Câștig procentual simplu și complex. Metodologie de rezolvare a problemelor de creștere procentuală simplă și complexă. Bine de știut - Document

V Bancă de economii Rusia pentru unele tipuri de depozite acceptate următorul sistem acumulare de bani. Pentru primul an de constatare suma depusa 40% din acesta este creditat în cont. La sfârșitul anului, deponentul poate retrage acești bani din cont - „dobândă”, așa cum se numesc de obicei.

Dacă nu a făcut-o, atunci ei se alătură contribuția inițială, și prin urmare, la sfârșitul anului viitor, bancă percepe 40% pentru o sumă nouă, majorată. Cu alte cuvinte, cu un astfel de sistem, banca este taxată pentru o sumă nouă, mărită. Cu alte cuvinte, într-un astfel de sistem, se calculează „dobânda la dobândă” sau, așa cum se numesc de obicei, complex interes.

Să calculăm câți bani va primi deponentul în 3 ani dacă a depus 1000 de ruble în contul de urgență din bancă. și nu va lua niciodată bani din cont:

40% din 1000 de ruble. sunt 0,4 * 1000 = 400 de ruble și, prin urmare, într-un an în contul său va exista

1000 + 400 = 1400 (frecare)

40% reducere sumă nouă 1400 RUB sunt 0,4 * 1400 = 560 de ruble și, prin urmare, în 2 ani în contul său va exista

1400 + 560 = 1960 (frec.)

40% din noua sumă 1960 de ruble. sunt 0,4 * 1960 = 784 ruble și, prin urmare, după 3 ani, contul său va fi

1960 + 784 = 2744 (frec.)

Nu este greu de imaginat cât de mult cu o astfel de directă " frontal»Calculul ar dura timp pentru a găsi suma depozitului în 10 ani. Între timp, numărarea se poate face mult mai ușor.

Exact un an mai târziu suma initiala va crește cu 40%, adică va fi de 140% din cea inițială, sau, cu alte cuvinte, va crește de 1,4 ori. Anul viitor, suma nouă, deja crescută, va crește și ea cu același 40%. Prin urmare, după 2 ani, suma inițială va crește cu 1,4 * 1,4 = 1,4 de 2 ori.

Într-un alt an, această sumă va crește de 1,4 ori, astfel încât suma inițială va crește de 1,4 * 1,4 2 = 1,4 de 3 ori. Cu această metodă de raționament, obținem o soluție mult mai simplă la problema noastră:

1,4 3 * 1000 = 2,744 * 1000 = 2744 (frecare)

Să rezolvăm acum această problemă în vedere generala... Lasă banca să încarce p% pe an, suma depusă este egală cu S ruble, iar suma care va fi în cont prin n ani, este egal cu S n ruble.

p% de S sunt pS / 100 de ruble, iar într-un an contul va avea suma S 1 = (1 + p / 100) S

adică suma inițială va crește de 1 + p / 100 de ori.

Pe anul urmator suma de S 1 va creste cu aceeasi suma, si deci in doi ani contul va avea suma

S 2 = (1 + p / 100) S 1 = (1 + p / 100) (1 + p / 100) S = (1 + p / 100) 2 S.

S n = (1 + p / 100) 3 S.

Această formulă se numește formula de creștere a dobânzii compuse, sau pur și simplu formula dobânzii compuse.

Obiectivul 1. Ce sumă va fi în contul pe termen fix al deponentului în 4 ani dacă banca percepe 10% pe an, iar suma depusă este de 2.000 de ruble?

Înlocuiți în formulă valorile rata dobânzii p = 10, numărul de ani n = 4 și valoarea contribuției inițiale S = 2000, obținem:

(1 + 10/100) 4 * 2000 = 1,1 4 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (ruble).

Răspuns: în 4 ani, contul va avea suma de 2928,2 ruble.

Sarcini de interes. Simplu și complex crestere procentuala.

Elevilor le este adesea dificil să rezolve problemele cu procente. Unul dintre motive este că manualele de matematică utilizate în mod obișnuit tind să ofere probleme standard de procente. Problemele de cuvinte, inclusiv problemele de interes, se găsesc în teste de examen la matematică, atât în ​​clasa a IX-a, cât și a XI-a. Articolul descrie o metodologie de rezolvare a problemelor de creștere procentuală simplă și complexă (așa-numita „ sarcini bancare»). acest lucru poate fi folosit de profesori pentru a dezvolta un curs opțional despre probleme de cuvinte cu procente și va fi, de asemenea, util studenților instituțiilor de învățământ general pentru auto-pregătire la testele finale.

Acest lucru este util de știut.

Util de inteles forme diferite expresii ale aceleiași modificări de valoare, formulate fără dobândă și cu ajutorul dobânzii.

De exemplu, în mesajele „ salariu angajații de stat au crescut cu 50% din ianuarie „și” salariile angajaților de stat au crescut de 1,5 ori din ianuarie „spun același lucru. La fel, a crește de 2 ori înseamnă a crește cu 100%, a crește de 3 ori înseamnă a crește de 200%, a scădea de 2 ori înseamnă a scădea cu 50%.

Tine minte:

Să exprimăm p din ultima formulă:

(1+ ;

Formula răspunde la întrebarea: cu ce procentȘi mai mult decât V.

Dacă B este mai mic decât A cu q%, atunci

B = A - A;

Dacă doriți să răspundeți la întrebarea: câte procente din B este mai mică decât A, atunci din ultima formulă, care exprimă q, obținem

Cititorul atent a observat că dacă A este mai mare decât B cu p%, atunci nu inseamna că B este mai mic decât A cu p%. Să verificăm încă o dată această afirmație rezolvând următoarele sarcină:În clasă sunt cu 25% mai mulți băieți decât fete. Câte procente dintre fete din această clasă sunt mai puține decât băieți?

Citind aceasta sarcina poți răspunde imediat: cu 25%. Dar acesta nu este cazul.

Soluţie:

Fie m - numărul de băieți, d - numărul de fete; (m, d N);

25%=

Prin condiția m = d + m =

Atunci d = d = (1-) m; d = m-m; = 20%

Răspuns: sunt cu 20% mai puține fete în clasă.

Creștere procentuală simplă.

Să luăm în considerare problema. Fie S chiria lunară, penalitatea este p% din chirie pentru fiecare zi de întârziere la plată, n este numărul de zile restante. Cât ar trebui să plătească o persoană după n zile de întârziere?

Soluţie:

Să notăm suma pe care o persoană trebuie să o plătească după n zile de întârziere de către Sn. Pentru n zile de întârziere, penalitatea va fi (pn)% din S sau S, iar în total va trebui să plătiți S + S sau, echivalent, (1+ S

Se obține S n = (1+) S

Această formulă va fi obținută în toate celelalte cazuri, când o anumită valoare crește cu un număr constant de procente pentru fiecare perioadă fixă ​​de timp. Această formulă are o denumire specială: formulă creștere procentuală simplă.

Să luăm în considerare problema. Banca plătește deponenților în fiecare lună 2% din suma depusă. Clientul a contribuit cu 500 de ruble. Ce sumă va fi în contul lui în șase luni?

Soluţie: Pentru a rezolva problema, înlocuim rata dobânzii p = 2, numărul de luni n = 6 și contribuția inițială S = 500 în formula:

S 6 = (1+ 500 = 1,12500 = 560 (frecare)

Răspuns:în șase luni va fi 560 de ruble.

O formulă similară se va obține dacă o anumită valoare scade în aceasta perioada timpul pentru un anumit număr la sută. În acest caz

Această formulă este denumită și Formula simplă de creștere procentuală. Deși valoarea dată este de fapt în scădere.

Creșterea dobânzii compuse.

În băncile Rusiei, pentru unele tipuri de depozite (așa-numitele depozite la termen, care nu pot fi luate mai devreme, de exemplu, un an mai târziu), a fost adoptat următorul sistem de taxare cu bani. Pentru primul an în care suma depusă este în cont, se percepe p% din aceasta. La sfârșitul anului, deponentul poate retrage acești bani - „dobândă” din cont.

Dacă nu a făcut-o, atunci acestea sunt adăugate la depozitul inițial și, prin urmare, la sfârșitul anului următor, p% este perceput de bancă pentru o sumă nouă, crescută. Totodată, ei mai spun că aceste procente cu majuscule.În cadrul unui astfel de sistem, se acumulează „dobândă la dobândă” sau, așa cum se numesc de obicei, complex interes.

Să rezolvăm problema în general. Lăsați banca să calculeze p% pe an, suma depusă este S ruble, iar suma care va fi în cont în n ani este egală cu Sn ruble.

P% din S este (ruble și într-un an contul va avea suma S 1 = S + S = (1+

În doi ani, contul va avea suma

S 2 = S 1 + S 1 = (1+) S 1 = (1+) (1+) S = (1+) 2 S

De asemenea , S 3 = (1+) 3 S și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, egalitatea

S n = (1+) n S

Această formulă se numește formula de creștere procentuală compusă sau doar o formulă a dobânzii compuse.

Să rezolvăm problema.

Ce sumă va fi depozit urgent deponentul în 4 ani, dacă banca percepe 10% pe an și suma depusă este de 5.000 de ruble?

Soluţie:

Înlocuiți formula S n = (1+) n S Când valoarea scade cu un anumit număr de procente, numărând de la valoarea ei anterioară, în formulă, ca pentru creștere simplă, apare un semn minus.

Banca de Economii a Rusiei a adoptat următorul sistem de acumulare a banilor pentru anumite tipuri de depozite. Pentru primul an al sumei depuse în cont, se percepe 40% din aceasta. La sfârșitul anului, deponentul poate retrage acești bani din cont - „dobândă”, așa cum se numesc de obicei.

Dacă nu a făcut acest lucru, atunci se alătură depozitului inițial și, prin urmare, la sfârșitul anului viitor, bancă percepe 40% pentru o sumă nouă, majorată. Cu alte cuvinte, cu un astfel de sistem, banca este taxată cu o sumă nouă, mărită. Cu alte cuvinte, într-un astfel de sistem, se calculează „dobânda la dobândă” sau, așa cum se numesc de obicei, complex interes.

Să calculăm câți bani va primi deponentul în 3 ani dacă a depus 1000 de ruble în contul de urgență din bancă. și nu va lua niciodată bani din cont:

40% din 1000 de ruble. sunt 0,4 * 1000 = 400 de ruble și, prin urmare, într-un an în contul său va exista

1000 + 400 = 1400 (frecare)

40% din noua sumă 1400 de ruble. sunt 0,4 * 1400 = 560 de ruble și, prin urmare, în 2 ani în contul său va exista

1400 + 560 = 1960 (frec.)

40% din noua sumă 1960 de ruble. sunt 0,4 * 1960 = 784 ruble și, prin urmare, după 3 ani, contul său va fi

1960 + 784 = 2744 (frec.)

Nu este greu de imaginat cât de mult cu o astfel de directă " frontal»Calculul ar dura timp pentru a găsi suma depozitului în 10 ani. Între timp, numărarea se poate face mult mai ușor.

Exact într-un an, suma inițială va crește cu 40%, adică va fi de 140% din cea inițială, sau, cu alte cuvinte, va crește de 1,4 ori. Anul viitor, suma nouă, deja crescută, va crește și ea cu același 40%. Prin urmare, după 2 ani, suma inițială va crește cu 1,4 * 1,4 = 1,4 de 2 ori.

Într-un alt an, această sumă va crește de 1,4 ori, astfel încât suma inițială va crește de 1,4 * 1,4 2 = 1,4 de 3 ori. Cu această metodă de raționament, obținem o soluție mult mai simplă la problema noastră:

1,4 3 * 1000 = 2,744 * 1000 = 2744 (frecare)

Să rezolvăm acum această problemă în termeni generali. Lasă banca să încarce p% pe an, suma depusă este egală cu S ruble, iar suma care va fi în cont prin n ani, este egal cu S n ruble.

p% de S sunt pS / 100 de ruble, iar într-un an contul va avea suma S 1 = (1 + p / 100) S

adică suma inițială va crește de 1 + p / 100 de ori.

Pe parcursul anului următor, suma S 1 va crește cu aceeași sumă și, prin urmare, în doi ani contul va avea suma

S 2 = (1 + p / 100) S 1 = (1 + p / 100) (1 + p / 100) S = (1 + p / 100) 2 S.

S n = (1 + p / 100) 3 S.

Această formulă se numește formula de creștere a dobânzii compuse, sau pur și simplu formula dobânzii compuse.

Obiectivul 1. Ce sumă va fi în contul pe termen fix al deponentului în 4 ani dacă banca percepe 10% pe an, iar suma depusă este de 2.000 de ruble?

Înlocuiți valoarea ratei dobânzii în formulă p = 10, numărul de ani n = 4 și valoarea contribuției inițiale S = 2000, obținem:

(1 + 10/100) 4 * 2000 = 1,1 4 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (ruble).

Răspuns: în 4 ani, contul va avea suma de 2928,2 ruble.

Dacă o persoană nu plătește o plată în timp util pentru apartament, atunci i se aplică o amendă, care se numește „pedeapsă”. Deci, la Moscova, penalitatea este de 1% din chirie pentru fiecare zi de întârziere. Prin urmare, de exemplu, pentru 19 zile de întârziere, suma va fi de 19% din chirie și în loc, să zicem, de la 100 de ruble. o persoană va trebui să plătească o penalizare de 0,19 * 100 = 19 ruble și doar 119 ruble.

Este clar că în diferite orase iar la oameni diferiti, chiria, cuantumul pensiei si timpul de intarziere sunt diferite. Așa că are sens să se revanșeze formula generala chirii pentru plătitori neglijenți, aplicabile în toate împrejurările.

Fie S plata lunară trimestrială, penalitatea este p% din chirie pentru fiecare zi de întârziere și n- numărul de zile restante. Suma pe care persoana trebuie să o plătească după n zile de întârziere, notează S n.

Atunci pentru n zile de întârziere, pedeapsa va fi pn% din S, sau pnS / 100, și în total trebuie să plătiți S + pnS / 100. Astfel, S n = (1 + pn / 100) S

Obiectivul 1. Cât ar trebui să plătească un moscovit dacă chiria lui este de 100 de ruble? si este intarziat cu 5 zile?

Înlocuind în formulă valoarea p= 1 și valori n= 5 * 4, obținem:

(1 + 1 * 5/100) * 100 = 1,05 * 100 = 105 (frecare)

Răspuns: după 5 zile - 105 ruble.

Astfel, formula stabilită vă permite să calculați rapid valorile cerute plăți pentru apartament.

Să luăm în considerare o altă situație. Banca plătește deponenții în fiecare lună p% din suma depusă. Prin urmare, dacă clientul a depus suma S, atunci prin n luni în contul lui vor fi (1 + pn / 100) S și obținem din nou că S n = (1 + pn / 100) S

Avem exact aceeași formulă, ca și în exemplul cu chiria, deși literele din aceste două exemple au semnificații diferite: în primul exemplu n este numărul de zile, iar în al doilea exemplu n este numărul de luni, în primul exemplu S este suma a chiriei, iar în al doilea S este suma plătită băncii. Aceeași formulă se va obține în toate celelalte cazuri, când o anumită valoare crește cu un număr constant de procente pentru fiecare perioadă fixă ​​de timp. Această formulă descrie multe situatii specifice si are un nume special: formula pentru creșterea procentuală simplă.

Obiectivul 2.Banca plătește deponenților în fiecare lună 2% din suma depusă. Clientul a făcut un depozit de 500 de ruble. Ce sumă va fi în contul lui în șase luni?

Pentru a rezolva problema, este suficient să înlocuiți rata dobânzii în formulă p= 2, numărul de luni n = 6 și contribuția inițială S = 500:

(1 + 2 * 6/100) * 500 = 1,12 * 500 = 560 (frecare)

Răspuns: în șase luni depozitul va fi de 560 de ruble.

Metodologie de rezolvare a problemelor de creștere procentuală simplă și complexă.

Acest lucru este util de știut.

Este util să înțelegem diferitele forme de exprimare a aceleiași modificări cantitative, formulate fără dobândă și cu ajutorul procentelor.

De exemplu, în mesajele „salariile angajaților de stat au crescut cu 50% din ianuarie” și „salariile angajaților de la stat au crescut de 1,5 ori din ianuarie” ei spun același lucru. La fel, a crește de 2 ori înseamnă a crește cu 100%, a crește de 3 ori înseamnă a crește de 200%, a scădea de 2 ori înseamnă a scădea cu 50%.

Tine minte:

Să exprimăm p din ultima formulă:

Formula răspunde la întrebarea: cu ce procentȘi mai mult decât V.

Dacă B este mai mic decât A cu q%, atunci

B = A - A;

Dacă doriți să răspundeți la întrebarea: câte procente din B este mai mică decât A, atunci din ultima formulă, care exprimă q, obținem

Cititorul atent a observat că dacă A este mai mare decât B cu p%, atunci nu inseamna că B este mai mic decât A cu p%. Să verificăm încă o dată această afirmație rezolvând următoarele sarcină:În clasă sunt cu 25% mai mulți băieți decât fete. Câte procente dintre fete din această clasă sunt mai puține decât băieți?

Citind această problemă, puteți da imediat un răspuns: cu 25%. Dar acesta nu este cazul.

Fie m - numărul de băieți, d - numărul de fete; (m, d N);

Prin condiția m = d + m =

Atunci d = d = (1-) m; d = m-m; = 20%

Răspuns: sunt cu 20% mai puține fete în clasă.

Creștere procentuală simplă.

Să luăm în considerare problema. Fie S chiria lunară, penalitatea este p% din chirie pentru fiecare zi de întârziere la plată, n este numărul de zile restante. Cât ar trebui să plătească o persoană după n zile de întârziere?

Să notăm suma pe care o persoană trebuie să o plătească după n zile de întârziere de către Sn. Pentru n zile de întârziere, penalitatea va fi (pn)% din S sau S, iar în total trebuie să plătiți S + S sau, echivalent, (1+ S

Se obține S n = (1+) S

Această formulă va fi obținută în toate celelalte cazuri, când o anumită valoare crește cu un număr constant de procente pentru fiecare perioadă fixă ​​de timp. Această formulă are o denumire specială: formulă creștere procentuală simplă.

Să luăm în considerare problema. Banca plătește deponenților în fiecare lună 2% din suma depusă. Clientul a contribuit cu 500 de ruble. Ce sumă va fi în contul lui în șase luni?

Soluție: Pentru a rezolva problema, înlocuim rata dobânzii p = 2, numărul de luni n = 6 și contribuția inițială S = 500 în formula:

S 6 = (1+ 500 = 1,12500 = 560 (frecare)

Răspuns: în șase luni va fi 560 de ruble.

O formulă similară se va dovedi dacă o anumită valoare scade într-o anumită perioadă de timp cu un anumit număr de procente. În acest caz

Această formulă este denumită și Formula simplă de creștere procentuală. Deși valoarea dată este de fapt în scădere.

Creșterea dobânzii compuse.

În băncile Rusiei, pentru unele tipuri de depozite (așa-numitele depozite la termen, care nu pot fi luate mai devreme, de exemplu, un an mai târziu), a fost adoptat următorul sistem de taxare cu bani. Pentru primul an în care suma depusă este în cont, se percepe p% din aceasta. La sfârșitul anului, deponentul poate retrage acești bani - „dobândă” din cont.

Dacă nu a făcut acest lucru, atunci acestea sunt adăugate la depozitul inițial și, prin urmare, la sfârșitul anului următor, p% este acumulat de bancă pentru o sumă nouă, crescută. Totodată, mai spun că aceste procente cu majuscule.În cadrul unui astfel de sistem, se acumulează „dobândă la dobândă” sau, așa cum se numesc de obicei, complex interes.

Să rezolvăm problema în general. Lăsați banca să calculeze p% pe an, suma depusă este S ruble, iar suma care va fi în cont în n ani este egală cu Sn ruble.

P% din S este (ruble și într-un an contul va avea suma S 1 = S + S = (1+

În doi ani, contul va avea suma

S 2 = S 1 + S 1 = (1+) S 1 = (1+) (1+) S = (1+) 2 S

Cu alte cuvinte, egalitatea

Această formulă se numește formula de creștere procentuală compusă sau doar o formulă a dobânzii compuse.

Să rezolvăm problema.

Ce sumă va fi din depozitul la termen al deponentului în 4 ani dacă banca percepe 10% pe an, iar suma depusă este de 5.000 de ruble?

Înlocuiți formula S n = (1+) n S

Valoarea ratei dobânzii este p = 10, numărul de ani este n = 4 și valoarea contribuției inițiale este S = 5000 de ruble.

S 4 = (1+) 4 5000 = 1,1 4 5000 = 1,46415000 = 7320,5 (frec.)

Răspuns: în 4 ani contul va fi de 7320,5 ruble.

Formula obținută mai sus este, desigur, aplicabilă nu numai problemelor de creștere a contribuției, ci și oricărei situații în care se ia în considerare o valoare, care pentru fiecare perioadă de timp dată crește cu un anumit număr de procente, numărând din ea. valoarea anterioară. Când valoarea scade cu un anumit număr de procente, numărând de la valoarea ei anterioară, în formulă apare un semn minus, ca la creșterea simplă.

Să luăm în considerare problema.

Populația din orașul T. a crescut cu 2% anual timp de doi ani. Ca urmare, numărul locuitorilor a crescut cu 11.312 persoane. Câți locuitori erau în orașul T. Inițial?

Fie x persoană (xN) a fost inițial. Apoi, după starea problemei, în doi ani numărul de locuitori a fost x (1+) 2 sau (x + 11312) persoane. Obtinem ecuatia:

x (1+) 2 = x + 11312

x1,02 2 = x + 11312

x (1,02 2 -1) = 11312

x (1,02-1) (1,02 + 1) = 11312

Raspuns: In orasul T erau 280.000 de locuitori. Initial.

Bibliografie

Egerev V.K., Zaitsev V.V., Kordemsky B.A. și altele.Culegere de probleme de matematică pentru solicitanții la universități, editată de MI Skanavi. M .: „ONIX secolul 21”, „Pace și educație”, „Alianța-V”, 2003.

2.G.G.Gilmiyeva, R.G. Khamitov. Probleme cu procentele. Rezolvam cu usurinta. Ghid de studiu, 2008 Ritz „Școala”. și complex. Simplu enzime - aceasta este simplu ... metodologie electroforeză pe coloana... este necesara stiu: 1) ... pregateste unul mai mic procent omogenizat). Prin... nu rezolvat sarcină... Serios ... util la...