo za določeno časovno obdobje, ampak za katero koli časovno obdobje. Spomnimo se, da to ne velja za preproste stave.
Formula za diskontiranje pri sestavljeni diskontni stopnji skozi čas t
se lahko uporablja ne samo v diskretnem, ampak tudi v neprekinjenem času. Tako kot v primeru obrestnih obresti se pri prehodu na neprekinjeni čas formula preoblikuje tako, da se ob spremembi diskontne stopnje d ne spremeni osnova eksponentne funkcije, temveč njen indikator. V ta namen vnesite vrednost:
Sublogaritemski izraz je manjši od 1, tj.
ln(1-d)< 0,
in zato je b pozitiven. Iz definicije, ki jo dobimo
Formula za diskontiranje pri kompleksni diskontni stopnji ima obliko
Po analogiji z močjo obresti se vrednost včasih imenuje diskontna sila . Nastala formula diskontiranja s sodelovanjem diskontne sile omogoča izvajanje izračunov v priročni obliki za neprekinjen čas. Moč diskonta označuje relativno stopnjo zmanjšanja diskontiranega zneska.
Z naraščanjem diskontne stopnje se povečuje tudi ustrezna diskontna stopnja. Razmerje med temi količinami ni neposredno, ni neposredno sorazmerno, ampak logaritemsko.
S povečanjem diskontne stopnje se postopoma povečujejo odstopanja med številčnimi vrednostmi diskontne stopnje in diskontne sile. Moč diskonta je večja od diskontne stopnje. Vendar je treba upoštevati, da vrednosti diskontne stopnje in diskontne sile, ki ustrezajo drug drugemu, določajo enak postopek diskontiranja, enak znesek zmanjšanja zneska dolga ob upoštevanju dolžniške obveznosti
Formule, ki smo jih pridobili, vam omogočajo, da na podlagi pogojev pogodbe izračunate končni znesek denarja iz njegovega začetnega zneska ali, nasprotno, izračunate začetni znesek iz znanega končnega zneska. Pomembno vlogo pri finančnih izračunih igra še ena naloga: določiti pogoje pogodbe iz znanega začetnega in končnega zneska. Najpomembnejši numerični značilnosti pogodbe sta trajanje trajanja in stopnja.
Po formuli obrestnih obresti imamo
Po osnovnih transformacijah in logaritmiranju dobimo od tod:
Ta formula vam omogoča, da določite trajanje obdobja t za dani začetni in končni znesek ter pri znani obrestni meri, pri kateri bo začetni znesek P narasel do končnega zneska S pri obrestni meri i. Logaritmi, vključeni v formulo, imajo lahko katero koli osnovo (vendar morata imeti oba logaritma isto osnovo). Zlasti lahko uporabite naravne ali decimalne logaritme.
Predpostavimo zdaj, da je obračunsko obdobje razdeljeno na m enakih časovnih obdobij in da se izračuni izvedejo po stopnji, preračunani za ta obdobja. Iz poračunov po nominalni letni stopnji so na primer prešli na poračune po mesečni obrestni meri. Kot vemo, se uporabljata mesečni uravnoteženi in mesečni relativni tečaj.
Vrednost uravnotežene stopnje i za časovno obdobje, ki je enako 1/m obračunskega obdobja pri stopnji i, je določena s formulo
Rast količine denarja v času t s stopnjo i bo potekala v skladu s formulo
Pri izračunu na podlagi sile rasti se uporablja formula
Če vzamemo naravni logaritem (osnova e) iz obeh delov formule po preprostih transformacijah dobimo:
Sila rasti (zvezna obrestna mera) α in začetna obrestna mera i sta povezani z razmerjem
Tako trajanje roka, izračunano po stalni obrestni meri, sovpada s trajanjem, izračunano po prvotni obrestni meri:
V skladu s formulo za diskontiranje pri kompleksni diskontni stopnji imamo:
Po preprostih transformacijah te formule dobimo:
Ta formula vam omogoča izračun diskontnega obdobja za končni znesek S, obračunski znesek P in diskontno stopnjo d. Tako kot v primeru obrestnih obresti se lahko logaritmi v izračunih vzamejo v kateri koli osnovi (enako v števcu in imenovalcu ulomka).
Razmislite o situaciji, ko je obdobje izračuna diskontne stopnje razdeljeno na m enakih intervalov enake dolžine (na primer leto je razdeljeno na mesece). V tem primeru se poleg začetne diskontne stopnje d uporabljajo uravnotežene in relativne diskontne stopnje d, za katere so ti majhni enaki intervali obračunska obdobja.
Vrednost uravnotežene diskontne stopnje d za interval, ki je del obračunskega obdobja pri stopnji d, je določena s formulo
Diskontiranje vsote denarja v času t z diskontno stopnjo d se izračuna po formuli
Od tu dobimo:
Diskontni stopnji d in d sta povezani z razmerjem
Ugotovili smo, da izračun diskontne dobe t pri prvotni diskontni stopnji d in pri uravnoteženi diskontni meri d daje enak rezultat.
To ne velja za relativno stopnjo. Relativna stopnja se izračuna po formuli
Diskontiranje količine denarja v času t v skladu z relativno diskontno stopnjo d se določi s formulo
Od tu dobimo:
S povečanjem števila intervalov m se diskontna stopnja pri relativni diskontni stopnji zmanjša, diskontna doba pa se poveča. Z naraščanjem m se to obdobje vedno bolj razlikuje od obdobja, izračunanega po začetni in uravnoteženi stopnji.
Pri izračunih glede na moč popusta se uporablja formula
Iz te formule dobimo:
Ker sta sila diskonta in diskontna stopnja d povezani z razmerjem
takrat sta trajanje, izračunano na podlagi jakosti popusta, in trajanje, izračunano na podlagi diskontne stopnje, enaka. res,
Iz formule za obrestne obresti
temu sledi
Zadnja formula vam omogoča, da določite zahtevani znesek obrestne mere i glede na obseg začetnega zneska Р, končnega zneska S in časa vzpona t.
Predpostavimo, da je obdobje obračunavanja razdeljeno na m enakih intervalov. Takšni intervali ustrezajo lastni vrednosti obrestne mere i.
Vrednost i je mogoče izračunati na dva različna načina. Prvi način je iskanje i na podlagi že prejete stopnje i. Rezultat tukaj bo odvisen od tega, ali je ta stopnja i uravnotežena ali relativna. Za uravnoteženo stopnjo je treba izračun opraviti po formuli
Od tod lahko z uporabo že pridobljene formule za i izpeljemo naslednjo formulo:
Za relativno stopnjo je treba izračun izvesti po formuli
Drugi način je, da neposredno poiščemo vrednost stopnje i, ne da bi se zatekli k stopnji i, in šele nato iz nje določimo stopnjo i. .
Formula za obrestne obresti, izražena z obrestno mero i, je:
Če stopnjo i obravnavamo kot uravnoteženo stopnjo, lahko iz zadnje formule dobimo:
Tako za izračun stopnje i dobimo prejšnjo formulo. Za uravnoteženo stopnjo so rezultati izračuna za prvo in drugo metodo enaki.
Če stopnjo i obravnavamo kot relativno stopnjo, potem iz formule za njen izračun dobimo:
Ta formula se razlikuje od prvotne formule za stopnjo i in daje drugačen rezultat.
Tako je za relativno stopnjo pomemben način njenega izračuna.
Razmislite zdaj o neprekinjenem izračunu obresti na podlagi moči rasti. V tem primeru ima formula rasti obliko
Od tu dobimo računsko formulo za določitev sile rasti (zvezne obrestne mere):
Po formuli popusta,
Iz tega sledi, da
Ta formula vam omogoča izračun vrednosti diskontne stopnje d za končni znesek S, znesek v času obračuna P in diskontno obdobje t.
Naj bo obdobje izračuna diskontne mere razdeljeno na m enakih intervalov. Določimo vrednost stopnje d, ki ustreza takim intervalom. Tako kot pri obrestni meri sta tudi tukaj dva načina izračuna. Prvi način je določitev vrednosti diskontne stopnje d na podlagi že prejete stopnje d.
Uravnoteženo diskontno stopnjo d je treba v tem primeru izračunati po formuli
To enakost lahko nadaljujemo:
ki omogoča izračun vrednosti stopnje d neposredno preko začetnih podatkov.
Za relativno diskontno stopnjo se izračun izvede po formuli
Druga metoda temelji na iskanju stopnje d brez uporabe stopnje d. Stopnjo d lahko nato izračunamo iz stopnje d.
Formula za diskontiranje pri diskontni stopnji d je
Tako smo ponovno dobili enako formulo, kot je bila izpeljana za uravnoteženo stopnjo. Zato za uravnoteženo stopnjo obe metodi izračuna dajeta enake rezultate, tako za d kot za d.
Za relativno stopnjo je situacija drugačna. Določimo hitrost d in d:
Ta formula in formula za neposredni izračun stopnje d, navedena na začetku tega odstavka, se med seboj razlikujeta in vodita do različnih rezultatov.
Tako je za relativno diskontno mero, pa tudi za relativno obrestno mero, pomemben način njenega izračuna.
Preidimo k obravnavi stalnega diskontiranja. Formula, ki uporablja diskontno silo, je
Od tu lahko diskontno silo (zvezno obračunsko stopnjo) izračunamo s formulo
Zaradi R < S, potem je sublogaritemski izraz manjši od 1, sam logaritem je negativen, ob upoštevanju znaka minus pa je števec ulomka pozitiven. Tako je vrednost kontinuirane diskontne mere pozitivna.
Rast pri enostavni obrestni meri je določena z linearno funkcijo ali aritmetično progresijo. Rast pri obrestni meri je določena z eksponentno (eksponentno) funkcijo oziroma geometrijsko progresijo.
Tako je dolgoročna sestavljena obrestna mera za vlagatelja bolj donosna kot preprosta, s podaljševanjem roka depozita pa se donosnost povečuje.
Spomnite se osnovnih formul za rast in diskontiranje pri sestavljenih stopnjah.
Rast pri obrestni meri je določena s formulo
Diskontiranje pri obrestni meri se določi po formuli
Diskontiranje po sestavljeni diskontni meri se določi po formuli
Formula za rast, ki temelji na rastne sile:
Formula za popust na podlagi diskontne sile:
