Standardna opredelitev: "Vektor je usmerjen segment." Običajno je to omejeno na znanje o diplomi glede vektorjev. Kdo potrebuje nekaj "usmerjenih segmentov"?
In v resnici, kakšni so vektorji in zakaj?
Vremenska napoved. "Veter je severozahodna, hitrost 18 metrov na sekundo." Strinjam se, smer vetra (kjer piha iz) in modul (to je absolutna vrednost) njene hitrosti.
Vrednosti, ki nimajo navodil, se imenujejo skalarni. Masa, delo, električna naboja nikakor ni usmerjena. Za njih so značilne samo numerične vrednosti - "Koliko kilogramov" ali "Koliko Joule".
Fizične količine, ki nimajo samo absolutna vrednostToda smer se imenuje vektor.
Hitrost, moč, pospeševanje - vektorji. Za njih je pomembno "Koliko" in pomembno "kje". Na primer, pospešek prostega padca Površena na površino zemlje in njena vrednost je 9,8 m / s 2. Pulse, električna polja, indukcija magnetno polje - tudi vektorske vrednosti.
Spomnite se fizične količine Označljite s črkami, latinščino ali grško. Arroko nad črko kaže, da je vrednost vektor:
Tukaj je še en primer.
Avto se premika iz a v b. Končni rezultat. - Njegovo gibanje iz točke A do točke B, ki se premika na vektor.
Zdaj je jasno, zakaj je vektor usmerjen segment. Opomba, konec vektorja je puščica. Dolžino vektorat. Imenovan dolžino tega segmenta. Označuje: Or.
Do sedaj smo delali s skalarnimi vrednotami, v skladu s pravili aritmetične in osnovne algebre. Vektorji - nov koncept. To je še en razred matematičnih predmetov. Za njih, njihova lastna pravila.
Ko ne poznamo številk. Znanciranje z njimi se je začelo v junijskih razredih. Izkazalo se je, da se številke lahko primerjamo med seboj, zložite, odbije, množi in razdeli. Naučili smo se, da je številka ena in številka nič.
Sedaj se seznanimo z vektorjem.
Koncepti "več" in "manj" za vektorje ne obstajajo - lahko so različne smeri. Lahko primerjate le dolžine vektorjev.
Toda koncept enakosti za vektorje je.
Enako Vektorji, ki imajo enake dolžine in isto smer, se imenujejo. To pomeni, da se vektor lahko prenese vzporedno s seboj kjerkoli v ravnini.
Sam Imenovan vektor, katerega dolžina je enaka 1. Nič - vektor, dolžina, ki je nič, to je, njegov začetek sovpada s koncem.
Najprimernejši je delati z vektorjem v pravokotnem koordinatnem sistemu - zelo v katerem narisamo grafe funkcij. Vsaka točka v koordinatnem sistemu ustreza dvema številkama - njene koordinate X in Y, abscisa in ordinate.
Vektor določa tudi dve koordinat:
Tukaj v oklepajih je zabeležila koordinate vektorja - z X in na y.
Preprosto so: koordinatni konec vektorja minus koordinata njegovega začetka.
Če so navedene vektorske koordinate, se njegova dolžina nahaja s formulo
Za dodajanje vektorjev obstajata dva načina.
Ena. Pravilo paralelogram. Če želite zložiti vektorje in, smo začeli obema na eni točki. Dokončana boste na paralelogram in iz iste točke izvajamo diagonalo paralelograma. To bo vsota vektorjev in.
Se spomnite sponke o Swan, raku in ščuki? Poskušali so zelo veliko, vendar se nikoli niso premaknili iz scene. Konec koncev, vektorska vsota sil, pritrjenih na avto, je bila nič.
2. \\ T Drugi način dodajanja vektorjev je pravilo trikotnika. Vzemite iste vektorje in. Do konca prvega vektorja sem priložil začetek drugega. Zdaj povežite začetek prvega in konca drugega. To je vsota vektorjev in.
Na enak način se lahko zloži več vektorjev. Dodamo jih enega za drugim in nato združite začetek prvega s koncem slednjega.
Predstavljajte si, da greste iz točke A do odstavka B, od B C, od C v D, nato v E in F. Končni rezultat teh ukrepov se premika iz a v f.
Pri dodajanju vektorjev in dobite:
Vektor se pošlje na nasprotni vektor. Dolžine vektorjev so enake.
Zdaj je jasno, kaj odštevanje vektorjev. Razlika vektorjev je vsota vektorja in vektorja.
Ko vektor, ki pomnoži številko K, se pridobljen vektor, katerega dolžina se razlikuje od dolžine. Prevlečena je z vektorjem, če je k večji, in je usmerjen nasproti, če je K manjši od nič.
Vektorji se lahko pomnožijo ne le v številkah, ampak tudi drug na drugega.
Skalarni produkt vektorjev je produkt dolžin vektorjev na kosinu vogala med njimi.
Opomba - Premaknili dva vektorja in izkazalo se je skalarna, to je številka. Na primer, v fiziki je mehansko delo enako skalarni proizvodu dveh vektorjev - sil in gibanja:
Če so vektorji pravokotni, je njihov skalarni izdelek nič.
In tukaj je skalarni izdelek, izražen s koordinatami vektorjev in:
Od formule za skalarni izdelek lahko najdete kot med vektorji:
Ta formula je še posebej priročna v stereometriji. Na primer, v opravilu 14 od izpita profila v matematiki, morate najti kot med navzkrižjo navzven ali med ravnim in ravnino. Pogosto vektorska metoda Naloga 14 je rešena večkrat hitreje kot klasična.
V šolskem programu v matematiki se preučuje le skalarni produkt vektorjev.
Izkazalo se je, da je, razen za skalarno, je tudi vektorski izdelek, ko je vektor posledica pomnožljivih vektorjev. Ki daje Ege fizike , ve, kakšna moč Lorenta in moči amperja. Formula za iskanje teh sil vključuje vektorsko umetnost.
Vektorji - Koristni matematični instrument. V tem boste videli za prvo leto.
Uporaba vektorskih vektorjev
za izračun kvadratja
nekaj geometrijske številke
Raziskave matematika
Študent 10 B razred
MOU SOSH №73.
Uradniki:
Pomočnik kavarne. Matematična analiza mehanske in matematične fakultete SSU. N.g. Chernyshevsky Berdnikov Gleb SergeEVich
Saratov, 2015.
Uvod
1. Teoretični pregled.
1.1. Vektorji in izračuni z vektorji.
1.2. Uporaba skalarnega produkta vektorjev v naloge
1.4. Vektorska dela vektorjev v tridimenzionalnem evklidskem prostoru: definicija koncepta.
1.5. Koordinate vektorja Dela vektorjev.
2. Praktični del.
2.1. Komunikacija vektorske umetnosti s površino trikotnika in paralelogram. Nesoglasje s formulo in geometrijski pomen vektorskega vektorja.
2.2. Poznavanje samo koordinat točk najdete območje trikotnika. Dokazilo o izreku
2.3. Preverjanje na primerih pravilnosti formule.
2.4. Praktična uporaba Vektor algebre in dela vektorjev.
Zaključek
Uvod
Kot je znano, imajo številne geometrijske naloge dva ključna načina za reševanje grafične in analitične. Grafična metoda Povezan je z gradnjo grafov in risb, analitične pa za reševanje problemov, predvsem s pomočjo algebrskih ukrepov. V zadnji primer Algoritem za reševanje problemov je povezan z analitično geometrijo. Analitična geometrija je področje matematike, ali precej linearno algebro, ki meni, da je rešitev geometrijskih problemov s pomočjo algebre na podlagi metode koordinat na ravnini in v prostoru. Analitična geometrija vam omogoča, da analizirate geometrijske slike, raziščejo linije in površine, pomembne za praktične aplikacije. Hkrati se v tej znanosti, vektorsko umetniško delo vektorjev včasih uporablja za širitev prostorskega razumevanja oblik.
V povezavi z Široka porazdelitev Tridimenzionalne prostorske tehnologije, študija lastnosti nekaterih geometrijskih oblik z uporabo vektorskega izdelka se zdi pomembna.
V zvezi s tem je bil cilj označen ta projekt. - Uporaba vektorskega produkta vektorjev za izračun območja nekaterih geometrijskih oblik.
V zvezi s ciljem je bil rešen naslednje naloge:
1. teoretično preuči potrebne osnove vektorske algebre in opredelitev vektorskega produkta vektorskih vektorjev v koordinatnem sistemu;
2. Analizirajte prisotnost vezave vektorskega produkta s površino trikotnika in paralelogramom;
3. izpeljati formulo območja trikotnika in paralelogram v koordinatah;
4. Preverite posebni primeri lojalnost izpeljene formule.
1. Teoretični pregled.
Vektorji in izračuni z vektorji
Smer smernega segmenta, za katerega je naveden začetek in konec:
V ta primer Začetek segmenta je točka Zvezek, rezanje - točka V. Vektor je prikazan skozi 
ali 
. Da bi našli vektorske koordinate , Poznavanje koordinat svojih začetnih točk A in končne točke B je potrebna od koordinat končne točke, da se odštejejo ustrezne koordinate izhodišča: \\ t
= {
B.
x.
- A.
x.
; B.
y.
- A.
y.
}
Collinearies se imenujejo vektorji, ki ležijo na vzporednem ravnem ali na eni ravni liniji. V tem primeru je vektorski segment, označen z dolžino in smerjo.
Dolžina smernega segmenta določa numerična vrednost Vektor in imenovan vektor dolžina ali vektorski modul.
Dolžina vektorja || V pravokotnih demarskih koordinatah je enako kvadratnim korenom iz vsote kvadratov svojih koordinat.
Z vektorjem lahko naredite različne ukrepe.
Na primer, dodatek. Če jih zložite, morate najprej držati drugega vektorja od konca prvega, nato pa povežite začetek prvega s koncem drugega (sl. 1). Vsota vektorjev je še en vektor z novimi koordinatami.
Vsota vektorjev = {a. x. ; A. y. ) JAZ. 
= {b. x. ; B. y. ) Lahko najdete naslednja formula.:
+
\u003d (A.
x.
+ B.
x.
; A.
y.
+ B.
y.
}
Sl. 1. Ukrepi z vektorjem
Navadni vektorji, morate najprej preživeti od ene točke, nato pa povežite konec sekunde s koncem prvega.
Vektorska razlika = {a. x. ; A. y. ) JAZ. 
= {b. x. ; B. y. }
lahko najdete s formulo:
-
= {
a.
x.
- B.
x.
; A.
y.
- B.
y.
}
Tudi vektorji se lahko pomnožijo s številko. Rezultat bo tudi vektor, ki je v K-času več (ali manj) tega. Njegova smer bo odvisna od znaka K: s pozitivnim K, vektorji so soorganirani in z negativnim - nasprotno usmerjeno.
Delo Vector. = {a. x. ; A. y. }
In številko K lahko najdete z naslednjo formulo:
k · \u003d (K. · A.
x.
; k · A.
y.
}
Ali je mogoče vektor pomnožiti na vektor? Seveda, celo dve možnosti!
Prva možnost je skalarni izdelek.
Sl. 2. Skalarni izdelek v koordinatah
Če želite najti produkt vektorjev, lahko uporabite kot med vektorji podatkov, prikazani na sliki 3.
S formulo iz tega sledi, da je skalarni izdelek enak proizvodu teh dolžin vektorjev na kozinu kota med njimi, njegov rezultat je številka. Pomembno je, da če so vektorji pravokotni, je njihov skalarni izdelek nič, ker kozin neposreden kot med njimi enaka nič..
V koordinatni ravnini ima vektor tudi koordinate.V celo število, njihove koordinate in skalarni izdelek je najbolj udobne metode Izračuni kota med ravnimi (ali njihovimi segmenti), če je vnesen koordinatni sistem. In če koordinate 
, njihov skalarni izdelek je enak:
V tridimenzionalnem prostoru so 3 osi in, zato bodo točke in vektorji v takšnem sistemu 3 koordinat, in skalarni produkt vektorjev se izračuna s formulo:
1.2. Vektor umetni del vektorjev v tridimenzionalnem prostoru.
Druga izvedba vektorjev je vektorski izdelek. Toda tako, da ni več letalo, ampak tridimenzionalni prostor, v katerem imata začetek in konec vektorja 3 koordinate.
V nasprotju s skalarnim produktom vektorjev v tridimenzionalnem prostoru, operacija "Vector Multilator" vodi do drugega rezultata. Če je bil v prejšnjem primeru skalarna množenje dveh vektorjev, je bil rezultat številka, nato pa v primeru multiplikacije vektorja vektorjev, bo rezultat še en vektor, pravokotno na oba vektorja, ki sta vstopila v delo. Zato se ta produkt vektorjev imenuje vektor.
Očitno pri gradnji nastalega vektorja 
pravokotno na obe, ki je vstopilo v delo - in se lahko izbereta dva nasprotne smeri. Hkrati je smer nastale vektorja Določen s pravilom desna rokaali pravilo brouckatorja. Če narišete vektorje, tako da se njihovi začenjajo sovpadajo in zavrtijo prvi vektor na najkrajšem načinu do drugega maternice, in štirje prsti desne roke so pokazali smer vrtenja (kot da pokriva a Vrtenje valja), nato palec prst prikazuje smer vektorska dela (sl. 7).
Sl. 7. Pravilo za desno roko
1.3. Lastnosti vektorskega umetniškega dela.
Dolžina vektorjev rezultatov je določena s formulo
.
Kjer 
Vektor umetnost. Kot je navedeno zgoraj, bo nastali vektor pravokoten 
In njena smer je določena s pravilo desne roke.
Vektorski izdelek je odvisen od vrstnega reda faktorjev, je:
Vektorski produkt vektorskih vektorjev je 0, če so kolineza, potem bo vogal sinus med njimi 0.
Izražene so koordinate vektorjev v tridimenzionalnem prostoru na naslednji način:.. Nato koordinate vektorjev rezultatov najdemo s formulo
Dolžina nastalega vektorja je s formulo:
.
2. Praktični del.
2.1. Komunikacija vektorske umetnosti s površino trikotnika in paralelogram v ravnini. Geometrijski pomen vektorskih vektorskih vektorjev.
Daj nam trikotnik ABC (Sl. 8). To je znano.
dolžina vektorskega produkta vektorjev je enaka podvojenemu območju trikotnika, ki ima strani vektorjev in, če so preložene iz ene točke.
Z drugimi besedami, dolžina vektorskega produkta vektorjev in je enaka območju paralelama, Vgrajen vektorjein S stranicami in kotom med njimi je enak.
Sl. 9. Geometrijski pomen vektorskih vektorjev
V zvezi s tem lahko vodimo še eno opredelitev vektorskih vektorjev :
Vektorski izdelki vektor. Vektor se imenuje vektor 
, katerih dolžina je numerično enaka območju paralelograma, zgrajenega v vektorjih in, pravokotno na ravnino teh vektorjev in usmerjeno, tako da je najmanjša rotacija od Na okoli vektorja Izvedena je bila v nasprotni smeri urinega kazalca, če jo gledamo od konca vektorja (sl. 10).
Sl. 10. Določanje vektorskih vektorjev
z uporabo paralelama
2.2. Izhod formule za iskanje območja trikotnika v koordinatah.
Torej, dobimo trikotnik ABC v letalu in koordinate njegovih vozlišč. Našli bomo območje tega trikotnika (Sl. 11).
Sl. 11. Primer reševanja problema, da bi našli območje trikotnika s koordinatami njegovih vozlišč
Sklep.
Za začetek, upoštevamo koordinate tock v prostoru in izračunajo koordinate vektorjev AV in AU.
Za to pred formulo izračunamo koordinate svoje vektorske umetnosti. Dolžina tega vektorja je 2 kvadratov ABC trikotnika. Območje trikotnika je enako 10.
Poleg tega, če pogledamo trikotnik na letalu, bodo prva 2 koordinata vektorskega izdelka vedno nič, tako da lahko formuliramo naslednje teorem.
Theorem: Naj ABC trikotnik in koordinate njegovih vozlišč (Sl. 12).
Potem.
Sl. 12. Dokazilo o izreku
Dokaz.
Razmislite o točkah v prostoru in izračunajte koordinate vektorjev Sonca in Ba. . Glede na spodnjo formulo izračunamo koordinate vektorskega produkta teh vektorjev. Obvestimo, da vsi člani, ki vsebujejoz.1 Or. z.2, enaka 0, ker z.1. z.2 \u003d 0. Odstranite !!!
Torej, torej,
2.3. Preverjanje pravilnosti formule na primerih
Poiščite območje trikotnika, ki ga tvorijo vektorji a \u003d (-1; 2; -2) in b \u003d (2; 1; -1).
Sklep: Našli smo vektorski produkt teh vektorjev:
a. × B \u003d
I (2 · (-1) - (-2) · 1) - J ((- 1) · (-1) - (-2) · 2) + K ((- 1) · 1 - 2 · 2) \u003d.
I (-2 + 2) - J (1 + 4) + K (-1 - 4) \u003d -5 J - 5 K \u003d (0, -5; -5)
Iz lastnosti vektorskega dela:
Sδ \u003d
| × B | \u003d.
√ 02 + 52 + 52 =
√ 25 + 25 =
√ 50 =
5√ 2
Odgovor: SΔ \u003d 2.5√2.
2.4. Aplikacije Vector Algebra.
in skalarno in vektorsko umetniško delo.
Kje potrebujete vektorje? Vektorski prostor in vektorji nosite ne le teoretični značaj, temveč tudi povsem resnično praktična uporaba v sodobni svet.
V mehaniki in fiziki številne vrednosti nimajo samo številčne vrednosti, ampak tudi smer. Takšne vrednosti se imenujejo vektor. Skupaj z uporabo osnovnih mehanskih konceptov, ki se zanašajo na njihov fizični pomen, se številni vrednosti štejejo za drsne vektorje, njihove lastnosti pa so opisane kot aksiomi, kot je bil sprejet v teoretični mehaniki in s pomočjo matematičnih lastnosti vektorjev. Večina svetli primeri Vektorske količine so hitrost, impulz in moč (sl. 12). Na primer, trenutek impulza in lorentz moč matematično posneta z uporabo vektorjev.
V fiziki, ne samo vektor so pomembni, ampak njihova dela, ki pomagajo izračunati nekatere vrednote so prav tako pomembni. Vektorski izdelek je uporaben za določanje kolinearnosti vektorjev Vektorski produktni modul dveh vektorjev je enak produktu njihovih modulov, če so pravokotni, in se zmanjša na nič, če so vektorji prevlečeni ali nasprotno usmerjeni.
Drug primer: Za izračun dela na spodnji formuli se uporablja skalarni izdelek, kjer je F moč vektor, in S je vektor gibanja.
Primer uporabe umetniškega dela vektorjev je trenutek sile, ki je enak produktu radija-vektorja, porabljenega na osi vrtenja do točke uporabe sile, vektorja te sile.
Velik del tega, kar se izračuna v fiziki glede na pravilo desne roke, je vektorski izdelek. Poiščite potrditve, da prinesejo primere.
Omeniti je treba, da dvodimenzionalni in tridimenzionalni prostor nista izčrpana možne možnosti Vektorski prostori. Višja matematika upošteva prostore večje dimenzije, ki opredeljujejo tudi analog formul za skalarno in vektorsko umetnost. Kljub dejstvu, da so prostori večje razsežnosti kot 3, človeška zavest ne morejo si vizualno predstavljati neverjetno Poiščite aplikacije na številnih področjih znanosti in industrije.
Hkrati pa rezultat vektorskega produkta vektorjev v tridimenzionalnem evklidskem prostoru ni številka, temveč je posledica vektorja s koordinatami, smeri in dolžino.
Smer nastale vektorja se določi s pravilo desne roke, ki je ena najbolj neverjetnih določb analitične geometrije.
Vektorsko umetnino vektorjev se lahko uporablja pri iskanju območja trikotnika ali paralelograma v skladu z določenimi koordinatami vozlišč, ki je bila potrjena z odstranitvijo formule, dokazilo o terenu in raztopini praktične naloge.
Vektorji se pogosto uporabljajo v fiziki, kjer se takšni kazalniki kot hitrost, impulzni in močjo lahko zastopajo kot vektorske količine in se izračunajo geometrično.
Seznam uporabljenih virov
Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. B. in drugi. Geometrija. 7-9 Razredi: Vadnica za splošne izobraževalne organizacije. M.:, 2013. 383 str.
Atanasyan L.S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. B. in drugi. Geometrija. 10-11 Razredi: Vadnica za splošne izobraževalne organizacije: osnovne in profilne ravni. M.:, 2013. 255 str.
Bugrov ya.s., Nikolsky S.M. Višja matematika. Glasnost: Elementi linearne algebre in analitične geometrije.
TENIC D.V. Zbiranje nalog po analitični geometriji. M.: Znanost, Fizmatlit, 1998.
Analitična geometrija.
Matematika. Detelja.
Učenje matematike na spletu.
http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/
Spletna stran V. Koknev.
http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm.
Wikipedija.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5 De%F2%Ee%F0%ED%EEF%E5_%EF%F0%EEFE%E8%E7%E2%E5%E4%E5 % E8% E5
Če, na primer, v mestu 45 tisoč prebivalcev, nato 450 ljudi sestavljajo eno P. prebivalstvo. Recimo, da je nekaj podjetja porabljena 20 tisoč rubljev. in čisti prihodki Dobimo 3 tisoč rubljev. V tem primeru je dohodek 15/100 delov ... ... Enciklopedijski slovar f.a. Brockhaus in i.a. Efron.
JAZ. žene. Po zemlji. Stoth II adj. . Zelo majhen, manjši, majhen del, delež nečesa. III številke. . Del, ki je bila prejeta od deljenja nič na sto enaki deli; Sto. Pojasnilo EFREMOVA. T. F. EFREMOVA. 2000 ... Moderna slovar Ruski jezik EFREMOVA.
JAZ. žene. Po zemlji. Stoth II adj. . Zelo majhen, manjši, majhen del, delež nečesa. III številke. . Del, delež, pridobljen iz deljenja karkoli na sto enakih delov; Sto. Pojasnilo EFREMOVA. T. F. EFREMOVA. 2000 ... Sodoben pojasnjevalni slovar ruskega jezika
Stoti del odstotka v takih enotah je narejen za merjenje razlike v obrestne mere. Na primer, če se obrestna mera povečala z 10,4% na 10,8%, se je spremenila na 40 osnovnih točk ... Enciklopedijski slovar ekonomije in zakona
Točka, basic. - stoti del odstotka; Kazalnik, uporabljen za označevanje razlike v obrestnih merah dohodka vrednostni papirji itd. Na primer, če zakladnica Prinaša dohodek na 7,17%, cena pa se spreminja, tako da zdaj prinaša ... ... Veliki ekonomski slovar
osnove. - Koča del odstotka. V takih enotah je običajno označiti, izmeriti razliko v obrestnih merah. Na primer, če se obrestna mera povečala s 6,2% na 6,5%, se je spremenila na 20 bazičnih točk ... Slovar ekonomskih smislu
Odstotek - Sota del nečesa, označuje% ... Popularni politični slovar
Seznam merskih enot denarne vsoteenako določeno delnico Osnovno monetarna enota (Valute). Praviloma so to kovanci, manj pogosti bankovci ali nimajo fizična oblika enote za nesrečeki se uporabljajo za majhne izračune in se imenujejo ... ... Wikipedija
- (Lat.). Slika, kar pomeni dobiček ali pristojbino s stotinami. V kemiji: izražena v številkah komponentni deli Snovi. V statistiki: Odnos prebivalstva, itd Slovar tujih besed, ki so del ruskega jezika. Chudinov ... Slovar tujih besed ruskega jezika
