O serie numerică este o anumită secvență care este considerată împreună cu o altă secvență (se mai numește și o secvență de sume parțiale). Concepte similare sunt utilizate în analiza matematică și complexă.
Suma unei serii numerice poate fi calculată cu ușurință în Excel utilizând funcția SERIES.SUMM. Să vedem un exemplu de funcționare a acestei funcții și apoi să construim un grafic de funcții. Vom învăța cum să aplicăm o serie de numere în practică atunci când calculăm creșterea capitalului. Dar mai întâi, o mică teorie.
O serie de numere poate fi privită ca un sistem de aproximări la numere. Pentru desemnarea sa, se folosește formula:
Aceasta arată secvența inițială a numerelor din serie și regula de însumare:
Înregistrarea înseamnă: numerele naturale de la 1 la „plus infinit” sunt însumate. Deoarece i = 1, atunci calculul sumei începe de la unul. Dacă ar exista un alt număr aici (de exemplu, 2, 3), atunci am începe să însumăm cu el (cu 2, 3).
În conformitate cu variabila i, rândul poate fi scris desfășurat:
A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (până la „plus infinit).
Definiția sumei unei serii numerice este dată prin „sume parțiale”. În matematică, ele sunt notate cu Sn. Să scriem seria noastră numerică sub formă de sume parțiale:
S 2 = a 1 + a 2
S 3 = a 1 + a 2 + a 3
S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4
Suma unei serii de numere este limita sumelor parțiale S n. Dacă limita este finită, se vorbește despre o serie „convergentă”. Infinit - despre „divergent”.
În primul rând, găsim suma seriei numerice:
Acum să construim un tabel de valori ale membrilor seriei în Excel:
Primul argument general îl luăm din formula: i = 3.
Toate următoarele valori ale lui i se găsesc prin formula: = B4 + $ B $ 1. Plasăm cursorul în colțul din dreapta jos al celulei B5 și înmulțim formula.
Să găsim valorile. Activăm celula C4 și introducem formula: = SUM (2 * B4 + 1). Copiați celula C4 în intervalul specificat.
Valoarea sumei argumentelor se obține folosind funcția: = SUM (C4: C11). Combinația de taste rapide ALT + "+" (plus pe tastatură).
Pentru a găsi suma unei serii numerice în Excel, se folosește funcția matematică SERIES.SUMM. Programul folosește următoarea formulă:
Argumente funcționale:
Condiții importante pentru ca funcția să funcționeze:
Aceeași funcție SERIES.SUMM funcționează cu seria power (una dintre opțiunile pentru seria funcțională). Spre deosebire de argumentele numerice, argumentele lor sunt funcții.
Seriile funcționale sunt adesea utilizate în sfera financiară și economică. Putem spune că aceasta este zona lor aplicată.
De exemplu, puneți într-o bancă o anumită sumă de bani (a) pentru o anumită perioadă (n). Avem o plată anuală de x procente. Pentru a calcula suma acumulată la sfârșitul primei perioade, se folosește următoarea formulă:
S 1 = a (1 + x).
La sfârșitul perioadei a doua și a perioadelor următoare, forma expresiilor este următoarea:
S 2 = a (1 + x) 2; S 3 = a (1 + x) 2 etc.
Pentru a găsi suma totală:
S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + ... + a (1 + x) n
Sume parțiale în Excel pot fi găsite folosind funcția BS ().
Parametrii inițiali pentru problema antrenamentului:
Folosind funcția matematică standard, găsim suma acumulată la sfârșitul termenului. Pentru a face acest lucru, în celula D2, utilizați formula: = B2 * GRAD (1 + B3; 4)
Acum, în celula D3, rezolvăm aceeași problemă folosind funcția Excel încorporată: = BS (B3; B1 ;; - B2)
Rezultatele sunt aceleași cum ar trebui să fie.
Cum se completează argumentele funcției BS ():
Astfel, funcția BS ne-a ajutat să găsim suma seriei funcționale.
Excel are alte funcții încorporate pentru găsirea diferiților parametri. De obicei, acestea sunt funcții pentru lucrul cu proiecte de investiții, valori mobiliare și plăți de amortizare.
Să construim un grafic al funcțiilor care să reflecte creșterea capitalului. Pentru a face acest lucru, trebuie să trasăm o funcție care este suma seriei construite. De exemplu, să luăm aceleași date despre depozit:
Prima linie arată suma acumulată după un an. În al doilea - în doi. Etc.
Să facem o altă coloană în care reflectăm profitul:
După cum am crezut - în bara de formule.
Pe baza datelor obținute, vom construi un grafic al funcțiilor.
Să selectăm 2 game: A5: A9 și C5: C9. Accesați fila „Inserați” - instrumentul „Diagrame”. Selectăm primul grafic:
Să facem sarcina și mai „aplicată”. În exemplu, am folosit dobânzi compuse. Acestea sunt taxate pe suma acumulată în perioada anterioară.
Să luăm procentaje simple pentru comparație. Formula de dobândă simplă Excel: = $ B $ 2 * (1 + A6 * B6)
Să adăugăm valorile obținute în graficul de creștere a capitalului.
Este evident ce concluzii va face investitorul.
Formula matematică pentru suma parțială a unei serii funcționale (cu procente simple): S n = a (1 + x * n), unde a este suma inițială a depozitului, x este dobândă, n este perioada.
Etc. - cele mai minime cunoștințe despre serie numerică... Este necesar să înțelegeți ce este o serie, să o puteți picta în detaliu și să nu vă rotiți ochii după expresiile „rândul converge”, „rândul diverg”, „suma rândului”. Prin urmare, dacă starea ta de spirit este complet zero, vă rugăm să luați 5-10 minute pentru a scrie Rânduri pentru manechine(literalmente primele 2-3 pagini), apoi reveniți aici și simțiți-vă liber să începeți să rezolvați exemple!
Trebuie remarcat faptul că, în majoritatea cazurilor, nu este ușor de găsit suma unei serii, iar această problemă este de obicei rezolvată prin intermediul rânduri funcționale (vom trăi, vom trăi :))... Deci, de exemplu, cantitatea de artist popular 
retras prin Seria Fourier... În acest sens, în practică, este aproape întotdeauna necesar să se stabilească chiar faptul convergenței, dar nu găsesc un număr specific (mulți, cred, au observat deja acest lucru). Cu toate acestea, printre marea varietate de serii de numere, există puțini reprezentanți care vă permit să atingeți sfânta sfintelor chiar și cu un ceainic plin fără probleme. Și în lecția introductivă, am dat un exemplu de progresie geometrică descrescătoare infinit 
, a cărui cantitate se calculează ușor conform binecunoscutei formule școlare.
În acest articol, vom continua să luăm în considerare exemple similare, în plus, vom învăța definiția strictă a unei sume și, pe parcurs, vom face cunoștință cu unele proprietăți ale seriei. Încălziți ... da, chiar pe progresii și încălziți:
Exemplul 1
Găsiți suma unei serii 
Soluţie: reprezentăm seria noastră ca suma a două serii:
De ce in acest caz poți face asta? Pașii luați se bazează pe două afirmații simple:
1) Dacă seria converge 
, atunci vor converge și seria compusă din sume sau diferențe ale termenilor corespunzători :. În acest caz, este esențial să vorbim despre convergente ranguri. În exemplul nostru, noi știm din timp că ambele progresii geometrice vor converge, ceea ce înseamnă, fără îndoială, descompunem rândul original în două rânduri.
2) A doua proprietate este și mai evidentă. Constanta poate fi mutată în afara intervalului: 
iar acest lucru nu va afecta convergența sau divergența acestuia și totalul. De ce să scoți o constantă? Da, doar pentru ca ea „să nu se împiedice”. Dar uneori este profitabil să nu o faci.
Exemplul final arată astfel:
Folosim formula de două ori pentru a găsi suma unei progresii geometrice descrescătoare infinit :, unde este primul termen al progresiei, este baza progresiei.
Răspuns: suma seriei
Începutul soluției poate fi decorat într-un stil ușor diferit - scrieți seria direct și regrupați membrii acesteia:
Mai departe de-a lungul celui moliat.
Exemplul 2
Găsiți suma unei serii
Acesta este un exemplu pentru o soluție de bricolaj. Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.
Nu există delicii speciale aici, dar odată ce am dat peste o serie neobișnuită care poate surprinde o persoană neexperimentată. Aceasta ... este, de asemenea, o progresie geometrică în scădere infinită! Într-adevăr, iar suma este calculată în doar câteva momente: 
.
Și acum o suflare dătătoare de viață de analiză matematică, necesară pentru rezolvarea problemelor ulterioare:
O definiție riguroasă a convergenței / divergenței și a sumei unei serii în teorie este dată prin așa-numitul sume parțiale rând. Parțial înseamnă incomplet. Să notăm sumele parțiale ale unei serii numerice 
:
Și un rol special îl joacă suma parțială a membrilor „en” ai seriei:
Dacă limita sumelor parțiale dintr-o serie numerică este finala număr :, atunci se numește o astfel de serie convergente, iar numărul în sine este suma seriei... Dacă limita este infinită sau nu există, atunci se numește seria divergent.
Înapoi la rândul demonstrativ 
și notați sumele sale parțiale: 
Limita sumelor parțiale este exact o progresie geometrică infinit descrescătoare, a cărei sumă este:. Am considerat o limită similară în lecție despre secvențe numerice... De fapt, formula în sine este o consecință directă a calculelor teoretice de mai sus (vezi al doilea volum al matanului).
Astfel, este desenat algoritm general pentru rezolvarea problemei noastre: este necesar să se facă a n-a sumă parțială a seriei și să se găsească limita. Să vedem cum se face acest lucru în practică:
Exemplul 3
Calculați suma unei serii 
Soluţie: primul pas este extinderea termen comunîn suma fracțiilor. Folosim metoda coeficientului nedefinit:
Ca urmare:
Imediat este util să faci contrariul verificând:
Termenul general al seriei a fost obținut în forma sa originală, prin urmare, extinderea în suma fracțiilor a fost efectuată cu succes.
Acum să alcătuim suma parțială a seriei. În general, acest lucru se face oral, dar odată ce voi descrie cât mai detaliat posibil din ce a venit: 
Cum se scrie perfect clar, dar cu ce este egal termenul anterior? În termenul general al seriei 
IN LOC DEÎnlocuim „en”:
Aproape toți termenii sumei parțiale pot fi reduși în siguranță: 
Facem doar astfel de note cu un creion într-un caiet. Destul de comod.
Rămâne să calculați limita elementară și să aflați suma seriei: 
Răspuns:
O serie similară pentru o soluție independentă:
Exemplul 4
Calculați suma unei serii 
Un eșantion aproximativ al proiectului final al soluției la sfârșitul lecției.
Evident, găsirea sumei unei serii este în sine o dovadă a convergenței sale (pe lângă semne comparative, D'Alembert, Cauchyși altele), care, în special, este sugerată de formularea următoarei misiuni:
Exemplul 5
Găsiți suma unei serii sau stabiliți divergența acesteia 
Prin apariția unui membru comun, puteți spune imediat cum se comportă acest tovarăș. Fără complexe. Prin utilizarea criteriul de comparare a limitei este ușor să aflăm (chiar și verbal) că o serie dată va converge împreună cu o serie. Dar în fața noastră este un caz rar în care suma este calculată și fără probleme.
Soluţie: extindeți numitorul fracției într-un produs. Pentru a face acest lucru, trebuie să decideți ecuație pătratică:
Prin urmare:
Este mai bine să aranjați factorii în ordine crescătoare :.
Să facem o verificare intermediară:
Bine
Astfel, termenul comun al seriei: 
Prin urmare: 
Nu suntem leneși:
Care este ceea ce trebuia verificat.
Să notăm suma parțială a „en” a membrilor seriei, cu atenție la faptul că „contorul” seriei „începe să funcționeze” din număr. Ca și în exemplele anterioare, este mai sigur să întindeți cobra la o lungime decentă:
Cu toate acestea, dacă scriem în unul sau două rânduri, va fi totuși destul de dificil să navigăm în abrevierile termenilor (sunt 3 dintre ei în fiecare termen). Și aici ... geometria ne va veni în ajutor. Să facem șarpele să danseze pe tonul nostru: 
Da, exact așa, scriem un termen sub celălalt în caiet și îi ștergem așa. Apropo, propria mea invenție. După cum ați înțeles, nu din cea mai ușoară sarcină din această viață =)
Ca urmare a tuturor abrevierilor, obținem:
Și, în final, suma seriei:
Răspuns:
Exemplul 8
Calculați suma unei serii 
Acesta este un exemplu pentru o soluție de bricolaj.
Problema luată în considerare, desigur, nu ne face plăcere cu diversitatea ei - în practică, întâlnim fie o progresie geometrică infinit descrescătoare, fie o serie cu un termen comun fracțional-rațional și un polinom expandabil în numitor (apropo, nu orice astfel de polinom face posibilă găsirea sumei unei serii). Dar, cu toate acestea, uneori se întâlnesc exemplare neobișnuite și, conform tradiției bune stabilite, termin lecția cu o problemă interesantă.
La calculați suma unei serii, trebuie doar să adăugați elementele rândului, de câte ori dat. De exemplu:
În exemplul de mai sus, acest lucru a fost făcut foarte ușor, deoarece a trebuit să fie rezumat de un număr finit de ori. Dar dacă limita superioară a însumării este infinitul? De exemplu, dacă trebuie să găsim suma următoarelor serii:
Prin analogie cu exemplul anterior, putem scrie această sumă astfel:
Dar ce să faci în continuare?! În această etapă, este necesar să se introducă conceptul suma parțială a seriei... Asa de, suma parțială a seriei(notat cu S n) este suma primilor n termeni ai seriei. Acestea. în cazul nostru:
Apoi suma seriei originale poate fi calculată ca limită a sumei parțiale:
Astfel, pentru calculând suma unei serii, este necesar într-un fel să găsim o expresie pentru suma parțială a seriei (S n). În cazul nostru particular, seria este o progresie geometrică descrescătoare cu un numitor de 1/3. După cum știți, suma primelor n elemente ale unei progresii geometrice este calculată prin formula:
aici b 1 este primul element al unei progresii geometrice (în cazul nostru este 1) și q este numitorul progresiei (în cazul nostru este 1/3). Prin urmare, suma parțială S n pentru seria noastră este egală cu:
Atunci suma seriei noastre (S), conform definiției date mai sus, este egală cu:
Exemplele discutate mai sus sunt destul de simple. De obicei, este mult mai dificil să calculați suma unei serii, iar cea mai mare dificultate constă tocmai în găsirea sumei parțiale a seriei. Calculatorul online de mai jos, bazat pe sistemul Wolfram Alpha, vă permite să calculați suma seriilor destul de complexe. Mai mult, dacă calculatorul nu a putut găsi suma seriei, este probabil ca seria dată să fie divergentă (în acest caz, calculatorul afișează un mesaj ca „suma divergă”), adică de asemenea, acest calculator ajută indirect să-ți faci o idee despre convergența seriei.
Pentru a găsi suma seriei dvs., trebuie să specificați variabila seriei, limitele de sumare inferioară și superioară, precum și expresia pentru al treilea termen al seriei (adică expresia reală a seriei în sine).
Suma tuturor numerelor naturale poate fi scrisă folosind următoarea serie de numere
Cu toate acestea, acest rezultat complet contraintuitiv poate fi dovedit cu rigurozitate. Dar, înainte de a vorbi despre dovadă, trebuie să deviați și să vă amintiți conceptele de bază.
Să începem cu faptul că suma „clasică” a unei serii este limita sumelor parțiale ale unei serii dacă aceasta există și este finită. Detalii pot fi găsite în Wikipedia și în literatura conexă. Dacă nu există o limită finită, atunci seria se numește divergentă.
De exemplu, suma parțială a primilor k membri ai seriei numerice 1 + 2 + 3 + 4 + ... este scrisă după cum urmează
Este ușor de înțeles că această cantitate crește la nesfârșit pe măsură ce k tinde spre infinit. În consecință, seria originală este divergentă și, strict vorbind, nu are nicio sumă. Cu toate acestea, există multe modalități de a atribui o valoare finală seriilor divergente.
Rândul 1 + 2 + 3 + 4 + ... este departe de singurul dintre rândurile divergente. Luați de exemplu seria Grundy
Ceea ce, de asemenea, diferă, dar se știe că metoda de însumare a lui Cesaro ne permite să atribuim o valoare finită 1/2 acestei serii. Sumarea Cesaro constă în operarea nu cu sume parțiale dintr-o serie, ci cu mijloacele lor aritmetice. Permițându-ne să speculăm într-un stil liber, putem spune că sumele parțiale ale seriei Grandi oscilează între 0 și 1, în funcție de ce termen al seriei este ultimul din sumă (+1 sau -1), de unde și valoarea 1/2, ca medie aritmetică a două valori posibile ale sumelor parțiale.
Un alt exemplu interesant de serie divergentă este seria alternativă 1 - 2 + 3 - 4 + ... ale cărei sume parțiale oscilează. Suma Abel vă permite să atribuiți o valoare finală de 1/4 unei serii date. Rețineți că metoda lui Abel este, într-un fel, o dezvoltare a metodei însumării Cesaro, astfel încât rezultatul 1/4 este ușor de înțeles din punctul de vedere al intuiției.
Este important de menționat aici că metodele de însumare nu sunt trucuri inventate de matematicieni pentru a face față cumva seriilor divergente. Dacă aplicați suma lui Cesaro sau metoda lui Abel unei serii convergente, atunci răspunsul dat de aceste metode este egal cu suma clasică a unei serii convergente.
Nici însumarea lui Cesaro, nici metoda lui Abel, nu permit totuși lucrul cu seria 1 + 2 + 3 + 4 + ..., deoarece mijloacele aritmetice ale sumelor parțiale, precum și mijloacele aritmetice ale mijloacelor aritmetice, diverg. În plus, dacă valorile 1/2 sau 1/4 pot fi cumva acceptate și corelate cu seria corespunzătoare, atunci -1/12 este dificil de asociat cu seria 1 + 2 + 3 + 4 + ..., care este o succesiune infinită de numere întregi pozitive.
Există mai multe moduri de a ajunge la un rezultat -1/12. În această notă, mă voi opri doar pe scurt pe una dintre ele, și anume regularizarea funcției zeta. Vă prezentăm funcția zeta
Înlocuind s = -1, obținem seria originală 1 + 2 + 3 + 4 +…. Să facem o serie de operații matematice simple pe această funcție.
Unde este această funcție-Dirichlet
Când valoarea s = -1 această funcție ne devine deja familiară prin seria 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... a cărei „sumă” este egală cu 1/4. Acum putem rezolva cu ușurință ecuația
Este interesant faptul că acest rezultat își găsește aplicarea în fizică. De exemplu, în teoria corzilor. Referindu-ne la pagina 22 din Teoria corzilor a lui Joseph Polchinski:
Dacă pentru cineva teoria corzilor nu este un exemplu convingător din cauza lipsei de dovezi a multor consecințe ale acestei teorii, atunci putem menționa, de asemenea, că metode similare apar în teoria câmpului cuantic atunci când încercăm să calculăm efectul Casimir.
Pentru a nu merge de două ori, încă câteva exemple interesante cu funcția zeta
Pentru cei care doresc să obțină mai multe informații pe această temă, observ că am decis să scriu această notă după traducerea articolului corespunzător pe Wikipedia, unde în secțiunea „Link-uri” puteți găsi o mulțime de materiale suplimentare, în principal în limba engleză.
Răspuns: rândul diverg.
Exemplul nr. 3
Găsiți suma seriei $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $.
Deoarece limita inferioară a însumării este 1, termenul comun al seriei este scris sub semnul sumă: $ u_n = \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $. Să compunem a n-a sumă parțială a seriei, adică Să rezumăm primii $ n $ membri ai unei serii numerice date:
$$ S_n = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \ ldots + u_n = \ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
De ce scriu exact $ \ frac (2) (3 \ cdot 5) $ și nu $ \ frac (2) (15) $, va fi clar din narațiunea ulterioară. Cu toate acestea, înregistrarea unei sume parțiale nu ne-a adus nici măcar o iotă mai aproape de obiectivul nostru. Trebuie să găsim $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $, dar dacă scriem doar:
$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ left (\ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) \ right), $$
atunci această înregistrare, complet corectă în formă, nu ne va oferi nimic în esență. Pentru a găsi limita, expresia pentru suma parțială trebuie mai întâi simplificată.
Pentru a face acest lucru, există o transformare standard, care constă în extinderea fracției $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $, care reprezintă termenul comun al seriei, în fracții elementare. Un subiect separat este dedicat problemei descompunerii fracțiilor raționale în elementare (a se vedea, de exemplu, exemplul # 3 de pe această pagină). Extindând fracția $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $ în fracții elementare, vom avea:
$$ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) = \ frac (A) (2n + 1) + \ frac (B) (2n + 3) = \ frac (A \ cdot (2n +3) + B \ cdot (2n + 1)) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Echivalăm numeratorii fracțiilor de pe părțile stângi și drepte ale egalității rezultate:
$$ 2 = A \ cdot (2n + 3) + B \ cdot (2n + 1). $$
Există două moduri de a găsi valorile $ A $ și $ B $. Puteți extinde parantezele și rearanja termenii sau pur și simplu puteți înlocui unele valori potrivite cu $ n $. Strict pentru o schimbare, în acest exemplu vom merge pe primul drum, iar pe următorul - vom înlocui valorile private de $ n $. Extindând parantezele și rearanjând termenii, obținem:
$$ 2 = 2An + 3A + 2Bn + B; \\ 2 = (2A + 2B) n + 3A + B. $$
Există un zero în partea stângă a egalității înainte de $ n $. Dacă doriți, partea stângă a egalității poate fi reprezentată ca $ 0 \ cdot n + 2 $ pentru claritate. Deoarece pe partea stângă a egalității înainte de $ n $ este zero, iar pe partea dreaptă a egalității înainte de $ n $ există $ 2A + 2B $, avem prima ecuație: $ 2A + 2B = 0 $. Împărțim imediat ambele părți ale acestei ecuații la 2, după care obținem $ A + B = 0 $.
Deoarece termenul liber este egal cu 2 pe partea stângă a egalității, iar termenul liber este egal cu $ 3A + B $ pe partea dreaptă a egalității, atunci $ 3A + B = 2 $. Deci, avem un sistem:
$$ \ left \ (\ begin (align) & A + B = 0; \\ & 3A + B = 2. \ end (align) \ right. $$
Dovada va fi efectuată prin metoda inducției matematice. La primul pas, este necesar să verificați dacă egalitatea dovedită este valabilă: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ pentru $ n = 1 $. Știm că $ S_1 = u_1 = \ frac (2) (15) $, dar expresia $ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ va da valoarea $ \ frac ( 2) (15) $, dacă înlocuiți $ n = 1 $? Sa verificam:
$$ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) = \ frac (5-3) (15) = \ frac (2) (15). $$
Deci, pentru $ n = 1 $, egalitatea $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ este valabilă. Aceasta finalizează primul pas al metodei inducției matematice.
Să presupunem că pentru $ n = k $ se menține egalitatea, adică $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $. Să dovedim că aceeași egalitate este valabilă pentru $ n = k + 1 $. Pentru a face acest lucru, luați în considerare $ S_ (k + 1) $:
$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1). $$
Deoarece $ u_n = \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) $, atunci $ u_ (k + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) + 1 ) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) $. Conform ipotezei de mai sus, $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $, deci formula $ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) $ ia forma:
$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3). $$
Concluzie: formula $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ este corectă pentru $ n = k + 1 $. Prin urmare, conform metodei inducției matematice, formula $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ este adevărată pentru orice $ n \ din N $. Egalitatea este dovedită.
În cursul standard de matematică superioară, aceștia sunt de obicei mulțumiți de „tăierea” termenilor de anulare fără a necesita nicio dovadă. Deci, am obținut expresia pentru a n-a sumă parțială: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Găsiți valoarea $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $:
Concluzie: seria dată converge și suma sa este $ S = \ frac (1) (3) $.
Sincer, eu însumi prefer această metodă :) Să notăm suma parțială într-o formă prescurtată:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)). $$
Am primit mai devreme că $ u_k = \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) $, deci:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ dreapta). $$
Suma $ S_n $ conține un număr finit de termeni, astfel încât să îi putem rearanja după cum ne place. Mai întâi vreau să adun toți termenii formularului $ \ frac (1) (2k + 1) $, și apoi să merg la termenii formularului $ \ frac (1) (2k + 3) $. Aceasta înseamnă că vom reprezenta suma parțială sub următoarea formă:
$$ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) + \ frac (1) (5) - \ frac (1) (7) + \ frac (1) (7) - \ frac (1) (9) + \ frac (1) (9) - \ frac (1) (11) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \\ = \ frac (1) (3) + \ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ left (\ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 3) \ right) . $$
Desigur, notația extinsă este extrem de incomodă, astfel încât egalitatea prezentată mai sus poate fi formatată mai compact:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ right) = \ sum \ limits_ ( k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3). $$
Acum transformăm expresiile $ \ frac (1) (2k + 1) $ și $ \ frac (1) (2k + 3) $ în aceeași formă. Cred că este convenabil să aduceți forma unei fracții mai mari (deși este posibil să o reduceți, aceasta este o chestiune de gust). Deoarece $ \ frac (1) (2k + 1)> \ frac (1) (2k + 3) $ (cu cât numitorul este mai mare, cu atât este mai mică fracția), vom reduce fracția $ \ frac (1) (2k + 3) $ la forma $ \ frac (1) (2k + 1) $.
Voi reprezenta expresia în numitorul fracției $ \ frac (1) (2k + 3) $ după cum urmează:
$$ \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (2k + 2 + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) +1). $$
Și suma $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) $ poate fi acum scrisă astfel:
$$ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1 ) +1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1). $$
Dacă egalitate $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $ nu ridică întrebări, atunci să mergem mai departe. Dacă aveți întrebări, vă rugăm să extindeți nota.
Cum am obținut suma convertită? arată ascunde
Am avut o serie $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 ( k + 1) +1) $. Să introducem o nouă variabilă în loc de $ k + 1 $ - de exemplu, $ t $. Deci, $ t = k + 1 $.
Cum s-a schimbat vechea variabilă $ k $? Și s-a schimbat de la 1 la $ n $. Să aflăm cum se va schimba noua variabilă $ t $. Dacă $ k = 1 $, atunci $ t = 1 + 1 = 2 $. Dacă $ k = n $, atunci $ t = n + 1 $. Deci expresia $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) $ este acum $ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n +1 ) \ frac (1) (2t + 1) $.
$$ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1 ) (2t + 1). $$
Avem suma $ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) $. Întrebarea este: chiar contează ce scrisoare să folosiți în această sumă? :) Trite scriind litera $ k $ în loc de $ t $, obținem următoarele:
$$ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1). $$
Așa se obține egalitatea $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $.
Astfel, suma parțială poate fi reprezentată după cum urmează:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1 ). $$
Rețineți că sumele $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ și $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1 ) (2k + 1) $ diferă numai în limitele însumării. Să facem la fel aceste limite. Luând primul element din suma $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ vom avea:
$$ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 1) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1). $$
Luând ultimul element din suma $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $, obținem:
$$ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2 (n + 1) +1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3). $$
Apoi, expresia pentru suma parțială va lua forma:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \\ = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Dacă omitem toate explicațiile, atunci procesul de găsire a unei formule prescurtate pentru suma a n-a parțială va lua următoarea formă:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ right) = \\ = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Permiteți-mi să vă reamintesc că am redus fracția $ \ frac (1) (2k + 3) $ la forma $ \ frac (1) (2k + 1) $. Desigur, puteți face contrariul, adică reprezintă fracția $ \ frac (1) (2k + 1) $ ca $ \ frac (1) (2k + 3) $. Expresia finală pentru suma parțială nu se va modifica. În acest caz, voi ascunde procesul de a găsi o sumă parțială sub o notă.
Cum putem găsi $ S_n $ dacă îl reducem la o fracție diferită? arată ascunde
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \ sum \ limits_ (k = 0) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \\ = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Deci $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Găsiți limita $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $:
$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ left (\ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) -0 = \ frac (1) (3). $$
Seria dată converge și suma sa este $ S = \ frac (1) (3) $.
Răspuns: $ S = \ frac (1) (3) $.
Continuarea subiectului găsirii sumei unei serii va fi luată în considerare în a doua și a treia parte.
