Calcularea dobânzii este ușor operatie matematica care este destul de comun în Viata de zi cu zi... De exemplu, trebuie să calculați cât economisesc oamenii utilizând card de reduceri magazin sau cumpărarea de bunuri la reducere, la ce procent este nevoie de un împrumut. Procentele pot fi calculate folosind un calculator sau proporții, sunt utile formula de calcul a procentelor și cunoașterea rapoartelor elementare cunoscute.
Calculul procentelor din programa școlară se predă în clasa a V-a, dacă nu mai devreme. Prin definiție, un procent este o sutime dintr-un număr. Termenul a apărut în Roma anticăși se traduce literal prin „de la o sută”. Ideea originală de a calcula dobânda datează din Babilon. În același timp, în India antică, au învățat să calculeze procentele folosind proporții.
Pentru a găsi procentul din număr, aveți nevoie număr datîmpărțiți la 100. Evident, 1% din 100 este egal cu unu.
Formula pentru găsirea procentului unui număr este simplă. Este necesar să împărțiți numărul la 100 și apoi să îl înmulțiți cu procentul dorit.
Dacă luăm pentru X numărul original, iar pentru Y - procentul dorit, atunci formula se scrie sub forma X / 100 * Y = ...
Calculul procentelor se poate face cu o înțelegere a metodei proporției. Fie A numărul principal, luat ca 100%, B - numărul, al cărui raport față de A în procent este necesar să se calculeze, iar X este numărul de procente necesare. Atunci:
A - 100%,
B - X%.
Înmulțirea transversală va da egalitate: A * X = B * 100. Prin urmare, X = B * 100 / A.
De exemplu, trebuie să știți câte procente din 300 este numărul 75. Rezultă: 75 * 100/300 = 25%.
Să ne imaginăm un procent nu ca o zecimală, ci ca o fracție simplă - 1/100. În mod similar, puteți scrie orice număr de procente. Deci, 10% este 0,1 sau 1/10, 25% este 0,25 sau 25/100 = 1/4 și așa mai departe. Prin urmare, găsirea a 10% din număr este destul de simplă - trebuie să împărțiți numărul inițial la 10. Este convenabil să calculați 20, 25 și 50 la sută în acest fel:
Dar nu orice procent este convenabil de calculat folosind această metodă. De exemplu, 33% este 33/100, care atunci când este scris în zecimală dă 0,3333 cu un număr infinit de triple după virgulă.
Dacă aveți îndoieli cu privire la corectitudinea calculelor, vă puteți verifica oricând pe calculator, care se află acum în orice dispozitiv mobilși pe orice computer.
Este o relație luată în ordine inversă față de una dată. Raportul b/a se numește raportul invers a/b. Proporţie este egalitatea a două relații.Proporțional (sau a: b = c: d) se numesc numerele a și d extrem, iar numerele b și c - in medie membri ai proporţiei.Principala proprietate a proporției... În proporția corectă, produsul membrelor extreme este egal cu produsul membrilor săi mijlocii. Dacă pentru două rapoarte a: b și c: d este valabilă egalitatea ad = bс, atunci a: b = c: d este proporția corectă.Dacă membrii mijlocii sau membrii extremi sunt interschimbați în proporția corectă, atunci noile proporții rezultate sunt corecte.Permutarea termenilor de proporție:
Proporții derivate.
Având în vedere o proporție, următoarele proporții sunt adevărate:Găsirea unei părți dintr-un numărExemplul 1.Găsiți partea 5/16 din 800.Soluție.Dacă ați uitat ce acțiune să luați, există o astfel de tehnică. Să ne ocupăm de „jumătate”, adică. 1/2 din număr, folosind un exemplu pe care îl vom compune singuri. De exemplu, 1/2 din 800, înțelegem că acesta este 400.800? 1/2 = 400. Ce acțiune am făcut? Nu este greu de ghicit că aceasta este înmulțire.Atunci putem găsi cu ușurință 5/16 din 800 ca 800 5/16 = 250.Răspuns : 250.
Găsirea unui număr după partea saExemplul 2.Aflați numărul întreg dacă 7/15 este 210.Soluție.Să aflăm cu ajutorul „jumătății”, adică. 1/2 din număr, ce acțiune ar trebui să facem. Să presupunem, de exemplu, că trebuie să găsiți un număr dacă jumătatea lui este egală cu 300. Evident, acest număr este 600. Ce acțiune am făcut?300? 1/2 = 600. Ați putea ghici că aceasta este o diviziune. Atunci putem găsi cu ușurință cu ce este egal întregul număr, dacă 7/15 lui sunt egali cu 210:210: 7/15 = 210 15: 7 = 450.Răspuns : 450.
Exemplul 3. Atitudine c la d este 7/9. Găsiți relația lor inversă.1) - 7/9; 2) ; 3) 0,8; 4) 1,4.
Soluție.Opusul lui 7/9 este. Dintre răspunsurile propuse, cel corect este 2).Răspuns : 2.
Exemplul 4.Greutatea biscuitului este de 15 kg, iar greutatea pachetului este de 600 g. Aflați raportul dintre greutatea biscuitului și greutatea pachetului.1) 15/600; 2)5/6; 3)1/25; 4)25.
Soluție.600 g = 0,6 kg. Raportul dintre greutatea biscuitului și greutatea pachetului este 15 / 0,6 = 150/6 = 25. Dintre răspunsurile propuse, 4 sunt corecte).Răspuns : 4.
Exemplul 5.Ce relatie A = 4,8: 0,9; B = 1,6: 0,3; B = 0,48: 0,9; G = 25: 12 poti sa faci o proportie? 1) A și B; 2) B și C; 3) A și B; 4) B și D.Soluție.Să verificăm relațiile propuse pentru îndeplinirea proprietății principale de proporție.1) Pentru relațiile A și B, produsul termenilor extremi este 4,8 · 0,3 = 1,44; produs de termeni medii 0,9 * 1,6 = 1,44; 1,44 = 1,44... Prin urmare, este posibil să se compună o proporție din aceste relații.2) Pentru relațiile B și C, produsul termenilor extremi este 1,6 · 0,9 = 1,44; produs de termeni medii 0,3 * 0,48 = 0,144; 1,44 0,1443) Pentru relațiile A și B, produsul termenilor extremi este 4,8 · 0,9 = 4,32; produs de termeni medii 0,9 * 0,48 = 0,432; 4,32 0,432... Prin urmare, aceste relații nu pot fi proporționale.4) Pentru relațiile B și D, produsul termenilor extremi este 1,6 · 12 = 19,2, produsul termenilor medii este 0,3 · 25 = 7,5; 19,2 7,5. Prin urmare, aceste relații nu pot fi proporționale.Dintre răspunsurile propuse, cel corect este 1).Răspuns : 1.
Exemplul 6.Din raportul 20: 15 = 16: 12, sunt compilate 4 egalități, indicați-o pe cea corectă. 1) 15: 20 = 16: 12
;
2) 20: 12 = 15: 16
;
3) 12: 16= 15: 20
;
4) 20: 16 = 12: 15
.
Soluție.Proporția specificată va rămâne corectă dacă membrii de mijloc sau extremi sunt schimbați în ea. Prin urmare, dintre proporțiile propuse, doar 3 este corect).Răspuns : 3.
Exemplul 7.Care dintre următoarele egalități de relații este compusă incorect dacă 13 6 = 0,78 100? 1) 13: 6 = 0,78: 100
;
2) 13: 100 = 0,78: 6
;
3) 6: 100 = 0,78: 1
3;
4) 13: 0,78 = 100: 6
.
Soluție.Dintr-o egalitate dată de produse, bazată pe permutarea factorilor și principala proprietate a proporției, se pot face patru proporții corecte:13: 0,78 = 100: 6
;
6: 0,78 = 100: 13
;
13: 100 = 0,78: 6
;
6: 100 = 0,78: 13
.
Prin urmare, din răspunsurile propuse, egalitatea incorectă este 1).Răspuns : 1.
Exemplul 8.A fost nevoie de 18,9 m de material pentru a coase 9 cămăși. Câți metri din aceeași țesătură ar fi necesari pentru a coase 15 cămăși? 1) 27; 2) 35; 3) 31,5; 4) 30.
Soluție.Să presupunem că pentru coaserea a 15 cămăși necesită x m de material. Apoi, conform condiției, 9 tricouri - 18,9 m; 15 tricouri - HMDeoarece consumul de țesătură este direct proporțional cu numărul de cămăși, atunci egalitatea este adevărată. După regula găsirii termenului extrem al proporției x = 15 18,9: 9 = 31,5. Dintre răspunsurile propuse, 3 sunt corecte).Răspuns : 3.
Exemplul 9.Folosind 6 conducte identice, piscina se umple cu apa in 32 de minute. Câte minute poți umple o piscină cu 8 dintre aceste țevi? 1) 36 ; 2) 42; 3) 64; 4) 24.
Soluție.Lăsați piscina să fie umplută cu 8 țevi în x minute. Atunci 6 conducte - 32 min; 8 tevi - x min.Deoarece timpul de umplere al piscinei este invers proporțional cu numărul de țevi, egalitatea 6: 8 = x: 32 este adevărată. Conform regulii găsirii termenului mediu al proporției x = 6 32: 8 = 24. Dintre răspunsurile propuse, 4 sunt corecte).Răspuns : 4.
Exemplul 10.Unghiul de 140 ° este împărțit în 4 părți, ale căror măsuri de grad sunt legate ca 2: 3: 4: 5. Aflați măsura gradului celui mai mic dintre unghiurile rezultate.1) 10 °; 2) 20 °; 3) 70 °; 4) 120 °.Soluție. Lasa x este măsura gradului unei părți. Atunci gradele de măsură ale unghiurilor sunt, respectiv, egale cu 2x, 3x, 4x și 5x. Prin urmare, 2x + Zx + 4x + 5x = 140; 14x = 140; x = 10; 10 °- cade pe o parte. Gradul de măsurare a celui mai mic dintre unghiurile obținute este 2 · 10 ° = 20 °. Dintre răspunsurile propuse, cel corect este 2).Răspuns : 2.
Exemplul 11.Pentru construcția stadionului, 5 buldozere au degajat șantierul în 2 ore și 20 de minute. Cât timp va dura până când 7 astfel de buldozere vor curăța această zonă?1) 7/5 h; 2) 3 ore 60 minute; 3) 1 oră 40 minute; 4) 3 h 16 min.Soluție.Să facem o proporție, ținând cont că avem o proporție inversă, deoarece cu cât sunt implicate mai multe buldozere, cu atât mai puțin timp.5 buldozere - 7/3 ore7 buldozere - x ore. 
, care corespunde celei de-a treia opțiuni.Răspuns : 3.
Exemplul 12.Un cap de varza este cu 4/5 kg mai greu decat 4/5 din acelasi cap. Care este masa unui cap de varză (în kg)? 1) 5; 2) 4,5; 3) 3; 4) 4.
Soluție.Lăsați varza să cântărească x kg. Apoi, după condiția problemei, 4 / 5x + 4/5 = x. Unde găsim 1 / 5x = 4/5; x = 4 kg, care corespunde celei de-a patra opțiuni.Răspuns : 4.
Exemplul 13.Cele trei numere sunt legate ca 8/19: 0,6: 93/95. Al treilea număr este cu 36,5 mai mult decât jumătate din primul. Găsiți cel mai mare dintre numere.Soluție.Fie primul număr 8X / 19; al doilea - 0,6X; al treilea - 93X / 95.După condiție, al treilea este mai mult de 1/2 din primul cu 36,5:93/95 X- 1/2 8/19 X = 36,5; X (93 / 95-4 / 19) = 73/2; 73/95 X = 73/2; X = 46,5... Atunciprimul număr (8/19) 46,5 = 20;al doilea număr este 0,6 * 46,5 = 28,5;al treilea număr (93/95) 46,5 = 41,5 este cel mai mare dintre numere.Răspuns : 41,5.
Interes1%
este o sutime (1/100) parte a întregului.Pentru a găsi procentul din număr, trebuie să reprezentați numărul de procente în formular zecimalși înmulțiți numărul dat cu această fracție zecimală.Găsirea procentului unui număr se reduce la găsirea părții unui număr.Găsirea unui număr după procentul său se reduce la sarcina de a găsi un număr după partea sa.Formula simplă crestere procentuala
(formulă interes simplu)
:
, unde S n este suma acumulată ( cantitatea originalaîmpreună cu dobânda acumulată); S este suma inițială; R% - rata dobânzii a sumei exprimate în acțiuni pentru perioada; n este numărul de perioade de acumulare.Găsirea procentului unui numărProcentul este o sutime dintr-un număr. Prin urmare, sarcina se reduce la găsirea unei părți din număr. De exemplu, 3% = 0,03; 0,15% = 0,015; 29,34% =0,2934
.
Alcătuiți proporția. În acest articol, vreau să vă vorbesc despre proporție. Pentru a înțelege ce este proporția, pentru a o putea compune este foarte important, chiar economisește. Aceasta este o „litera” aparent mică și nesemnificativă în marele alfabet al matematicii, dar fără ea matematica este sortită să fie șchiopătă și defectuoasă.
Pentru început, permiteți-mi să vă reamintesc ce este proporția. Aceasta este o egalitate a formei:
care este același (acesta formă diferităînregistrări).
Exemplu:
Se spune că unu este la doi, precum și patru este la opt. Adică, aceasta este egalitatea a două relații (în acest exemplu relaţiile sunt numerice).
Regula de bază a proporției:
a: b = c: d
produsul termenilor extremi este egal cu produsul mijloacelor
acesta este
a ∙ d = b ∙ c
Dacă orice cantitate în proporție este necunoscută, poate fi găsită folosind această regulă.
Dacă luăm în considerare forma unei înregistrări a formei:
apoi folosesc și ei următoarea regulă, se numește „regula crucii”: se scrie egalitatea produselor elementelor (numere sau expresii) pe diagonală
a ∙ d = b ∙ c
după cum puteți vedea, rezultatul este același.
Dacă se cunosc trei elemente ale proporției, atunci
îl putem găsi întotdeauna pe al patrulea.
Aceasta este esența beneficiilor și a nevoii
proporţii la rezolvarea problemelor.
Să luăm în considerare toate opțiunile în care valoarea necunoscută x este în „orice loc” a proporției, unde a, b, c sunt numere:
Valoarea de pe diagonala de la x este scrisă în numitorul fracției, iar valorile cunoscute de pe diagonală sunt scrise la numărător, ca produs. Nu este necesar să-l memorezi, vei calcula totul corect dacă ai învățat regula de bază a proporției.
Acum întrebarea principală asociat cu titlul articolului. Când salvează proporția și unde este folosită? De exemplu:
1. În primul rând, acestea sunt sarcini de interes. Le-am considerat în articolele „” și „”.
2. Multe formule sunt date sub formă de proporții:
> teorema sinusului
> raportul elementelor din triunghi
> teorema tangentei
> Teorema lui Thales și altele.
3. În problemele de geometrie, condiția specifică adesea raportul laturilor (alte elemente) sau zonelor, de exemplu 1: 2, 2: 3 și altele.
4. Conversia unităților de măsură și proporția este utilizată pentru a converti unitățile atât într-o măsură, cât și pentru a converti de la o măsură la alta:
- ore până la minute (și invers).
- unități de volum, suprafață.
- lungimi, de exemplu mile în kilometri (și invers).
- grade la radiani (și invers).
aici nu se poate face fără a întocmi o proporție.
Punctul cheie este că trebuie să stabiliți corect corespondența, să ne uităm la exemple simple:
Este necesar să se determine numărul care este 35% din 700.
În problemele pe procente, valoarea cu care comparăm este considerată 100%. Numar necunoscut notează cu x. Să stabilim corespondența:
Putem spune că șapte sute treizeci și cinci corespund la 100 la sută.
X corespunde la 35 la sută. Mijloace,
700 – 100%
x - 35%
Rezolvăm
Raspuns: 245
Să traducem 50 de minute în ore.
Știm că o oră înseamnă 60 de minute.
x ore este de 50 de minute. Mijloace,
1 – 60
x - 50
Noi decidem:
Adică 50 de minute reprezintă cinci șesime dintr-o oră.
Răspuns: 5/6
Nikolai Petrovici a condus 3 kilometri. Câte mile vor fi (rețineți că 1 milă înseamnă 1,6 km)?
Se știe că 1 milă înseamnă 1,6 kilometri. Să luăm numărul de mile pe care Nikolai Petrovici a parcurs x. Putem stabili o corespondență:
O milă corespunde la 1,6 kilometri.
X mile sunt trei kilometri.
1 – 1,6
x - 3
Răspuns: 1.875 mile
Știți că există formule pentru conversia gradelor în radiani (și invers). Nu le notez, considerând că este inutil să le memorezi, așa că trebuie să păstrezi o mulțime de informații în memorie. Puteți converti oricând grade în radiani (și invers) dacă utilizați proporție.
Să convertim 65 de grade într-o măsură în radiani.
Principalul lucru de reținut este că 180 de grade sunt radiani Pi.
Să notăm valoarea cerută ca x. Stabilim o corespondență.
O sută optzeci de grade corespund cu radiani Pi.
Șaizeci și cinci de grade sunt x radiani. articol de studiu
pe acest subiect pe blog. Materialul din el este prezentat oarecum diferit, dar principiul este același. Voi încheia cu asta. Cu siguranță va mai fi ceva interesant, nu ratați!Dacă vă amintiți însăși definiția matematicii, atunci aceasta conține următoarele cuvinte: studii de matematică RELAȚII cantitative(RELAŢIE
- Aici cuvânt cheie). După cum puteți vedea, însăși definiția matematicii este proporțională. In general, matematica fara proportie nu este matematica !!!Toate cele bune!
Salutări, Alexander Krutitskikh.
P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati putea spune despre site pe retelele de socializare.
În ultimul tutorial video, ne-am uitat la rezolvarea problemelor cu procente folosind proporții. Apoi, în funcție de starea problemei, trebuia să găsim valoarea acestei sau acelea cantități.
De data aceasta, valorile inițiale și finale ne-au fost deja date. Prin urmare, în sarcini va fi necesar să se găsească procentele. Mai precis, cu ce procent s-a schimbat cutare sau cutare valoare. Sa incercam.
Sarcină. Adidașii costă 3200 de ruble. După creșterea prețului, au costat 4.000 de ruble. Cu cât a crescut prețul adidașilor?
Deci, decidem prin proporție. Primul pas - prețul inițial a fost de 3200 de ruble. Prin urmare, 3200 de ruble este 100%.
În plus, ni s-a dat pretul final- 4000 de ruble. Acesta este un procent necunoscut, deci să-l notăm cu x. Obținem următoarea construcție:
3200 — 100%
4000 - x%
Ei bine, declarația problemei este scrisă. Facem proporția:
Fracția din stânga este perfect redusă cu 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. De asemenea, puteți reduce cu 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Obținem următoarea proporție:
Să folosim principala proprietate a proporției: produsul termenilor extremi este egal cu produsul mijloacelor. Primim:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
Aceasta este o ecuație liniară obișnuită. De aici găsim x:
x = 1000: 8 = 125
Deci, am obținut procentul final x = 125. Dar este numărul 125 o soluție a problemei? În nici un caz! Pentru că sarcinile vă cer să aflați cu ce procent a crescut prețul pantofilor sport.
Ce procent - asta înseamnă că trebuie să găsim schimbarea:
∆ = 125 − 100 = 25
Primit 25% - așa a fost majorat prețul inițial. Acesta este răspunsul: 25.
Să trecem la a doua sarcină.
Sarcină. Cămașa a costat 1.800 de ruble. După reducerea prețului, a început să coste 1.530 de ruble. Cu cat s-a redus pretul camasii?
Traducem condiția în limbaj matematic. Prețul inițial de 1800 de ruble este de 100%. Și prețul final de 1.530 de ruble - îl știm, dar nu știm câte procente este din valoarea inițială. Prin urmare, o notăm cu x. Obținem următoarea construcție:
1800 — 100%
1530 - x%
Pe baza înregistrării rezultate, compunem proporția:
Să împărțim ambele părți ale acestei ecuații la 100 pentru a simplifica calculele ulterioare. Cu alte cuvinte, vom tăia două zerouri la numărătorii fracțiilor din stânga și din dreapta. Primim:
Acum vom folosi din nou proprietatea principală a proporției: produsul termenilor extremi este egal cu produsul mijloacelor.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Rămâne de găsit x:
x = 1530: 18 = (765 2): (9 2) = 765: 9 = (720 + 45): 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Am obținut că x = 85. Dar, ca și în problema anterioară, acest număr în sine nu este un răspuns. Să ne întoarcem la starea noastră. Știm acum că noul preț primit după scădere este de 85% din cel vechi. Și pentru a găsi schimbarea, trebuie preț vechi, adică 100%, scade pret nou, adică 85%. Primim:
∆ = 100 − 85 = 15
Acest număr va fi răspunsul: Atenție: este 15, și în niciun caz 85. Atât! Problema a fost rezolvată.
Elevii atenți vor întreba probabil: de ce în prima problemă, când am găsit diferența, am scăzut numărul inițial din numărul final, iar în a doua problemă am făcut exact invers: am scăzut 85% final din 100% inițial. ?
Să lămurim acest punct. Formal, în matematică, o modificare a valorii este întotdeauna diferența dintre valoarea finală și valoarea inițială. Cu alte cuvinte, în a doua problemă ar fi trebuit să obținem nu 15, ci -15.
Cu toate acestea, în niciun caz acest minus nu trebuie inclus în răspuns, deoarece a fost deja luat în considerare în starea problemei inițiale. Spune direct despre reducerea prețului. Și o reducere de preț cu 15% este aceeași cu o creștere de preț cu 15%. De aceea, în rezolvarea și răspunsul problemei este suficient să scrieți doar 15 - fără niciun dezavantaj.
Toate, sper, cu acest moment ne-am dat seama. Aceasta se încheie lecția noastră de astăzi. Pana data viitoare!
