Definiție. Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt divizibile fără rest cel mai mare factor comun (mcd) aceste numere.
Găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 35.
Divizorii lui 24 vor fi numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 vor fi numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere sunt numite reciproc simple.
Definiție. Numerele naturale sunt numite reciproc simple dacă cel mai mare divizor comun al acestora (GCD) este 1.
Cel mai mare divizor comun (GCD) pot fi găsite fără a scrie toți divizorii numerelor date.
Factorizând numerele 48 și 36, obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în descompunerea primului dintre aceste numere, ștergeți-i pe cei care nu sunt incluși în descompunerea celui de-al doilea număr (adică doi doi).
Factorii rămân 2 * 2 * 3. Produsul lor este 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun al a trei sau mai multe numere.
A găsi cel mai mare factor comun
2) din factorii incluși în descompunerea unuia dintre aceste numere, ștergeți-i pe cei care nu sunt incluși în descompunerea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.
Dacă toate aceste numere sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare factor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al 15, 45, 75 și 180 este 15, deoarece toate celelalte numere sunt divizibile cu acesta: 45, 75 și 180.
Definiție. Cel mai puțin comun multiplu (LCM) numerele naturale a și b sunt numite cel mai mic număr natural, care este multiplu atât al lui a, cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, descompunem 75 și 60 în factori primi: 75 = 3 * 5 * 5 și 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Să scriem factorii incluși în descompunerea primului dintre aceste numere și să le adăugăm factorii lipsă 2 și 2 din descompunerea celui de-al doilea număr (adică, combinați factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun de 75 și 60.
Se găsește și cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.
La găsiți cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) descompune-le în factori primi;
2) notați factorii incluși în descompunerea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.
Rețineți că, dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun de 12, 15, 20 și 60 este 60, deoarece este divizibil cu toate aceste numere.
Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Număr, egală cu suma toți divizorii săi (fără numărul în sine), au numit numărul perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33 550 336. Pitagoricii știau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. NS. Al cincilea - 33 550 336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. În 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar până acum, oamenii de știință nu știu dacă există numere perfecte ciudate, dacă există cel mai mare număr perfect.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime se datorează faptului că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca produs al numerelor prime, adică numere prime sunt ca niște cărămizi din care sunt construite restul numerelor naturale.
Probabil ați observat că numerele prime dintr-o serie de numere naturale apar inegal - în unele părți ale seriei există mai multe dintre ele, în altele - mai puține. Dar cu cât mergem mai departe serie numerică, mai puțin frecvente sunt numerele prime. Se pune întrebarea: există un ultim (cel mai mare) număr prim? Matematicianul grec antic Euclid (sec. III î.Hr.) din cartea sa „Începuturi”, care a fost timp de două mii de ani principalul manual de matematică, a dovedit că există infinit multe prime, adică în spatele fiecărui prim există un număr prim și mai mare .
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec din același timp, Eratostene, a venit cu o astfel de metodă. A notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unitatea, care nu este nici primă, nici numar compus, apoi a tăiat toate numerele după 2 (numere care sunt multipli de 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi toate numerele după 3 (numere care sunt multipli de 3, adică 6, 9, 12 etc.) au fost tăiate după două. în cele din urmă, doar numerele prime au rămas neîncrucișate.
Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun sunt concepte aritmetice cheie care facilitează operarea pe fracțiuni. LCM și sunt cel mai des utilizate pentru a găsi numitorul comun al fracțiilor multiple.
Divizorul unui număr întreg X este un alt număr întreg Y care împarte X fără rest. De exemplu, divizorul lui 4 este 2, iar 36 este 4, 6, 9. Un multiplu întreg al lui X este numărul Y care este divizibil cu X fără rest. De exemplu, 3 este multiplu de 15, iar 6 este 12.
Pentru orice pereche de numere, putem găsi divizorii și multiplii lor comuni. De exemplu, pentru 6 și 9, multiplul comun este 18, iar divizorul comun este 3. Evident, perechile pot avea mai mulți divizori și multipli, prin urmare, cel mai mare divizor al GCD și cel mai mic multiplu al LCM sunt utilizați în calcule.
Cel mai mic divizor nu are sens, deoarece pentru orice număr este întotdeauna unul. Cel mai mare multiplu este, de asemenea, lipsit de sens, deoarece secvența multiplilor tinde spre infinit.
Există multe metode pentru a găsi cel mai mare divizor comun, dintre care cele mai faimoase sunt:
Astăzi la institutii de invatamant cele mai populare sunt metodele de factorizare primă și algoritmul euclidian. Acesta din urmă, la rândul său, este utilizat în rezolvarea ecuațiilor diofantine: căutarea GCD este necesară pentru a verifica ecuația pentru posibilitatea rezolvării acesteia în numere întregi.
Cel mai mic multiplu comun este, de asemenea, determinat de enumerarea sau factorizarea secvențială în factori indivizibili. În plus, este ușor de găsit LCM dacă cel mai mare divizor a fost deja determinat. Pentru numerele X și Y, LCM și GCD sunt legate de următoarea relație:
LCM (X, Y) = X × Y / GCD (X, Y).
De exemplu, dacă GCD (15.18) = 3, atunci LCM (15.18) = 15 × 18/3 = 90. Cel mai evident exemplu de utilizare a LCM este găsirea unui numitor comun, care este cel mai mic multiplu comun pentru fracțiile date.
Dacă o pereche de numere nu are divizori comuni, atunci o astfel de pereche se numește coprimă. GCD pentru astfel de cupluri este întotdeauna este egal cu unul, și pe baza conexiunii dintre divizori și multipli, LCM pentru coprimă este egal cu produsul lor. De exemplu, numerele 25 și 28 sunt relativ prime, deoarece nu au divizori comuni, iar MCM (25, 28) = 700, care corespunde produsului lor. Orice două numere indivizibile vor fi întotdeauna prime reciproce.
Divizor comun și calculator multiplu
Cu calculatorul nostru, puteți calcula GCD și LCM pentru un număr arbitrar de numere din care să alegeți. Sarcinile pentru calcularea divizorilor și multiplilor comuni se găsesc în aritmetică în clasele 5, 6, cu toate acestea, GCD și LCM sunt concepte cheie matematică și sunt utilizate în teoria numerelor, planimetrie și algebră comunicativă.
Cel mai puțin comun multiplu este folosit pentru a găsi numitorul comun al fracțiilor multiple. Să intrăm într-o problemă aritmetică este necesar să se adune 5 fracții:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Pentru a adăuga fracții, expresia trebuie redusă la un numitor comun, care se reduce la problema găsirii LCM. Pentru aceasta, selectați 5 numere în calculator și introduceți valorile numitorului în celulele corespunzătoare. Programul va calcula LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Acum trebuie să calculați factorii suplimentari pentru fiecare fracție, care sunt definiți ca raportul LCM la numitor. Astfel, factori suplimentari vor arăta ca:
După aceea, înmulțim toate fracțiile cu factorul suplimentar corespunzător și obținem:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Putem însuma cu ușurință astfel de fracții și putem obține rezultatul în forma 159/360. Reducem fracția cu 3 și vedem răspunsul final - 53/120.
Ecuațiile diofantine liniare sunt expresii ale formei ax + by = d. Dacă raportul d / mcd (a, b) este un număr întreg, atunci ecuația este rezolvabilă în numere întregi. Să verificăm câteva ecuații pentru soluții întregi. Mai întâi, verificați ecuația 150x + 8y = 37. Folosind calculatorul, găsiți GCD (150.8) = 2. Împărțiți 37/2 = 18.5. Numărul nu este un număr întreg, prin urmare, ecuația nu are rădăcini întregi.
Să verificăm ecuația 1320x + 1760y = 10120. Folosiți calculatorul pentru a găsi GCD (1320, 1760) = 440. Împărțiți 10120/440 = 23. Ca rezultat, obținem un număr întreg, prin urmare, ecuația diofantină este rezolvabilă în număr întreg coeficienți.
GCD și LCM joacă un rol important în teoria numerelor, iar conceptele în sine sunt utilizate pe scară largă în diferite domenii ale matematicii. Utilizați calculatorul nostru pentru a calcula cei mai mari divizori și cei mai mici multipli ai oricărui număr de numere.
Pentru a înțelege cum se calculează LCM, trebuie mai întâi să decideți asupra semnificației termenului „multiplu”.
Un multiplu al lui A este un număr natural care este divizibil cu A. Deci, multiplii de 5 pot fi considerați 15, 20, 25 și așa mai departe.
Divizorii unui anumit număr pot fi cantitate limitata, dar multiplii sunt infiniti.
Multiplicul comun al numerelor naturale este un număr care este divizibil cu ele fără rest.
Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor (două, trei sau mai multe) este cel mai mic număr natural care este divizibil cu toate aceste numere.
Există mai multe moduri de a găsi LCM.
Pentru numerele mici, este convenabil să scrieți toți multiplii acestor numere într-o linie până când există un comun între ele. Multiplii sunt desemnați în intrare cu o literă K.
De exemplu, multiplii de 4 se pot scrie astfel:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Astfel, puteți vedea că cel mai mic multiplu comun de 4 și 6 este 24. Această intrare este efectuată în felul următor:
LCM (4, 6) = 24
Dacă numerele sunt mari, găsiți multiplul comun de trei sau mai multe numere, atunci este mai bine să utilizați o altă metodă pentru calcularea LCM.
Pentru a finaliza sarcina, trebuie să descompuneți numerele propuse în factori primi.
Mai întâi trebuie să scrieți descompunerea celui mai mare dintre numerele dintr-o linie, iar dedesubt - restul.
În descompunerea fiecărui număr, poate fi prezent un număr diferit de factori.
De exemplu, să descompunem numerele 50 și 20 în factori primi.
În extinderea unui număr mai mic, ar trebui să subliniați factorii care sunt absenți în extinderea primului număr cel mai mare și apoi să îi adăugați la acesta. În exemplul prezentat, lipsește un doi.
Acum puteți calcula cel mai mic multiplu comun de 20 și 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Deci, produsul factorilor primi Mai mult iar factorii celui de-al doilea număr care nu sunt incluși în extinderea celui mai mare vor fi cel mai mic multiplu comun.
Pentru a găsi LCM de trei numere sau mai multe, toate acestea ar trebui descompuse în factori primi, ca în cazul precedent.
De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun de 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Deci, factorizarea unui număr mai mare în factori nu a inclus doar două două din factorizarea de șaisprezece (unul este în factorizarea de douăzeci și patru).
Astfel, acestea trebuie adăugate la extinderea numărului mai mare.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Există cazuri speciale de determinare a celui mai mic multiplu comun. Deci, dacă unul dintre numere poate fi împărțit fără rest cu altul, atunci cel mai mare dintre aceste numere va fi cel mai mic multiplu comun.
De exemplu, LCM de douăsprezece și douăzeci și patru ar fi douăzeci și patru.
Dacă trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor coprimă care nu au aceiași divizori, atunci LCM-ul lor va fi egal cu produsul lor.
De exemplu, LCM (10, 11) = 110.
Pentru a afla cum să găsiți cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere, trebuie să înțelegeți ce sunt numerele naturale, prime și complexe.
Orice număr utilizat la numărarea obiectelor întregi se numește natural.
Dacă un număr natural poate fi împărțit numai prin el însuși și unul, atunci se numește prim.
Toate numerele naturale pot fi împărțite între ele și unul, dar singurul număr prim par este 2, restul pot fi împărțite la două. Prin urmare, numai numerele impare pot fi prime.
Există o mulțime de numere prime lista completă nu există. Pentru a găsi GCD este convenabil de utilizat mese speciale cu astfel de numere.
Majoritatea numerelor naturale pot fi divizate nu numai cu unul singur, ci și cu alte numere. De exemplu, numărul 15 poate fi împărțit la 3 și 5. Toți aceștia sunt numiți divizori ai numărului 15.
Astfel, divizorul oricărui A este un număr prin care poate fi împărțit fără rest. Dacă un număr are mai mult de doi divizori naturali, se numește compozit.
Numărul 30 se poate distinge prin factori precum 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Puteți vedea că 15 și 30 au aceiași divizori 1, 3, 5, 15. Cel mai mare divizor comun al acestor două numere este 15.
Astfel, divizorul comun al numerelor A și B este un număr prin care acestea pot fi complet împărțite. Maximul poate fi considerat maxim numărul total, în care le puteți împărți.
Pentru rezolvarea problemelor, se folosește următoarea inscripție prescurtată:
GCD (A; B).
De exemplu, GCD (15; 30) = 30.
Pentru a nota toți divizorii numar natural, notația se aplică:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
GCD (9; 15) = 1
V acest exemplu numerele naturale au un singur divizor comun. Ele sunt numite, respectiv, coprimă și este cel mai mare divizor comun al acestora.
Pentru a găsi cel mai mic număr numeric, aveți nevoie de:
Găsiți toți divizorii fiecărui număr natural separat, adică factorizați-i în factori (numere prime);
Selectați toți aceiași factori pentru numerele date;
Înmulțiți-le împreună.
De exemplu, pentru a calcula cel mai mare divizor comun al lui 30 și 56, ai scrie următoarele:
Pentru a nu vă confunda cu, este convenabil să notați multiplicatorii folosind coloane verticale. În partea stângă a liniei, trebuie să plasați dividendul, iar în dreapta - divizorul. Coeficientul rezultat trebuie indicat sub dividend.
Deci, în coloana din dreapta vor fi toți factorii necesari soluției.
Divizorii identici (factori găsiți) pot fi accentuați pentru comoditate. Acestea ar trebui rescrise și multiplicate și cel mai mare divizor comun scris.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Acesta este cât de ușor este să găsești de fapt cel mai mare divizor comun al numerelor. Cu puțină practică, acest lucru se poate face aproape automat.
Să începem să studiem cel mai mic multiplu comun de două sau mai multe numere. În această secțiune, vom da o definiție a termenului, vom considera o teoremă care stabilește o legătură între cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun și vom da exemple de rezolvare a problemelor.
În acest subiect, ne vor interesa numai multipli comuni ai unor numere întregi care nu sunt zero.
Definiția 1
Multiplu comun de numere întregi Este un număr întreg care este multiplu al tuturor numerelor date. De fapt, este orice număr întreg care poate fi împărțit la oricare dintre numerele date.
Definiția multiplilor comuni se referă la doi, trei sau mai mulți numere întregi.
Exemplul 1
Conform definiției date mai sus pentru numărul 12, multiplii comuni sunt 3 și 2. De asemenea, numărul 12 va fi un multiplu comun al numerelor 2, 3 și 4. Numerele 12 și - 12 sunt multipli comuni ai numerelor ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12.
În același timp, multiplul comun pentru numerele 2 și 3 va fi numerele 12, 6, - 24, 72, 468, - 100 010 004 și întreaga linie oricare altii.
Dacă luăm numere care sunt divizibile cu primul număr dintr-o pereche și care nu sunt divizibile cu al doilea, atunci astfel de numere nu vor fi multipli comuni. Deci, pentru numerele 2 și 3 numerele 16, - 27, 5 009, 27 001 nu vor fi multipli comuni.
0 este un multiplu comun al oricărui set de numere întregi nenule.
Dacă ne reamintim proprietatea divizibilității cu privire la numerele opuse, atunci se dovedește că un număr întreg k va fi un multiplu comun al acestor numere, la fel ca numărul - k. Aceasta înseamnă că factorii comuni pot fi atât pozitivi, cât și negativi.
Multiplicul comun poate fi găsit pentru orice număr întreg.
Exemplul 2
Să presupunem că ni se dă k numere întregi a 1, a 2, ..., a k... Numărul pe care îl obținem în timpul multiplicării numerelor a 1 · a 2 ·… · a k conform proprietății de divizibilitate, va fi împărțit la fiecare dintre factorii care au fost incluși în produsul original. Aceasta înseamnă că produsul numerelor a 1, a 2, ..., a k este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
Un grup de numere întregi poate avea un numar mare de multipli comuni. De fapt, numărul lor este infinit.
Exemplul 3
Să presupunem că avem un număr k. Atunci produsul numerelor k · z, unde z este un număr întreg, va fi un multiplu comun al lui k și z. Având în vedere că numărul de numere este infinit, atunci numărul multiplilor comuni este infinit.
Să reamintim conceptul celui mai mic număr dintr-un set dat de numere, pe care l-am luat în considerare în secțiunea „Compararea numerelor întregi”. Luând în considerare acest concept, formulăm definiția celui mai mic multiplu comun, care are cea mai mare valoare practică dintre toți multiplii comuni.
Definiția 2
Cel mai mic multiplu comun de date întregi Este cel mai puțin multiplu comun pozitiv al acestor numere.
Cel mai mic multiplu comun există pentru un număr dat de numere. Abrevierea NOC este cea mai frecvent utilizată pentru a desemna un concept în literatura de referință. Scurtă intrare cel mai mic multiplu comun de numere a 1, a 2, ..., a k va arăta ca NOC (a 1, a 2, ..., a k).
Exemplul 4
Cel mai mic multiplu comun de 6 și 7 este 42. Acestea. LCM (6, 7) = 42. Cel mai mic multiplu comun dintre cele patru numere 2, 12, 15 și 3 va fi 60. Intrarea scurtă va arăta ca LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.
Cel mai mic multiplu comun nu este evident pentru toate grupurile de numere date. De multe ori trebuie calculat.
Cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun sunt legate. Relația dintre concepte este stabilită de teoremă.
Teorema 1
Cel mai mic multiplu comun al a două numere întregi pozitive a și b este egal cu produsul lui a și b împărțit la cel mai mare divizor comun al lui a și b, adică LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
Dovada 1
Să presupunem că avem un număr M, care este un multiplu al lui a și b. Dacă numărul M este divizibil cu a, există și un număr întreg z , sub care egalitatea M = a k... Conform definiției divizibilității, dacă M este divizibil cu b, deci a k impartit de b.
Dacă introducem o nouă notație pentru gcd (a, b) ca d, atunci putem folosi egalitățile a = a 1 dși b = b 1 d. Mai mult, ambele egalități vor fi numere prime reciproce.
Am stabilit deja mai sus a k impartit de b... Acum această condiție poate fi scrisă după cum urmează:
a 1 d k impartit de b 1 d, care este echivalent cu condiția a 1 k impartit de b 1 după proprietățile divizibilității.
Conform proprietății numerelor coprimă, dacă a 1și b 1- numere coprimă, a 1 nedivizibil cu b 1 in ciuda faptului ca a 1 k impartit de b 1, atunci b 1 ar trebui să împărtășească k.
În acest caz, ar fi potrivit să presupunem că există un număr t, pentru care k = b 1 tși de atunci b 1 = b: d, atunci k = b: d t.
Acum, în loc de kînlocuitor în egalitate M = a k expresie ca b: d t... Acest lucru ne permite să ajungem la egalitate M = a b: d t... La t = 1 putem obține cel mai mic multiplu comun pozitiv al lui a și b , egal a b: d, cu condiția ca numerele a și b pozitiv.
Așa am demonstrat că LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
Stabilirea unei conexiuni între LCM și GCD vă permite să găsiți cel mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere date.
Definiție 3
Teorema are două consecințe importante:
Nu este dificil să fundamentăm aceste două fapte. Orice multiplu comun M al numerelor a și b este determinat de egalitatea M = LCM (a, b) t pentru o valoare întreagă a t. Deoarece a și b sunt coprimă, atunci GCD (a, b) = 1, prin urmare, LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) = a b: 1 = a b.
Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al mai multor numere, este necesar să se găsească secvențial LCM-ul a două numere.
Teorema 2
Să ne prefacem asta a 1, a 2, ..., a k Sunt niște numere întregi pozitive. Pentru a calcula LCM m k dintre aceste numere, trebuie să calculăm secvențial m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NOC(m 2, a 3),…, m k = NOC(m k - 1, a k).
Dovada 2
Primul corolar al primei teoreme luate în considerare în acest subiect ne va ajuta să dovedim validitatea celei de-a doua teoreme. Raționamentul se bazează pe următorul algoritm:
Așa am demonstrat teorema.
Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter
