jumlah negara. Jumlah statistik. Perhitungan energi total termodinamika

Palung Mariana, atau Palung Mariana, adalah palung samudera di Samudra Pasifik bagian barat, yang merupakan fitur geografis terdalam yang dikenal di Bumi.

Eksplorasi Palung Mariana diprakarsai oleh ekspedisi (Desember 1872 - Mei 1876) dari kapal Inggris "Challenger" (HMS Challenger), yang melakukan pengukuran sistemik pertama dari kedalaman Samudra Pasifik. Korvet berlayar tiga tiang militer ini diubah menjadi kapal oseanografi untuk pekerjaan hidrologi, geologi, kimia, biologi, dan meteorologi pada tahun 1872.

Juga, kontribusi signifikan untuk studi Palung Dalam Mariana dibuat oleh para peneliti Soviet. Pada tahun 1958, ekspedisi "Vityaz" menetapkan keberadaan kehidupan di kedalaman lebih dari 7000 m, dengan demikian menyangkal anggapan yang berlaku pada waktu itu tentang ketidakmungkinan kehidupan di kedalaman lebih dari 6000-7000 m.

"Vityaz" di kota Kaliningrad di tempat parkir abadi

Setengah abad yang lalu, pada 23 Januari 1960, sebuah peristiwa penting terjadi dalam sejarah penaklukan lautan dunia.

Trieste Bathyscaphe, dikemudikan oleh penjelajah Prancis Jacques Piccard (1922–2008) dan Letnan Angkatan Laut AS Don Walsh, mencapai titik terdalam di dasar laut, Challenger Deep, yang terletak di Palung Mariana dan dinamai kapal Inggris "Challenger", dari mana pada tahun 1951 data pertama tentang itu diterima. Penyelaman berlangsung selama 4 jam 48 menit dan berakhir pada ketinggian 10911 m di atas permukaan laut. Pada kedalaman yang mengerikan ini, di mana tekanan mengerikan sebesar 108,6 MPa (yang lebih dari 1.100 kali lebih besar dari tekanan atmosfer normal) meratakan semua makhluk hidup, para peneliti membuat penemuan oseanologis yang penting: mereka melihat dua ikan berukuran 30 sentimeter, mirip dengan ikan flounder. , berenang melewati jendela. Sebelum ini, diyakini bahwa pada kedalaman melebihi 6.000 m, tidak ada kehidupan.

Dengan demikian, rekor kedalaman menyelam mutlak telah ditetapkan, yang tidak dapat dilampaui bahkan dalam teori. Picard dan Walsh adalah satu-satunya orang yang pernah ke dasar Abyss Challenger. Semua penyelaman berikutnya ke titik terdalam lautan dunia, untuk tujuan penelitian, telah dilakukan oleh robot bathyscaphes tak berawak. Tetapi jumlahnya tidak begitu banyak, karena "mengunjungi" Challenger Abyss itu melelahkan dan mahal.

Salah satu pencapaian penyelaman ini, yang memiliki efek menguntungkan pada masa depan ekologis planet ini, adalah penolakan kekuatan nuklir untuk mengubur limbah radioaktif di dasar Palung Mariana. Faktanya adalah bahwa Jacques Picard secara eksperimental membantah pendapat yang berlaku saat itu bahwa pada kedalaman lebih dari 6000 m tidak ada gerakan massa air ke atas.

Pada tahun 90-an, tiga penyelaman dilakukan oleh peralatan Jepang Kaiko, yang dikendalikan dari jarak jauh dari kapal "induk" melalui kabel serat optik. Namun, pada tahun 2003, saat menjelajahi bagian lain lautan, saat badai, kabel baja penarik putus, dan robot itu hilang.

Kapal selam catamaran Nereus, menjadi kendaraan laut dalam ketiga yang mencapai dasar Palung Mariana.

Pada tanggal 31 Mei 2009, umat manusia kembali mencapai titik terdalam Pasifik, dan memang seluruh lautan dunia - kendaraan laut dalam Amerika Nereus tenggelam ke lubang pembuangan Challenger di dasar Palung Mariana. Perangkat mengambil sampel tanah dan melakukan pengambilan gambar foto dan video bawah air pada kedalaman maksimum, hanya diterangi oleh lampu sorot LED.

Di tangan siswa Eleanor Bors adalah teripang yang hidup di jurang yang sangat dalam dan diambil oleh aparat Nereus.

Selama penyelaman saat ini, instrumen Nereus mencatat kedalaman 10.902 meter. Indikator "Kaiko", yang pertama kali turun di sini pada tahun 1995, adalah 10.911 meter, dan Picard dan Walsh mengukur nilai 10.912 meter. Di banyak peta Rusia, nilai 11.022 meter, yang diperoleh oleh kapal oseanografi Soviet "Vityaz" selama ekspedisi 1957, masih diberikan. Tentu saja, semua ini membuktikan ketidakakuratan pengukuran, dan bukan perubahan kedalaman yang nyata: tidak ada yang melakukan kalibrasi silang dari peralatan pengukuran yang memberikan nilai yang diberikan.

Palung Mariana dibentuk oleh batas dua lempeng tektonik: lempeng Pasifik kolosal berada di bawah lempeng Filipina yang tidak terlalu besar. Ini adalah zona aktivitas seismik yang sangat tinggi, bagian dari apa yang disebut cincin api vulkanik Pasifik, membentang sejauh 40 ribu km, area dengan letusan dan gempa bumi paling sering di dunia. Titik terdalam dari parit tersebut adalah Challenger Abyss, dinamai menurut nama kapal Inggris.

Depresi membentang di sepanjang Kepulauan Mariana sejauh 1500 km; ia memiliki profil berbentuk V, lereng curam (7-9 °), dasar datar selebar 1-5 km, yang dibagi oleh jeram menjadi beberapa depresi tertutup. Di bagian bawah, tekanan air mencapai 108,6 MPa, yang lebih dari 1100 kali lebih tinggi dari tekanan atmosfer normal di tingkat Samudra Dunia. Depresi ini terletak di persimpangan dua lempeng tektonik, di zona pergerakan di sepanjang patahan, di mana Lempeng Pasifik berada di bawah Lempeng Filipina.

Yang tidak dapat dijelaskan dan tidak dapat dipahami selalu menarik orang, sehingga para ilmuwan di seluruh dunia sangat ingin menjawab pertanyaan: "Apa yang tersembunyi di kedalaman Palung Mariana?"

Dapatkah organisme hidup hidup pada kedalaman yang begitu dalam, dan bagaimana seharusnya mereka terlihat, mengingat mereka ditekan oleh massa air laut yang sangat besar, yang tekanannya melebihi 1100 atmosfer? Kesulitan yang terkait dengan studi dan pemahaman makhluk yang hidup di kedalaman yang tak terbayangkan ini sudah cukup, tetapi kecerdikan manusia tidak mengenal batas. Untuk waktu yang lama, ahli kelautan menganggapnya gila untuk berhipotesis bahwa kehidupan bisa ada di kedalaman lebih dari 6.000 meter dalam kegelapan yang tak tertembus, di bawah tekanan mengerikan dan pada suhu mendekati nol. Namun, hasil penelitian para ilmuwan di Samudra Pasifik menunjukkan bahwa bahkan di kedalaman ini, jauh di bawah tanda 6000 meter, ada koloni besar organisme hidup pogonophora ((rogonophora; dari bahasa Yunani pogon - janggut dan phoros - membawa) , sejenis invertebrata laut yang hidup dalam tabung chitinous panjang yang terbuka di kedua ujungnya). Baru-baru ini, tabir kerahasiaan telah dibuka oleh kendaraan berawak dan otomatis, yang terbuat dari bahan tugas berat, yang dilengkapi dengan kamera video. Hasilnya adalah penemuan komunitas hewan yang kaya, terdiri dari kelompok laut yang terkenal dan kurang akrab.

Dengan demikian, pada kedalaman 6000 - 11000 km ditemukan hal-hal sebagai berikut:

Bakteri barofilik (berkembang hanya pada tekanan tinggi);

Dari protozoa - foraminifera (detasemen protozoa dari subkelas rhizopoda dengan tubuh sitoplasma, berpakaian dengan cangkang) dan xenophyophores (bakteri barofilik dari protozoa);

Dari organisme multiseluler - cacing polychaete, isopoda, amphipods, holothurians, bivalvia dan gastropoda.

Di kedalaman tidak ada sinar matahari, tidak ada ganggang, salinitas konstan, suhu rendah, kelimpahan karbon dioksida, tekanan hidrostatik yang sangat besar (meningkat 1 atmosfer untuk setiap 10 meter). Apa yang dimakan penghuni jurang?

Sumber makanan hewan laut dalam adalah bakteri, serta hujan "mayat" dan detritus organik yang berasal dari atas; hewan dalam baik buta atau dengan mata yang sangat berkembang, sering teleskopik; banyak ikan dan cumi dengan fotofluoroid; dalam bentuk lain, permukaan tubuh atau bagiannya bersinar. Karena itu, penampilan hewan-hewan ini sama mengerikan dan luar biasa dengan kondisi tempat mereka tinggal. Diantaranya - cacing yang tampak menakutkan sepanjang 1,5 meter, tanpa mulut dan anus, gurita mutan, bintang laut yang luar biasa dan beberapa makhluk bertubuh lunak sepanjang dua meter, yang belum diidentifikasi sama sekali.

Terlepas dari kenyataan bahwa para ilmuwan telah mengambil langkah besar dalam studi Palung Mariana, pertanyaannya tidak berkurang, misteri baru telah muncul yang belum terpecahkan. Dan jurang laut tahu bagaimana menyimpan rahasianya. Akankah orang-orang dapat mengungkapkannya dalam waktu dekat?

—> Tampilan satelit dari depresi <—

Jumlah status (sinonim - fungsi partisi, integral statistik) adalah faktor normalisasi fungsi distribusi ansambel kanonik. Jika tingkat energi sistem diketahui E saya dan bobot statistiknya aku(yaitu, jumlah level dengan energi E saya), maka jumlah atas keadaan memiliki bentuk:

di mana T- suhu, V- volume sistem, n adalah jumlah partikel. Nama "jumlah atas keadaan" mencerminkan fakta bahwa fungsi Z(T,V,n) adalah jumlah faktor Boltzmann untuk setiap tingkat energi.

Kadang-kadang jumlah atas keadaan untuk sistem yang terdiri dari partikel identik ditentukan melalui integral di atas ruang fase (oleh karena itu namanya - "integral statistik"). Jika fungsi Hamilton dari sistem diketahui H(P,Q), maka jumlah atas keadaan ditentukan sebagai berikut:

di mana integral diambil alih koordinat dan momentum semua n partikel. Di Sini H= 6,63 10 -34 J. s - konstanta Planck. Faktor di depan integral memperhitungkan ketidakterbedaan partikel dan prinsip ketidakpastian kuantum.

Keuntungan utama dari jumlah atas keadaan adalah bahwa itu berisi semua informasi termodinamika tentang sistem ... Jika dalam beberapa cara (secara analitik atau numerik) dimungkinkan untuk menghitung jumlah atas keadaan sistem, maka dimungkinkan untuk menentukan semua fungsi termodinamika dan menemukan persamaan keadaan sistem ini. Dengan demikian, tugas utama termodinamika statistik direduksi menjadi menghitung jumlah keadaan sistem termodinamika .

Properti Jumlah Negara

Semua properti yang tercantum di bawah ini mengikuti dari definisi (11.1) dan (11.2).

1. Jumlah atas keadaan adalah besaran tak berdimensi. Itu tergantung pada suhu, volume dan jumlah partikel: Z = Z(T,V,n). Itu tergantung secara eksplisit pada suhu, dan tingkat energi bergantung pada volume dan jumlah partikel: E saya = E saya(V,n).

2. Jumlah atas keadaan bukanlah nilai mutlak: itu ditentukan dalam faktor konstan, yang tergantung pada pilihan titik referensi energi. Jika Anda memindahkan titik awal, mis. mengubah semua tingkat energi dengan jumlah yang sama: E saya E saya+, maka semua faktor Boltzmann akan bertambah (atau berkurang) dengan jumlah yang sama, dan jumlah keadaan akan berubah dengan jumlah yang sama:

Z

Biasanya, energi sistem pada nol mutlak diambil sebagai titik acuan, kamu 0 .

3. Kapan T 0 semua faktor Boltzmann cenderung ke 0 kecuali yang sesuai dengan tingkat energi yang lebih rendah, oleh karena itu jumlah atas keadaan cenderung ke bobot statistik dari tingkat ini:

Pada suhu rendah, hanya tingkat energi rendah ( E ~ kT).

4. Kapan T semua eksponen yang termasuk dalam definisi (11.1) cenderung 1, sehingga jumlah atas keadaan cenderung jumlah bobot statistik dari semua tingkatan:

,

yang dapat terbatas atau tak terbatas tergantung pada jumlah tingkat energi. Contoh sistem dengan batas terbatas jumlah atas keadaan adalah spin nuklir dalam kristal LiF dalam medan magnet eksternal.

5. Jumlah atas keadaan adalah fungsi suhu yang meningkat secara monoton. Ini mengikuti dari fakta bahwa turunan ( Z / T) V, N dihitung dari definisi (11.1) adalah positif pada setiap suhu.

6. Jika sistem dapat dibagi menjadi dua subsistem independen sehingga setiap tingkat energi dapat direpresentasikan sebagai jumlah: E i = E i 1 + E i 2, maka jumlah atas keadaan dibagi menjadi faktor (difaktorkan): Z = Z 1Z 2, di mana fungsi Z 1 dan Z 2 didefinisikan oleh ekspresi (11.1), tetapi penjumlahan di dalamnya hanya berlaku untuk tingkat energi subsistem ini.

7. Sifat utama penjumlahan atas keadaan adalah hubungannya dengan fungsi termodinamika.

Hubungan antara jumlah atas keadaan dan fungsi termodinamika

Energi internal sistem termodinamika dapat direpresentasikan sebagai energi rata-rata di semua tingkatan, dengan mempertimbangkan populasinya:

,

di mana kamu 0 - energi pada nol mutlak T= 0. Ruas kanan dari definisi ini dapat ditransformasikan menggunakan definisi jumlah atas keadaan (11.1):

. (11.3)

Jadi, mengetahui jumlah dari keadaan, adalah mungkin untuk menentukan energi internal sebagai fungsi dari suhu dan volume.

Hubungan dasar lainnya menghubungkan jumlah atas keadaan dan energi Helmholtz:

. (11.4)

Fungsi pembeda F dengan suhu dan volume, Anda dapat menemukan entropi dan tekanan:

. (11.6)

Hubungan terakhir tidak lebih dari persamaan keadaan termal, yaitu ketergantungan tekanan pada volume dan suhu.

Dengan menggunakan relasi (11.3) - (11.6), kita dapat menemukan fungsi termodinamika lainnya. Sangat menarik bahwa semua fungsi termodinamika ditentukan bukan oleh jumlah atas keadaan itu sendiri, tetapi oleh logaritmanya.

Jumlah molekul pada keadaan gas ideal

Banyak sifat dari jumlah atas keadaan dapat dipertimbangkan dengan contoh kasus khusus yang penting dari sistem termodinamika - gas ideal... Jumlah atas keadaan gas ideal yang terdiri dari n partikel identik, dapat dinyatakan dalam jumlah atas keadaan satu partikel Q:

dimana faktor 1 / n! memperhitungkan prinsip kuantum ketidakterbedaan partikel.

Dalam banyak kasus, tingkat energi molekul gas ideal dapat dibagi menjadi istilah yang sesuai dengan berbagai jenis gerak - translasi, rotasi, vibrasi, elektronik, dan nuklir: E = E posting + E bp + E hitung + E email + E racun, oleh karena itu jumlah molekul atas keadaan difaktorkan:

Q = Q cepat Q vr Q menghitung Q surel Q racun (11.8)

a) Jumlah translasi atas keadaan dapat dihitung dengan rumus (11.2) dengan fungsi Hamilton H(P,Q) = P 2 / 2M (M adalah massa molekul). Integrasi lebih dari tiga koordinat dan tiga proyeksi momentum dilakukan secara terpisah dan memberikan:

Q pos =, (11.9)

di mana V- volume di mana molekul bergerak.

b) Jumlah rotasi atas keadaan tergantung pada simetri molekul. Dalam kasus paling sederhana, untuk molekul linier, tingkat energi hanya bergantung pada bilangan kuantum rotasi J: E J = hcBJ(J+1), di mana B- konstanta rotasi (dimensi - cm -1), yang ditentukan oleh momen inersia molekul, C= 3 10 10 cm / s - kecepatan cahaya. Setiap tingkat rotasi memiliki bobot statistik G J = 2 J+ 1. Pada suhu yang tidak terlalu rendah ( T >> B / k) penjumlahan pada (11.1) dapat diganti dengan integrasi over J, apa yang memberi:

Q bp = (11.10)

Untuk molekul simetris, nilai ini harus dibagi dengan nomor simetri (untuk molekul homonuklear diatomik sama dengan 2).

Pada suhu rendah, jumlah rotasi atas keadaan ditemukan dengan menjumlahkan beberapa nilai yang lebih rendah J.

c) Osilasi inti digambarkan menggunakan model osilator harmonik, di mana tingkat energi bergantung secara linier pada bilangan kuantum vibrasi: E n = hc n, di mana adalah frekuensi getaran (dalam cm -1); energi keadaan dengan n= 0 diambil sebagai titik acuan. Tingkat energi vibrasi adalah non-degenerasi, bobot statistiknya adalah 1. Jumlah dari keadaan osilator harmonik dengan frekuensi sama dengan:

Q= (11.11)

Jumlah ini sangat berbeda dari 1 hanya ketika pecahan dalam eksponen kurang dari 1, yaitu. untuk suhu T > T menghitung = hc/ k... Yang terakhir ini disebut suhu vibrasi efektif untuk vibrasi tertentu. Jika suhu di bawah suhu getaran, maka jumlah atas keadaan hampir sama dengan 1.

Dalam molekul yang terdiri dari n atom ada 3 n-6 (dalam molekul linier - 3 n-5) getaran yang berbeda, masing-masing dengan frekuensinya sendiri Saya, oleh karena itu, jumlah vibrasi atas keadaan molekul sama dengan produk jumlah atas keadaan untuk masing-masing getaran ini:

Q menghitung = (11.12)

d) Tingkat energi elektronik dan nuklir dalam sebuah molekul biasanya sangat jauh satu sama lain, dan pada suhu yang tidak terlalu tinggi, hanya permukaan tanah yang memberikan kontribusi pada jumlah yang sesuai di atas keadaan, yang energinya dianggap 0 Jumlah elektronik dan nuklir atas negara bagian sama dengan bobot statistik dari tingkat elektronik dan nuklir yang lebih rendah, masing-masing:

Q email = G surel, Q racun = G SAYA. (11.13)

Jumlah molekul atas keadaan untuk jenis gerak individu dapat digunakan untuk menghitung populasi absolut dan relatif dari tingkat energi individu menurut hukum distribusi Boltzmann:

. (11.14)

CONTOH

Contoh 11-1. Molekul dapat berada pada tingkat dengan energi 0 atau pada salah satu dari tiga tingkat dengan energi E... Temukan jumlah molekul di atas keadaan dan hitung ketergantungan energi internal molar pada suhu.

Larutan... Jumlah molekul berdasarkan keadaan ditemukan hanya dengan definisi:

Jumlah total atas keadaan terkait dengan hubungan molekuler (11,7). Untuk menghitung energi internal molar, bukan jumlah itu sendiri yang diperlukan, tetapi logaritmanya:

Membedakan ekspresi ini sehubungan dengan suhu dan menggunakan rumus (11.3), kami menemukan:

(n A adalah bilangan Avogadro).

Contoh 11-2. Jumlah atas keadaan sistem termodinamika tertentu yang terdiri dari: n partikel identik sama dengan:

Temukan energi internal, entropi dan persamaan keadaan sistem ini.

Larutan... Temukan logaritma dari jumlah di atas keadaan:

dan gunakan rumus (11,3), (11,5) dan (11,6):

,

di mana S 0 tidak tergantung pada T dan V.

Sistem ini adalah gas ideal.

Contoh 11-3. Hitung jumlah translasi molekul keadaan untuk N 2 dalam kondisi normal jika diketahui bahwa jumlah translasi molekul keadaan untuk H 2 pada suhu 298 K dan tekanan 101,3 kPa adalah 6,70 10 28.

Larutan... Jumlah translasi atas keadaan sama dengan:

Q posting =

Tekanan dalam kedua kasus adalah sama, hanya massa molekul dan suhu yang berbeda. Rasio jumlah translasi dapat ditemukan dalam kaitannya dengan rasio massa dan suhu:

di mana Q pos (N 2) = 42,1 6,70 10 28 = 2.82 10 30 .

Contoh 11-4. Mulai dari tingkat vibrasi berapa populasi molekul klorin (= 560 cm -1) akan kurang dari 1% pada 1000 K?

Larutan... Kami menggunakan rumus Boltzmann (11.14) dengan tingkat energi E n = hc n dan jumlah vibrasi atas keadaan (11.11):

.

Mari kita hitung eksponen yang termasuk dalam pertidaksamaan ini:

solusi persamaan

memberi n = 4.97 5.

TUGAS

11-1. Biarkan beberapa molekul ada di tiga keadaan dengan energi sama dengan 0, E dan E... Temukan ekspresi untuk jumlah molekul atas keadaan Q dan energi dalam molar.

11-2. Biarkan untuk beberapa molekul hipotetis pada suhu tinggi jumlah molekul atas keadaan sama dengan: Q = 2 - /(kT). Temukan ekspresi untuk: a) energi rata-rata molar; b) entropi molar; c) kapasitas panas isokhorik molar. Jelaskan mengapa molekul seperti itu tidak bisa ada.

11-3. Jumlah statistik dari sistem termodinamika tertentu yang terdiri dari: n partikel identik sama dengan:

.

Temukan energi internal, energi Helmholtz, entropi dan persamaan keadaan sistem ini.

11-4. Dua sistem termodinamika diberikan. Untuk salah satunya, ketergantungan energi internal pada suhu diketahui: kamu(T) = kT + kamu 0, untuk yang lain - ketergantungan energi Helmholtz pada suhu: F(T) = -kT ln T + kamu 0 (, adalah faktor konstan, k- Konstanta Boltzmann). Temukan jumlah statistik versus suhu untuk kedua sistem.

11-5. Dengan menggunakan persamaan keadaan, temukan ketergantungan volume dari jumlah total atas keadaan gas ideal dan gas van der Waals.

11-6. Menggunakan hubungan antara jumlah atas keadaan dan fungsi termodinamika, nyatakan turunannya ( kamu/V) T dan ( S/V) T melalui tekanan dan turunannya.

11-7. Untuk beberapa sistem termodinamika (bukan gas ideal), jumlah seluruh keadaan diketahui, Z(T,V). Temukan pekerjaan yang dilakukan sistem ini pada ekspansi isotermal reversibel dari V 1 sampai V 2 .

11-8. Hitung jumlah translasi pada keadaan O 2 pada suhu 100 ° C dan tekanan normal jika diketahui bahwa jumlah translasi pada keadaan He dalam kondisi normal adalah 1,52. 10 29.

11-9. Berapa jumlah vibrasi untuk keadaan yodium (= 214 cm -1) pada suhu 1200 K?

11-10. Hitung jumlah vibrasi molekuler pada keadaan karbon monoksida (IV) pada 1500 K. Frekuensi getaran: 1 = 1388,2 cm -1, 2 = 667,4 cm -1 (degenerasi ganda), 3 = 2349,2 cm -1.

11-11. Hitung jumlah rotasi pada keadaan molekul F 2 pada 0 ° C, jika diketahui bahwa jumlah rotasi pada keadaan molekul 35 Cl 2 pada 298 K adalah 424. Jarak antar inti dalam molekul fluor adalah 1,4 kali kurang dari pada molekul klorin.

11-12 *. Bagaimana jumlah rotasi berubah menurut keadaan, jika dari masing-masing (2 J+1) level dengan energi yang sama J tingkat akan meningkatkan energi mereka dengan beberapa nilai, J tingkat energi akan berkurang dengan jumlah yang sama, tetapi satu tingkat energi tidak akan berubah?

11-13. Hitung peluang menemukan molekul hidrogen (= 4400 cm -1) dalam keadaan vibrasi dasar pada 4000 K.

11-14. Hitung peluang menemukan atom belerang di tanah dan keadaan elektronik tereksitasi pertama pada 1000 K menggunakan data berikut:

istilah elektronik	Energi (cm -1)	Berat statistik

11-15. Dengan menggunakan data dari soal sebelumnya, hitung jumlah elektron pada keadaan dan energi elektron rata-rata atom belerang pada 1000 K.

11-16 *. Tentukan konsentrasi kesetimbangan orto- dan para-hidrogen pada 120 K (konstanta rotasi B= 60,9 cm -1).

11-17. Tentukan tingkat energi rotasi molekul N 2 ( B= 2,00 cm -1), yang memiliki populasi tertinggi pada: a) T= 298 K, b) T= 1000 K

11-18. Pada suhu berapa tingkat rotasi dengan J= 10 dalam keadaan elektronik dan vibrasi dasar dari molekul O2 ( B= 1,45 cm -1) memiliki populasi tertinggi di antara semua tingkat rotasi?

11-19. Pertimbangkan populasi J tingkat rotasi molekul diatomik sebagai fungsi suhu. Pada suhu berapa populasi ini maksimum? (Konstanta rotasi B).

Jumlah statistik (atau jumlah negara ) adalah parameter terpenting dari model ansambel statistik kanonik, yang digunakan untuk menggambarkan jenis sistem statistik yang paling umum - sistem dalam kontak termal dengan termostat.

Kegunaan jumlah statistik adalah karena sejumlah fitur khas mereka.

1) jumlah statistik adalah karakteristik numerik yang mencerminkan fungsi distribusi ansambel statistik dalam bentuk yang dipadatkan;

2) jumlah statistik adalah perkalian - jika beberapa subsistem yang berinteraksi lemah dapat dibedakan dalam sistem yang kompleks, maka jumlah statistik suatu sistem dapat direpresentasikan sebagai produk dari jumlah statistik dari subsistemnya;

Q = Q 1 Q 2 … Q n

3) semua karakteristik termodinamika utama sistem dapat dinyatakan melalui jumlah statistik:

energi bebasF = – kT ln Q

energi dalamkamu= (kT) 2 D(ln Q) /D (kT)

entropi S = k  D (kT ln Q) / D (kT)

yang memungkinkan untuk menghitung karakteristik makroskopik suatu zat berdasarkan informasi tentang struktur molekulnya dan kondisi eksternal (suhu, dll.).

Dari sudut pandang formal, fungsi partisi memainkan peran sebagai faktor normalisasi saat menghitung probabilitas dalam model ansambel kanonik:

P(E Saya) = (1 / Q) exp (- E Saya/ ), di mana Q =

Tidak seperti probabilitas P(E Saya), nilai jumlah statistik Q itu sendiri tergantung pada skala energi yang digunakan. Karena itu, saat menghitung, Anda harus menggunakan yang khusus skala statistik , di mana tanda nol bertepatan dengan tingkat energi terendah yang tersedia untuk sistem yang diteliti. Dengan kata lain, perhitungan statistik tidak boleh memperhitungkan apa yang disebut. "energi nol" E o, yang mencirikan semua sistem terkait. Energi ini tidak dapat berpartisipasi dalam pertukaran panas dengan lingkungan (termostat) dan oleh karena itu tidak berkontribusi dengan cara apa pun terhadap perilaku statistik sistem termostat. Jadi, ketika menghitung jumlah statistik, seseorang tidak boleh menggunakan nilai energi yang diberikan oleh model mekanika kuantum (kotak potensial, osilator, dll.), tetapi nilai yang dikoreksi:

E status = E bulu - E HAI

Misalnya, model kotak potensial satu dimensi mengarah ke nilai energi yang dapat diterima yang dinyatakan oleh rumus terkenal:

E n= ( 2 2/2 ml)  n 2 , dimana n = 1, 2, …

Pada skala statistik, ungkapan ini mengambil bentuk yang berbeda:

(E n) status = E n – E 1 = ( 2 2/2 ml)  (n 2 – 1)

Karena dalam skala statistik nilai energi yang diizinkan pertama adalah nol, eksponen pertama dalam jumlah selalu sama dengan satu, dan rumus untuk menghitung jumlah statistik berbentuk:

Q = 1 +

di mana penjumlahan harus dimulai dengan Saya= 2.

Oleh karena itu, khususnya, dapat disimpulkan bahwa kemungkinan nilai numerik dari jumlah statistik selalu terletak pada interval: 1< Q<, причем равенствоQ= 1 наблюдается для чисто механических систем, изолированных от окружающей среды, для которых энергия может иметь единственное допустимое значение (в статистической шкале оно будет равно нулю)

Probabilitas untuk tingkat energi yang lebih rendah (pertama) akan dinyatakan dengan rumus:

P 1 = 1 / T = n 1 /n

dan jumlah statistik dapat didefinisikan sebagai rasio jumlah semua sistem dalam ansambel ( n) dengan jumlah sistem dalam keadaan energi tidak tereksitasi ( n 1):

Q = n /n 1

Dengan kata lain, jika tidak ada sistem ansambel yang tereksitasi (tidak ada kontak dengan termostat) maka Q = 1. Semakin banyak sistem ansambel masuk ke keadaan tereksitasi, semakin besar fungsi partisinya. Kita dapat mengatakan bahwa jumlah statistik adalah ukuran tingkat pengaruh termostat pada sifat-sifat sistem termostat (ukuran "statistik").

Mari kita pertimbangkan beberapa contoh penggunaan jumlah statistik sebagai karakteristik sistem statistik.

Pada suhu, volume, dan jumlah partikel tetap. Fungsi partisi kanonik besar mengacu pada ansambel statistik kanonik besar, di mana suatu sistem dapat bertukar panas dan partikel dengan lingkungan pada suhu, volume, dan potensi kimia yang tetap. Dalam situasi lain, Anda dapat menentukan jenis jumlah statistik lainnya.

Jumlah statistik dalam ansambel kanonik

Definisi

Misalkan ada sistem yang mematuhi hukum termodinamika, yang berada dalam kontak termal konstan dengan media yang memiliki suhu teksvc , dan volume sistem dan jumlah partikel penyusunnya tetap. Dalam situasi seperti itu, sistem milik ansambel kanonik. Kami menunjukkan tepat keadaan di mana sistem dapat, melalui Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): (J = 1,2,3, \ ldots), dan energi total sistem dalam keadaan Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): J - Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): E_j... Biasanya, keadaan mikro ini dapat dilihat sebagai keadaan kuantum diskrit dari sistem.

Fungsi partisi kanonik- ini

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): Z = \ sum_j e ^ (- \ beta E_j),

di mana suhu kembali Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan konfigurasi.): \ Beta didefinisikan sebagai

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): \ Beta \ equiv \ frac (1) (k_BT),

A Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan konfigurasi.): K_B adalah konstanta Boltzmann. V klasik akan salah jika mekanika statistik mendefinisikan jumlah statistik sebagai jumlah dari suku-suku diskrit, seperti dalam rumus di atas. Dalam mekanika klasik, koordinat dan momentum partikel dapat berubah terus menerus, dan himpunan keadaan mikro tidak terhitung. Dalam hal ini, perlu untuk membagi ruang fase menjadi sel, yaitu, dua keadaan mikro dianggap sama jika perbedaan koordinat dan momentumnya "tidak terlalu besar". Dalam hal ini, jumlah statistik mengambil bentuk integral. Misalnya, jumlah statistik gas dari Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc partikel klasik adalah

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): Z = \ frac (1) (N! H ^ (3N)) \ int \ exp [- \ beta H (p_1, \ ldots, p_N, x_1, \ ldots, x_N) ] \, d ^ 3p_1 \ ldots d ^ 3p_N \, d ^ 3x_1 \ ldots d ^ 3x_N,

di mana Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc - beberapa nilai dimensi aksi (yang harus sama dengan konstanta Planck agar sesuai dengan mekanika kuantum), dan Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): H adalah Hamiltonian klasik. Alasan munculnya pengganda Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc dijelaskan. Untuk mempermudah, artikel ini akan menggunakan bentuk diskrit dari fungsi partisi, tetapi hasil yang diperoleh berlaku sama untuk bentuk kontinu.

Dalam mekanika kuantum, fungsi partisi dapat ditulis lebih formal sebagai jejak di atas ruang keadaan (yang tidak tergantung pada pilihan basis):

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math / README untuk bantuan penyiapan.): Z = \ mathrm (tr) \, (e ^ (- \ beta H)),

di mana Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): H- Operator Hamilton. Eksponen operator ditentukan dengan menggunakan ekspansi deret daya.

Arti dan arti penting

Mari kita pertimbangkan dulu tergantung pada apa. Fungsi partisi terutama merupakan fungsi suhu. Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): T, dan yang kedua - energi keadaan mikro Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): E_1, E_2, E_3 dll. Energi keadaan mikro ditentukan oleh besaran termodinamika lainnya, seperti jumlah partikel dan volume, serta sifat mikroskopis, seperti massa partikel. Ketergantungan pada sifat mikroskopis ini sangat mendasar dalam mekanika statistik. Dengan menggunakan model komponen mikroskopis dari sistem, dimungkinkan untuk menghitung energi keadaan mikro, dan, akibatnya, jumlah statistik, yang memungkinkan untuk menghitung semua sifat termodinamika lain dari sistem.

Fungsi partisi dapat digunakan untuk menghitung besaran termodinamika karena memiliki arti statistik yang sangat penting. Kemungkinan Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): P_j dengan mana sistem berada dalam keadaan mikro Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): J, adalah sama dengan

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): P_j = \ frac (1) (Z) e ^ (- \ beta E_j).

Jumlah statistik termasuk dalam distribusi Gibbs dalam bentuk faktor normalisasi (it bukan tergantung pada Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): J), memastikan bahwa jumlah probabilitas sama dengan satu:

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): \ Sum_j P_j = \ frac (1) (Z) \ sum_j e ^ (- \ beta E_j) = \ frac (1) (Z) Z = 1.

Perhitungan energi total termodinamika

Untuk mendemonstrasikan kegunaan fungsi partisi, kami menghitung nilai termodinamika dari energi total. Ini hanyalah ekspektasi matematis, atau nilai energi rata-rata ansambel, sama dengan jumlah energi keadaan mikro, yang diambil dengan bobot yang sama dengan probabilitasnya:

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan pengaturan.): \ Langle E \ rangle = \ sum_j E_jP_j = \ frac (1) (Z) \ sum_j E_j e ^ (- \ beta E_j) = - \ frac (1) (Z ) \ frac (\ sebagian) (\ sebagian \ beta) Z (\ beta, \; E_1, \; E_2, \; \ ldots) = - \ frac (\ sebagian \ ln Z) (\ sebagian \ beta)

atau, yang sama

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyesuaian.): \ Langle E \ rangle = k_B T ^ 2 \ frac (\ partial \ ln Z) (\ partial T).

Dapat juga dicatat bahwa jika energi keadaan mikro bergantung pada parameter Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc bagaimana

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): E_j = E_j ^ ((0)) + \ lambda A_j

untuk semua Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): J, maka nilai rata-rata Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): A sama dengan

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyetelan.): \ Langle A \ rangle = \ sum_j A_jP_j = - \ frac (1) (\ beta) \ frac (\ partial) (\ partial \ lambda) \ ln Z (\ beta , \ ; \ lambda).

Ini adalah dasar untuk teknik yang memungkinkan Anda menghitung nilai rata-rata dari banyak besaran mikroskopis. Perlu untuk menambahkan kuantitas ini secara artifisial ke energi keadaan mikro (atau, dalam bahasa mekanika kuantum, ke Hamiltonian), menghitung fungsi dan mean partisi baru, dan kemudian menempatkan Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk referensi konfigurasi.): \ Lambda sama dengan nol. Metode serupa digunakan dalam teori medan kuantum.

Bagian ini menunjukkan hubungan antara fungsi partisi dan berbagai parameter termodinamika sistem. Hasil ini dapat diperoleh dengan menggunakan metode yang dijelaskan pada bagian sebelumnya dan berbagai hubungan termodinamika.

Seperti yang telah kita lihat, energinya adalah

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyesuaian.): \ Langle E \ rangle = - \ frac (\ partial \ ln Z) (\ partial \ beta). Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan pengaturan.): C_v = \ frac (\ partial \ langle E \ rangle) (\ partial T) = \ frac (1) (k_B T ^ 2) \ langle \ delta E ^ 2 \ rangle. Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyetelan.): S \ equiv-k_B \ sum_j P_j \ ln P_j = k_B (\ ln Z + \ beta \ langle E \ rangle) = \ frac (\ partial) (\ partial T) ( k_B T \ ln Z) = - \ frac (\ sebagian F) (\ sebagian T),

di mana Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan konfigurasi.): F- energi bebas, didefinisikan sebagai Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan pengaturan.): F = E-TS, di mana Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan pengaturan.): E adalah energi total, dan Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): S adalah entropi, sehingga

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan konfigurasi.): F = \ langle E \ rangle-TS = -k_B T \ ln Z.

Jumlah statistik subsistem

Misalkan sistem terdiri dari Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): N subsistem, interaksi antara yang diabaikan. Jika jumlah statistik dari subsistem adalah sama Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): \ Zeta_1, \; \ zeta_2, \; \ ldots, \; \ zeta_N, maka jumlah statistik seluruh sistem adalah produk jumlah statistik individu:

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): Z = \ prod_ (j = 1) ^ N \ zeta_j.

Jika subsistem memiliki sifat fisik yang sama, maka jumlah statistiknya sama: Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): \ Zeta_1 = \ zeta_2 = \ ldots = \ zeta, dan dalam hal ini

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): Z = \ zeta ^ N.

Namun, ada satu pengecualian penting untuk aturan ini. Jika subsistem adalah partikel yang identik, yaitu berdasarkan prinsip mekanika kuantum, mereka tidak dapat dibedakan bahkan pada prinsipnya, fungsi partisi total harus dibagi dengan Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): N! :

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): Z = \ frac (\ zeta ^ N) (N. !}

Ini dilakukan agar tidak memperhitungkan keadaan mikro yang sama beberapa kali.

Fungsi partisi ensemble kanonik besar

Definisi

Sama halnya dengan fungsi partisi kanonik untuk ansambel kanonik, seseorang dapat mendefinisikan fungsi partisi kanonik besar untuk ansambel kanonik besar - sistem yang dapat menukar panas dan partikel dengan medium, dan memiliki suhu konstan Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): T, volume Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc dan potensial kimia Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan konfigurasi.): \ Mu... Fungsi partisi kanonik yang besar, meskipun lebih sulit untuk dipahami, menyederhanakan perhitungan sistem kuantum. Fungsi partisi kanonik besar Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math / README untuk referensi penyetelan.): \ Mathcal (Z) untuk gas ideal kuantum ditulis sebagai:

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math / README untuk bantuan setup.): \ Mathcal (Z) = \ sum_ (N = 0) ^ \ infty \, \ sum _ (\ (n_i \)) \, \ prod_i e ^ (- \ beta n_i ( \ varepsilon_i- \ mu)),

di mana Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): N- jumlah total partikel dalam volume Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): V, indeks Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc berjalan melalui semua keadaan mikro sistem, Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): N_i- jumlah partikel dalam keadaan Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): I, A Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): \ Varepsilon_i- energi dalam keadaan Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): I . Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): \ (N_i \)- semua kemungkinan set nomor pekerjaan untuk setiap keadaan mikro, sehingga Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): \ Sum_i n_i = N... Pertimbangkan, misalnya, istilah yang sesuai dengan Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc ... Salah satu kemungkinan set nomor isian adalah Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): \ (N_i \) = 0, \; 1, \; 0, \; 2, \; 0, \ ldots, ini berkontribusi pada istilah dengan Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): N = 3 sama dengan

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): \ Prod_i e ^ (- \ beta n_i (\ varepsilon_i- \ mu)) = e ^ (- \ beta (\ varepsilon_1- \ mu)) \, e ^ (- 2 \ beta (\ varepsilon_3- \ mu)). Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math / README untuk bantuan penyiapan.): \ Mathcal (Z) _i = \ sum_ (n_i = 0) ^ \ infty e ^ (- \ beta n_i (\ varepsilon_i- \ mu)) = \ frac (1) (1 -e ^ (- \ beta (\ varepsilon_i- \ mu))), Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math / README untuk bantuan setup.): \ Mathcal (Z) _i = \ sum_ (n_i = 0) ^ 1 e ^ (- \ beta n_i (\ varepsilon_i- \ mu)) = \ frac (1) ( 1 + e ^ (- \ beta (\ varepsilon_i- \ mu))).

Dalam kasus gas Maxwellian-Boltzmann, perlu untuk menghitung keadaan dengan benar dan membagi faktor Boltzmann Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): E ^ (- \ beta (\ varepsilon_i- \ mu)) pada Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan konfigurasi.): N_i!

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math / README untuk bantuan penyiapan.): \ Mathcal (Z) _i = \ sum_ (n_i = 0) ^ \ infty \ frac (e ^ (- \ beta n_i (\ varepsilon_i- \ mu))) (n_i=\exp\left(e^{-\beta(\varepsilon_i-\mu)}\right). !}

Hubungan dengan besaran termodinamika

Sama seperti fungsi partisi kanonik, fungsi partisi kanonik besar dapat digunakan untuk menghitung nilai termodinamika dan statistik suatu sistem. Seperti dalam ansambel kanonik, besaran termodinamika tidak tetap, tetapi terdistribusi secara statistik di sekitar rata-rata. menunjukkan Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan konfigurasi.): \ Alpha = - \ beta \ mu, kami mendapatkan nilai rata-rata dari angka pengisian:

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math / README untuk bantuan setup.): \ Langle n_i \ rangle = - \ left (\ frac (\ partial \ ln \ mathcal (Z) _i) (\ partial \ alpha) \ right) _ (\ beta, \; V) = \ frac (1) (\ beta) \ kiri (\ frac (\ partial \ ln \ mathcal (Z) _i) (\ partial \ mu) \ kanan) _ (\ beta, \; V).

Untuk partikel Boltzmann, ini memberikan:

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): \ Langle n_i \ rangle = e ^ (- \ beta (\ varepsilon_i- \ mu)).

Untuk boson:

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): \ Langle n_i \ rangle = \ frac (1) (e ^ (\ beta (\ varepsilon_i- \ mu)) - 1).

Untuk fermion:

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan pengaturan.): \ Langle n_i \ rangle = \ frac (1) (e ^ (\ beta (\ varepsilon_i- \ mu)) + 1),

yang bertepatan dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan ansambel kanonik untuk statistik Maxwell - Boltzmann, statistik Bose - Einstein, dan statistik Fermi - Dirac. (Tingkat degenerasi Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi pengaturan.): G_i tidak ada dalam persamaan ini, karena indeks Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): I angka keadaan individu, bukan tingkat energi.)

Jumlah total partikel

Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math / README untuk bantuan tuning.): \ Langle N \ rangle = - \ left (\ frac (\ partial \ ln \ mathcal (Z)) (\ partial \ alpha) \ right) _ (\ beta, \ ; V ) = \ frac (1) (\ beta) \ kiri (\ frac (\ parsial \ ln \ mathcal (Z)) (\ parsial \ mu) \ kanan) _ (\ beta, \; V). Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math / README untuk bantuan tuning.): \ Langle P \ rangle = \ frac (1) (\ beta) \ left (\ frac (\ partial \ ln \ mathcal (Z)) (\ partial V) \ right ) _ (\ mu, \; \ beta). Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math / README untuk bantuan setup.): \ Langle PV \ range = \ frac (\ ln \ mathcal (Z)) (\ beta).

Tulis ulasan tentang "Jumlah Statistik"

literatur

• Kubo R. Mekanika statistik. - L.: Mir, 1967.
• Huang K. Mekanika statistik. - M.: Mir, 1966. (Huang, Kerson, "Mekanika Statistik", John Wiley & Sons, New York, 1967.)
• Ishihara A. Fisika statistik. - M.: Mir, 1973. (Isihara A. "Fisika Statistik". - New York: Academic Press, 1971.)
• Kelly, James J.
• Landau, L.D., Lifshits, E.M. Fisika statistik. Bagian 1. - Edisi 5. - Moskow: Fizmatlit, 2005 .-- 616 hal. - ("Fisika Teoretis", volume V). - ISBN 5-9221-0054-8..

Kutipan Karakterisasi Jumlah Statistik

- Dimana Rumahku? .. - tanyaku heran.
- Itu jauh ... Di rasi bintang Orion ada bintang dengan nama indah Asta. Ini Rumahmu, Isidora. Sama seperti milikku.
Aku menatapnya kaget, tidak percaya. Bahkan tidak mengerti berita aneh seperti itu. Itu tidak cocok di kepalaku yang meradang menjadi kenyataan nyata apa pun dan sepertinya aku, seperti Karaffa, secara bertahap kehilangan akal sehatku ... Tapi Sever itu nyata, dan sepertinya dia tidak bercanda. Karena itu, setelah mengumpulkan diri saya sendiri, saya bertanya dengan lebih tenang:
- Bagaimana bisa Karaffa menemukanmu? Apakah dia punya Hadiah? ..
- Tidak, dia tidak memiliki Hadiah. Tetapi dia memiliki Pikiran yang melayaninya dengan sangat baik. Jadi dia menggunakannya untuk menemukan kita. Dia membaca tentang kami dalam sebuah kronik yang sangat tua, yang tidak diketahui bagaimana dan di mana dia mendapatkannya. Tapi dia tahu banyak, percayalah. Dia memiliki beberapa sumber luar biasa dari mana dia mendapatkan pengetahuannya, tetapi saya tidak tahu dari mana dia berasal, dan di mana sumber ini dapat ditemukan untuk melindunginya.
- Jangan khawatir! Tapi aku tahu betul tentang itu! Saya tahu "sumber" ini! .. Ini adalah perpustakaannya yang luar biasa, di mana manuskrip tertua disimpan dalam jumlah yang tak terhitung jumlahnya. Bagi mereka, saya pikir, Karaffe membutuhkan Hidupnya yang panjang ... - Saya merasa sedih setengah mati dan ingin menangis seperti anak kecil ... - Bagaimana kita bisa menghancurkannya, Sever?! Dia tidak punya hak untuk hidup di bumi! Dia adalah monster yang akan merenggut jutaan nyawa jika tidak dihentikan! Apa yang kita lakukan?
- Tidak ada untukmu, Isidora. Anda hanya harus pergi. Kami akan menemukan cara untuk menyingkirkannya. Ini hanya membutuhkan waktu.
- Dan selama ini orang yang tidak bersalah akan binasa! Tidak, Sever, aku akan pergi hanya jika aku tidak punya pilihan. Dan selagi dia ada, aku akan bertarung. Bahkan jika tidak ada harapan.
Putriku akan dibawa kepadamu, jaga dia. aku tidak bisa menyimpannya...
Sosoknya yang bercahaya telah menjadi benar-benar transparan. Dan dia mulai menghilang.
- Aku akan kembali, Isidora. - gemerisik suara penuh kasih sayang.
- Perpisahan, Sever ... - Aku menjawab dengan tenang.
- Tapi bagaimana itu?! - Stella tiba-tiba berseru. - Anda bahkan tidak bertanya tentang planet tempat Anda berasal?! .. Bukankah itu menarik bagi Anda?! Bagaimana?..
Sejujurnya, saya juga hampir tidak tahan untuk tidak menanyakan hal yang sama kepada Isidora! Esensinya datang dari luar, dan dia bahkan tidak bertanya tentang itu! .. Tetapi sampai batas tertentu saya mungkin memahaminya, karena itu adalah waktu yang terlalu menakutkan baginya, dan dia sangat takut pada orang-orang yang sangat dia cintai dan yang masih mencoba untuk menyelamatkan. Nah, dan Rumah - itu bisa ditemukan nanti, ketika tidak ada pilihan selain pergi ...
- Tidak, sayang, saya tidak bertanya, bukan karena saya tidak tertarik. Tetapi karena itu tidak begitu penting, entah bagaimana, orang-orang hebat itu meninggal. Dan mereka binasa dalam siksaan brutal, yang diizinkan dan didukung oleh satu orang. Dan dia tidak punya hak untuk hidup di tanah kami. Ini adalah hal yang paling penting. Dan sisanya bisa dibiarkan nanti.
Stella tersipu, malu dengan ledakannya dan berbisik pelan:
- Maafkan aku, tolong, Isidora ...
Dan Isidora telah "pergi" ke masa lalunya lagi, melanjutkan kisahnya yang luar biasa ...
Begitu Sever menghilang, saya segera mencoba memanggil ayah saya secara mental. Tapi entah kenapa dia tidak menjawab. Ini mengingatkan saya sedikit, tetapi tidak mengharapkan sesuatu yang buruk, saya mencoba lagi - masih tidak ada jawaban ...
Setelah memutuskan untuk tidak membebaskan imajinasiku yang meradang untuk sementara waktu dan meninggalkan ayahku sendirian untuk sementara waktu, aku tenggelam dalam kenangan manis dan sedih tentang kunjungan Anna baru-baru ini.
Saya masih ingat bau tubuhnya yang rapuh, kelembutan rambut hitamnya yang tebal dan keberanian luar biasa yang membuat putri saya yang berusia dua belas tahun menghadapi nasib buruknya. Saya sangat bangga padanya! Anna adalah seorang pejuang, dan saya percaya bahwa apa pun yang terjadi, dia akan berjuang sampai akhir, sampai nafas terakhirnya.
Saya belum tahu apakah saya akan dapat menyelamatkannya, tetapi saya bersumpah pada diri sendiri bahwa saya akan melakukan segala daya saya untuk menyelamatkannya dari cengkeraman keras Paus yang kejam.
Caraffa kembali beberapa hari kemudian, sangat kesal dan pendiam dalam beberapa hal. Dia hanya menunjukkan kepada saya dengan tangannya bahwa saya harus mengikutinya. saya patuh.
Setelah melewati beberapa koridor panjang, kami menemukan diri kami di sebuah kantor kecil, yang (seperti yang saya pelajari nanti) adalah resepsi pribadinya, yang sangat jarang ia undang tamu.
Caraffa diam-diam menunjuk ke kursi dan perlahan duduk di seberangnya. Keheningannya tampak tidak menyenangkan dan, seperti yang sudah saya ketahui dari pengalaman sedih saya sendiri, tidak pernah menjadi pertanda baik. Tapi saya, setelah bertemu dengan Anna, dan kedatangan tak terduga dari Utara, santai yang tak termaafkan, "menidurkan" kewaspadaan saya yang biasa sampai batas tertentu, dan melewatkan pukulan berikutnya ...
- Saya tidak punya waktu untuk sopan santun, Isidora. Anda akan menjawab pertanyaan saya atau orang lain akan sangat menderita. Jadi, saya menyarankan Anda untuk menjawab!
Caraffa marah dan kesal, dan menentangnya pada saat seperti itu akan menjadi kegilaan yang nyata.
“Saya akan mencoba, Yang Mulia. Apa yang ingin kamu ketahui?
- Masa mudamu, Isidora? Bagaimana Anda mendapatkannya? Anda berusia tiga puluh delapan tahun, dan Anda terlihat dua puluh dan tidak berubah. Siapa yang memberimu masa mudamu? Jawab aku!
Saya tidak mengerti apa yang membuat Karaffa begitu marah? .. Selama kenalan kami yang sudah agak lama, dia tidak pernah berteriak dan sangat jarang kehilangan kendali atas dirinya sendiri. Sekarang saya sedang diajak bicara oleh orang yang marah, kehilangan kesabaran, dari siapa orang bisa mengharapkan apa pun.
- Jawab, Madonna! Atau kejutan lain yang sangat tidak menyenangkan akan menunggu Anda.
Dari pernyataan seperti itu, rambut saya mulai bergerak ... Saya mengerti bahwa tidak mungkin untuk mencoba menghindari pertanyaan itu. Sesuatu membuat Caraffa sangat marah, dan dia tidak berusaha menyembunyikannya. Dia tidak menerima permainan itu, dan tidak akan bercanda. Yang tersisa hanyalah menjawab, dengan membabi buta berharap bahwa dia akan menerima setengah kebenaran ...
- Saya adalah Penyihir turun-temurun, Yang Mulia, dan hari ini saya yang paling kuat di antara mereka. Pemuda datang kepada saya dengan warisan, saya tidak memintanya. Sama seperti ibuku, nenekku, dan para penyihir lainnya di keluargaku. Anda harus menjadi salah satu dari kami, Yang Mulia, untuk menerima ini. Selain itu, untuk menjadi yang paling layak.
- Omong kosong, Isidora! Saya tahu orang-orang yang mencapai keabadian sendiri! Dan mereka tidak dilahirkan bersamanya. Jadi ada cara. Dan Anda akan membukanya untuk saya. Percaya padaku.
Dia benar sekali... Ada beberapa cara. Tapi aku tidak akan membukanya untuknya tanpa alasan. Tidak ada penyiksaan.
- Maafkan saya, Yang Mulia, tetapi saya tidak dapat memberikan apa yang tidak saya terima sendiri. Itu tidak mungkin - saya tidak tahu caranya. Tapi Tuhanmu, saya pikir, akan memberi Anda "kehidupan abadi" di bumi kita yang penuh dosa, jika dia berpikir bahwa Anda layak, bukan? ..
Caraffa berubah ungu dan mendesis jahat, seperti ular berbisa yang siap menyerang:
- Saya pikir Anda lebih pintar, Isidora. Yah, tidak akan lama bagiku untuk menghancurkanmu ketika kamu melihat apa yang telah aku siapkan untukmu ...
Dan tiba-tiba meraih tanganku, dia dengan kasar menyeretku ke ruang bawah tanahnya yang menakutkan. Saya bahkan tidak punya waktu untuk benar-benar takut, karena kami mendapati diri kami berada di pintu besi yang sama, di belakangnya, baru-baru ini, suami saya yang malang, Girolamo yang baik dan malang, tewas dengan sangat brutal ... tebak saya memotong otak - ayah !!! Itu sebabnya dia tidak menjawab panggilan saya yang berulang! .. Dia, tentu saja, ditangkap dan disiksa di ruang bawah tanah yang sama, berdiri di depan saya, bernapas dengan marah, monster, darah dan rasa sakit orang lain "memurnikan" tujuan apa pun ! ..
"Tidak bukan itu! Tolong, jangan ini!!!" - jiwaku yang terluka menjerit seperti binatang. Tapi saya sudah tahu bahwa itu hanya seperti itu ... “Seseorang tolong saya !!! Seseorang! "... Tapi untuk beberapa alasan tidak ada yang mendengar saya ... Dan tidak membantu ...
Pintu yang berat terbuka ... Mata abu-abu yang terbuka lebar menatap lurus ke arahku, penuh dengan rasa sakit yang tidak manusiawi ...
Di tengah ruangan yang akrab, berbau kematian, di kursi besi berduri, duduk berdarah, ayah tercinta ...
Pukulannya mengerikan! .. Setelah berteriak dengan teriakan liar "Tidak !!!", saya kehilangan kesadaran ...

* Catatan: jangan bingung (!!!) dengan kompleks Yunani dari biara Meteora di Kalambaka, Yunani. Meteora dalam bahasa Yunani berarti "menggantung di udara", yang sepenuhnya sesuai dengan pemandangan biara-biara yang menakjubkan, seperti jamur merah muda yang tumbuh di puncak tertinggi pegunungan yang tidak biasa. Biara pertama dibangun sekitar tahun 900. Dan antara abad 12 dan 16 sudah ada 24. Hanya enam biara yang bertahan hingga hari ini, yang masih memukau wisatawan.
Benar, turis tidak tahu satu detail yang sangat lucu ... Di Meteor ada biara lain di mana "penasaran" tidak diizinkan ... Itu dibangun (dan memunculkan sisanya) oleh seorang fanatik berbakat yang pernah belajar di Meteor asli dan diusir darinya. Marah dengan seluruh dunia, ia memutuskan untuk membangun "Meteora-nya" untuk mengumpulkan "tersinggung" yang sama seperti dirinya, dan menjalani kehidupan menyendiri. Bagaimana dia melakukannya tidak diketahui. Tapi sejak itu, para Mason mulai berkumpul di Meteor untuk pertemuan rahasia. Apa yang terjadi setahun sekali hingga hari ini.
Biara: Grand Meteoron (Meteoron Besar); Rusano; Agios Nicholas; Agia Trio; Agias Stefanos; Varlaam terletak sangat dekat satu sama lain.

37. Isidora-3. Meteora
Saya terbangun di ruang bawah tanah yang dingin dan menakutkan, dipenuhi dengan bau darah dan kematian yang memuakkan ...
Tubuh yang mati rasa tidak patuh dan sakit, tidak ingin "bangun" dengan cara apa pun ... Dan Jiwa dengan kemudahan seekor burung melayang di dunia kenangan yang cerah, membawa kembali dari ingatan wajah-wajah tercinta dan hari-hari penuh kebahagiaan ketika kesedihan belum melihat ke dalam hidup kita, dan ketika tidak ada tempat di dalamnya kepahitan dan rasa sakit ... Di sana, di dunia "masa lalu" yang indah itu, suamiku yang luar biasa, Girolamo, masih hidup ... di sanalah tawa ceria Anna kecil dipenuhi dengan lonceng ... di sana ibuku yang manis dan lembut tersenyum padaku di pagi hari ... di sana dengan sabar mengajariku kebijaksanaan Hidup, ayahku yang baik dan cerdas ... Dunia ini bahagia dan cerah, dan jiwaku tercabik-cabik, terbang lebih jauh dan lebih jauh ... tidak pernah kembali ...
Tetapi kenyataan jahat untuk beberapa alasan tidak akan membiarkan saya pergi ... Dia mengetuk tanpa ampun, dengan paksa membangunkan otak yang meradang, menuntut untuk kembali ke "rumah". Dunia Bumi asli dan tidak sempurna meminta bantuan ... Karaffa hidup ... Dan saat dia bernafas, tidak mungkin ada kegembiraan dan cahaya di dunia kita.
Sudah waktunya untuk kembali...
Mengambil napas dalam-dalam, akhirnya saya merasakan tubuh fisik saya membeku dalam kesepian - hidup dengan enggan, sedikit demi sedikit kembali ke sana ... Yang tersisa hanyalah keberanian ...
Di ruangan tempat saya berada, ada keheningan yang padat, memekakkan telinga, dan padat. Saya duduk di kursi kayu kasar, tidak bergerak atau membuka mata, berusaha untuk tidak menunjukkan "hadiah" (jika ada) yang telah saya bangun. Merasakan dan mendengar semuanya dengan sempurna, saya intens "memandang", mencoba menentukan apa yang terjadi di sekitar.
Perlahan pulih dan mulai mengingat apa yang terjadi, tiba-tiba saya melihat dengan sangat jelas APA yang ternyata menjadi alasan sebenarnya dari pingsan saya yang tiba-tiba dan dalam! ..
Kengerian dingin dengan cengkeraman tajam meremas hati yang mati, bahkan tidak membiarkannya bangun sepenuhnya! ..
Ayah! .. Ayahku yang malang dan baik ada DI SINI !!! Di ruang bawah tanah yang mengerikan dan berdarah ini - sarang kematian canggih yang menakutkan ... Dia berada di sebelah Girolamo ... Dia sedang sekarat. Perangkap jahat Caraffa terbanting menutup, menelan Jiwanya yang murni ...
Takut melihat yang terburuk, saya tetap mengumpulkan keberanian saya yang sepenuhnya melarikan diri menjadi kepalan tangan dan mengangkat kepala ...
Hal pertama yang saya lihat tepat di depan saya adalah mata hitam Karaffa terbakar dengan minat yang mendalam ... Ayah tidak berada di ruang penyiksaan.
Karaffa berdiri, berkonsentrasi, memelototi wajahku, seolah mencoba memahami apa yang sebenarnya terjadi dalam jiwaku yang lumpuh oleh penderitaan ... Wajahnya yang cerdas, kurus, yang paling mengejutkanku, mengungkapkan kegembiraan yang tulus (!), Yang, bagaimanapun, , dia jelas tidak berniat untuk menunjukkan padaku ... Melihat aku bangun, Karaffa langsung "memakai" topengnya yang biasa, acuh tak acuh, dan sudah tersenyum dengan sekuat tenaga, "dengan lembut" berkata:

Mengacu pada ansambel statistik kanonik, di mana sistem dapat bertukar panas dengan lingkungan pada suhu, volume, dan jumlah partikel yang tetap. Fungsi partisi kanonik besar mengacu pada ansambel statistik kanonik besar, di mana suatu sistem dapat bertukar panas dan partikel dengan lingkungan pada suhu, volume, dan potensi kimia yang tetap. Dalam situasi lain, Anda dapat menentukan jenis jumlah statistik lainnya.

Jumlah statistik dalam ansambel kanonik

Definisi

Misalkan ada sistem yang mematuhi hukum termodinamika, yang berada dalam kontak termal konstan dengan media yang memiliki suhu $T$, dan volume sistem dan jumlah partikel penyusunnya tetap. Dalam situasi seperti itu, sistem milik ansambel kanonik. Kami menunjukkan tepat keadaan di mana sistem dapat, melalui $J$ $(j\; =\; 1,2,3,\; \backslash \; ldots)$, dan energi total sistem dalam keadaan $J$ - $E\_j$... Biasanya, keadaan mikro ini dapat dilihat sebagai keadaan kuantum diskrit dari sistem.

Fungsi partisi kanonik- ini

$Z\; =\; \backslash \; sum\_j\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; E\_j),$

di mana suhu kembali $\backslash \; beta$ didefinisikan sebagai

$\backslash \; beta\; \backslash \; equiv\; \backslash \; frac\; (1)\; (k\_BT),$ $Z\; =\; \backslash \; mathrm\; (tr)\; \backslash ,\; (e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; H)),$

Arti dan arti penting

Mari kita pertimbangkan dulu tergantung pada apa. Fungsi partisi terutama merupakan fungsi suhu. $T$, dan yang kedua - energi keadaan mikro $E\_1,\; E\_2,\; E\_3$ dll. Energi keadaan mikro ditentukan oleh besaran termodinamika lainnya, seperti jumlah partikel dan volume, serta sifat mikroskopis, seperti massa partikel. Ketergantungan pada sifat mikroskopis ini sangat mendasar dalam mekanika statistik. Dengan menggunakan model komponen mikroskopis dari sistem, dimungkinkan untuk menghitung energi keadaan mikro, dan, akibatnya, jumlah statistik, yang memungkinkan untuk menghitung semua sifat termodinamika lain dari sistem.

Fungsi partisi dapat digunakan untuk menghitung besaran termodinamika karena memiliki arti statistik yang sangat penting. Kemungkinan $P\_j$ dengan mana sistem berada dalam keadaan mikro $J$, adalah sama dengan

$P\_j\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; E\_j).$

Jumlah statistik termasuk dalam distribusi Gibbs dalam bentuk faktor normalisasi (it bukan tergantung pada $J$), memastikan bahwa jumlah probabilitas sama dengan satu:

$\backslash \; sum\_j\; P\_j\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; \backslash \; sum\_j\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; E\_j)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; Z\; =\; 1.$

Perhitungan energi total termodinamika

Untuk mendemonstrasikan kegunaan fungsi partisi, kami menghitung nilai termodinamika dari energi total. Ini hanyalah ekspektasi matematis, atau nilai energi rata-rata ansambel, sama dengan jumlah energi keadaan mikro, yang diambil dengan bobot yang sama dengan probabilitasnya:

$\backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\_j\; E\_jP\_j\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; \backslash \; sum\_j\; E\_j\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; E\_j)\; =\; -\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; \backslash \; frac\; (\backslash \; partial)\; (\backslash \; partial\; \backslash \; beta\; )\; Z\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; E\_1,\; \backslash ;\; E\_2,\; \backslash ;\; \backslash \; ldots)\; =\; -\; \backslash \; frac\; (\backslash \; parsial\; \backslash \; ln\; Z)\; (\backslash \; parsial\; \backslash \; beta)$

atau, yang sama

$\backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle\; =\; k\_B\; T\; ^\; 2\; \backslash \; frac\; (\backslash \; parsial\; \backslash \; ln\; Z)\; (\backslash \; parsial\; T).$

Dapat juga dicatat bahwa jika energi keadaan mikro bergantung pada parameter $\backslash \; lambda$ bagaimana

$E\_j\; =\; E\_j\; ^\; ((0))\; +\; \backslash \; lambda\; A\_j$

untuk semua $J$, maka nilai rata-rata $A$ sama dengan

$\backslash \; langle\; A\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\_j\; A\_jP\_j\; =\; -\; \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; frac\; (\backslash \; partial)\; (\backslash \; partial\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; ln\; Z\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; \backslash \; lambda).$

Ini adalah dasar untuk teknik yang memungkinkan Anda menghitung nilai rata-rata dari banyak besaran mikroskopis. Perlu untuk menambahkan kuantitas ini secara artifisial ke energi keadaan mikro (atau, dalam bahasa mekanika kuantum, ke Hamiltonian), menghitung fungsi dan mean partisi baru, dan kemudian menempatkan $\backslash \; lambda$ sama dengan nol. Metode serupa digunakan dalam teori medan kuantum.

Bagian ini menunjukkan hubungan antara fungsi partisi dan berbagai parameter termodinamika sistem. Hasil ini dapat diperoleh dengan menggunakan metode yang dijelaskan pada bagian sebelumnya dan berbagai hubungan termodinamika.

Seperti yang telah kita lihat, energinya adalah

$\backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; frac\; (\backslash \; partial\; \backslash \; ln\; Z)\; (\backslash \; partial\; \backslash \; beta).$ $c\_v\; =\; \backslash \; frac\; (\backslash \; partial\; \backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle)\; (\backslash \; partial\; T)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (k\_B\; T\; ^\; 2)\; \backslash \; langle\; \backslash \; delta\; E\; ^\; 2\; \backslash \; rangle.$ $S\; \backslash \; equiv-k\_B\; \backslash \; sum\_j\; P\_j\; \backslash \; ln\; P\_j\; =\; k\_B\; (\backslash \; ln\; Z\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle)\; =\; \backslash \; frac\; (\backslash \; partial)\; (\backslash \; partial\; T)\; (k\_B\; T\; \backslash \; ln\; Z)\; =\; -\; \backslash \; frac\; (\; \backslash \; sebagian\; F)\; (\backslash \; sebagian\; T),$ $\backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i\; =\; \backslash \; sum\_\; (n\_i\; =\; 0)\; ^\; \backslash \; infty\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; n\_i\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (1-e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i\; -\; \backslash \; mu))),$ $\backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i\; =\; \backslash \; sum\_\; (n\_i\; =\; 0)\; ^\; 1\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; n\_i\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (1\; +\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))).$

Dalam kasus gas Maxwellian-Boltzmann, perlu untuk menghitung keadaan dengan benar dan membagi faktor Boltzmann $e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))$ pada $t\_i!$

$\backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i\; =\; \backslash \; sum\_\; (n\_i\; =\; 0)\; ^\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; (e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; n\_i\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu)))\; (n\_i=\backslash exp\backslash left(e^\{-\backslash beta(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu)\}\backslash right).!\}$

Hubungan dengan besaran termodinamika

Sama seperti fungsi partisi kanonik, fungsi partisi kanonik besar dapat digunakan untuk menghitung nilai termodinamika dan statistik suatu sistem. Seperti dalam ansambel kanonik, besaran termodinamika tidak tetap, tetapi terdistribusi secara statistik di sekitar rata-rata. menunjukkan $\backslash \; alpha\; =\; -\; \backslash \; beta\; \backslash \; mu$, kami mendapatkan nilai rata-rata dari angka pengisian:

$\backslash \; langle\; n\_i\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; partial\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i)\; (\backslash \; partial\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; right)\; \_\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; V)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; kiri\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; parsial\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i)\; (\backslash \; parsial\; \backslash \; mu)\; \backslash \; kanan)\; \_\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; V).$

Untuk partikel Boltzmann, ini memberikan:

$\backslash \; langle\; n\_i\; \backslash \; rangle\; =\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu)).$

Untuk boson:

$\backslash \; langle\; n\_i\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (e\; ^\; (\backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))\; -\; 1).$

Untuk fermion:

$\backslash \; langle\; n\_i\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (e\; ^\; (\backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))\; +\; 1),$

yang bertepatan dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan ansambel kanonik untuk statistik Maxwell - Boltzmann, statistik Bose - Einstein, dan statistik Fermi - Dirac. (Tingkat degenerasi $g\_i$ tidak ada dalam persamaan ini, karena indeks $Saya$ angka keadaan individu, bukan tingkat energi.)

Jumlah total partikel

$\backslash \; langle\; N\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; kiri\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; partial\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z))\; (\backslash \; partial\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; kanan)\; \_\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; V)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; beta\; )\; \backslash \; kiri\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; parsial\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z))\; (\backslash \; parsial\; \backslash \; mu)\; \backslash \; kanan)\; \_\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; V).$ $\backslash \; langle\; P\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; kiri\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; partial\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z))\; (\backslash \; partial\; V)\; \backslash \; kanan)\; \_\; (\backslash \; mu,\; \backslash ;\; \backslash \; beta).$ $\backslash \; langle\; PV\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; frac\; (\backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z))\; (\backslash \; beta).$

Tulis ulasan tentang "Jumlah Statistik"

literatur

• Kubo R. Mekanika statistik. - L.: Mir, 1967.
• Huang K. Mekanika statistik. - M.: Mir, 1966. (Huang, Kerson, "Mekanika Statistik", John Wiley & Sons, New York, 1967.)
• Ishihara A. Fisika statistik. - M.: Mir, 1973. (Isihara A. "Fisika Statistik". - New York: Academic Press, 1971.)
• Kelly, James J.
• Landau, L.D., Lifshits, E.M. Fisika statistik. Bagian 1. - Edisi 5. - Moskow: Fizmatlit, 2005 .-- 616 hal. - ("Fisika Teoretis", volume V). - ISBN 5-9221-0054-8..

Kutipan Karakterisasi Jumlah Statistik

- Alpatych! Sebuah suara yang akrab tiba-tiba memanggil orang tua itu.
- Ayah, Yang Mulia, - jawab Alpatych, langsung mengenali suara pangeran mudanya.
Pangeran Andrey, dalam jubah, menunggang kuda hitam, berdiri di belakang kerumunan dan memandang Alpatych.
- Bagaimana kabarmu di sini? - Dia bertanya.
- Anda ... Yang Mulia, - kata Alpatych dan terisak ... - Milik Anda, milik Anda ... atau apakah kami sudah menghilang? Ayah…
- Bagaimana kabarmu di sini? - ulang Pangeran Andrey.
Nyala api menyala terang pada saat itu dan menyinari wajah pucat dan kurus Alpatych dari tuan mudanya. Alpatych menceritakan bagaimana dia dikirim dan bagaimana dia bisa pergi dengan paksa.
- Nah, Yang Mulia, atau kita tersesat? Dia bertanya lagi.
Pangeran Andrey, tanpa menjawab, mengeluarkan buku catatan dan, mengangkat lutut, mulai menulis dengan pensil di selembar kertas yang sobek. Dia menulis kepada saudara perempuannya:
“Smolensk sedang diserahkan,” tulisnya, “Bald Hills akan diduduki musuh dalam seminggu. Berangkat sekarang ke Moskow. Jawab saya segera setelah Anda pergi, dengan mengirim kurir ke Usvyazh. "
Setelah menulis dan menyerahkan lembaran itu kepada Alpatych, dia secara lisan menyampaikan kepadanya bagaimana mengatur keberangkatan pangeran, putri dan putra dengan seorang guru, dan bagaimana dan di mana harus segera menjawabnya. Dia belum sempat menyelesaikan perintah ini, ketika kepala staf berkuda, ditemani oleh pengiringnya, berlari ke arahnya.
- Apakah Anda seorang kolonel? - teriak kepala staf, dengan aksen Jerman, yang akrab dengan suara Pangeran Andrey. - Di hadapan Anda, rumah-rumah menyala, dan Anda berdiri? Apa artinya ini? Anda akan menjawab, "teriak Berg, yang sekarang menjadi asisten kepala staf sayap kiri pasukan infanteri tentara pertama," tempat itu sangat menyenangkan dan terlihat, seperti yang dikatakan Berg.
Pangeran Andrey memandangnya dan, tanpa menjawab, melanjutkan, berbicara kepada Alpatych:
"Jadi, beri tahu saya bahwa saya menunggu jawaban sampai tanggal sepuluh, dan jika pada tanggal sepuluh saya tidak menerima berita bahwa semua orang telah pergi, saya sendiri harus meninggalkan semuanya dan pergi ke Lysye Gory."
- Saya, pangeran, hanya karena saya berkata, - kata Berg, mengakui Pangeran Andrey, - bahwa saya harus mematuhi perintah, karena saya selalu melakukan persis ... Anda akan permisi, tolong, - Berg membenarkan dirinya dalam beberapa cara.
Sesuatu berderak di dalam api. Api padam sejenak; asap hitam mengepul dari bawah atap. Sesuatu yang lain berderit mengerikan di dalam api, dan sesuatu yang besar runtuh.
- Urru! - menggemakan langit-langit gudang yang runtuh, dari mana bau kue dari roti yang terbakar tercium, kerumunan meraung. Nyala api berkobar dan menerangi wajah gembira dan tersiksa orang-orang yang berdiri di sekitar api.
Seorang pria dalam mantel dekorasi, mengangkat tangannya, berteriak:
- Penting! pergi untuk bertarung! Kawan, itu penting! ..
"Ini adalah pemiliknya sendiri," terdengar suara-suara.
- Jadi, jadi, - kata Pangeran Andrey, mengacu pada Alpatych, - ceritakan semuanya seperti yang saya katakan. Dan, tidak menjawab sepatah kata pun kepada Berg, yang terdiam di sampingnya, dia menyentuh kuda itu dan naik ke gang.

Pasukan terus mundur dari Smolensk. Musuh mengikuti mereka. Pada 10 Agustus, resimen yang dipimpin oleh Pangeran Andrey melewati jalan raya, melewati jalan menuju Lysye Gory. Panas dan kekeringan berlangsung selama lebih dari tiga minggu. Awan keriting berjalan melintasi langit setiap hari, sesekali menghalangi matahari; tetapi menjelang malam hari kembali cerah, dan matahari terbenam dalam kabut merah kecoklatan. Hanya embun yang kuat di malam hari yang menyegarkan bumi. Roti yang tersisa di akar dibakar dan dicurahkan. Rawa-rawanya kering. Ternak meraung kelaparan, tidak menemukan makanan di padang rumput yang terbakar matahari. Hanya pada malam hari dan di hutan masih ada embun, ada kesejukan. Tetapi di sepanjang jalan, di sepanjang jalan raya yang dilalui pasukan, bahkan di malam hari, bahkan melalui hutan, tidak ada kesejukan seperti itu. Embun tidak terlihat pada debu pasir jalan, yang telah ditumbuk lebih dari seperempat arshin. Begitu fajar menyingsing, gerakan dimulai. Gerobak, artileri berjalan diam-diam di sepanjang hub, dan infanteri berada setinggi pergelangan kaki dalam debu panas yang lembut, pengap, yang tidak mendingin pada malam hari. Satu bagian dari debu berpasir ini diremas dengan kaki dan roda, yang lain naik dan berdiri seperti awan di atas tentara, menempel di mata, rambut, telinga, lubang hidung dan, yang paling penting, ke paru-paru orang dan hewan yang bergerak di sepanjang ini. jalan. Semakin tinggi matahari terbit, semakin tinggi awan debu naik, dan melalui debu tipis panas di bawah sinar matahari ini, yang tidak tertutup awan, orang dapat melihat dengan mata sederhana. Matahari tampak seperti bola merah besar. Tidak ada angin dan orang-orang tercekik dalam suasana yang tenang ini. Orang-orang berjalan dengan sapu tangan diikatkan di hidung dan mulut mereka. Datang ke desa, semuanya bergegas ke sumur. Mereka berebut air dan meminumnya sampai ke lumpur.
Pangeran Andrey memerintahkan resimen, dan struktur resimen, kesejahteraan rakyatnya, kebutuhan untuk menerima dan mengeluarkan perintah menyibukkannya. Api Smolensk dan pengabaiannya adalah era bagi Pangeran Andrei. Perasaan pahit baru terhadap musuh membuatnya melupakan kesedihannya. Dia semua mengabdikan diri pada urusan resimennya, dia peduli dengan rakyat dan perwiranya dan kebaikannya kepada mereka. Di resimen mereka memanggilnya pangeran kami, mereka bangga padanya dan mencintainya. Tetapi dia baik dan lemah lembut hanya dengan resimennya, dengan Timokhin, dll., dengan orang-orang yang sama sekali baru dan di lingkungan asing, dengan orang-orang yang tidak dapat mengetahui dan memahami masa lalunya; tetapi begitu dia bertemu dengan salah satu mantannya, dari tongkat, dia segera merinding lagi; menjadi dengki, mengejek dan menghina. Segala sesuatu yang menghubungkan ingatannya dengan masa lalu membuatnya jijik, dan oleh karena itu dia mencoba dalam hubungan dunia sebelumnya ini hanya untuk tidak menjadi tidak adil dan untuk memenuhi tugasnya.
Benar, semuanya tampak bagi Pangeran Andrei dalam cahaya yang gelap dan suram - terutama setelah mereka meninggalkan Smolensk (yang, menurut pendapatnya, dapat dan seharusnya dipertahankan) pada 6 Agustus, dan setelah ayah yang sakit harus melarikan diri ke Moskow dan membuang Bukit Botak, begitu dicintai, dibangun dan dihuni oleh mereka, untuk dijarah; tetapi terlepas dari ini, berkat resimen, Pangeran Andrew dapat memikirkan topik lain, sepenuhnya terlepas dari pertanyaan umum - tentang resimennya. Pada tanggal 10 Agustus, kolom, yang termasuk resimennya, sejajar dengan Pegunungan Botak. Pangeran Andrey dua hari lalu menerima kabar bahwa ayah, putra, dan saudara perempuannya telah pergi ke Moskow. Meskipun Pangeran Andrey tidak ada hubungannya di Bald Hills, dia, dengan keinginan khasnya untuk menyia-nyiakan kesedihannya, memutuskan bahwa dia harus mampir di Bald Hills.
Dia memerintahkan untuk menunggangi kudanya dan dari penyeberangan menunggang kuda ke desa ayahnya, di mana dia dilahirkan dan menghabiskan masa kecilnya. Mengemudi melewati kolam, di mana lusinan wanita selalu mengobrol, memukuli dengan roller dan membilas linen mereka, Pangeran Andrey memperhatikan bahwa tidak ada seorang pun di kolam, dan rakit yang sobek, setengah dibanjiri air, mengambang menyamping di kolam. tengah kolam. Pangeran Andrew melaju ke gerbang. Tidak ada seorang pun di gerbang batu pintu masuk, dan pintunya tidak terkunci. Jalur taman sudah ditumbuhi, dan anak sapi dan kuda berjalan melalui taman Inggris. Pangeran Andrew pergi ke rumah kaca; kacanya pecah, dan beberapa pohon di bak dirobohkan, beberapa layu. Dia memanggil Taras si tukang kebun. Tidak ada yang merespon. Membalikkan rumah kaca ke pameran, dia melihat bahwa pagar papan berukir semuanya rusak dan buah prem telah robek dengan cabang-cabangnya. Seorang petani tua (Pangeran Andrey pernah melihatnya di gerbang saat masih kecil) sedang duduk dan menenun sepatu kulit pohon di bangku hijau.
Dia tuli dan tidak mendengar pintu masuk Pangeran Andrew. Dia sedang duduk di bangku, tempat pangeran tua itu suka duduk, dan di sampingnya ada bekas kecil di ranting magnolia yang rusak dan kering.
Pangeran Andrew melaju ke rumah. Beberapa pohon limau di taman tua telah ditebang, dan seekor kuda belang dengan seekor anak kuda berjalan di depan rumah di antara pohon-pohon mawar. Rumah itu ditutup dengan daun jendela. Satu jendela di bagian bawah terbuka. Bocah pekarangan, melihat Pangeran Andrey, berlari ke dalam rumah.
Alpatych, setelah mengirim keluarganya, tetap sendirian di Pegunungan Botak; dia duduk di rumah dan membaca Kehidupan. Setelah mengetahui tentang kedatangan Pangeran Andrey, dia, dengan kacamata di hidungnya, mengancingkan dirinya, meninggalkan rumah, buru-buru pergi ke Pangeran dan, tanpa berkata apa-apa, menangis, mencium lutut Pangeran Andrey.
Kemudian dia berbalik dengan hatinya pada kelemahannya dan mulai melaporkan kepadanya tentang keadaan. Segala sesuatu yang berharga dan berharga dibawa ke Bogucharovo. Roti, hingga seratus perempat, juga dibawa keluar; jerami dan tanaman musim semi, luar biasa, seperti yang dikatakan Alpatych, panen tahun ini diambil dan dipotong oleh pasukan. Para petani hancur, beberapa juga pergi ke Bogucharovo, sebagian kecil tetap ada.
Pangeran Andrey, tidak mendengarkannya, bertanya kapan ayah dan saudara perempuannya pergi, artinya kapan mereka pergi ke Moskow. Alpatych menjawab, percaya bahwa mereka bertanya tentang berangkat ke Bogucharovo, bahwa mereka telah meninggalkan yang ketujuh, dan sekali lagi menyebar tentang bagian pertanian, meminta instruksi.
- Apakah Anda akan memerintahkan tim untuk melepaskan gandum dengan tanda terima? Kami masih memiliki enam ratus perempat tersisa, - tanya Alpatych.
“Apa yang harus aku katakan padanya? - pikir Pangeran Andrey, melihat kepala botak lelaki tua yang bersinar di bawah sinar matahari dan membaca ekspresi di wajahnya kesadaran bahwa dia sendiri memahami ketidaktepatan waktu dari pertanyaan-pertanyaan ini, tetapi hanya meminta sedemikian rupa untuk menenggelamkan pertanyaannya. kesedihan sendiri.
"Ya, biarkan saja," katanya.
- Jika Anda senang melihat gangguan di taman, - kata Alpatych, - tidak mungkin untuk mencegah: tiga resimen lewat dan menghabiskan malam, terutama naga. Saya menulis pangkat dan pangkat komandan untuk mengajukan petisi.
- Nah, apa yang akan kamu lakukan? Apakah Anda akan tinggal jika musuh mengambilnya? - Pangeran Andrey bertanya padanya.
Alpatych, memalingkan wajahnya ke Pangeran Andrey, menatapnya; dan tiba-tiba, dengan sikap serius, dia mengangkat tangannya.
- Dia adalah pelindungku, jadi jadilah kehendaknya! Dia berkata.
Kerumunan petani dan pelayan berjalan melalui padang rumput, dengan kepala terbuka, mendekati Pangeran Andrey.
- Yah, selamat tinggal! - kata Pangeran Andrey, membungkuk ke Alpatych. - Tinggalkan diri Anda, ambil apa yang Anda bisa, dan orang-orang dituntun untuk pergi ke wilayah Ryazan atau Moskow. - Alpatych berpegangan pada kakinya dan terisak. Pangeran Andrew dengan hati-hati mendorongnya ke samping dan, menyentuh kudanya, berlari kencang menyusuri gang.
Di pameran, lelaki tua itu duduk dengan acuh tak acuh, seperti lalat di wajah orang yang sudah meninggal, dan mengetuk sepatu kulit pohon, dan dua gadis dengan plum di rok mereka, yang mereka ambil dari pohon rumah kaca. , melarikan diri dari sana dan menemukan Pangeran Andrey. Melihat tuan muda, gadis yang lebih tua, dengan ekspresi ketakutan di wajahnya, meraih tangan temannya yang lebih kecil dan bersembunyi di balik pohon birch, tidak punya waktu untuk mengambil prem hijau yang tersebar.
Pangeran Andrey buru-buru berpaling dari mereka dalam ketakutan, takut membiarkan mereka menyadari bahwa dia telah melihat mereka. Dia merasa kasihan pada gadis yang sangat ketakutan ini. Dia takut untuk melihatnya, tetapi pada saat yang sama dia sangat menginginkannya. Perasaan baru, memuaskan dan meyakinkan datang padanya ketika, melihat gadis-gadis ini, dia menyadari keberadaan orang lain, yang sama sekali asing baginya dan kepentingan manusia yang sama sahnya dengan kepentingan manusia yang mendudukinya. Gadis-gadis ini, jelas, mendambakan satu hal - untuk membawa pergi dan menghabiskan buah prem hijau ini dan tidak ditangkap, dan Pangeran Andrey berharap bersama mereka keberhasilan perusahaan mereka. Dia tidak bisa membantu tetapi melihat mereka lagi. Percaya diri mereka sudah aman, mereka melompat keluar dari penyergapan dan, untuk sesuatu makanan dengan suara tipis, memegang rok mereka, dengan riang dan cepat berlari melintasi rumput padang rumput dengan kaki telanjang kecokelatan.
Pangeran Andrey sedikit menyegarkan diri, setelah diusir dari area berdebu di jalan utama tempat pasukan bergerak. Tapi tidak jauh di luar Bald Hills, dia mengemudi kembali ke jalan dan berhenti dengan resimennya, di bendungan sebuah kolam kecil. Saat itu pukul dua lewat tengah hari. Matahari, bola merah dalam debu, sangat panas dan membakar punggungku menembus mantel hitam. Debu, masih sama, berdiri tak bergerak di atas gumaman pasukan yang terhenti. Tidak ada angin, Di lorong sepanjang bendungan, Pangeran Andrey mencium bau lumpur dan kesegaran kolam. Dia ingin masuk ke air - tidak peduli seberapa kotornya itu. Dia melihat kembali ke kolam, dari mana teriakan dan tawa terdengar. Sebuah kolam kecil berlumpur dengan tanaman hijau, tampaknya, telah naik dua perempat, memenuhi bendungan, karena penuh dengan manusia, tentara, tubuh putih telanjang menggelepar di dalamnya, dengan tangan, wajah, dan leher merah bata. Semua daging manusia putih telanjang dengan tawa dan ledakan menggelepar di genangan air kotor ini, seperti salib yang dimasukkan ke dalam kaleng penyiraman. Kegelisahan ini bergema dengan kegembiraan, dan itulah sebabnya itu sangat menyedihkan.