Factorul de reducere vă permite să determinați cât valorează ceva din trecut în prezent sau va valora în viitor. Merită să luăm în considerare un exemplu simplu: să presupunem că primești o sumă în contul tău curent, pentru că odată ai făcut o investiție bună și acum primești dividendele binemeritate. Înseamnă că adevărata valoare a unei investiții în trecut este profitul obținut în momentul prezent? în mare măsură. Dar nu totul este atât de ambiguu, pentru că mai trebuie să evaluezi riscurile care au însoțit această investiție și ele există întotdeauna.
Cu toate acestea, există situații în care întrebarea privind valoarea viitoare sau prezentă a unei acțiuni (chirie sau activ) din trecut trebuie să fie răspuns acum. În mod clar, mai precis, în cifre. Un exemplu de astfel de necesitate este justificarea unei cereri de împrumut de la o bancă. Un dolar azi este mai puțin de un dolar mâine. Iar atunci când instituția financiară aprobă împrumutul, ar dori să vadă că împrumutatul înțelege acest lucru. Prin urmare, atunci când se împrumută pentru un proiect, este imperativ să se calculeze fluxurile de numerar reduse de altă natură: atât venituri, cât și costuri.
Dar aplicarea procedurii de actualizare este efectuată nu numai de bănci. În multe privințe, acest lucru este necesar pentru antreprenorii înșiși în procesul de planificare pentru a evita greșelile fatale cu rentabilitatea proceselor de afaceri. Acesta este, parțial, motivul pentru care factorul de reducere este uneori denumit adevărata valoare a chiriei. Se propune înțelegerea procesului de calcul și a sensului economic al rezultatelor obținute în paginile acestui articol.
Timpul inseamna bani. Adevărat, deși nu identic. Această lege are o rațiune logic verificată care se află în planul economiei. Este vorba despre posibilitatea de a crea bunuri care au valoare de piata. Să presupunem că o persoană care are 10 USD în buzunar cumpără o marfă populară cu acești bani - de exemplu, mere. Aceasta este urmată de revânzarea lor cu o marjă de, să zicem, 10%. Toată operația îi durează 1 zi. Apoi, la începutul zilei următoare, persoana va avea deja 11 dolari, iar costul unei zile de timp va fi egal cu 1 dolar.
Este însăși capacitatea de a folosi bani pentru a crea valoare adăugată care dă naștere naturii dobânzii pentru utilizarea lor. Odată cu apariția timpului în care piețele (inclusiv cele financiare) au început să funcționeze conform regulilor, dobânda la creditele emise de bănci a început să reflecte oportunitatea reală și valoarea câștigurilor din economie.
Și rezultă că dobânda, ca câștig, poate fi luată în considerare în două proiecții:
Acest lucru este mai ușor de înțeles dacă iei poziția de instituție de credit (bancă), care împrumută fonduri. Această instituție percepe dobânda efectivă la împrumut. Dar dacă există un anumit proiect comercial în care poți investi aceiași bani, în loc să-l emiti în baza unui contract de credit. Apoi dobânda economică pentru bancă va fi calculată ca diferență între dobânda care intră sub incidența contractului de împrumut și profitabilitatea proiectului alternativ.
Dacă procentul contabil este întotdeauna pozitiv, atunci cel economic este departe de a fi întotdeauna. Valoarea pozitivă a interesului economic indică faptul că banca (sau orice altă întreprindere în locul ei) a ales cel mai rațional sfera activității antreprenoriale. (Deoarece cea mai bună alternativă este mai puțin profitabilă decât afacerea de bază).
Un exemplu concret: din 1995, obligațiunile guvernamentale interne ale Federației Ruse (GKO) au arătat miracole ale profitabilității. Cu o fiabilitate de 100% (conform teoriei), au oferit o rentabilitate de 50%, 60% și chiar 85% pe an (cu inflația care nu depășește 24% pe an). Multe întreprinderi din țară și-au încetat efectiv activitățile de bază, transferându-și capitalul de lucru pe piața financiară, circulând continuu cu ajutorul GKO-urilor. Cei care erau deosebit de isteți, simultan cu fondul de obligațiuni, cumpărau contracte futures pe valută pentru a acoperi riscurile de neplată. Fiecare a trăit cât a putut de bine criza din 1998, dar în ultimii 3 ani țara a cunoscut un efect de substituție, când super-rentabilitatea datoriei publice, parcă cu un aspirator, sugea bani din economie. Procentul economic pentru orice activitate din țară era atunci negativ.
Nu întâmplător este dat un exemplu legat de randamentul obligațiunilor de stat. Pe lângă funcțiile de acoperire a deficitului bugetar, acestea reprezintă un instrument eficient care permite autorităților să reglementeze rata profitului în economie. Randamentul obligațiunilor se numește rata dobânzii. Într-o situație sănătoasă, când piețele sunt cele mai eficiente, profitabilitatea reală în diverse industrii este egală cu rata dobânzii, adică. interesul economic este 0.
Situația de pe piața europeană a fost recunoscută ca atare la sfârșitul anului 2016. Rata dobânzii Băncii Centrale Europene din 10.03.2016 a fost egal cu 0%. În același timp, mulți producători mari cunoscuți din Germania, Italia și Franța au încheiat anul cu profit economic zero. De aici concluzia - nu întotdeauna un rezultat economic zero indică o calitate scăzută a managementului afacerii. Uneori, aceasta este o dovadă a eficienței ridicate a piețelor.
Fundamentarea relevanței teoretice și practice a ratei dobânzii în economie își are motivele aici. Să presupunem că, dintr-un motiv oarecare, un individ ar trebui să afle ce capital ar avea acum dacă și-ar vinde apartamentul în urmă cu 3 ani. Dacă luăm în considerare investițiile într-o afacere ipotetică, sau depozitele în diverse bănci și alte metode, atunci putem merge foarte departe de obiectivitate. Toate aceste investiții au un risc ridicat (poți pierde totul). De aceea se obișnuiește să se țină cont de rata dobânzii la acele obligații care sunt garantate de puterea financiară a statului. Acest procent va fi costul timpului petrecut și el este cel care este standardul ratei de reducere.
Acum puțină matematică. În toate exemplele descrise mai sus, s-a dat rațiunea alegerii uneia sau alteia rate a dobânzii. Acum trebuie să facem calcule clare. Factorul de reducere ne va ajuta în acest sens.
Definiție: Factorul de actualizare este un indicator folosit pentru a aduce valoarea unei anumite valori monetare la un moment dat (numit momentul reducerii).
Acest indicator demonstrează clar cât vom primi, ținând cont de factorul timp (adică, după o anumită perioadă), pe baza unei rate de actualizare date. Ultimul termen, așa cum este descris în secțiunea anterioară, corespunde ratei dobânzii la obligațiile garantate de guvern. Formula pentru factorul de reducere este:
n
Sensul exponentului n este curios. Este mult mai important să nu greșiți aici decât să determinați valoarea corectă a ratei de actualizare. N ne spune de câte ori putem reinvesti rezultatele activității (adică profitul potențial obținut).
Să presupunem că un chiriaș începător a cumpărat o casă de țară acum 3 ani. El își amintește valoarea tranzacției și, cel mai important, urmărește valoarea de piață a acesteia. Și ar dori să evalueze eficiența investiției sale. Să facem o serie de ipoteze: să presupunem că casa a fost cumpărată cu 1.000.000 de dolari, acum costă 1.200.000 de dolari, rata dobânzii a rămas la nivelul de 15% pentru toți cei trei ani (pentru depozitele anuale la o bancă de stat). Apoi calculele lui vor arăta astfel:
1 / (1 + 0,15) 3 = 0,572
1 200 000 * 0,572 = 686 400
686 400 << 1 000 000
Aceasta înseamnă că chiriașul a calculat greșit. Dacă nu ar fi investit 1.000.000 în imobiliare, dar ar fi pus acești bani pe un depozit, atunci în momentul de față ar fi putut cumpăra o casă, și ar fi fost mult mai mult (pentru că să cumpere o casă cu 1.200.000 azi, 3 cu ani în urmă, a pus doar 686 400 pe depozit).
Dar formula de mai sus este potrivită nu numai pentru înregistrarea rezultatelor actuale ale greșelilor din trecut. Adesea, suntem mai interesați să calculăm cât de mult ne poate aduce în viitor cutare sau cutare investiție făcută acum. În acest caz, se obișnuiește să se vorbească despre raportul de acumulare. Formula sa:
(1 + Rata de creștere) n
n- numarul perioadelor de investitie pana la momentul aducerii.
Și aici din nou exemplul nostru cu mere vă va ajuta să înțelegeți. O persoană a finalizat un ciclu complet într-o zi. Pentru simplitate, să spunem că în aceeași zi va putea cumpăra sau vinde orice număr de mere: cel puțin 10, cel puțin 1000, cel puțin 1.000.000 de dolari o persoană într-un an va fixa capital în valoare de:
$10 * (1+0,1) 365 = $12833055803133800
O sumă monstruoasă! Totuși, ea înțelege să realizeze cât de important este indicatorul oportunităților de reinvestire (uneori).
Ei bine, care ar trebui să fie rata dobânzii pe an pentru a oferi un venit similar. Nu trebuie să numeri pentru a înțelege - procentul va fi fantastic, scandalos. Desigur, în viața reală, cifra de afaceri va dura o perioadă mult mai lungă. Și cu cât sunt mai multe mere, cu atât va fi mai dificil să le vinzi. Iar marja de 10% va scădea inevitabil (odată ce oferta începe să crească). Totuși, acest exemplu este inclus aici pentru a demonstra prevalența importanței timpului de recapitalizare asupra valorii procentului static. Chiar dacă există o afacere, atunci pentru posibilitatea de a reduce termenii de reinvestire.
În lumea finanțelor, situațiile se dezvoltă constant când rezultatul unei acțiuni este larg distanțat în timp (și nu contează dacă în trecut, prezent sau chiar în viitor). Cu toate acestea, acest rezultat trebuie cumva adus la o singură cifră pentru, de exemplu, a putea compara. Și dacă vorbim de profit, care a fost înregistrat în contul curent al companiei o dată pe lună timp de cinci ani, cum putem aduce totul la o singură cifră? Doar pentru a compara această cifră cu investiția inițială și pentru a determina eficiența afacerii.
În acest caz, vorbim despre calcularea valorii actuale nete (VAN) sau a valorii actuale nete (VAN) (precum și a valorii actuale nete sau chiar a valorii actuale nete). Este suma valorilor actualizate ale fluxului de plăți, reduse la o anumită zi în trecut. Această zi din trecut, de regulă, este ziua în care a fost făcută investiția. După cum reiese din definiție, VAN se calculează la efectuarea procedurii de planificare. În special, la întocmirea planurilor de afaceri.
Pentru a obține această valoare, trebuie să reducem toate componentele fluxului de numerar (în cazul nostru, indicatorii de profit lunar) și să reducem fiecare dintre ele folosind formula:
1 / (1 + Rata de reducere) n
În continuare, rezumăm rezultatele obținute și scădem din această sumă valoarea investiției inițiale. VAN rezultat este diferența dintre toate încasările și cheltuielile în numerar la momentul investiției. De fapt, aceasta este suma de bani pe care un antreprenor se așteaptă să o primească din afacerea sa după o anumită perioadă de timp.
În realitate, obținem mărimea profitului economic (PE). Corelând-o cu investiția inițială (PI), calculăm valoarea interesului economic (rentabilitatea) (ED):
ED = EP / PI * 100%
Aceasta este rentabilitatea reală a proiectului - cât de mult depășește profitabilitatea acestei afaceri specifice nivelul economic general.
Chiria, constând în încasări financiare, este estimată ca o singură sumă, care include valoarea în timp a tuturor componentelor sale. Astfel, VAN poate fi interpretată ca o valoare adăugată reală rezultată din activitatea antreprenorială (indiferent de domeniul de activitate).
Desigur, aici este extrem de important să alegeți rata de reducere potrivită. Mai sus, alegerea ei a fost justificată la nivelul dobânzilor la obligații garantate de stat. Dar acest lucru nu este întotdeauna adevărat, iar exemplul implicit din 1998 confirmă acest lucru. În ciuda faptului că acestea erau obligațiuni guvernamentale, piramida s-a prăbușit și mulți oameni și-au pierdut toate investițiile. Ar fi corect atunci în calcule să se utilizeze 60% din randamentul real al titlurilor de stat? Desigur că nu. Este imposibil să te liniștim aici dacă cuvântul „stat” este prezent în numele titlurilor de valoare. Evaluarea corectă a riscurilor este cheia. La orientativ, avem nevoie de un randament care să corespundă riscului minim (ideal este zero). În cazul împrumuturilor agresive cu ajutorul GKO, riscul de neplată era extrem de mare și era deja vizibil începând cu 1996.
Rata internă de rentabilitate (IRR) este rata dobânzii care este utilizată la calcularea VAN.
IRR are mult de-a face cu exemplul de mai sus. Acum, atunci când justificați VAN într-un plan de afaceri, nu trebuie să legați meticulos chiria profitabilă de rata guvernamentală. obligațiuni. Este suficient să declarați o anumită normă IRR și să justificați alegerea acesteia cu două argumente:
Cu toate acestea, IRR este „potrivit” nu numai și nu atât pentru potențialii creditori. În primul rând, rata internă de rentabilitate este obiectivul și reperul pentru proprietarii de afaceri. Aceasta este rata față de care toate procesele vor fi măsurate în viitor, chiar și în mediul de afaceri din jur. Iar decizia de a investi într-o altă industrie va fi luată după compararea indispensabilă a profitabilității proiectului propus cu RIR al întreprinderii existente.
Acest lucru este valabil nu numai pentru companii, ci și pentru persoane fizice. Numai în acest caz, investiția înseamnă, de regulă, o contribuție la orice instituție financiară (fie ea o bancă, societate de brokeraj sau fond de capital de risc). Și ca rată internă de rentabilitate, este utilizată rata dobânzii la un depozit existent (de exemplu) într-o bancă de încredere testată în timp.
Rata IRR este o măsură a multor procese din viață. De fapt, absolut toți indivizii, fără excepție, au propriul RIR! În cele din urmă, pentru asta vrei să te străduiești. Prin urmare, este atât de important să alegeți nivelul corect. La urma urmei, o valoare prea mare a indicatorului poate duce la așteptări supraestimate atât în afaceri, cât și în viață, iar o valoare subestimată poate duce la o subestimare fatală a propriilor capacități.
. Baza de calcul a dobânzii compuse, spre deosebire de dobânda obișnuită, nu rămâne constantă noah - crește cu fiecare pas în timp. Suma absolută a dobânzii percepute crește și procesul creşterea cuantumului datoriilor se accelerează. Acumularea dobânzii compuse poate fi considerată ca un adept noua reinvestire a fondurilor investite în proiecte simplecenți pentru o perioadă de acumulare ( perioada de rulare ). A te alaturaeste adesea numită creșterea dobânzii acumulate până la suma care a servit drept bază pentru acumularea acestora capitalizarea dobânzii.
Să găsim o formulă pentru calcularea sumei acumulate conform condiției vii că dobânda se acumulează și se capitalizează o dată înan (dobândă anuală). Pentru a face acest lucru, aplicați devenirea dificilă kaconstrui. Pentru a scrie formula de acumulare, le folosimaceleași denumiri ca în formula de construire prin simplă cenți:
P - valoarea inițială a datoriei (împrumuturi, credit, capital la, etc.),
S - suma acumulată la sfârșitul termenului împrumutului,
NS - termenul, numărul de ani de creștere,
i - nivelul dobânzii anuale reprezentat de defracție gri.
Evident, la sfarsitul primului an procentele sunt egale cu R i , iar suma acumulată va fi. Până la capătîn al doilea an va atinge valoarea V sfârşitul n anul al-lea suma acumulată va fi este egal cu
(4.1)
Procentele pentru aceeași perioadă sunt, în general, după cum urmează:
(4.2)
Unele dintre ele sunt predate prin acumularea dobânzii la dobândă. Ea face
(4.3)
După cum se arată mai sus, creșterea interesului compus esteeste un proces corespunzător progresului geometric acesta, al cărui prim termen este R , iar numitorul este.Ultimul termen al progresiei este egal cu suma acumulată la final termenul de împrumut.
Valoarea sunt numite multiplicator de acumulare asupra dobânzii compuse. Semnificațiile acestui lucrufactor pentru numere întregi NS sunt date în tabele de complex la sută.Precizia calculării multiplicatorului în calcule practiceeste determinată de gradul admis de rotunjire a acumulatelorsume (până la ultimul copeck, rublă etc.).
Timpul pentru construirea într-un ritm complex măsoară de obicei Xia ca AST / A SF.
După cum puteți vedea, amploarea factorului de acumulare depinde de doi parametri - iși NS. Trebuie remarcat faptul că pentru o lungă perioadă de timpacumularea, chiar și o mică modificare a ratei afectează în mod vizibilprin valoarea multiplicatorului. La rândul său, o perioadă foarte lungăduce la rezultate înspăimântătoare chiar și cu micirata dobânzii.
Se obține formula pentru acumularea dobânzii compusepentru rata anuală a dobânzii și termenul, măsurate în ani.Cu toate acestea, poate fi aplicat și pentru alte perioade de acumulare.niya. În aceste cazuriiînseamnă rata pentru o perioadă de acumulare (lună, trimestru etc.) și n - numărul de astfel de perioade. Pe exemplu dacă i- rata pentru o jumătate de an, atunci NS – numărul de semestre etc.
Formulele (4.1) - (4.3) presupun că dobânda lacenți sunt percepute la aceeași rată ca atunci când se percepe pentru suma principală a datoriei. Să complicăm condițiile de calcul al dobânziiCamarad Să fie calculată dobânda pentru datoria principală la rataiși dobânda la dobândă – la rata În acest caz
Seria dintre paranteze drepte reprezintă un geometricprogresie cu primul termen egal cu 1 și numitorul. Ca urmare, avem
(4.4)
2. Acumularea dobânzii în perioadele calendaristice adiacente. Tu Mai mult, la calcularea dobânzii nu a fost luată în considerare locația perioadei de calcul a dobânzii în raport cu perioadele calendaristice. Cu toate acestea, adesea datele de început și de încheiere ale unui împrumut sunt în două perioade. Este clar că cel evaluat pentru întreaga perioadă, dobânda nu poate fi atribuită doar ultimeila el punct. În contabilitate, în fiscalitate,în sfârşit, în analiza activităţilor financiare ale firmei se elimină sarcina de distribuire a dobânzii acumulate pe perioade.
Durata totală a împrumutului este împărțită în două perioaden 1 și n 2 . Respectiv,
Unde
3. Tarife variabile. Formula presupune constantărata pe toată perioada de acumulare a dobânzii. Instabilitatea pieței monetare face necesară modernizarea schemei „clasice”, de exemplu, folosind exemplul nenia rate variabile ( plutind rată). Desigur, calcululpentru viitor la astfel de rate este foarte condiționată. E alta chestiune -calcul post factum. În acest caz, precum și atunci când trișeazămarimea pariurilor este fixata in contract, totalul Incrementul este definit ca produsul coeficientilor, i.e.
(4.5)
unde - valori consecutive ale ratelor; - perioadele în care corespunzătoare ratele.
4. Acumulare de dobânzi cu un număr fracționar de ani. Adesea un termen în th qax pentru calculul dobânzii nu este un număr întreg. În regulile unui număr de bănci comerciale pentru unele tranzacții dobânda se calculează numai pentru un număr întreg de ani sau alte perioade de acumulare. Partea fracțională a perioadei este eliminată. În cele mai multe cazuri, se ia în considerare întregul termen. în carese folosesc două metode. Conform primei, să-i spunem general, calculul se efectuează după formula:
(4.6)
Al doilea, sm shany,metoda presupune acumularea dobânzii pentru întregnumărul de ani conform formulei dobânzii compuse și pentru partea fracționată termen folosind formula dobânzii simple:
,(4.7)
Unde - termenul de împrumut, A- un număr întreg de ani,b - parte fracțională a anului.
O metodă similară este utilizată în cazurile în care perioadaacumularea casei este de jumătate de an, trimestru sau lună.
Atunci când alegeți o metodă de calcul, trebuie avut în vedere faptul că multerezidentul clădirii conform metodei mixte se dovedește a fi ceva mai mult decât conform celei generale, deoarece pentru NS
<
1 târgin relatie 
Se observă cea mai mare diferență dat când b = 1/2.
5. Comparația creșterii în interes compus și simplu. Fie ca baza de timp pentru acumulare să fie aceeași, nivelul ratelor dobânzilor este același, atunci:
1) pentru un termen mai mic de un an, dobânda simplă este mai complexă
2) de mai bine de un an
3) pentru o perioadă de 1 an, multiplicatorii acumularii sunt egali între ei
Folosind rata de creștere pentru dobânda compusă simplă, puteți determina timpul necesar pentru a crește suma inițială în n o singura data. Pentru aceasta, este necesar ca ratele de creștere să fie egale cu n:
1) pentru dobândă simplă
2) pentru dobândă compusă
Formulele de dublare a capitalului sunt următoarele:
1.5. Chiria financiara. Proprietăți ale coeficienților de acumulare și de reducere a chiriei.
Definiție. Un flux de plăți în care toți membrii sunt pozitivi și intervalele de timp dintre plăți sunt aceleași se numește chirie financiară.
Principalii parametri ai chiriei:
membru de anuitate- suma unei plăți separate;
perioada de inchiriere- intervalul de timp dintre două plăți adiacente;
termenul anuitatii- timpul de la începutul primei perioade de rentă până la sfârșitul ultimei;
rata dobânzii a anuității- rata dobânzii compusă utilizată pentru a acumula și reduce membrii chiriei;
m - numărul de dobânzi acumulate pe an la membrii chiriei;
p - numărul de plăți pe an.
Dacă membrii rentei sunt plătiți o dată pe an, atunci rentă este chemată anual.
Dacă membrii rentei sunt plătiți p odata pe an ( p> 1), atunci se numește chiria p- urgent.
Dacă plățile sunt primite atât de des încât să poată fi luate în considerare, atunci se cheamă chiria continuu.
Se cheama chiria permanent dacă membrii chiriei sunt aceiași și nu se modifică în timp.
Se cheama chiria variabil dacă membrii rentei se modifică în timp în conformitate cu o lege temporară.
Dacă plățile sunt efectuate la sfârșitul fiecărei perioade de rentă, atunci rentă este apelată obisnuitul sau postnumerando.
O anuitate cu plăți la începutul fiecărei perioade se numește anuitate. prenumerando.
Luați în considerare calculul costului curent și valoarea acumulată a constantei obisnuitul(postnumerando) p - rentă urgentă. Suma anuală R plătite în cote egale p o dată pe an într-un cont bancar în termen n ani. Apoi avem un flux de la np plăți de 
toată lumea în clipe 
... Să luăm 1 an ca unitate de măsură. Lasa i- rata anuală efectivă a dobânzii a dobânzii compuse la plățile primite. Conform definiției valorii moderne a fluxului de plăți (formula (4.2)), obținem
.
Calcularea sumei np membrii unei progresii geometrice, al cărei numitor este 
, primim:
(5.1)
Valoarea curentă a constantei uzuale p - n ani. Prin urmare, valoarea actuală a chiriei ordinare anuale ( p = 1) la calcularea dobânzii la membrii chiriei o dată pe an:
.
(5.2)
Utilizarea ratelor de echivalență pentru rata efectivă a dobânzii 
și 
(paragraful 1.1), obținem valoarea curentă a uzualului p - anuitate pe termen atunci când se acumulează dobândă compusă pentru membrii anuității m o dată pe an la rata nominală a dobânzii i (m) și acumularea continuă a dobânzii la o rată constantă a dobânzii δ pe an:
(5.3)
.
(5.4)
Formulele pentru valoarea chiriei acumulate pot fi obținute direct prin definiție conform formulei (4.3). De exemplu, pentru o constantă obișnuită p - anuitate pe termen determinat la calcularea dobânzii la membrii de anuitate o dată pe an în timpul n ani primim:
. (5.5)
S
= A F(T) = A(1
+ i) n
=
(5.6)
Pentru alte tipuri de chirie obișnuită de la (5.3) și (5.4), folosind factorii de acumulare 
și 
respectiv, obținem:
(5.7)
(5.8)
În special, pentru m = p(perioada de calcul a dobânzii este egală cu perioada chiriei) din (5.3) și (5.7) obținem
(5.9)
(5.10)
Dacă unitatea de timp este 1 an și R este plata pentru anul (unitatea de timp), atunci multiplicatorul din formulele valorii moderne a chiriei este egal cu 
se numește rata de reducere a chiriei... Multiplicatorul din formule pentru suma chiriei acumulată, egal cu 
se numește rata de crestere a chiriei... Din (5.1) - (5.10), se pot obține coeficienții de acumulare și de actualizare a tuturor tipurilor considerate de chirie ordinară. Să luăm în considerare câteva relații între acești coeficienți.
Conform (5.1) și (5.5), factorii de reducere și de acumulare ai obișnuit p - n anii sunt, respectiv, egali
și 
.
și 
- acesta este, respectiv, costul modern și suma acumulată a constantei uzuale p - anuitate pe termen cu plata anuală de 1 UM în cote egale p o dată pe an în valoare 
câteodată 
cu acumularea dobânzii asupra membrilor o dată pe an. Prin urmare, 
și 
sunt legate prin relația (4.6):
=
(1 + i) n 
.
Coeficienții de reducere și de acumulare a altor tipuri considerate de chirie ordinară au o semnificație similară. Pentru aceste anuități avem relațiile:
- chiria anuala cu dobanda acumulata o data pe an;
- p - m odata pe an;
- p - renta pe termen determinat cu dobanda continua.
Ratele de reducere și acumularea anuală a chiriei la calcularea dobânzii o dată pe an
și 
tabulate și prevăzute în anexele literaturii financiare. Daca este aplicabil p - anuitate pe termen determinat cu dobanda p odata pe an ( m = p) la rata nominală anuală i (p), atunci poate fi luată unitatea de măsură a timpului 
parte a anului. Atunci 
- plata pe unitatea de timp (postnumerando), 
- rata dobanzii pentru 1 unitate de timp, termen de chirie - np unități de timp. Coeficienții de reducere și, respectiv, de acumulare a unei astfel de chirii sunt egali 
și 
... Din formulele (5.9), (5.10) avem
,
,
care permite folosirea acelorași tabele de coeficienți pentru această chirie. Rețineți că, dacă unitatea de măsură a timpului este 1 an, atunci coeficienții de reducere și de acumulare ai acestei chirii sunt definiți ca 
=
și 
=
și se calculează prin formulele obținute din (5.9), (5.10):
,
.
=
și 
=
.
(5.11)
Exemplul 5.1. La sfârșitul fiecărei luni, 200 UM sunt investiți într-un cont de economii. Dobânda compusă se percepe lunar pentru plățile primite la o rată anuală de 12%. Care este suma depozitului în 2 ani? Ce sumă ar putea plasa un investitor într-un cont de depozit pentru a primi aceeași sumă dintr-un depozit în 2 ani?
Contribuțiile la contul de economii se fac sub forma unui obișnuit p - anuitate pe termen determinat cu dobanda p o dată pe an timp de 2 ani. Aici n = 2, p
= 12,
= 0,12. Dacă 1 lună este luată ca unitate de măsură a timpului, atunci 
= 200 CU - plata pe unitatea de timp, 
=
= 0,01 - rata dobânzii pentru 1 unitate de timp, perioadă de anuitate np= 24 de unități de timp. Folosind tabelul ratelor de creștere pentru chiriile discrete, găsim s 24, 0,01 = 26,97346485. Apoi suma depozitului acumulat în doi ani 
=
200s 24, 0,01 = 5394,69 (c.u.).
Suma pe care un investitor ar putea plasa într-un cont de depozit pentru a primi aceeași sumă din depozit în 2 ani este valoarea actuală a chiriei 
=
200A 24.0.01 = 4248.68 (CU), unde factorul de reducere A 24.0.01 = 21.2433873 determinat din tabelul de coeficienți. pentru că 
= 4248,68 (1 + 0,01) 24 = 5394,69 (UC), apoi plasarea sumei de 4248,68 la un cont de depozit pentru calcularea dobânzii lunare compuse la o rată anuală de 12% va permite investitorului să primească aceeași sumă de depozit în doi ani.
Cometariu. Calculați ratele de reducere 
și acumulare 
, folosind formulele de mai sus și verificați relațiile (5.11). Explică de ce 
și 
pot fi găsite în tabelele de coeficienți și 
și 
- Nu. Ce poate fi influențat de alegerea unității de timp?
Luați în considerare chiria prenumerando... Relația dintre ratele de actualizare și acumularea chiriei prenumerandoși postnumerando rezultă din definiţia lor. Perioada de reducere pentru fiecare plată a anuității prenumerando este redusă, iar perioada de acumulare se mărește cu o perioadă de anuitate în comparație cu anuitatea obișnuită. Ca și până acum, considerăm 1 an ca unitate de măsură a timpului. Dacă 
și 
- factori de reducere și de acumulare p - anuitate urgentă prenumerando (plățile sunt primite la începutul fiecărei perioade de durată 
) atunci când dobânda se acumulează către membrii o dată pe an, atunci următoarele rate sunt adevărate:
=
=
= (1 + i) n
.
Prin urmare, la p = 1 obținem rapoartele pentru anuitățile anuale:
=
=
= (1 + i) n
.
Cu acumulare continuă a dobânzii pt p - anuitate urgentă, avem următoarele rate:
=
.
Considera continuu chirie. Coeficienții de reducere și de acumulare a chiriei continue constante pot fi obținuți din formulele pt p - anuitate urgentă la 
sau prin definiție (formulele (4.9), (4.10)) pentru un flux continuu de plăți uniform plătit cu o rată anuală constantă f(t)
= 1.
De exemplu, pentru o chirie continuă constantă cu acumulare continuă a dobânzii la o rată de creștere constantă 
primim:
,
Unde 
este factorul de reducere pentru cele obișnuite p - renta pe termen determinat cu dobanda continua. Rețineți că din moment ce 
, Unde 
- coeficient de reducere p - anuitate pe termen determinat prenumerando cu acumulare continuă a dobânzii, apoi
.
Într-adevăr, cu plăți continue, distincția dintre anuitățile pre-numerando și post-numerando dispare.
Coeficientul de actualizare a anuității continue constante la calcularea dobânzii o dată pe an se va obține prin definiție:
Ratele de creștere ale anuităților continue pot fi găsite din egalități de forma (4.6):
=
,
=
.
Relația dintre coeficienții de scont ai celor trei tipuri de anuități considerate - ordinare, prenumerando și continue - se poate stabili din următoarele considerente. pentru că 
, Unde i (p) este rata dobânzii nominale anuale echivalente, atunci
Pe de alta parte,
.
Prin urmare
, (5.12)
Unde 
,
- coeficientii de actualizare a chiriei anuale obisnuite cu dobanda acumulata o data pe an si chirie continua constanta cu dobanda continua. Egalitățile (5.12) pot fi continuate pentru chiria prenumerando, dacă luăm în considerare raportul coeficienților de scont ai ambelor anuități:
și 
.
=
=
.
(5.13)
Unde 
- rata de actualizare echivalentă. Din (5.12), (5.13) obținem
Unde 
- rata de actualizare nominală echivalentă. Fiecare expresie din această egalitate este valoarea actuală a dobânzii plătite la împrumutul de 1 UM. pe tot parcursul n ani în conformitate cu diverse metode de plată a dobânzii.
Raporturi similare pot fi obținute pentru coeficienții de acumulare a chiriei.
Dacă se crede că termenul rentei n= ∞, atunci se numește chiria etern... Suma acumulată de anuitate perpetuă este infinită. Cu toate acestea, valoarea actuală a unei astfel de chirii poate fi găsită. Pentru eternul obișnuit p - anuitate urgenta cu dobanda acumulata o data pe an, obtinem n → ∞:
Pentru aceeași chirie prenumerando
In afara de asta,
Prin urmare,
,
,
.
(5.15)
Dacă anuitatea perpetuă este anuală ( p = 1), atunci avem
,
,
.
(5.16)
Dacă începerea chiriei, i.e. începutul primei sale perioade, este transferat în viitor de t unități de timp relativ la momentul curent t= 0, atunci această chirie se numește întârziat... Valoarea actuală a anuității amânate A t este definită după cum urmează. Conform definiției valorii moderne a fluxului de plăți,
Unde 
,
,
- multiplicatori de reduceri k- plata la intervale de timp, [ t,
t k], respectiv. pentru că 
, atunci A- costul chiriei, calculat la începutul primei sale perioade, i.e. la începutul rentei neamânate. Prin urmare, A este valoarea actualizată a anuității neamânate. Astfel, valoarea actuală a anuității amânate se determină prin actualizarea la rata dobânzii anuității în timp t valoare modernă A anuitate nespecificată:
,
(5.17)
Exemplul 5.2. Conform contractului, produse fabricate în valoare de 2 milioane UM. plătite în rate la sfârșitul fiecărui trimestru timp de cinci ani cu dobândă compusă acumulată o dată pe an la o rată de 10% pe an. Aflați suma unei contribuții separate dacă începerea plății pentru produse este amânată la șase luni de la semnarea contractului.
Dacă începe numărătoarea inversă t= 0 este momentul semnării contractului, iar unitatea de timp este 1 an, aici n
= 5, p
= 4, i
= 0,1, t= 0,5. Conform formulei (5.17), valoarea fluxului de plăți pentru plata produselor la momentul semnării contractului este egală cu 
=
, Unde A t= 2 milioane UM, A- valoarea curentă a ordinarului neamânat p - chiria pe termen cu dobanda acumulata o data pe an in perioada n ani. Conform (5.1), 
... Din formulele pentru A tși A aflăm suma unei contribuții separate 
= CU133432,20 împotriva 
133432,20 = 127222,61 UC, dacă începerea plății pentru producție nu a fost amânată.
Cometariu. Din definirea termenului de rentă rezultă că dacă 
- perioada de rentă, apoi perioada de rentă n(ani) este un multiplu al 
, adică 
, Unde m Este un număr întreg pozitiv. Se știe că orice număr rațional pozitiv poate fi reprezentat ca 
, Unde m,
p Sunt numere întregi pozitive și orice număr irațional poate fi înlocuit cu un număr rațional cu orice grad de precizie 
... Aceasta înseamnă că dacă termenul rentei n nu este un număr întreg, atunci este întotdeauna posibil (exact sau cu orice grad de acuratețe) să se reprezinte n ca număr întreg de perioade ale unora p - chiria pe termen și folosiți relația dintre ratele de actualizare și acumularea chiriei: 
și 
... Dacă 
este selectată ca unitate de măsură a timpului, apoi sunt utilizate următoarele rapoarte: 
=
și 
=
... Astfel, toate formulele obținute pentru coeficienții de acumulare a reducerii și a chiriei sunt valabile pentru 
, adică pentru toate valorile nenegative n, nu numai intregi.
Proprietăți ale coeficienților de acumulare și de reducere a chiriei.
Să luăm în considerare dependența ratelor de actualizare și a chiriei acumulate de termenul chiriei și rata dobânzii. Deoarece natura dependenței nu ar trebui să depindă de numărul de plăți pe an, luați în considerare chiria anuală obișnuită cu dobânda acumulată o dată pe an.
1) i = 0.
Avem 
,
.
Situația poate fi privită ca o datorie fără dobândă emisă în valoare de nși returnate în rate egale în timpul n ani.
2) Stabiliți dependența de i rata de crestere a chiriei 
.
Evident, 
- cresterea functiei i, care rezultă din proprietățile sumei acumulate a unei plăți unice. Într-adevăr, din moment ce 
și 
, atunci 
- funcţia convexă crescătoare a argumentului i(Fig. 1.5.1).
3) Stabiliți dependența de i rata de actualizare a anuitatii 
.
.
Evident, 
- functia descrescatoare i, care rezultă din proprietățile costului modern al unei singure plăți. Într-adevăr, din moment ce 
și 
, atunci 
- funcţia convexă descrescătoare a argumentului i(Fig. 1.5.2).
4) Stabiliți dependența de n rata de crestere a chiriei 
.
, Unde 
.
T
s n, i
Cum 
și 
, atunci 
- funcţia convexă crescătoare a argumentului n(fig. 1.5.3).
5) Stabiliți dependența de n rata de actualizare a anuitatii 
.
, Unde 
.
Tema: Fundamentele matematice ale managementului financiar
Întrebări:
Metode de calcul a dobânzii
Esența dobânzii simple și compuse
Metode de evaluare a anuităților
Raspunsuri:
1. Metode de calcul a dobânzii
Procent- Sunt venituri din furnizarea de capital sub formă de datorii sub diverse forme sau din investiții de natură productivă sau financiară.
Creșterea sumei inițiale a datoriei- aceasta este o creștere a sumei datoriei datorată adăugării dobânzii (venitului) acumulate.
Raportul de construcție Este o valoare care arată de câte ori a crescut capitalul inițial.
Perioada de acumulare- aceasta este perioada de timp pentru care se calculeaza dobanda.
Există 2 moduri de a determina și calcula dobânda:
Mod discursiv de calcul al dobânzii- dobânda se calculează la sfârșitul fiecărui interval, valoarea xi se determină pe baza cantității de capital furnizat, rata dobânzii discursului este raportul dintre suma veniturilor acumulate într-un anumit interval și suma disponibilă la începutul acestui interval. interval, exprimat ca procent.
Metoda anti-ipotetică de calcul a dobânzii- dobânda se calculează la începutul fiecărui interval, suma dobânzii se determină pe baza sumei acumulate. Rata dobânzii va fi, exprimată procentual, raportul dintre suma venitului plătit pentru o anumită perioadă și valoarea sumei acumulate primite după acest interval.
În practica mondială, metoda discursivă de creștere a ratelor dobânzilor este cea mai răspândită, în timp ce metoda anti-ipotetică de creștere a dobânzilor este considerată ca scontarea bancară sau contabilizarea bancară a cambiilor și este de obicei folosită în perioadele de inflație ridicată.
2. Esența interesului simplu și compus
Există 2 scheme principale pentru calculul discret al dobânzii:
Schema dobânzii simple presupune că baza de la care are loc calculul rămâne neschimbată. Procesul de actualizare conform schemei dobânzii simple este determinat de formula:
Schema dobânzii compuse presupune variabilitatea datorată capitalizării dobânzii acumulate, dar neplătite la valoarea principalului. Acumularea dobânzii compuse:
Multiplicatorul în procesul de acumulare pentru a determina costul slab, valorile sale sunt tabulate.
Procesul în care sunt stabilite suma inițială și rata se numește proces de acumulare, valoarea dorită este suma acumulată, iar rata utilizată în operațiune este rata de acumulare.
Procesul în care sunt stabilite suma așteptată în viitor să fie primită și rata este denumită procesul de reducere, valoarea cerută este cantitatea redusă, iar rata utilizată în tranzacție este rata de actualizare.
Procesul de actualizare la dobândă simplă se realizează după formula:
Procesul de actualizare conform schemei de dobândă compusă se efectuează după formula:
Factorul de reducere pentru determinarea sumei prezente, valorile acesteia sunt tabulate.
4.Metode de evaluare a anuitatilor
Un flux de plăți unidirecționale cu intervale egale între plăți succesive pe un anumit număr de ani se numește anuitate(chiria financiara).
Exemple de anuități: fond de pensii, rambursarea împrumutului de către debitor.
Evaluarea fluxului de numerar poate fi efectuată ca parte a soluționării problemelor:
Direct - adică se face o evaluare din perspectiva viitorului și se implementează o schemă de acumulare (Schema de acumulare a anuity post-numerando.
A-sumă a anuității
FM3 (i; n) - multiplicator pentru anuitate în procesul de acumulare, valorile sunt de asemenea tabulate
Schema de acumulare pentru o anuitate prenumerară este implementată conform formulei
FV = A * FM3 (i; n) * (1 + i)
inversă, adică evaluarea se realizează din punct de vedere al prezentului, se implementează schema de reducere.
Procesul de actualizare pentru o anuitate postnumerară se realizează conform formulei
A * FM4 (i; n) este un factor de actualizare pentru o anuitate, valorile acesteia sunt de asemenea tabulate.
Procentul de actualizare pentru pre-numerotat: = A * FM4 (i; n) * (1 + i)
Într-o economie de piață, orice interacțiune între indivizi, firme și întreprinderi cu scopul de a obține un profit se numește tranzacție. În tranzacțiile de credit, profitul este suma veniturilor din furnizarea de fonduri în datorie, care în practică se realizează prin acumularea dobânzii (rata dobânzii - i). Dobânda depinde de cuantumul sumei furnizate, termenul împrumutului, condițiile de acumulare etc.
Cel mai important loc în tranzacțiile financiare este factorul timp (t). Principiul inegalității și inegalității investițiilor este asociat cu factorul timp. Pentru a determina modificările care apar cu suma inițială de bani (P), este necesar să se calculeze suma veniturilor din acordarea de bani într-un împrumut, investirea acestora sub formă de depozit (depozit), investirea acestora în valori mobiliare etc.
Procesul de creștere a sumei de bani în legătură cu acumularea dobânzii (i) se numește creștere sau creștere a sumei inițiale (P). Astfel, modificarea valorii inițiale sub influența a doi factori: rata dobânzii și timpul se numește cost acumulat (S).
Costul acumulat poate fi determinat după schema dobânzii simple și compuse. Dobânda simplă este utilizată atunci când suma acumulată este determinată în raport cu o bază neschimbată, adică dobânda acumulată este rambursată (plătită) imediat după acumulare (astfel, suma inițială nu se modifică); în cazul în care suma inițială (inițială) se modifică în intervalul de timp, acestea se ocupă de dobânda compusă.
La calcularea dobânzii simple, suma acumulată este determinată de formula
S = P (1 + i t), (1)
unde S este suma acumulată (costul), ruble; P - suma inițială (costul), ruble; i - rata dobânzii exprimată ca coeficient; t este perioada de calcul a dobânzii.
S = 10.000 (1+ 0,13 1) = 11 300, frecare. (suma rambursării creditului);
ΔР = 11.300 - 10.000 = 1.300, frecați. (suma dobânzii acumulate).
Determinați valoarea rambursării datoriilor, sub rezerva plăților anuale de dobândă, dacă banca a emis un împrumut în valoare de 50.000 de ruble. timp de 2 ani, cu o rată de 16% pe an.
S = 50.000 (1+ 0,16 2) = 66.000, frecare.
Astfel, acumularea dobânzii simple se realizează în cazul în care dobânda acumulată nu se cumulează asupra sumei datoriei principale, ci se plătește periodic, de exemplu, o dată pe an, șase luni, un trimestru, o lună etc. ., care este determinat de termenii contractului de împrumut. De asemenea, în practică, există cazuri când decontările se fac pe perioade mai scurte, în special pe o zi.
În cazul în care termenul împrumutului (depozit etc.) este mai mic de un an, în calcule este necesară ajustarea ratei dobânzii specificate în funcție de intervalul de timp. De exemplu, puteți reprezenta perioada de acumulare a dobânzii (t) ca raport, unde q este numărul de zile (luni, trimestre, semestre etc.) ale împrumutului; k este numărul de zile (luni, trimestre, semestre etc.) dintr-un an.
Astfel, formula (1) se modifică și are următoarea formă:
S = P (1 + i). (2)
Banca acceptă depozite la termen pe o perioadă de 3 luni la 11% pe an. Calculați venitul clientului atunci când investiți 100.000 de ruble. pentru o perioadă determinată.
S = 100.000 (1+ 0,11 ·) = 102.749,9, ruble;
ΔР = 102.749,9 - 100.000 = 2.749,9, frecați.
Sunt posibile diferite opțiuni de calcul în funcție de numărul de zile dintr-un an. În cazul în care se ia ca bază pentru măsurarea timpului un an, constând condiționat în 360 de zile (12 luni a câte 30 de zile), se calculează dobânda ordinară sau comercială. Când numărul real de zile dintr-un an este luat ca bază (365 sau 366 - într-un an bisect), se vorbește despre procentul exact.
La determinarea numărului de zile de utilizare a împrumutului se folosesc și două abordări: exactă și obișnuită. În primul caz, se calculează numărul real de zile dintre două date, în al doilea, luna este luată egală cu 30 de zile. Atât în primul cât și în al doilea caz, ziua emiterii și ziua răscumpărării sunt socotite ca o zi. Există și cazuri când în calcul se folosește numărul de zile de decontare sau de zile lucrătoare bancare, al căror număr este de 24 de zile pe lună.
Astfel, există patru opțiuni de calcul:
1) dobânda obișnuită cu numărul exact de zile de împrumut;
2) dobândă obișnuită cu un număr aproximativ de zile de împrumut;
3) dobânda exactă cu numărul aproximativ de zile de împrumut;
4) dobanda exacta cu numarul de zile lucratoare bancare.
De remarcat că, în practică, ziua emiterii și ziua rambursării împrumutului (depozitul) sunt luate ca o zi.
Împrumutul a fost acordat în valoare de 20.000 de ruble. pentru o perioadă de la 10.01.06 la 15.06.06 la 14% pe an. Determinați valoarea rambursării împrumutului.
1. Dobândă obișnuită cu numărul exact de zile de împrumut:
156=21+28+31+30+31+15;
S = 20.000 (1 + 0,14 ·) = 21.213,3, frecare.
2. Dobândă obișnuită cu un număr aproximativ de zile de împrumut:
S = 20.000 (1 + 0,14) = 21.205,6, frecare.
3. Dobândă exactă cu numărul aproximativ de zile de împrumut:
S = 20.000 (1 + 0,14) = 21.189,0, frecare.
4. Dobândă exactă cu numărul de zile lucrătoare bancare:
S = 20.000 (1 + 0,14 ·) = 21.516,7, frecare.
Datele pentru calcularea numărului de zile dintr-o perioadă sunt prezentate în Anexă. 12.
După cum s-a menționat mai sus, pe lângă calculul dobânzii simple, se aplică un calcul complex, în care dobânda este calculată de mai multe ori pe o perioadă și nu este plătită, ci se acumulează pe valoarea datoriei principale. Acest mecanism este eficient în special pentru împrumuturile pe termen mediu și lung.
După primul an (perioada), suma acumulată este determinată de formula (1), unde i va fi rata anuală a dobânzii compuse. După doi ani (perioade), cantitatea acumulată de S 2 va fi:
S 2 = S 1 (1 + it) = P (1 + it) (1 + it) = P (1 + it) 2.
Astfel, la calcularea dobânzii compuse (după n ani (perioade) de acumulare), suma acumulată este determinată de formula
S = P (1 + i t) n, (3)
unde i este rata dobânzii compusă, exprimată ca coeficient; n este numărul de dobânzi compuse acumulate pentru întreaga perioadă.
Raportul de acumulare în acest caz este calculat prin formulă
Kn = (1 + i t) n, (4)
unde Кн este coeficientul de creștere a costului inițial, unități.
Deponentul are posibilitatea de a plasa fonduri în valoare de 75.000 de ruble. pe un depozit la o bancă comercială timp de 3 ani la 10% pe an.
Determinați suma dobânzii acumulate la sfârșitul termenului de depozit, la calcularea dobânzii compuse.
S = 75.000 (1+ 0,1 · 1) 3 = 99.825, frecare.
ΔР = 24 825, frecați.
Astfel, factorul de creștere va fi:
Kn = (1+ 0,1 1) 3 = 1,331
În consecință, factorul de angajamente arată de câte ori a crescut suma inițială în condițiile date.
Ponderea calculelor care utilizează dobânda compusă în practica financiară este destul de mare. Calculele conform regulii dobânzii compuse sunt adesea numite acumularea dobânzii la dobândă, iar procedura de adăugare a dobânzii acumulate se numește adesea reinvestirea sau capitalizarea acestora.
Orez. 1. Dinamica creșterii numerarului la calcularea dobânzii simple și compuse
Datorită creșterii constante a bazei ca urmare a reinvestirii dobânzii, creșterea sumei inițiale de bani se realizează cu o accelerare, care este prezentată clar în Fig. 1.
În practica financiară, dobânda este de obicei percepută de mai multe ori pe an. Dacă dobânda se acumulează și se adaugă mai des (de m ori pe an), atunci există o acumulare de dobândă de m ori. Într-o astfel de situație, în ceea ce privește o tranzacție financiară, nu este specificată dobânda aferentă perioadei, prin urmare, în contractele financiare se fixează dobânda anuală i, pe baza cărora se calculează rata dobânzii pentru perioada (). . În acest caz, rata anuală se numește nominală, ea servește drept bază pentru determinarea ratei la care se acumulează dobânda în fiecare perioadă, iar rata (() mn) aplicată efectiv în acest caz este efectivă, ceea ce caracterizează efectul deplin. (venitul) operațiunii, ținând cont de capitalizarea intraanuală...
Suma acumulată în cadrul schemei efective de dobândă compusă este determinată de formula
S = P (1+) mn, (5)
unde i este rata nominală anuală,%; (1+) mn - coeficient de creștere efectivă a ratei; m - numărul cazurilor de dobândă acumulată pe an; mn - numărul cazurilor de dobândă acumulată pentru perioada respectivă.
S = 20 000 (1+) 4 1 = 22 950, frecare.
De precizat că pentru o perioadă de 1 an, numărul cazurilor de acumulare a dobânzii pe an va corespunde cu numărul cazurilor de acumulare a dobânzii pentru întreaga perioadă. Dacă perioada este mai mare de 1 an, atunci n (a se vedea formula (3)) - va corespunde acestei valori.
S = 20 000 (1+) 4 3 = 31 279, 1, frecare.
Dobânda compusă se aplică și nu numai în cazurile de calcul al sumei datoriilor care a crescut cu dobândă, ci și în contabilizarea repetată a titlurilor de valoare, determinarea chiriei pentru serviciile de leasing, determinarea modificării valorii banilor sub influența inflația etc.
După cum sa menționat mai sus, rata care măsoară venitul relativ primit în ansamblu pe parcursul perioadei se numește efectivă. Calculul ratei efective a dobânzii este utilizat pentru a determina rentabilitatea reală a tranzacțiilor financiare. Acest randament este determinat de rata efectivă a dobânzii corespunzătoare.
I eff = (1+) mn - 1. (6)
O instituție de credit calculează dobânda pentru un depozit la termen pe baza unei rate nominale de 10% pe an. Determinați rata efectivă de combinare zilnică.
i = (1+) 365 - 1 = 0,115156, adică 11%.
Venitul real al deponentului este de 1 rub. fondurile investite nu vor fi de 10 copeici. (din condiție), și 11 copeici. Astfel, rata efectivă a dobânzii la depozit este mai mare decât cea nominală.
La sfârșitul anului, banca plătește 10% pe an din depozite. Care este rentabilitatea reală a depozitelor la calcularea dobânzii: a) trimestrial; b) semestrial.
a) i = (1+) 4 - 1 = 0,1038, adică 10,38%;
b) i = (1+) 2 - 1 = 0,1025, adică 10,25%.
Calculul arată că diferența dintre rate este nesemnificativă, cu toate acestea, acumularea de 10% pe an pe o bază trimestrială este mai profitabilă pentru deponent.
Calculul ratei efective a dobânzii în practica financiară permite subiecților relațiilor financiare să navigheze prin propunerile diferitelor bănci și să aleagă cea mai potrivită variantă de investire a fondurilor.
Acordurile de împrumut prevăd uneori modificări ale ratelor dobânzii în timp. Acest lucru se datorează unei modificări a condițiilor contractuale, acordării de beneficii, impunerii de penalități, precum și unei modificări a condițiilor generale ale tranzacțiilor, în special, o modificare a ratei dobânzii în timp (de obicei în creștere) este asociată cu prevenirea riscurilor bancare ca urmare a schimbării situației economice din țară, creșterea prețurilor, deprecierea monedei naționale etc.
Calculul sumei acumulate atunci când rata dobânzii se modifică în timp se poate efectua atât prin calcularea dobânzii simple, cât și a celor complexe. Schema de calcul a dobânzii este specificată în contractul financiar și depinde de termenul, valoarea și condițiile tranzacției.
Lăsați rata dobânzii să se schimbe de-a lungul anilor. Pentru primii n 1 ani, acesta va fi egal cu i 1, n 2 - i 2 etc. Când se calculează dobânda simplă la suma inițială, este necesar să se adună ratele dobânzii i 1, i 2, in și pentru cele complexe, găsiți produsul lor.
La calcularea dobânzii simple se aplică formula
S = P (1 + i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n), (7)
unde i n este rata dobânzii simple; t n - durata perioadei de acumulare.
În primul an în valoare de 10.000 de ruble. Se percep 10% pe an, în al doilea - 10,5% pe an, în al treilea - 11% pe an. Stabiliți suma care trebuie rambursată dacă dobânda este plătită anual.
S = 10.000 (1 + 0,10 · 1 + 0,105 · 1 + 0,11 · 1) = 13 150, ruble;
ΔР = 3 150, frecați.
La calcularea dobânzii compuse se aplică formula
S = P (1 + i 1 t 1) (1+ i 2 t 2) (1+ i 3 t 3) (1+ i n t n) (8)
unde i n este rata dobânzii compusă; t n - durata perioadei de acumulare a acestuia.
În primul an în valoare de 10.000 de ruble. Se percep 10% pe an, în al doilea - 10,5% pe an, în al treilea - 11% pe an. Determinați suma care trebuie rambursată dacă dobânda este capitalizată.
S = 10.000 (1 + 0,10 · 1) · (1 + 0,105 · 1) · (1 + 0,11 · 1) = 13 492,05, frec.
Exemplele de mai sus confirmă faptul că acumularea dobânzii simple este asociată cu determinarea sumei acumulate în raport cu baza neschimbată, adică în fiecare an (perioadă) se acumulează dobândă pe același cost inițial. Dacă luăm în considerare exemplul 10, atunci în acest caz costul acumulat va fi:
- pentru primul an: S 1 = 10.000 (1 + 0,10 · 1) = 11.000, ruble;
ΔР 1 = 1.000, ruble;
- pentru al doilea an: S 2 = 10.000 (1 + 0,105 · 1) = 11.050, ruble;
ΔР 2 = 1.050, ruble;
- pentru al treilea an: S 3 = 10.000 (1 + 0,11 · 1) = 11.100, ruble;
ΔР 3 = 1 100, frecați.
Astfel, cuantumul dobânzii pe 3 ani va fi:
ΔР = 1.000 + 1.050 + 1.100 = 3.150, frecați. (vezi exemplul 10).
În cazul calculării dobânzii compuse, suma inițială se modifică după fiecare angajare, deoarece dobânda nu se plătește, ci se acumulează pe suma principală, adică se acumulează dobândă la dobândă. Luați în considerare exemplul 11:
- în primul an: S 1 = 10.000 (1 + 0,10 · 1) = 11.000, ruble;
- în al doilea an: S 2 = 11000 (1 + 0,105 · 1) = 12 100, ruble;
- în al treilea an: S 3 = 12100 (1 + 0,11 · 1) = 13 431, frec.
Astfel, suma dobânzii pentru 3 ani va fi: i 3 = 3 431, ruble. (vezi exemplul 10).
La elaborarea termenilor contractelor sau analizarea acestora, uneori devine necesara rezolvarea unor probleme inverse - determinarea termenului operatiunii sau a nivelului ratei dobanzii.
Formulele de calcul a duratei împrumutului în ani, zile etc. pot fi calculate prin transformarea formulelor (1) și (5).
Termenul împrumutului (depozitului):
t = 365. (nouă)
Determinați pentru cât timp va plasa deponentul 10.000 de ruble. pe un depozit atunci când se calculează dobânda simplă la o rată de 10% pe an pentru a primi 12.000 de ruble.
t = ( 
) 365 = 730 de zile (2 ani).
Clientul are posibilitatea de a investi 50.000 de ruble în bancă. timp de o jumătate de an. Determinați rata dobânzii care asigură venitul clientului în valoare de 2.000 de ruble.
t = ( 
) = 0,08 = 8% pe an
În mod similar, se determină data de finalizare necesară a unei tranzacții financiare și durata acesteia, sau valoarea ratei dobânzii cerute la calcularea dobânzii compuse.
Pentru a simplifica calculele, valorile coeficientului (multiplicatorului) acumularii sunt prezentate în Anexă. 3.
