Definiție standard: "Vector este un segment orientat." De obicei, acest lucru se limitează la cunoașterea absolventului despre vectori. Cine are nevoie de unele "segmente regizate"?
Și de fapt, care sunt vectorii și de ce ei?
Prognoza meteo. "Vântul este la nord-vest, viteza de 18 metri pe secundă." Sunt de acord, direcția vântului contează (acolo unde suflă), și modulul (adică valoarea absolută) a vitezei sale.
Valorile care nu au direcții sunt numite scalare. Mass, de lucru, taxa electrică nu este direcționată nicăieri. Ele sunt caracterizate doar de o valoare numerică - "câte kilograme" sau "cât de mult joule".
Cantități fizice care nu numai că sunt valoare absolutăDar direcția este numită vector.
Viteză, forță, accelerare - vectori. Pentru ei, este important "cât de mult" și important "unde". De exemplu, accelerarea căderii libere Îndreptate spre suprafața pământului, iar valoarea sa este de 9,8 m / s 2. Puls, rezistență la câmp electric, inducție camp magnetic - De asemenea, valori vectoriale.
Îți amintești de asta cantități fizice Denotă prin scrisori, latine sau grecești. Arorog deasupra literei arată că valoarea este vectorială:
Iată un alt exemplu.
Mașina se mișcă de la un b. Rezultat final - Mișcarea sa de la punctul A până la punctul B, adică, mutându-se la vector.
Acum este clar de ce vectorul este un segment direcționat. Notă, capătul vectorului este locul în care săgeata. Vector de lungime Numită lungimea acestui segment. Denotă: Or.
Până în prezent, am lucrat cu valori scalare, în conformitate cu regulile algebrei aritmetice și elementare. Vectori - un nou concept. Aceasta este o altă clasă de obiecte matematice. Pentru ei, propriile reguli.
Odată ce nu știam despre numere. Cunoștință cu ei a început în clasele junior. Sa dovedit că numerele pot fi comparate între ele, pliați, deduceți, înmulțiți și împărțiți. Am aflat că există un număr unu și numărul zero.
Acum ne familiarizăm cu vectorii.
Conceptele de "mai mult" și "mai puțin" pentru vectori nu există - pot fi direcții diferite. Puteți compara numai lungimile vectorilor.
Dar conceptul de egalitate pentru vectori este.
Egal Vectorii având aceleași lungimi și aceeași direcție sunt numite. Aceasta înseamnă că vectorul poate fi transferat în paralel cu tine oriunde în plan.
Singur Numit vector, lungimea căreia este egală cu 1. Zero-vector, lungimea căreia este zero, adică, începutul său coincide cu sfârșitul.
Este cel mai convenabil să lucrați cu vectori într-un sistem de coordonate dreptunghiulare - chiar în care trageți grafice de funcții. Fiecare punct din sistemul de coordonate corespunde a două numere - coordonatele sale de x și y, abscis și ordonate.
Vectorul stabilește, de asemenea, două coordonate:
Aici, în paranteze au înregistrat coordonatele vectorului - cu x și pe y.
Ele sunt pur și simplu: sfârșitul coordonate al coordonatei vectorului minus la începutul său.
Dacă sunt specificate coordonatele vectorului, lungimea sa este localizată cu formula
Pentru adăugarea de vectori există două moduri.
unu . Paralelograma regulii. Pentru a plia vectorii și, am pus începutul atât la un moment dat. Veți fi completat în paralelogram și din același punct realizăm diagonala paralelogramei. Aceasta va fi suma vectorilor și.
Amintiți-vă de dispozitivul de fixare despre Swan, Cancer și Pike? Au încercat foarte mult, dar niciodată nu s-au schimbat cine de la scenă. La urma urmei, suma vectorială a forțelor atașate la mașină a fost zero.
2. Al doilea mod de adăugare a vectorilor este o regulă de triunghi. Luați aceiași vectori și. Până la sfârșitul primului vector, am atașat începutul celui de-al doilea. Acum conectați începutul primului și sfârșitul celei de-a doua. Aceasta este suma vectorilor și.
În același mod, mai mulți vectori pot fi pliați. Le adăugăm unul câte unul și apoi combinăm începutul primului cu sfârșitul celor din urmă.
Imaginați-vă că mergeți de la punctul A la alineatul B, de la B C, de la C în D, apoi în E și în f. Rezultatul final al acestor acțiuni se mișcă de la F.
Când adăugați vectori și obțineți:
Vectorul este trimis la vectorul opus. Lungimile vectorilor sunt egale.
Acum este clar ce scăderea vectorilor. Diferența de vectori este suma vectorului și vectorului.
Când vectorul înmulțind numărul K, vectorul este obținut, lungimea căreia este diferită de lungime. Este acoperit cu un vector dacă K este mai mare și este îndreptat opus dacă K este mai mic decât zero.
Vectorii pot fi înmulțită nu numai în numere, ci și unul pe celălalt.
Produsul scalar al vectorilor este produsul lungimilor vectorilor de pe cosinul colțului dintre ele.
Notă - a mutat doi vectori, iar scalarul sa dovedit, adică numărul. De exemplu, în fizică, munca mecanică este egală cu produsul scalar al a doi vectori - forțe și mișcări:
Dacă vectorii sunt perpendiculari, produsul lor scalar este zero.
Și aici este produsul scalar exprimat prin coordonatele vectorilor și:
Din formula pentru un produs scalar, puteți găsi unghiul dintre vectori:
Această formulă este deosebit de convenabilă în stereometrie. De exemplu, în sarcina a 14 din examenul de profil din matematică, trebuie să găsiți unghiul dintre încrucișare dreaptă sau între planul drept și plan. De multe ori metoda vectorială Sarcina 14 este rezolvată de mai multe ori mai rapidă decât Classic.
În programul școlar din matematică, este studiat numai produsul scalar al vectorilor.
Se pare că, cu excepția scalarului, există, de asemenea, un produs vector când vectorul este ca rezultat al multiplicării vectorilor. Cine da Fizica EGE , știe ce puterea lui Lorentz și puterea amperului. Formula pentru găsirea acestor forțe include vector de artă.
Vectori - instrument matematic util. În aceasta veți vedea pentru primul an.
Utilizarea vectorilor de artă vectorială
pentru a calcula Piața
niste cifrele geometrice
Cercetare matematică
Student 10 B Class
Mou Sosh №73.
Ofițeri:
Asistent cafenea. Analiza matematică a facultății mecanice și matematice a SSU. N.g. Chernyshevsky Berdnikov Gleb Sergeevich
Saratov, 2015.
Introducere
1. Revizuirea teoretică.
1.1. Vectori și calcule cu vectori.
1.2. Folosind un produs scalar al vectorilor în soluții de activitate
1.4. Vector de artă vectorilor în spațiul tridimensional Euclidian: definiția conceptului.
1.5. Coordonatele vectorului Lucrări de vectori.
2. Partea practică.
2.1. Comunicarea artei vectoriale cu o zonă de triunghi și o paralelogramă. Dezacord cu formula și semnificația geometrică a vectorului vectorului de artă vector.
2.2. Cunoscând doar coordonatele punctelor, găsiți zona triunghiului. Dovada teoremei
2.3. Verificarea exemplelor de corectitudine a formulei.
2.4. Uz practic Vector algebră și lucrări ale vectorilor.
Concluzie
Introducere
După cum se știe, multe sarcini geometrice au două modalități cheie de rezolvare - grafică și analitică. Metoda grafică Este asociat cu construirea de grafice și desene, iar analiticul presupune rezolvarea problemelor în principal cu ajutorul acțiunilor algebrice. ÎN ultimul caz Algoritmul pentru rezolvarea problemelor este asociat cu geometria analitică. Geometria analitică este o zonă de matematică sau mai degrabă o algebră liniară care ia în considerare soluția de probleme geometrice cu mijloace de algebră pe baza metodei coordonatelor din plan și în spațiu. Geometria analitică vă permite să analizați imaginile geometrice, să explorați liniile și suprafețele, importante pentru aplicații practice. În același timp, în această știință, opera de artă vectorială a vectorilor este uneori folosită pentru a extinde înțelegerea spațială a formelor.
In conexiune cu distribuție largă Tehnologii spațiale tridimensionale, studiul proprietăților unor forme geometrice care utilizează un produs vectorial pare relevant.
În acest sens, obiectivul a fost indicat acest proiect - Utilizarea produsului vectorial al vectorilor de a calcula zona unor forme geometrice.
În legătură cu scopul a fost rezolvat următoarele sarcini:
1. Examinați teoretic elementele de bază ale algebrei vectoriale și oferă definiția produsului vector al vectorilor din sistemul de coordonate;
2. Analizați prezența unei legări a unui produs vector cu o zonă de triunghi și o paralelogramă;
3. să obțină formula zonei triunghiului și paralelogramei în coordonate;
4. Verificați prin exemple specifice loialitatea formulei derivate.
1. Revizuirea teoretică.
Vectori și calcule cu vectori
Direcția segmentului direcțional pentru care este indicat începutul și sfârșitul:
ÎN acest caz Începutul segmentului este punctul DAR, punct de tăiere ÎN. Vectorul în sine este indicat prin 
sau 
. Pentru a găsi coordonatele vectoriale , cunoașterea coordonatelor punctelor sale inițiale A și punctul de sfârșit B este necesar din coordonatele punctului final pentru a scădea coordonatele corespunzătoare ale punctului de plecare:
= {
B.
x.
- A.
x.
; B.
y.
- A.
y.
}
Colinearii sunt numiți vectori care se află pe linie paralelă dreaptă sau pe o linie dreaptă. În acest caz, segmentul vectorial caracterizat printr-o lungime și direcție.
Lungimea segmentului direcțional determină valoare numerica Vector și numit lungimea vectorului sau modulul vectorial.
Lungimea vectorului ||. În coordonatele decartulare dreptunghiulare este egală cu rădăcina pătrată din suma pătratelor coordonatelor sale.
Cu vectori puteți face diverse acțiuni.
De exemplu, adăugarea. Pentru a le plia, trebuie să țineți mai întâi cel de-al doilea vector de la sfârșitul primului și apoi să conectați începutul primului cu capătul al doilea (figura 1). Suma vectorilor este un alt vector cu noi coordonate.
Suma vectorilor = {a. x. ; A. y. ) I. 
= {b. x. ; B. y. ) Puteți găsi utilizând următoarea formulă:
+
\u003d (A.
x.
+ B.
x.
; A.
y.
+ B.
y.
}
Smochin. 1. Acțiuni cu vectorii
Vectorii sumeriți, trebuie să le cheltuiți mai întâi de la un punct și apoi să conectați sfârșitul celui de-al doilea cu sfârșitul primului.
Vector diferența. = {a. x. ; A. y. ) I. 
= {b. x. ; B. y. }
pot fi găsite prin formula:
-
= {
a.
x.
- B.
x.
; A.
y.
- B.
y.
}
De asemenea, vectorii pot fi înmulțită cu numărul. Rezultatul va fi, de asemenea, un vector care este în k ori mai mult (sau mai puțin) din acest lucru. Direcția lui va depinde de semnul K: cu K, vectorii sunt co-direcționați și cu negativ - îndreptată opus.
Vector de lucru = {a. x. ; A. y. }
Și numărul K poate fi găsit utilizând următoarea formulă:
k · \u003d (K. · A.
x.
; k · A.
y.
}
Este posibil să multiplicați vectorul de pe vector? Desigur, chiar și două opțiuni!
Prima opțiune este un produs scalar.
Smochin. 2. Produs scalar în coordonate
Pentru a găsi produsul vectorilor, puteți utiliza unghiul între vectorii de date prezentați în Figura 3.
Din formula rezultă că produsul scalar este egal cu produsul acestor lungimi ale vectorilor de pe cosinul unghiului dintre ele, rezultatul este numărul. Este important ca dacă vectorii sunt perpendiculară, produsul lor scalar este zero, deoarece unghiul direct al cosinului între ele egală cu zero..
În planul de coordonate, vectorul are, de asemenea, coordonate.ÎN interul, coordonatele lor și produsul scalar sunt una dintre cele mai multe metode confortabile Calculele unghiului dintre drept (sau segmentele lor) dacă este introdus sistemul de coordonate. Și dacă coordonatele 
, produsul lor scalar este egal cu:
În spațiul tridimensional există 3 axe și, în consecință, punctele și vectorii dintr-un astfel de sistem vor fi 3 coordonate, iar produsul scalar al vectorilor este calculat prin formula:
1.2. Vector de artă vectorilor în spațiu tridimensional.
Al doilea exemplu de realizare a vectorilor este un produs vectorial. Dar astfel încât nu mai este un avion, ci spațiul tridimensional, în care începerea și sfârșitul vectorului au 3 coordonate.
Spre deosebire de produsul scalar al vectorilor într-un spațiu tridimensional, operația "multiplicarea vectorială" duce la un alt rezultat. Dacă în cazul precedent al unei multiplicări scalare a doi vectori, rezultatul a fost un număr, apoi în cazul multiplicării vectoriale a vectorilor, rezultatul va fi un alt vector, perpendicular pe vectorii care au intrat în lucrare. Prin urmare, acest produs al vectorilor este numit vector.
Evident, atunci când construiți un vector rezultat 
perpendicular pe cele două, care au intrat în muncă - și, pot fi selectate două direcții opuse. În același timp, direcția vectorului rezultat Determinată de regula mana dreaptasau regula Brocrouciverului. Dacă trageți vectorii astfel încât pornirea lor să coincidă și să rotească primul vector în cel mai scurt drum spre cel de-al doilea uter, iar cele patru degete ale mâinii drepte au arătat direcția de rotație (ca și cum ar fi acoperit Cilindrul rotativ), apoi degetul degetului mare va afișa operele vectoriale de direcție (figura 7).
Smochin. 7. Regula dreaptă
1.3 Proprietățile lucrărilor de artă vectoriale.
Lungimea vectorilor de rezultat este determinată de formula
.
În care 
Vector art. După cum sa menționat mai sus, vectorul rezultat va fi perpendicular 
Și direcția sa este determinată de regula dreaptă.
Produsul vectorial depinde de ordinea factorilor, este:
Produsul vectorial al vectorilor non-zero este 0 dacă sunt colinear, apoi colțul sinusului între ele va fi 0.
Coordonatele vectorilor din spațiul tridimensional sunt exprimate În felul următor:. Apoi coordonatele vectorilor de rezultate se găsesc cu formula
Lungimea vectorului rezultat este prin formula:
.
2. Partea practică.
2.1. Comunicarea artei vectoriale cu o zonă de triunghi și o paralelogramă într-un avion. Semnificația geometrică a vectorilor vectorilor de artă.
Să primim un triunghi abc (figura 8). Se știe că .
lungimea produsului vector al vectorilor este egală cu zona dublă a triunghiului având părțile laterale ale vectorilor și, dacă sunt amânate de la un punct.
Cu alte cuvinte, lungimea produsului vector al vectorilor și este egal cu zona paralelogramei, Construit în vectoriși Cu părțile laterale și unghiul dintre ele, egale.
Smochin. 9. Semnificația geometrică a vectorilor vectorilor
În acest sens, se poate conduce o altă definiție a vectorilor de artă vectorială :
Vector vector de produse Vectorul este numit vector 
, lungimea căreia este numerică egală cu suprafața paralelogramei construite în vectori și, perpendicular pe planul acestor vectori și îndreptat astfel încât să se rotească cea mai mică În jurul vectorului A fost efectuată în sens invers acelor de ceasornic, dacă este privită de la capătul vectorului (figura 10).
Smochin. 10. Determinarea vectorilor vectorilor
folosind o paralelogramă
2.2. Ieșirea formulei pentru găsirea zonei triunghiului în coordonate.
Deci, ni se dă un triunghi ABC în avion și coordonatele vârfurilor sale. Vom găsi zona acestui triunghi (figura 11).
Smochin. 11. Un exemplu de rezolvare a problemei de a găsi zona triunghiului prin coordonatele vârfurilor sale
Decizie.
Pentru a începe, luăm în considerare coordonatele vârfurilor în spațiu și calculați coordonatele vectorilor AV și UA.
Pentru acest lucru înainte de formula, calculează coordonatele vectorului lor. Lungimea acestui vector este de 2 pătrate ale triunghiului ABC. Zona triunghiului este egală cu 10.
Mai mult, dacă privim triunghiul din avion, primele 2 coordonate ale produsului vector vor fi întotdeauna zero, astfel încât să putem formula următoarea teoremă.
Teorema: Lăsați triunghiul ABC și coordonatele vârfurilor sale (figura 12).
Atunci.
Smochin. 12. Dovada teoremei
Dovezi.
Luați în considerare punctele în spațiu și calculați coordonatele vectorilor Soarelui și BA. . Conform formulei de mai jos, calculează coordonatele produsului vector al acestor vectori. Să notăm că toți membrii care conținz.1 sau z.2, egal cu 0, pentru că z.1st. z.2 \u003d 0. Eliminare!
Astfel prin urmare,
2.3. Verificarea corectitudinii formulei de pe exemple
Găsiți zona triunghiului formată de vectori A \u003d (-1; 2; -2) și b \u003d (2; 1; -1).
Decizie: Noi găsim un produs vector al acestor vectori:
a. × B \u003d.
I (2 · (-1) - (-2) · 1) - J ((- 1) · (-1) - (-2) · 2) + k ((- 1) · 1-2 · 2) \u003d.
I (-2 + 2) - J (1 + 4) + K (-1-4) \u003d -5 J - 5 K \u003d (0; -5; -5)
Din proprietățile lucrărilor vectoriale:
Sδ \u003d.
| A × B | \u003d.
√ 02 + 52 + 52 =
√ 25 + 25 =
√ 50 =
5√ 2
Răspuns: SΔ \u003d 2.5√2.
2.4. Aplicații Algebra vectorială
și lucrări de artă scalară și vectorială.
De unde aveți nevoie de vectori? Spațiul vectorial și vectorii poartă nu numai caracterul teoretic, dar au și destul de reali uz practic în lumea modernă.
În mecanică și fizică, multe valori nu au doar o valoare numerică, ci și direcția. Astfel de valori sunt numite vector. Împreună cu utilizarea conceptelor mecanice elementare, bazându-se pe semnificația lor fizică, multe valori sunt considerate ca vectori glisante, iar proprietățile lor sunt descrise ca axiom, așa cum sunt adoptate în mecanica teoretică și cu ajutorul proprietăților matematice ale vectorilor. Cel mai exemple luminoase Cantitățile vectoriale sunt viteza, impulsul și puterea (figura 12). De exemplu, momentul impulsului și puterea Lorentz înregistrată matematic utilizând vectori.
În fizică, nu numai vectorul în sine sunt importanți, dar lucrările lor care ajută la calcularea unor valori sunt, de asemenea, importante. Produsul vector este util pentru determinarea collinearității vectorilor Modulul de produs al doi vectorilor este egal cu produsul modulelor lor, dacă acestea sunt perpendiculare și scade la zero dacă vectorii sunt acoperiți sau îndreptați opus.
Un alt exemplu: Un produs scalar este utilizat pentru a calcula lucrările de pe formula de mai jos, unde F este vectorul de putere și S este vectorul mișcării.
Un exemplu de utilizare a operei de artă a vectorilor este momentul forței egal cu produsul vectorului de rază cheltuit pe axa de rotație până la punctul de aplicare a forței, vectorul acestei forțe.
O mare parte din ceea ce se calculează în fizică în funcție de regula de mâna dreaptă este un produs vectorial. Găsiți confirmări pentru a aduce exemple.
Este demn de remarcat faptul că spațiul bidimensional și tridimensional nu este epuizat opțiuni posibile Spații vectoriale. Matematica superioară consideră spațiile de dimensiune mai mare, care definesc, de asemenea, analogi cu formule pentru o artă scalară și vectorială. În ciuda faptului că spațiile de dimensiune mai mare decât 3, conștiința umană nu poate să-și imagineze vizual, ei uimitor mod Găsiți aplicații în multe domenii ale științei și industriei.
În același timp, rezultatul unui produs vector al vectorilor într-un spațiu euclidian tridimensional nu este un număr, ci un vector rezultat cu coordonatele, direcția și lungimea acesteia.
Direcția vectorului rezultat este determinată de regula de mână dreaptă, care este una dintre cele mai uimitoare prevederi ale geometriei analitice.
Vector de artă vectorilor pot fi utilizați în găsirea unei zone de triunghi sau a unei paralelograme în conformitate cu coordonatele de vârf specifice, care au fost confirmate prin îndepărtarea formulei, dovada teoremei și soluția sarcini practice.
Vectorii sunt utilizați pe scară largă în fizică, unde astfel de indicatori ca viteza, impulsul și puterea pot fi reprezentate ca cantități vectoriale și sunt calculate geometric.
Lista surselor utilizate
Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. și alții. Geometria. 7-9 Clase: Tutorial pentru organizațiile de învățământ general. M.:, 2013. 383 p.
Atanasyan L.S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. și alții. Geometrie. 10-11 Clase: Tutorial pentru organizațiile generale de învățământ: niveluri de bază și de profil. M.:, 2013. 255 p.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică mai mare. Volumul Unu: Elemente de algebră liniară și geometria analitică.
TENIC D.V. Colectarea sarcinilor conform geometriei analitice. M.: ȘTIINȚA, FIZMATLIT, 1998.
Geometria analitică.
Matematică. Trifoi.
Învățarea matematicii online.
http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/
Site-ul V. Koknev.
http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm.
Wikipedia.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2 %EE%F0 %%Ee%E5_%ef%F0 %EE%E8%E7%E2%E5%E4%5% % E8% E5
Dacă, de exemplu, în orașul de 45 de mii de locuitori, atunci 450 de persoane constituie un populație P. Să presupunem că unele întreprinderi sunt cheltuite 20 de mii de ruble. și venit net Au fost obținute 3 mii de ruble. În acest caz, venitul este de 15/100 părți ... ... Dicționar enciclopedică f.a. Brockhaus și i.a. Efron.
I. soții. Pe uscat. sute II adj. . Foarte mic, minor, mic, parte, parte din ceva. Numerele III. . Parte, împărtășiți de la împărțirea oricărui lucru la o sută părti egale; O sută. Dicționar explicativ Efremova. T. F. Efremova. 2000 ... Modern dicţionar Limba rusă Efremova.
I. soții. Pe uscat. sute II adj. . Foarte mic, minor, mic, parte, parte din ceva. Numerele III. . Parte, proporția obținută de a împărți orice pe o sută de părți egale; O sută. Dicționar explicativ Efremova. T. F. Efremova. 2000 ... Dicționarul explicativ modern al limbii rusești
O sută parte a procentului în astfel de unități este făcută pentru a măsura diferența în ratele dobânzilor. De exemplu, dacă rata dobânzii a crescut de la 10,4% la 10,8%, apoi sa schimbat la 40 de puncte de bază ... Enciclopedice dicționar de economie și de drept
Punct, de bază - o sută parte a procentului; Indicatorul utilizat pentru a caracteriza diferența dintre ratele dobânzilor de modificare a veniturilor valori mobiliare etc. De exemplu, dacă ordin de plata in trezorerie Aduce venituri la 7,17%, iar prețul său se schimbă astfel încât să joace acum ... ... Mare dicționar economic.
baseplace. - partea de cabană a procentului. În astfel de unități, este obișnuit să se caracterizeze, să măsoare diferența dintre ratele dobânzilor. De exemplu, dacă rata dobânzii a crescut de la 6,2% la 6,5%, atunci sa schimbat la 20 de puncte de bază ... Dicționar de termeni economici
La sută - Partea Sota a ceva, denotă% ... Dicționar politic popular.
Lista unităților de măsură sumele monetareegal cota definită De bază unitate monetara (Valute). De regulă, acestea sunt monede, bancnote mai puțin frecvente sau nu au forma fizica unități de accidentcare sunt folosite pentru calcule mici și sunt numite ... ... Wikipedia
- (Lat.). Figura, adică profitul sau taxa cu sute. În chimie: exprimată în numere părți componente Substanțe. În statistici: atitudinea populației etc. Dicționarul de cuvinte străine, care fac parte din limba rusă. Chudinov a ... Dicționar de cuvinte străine din limba rusă
