Izračun obresti je enostaven matematična operacija, kar je precej pogosto v Vsakdanje življenje. Na primer, morate izračunati, koliko oseba prihrani z uporabo kartica za popust trgovina ali nakup blaga na razprodaji s popustom, pod kolikim odstotkom vzame posojilo. Obresti je mogoče izračunati s pomočjo kalkulatorja ali deleža, prav pride formula za izračun odstotkov in poznavanje elementarnih znanih razmerij.
Obračun obresti v šolskem programu se uči v 5. razredu, če ne že prej. Po definiciji je odstotek ena stotinka števila. Izraz se je pojavil v Stari Rim in dobesedno preveden kot "od sto". Sprva je ideja o izračunu odstotkov izvirala iz Babilona. Vzporedno so se v starodavni Indiji naučili šteti odstotke z uporabo deležev.
Če želite najti odstotek števila, potrebujete dano številko delite s 100. Očitno je 1 % od 100 enak ena.
Formula za iskanje odstotka števila je elementarna. Število je treba deliti s 100 in nato pomnožiti z želenim odstotkom.
Če vzamemo kot X originalna številka, in za Y - želeni odstotek, potem je formula zapisana kot X/100*Y=...
Odstotke je mogoče izračunati z razumevanjem metode sorazmerja. Naj bo A glavno število vzeto kot 100%, B pa število, katerega razmerje z A in odstotek je treba izračunati, X pa je število želenih odstotkov. Nato:
A - 100 %
B - X%.
Množenje navzkrižno bo dalo enakost: A * X \u003d B * 100. Zato je X=B*100/A.
Na primer, morate ugotoviti, koliko odstotkov od 300 je število 75. Izkazalo se je: 75*100/300=25%.
Predstavljajmo si en odstotek ne kot decimalko, ampak kot preprost ulomek - 1/100. Podobno lahko napišete poljubno število odstotkov. Torej, 10% je 0,1 ali 1/10, 25% je 0,25 ali 25/100=1/4 in tako naprej. Zato je iskanje 10% števila precej preprosto - prvotno število morate deliti z 10. Na ta način je priročno izračunati 20, 25 in 50 odstotkov:
Vendar ni vsak odstotek primeren za izračun na ta način. Na primer, 33 % je 33/100, kar, če je zapisano kot decimalna številka, daje 0,3333 z neskončnim številom trojčkov za decimalno vejico.
Če dvomite o pravilnosti izračunov, se lahko vedno preverite na kalkulatorju, ki je zdaj na voljo v katerem koli Mobilna naprava in na katerem koli računalniku.
Ta relacija se vzame v obratnem vrstnem redu glede na dano. Razmerje b/a se imenuje obratno razmerju a/b. Delež je enakost dveh odnosov.V sorazmerju (ali a: b \u003d c: d) se kličeta številki a in d ekstremno in številki b in c - povprečnočlani deleža.Osnovna lastnost sorazmernosti. V pravem razmerju je produkt skrajnih členov enak produktu njegovih srednjih členov. Če za dve relaciji a: b in c: d velja enakost ad = bc, potem je a: b = c: d pravilen delež.Če se srednji ali skrajni členi zamenjajo v pravilnem razmerju, so nastali novi razmerji pravilni.Permutacija sorazmernih členov:
Izpeljana razmerja.
Glede na razmerje veljajo naslednja razmerja:Iskanje dela številaPrimer 1.Poiščite del 5/16 števila 800.Rešitev .Če ste pozabili, kaj storiti, obstaja tak trik. Opravimo se s "polovico", tj. 1/2 števila, na primeru, ki ga bomo sestavili sami. Na primer, 1/2 od 800, razumemo, da je to 400.800? 1/2 = 400. Kakšno dejanje smo naredili? Preprosto je uganiti, da je to množenje.Potem zlahka najdemo 5/16 od 800 kot 800 5/16 = 250.odgovor: 250.
Iskanje števila po njegovem deluPrimer 2.Poiščite celotno število, če je njegov 7/15 enak 210.Rešitev .Ugotovimo s pomočjo "pol", tj. 1/2 števila, kaj naj ukrepamo. Naj na primer poiščete število, če je njegova polovica 300. Očitno je to število 600. Kakšno dejanje smo naredili?300? 1/2 \u003d 600. Lahko ugibate, da je to delitev. Potem zlahka ugotovimo, čemu je enako celo število, če je njegovih 7/15 enako 210:210: 7/15 = 210 15: 7 = 450.odgovor: 450.
Primer 3. Odnos c do d je 7/9. Poiščite njihovo obratno razmerje.1) - 7/9; 2) ; 3) 0,8; 4) 1,4.
Rešitev .Razmerje, obrnjeno proti 7/9, je . Od predlaganih odgovorov sta 2 pravilna.odgovor: 2.
Primer 4.Masa piškota je 15 kg, masa paketa pa 600 g. Poiščite razmerje med maso piškotka in maso paketa.1) 15/600; 2)5/6; 3)1/25; 4)25.
Rešitev .600 g = 0,6 kg. Razmerje med maso piškotov in maso embalaže je 15/0,6 = 150/6 = 25. Od predlaganih odgovorov so 4 pravilni.odgovor: 4.
Primer 5.Iz kakšnega odnosa A = 4,8:0,9; B = 1,6:0,3; B = 0,48: 0,9; G = 25:12 lahko narediš razmerje? 1) A in B; 2) B in C; 3) A in B; 4) B in G.Rešitev .Preverimo predlagana razmerja za izpolnjevanje glavne lastnosti deleža.1) Za razmerja A in B je produkt skrajnih členov 4,8 0,3 \u003d 1,44; produkt srednjih izrazov 0,9 1,6 = 1,44; 1,44 = 1,44. Zato je iz teh razmerij mogoče narediti razmerje.2) Za razmerja B in C je produkt skrajnih členov 1,6 0,9 \u003d 1,44; produkt srednjih izrazov 0,3 0,48 = 0,144; 1,44 0,1443) Za razmerja A in B je produkt skrajnih členov 4,8 0,9 \u003d 4,32; produkt srednjih izrazov 0,9 0,48 = 0,432; 4,32 0,432. Zato teh razmerij ni mogoče sorazmeriti.4) Za razmerja B in D je produkt skrajnih členov 1,6 12 \u003d 19,2, produkt srednjih členov je 0,3 25 \u003d 7,5; 19,2 7,5 . Zato teh razmerij ni mogoče sorazmeriti.Od predlaganih odgovorov je 1 pravilen.odgovor: 1.
Primer 6.Iz razmerja 20: 15 \u003d 16: 12 se naredijo 4 enakosti, navedite pravilno. 1) 15: 20 = 16: 12
;
2) 20: 12 = 15: 16
;
3) 12: 16= 15: 20
;
4) 20: 16 = 12: 15
.
Rešitev .Podani delež bo ostal resničen, če se v njem zamenjata srednji ali skrajni izraz. Zato je od predlaganih razmerij pravilen le 3).odgovor: 3.
Primer 7.Katero od spodaj navedenih razmerij je napačno, če je 13 6 = 0,78 100? 1) 13: 6 = 0,78: 100
;
2) 13: 100 = 0,78: 6
;
3) 6: 100 = 0,78: 1
3;
4) 13: 0,78 = 100: 6
.
Rešitev .Iz dane enakosti produktov, ki temeljijo na permutaciji faktorjev in osnovne lastnosti razmerja, lahko naredimo štiri pravilna razmerja:13: 0,78 = 100: 6
;
6: 0,78 = 100: 13
;
13: 100 = 0,78: 6
;
6: 100 = 0,78: 13
.
Zato je iz predlaganih odgovorov napačna enakost 1).odgovor: 1.
Primer 8.Za šivanje 9 srajc je bilo potrebnih 18,9 m blaga. Koliko metrov iste tkanine bo potrebno za šivanje 15 srajc? 1) 27; 2) 35; 3) 31,5; 4) 30.
Rešitev .Naj bo za šivanje 15 srajc potrebno x m tkanine. Potem, glede na pogoj, 9 majic - 18,9 m; 15 majic - HMKer je poraba tkanine neposredno sorazmerna s številom srajc, je enakost resnična. Po pravilu za iskanje skrajnega člana deleža x \u003d 15 18,9: 9 \u003d 31,5. Od predlaganih odgovorov so 3 pravilni.odgovor: 3.
Primer 9.Z uporabo 6 enakih cevi se bazen napolni z vodo v 32 minutah. V koliko minutah se lahko bazen napolni z 8 od teh cevi? 1) 36 ; 2) 42; 3) 64; 4) 24.
Rešitev .Naj se bazen napolni z 8 cevmi v x minutah. Potem 6 cevi - 32 min; 8 cevi - x min.Ker je čas polnjenja bazena obratno sorazmeren s številom cevi, potem velja enakost 6: 8 \u003d x: 32. Po pravilu za iskanje srednjega člana deleža x \u003d 6 32: 8 \u003d 24. Od predlaganih odgovorov so 4 pravilni.odgovor: 4.
Primer 10.Kot 140° je razdeljen na 4 dele, katerih stopinjske mere so povezane kot 2:3:4:5. Poiščite stopinjsko mero najmanjšega od dobljenih kotov.1) 10°; 2) 20°; 3) 70°; 4) 120°.Rešitev . Pustiti x je stopinjska mera enega dela. Potem so stopinjske mere kotov enake 2x, 3x, 4x in 5x. zato 2x + 3x + 4x + 5x = 140; 14x = 140; x = 10; 10°- pade na en del. Stopinska mera manjšega od dobljenih kotov je 2 10° = 20°. Od predlaganih odgovorov sta 2 pravilna.odgovor: 2.
Primer 11.Za gradnjo stadiona je 5 buldožerjev očistilo mesto v 2 urah in 20 minutah. Koliko časa bo trajalo 7 takih buldožerjev, da očistijo to območje?1) 7/5 h; 2) 3 ure 60 min; 3) 1 h 40 min; 4) 3 ure 16 min.Rešitev .Naredimo razmerje, glede na to, da imamo obratno sorazmernost, saj več kot je vključenih buldožerjev, manj je časa.5 buldožerjev - 7/3 ure7 buldožerjev - x ur. 
, kar ustreza tretji možnosti.odgovor: 3.
Primer 12.Glava zelja je 4/5 kg težja od 4/5 iste glave. Kolikšna je masa glave zelja (v kg)? 1) 5; 2) 4,5; 3) 3; 4) 4.
Rešitev .Glava zelja naj tehta x kg. Potem je glede na pogoj problema 4/5x + 4/5 = x. Kje najdemo 1/5x = 4/5; x = 4 kg, kar ustreza četrti možnosti.odgovor: 4.
Primer 13.Tri številke so povezane kot 8/19:0,6:93/95. Tretja številka je več kot polovica prve za 36,5. Poiščite največje od številk.Rešitev .Naj bo prvo število 8X/19; drugi - 0,6X; tretji - 93X / 95.Po pogoju je 3. večja od 1/2 prvega za 36,5:93/95 X- 1/2 8/19 X=36,5; X(93/95-4/19)=73/2; 73/95 X= 73/2; X = 46,5. Potemprvo število (8/19) 46,5 = 20;druga številka 0,6 46,5 \u003d 28,5;tretje število (93/95) 46,5 = 41,5 je največje od števil.odgovor: 41,5.
Obresti1%
je stoti (1/100) del celote.Če želite najti odstotek števila, morate v obrazcu predstaviti število odstotkov decimalni ulomek in dano število pomnožite s tem decimalnim ulomkom.Iskanje odstotka števila se zmanjša na problem iskanja dela števila.Iskanje števila po njegovem odstotku se zmanjša na problem iskanja števila po njegovem delu.Preprosta formula odstotna rast
(formula preproste obresti)
:
, kjer je S n - akumulirani znesek ( prvotni znesek skupaj z obračunanimi obrestmi). S - začetni znesek; R% - obrestna mera od zneska, izraženega v delnicah za obdobje; n je število obračunskih obdobij.Iskanje odstotka številaOdstotek je stotinka števila. Torej je problem zmanjšan na iskanje dela števila. na primer, 3% = 0,03; 0,15% = 0,015; 29,34% =0,2934
.
Nastavite razmerje. V tem članku želim govoriti z vami o razmerjih. Razumeti, kakšen je delež, ga lahko sestaviti - to je zelo pomembno, res prihrani. Zdi se, da je majhna in nepomembna "črka" v veliki matematični abecedi, a brez nje je matematika obsojena na šepavo in manjvredno.
Najprej naj vas spomnim, kakšen je delež. To je enakost v obliki:
kar je enako (to drugačna oblika zapisi).
Primer:
Pravijo, da je ena proti dvema kot štiri proti osem. Se pravi, da gre za enakost dveh odnosov (v ta primer razmerja so številčna).
Osnovno pravilo sorazmerja:
a:b=c:d
produkt skrajnih členov je enak zmnožku povprečja
to je
a∙d=b∙c
Če katera koli vrednost v razmerju ni znana, jo lahko najdete s tem pravilom.
Če upoštevamo obliko zapisa obrazca:
potem uporabite več naslednje pravilo, se imenuje "pravilo križa": zapiše se enakost produktov elementov (števil ali izrazov), ki stojijo diagonalno
a∙d=b∙c
kot vidite je rezultat enak.
Če so trije elementi razmerja znani, potem
vedno lahko najdemo četrtega.
To je bistvo koristi in nujnosti
razmerja pri reševanju problemov.
Oglejmo si vse možnosti, kjer je neznana vrednost x na "katerem koli mestu" razmerja, kjer so a, b, c številke:
Vrednost, ki stoji na diagonali od x, je zapisana v imenovalcu ulomka, znane vrednosti, ki stojijo na diagonali, pa so zapisane v števcu kot produkt. Ni si ga treba zapomniti, vse boste pravilno izračunali, če ste obvladali osnovno pravilo sorazmerja.
zdaj glavno vprašanje Povezano z naslovom članka. Kdaj proporcija prihrani in kje se uporablja? Na primer:
1. Najprej so to naloge za zanimanje. Upoštevali smo jih v členih "" in "".
2. Številne formule so podane kot razmerja:
> sinusni izrek
> razmerje elementov v trikotniku
> tangentni izrek
> Thalesov izrek in drugi.
3. Pri nalogah iz geometrije je razmerje stranic (drugih elementov) ali površin pogosto postavljeno v pogoj, na primer 1:2, 2:3 in drugo.
4. Pretvorba merskih enot in razmerje se uporablja za pretvorbo enot v eno mero in za pretvorbo iz ene mere v drugo:
ur do minut (in obratno).
enote prostornine, površine.
— dolžine, kot so milje do kilometri (in obratno).
stopinj v radiane (in obratno).
tukaj je brez sestavljanja razmerja nepogrešljivo.
Ključna točka je, da morate pravilno vzpostaviti korespondenco, upoštevajte preproste primere:
Treba je določiti število, ki je 35% od 700.
Pri težavah z odstotki se vrednost, s katero primerjamo, vzame kot 100%. neznana številka označimo ga kot x. Dajmo se ujemati:
Lahko rečemo, da sedemsto petintrideset ustreza 100 odstotkom.
X ustreza 35 odstotkom. pomeni,
700 – 100%
x - 35 %
Odločimo se
Odgovor: 245
Pretvorite 50 minut v ure.
Vemo, da ena ura ustreza 60 minutam.
x ur je 50 minut. pomeni,
1 – 60
x - 50
Odločimo se:
Se pravi, 50 minut je pet šestin ure.
Odgovor: 5/6
Nikolaj Petrovič je vozil 3 kilometre. Koliko bo v miljah (upoštevajte, da je 1 milja 1,6 km)?
Vemo, da je 1 milja 1,6 kilometra. Vzemimo število kilometrov, ki jih je Nikolaj Petrovič prepotoval kot x. Lahko se primerjamo:
Ena milja ustreza 1,6 kilometra.
X milj je tri kilometre.
1 – 1,6
x - 3
Odgovor: 1875 milj
Veste, da obstajajo formule za pretvorbo stopinj v radiane (in obratno). Ne zapisujem jih, ker se mi zdi odveč, če si jih zapomnimo, zato moraš v spomin hraniti veliko informacij. Vedno lahko pretvorite stopinje v radiane (in obratno), če uporabite sorazmerje.
Pretvorite 65 stopinj v radiane.
Glavna stvar, ki si jo je treba zapomniti, je, da je 180 stopinj Pi radian.
Označimo želeno vrednost z x. Postavite tekmo.
Sto osemdeset stopinj ustreza Pi radianom.
Petinšestdeset stopinj ustreza x radianom. preučite članek
na to temo bloga. Material je predstavljen na nekoliko drugačen način, vendar je princip enak. s tem bom končal. Zagotovo bo še kaj zanimivega, ne zamudite!Če se spomnimo same definicije matematike, potem vsebuje naslednje besede: študij matematike kvantitativni RAZMERJI(ODNOSJE
- tukaj ključno besedo). Kot lahko vidite, že sama definicija matematike vsebuje sorazmerje. Na splošno matematika brez sorazmerja ni matematika!!!Vse najboljše!
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Hvaležen bi bil, če bi o spletnem mestu povedali na družbenih omrežjih.
V zadnji video vadnici smo razmišljali o reševanju problemov v odstotkih z uporabo proporcev. Nato smo morali glede na pogoj problema najti vrednost ene ali druge količine.
Tokrat sta nam začetna in končna vrednost že dani. Zato bo v nalogah potrebno najti odstotke. Natančneje, za koliko odstotkov se je spremenila ta ali ona vrednost. Poskusimo.
Naloga. Superge stanejo 3200 rubljev. Po zvišanju cene so začeli stati 4000 rubljev. Za koliko odstotkov se je podražila superga?
Torej, rešujemo s sorazmerjem. Prvi korak - prvotna cena je bila enaka 3200 rubljev. Zato je 3200 rubljev 100%.
Poleg tega nam je dano končna cena- 4000 rubljev. To je neznan odstotek, zato ga označimo z x. Dobimo naslednjo konstrukcijo:
3200 — 100%
4000 - x%
No, stanje problema je zapisano. Naredimo razmerje:
Ulomek na levi je popolnoma zmanjšan za 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Poleg tega lahko zmanjšate za 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Dobimo naslednji delež:
Uporabimo osnovno lastnost sorazmernosti: produkt skrajnih členov je enak produktu srednjih. Dobimo:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
To je običajna linearna enačba. Od tu najdemo x:
x=1000:8=125
Torej, dobili smo končni odstotek x = 125. Toda ali je število 125 rešitev problema? Ni šans! Ker naloga od vas zahteva, da ugotovite, za kolikšen odstotek so podražili superge.
Za koliko odstotkov - to pomeni, da moramo najti spremembo:
∆ = 125 − 100 = 25
Dobili smo 25 % - za toliko je bila zvišana prvotna cena. To je odgovor: 25.
Preidimo na drugo nalogo.
Naloga. Majica je stala 1800 rubljev. Po znižanju cene je začel stati 1530 rubljev. Za koliko odstotkov se je znižala cena majice?
Pogoj prevedemo v matematični jezik. Začetna cena 1800 rubljev je 100%. In končna cena je 1530 rubljev - poznamo jo, ni pa znano, koliko odstotkov je prvotne vrednosti. Zato ga označimo z x. Dobimo naslednjo konstrukcijo:
1800 — 100%
1530 - x%
Na podlagi nastalega zapisa sestavimo delež:
Za poenostavitev nadaljnjih izračunov delimo oba dela te enačbe s 100. Z drugimi besedami, prečrtali bomo dve ničli na števcu levega in desnega ulomka. Dobimo:
Zdaj pa spet uporabimo osnovno lastnost sorazmernosti: produkt skrajnih členov je enak produktu povprečnih.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Ostaja še najti x:
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Dobili smo, da je x = 85. Toda, tako kot v prejšnjem problemu, to število samo po sebi ni odgovor. Vrnimo se k našemu stanju. Zdaj vemo, da je nova cena po znižanju 85 % stare cene. In da bi našli spremembe, potrebujemo od stara cena, tj. 100%, odštej nova cena, tj. 85 %. Dobimo:
∆ = 100 − 85 = 15
Ta številka bo odgovor: Prosimo, upoštevajte: točno 15 in v nobenem primeru 85. To je vse! Problem rešen.
Pozorni učenci se bodo verjetno vprašali: zakaj smo pri prvi nalogi pri iskanju razlike od končnega števila odšteli začetno število, pri drugi nalogi pa ravno nasprotno: od začetnih 100 % smo odšteli končnih 85 %?
Razčistimo to. Formalno je v matematiki sprememba vrednosti vedno razlika med končno in začetno vrednostjo. Z drugimi besedami, v drugem problemu bi morali dobiti ne 15, ampak -15.
Vendar tega minusa v nobenem primeru ne bi smeli vključiti v odgovor, ker je bil upoštevan že v pogoju prvotne težave. Tam piše o znižanju cene. Znižanje cene za 15 % je enako kot zvišanje cene za -15 %. Zato je v rešitvi in odgovoru na problem dovolj, da napišete le 15 - brez minusov.
Upam, da smo se s tem trenutkom razumeli. S tem je naša današnja lekcija zaključena. Se vidiva kmalu!
