Az emberek mindig a jövőjükre gondoltak. Megpróbálták és próbálják megvédeni magukat, gyermekeiket és unokáikat az anyagi nehézségektől, legalább egy kis bizalomszigetet építve a jövőben. Ha most elkezdi építeni kis bankbetétekkel, akkor stabilitást és függetlenséget biztosíthat a jövőben.
A banki műveletek alapelve, hogy a pénzeszközök csak akkor növekedhetnek, ha állandó forgalomban vannak. Annak érdekében, hogy az ügyfelek magabiztosan tájékozódhassanak a pénzügyi szolgáltatások területén, és meg tudják választani a számukra előnyös feltételeket egy bizonyos időszakban, ismernie kell néhány egyszerű szabályt. Ez a cikk azokra a hosszú távú befektetésekre fókuszál, amelyek lehetővé teszik, hogy viszonylag kis mennyiségű induló tőkéből bizonyos számú éven keresztül jelentős haszonra tegyenek szert, vagy a betétet tovább használják fel, az időbeli elhatárolásokat a mindennapi szükségletekre vonva el.
A nyereség helyes kiszámításához egyszerű aritmetikai műveleteket kell végrehajtani az alábbi képletek alapján.
Például úgy dönt, hogy 100 000,00 rubelt tesz. évi 11%-kal, hogy kihasználhassák a 10 év alatti megtakarításokat, amelyek a tőkésítés hatására jelentősen megnőttek. A teljes összeg kiszámításához a kamatos kamat számítási módszerét kell alkalmazni.
A kamatos kamat alkalmazása azt jelenti, hogy az egyes időszakok (év, negyedév, hónap) végén az elhatárolt nyereséget hozzáadják a hozzájáruláshoz. A kapott összeg a későbbi nyereségnövekedés alapja.
A kamatos kamat kiszámításához egy egyszerű képletet használunk:
Ha behelyettesítjük az értékeket ebbe a képletbe, azt látjuk, hogy:
5 év múlva lesz az összeg dörzsölés.,
és 10 év múlva az lesz 
dörzsölés.
Ha rövid időre számolnánk, akkor kényelmesebb lenne a kamatos kamatot a képlet alapján számolni
De azok számára, akik kényelmesebbnek találják a betét havi kamatfelvételét, jobb, ha megismerkednek a koncepcióval. "A betét tőkésítése", ami egyszerű kamat kiszámítását jelenti.
A grafikon azt mutatja, hogy 100 000,00 rubel befektetése esetén hogyan nő a tőke a betét kamatai tőkésítésével. 10 évig 10%, 15% és 20%
Van egy másik, az ügyfél számára jövedelmezőbb módszer a kamat felhalmozására és hozzáadására - havonta. Ehhez a következő képletet alkalmazzák:
ahol n szintén a tőkésítési tranzakciók számának felel meg, de már hónapokban van kifejezve. A százalékos mutatót itt még elosztjuk 12-vel, mert egy évben 12 hónap van, és a havi kamatlábat kell számolnunk.
Ha ezt a képletet használnák a betét negyedéves elhatárolására, akkor az éves százalékot elosztanák 4-gyel, és az n mutató egyenlő lenne a negyedévek számával, ha pedig félévenként halmozódna fel a kamat, akkor a kamatláb. osztva lenne 2-vel, és az n jelölés a félévek számának felelne meg.
Tehát, ha 100 000,00 rubel összegű hozzájárulást adtunk. a kamat havi tőkésítésével, akkor:
5 év (60 hónap) után a letét összege 172 891,57 rubelre nőtt volna, ami körülbelül 10 000 rubel. több, mint a betét éves tőkésítése esetén; 
dörzsölés.
és 10 év (120 hónap) után a „felhalmozott” összeg 298 914,96 rubel lett volna, ami már 15 000 rubel. meghaladja a kamatos kamat képlettel számított értéket, amely az években történő számítást biztosítja.
dörzsölés.
Ez azt jelenti, hogy a havi kamat hozama magasabb, mint az éves kamaté. Ha pedig nem vonják ki a profitot, akkor a kamatos kamat a betétes javára dolgozik.
A fent leírt kamatos kamatképletek nagy valószínűséggel szemléltető példák az ügyfelek számára, hogy megértsék, hogyan számítják ki a kamatos kamatokat. Ezek a számítások valamivel egyszerűbbek, mint a bankok által a valódi bankbetétekre alkalmazott képlet.
Az itt használt mértékegység a betét kamategyütthatója (p). Kiszámítása a következő:
A bankbetétek kamatos kamatát ("felhalmozott" összeget) a következő képlet alapján számítják ki:
Ez alapján és ugyanezen adatokkal példálózva a kamatos kamatot számoljuk ki banki módszerrel.
Először meghatározzuk a betét kamatlábat:
Most behelyettesítjük az adatokat a fő képletben:
dörzsölés. - ez a betét összege, amely 5 év alatt "növekszik" *;
dörzsölés. - 10 évig*.
*A példákban szereplő számítások hozzávetőlegesek, mivel nem veszik figyelembe a szökőéveket és a hónapok napjainak változó számát.
Ha a két példából származó összegeket összehasonlítjuk az előzővel, akkor azok valamivel kisebbek, de a kamattőkésítés előnyei így is nyilvánvalóak. Ezért, ha elhatározta, hogy hosszú ideig pénzt helyez el a bankba, akkor jobb, ha előzetesen kiszámítja a profitot a „banki” képlet segítségével - ez segít elkerülni a csalódást.
Általános rendelkezések
Szinte minden pénzügyi és gazdasági számítás, így vagy úgy, kapcsolódik a kamatszámításhoz. A banki gyakorlatban egyszerű és kamatos kamatot alkalmaznak.
A kamatpénz (kamat) a különböző formákban (kölcsönök, betétszámlák nyitása, kötvényvásárlás, felszerelés bérbeadása stb.) származó kölcsönadásból származó jövedelem összege.
A kamatpénz összege három tényezőtől függ:
a tőketartozás összege (a kölcsön összege);
időpont lejárata;
kamatláb, amely a kamatfelhalmozás intenzitását jellemzi.
A kamat felhalmozódása szerint fizethető, vagy hozzáadható a tartozás összegéhez. Az adósság összegének a felhalmozott kamatok összeadása miatti növekedését az eredeti tartozás összegének növekedésének nevezzük.
A felhalmozott összeg és az adósság kezdeti összegének arányát felhalmozási szorzónak (együtthatónak) (KN) nevezzük:
Kn \u003d 8/R,
ahol 8 - felhalmozott összeg (visszafizetett);
R az adósság kezdeti összege.
KN mindig nagyobb egynél.
Azt az időintervallumot, amelyre a kamatot számítják, felhalmozási időszaknak nevezzük.
Egyszerű kamatlábak alkalmazásakor a kamatpénz összege a tartozás teljes futamideje alatt annak kezdeti összege alapján kerül meghatározásra, függetlenül a felhalmozási időszakoktól és azok időtartamától, pl. nincs kamattőkésítés (kamat felhalmozása).
Az összetett kamatlábak alkalmazásakor az előző időszakra felhalmozott kamatot hozzáadják a tartozás összegéhez, és a következő időszakban kamat halmozódik fel rá (a kamattőkésítés megtörténik).
Maguk az árfolyamok (egyszerű és összetett) értéke változhat vagy változatlan maradhat. Ha változik a kamat, de nincs kapitalizáció, pl. mindig ugyanannyira számítanak fel kamatot, akkor egyszerű lesz. Ha állandó kamat mellett is van kapitalizáció, akkor kamat kamatos.
Mind az egyszerű, mind a kamatos kamatot kétféleképpen lehet kiszámítani:
dekurzív - a kamat kiszámítása minden intervallum végén történik;
antiszipatív – a kamatot minden intervallum elején számítják ki.
Az első esetben a kamatpénz összegét a kölcsön összege alapján határozzák meg. A dekurzív kamatlábat hitelkamatnak nevezzük. Ez az időintervallum során felhalmozott jövedelem összegének a kezdeti összeghez viszonyított aránya (a kamatszámítási időszak elején lévő összeg):
1 = Bevétel x 100% / R.
Az antiszipatív (előzetes) kamatszámítási módszerrel a kamatpénz összege a felhalmozott összeg alapján kerül megállapításra. A kamatlábat (ё) számviteli vagy antiszipatívnak nevezzük:
e \u003d Bevétel x 100% / 8.
A világgyakorlatban elterjedtebb a dekurzív módszer.
Fontolja meg a különböző típusú díjakat és számítási módszereket a következő terv szerint:
egyszerű dekurzív kamatlábak;
összetett dekurzív kamatlábak;
egyszerű antiszipatív (kedvezményes) árfolyamok;
komplex antiszipatív (kedvezményes) árfolyamok;
egyenértékű kamatlábak.
Dekurzív egyszerű kamatszámítási módszer
Az egyszerű kamatlábak elhatárolását általában a rövid lejáratú hiteleknél alkalmazzák.
Bemutatjuk a jelölést:
8 - felhalmozott összeg, dörzsölje.;
R - az adósság kezdeti összege, r.;
1 - éves kamatláb (egy egység töredékében);
n a kölcsön futamideje években.
Az első év végén a felhalmozott tartozás összege lesz
81 \u003d P + P 1 \u003d P (1 + 1);
a második év végén:
82 \u003d 81 + P 1 \u003d P (1 + 1) + P 1 \u003d P (1 + 2 1); a harmadik év végén:
83 \u003d 82 + P1 \u003d P (1 + 2 1) + P 1 \u003d P (1 + 3 1) és így tovább. Az n kifejezés végén: 81 \u003d P (1 + n 1).
Ez az elhatárolási képlet egyszerű kamatláb mellett.
Szem előtt kell tartani, hogy a kamatnak és a futamidőnek meg kell felelnie egymásnak, i.e. ha éves árfolyamot veszünk, akkor az időszakot években kell kifejezni (ha negyedéves, akkor negyedévben kell kifejezni az időszakot stb.).
A zárójelben lévő kifejezés az egyszerű kamatfelhalmozás:
Kn \u003d (1 + n 1).
Ennélfogva,
81 = R Könyv.
Feladat 5.1
A bank 5 millió rubel összegű kölcsönt adott ki. hat hónapig egyszerű évi 12%-os kamattal. Határozza meg a fizetendő összeget.
Megoldás:
8 \u003d 5 millió (1 + 0,5 ¦ 0,12) \u003d 5 300 000 rubel.
Ha a kölcsönzés futamidejét napokban adják meg, akkor a felhalmozott összeg 8 = P (1 + d / K 1),
ahol d az időszak időtartama napokban;
K a napok száma egy évben.
K értékét időalapnak nevezzük.
Az időalap vehető egyenlőnek az év tényleges hosszával - 365 vagy 366 (akkor a kamatot nevezzük pontosnak) vagy hozzávetőlegesen, ami 360 napnak felel meg (akkor rendes kamatról van szó).
Pontosan vagy hozzávetőlegesen meghatározható az is, hogy hány napra kölcsönöznek pénzt. Ez utóbbi esetben bármely teljes hónap időtartamát 30 napnak kell feltételezni. Mindkét esetben egy napnak számít a hitelre történő pénzkibocsátás és a visszaküldés időpontja.
Feladat 5.2
A bank 200 ezer rubel összegű kölcsönt adott ki. március 12-től december 25-ig (szökőév) évi 7%-os kamattal. Határozza meg a törlesztési összeget különböző időalap-lehetőségekkel a hitelnapok pontos és hozzávetőleges számához, és vonjon le következtetést a bank és a hitelfelvevő szempontjából preferált lehetőségekről.
Megoldás:
A kölcsönzési napok pontos száma 12.03-tól. 25.12-ig:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
A kölcsönzési napok hozzávetőleges száma:
20+8-30+25=285;
a) Pontos kamat és a kölcsönnapok pontos száma:
8 = 200 000 (1 + 289 / 366 ¦ 0,07) \u003d 211 016 rubel;
b) rendes kamat és a kölcsönnapok pontos száma:
8 = 200 000 (1 + 289/360 ¦ 0,07) \u003d 211 200;
c) rendes kamat és a kölcsönnapok hozzávetőleges száma:
8 = 200 000 (1+285/360 ¦ 0,07) = 211 044;
d) pontos kamat és a kölcsönzési napok hozzávetőleges száma:
8 = 200 000 (1+285/366 ¦ 0,07) = 210 863.
Így a legnagyobb felhalmozott összeg a b) opcióban lesz - rendes kamat a kölcsönnapok pontos számával, és a legkisebb - a d) opcióban - pontos kamat a kölcsönnapok hozzávetőleges számával.
Ezért a bank, mint hitelező szempontjából a b) lehetőség, a hitelfelvevő szempontjából pedig a d) lehetőség előnyösebb.
Szem előtt kell tartani, hogy a rendes kamat mindenesetre előnyösebb a hitelező számára, és a pontos kamat a hitelfelvevő számára (minden esetben - egyszerű vagy összetett). Az első esetben a felhalmozott összeg mindig nagyobb, a második esetben pedig kevesebb.
Ha a kamatlábak a tartozás futamideje során eltérő felhalmozási időközönként eltérőek, a felhalmozott összeget a képlet határozza meg.
n
8 \u003d P (1 + X n 10,
1=1
ahol N a kamatszámítási intervallumok száma;
n - az 1. felhalmozási intervallum időtartama;
^ - kamatláb az I. felhalmozási intervallumon.
Feladat 5.3
A bank egyszerű kamattal fogad be betétet, amely első évben 10%, majd félévente 2 százalékponttal emelkedik. Határozza meg a hozzájárulás összegét 50 ezer rubelre. 3 év után kamattal.
Megoldás:
8 = 50 000 (1 + 0,1 + 0,5 0,12 + 0,5 0,14 + 0,5 0,16 + 0,5 0,18) \u003d 70 000 rubel.
A felhalmozott összeg képletével más meghatározott feltételek mellett is meghatározhatja a kölcsön futamidejét.
A kölcsön futamideje években:
8 - P N = .
R 1
Feladat 5.4
Határozza meg a kölcsön futamidejét években, amelyre az adósság 200 ezer rubel. 250 ezer rubelre fog növekedni. egyszerű kamatláb használata esetén - évi 16%.
Megoldás:
(250 000 - 200 000) / (200 000 0,16) = 1,56 (év).
A felhalmozott összeg képletéből meghatározhatja az egyszerű kamat mértékét, valamint a tartozás kezdeti összegét.
Döntse el egyedül
Feladat 5.5
600 ezer rubel kölcsön kiadásakor. megállapodtak abban, hogy a hitelfelvevő két év alatt 800 ezer rubelt ad vissza. Határozza meg a bank által alkalmazott kamatlábat!
Válasz: 17%.
Feladat 5.6
Az egyszerű, évi 15%-os kamattal kibocsátott kölcsönt 100 nap elteltével kell visszafizetni. Határozza meg a hitelfelvevő által kapott összeget és a bank által kapott kamatpénz összegét, ha a visszaküldendő összeg 500 ezer rubel. 360 napos időalappal.
Válasz: 480 000 dörzsölje.
Az ismert visszafizetendő tartozás kezdeti összegének megállapításának műveletét diszkontálásnak nevezzük. Tágabb értelemben a "leszámítolás" kifejezés egy érték P értékének egy adott időpontban történő meghatározását jelenti, feltéve, hogy a jövőben ez egy adott 8-as értékkel lesz egyenlő. Az ilyen számításokat az értékmutató bevitelének is nevezik. egy adott időpontra, és a diszkontálással meghatározott P értékét a bekerülési érték modern, vagy csökkentett értékének nevezzük. A diszkontálás lehetővé teszi az időtényező figyelembevételét a költségszámításoknál. A diszkonttényező mindig kisebb egynél.
Az egyszerű kamattal történő diszkontálás képlete a következő:
P = 8 / (1 + w), ahol 1 / (1 + w) a diszkonttényező.
Dekurzív módszer a kamatos kamat kiszámítására
A hosszú távú pénzügyi és hitelműveletek során a következő felhalmozási időszak utáni kamatot hozzáadják a tartozás összegéhez, a következő időszakban pedig a teljes összegre, azaz. kamatkapitalizációval. Az ilyen kamatokat kamatos kamatnak nevezzük, a felhalmozás alapja minden egymást követő felhalmozási időszakkal növekszik.
Az n évre felhalmozott összeget állandó éves kamatos kamat mellett 1c a képlet határozza meg
8 \u003d P (1 + 1s) p.
Feladat 5.7
A bank 500 ezer rubel kölcsönt adott ki. 3 éve. Határozza meg a visszafizetendő összeget évi 18%-os összetett kamatláb és a kamatpénz összegével.
Megoldás:
8 \u003d 500 000 (1 + 0,18) 3 = 821 516 rubel.
Kamatpénz \u003d 821 516 - 500 000 \u003d 321 516 rubel.
Az egy évnél hosszabb hitel futamideje kamatos kamatának számítása nagyobb kamatpénzt ad, mint az egyszerű kamat számítása.
Ha a kamatos kamatot évente többször (hónapra, negyedévre, félévre) számítják, akkor a névleges kamatláb - az éves kamatláb - kerül felhasználásra, amely alapján az egyes felhalmozási periódusokban alkalmazott kamatláb kerül megállapításra.
A felhalmozott összeget a képlet határozza meg
8 \u003d P (1 + ] / t) tp, ahol ] - a névleges kamatos kamatláb, tizedes tört;
m - az év során felhalmozódó kamatperiódusok száma;
n a kölcsön futamideje években;
] / t - kamatláb minden felhalmozási időszakban, tizedes tört.
Feladat 5.8
A betétekre a Bank negyedévente 16%-os nominális kamatot számít fel. Határozza meg a befektető által 5 év után kapott összeget, ha a kezdeti betét összege 100 ezer rubel.
Megoldás:
8 \u003d 100 000 (1 + 0,16 / 4) 4 x 5 = 219 112,2 rubel.
A felhalmozott összeg képletéből meghatározhatja a hitelfelvevőnek kiadott összeg értékét, pl. a 8-as összeget leszámítjuk az összetett kamattal.
Döntsd el magad
Feladat 5.9
Határozza meg az 500 ezer rubel összeg aktuális értékét, amelyet 3 éven belül fizetnek ki évi 20% kamatos kamattal.
Válasz: 289 351,8 rubel.
A kölcsön futamideje (az elhatárolt összeg képletéből) kerül meghatározásra
n \u003d 1od (8 / P) / 1od (1 + 1).
A logaritmus bármilyen egyenlő bázissal felvehető.
5.10. feladat
A bank évi 12%-os kamatos kamatot számít fel. Határozza meg azt az időszakot években, amelyre a letét összege 25 ezer rubel. 40 ezer rubelre fog nőni.
Válasz: 4,15 év.
5.11. feladat
Az adósság összege 3 év alatt megduplázódott. Határozza meg az alkalmazott éves kamatos kamatlábat!
Válasz: 26%.
Antiszipatív módszer az egyszerű kamat kiszámítására (egyszerű diszkontráták)
A leszámítolási kamatlábak alkalmazásakor a pénzkölcsönzésből származó kamatpénz összegét a visszafizetendő összeg alapján határozzák meg, pl. a felvett kölcsön összege nem a kapott összeg, hanem a felhalmozott összeg. A diszkont kamatláb mellett felhalmozott kamatpénzt a kölcsön kibocsátásakor azonnal visszatartják, és a hitelfelvevő azonnal megkapja a kölcsön összegét, levonva a kamatpénzt. Az ilyen műveletet diszkontráta melletti diszkontálásnak, valamint banki vagy kereskedelmi számvitelnek nevezik. A diszkontráta mellett felszámított kamat összegét diszkontnak nevezzük.
A hitelfelvevő által kapott összeget a képlet határozza meg
P \u003d 8 (1 - n.),
ahol d - egyszerű diszkontráta;
(1 - n e) - diszkonttényező egyszerű diszkontráta mellett.
A képletből látható, hogy a hitelkamatokkal ellentétben a diszkontkamatok nem vehetnek fel semmilyen értéket, a diszkonttényező nem lehet negatív, pl. n^e-nek szigorúan kisebbnek kell lennie egynél. A határértékhez közeli e értékekkel a gyakorlatban nem találkozunk. 5.12. feladat
A hitelfelvevő negyedévre kölcsönt vesz fel 100 ezer rubel visszafizetési kötelezettséggel. Határozza meg a hitelfelvevő által kapott összeget és a bank által visszatartott kedvezmény mértékét évi 15%-os diszkontrátával.
Megoldás:
P = 100 000 (1 - 0,25 x 0,15) \u003d 96 250 rubel.
Kedvezmény \u003d 8 - P = 100 000 - 96 250 \u003d 3750 rubel.
Ha a kölcsön futamideje napokban van megadva (d), akkor a hitelfelvevő által kapott összeget a képlet határozza meg
P = 8 (1 - a d / K),
ahol K az év napjainak száma (időalap).
Döntsd el magad
5.13. feladat
Határozza meg a hitelfelvevő által kapott összeget és a bank által kapott kedvezmény összegét, ha a szerződés értelmében a hitelfelvevőnek 200 napon belül 100 ezer rubelt kell visszafizetnie. évi 10%-os banki diszkontrátával és 360 napos időalappal.
Válasz: 94 444,44 rubel; 5 555,56 r.
A gyakorlatban a váltók és egyéb pénzbeli kötelezettségek vásárlásakor (könyvelésekor) diszkontrátákat alkalmaznak. Ebben az esetben a bank vagy más pénzintézet lejárat előtt megvásárolja a számlát a tulajdonostól (szállítótól) alacsonyabb áron, mint amennyit a futamidő végén fizetni kell, vagy ahogy mondani szokás, a banki engedmények a számla. A váltó tulajdonosa ezzel egyidejűleg a számlán megjelölt futamidőnél korábban kap pénzt, levonva a bank bevételét kedvezmény formájában. A bank, miután a számlán feltüntetett összeget lejáratkor megkapta, realizálja (kapja) a kedvezményt.
A meghatározott művelet a számlában megjelölt összegű, az elszámoláskor alkalmazott diszkontrátával a bank általi kölcsön kibocsátásának tekinthető, az elszámolás napjától a számlakiváltás napjáig terjedő időszakra. . Ebből következően a kedvezményes számla tulajdonosának kiállított összeget a képlet határozza meg
P \u003d 8 (1 - Dp-e) \u003d 8 (1 - e-Dd / K), ahol Dp \u003d Dd / K - az elszámolás napjától a számla visszafizetésének napjáig tartó időszak napokban;
Pokol - a napok száma az elszámolás napjától a számla visszafizetésének napjáig.
5.14. feladat
A 100 ezer rubel értékű számla elszámolásakor, amelynek esedékességéig 80 nap van hátra, a bank 98 ezer rubelt fizetett tulajdonosának. Határozza meg, hogy a bank milyen diszkontrátát alkalmazott 360 napos időalappal.
Megoldás:
e \u003d (100 000 - 98 000) x 360 / (100 000 x 80) \u003d 0,09 \u003d 9%.
Döntsd el magad
5.15. feladat
200 ezer rubel összegű számla. lejárat előtt 30 nappal a bankban történő könyvelés, évi 15%-os diszkontrátával. Határozza meg a számlatulajdonoshoz beérkező összeget és a bank által kapott kedvezmény mértékét, 360 napos időalappal!
Válasz: 197 500 rubel; 2500 dörzsölje.
5.16. feladat
A Bank évi 15%-os diszkont kamattal bocsát ki hiteleket. Határozza meg a kölcsön futamidejét években, ha a hitelfelvevő 500 ezer rubelt szeretne kapni, és a visszafizetett összegnek 550 ezer rubelnek kell lennie
. Válasz: 0,61 év.
Antiszipatív módszer a kamatos kamat kiszámítására (összetett diszkontráták)
Vezessük be a következő jelölést:
ёс - komplex diszkontráta;
^ - nominális éves leszámítolási kamatláb (akkor használjuk, ha a kamatot évente többször is a diszkontrátával számítják);
Az összetett diszkontráta melletti leszámítolás képlete:
P \u003d 8 (1 - ys) p.
Elhatárolt összeg n év után: 8 = P / (1 - Ds) p.
Itt 1 / (1 - ds)p - a felhalmozási együttható komplex diszkontráta mellett.
Ha a hitel kamata és a diszkontráta megegyezik, akkor a második esetben (antiszipatív módszerrel) gyorsabb a kezdeti összeg felhalmozódása. Ezért a szakirodalomban megtalálható az az állítás, hogy a dekurzív kamatszámítási módszer előnyösebb a hitelfelvevő számára, az antiszipatív módszer pedig előnyösebb a hitelező számára. Ez azonban csak kis kamatoknál tekinthető igazságosnak, amikor az eltérés nem olyan jelentős. De a kamatláb emelkedésével a felhalmozott összegek különbsége hatalmasra nő (és %-os növekedéssel nő), és e két módszer összehasonlítása értelmét veszti.
A képletből az következik, hogy a diszkontráta csak szigorúan 100%-nál kisebb értékeket vehet fel. A felhalmozott összeg a diszkontráta növekedésével gyorsan, a végtelenségig növekszik.
Ha a diszkont kamatláb a kölcsön futamideje alatt változik:
n
8 \u003d R / P (1 - n).
1=1
Itt n1, n2, ... nN a felhalmozási időközök időtartama években;
d1, ... ^ - diszkontráták ezekben az intervallumokban;
Ha a kamatot évente m-szer számolják, akkor
8 = P/(1 - G/t)™
Ha különböző kamattípusokra (egyszerű és összetett hitel- és diszkontkamatokra) végezzük a számításokat 8 azonos P és kamattal, akkor a legnagyobb tőkeemelést egyszerű diszkont kamatláb mellett kapjuk.
5.17. feladat
Az adósság kezdeti összege 25 ezer rubel. Határozza meg a felhalmozott összeget 3 év elteltével a kamatszámítás dekurzív és antiszipatív módszerével. Éves kamatláb - 25%.
Megoldás:
\u003d 25 000 (1 + 0,25) 3 \u003d 48 828 125 rubel;
\u003d 25 000 (1 - 0,25) -3 \u003d 59 255 747 rubel.
Döntsd el magad
5.18. feladat
Határozza meg a 120 000 rubel összeg aktuális értékét, amelyet 2 év alatt fizetnek ki évi 20% -os komplex diszkontrátával.
Válasz: 76 800 r
5.19. probléma.
Határozza meg a felhalmozott összegeket a különböző típusú kamatlábakhoz azonos kezdeti feltételek mellett: P = 10 000 rubel, kamat = 10%.
A számítási eredményeket táblázatban összegezzük, és az eltolódási arányokat összehasonlítjuk. Kamatláb típusa és számítási képlete 8 Futamidő = 1 Futamidő =3 Futamidő =6 Egyszerű kölcsön: 8 = Р (1 + t) 11 000 13 000 16 000 \u003d R e] p 11 044 Egyszerű elszámolás: 8 \u003d P / (1 - dp) Komplex számvitel: 8 \u003d P / (1 - d) p
Például a felső sorban a felhalmozott összegek egyszerű hitelkamatozású, egy, három és hat éves futamidővel történő kiszámításának eredményei láthatók. Az üres sorokat saját kezűleg kell kitölteni.
A folyamatos kamatszámítás számítási képletében e a természetes logaritmus alapja. n = 1 esetén: 8 = 10 000 x 2,701 x 1 = 11 044.
Egyenértékű kamatláb Az egyenértékű kamatlábak azok a különböző típusú kamatlábak, amelyek alkalmazása azonos kezdeti feltételek mellett ugyanazt a pénzügyi eredményt adja. Ezeket akkor kell ismerni, amikor a pénzügyi tranzakciók feltételei közül választhat, és szükség van egy eszközre a különböző kamatlábak helyes összehasonlításához.
Az ekvivalencia egyenletek az ekvivalens kamatlábak meghatározására szolgálnak. Olyan értéket választunk ki, amely különböző típusú kamatlábokkal számítható ki (általában ez egy elhatárolt összeg). Egy adott értékre vonatkozó két kifejezés egyenlősége alapján egy ekvivalenciaegyenletet állítunk össze, amelyből megfelelő transzformációkkal olyan arányt kapunk, amely kifejezi a különböző típusú kamatlábak közötti kapcsolatot. Például egy egyszerű leszámítolási kamatláb megtalálásához, amely egyenértékű egy egyszerű hitelkamattal, az ekvivalencia egyenlet
P (1 + w) \u003d P / (1 - nj) vagy (1 + w) \u003d 1 / (1 - nj), azaz. egyenlőségjelet kell tenni a megfelelő növekedési tényezők között. Ezért th = 1 / (1 + w) és 1 = th / (1 - nth).
5.20. feladat
A tartozás lejárata hat hónap, az egyszerű diszkontráta 18%. Mennyi ennek a műveletnek a hozama, egyszerű kamatlábban mérve?
Megoldás:
1 = 0,18 / (1 - 0,5 x 0,18) = 0,198 = 19,8%. Az éves összetett hitelkamat és az éves összetett névleges kamatláb ekvivalenciájának meghatározásához a kifejezéseket egyenlővé tesszük: (1 + dp = (1 + Ut)™
Ezért 1c \u003d (1 + Ym) m - 1.
Az így kapott éves kamatos kamatlábat, amely megegyezik a névleges kamatlábbal, effektív kamatos kamatlábnak nevezzük. Ismernie kell a reálhozam meghatározásához vagy a kamat összehasonlításához, ha különböző elhatárolási intervallumokat használ.
5.21. feladat
Számítsa ki az effektív kamatos kamatlábat, ha a névleges kamatláb 24%, és havonta kamatozik.
Megoldás:
1s = (1 + 0,24 / 12) 12 - 1 = 0,268 = 26,8%.
5.22. feladat
Határozza meg, milyen kamatláb mellett jövedelmezőbb 10 000 ezer rubel tőkét elhelyezni. 5 évig:
a) egyszerű évi 20%-os hitelkamattal;
b) évi 12%-os kamattal, negyedéves kamattal.
Megoldás:
Itt nem szükséges a felhalmozott összeg összegét különböző árfolyamon számolni. Ezért az induló tőke nagysága nem lényeges. Elég például egy adott összetett kamattal egyenértékű egyszerű kamatot találni, pl. használja a képletet
1 = [(1 + ] / m) m - 1] / n = [(1 + 0,12 / 4) 20 - 1] / 5 = 0,1612 = 16,12%.
Mivel a 16,12%-os egyszerű kamatláb, amely az adott kamatos kamattal (12%) ugyanazt az eredményt adná, lényegesen alacsonyabb az első opcióban javasolt kamatnál (20%), egyértelmű, hogy az első befektetési lehetőség (egyszerű évi 20%-os kamattal) sokkal jövedelmezőbb.
Most pedig számoljuk ki a felhalmozott összegeket mindkét esetben:
a) 8 \u003d 10 000 (1 + 5 x 0,2) \u003d 20 000 ezer rubel;
b) 8 = 10 000 (1 + 0,12 / 4) 20 \u003d 18 061 ezer rubel.
A kapott eredmény megerősíti azt a korábbi következtetést, hogy az első lehetőség jövedelmezőbb, mivel nagy mennyiségű felhalmozódást ad. Ugyanakkor az egyenértékű ráták alkalmazása felére csökkenti a számításokat.
Döntsd el magad
5.23. feladat
A váltót a lejárat előtt három hónappal diszkontálták évi 20%-os diszkontrátával. Határozza meg a számviteli művelet jövedelmezőségét meghatározó egyszerű kamatláb értékét!
Válasz: 21,1%.
5.24. feladat
Az egyszerű kamat mértéke évi 20%. Határozza meg az ezzel egyenértékű diszkontráta értékét hat hónapos kölcsön kibocsátásakor!
Válasz: 18%.
5.25. feladat
Kétéves kölcsönt nyújtottak évi 16%-os kamatos kamattal. Határozza meg az egyenértékű diszkontráta értékét hat hónapos kölcsön kibocsátásakor!
Válasz: 14,5%.
5.26. probléma
Az öt évre szóló letéti igazolás egyszerű hitelkamatot számít fel, amelynek mértéke évi 15%. Határozza meg az egyenértékű kamatos kamatlábat!
Válasz: 11,84%.
5.27. feladat
A Bank a betétek után havi kamatlábat számít fel, évi 12%-os nominális kamattal. Számítsa ki a befektetés megtérülését az összetett éves kamatláb mellett.
Válasz: 12,68%.
A következő következtetések vonhatók le:
Az effektív kamatláb értéke nagyobb, mint a névleges kamatláb, és m = 1-nél egybeesnek.
Egy egyszerű diszkontráta mindig kisebb, mint a vele egyenértékű többi kamatláb (mivel a felhalmozás ennél a kamatlábnál, egyéb tényezők változatlansága mellett, mindig gyorsabb).
A különböző kamatlábak egyenértékűsége nem függ a P kezdeti összeg értékétől (a kezdeti összeget azonosnak tételezzük fel).
A kamatlábak egyenértékűsége mindig a kamatfelhalmozási időszak időtartamától függ, kivéve a különböző típusú kamatos kamatlábak egyenértékűségét (ha a felhalmozási időszak azonos).
Megfontolandó kérdések:
1. Éves kamatos kamat számítása.
2. A kamatos és egyszerű kamat növekedésének összehasonlítása.
3. Évente többszöri kamatfelhalmozás.
4. Leszámítolás kamatos kamattal.
5. A pénzügyi tranzakció futamidejének és kamatlábának meghatározása.
6. Folyamatos felhalmozás és diszkontálás.
A pénzügyi gyakorlatban a számítások jelentős része kamatos kamatozású séma alkalmazásával történik. A kamatos kamatozási rendszer alkalmazása akkor javasolt, ha:
- a kamatot nem felhalmozódásukkor fizetik, hanem hozzáadják a tartozás eredeti összegéhez. A felhalmozott kamat hozzáadását az adósság összegéhez, amely számításuk alapjául szolgál, kamatkapitalizációnak nevezzük;
− a kölcsön futamideje több mint egy év.
Ha a kamatpénzt nem azonnal fizetik, ahogyan felhalmozódik, hanem hozzáadják a tartozás eredeti összegéhez, akkor a tartozás így a ki nem fizetett kamattal növekszik, és a későbbi kamatfelhalmozás a tartozás megnövekedett összegére történik. :
- egy elhatárolási időszakra;
- két felhalmozási időszakra;
innen, azért n felhalmozási időszakok esetén a képlet a következőképpen alakul:
Ahol - a tartozás felhalmozott összege; - a tartozás kezdeti összege; én- a felhalmozási időszak kamatlába; n- a felhalmozási időszakok száma. Ezt a képletet kamatos kamat képletnek nevezik.
Az egyszerű és kamatos kamat számításának különbsége a számításuk alapján. Ha a tartozás azonos kezdeti összegére mindig egyszerű kamatot számítanak fel, pl. az elhatárolási alap állandó érték, majd a kamatos kamat az egyes elhatárolási periódusokkal növekvő bázisra kerül elhatárolásra. Így az egyszerű kamat eleve abszolút növekedés, az egyszerű kamatképlet pedig hasonló a vizsgált jelenség fejlettségi szintjét állandó abszolút növekedés mellett meghatározó képlethez. A kamatos kamat stabil növekedési ütemekkel jellemzi a kiinduló összeg növekedési folyamatát, miközben felgyorsítja annak abszolút értékét, ezért a kamatos kamat képlete tekinthető a stabil növekedési ütemek alapján a szint meghatározójának.
A statisztika általános elmélete szerint az alapnövekedési ráta meghatározásához meg kell szorozni a láncnövekedési rátákat. Mivel az időszakra vonatkozó kamatláb egy láncnövekedési ráta, a lánc növekedési üteme:
(1 + én).
Ekkor az alap növekedési ráta a teljes időszakra, állandó növekedési ütem alapján:
(1 + i) n.
A felhalmozási szorzó közgazdasági jelentése az, hogy megmutatja, hogy egy pénzegység (egy rubel, egy dollár stb.) mennyivel lesz egyenlő átmenően n időszakokban adott kamatláb mellett én.
Az egyszerű és kamatos kamat felhalmozott összegének arányát grafikusan szemlélteti az ábra.
Amint az ábrán látható, a rövid lejáratú hiteleknél az egyszerű kamat elhatárolása előnyösebb, mint a kamatos kamat; éves futamidővel nincs különbség, de a közép- és hosszú lejáratú hiteleknél sokkal magasabb a kamatos kamatra számolt felhalmozott összeg, mint az egyszerűeknél.
Bármilyen én,
Ha 0 < n < 1, то (1 + ni) >(1 + i)n
Ha n > 1, akkor (1 + ni)< (1 + i) n
Ha n = 1, akkor (1 + ni) = (1 + i) n
Így a hitelezők számára:
− az egyszerű kamatozás jövedelmezőbb, ha a kölcsön futamideje egy évnél rövidebb (a kamatot egyszer, az év végén számítják);
- a kamatos kamatrendszer jövedelmezőbb, ha a hitel futamideje meghaladja az egy évet;
- mindkét program ugyanazt az eredményt adja egy éves futamidővel és egyetlen kamatszámítással.
Gyakran előfordul, hogy a pénzügyi szerződéseket nem egész számú évre kötik.
Abban az esetben, ha a pénzügyi tranzakció futamidejét töredékévekben fejezzük ki, a kamat két módszerrel számítható ki:
− Tábornok A módszer a kamatos kamat képletével végzett közvetlen számításból áll:
,
Ahol n- tranzakciós időszak; a az évek egész száma; b az év töredéke.
− vegyes a számítási módszer feltételezi, hogy a kamatszámítási időszak egész számú évére a kamatos kamatképletet, az év töredékére pedig az egyszerű kamatképletet kell használni:
.
Mert a b< 1 , Azt (1 + bi) > (1 + i) a, ezért a felhalmozott összeg nagyobb lesz vegyes séma esetén.
A vegyes rendszer előnyösebb a hitelező számára.
A kamatos kamat felhalmozási időszaka nem mindig egyenlő egy évvel, azonban a pénzügyi tranzakció feltételei nem jelzik az időszakra vonatkozó kamatlábat, Aéves kamatláb a felhalmozási időszak megjelölésével - névleges kamatláb (én).
Névleges árfolyam (névleges kamatláb) - az éves kamatláb, amely alapján az egyes felhalmozási periódusokban a kamatláb értékét határozzák meg, évente többszöri kamatos kamat felszámítása esetén.
Ez az arány:
− egyrészt nem tükrözi a tranzakció valós hatékonyságát;
− másodszor, nem használható összehasonlításra.
Ha kamatot számítanak fel mévente egyszer, és a tartozás futamideje - név, akkor a pénzügyi tranzakció teljes időszakára vonatkozó felhalmozási időszakok száma összesen a következő lesz
Ezért a kamatos kamat képlet a következőképpen írható fel:
,
ahol i a névleges éves kamatláb.
A névleges kamatláb mellett van effektív árfolyam (effektív árfolyam), amely méri a valós relatív jövedelem, amelyet az év egészére kaptak, figyelembe véve az éven belüli kapitalizációt. Az effektív kamatláb azt mutatja meg, hogy melyik éves kamatos kamatláb adja ugyanazt a pénzügyi eredményt, mint m- évi egyszeri emelés mértéke szerint j/m:
,
.
A képletből az következik, hogy az effektív ráta az éven belüli elhatárolások számától függ.
Az effektív kamatláb számítása hatékony eszköz a pénzügyi elemzéshez, mivel értéke lehetővé teszi a különböző feltételekkel végzett pénzügyi tranzakciók összehasonlítását: minél magasabb egy pénzügyi tranzakció effektív kamatlába, annál (ceteris paribus) jövedelmezőbb a hitelező számára.
Meg kell jegyezni, hogy az alap kamatos kamatképlet magában foglalja állandó kamatláb az egész kamatperiódus alatt. Hosszú lejáratú kölcsön nyújtásakor azonban gyakran alkalmaznak kamatos kamatokat, amelyek időben változnak, de minden időszakra előre rögzítettek. Használat esetén változók kamatlábak esetén az elhatárolási képlet a következő:
Ahol én k– a kamatlábak egymást követő értékei időben; nk– azon időszakok időtartama, amelyek során a megfelelő árfolyamokat alkalmazzák.
Az általunk eddig figyelembe vett összes helyzet diszkrét kamatozású volt, mivel meghatározott időszakokra (év, negyedév, hónap, nap, óra) számítják. A gyakorlatban azonban gyakran előfordulnak olyan esetek, amikor folyamatosan gyűlik a kamat, önkényesen rövid ideig. Ha a kamatot naponta halmozzák fel, akkor a felhalmozás éves együtthatója (szorzója) így nézne ki:
.
De mivel a kamat folyamatosan halmozódik fel, akkor m a végtelenbe hajlik, a felhalmozási együttható (szorzó) pedig arra eén, Ahol e A ≈ 2,718281-et Euler-számnak nevezik, és ez az egyik legfontosabb állandó a matematikai elemzésben.
Innen már felírhatjuk a képletet a felhalmozott összegre névek:
A folyamatos kamatláb ún érdeklődés erejeés szimbolizálják δ , ellentétben a diszkrét kamattal ( én).
Grafikusan a felhalmozott összeg változása az elhatárolás gyakoriságától függően a következő formában jelenik meg:
A diszkrét elhatárolásnál minden egyes "lépés" a következő kamatfelhalmozás hatására a tartozás tőkeösszegének növekedését jellemzi. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a "lépések" magassága folyamatosan növekszik.
Egy éven belül a bal oldali grafikonon egy "lépés" a középső, kisebb méretű grafikonon lévő két "lépésnek" felel meg, de összességében meghaladják egyetlen elhatárolás "lépésének" magasságát. Még gyorsabb a felhalmozás a folyamatos kamatszámítással, amint azt a jobb oldali grafikon mutatja.
Így a kamatfelhalmozás gyakoriságától függően a kezdeti összeg felhalmozása különböző ütemben történik, a maximális felhalmozás pedig az éves intervallum végtelen felosztásával.
A folyamatos kamatszámítást olyan összetett pénzügyi problémák elemzésénél alkalmazzák, mint a befektetési döntések indoklása és kiválasztása. Egy olyan pénzintézet munkájának értékelésekor, ahol ismétlődően érkeznek befizetések egy időszakra, indokolt azt feltételezni, hogy az elhatárolt összeg időben folyamatosan változik, és folyamatos kamatszámítást kell alkalmazni.
Csakúgy, mint az egyszerű kamatokhoz, a kamatos kamatokhoz is olyan képletekre van szükség, amelyek lehetővé teszik egy pénzügyi tranzakció hiányzó paramétereinek meghatározását:
- a kölcsön futamideje,
− kamatos kamatláb.
A kamatos kamatot a hosszú lejáratú pénzügyi és hitelügyletek során alkalmazzák, ha a kamatot nem fizetik rendszeresen, közvetlenül az elmúlt időintervallum felhalmozódása után, hanem hozzáadják a tartozás összegéhez. A felhalmozott kamat hozzáadását a megállapításuk alapjául szolgáló összeghez gyakran ún tőkésítés százalék.
kamatos kamat képlete
Legyen az eredeti adósságP, akkor egy év múlva a tartozás összege kamattal együtt az leszP(1+ én) , 2 év után P(1+ én)(1+ én)= P(1+ én) 2 , keresztül névek - P(1+ én) n. Így megkapjuk a kamatos kamat elhatárolási képletét
S=P(1+i)n, (19)
Ahol S- felhalmozott összegén- éves kamatos kamatláb,n- a kölcsön futamideje (1+ én) n- növekmény szorzó.
A gyakorlati számításoknál főleg diszkrét százalékokat használnak, pl. azonos időszakokra (év, fél év, negyedév stb.) felhalmozott kamat. A kamatos kamat a geometriai progresszió törvénye szerinti növekedés, amelynek első tagja egyenlőP, és a nevező (1+ én).
Vegye figyelembe, hogy abban az időbenn<1 az egyszerű kamat felhalmozása nagyobb eredményt ad, mint a kamatos kamat, és azzaln>1 - oda-vissza. Ezt konkrét számpéldákon könnyű belátni. Az egyszerű kamatra felhalmozott összeg legnagyobb többlete a kamatos kamatra felhalmozott összegnél (ugyanolyan kamat mellett) az időszak középső részében érhető el.
Összetett kamat képlete
amikor az arány idővel változik
Abban az esetben, ha az összetett kamatláb idővel változik, az elhatárolási képlet a következőképpen alakul
(20)
ahol i 1 , i 2 ,..., i k - az időszakokban érvényes kamatlábak egymást követő értékei n1,n2,...,nk illetőleg.
6. példa
A szerződés változó kamatos kamatlábat rögzített, amelynek mértéke évi 20%, plusz 10% margin az első két évben, 8% a harmadik évben, 5% a negyedik évben. Határozza meg a felhalmozási szorzó értékét 4 évre!
Megoldás.
(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704
Az összegképlet megduplázása
Kilátásai felmérése érdekében a hitelező vagy adós megkérdezheti: hány év múlva nő a hitel összegeNalkalommal adott kamat mellett. Erre általában akkor van szükség, ha előre megjósolja a jövőbeni befektetési lehetőségeit. A választ úgy kapjuk, hogy a növekedési tényezőt egyenlővé tesszük az értékkelN:
A) egyszerű érdeklődésre
(1+ niegyszerű.) = N, ahol
. (21)
B) kamatos kamatra
(1+ énbonyolult) n= N, ahol
. (22)
Különösen gyakran használtN=2. Ekkor a (21) és (22) képleteket duplázó képleteknek nevezzük, és a következő alakot öltik:
A) egyszerű érdeklődésre
, (23)
B) kamatos kamatra
. (24)
Ha a (23) képlet könnyen alkalmazható a számítások becslésére, akkor a (24) képlethez számológép szükséges. Alacsony (mondjuk 10% alatti) kamat mellett azonban egyszerűbb közelítés is használható. Ezt tekintve könnyű megszerezni ln 2 0,7 és ln (1+ i ) i . Akkor
n» 0,7/ én. (25)
7. példa
Megoldás.
a) Egyszerű kamat esetén:
évek.
b) kamatos kamattal és a pontos képlettel:
Az év ... ja.
c) kamatos kamattal és hozzávetőleges képlettel:
n» 0,7/ én\u003d 0,7 / 0,1 \u003d 7 év.
Következtetések:
1) Az egyszerű és kamatos kamatláb azonos értéke teljesen eltérő eredményekhez vezet.
2) Alacsony kamatos kamat mellett a pontos és közelítő képletek gyakorlatilag ugyanazt az eredményt adják.
Éves kamat számítása töredékévekre
Töredékszámú évek esetén a kamatot különböző módon számítják ki:
1) A kamatos kamat képlete szerint
S=P(1+i)n, (26)
2) Vegyes módszer alapján, amely szerint egész évre kamatos kamatot, töredékévekre egyszerű kamatot számítanak fel.
S=P(1+i) a (1+bi), (27)
Ahol n= a+ b, aegy egész számú évbaz év töredéke.
3) Számos kereskedelmi banknál alkalmazzák azt a szabályt, amely szerint a felhalmozási időszaknál rövidebb időszakokra nem számítanak fel kamatot, pl.
S=P(1+i) a. (28)
Nominális és effektív kamatlábak
Névleges árfolyam . Legyen az éves kamatos kamatlábjés a felhalmozási időszakok száma éventem. Ezután minden alkalommal a kamatláb szerint kerül kiszámításra j/m. Licit jnévlegesnek nevezzük. A kamat a névleges kamatláb alapján kerül kiszámításra a következő képlet szerint:
S=P(1+j/m) N, (29)
Ahol N- felhalmozási időszakok száma.
Ha a kölcsön futamidejét töredékszámú felhalmozási időszakokkal mérjük, akkor amévi egyszeri kamatfelhalmozás, a felhalmozott összeg többféleképpen számolható, ami eltérő eredményekhez vezet:
1) Összetett kamat képlete
S=P(1+j/m) N/t, (30)
Ahol N/ t- a kamatperiódusok száma (esetleg töredéke),t- kamatszámítási időszak,
2) Vegyes formula
, (31)
Ahol a- a felhalmozási időszakok egész száma (pl.a= [ N/ t] - a teljes kölcsön futamideje felosztásának egész részeNa felhalmozási időszakrat),
b- a felhalmozási időszak fennmaradó töredéke ( b= N/ t- a).
8. példa
A kölcsön összege 20 millió rubel. 28 hónapig biztosított. A névleges kamatláb évi 60%. A kamatot negyedévente számítják ki. Számítsa ki a felhalmozott összeget három esetben: 1) ha kamatos kamatot számítanak fel a töredékre, 2) ha egyszerű kamatot számítanak fel a töredékre, 3) ha a töredéket figyelmen kívül hagyják. Hasonlítsa össze az eredményeket.
Megoldás.
A kamatot negyedévente számítják ki. Összesen negyedek vannak.
1)
= 73,713 millió rubel.
2)
= 73,875 millió rubel
3) S=20(1+0,6/4) 9= 70,358 millió dörzsölés .
A felhalmozott összegek összehasonlításából azt látjuk, hogy a második esetben éri el a maximális értékét, azaz. az egyszerű kamat töredékének kiszámításakor.
Hatékony ráta megmutatja, hogy melyik éves kamatos kamatláb adja ugyanazt a pénzügyi eredményt, mintm- évi egyszeri emelés mértéke szerintj/ m.
Ha a kamatot tőkésítikmévente egyszer, minden alkalommal árfolyammalj/ m, akkor definíció szerint felírhatjuk a megfelelő növekedési tényezők egyenlőségét:
(1+iuh) n =(1+j/m) mn, (32)
Ahol énuhaz effektív árfolyam, ésj- névleges. Ebből azt kapjuk, hogy az effektív és a nominális kamatláb közötti kapcsolatot a reláció fejezi ki
(33)
Az inverz kapcsolatnak megvan a formája
j=m[(1+iuh) 1/m -1].(34)
9. példa
Számítsa ki az effektív kamatlábat, ha a bank negyedévente számol kamatot, évi 10%-os névleges kamatláb alapján.
Megoldás
énuh=(1+0,1/4) 4 -1=0,1038, azaz. 10,38%.
10. példa
Határozza meg a névleges kamatlábat a negyedéves kamatösszeállításhoz, hogy évi 12%-os effektív kamatláb legyen.
Megoldás.
j=4[(1+0,12) 1/4 -1]=0,11495, azaz. 11,495%.
Könyvelés (leszámítás) kamatos kamattal
Itt, csakúgy, mint az egyszerű kamat esetében, kétféle elszámolást kell figyelembe venni - matematikai és banki.
Matematikai számvitel . Ebben az esetben a probléma a kamatos kamattal fordítottan oldódik meg. Írjuk fel a növekmény kezdeti képletét
S=P(1+i)n
és oldja meg azértP
, (35)
Ahol
(36)
kedvezmény vagy diszkonttényező.
Ha kamatot számítanak felmévente egyszer kapunk
, (37)
Ahol
(38)
kedvezmény szorzó.
az érték Pleszámítolással szerezték megS, hívott kortárs vagy jelenlegi érték vagy adott nagyságrendű S. Összegek PÉs Segyenértékűek abban az értelemben, hogy a kifizetés az összegbenS keresztül név egyenlő az összeggelPjelenleg fizetett.
Különbség D= S- Phívott kedvezmény.
Banki könyvelés. Ebben az esetben egy komplex diszkontráta alkalmazását feltételezzük. A komplex diszkontrátával történő diszkontálás a képlet szerint történik
P=S(1-dsl)n, (39)
Ahol dsl- Összetett éves diszkontráta.
A kedvezmény ebben az esetben az
D=S-P=S-S(1-dsl) n =S.(40)
Komplex diszkontráta alkalmazásakor a diszkontálási folyamat progresszív lassítással történik, mivel a diszkontrátát minden alkalommal az előző időszakra a kedvezmény összegével csökkentett összegre alkalmazzuk.
A nominális és effektív diszkont kamatlábak
Névleges diszkontráta . Leszámítolás alkalmazása eseténmévente egyszer használja nominális diszkontráta f. Majd minden periódusban egyenlő 1/ mrészében, összetett diszkontrátával diszkontálvaf/ m. A diszkontálási folyamat ehhez az összetett könyveléshezmévente egyszer a képlet írja le
P=S(1-f/m) N, (41)
Ahol N- a kedvezményes időszakok teljes száma (N= mn).
A kedvezmény nem egy, hanem mévente egyszer gyorsabban csökkenti a diszkontrátát.
Hatékony diszkontráta. Az effektív leszámítolási kamatláb az évenként adott számú engedményre alkalmazott nominális kamatlábnak megfelelő összetett éves diszkontráta (a pénzügyi eredmények szerint).m.
Az effektív diszkontráta definíciójának megfelelően a nominális kamattal való kapcsolatát a diszkonttényezők egyenlőségéből találjuk meg.
(1-f/m) mn = (1-dsl)n,
amiből az következik
dsl=1-(1-f/m) m. (42)
Vegye figyelembe, hogy az effektív diszkontráta mindig kisebb, mint a nominális.
Gyarapodás komplex diszkontráta mellett. Az akkréció a diszkontráták fordított problémája. Az összetett diszkontráta melletti elhatárolás képletei a megfelelő diszkontálási képletek (39 és 41) feloldásával érhetők el aS. Kapunk
tól től P=S(1-d sl) n
, (43)
és től P= S(1- f/ m) N
. (44)
11. példa.
Mekkora összeget kell beírni a váltóba, ha a ténylegesen kibocsátott összeg 20 millió rubel, a futamidő 2 év. A számla kiszámítása 10%-os összetett éves diszkontráta alapján történik.
Megoldás.
millió rubel
12. példa.
Oldja meg az előző problémát, feltéve, hogy a komplex diszkontrátával történő felhalmozást nem egyszer, hanem évente 4 alkalommal hajtják végre.
Megoldás.
millió rubel
Felhalmozás és diszkontálás
A felhalmozott összeget diszkrét kamattal a képlet határozza meg
S= P(1+ j/ m) mn,
Ahol ja névleges kamatláb, ésm- a kamatperiódusok száma évente.
A több m, annál rövidebbek a kamatszámítási pillanatok közötti időintervallumok. A limitben:m® ¥ nekünk van
S= lim P(1+j/m) mn =P lim [(1+j/m) m ] n . (45)
m ® ¥ m ® ¥
Ismeretes, hogy
lim (1+j/m) m =lim [(1+j/m) m/j ] j =e j ,
m ® ¥ m ® ¥
Ahol ea természetes logaritmusok alapja.
Ezt a határt a (45) kifejezésben felhasználva végül azt találjuk, hogy a felhalmozott összeg folyamatos kamatfelhalmozás esetén a kamatlábj egyenlő
S= Pejn. (46)
Annak érdekében, hogy a folyamatos kamatlábat megkülönböztessük a diszkrét kamatoktól, növekedési erőnek nevezzük, és szimbólummal jelöljük. d. Akkor
S=Pedn. (47)
A növekedés ereje d a névleges kamatlábm® ¥ .
A folyamatos kamatozáson alapuló diszkontálás a képlet szerint történik
P=Se-dn. (48)
A diszkrét és a folyamatos kamatlábak kapcsolata
A diszkrét és a folyamatos kamatlábak funkcionális kapcsolatban állnak, aminek köszönhetően át lehet térni a folyamatos kamatozásról a diszkrét kamatra és fordítva. Az egyik árfolyamról a másikra való ekvivalens átmenet képlete megkapható a megfelelő felhalmozási szorzók egyenlítésével
(1+i)n=edn. (49)
Az írott egyenlőségből az következik
d = ln(1+ én) , (50)
én= ed-1 . (51)
13. példa
Az éves kamatos kamatláb 15%, ami ennek megfelelő növekedési ráta,
Megoldás.
Az (50) képletet használjuk
d = ln(1+ én)= ln(1+0,15)=0,13976,
azok. az egyenértékű növekedési erő 13,976%.
A kölcsön futamidejének és kamatainak kiszámítása
Számos gyakorlati problémában a kezdeti ( P ) és végső (S ) az összegeket a szerződés határozza meg, és meg kell határozni vagy a fizetési határidőt, vagy a kamatlábat, amely ebben az esetben a piaci mutatókkal való összehasonlítás mérőszámaként és a hitelező számára a művelet jövedelmezőségének jellemzőjeként szolgálhat. . Ezeket az értékeket könnyű megtalálni az eredeti növekmény- vagy diszkontképletekből. Valójában mindkét esetben az inverz probléma bizonyos értelemben megoldódik.
Kölcsön futamideje
A szerződés paramétereinek kialakításakor és a kívánt eredmény elérésének időzítésének becslésekor az ügylet fennmaradó paraméterein keresztül meg kell határozni a művelet időtartamát (kölcsön futamideje). Vizsgáljuk meg ezt a kérdést részletesebben.
én.
S=P(1+i)n
ezt követi
(52)
ahol a logaritmus tetszőleges bázisba vehető, mivel a számlálóban és a nevezőben is jelen van.
mévente egyszer a képletből
S=P(1+j/m)mn
kapunk
(53)
d. A képletből
P=S(1-d)n
nekünk van 
(54)
mévente egyszer. Tól től
P=S(1-f/m)mn
elérkezünk a képlethez
(55)
Ha állandó növekedési erőre épít. Alapján
S= Pedn
kapunk
ln( S/ P)= d n. (56)
Kamatláb számítás
A fenti kiindulási képletekből kapjuk a kamatlábak kifejezéseit.
A) Összetett éves árfolyamon történő felépítéskorén. Az eredeti növekedési képletből
S=P(1+i)n
ezt követi
(57)
B) Névleges kamattal történő emeléskormévente egyszer a képletből
S=P(1+j/m)mn
kapunk 
(58)
C) Összetett éves diszkontrátával diszkontálvad. A képletből
P=S(1-d)n
nekünk van 
(59)
D) Ha nominális diszkontrátával diszkontáljákmévente egyszer. Tól től
P=S(1-f/m)mn
elérkezünk a képlethez
(60)
E) Ha állandó növekedési erőre építünk. Alapján
S= Pedn
kapunk
(61)
Kamat és infláció
Az infláció következménye a pénz vásárlóerejének csökkenése, amely egy időszak alattnaz index jellemziJ n. Vásárlóerő index egyenlő az árindex reciprokávalJp, azaz
J n=1/ Jp. (62)
ÁrindexMegmutatja, hogy az árak hányszor emelkedtek egy adott időszak alatt.
Egyszerű kamat elhatárolása
Ha növelték a n év a pénz mennyiségeS, az árindex pedig azJp, akkor a ténylegesen felhalmozott pénzmennyiség vásárlóerejüket is figyelembe véve megegyezik a
C=S/Jp. (63)
Legyen a várható átlagos éves infláció (amely az éves áremelkedést jellemzi) egyenlő h . Akkor az éves árindex lesz (1+ h).
Ha megtörténik a növekedés egyszerű árfolyamon alattnévre, akkor a reálnövekedés az infláció mértékével h lesz
(64)
ahol általában
(65)
és különösen az árak állandó növekedése melletth,
Jp =(1+h)n. (66)
Az a kamatláb, amely az inflációt kompenzálja az egyszerű kamat kiszámításakor
(67)
A pénz leértékelődésének kompenzálásának egyik módja a kamat emelése az ún. inflációs prémium. Az így beállított árfolyamot ún bruttó ráta. Bruttó árfolyam, amelyet a szimbólummal fogunk jelölnir, a bruttó kamatláb inflációval kiigazított felhalmozási szorzójának a reálkamatláb szerinti felhalmozási szorzóval való egyenlőségéből adódik.
(68)
ahol
(69)
Összetett kamat felhalmozódás
Kiterjedt kamatos kamat az összeg a kölcsön futamidejének végére, figyelembe véve a pénz vásárlóerejének csökkenését (azaz állandó rubelben)
(70)
ahol az árindexet a (65) vagy (66) kifejezés határozza meg, az inflációs ráta változékonyságától vagy állandóságától függően.
Ebben az esetben a pénz vásárlóerejének csökkenése az árfolyamon kompenzálódikén= hegyenlőséget biztosítvaC= P.
Alkalmaz kétféle módon lehet kompenzálni a veszteségeket a kamatos kamat számításánál a pénz vásárlóerejének csökkenésétől.
A) Kamatláb kiigazítás, amely mentén a növekedés történik, az érték szerint inflációs prémium. Az inflációs prémiummal megnövelt kamatlábat bruttó kamatnak nevezzük. Jelöljük a szimbólummalr. Feltéve, hogy az éves inflációh, felírhatjuk a megfelelő növekedési tényezők egyenlőségét
(71)
Ahol én- valós árfolyam.
Innen kapjuk a Fisher-képletet
r=i+h+ih. (72)
Vagyis az inflációs prémium azh+ ih.
B) A kezdeti összeg indexálása P . Ebben az esetben az összegPegy előre meghatározott index mozgásának megfelelően igazítva. Akkor
S=PJ p(1+i)n. (73)
Könnyen belátható, hogy az A) és a B) esetben is ugyanazt a növekedési képletet kapjuk (73). Ebben a jobb oldalon lévő első két tényező a kezdeti összeg indexálását, az utolsó kettő pedig a kamatláb kiigazítását tükrözi.
A reálkamat mérése
A gyakorlatban az inverz problémát is meg kell oldani - meg kell találni a reálkamatot az inflációban. A felhalmozási szorzók közötti azonos arányokból nem nehéz olyan képleteket levezetni, amelyek meghatározzák a valós rátáténadott (vagy meghirdetett) bruttó árfolyamon r .
Egyszerű kamat számításánál az éves reálkamat egyenlő a
(74)
A kamatos kamat kiszámításakor a reálkamatot a következő kifejezés határozza meg
(75)
Az elmélet gyakorlati alkalmazásai
Nézzük meg az általunk vizsgált elmélet néhány gyakorlati alkalmazását. Mutassuk meg, hogyan használhatók a fent kapott képletek egyes pénzügyi tranzakciók hatékonyságának számítási problémáinak megoldására, és hasonlítsa össze a különböző számítási módszereket.
Valuta átváltás és kamatszámítás
Tekintsük a valutaváltás (csere) és a felhalmozás kombinációját egyszerű érdeklődés, összehasonlítjuk a rendelkezésre álló pénzeszközök közvetlen betétbe helyezéséből vagy egy másik devizára történő előzetes átváltásból származó eredményeket. Összesen 4 lehetőség van a kamat felhalmozására:
1. Nincs átalakítás. A devizaforrásokat devizabetétként helyezik el, az induló összeget az egyszerű kamatképlet közvetlen alkalmazásával devizaárfolyamon növelik.
2. Átalakítással. A kezdeti devizaalapokat átváltják rubelre, a felhalmozás rubel árfolyamon történik, a művelet végén a rubel összegét visszaváltják az eredeti pénznemre.
3. Nincs átalakítás. A rubel összegét rubel betét formájában helyezik el, amelyre az egyszerű kamatképlet szerint kamat halmozódik fel a rubel árfolyamon.
4. Átalakítással. A rubel összegét egy adott pénznemre váltják át, amelyet devizabetétbe fektetnek be. A kamat devizaárfolyamon kerül felszámításra. A művelet végén felhalmozott összeget visszaváltják rubelekre.
Az átalakítás nélküli műveletek nem bonyolultak. A kettős konverziós elhatárolásos műveletben két bevételi forrás létezik: a kamatfelhalmozás és az árfolyamváltozás. Ráadásul a kamatszámítás feltétlen forrás (rögzített kamat, infláció még nem számít). Az árfolyam változása lehet egyik vagy másik irányú, és egyszerre jelenthet többletbevételt és veszteségeket is. Ezután kifejezetten két lehetőségre (2. és 4.) összpontosítunk, amelyek kettős konverziót biztosítanak.
Először is vezessük be a következő jelölést:
Pv- devizabetét összege,
P r- befizetés összege rubelben,
Sv- felhalmozott összeg devizában,
S r- felhalmozott összeg rubelben,
K 0 - árfolyam a tranzakció elején (árfolyam rubelben)
K 1 - a tranzakció végén érvényes árfolyam,
n- a betét futamideje,
én- rubelösszegek elhatárolási aránya (tizedes törtként),
j- egy adott valuta felhalmozási aránya.
OPCIÓ: PÉNZTÁR ® RUBEL ® RUBLES ® PÉNZTÁR
A művelet három szakaszból áll: valuta rubelre váltása, a rubel összegének felhalmozása, a rubel összegének fordított átváltása az eredeti pénznemre. A tranzakció végén devizában kapott elhatárolt összeg lesz
.
Amint látható, a művelet három szakasza három tényező formájában jelenik meg ebben a képletben.
A növekedés szorzója, figyelembe véve a dupla konverziót, egyenlő
,
Ahol k= K 1 / K 0 - az árfolyam növekedési üteme a művelet időtartamára.
Látjuk, hogy a növekedési tényezőmlineárisan kapcsolódik az árfolyamhozénés a tranzakció végén érvényes árfolyammal megfordítaniK 1 (vagy az árfolyam növekedési ütemévelk).
Elméletileg vizsgáljuk egy kettős konverziós művelet teljes jövedelmezőségének függését a VALUTA séma szerint® RUBLES ® RUBLES ® VALUTA a végső és a kezdeti árfolyam arányábólk .
Az egyszerű éves kamatláb, amely a működés egészének jövedelmezőségét jellemzi, egyenlő
.
Helyettesítsd be a képletben a korábban leírt kifejezéstS v
.
Így növekedésselk jövedelmezőségén eff hiperbola mentén esik -1 aszimptotával / n . Lásd az ábrát. 2.
Rizs. 2.
Vizsgáljuk meg ennek a görbének a szinguláris pontjait. Vegye figyelembe, hogy mikork =1 a művelet jövedelmezősége megegyezik a rubel árfolyamával, azaz.én eff = én . Nál nélk >1 én eff < én , és mikork <1 én eff > én . ábrán. 1 látható, valamilyen kritikus értéknélk , amelyet így fogunk jelölnik * , a művelet jövedelmezősége (hatékonysága) nullával egyenlő. Az egyenlőségtőlén eff =0 azt találjukk * =1+ ni , ami viszont azt jelentiK * 1 = K 0 (1+ ni ).
1. KÖVETKEZTETÉS: Ha a várható értékekk vagyK 1 túllépik a kritikus értéket, akkor a működés egyértelműen veszteséges (én eff <0 ).
Most határozzuk meg a maximálisan megengedhető árfolyamérték a művelet végén K 1 , amelynél a hatásfok megegyezik a devizabetétek jelenlegi kamatával, és a kettős átváltás alkalmazása nem jár további előnyökkel. Ehhez két alternatív művelet növekménytényezőit egyenlővé tesszük
.
Az írott egyenlőségből az következik
vagy
.
2. KÖVETKEZTETÉS: A rubelre történő átváltással történő devizabetét jövedelmezőbb, mint egy devizabetét, ha a tranzakció végén várhatóan alacsonyabb árfolyam lesz.maxK 1 .
OPCIÓ: RUBEL® VALUTA® VALUTA® RUBEL
Tekintsük most a kettős átváltás lehetőségét, amikor a kezdeti összeg rubelben van megadva. Ebben az esetben a művelet három szakasza a következő kifejezés három tényezőjének felel meg a felhalmozott összegre
.
Az elhatárolási szorzó itt is lineárisan függ a kamattól, most viszont a devizakamattól. Lineárisan függ a végső árfolyamtól is.
Végezzük el ennek a műveletnek a hatékonyságának elméleti elemzését kettős konverzióval, és határozzuk meg a kritikus pontokat.
.
Ezért a kifejezést helyettesítveS r , kapunk
.
Hatékonysági mutató függőségén eff tól tőlk lineáris, ez az ábrán látható. 3
Rizs . 3.
Nál nél k=1 i
eff
=j
,
nál nél k>1 i
eff
>j
,
nál nél k<1
én
eff
Most keressük meg a kritikus értéketk * , aholén eff =0 . Kiderül, hogy egyenlő
vagy .
3. KÖVETKEZTETÉS: Ha a várható értékekk vagyK 1 kisebb a kritikus értékeinél, akkor a működés egyértelműen veszteséges (én eff <0 ).
Minimális megengedett értékk (az árfolyam növekedési üteme a művelet teljes időtartamára), amely ugyanolyan jövedelmezőséget biztosít, mint a közvetlen rubel betét, az alternatív műveletek elhatárolási szorzóinak egyenlítésével (vagy az egyenlőségből) határozható meg.én eff = én )
,
ahol min vagymin .
4. KÖVETKEZTETÉS: A rubel összegű devizaátváltással történő letétbe helyezése jövedelmezőbb, mint a rubel betét, ha a tranzakció végén várhatóan magasabb árfolyam lesz.minK 1 .
Most fontolja meg a valutaváltás és a felhalmozás kombinációját kamatos kamat. Egy lehetőségre szorítkozunk.
OPCIÓ: PÉNZTÁR® RUBEL® RUBEL® VALUTAk =1 én uh = én , nál nélk >1 én uh < én , és mikork <1 én uh > én .
kritikus értékk , amelynél a művelet hatékonysága egyenlő nullával, azaz.én uh =0 ,
ként meghatározottk * =(1+ én ) n , ami azt jelenti, hogy az árfolyam átlagos éves növekedési üteme megegyezik a rubel árfolyamon számított éves növekedési rátával: .
5. KÖVETKEZTETÉS: Ha a várható értékekk vagyK 1 nagyobb, mint a kritikus értékei, akkor a kettős konverziós művelet egyértelműen veszteséges (én uh <0 ).
Maximális megengedett értékk , amelynél a művelet megtérülése megegyezik a közvetlen devizabefektetés hozamával az árfolyamon
Egy pénzügyi tranzakció vázlata
A pénzügyi vagy hitelműveletek a befektetés és a megtérülés egyensúlyát foglalják magukban. Az egyensúly fogalma a grafikonon magyarázható.
Rizs. 5.
Hagyja a kölcsön összegétD 0 időszakra adják kiT . Ebben az időszakban például két időközi kifizetésre kerül sor az adósság törlesztéséreR 1 ÉsR 2 , és a futamidő végén a tartozás egyenlege kifizetésre kerülR 3 a működés kiegyensúlyozása.
Az időintervallumbant 1 felé emelkedik az adósságD 1 . Ebben a pillanatbant 1 adósságra csökkenK 1 = D 1 - R 1 stb. A művelet azzal ér véget, hogy a hitelező megkapja a tartozás egyenlegétR 3 . Ezen a ponton az adósság teljes mértékben visszafizetésre kerül.
Nevezzük a gráftípust b) egy pénzügyi tranzakció vázlata. A kiegyensúlyozott működés szükségszerűen zárt hurkú, azaz. az utolsó fizetés teljes mértékben fedezi a tartozás egyenlegét. A tranzakció vázlatát általában az adósság törlesztésekor részleges mérföldkő kifizetésekkel alkalmazzák.
Az egymást követő részfizetések segítségével esetenként a rövid lejáratú kötelezettségek törlesztésére is sor kerül. Ebben az esetben két módszer létezik a kamatszámításra és az adósság egyenlegének meghatározására. Az elsőt úgy hívják aktuáriusiés főként kifejezéssel végzett tranzakciókban használják egy év alatt. A második módszer az ún kereskedői szabály. Általában kereskedelmi cégek használják feltételes tranzakciók során legfeljebb egy év.
Megjegyzés: A kamat kiszámításakor általában a közönséges kamatot kell használni hozzávetőleges számú napos időszakkal.
aktuáriusi módszer
Az aktuáriusi módszer az adósság tényleges összege utáni kamat szekvenciális kiszámítását foglalja magában. A részfizetés elsősorban a fizetés napján felhalmozott kamat visszafizetésére irányul. Ha a befizetés összege meghaladja a felhalmozott kamat összegét, akkor a különbözet a tartozás tőkeösszegének törlesztésére irányul. Az adósság fennálló egyenlege szolgál alapul a következő időszakra vonatkozó kamatszámításhoz stb. Ha a részleges kifizetés kisebb, mint a felhalmozott kamat, akkor a tartozás összegét nem számítják be. Ez a bevétel hozzáadódik a következő kifizetéshez.
ábrán látható esethez. 5 b) alapján a következő számítási képleteket kapjuk az adósságegyenleg meghatározásához:
K1=D0(1+t1i)-R1; K2 =K1(1+t2i)-R2; K2 (1+t 3 i)-R 3 \u003d 0,
ahol időszakokt 1 , t 2 , t 3 - években és a kamatlábban adják megén - éves.
A kereskedő szabálya
A kereskedői szabály egy másik megközelítés a törlesztőrészletek kiszámításához. Itt két helyzet lehetséges.
1) Ha a kölcsön futamideje nem haladja meg, a tartozás összege a teljes futamidőre felhalmozott kamattal a teljes visszafizetésig változatlan marad. Ugyanakkor felhalmozódnak a részleges kifizetések, amelyekre a futamidő végéig felhalmozódik a kamat.
2) Abban az esetben, ha az időtartam meghaladja az egy évet, a fenti számításokat azokra kell elvégezni évi tartozás időszaka. Az év végén a felhalmozott részfizetések összegét levonják a tartozás összegéből. A többit jövőre fizetik ki.
Teljes kölcsön futamidővelT £ 1 algoritmus a következőképpen írható fel
,
AholS - adósságállomány a futamidő végén,
D - felhalmozott tartozás összege,
K - a kifizetések halmozott összege,
Rj - részleges fizetési összeg,
tj - a fizetés pillanatától a futamidő végéig eltelt idő,
m - részleges (időközi) kifizetések száma.
Változó számlaösszeg és kamatszámítás
Tekintsünk egy olyan helyzetet, amikor megtakarítási számlát nyitnak egy bankban, és a számla összege a tárolási időszak alatt változik: pénzeszközöket vonnak ki, további hozzájárulásokat teljesítenek. Majd a banki gyakorlatban a kamatszámításnál gyakran alkalmaznak számítási módszert az ún százalékos számok. Minden alkalommal, amikor a számlaegyenleg megváltozik, a rendszer egy százalékot számít kiCj az elmúlt időszakraj , melynek során a számlán lévő összeg változatlan maradt, a képlet szerint
,
Aholtj - időtartamj -adik időszak napokban.
A teljes futamidőre felhalmozott kamat összegének meghatározásához az összes kamatszámot összeadják, és összegüket elosztják egy állandó osztóvalD :
,
AholK - időalap (napok száma egy évben, azaz 360 vagy 365 vagy 366),én - egyszerű kamat éves mértéke (%-ban).
A számlazáráskor a tulajdonos a számlán lévő összeg utolsó értékével és a kamat összegével megegyező összeget kap.
14. példa
Tegyük fel, hogy február 20-án keresleti számlát nyitottak összegbenP 1 \u003d 3000 rubel, a betét kamata megegyezettén = évi 20%. A további befizetés a számlára az voltR 1 = 2000 dörzsölje. és augusztus 15-én készült. Kivonás a számláról összegbenR 2 = -4000 dörzsölje. október 1-jén rögzítették, november 21-én pedig a számla lezárásra került. Meg kell határozni a kamat összegét és a számlazáráskor a betétes által kapott teljes összeget.
Megoldás.
A számítás a séma szerint (360/360) történik. Három olyan időszak van, amely alatt a számlán lévő összeg nem változott: február 20-tól augusztus 15-ig (P 1 =3000, t 1 \u003d 10 + 5 * 30 + 15 \u003d 175), augusztus 15-től október 1-ig (P 2 = P 1 + R 1 \u003d 3000 + 2000 \u003d 5000 rubel,t 2
A számlazáráskor fizetett összeg egyenlő
P3 +I=1000+447,22=1447 dörzsölés. 22 zsaru.
Most megmutatjuk ennek a technikának az összefüggését az egyszerű kamatképlettel. Tekintsük a fenti példát algebrai formában.
CAz Ummah egy számlazáráskor fizetett, a következőket tapasztaljuk
Így egy olyan kifejezést kaptunk, amelyből az következik, hogy minden számlára felvett vagy onnan felvett összeg után a megfelelő tranzakció lebonyolításától a számlazárásig kamatot számítanak fel. Ez a séma a kereskedőnek a 6.2. szakaszban tárgyalt szabályát követi.
A szerződés feltételeinek módosítása
A gyakorlatban gyakran válik szükségessé a szerződési feltételek módosítása: például az adós kérheti a tartozás lejáratának késleltetését, vagy éppen ellenkezőleg, bizonyos esetekben kifejezheti a határidő előtti visszafizetését. szükség lehet több adósságkötelezettség összevonására (konszolidálására) stb. Mindezekben az esetekben a régi (lecserélt) és új (csere) kötelezettségek pénzügyi egyenértékűségének elve érvényesül. A szerződési feltételek megváltoztatásával járó problémák megoldására az ún ekvivalencia egyenlet, amelyben a helyettesítő befizetések összege bármely időponthoz igazítva megegyezik az új kötelezettségre vonatkozó befizetések összegével, ugyanarra az időpontra igazítva. A rövid távú szerződéseknél egyszerű kamatlábak, míg a közép- és hosszú távú szerződéseknél összetett kamatlábak érvényesek.
Az egyszerű kamattal történő számítások meglehetősen egyszerűek és egyszerűek. Használatuk azonban korlátozott.
Tételezzük fel, hogy a bank egyszerű kamatot fizet 3 évre az i kamattal. P-vel egyenlő kezdeti befizetés esetén a betétesnek S 1 összege lesz a számláján egy év alatt:
S 1 \u003d P (1 + i),
2 év után - S2 összeg:
S 2 \u003d P (1 + 2 i),
3 év után - S3 összeg:
S 3 \u003d P (1 + 3 i).
A betétes azonban egy év elteltével lezárhatja a számlát, megkaphatja az S1 összeget kamattal együtt, és ezt az összeget új számlára helyezheti el. Jövő év végén megismételheti ezt a műveletet. Ennek eredményeként az első év után az előző S1 összeggel megegyező S1 összeget kap:
S = S1 = P (1 + i),
a második év után már új S1 összeg:
a harmadik év után az S3 összege:
Az új összegek nagyobbak lesznek, mint a korábbiak, mivel nemcsak az induló betét, hanem a korábban már felhalmozott kamatot is tartalmazzák. Matematikai formában ez az egyenlőtlenségeknek felel meg:
Így a betétes számára előnyös, ha pénzt vesz fel a számlájáról, és egy másik számlára helyezi el. Kifizetődőbb egy ilyen műveletet negyedévente végrehajtani, mint minden évben, és minden hónap jövedelmezőbb, mint minden negyedév. Minél gyakrabban utal át pénzt a betétes, annál több bevételhez jut. Ebből következően a bank betéteseinek jelentős része igyekszik majd ilyen műveletet végrehajtani.
A bank számára ez a munka különféle nehézségeivel jár. Először is, az ilyen műveletek végrehajtásához a banknak további forrástartalékot kell tartania. Másodszor, az ilyen tranzakciók bősége megnehezíti a jelenlegi banki munkát. Végül harmadszor, a betétes a számlazárás után a kapott pénzt egy másik bankban helyezheti el, amelynek a feltételei jelenleg kedvezőbbnek tűnnek számára.
E tekintetben a bankok maguk kezdeményezik egy ilyen művelet végrehajtását. A betét után keletkező kamat hozzáadódik a betéthez, így megemelt összeg után új kamatot számítanak fel, beleértve a korábban felhalmozott kamatot is. Ezt a műveletet kamatos kamatnak nevezik.
Az összeg kamatos kamatból eredő növekedése felfogható az egyszerű kamat növeléseként, amelyet a korábban felhalmozott kamatot tartalmazó növekvő összegre alkalmaznak, azaz az egyszerű kamattal befektetett pénzeszközök időszakos újrabefektetéseként minden felhalmozási időszakban.
A gyakorlatban a kamatos kamat számításánál általában egy bizonyos időszakot vesznek fel standard elhatárolási időszaknak (év, negyedév, hónap stb.), majd az ilyen azonos standard időszakokra felhalmozott kamatot számítják ki. Más szóval, az időt az ilyen számításokban diszkrét értéknek tekintik, szabványos periódusokkal mérve. Ebben az esetben diszkrét százalékokról beszélünk.
Ha egy ilyen standard intervallum hosszát csökkentjük negyedről hónapra, hétre, napra stb., akkor a limitben a diszkrét kamatról a végtelenül rövid idő alatt felhalmozott folyamatos kamatra térünk át.
Legyen a kezdeti összeg egyenlő P-vel, és az i-vel egyenlő kamatos kamatlábnak megfelelően nő egy idő alatt. N ilyen időszak után a megnövekedett S összeget a következő képlet határozza meg (kamatos kamatképlet):
S = P(1+i)n
Az (1 + i) n értéket általában növekedési faktornak vagy növekedési faktornak nevezik. Megmutatja, hogy az eredetileg befektetett alapból mekkora pénzösszegbe fog alakulni n időintervallum elteltével.
Ha a felhalmozott pénzösszeget kamatokkal együtt minden évre egymás után számoljuk
az első évre: 
a második évre: 
az n. évre:
akkor azt kapjuk, hogy a kapott pénzösszegek egy geometriai progresszió tagjai, amelyben az első tag P értéke, és a progresszió nevezője (1 + i)
Ha a kamatos kamatképlet szerinti számításnál az újrabefektetési műveletet alkalmazza, azaz a kamatokkal együtt pénzt vesz fel a számláról, és ismét befizeti a számlára, akkor a betétes ugyanazon a kamattal nem nyer semmit.
Valóban, a betétes helyezzen P összegű pénzt a számlára kamatos kamat mellett. K idő elteltével pénzt vett ki a számláról, és újabb m időszakra helyezte el. Ezután az első k periódus után megkapja a Q összeget:
Q = P(1+i) k.
Ekkor ez a Q összeg újabb m periódus után egy új S összeggé változik:
S = Q(1+i)m.
Az S végső összeget az eredeti P-vel kifejezve a következőt kapjuk:
S \u003d Q (1 + i) m \u003d P (1 + i) k (1 + i) m = P (1 + i) k + m.
Így az eredmény pontosan ugyanaz, mintha a betétes nem végezne közbenső műveletet, hanem egyszerűen a P kezdeti összeget k + m-nek megfelelő időtartamra helyezné.
A pénzintézetek gyakorlata esetenként csak egész számú időszakra teszi lehetővé a kamatszámítást. Ha ez nincs előírva, akkor a nem egész számú időszakra vonatkozó kamat kiszámításakor különböző módszereket alkalmaznak.
A nem egész számú időszakra vonatkozó elhatárolást ugyanazzal az összetett kamatozási képlettel lehet végrehajtani, mint egy egész szám esetében. Például, ha a megnövelt összeget 5,2 időszakra szeretné kiszámítani, akkor a számítás ebben az esetben a képlet szerint történik
S \u003d P (1 + i) 5 (1 + i) 0,2 \u003d P (1 + i) 5,2.
Más szóval, töredékszámú 0,2 periódus esetén a kamatot ugyanazon séma szerint számítják ki, mint egész számú időszakra. Ez lehetővé teszi, hogy felírjuk a kamatos kamat általános képletét bármely t időre:
S \u003d P (1 + i) t,
hogy egész vagy nem egész számú időszakot tartalmaz-e.
Egyes esetekben a nem egész számú időszakra vonatkozó elhatárolást eltérő, vegyes képlet szerint hajtják végre. Egész számú időszakra a kamat a kamatos kamatképlet szerint, a töredékegyenlegnél pedig az egyszerű kamatképlet szerint kerül kiszámításra. Ebben az esetben az 5,2 időszakra vonatkozó elhatárolások a képlet szerint kerülnek végrehajtásra
S \u003d P (1 + i) 5 (1 + i 0,2).
Nem szabad megfeledkezni arról, hogy a felhalmozott összeg ebben az esetben valamivel nagyobb lesz, mint az első módszer szerinti számításkor.
Végül, amint fentebb megjegyeztük, néha egyáltalán nem számítanak fel kamatot az időszak töredékére. Ebben az esetben az 5,2 időszakra vonatkozó elhatárolásokat a képlet határozza meg
S \u003d P (1 + i) 5.
A szerződés feltételei általában állandó kamatlábat határoznak meg. Egyes esetekben azonban változó kamatlábat lehet alkudni. Ez általában az inflációs folyamatnak köszönhető, amely csökkenti a pénzmennyiség reálértékének növekedését, vagy annak a deviza árfolyamának változásából, amelyhez a szerződés feltételei kapcsolódnak.
Ezekben és hasonló esetekben a kamatláb változása tárgyalásos.
Vegyünk egy helyzetet változó kamatos kamattal. Tegyük fel, hogy az első t1 hosszúságú időintervallumban az arány egyenlő i1 -el, a második t2 hosszúságú intervallumon az arány i2 -vel, a harmadik t3 hosszúságú intervallumon az arány i3-mal, stb. mint korábban, különböző hosszúságúak lehetnek.
Tekintsünk n ilyen t1 , t2 ... tn hosszúságú intervallumot . A komplex változó kamatozású hozzájárulás értéke az utolsó időszak végére:
Határozzuk meg az i átlagos kamatlábat komplex változó kamatozású betét esetén.
Legyen T, mint korábban, a változó kamatozású betét teljes futamideje
a a t k intervallum részesedése ebben a teljes periódusban:
Az i átlagos kamatláb definíció szerint a következő feltételt teljesíti: ha az ik kamatláb mindegyike helyett behelyettesítjük a növekedési képletbe, akkor a számítás eredménye nem változik. És így:
Innen megkapjuk az (1 + i) képletet - a növekedési faktor időegységenkénti átlagos értéke:
Végül maga az átlagos i kamatos kamatláb:
Az átlagos növekedési faktor (1 + i) képlete szerint a növekedési faktorok mértani súlyozott átlaga az egyes időszakokra. A súlytényezők a megfelelő időintervallumok részesedése a betét teljes futamidejében.
A viszonylag hosszú időszakokra vonatkozó növekedési tényezők nagy súllyal szerepelnek a végső súlyozott átlagban.
Speciális esetben, amikor az összes időintervallum hossza egyenlő egymással, mindegyik részaránya 1/n, és a súlyozott átlag a szokásos geometriai átlagba kerül:
Az adott időszakra vonatkozó inflációs ráta az árszínvonal százalékos növekedését jellemzi adott időszakban.
Tegyük fel, hogy ismertek a januári, februári és márciusi inflációs ráták. Jelölje h1 , h2 , h3 e három hónap inflációs rátáját.
Téves azt gondolni, hogy a negyedéves infláció három havi kamatláb összegével egyenlő, azaz
hq1 = h1 + h2 + h3 .
Ez persze nem igaz. Ez a képlet nem veszi figyelembe, hogy a februári infláció a januárban már emelkedett árakhoz viszonyított százalékos drágulást, a márciusi infláció pedig a februári árakhoz viszonyított százalékos drágulást jellemez.
Így a több periódusra kiterjedő inflációnak tartalmaznia kell a kamat kamat elszámolását, mint az összetett kamattal történő számításoknál.
Rossz módon az inflációs rátákat egyszerű kamatlábként kezeljük. A helyes módszer az, ha összetett fogadásokként kezeljük őket. Nézzük a helyes utat.
Az árnövekedési indexet a következő képlet fejezi ki:
ahol q az árnövekedési index kiszámításakor figyelembe vett áruk száma;
p - a bázisidőszaki árnövekedési index kiszámításakor figyelembe vett áruárak;
p - ugyanazon áruk árai a jelentési időszakban.
Árnövekedési index n egymást követő időszakban
A h inflációs rátát a következő képlet fejezi ki:
Így az I1 , I2 , I3 növekedési indexeket a következő képletek határozzák meg:
I1 , = 1 + h1 , I2 , = 1 + h2 , I3 , = 1 + h3 .
Az egyes indexek azt mutatják, hogy egy adott hónapban hányszor változott az árszínvonal. Ezen indexek szorzata adja az Iq1 negyedéves indexet. Az IQ1 negyedéves index azt mutatja, hogy az első negyedévben hányszor változott az árszínvonal:
Ikv1 \u003d I1 * I2 * I3.
A negyedéves infláció meghatározásához vonjon le egyet a negyedéves indexből:
hkv1 \u003d Ikv1 - 1.
Így a végén megkapjuk
hkv1 \u003d Ikv1 - 1 \u003d I1 * I2 * I3 - 1 \u003d (1 + h1) * (1 + h2) * (1 + h3) - 1.
Az inflációs ráták hónapról hónapra változhatnak. Hogyan lehet kiszámítani az átlagos havi inflációs rátát egy negyedévben? Ehhez először ki kell számítania az átlagos havi Iavmes indexet a képlet szerint
I srmes \u003d (I 1 × I 2 × I 3) 1/3 \u003d (I sq1) 1/3.
Ekkor az átlagos havi inflációs rátát úgy kapjuk meg, hogy az átlagos havi indexből kivonunk 1-et:
hsrmes = Isrms - 1.
Így a végső számítási képlet így néz ki:
h srmes \u003d I srmes - 1 \u003d (I 1 × I 2 × I 3) 1/3 - 1 \u003d ((1 + h 1) × (1 + h 2) × (1 + h 3)) 1 /3 - 1.
Teljesen analóg az átlagos kamatos kamatláb képletével.
A kamatos kamatot gyakran nem egyszer, hanem évente többször, negyedévente, havonta stb. számolják ki. Ilyenkor általában az i névleges kamatláb kerül feltüntetésre a szerződésben, amely minden felhalmozási periódusban meghatározza a kamatlábat (negyedéves időbeli elhatárolásnál). , havi stb.).
A különböző időszakokra vonatkozó kamatlábakat egymáshoz viszonyító képleteket az eredmények pénzügyi egyenértékűségének elve alapján lehet előállítani.
Az éves kamatozású éves pénzügyi eredménynek meg kell egyeznie a 4 egymást követő negyedév pénzügyi eredményével, az egyenértékű negyedéves kamatláb kamatos kamatképletével számítva. Innen kapjuk az egyenlőséget:
És így:
A képletek levezetésénél szó esett a évi pénzügyi eredmények egyenértékűségéről. Fontos megjegyezni, hogy az eredmények egyenértékűsége nemcsak éves, hanem bármely időszakra is biztosított.
Legyen az években számított időtartam egyenlő n-nel (az n szám nem feltétlenül egész szám). Akkor ez az intervallum 4-et tartalmaz . n negyed. Az éves és az azzal egyenértékű negyedéves kamatlábak szerinti elhatárolások erre az időszakra egyenlőek,
Összefüggést alakítottunk ki az éves és a negyedéves díjak között. Ugyanez az érvelés lehetővé teszi számunkra, hogy kapcsolatot alakítsunk ki az éves, negyedéves és havi kamatlábak között:
Tekintsük általánosságban a helyzetet. Az i kamatláb melletti felhalmozási időszakot osszuk m egyenlő időtartamra. Ezután az ezekhez az intervallumokhoz tartozó i kamatláb az i kamatlábon keresztül kerül meghatározásra az összefüggésnek megfelelően
(1 + i ) m = (1 + i).
i = (1 + i ) m - 1,
i = (1 + i) 1/m - 1.
Ily módon bármely két időszakra vonatkozó kamatlábak között kapcsolat létesíthető. Legyen a t és t periódus ugyanazon egységekben (év, hónap, nap stb.) kifejezve. Legyen az i kamatláb a t időszakra, az i kamatláb pedig a t időszakra. Ezek az arányok akkor ekvivalensek, ha ugyanazon időszakokra ugyanazt az eredményt adják, vagyis ha a hozzájuk tartozó időbeli elhatárolások azonos időszakokra azonosak.
Egyetlen intervallumnak a txt érték intervallumát vesszük. Tartalmazza a t periódusokat t mennyiségben és a t időszakokat t mennyiségben. Az ekvivalenciafeltétel egyenlőségként írható fel:
(1 + i) t = (1 + i ) t.
Innen olyan képleteket kapunk, amelyek az egyik árfolyamot a másikkal fejezik ki:
A szerződések jellemzően éves kamatlábat írnak elő. Ebben az esetben ezt nominális kamatlábnak nevezzük. Kiegyensúlyozottnak (vagy kiegyenlítőnek) nevezzük az ezzel egyenértékű, más időszakokra vonatkozó, fenti képletek szerint számított kamatlábakat.
Így a nominális éves kamatról és a kiegyensúlyozott (egyensúlyozó) féléves, negyedéves, havi, napi árfolyamokról beszélnek.
Az előző bekezdésben olyan képleteket kaptunk, amelyek lehetővé teszik, hogy az egyik felhalmozási időszakhoz kötött kamatlábat egy másik, egyenértékű, másik felhalmozási időszakhoz kötött kamatlábrá alakítsák át. Ezek a képletek különösen lehetővé teszik a nominális éves kamatláb más kiegyensúlyozott kamatlábra való átváltását.
Az így kapott képletek pontosak, de bonyolultságuk miatt nem mindig kényelmesek a gyakorlatban. A pénzügyi tranzakciók gyakorlatában ezeket a képleteket gyakran más, egyszerűbb képletekkel helyettesítik. Ezek az egyszerűsített képletek a kiegyensúlyozott ráta helyett az úgynevezett relatív (relatív) rátát határozzák meg.
Meg kell jegyezni, hogy a relatív ráták számítása, mivel meglehetősen egyszerű, pontatlan eredményekhez vezet.
Legyen az éves kamatláb iév. Ezután a negyedéves relatív kamatláb iq kiszámítása a képlettel történik
A havi relatív kamatláb hónapját a képlet határozza meg
Általában a t időtartamra vonatkozó relatív rátát években mérve a következő érték határozza meg:
i = i év t.
Egy negyedévre t = 1/4, egy hónapra t = 1/12, így az utolsó általános képletből automatikusan megkapjuk a negyedéves és havi kamatláb egyedi eseteit.
Tekintsük általánosságban a helyzetet. Tegyük fel, hogy a felhalmozási időszak m egyenlő intervallumra van felosztva. Ezután az ilyen intervallumokhoz tartozó i relatív kamatláb kiszámítása a képlettel történik
Fordított arány
i = m i
lehetővé teszi az i kezdeti ráta kifejezését a relatív i-vel. Állítsunk fel kapcsolatot a relatív kamatlábak között bármely két időszakra vonatkozóan. Legyen a t és t időperiódusok azonos mértékegységben mérve. A t időszakra az i kamatláb, a t időszakra pedig az i kamatláb kerül megállapításra. Ezeket az arányokat egymáshoz viszonyítva tekintjük, ha az arányhoz kapcsolódnak:
azaz ha időegységenként egyenlőek. Egyenértékű formában ennek az egyenlőségnek a formája van
Innen olyan képleteket kapunk, amelyek lehetővé teszik, hogy egy árfolyamot a másikkal fejezzünk ki:
A nominális éves kamatláb fél évre, negyedévre, hónapra úgy alakul át, hogy az éves kamatlábat elosztjuk a megfelelő számmal. Egy ilyen átmenet az egyszerű kamatképlet szerinti transzformációknak felel meg. A relatív kamatláb használatával kapcsolatos további átalakításokat azonban kamatos kamatláb képletekkel hajtják végre.
Így a kamatos éves nominális kamat mellett m hónapos betét növekedését a relatív kamatláb segítségével számítjuk ki az alábbiak szerint. Az i év éves kamatláb mellett az i hónap havi kamatláb kerül kiszámításra:
i hónap = i év /12,
majd a kamatos kamat képlete szerint meghatározzuk m hónapra a felhalmozási együtthatót. Mérete van:
Az ilyen számítás torzulásokhoz vezet.
Például m = 6 esetén az elhatárolási ráta a relatív ráta használatával többféleképpen számítható ki. Különböző eredményekhez vezetnek.
Egy konkrét számítási képlet elhagyható azokban az esetekben, amikor mindkét fél kész megbékélni az ebből eredő torzulásokkal.
A pontos, nem torzító számítás kiegyensúlyozott arányokon alapul. Ha itt eltérések vannak, akkor ez nem a dolog lényegéből adódik, hanem kizárólag a számítások pontosságából. A pontosság javul, ha több tizedesjegy szerepel a számításokban, vagy ha a számításokat közönséges törtekkel végzik.
A relatív arányú számítások mindig olyan torzulásokat okoznak, amelyeket a számítások pontosságának egyszerű növelésével nem lehet kiküszöbölni.
A gyakorlatban gyakran alkalmaznak relatív rátákat. Használatuk nagy kényelemmel (a pontosság rovására) és a kialakult hagyományhoz kapcsolódik.
Pontos elemzés elvégzésekor és elméleti tanulmányok során azonban kiegyensúlyozott arányt alkalmaznak. Őt is hívják effektív kamatláb .
Az effektív kamatláb azt a reál relatív jövedelmet mutatja, amely egy évben a kamatszámítás kapcsán keletkezik. Más szóval, az effektív kamatláb az az éves kamatos kamatláb, amely a ténylegesen alkalmazott kamatszámítási módszerrel azonos mértékű bevételt biztosít.
Ha a kamatot évente egyszer kamatozik, akkor az effektív kamat az összetett névleges kamatlábnak felel meg. Ha gyakrabban halmozódnak fel kamat, akkor az effektív és a névleges kamatláb számszerűen eltérhet. A köztük lévő levelezés bizonyos időszakokra vonatkozó kamatszámítási módszertől függ.
Ha a ténylegesen alkalmazott havi (negyedéves) kamatszámítási módszer kiegyensúlyozott kamatláb, akkor az effektív kamatláb egybeesik a névleges kamatlábbal. Ha a ténylegesen alkalmazott havi (negyedéves) kamatszámítási módszer relatív kamatláb (vagy más számítási séma) alapján történik, akkor az effektív és a névleges kamatláb eltérő lesz.
Tekintsük a betét összegének növekedését az egyszerű és kamatos kamat képlete szerint azonos kamat mellett.
Hagyja, hogy a kamat az i kamatláb mellett halmozódjon fel egy ideig (például egy évig). Ezután az összeg t idő alatti növekedését a kezdeti Р értéktől a következő képletek határozzák meg:
Az egyszerű érdeklődés kedvéért:
S \u003d P (1 + i t);
kamatos kamat esetén:
S \u003d P (1 + i) t.
A nem egész számú periódusok elhatárolása itt ugyanazon képlet szerint történik, mint egy egész szám esetében. Egyszerű érdeklődés esetén S értéke a t időtől függ a lineáris függvény törvénye szerint. A kamatos kamat esetében az exponenciális függvény törvénye szerint t-től függ. ábrán. A 2.1. ábra az ilyen függőségek grafikonját mutatja.
Az ábra mindkét vonala ugyanabban a pontban kezdődik. t = 0 esetén:
Ha a t időintervallum hossza kisebb, mint az időszak hossza, akkor az egyszerű kamat nagyobb mértékben növeli az összeget, mint a kamatos kamat.
Ha 0< t < 1, то
A növekedést az egyszerű kamatformulával meghatározó lineáris függvény grafikonja a kamatos kamatformulával a növekedést meghatározó exponenciális függvény grafikonja felett helyezkedik el. Ezért ha a bank meghirdeti az éves betéti kamatot, és a betét futamideje egy évnél rövidebb, akkor a betétes számára előnyösebb, ha a bank egyszerű kamattal bonyolít vele elszámolást. Ellenkezőleg, annak a hitelfelvevőnek, aki egy évnél rövidebb futamidőre vett fel hitelt egy banktól, jobban megéri kamatos kamatot fizetni.
Ha a t időintervallum egyenlő egy periódussal, akkor az egyszerű és kamatos kamat számítása ugyanazt az eredményt adja:
Mindkét grafikon t = 1-nél ugyanazon a ponton halad át. Ha a futamidő megegyezik a kamatszámítási időszak hosszával (például egy év), akkor a betétes vagy hitelfelvevő számára nem mindegy, hogy egyszerű vagy kamatos kamatot számolnak el vele.
Ha a t intervallum hossza egy periódusnál több, akkor a kamatos kamat nagyobb összegnövekedést ad, mint az egyszerű kamat. Ha t > 1, akkor
Az exponenciális függvény grafikonja az egyenes felett helyezkedik el, és t növelésével nemcsak a köztük lévő eltérés nagysága nő, hanem ennek az eltérésnek a növekedési üteme is. Ha a betét futamideje hosszabb, mint a kamatfelhalmozás időtartama, akkor a kamatos kamatképlet szerint jövedelmezőbb a betétes számára, és a betét futamidejének növekedésével ez a haszon nő. A hitelfelvevő éppen ellenkezőleg, jövedelmezőbb, ha egyszerű kamattal fizeti vissza a kölcsönt.
Egy pénzösszeg növekedési ütemének becslésére gyakran használják az úgynevezett duplázó periódus képleteit. Az ilyen képletek lehetővé teszik, hogy kiszámítsa azt az időszakot, amelyre a befektetett pénzösszeg megduplázódik.
Ezt az időszakot a növekedési tényező megkétszerezését meghatározó egyenlet megoldásával számítjuk ki.
Egyszerű érdekből az egyenlet a következő
1 + i t = 2.
A kamatos kamat esetében az egyenlet a következő
Ennek az egyenletnek a megoldása:
A kamatlábak pénzügyileg egyenértékűek, ha a szerződésben az egyik kamatláb másikkal való felváltása nem vezet a szerződés pénzügyi eredményének változásához, az ügyletben részt vevő felek viszonyának megváltozásához.
Ha az egyszerű kamatláb adott időn belüli emelése ugyanazt az eredményt hozza, mint az összetett kamatláb növekedése ugyanebben az időben, akkor a kamatlábak pénzügyileg egyenértékűek. Legyen in és ic egyszerű és kamatos kamatlábak azonos felhalmozási periódussal (például éves kamatlábak). Hasonlítsa össze ezeknek az arányoknak a növekedési tényezőit t idő függvényében:
Innen olyan képleteket kaphat, amelyek lehetővé teszik az ekvivalens egyszerű arány kiszámítását komplex sebességgel, és az ekvivalens összetett sebesség meghatározását egyszerű sebességgel.
Vegye figyelembe, hogy az egyenérték arányok kiszámítására szolgáló képletek a t időintervallum értékét tartalmazzák. A rés hosszának változásával az egyenértékű ráta értéke is változik.
A kapott képletekből egyenesen következik, hogy t = 1-nél, azaz amikor a vizsgált időszak hossza megegyezik a felhalmozási periódussal, akkor az ekvivalens ráták egyenlők egymással:
ha t = 1, akkor in = ic .
Amint azt korábbi megfontolásaink mutatják, a következő feltételek teljesülnek az és ic egyenértékű kamatlábakra:
ha t< 1, то in < ic ,
ha t > 1, akkor > ic -ben.
A banki gyakorlatban gyakran alkalmazzák a kamatkonverzió vegyes formáját, amelyben a komplex éves kamatlábat például negyedéves kamatlá alakítják át nem olyan bonyolultra, hanem egyszerűre. A további kamat kiszámítása az összetett kamatláb képlet szerint történik.
Például egy bank a betét feltételeit "évi 48% negyedéves kamattal" hirdeti meg. Ez azt jelenti, hogy a betét már felhalmozott összegéhez negyedévente kamat hozzáadódik, és a jövőben kamat halmozódik fel rá. Ezért ez egy összetett fogadás. Magát a negyedéves kamatot azonban az egyszerű kamatformulával, azaz a képlet szerint számítják ki
i negyedév \u003d i év / 4 \u003d 12 (%).
Az összetett éves kamatlábra visszaszámítva ez ad
azaz évi 57,35% 48% helyett. Az eredményt mindig túlbecsülik, ezért magának a banknak az átutalási formája veszteséges. Előnyös a banki ügyfelek számára, és gyakorlatilag használatos.
Lássuk, mihez vezet, ha fokozatosan csökkentjük a kamatszámítási időszakot. Tegyük fel, hogy ez a kamatátutalási forma nem negyedéves, hanem havi időszakra vonatkozik.
Havi elhatárolás
meghatározza az éves növekedési ütemet
1,04 12 = 1,6010,
ami az évi 60,10%-os mértéknek felel meg.
Tegyük fel, hogy a felhalmozási időszak tovább csökken, azaz az év m egyenlő időszakra oszlik, és m értéke nő. Az új éves növekedési ráta általános képlete ekkor:
(1 + i/m) m.
A korlátban a mennyiséget kapjuk eén . Ebben az esetben a járulék növekedését t idő alatt (években mérve) a képlet határozza meg
S=P e azt.
A képletben szereplő e szám a természetes logaritmusok alapja. Fontos szerepet játszik a legkülönfélébb folyamatok matematikai elemzésében. Szám e- irracionális, jelentése az
e = 2,7182818...
bázis logaritmusok e természetes logaritmusnak nevezzük, és ln-nel jelöljük. Az Excel táblázatban a megfelelő függvényt LN-vel jelöljük.
A folyamatos kamat fogalmához az elhatárolás vegyes formáján, egyszerű és összetett kamatlábú számítások kombinációján keresztül jutottunk el. A vegyes forma azonban itt nem fontos. Csak az összetett fogadás részvétele jelentős.
Az összetett kamat fogalmától a folyamatos kamat fogalmáig más módon is el lehet jutni. Ehhez elegendő a kamatos kamat képlete, amely meghatározza a kezdeti P összeg növekedését:
S = P (1 + i) t ,
írja le más, egyenértékű formában.
A kamatos kamat képlete határozza meg az összeg növekedését az exponenciális függvény törvénye szerint. Ennek a függvénynek az alapja a mennyiség (1 + i). Az i kamatláb különböző értékei esetén az indokok eltérőek. A folytonos időre vonatkozó kamatos kamatozású képletet úgy alakítjuk át, hogy különböző árfolyamok esetén a bázis azonosnak bizonyul, de a kitevő megváltozik.
Jelölje betűvel az érték természetes logaritmusát (1 + i):
és innentől
Így az összetett kamat képlete helyettesíthető egy ekvivalens képlettel:
Ezt a képletet általában a pénzmennyiség folyamatos növekedésének elemzésekor használják.
Ebben a képletben az α érték az összeg növekedési ütemét jellemzi. Az α értéket nevezzük növekedés ereje , vagy az érdeklődés erejével . Egyenlő az összeg relatív növekedésének mértékével, azaz egyenlő az összeg végtelenül rövid idő alatti relatív növekedésével. A kamat ereje a kamatláb egy speciális fajtája, amely egy pénzösszeg folyamatos idejű növekedésének folyamatát vizsgálja.
A növekedés ereje szorosan összefügg a kamatlábbal. Minél nagyobb az i kamatláb, annál nagyobb az α növekedési erő, és fordítva, minél nagyobb az α növekedési erő, annál nagyobb a kamatláb. A köztük lévő kapcsolat azonban nem egyenesen arányos, lineáris kapcsolat. Logaritmikus karaktere van.
Kis értékeknél a kamatláb gyakorlatilag egybeesik a növekedés erejével, azonban a kamatláb növekedésével a számértékeik közötti eltérések nőnek. Ugyanakkor a kamatláb számértékében mindig nagyobb, mint a növekedési erő.
Hangsúlyozni kell, hogy ezek a különbségek nem vezetnek eltéréshez a pénzösszeg növekedésében. Éppen ellenkezőleg, a kamatláb és a növekedési erő egymásnak megfelelő, de számszerűen eltérő értékei ugyanazon időintervallumra ugyanazt a pénzmennyiség növekedését biztosítják.
A diszkontálás egy olyan művelet, amely lehetővé teszi egy jövőbeli pénzösszeg visszavezetését a jelen pillanatba. Ez a művelet lehetővé teszi a jövőbeli összeg aktuális értékének meghatározását. Fentebb egy egyszerű kamattal történő diszkontálást fontolgattuk. Az ilyen diszkontálás a pénzösszeg növekedését jelenti az egyszerű kamat képlete szerint. Most megfontoljuk a kamatos kamattal történő diszkontálást, amely megfelel a pénzmennyiség növekedésének a kamatos kamat képlet segítségével.
A kezdeti Р pénzösszeg a kamatos kamatképlet szerint i kamattal t időben S összegre változik:
Ebből következik tehát
Ez a képlet lehetővé teszi a diszkontálás végrehajtását, azaz a P kezdeti érték meghatározását az S végső értékből. A szorzó
diszkonttényezőnek nevezzük az idő függvényében t. Ez az emelkedési szorzó reciprokja. P értékét modern, vagy redukált S értéknek nevezzük. S diszkontálása által kapott értéknek is nevezik. Az S - P különbséget diszkontnak nevezzük, és általában D betűvel jelöljük:
D = S - P.
A diszkontálás művelete az összeg növelésének a fordítottja. Ezért a diszkontálás tulajdonságai szorosan összefüggenek a felhalmozás tulajdonságaival. Fent az egyszerű és a kamatos kamat növekedésének összehasonlítása volt látható. A diszkontálásnál a fordított összefüggés lép fel.
Ha az időintervallum hossza rövidebb, mint a felhalmozási időszak (például egy év), akkor az egyszerű kamat növekedése nagyobb összeget ad, mint a kamatos kamat növekedése. Az egyszerű kamatdiszkontálás kevesebb, mint a kamatos kamat diszkontálás.
Ha az időintervallum hossza hosszabb, mint a felhalmozási időszak, akkor a kamatos kamatláb nagyobb összegnövekedést ad. Az összetett kamatláb azonban diszkontálás esetén kisebb értéket ad.
A diszkontálás nem csak diszkrét, hanem folyamatos időmérésre is elvégezhető. A folyamatos idő képletéből a növekedési erő felhasználásával, aminek megvan a formája
megkapjuk a kedvezmény képletét:
folyamatos idejű diszkontszámításoknál használatos.
A számviteli műveleteknél egyszerű és összetett diszkontrátákat egyaránt alkalmaznak. A diszkontkamatláb egyszerű elszámolási eljárásait a fentiekben tanulmányoztuk. Most megvizsgáljuk az összetett diszkontráta megfelelő eljárásait.
Ugyanarra a kezdeti összegre egyszerű diszkontrátát alkalmaznak, ennek az összegnek az időbeli csökkenése egyenletesen történik.
Az egyes diszkontálási lépésekben alkalmazott összetett diszkontrátát nem az eredeti összegre, hanem az előző lépésben meghatározott diszkontértékkel csökkentett összegre kell alkalmazni. A diszkontálás folyamata lassulással egy időben zajlik.
Ha a végösszeg S és a diszkontráta d, akkor az összetett diszkontrátával t időszakon át leszámítva a képlettel megadott P kezdeti összeget kapjuk.
Fentebb megvizsgáltuk az éves kamatos kamatról a negyedéves, havi és egyéb kamatos kamatokra való átállást. Általánosabban ez az egy felhalmozási periódusú kamatlábról egy eltérő felhalmozási periódusú kamatlábra való átállásnak felel meg. Az átmenet két módját vizsgálták: a kiegyensúlyozott rátára és a relatív rátára való átállást. Az első módszer előnye a pontosság, a második módszer előnye az egyszerűség.
Az éves diszkontrátáról a negyedéves, havi és egyéb kamatlábra történő átállás kétféleképpen történik. Az egyik kiegyensúlyozott diszkontrátát ad, a másik pedig relatív diszkontrátát ad. Tekintsük őket sorrendben.
A kiegyensúlyozott diszkontrátákat az eredmények pénzügyi egyenértékűségének elve alapján határozzák meg.
A dév éves diszkontrátával elért pénzügyi eredménynek meg kell egyeznie a 4 negyedévre dkv összetett diszkontrátával elért eredménnyel. Más szóval, az egyenlőség
Az így létrejövő kamatlábak közötti kapcsolatok nemcsak éves, hanem bármely időszakra vonatkozóan is biztosítják a pénzügyi eredmények egyenlőségét.
A t évből álló intervallum 4-et tartalmaz. t negyed. Erre az időszakra összetett éves kamatláb és összetett negyedéves kamatlábas leszámítolás ugyanazt az eredményt eredményezi, mivel
Összefüggést hoztunk létre az éves és a negyedéves diszkontráta között. Hasonlóképpen kapcsolatot alakítunk ki az éves dév és a havi dhónap, a napi dnap és más összetett diszkontráták között:
A negyedéves és a havi összetett diszkontráta közötti kapcsolatokat hasonlóan fejezzük ki:
Ennélfogva,
Tekintsük általánosságban a helyzetet. Legyen a d diszkontráta számítási időszak m egyenlő intervallumra felosztva. Ezután az ezekhez az intervallumokhoz tartozó d diszkontrátát a d kamatláb határozza meg a következő összefüggés segítségével:
Általánosságban elmondható, hogy ilyen módon összefüggést lehet elérni bármely két, két különböző időszak alatt felszámított összetett diszkontráta között.
Legyen a t és t időszakok azonos időegységekben (év, hónap stb.) mérve. A t időszak feleljen meg a d összetett diszkontrátának, a t periódus pedig a d összetett diszkontrátának. Ezek a ráták egyenértékűek, ha azonos időszakokra ugyanazt a pénzügyi eredményt adják, vagyis ha a megfelelő diszkontszorzók azonosak.
Egyetlen időintervallumként egy txt hosszúságú intervallumot választunk. Tartalmaz t periódusokat t egységben és t periódusokat t egységekben. Az ekvivalencia feltételt a megfelelő időintervallumokra vonatkozó diszkonttényezők egyenlőségeként fejezzük ki, azaz egyenlőségként
Innen képleteket kapunk, amelyek lehetővé teszik, hogy egy diszkontrátát egy másikkal fejezzünk ki:
Általában éves diszkontrátát határoznak meg, amelyet nominális diszkontrátának neveznek. Más időszakokra vonatkozó diszkontráták kiszámítására szolgál. Ha ezeket a kamatlábakat az itt jelzett módon határozzák meg, akkor ezeket kiegyensúlyozott (néha kiegyenlítő) összetett diszkontrátáknak nevezzük.
A kiegyensúlyozott összetett diszkontráták bármely időintervallumban biztosítják az eredmények pénzügyi egyenértékűségét. Ebben az értelemben maguk az ilyen arányok egyenértékűek.
A kiegyensúlyozott kamatlábak bevezetése a kiegyensúlyozott kamatlábhoz hasonlóan történik. A relatív diszkontlábak hasonlóak a relatív kamatlábakhoz.
Ha az éves diszkontráta egyenlő dév, akkor a relatív negyedéves diszkontrátát dq, havi diszkontrátát dhónap, napi diszkontrátát dnap a következő képletek határozzák meg:
Általános esetben legyen a d diszkontráta számítási időszak m egyenlő intervallumra felosztva. Ekkor ezekre az intervallumokra vonatkozó d relatív diszkontrátát a d kamatlábhoz viszonyítjuk a következő összefüggésekkel:
Bármely két időszak relatív diszkontrátája között kapcsolat létesíthető. Legyen a t és t periódusok azonos mértékegységekben mérve. A d diszkontrátát a t időszakra, a d diszkontrátát pedig a t időszakra állítjuk be. Ezek az arányok egymáshoz képest relatívak, ha kielégítik az összefüggést
azaz ha az időegységre jutó részesedésük egyenlő egymással. Ez az egyenlőség a következővel egyenértékű:
Innen könnyen beszerezhet olyan képleteket, amelyek lehetővé teszik, hogy egy diszkont rátát egy másikkal fejezzen ki:
Ezek a képletek nem csak a relatív diszkontráták nominális éves diszkontrátával történő kifejezését teszik lehetővé, hanem a relatív diszkontráták egymás közötti közvetlen kifejezését is.
A relatív diszkontráták számítása megfelel az egyszerű kamatlábak képlete szerinti transzformációknak. A relatív diszkontráták alkalmazása azonban összhangban van az összetett kamatláb-képletekkel.
A diszkonttényező például 6 hónapra a havi diszkontrátával számolva a
Ugyanennek a szorzónak a negyedéves árfolyamon számított formája van
Ez a szorzó közvetlenül a d féléves diszkontrátával is meghatározható:
1 - d fél év = 1 - d év / 2.
Az itt jelzett azonos mennyiség számítási módszerei számszerűen eltérő eredményekhez vezetnek.
Így a kiegyensúlyozott és relatív diszkontrátáknál ugyanaz a helyzet, mint a megfelelő kamattípusoknál. Nevezetesen: a diszkontráták kiegyenlítése pontos eredményt ad, de meglehetősen körülményes számításokkal jár. A relatív diszkontrátákat könnyebb kiszámítani, de hozzávetőleges eredményt adnak.
Figyelembe kell venni, hogy rövidebb időintervallumokra való áttéréskor (például évről hónapra) a relatív diszkontrátának kisebb az értéke, mint a kiegyensúlyozott diszkontrátának. A relatív diszkontrátánál a diszkonttényező tehát nagyobb, mint a kiegyensúlyozott diszkontrátánál.
Így, ha nominális éves diszkontrátát határoznak meg, és kevesebb mint egy év van hátra a számla lejáratáig, akkor a váltó tulajdonosa számára előnyösebb, ha a számvitel relatív diszkontrátával történik.
Ha hosszabb időintervallumokra lép (például hónapról évre), a helyzet az ellenkezője. Itt a relatív diszkontráta nagyobb lesz, mint a kiegyensúlyozott. A relatív ráta mellett számított diszkontszorzó ennek megfelelően kisebb lesz, mint a kiegyensúlyozott ráta mellett számított diszkontszorzó. Ebben az esetben a számlatulajdonos számára jövedelmezőbb, ha a könyvelést kiegyensúlyozottan végzik.
Az összeg diszkontálását egyszerű diszkontráta elszámolása esetén a képlet határozza meg
P \u003d S (1 - d t).
Leszámítolás komplex diszkontráta elszámolásakor - a képlet
ábrán. A 2.2 grafikonon mutatja be a könyvelés során kapott P összeg t elszámolási időszaktól való függését.
Rizs. 2.2. Csökkenő összeg egyszerű és összetett diszkontráta mellett
Az összeg csökkenése egyszerű diszkontráta mellett a lineáris függvény törvénye szerint, egyenletesen történik. Az összeg időtől (a diszkont időszaktól) való függésének grafikonja egy egyenes.
Az összeg csökkenése komplex diszkontráta mellett egyenetlenül, lassulással történik. Az összeg és idő grafikonja egy 1-nél kisebb bázisú exponenciális függvény grafikonja.
Mindkét grafikon ugyanabban a pontban kezdődik, ahol t = 0, és t = 1-ben metszi egymást. Ha a diszkontperiódus 0, akkor természetesen nem mindegy, hogy a diszkontálást összetett vagy egyszerű ütemben hajtják végre. Ugyanígy az sem mindegy, ha a diszkont időszak egy periódussal egyenlő (éves árfolyamon 1 év). Valójában t = 1 esetén ugyanazt az eredményt kapjuk az egyszerű és összetett arányokra:
P \u003d S (1-d t) \u003d S (1-d).
P \u003d S (1 - d) t = S (1 - d).
Minden más esetben az egyszerű és összetett árfolyamon történő diszkontálás más eredményt ad. Ugyanakkor, ha a leszámítolási időszak egy periódusnál rövidebb, akkor egyszerű árfolyamon magasabb összeget (és ennek megfelelően alacsonyabb diszkontértéket) kapunk. Az egy periódusnál rövidebb hátralévő futamidejű adósságkötelezettség (éves árfolyamon egy évnél) jövedelmezőbb, ha egyszerű diszkontrátával számolja el a kötelezettséget. Ha a hátralévő futamidő egy periódusnál több, akkor kifizetődőbb a kötelezettséget komplex diszkontrátával figyelembe venni, és ez a jövedelmezőség a futamidő hosszával nő.
Egy egyszerű sebességnek megfelelő lineáris függvény grafikonja egy bizonyos t értéknél keresztezi az x tengelyt. Ez azt jelenti, hogy adott időszakra a kötelezettség elszámolásából adódó összeg 0, a diszkont pedig a kötelezettség teljes összegével egyenlő. Ezen feltételek mellett nincs értelme a kötelezettségek figyelembevételének. Ezenkívül nincs értelme figyelembe venni a t további értékeit, amikor a grafikon az x tengely alá esik.
Egy igazán egyszerű diszkontrátát alkalmaznak nem túl hosszú elszámolási időszakokra. Ezzel szemben az összetett diszkontráta bármikor alkalmazható. Az összetett sebességnek megfelelő exponenciális függvény grafikonja soha nem keresztezi a vízszintes tengelyt, bár az idő növekedésével korlátlanul megközelíti. A kötelezettség ilyen feltételekkel történő elszámolása során kibocsátott összeg a futamidő növekedésével korlátlanul csökken, de soha nem lesz egyenlő 0-val. Ennek megfelelően a diszkontérték korlátlanul megközelíti magának a kötelezettségnek az összegét, de soha nem esik egybe azzal. .
A leszámítolási ráták egyenértékűsége a pénzügyi eredmények egy bizonyos időszakra vonatkozó kamatláb melletti egyenértékűségével függ össze.
Legyen dn és dc egyszerű és összetett diszkontráták, azonos felhalmozási időszakkal (például éves kamatlábak). A díjtételek t időszakra vonatkozó egyenértékűsége az ehhez az időszakhoz tartozó diszkontszorzók egyenlőségét jelenti:
Innen megkapjuk a képleteket az egyszerű arány kiszámításához egy ekvivalens komplex sebességhez, és az összetett arány kiszámításához egy ekvivalens egyszerű kamatlábakhoz:
A diszkontlábak, valamint a kamatlábak esetében az ekvivalenciát meghatározott időtartamra határozzák meg.
Az egy időszakra egyenértékű díjak, ha az időtartam változik, megszűnnek egyenértékűek.
Az egyenértékű díjak akkor egyenlőek egymással, ha a figyelembe vett időszak hossza megegyezik a felhalmozási időszakkal, azaz:
ha t = 1, akkor dn = dc .
Ez közvetlenül következik a kapott képletekből. Az előző érvelés azt mutatja, hogy az egyenértékű diszkontráták a következő feltételeket teljesítik:
ha t< 1, то dn >dc,
ha t > 1, akkor dn< dc .
A pénzösszeg diszkontálása történhet százalékos vagy diszkontráta mellett.
Összetett kamattal történő diszkontáláskor a P pénzösszeg kezdeti értékét annak S végső értéke határozza meg, amely t idővel nőtt az i kamatláb mellett, a képlet szerint.
Komplex d diszkontrátával történő diszkontáláskor a kezdeti pénzösszeget a képlet határozza meg
A kamat és a diszkontráta akkor ekvivalens, ha ugyanazt a pénzügyi eredményt adják, azaz ha ugyanazon S végösszegekre ugyanazt a P kezdeti összeget adják ugyanarra a t időre.
Így egyenértékű ráták esetén az egyenlőség
Mindkét részből kivonva a t fok gyökét, azt kapjuk
Ezt a következőképpen írhatjuk fel:
(1 + i) (1 - d) = 1.
Innentől könnyen kifejezhető a kamat diszkontráta, a diszkont kamatláb pedig kamatláb formájában:
Fontos megjegyezni, hogy ezek a képletek nem tartalmazzák az időintervallum hosszát t. Ezért az egyenértékű összetett fogadások nem csak egy bizonyos ideig, hanem bármely időszakra egyenértékűek. Emlékezzünk vissza, hogy ez nem igaz az egyszerű fogadásokra.
Összetett diszkontrátával történő diszkontálás képlete az idő múlásával t
nem csak diszkrét, hanem folyamatos időben is használható. A kamatos kamathoz hasonlóan a folytonos időre való áttéréskor a képlet úgy alakul át, hogy a d diszkontkamatláb megváltozásakor nem az exponenciális függvény bázisa, hanem a mutatója változik. Ehhez adja meg az értéket:
A szublogaritmikus kifejezés kisebb, mint 1, azaz.
ln(1-d)< 0,
és ezért b pozitív. A kapott definícióból
A komplex diszkontrátával történő diszkontálás képlete a következő formában történik
A kamat erejével analóg módon az értéket néha nevezik kedvezményes erő . A kapott diszkontálási képlet a diszkonterő részvételével lehetővé teszi a számítások kényelmes formában történő elvégzését folyamatos időre. A kedvezmény erőssége a diszkontált összeg relatív csökkenésének mértékét jellemzi.
A diszkontráta növekedésével a megfelelő diszkontráta is nő. E mennyiségek közötti kapcsolat nem közvetlen, nem egyenesen arányos, hanem logaritmikus.
A diszkontráta növekedésével fokozatosan nőnek a diszkontráta számértékei és a diszkonterő közötti eltérések. A kedvezmény ereje nagyobb, mint a diszkontráta. Figyelembe kell azonban venni, hogy a diszkontráta és a diszkonterő egymásnak megfelelő értékei ugyanazt a diszkontálási folyamatot, az adósságösszeg azonos mértékű csökkentését határozzák meg az adósságkötelezettség figyelembevételével.
Az általunk kapott képletek lehetővé teszik a szerződés feltételei alapján, hogy a kezdeti összegből számítsuk ki a végösszeget, vagy fordítva, egy ismert végösszegből számítsuk ki a kezdeti összeget. A pénzügyi számításokban fontos szerepet játszik egy másik feladat: a szerződés feltételeinek meghatározása ismert kezdeti és végösszegből. A szerződés legfontosabb számszerű jellemzői a futamidő időtartama és az árfolyam.
A kamatos kamat képlete szerint megvan
Elemi transzformációk és logaritmusok felvétele után innen kapjuk:
Ez a képlet lehetővé teszi, hogy egy adott kezdeti és végösszeg mellett ismert kamatos kamat mellett meghatározzuk a t időszak időtartamát, amelynél a P kezdeti összeg az i kamatos kamatláb mellett az S végösszegre nő. A képletben szereplő logaritmusok tetszőleges bázisúak lehetnek (de mindkét logaritmusnak ugyanannak kell lennie). Különösen természetes vagy decimális logaritmusokat használhat.
Tegyük fel most, hogy a felhalmozási időszakot m egyenlő időszakra osztjuk, és a számításokat az ezekre az időszakokra újraszámított ütemben hajtjuk végre. Például a nominális éves kamatozású elszámolásokról áttértek a havi kamatozású elszámolásokra. Mint tudjuk, a havi kiegyenlített és havi relatív kamatlábakat használjuk.
Az i kiegyensúlyozott ráta értékét a felhalmozási időszak 1/m-ével egyenlő időtartamra az i ráta mellett a képlet határozza meg
A pénzmennyiség t idő alatti növekedése i árfolyamon a képletnek megfelelően fog haladni
A növekedési erő alapján történő számításnál a képletet használjuk
A természetes logaritmus (alap e) a képlet mindkét részéből egyszerű átalakítások után kapjuk:
A növekedés (folyamatos kamatláb) α ereje és az i kezdeti kamatláb összefüggésben áll egymással
Így a futamidő folyamatos kamattal számított időtartama egybeesik az eredeti kamattal számított futamidővel:
A komplex diszkontráta melletti diszkontálás képletének megfelelően a következőket kínáljuk:
A képlet egyszerű átalakítása után a következőket kapjuk:
Ez a képlet lehetővé teszi az S végösszeg, a P elszámolási összeg és a d diszkontráta leszámítolási időszakának kiszámítását. A kamatos kamatokhoz hasonlóan a számításokban a logaritmusok tetszőleges bázisban vehetők fel (ugyanaz a tört számlálójában és nevezőjében).
Tekintsünk egy olyan helyzetet, amikor a diszkontráta számítási időszaka m egyenlő hosszúságú egyenlő intervallumra van felosztva (például egy év hónapokra van felosztva). Ebben az esetben a kezdeti d diszkontrátával együtt d kiegyensúlyozott és relatív diszkontrátákat alkalmazunk, amelyeknél ezek a kis egyenlő intervallumok felhalmozási időszakok.
A felhalmozási időszak részét képező intervallumra a d kiegyensúlyozott diszkontráta értékét a d kamatláb mellett a képlet határozza meg.
A t időre vonatkozó pénzösszeg d diszkontrátával történő diszkontálását a képlet számítja ki
Innen kapjuk:
A d és d diszkontrátát a reláció kapcsolja össze
Megállapítottuk, hogy a t diszkontperiódus számítása eredeti d diszkontrátával és d kiegyensúlyozott diszkontrátával ugyanazt az eredményt adja.
A relatív ráta esetében nem ez a helyzet. A relatív ráta kiszámítása a képlet segítségével történik
A pénzösszeg t idő alatti diszkontálását a d relatív diszkontrátával összhangban a képlet határozza meg
Innen kapjuk:
Az m intervallumok számának növekedésével a relatív diszkontráta melletti diszkontráta csökken, a diszkontperiódus növekszik. Ahogy m növekszik, ez az időszak egyre jobban eltér a kezdeti és kiegyenlített árfolyamon számított periódustól.
A kedvezmény erőssége alapján végzett számításoknál a képletet használjuk
Ebből a képletből a következőket kapjuk:
Mivel a diszkont ereje és a d diszkontráta összefügg az arányszámmal
akkor a diszkont erőssége alapján számított időtartam és a diszkontráta alapján számított időtartam megegyezik. Igazán,
A kamatos kamat képletéből
ezt követi
Az utolsó képlet lehetővé teszi az i kamatláb szükséges összegének meghatározását a kezdeti Р összeg, az S végösszeg és a t emelkedési idő alapján.
Tegyük fel, hogy a felhalmozási időszak m egyenlő intervallumra van felosztva. Az ilyen intervallumok megfelelnek a kamatláb saját értékének i.
Az i értéke kétféleképpen számítható ki. Az első módszer, hogy a már kapott i ráta alapján keressük meg az i-t. Az eredmény itt attól függ, hogy ez az i arány kiegyensúlyozott vagy relatív. A kiegyensúlyozott arány érdekében a számítást a képlet szerint kell elvégezni
Innen a már kapott i képlet felhasználásával a következő képletet kaphatjuk:
A relatív ráta esetében a számítást a képlet szerint kell elvégezni
A második módszer az i ráta értékének közvetlen megkeresése, anélkül, hogy az i-hez folyamodnánk, és csak ezután határozzuk meg belőle az i-t. .
Az i kamatlábban kifejezett kamatos kamat képlete a következő:
Ha az i kamatlábat kiegyensúlyozott árfolyamnak tekintjük, akkor az utolsó képletből a következőket kaphatjuk:
Így az i arány kiszámításához az előző képletet kapjuk. Kiegyensúlyozott arány esetén az első és a második módszer számítási eredményei megegyeznek.
Ha az i rátát relatív rátának tekintjük, akkor a számítási képletből kapjuk:
Ez a képlet eltér az i arány eredeti képletétől, és eltérő eredményt ad.
A relatív ráta szempontjából tehát fontos a számítás módja.
Fontolja meg most a folyamatos kamatszámítást a növekedés erőssége alapján. Ebben az esetben a növekedési képletnek megvan a formája
Innen kapjuk a számítási képletet a növekedési erő (folyamatos kamatláb) meghatározásához:
A kedvezmény formula szerint
Ebből következik tehát
Ez a képlet lehetővé teszi a d diszkontráta értékének kiszámítását az S végösszegre, a P elszámoláskori összegre és a t leszámítolási időszakra.
Legyen a diszkontráta számítási időszak m egyenlő intervallumra felosztva. Határozzuk meg az ilyen intervallumokhoz tartozó d sebesség értékét. A kamatlábhoz hasonlóan itt is kétféle számítási módszer létezik. Az első módszer a d diszkontráta értékének meghatározása a már kapott d kamatláb alapján.
A d kiegyensúlyozott diszkontrátát ebben az esetben a képlet segítségével kell kiszámítani
Ez az egyenlőség folytatható:
amely lehetővé teszi a d sebesség értékének közvetlen kiszámítását a kiindulási adatokon keresztül.
A relatív diszkontrátánál a számítás a képlet szerint történik
A második módszer a d ráta megtalálásán alapul, anélkül, hogy a d arányt használnánk. A d sebesség ezután kiszámítható a d sebességből.
A d diszkontráta melletti diszkontálás képlete a következő
Így ismét ugyanazt a képletet kaptuk, amelyet a kiegyenlített árfolyamra származtattunk. Ezért a kiegyensúlyozott ráta esetén mindkét számítási módszer ugyanazt az eredményt adja, mind d, mind d esetén.
A relatív arány tekintetében más a helyzet. Határozzuk meg a d és d sebességet:
Ez a képlet és a d arány közvetlen kiszámítására szolgáló, a bekezdés elején megadott képlet különböznek egymástól, és eltérő eredményekhez vezetnek.
Így a relatív diszkontráta, valamint a relatív kamatláb szempontjából fontos annak számítási módja.
Térjünk át a folyamatos leárazás mérlegelésére. A diszkonterőt használó képlet a következő
Innen a képlet segítségével számítható ki a diszkonterő (folyamatos elszámolási ráta).
Mert a R < S, akkor a szublogaritmikus kifejezés kisebb, mint 1, maga a logaritmus negatív, a mínuszjelet figyelembe véve pedig a tört számlálója pozitív. Így a folyamatos diszkontráta értéke pozitív.
Az egyszerű kamatláb melletti növekedést lineáris függvény vagy aritmetikai progresszió határozza meg. Az összetett kamatláb melletti növekedést egy exponenciális (exponenciális) függvény vagy geometriai progresszió határozza meg.
Így a hosszú távú kamatos kamat jövedelmezőbb a befektető számára, mint az egyszerű kamat, és a betét futamidejének növekedésével a jövedelmezőség nő.
Emlékezzünk vissza a növekedés és az összetett kamatlábak szerinti diszkontálás alapvető képleteire.
Az összetett kamatláb melletti növekedést a képlet határozza meg
Az összetett kamatozású diszkontálást a képlet határozza meg
Az összetett diszkontrátával történő diszkontálást a képlet határozza meg
Növekedési képlet alapján növekedési erők:
Kedvezmény képlet alapján diszkont erők:
