Enostaven in sestavljen dobiček obresti. Metode reševanja problemov za preprosto in kompleksno rast odstotkov. Dobro je vedeti – dokument

IN hranilnica Rusija za nekatere vrste depozitov sprejela naslednji sistem obračunavanje denarja. Za prvo leto bivanja deponirani znesek 40% je knjiženo na račun. Ob koncu leta lahko vlagatelj ta denar dvigne z računa – »obresti«, kot se jim običajno reče.

Če ni, potem se pridružijo začetni depozit, zato ob koncu naslednjega leta banka zaračuna 40 % za nov povečan znesek. Povedano drugače, pri takem sistemu se banka zaračuna za nov, povečan znesek. Z drugimi besedami, po takem sistemu se zaračunavajo "obresti na obresti" ali, kot se običajno imenujejo, zapleteno obresti.

Izračunajmo, koliko denarja bo vlagatelj prejel v 3 letih, če bo 1000 rubljev položil na bančni račun za določen čas. in nikoli ne bo vzel denarja z računa:

40% od 1000 rubljev. so 0,4 * 1000 = 400 rubljev, zato bo čez eno leto njegov račun imel

1000 + 400 = 1400 (rubljev)

40 % popust nov znesek 1400 rubljev. so 0,4 * 1400 = 560 rubljev, zato bo njegov račun po 2 letih imel

1400 + 560 = 1960 (rubljev)

40% novega zneska 1960 rubljev. so 0,4 * 1960 = 784 rubljev, zato bo njegov račun po 3 letih imel

1960 + 784 = 2744 (rubljev)

Ni si težko predstavljati, koliko s tako neposrednim, " čelni» Izračun bi potreboval čas, da bi ugotovili višino prispevka v 10 letih. Medtem je izračun mogoče narediti veliko lažje.

Točno eno leto kasneje začetni znesek se bo povečala za 40 %, torej bo 140 % začetnega ali, z drugimi besedami, povečala se bo za 1,4-krat. Prihodnje leto se bo za enakih 40 % povečal tudi nov, že povečan znesek. Zato se bo po 2 letih začetni znesek povečal za 1,4 * 1,4 = 1,4 2-krat.

V drugem letu se bo ta znesek povečal tudi za 1,4-krat, tako da se bo začetni znesek povečal za 1,4 * 1,4 2 = 1,4 3-krat. S to metodo sklepanja dobimo veliko enostavnejšo rešitev našega problema:

1,4 3 * 1000 \u003d 2,744 * 1000 \u003d 2744 (rubljev)

Zdaj bomo to težavo rešili v splošni pogled. Naj banka zaračuna p% na leto je deponirani znesek enak S rubljev in znesek, ki bo na računu v n let je enako S n rubljev.

p% od S so pS / 100 rubljev, čez eno leto pa bo na računu znesek S 1 = (1 + p / 100) S

to pomeni, da se bo začetni znesek povečal za 1 + p/100-krat.

Zadaj naslednje leto znesek S 1 se bo povečal za enak znesek, zato bo čez dve leti na računu znesek

S 2 = (1 + p / 100) S 1 = (1 + p / 100) (1 + p / 100) S \u003d (1 + p / 100) 2 S.

S n \u003d (1 + p / 100) 3 S.

Ta formula se imenuje formula za rast sestavljenih obresti, ali preprosto formula sestavljenih obresti.

1. naloga. Kakšen znesek bo na nujnem računu vlagatelja po 4 letih, če banka nabere 10% letno in je deponirani znesek 2000 rubljev?

Nadomestite vrednosti formule obrestna mera p= 10, število let n= 4 in vrednost začetnega prispevka S = 2000, dobimo:

(1 + 10/100) 4 * 2000 = 1,1 4 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (rubljev).

Odgovor: po 4 letih bo na računu znesek 2928,2 rubljev.

Interesne naloge. Enostavno in zapleteno odstotna rast.

Reševanje problemov z odstotki študentom pogosto povzroča težave. Eden od razlogov je, da običajno uporabljeni matematični učbeniki ponavadi dajejo standardne težave v odstotkih. Težave z besedilom, vključno s težavami z odstotki, najdemo v USE testi pri matematiki, tako v 9. kot v 11. razredu. Članek opisuje metodologijo reševanja problemov za preprosto in kompleksno odstotno rast (t.i. bančne naloge»). to delo lahko učitelji uporabijo za razvoj izbirnega predmeta besedilne težave z odstotki, koristno pa bo tudi za študente izobraževalnih ustanov za samoučenje do končnih testov.

To je koristno vedeti.

Dobro razumeti različne oblike izrazi enake spremembe velikosti, oblikovani brez odstotkov in s pomočjo odstotkov.

Na primer v sporočilih plača državnim uslužbencem se je od januarja povečalo za 50 %« in »plače državnim uslužbencem so se od januarja povečale za 1,5-krat« se nanašajo na isto stvar. Podobno 2-kratno povečanje pomeni povečanje za 100%, 3-kratno povečanje pomeni 200%, zmanjšanje 2-krat pomeni zmanjšanje za 50%.

Zapomniti si je treba:

Iz zadnje formule p izrazimo:

(1+ ;

Formula odgovarja na vprašanje: za kolikšen odstotek A več kot B.

Če je B manjši od A za q%, potem

B=A-A;

Če želite odgovoriti na vprašanje: koliko odstotkov B je manjše od A, potem iz zadnje formule, ki izraža q, dobimo

Pozorni bralec je opazil, da če je A večji od B za p%, potem to ne pomeni da je B manjši od A za p%. To trditev še enkrat preverimo tako, da rešimo naslednjo naloga: V razredu je 25 % več fantov kot deklet. Kolikšen odstotek deklet v tem razredu je manjši od fantov?

Branje to nalogo Takoj lahko odgovorite: za 25%. Ampak ni.

rešitev:

Naj bo m število fantov, d število deklet; (m, dN);

25%=

Po pogoju m=d+ m=

Potem je d= d=(1-)m; d=m-m; =20 %

odgovor: v razredu je 20 % manj deklet.

Enostavna rast v odstotkih.

Razmislimo o težavi. Naj bo S mesečna najemnina, kazen je p% najemnine za vsak dan zamude pri plačilu, n je število dni zamude. Kakšen znesek mora oseba plačati po n dneh zamude?

rešitev:

Označimo znesek, ki ga mora oseba plačati po n dneh zamude Sn. Za n dni zamude bo kazen (pn) % S ali S, skupaj pa boste morali plačati S+ S ali, kar je enako, (1+ S

Dobimo S n =(1+ )S

To formulo dobimo v vseh drugih primerih, ko se določena vrednost poveča za konstantno število odstotkov za vsako določeno časovno obdobje. Ta formula ima posebno ime: formula enostavna odstotna rast.

Razmislimo o težavi. Banka vlagateljem vsak mesec izplača 2 % deponiranega zneska. Stranka je prispevala 500 rubljev. Koliko denarja bo na njegovem računu čez šest mesecev?

rešitev: Za rešitev problema zamenjajmo vrednost obrestne mere p=2, število mesecev n=6 in začetni depozit S=500 v formulo:

S 6 = (1+ 500 = 1,12500 = 560 (rub.)

odgovor: v šestih mesecih bo 560 rubljev.

Podobno formulo dobimo, če se določena vrednost prekorači dano obdobječas za določeno število odstotkov. V tem primeru

Ta formula se imenuje tudi preprosta formula za odstotek rasti. Čeprav se nastavljena vrednost dejansko zmanjša.

Sestavljena odstotna rast.

V ruskih bankah je bil za nekatere vrste vlog (tako imenovane vezane depozite, ki jih ni mogoče vzeti prej kot na primer v enem letu) sprejet naslednji sistem obračunavanja denarja. Za prvo leto deponiranega zneska na računu se obračuna p% le-tega. Ob koncu leta lahko vlagatelj ta denar - "obresti" dvigne z računa.

Če tega ni storil, se pridružijo začetnemu depozitu in zato ob koncu naslednjega leta banka zaračuna p% za nov, povečan znesek. Rečeno je tudi, da so ti odstotki so napisane z veliko začetnico. Po takem sistemu se zaračunavajo "obresti na obresti" ali, kot se običajno imenujejo, zapleteno obresti.

Rešimo problem na splošen način. Naj banka obračuna p% na leto, deponirani znesek je S rubljev, znesek, ki bo na računu v n letih, pa je enak Sn rubljev.

P% S je ( rubljev in čez eno leto bo račun imel znesek S 1 =S+ S=(1+

Po dveh letih bo na računu prikazan znesek

S 2 = S 1 + S 1 = (1+ )S 1 = (1+) (1+) S = (1+) 2 S

podobno , S 3 =(1+ ) 3 S in tako naprej.

Z drugimi besedami, enakost

S n =(1+ ) n S

Ta formula se imenuje formula za rast sestavljenih obresti ali samo formula sestavljenih obresti.

Rešimo problem.

Kakšen znesek bo vezani depozit vlagatelj po 4 letih, če banka obračuna 10% letno in je deponirani znesek 5000 rubljev?

rešitev:

Zamenjaj formulo S n =(1+ ) n S Ko se vrednost zmanjša za določeno število odstotkov, štetje od prejšnje vrednosti, v formuli, kot za preprosta rast, se prikaže znak minus.

Hranilnica Rusije je sprejela naslednji sistem zbiranja denarja za nekatere vrste depozitov. Za prvo leto položenega zneska na računu se zaračuna 40% le-tega. Ob koncu leta lahko vlagatelj ta denar dvigne z računa – »obresti«, kot se jim običajno reče.

Če tega ni storil, se pridružijo začetnemu depozitu in zato ob koncu naslednjega leta banka zaračuna 40 % za nov, povečan znesek. Povedano drugače, pri takem sistemu se banka zaračuna za nov, povečan znesek. Z drugimi besedami, po takem sistemu se zaračunavajo "obresti na obresti" ali, kot se običajno imenujejo, zapleteno obresti.

Izračunajmo, koliko denarja bo vlagatelj prejel v 3 letih, če bo 1000 rubljev položil na bančni račun za določen čas. in nikoli ne bo vzel denarja z računa:

40% od 1000 rubljev. so 0,4 * 1000 = 400 rubljev, zato bo čez eno leto njegov račun imel

1000 + 400 = 1400 (rubljev)

40% novega zneska 1400 rubljev. so 0,4 * 1400 = 560 rubljev, zato bo njegov račun po 2 letih imel

1400 + 560 = 1960 (rubljev)

40% novega zneska 1960 rubljev. so 0,4 * 1960 = 784 rubljev, zato bo njegov račun po 3 letih imel

1960 + 784 = 2744 (rubljev)

Ni si težko predstavljati, koliko s tako neposrednim, " čelni» Izračun bi potreboval čas, da bi ugotovili višino prispevka v 10 letih. Medtem je izračun mogoče narediti veliko lažje.

V enem letu se bo začetni znesek povečal za 40%, torej bo 140% začetnega zneska ali, z drugimi besedami, se bo povečal za 1,4-krat. Prihodnje leto se bo za enakih 40 % povečal tudi nov, že povečan znesek. Zato se bo po 2 letih začetni znesek povečal za 1,4 * 1,4 = 1,4 2-krat.

V drugem letu se bo ta znesek povečal tudi za 1,4-krat, tako da se bo začetni znesek povečal za 1,4 * 1,4 2 = 1,4 3-krat. S to metodo sklepanja dobimo veliko enostavnejšo rešitev našega problema:

1,4 3 * 1000 \u003d 2,744 * 1000 \u003d 2744 (rubljev)

Zdaj pa rešimo ta problem v splošni obliki. Naj banka zaračuna p% na leto je deponirani znesek enak S rubljev in znesek, ki bo na računu v n let je enako S n rubljev.

p% od S so pS / 100 rubljev, čez eno leto pa bo na računu znesek S 1 = (1 + p / 100) S

to pomeni, da se bo začetni znesek povečal za 1 + p/100-krat.

V naslednjem letu se bo znesek S 1 povečal za enak znesek, zato bo čez dve leti na računu znesek

S 2 = (1 + p / 100) S 1 = (1 + p / 100) (1 + p / 100) S \u003d (1 + p / 100) 2 S.

S n \u003d (1 + p / 100) 3 S.

Ta formula se imenuje formula za rast sestavljenih obresti, ali preprosto formula sestavljenih obresti.

1. naloga. Kakšen znesek bo na nujnem računu vlagatelja po 4 letih, če banka nabere 10% letno in je deponirani znesek 2000 rubljev?

V formulo nadomestite vrednosti obrestnih mer p= 10, število let n= 4 in vrednost začetnega prispevka S = 2000, dobimo:

(1 + 10/100) 4 * 2000 = 1,1 4 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (rubljev).

Odgovor: po 4 letih bo na računu znesek 2928,2 rubljev.

Če oseba ne plača pravočasno za stanovanje, se mu naloži globa, ki se imenuje "kazni". Torej v Moskvi je kazen 1% najemnine za vsak dan zamude. Zato bo na primer za 19 dni zamude znesek 19% najemnine in na mestu, recimo, od 100 rubljev. najemnine, bo oseba morala plačati kazen 0,19 * 100 = 19 rubljev in le 119 rubljev.

Jasno je, da v različna mesta in pri različni ljudje, najemnina, velikost pani in čas zamude so različni. Zato je smiselno narediti splošna formula najemnina za neumne plačnike, ki velja v vseh okoliščinah.

Naj bo S mesečna najemnina, kazen je str% najemnine za vsak dan zamude, in n- število dni zamude. Znesek, ki ga mora oseba plačati n dni zamude, označite S n.

Potem za n dni zamude, bo kazen pn% od S ali pnS/100, skupaj pa morate plačati S+pnS/100. Tako je S n =(1+pn/100)S

1. naloga. Koliko morate plačati Moskovčanu, če je njegova najemnina 100 rubljev. in zamuja za 5 dni?

Zamenjava vrednosti v formuli str= 1 in vrednosti n= 5 * 4, dobimo:

(1 + 1 * 5/100) * 100 = 1,05 * 100 = 105 (rubljev)

Odgovor: po 5 dneh - 105 rubljev.

Tako vam uveljavljena formula omogoča hiter izračun zahtevane vrednosti plačila stanovanj.

Poglejmo še eno situacijo. Banka vlagateljem izplačuje vsak mesec str% deponiranega zneska. Torej, če je stranka položila znesek S, potem prek n mesecev na njegovem računu bo (1+pn/100)S in spet dobimo, da je S n =(1+pn/100)S

Imamo popolnoma enaka formula kot v primeru z najemnino, čeprav imajo črke v teh dveh primerih različne pomene: v prvem primeru je n število dni, v drugem primeru pa je n število mesecev, v prvem primeru je S znesek najemnine, v drugem S pa je znesek, plačan banki. Enako formulo dobimo v vseh drugih primerih, ko se določena vrednost poveča za konstantno število odstotkov za vsako določeno časovno obdobje. Ta formula opisuje mnoge specifičnih situacijah in ima posebno ime: formula za preprosto odstotno rast.

2. naloga.Banka vlagateljem vsak mesec izplača 2 % deponiranega zneska. Stranka je položila depozit v višini 500 rubljev. Koliko denarja bo na njegovem računu čez šest mesecev?

Za rešitev problema je dovolj, da v formulo nadomestimo vrednost obrestne mere str= 2, število mesecev n= 6 in začetni prispevek S = 500:

(1 + 2 * 6/100) * 500 = 1,12 * 500 = 560 (rubljev)

Odgovor: v šestih mesecih bo na depozitu 560 rubljev.

Metode reševanja problemov za preprosto in kompleksno rast odstotkov.

To je koristno vedeti.

Koristno je razumeti različne oblike izražanja enake spremembe velikosti, formulirane brez odstotkov in s pomočjo odstotkov.

Tako na primer v sporočilih »od januarja so se plače državnih uslužbencev zvišale za 50 %« in »od januarja so se plače državnih uslužbencev zvišale za 1,5-krat« pravijo enako. Podobno 2-kratno povečanje pomeni povečanje za 100%, 3-kratno povečanje pomeni 200%, zmanjšanje 2-krat pomeni zmanjšanje za 50%.

Zapomniti si je treba:

Iz zadnje formule p izrazimo:

Formula odgovarja na vprašanje: za kolikšen odstotek A več kot B.

Če je B manjši od A za q%, potem

B=A-A;

Če želite odgovoriti na vprašanje: koliko odstotkov B je manjše od A, potem iz zadnje formule, ki izraža q, dobimo

Pozorni bralec je opazil, da če je A večji od B za p%, potem to ne pomeni da je B manjši od A za p%. To trditev še enkrat preverimo tako, da rešimo naslednjo naloga: V razredu je 25 % več fantov kot deklet. Kolikšen odstotek deklet v tem razredu je manjši od fantov?

Če preberete to težavo, lahko takoj odgovorite: za 25%. Ampak ni.

Naj bo m število fantov, d število deklet; (m, dN);

Po pogoju m=d+ m=

Potem je d= d=(1-)m; d=m-m; =20 %

Odgovor: v razredu je 20 % manj deklet.

Enostavna rast v odstotkih.

Razmislimo o težavi. Naj bo S mesečna najemnina, kazen je p% najemnine za vsak dan zamude pri plačilu, n je število dni zamude. Kakšen znesek mora oseba plačati po n dneh zamude?

Označimo znesek, ki ga mora oseba plačati po n dneh zamude Sn. Za n dni zamude bo kazen (pn) % S ali S, skupaj pa boste morali plačati S+ S ali, kar je enako, (1+ S

Dobimo S n =(1+ )S

To formulo dobimo v vseh drugih primerih, ko se določena vrednost poveča za konstantno število odstotkov za vsako določeno časovno obdobje. Ta formula ima posebno ime: formula enostavna odstotna rast.

Razmislimo o težavi. Banka vlagateljem vsak mesec izplača 2 % deponiranega zneska. Stranka je prispevala 500 rubljev. Koliko denarja bo na njegovem računu čez šest mesecev?

Rešitev: Za rešitev problema zamenjajmo vrednost obrestne mere p=2, število mesecev n=6 in začetni depozit S=500 v formulo:

S 6 = (1+ 500 = 1,12500 = 560 (rub.)

Odgovor: v šestih mesecih bo 560 rubljev.

Podobno formulo dobimo, če se določena vrednost v določenem časovnem obdobju zmanjša za določeno število odstotkov. V tem primeru

Ta formula se imenuje tudi preprosta formula za odstotek rasti. Čeprav se nastavljena vrednost dejansko zmanjša.

Sestavljena odstotna rast.

V ruskih bankah je bil za nekatere vrste vlog (tako imenovane vezane depozite, ki jih ni mogoče vzeti prej kot na primer v enem letu) sprejet naslednji sistem obračunavanja denarja. Za prvo leto deponiranega zneska na računu se obračuna p% le-tega. Ob koncu leta lahko vlagatelj ta denar - "obresti" dvigne z računa.

Če tega ni storil, se pridružijo začetnemu depozitu in zato ob koncu naslednjega leta banka zaračuna p% za nov, povečan znesek. Rečeno je tudi, da so ti odstotki so napisane z veliko začetnico. Po takem sistemu se zaračunavajo "obresti na obresti" ali, kot se običajno imenujejo, zapleteno obresti.

Rešimo problem na splošen način. Naj banka obračuna p% na leto, deponirani znesek je S rubljev, znesek, ki bo na računu v n letih, pa je enak Sn rubljev.

P% S je ( rubljev in čez eno leto bo račun imel znesek S 1 =S+ S=(1+

Po dveh letih bo na računu prikazan znesek

S 2 = S 1 + S 1 = (1+ )S 1 = (1+) (1+) S = (1+) 2 S

Z drugimi besedami, enakost

Ta formula se imenuje formula za rast sestavljenih obresti ali samo formula sestavljenih obresti.

Rešimo problem.

Kakšen znesek bo na vlogi vlagatelja po 4 letih, če banka obračuna 10% letno in je deponirani znesek 5000 rubljev?

Zamenjaj formulo S n =(1+ ) n S

Vrednost obrestne mere p=10, število let n=4 in vrednost začetnega depozita S=5000 rubljev.

S 4 = (1+) 4 5000 = 1,1 4 5000 = 1,46415000 = 7320,5 (rub.)

Odgovor: čez 4 leta bo na računu 7320,5 rubljev.

Zgoraj pridobljena formula je uporabna seveda ne samo za težave pri rasti prispevka, ampak tudi za vse situacije, ko upoštevamo vrednost, ki se za vsako dano časovno obdobje poveča za določeno število odstotkov, štetje od njenega prejšnjega vrednost. Ko se vrednost zmanjša za določeno število odstotkov, štetje od prejšnje vrednosti, se v formuli pojavi znak minus, kot pri preprosti rasti.

Razmislimo o težavi.

Prebivalstvo v mestu T. Za dve leti se je povečalo za 2% letno. Posledično se je število prebivalcev povečalo za 11.312 ljudi. Koliko prebivalcev je bilo v mestu T. Sprva?

Naj bo prvotno x ljudi (xN). Potem je bilo glede na pogoj problema po dveh letih število prebivalcev x(1+) 2 ali (x+11312) ljudi. Dobimo enačbo:

x(1+) 2 = x+11312

x1,02 2 = x + 11312

x(1,02 2 -1)= 11312

x(1,02-1)(1,02+1)=11312

Odgovor: 280.000 prebivalcev je bilo v mestu T. Sprva.

Bibliografija

Egerev V.K., Zajcev V.V., Kordemsky B.A. in drugi Zbirka problemov iz matematike za kandidate na univerzah, urednik Skanavi M.I. M .: "ONIX 21. stoletje", "Svet in izobraževanje", "Zavezništvo-V", 2003.

2. G. G. Gilmieva, R. G. Khamitov. Interesne naloge. Rešujemo z lahkoto. Učno-metodični priročnik, 2008 Ritz "Šola". in zapleteno. Preprosto encimi - to preprosta ... metodologijo elektroforeza na stolpec ... potreben vedeti: 1) ... pripravite manjšega odstotek homogenat). Z ... ne rešeno nalogo. resno ... uporabno pri ...