Meghatározás. A legnagyobb természetes szám, amellyel az a és b szám osztható maradék nélkül, az úgynevezett legnagyobb közös tényező (gcd) ezeket a számokat.
Keresse meg a 24 és 35 számok legnagyobb közös osztóját.
A 24 osztói az 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 számok, a 35 osztói pedig az 1, 5, 7, 35 számok lesznek.
Látjuk, hogy a 24-es és 35-ös számoknak csak egy közös osztója van - az 1-es szám. Az ilyen számokat ún. kölcsönösen egyszerű.
Meghatározás. Természetes számokat hívunk kölcsönösen egyszerű ha a legnagyobb közös osztójuk (GCD) 1.
Legnagyobb közös osztó (GCD) megtalálható anélkül, hogy kiírnánk a megadott számok összes osztóját.
A 48-as és 36-os számokat faktorálva kapjuk:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
A számok közül az első bontásában szereplő tényezők közül törölje azokat, amelyek nem szerepelnek a második szám bontásában (azaz két kettes).
A tényezők továbbra is 2 * 2 * 3. Ezek szorzata 12. Ez a szám a 48 és 36 számok legnagyobb közös osztója. Három vagy több szám legnagyobb közös osztója is megtalálható.
Megtalálni legnagyobb közös tényező
2) ezen számok egyikének bontásában szereplő tényezők közül törölje azokat, amelyek nem szerepelnek más számok bontásában;
3) keresse meg a többi tényező szorzatát.
Ha mindezek a számok oszthatók valamelyikkel, akkor ez a szám legnagyobb közös tényező adott számokat.
Például a 15, 45, 75 és 180 legnagyobb közös osztója 15, mivel az összes többi szám osztható vele: 45, 75 és 180.
Meghatározás. Legkevésbé gyakori többszörös (LCM) az a és b természetes számokat a legkisebb természetes számnak nevezzük, amely az a és b többszöröse. A 75-ös és 60-as számok legkisebb közös többszöröse (LCM) megtalálható anélkül, hogy ezeknek a számoknak a többszöröseit sorba írnánk. Ehhez bontjuk a 75 -et és a 60 -at prímtényezőkre: 75 = 3 * 5 * 5 és 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Írjuk ki a számok közül az első bontásában szereplő tényezőket, és adjuk hozzájuk a második szám bomlásából származó hiányzó 2. és 2. tényezőt (azaz egyesítsük a tényezőket).
Öt 2 * 2 * 3 * 5 * 5 tényezőt kapunk, melynek szorzata 300. Ez a szám 75 és 60 legkisebb közös többszöröse.
A három vagy több szám legkevésbé gyakori többszöröse is megtalálható.
Nak nek keresse meg a legkisebb közös többszörösét több természetes számra van szüksége:
1) bontsa fel őket prímtényezőkre;
2) írja le az egyik szám dekompozíciójában szereplő tényezőket;
3) adja hozzá a hiányzó tényezőket a fennmaradó számok bővítéséből;
4) keresse meg a kapott tényezők szorzatát.
Vegye figyelembe, hogy ha ezen számok egyike osztható az összes többi számmal, akkor ez a szám a számok legkevésbé gyakori többszöröse.
Például a 12, 15, 20 és 60 legkevésbé gyakori többszöröse 60, mert osztható ezekkel a számokkal.
Pitagorasz (VI. Század) és tanítványai a számok oszthatóságának kérdését tanulmányozták. Szám, egyenlő az összeggel minden osztóját (maga szám nélkül) tökéletes számnak nevezték. Például a 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) számok tökéletesek. A következő tökéletes számok: 496, 8128, 33 550 336. A pitagoraiak csak az első három tökéletes számot ismerték. A negyedik - 8128 - az I. században vált ismertté. n. NS. Az ötödiket - 33 550 336 - a 15. században találták meg. 1983 -ra már 27 tökéletes szám ismert. De eddig a tudósok nem tudják, hogy vannak -e páratlan tökéletes számok, van -e a legnagyobb tökéletes szám.
Az ókori matematikusok érdeklődése a prímszámok iránt annak tudható be, hogy bármely szám vagy prím, vagy prímszámok szorzataként ábrázolható, azaz. prímszámok olyanok, mint a téglák, amelyekből a többi természetes szám épül.
Valószínűleg Ön is észrevette, hogy a természetes számok sorozatában a prímszámok egyenetlenül fordulnak elő - a sorozat egyes részeiben több, máshol kevesebb. De minél tovább haladunk számsorozat, a kevésbé gyakoriak a prímszámok. Felmerül a kérdés: van-e utolsó (legnagyobb) prímszám? Az ókori görög matematikus, Euklidész (Kr. E. III. Század) "Kezdetek" című könyvében, amely kétezer évig a matematika fő tankönyve volt, bebizonyította, hogy végtelen sok prímszám van, vagyis minden prím mögött még nagyobb prímszám van. .
A prímszámok megtalálásához ugyanezen idő egy másik görög matematikusa, Eratoszthenész talált ki egy ilyen módszert. Felírta az összes számot 1 -től néhány számig, majd áthúzta az egységet, amely sem prím, sem nem összetett szám, majd áthúzta az összes számot 2 után (a számok többszörösei, azaz 4, 6, 8 stb.). Az első megmaradt szám 2 után 3 volt. Ezután a 3 utáni összes számot (3 -szoros számokat, azaz 6, 9, 12 stb.) Kettő után áthúztuk. végül csak a prímszámok maradtak keresztezetlenek.
A Legnagyobb közös osztó és a Legkisebb közös többszörös kulcsfontosságú aritmetikai fogalmak, amelyek megkönnyítik a törtek kezelését. LCM és leggyakrabban több tört közös nevezőjének megtalálására használják.
Az X egész szám osztója egy másik Y egész szám, amely X -et maradék nélkül osztja fel. Például a 4 osztója 2, a 36 pedig 4, 6, 9. X egész szám többszöröse az Y szám, amely X -nel osztható maradék nélkül. Például a 3 a 15 többszöröse, a 6 pedig a 12.
Bármely számpárhoz megtalálhatjuk közös osztóikat és többszöröseiket. Például 6 és 9 esetén a közös többszörös 18, a közös osztó pedig 3. Nyilvánvaló, hogy a pároknak több osztója és többszöröse is lehet, ezért a GCD legnagyobb osztóját és az LCM legkisebb többszörösét használják a számítások.
A legkisebb osztónak nincs értelme, mivel bármely szám esetén mindig egy. A legnagyobb többszörös is értelmetlen, mivel a többszörös sorozat a végtelenségig hajlik.
Számos módszer létezik a legnagyobb közös osztó megtalálására, amelyek közül a leghíresebbek:
Ma ma oktatási intézmények a legnépszerűbbek az elsődleges faktorizációs módszerek és az euklideszi algoritmus. Ez utóbbit pedig a diofantinuszi egyenletek megoldására használják: a GCD keresése szükséges ahhoz, hogy ellenőrizzük az egyenlet egész számokban való feloldásának lehetőségét.
A legkisebb közös többszöröst is szekvenciális felsorolás vagy oszthatatlan tényezőkké alakítás határozza meg. Ezenkívül könnyű megtalálni az LCM -et, ha már meghatároztuk a legnagyobb osztót. Az X és Y számok esetében az LCM és a GCD a következő összefüggésben van:
LCM (X, Y) = X × Y / GCD (X, Y).
Például, ha GCD (15,18) = 3, akkor LCM (15,18) = 15 × 18/3 = 90. Az LCM használatának legnyilvánvalóbb példája a közös nevező megtalálása, amely az adott törtek legkevésbé gyakori többszöröse.
Ha egy számpárnak nincs közös osztója, akkor az ilyen párt coprime -nak nevezzük. A GCD ilyen pároknak mindig egyenlő eggyel, és az osztók és többszörösek közötti kapcsolat alapján a koprím LCM megegyezik a szorzatukkal. Például a 25 és 28 számok viszonylag prímek, mivel nincs közös osztójuk, és az LCM (25, 28) = 700, ami megfelel a szorzatuknak. Bármely két oszthatatlan szám mindig kölcsönösen prím lesz.
Közös osztó és többszörös számológép
Számológépünkkel tetszőleges számú szám közül kiszámíthatja a GCD -t és az LCM -et. A közös osztók és szorzók számítási feladatai az aritmetikában találhatók az 5., 6. osztályban, azonban a GCD és az LCM kulcsfogalmak matematikában, és használják a számelméletben, a planimetriában és a kommunikációs algebrában.
A legkisebb közös többszöröst használjuk a többszörös törtek közös nevezőjének megtalálásához. Engedje meg, hogy egy számtani feladatban 5 törtet összegezzünk:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
A törtek hozzáadásához a kifejezést közös nevezőre kell csökkenteni, ami az LCM megtalálásának problémájára redukálódik. Ehhez válasszon 5 számot a számológépben, és írja be a nevező értékeit a megfelelő cellákba. A program kiszámítja az LCM-et (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Most minden törthez ki kell számítania a további tényezőket, amelyek az LCM és a nevező arányaként vannak meghatározva. Így a további tényezők így fognak kinézni:
Ezt követően megszorozzuk az összes törtet a megfelelő kiegészítő tényezővel, és kapjuk:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Könnyen hozzáadhatunk ilyen törteket, és megkapjuk az eredményt a 159/360 formában. 3 -ra csökkentjük a töredéket, és látjuk a végső választ - 53/120.
A lineáris diofantin egyenletek ax + by = d alakú kifejezések. Ha a d / gcd (a, b) arány egész szám, akkor az egyenlet egész számokban megoldható. Nézzünk meg néhány egyenletet az egész megoldás lehetőségére. Először ellenőrizze a 150x + 8y = 37 egyenletet. A számológép segítségével keresse meg a GCD (150,8) = 2. Osztás 37/2 = 18,5. A szám nem egész szám, ezért az egyenletnek nincs egész gyöke.
Ellenőrizzük az 1320x + 1760y = 10120 egyenletet. A számológép segítségével keressük meg a GCD -t (1320, 1760) = 440. Oszd meg az 10120/440 = 23. Ennek eredményeként egy egész számot kapunk, ezért a diofantinus egyenlet egészben megoldható együtthatók.
A GCD és az LCM nagy szerepet játszik a számelméletben, és maguk a fogalmak széles körben használatosak a matematika különböző területein. Használja számológépünket a számok legnagyobb osztóinak és legkisebb többszöröseinek kiszámításához.
Az LCM kiszámításának megértéséhez először el kell döntenie a "többszörös" kifejezés jelentését.
Az A többszöröse egy természetes szám, amely osztható A -val. Tehát az 5 -ös többszörösei 15, 20, 25 stb.
Egy adott szám osztói lehetnek korlátozott mennyiség, de a többszörösök végtelenek.
A természetes számok közös többszöröse olyan szám, amely maradék nélkül osztható velük.
A legkisebb közös többszörös (LCM) számok (kettő, három vagy több) a legkisebb természetes szám, amely osztható mindezekkel a számokkal.
Az LCM megtalálásának több módja is van.
Kis számok esetén célszerű ezeknek a számoknak az összes többszörösét egy sorba felírni, amíg nincs köztük közös. A többszörösöket a bejegyzésben nagy K betűvel jelölik.
Például a 4 többszörösei így írhatók:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Így látható, hogy a 4 és 6 legkisebb közös többszöröse 24. Ez a bejegyzés végrehajtásra kerül a következő módon:
LCM (4, 6) = 24
Ha a számok nagyok, keresse meg a három vagy több szám közös többszörösét, akkor jobb, ha más módszert használ az LCM kiszámításához.
A feladat elvégzéséhez a javasolt számokat prímtényezőkre kell bontani.
Először be kell írnia a legnagyobb számok bomlását egy sorba, és alatta - a többit.
Az egyes számok bővítésében különböző tényezők lehetnek.
Például vegyük az 50 -es és 20 -as számokat prímtényezőkbe.
Kisebb szám bővítésekor érdemes kiemelni azokat a tényezőket, amelyek az első legnagyobb szám bővítésében hiányoznak, majd ezeket hozzá kell adni. A bemutatott példában hiányzik a kettő.
Most kiszámolhatja a 20 és 50 legkisebb közös többszörösét.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Tehát a prímtényezők szorzata többés a második szám azon tényezői, amelyek nem szerepelnek a nagyobb bővítésében, a legkevésbé gyakori többszörösei lesznek.
Három vagy több szám LCM-jének meghatározásához mindegyiket prímtényezőkre kell bontani, mint az előző esetben.
Példaként keresse meg a 16, 24, 36 legkisebb közös többszörösét.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Tehát egy nagyobb szám faktorizálása nem csak két kettőt tartalmazott a tizenhat faktorizálásából (az egyik a huszonnégy faktorizálásában).
Így ezeket hozzá kell adni a nagyobb szám bővítéséhez.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Vannak speciális esetek a legkisebb közös többszörös meghatározására. Tehát, ha az egyik szám maradék nélkül osztható egy másikkal, akkor ezek közül a számok közül a nagyobb lesz a legkisebb közös többszörös.
Például a tizenkét és huszonnégy LCM huszonnégy lenne.
Ha meg kell találnia azoknak a másodlagos számoknak a legkisebb közös többszörösét, amelyeknek nincs ugyanaz az osztója, akkor az LCM-jük egyenlő lesz a szorzatukkal.
Például LCM (10, 11) = 110.
Ahhoz, hogy megtanulja megtalálni két vagy több szám legnagyobb közös osztóját, meg kell értenie, hogy mi a természetes, prímszám és komplex szám.
Bármely számot, amelyet egész objektumok számolására használnak, természetesnek nevezzük.
Ha egy természetes szám csak önmagával és eggyel osztható fel, akkor prímnek nevezzük.
Minden természetes szám osztható önmagával és eggyel, de az egyetlen páros prímszám a 2, az összes többi osztható kettővel. Ezért csak páratlan szám lehet prím.
Sok prímszám van teljes lista nem léteznek. A GCD megtalálásához kényelmes a használata speciális asztalok ilyen számokkal.
A legtöbb természetes szám osztható nemcsak eggyel, önmagával, hanem más számokkal is. Így például a 15 -ös szám osztható 3 -mal és 5 -tel. Mindegyiket a 15 szám osztóinak nevezzük.
Így bármely A osztója olyan szám, amellyel maradék nélkül osztható. Ha egy számnak kettőnél több természetes osztója van, akkor összetettnek nevezzük.
A 30-as számot olyan tényezőkkel lehet megkülönböztetni, mint 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Láthatjuk, hogy a 15 és a 30 osztója azonos, 1, 3, 5, 15. E két szám legnagyobb közös osztója a 15.
Így az A és B számok közös osztója olyan szám, amellyel teljesen oszthatók. A maximumot maximumnak tekinthetjük teljes szám, amelyekre feloszthatja őket.
A problémák megoldására a következő rövidített feliratot használják:
GCD (A; B).
Például GCD (15; 30) = 30.
Leírni az összes osztót természetes szám, a jelölés érvényes:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
GCD (9; 15) = 1
V ezt a példát a természetes számoknak csak egy közös osztója van. Ezeket coprime -nak hívják, és ez a legnagyobb közös osztójuk.
Több szám gcd-jének megkereséséhez a következőkre lesz szüksége:
Keresse meg minden természetes szám összes osztóját külön -külön, vagyis tényezőkké (prímszámokká) tekerje őket;
Válassza ki az összes azonos tényezőt a megadott számokhoz;
Szorozza össze őket.
Például a 30 és 56 legnagyobb közös osztójának kiszámításához a következőt kell írnia:
Annak érdekében, hogy ne keveredjen össze, kényelmes a szorzók feljegyzése függőleges oszlopokkal. A vonal bal oldalán el kell helyeznie az osztalékot, a jobb oldalon pedig az osztót. A kapott hányadost az osztalék alatt kell feltüntetni.
Tehát a jobb oldali oszlopban megtalálható a megoldáshoz szükséges összes tényező.
Az azonos osztók (talált tényezők) a kényelem kedvéért kiemelhetők. Át kell írni és meg kell szorozni őket, és fel kell írni a legnagyobb közös osztót.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Így könnyű megtalálni a számok legnagyobb közös osztóját. Kis gyakorlással ez szinte automatikusan megtehető.
Kezdjük el két vagy több szám legkisebb közös többszörösének tanulmányozását. Ebben a részben megadjuk a fogalom definícióját, megvizsgálunk egy tételt, amely kapcsolatot létesít a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó között, és példákat adunk a problémák megoldására.
Ebben a témakörben csak a nem nulla egész számok közös többszöröseire leszünk kíváncsiak.
1. definíció
Egész számok közös többszöröse Egy egész szám, amely az összes megadott szám többszöröse. Valójában bármely egész szám osztható a megadott számok bármelyikével.
A közös többszörösek meghatározása két, három vagy több egész számra vonatkozik.
1. példa
A fenti definíció szerint 12 esetén a közös szorzók 3 és 2. Ezenkívül a 12 -es szám a 2, 3 és 4 számok közös többszöröse lesz. A 12 és -12 számok a ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12 számok közös többszörösei.
Ugyanakkor a 2 és 3 számok közös többszöröse a 12, 6, - 24, 72, 468, - 100 010 004 és egész sor bárki más.
Ha olyan számokat veszünk, amelyek oszthatók egy pár első számával, és nem oszthatók a másodikkal, akkor az ilyen számok nem lesznek közös többszörösek. Tehát a 2. és 3. számok esetében a 16, - 27, 5 009, 27 001 számok nem lesznek közös többszörösök.
A 0 a nullától eltérő egész számok bármely halmazának közös többszöröse.
Ha felidézzük az oszthatóság tulajdonságát az ellentétes számok vonatkozásában, akkor kiderül, hogy néhány k egész szám ezen számok közös többszöröse lesz, akárcsak a - k szám. Ez azt jelenti, hogy a közös tényezők lehetnek pozitívak és negatívak is.
A közös többszörös megtalálható minden egész számra.
2. példa
Tegyük fel, hogy megadatott nekünk k egész számok a 1, a 2,…, a k... Az a szám, amelyet a számok szorzása során kapunk a 1 · a 2 ·… · a k az oszthatósági tulajdonság szerint, az eredeti termékben szereplő tényezők mindegyikével el kell osztani. Ez azt jelenti, hogy a számok szorzata a 1, a 2,…, a k ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse.
Egész számok csoportja rendelkezhet nagyszámú közös többszörösei. Valójában számuk végtelen.
3. példa
Tegyük fel, hogy van néhány k számunk. Ekkor a k · z számok szorzata, ahol z egész szám, k és z közös többszöröse lesz. Tekintettel arra, hogy a számok száma végtelen, akkor a közös többszörösek száma végtelen.
Emlékezzünk vissza a legkisebb szám fogalmára egy adott számhalmazból, amelyet az "Egész számok összehasonlítása" részben vizsgáltunk. Ezt a fogalmat figyelembe véve fogalmazzuk meg a legkisebb közös többszörös meghatározását, amely a legnagyobb gyakorlati értékkel rendelkezik az összes közös többszörös között.
2. definíció
Az egész adatok legkisebb közös többszöröse A számok legkevésbé pozitív közös többszöröse.
Tetszőleges számú számhoz létezik a legkisebb közös többszörös. A NOC rövidítés a leggyakrabban használt fogalom megjelölésére a referencia irodalomban. Rövid bejegyzés számok legkisebb közös többszöröse a 1, a 2,…, a kúgy fog kinézni, mint a NOC (1, 2,…, k).
4. példa
A 6 és 7 legkevésbé gyakori többszöröse a 42. Azok. LCM (6, 7) = 42. A 2, 12, 15 és 3 számok közül a legkevésbé gyakori többszöröse 60 lesz. A rövid bejegyzés LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60 lesz.
A legkevésbé közös többszörös nem nyilvánvaló a megadott számok minden csoportja esetén. Gyakran számolni kell.
A legkevésbé közös többszörös és a legnagyobb közös osztó összefügg. A fogalmak közötti kapcsolatot a tétel állapítja meg.
1. tétel
Két pozitív egész a és b legkisebb közös többszöröse egyenlő a és b szorzatával osztva az a és b legnagyobb közös osztójával, azaz LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
1. bizonyíték
Tegyük fel, hogy van néhány M számunk, amely az a és b többszöröse. Ha az M szám osztható a -val, létezik néhány z egész szám is , amely alapján az egyenlőség M = a k... Az oszthatóság definíciója szerint, ha M osztható -val b, így aztán a k osztva b.
Ha új jelölést vezetünk be a gcd (a, b) as d, akkor használhatjuk az egyenlőségeket a = a 1 dés b = b 1 d. Ezenkívül mindkét egyenlőség kölcsönösen prímszám lesz.
Fent már megállapítottuk a k osztva b... Ez a feltétel most a következőképpen írható fel:
a 1 d k osztva b 1 d, ami egyenlő a feltétellel a 1 k osztva b 1 az oszthatóság tulajdonságai szerint.
A koprímszámok tulajdonsága szerint, ha egy 1és b 1- coprime számok, egy 1-vel nem osztható b 1 annak ellenére, hogy a 1 k osztva b 1, azután b 1 meg kell osztani k.
Ebben az esetben helyénvaló azt feltételezni, hogy létezik egy szám t, amelyekre k = b 1 tés azóta b 1 = b: d, azután k = b: d t.
Most helyett k helyettesítő az egyenlőségben M = a k kifejezés, mint b: d t... Ez lehetővé teszi számunkra, hogy eljussunk az egyenlőséghez M = a b: d t... Nál nél t = 1 a és b legkisebb pozitív közös többszörösét kaphatjuk meg , egyenlő a b: d, feltéve, hogy az a és b számokat pozitív.
Így bizonyítottuk, hogy az LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
Az LCM és a GCD közötti kapcsolat létrehozása lehetővé teszi a legkisebb közös többszörös megtalálását két vagy több megadott szám legnagyobb közös osztóján keresztül.
3. definíció
A tételnek két fontos következménye van:
Ezt a két tényt nem nehéz alátámasztani. Az a és b számok bármely közös M többszörösét az M = LCM (a, b) t egyenlőség határozza meg néhány t egész szám esetén. Mivel a és b coprime, akkor GCD (a, b) = 1, ezért LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) = a b: 1 = a b.
Annak érdekében, hogy megtaláljuk a számok legkevésbé gyakori többszörösét, meg kell találnunk két szám LCM -jét.
2. tétel
Tegyünk úgy, mintha a 1, a 2,…, a k Néhány pozitív egész szám. Az LCM kiszámításához m k ezekből a számokból szekvenciálisan kell kiszámítanunk m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NEM C(m 2, a 3),…, m k = NEM C(m k - 1, a k).
Bizonyítás 2
Az ebben a témában tárgyalt első tétel első következtetése segít a második tétel érvényességének bizonyításában. Az érvelés a következő algoritmuson alapul:
Így bizonyítottuk a tételt.
Ha hibát észlel a szövegben, válassza ki azt, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűkombinációt
