Astfel, rezultă că o organizație este un grup de oameni care își coordonează în mod conștient eforturile pentru atingerea unor obiective comune, adică este controlată. Managementul este un impact intenționat asupra unui obiect pentru a obține rezultatul dorit. Guvernarea implică patru elemente de bază; intrarea sistemului principal, ieșirea sistemului principal, canalul de feedback, unitatea de control. Un astfel de sistem este construit pe principiul monitorizării rezultatelor activităților organizației și a legăturii parametrilor controlați cu obiectivele de la intrare. Acest tip de management se numește management prin obiective.
Întregul proces de management este continuu și constă din patru etape principale. Inițial, organizația și subdiviziunile sale primesc sarcini sub formă de scopuri, pentru care sunt planificate proceduri care dau răspunsuri la întrebări; cine, ce, unde, în ce interval de timp și în ce cantitate ar trebui făcut. Verificarea rezultatului muncii vine după termenul limită lucrând. Totodată, se evaluează gradul de realizare a scopului și problemele care au împiedicat realizarea acestuia. Ca urmare a monitorizării rezultatelor lucrărilor, se stabilesc motivele abaterilor de la procedurile planificate și se elaborează măsuri corective. Pentru a aduce rezultatele la planificat, este necesar să se identifice natura discrepanței și, dacă este necesar, să se ajusteze obiectivele. De exemplu, dacă rezultatul nu a fost atins din cauza incompetenței angajatului, atunci va fi suficient să se aplice sancțiuni acestui angajat sau să-l înlocuiască, dar dacă au apărut abateri de la rezultatele scontate din cauza schimbărilor în Mediul extern(prăbușirea rublei), este necesar să se ajusteze obiectivele organizației sau ale acesteia unități individuale.
Conditii de management. Evaluarea rezultatelor managementului este o comparație a rezultatelor obținute ale organizației în ansamblu și ale diviziilor sale individuale cu obiectivele stabilite. Evaluarea rezultatului controlului este utilizată ca mecanism de feedback. La evaluarea rezultatelor managementului, se identifică următorii parametri principali:
Una dintre cele mai conditii importante fiabilitatea managementului este dezvoltarea unui sistem de indicatori de rezultate. Analiza cantitativă și indicatori de calitate ajută la identificarea puternică şi puncte slabe organizație, ajută la definirea acesteia avantaje competitive(dacă funcționează în condiții de piață), dezvăluie proprietăți adaptative.
Principalii indicatori cantitativi:
Indicatori cheie de calitate:
În marea majoritate a cazurilor, o organizație are multe obiective diferite. Apare un întreg set de obiective interconectate și uneori conflictuale. Manifold tinte transformă organizaţia în organizare complexă... De exemplu, nici măcar foarte mare întreprindere producătoare are scopuri pentru achizitionarea de materii prime, pentru prelucrarea acesteia, pentru selectia personalului, pentru distributie produse terminate etc. Toate aceste obiective ar trebui să fie interconectate în timp, convenite cu conditii externe... Dacă achiziția eșuează, atunci departamentul pentru implementarea obiectivelor sale nu realizează.
Caracteristicile generale ale organizației:
Managementul este necesar pentru a coordona toate sarcinile îndeplinite de organizație. Managementul organizației este procesul de planificare, organizare, motivare și control pentru a formula și atinge obiectivele unei organizații.
Luați în considerare două proprietăți fundamentale ale sistemelor de control care au aceleași mare importanță precum şi proprietatea de stabilitate. Primul dintre ele este asociat cu capacitatea de a transfera sistemul din orice stare inițială în orice altă stare specificată, iar al doilea - cu capacitatea de a determina starea sistemului prin valoarea controlată și acțiunea de control.
1. Gestionabilitate.
Determinarea manevrabilitatii. Sistem (sistem sau obiect controlat) cu o ecuație de stare
este o pe deplin gestionat dacă există un semnal de control f, care ia sistemul din starea inițială zero NS(0)= 0 momentan t 0 = 0 la orice altă stare NS(t f) într-un timp finit t f.
Starea sistemului la ora curentă t poate fi reprezentat folosind un punct M din spațiul stărilor. Sub spaţiul de statînțelegem spațiul, ale cărui axe sunt variabilele de stare.
Aici ideea M- punct reprezentativ.
Schimbarea poziției punctului reprezentativ este trecerea sistemului de la o stare la alta.
Este ușor de arătat că, dacă sistemul este complet controlabil, atunci în anumite ipoteze poate fi tradus din orice starea inițială la orice altă stare. Această proprietate a sistemului este numită accesibilitate.
Administrabilitate - caz special accesibilitate.
Figura de mai sus oferă o interpretare geometrică a proprietăților de controlabilitate și accesibilitate.
teorema lui Kalman. (Despre controlabilitatea completă).
Pentru controlabilitatea completă a sistemului descris de ecuația (1), este necesar și suficient ca matricea de controlabilitate (matricea blocului)
(2)
avea un rang egal cu n, Unde n- ordinea sistemului:. Matrice U are dimensiunea (), deoarece fiecare bloc are dimensiune și în total n blocuri (coloane).
Dacă există cel puțin un minor n matricea de ordinul al-lea U, atunci . Minor n-Ordinul este determinantul matricei U compus din n coloane arbitrare ale matricei U.
Pentru un sistem cu o singură intrare, de ex. daca atunci U Este o matrice pătrată și are un singur minor n-al-lea, care coincide cu determinantul matricei. În acest caz, condiția controlabilității complete pt r=1:
adică matricea de controlabilitate trebuie să fie nedegenerată.
Exemplu. Pentru un dublu integrator
,
Unde k Este câștigul dublu integrator.
Este un integrator dual pe deplin gestionabil și în ce condiții?
V acest caz n = 2, ... Prin urmare, în conformitate cu (2), matricea de controlabilitate a integratorului dublu
,
.,
Prin urmare, dacă. Aceasta este condiția pentru controlabilitatea completă a dublului integrator.
Comenzi Matlab: U = ctrb(A, B); r = rang(U).
Observație 1. Sensul fizic al proprietății controlabilității complete este că controlul afectează fiecare dintre variabilele de stare. În acest caz, puteți schimba poziția punctului de imagine în mod arbitrar folosind controlul corespunzător.
Nota 2. Dacă sistemul este pe deplin gestionabil poate fi determinat folosind operarea diagrama structurala... Dacă diagrama bloc operațională are căi care duc de la control la fiecare variabilă de stare, atunci sistemul este complet controlabil.
Exemplu... Luați în considerare schema bloc operațională a sistemului prezentată în figura de mai jos. Aici , n = 2.
După cum puteți vedea, management u va afecta doar variabila NS 1 . Partea stanga diagrama structurală se comportă autonom față de control u... În consecință, sistemul nu este pe deplin gestionabil. Dacă sistemul nu este complet controlabil, atunci acesta poate fi descompus în părți controlabile și necontrolate (subsisteme).
Să arătăm analitic că sistemul în cauză nu este complet controlabil. Pentru aceasta, conform diagramei structurale, găsim ecuații în variabile de stare
din care rezultă clar că controlul u nu afectează NS 2 .
Găsi Ași B:
, .
De aici matricea de controlabilitate
.
După cum puteți vedea, adică sistemul nu satisface condiția controlabilității complete.
Observație 3. Dacă un sistem cu o singură intrare, cu alte cuvinte, pt r = 1, nu este complet controlabil, atunci PF-ul său degenerează, cu alte cuvinte, PF-ul său este un PF degenerat, adică ordinea numitorului PF va fi mai putina ordine sistem (de ordinul ecuației caracteristice a sistemului).
Prin urmare, un sistem cu o singură intrare este complet controlabil dacă funcția sa de transfer nu conține aceiași factori în numărător și numitor (factori anulați).
Pentru exemplul discutat în Observația 2:
, ,l = 1.
În acest caz, PF-ul sistemului
,
unde polinomul caracteristic
Prin urmare, rădăcinile ecuației caracteristice = 0, cu alte cuvinte, polii sistemului sunt egali: 
.
Găsiți numărătorul care reprezintă polinomul scalar
.
Ordinea sistemului n = 2, iar ordinea numitorului PF este 1, adică funcția de transfer a sistemului este degenerată. Acest sistem este stabil în condiții inițiale dacă (rădăcini stângi). Dacă, (există o rădăcină dreaptă), atunci sistemul este stabil în ceea ce privește intrarea și instabil în ceea ce privește condițiile inițiale. Cu alte cuvinte, compensarea zerourilor drepte (fază neminimă) ale sistemului datorate polilor altui sistem conectați în serie face ca conexiunea în serie să fie instabilă.
Controlabilitatea și observabilitatea sistemului de control automatizat
Luați în considerare cazul în care toate variabilele de stare pot fi măsurate, iar rezultatele acestor acțiuni pot fi utilizate pentru a controla sistemul. Cu toate acestea, un astfel de caz nu este întotdeauna fezabil din punct de vedere tehnic. Prin urmare, conceptul de controlabilitate este introdus pentru sistemele de control automat.
Considera:
unde sunt matrice cu coeficienți constanți.
În acest caz, se presupune că controlul este scalar, adică obiectul este controlat de o coordonată.
Sunt specificate punctele de început și de sfârșit și. Sarcina este de a traduce sistemul dintr-o poziție inițială dată într-un punct care coincide cu originea. În acest caz, nu se impun restricții asupra amplorii acțiunii de control și a timpului de reglare. Dacă o astfel de problemă este rezolvată pentru orice condiții inițiale și finale, atunci un astfel de sistem este controlabil.
Sistemul se numește controlabil dacă există un astfel de control, care este de la orice stare inițială la orice poziție finală. În ce condiții este controlabil sistemul. Să încercăm să aflăm motivele incontrolabilității. Este convenabil să faceți acest lucru folosind o reprezentare geometrică a mișcării sistemului. După cum sa menționat mai sus, soluția ecuației liniare omogenă are forma:
Dacă vreunul dintre coeficienți și restul sunt nezero, atunci mișcarea are loc în subspațiul invariant al matricei. Din punct de vedere geometric, toate traiectoriile se află în planul S, adică. vectorul este de asemenea direcționat de-a lungul acestui plan. Să presupunem că vectorul se află și el în plan. Este evident că adăugarea la vectorul mărimii lasă vectorul în același plan, deși deformează traiectoria de mișcare a vectorului de stare. Prin urmare, dacă punctul inițial se află în plan, iar punctul final nu, atunci este imposibil să ajungeți la punctul cu coordonatele date, deoarece nu există un control care transferă starea sistemului de la parametrii dați de la punctul de plecare până la punctul final. Un astfel de sistem este, prin definiție, imposibil de gestionat.
Condițiile de controlabilitate în ceea ce privește sistemul original au fost obținute de Kalman și au forma:
Pentru controlabilitatea sistemului (1), este necesar și suficient ca o condiție a formei
Această condiție este îndeplinită dacă o matrice U de forma
are rangul N.
Rangul unei matrice este cel mai înalt ordin al determinantului său, altul decât zero.
Luați în considerare comportamentul sistemului în spațiul de stare al vectorilor proprii ai matricei A (pentru simplitate, vom presupune că valorile proprii ale matricei A sunt reale și diferite). După cum vom vedea în cele ce urmează, în acest spațiu condițiile de controlabilitate devin practic evidente. Introducem o transformare nesingulară a formei
S-a notat mai sus că există. Prin urmare, vectorii X și Y sunt legați printr-o relație clară. În consecință, problemele controlabilității în spațiile acestor variabile sunt echivalente.
În spaţiul noilor variabile
Comportamentul ACS este descris de ecuație
Luați în considerare produsul
În consecință, ecuația (4) se reduce la forma
Coloană vectorială cu componente.
Deoarece matricea P este diagonală, atunci
iar dacă cel puțin unul, atunci coordonatele sunt incontrolabile. Prin urmare, putem presupune că, dacă totul, atunci sistemul este controlabil.
Luați în considerare spațiul n-dimensional al stării X, în care fiecare stare a sistemului corespunde unei anumite poziții a punctului reprezentativ, determinată de valorile coordonatelor fazei.
Fie două mulțimi și să fie date în spațiul stărilor. Sistemul luat în considerare va fi controlabil dacă există un astfel de control, definit pe un interval de timp finit, care transferă punctul reprezentativ din spațiul X din subdomeniu în subdomeniu.
Este posibil să restrângem definiția controlabilității și să înțelegem prin aceasta posibilitatea de a transfera punctul reprezentativ din orice regiune a spațiului de stări X la origine. Sistemul va fi gestionabil dacă fiecare stat este gestionabil în acest sens.
Trecem din spațiul stărilor X în alt spațiu printr-o transformare nesingulară, în plus, unde este matricea coeficienților.
Apoi, în loc de o ecuație a formei
unde j este matricea influențelor perturbatoare și stabilitoare,
u - matrice-coloană a valorilor de control,
y - matrice-coloană de valori reglabile,
x - matrice-coloană de coordonate de fază,
vom avea
Aici am folosit matricele de coeficienți transformate:
Introducerea de noi coordonate de fază prin intermediul unei transformări nesingulare
conduce la sisteme echivalente structură diferită... Cu o anumită transformare, se poate dovedi că unele dintre valorile de control nu sunt incluse în unele ecuații diferențiale (7) sau unele dintre coordonatele de fază nu sunt implicate în formarea vectorului semnalului de ieșire. În primul caz, sistemul nu va fi complet controlabil, iar în al doilea, nu va fi complet observabil.
În cazul unui sistem incomplet controlabil, ecuația sa originală poate fi reprezentată ca
Acest lucru este ilustrat în Fig. 7. Setul de coordonate de fază corespunde părții controlate a coordonatelor de fază, iar setul - părții necontrolate.
Orez. 1.
Kalman a demonstrat criteriul controlabilității, care afirmă că dimensiunea părții de control a sistemului, adică ordinea primului grup de ecuații (7) coincide cu rangul matricei.
unde k este dimensiunea vectorului de control.
Când sistemul este complet controlabil, când - sistemul nu este complet controlabil, când - sistemul nu este complet controlabil.
Orez. 2.
În fig. 8 prezentat cel mai simplu exemplu... Dacă luăm în considerare valoarea de ieșire la condiții inițiale zero, atunci putem scrie
sunt determinate de condițiile inițiale înainte de aplicarea semnalului de intrare și este componenta forțată. Sistemul este stabil la.
Dacă condiții inițialeînainte ca aplicarea semnalului de control să fie zero, atunci comportamentul sistemului poate fi calculat din funcția de transfer
În acest caz proces de tranzițieîn sistem este definită ca
controlabilitate observabilitate automatizat kalman
După cum rezultă din ultima expresie, în al doilea caz sistemul este descris printr-o ecuație diferențială nu de ordinul trei, ci de ordinul doi. Sistemul va fi stabil chiar și cu.
Sistemul considerat nu va fi pe deplin gestionabil. Se dovedește și.
Odată cu introducerea celei de-a doua componente de control, sistemul se dovedește a fi complet controlabil, iar rândul matricei de funcții de transfer pentru control îi va corespunde
În cazul unui sistem incomplet observabil, ecuațiile acestuia pot fi reprezentate sub formă
Aceste ecuații diferă de (7) prin aceea că coordonatele de fază ale grupului nu sunt incluse în expresiile pentru și, nici în prima ecuație, care include coordonatele de fază ale grupului. Grupul de coordonate de fază este neobservabil.
Kalman a arătat că ordinea primului grup de ecuații coincide cu rangul unei matrice V de forma
Când sistemul este complet observabil, când - sistemul nu este complet observabil, când - sistemul este complet neobservabil.
În fig. 9 arată cel mai simplu exemplu. Este ușor pentru el să arate că doar două dintre cele trei coordonate de fază sunt implicate în formarea rezultatului.
Orez. 3.
În general, sistemul poate conține patru grupuri de coordonate de fază:
o parte gestionabilă, dar inobservabilă,
parte controlată și monitorizată,
parte incontrolabilă și neobservabilă,
incontrolabil, dar observat frecvent.
Ecuațiile inițiale ale sistemului (7) pot fi pentru foarte caz general scrie asa:
Partea stângă a ecuației caracteristice
unde E este matricea mărimii unității, sistemul în acest caz conține patru factori:
Controlabilitatea și observabilitatea sistemului în sensul enunțat nu coincide întotdeauna cu conceptele practice. Chiar dacă orice coordonată de fază poate fi calculată din valorile de ieșire disponibile pentru măsurare, procesarea valorilor măsurate poate fi, în primul rând, dificilă și, în al doilea rând, poate fi împiedicată de prezența interferențelor. Prin urmare, coordonatele observabile practic sunt de obicei cele care pot fi măsurate de diferite tipuri de senzori.
PRELEȚA numărul 20
STARE DE CONTROL ŞI OBSERVABILITATE
SISTEME DE IMPULS LINEAR.
Planul cursului:
1. Definirea unui sistem complet gestionabil.
2. Condiția controlabilității unui sistem de impuls liniar.
3. Determinarea observabilității și recuperabilității.
4. Condiție pentru recuperabilitatea unui sistem impulsiv liniar.
Controlabilitatea sistemului determină capacitatea de a controla din partea de intrare toate componentele vectorului de stare a sistemului discret.
Sistemul, procesul sau obiectul este numit pe deplin gestionat dacă pot fi transferate din starea x = 0 într-o stare arbitrară x [n] folosind controlul într-un număr finit de pași.
Luați în considerare un sistem de ecuații diferențe:
X[ k+1] = FX[ k]+ Hu[ k]
y[ k]= cx[ k]+ Du[ k] (20.1),
unde x = (x 1, ... x n) este vectorul de stare;
y=(y 1 ,... y n)- vector de variabile de intrare;
u=(u 1 ,... u n)- vector de control.
Să presupunem că succesiunea controalelor este:
u, u,... u[ n-1] . (20.2)
Apoi, în conformitate cu (5.44) laX=0 , primim:
X= Hu;
X= FHu+ Hu;
X= Ф 2Hu+ FHu;
. (20.3)
Să găsim succesiunea de controale (20.2) care ia punctul X=0 exact X[ u]= X... Ultima ecuație a sistemului (20.3) poate fi reprezentată și ca:
. (20.4)
Această expresie poate fi privită ca un sistem de ecuații algebrice liniare pentru componentele vectorilor
u[ n-1], u[ n-2] ,..., u.
Fiecare vector u are m componente scalare, astfel încât numărul de necunoscute este m X n... Matricea principală a sistemului
-
Are dimensiunea ( n X mn), și matricea extinsă
Dimensiunea ( NS NS TP+1).
Se consideră condiția controlabilității, adică condiția existenței unei soluții (20.4).
Pentru existența unei soluții a sistemului (20.4), după cum se știe, este necesar și suficient ca rândurile matricelor principale și extinse să coincidă.
Este ușor de văzut că de atunci. Dacă rangul matricei principale este mai mic decât ordinea sistemului NS, atunci puteți alege oricând vectorul NS că rangul matricei extinse va fi mai mare decât rangul matricei principale.
Astfel, sistemul de ecuații (20.4) are o soluție pentru un arbitrar NS necesar şi suficient pentru a .Acest lucru stare completă de control sistem liniar discret.
Luați în considerare cazul controlului scalar și treceți în sistemul original (5.44) folosind transformarea
la variabile canonice:
În sfârșit obținem:
,
Există algoritmi speciali pentru reducerea matricei originale F la forma canonică (forma diagonală).
Diagrama bloc a sistemului este prezentată în Figura 20.1 (presupunând o ieșire scalară y).
Este ușor de observat că, în funcție de proprietățile controlabilității complete ale sistemului, corespunde absența zerourilor pentru vector, adică condițiile 
.
Cel mai comun algoritm de control pentru sistemele sintetizate folosind MPS este algoritmul
.
Cu toate acestea, în multe cazuri, starea sistemului
nu este măsurată și, prin urmare, controlul conform relației de mai sus nu poate fi realizat direct.
Astfel, se pune întrebarea dacă este posibil să se determine vectorul de stare din ieșirile măsurate sau din ieșirile măsurate ale unui obiect cu multe intrări și multe ieșiri.
În acest sens, teoria controlului distinge între observabilitatea statului și recuperabilitatea statului.
Stat NS(la) al sistemului este observabilă dacă poate fi determinată din valorile viitoare ale variabilei de ieșire y(t), t>t 0 iar dacă intervalul t-t 0 este finită.
Stat NS(la) al sistemului este recuperabil dacă poate fi determinat din valorile trecute ale variabilei de ieșire y(t), t>t 0 iar dacă intervalul t-t 0 este finită.
Condiția de observabilitate și recuperabilitate poate fi obținută din ecuația de ieșire a sistemului:
si ecuatiile de stare:
Calcularea secvenţială a valorilor variabilei de ieşire pentru momentele de timp k, k+ 1,... k+ n- 1, obținem:
(20.5)
sau sub formă de matrice vectorială:
sau în formă compactă:
Y n[ k]= Q p x[ k]+ P p u[ k].
Dacă matricea Q p nedegenerat, atunci există matricea sa inversă Q -1 P, în acest caz detQ pși rânduri matrice Q p liniar independent.
Apoi din ecuația matriceală anterioară rezultă:
X[k]=Q -1 p y n[k]-Q -1 p P p u[k] (20.6)
Astfel, putem formula următoarea condiție observabilitate: un sistem liniar descris de KRU este observabil dacă și numai dacă rangul matricei Q p este egală cu dimensiunea n spaţiul de stat.
Obținem condiția de recuperare:
Având în vedere că X[k+ n]=FnX[k], atunci ultima ecuație matriceală poate fi transformată în forma:
Unde 
.
Condițiile de recuperare sunt formulate similar condițiilor de observabilitate: un sistem liniar descris de sistemul KRU este recuperabil dacă și numai dacă rangul matricei Q p este egală cu dimensiunea n spaţiul de stat.
Conceptul de controlabilitate, observabilitate și recuperabilitate vă permite să reprezentați mai bine caracteristicile dinamicii sistemului studiat, capacitățile acestuia. Rețineți că matricea F depinde de mărimea intervalului de cuantizare T, prin urmare, proprietățile controlabilității și observabilității se pot schimba în timpul trecerii de la sistemele continue la cele digitale (amintim, de exemplu, posibilitatea unor oscilații latente în sistemele discrete).
Astfel, completăm analiza analizei dinamicii sistemelor discrete în cadrul metodelor PS. În prezent, această metodă este utilizată pe scară largă în practica de inginerie... Dezvoltarea acestuia va fi facilitată de utilizarea tot mai largă a computerelor în proiectarea sistemelor luate în considerare, deoarece el este cel care permite să îmbine în cea mai mare măsură completitatea și rigoarea. cercetare teoretică cu capabilitățile tehnologiei moderne de calcul.
Formularea și rezolvarea problemei de control optim pentru un anumit obiect are sens numai dacă există o posibilitate fundamentală de a o transfera dintr-o stare inițială dată la o stare finală necesară în timp limitat folosind controale valide. Definiția posibilității unei astfel de traduceri este conținutul conceptului de controlabilitate, care a fost introdus pentru prima dată de R. Kalman.
Considerăm un sistem liniar staționar descris de ecuație
- vector n - dimensional al sistemului
- m - vector de control dimensional
A și B sunt matrici constante de ordin și, respectiv.
Un sistem staționar descris de ecuația (1) se numește controlabil dacă, pentru orice stare și, există un control măsurabil mărginit U (t) definit pe un interval finit astfel încât traiectoria corespunzătoare X (t) să îndeplinească condițiile și.
Criteriul controlabilității complete a sistemului (1), propus de R. Kalman, are o formă simplă și compactă. Fie date matricele A și B ale sistemului. Să compunem o matrice de mărime, în care primele m coloane coincid cu coloanele matricei B, a doua m coloane coincid cu coloanele matricei AB etc., iar ultimele m coloane sunt coloanele matricei. Matricea este scrisă după cum urmează:
Controlabilitatea unui sistem liniar staționar este asociată cu proprietățile matricei sub forma următoarei afirmații.
Pentru ca sistemul liniar staționar (1) să fie complet controlabil, este necesar și suficient ca rangul matricei de controlabilitate să fie egal cu n, i.e.
Dacă în locul matricei B din partea dreaptă a ecuației (1) există o coloană-matrice, i.e. m = 1 și controlul este o funcție scalară a timpului, atunci pentru controlabilitatea completă a sistemului este necesar și suficient ca rangul matricei
(4)
,
având dimensiunea a fost egală cu n, adică ... Pentru controlabilitatea completă a sistemului în acest caz, este necesar ca determinantul matricei să nu fie egal cu zero, adică. ...
Dacă matricea A este diagonală și toate elementele sale diagonale sunt diferite, atunci sistemul este complet controlabil cu condiția ca matricea B să nu conțină zero rânduri.
Astfel, proprietatea de controlabilitate a sistemului este complet determinată de proprietățile algebrice ale perechii de matrice (A, B). Prin urmare, conceptul de controlabilitate este adesea referit la aceste matrici și se spune că perechea (A, B) este complet controlabilă sau necontrolabilă.
Rețineți că criteriul pentru controlabilitatea completă a sistemului (1) nu are nicio legătură cu stabilitatea sistemului. Un sistem instabil poate fi complet gestionabil și, dimpotrivă, un sistem stabil poate fi de negestionat. Controlabilitatea deplină înseamnă capacitatea de a stabiliza sistemul, de ex. capacitatea de a construi un sistem stabil în buclă închisă prin conectarea unui controler adecvat.
În cazul sistemelor neliniare și în prezența constrângerilor asupra controlului U (t), proprietatea de controlabilitate poate să nu fie îndeplinită în întreg spațiul fazelor, iar criteriile de controlabilitate includ unele condiții suplimentare. În special, s-a demonstrat că sistemul (1), în care asupra controlului sunt impuse constrângeri de formă
este complet controlabil în raport cu originea în întreg spațiul fazelor dacă este complet controlabil în absența constrângerilor și matricea A este stabilă, i.e. rădăcinile ecuației 
au părți reale negative.
Luați în considerare în continuare noțiunea de observabilitate. Pentru a gestiona un obiect, trebuie să aveți informații despre starea lui curentă, de exemplu. cunoașteți valoarea variabilelor de stare la un moment dat. Cu toate acestea, unele dintre variabile, fiind variabile abstracte care sunt introduse pentru comoditatea și caracterul complet al descrierii obiectului, nu au un analog fizic în obiect realși prin urmare nu poate fi măsurat. Nici derivatele de ordin superior utilizate ca coordonate de stare nu pot fi măsurate. Unele variabile sunt măsurate într-un obiect real, care formează vectorul Y al coordonatelor de ieșire. Vectorul Y este legat de o anumită dependență de vectorul de stare X. Prin urmare, se pune problema restabilirii valorilor curente ale variabilelor de stare din rezultatele monitorizării variabilelor de ieșire ale sistemului pe un interval de timp finit, precum și ca problema determinării condiţiilor în care este posibilă o astfel de restaurare. Soluția acestor probleme este conținutul problemei de observabilitate.
Luați în considerare un sistem liniar staționar
(5)
X - n - vector de stare dimensional;
U - m - vector de control dimensional;
Y - r este vectorul de ieșire dimensional, ale cărui componente sunt coordonatele reale de ieșire ale obiectului;
C, D sunt matrici constante de dimensiune și, respectiv.
Starea sistemului (5) se numește pe deplin observabilă dacă poate fi determinată fără ambiguitate din datele de măsurare Y (t) și U (t) pe un interval de timp finit. Sistemul (5) este numit pe deplin observabil dacă toate stările sale sunt observabile în orice moment.
Condițiile de observabilitate pentru sistemul liniar staționar (5) sunt formulate pe baza proprietăților algebrice ale unei perechi de matrice (A, C).
Pentru ca sistemul liniar staționar (5) să fie pe deplin observabil, este necesar și suficient ca matricea
avea un rang egal cu n. Dacă această condiție nu este îndeplinită (clasament), atunci sistemul nu este complet observabil. Dacă matricea A este diagonală și toate elementele sale diagonale sunt diferite, atunci sistemul este complet observabil cu condiția ca matricea C să nu conțină zero coloane.
Este cel mai ușor să judeci controlabilitatea și observabilitatea unui obiect dacă acesta model matematic prezentat în formă canonică.
De exemplu, luați în considerare un model matematic al unui obiect unidimensional sub formă de ecuații canonice de stare:
În formă scalară
În formă vectorială
Din aceste ecuații se poate observa că rezultatul obiectului U (t) nu afectează variabilele și. Prin urmare, variabilele nu sunt controlabile.
Numai variabilele de stare și sunt controlate.
Variabile și nu participă la formarea ieșirii Y (t). Indirect, prin variabile și, nici acestea nu afectează ieșirea Y (t). Prin urmare, variabilele nu sunt observabile la ieșire, ci doar variabilele de stare și sunt observabile.
Evident, atât variabila de stare controlată, cât și cea observabilă este:
Acest exemplu arată că, în general, modelul matematic al unui obiect poate avea patru părți:
1) o parte controlată, dar neobservabilă; 2) parte complet controlabilă și observabilă; 3) parte incontrolabilă și neobservabilă; 4) parte incontrolabilă, dar observabilă.
Luați în considerare două cazuri:
a) cazul controlabilității incomplete, dar observabilității complete.
Diagrama de mai jos arată că unele dintre coordonate 
influențele de intrare nu sunt afectate 
nici alte variabile 
... În acest caz, partea 2 a sistemului este imposibil de gestionat, dar observabilă.
b) cazul observabilităţii incomplete a sistemului, dar controlabilităţii complete
După cum puteți vedea, aici puteți găsi un astfel de sistem de coordonate încât unele dintre ele X (2) nu afectează variabilele de ieșire nici direct, nici prin alte variabile de stare X (1). În această schemă, partea 2 a sistemului este controlabilă, dar nu observabilă.
Pentru a determina controlabilitatea și observabilitatea sistemelor liniare cu feedback, care sunt împărțite în două subsisteme liniare (partea invariabilă - obiectul și controlerul), teorema Gilbert este foarte convenabilă.
Fie subsistemele liniare și formează un sistem cu părere conform diagramei structurale date. Lăsați conexiunea serială să reprezinte un sistem complet controlat și observabil, iar conexiunea serială un sistem negestionat, dar complet observabil. Atunci:
1) ordinea sistemului n este egală cu suma comenzi si, i.e. ; 2) o condiție necesară și suficientă pentru controlabilitatea (observabilitatea) unui sistem cu feedback este controlabilitatea (observabilitatea); 3) o condiție necesară, dar insuficientă pentru controlabilitatea (observabilitatea) unui sistem de feedback este controlabilitatea (observabilitatea) și și; 4) dacă u sunt controlabile (observabile), atunci oricare dintre coordonatele necontrolate (neobservabile) ale sistemului de feedback sunt coordonate necontrolabile (neobservabile) și sunt generate.
Importanța acestei teoreme constă în faptul că controlabilitatea și observabilitatea pot fi stabilite pe baza studiului subsistemelor deschise individuale.
În cazul sistemelor liniare, proprietatea de controlabilitate nu depinde de o anumită regiune din spațiul de stare.
În cazul sistemelor neliniare și în prezența restricțiilor asupra modulului vectorului de control U (t), controlabilitatea depinde de starea inițială a sistemului și de valorile componentelor vectorului de control.
Conceptele de controlabilitate și observabilitate considerate mai sus prezintă un mare interes în sinteza sistemelor optime.
Aparent, este nepotrivit să rezolvăm problema de sinteză sistem optim de acele coordonate de control, în raport cu care modelul este incontrolabil.
CU punct practic variabilele observabile vor fi cele care pot fi măsurate direct. Dacă orice variabilă este o funcție a variabilelor observabile fizic și a timpului, dar sunt necesare dispozitive de calcul complexe pentru a o calcula, atunci este considerată practic observabilă, deși este conform teoriei lui Kalman. Variabilele observabile în practică sunt acele variabile care pot fi măsurate direct, fără a folosi relațiile exprimate în ecuațiile obiectului. Această concluzie este importantă atunci când se rezolvă problema implementării legii de control optim.
