Az ábrán félkövér pontok mutatják a pályát

Ma megérdemli, hogy versben énekeljék
A gyökök tulajdonságairól Vieta tétele.
Melyik a jobb, mondjuk ennek az állandósága:
Megszoroztad a gyökereket – és kész is a frakció
A számlálóban tól től, a nevezőben de.
És a gyökerek összege is töredék
Még akkor is, ha mínusz ez a tört
Mi a baj
Számlálókban ban ben, a nevezőben de.
(Az iskolai folklórból)

Az epigráfban François Vieta figyelemre méltó tétele nem egészen pontosan szerepel. Valójában felírhatunk egy másodfokú egyenletet, amelynek nincs gyöke, és felírhatjuk azok összegét és szorzatát. Például az x 2 + 2x + 12 = 0 egyenletnek nincs valódi gyöke. De formálisan megközelítve felírhatjuk a szorzatukat (x 1 x 2 \u003d 12) és az összeget (x 1 + x 2 \u003d -2). A miénk a versek megfelelnek majd a tételnek azzal a kitétellel: "ha az egyenletnek vannak gyökerei", azaz. D ≥ 0.

Első gyakorlati használat ez a tétel egy másodfokú egyenlet összeállítása, amely gyököket adott. Másodszor: lehetővé teszi számos másodfokú egyenlet verbális megoldását. Ezen készségek fejlesztésénél mindenekelőtt az iskolai tankönyvekre hívják fel a figyelmet.

Itt többet fogunk megfontolni kihívást jelentő feladatokat, megoldva a Vieta-tétel segítségével.

1. példa

Az 5x 2 - 12x + c \u003d 0 egyenlet egyik gyöke háromszor nagyobb, mint a második. Keresse meg.

Megoldás.

Legyen a második gyök x2.

Ekkor az első gyök x1 = 3x2.

A Vieta-tétel szerint a gyökök összege 12/5 = 2,4.

Tegyük fel a 3x2 + x2 = 2,4 egyenletet.

Ezért x 2 \u003d 0,6. Ezért x 1 \u003d 1,8.

Válasz: c \u003d (x 1 x 2) a \u003d 0,6 1,8 5 \u003d 5,4.

2. példa

Ismeretes, hogy x 1 és x 2 az x 2 egyenlet gyöke - 8x + p = 0, és 3x 1 + 4x 2 = 29. Keresse meg p.

Megoldás.

A Vieta-tétel szerint x 1 + x 2 = 8, és a 3x 1 + 4x 2 = 29 feltétellel.

A két egyenlet rendszerének megoldása után az x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5 értéket kapjuk.

Ezért p = 15.

Válasz: p = 15.

3. példa

A 3x 2 + 8 x - 1 \u003d 0 egyenlet gyökereinek kiszámítása nélkül keresse meg x 1 4 + x 2 4

Megoldás.

Vegyük észre, hogy a Vieta-tétel szerint x 1 + x 2 = -8/3 és x 1 x 2 = -1/3 és alakítsa át a kifejezést

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 - 2 x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2) 2 - 2 (x 1 x 2) 2 \u003d ((-8/3) 2 - 2 (-1/3)) 2 - 2 (-1/3) 2 \u003d 4898/9

Válasz: 4898/9.

4. példa

Az a paraméter mely értékeinél az egyenlet legnagyobb és legkisebb gyöke közötti különbség
2x 2 - (a + 1) x + (a - 1) \u003d 0 egyenlő a szorzatukkal.

Megoldás.

Ez egy másodfokú egyenlet. 2 különböző gyöke lesz, ha D > 0. Más szóval, (a + 1) 2 - 8 (a - 1) > 0 vagy (a - 3) 2 > 0. Ezért 2 gyöke van minden a, mert kivéve a = 3.

A határozottság érdekében feltételezzük, hogy x 1 > x 2, és megkapjuk az x 1 + x 2 \u003d (a + 1) / 2 és x 1 x 2 \u003d (a - 1) / 2 értékeket. A probléma feltétele alapján x 1 - x 2 \u003d (a - 1) / 2. Mindhárom feltételnek egyszerre kell teljesülnie. Tekintsük az első és az utolsó egyenletet rendszernek. Könnyen megoldható az algebrai összeadás módszerével.

Azt kapjuk, hogy x 1 \u003d a / 2, x 2 \u003d 1/2. Vizsgáljuk meg, mire de a második egyenlőség teljesül: x 1 x 2 \u003d (a - 1) / 2. Helyettesítsük be a kapott értékeket, és a következőt kapjuk: а/4 = (а – 1)/2. Ekkor a = 2. Nyilvánvaló, hogy ha a = 2, akkor minden feltétel teljesül.

Válasz: ha a = 2.

5. példa

Mi az a legkisebb értéke, amelyre az egyenlet gyökeinek összege
x 2 - 2a (x - 1) - 1 \u003d 0 egyenlő a gyökeinek négyzetösszegével.

Megoldás.

Először is hozzuk az egyenletet kanonikus alakba: x 2 - 2ax + 2a - 1 \u003d 0. Akkor lesz gyöke, ha D / 4 ≥ 0. Ezért: a 2 - (2a - 1) ≥ 0. Vagy (a - 1 ) 2 ≥ 0. És ez a feltétel minden a-ra érvényes.

Alkalmazzuk a Vieta-tételt: x 1 + x 2 \u003d 2a, x 1 x 2 \u003d 2a - 1.

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2. Vagy behelyettesítés után x 1 2 + x 2 2 \u003d (2a) 2 - 2 (2a - 1) \u003d 4a 2 - 4a + 2. Marad a probléma feltételének megfelelő egyenlőség létrehozása: x 1 + x 2 \u003d x 1 2 + x 2 2 . A következőt kapjuk: 2a \u003d 4a 2 - 4a + 2. Ennek a másodfokú egyenletnek 2 gyökere van: a 1 = 1 és a 2 = 1/2. Közülük a legkisebb -1/2.

Válasz: 1/2.

6. példa

Keresse meg az ax 2 + inx + c \u003d 0 egyenlet együtthatói közötti összefüggést, ha gyökeinek kockáinak összege egyenlő ezen gyökök négyzeteinek szorzatával.

Megoldás.

Abból a tényből indulunk ki, hogy ennek az egyenletnek vannak gyökerei, és ezért a Vieta-tétel alkalmazható rá.

Ekkor a feladat feltétele a következőképpen lesz felírva: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 x 2 2. Vagy: (x 1 + x 2) (x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2) \u003d (x 1 x 2) 2.

Átalakítania kell a második tényezőt. x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2 \u003d ((x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2) - x 1 x 2.

Azt kapjuk, hogy (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 - 3x 1 x 2) \u003d (x 1 x 2) 2. Marad a gyökerek összegeinek és szorzatainak az együtthatókon keresztüli helyettesítése.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Ez a kifejezés könnyen formává alakítható b (3ac - b 2) / a \u003d c 2. Az arány megtalálható.

Megjegyzés. Figyelembe kell venni, hogy a kapott összefüggést csak a másik teljesülése után van értelme figyelembe venni: D ≥ 0.

7. példa

Keresse meg annak a változónak az értékét, amelyre az x 2 + 2ax + 3a 2 - 6a - 2 \u003d 0 egyenlet gyökeinek négyzetösszege a legnagyobb érték.

Megoldás.

Ha ennek az egyenletnek x 1 és x 2 gyöke van, akkor ezek összege x 1 + x 2 \u003d -2a, és a szorzat x 1 x 2 \u003d 3a 2 - 6a - 2.

Kiszámoljuk az x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2 \u003d (-2a) 2 - 2 (3a 2 - 6a - 2) \u003d -2a 2 + 12a + 4 \u003d -2 (a – 3) 2 + 22.

Most már nyilvánvaló, hogy ez a kifejezés érvényesül legmagasabb érték ha a = 3.

Azt kell még ellenőrizni, hogy az eredeti másodfokú egyenletnek valóban vannak-e gyökerei a \u003d 3-ban. Behelyettesítéssel ellenőrizzük, és megkapjuk: x 2 + 6x + 7 \u003d 0 és ehhez D \u003d 36 - 28\u003e 0.

Ezért a válasz: ha a = 3.

8. példa

A 2x 2 - 7x - 3 \u003d 0 egyenletnek x 1 és x 2 gyöke van. Keresse meg az adott másodfokú egyenlet együtthatóinak hármas összegét, amelynek gyökerei az X 1 \u003d 1 / x 1 és X 2 \u003d 1 / x 2 számok. (*)

Megoldás.

Nyilvánvaló, hogy x 1 + x 2 \u003d 7/2 és x 1 x 2 \u003d -3/2. A második egyenletet gyökerei alapján állítjuk össze x 2 + px + q \u003d 0 formában. Ehhez a Vieta-tétel inverzét használjuk. A következőt kapjuk: p \u003d - (X 1 + X 2) és q \u003d X 1 X 2.

Miután behelyettesítette ezeket a képleteket (*) alapján, akkor: p \u003d - (x 1 + x 2) / (x 1 x 2) \u003d 7/3 és q \u003d 1 / (x 1 x 2) \ u003d - 2/3.

A kívánt egyenlet a következő formában jelenik meg: x 2 + 7/3 x - 2/3 = 0. Most könnyen kiszámolhatjuk együtthatóinak háromszoros összegét:

3(1 + 7/3 - 2/3) = 8. Válasz érkezett.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell használni Vieta tételét?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Több mint 80 000 valódi feladatokat HASZNÁLAT 2019

Nincs bejelentkezve a "" rendszerbe. Nem zavarja a megtekintést és a feladatok megoldását nyitott bank HASZNÁLJON feladatokat matematika, hanem részt venni a felhasználók versenyében ezen feladatok megoldásáért.

A matematika USE feladatok keresésének eredménye kérésre:
« A képen vastag pöttyök » - 242 állás található

Munka B3()

(benyomások: 1501 , válaszok: 456 )

Az ábrán félkövér pontok mutatják a pályát japán jen, a Központi Bank RF, 2010. szeptember 23-tól október 23-ig minden munkanapon. A hónap dátumai vízszintesen, a japán jen rubelben kifejezett ára függőlegesen. Az áttekinthetőség kedvéért az ábrán a félkövér pontokat egy vonal köti össze. Határozza meg az ábrából, hogy melyik napon volt először a japán jen árfolyama 36,7 rubel.

Válasz: 2

Munka B3()

(benyomások: 1478 , válaszok: 456 )

Az ábrán félkövér pontok az Orosz Föderáció Központi Bankja által meghatározott euró árfolyamot mutatják 2003. február 1. és február 28. között minden munkanapon. A hónap dátumai vízszintesen, az euró rubelben kifejezett ára függőlegesen. Az áttekinthetőség kedvéért az ábrán a félkövér pontokat egy vonal köti össze. Határozza meg az ábrából, hogy mi volt az euró árfolyama február 15-én! Válaszát rubelben adja meg.

Válasz: 34.3

Munka B3()

(benyomások: 1433 , válaszok: 454 )

Az ábrán félkövér pontok jelzik az osztrák schilling árfolyamát, amelyet az Orosz Föderáció Központi Bankja állapított meg 1999. január 1-től január 30-ig minden munkanapon. A hónap dátumai vízszintesen vannak feltüntetve, a shilling rubelben kifejezett ára függőlegesen. Az áttekinthetőség kedvéért az ábrán a félkövér pontokat egy vonal köti össze. Határozza meg az ábrából, hogy melyik számra volt a legalacsonyabb a shilling árfolyam! meghatározott időszak.

Válasz: 1

Munka B3()

(benyomások: 1376 , válaszok: 452 )

Az ábrán félkövér pontok a palládiumnak az Orosz Föderáció Központi Bankja által 2008 októberében minden munkanapon meghatározott árát mutatják. A hónap dátumai vízszintesen, a palládium rubel/gramm ára függőlegesen van feltüntetve. Az áttekinthetőség kedvéért az ábrán a félkövér pontokat egy vonal köti össze. Határozza meg az ábrából, hogy a megadott időszakban hány napig volt a palládium ára pontosan 170 rubel grammonként.

Válasz: 3

Munka B3()

(benyomások: 1414 , válaszok: 451 )

Az ábrán félkövér pontok az Orosz Föderáció Központi Bankja által meghatározott euró árfolyamot mutatják 2003. február 1. és február 28. között minden munkanapon. A hónap dátumai vízszintesen, az euró rubelben kifejezett ára függőlegesen. Az áttekinthetőség kedvéért az ábrán a félkövér pontokat egy vonal köti össze. Határozza meg az ábrából, hogy a megadott időszakban hány napon belül volt pontosan 34,4 rubel az euró árfolyama.

Válasz: 4

Munka B3()

(benyomások: 1640 , válaszok: 450 )

Az ábrán vastag pontok az Orosz Föderáció Központi Bankja által meghatározott euró árfolyamot mutatják 2002. február 2-tól február 28-ig minden munkanapon. A hónap dátumai vízszintesen, az euró rubelben kifejezett ára függőlegesen. Az áttekinthetőség kedvéért az ábrán a félkövér pontokat egy vonal köti össze. Rajzolással határozzuk meg legmagasabb arány euró a meghatározott időszakra. Válaszát rubelben adja meg.

Válasz: 27.1

Munka B3()

(benyomások: 1503 , válaszok: 449 )

Az ábrán félkövér pontok az Orosz Föderáció Központi Bankja által meghatározott euró árfolyamot mutatják 2001. szeptember 1. és szeptember 29. között minden munkanapon. A hónap dátumai vízszintesen, az euró rubelben kifejezett ára függőlegesen. Az áttekinthetőség kedvéért az ábrán a félkövér pontokat egy vonal köti össze. Határozza meg az ábrából, hogy melyik napon volt először az euró árfolyama 26,5 rubel.

Válasz: 5

Munka B3()

(benyomások: 1381 , válaszok: 449 )

Az ábrán félkövér pontok mutatják a pályát ausztrál dollár, amelyet az Orosz Föderáció Központi Bankja hozott létre, 2010. október 1-től október 27-ig minden munkanapon. A hónap dátumai vízszintesen, a dollár rubelben kifejezett ára függőlegesen. Az áttekinthetőség kedvéért az ábrán a félkövér pontokat egy vonal köti össze. Határozza meg az ábrából a legmagasabb dollárárfolyamot az október 1. és október 13. közötti időszakban. Válaszát rubelben adja meg.

Az ábrán vastag pontok az Orosz Föderáció Központi Bankja által meghatározott euró árfolyamot mutatják 2010. szeptember 22-től október 22-ig minden munkanapon. A hónap dátumai vízszintesen, az euró rubelben kifejezett ára függőlegesen. Az áttekinthetőség kedvéért az ábrán a félkövér pontokat egy vonal köti össze. Határozza meg az ábrából, hogy az euró árfolyama a megadott időszakban pontosan 41,4 rubel volt.

Megoldás.

Válasz: 2.

1. megjegyzés

Vegye figyelembe, hogy a diagram nem a hétvégi dátumokat tartalmazza, hanem a vasárnapokat és a hétfőket. Egy olvasó ismeri, hogyan működik a bankközi valutapiac, tudja, mi a helyzet a tanfolyammal Központi Bank pontja az adott napi tőzsdei kereskedés eredménye alapján kerül megállapításra, a következő napon lép hatályba és az új árfolyam megállapításáig érvényes. Ezért a következő tanfolyam szombatra állítva a pénteki kereskedés eredménye szerint vasárnap nem változik és hétfőn nem változik(mert vasárnap nem volt aukció). Kedden pedig be van állítva új tanfolyam a hétfői kereskedés eredménye szerint.

Jegyzet 2.

A feladat korábbi megfogalmazásában megkérdezték, hogy mely napokon 42,4 rubelnek felel meg az euró árfolyama. Ebben az esetben a grafikonon feltüntetett október 16., 19. és 21. nap volt a válasz, de továbbra is kérdés maradt, hogy bele kell-e venni a válaszba az október 17. és 18. napokat, amikor az árfolyam nem változott. Felvettük a kapcsolatot a fejlesztőkkel, és tájékoztattuk őket erről; a megfogalmazás pontosításra került.

Dmitrij Koroljov 01.02.2017 22:55

A feladat szövegéből nem következik, hogy a 17-es és a 18-ast ki kell hagyni. Az árak hétköznaponként vannak feltüntetve, de a tőzsde október 17-én és 18-án hétvégén nem működik, így a valuta ára megegyezik a péntekivel. Ez azt jelenti, hogy 17-én és 18-án is 42,4 volt az ár. Ha volt olyan kérdés, hogy "a felsoroltak hány napján", akkor igen, a 17 és a 18 kimarad. De a megadott időszakban (16-tól 22-ig) benne vannak.

Támogatás

Igen, lehet találgatni, hogy mi történt azokon a napokon, amelyekről nincs információ.

Támogatás

Az ábrán félkövér pontok az Orosz Föderáció Központi Bankja által meghatározott euró árfolyamot mutatják 2001. szeptember 1. és szeptember 29. között minden munkanapon. A hónap dátumai vízszintesen, az euró rubelben kifejezett ára függőlegesen. Az áttekinthetőség kedvéért az ábrán a félkövér pontokat egy vonal köti össze. Határozza meg az ábrából, hogy a megadott időszakban hány napon belül volt pontosan 27,3 rubel az euró árfolyama.

Megoldás.

prototípus.

Válasz: 4.

Az ábrán félkövér pontok az Orosz Föderáció Központi Bankja által meghatározott euró árfolyamot mutatják 2002. február 1. és február 28. között minden munkanapon. A hónap dátumai vízszintesen, az euró rubelben kifejezett ára függőlegesen. Az áttekinthetőség kedvéért az ábrán a félkövér pontokat egy vonal köti össze. Határozza meg az ábrából, hogy a megadott időszakra hány napra volt pontosan 26,8 rubel az euró árfolyama.

Megoldás.