Ma arról fogunk beszélni logaritmus képletekés adjon tájékoztató jellegűt megoldási példák.
Önmagukban a logaritmusok alapvető tulajdonságainak megfelelő döntési sablonokat tartalmaznak. Mielőtt a megoldás logaritmusának képleteit alkalmaznánk, először felidézzük az összes tulajdonságot:
Most ezen képletek (tulajdonságok) alapján megmutatjuk példák a logaritmusok megoldására.
Logaritmus egy pozitív b szám az a bázisban (jelezve log a b) az a kitevő, amelyre a-t fel kell emelni, hogy b-t kapjunk, míg b> 0, a> 0 és 1.
A definíció szerint log a b = x, ami ekvivalens a x = b-vel, ezért log a a x = x.
Logaritmusok, példák:
log 2 8 = 3, mert 2 3 = 8
log 7 49 = 2, mert 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, mert 5 -1 = 1/5
Tizedes logaritmus a szokásos logaritmus, melynek alapja 10. Jelölése lg.
log 10 100 = 2, mert 10 2 = 100
Természetes logaritmus- szintén a szokásos logaritmus a logaritmus, de e bázissal (e = 2,71828 ... irracionális szám). Az ln.
Célszerű megjegyezni a logaritmusok képleteit vagy tulajdonságait, mert a logaritmusok, logaritmusegyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál a jövőben szükségünk lesz rájuk. Próbáljuk meg még egyszer az egyes képleteket példákkal.
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4
9 log 5 50/9 log 5 2 = 9 log 5 50 log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
A szám logaritmusának kitevője log a b m = mlog a b
A logaritmus alapjának kitevője log a n b = 1 / n * log a b
log a n b m = m / n * log a b,
ha m = n, akkor log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
ha c = b, akkor log b b = 1-et kapunk
akkor log a b = 1 / log b a
log 0,8 3 * log 3 1,25 = log 0,8 3 * log 0,8 1,25 / log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Amint látja, a logaritmusok képletei nem olyan bonyolultak, mint amilyennek tűnnek. Most, miután átgondoltuk a logaritmusok megoldására vonatkozó példákat, áttérhetünk a logaritmikus egyenletekre. A logaritmikus egyenletek megoldására vonatkozó példákat részletesebben megvizsgáljuk a cikkben: "". Ne hagyja ki!
Ha továbbra is kérdései vannak a megoldással kapcsolatban, írja meg őket a cikkhez fűzött megjegyzésekben.
Megjegyzés: úgy döntöttünk, hogy egy másik osztályban tanulunk, külföldön tanulunk rendezvényfejlesztési lehetőségként.
Megadjuk az ln x függvény természetes logaritmusának, gráfjának, definíciós tartományának, értékhalmazának, alapképleteinek, deriváltjának, integráljának, hatványsor-bővítésének és komplex számokkal történő ábrázolásának alapvető tulajdonságait.
Természetes logaritmus az y = függvény ln x az exponenciális fordítottja, x = e y, és ez az e alaplogaritmusa: ln x = log e x.
A természetes logaritmust széles körben használják a matematikában, mivel származéka a legegyszerűbb: (ln x) ′ = 1/x.
Alapján definíciók, a természetes logaritmus alapja a szám e:
e ≅ 2,718281828459045 ...;
.
Függvénygráf y = ln x.
Természetes logaritmus diagram (függvények y = ln x) a kitevő gráfjából az y = x egyeneshez viszonyított tükrözéssel kapjuk meg.
A természetes logaritmus definíciója: pozitív értékeket x változó. Meghatározási területén monoton módon növekszik.
Mint x → 0 a természetes logaritmus határa mínusz végtelen (- ∞).
Mint x → + ∞, a természetes logaritmus határa plusz a végtelen (+ ∞). Nagy x esetén a logaritmus meglehetősen lassan növekszik. Bármely x a hatványfüggvény, amelynek pozitív kitevője a, gyorsabban nő, mint a logaritmus.
A természetes logaritmus monoton növekvő függvény, ezért nincs szélsőértéke. A természetes logaritmus főbb tulajdonságait a táblázat mutatja be.
ln 1 = 0
Az inverz függvény definíciójából adódó képletek:
Bármely logaritmus kifejezhető természetes logaritmusban az alapváltoztatási képlet segítségével:
Ezeknek a képleteknek a bizonyítása a „Logaritmus” részben található.
A természetes logaritmus inverze a kitevő.
Ha akkor
Ha akkor.
A természetes logaritmus származéka:
.
Az x modulus természetes logaritmusának deriváltja:
.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása>>>
Az integrál kiszámítása részenkénti integrációval történik:
.
Így,
Tekintsük egy z komplex változó függvényét:
.
Adjuk meg a komplex változót z modulon keresztül rés az érvelés φ
:
.
A logaritmus tulajdonságait felhasználva a következőket kapjuk:
.
Vagy
.
A φ argumentum nincs egyértelműen definiálva. Ha feltesszük
, ahol n egy egész szám,
ugyanaz a szám lesz a különböző n-ekhez.
Ezért a természetes logaritmus, mint egy komplex változó függvénye, nem egyértelmű függvény.
A bomlás során:
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és műszaki intézmények hallgatóinak, "Lan", 2009.
A társadalom fejlődésével és a termelés bonyolultabbá válásával a matematika is fejlődött. Az egyszerűtől a bonyolult felé haladva. Tól től rendszeres könyvelés az összeadás és kivonás módszerével, azok ismételt ismétlésével eljutottak a szorzás és osztás fogalmáig. A szorzás ismétlődő műveletének csökkentése a hatványozás fogalmává vált. A számok alaptól való függésének és a hatványra emelés számának első táblázatait Varasen indiai matematikus állította össze a 8. században. Ezekből meg lehet számolni a logaritmusok előfordulási idejét.
Európa 16. századi újjáéledése a mechanika fejlődését is ösztönözte. T nagy mennyiségű számítást igényelt többjegyű számok szorzásával és osztásával kapcsolatos. Ősi táblázatok renderelt nagyszerű szolgáltatás... Lehetővé tették az összetett műveletek egyszerűbbekkel való helyettesítését - összeadás és kivonás. Nagy előrelépés volt Michael Stiefel matematikus 1544-ben megjelent munkája, amelyben sok matematikus ötletét megvalósította. Ez lehetővé tette, hogy a táblázatokat ne csak a fokozatokhoz használjuk az űrlapon prímszámok, hanem tetszőleges racionálisakra is.
1614-ben a skót John Napier vezette be először ezeket az ötleteket új kifejezés"Szám logaritmusa". A szinuszok és koszinuszok logaritmusának, valamint az érintők kiszámításához új összetett táblázatokat állítottak össze. Ez nagymértékben csökkentette a csillagászok munkáját.
Új táblázatok kezdtek megjelenni, amelyeket a tudósok mindvégig sikeresen alkalmaztak három évszázada... Sokáig tartott azelőtt új művelet az algebrában elnyerte kész formáját. Megadtam a logaritmus definícióját és megvizsgáltam tulajdonságait.
Csak a 20. században, a számológép és a számítógép megjelenésével az emberiség elhagyta a 13. századig sikeresen működő ősi táblázatokat.
Ma az alapot az x szám logaritmusának nevezzük, amely a hatványa, és így a b számot kapjuk. Ezt egy képlet formájában írjuk le: x = log a (b).
Például a log 3 (9) 2 lesz. Ez nyilvánvaló, ha követi a definíciót. Ha a 3-at 2 hatványára emeljük, akkor 9-et kapunk.
Tehát a megfogalmazott definíció csak egy megszorítást állít fel, az a és b számoknak valósnak kell lenniük.
A klasszikus definíciót valós logaritmusnak nevezzük, és valójában az a x = b egyenlet megoldása. Az a = 1 opció határvonalat jelent, és nem érdekes. Megjegyzés: 1 bármely fokig egyenlő 1-gyel.
A logaritmus valós értéke csak akkor definiálható, ha a gyök és az argumentum nagyobb, mint 0, és a gyök nem lehet egyenlő 1-gyel.
Különleges hely a matematika területén logaritmusokat játszanak le, amelyeket az alapjuk nagyságától függően neveznek el:
A logaritmus alapvető tulajdonsága a szabály: a szorzat logaritmusa egyenlő a logaritmikus összeggel. log abp = log a (b) + log a (p).
Ennek az állításnak egy változata a következő lesz: log c (b / p) = log c (b) - log c (p), a hányadosfüggvény egyenlő a függvények különbségével.
Az előző két szabályból könnyen belátható, hogy: log a (b p) = p * log a (b).
Egyéb tulajdonságok:
Megjegyzés. Ne kövess el egy gyakori hibát – az összeg logaritmusa nem egyenlő a logaritmusok összegével.
A logaritmus megtalálása évszázadok óta meglehetősen fáradságos feladat volt. A matematikusok használtak ismert képlet logaritmikus polinomfelbontás elmélete:
ln (1 + x) = x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 +… + ((-1) ^ (n + 1)) * (( x ^ n) / n), ahol n - természetes szám 1-nél nagyobb, ami meghatározza a számítás pontosságát.
A más bázisú logaritmusokat az egyik bázisból a másikba való átmenet tételével és a szorzat logaritmusának tulajdonságával számítottuk ki.
Mivel ez a módszer nagyon időigényes és amikor eldönti gyakorlati feladatokat nehezen kivitelezhető, akkor előre összeállított logaritmustáblázatokat használtunk, ami nagyban felgyorsította az egész munkát.
Egyes esetekben speciálisan összeállított logaritmus-gráfokat használtak, amelyek kisebb pontosságot adtak, de jelentősen felgyorsították a keresést. kívánt értéket... Az y = log a (x) függvény több pontra felépített görbéje lehetővé teszi, hogy egy szabályos vonalzó segítségével megkeressük a függvény értékeit bármely más pontban. Mérnökök hosszú idő ezekre a célokra az úgynevezett milliméterpapírt használták.
A 17. században jelentek meg az első analóg segédszámítási feltételek, amelyek a századi XIX kész megjelenést kapott. A legsikeresebb eszközt csúsztatási szabálynak nevezik. Az eszköz minden egyszerűsége mellett megjelenése jelentősen felgyorsította az összes mérnöki számítás folyamatát, és ezt nehéz túlbecsülni. Manapság már kevesen ismerik ezt az eszközt.
A számológépek és számítógépek megjelenése értelmetlenné tette bármely más eszköz használatát.
Különféle egyenletek és egyenlőtlenségek logaritmussal történő megoldásához a következő képleteket alkalmazzuk:
Az egyenlőtlenségek megoldásához hasznos tudni:
Tekintsünk több lehetőséget a logaritmusok és tulajdonságaik használatára. Példák egyenletek megoldására:
Fontolja meg a logaritmus hatványba helyezésének lehetőségét:
Mivel pusztán matematikai eszközről van szó, távolról sem tűnik el való élet hogy a logaritmus hirtelen megszerezte nagyon fontos tárgyak leírására a való Világ... Nehéz olyan tudományt találni, ahol nem alkalmazzák. Ez nem csak a természeti, hanem a humanitárius tudásterületekre is teljes mértékben vonatkozik.
Íme néhány példa a numerikus függőségekre:
Történelmileg a mechanika és a fizika mindig is a segítségével fejlődött matematikai módszerek kutatások, és egyben ösztönzőleg is szolgáltak a matematika, ezen belül a logaritmusok fejlődéséhez. A legtöbb fizikatörvény elmélete a matematika nyelvén van megírva. Íme csak két példa a leírásra fizikai törvények a logaritmus segítségével.
Oldja meg a számítási feladatot az alábbiak szerint komplex érték milyen lehet a rakéta sebessége a Ciolkovszkij-képlet alapján, amely lefektette az űrkutatás elméletét:
V = I * ln (M1 / M2), ahol
Egy másik fontos példa egy másik nagy tudós, Max Planck képletében való felhasználás, amely az értékelést szolgálja egyensúlyi állapot a termodinamikában.
S = k * ln (Ω), ahol
Kevésbé nyilvánvaló lenne a logaritmusok arányát tartalmazó képletek használata a kémiában. Erre is csak két példát mondunk:
És teljesen érthetetlen, hogy mi köze van ehhez a pszichológiának. Kiderült, hogy az érzet erősségét ez a függvény jól írja le, mint az inger intenzitása értékének az intenzitás alacsonyabb értékéhez viszonyított fordított arányát.
A fenti példák után már nem meglepő, hogy a logaritmusok témakörét széles körben alkalmazzák a biológiában. A logaritmikus spiráloknak megfelelő biológiai formákról köteteket lehet írni.
Úgy tűnik, hogy a világ létezése lehetetlen e funkcióval való kapcsolat nélkül, és minden törvényt ural. Főleg, ha a természet törvényei egy geometriai haladáshoz kapcsolódnak. Érdemes a MatProfi weboldalára hivatkozni, és az alábbi tevékenységi körökben számos ilyen példa van:
A lista végtelen lehet. Miután elsajátította ennek a funkciónak az alapvető törvényeit, belemerülhet a végtelen bölcsesség világába.
(a görög λόγος - "szó", "kapcsolat" és ἀριθμός - "szám") számok bésszel a(log α b) ilyen számnak nevezzük c, és b= a c, azaz log α b=cés b = ac egyenértékűek. A logaritmus akkor értelmezhető, ha a> 0, és ≠ 1, b> 0.
Más szavakkal logaritmus a számok bésszel a mutatójaként van megfogalmazva, hogy milyen mértékben kell növelni a számot a hogy megkapja a számot b(Csak a pozitív számoknak van logaritmusa).
Ez a megfogalmazás azt jelenti, hogy a számítás x = log α b, ekvivalens az a x = b egyenlet megoldásával.
Például:
log 2 8 = 3, mert 8 = 2 3.
Hangsúlyozzuk, hogy a logaritmus jelzett megfogalmazása azonnali meghatározást tesz lehetővé logaritmus érték, amikor a logaritmus előjele alatti szám az alap valamely foka. Valójában a logaritmus megfogalmazása lehetővé teszi annak bizonyítását, hogy ha b = a c, majd a szám logaritmusa bésszel a egyenlő val vel... Az is jól látható, hogy a logaritmus témaköre szorosan kapcsolódik a témához szám foka.
A logaritmus számítását ún a logaritmus felvételével... A logaritmus az matematikai művelet figyelembe véve a logaritmust. A logaritmus felvételekor a tényezők szorzatai a tagok összegeivé alakulnak.
Potencírozás a logaritmusra fordított matematikai művelet. A potenciálásnál az adott bázist annak a kifejezésnek a erejére emeljük, amelyen a potenciálást végrehajtjuk. Ebben az esetben a tagok összegei átalakulnak a tényezők szorzatává.
A 2-es (bináris), e Euler-számú e ≈ 2,718 (természetes logaritmus) és 10-es (tizedes) valós logaritmusokat gyakran használnak.
Tovább ezt a szakaszt célszerű megfontolni logaritmus minták napló 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
És az lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 bejegyzéseknek nincs értelme, mivel az elsőben negatív szám van a logaritmus előjele alatt, a másodikban pedig egy negatív szám az alap, a harmadikban pedig egy negatív szám a logaritmus jele alatt és egy az alapon.
Külön érdemes figyelembe venni azokat a feltételeket a> 0, a ≠ 1, b> 0 a logaritmus meghatározása. Nézzük meg, miért fogadjuk el ezeket a korlátozásokat. Az x = log α alakú egyenlőség b, az úgynevezett alapvető logaritmikus azonosság, ami közvetlenül következik a logaritmus fenti definíciójából.
Vegyük a feltételt a ≠ 1... Mivel egy tetszőleges mértékben egyenlő eggyel, az x egyenlőség = log α b csak akkor létezhet b = 1 de log 1 1 bármilyen valós szám lesz. Ennek a kétértelműségnek a kiküszöbölésére vesszük a ≠ 1.
Bizonyítsuk be a feltétel szükségességét a> 0... Nál nél a = 0 a logaritmus megfogalmazása szerint csak azért létezhet b = 0... És ennek megfelelően akkor log 0 0 bármely nullától eltérő valós szám lehet, mivel a nulla bármely nem nulla fokban nulla. Ennek a kétértelműségnek a kizárását a feltétel adja a ≠ 0... És mikor a<0 el kell vetnünk a logaritmus racionális és irracionális értékeinek elemzését, mivel a racionális és irracionális kitevővel rendelkező fokot csak nem negatív okokra határozzák meg. Ez az oka annak, hogy a feltétel ki van kötve a> 0.
ÉS utolsó feltétel b> 0 az egyenlőtlenségből következik a> 0 mivel x = log α b, és a fokozat értéke pozitív bázissal a mindig pozitív.
Logaritmusok jellegzetes jellemzők, ami széleskörű használatukhoz vezetett, hogy jelentősen megkönnyítsék a gondos számításokat. A „logaritmusok világába” való átmenet során a szorzás sokkal könnyebb összeadássá, az osztás kivonássá, a hatványozás és a gyökkivonás pedig a kitevővel való szorzássá, illetve osztássá alakul át.
A logaritmusok megfogalmazását és értékeinek táblázatát (a trigonometrikus függvényekhez) először 1614-ben tette közzé John Napier skót matematikus. A más tudósok által felnagyított és részletezett logaritmikus táblázatokat széles körben használták tudományos és mérnöki számításokban, és alkalmazásukig relevánsak maradtak. elektronikus számológépekés számítógépek.
274. Megjegyzések.
a) Ha a kiértékelni kívánt kifejezés tartalmazza összeg vagy különbség számokat, akkor ezeket táblázatok segítsége nélkül, közönséges összeadás vagy kivonás útján kell megtalálni. Például:
log (35 + 7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.
b) Ha tudjuk, hogyan logaritáljuk a kifejezéseket, akkor fordítva is megtehetjük ezt az eredményt a logaritmus segítségével megtaláljuk azt a kifejezést, amelyből ezt az eredményt kaptuk; Tehát, ha
log NS= log a+ napló b- 3 napló val vel,
ezt könnyű kitalálni
v) Mielőtt a logaritmikus táblák szerkezetének vizsgálatába kezdenénk, megjelöljük a decimális logaritmusok néhány tulajdonságát, pl. azok, amelyekben a 10-es számot vettük alapul (csak ilyen logaritmusokat használunk a számításokhoz).
Második fejezet.
A decimális logaritmus tulajdonságai.
275 . a) Mivel 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10 000 stb., akkor log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10 000 = 4 stb.
Eszközök, Az eggyel és nullákkal ábrázolt egész szám logaritmusa egy pozitív egész szám, amely annyi egyest tartalmaz, ahány nulla van a szám képében.
És így: log 100 000 = 5, log 1000 000 = 6 stb.
b) Mivel
log 0,1 = -l; log 0,01 = -2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4, stb.
Eszközök, logaritmus decimális, amelyet egy egységgel jelölt nullák előtt, egy negatív egész szám, amely annyi negatívot tartalmaz, ahány nulla van egy tört képében, beleértve a 0 egész számot is.
És így: log 0,00001 = -5, log 0,000001 = -6, stb.
v) Vegyünk például egy olyan egész számot, amelyet nem jelöl egy, amelyet nullák követnek. 35, vagy például egy egész szám törttel. 10.7. Egy ilyen szám logaritmusa nem lehet egész szám, hiszen ha 10-et egész kitevőjű hatványra emelünk (pozitív vagy negatív), 1-et kapunk, amit nullák követnek (1 után, vagy előtte). Tegyük fel, hogy egy ilyen szám logaritmusa valamilyen tört a / b ... Akkor egyenlőségünk lenne
De ezek az egyenlőségek lehetetlenek, mint hogyan 10a van 1 nullákkal, míg a kitevők 35b és 10,7b semmiképpen b nem adhat 1-et nullákkal. Ez azt jelenti, hogy nem szabad megengednünk napló 35és napló 10.7 törtekkel egyenlőek voltak. De a logaritmikus függvény tulajdonságaiból tudjuk (), hogy minden pozitív számnak van logaritmusa; ezért a 35 és 10,7 számok mindegyikének megvan a maga logaritmusa, és mivel nem lehet egész szám vagy tört szám, ezért irracionális szám, ezért nem fejezhető ki pontosan számokkal. Általában az irracionális logaritmusokat hozzávetőlegesen több tizedesjegyű tizedes tört formájában fejezik ki. Ennek a törtnek az egész számát (még akkor is, ha "0 egész szám" volt) hívják jellegzetes, a törtrész- a logaritmus mantisszája. Ha például a logaritmus az 1,5441 , akkor jellemzője az 1 , és a mantissza az 0,5441 .
G) Vegyünk például néhány egész vagy vegyes számot. 623 vagy 623,57 ... Egy ilyen szám logaritmusa a karakterisztikából és a mantisszából áll. Kiderült, hogy a decimális logaritmusnak megvan az a kényelme, hogy karakterisztikájukat mindig egy-egy számtípus alapján találhatjuk meg ... Ehhez megszámoljuk, hogy hány számjegy van egy adott egész számban, vagy egy vegyes szám teljes részében, ezekre a számjegyekre vonatkozó példáinkban 3 ... Ezért az egyes számok 623 és 623,57 több mint 100, de kevesebb, mint 1000; ennélfogva mindegyik logaritmusa nagyobb log 100, azaz több 2 de kevesebbet log 1000, azaz kevesebb 3 (ne feledje, hogy nagyobb szám logaritmusa nagyobb). Ennélfogva, log 623 = 2,..., és log 623,57 = 2, ... (a pontok az ismeretlen mantisszákat helyettesítik).
Hasonlóképpen találjuk:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 log 56,7 = 1, ... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 log 8634 = 3, ... |
Tegyük fel, hogy általában egy adott egész számban vagy egy adott vegyes szám egész részében tartalmazza m számjegyek. Mivel a legkisebb egész szám, amely tartalmazza m számjegy, van 1 val vel m - 1 nullák a végén, majd (az adott számot jelölve N) egyenlőtlenségeket írhatunk:
és ezért
m - 1 < log N < m ,
log N = ( m- 1) + pozitív tört.
Ezért a jellemző logN = m - 1 .
Ezt így látjuk egy egész vagy vegyes szám logaritmusának karakterisztikája annyi pozitívat tartalmaz, ahány számjegy van a teljes számrészben egy nélkül.
Ha ezt észrevettük, közvetlenül írhatjuk:
log 7,205 = 0, ...; log 83 = 1, ...; log 720,4 = 2, ... stb.
e) Vegyünk néhány tizedes törtjel kevesebbet, mint 1 (azaz rendelkezik 0 egész): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, stb.
Így ezeknek a logaritmusoknak mindegyike két negatív egész szám közé van zárva, amelyek egy egységgel különböznek egymástól; ezért mindegyik egyenlő e negatív számok közül a kisebbikével, megnövelve valamilyen pozitív törttel. Például, log0,0056 = -3 + pozitív... Tegyük fel, hogy ez a tört 0,7482. Akkor ez azt jelenti:
log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).
Olyan összegek, mint pl - 3 + 0,7482 , amely egy negatív egész számból és egy pozitív tizedes törtből áll, beleegyezett, hogy logaritmikus számításokat írjon le rövidített formában a következőképpen: 3 ,7482 (Ilyen szám olvasható: 3 mínuszos, 7482 tízezrelék.), azaz mínuszjelet tesznek a jellemző fölé, hogy megmutassák, az csak erre a jellemzőre vonatkozik, nem pedig a mantisszára, amely pozitív marad. Így a fenti táblázatból látható, hogy
log 0,35 == 1, ....; log 0,07 = 2, ....; log 0,0008 = 4, ....
Még akkor is, ha 
... az első jelentős számjegy előtt egy tizedes tört található α
költségeket m
nullák, köztük 0 egész szám. Akkor ez nyilvánvaló
- m < log A < - (m- 1).
Mivel két egész számból: - m és - (m- 1) kevesebb van - m , azután
log А = - m+ pozitív tört,
és ezért a jellemző log А = - m (pozitív mantisszával).
És így, az 1-nél kisebb tizedes tört logaritmusának karakterisztikája annyi negatív egységet tartalmaz, ahány nulla van a tizedes tört képén az első jelentős számjegy előtt, beleértve a nulla egész számokat is; egy ilyen logaritmus mantisszája pozitív.
e) Szorozzunk meg egy számot N(egész vagy tört - minden egyenlő) 10-zel, 100-zal 1000-rel ..., általában 1-gyel nullákkal. Lássuk, hogyan változik log N... Mivel a szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusainak összegével, akkor
log (N 10) = log N + log 10 = log N + 1;
log (N 100) = log N + log 100 = log N + 2;
log (N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; stb.
Mikor log N adunk hozzá valamilyen egész számot, akkor ezt a számot mindig hozzáadhatjuk a karakterisztikához, és nem a mantisszához.
Tehát, ha log N = 2,7804, akkor 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 stb.;
vagy ha log N = 3,5649, akkor 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649 stb.
Ha egy számot megszorozunk 10-zel, 100-zal, 1000-rel, ..-vel, általában 1-gyel nullákkal, a logaritmus mantisszája nem változik, és a karakterisztikája annyi egységgel nő, ahány nulla van a tényezőben .
Hasonlóképpen, figyelembe véve, hogy a hányados logaritmusa egyenlő az osztó logaritmusával, az osztó logaritmusa nélkül, a következőt kapjuk:
log N/10 = log N-log 10 = log N -1;
log N / 100 = log N-log 100 = log N -2;
log N / 1000 = log N-log 1000 = log N -3; stb.
Ha egyetértünk abban, hogy ezt az egész számot kivonjuk a karakterisztikából, amikor egy egész számot kivonunk a logaritmusból, és a mantisszát változatlanul hagyjuk, akkor azt mondhatjuk:
Attól, hogy egy számot 1-gyel osztunk nullákkal, a logaritmus mantisszája nem változik, és a karakterisztikája annyi egységgel csökken, ahány nulla van az osztóban.
276. Következmények. Az ingatlanból ( e), a következő két következmény vonható le:
a) Egy tizedes szám logaritmusának mantisszája nem változik a tizedesvesszőtől , mert a vessző bevitele egyenértékű 10-zel, 100-zal, 1000-zel stb. való szorzással vagy osztással. Így a számok logaritmusai a következők:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
csak jellemzőikben különböznek, de a mantisszákban nem (feltéve, hogy minden mantissza pozitív).
b) Az azonos számok mantiszái jelentős része, de csak a végén nullákban különböznek, ugyanazok: tehát a 23, 230, 2300, 23 000 számok logaritmusa csak jellemzőiben tér el.
Megjegyzés. A decimális logaritmusok jelzett tulajdonságaiból látható, hogy táblázatok segítsége nélkül is megtalálhatjuk egy egész szám és egy tizedes tört logaritmusának karakterisztikáját (ez a decimális logaritmusok nagy kényelme); ennek eredményeként csak egy mantissza kerül a logaritmikus táblázatokba; ráadásul, mivel a törtek logaritmusának megtalálása az egész számok logaritmusának megtalálására redukálódik (tört logaritmusa = a számláló logaritmusa a nevező logaritmusa nélkül), a táblázatok csak egész számok logaritmusának mantisszáját tartalmazzák.
Harmadik fejezet.
A négyjegyű táblázatok eszköze és használata.
277. Logaritmusrendszerek. A logaritmusrendszer olyan logaritmusok halmaza, amelyeket ugyanazon a bázison lévő egymást követő egész számokra számítanak ki. Két rendszert használnak: a közönséges vagy decimális logaritmusok rendszerét, amelyben a számot veszik alapul 10 , illetve az úgynevezett természetes logaritmusok rendszere, amelyben az irracionális szám 2,7182818 ... A számításokhoz decimális logaritmusokat használunk annak a kényelemnek köszönhetően, amelyet az ilyen logaritmusok tulajdonságainak felsorolásakor jeleztünk.
A természetes logaritmusokat Napierovs-nak is nevezik a logaritmusok feltalálója, a skót matematikus után. Napier(1550-1617), és a decimális logaritmusok – Briggstől, a professzorról elnevezett Brigga(Napier kortársa és barátja), aki elsőként állított össze táblázatokat ezekről a logaritmusokról.
278. Negatív logaritmus átalakítása olyanra, amelyben a mantissza pozitív, és inverz transzformációja. Láttuk, hogy az 1-nél kisebb számok logaritmusa negatív. Ez azt jelenti, hogy egy negatív jellemzőből és egy negatív mantisszából állnak. Az ilyen logaritmusokat mindig úgy alakíthatjuk át, hogy a mantisszájuk pozitív legyen, és a karakterisztikája negatív maradjon. Ehhez elegendő egy pozitív egységet hozzáadni a mantisszához, és egy negatív egységet a karakterisztikához (ami természetesen nem változtatja meg a logaritmus értékét).
Ha például megvan a logaritmus - 2,0873 , akkor írhatod:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
vagy rövidítve:
Ezzel szemben minden negatív karakterisztikával és pozitív mantisszával rendelkező logaritmus negatívvá alakítható. Ehhez elegendő egy negatív egységet a pozitív mantisszához, és egy pozitívat a negatív karakterisztikához csatolni: tehát írhatja:
279. Négyjegyű táblázatok leírása. A legtöbb gyakorlati probléma megoldásához teljesen elegendőek a négyjegyű táblázatok, amelyek kezelése nagyon egyszerű. Ezek a táblázatok (a "logaritmusuk" tetején található felirattal) a könyv végén találhatók, és egy kis részük (a hely magyarázata végett) ezen az oldalon van nyomtatva.
Logaritmusok.
az összes egész szám logaritmusa innen 1 előtt 9999 bezárólag, négy tizedesjegy pontossággal számítva, az utolsó számjegyet növelve 1 minden olyan esetben, amikor az 5. tizedesjegynek 5-nek vagy 5-nél nagyobbnak kellett lennie; ezért a 4 számjegyű táblázatok hozzávetőlegesen pontos mantisszákat adnak 1 / 2 tízezredik része (hiánnyal vagy többlettel).
Mivel az egész vagy tizedes tört logaritmusának karakterisztikája, a tizedes logaritmus tulajdonságai alapján közvetlenül is leírhatjuk, akkor a táblázatokból csak mantisszákat kell venni; emlékezni kell arra, hogy a vessző helye a tizedes számban, valamint a szám végén lévő nullák száma nincs hatással a mantissza értékére. Ezért, amikor megtalálja a mantisszát által adott szám ebben a számban eldobjuk a vesszőt, valamint a végén lévő nullákat, ha vannak, és megkeressük a kapott egész szám mantisszáját. Ebben az esetben a következő esetek jelenhetnek meg.
1) Egy egész szám 3 számjegyből áll. Például meg kell találni az 536-os szám logaritmusának mantisszáját. Ennek a számnak az első két számjegye, azaz az 53, a táblázatokban található a bal oldali első függőleges oszlopban (lásd a táblázatot). . Miután megtaláltuk az 53-as számot, onnan haladunk a vízszintes vonal mentén jobbra, amíg ennek a vonalnak a metszéspontjáig haladunk a felül elhelyezett 0, 1, 2, 3, ... 9 számok függőleges oszlopával. (és alja) a táblázatban, amely ennek a számnak a 3-adik számjegye, azaz példánkban a 6-os szám. A metszéspontban megkapjuk a 7292 (azaz 0,7292) mantisszát, amely logaritmusához tartozik. Hasonlóképpen az 508-as számhoz a mantisszát 0,7059, az 500-ashoz 0,6990-et stb.
2) Egy egész szám 2 vagy 1 számjegyből áll. Majd gondolatban ehhez a számhoz rendelünk egy vagy két nullát, és megkeressük az így kapott háromjegyű szám mantisszáját. Például az 51-es számhoz egy nullát rendelünk, amelyből 510-et kapunk, és megtaláljuk a 7070 mantisszát; az 5-ös számhoz 2 nullát rendelünk és megkeressük a 6990 mantiszát stb.
3) Egy egész szám 4 számjegyben van kifejezve. Például meg kell találni az 5436 mantissza naplót. Ezután először a táblázatokban találjuk meg, ahogy már jeleztük, az adott szám első 3 számjegye által képviselt szám mantisszáját, vagyis az 543-at (ezt mantissza 7348 lesz); majd a talált mantisszától a vízszintes vonal mentén jobbra (a táblázat jobb oldalára, a félkövér függőleges vonal mögött található) haladunk az 1, 2 3, számok egyikén átmenő függőleges oszlop metszéspontjáig. .. 9, amely a táblázat ezen részének tetején (és alján) áll, ami az adott szám 4. számjegye, azaz példánkban a 6. A metszéspontban találjuk a korrekciót ( 5. szám), amelyet gondolatban a 7348-as mantisszára kell alkalmazni, hogy megkapjuk az 5436-os mantisszát; így a mantisszát 0,7353 kapjuk.
4) Egy egész szám 5 vagy több számjegyben van kifejezve. Ezután eldobjuk az összes számjegyet, kivéve az első 4-et, és veszünk egy hozzávetőleges négyjegyű számot, és utolsó számjegy ez a szám 1-gyel nő abban. az az eset, amikor a szám eldobott 5. számjegye 5 vagy több mint 5. Tehát 57842 helyett 5784-et veszünk, 30257 helyett 3026-ot, 583263 helyett 5833-at stb. stb. Ehhez a kerekített négyjegyű számhoz keresse meg a mantisszát az imént leírtak szerint.
Ezen irányelvek alapján megtaláljuk például a következő számok logaritmusát:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
Mindenekelőtt a táblázatokra való hivatkozás nélkül leírunk néhány jellemzőt, helyet hagyva a mantisszának, amit ezután írunk ki:
log 36,5 = 1, .... log 0,00345 = 3, ....
log 804,7 = 2, .... log 7,2634 = 0, ....
log 0,26 = 1, .... log 3456,86 = 3, ....
log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;
log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;
log 0,26 = 1,4150; log 3456,86 = 3,5387.
280. Megjegyzés... Néhány négyjegyű táblázatban (például táblázatokban V. Lorchenko és N. Ogloblina, S. Glazenapa, N. Kamenshchikova) ennek a számnak a 4. számjegyére vonatkozó javítások nem kerülnek elhelyezésre. Amikor ilyen táblázatokkal foglalkozik, ezeket a javításokat a segítségével kell megtalálnia egyszerű számítás, amely a következő igazság alapján hajtható végre: ha a számok meghaladják a 100-at, és a különbség kisebb, mint 1, akkor érzékeny hiba nélkül feltételezhető, hogy a logaritmusok közötti különbségek arányosak a megfelelő számok közötti különbségekkel ... Tegyük fel például, hogy meg kell találni az 5367-es számnak megfelelő mantisszát. Ez a mantissza természetesen megegyezik az 536,7-es számmal. A 7292-es mantisszát a táblázatokban találjuk az 536-os számhoz. Ha összehasonlítjuk ezt a mantisszát a szomszédos 7300-as mantisszával, amely megfelel az 537-es számnak, azt látjuk, hogy ha az 536-os szám 1-gyel növekszik, akkor a mantisszája 8 tízezrelékkel nő ( 8 az ún táblázatos különbség két szomszédos mantissza között); ha az 536-os szám 0,7-tel növekszik, akkor a mantisszája nem 8 tízezreddel, hanem valami kisebb számmal nő NS tízezrelék, amelynek az elfogadott arányosság szerint meg kell felelnie az arányoknak:
NS : 8 = 0,7: 1; ahol NS = 8 07 = 5,6,
6 tízezresre kerekítve. Ez azt jelenti, hogy az 536,7-es szám mantissza (és így az 5367-es szám esetében) a következő lesz: 7292 + 6 = 7298.
Figyeljük meg, hogy a táblázatokban két szomszédos szám alapján egy közbülső számot találunk interpoláció. Az itt leírt interpolációt ún arányos, mivel azon a feltételezésen alapul, hogy a logaritmus változása arányos a szám változásával. Lineárisnak is nevezik, mivel azt feltételezi, hogy grafikusan a logaritmikus függvény változását egyenes vonallal fejezzük ki.
281. A közelítő logaritmus hibahatára. Ha az a szám, amelyre a logaritmust keressük, egy pontos szám, akkor a logaritmusának négyjegyű táblázatokban található hibahatárán túl lehetséges, hogy amint már említettük, 1 / 2 tízezredik rész. Ha a megadott szám nem pontos, akkor ehhez a hibahatárhoz hozzá kell adni egy másik hiba határát, amely magának a számnak a pontatlanságából adódik. Bebizonyosodott (ezt a bizonyítást kihagyjuk), hogy ilyen limitért el lehet venni a terméket
a(d +1) tízezredik.,
amiben a a legpontatlanabb szám hibahatára, ha feltételezzük, hogy egész része 3 számjegyet tartalmaz, a d a két egymást követő háromjegyű számnak megfelelő mantissza táblázatos különbsége, amelyek közé az adott pontatlan szám kerül. Így a logaritmus végső hibájának határa a következő képlettel lesz kifejezve:
1 / 2 + a(d +1) tízezredik
Példa... Napló keresése π érte π hozzávetőleges szám 3,14, pontossággal 1 / 2 századik.
A 3.14-es szám 3. számjegye után a tizedesvesszőt mozgatva balról számolva a 314-es háromjegyű számot kapjuk, pontosan 1 / 2 egységek; azt jelenti, hogy a hibahatár egy pontatlan számhoz, vagyis ahhoz, amit a betűvel jelöltünk a , ha 1 / 2 A táblázatokból ezt találjuk:
log 3,14 = 0,4969.
Táblázat szerinti különbség d a 314 és 315 számok mantisszája között 14, így a talált logaritmus hibája kisebb lesz
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 tízezredik.
Mivel a 0,4969 logaritmusáról nem tudunk, akár hiányos, akár túllépéses, csak azt tudjuk garantálni, hogy a logaritmus pontos. π 0,4969 - 0,0008 és 0,4969 + 0,0008, azaz 0,4961 között van< log π < 0,4977.
282. Keresse meg a logaritmushoz tartozó számot!... Egy adott logaritmus szerinti szám megtalálásához ugyanazok a táblázatok használhatók, amelyek szerint ezeknek a számoknak a mantisszáját megtaláljuk; de célszerűbb más táblázatokat használni, amelyekben az úgynevezett antilogaritmusok, vagyis az adott mantisszának megfelelő számok vannak elhelyezve. Ezek a felül "antilogaritmusok" felirattal jelölt táblázatok a könyv végén, a logaritmustáblázatok után kerültek elhelyezésre, egy kis részük ezen az oldalon (magyarázatként) található.
Adjunk meg egy 4-jegyű 2863-as mantisszát (a karakterisztikára nem figyelünk), és meg kell találni a megfelelő egész számot. Ezután az antilogaritmustáblázatok birtokában pontosan ugyanúgy kell használni őket, mint ahogy korábban elmagyaráztuk egy adott szám mantissza megtalálásához, nevezetesen: a mantissza első 2 számjegyét a bal oldali első oszlopban találjuk. Ezután ezektől a számoktól a vízszintes vonal mentén jobbra haladunk a mantissza 3. számjegyéből származó függőleges oszlop metszéspontjáig, amelyet a felső sorban (vagy az alsóban) kell keresni. A kereszteződésben találjuk az 1932-es négyjegyű számot, amely a 286-os mantiszának felel meg. Ezután ettől a számtól haladunk tovább a vízszintes vonalon jobbra a mantissza 4. számjegyétől induló függőleges oszloptal való metszéspontig, aminek meg kell fent (vagy lent) található az 1, 2, 3, ... 9 számok között. A metszéspontban találjuk az 1-es korrekciót, amelyet (mentálisan) a korábban talált 1032-es számra kell alkalmazni, hogy megkapjuk a megfelelő számot. a mantisszához 2863.
Így ez a szám 1933 lesz. Ezt követően a jellemzőre figyelve az 1933-as számban kell a foglalkoztatott személyt a megfelelő helyre tenni. Például:
ha log x = 3,2863, akkor NS = 1933,
„ log x = 1,2863, „ NS = 19,33,
, log x = 0,2&63, „ NS = 1,933,
„ log x = 2 ,2863, „ NS = 0,01933
Íme néhány további példa:
log x = 0,2287, NS = 1,693,
log x = 1 ,7635, NS = 0,5801,
log x = 3,5029, NS = 3184,
log x = 2 ,0436, NS = 0,01106.
Ha a mantissza 5 vagy több számjegyet tartalmaz, akkor csak az első 4 számjegyet vesszük, a többit eldobjuk (és a 4. számjegyet 1-gyel növeljük, ha az 5. számjegy öt vagy több). Például a 35478 mantissza helyett 3548-at, 47562 helyett 4756-ot veszünk.
283. Megjegyzés. Módosítás a 4. és a következő ábrákat a mantisszákat interpolációval is megtalálhatjuk. Tehát, ha a mantissza 84357, akkor, miután megtaláltuk a 6966-os számot, amely megfelel a 843-as mantisszának, tovább vitatkozhatunk a következőképpen: ha a mantissza 1-gyel (ezrelékkel) nő, azaz 844-et tesz ki, akkor a szám, mint pl. táblázatokból látható, 16 egységgel fog növekedni; ha a mantissza nem 1-gyel (ezrelékkel), hanem 0,57-tel (ezrelékkel) nő, akkor a szám növekszik NS egységek, és NS meg kell felelnie az arányoknak:
NS : 16 = 0,57: 1, honnan x = 16 0,57 = 9,12.
Ez azt jelenti, hogy a szükséges szám 6966+ 9,12 = 6975,12 vagy (csak négy számjegyre korlátozva) 6975 lesz.
284. A talált szám hibahatára. Bebizonyosodott, hogy abban az esetben, ha a talált számban a vessző a 3. számjegy után van balról, vagyis amikor a logaritmus karakterisztikája 2, akkor az összeg felvehető hibahatárnak.
ahol a annak a logaritmusnak a hibahatára (tízezrelékben kifejezve), amellyel a számot keresték, és d - két háromjegyű, egymást követő szám mantisszája közötti különbség, amelyek között a talált szám található (vesszővel a 3. számjegy után balról). Ha a karakterisztikája nem 2, hanem valami más, akkor a talált számban lévő vesszőt balra vagy jobbra kell mozgatni, vagyis a számot valamilyen 10-zel osztani vagy szorozni. Ebben az esetben a hiba az eredményt szintén osztjuk vagy szorozzuk 10 azonos hatványával.
Tegyük fel, hogy például logaritmus alapján keresünk egy számot 1,5950 , amelyről ismert, hogy 3 tízezres pontosságú; így aztán a = 3 ... Az ennek a logaritmusnak megfelelő szám, amelyet az antilogaritmus táblázatból találtunk, a 39,36 ... A vesszőt balról a 3. számjegy után mozgatva megkapjuk a számot 393,6 között 393 és 394 ... A logaritmustáblázatokból azt látjuk, hogy a két számnak megfelelő mantissza közötti különbség az 11 tízezrelék; eszközök d = 11 ... A 393,6-os szám hibája kisebb lesz
Ezért a szám hibája 39,36 kevesebb lesz 0,05 .
285. Negatív jellemzőkkel rendelkező logaritmusok feletti cselekvések. A logaritmusok összeadása és kivonása nem nehéz, amint az látható következő példákat:
Szintén nem nehéz megszorozni a logaritmust pozitív számmal, például:
V utolsó példa külön szorozza meg a pozitív mantisszát 34-gyel, majd negatív jellemző 34-nél.
Ha egy negatív jellemző és egy pozitív mantissza logaritmusát megszorozzuk egy negatív számmal, akkor kétféleképpen működnek: vagy az előzőleg megadott logaritmust negatívra fordítjuk, vagy a mantisszát külön szorozzuk, és a jellemzőt és az eredményeket összevonjuk. , például:
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
Osztásakor két eset fordulhat elő: 1) a negatív jellemzőt osztjuk és 2) nem osztható az osztóval. Az első esetben a jellemzőt és a mantisszát külön osztják:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
A második esetben annyi negatív egységet adunk a karakterisztikához, hogy a kapott számot elosztjuk az osztóval; ugyanannyi pozitív egységet adunk a mantisszához:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
Ezt az átalakítást az elmében kell végrehajtani, ezért a művelet a következőképpen van elrendezve:
286. Kivont logaritmusok helyettesítése tagokkal. Egy összetett kifejezés logaritmussal történő kiszámításakor néhány logaritmust össze kell adni, másokat ki kell vonni; ilyenkor a szokásos műveletvégzési móddal külön-külön megkeresik a logaritmusok összegzésének összegét, majd az első összegből kivonják a kivontak és a második összegét. Például, ha rendelkezünk:
log NS = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
akkor a szokásos műveletek végrehajtása a következőképpen történik:
A kivonást azonban összeadásra lehet cserélni. Így:
Most a következőképpen rendezheti el a számítást:
287. Példák számításokra.
1. példa... Kifejezés értékelése:
ha A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127és D = 7,246.
Vegyük ennek a kifejezésnek a logaritmusát:
log NS= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D
Most, hogy elkerüljük a felesleges időveszteséget és csökkentsük a hibák lehetőségét, mindenekelőtt az összes számítást úgy rendezzük el, hogy még nem végezzük el, ezért a táblázatokra nem hivatkozunk:
Ezt követően vesszük a táblázatokat, és leírjuk a logaritmusokat a fennmaradó szabad helyekre:
Hibahatár. Először is megtaláljuk a szám hibahatárát x 1 = 194,5 egyenlő:
Tehát először is meg kell találnia a , azaz a közelítő logaritmus hibahatára, tízezrelékben kifejezve. Tegyük fel, hogy a megadott számok A, B, Cés D minden pontos. Ekkor az egyes logaritmusok hibái a következők lesznek (tízezrelékben):
v logА.......... 1 / 2
v 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 hozzáadva, mert az 1,9146 logaritmusának 3-mal való osztásakor kerekítettük a hányadost, elvettük annak 5. számjegyét, és ezért újabb hibát követtünk el, kisebbet 1 / 2 tízezredik).
Most megtaláljuk a logaritmus hibahatárát:
a = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (tízezrelék).
Tovább definiáljuk d ... Mivel x 1 = 194,5 , akkor 2 egymást követő egész szám, amelyek között van x 1 lesz 194 és 195 ... Táblázat szerinti különbség d az ezeknek a számoknak megfelelő mantisszák között egyenlő 22 ... Ezért a szám hibahatára x 1 van:
Mivel x = x 1 : 10, akkor a számbeli hibahatár x egyenlő 0,3:10 = 0,03 ... Így a talált szám 19,45 kevesebbel tér el a pontos számtól 0,03 ... Mivel nem tudjuk, hogy a közelítésünket hiányos vagy többletben találtuk-e meg, csak azt tudjuk garantálni, hogy
19,45 + 0,03 > NS > 19,45 - 0,03 , azaz
19,48 > NS > 19,42 ,
és ezért ha elfogadjuk NS =19,4 , akkor 0,1 pontosságú hiányos közelítésünk lesz.
2. példa Kiszámítja:
NS = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
Mivel negatív számok ha nincs logaritmusuk, akkor először megtaláljuk:
NS" = (2,31) 3 5 √72
bomlás útján:
log NS"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.
A számítás után kiderül:
NS" = 28,99 ;
ennélfogva,
x = - 28,99 .
3. példa... Kiszámítja:
Folyamatos logaritmus itt nem használható, mivel a gyökér alatt umma áll. V hasonló esetek kiszámítja a képletet részekre.
Először megtaláljuk N = 5 √8 , után N 1 = 4 √3 ; tovább egyszerű összeadással definiáljuk N+ N 1 , és végül kiszámolja 3 √N+ N 1 ; kiderült, hogy:
N = 1,514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .
log x= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 log 2,830 = 0,1506 ;
x = 1,415 .
Negyedik fejezet.
Exponenciális és logaritmikus egyenletek.
288. Az exponenciális egyenletek azok, amelyekben az ismeretlen szerepel a kitevőben, és logaritmikus- azok, amelyekbe a jel alá kerül az ismeretlen log... Az ilyen egyenletek csak speciális esetekben oldhatók meg, és támaszkodni kell a logaritmusok tulajdonságaira és arra az elvre, hogy ha a számok egyenlőek, akkor a logaritmusaik egyenlőek, és fordítva, ha a logaritmusok egyenlőek, akkor a megfelelő a számok is egyenlők.
1. példa Oldja meg az egyenletet: 2 x = 1024 .
Az egyenlet mindkét oldalának logaritmusa:
2. példa Oldja meg az egyenletet: a 2x - a x = 1 ... Elhelyezés a x = nál nél , kapunk egy másodfokú egyenletet:
y 2 - nál nél - 1 = 0 ,
Mivel 1-√5 < 0 , akkor az utolsó egyenlet lehetetlen (függvény a x mindig pozitív szám), és az első a következőket adja:
3. példa Oldja meg az egyenletet:
log ( a + x) + log ( b + x) = log ( c + x) .
Az egyenlet így írható fel:
log [( a + x) (b + x)] = log ( c + x) .
A logaritmusok egyenlőségéből a számok egyenlőségére következtetünk:
(a + x) (b + x) = c + x .
Ez egy másodfokú egyenlet, amelynek megoldása nem nehéz.
Ötödik fejezet.
kamatos kamat, sürgős fizetések és határidős fizetések.
289. A kamatos kamat fő feladata. Mekkora összegű lesz a tőke a rubel, növekedésben adott R kamatos kamat, lejárta után t évek ( t egész szám)?
Azt mondják, hogy a tőkét kamatos kamattal adják, ha az úgynevezett "kamat kamatát" figyelembe vesszük, vagyis ha a tőkéhez tartozó kamatpénzt minden év végén hozzáadják a tőkéhez, hogy azt növeljék. érdeklődést a következő években.
Minden rubel tőke eladom R %, egy éven belül nyereséget hoz p / 100 rubel, és ezért minden rubel tőke 1 év alatt átalakul 1 + p / 100 rubel (például ha a tőkét adják meg 5 %, akkor egy év alatt minden rubelből alakul 1 + 5 / 100 , azaz be 1,05 rubel).
Rövidség kedvéért a tört jelölése p / 100 egy betű pl. r , azt mondhatjuk, hogy minden rubel tőke egy év alatt átalakul 1 + r rubel; ennélfogva, a rubel 1 éven belül átalakul a (1 + r ) dörzsölés. Egy évvel később, azaz 2 évvel a növekedés kezdete után ezek minden rubelét a (1 + r ) dörzsölés. vissza fog fordulni 1 + r dörzsölés.; így minden tőke átalakul a (1 + r ) 2 dörzsölés. Ugyanígy azt tapasztaljuk, hogy három év múlva lesz a főváros a (1 + r ) 3 , négy év múlva lesz a (1 + r ) 4 , ... általában keresztül t év ha t van egy egész szám, arra fog fordulni a (1 + r ) t dörzsölés. Így jelölve A végső tőkénk lesz következő képletet kamatos kamat:
A = a (1 + r ) t ahol r = p / 100 .
Példa. Legyen a =2300 rubel., p = 4, t=20 évek; akkor a képlet a következőket adja:
r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2300 (1,04) 20.
Számolni A, logaritmusokat alkalmazunk:
log a = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617 + 0,3400 = 3,7017.
A = 5031 rubel.
Megjegyzés. Ebben a példában muszáj volt log 1.04 szorozva 20 ... A szám óta 0,0170 van hozzávetőleges érték log 1.04 pontosan 1 / 2 tízezredik rész, akkor ennek a számnak a szorzata -vel 20 biztosan csak ig lesz 1 / 2 20, azaz 10-ig tízezrelék = 1 ezrelék. Ezért összesen 3,7017 nem csak a tízezrelékre, hanem az ezrelékre sem tudunk kezeskedni. A nagyobb pontosság érdekében ilyen esetekben jobb a szám 1 + r a logaritmusokat ne 4 számjegyűek legyenek, hanem -val egy nagy szám számjegyek, pl. 7 számjegyű. Ebből a célból bemutatunk egy kis táblázatot, amelyben 7 számjegyű logaritmusok vannak kiírva a leggyakoribb értékekhez R .
290. A sürgős fizetések fő feladata. Valaki kölcsön kapott a rubelért R % a tartozás törlesztésének feltételével, az esedékes kamattal együtt ben t években, minden év végén ugyanannyit járulva hozzá. Mennyi legyen ez az összeg?
Összeg x Az ilyen feltételek mellett évente fizetett összeget sürgős fizetésnek nevezik. Jelöljük ismét betűvel r évi kamatpénz 1 rubeltől, azaz a szám p / 100 ... Majd az első év végére a tartozás a -re nő a (1 + r ), aza fizetéssel NS rubel lesz belőle a (1 + r )-NS .
A második év végére ebből az összegből minden rubel vissza fog térni 1 + r rubel, és ezért az adósság [ a (1 + r )-NS ](1 + r ) = a (1 + r ) 2 - x (1 + r ), és fizetés ellenében x rubel lesz: a (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - NS ... Ugyanígy gondoskodunk arról is, hogy a 3. év végére meglegyen a tartozás
a (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,
és általában és a vége t évben ez lesz:
a (1 + r ) t - x (1 + r ) t -1 - x (1 + r ) t -2 ... - x (1 + r ) - x , vagy
a (1 + r ) t - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]
A zárójelben lévő polinom egy geometriai progresszió tagjainak összegét jelenti; amelynek az első tagja 1 , utolsó ( 1 + r ) t -1, és a nevező ( 1 + r ). A geometriai progresszió tagjainak összegének képletével (10. § 3. fejezet, 249. §) azt találjuk, hogy:
és a tartozás összege után t - a fizetés a következő lesz:
A probléma állapotától függően a tartozás a végén t -th év egyenlőnek kell lennie 0 ; ezért:
ahol
Ennek kiszámításakor sürgős fizetési képletek logaritmusokat használva először meg kell találnunk a segédszámot N = (1 + r ) t logaritmus szerint: log N = t log (1 + r) ; lelet N, vonjunk ki belőle 1-et, akkor megkapjuk a for képlet nevezőjét NS, ami után a másodlagos logaritmus segítségével a következőket kapjuk:
log NS= log a+ log N + log r - log (N - 1).
291. A sürgős hozzájárulások fő feladata. Valaki minden év elején ugyanannyit fizet be a banknak a dörzsölés. Határozza meg, milyen tőke keletkezik ezekből a hozzájárulásokból t év, ha a bank fizeti R kamatos kamat.
keresztül jelölve r éves kamatpénz 1 rubeltől, i.e. p / 100 , a következőképpen vitatkozunk: az első év végére a főváros lesz a (1 + r );
a 2. év elején ez az összeg hozzáadódik a rubel; azt jelenti, hogy ebben az időben a főváros lesz a (1 + r ) + a ... A 2. év végére az lesz a (1 + r ) 2 + a (1 + r );
a 3. év elején ismét a rubel; azt jelenti, hogy ebben az időben a főváros lesz a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) + a ; 3. végére az lesz a (1 + r ) 3 + a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) Ha ezt az okfejtést tovább folytatjuk, azt találjuk, hogy a végén t évi tőkekövetelmény A akarat:
Ez a képlet a sürgős hozzájárulásokhoz minden év elején.
Ugyanez a képlet a következő érveléssel érhető el: első részlet a a rubelt a bankban t évre, a kamatos kamatképlet szerint alakul át a (1 + r ) t dörzsölés. A bankban lévő második részlet egy évvel kevesebb, i.e. t - 1 évre fog fordulni a (1 + r ) t-1 dörzsölés. Hasonlóképpen a harmadik részlet is megadja a (1 + r ) t-2 stb., és végül utolsó részlet, ha csak 1 évig van a bankban, vonatkozik rá a (1 + r ) dörzsölés. Tehát a végső tőke A dörzsölés. akarat:
A= a (1 + r ) t + a (1 + r ) t-1 + a (1 + r ) t-2 + . . . + a (1 + r ),
amely egyszerűsítés után a fent talált képletet adja.
Ennek a képletnek a logaritmusokkal történő kiszámításakor ugyanúgy kell eljárnia, mint a sürgős fizetések képletének kiszámításakor, azaz először meg kell keresni az N = ( 1 + r ) t logaritmusával: log N = t log(1 + r ), majd a számot N-1és akkor is vegyük a képlet logaritmusát:
log A = log a+ log (1 + r) + log (N - 1) - 1оgr
Megjegyzés. Ha a sürgős részlet be a dörzsölés. nem minden év elején, hanem végén készült (hogyan pl. sürgős fizetés NS hogy kifizesse az adósságot), akkor az előzőhöz hasonlóan vitatkozva azt találjuk a végére t évi tőkekövetelmény A" dörzsölés. lesz (beleértve az utolsó részletet is a rubel, nem kamatozó):
A "= a (1 + r ) t-1 + a (1 + r ) t-2 + . . . + a (1 + r ) + a
ami egyenlő:
azaz A" megjelenik ( 1 + r )-szer kevesebb A, ami várható volt, hiszen minden rubel tőke A" egy évvel kevesebb ideig fekszik a bankban, mint a megfelelő rubel tőke A.
