A kamatszámítás egyszerű matematikai művelet, ami meglehetősen gyakori a Mindennapi élet. Például ki kell számolnia, hogy egy személy mennyit takarít meg a használatával kedvezmény kártya boltba vagy akciós árut vásárol kedvezményesen, hány százalékban vesz fel hitelt. A kamat számológéppel vagy arányossággal számolható, jól jön a százalékszámítási képlet és az elemi ismert arányszámok ismerete.
Az iskolai tantervben a kamatszámítást az 5. osztályban tanulják, ha nem korábban. Definíció szerint a százalék a szám századrésze. A kifejezés megjelent Az ókori Rómaés szó szerint "száztól" fordítva. Kezdetben a százalékok kiszámításának ötlete Babilonból származik. Ezzel párhuzamosan az ókori Indiában megtanulták az arányok segítségével százalékokat számolni.
Egy szám százalékos arányának meghatározásához szüksége van adott szám Nyilvánvalóan 100 1%-a eggyel egyenlő.
A szám százalékos arányának megállapítására szolgáló képlet elemi. A számot el kell osztani 100-zal, majd meg kell szorozni a kívánt százalékkal.
Ha X-nek vesszük eredeti szám, Y esetén pedig a kívánt százalék, akkor a képlet X/100*Y=...
A százalékok kiszámíthatók az arányos módszer ismeretében. Legyen A a 100-nak vett főszám, B pedig az a szám, amelynek aránya A-val in százalék ki kell számítani, és X a kívánt százalékok száma. Akkor:
A - 100%,
B - X%.
A keresztirányú szorzás egyenlőséget ad: A * X \u003d B * 100. Ezért X=B*100/A.
Például meg kell találni, hogy a 300 hány százaléka a 75. Ebből kiderül: 75*100/300=25%.
Képzeljük el az egy százalékot nem tizedesként, hanem egyszerű törtként - 1/100. Hasonlóképpen tetszőleges számú százalékot írhat. Tehát 10% 0,1 vagy 1/10, 25% 0,25 vagy 25/100 = 1/4 és így tovább. Ezért a szám 10%-ának megtalálása meglehetősen egyszerű - az eredeti számot el kell osztani 10-zel. Ily módon kényelmes a 20, 25 és 50 százalék kiszámítása:
De nem minden százalékot kényelmes ilyen módon kiszámítani. Például a 33% 33/100, ami tizedesjegyként írva 0,3333-at ad, a tizedesvessző után végtelen számú hármassal.
Ha kétségei vannak a számítások helyességével kapcsolatban, bármikor ellenőrizheti magát a számológépen, amely mostantól bármely mobil eszközés bármilyen számítógépen.
Ezt az összefüggést fordított sorrendben vesszük az adotthoz képest. A b/a arányt az a/b arány fordítottjának nevezzük. Arány két összefüggés egyenlősége.Arányban (vagy a: b \u003d c: d) az a és d számokat nevezzük szélső, valamint a b és c számok - átlagos arányának tagjai.Az arányosság alaptulajdonsága. A megfelelő arányban a szélső tagok szorzata egyenlő a középső tagok szorzatával. Ha két a: b és c: d relációra igaz az ad = bc egyenlőség, akkor a: b = c: d a helyes arány.Ha a középső vagy szélső tagokat a megfelelő arányban felcseréljük, akkor a kapott új arányok helyesek.Az aránytagok permutációja:
Származtatott arányok.
Adott arányban a következő arányok érvényesek:Egy szám egy részének megkeresése1. példa.Keresse meg a 800-as szám 5/16 részét.Megoldás .Ha elfelejtette, mit kell tennie, van egy ilyen trükk. Foglalkozzunk a „féllel”, azaz. 1/2 szám, egy példával, amit magunk állítunk össze. Például a 800 1/2-e, megértjük, hogy ez 400.800? 1/2 = 400. Milyen műveletet végeztünk? Könnyű kitalálni, hogy ez szorzás.Akkor könnyen megtalálhatjuk a 800-ból az 5/16-ot, mint 800 5/16 = 250.Válasz: 250.
Szám keresése része alapján2. példa.Keresse meg az egész számot, ha 7/15 egyenlő 210-el.Megoldás .Találjuk ki a "fél" segítségével, azaz. 1/2 a szám, mit tegyünk. Legyen például meg kell találnia egy számot, ha a fele 300. Nyilvánvalóan ez a szám 600. Milyen műveletet végeztünk?300? 1/2 \u003d 600. Gondolhatja, hogy ez egy felosztás. Ekkor könnyen megtudhatjuk, hogy mennyivel egyenlő az egész szám, ha 7/15-e egyenlő 210-nel:210: 7/15 = 210 15: 7 = 450.Válasz: 450.
3. példa. Hozzáállás c-d értéke 7/9. Keresse meg a fordított összefüggésüket.1) - 7/9; 2) ; 3) 0,8; 4) 1,4.
Megoldás .A 7/9-hez fordított arány . A javasolt válaszok közül 2 helyes.Válasz: 2.
4. példa.A sütemény tömege 15 kg, a csomag tömege 600 g. Határozza meg a sütemény tömegének arányát a csomag tömegéhez!1) 15/600; 2)5/6; 3)1/25; 4)25.
Megoldás .600 g = 0,6 kg. A sütemények tömegének és a csomag tömegének aránya 15/0,6 = 150/6 = 25. A javasolt válaszok közül 4 helyes.Válasz: 4.
5. példa.Milyen kapcsolatból A = 4,8: 0,9; B = 1,6: 0,3; B = 0,48: 0,9; G=25:12 tudsz arányt csinálni? 1) A és B; 2) B és C; 3) A és B; 4) B és G.Megoldás .Vizsgáljuk meg a javasolt összefüggéseket az arány fő tulajdonságának teljesülésére.1) Az A és B reláció esetén a szélső tagok szorzata 4,8 0,3 \u003d 1,44; középső kifejezések terméke 0,9 1,6 = 1,44; 1,44 = 1,44. Ezért ezekből az arányokból arányt lehet alkotni.2) B és C reláció esetén a szélső tagok szorzata 1,6 0,9 \u003d 1,44; középső kifejezések terméke 0,3 0,48 = 0,144; 1,44 0,1443) Az A és B reláció esetén a szélső tagok szorzata 4,8 0,9 \u003d 4,32; középső kifejezések terméke 0,9 0,48 = 0,432; 4,32 0,432. Ezért ezek az arányok nem arányosíthatók.4) B és D reláció esetén a szélső tagok szorzata 1,6 12 \u003d 19,2, a középső tagok szorzata 0,3 25 \u003d 7,5; 19,2 7,5 . Ezért ezek az arányok nem arányosíthatók.A javasolt válaszok közül 1 helyes.Válasz: 1.
6. példa.A 20:15 \u003d 16:12 arányból 4 egyenlőség készül, jelölje meg a megfelelőt. 1) 15: 20 = 16: 12
;
2) 20: 12 = 15: 16
;
3) 12: 16= 15: 20
;
4) 20: 16 = 12: 15
.
Megoldás .A megadott arány igaz marad, ha felcseréljük benne a középső vagy szélső tagokat. Ezért a javasolt arányok közül csak a 3) helyes.Válasz: 3.
7. példa.Az alább felsorolt arányok közül melyik hibás, ha 13 6 = 0,78 100? 1) 13: 6 = 0,78: 100
;
2) 13: 100 = 0,78: 6
;
3) 6: 100 = 0,78: 1
3;
4) 13: 0,78 = 100: 6
.
Megoldás .Az adott szorzategyenlőségből a tényezők permutációja és az arány alaptulajdonsága alapján négy helyes arány állítható fel:13: 0,78 = 100: 6
;
6: 0,78 = 100: 13
;
13: 100 = 0,78: 6
;
6: 100 = 0,78: 13
.
Ezért a javasolt válaszokból a hibás egyenlőség 1).Válasz: 1.
8. példa.9 ing varrásához 18,9 m anyagra volt szükség. Hány méter ugyanabból az anyagból lesz szükség 15 ing varrásához? 1) 27; 2) 35; 3) 31,5; 4) 30.
Megoldás .Legyen x m anyag szükséges 15 ing varrásához. Ezután a feltételeknek megfelelően 9 ing - 18,9 m; 15 ing - hmMivel az anyagfelhasználás egyenesen arányos az ingek számával, az egyenlőség igaz. Az x \u003d 15 18,9: 9 \u003d 31,5 arány szélső tagjának megtalálására vonatkozó szabály szerint. A javasolt válaszok közül 3 helyes.Válasz: 3.
9. példa.6 egyforma cső segítségével a medence 32 perc alatt megtelik vízzel. Hány perc alatt lehet egy medencét megtölteni 8 ilyen csővel? 1) 36 ; 2) 42; 3) 64; 4) 24.
Megoldás .A medencét 8 csővel töltsük fel x perc alatt. Akkor 6 cső - 32 perc; 8 cső - x min.Mivel a medence feltöltésének ideje fordítottan arányos a csövek számával, akkor a 6: 8 \u003d x: 32 egyenlőség igaz. Az x \u003d 6 32: 8 \u003d 24 arány középső tagjának megtalálására vonatkozó szabály szerint. A javasolt válaszok közül 4 helyes.Válasz: 4.
10. példa.Egy 140°-os szög 4 részre oszlik, amelyek fokmérői 2:3:4:5 arányban állnak egymással. Keresse meg a kapott szögek közül a legkisebb fok mértékét!1) 10°; 2) 20°; 3) 70°; 4) 120°.Megoldás . Hadd x az egyik rész fokmértéke. Ekkor a szögek mértéke 2x, 3x, 4x és 5x. Következésképpen, 2x + 3x + 4x + 5x = 140; 14x = 140; x = 10; 10°- egy részre esik. A kapott szögek közül a kisebbik fokmértéke 2 10° = 20°. A javasolt válaszok közül 2 helyes.Válasz: 2.
11. példa.A stadion építéséhez 5 buldózer 2 óra 20 perc alatt szabadította meg a helyszínt. Mennyi ideig tart 7 ilyen buldózer megtisztítani ezt a területet?1) 7/5 óra; 2) 3 óra 60 perc; 3) 1 óra 40 perc; 4) 3 óra 16 perc.Megoldás .Készítsünk arányt, tekintettel arra, hogy fordított arányosságunk van, hiszen minél több buldózer van benne, annál kevesebb az idő.5 buldózer - 7/3 óra7 buldózer - x óra. 
, amely a harmadik lehetőségnek felel meg.Válasz: 3.
12. példa.Egy fej káposzta 4/5 kg-mal nehezebb, mint ugyanannak a fejnek a 4/5-e. Mennyi egy fej káposzta tömege (kg-ban)? 1) 5; 2) 4,5; 3) 3; 4) 4.
Megoldás .Egy fej káposzta legyen x kg súlyú. Ekkor a feladat feltételének megfelelően 4/5x + 4/5 = x. Hol találjuk 1/5x = 4/5; x = 4 kg, ami a negyedik lehetőségnek felel meg.Válasz: 4.
13. példa.A három szám 8/19:0,6:93/95-ként kapcsolódik egymáshoz. A harmadik szám 36,5-tel több mint a fele az elsőnek. Keresse meg a számok közül a legnagyobbat.Megoldás .Legyen az első szám 8X/19; a második - 0,6X; a harmadik - 93X / 95.Feltétel szerint a 3. 36,5-tel nagyobb, mint az első 1/2-e:93/95 X- 1/2 8/19 X=36,5; X(93/95-4/19)=73/2; 73/95 X= 73/2; X = 46,5. Akkorelső szám (8/19) 46,5 = 20;második szám 0,6 46,5 \u003d 28,5;a harmadik szám (93/95) 46,5 = 41,5 a legnagyobb a számok közül.Válasz: 41,5.
Érdeklődés1%
századrésze (1/100) az egésznek.Egy szám százalékos arányának meghatározásához meg kell adnia a százalékok számát az űrlapon tizedes törtés szorozzuk meg a megadott számot ezzel a tizedes törttel.Egy szám százalékának megtalálása a szám egy részének megtalálásának problémájához vezet.Ha egy számot a százaléka alapján keresünk, az a számnak a része alapján történő megtalálásának problémája lesz.Egyszerű képlet százalékos növekedés
(képlet egyszerű érdeklődés)
:
, ahol S n - felhalmozott összeg ( eredeti összeg felhalmozott kamatokkal együtt). S - kezdeti összeg; R% - kamatláb az időszakra részvényekben kifejezett összegből; n a felhalmozási időszakok száma.Egy szám százalékos arányának meghatározásaA százalék a szám századrésze. Tehát a probléma a szám egy részének megtalálására redukálódik. Például, 3% = 0,03; 0,15% = 0,015; 29,34% =0,2934
.
Állítson be egy arányt. Ebben a cikkben az arányokról szeretnék beszélni. Hogy megértsük, mi az arány, hogy meg tudjuk alkotni - ez nagyon fontos, valóban spórol. Kicsi és jelentéktelen „betűnek” tűnik a matematika nagy ábécéjében, de e nélkül a matematika bénára és alsóbbrendűre van ítélve.
Először is hadd emlékeztesselek, mi az arány. Ez a forma egyenlősége:
ami ugyanaz (ez különböző alakú rekordok).
Példa:
Azt mondják, egy a kettőhöz, mint a négy a nyolchoz. Vagyis ez két reláció egyenlősége (in ezt a példát az összefüggések numerikusak).
Az arányosság alapszabálya:
a:b=c:d
a szélső tagok szorzata egyenlő az átlag szorzatával
vagyis
a∙d=b∙c
Ha az arány bármely értéke ismeretlen, akkor ennek a szabálynak a segítségével megkereshető.
Ha figyelembe vesszük az űrlap rekordjának formáját:
akkor használj többet következő szabály"kereszt szabályának" nevezik: az átlósan álló elemek (számok vagy kifejezések) szorzatának egyenlőségét írják le.
a∙d=b∙c
amint láthatja, az eredmény ugyanaz.
Ha az arány három eleme ismert, akkor
mindig találhatunk negyediket.
Ez a haszon és a szükségesség lényege
arányok a problémamegoldásban.
Nézzük meg azokat a lehetőségeket, ahol az ismeretlen x érték az arány "bármelyik helyén" van, ahol a, b, c számok:
Az x-ből az átlón álló érték a tört nevezőjébe, az átlón álló ismert értékek pedig a számlálóba szorzatként. Nem szükséges megjegyezni, mindent helyesen fog kiszámolni, ha elsajátította az arányosság alapszabályát.
Most fő kérdés A cikk címéhez kapcsolódó. Mikor spórol az arány és hol használják? Például:
1. Először is ezek érdekes feladatok. Figyelembe vettük őket a "" és a "" cikkekben.
2. Számos képlet arányként van megadva:
> szinusztétel
> háromszög elemeinek aránya
> érintő tétel
> Thalész tétele és mások.
3. A geometriával kapcsolatos feladatokban az oldalak (más elemek) vagy területek arányát gyakran a feltételben állítják be, például 1:2, 2:3 és mások.
4. Mértékegységek átváltása, és az arány az egy mértékegységek átváltására és az egyik mértékről a másikra való átváltásra szolgál:
óráktól percekig (és fordítva).
térfogategységek, terület.
— hosszúságok, például mérföldtől kilométerig (és fordítva).
fok radiánra (és fordítva).
itt az arány összeállítása nélkül elengedhetetlen.
A lényeg az, hogy helyesen kell létrehoznia a levelezést, vegye figyelembe az egyszerű példákat:
Meg kell határozni azt a számot, amely a 700 35%-a.
Százalékos problémák esetén az összehasonlítás értéket 100%-nak vesszük. ismeretlen szám jelöljük x-szel. Párosítsunk:
Azt mondhatjuk, hogy hétszázharmincöt 100 százaléknak felel meg.
X 35 százaléknak felel meg. Eszközök,
700 – 100%
x - 35%
Mi döntünk
Válasz: 245
Átalakítsa 50 percet órákra.
Tudjuk, hogy egy óra 60 percnek felel meg.
x óra 50 perc. Eszközök,
1 – 60
x - 50
Mi döntünk:
Vagyis 50 perc az óra öthatoda.
Válasz: 5/6
Nikolai Petrovich 3 kilométert vezetett. Mennyi lesz mérföldben (vegye figyelembe, hogy 1 mérföld az 1,6 km)?
Tudjuk, hogy 1 mérföld az 1,6 kilométer. Vegyük a Nyikolaj Petrovics által megtett mérföldek számát x-nek. Összeegyeztethetjük:
Egy mérföld 1,6 kilométernek felel meg.
Az X mérföld három kilométer.
1 – 1,6
x - 3
Válasz: 1875 mérföld
Tudja, hogy vannak képletek a fokok radiánokká alakítására (és fordítva). Nem írom le őket, mert úgy gondolom, hogy felesleges megjegyezni őket, és ezért sok információt meg kell őrizni a memóriában. A fokokat mindig átválthatja radiánra (és fordítva), ha arányt használ.
65 fok átváltása radiánra.
A legfontosabb dolog, amit meg kell jegyezni, hogy 180 fok a Pi radián.
Jelöljük a kívánt értéket x-szel. Állíts be egy gyufát.
Száznyolcvan fok a Pi radiánnak felel meg.
A hatvanöt fok x radiánnak felel meg. tanulmányozza a cikket
ebben a blog témában. Az anyag kicsit másképp van bemutatva, de az elv ugyanaz. Ezzel befejezem. Biztosan lesz még érdekesebb, ne hagyd ki!Ha visszaemlékezünk a matematika definíciójára, akkor ez a következő szavakat tartalmazza: matematikai tanulmányok mennyiségi KAPCSOLATOK(KAPCSOLATOK
- itt kulcsszó). Amint látja, a matematika definíciója is tartalmaz egy arányt. Általában a matematika arány nélkül nem matematika!!!Minden jót!
Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh.
P.S. Hálás lennék, ha a közösségi oldalakon mesélne az oldalról.
Az utolsó oktatóvideóban azt gondoltuk, hogyan oldjuk meg a százalékos feladatokat az arányok használatával. Ezután a feladat feltételének megfelelően meg kellett találnunk egyik vagy másik mennyiség értékét.
Ezúttal a kezdeti és a végső értékeket már megadtuk. Ezért a feladatokban meg kell találni a százalékokat. Pontosabban, hány százalékkal változott ez vagy az az érték. Próbáljuk meg.
Egy feladat. A cipők ára 3200 rubel. Az áremelés után 4000 rubelbe kezdtek fizetni. Hány százalékkal nőtt a tornacipők ára?
Tehát arányosan oldjuk meg. Az első lépés - az eredeti ár 3200 rubel volt. Ezért 3200 rubel 100%.
Ezen kívül megadatott nekünk a végső ár- 4000 rubel. Ez egy ismeretlen százalék, ezért jelöljük x-ként. A következő konstrukciót kapjuk:
3200 — 100%
4000 - x%
Nos, a probléma feltétele le van írva. Arányt készítünk:
A bal oldali tört tökéletesen lecsökken 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Ezenkívül csökkentheti 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. A következő arányt kapjuk:
Használjuk az arányosság alaptulajdonságát: a szélső tagok szorzata egyenlő a középsők szorzatával. Kapunk:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
Ez a szokásos lineáris egyenlet. Innen találjuk az x-et:
x=1000:8=125
Tehát megkaptuk a végső százalékot x = 125. De vajon a 125-ös szám a probléma megoldása? Semmiképpen! Mert a feladathoz ki kell deríteni, hogy a tornacipők ára hány százalékkal emelkedett.
Hány százalékkal - ez azt jelenti, hogy meg kell találnunk a változást:
∆ = 125 − 100 = 25
25%-ot kaptunk – ennyivel emelték az eredeti árat. Ez a válasz: 25.
Térjünk át a második feladatra.
Egy feladat. Az ing 1800 rubelbe került. Az árcsökkentés után 1530 rubelbe kezdett kerülni. Hány százalékkal csökkent az ing ára?
A feltételt lefordítjuk matematikai nyelvre. Az 1800 rubel kezdeti ára 100%. A végső ár pedig 1530 rubel – tudjuk, de nem tudni, hány százaléka az eredeti értéknek. Ezért x-szel jelöljük. A következő konstrukciót kapjuk:
1800 — 100%
1530 - x%
A kapott rekord alapján kiszámoljuk az arányt:
A további számítások egyszerűsítése érdekében az egyenlet mindkét részét osszuk el 100-zal. Más szóval, a bal és a jobb tört számlálójánál két nullát kihúzunk. Kapunk:
Most ismét használjuk az arányosság alaptulajdonságát: a szélső tagok szorzata egyenlő az átlagosak szorzatával.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Még meg kell találni x-et:
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Azt kaptuk, hogy x = 85. De mint az előző feladatban, ez a szám önmagában nem a megoldás. Térjünk vissza az állapotunkhoz. Ma már tudjuk, hogy az új ár a csökkentés után a régi ár 85%-a. És ahhoz, hogy változásokat találjon, szüksége van a régi ár, azaz 100%, kivonás új ár, azaz 85%. Kapunk:
∆ = 100 − 85 = 15
Ez a szám lesz a válasz: Figyelem: pontosan 15, semmi esetre sem 85. Ennyi! Probléma megoldódott.
A figyelmes tanulók biztosan felteszik a kérdést: miért az első feladatban a különbség megállapításánál a kezdő számot vontuk ki a végső számból, a másodikban pedig pont fordítva: a kezdeti 100%-ból vontuk ki a végső 85%-ot?
Tisztázzuk ezt. Formálisan a matematikában az értékváltozás mindig a végső és a kezdeti érték különbsége. Vagyis a második feladatban nem 15-öt, hanem -15-öt kellett volna kapnunk.
Ez a mínusz azonban semmi esetre sem szerepelhet a válaszban, mert az eredeti probléma állapotánál már figyelembe vették. Ott az árcsökkentésről van szó. A 15%-os árcsökkenés megegyezik a -15%-os áremelkedéssel. Éppen ezért a feladat megoldásában és válaszában elég csak 15-öt írni - minden mínusz nélkül.
Remélem, ezzel a pillanattal mindent megértettünk. Ezzel a mai leckénk is véget ért. Hamarosan találkozunk!
