A számsor egy bizonyos sorozat, amelyet egy másik sorozattal együtt kell figyelembe venni (ezt részösszegek sorozatának is nevezik). Hasonló fogalmakat használnak a matematikai és komplex elemzésben.
A numerikus sorozatok összege könnyen kiszámítható Excelben a SERIES.SUMM függvénnyel. Nézzünk egy példát ennek a függvénynek a működésére, majd készítsünk függvénygráfot. Megtanuljuk, hogyan kell a számsorokat a gyakorlatban alkalmazni a tőke növekedésének kiszámításakor. De először egy kis elmélet.
A számsorokat a számok közelítésének rendszerének tekinthetjük. A kijelöléshez használja a következő képletet:
Ez mutatja a sorozat kezdeti számsorát és az összegzési szabályt:
A rekord azt jelenti: az 1 -től a "plusz végtelenig" számokat összegezzük. Mivel i = 1, az összeg kiszámítása egyből indul. Ha itt lenne egy másik szám (például 2, 3), akkor ezzel kezdenénk az összegzést (2, 3 -mal).
Az i változóval összhangban a sor kibontva írható:
A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... („plusz végtelenségig”).
A numerikus sorozat összegének meghatározását "részösszegeken" keresztül adjuk meg. A matematikában Sn jelöli őket. Írd ki számsorunkat részösszegek formájában:
S 2 = a 1 + a 2
S 3 = a 1 + a 2 + a 3
S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4
A számsorok összege az S n részösszegek határa. Ha a határ véges, akkor "konvergáló" sorozatról beszélünk. Végtelen - körülbelül "divergens".
Először is megtaláljuk a számsorok összegét:
Most készítsünk táblázatot a sorozat tagjainak Excelben:
Az általános első érvet a képletből vesszük: i = 3.
A következő i értékeket a következő képlet adja meg: = B4 + $ B $ 1. A kurzort a B5 cella jobb alsó sarkába helyezzük, és megszorozzuk a képletet.
Találjuk meg az értékeket. Aktiváljuk a C4 cellát, és beírjuk a következő képletet: = SUM (2 * B4 + 1). Másolja a C4 cellát a megadott tartományba.
Az argumentumok összegének értékét a következő függvény segítségével kapjuk meg: = SUM (C4: C11). Az ALT + " +" (plusz a billentyűzeten) gyorsbillentyűk kombinációja.
Az Excelben egy numerikus sorozat összegének megkereséséhez használja a SERIES.SUMM matematikai függvényt. A program a következő képletet használja:
Funkció érvei:
A funkció működésének fontos feltételei:
Ugyanez a SERIES.SUMM funkció működik a teljesítménysorozatokkal (a funkcionális sorozatok egyik lehetősége). A numerikus érvekkel ellentétben az argumentumaik függvények.
A funkcionális sorozatokat gyakran használják a pénzügyi és gazdasági szférában. Mondhatjuk, hogy ez az általuk alkalmazott terület.
Például egy bizonyos összeget (a) adott egy bankba egy bizonyos időszakra (n). Évi x százalékos kifizetésünk van. A felhalmozott összeg kiszámításához az első időszak végén a következő képletet kell használni:
S 1 = a (1 + x).
A második és az azt követő időszak végén a kifejezések formája a következő:
S2 = a (1 + x) 2; S 3 = a (1 + x) 2 stb.
A teljes összeg megtalálása:
S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 +… + a (1 + x) n
Részleges összegeket találhat az Excelben a BS () függvénnyel.
A képzési probléma kezdeti paraméterei:
A szokásos matematikai függvény használatával megtaláljuk a felhalmozott összeget a futamidő végén. Ehhez a D2 cellában használja a következő képletet: = B2 * DEGREE (1 + B3; 4)
Most a D3 cellában ugyanazt a problémát oldjuk meg a beépített Excel függvénnyel: = BS (B3; B1 ;; - B2)
Az eredmények ugyanazok, mint kellene.
A BS () függvény argumentumainak kitöltése:
Így a BS függvény segített megtalálni a funkcionális sorozat összegét.
Az Excel más beépített funkciókkal is rendelkezik a különböző paraméterek megkereséséhez. Általában ezek a befektetési projektekkel, értékpapírokkal és értékcsökkenési kifizetésekkel kapcsolatos funkciók.
Készítsünk függvénygráfot, amely tükrözi a tőke növekedését. Ehhez fel kell rajzolnunk a függvényt, amely a konstruált sorozat összege. Példaként vegyük ugyanazokat az adatokat a betétről:
Az első sor az egy év után felhalmozott összeget mutatja. A másodikban - kettőben. Stb.
Készítsünk egy másik oszlopot, amelyben tükrözzük a nyereséget:
Ahogy gondoltuk - a képlet sávban.
A kapott adatok alapján grafikonot készítünk a függvényekről.
Válasszunk 2 tartományt: A5: A9 és C5: C9. Lépjen a "Beszúrás" fülre - "Diagramok" eszközre. Kiválasztjuk az első grafikont:
Tegyük még "alkalmazottabbá" a feladatot. A példában összetett kamatot használtunk. Az előző időszakban felhalmozott összeget terhelik.
Vegyünk egyszerű százalékokat összehasonlításképpen. Excel egyszerű kamatképlet: = $ B $ 2 * (1 + A6 * B6)
Adjuk hozzá a kapott értékeket a tőke növekedési táblázatához.
Nyilvánvaló, hogy a befektető milyen következtetéseket von le.
A funkcionális sorozat részösszegének matematikai képlete (egyszerű százalékokkal): S n = a (1 + x * n), ahol a a betét kezdeti összege, x kamat, n az időszak.
Stb. - a legminimálisabb ismeretek numerikus sorozat... Meg kell érteni, hogy mi az a sorozat, hogy részletesen meg tudja festeni, és ne kerekítse szemét a következő mondatok után: „a sor összefolyik”, „a sor eltér”, „a sor összege”. Ezért, ha a hangulata teljesen nulla, kérjük, szánjon 5-10 percet a cikkre. Sorok bábuknak(szó szerint az első 2-3 oldal), majd gyere vissza ide, és bátran kezdj el példákat megoldani!
Meg kell jegyezni, hogy a legtöbb esetben nem könnyű megtalálni egy sorozat összegét, és ez a probléma általában megoldódik funkcionális sorok (élünk, élünk :))... Tehát például egy népszerű művész mennyisége 
keresztül vonult vissza Fourier sorozat... E tekintetben a gyakorlatban szinte mindig kötelező megállapítani maga a konvergencia ténye, de nem talál konkrét számot (szerintem sokan már észrevették ezt). A számsorok sokfélesége között azonban van néhány képviselő, akik lehetővé teszik, hogy minden teáskanna nélkül is gond nélkül megérintse a szentek szentjét. A bevezető leckében pedig egy példát mondtam egy végtelenül csökkenő geometriai progresszióra 
, amelynek összege könnyen kiszámítható a jól ismert iskolai képlet szerint.
Ebben a cikkben továbbra is hasonló példákat veszünk figyelembe, ezen kívül megtanuljuk az összeg szigorú meghatározását, és útközben megismerkedünk a sorozat egyes tulajdonságaival. Melegítés ... igen, közvetlenül a haladásnál és bemelegítés:
1. példa
Keresse meg egy sorozat összegét 
Megoldás: sorozatunkat két sorozat összegeként ábrázoljuk:
Miért ebben esetben meg tudod csinálni? A megtett lépések két egyszerű állításon alapulnak:
1) Ha a sorozat konvergál 
, akkor a megfelelő kifejezések összegeiből vagy különbségeiből álló sorozatok is konvergálnak :. Ebben az esetben elengedhetetlen, hogy beszéljünk összetartó rangok. Példánkban mi tudjuk előre hogy mindkét geometriai progresszió konvergál, ami kétségkívül azt jelenti, hogy az eredeti sort két sorra bontjuk.
2) A második tulajdonság még nyilvánvalóbb. Az állandó a tartományon kívülre mozgatható: 
, és ez nem lesz hatással a konvergenciájára vagy divergenciájára és a teljes összegre. Miért vegyen ki egy konstansot? Igen, csak azért, hogy "ne akadályozza". De néha nyereséges nem ezt tenni.
A befejező példa így néz ki:
Kétszer használjuk a képletet, hogy megtaláljuk a végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegét :, ahol a progresszió első tagja, a progresszió alapja.
Válasz: a sorozat összege
A megoldás eleje kissé eltérő stílusban díszíthető - írja közvetlenül a sorozatot, és csoportosítsa át tagjait:
Tovább a recésen.
2. példa
Keresse meg egy sorozat összegét
Ez egy példa a „csináld magad” megoldásra. Teljes megoldás és válasz az oktatóanyag végén.
Itt nincsenek különleges örömök, de egyszer egy szokatlan sorozatra bukkantam, amely meglepheti egy tapasztalatlan embert. Ez ... szintén végtelenül csökkenő geometriai progresszió! Valóban, és az összeget csak néhány pillanat alatt számítják ki: 
.
És most egy életet adó matematikai elemzés, amely a további problémák megoldásához szükséges:
A konvergencia / divergencia és egy sorozat összegének szigorú meghatározását elméletileg az ún. részösszegek sor. A részleges hiányos. Írjuk fel egy számsorozat részösszegeit 
:
És különleges szerepet játszik a sorozat "en" tagjainak részösszege:
Ha egy számsorozat részösszegeinek határa a végső szám :, akkor ilyen sorozatot hívnak összetartó, és maga a szám a sorozat összege... Ha a határ végtelen, vagy nem létezik, akkor a sorozatot hívjuk divergens.
Vissza a demo sorhoz 
és írja le részösszegeit: 
A részösszegek határa pontosan egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió, melynek összege :. Hasonló korlátot fontolgattunk az órán a számsorokról... Valójában maga a képlet a fenti elméleti számítások közvetlen következménye (lásd a matán 2. kötetét).
Így van rajzolva általános algoritmus a probléma megoldására: el kell készíteni a sorozat n -edik részösszegét, és meg kell találni a határt. Lássuk, hogyan történik ez a gyakorlatban:
3. példa
Számítsa ki egy sorozat összegét 
Megoldás: az első lépés a bővítés közös kifejezés törtek összegében. Használunk undefined együttható módszer:
Ennek eredményeként:
Azonnal Hasznos az ellenkezője, ha ellenőrzi:
A sorozat általános kifejezését eredeti formájában kaptuk meg, ezért a törtek összegévé történő bővítés sikeresen megtörtént.
Most tegyük fel a sorozat részösszegét. Általában ez szóban történik, de egyszer a lehető legrészletesebben leírom, hogy mi származik: 
Hogyan kell teljesen egyértelműen leírni, de mivel egyenlő az előző kifejezés? A sorozat általános kifejezésében 
AHELYETT Helyettesítjük az "en" -t:
A részösszeg szinte minden feltétele biztonságosan csökkenthető: 
Pont ilyen jegyzeteket készítünk ceruzával a füzetben. Baromi kényelmes.
Marad az elemi korlát kiszámítása és a sorozat összegének megállapítása: 
Válasz:
Hasonló sorozat független megoldáshoz:
4. példa
Számítsa ki egy sorozat összegét 
A megoldás végső tervének hozzávetőleges mintája az óra végén.
Nyilvánvaló, hogy egy sorozat összegének megtalálása önmagában is a konvergencia bizonyítéka (amellett összehasonlító jelek, D'Alembert, Cauchyés mások), amelyre különösen utal a következő feladat megfogalmazása:
5. példa
Keresse meg egy sorozat összegét, vagy állapítsa meg annak divergenciáját 
Egy közönséges tag megjelenésével azonnal meg lehet állapítani, hogyan viselkedik ez az elvtárs. Nincsenek komplexek. Használva limit összehasonlítási kritérium könnyű megtudni (akár szóban is), hogy egy adott sorozat egy sorral konvergál. De előttünk ritka eset, amikor az összeget is nagy gond nélkül számítják ki.
Megoldás: a tört nevezőjének kibővítése termékké. Ehhez el kell döntenie másodfokú egyenlet:
És így:
Jobb, ha a tényezőket növekvő sorrendbe rendezzük :.
Végezzünk köztes ellenőrzést:
rendben
Tehát a sorozat közös kifejezése: 
És így: 
Nem vagyunk lusták:
Ezt kellett ellenőrizni.
Írjuk fel a sorozat tagjainak "en" részösszegét, miközben figyeljünk arra, hogy a sorozat "számlálója" a számból "kezd működni". Az előző példákhoz hasonlóan biztonságosabb a kobra megfelelő hosszúra nyújtása:
Ha azonban egy -két sorban írunk, akkor is elég nehéz lesz eligazodni a kifejezések rövidítéseiben (mindegyikben 3 van). És itt ... a geometria a segítségünkre lesz. Táncoljuk a kígyót a dallamunk szerint: 
Igen, csak így, írjuk az egyik kifejezést a másik alá a füzetbe, és csak úgy húzzuk át. Mellesleg saját találmányom. Mint értitek, nem a legkönnyebb feladatból ebben az életben =)
Az összes rövidítés eredményeként a következőket kapjuk:
És végül a sorozat összege:
Válasz:
8. példa
Számítsa ki egy sorozat összegét 
Ez egy példa a „csináld magad” megoldásra.
A vizsgált probléma természetesen nem kedvel minket sokféleséggel - a gyakorlatban vagy egy végtelenül csökkenő geometriai progresszióval találkozunk, vagy egy tört -racionális közfogalommal rendelkező sorral és a nevezőben bővíthető polinommal (egyébként nem minden ilyen polinom teszi lehetővé egy sorozat összegének megtalálását). Ennek ellenére néha szokatlan példányok találkoznak, és a kialakult jó hagyomány szerint néhány érdekes problémával fejezem be a leckét.
Nak nek számolja ki egy sorozat összegét, csak hozzá kell adnia a sor elemeit, adott számú alkalommal. Például:
A fenti példában ez nagyon könnyen megtörtént, mivel véges sokszor kellett összegezni. De mi van, ha az összegzés felső határa a végtelen? Például, ha meg kell találnunk a következő sorozat összegét:
Az előző példához hasonlóan ezt az összeget így írhatjuk fel:
De mi a teendő ezután ?! Ebben a szakaszban szükséges bevezetni a fogalmat sorozat részösszege... Így, sorozat részösszege(S n -vel jelölve) a sorozat első n tagjának összege. Azok. a mi esetünkben:
Ezután az eredeti sorozat összege kiszámítható a részösszeg határaként:
Így, azért sorozat összegének kiszámítása, valamilyen módon ki kell találni egy kifejezést a sorozat részösszegére (S n). Esetünkben a sorozat csökkenő geometriai progresszió, 1/3 nevezővel. Mint tudod, a geometriai progresszió első n elemének összegét a következő képlettel kell kiszámítani:
itt b 1 a geometriai progresszió első eleme (esetünkben 1), q pedig a progresszió nevezője (esetünkben 1/3). Ezért sorozatunk S n részösszege egyenlő:
Ekkor sorozatunk összege (S) a fenti definíció szerint egyenlő:
A fent tárgyalt példák meglehetősen egyszerűek. Általában egy sorozat összegének kiszámítása sokkal nehezebb, és a legnagyobb nehézséget éppen a sorozat részösszegének megtalálása jelenti. Az alábbi online számológép, amely a Wolfram Alpha rendszeren alapul, lehetővé teszi a meglehetősen összetett sorozatok összegének kiszámítását. Sőt, ha a számológép nem találja meg egy sorozat összegét, akkor valószínű, hogy az adott sorozat eltér (ebben az esetben a számológép olyan üzenetet jelenít meg, mint az "összeg eltérések"), azaz ez a számológép közvetett módon is segít képet kapni a sorozat konvergenciájáról.
A sorozat összegének megtalálásához meg kell adnia a sorozat változóját, az összegzés alsó és felső határait, valamint a sorozat n -edik tagjának kifejezését (azaz a sorozat tényleges kifejezését).
Az összes természetes szám összegét a következő számsorral írhatjuk fel
Ez az első pillantásra teljesen ellentmondó eredmény, ennek ellenére szigorúan bizonyítható. Mielőtt azonban a bizonyításról beszélne, el kell térnie és emlékeznie kell az alapfogalmakra.
Kezdjük azzal, hogy egy sorozat "klasszikus" összege a sorozat részösszegeinek határa, ha létezik és véges. A részletek megtalálhatók a wikipédiában és a kapcsolódó szakirodalomban. Ha nincs véges korlát, akkor a sorozatot divergensnek mondják.
Például az 1 + 2 + 3 + 4 + ... számsor első k tagjának részösszege a következőképpen íródik:
Könnyű megérteni, hogy ez az összeg a végtelenségig nő, ahogy k hajlamos a végtelenségig. Következésképpen az eredeti sorozat eltérő, és szigorúan véve nincs összege. Sokféle módon lehet végleges értéket rendelni az eltérő sorozatokhoz.
Az 1 + 2 + 3 + 4 +… sor messze nem az egyetlen sor az eltérõ sorok közül. Vegyük például a Grundy sorozatot
Ami szintén eltér, de köztudott, hogy Cesaro összegzési módszere lehetővé teszi, hogy ehhez a sorozathoz 1/2 véges értéket rendeljünk. A Cesaro összegzés abból áll, hogy nem sorozat részösszegeivel, hanem számtani átlagukkal operálunk. Ha megengedjük magunknak, hogy szabad stílusban spekuláljunk, azt mondhatjuk, hogy a Grandi sorozat részösszegei 0 és 1 között ingadoznak, attól függően, hogy a sorozat melyik tagja az utolsó az összegben (+1 vagy -1), innen az érték 1/2, a részösszegek két lehetséges értékének számtani átlagaként.
A divergens sorozat másik érdekes példája az 1 - 2 + 3 - 4 + ... váltakozó sorozatok, amelyek részösszegei is ingadoznak. Az Abel összegzés lehetővé teszi 1/4 végső érték hozzárendelését egy adott sorozathoz. Vegye figyelembe, hogy Abel módszere bizonyos értelemben a Cesaro összegző módszer fejlesztése, így az 1/4 eredmény könnyen érthető az intuíció szempontjából.
Itt fontos megjegyezni, hogy az összegzési módszerek nem olyan trükkök, amelyeket a matematikusok találtak ki, hogy valahogy megbirkózzanak az eltérő sorozatokkal. Ha Cesaro összegzést vagy Abel módszerét alkalmazza a konvergáló sorozatra, akkor az ezekkel a módszerekkel adott válasz megegyezik a konvergáló sorozat klasszikus összegével.
Sem Cesaro összegzése, sem Abel módszere azonban nem teszi lehetővé az 1 + 2 + 3 + 4 + ... sorozattal való munkát, mivel a részösszegek számtani átlaga, valamint a számtani átlagok számtani átlaga eltér egymástól. Ezenkívül, ha az 1/2 vagy 1/4 értékek valahogy elfogadhatók és korrelálhatók a megfelelő sorozatokkal, akkor a -1/12 nehezen társítható az 1 + 2 + 3 + 4 + ... sorozathoz, amely a pozitív egész számok végtelen sorozata.
Többféleképpen lehet -1/12 eredményt elérni. Ebben a jegyzetben csak röviden foglalkozom az egyikükkel, nevezetesen a zéta -függvény rendszeresítésével. Bemutatjuk a zeta funkciót
Helyettesítés s = -1, megkapjuk az eredeti számsort 1 + 2 + 3 + 4 +…. Végezzünk el néhány egyszerű matematikai műveletet ezzel a függvénnyel.
Hol van ez a Dirichlet függvény
Amikor az érték s = -1 ez a funkció már ismerős számunkra az 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - sorozatok közül, amelyek "összege" 1/4. Most könnyen megoldhatjuk az egyenletet
Érdekes, hogy ez az eredmény a fizikában is alkalmazható. Például a húrelméletben. Hivatkozva Joseph Polchinski húrelméletének 22. oldalára:
Ha valaki számára a húrelmélet nem meggyőző példa az elmélet számos következményének bizonyítékának hiánya miatt, akkor azt is megemlíthetjük, hogy hasonló módszerek jelennek meg a kvantumtér -elméletben is, amikor a Casimir -effektust próbálják kiszámítani.
Annak érdekében, hogy ne járjunk kétszer, még néhány érdekes példa a zeta funkcióval
Azok számára, akik további információkat szeretnének szerezni a témáról, megjegyzem, hogy úgy döntöttem, hogy ezt a megjegyzést a Wikipédia megfelelő cikkének lefordítása után írom meg, ahol a "Linkek" részben rengeteg további, elsősorban angol nyelvű anyag található.
Válasz: a sor eltér.
3. példa
Keresse meg a $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $ sorozat összegét.
Mivel az összegzés alsó határa 1, a sorozat közös kifejezése az összegjel alá van írva: $ u_n = \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $. Állítsuk össze a sorozat n-edik részösszegét, azaz Foglaljuk össze egy adott numerikus sorozat első $ n $ tagjait:
$$ S_n = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \ ldots + u_n = \ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Hogy miért pontosan $ \ frac (2) (3 \ cdot 5) $ -t írok, és nem $ \ frac (2) (15) $ -t, az a további elbeszélésből kiderül. A részösszeg rögzítése azonban egy cseppet sem hozott közelebb a célunkhoz. Meg kell találnunk $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $, de ha csak írjuk:
$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ left (\ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) \ right), $$
akkor ez a rekord, formailag teljesen korrekt, lényegében semmit sem ad nekünk. A korlát megtalálásához először egyszerűsíteni kell a részösszeg kifejezését.
Ehhez létezik egy szabványos transzformáció, amely abból áll, hogy a $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $ törtet, amely a sorozat közös kifejezését képviseli, elemi törtekre bontjuk. Külön témát szentel a racionális törtek elemi elemekre bontásának kérdése (lásd például ezen az oldalon a 3. példát). Ha a $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $ törtet elemi törtekre bontjuk, akkor a következőket kapjuk:
$$ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) = \ frac (A) (2n + 1) + \ frac (B) (2n + 3) = \ frac (A \ cdot (2n) +3) + B \ cdot (2n + 1)) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Egyenlővé tesszük a kapott egyenlőség bal és jobb oldalán lévő törtek számlálóit:
$$ 2 = A \ cdot (2n + 3) + B \ cdot (2n + 1). $$
A $ A $ és $ B $ értékek kétféleképpen kereshetők meg. Bővítheti a zárójeleket és átrendezheti a kifejezéseket, vagy egyszerűen helyettesíthet néhány megfelelő értéket a $ n $ értékre. Szigorúan a változás érdekében ebben a példában az első utat járjuk be, a következőt - a $ n $ privát értékeit helyettesítjük. A zárójelek bővítésével és a feltételek átrendezésével a következőket kapjuk:
$$ 2 = 2An + 3A + 2Bn + B; \\ 2 = (2A + 2B) n + 3A + B. $$
$ N $ előtt az egyenlőség bal oldalán nulla van. Ha úgy tetszik, az egyenlőség bal oldala az egyértelműség kedvéért ábrázolható $ 0 \ cdot n + 2 $ néven. Mivel a $ n $ előtti egyenlőség bal oldalán nulla, a $ n $ előtti egyenlőség jobb oldalán pedig 2A + 2B $ van, ezért megkapjuk az első egyenletet: $ 2A + 2B = 0 $. Ennek az egyenletnek mindkét oldalát azonnal elosztjuk 2 -vel, utána $ A + B = 0 $ értéket kapunk.
Mivel a szabad kifejezés 2 az egyenlőség bal oldalán, a szabad kifejezés pedig 3A + B $ az egyenlőség jobb oldalán, akkor 3A + B = 2 $. Tehát van egy rendszerünk:
$$ \ balra \ (\ kezdődik (igazítva) & A + B = 0; \\ & 3A + B = 2. \ vége (igazítva) \ jobbra. $$
A bizonyítást a matematikai indukció módszerével kell elvégezni. Az első lépésben ellenőrizni kell, hogy a bizonyított egyenlőség érvényes -e: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ for $ n = 1 $. Tudjuk, hogy $ S_1 = u_1 = \ frac (2) (15) $, de a $ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ kifejezés megadja a $ \ frac ( 2) (15) $, ha helyettesíted $ n = 1 $? Nézzük meg:
$$ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) = \ frac (5-3) (15) = \ frac (2) (15). $$
Tehát $ n = 1 $ esetén a $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ egyenlőség érvényes. Ezzel befejeződik a matematikai indukció módszerének első lépése.
Tegyük fel, hogy $ n = k $ esetén az egyenlőség érvényes, azaz $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $. Bizonyítsuk be, hogy ugyanez az egyenlőség érvényes $ n = k + 1 $ esetén is. Ehhez vegye figyelembe a $ S_ (k + 1) $ lehetőséget:
$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1). $$
Mivel $ u_n = \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) $, akkor $ u_ (k + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) + 1 ) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) $. A fenti feltételezés szerint $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $, ezért a $ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) $ képlet formát ölt:
$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3). $$
Következtetés: a $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ képlet helyes $ n = k + 1 $ esetén. Ezért a matematikai indukciós módszer szerint a $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ képlet igaz minden $ n \ N $ -ra. Az egyenlőség bizonyított.
A magasabb szintű matematika szokásos tanfolyamain általában elégedettek azzal, hogy a felmondási feltételeket "áthúzzák" bizonyíték nélkül. Tehát megkaptuk az n. Részösszeg kifejezését: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Keresse meg a $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $ értékét:
Következtetés: az adott sorozat konvergál és összege $ S = \ frac (1) (3) $.
Őszintén szólva én magam is ezt a módszert részesítem előnyben :) Írjuk le a részösszeget rövidített formában:
$$ S_n = \ összeg \ korlátok_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ összeg \ határok (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)). $$
Korábban azt kaptuk, hogy $ u_k = \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) $, tehát:
$$ S_n = \ összeg \ korlátok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ összeg \ korlátok_ (k = 1) ^ (n) \ bal (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ jobb). $$
A $ S_n $ összege véges számú kifejezést tartalmaz, így tetszés szerint átrendezhetjük őket. Először össze akarom adni a $ \ frac (1) (2k + 1) $ űrlap összes feltételét, és csak ezután lépek a $ \ frac (1) (2k + 3) $ űrlap feltételeire. Ez azt jelenti, hogy a részösszeget a következő formában ábrázoljuk:
$$ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) + \ frac (1) (5) - \ frac (1) (7) + \ frac (1) (7) - \ frac (1) (9) + \ frac (1) (9) - \ frac (1) (11) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \\ = \ frac (1) (3) + \ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ bal (\ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 3) \ jobb)) . $$
Természetesen a kibővített jelölés rendkívül kényelmetlen, ezért a fentebb bemutatott egyenlőség tömörebben formázható:
$$ S_n = \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ bal (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ jobb) = \ összeg \ korlátok_ ( k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3). $$
Most a $ \ frac (1) (2k + 1) $ és $ \ frac (1) (2k + 3) $ kifejezéseket alakítjuk át ugyanarra a formára. Azt hiszem, kényelmesebb nagyobb frakciót formázni (bár lehet csökkenteni, ez ízlés dolga). Mivel $ \ frac (1) (2k + 1)> \ frac (1) (2k + 3) $ (minél nagyobb a nevező, annál kisebb a tört), csökkentjük a $ \ frac (1) törtet (2k + 3) $ a $ \ frac (1) (2k + 1) $ formára.
A $ \ frac (1) (2k + 3) $ tört nevezőjében szereplő kifejezést a következőképpen fogom ábrázolni:
$$ \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (2k + 2 + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) +1). $$
A $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) $ összeg pedig most így írható:
$$ \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ összeg \ korlátok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) ) +1) = \ összeg \ határok_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1). $$
Ha egyenlőség $ \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ összeg \ korlátok_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) A $ nem vet fel kérdéseket, akkor menjünk tovább. Ha bármilyen kérdése van, kérjük, bővítse a megjegyzést.
Hogyan kaptuk meg az átváltott összeget? mutat elrejt
Volt egy sorozatunk: $ \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 ( k + 1) +1) $. Vegyünk be egy új változót a $ k + 1 $ helyett - például $ t $. Tehát $ t = k + 1 $.
Hogyan változott a régi $ k $ változó? És 1 -ről $ n $ -ra változott. Nézzük meg, hogyan fog változni az új $ t $ változó. Ha $ k = 1 $, akkor $ t = 1 + 1 = 2 $. Ha $ k = n $, akkor $ t = n + 1 $. Tehát a $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k +1) +1) $ kifejezés most $ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n +1 ) \ frac (1) (2t + 1) $.
$$ \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ összeg \ határok_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1 ) (2t + 1). $$
Megvan a $ \ összeg \ határok_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) $ összeg. A kérdés az: tényleg mindegy, hogy melyik betűt kell használni ebben az összegben? :) Hajlandó $ t $ helyett $ k $ betűt írni, a következőket kapjuk:
$$ \ összeg \ határok_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) = \ összeg \ korlátok_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1). $$
Így kapjuk meg a $ \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ összeg \ határok_ (k = 2) ^ (n +) egyenlőséget 1) \ frac (1) (2k + 1) $.
Így a részösszeg a következőképpen ábrázolható:
$$ S_n = \ összeg \ korlátok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ összeg \ határok_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1 ). $$
Vegye figyelembe, hogy a $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ és $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) összeg ) (2k + 1) $ csak az összegzés határaiban különböznek egymástól. Tegyük ugyanazzá ezeket a határokat. Ha az első elemet a $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ összegből vesszük:
$$ \ összeg \ limit_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 1) + \ összeg \ limit_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (3) + \ összeg \ limit_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1). $$
A $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $ összegből az utolsó elemet kapjuk:
$$ \ összeg \ határok_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) = \ összeg \ korlátok_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2 (n + 1) +1) = \ összeg \ határok_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3). $$
Ezután a részösszeg kifejezése a következő formában jelenik meg:
$$ S_n = \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ összeg \ határok_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1) = \ frac (1) (3) + \ összeg \ határok_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ bal (\ összeg \ határok (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \\ = \ frac (1) (3) + \ összeg \ limit_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ összeg \ határok_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Ha kihagyjuk az összes magyarázatot, akkor az n-edik részösszeg rövidített képletének megkeresésének folyamata a következő lesz:
$$ S_n = \ összeg \ korlátok_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ összeg \ határok (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ bal (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ jobb) = \\ = \ összeg \ korlátok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (3) + \ összeg \ határok_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ bal (\ összeg \ határok_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Hadd emlékeztessem önöket, hogy a $ \ frac (1) (2k + 3) $ törtet $ $ frac (1) (2k + 1) $ alakúra csökkentettük. Természetesen megteheti az ellenkezőjét is, azaz $ \ frac (1) (2k + 1) $ törtet $ \ frac (1) (2k + 3) $ -ként ábrázolják. A részösszeg végső kifejezése nem változik. Ebben az esetben a részleges összeg megtalálásának folyamatát egy cetli alá rejtem.
Hogyan találhatjuk meg a $ S_n $ -t, ha egy másik töredékre csökkentjük? mutat elrejt
$$ S_n = \ összeg \ korlátok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \ összeg \ határok_ (k = 0) ^ (n -1) \ frac (1) (2k + 3) - \ összeg \ határok (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \\ = \ frac (1) (3) + \ összeg \ határok_ (k = 1) ^ (n -1) \ frac (1) (2k + 3) - \ bal (\ összeg \ korlátok_ (k = 1) ^ (n -1) \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Tehát $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Keresse meg a $ \ lim_ (n \ to \ infty) korlátot S_n $:
$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ left (\ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) -0 = \ frac (1) (3). $$
Az adott sorozat konvergál és összege $ S = \ frac (1) (3) $.
Válasz: $ S = \ frac (1) (3) $.
A sorozat összegének megtalálásának témájának folytatását a második és a harmadik részben fogjuk megvizsgálni.
