معدل الفائدة المركب. معدلات الفائدة المركبة. معدلات فائدة بسيطة ومعقدة

معدل الفائدة المركب

صيغ التمديد

تراكم معدل الفائدة المركب هو معدل الفائدة الذي يكون عنده أساس الاستحقاق ، على عكس الفائدة البسيطة ، متغيرًا ، أي يتم احتساب الفائدة على الفائدة.

أيضًا ، يتم تحديد فترة وحدة معينة لحساب الفائدة (السنة ، والشهر ، والربع ، وما إلى ذلك) ومعدل الفائدة i (أو i٪ = 100i) مقدمًا. دع المبلغ الأولي للدين يكون P. ثم بعد فترة واحدة ، سيكون مبلغ الدين S 1 = P (1 + i) ، كما في حالة الفائدة البسيطة. ومع ذلك ، في نهاية فترة الوحدة الثانية ، سيكون مبلغ الدين S2 = S 1 (1 + i) = P (1 + i) 2 (على عكس الصيغة S2 = P (1 + 2i) للفائدة البسيطة. الدورة نحصل على S 3 = S 2 (1 + i) = P (1 + i) 3. وهكذا. بنهاية فاصل الوحدة n ، نحصل على

لذلك ، بعد فترات n ، سيزداد المجموع الأولي P (1 + i) n مرة. العامل (1 + i) n يسمى مضاعف التراكم... لاحظ أن الزيادة في الفائدة المركبة تمثل نمو المقدار الأولي وفقًا لقانون التقدم الهندسي ، والذي يكون الحد الأول منه هو P والمقام هو 1 + i.

الهدف 1. مبلغ الإيداع الأولي P = 40000 روبل. معدل الفائدة٪ = 10٪ سنويا. حدد الزيادة في الفائدة المركبة على مدى 3 سنوات ، ثم قارنها بمقدار الزيادة في مخطط الفائدة البسيط.

المحلول . بتطبيق الصيغة (1) ، لدينا

S 3 ، المركب = P (1 + i) 3 = 40000 (1 + 0.1) 3 = 53.240 ص.

دعنا نحسب المبلغ المستحق وفقًا لنظام الفائدة البسيط:

S 3 ، pr = P (1 + 3i) = 40000 (1 + 0.3) = 52000 روبل.< 53 240 р.

لذلك ، في هذه الحالة ، يؤدي استخدام الفائدة المركبة إلى مبلغ تراكمي أكبر ، وهو أكثر ربحية للمودع بالمقارنة مع الاستحقاق وفقًا لنظام الفائدة البسيط.

صيغة بناء الفائدة المركبة (1) ، مشتقة للكل

هنا P هي المبلغ الأولي ، n k هي مدة الفترة k -th لتراكم الفائدة و i k هي معدل الفائدة البسيط في الفترة بالرقم k.

الهدف 3. في اتفاقية خدمة وديعة بنكية لمدة 4 سنوات ، يتم تحديد معدل متغير للفائدة المركبة على النحو التالي. في السنة الأولى - 6٪ سنويًا ، في السنتين الثانية والثالثة ، يكون المعدل هو نفسه - 5٪ سنويًا ، في السنة الرابعة

- ثمانية٪. حدد مضاعف تراكم 4 سنوات.

المحلول . دع P يكون بعض المبلغ الأولي. حسب حالة المشكلة

أنا 1 = 0.06 ، أنا 2 = أنا 3 = 0.05 ، أنا 4 = 0.08.

وضعنا أنا 23 = 0.05. لدينا ، وفقًا للصيغة (2):

S = P (1 i 1) 1 (1 i 23) 2 (1 i 4) 1 = P (1 + 0.06) (1 + 0.05) 2 (1 + 0.08).

نتيجة الحسابات نحصل على قيمة عامل النمو:

S / P = (1 + 0.06) (1 + 0.05) 2 (1 + 0.08) = 1.262142.

مقارنة قوة نمو الفائدة البسيطة والمركبة

بنفس معدل الفائدة i ، الزيادة في الفائدة المركبة:

يذهب أسرع من الفائدة البسيطة ، إذا كان طول فترة البناء أكبر من فترة الوحدة ؛

أبطأ من الفائدة البسيطة ، إذا كان طول فترة التراكم أقل من فترة الوحدة.

لقد لوحظ سابقًا أن استحقاق فترة الوحدة هو نفسه سواء كان نظام الفائدة بسيطًا أو مركبًا.

دعونا ندعم ما قيل. في الواقع ، بالنسبة إلى i> 0:

إذا كانت t> 1 ، ثم (1 + i) t> 1 + it ؛ إذا كان 0

لإثبات هذه الحقيقة ، ضع في اعتبارك الدالتين f (t) = (1 + i) t و g (t) = 1 + it. من الواضح أن f (0) = g (0) ، f (1) = g (1) ، وكلتا الوظيفتين تزدادان كـ t 0 ليس فقط في معناها المعنى ، ولكن أيضًا رسميًا بسبب إيجابية مشتقاتها f (t) = (1 + i) t ln (1 + i) و g (t) = i. في نفس الوقت ، مشتق الدرجة الثانية f (t) = (1 + i) t ln 2 (1 + i) موجب عند t 0 ، مما يعني التحدب الهابط للدالة f (t) عند t 0 ( أي النمو المتسارع). علاوة على ذلك ، فإن الوظيفة g (t) تنمو خطيًا

(ز (ر) = 0).

يوضح الرسم البياني الوظائف f (t) = (1 + i) t و g (t) = 1 + اعتمادًا على t:

مثال. دع مجموع P = 800 يزداد بمعدل i = 8٪ من الفائدة البسيطة والمركبة. ثم المبالغ المستحقة كما يلي

لتقييم توقعاتهم ، غالبًا ما يكون من المهم للدائن والمدين معرفة المدة التي يستغرقها مبلغ القرض للزيادة بمقدار N مرة عند سعر فائدة معين. للقيام بذلك ، نساوي عامل النمو بقيمة N ، ونتيجة لذلك نحصل على:

أ) للفائدة البسيطة 1 + ni = N ، حيث n = (N –1) / i.

ب) للفائدة المركبة (1 + i) n = N ، حيث n = lnN / ln (1 + i).

المحلول . حسب حالة المشكلة ، i = 0.04 ، N = 2. لدينا

أ) للفائدة البسيطة n = (N –1) / i = 1 / i ، حيث n = 1 / 0.04 = 25 سنة

ب) للفائدة المركبة n = lnN / ln (1 + i) ، حيث n = ln 2 / ln (1.04) 17.67 سنة. مضاعفة سعر الفائدة يضاعف الدين بشكل أسرع.

بعض طرق حساب الفائدة بعدد كسري من السنوات

في ممارسة المؤسسات المالية ، لعدد كسري من السنوات t ، يتم احتساب الفائدة بشكل مختلف. دعونا ننظر في ثلاث طرق رئيسية للاستحقاق.

1. وفقًا لمعادلة الفائدة المركبة: S = P (1 + i) t.

2. استنادًا إلى الطريقة المختلطة ، والتي وفقًا لها يتم حساب الفائدة المركبة لعدد صحيح من السنوات ، والفائدة البسيطة لرقم كسري: S = P (1 + i) n (1 + bi) ، حيث t = n + b ، n عدد صحيح من السنوات ، b جزء كسري من السنة.

3. يطبق عدد من البنوك التجارية قاعدة تنص على عدم تراكم الفائدة لفترة زمنية أقل من فترة الاستحقاق ، أي

S = P (1+ i) n.

المهمة 5. حجم القرض المقدم لمدة 27 شهرًا هو 100000 روبل. معدل الفائدة السنوي 20٪. احسب المبلغ المستحق بالطرق الثلاث الموضحة.

المحلول . حسب المشكلة ، مدة القرض 2.25 سنة. لدينا الحسابات التالية.

وفقًا للطريقة الأولى: S I = 100،000 (1 + 0.2) 2. 2 5150715 روبل 46 كوبيل وفقًا للطريقة الثانية: S II = 100،000 (1 + 0.2) 2 (1 + 0.25 0.2) = 151200 روبل. وفقًا للطريقة الثالثة: S III = 100000 (1 + 0.2) 2 = 144000 روبل.

صيغ الخصم للفائدة المركبة

المهمة 6. اكتب جدولاً لعامل الخصم (1 + i) - n لفترة قرض من 5 و 10 و 20 سنة ؛ معدل البناء المركب 10٪ و 20٪.

المحلول . يتم عرض نتائج الحساب بالصيغة (3) في الجدول

إذا تم إجراء الخصم وفقًا لنظام المحاسبة المصرفية (التجارية) ، فسيتم التفاوض مبدئيًا على معدل الخصم d ، 0d<1. Она применяется не к начальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем промежутке времени. Размер дисконта, или учета, удерживаемого финансовым учреждением, равен

المهمة 7. يتم احتساب سند إذني بمبلغ 20.000 روبل روسي ، يستحق خلال 1.5 سنة ، بمعدل فائدة مركب قدره 18٪ سنويًا. تحديد المبلغ الذي استلمه صاحب الفاتورة أثناء المحاسبة وكذلك الخصم المقابل.

المحلول . هنا ، وفقًا لبيان المشكلة ، S = 20،000 ، n = 1.5 ، d = 0.18. بعد ذلك ، باستخدام الصيغة (4) ، نحصل على نتائج الحساب التالية:

المبلغ المستلم من قبل المالك P = 20000 (1 - 0.18) 1.5 14850 ص. 83 كوبيل

خصم D = S - P 20،000 - 14850.83 = 5149 ص. 17 كوبيل

ضع في اعتبارك الفائدة المركبة - استحقاق الفائدة على كل من المبلغ الأساسي للدين والفائدة المستحقة سابقًا.

قليلا من النظرية

يتوقع مالك رأس المال ، الذي يقرضه لفترة معينة ، الحصول على دخل من هذه الصفقة. يعتمد حجم الدخل المتوقع على ثلاثة عوامل: على مقدار رأس المال المقدم على القرض ، وفترة تقديم القرض ، ومقدار فائدة القرض أو معدل الفائدة.

هناك طرق مختلفة لحساب الفائدة. يتمثل الاختلاف الرئيسي بينهما في تحديد المبلغ الأولي (الأساسي) الذي يتم تحصيل الفائدة عليه. يمكن أن يظل هذا المبلغ ثابتًا طوال الفترة بأكملها أو يتغير. بناءً على ذلك ، يتم التمييز بين طريقة الاستحقاق والفائدة المركبة.

عند استخدام أسعار الفائدة المركبة ، تتم إضافة الفائدة المستحقة بعد كل فترة استحقاق إلى المبلغ المستحق. وبالتالي ، فإن أساس المراكب ، بدلاً من الاستخدام ، يتغير في كل فترة استحقاق. تسمى إضافة الفائدة المتراكمة إلى المبلغ الذي كان بمثابة أساس استحقاقها رسملة الفائدة. يشار إلى هذه الطريقة أحيانًا باسم "النسبة المئوية بالنسبة المئوية".

يوفر ملف المثال رسمًا بيانيًا لمقارنة المبلغ المستحق باستخدام الفائدة البسيطة والمركبة.

في هذه المقالة ، سننظر في حساب الفائدة المركبة في حالة المعدل الثابت. معدل متغير في حالة الفائدة المركبة.

استحقاق الفائدة مرة واحدة في السنة

دع المبلغ الأولي للإيداع يساوي P ، ثم بعد عام واحد سيكون مبلغ الإيداع مع الفائدة المضافة = P * (1 + i) ، بعد عامين = P * (1 + i) * (1 + i) = P * (1 + i) ^ 2 ، بعد n من السنوات - P * (1 + i) ^ n. وبالتالي ، نحصل على صيغة زيادة الفائدة المركبة:
S = P * (1 + i) ^ n
حيث S هو المبلغ المستحق ،
ط - المعدل السنوي ،
ن - مدة القرض بالسنوات ،
(1+ i) ^ n - عامل البناء.

في الحالة المذكورة أعلاه ، يتم تنفيذ الرسملة مرة واحدة في السنة.
باستخدام الرسملة م مرات في السنة ، تبدو صيغة النمو للفائدة المركبة كما يلي:
S = P * (1 + i / م) ^ (ن * م)
i / m هو معدل الفترة.
من الناحية العملية ، تُستخدم النسب المئوية المنفصلة عادةً (تحسب الفائدة على الفترات الزمنية نفسها: السنة (م = 1) ، نصف السنة (م = 2) ، الربع (م = 4) ، الشهر (م = 12)).

في MS EXCEL ، يمكنك حساب المبلغ المستحق بنهاية مدة الإيداع للفائدة المركبة بطرق مختلفة.

تأمل المشكلة: دع المبلغ الأولي للإيداع يساوي 20 ريالاً سعوديًا ، المعدل السنوي = 15٪ ، ومدة الوديعة 12 شهرًا. يتم الرسملة شهريًا في نهاية الفترة.

الطريقة 1. الحساب باستخدام جدول مع الصيغ
هذه هي الطريقة الأكثر استهلاكا للوقت ، ولكنها الأكثر بديهية. وهو يتألف من حساب مبلغ المساهمة بالتسلسل في نهاية كل فترة.
في ملف المثال ، يتم تنفيذ ذلك على ورقة معدل ثابت.

بالنسبة للفترة الأولى ، سيتم استحقاق الفائدة بمبلغ = 20000 * (15٪ / 12) ، منذ ذلك الحين يتم تنفيذ الرسملة شهريًا ، وكما تعلم ، يتم إجراء الرسملة لمدة 12 شهرًا في السنة.
عند حساب الفائدة للفترة الثانية ، من الضروري ألا تأخذ المبلغ الأولي للإيداع ، ولكن مبلغ الإيداع في نهاية الفترة الأولى (أو بداية الثانية) كأساس الذي تستند إليه النسبة المئوية المتراكم. وهكذا دواليك لكل 12 فترة.

الطريقة الثانية. الحساب باستخدام صيغة الفائدة المستحقة
دعنا نستبدل القيم من المشكلة في صيغة المجموع المتراكم S = P * (1 + i) ^ n.
S = 20000 * (1 + 15٪ / 12) ^ 12
يجب أن نتذكر أنه يجب الإشارة إلى معدل الفترة (فترة الرسملة) على أنه سعر الفائدة.
هناك طريقة أخرى لكتابة صيغة وهي من خلال وظيفة DEGREE ()
= 20000 * درجة (1 + 15٪ / 12 ؛ 12)

الطريقة الثالثة. الحساب باستخدام وظيفة BS ().
تسمح لك وظيفة BS () بتحديد الاستثمارات بشرط المدفوعات المتساوية الدورية ومعدل فائدة ثابت ، أي هو المقصود في المقام الأول للتسوية في هذا الحدث. ومع ذلك ، بحذف المعامل الثالث (PMT = 0) ، يمكنك استخدامه لحساب الفائدة المركبة.
= -BS (15٪ / 12 ؛ 12 ؛ ؛ 20000)

أو هكذا = -BS (15٪ / 12 ؛ 12 ؛ 0 ؛ 20000 ؛ 0)

ملحوظة.في حالة السعر المتغير ، لإيجاد القيمة المستقبلية باستخدام طريقة الفائدة المركبة BZRASPIS ().

حدد مقدار الفائدة المتراكمة

تأمل المشكلة: وضع عميل البنك 150000 روبل في الوديعة. لمدة 5 سنوات بفائدة مركبة سنوية بمعدل 12٪ سنويًا. حدد مقدار الفائدة المتراكمة.

مقدار الفائدة المتراكمة I يساوي الفرق بين مبلغ المبلغ المستحق S والمبلغ الأولي P. باستخدام الصيغة لتحديد المبلغ المستحق S = P * (1 + i) ^ n ، نحصل على:
أنا = S - P = P * (1 + i) ^ n - P = P * ((1 + i) ^ n –1) = 150000 * ((1 + 12٪) ^ 5-1)
النتيجة: 114351.25 روبل.
للمقارنة: الاستحقاق بسعر بسيط سيعطي نتيجة 90000 روبل. (انظر ملف المثال).

تحديد مدة الدين

ضع في اعتبارك المشكلة: قام عميل البنك بإيداع مبلغ معين بفائدة مركبة سنوية بمعدل 12٪ سنويًا. بعد أي وقت يتضاعف مبلغ الإيداع؟
بأخذ لوغاريتم طرفي المعادلة S = P * (1 + i) ^ n ، نحلها فيما يتعلق بالمعامل المجهول n.

يقدم ملف المثال حلاً ، الإجابة هي 6.12 سنة.

حساب معدل الفائدة المركبة

تأمل المشكلة: وضع عميل البنك 150000 روبل في الوديعة. مع الفائدة المركبة السنوية. بأي معدل سنوي سيتضاعف مبلغ الوديعة في 5 سنوات؟

يقدم ملف المثال حلاً ، الإجابة هي 14.87٪.

ملحوظة... معدل الفائدة الفعلي.

المحاسبة (الخصم) بالفائدة المركبة

يعتمد الخصم على مفهوم قيمة المال في الوقت المناسب: الأموال المتاحة حاليًا تساوي أكثر من نفس المبلغ في المستقبل بسبب قدرتها على توليد الدخل.
النظر في نوعين من المحاسبة: حسابية ومصرفية.

محاسبة رياضية... في هذه الحالة ، يتم حل المشكلة عكسيًا للزيادة في الفائدة المركبة ، أي يتم إجراء الحسابات وفقًا للصيغة P = S / (1 + i) ^ n
تسمى قيمة P ، التي تم الحصول عليها عن طريق خصم S ، القيمة الحديثة ، أو القيمة الحالية ، أو القيمة المخفضة لـ S.
المبالغ P و S متكافئة بمعنى أن دفع S في n من السنوات يساوي المبلغ P الذي يتم دفعه حاليًا. هنا الفرق D = S - P يسمى الخصم.

مثال... بعد 7 سنوات ، سيحصل حامل الوثيقة على مبلغ 2،000،000 روبل. حدد القيمة الحالية للمبلغ ، بشرط تطبيق معدل فائدة مركب قدره 15٪ سنويًا.
بمعنى آخر ، من المعروف:
ن = 7 سنوات ،
S = 2،000،000 روبل روسي ،
أنا = 15٪.

المحلول. الاحتمال = 2،000،000 / (1 + 15٪) ^ 7
ستكون القيمة الحالية أقل ، لأن افتتاح اليوموديعة بمبلغ P برسملة سنوية بمعدل 15٪ ، سنتلقى خلال 7 سنوات مبلغ 2 مليون روبل.

يمكن الحصول على نفس النتيجة باستخدام الصيغة = PS (15٪؛ 7 ؛؛ - 2،000،000؛ 1)
ترجع الدالة PS () القيمة المخفضة (إلى اللحظة الحالية) للاستثمار و.

المحاسبة المصرفية... في هذه الحالة ، يفترض استخدام معدل خصم معقد. يتم الخصم بسعر خصم معقد وفقًا للصيغة:
P = S * (1- dsl) ^ n
حيث dcl هو معدل الخصم السنوي المركب.

عند استخدام معدل خصم معقد ، تحدث عملية الخصم بتباطؤ تدريجي ، حيث يتم تطبيق معدل الخصم في كل مرة على المبلغ المخفض للفترة السابقة بمقدار الخصم.

بمقارنة معادلة استحقاق الفائدة المركبة S = P * (1 + i) ^ n وصيغة الخصم لمعدل الخصم المركب P = S * (1- dsl) ^ n ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن استبدال علامة المعدل مع السعر المعاكس ، يمكننا لحساب القيمة المخصومة ، استخدام جميع الطرق الثلاث لحساب تراكم الفائدة المركبة ، والتي تمت مناقشتها في قسم المقالة استحقاق الفائدة عدة مرات في السنة.

وحساب معلمات هذه الصفقة.

ينقسم مقرر الرياضيات المالية إلى قسمين: المدفوعات لمرة واحدة وتدفقات المدفوعات. المدفوعات لمرة واحدة- هذه معاملات مالية يقوم فيها كل طرف ، عند تنفيذ شروط العقد ، بدفع مبلغ المال مرة واحدة فقط (إما يقرض أو يسدد الدين). تيارات الدفع- هذه معاملات مالية يقوم فيها كل طرف ، عند تنفيذ شروط العقد ، بدفع دفعة واحدة على الأقل.

هناك طرفان مشتركان في معاملة مالية - المقرض والمقترض. يمكن أن يكون كل طرف بنكًا وعميلًا. المعاملة المالية الرئيسية هي إقراض مبلغ معين من المال. المال لا يساوي الوقت. كقاعدة عامة ، تعتبر النقود الحديثة أكثر قيمة من الأموال المستقبلية. تنعكس قيمة الأموال بمرور الوقت في مبلغ الأموال التي تحمل فائدة المتراكمة وفي مخطط استحقاقها ودفعها.

الجهاز الرياضي لحل مثل هذه المشاكل هو مفهوم "النسبة المئوية" و و.

النسبة المئوية - المفاهيم الأساسية

نسبه مئويه- مائة من القاعدة المتفق عليها سابقًا (أي أن القاعدة تقابل 100٪).

الجواب: المزيد عن

سعر الفائدة

سعر الفائدة- مقدار الدخل النسبي لفترة زمنية محددة. نسبة الدخل (أموال الفائدة - القيمة المطلقة للدخل من عرض الأموال في الدين) إلى مبلغ الدين.

فترة الاستحقاق- هذه هي الفترة الزمنية التي ينحصر فيها سعر الفائدة ، ولا ينبغي الخلط بينه وبين مصطلح الاستحقاق. عادةً ما أستغرق عامًا ونصفًا وربعًا وشهرًا على هذا النحو ، ولكن في أغلب الأحيان يتعاملون مع المعدلات السنوية.

رسملة الفائدة- إضافة الفائدة على أصل الدين.

بناء- عملية زيادة مبلغ المال بمرور الوقت فيما يتعلق بإضافة الفائدة.

الخصم- العودة إلى الزيادة ، حيث يتم تخفيض مبلغ المال المنسوب إلى المستقبل بمقدار المبلغ المقابل للخصم (الخصم).

تسمى الكمية عامل الاستحقاق ، وتسمى الكمية عامل الخصم بموجب المخططات المقابلة.

مع المخطط " مصلحة بسيطة"الأساس الأولي لحساب الفائدة على كامل مدة الدين في كل فترة لتطبيق سعر الفائدة هو المبلغ الأصلي للدين.

مع المخطط " الفائدة المركبة"(بشكل عام) الأساس الأولي لحساب الفائدة على مدار الفترة بأكملها لكل فترة تطبيق لسعر الفائدة هو مقدار الدين المتراكم خلال الفترة السابقة.

تسمى إضافة أموال الفائدة المتراكمة إلى المبلغ الذي يعمل كأساس لحسابها رسملة الفائدة (أو إعادة استثمار الوديعة). عند تطبيق مخطط "الفائدة المركبة" ، تحدث رسملة الفائدة في كل فترة.

مع مخطط "الفائدة البسيطة" ( خصم بسيط) - الأساس الأولي لحساب الفائدة على كامل مدة الدين في كل فترة تطبيق لمعدل الخصم هو المبلغ المستحق الدفع في نهاية مدة الإيداع.

مع مخطط الفائدة المركبة (الكل) ( خصم مركب) - الأساس الأولي لحساب الفائدة طوال الفترة لكل فترة تطبيق معدل الخصم هو مبلغ الدين في نهاية كل فترة.

معدلات فائدة بسيطة ومعقدة

الصيغ "المباشرة"

	مصلحة بسيطة	الفائدة المركبة
- سعر الفائدة			بناء
- سعر الفائدة			الخصم (محاسبة بنكية)

الصيغ "المعكوسة"

معدل فائدة متغير وإعادة استثمار الودائع

دع مدة الدين لها مراحل ، مدتها ،

- مع مخطط فائدة بسيط

1 ... ينص العقد على استحقاق أ) بسيط ، ب) فائدة مركبة بالترتيب التالي: في النصف الأول من العام بسعر فائدة سنوي قدره 0.09 ، ثم في العام التالي انخفض السعر بمقدار 0.01 ، وفي العامين التاليين زادت الفصول الدراسية بمقدار 0.005 في كل فصل ... أوجد قيمة المساهمة المستحقة في نهاية المدة إذا كانت قيمة المساهمة الأولية تساوي 800 دولار.

سعر الفائدة في السوق كأهم مؤشر للاقتصاد الكلي

سعر الفائدة مهم. معدل الفائدة هو الدفع للأموال المقدمة إلى. كانت هناك أوقات لم يسمح فيها القانون بالمكافأة على حقيقة أن الأموال المقترضة غير المنفقة قد تم إقراضها. في العالم الحديث ، يتم استخدام القروض على نطاق واسع ، والتي يتم تحديد نسبة مئوية لاستخدامها. نظرًا لأن أسعار الفائدة تقيس تكاليف استخدام الأموال من قبل رواد الأعمال والمكافأة على عدم استخدام الأموال من قبل القطاع الاستهلاكي ، يلعب مستوى أسعار الفائدة دورًا مهمًا في اقتصاد الدولة ككل.

يستخدم مصطلح "سعر الفائدة" في كثير من الأحيان في الأدبيات الاقتصادية ، على الرغم من وجود العديد من أسعار الفائدة. تمايز سعر الفائدة مرتبط بالمخاطر التي يتعرض لها المقرض. تزداد المخاطر مع إطالة مدة القرض ، حيث يزداد احتمال احتياج المقرض إلى المال قبل تاريخ استحقاق سداد القرض ، وبالتالي يرتفع سعر الفائدة وفقًا لذلك. تزداد عندما يتقدم رجل أعمال غير معروف للحصول على قرض. شركة صغيرة تدفع سعر فائدة أعلى من شركة كبيرة. بالنسبة للمستهلكين ، تختلف أسعار الفائدة أيضًا.

ومع ذلك ، بغض النظر عن مدى اختلاف أسعار الفائدة ، فإنها جميعًا تحت التأثير: إذا انخفض المعروض النقدي ، فستزيد أسعار الفائدة ، والعكس صحيح. هذا هو السبب في أنه يمكن تقليل النظر في جميع أسعار الفائدة إلى دراسة الانتظام في سعر فائدة واحد والعمل في المستقبل بمصطلح "سعر الفائدة"

فرّق بين أسعار الفائدة الاسمية والحقيقية

سعر الفائدة الحقيقييتم تحديده مع مراعاة المستوى. إنه يساوي سعر الفائدة الاسمي ، الذي يتم تحديده تحت تأثير العرض والطلب ، مطروحًا منه معدل التضخم:

على سبيل المثال ، إذا قدم البنك قرضًا وفرض رسومًا بنسبة 15٪ في نفس الوقت ، وكان معدل التضخم 10٪ ، فإن معدل الفائدة الحقيقي هو 5٪ (15٪ - 10٪).

طرق احتساب الفائدة:

معدل فائدة بسيط

مخطط نمو النسبة المئوية البسيط

تحديد الفائدة ومقدار الدين المتراكم إذا كان المعدل بفائدة بسيطة 20٪ في السنة ، والقرض 700000 روبل ، والمدة 4 سنوات.

• أنا = 700000 * 4 * 0.2 = 560.000 روبل.
• S = 700000 + 560.000 = 1260.000 روبل.

الحالة التي تكون فيها مدة القرض أقل من فترة الاستحقاق

• 360 يومًا. في هذه الحالة ، يحصل المرء عاديأو مصلحة تجارية.
• 365 أو 366 يومًا. تستخدم لحساب النسب المئوية الدقيقة.

• يتم تحديد العدد الدقيق لأيام القرض عن طريق حساب عدد الأيام بين تاريخ القرض وتاريخ سداده. يتم احتساب يوم الإصدار ويوم الاسترداد كيوم واحد. يمكن تحديد العدد الدقيق للأيام بين تاريخين من جدول الأرقام الترتيبية للأيام في السنة.
• يتم تحديد العدد التقريبي لأيام القرض من شرط أن يتم أخذ أي شهر يساوي 30 يومًا.

• الفائدة المحددة مع العدد الدقيق لأيام القرض (365/365)
• فائدة عادية مع العدد الدقيق لأيام القرض (البنك ؛ 365/360). عندما يتجاوز عدد أيام القرض 360 ، تؤدي هذه الطريقة إلى حقيقة أن مبلغ الفائدة المتراكمة سيكون أكبر من المنصوص عليه في المعدل السنوي.
• فائدة عادية مع العدد التقريبي لأيام القرض (360/360). يتم استخدامه في الحسابات الوسيطة ، لأنه ليس دقيقًا جدًا.

تم إصدار قرض بمبلغ مليون روبل في الفترة من 20 يناير إلى 5 أكتوبر شاملًا بنسبة 18 ٪ سنويًا. كم يجب أن يدفع المدين في نهاية المدة عند احتساب الفائدة البسيطة؟ احسب في ثلاثة خيارات لحساب الفائدة البسيطة.

بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد عدد أيام القرض: 20 كانون الثاني (يناير) هو اليوم العشرين من العام ، و 5 تشرين الأول (أكتوبر) هو 278 يومًا في السنة. 278 - 20 = 258. بحساب تقريبي - 255. 30 يناير - 20 يناير = 10.8 شهر مضروبًا في 30 يومًا = 240. المجموع: 240 + 10 + 5 = 255.

1. الفائدة المحددة مع العدد الدقيق لأيام القرض (365/365)

• S = 1000000 * (1 + (258/365) * 0.18) = 1127233 روبل.

2- الفائدة العادية مع العدد الدقيق لأيام القرض (360/365)

• S = 1000000 * (1 + (258/360) * 0.18 = 1129000 روبل.

3 - الفائدة العادية مع العدد التقريبي لأيام القرض (360/360)

• S = 1000000 (1 + (255/360) * 0.18 = 1127500 روبل.

معدلات متغيرة

تنص اتفاقيات القروض في بعض الأحيان على معدلات فائدة تتغير بمرور الوقت. إذا كانت هذه معدلات بسيطة ، فسيتم تحديد المبلغ الذي تمت زيادته في نهاية المدة على النحو التالي.

كان الناس في جميع الأوقات يفكرون في غدهم. لقد حاولوا ويحاولون حماية أنفسهم وأطفالهم وأحفادهم من المصاعب المالية ، وبناء جزيرة صغيرة من الثقة في المستقبل على الأقل. البدء في بنائه الآن بمساعدة الودائع المصرفية الصغيرة ، يمكنك ضمان استقرارك واستقلاليتك في المستقبل.

المبدأ الأساسي للعمليات المصرفية هو أن الأموال لا يمكن أن تزيد إلا عندما تكون في تداول مستمر. لكي يتنقل العملاء بثقة في مجال الخدمات المالية ويكونوا قادرين على تحديد الشروط التي تعود عليهم بالنفع بشكل صحيح في فترة زمنية معينة ، من الضروري معرفة عدد من القواعد البسيطة. ستركز هذه المقالة على الاستثمارات طويلة الأجل ، والتي تسمح لعدد معين من السنوات من مبلغ صغير نسبيًا من رأس المال الأولي لتلقي ربح كبير أو استخدام الوديعة بشكل أكبر ، مما يؤدي إلى إزالة الرسوم عن الاحتياجات اليومية.

من أجل الحساب الصحيح للربح ، من الضروري إجراء عمليات حسابية بسيطة بناءً على الصيغ أدناه.

صيغة الفائدة المركبة (الحساب بالسنوات)

على سبيل المثال ، قررت وضع 100000 روبل. بمعدل 11٪ سنويًا ، للاستفادة من المدخرات خلال 10 سنوات ، والتي نمت بشكل كبير نتيجة للرسملة. لحساب المبلغ الإجمالي ، يجب عليك تطبيق طريقة حساب الفائدة المركبة.

يعني استخدام الفائدة المركبة أنه في نهاية كل فترة (سنة ، ربع سنة ، شهر) ، يتم تلخيص الأرباح المتراكمة مع المساهمة. المبلغ الناتج هو أساس الزيادة اللاحقة في الأرباح.

لحساب الفائدة المركبة ، نستخدم صيغة بسيطة:

• S - المبلغ الإجمالي ("جسم" الوديعة + الفائدة) المستحق إعادته إلى المودع عند انتهاء الإيداع ؛
• Р - القيمة الأولية للمساهمة ؛
• n هو العدد الإجمالي للعمليات على رسملة الفائدة طوال فترة جمع الأموال (في هذه الحالة ، يتوافق مع عدد السنوات) ؛
• ط - معدل الفائدة السنوية.

بالتعويض عن القيم في هذه الصيغة ، نرى ما يلي:

في 5 سنوات سيكون المبلغ فرك.،

وستكون كذلك بعد 10 سنوات فرك.

إذا قمنا بالحساب لفترة قصيرة ، فسيكون حساب الفائدة المركبة أكثر ملاءمة باستخدام الصيغة

• ك - عدد الأيام في السنة الحالية ،
• J هو عدد الأيام في الفترة ، وبعد ذلك يقوم البنك برسملة الفائدة المستحقة (باقي التعيينات هي نفسها كما في الصيغة السابقة).

ولكن بالنسبة لأولئك الذين يشعرون براحة أكبر مع السحب الشهري للفائدة على الوديعة ، فمن الأفضل أن يتعرفوا على المفهوم "رسملة الوديعة" ، مما يعني استحقاق الفائدة البسيطة.

يوضح الرسم البياني كيف سينمو رأس المال مع رسملة الفائدة على الوديعة ، إذا استثمرت 100،000 روبل. لمدة 10 سنوات بنسبة 10٪ و 15٪ و 20٪

صيغة الفائدة المركبة (الحساب بالأشهر)

هناك طريقة أخرى أكثر ربحية للعميل ، وهي طريقة حساب وإضافة أسعار الفائدة - شهريًا. لهذا ، يتم تطبيق الصيغة التالية:

حيث يتوافق n أيضًا مع عدد معاملات الرسملة ، ولكن يتم التعبير عنه بالفعل بالأشهر. يتم تقسيم النسبة المئوية أيضًا على 12 نظرًا لوجود 12 شهرًا في السنة ، ونحتاج إلى حساب معدل الفائدة الشهرية.

إذا تم استخدام هذه الصيغة للاستحقاق ربع السنوي للمساهمة ، فسيتم تقسيم الفائدة السنوية على 4 ، وسيكون المؤشر n مساويًا لعدد الأرباع ، وإذا تم استحقاق الفائدة على أساس نصف سنوي ، فإن الفائدة سيتم تقسيم المعدل على 2 ، وسوف يتوافق التعيين n مع عدد نصف السنوات.

لذلك ، إذا قدمنا ​​مساهمة بمبلغ 100000 روبل. مع رسملة الفائدة الشهرية ، ثم:

بعد 5 سنوات (60 شهر)كان من الممكن أن يرتفع مبلغ الوديعة إلى 172891.57 روبل ، أي حوالي 10000 روبل. أكثر من حالة الرسملة السنوية للإيداع ؛ فرك.

وبعد 10 سنوات (120 شهرًا)وكان المبلغ "المتزايد" سيصل إلى 298914.96 روبل ، وهو بالفعل يصل إلى 15000 روبل. يتجاوز المؤشر المحسوب باستخدام معادلة الفائدة المركبة ، والتي تنص على الحساب بالسنوات.

فرك.

هذا يعني أن الربحية بفائدة شهرية أكبر من الحساب مرة واحدة في السنة. وإذا لم يتم سحب الربح ، فإن الفائدة المركبة تعمل لصالح المودع.

صيغة الفائدة المركبة للودائع المصرفية

من المرجح أن تكون الصيغ أعلاه الخاصة بالفائدة المركبة أمثلة توضيحية للعملاء حتى يتمكنوا من فهم الإجراء الخاص بحساب الفائدة المركبة. هذه الحسابات أبسط إلى حد ما من الصيغة التي تطبقها البنوك على الودائع المصرفية الحقيقية.

الوحدة المستخدمة هنا هي نسبة معدل الفائدة على الودائع (ع). وتحسب على النحو التالي:

يتم احتساب الفائدة المركبة (المبلغ "المستحق") للودائع المصرفية باستخدام الصيغة التالية:

بناءً عليه وأخذ نفس البيانات كمثال ، سنقوم بحساب الفائدة المركبة باستخدام الطريقة المصرفية.

بادئ ذي بدء ، نحدد معامل سعر الفائدة للإيداع:

الآن نستبدل البيانات في الصيغة الرئيسية:

فرك. - هذا هو مبلغ الوديعة "المتزايدة" خلال 5 سنوات * ؛

فرك. - لمدة 10 سنوات *.

* الحسابات الموضحة في الأمثلة تقريبية لأنها لا تشمل السنوات الكبيسة وعدد الأيام المختلف في الشهر.

إذا قارنا المبالغ من هذين المثالين مع الأمثلة السابقة ، فإنها تكون أقل إلى حد ما ، ولكن لا تزال الفائدة من رسملة الفائدة واضحة. لذلك ، إذا كنت قد قررت بحزم وضع أموال في البنك لفترة طويلة ، فمن الأفضل إجراء حساب أولي للربح باستخدام صيغة "البنك" - سيساعدك هذا على تجنب خيبة الأمل.

الأحكام العامة
ترتبط جميع الحسابات المالية والاقتصادية تقريبًا ، بطريقة أو بأخرى ، بتراكم الفائدة. في الممارسة المصرفية ، يتم استخدام الفائدة البسيطة والمركبة.
أموال الفائدة (الفائدة) هي مقدار الدخل من إقراض الأموال بأشكال مختلفة (إصدار قرض ، وفتح حسابات إيداع ، وشراء السندات ، وتأجير المعدات ، وما إلى ذلك).
يعتمد مقدار أموال الفائدة على ثلاثة عوامل:
مبلغ الدين الرئيسي (مبلغ القرض) ؛
تاريخ النضج؛
معدل الفائدة الذي يميز شدة الفائدة.
يمكن دفع الفائدة عند استحقاقها أو إضافتها إلى المبلغ المستحق. تسمى الزيادة في مبلغ الدين بسبب إضافة الفائدة المتراكمة زيادة في المبلغ الأصلي للدين.
تسمى نسبة المبلغ المستحق إلى المبلغ الأصلي للديون عامل الاستحقاق (المعامل):
كن = 8 / ص ،
حيث 8 هو المبلغ المستحق (قابل للاسترداد) ؛
P هو المبلغ الأولي للدين.
KN دائمًا أكبر من واحد.
يسمى الفاصل الزمني الذي يتم حساب الفائدة من أجله فترة الاستحقاق.
عند استخدام أسعار الفائدة البسيطة ، يتم تحديد مبلغ الفائدة المالية خلال فترة الدين بأكملها بناءً على المبلغ الأصلي ، بغض النظر عن فترات الاستحقاق ومدتها ، أي لا يوجد رسملة للفائدة (استحقاق الفائدة على الفائدة).
عند استخدام الأسعار المركبة ، تضاف الفائدة المستحقة عن الفترة السابقة إلى مبلغ الدين وتراكم الفائدة عليها في الفترة التالية (يتم رسملة الفائدة).
يمكن أن تتغير قيمة الأسعار نفسها (البسيطة والمعقدة) أو أن تظل دون تغيير. إذا تغير سعر الفائدة ، ولكن لا توجد رسملة ، أي يتم احتساب الفائدة دائمًا على نفس المبلغ ، ثم ستكون بسيطة. إذا كان هناك رسملة حتى بأسعار فائدة ثابتة ، فإن الفائدة تكون معقدة.
يمكن حساب الفائدة البسيطة والمركبة بطريقتين:
عقدية - يتم احتساب الفائدة في نهاية كل فترة ؛
مضاد - تحسب الفائدة في بداية كل فترة.
في الحالة الأولى ، يتم تحديد مبلغ الفائدة المالية بناءً على مبلغ القرض المقدم. سعر الفائدة الانقباضي يسمى فائدة الإقراض. هذه هي نسبة مبلغ الدخل المستحق خلال الفترة الزمنية إلى المبلغ الأولي (المبلغ في بداية فترة استحقاق الفائدة):
1 = الدخل × 100٪ / ر.
باستخدام طريقة مكافحة الاحتياج (الأولية) لحساب الفائدة ، يتم تحديد مبلغ الفائدة على أساس المبلغ المستحق. يُطلق على سعر (أسعار) الفائدة الخصم أو مضاد الاحتياج:
ё = الدخل × 100٪ / 8.
الطريقة الخانقة أكثر انتشارًا في الممارسة العالمية.
لنفكر في الأنواع المختلفة من الأسعار وطرق حسابها وفقًا للخطة التالية:
أسعار فائدة متداخلة بسيطة ؛
أسعار الفائدة المتحللة المعقدة ؛
معدلات (خصم) بسيطة لمكافحة الاحتشاء ؛
معدلات مكافحة الاحتشاء المعقدة (الخصم) ؛
معدلات فائدة معادلة.
طريقة خاطفة لحساب الفائدة البسيطة
يتم تطبيق استحقاق المعدلات البسيطة ، كقاعدة عامة ، على الإقراض قصير الأجل.
دعونا نقدم التدوين:
8 - المبلغ المستحق ، ص ؛
Р - المبلغ الأولي للديون ، ص ؛
1 - معدل الفائدة السنوي (في كسور الوحدات) ؛
п - مدة القرض بالسنوات.
في نهاية السنة الأولى ، سيكون مبلغ الدين المستحق
81 = ف + ف 1 = ف (1+ 1) ؛
في نهاية السنة الثانية:
82 = 81 + ف 1 = ف (1+ 1) + ف 1 = ف (1+ 2 1) ؛ في نهاية السنة الثالثة:
83 = 82 + P1 = P (1+ 2 1) + P 1 = P (1 + 3 1) وهكذا. في نهاية المصطلح n: 81 = P (1+ n 1).
هذه صيغة للبناء بسعر فائدة بسيط.
يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن معدل الفائدة والمصطلح يجب أن يتوافق مع بعضهما البعض ، أي إذا تم أخذ المعدل السنوي ، فيجب التعبير عن المصطلح بالسنوات (إذا كان كل ثلاثة أشهر ، فيجب التعبير عن المصطلح في أرباع ، وما إلى ذلك).
يمثل التعبير بين قوسين عامل الزيادة بسعر فائدة بسيط:
كن = (1+ ن 1).
بالتالي،
81 = كتاب ف.
المهمة 5.1
أصدر البنك قرضًا بمبلغ 5 ملايين روبل. لمدة ستة أشهر بسعر فائدة بسيط 12٪ سنويًا. تحديد المبلغ المراد سداده.
المحلول:
8 = 5 ملايين (1 + 0.5 ¦ 0.12) = 5300000 روبل.
إذا تم تحديد الفترة التي يتم فيها اقتراض الأموال بالأيام ، فسيكون المبلغ المتراكم مساويًا لـ 8 = P (1 + d / K 1) ،
حيث d هي مدة المدة بالأيام ؛
K هو عدد الأيام في السنة.
تسمى قيمة K الأساس الزمني.
يمكن أخذ القاعدة الزمنية مساوية للطول الفعلي للسنة - 365 أو 366 (ثم تسمى النسب المئوية بالضبط) أو تقريبية تساوي 360 يومًا (فهذه هي النسب المئوية العادية).
يمكن أيضًا تحديد قيمة عدد الأيام التي يتم فيها اقتراض الأموال بدقة أو تقريبًا. في الحالة الأخيرة ، يُفترض أن تكون مدة أي شهر كامل 30 يومًا. وفي كلتا الحالتين يعتبر تاريخ إصدار المال المدين وتاريخ رده يومًا واحدًا.
المهمة 5.2
أصدر البنك قرضًا بمبلغ 200 ألف روبل. من 12.03 إلى 25.12 (سنة كبيسة) بمعدل 7٪ سنويًا. تحديد حجم المبلغ المدفوع بخيارات مختلفة للقاعدة الزمنية مع العدد الدقيق والتقريبي لأيام القرض واستخلاص استنتاج حول الخيارات المفضلة من وجهة نظر البنك والمقترض.
المحلول:
العدد الدقيق لأيام القرض اعتبارًا من 12.03.2007. في 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
العدد التقريبي لأيام الإعارة:
20+8-30+25=285;
أ) الفائدة المحددة والعدد الدقيق لأيام القرض:
8 = 200000 (1 + 289/366 ¦ 0.07) = 211،016 ص ؛
ب) الفائدة العادية والعدد الدقيق لأيام القرض:
8 = 200000 (1 + 289/360 ¦ 0.07) = 211200 ؛
ج) الفائدة العادية والعدد التقريبي لأيام القرض:
8 = 200000 (1 + 285/360 ¦ 0.07) = 211،044 ؛
د) الفائدة الدقيقة والعدد التقريبي لأيام القرض:
8 = 200000 (1 + 285/366 ¦ 0.07) = 210863.
وبالتالي ، سيكون أكبر مبلغ مستحق في الخيار ب) - فائدة عادية مع العدد الدقيق لأيام القرض ، والأصغر - في الخيار د) - فائدة محددة مع عدد تقريبي لأيام القرض.
لذلك ، من وجهة نظر البنك كمقرض ، فإن الخيار ب) هو الأفضل ، ومن وجهة نظر المقترض الخيار د).
يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن المقرض هو على أي حال فائدة عادية أكثر ربحية ، والمقترض - دقيق (بأي أسعار - بسيط أو معقد). في الحالة الأولى ، يكون المبلغ المتراكم أعلى دائمًا ، وفي الحالة الثانية يكون أقل.
إذا كانت أسعار الفائدة على فترات استحقاق مختلفة خلال مدة الدين مختلفة ، يتم تحديد المبلغ المستحق من خلال الصيغة
ن
8 = ف (1 + س ص 10 ،
1=1
حيث N هو عدد فترات حساب الفائدة ؛
n - مدة فترة الاستحقاق الأولى ؛
^ - سعر الفائدة على فترة الاستحقاق I-th.
المهمة 5.3
يقبل البنك الودائع بسعر فائدة بسيط ، وهو في السنة الأولى 10٪ ، ثم يزيد بمقدار نقطتين مئويتين كل ستة أشهر. حدد حجم المساهمة بـ 50 ألف روبل. باهتمام في 3 سنوات.
المحلول:
8 = 50000 (1 + 0.1 + 0.5 0.12 + 0.5 0.14 + 0.5 0.16 + 0.5 0.18) = 70000 روبل.
باستخدام صيغة المبلغ المستحق ، يمكنك تحديد مدة القرض وفقًا لشروط أخرى محددة.
مدة القرض بالسنوات:
8 - Р N =.
ص 1
المهمة 5.4
تحديد مدة القرض بالسنوات التي يبلغ الدين فيها 200 ألف روبل. سيرتفع إلى 250 ألف روبل. عند استخدام معدل فائدة بسيط - 16٪ سنويًا.
المحلول:
(250000 - 200000) / (200000 0.16) = 1.56 (سنة).
من صيغة المبلغ المستحق ، يمكنك تحديد معدل الفائدة البسيط بالإضافة إلى المبلغ الأصلي للدين.
تقرر بنفسك
المهمة 5.5
عند اصدار قرض 600 الف روبل. تم الاتفاق على أن المقترض سيعيد 800 ألف روبل في غضون عامين. تحديد معدل الفائدة المستخدم من قبل البنك.
الإجابة: 17٪.
الهدف 5.6
القرض ، الذي يتم إصداره بمعدل بسيط 15٪ سنويًا ، يجب سداده خلال 100 يوم. حدد المبلغ الذي حصل عليه المقترض ومقدار الفائدة التي يتلقاها البنك ، إذا كان المبلغ المرتجع يجب أن يكون 500 ألف روبل. بقاعدة زمنية تبلغ 360 يومًا.
الجواب: 480 ألف روبل.
تسمى عملية العثور على المبلغ الأصلي للدين مقابل سداد معروف باسم الخصم. بمعنى واسع ، يعني مصطلح "الخصم" تحديد القيمة P للقيمة في نقطة زمنية معينة ، بشرط أن تكون في المستقبل مساوية لقيمة معينة. وتسمى هذه الحسابات أيضًا جلب القيمة مؤشر إلى نقطة زمنية معينة ، وقيمة P ، التي تحدد بالخصم ، تسمى القيمة الحديثة أو المخفضة للقيمة. يتيح لك الخصم مراعاة عامل الوقت في حسابات التكلفة. دائمًا ما يكون عامل الخصم أقل من واحد.
صيغة خصم سعر الفائدة البسيطة:
P = 8 / (1 + w) ، حيث 1 / (1 + w) هو عامل الخصم.
طريقة التركيب الخاطفية
في حالة العمليات المالية والائتمانية طويلة الأجل ، بعد فترة الاستحقاق التالية ، يتم إضافة الفائدة إلى مبلغ الدين ، وفي الفترة التالية ، يتم استحقاق الفائدة على المبلغ الإجمالي ، أي مع رسملة الفائدة. تسمى هذه الفائدة مركبة ، ويزداد أساس استحقاقها مع كل فترة استحقاق متتالية.
يتم تحديد المبلغ المستحق لعدد n من السنوات عند استخدام معدل فائدة مركب سنوي ثابت 1 ج بواسطة الصيغة
8 = P (1 + 1s) ص.
الهدف 5.7
أصدر البنك قرضًا بقيمة 500 ألف روبل. لمدة 3 سنوات. حدد المبلغ المراد سداده باستخدام معدل مركب قدره 18٪ سنويًا ومقدار أموال الفائدة.
المحلول:
8 = 500000 (1 + 0.18) 3 = 821.516 ص.
أموال الفائدة = 821.516 - 500000 = 321516 روبل.
يعطي حساب الفائدة المركبة لفترة القرض التي تزيد عن عام مبلغًا أكبر من أموال الفائدة مقارنةً بحساب الفائدة البسيطة.
إذا تم استحقاق الفائدة المركبة عدة مرات في السنة (حسب الأشهر ، والأرباع ، والفصول الدراسية) ، فسيتم استخدام معدل الفائدة الاسمي - المعدل السنوي ، الذي على أساسه يتم تحديد مبلغ معدل الفائدة المطبق في كل فترة استحقاق.
في هذه الحالة ، يتم تحديد المبلغ المستحق بواسطة الصيغة
8 = P (1 +] / m) tp ، حيث] - معدل الفائدة الاسمي المركب ، الكسر العشري ؛
ر - عدد فترات استحقاق الفائدة في السنة ؛
п - مدة القرض بالسنوات ؛
] / t - سعر الفائدة في كل فترة استحقاق ، كسر عشري.
الهدف 5.8
يفرض البنك فائدة على الودائع على أساس ربع سنوي بمعدل اسمي يبلغ 16٪ سنويًا. حدد المبلغ الذي استلمه المودع بعد 5 سنوات ، إذا كان مبلغ الإيداع الأولي 100 ألف روبل.
المحلول:
8 = 100،000 (1 + 0.16 / 4) 4 × 5 = 219122.2 ص.
من معادلة المبلغ المستحق ، يمكنك تحديد قيمة المبلغ المصروف للمقترض ، أي قم بخصم المبلغ 8 بسعر فائدة مركب.
تقرر لنفسك
الهدف 5.9
حدد القيمة الحالية لمبلغ 500 ألف روبل ، والتي سيتم دفعها في 3 سنوات باستخدام معدل فائدة مركب قدره 20٪ سنويًا.
الجواب: 289351.8 روبل.
سيتم تحديد مدة القرض (من صيغة المبلغ المستحق)
ن = 1od (8 / P) / 1od (1 + 1).
يمكن أخذ اللوغاريتمات بأي قواعد متساوية.
المهمة 5.10
يحسب البنك الفائدة المركبة بمعدل 12٪ سنويًا. حدد الفترة بالسنوات التي يكون فيها مبلغ الوديعة 25 ألف روبل. سوف ينمو إلى 40 ألف روبل.
الجواب: 4.15 سنة.
المهمة 5.11
تضاعف حجم الدين في 3 سنوات. حدد معدل التركيب السنوي المستخدم.
الإجابة: 26٪.
طريقة مضادة لحساب الفائدة البسيطة (معدلات الخصم البسيطة)
عند استخدام معدلات الخصم ، يتم تحديد مبلغ الفائدة من إقراض الأموال على أساس المبلغ الذي سيتم إرجاعه ، أي مبلغ القرض المستلم ليس المبلغ المستلم ، ولكن المبلغ المستحق. يتم اقتطاع أموال الفائدة المتراكمة بسعر الخصم مباشرةً عند إصدار القرض ، ويتلقى المقترض مبلغ القرض فورًا بعد خصم أموال الفائدة. تسمى هذه المعاملة بخصم سعر الخصم ، أو المحاسبة المصرفية أو التجارية. يسمى مبلغ الفائدة المالية المتراكمة بسعر الخصم بالخصم.
سيتم تحديد المبلغ المستلم من قبل المقترض من خلال الصيغة
P = 8 (1 - ن) ،
حيث d هو معدل خصم بسيط ؛
(1 - ن ё) - معامل الخصم بسعر خصم بسيط.
يمكن أن نرى من الصيغة أنه ، على عكس أسعار الإقراض ، لا يمكن أن تأخذ معدلات الخصم أي قيم ، ولا يمكن أن يكون معامل الخصم سالبًا ، أي يجب أن يكون n ^ d أقل من واحد تمامًا. لم يتم العثور على قيم d القريبة من القيم المحددة في الممارسة العملية. الهدف 5.12
يأخذ المقترض قرضًا لمدة ربع مع التزام بسداد 100 ألف روبل. تحديد المبلغ الذي حصل عليه المقترض ومبلغ الخصم الذي يحتفظ به البنك بمعدل خصم 15٪ سنويًا.
المحلول:
P = 100000 (1 - 0.25 × 0.15) = 96250 روبل.
الخصم = 8 - P = 100000 - 96250 = 3750 روبل.
إذا تم تحديد مدة القرض في الأيام (د) ، فسيتم تحديد المبلغ الذي حصل عليه المقترض من خلال الصيغة
P = 8 (1 - أ د / ك) ،
حيث K هو عدد الأيام في السنة (القاعدة الزمنية).
تقرر لنفسك
المهمة 5.13
حدد المبلغ الذي حصل عليه المقترض ومقدار الخصم الذي حصل عليه البنك ، إذا كان يتعين على المقترض بموجب الاتفاقية إعادة 100 ألف روبل بعد 200 يوم. بمعدل خصم البنك بنسبة 10٪ سنويًا وقاعدة زمنية تبلغ 360 يومًا.
الجواب: 94444.44 روبل ؛ 5 555.56 رور
في الممارسة العملية ، يتم استخدام أسعار الخصم عند شراء (محاسبة) الكمبيالات والالتزامات النقدية الأخرى. في هذه الحالة ، يشتريه البنك أو أي مؤسسة مالية أخرى من المالك (المورد) بسعر أقل من المبلغ الذي يجب دفعه عليه في نهاية المدة قبل استحقاق الفاتورة ، أو كما يقولون ، يأخذ البنك في الاعتبار الفاتورة بسعر مخفض. في هذه الحالة ، يتلقى مالك الكمبيالة نقودًا قبل المدة المحددة في الكمبيالة مطروحًا منها دخل البنك في شكل خصم. بعد أن تلقى البنك المبلغ المحدد في تاريخ استحقاق الفاتورة ، يدرك (يتلقى) خصمًا.
يمكن اعتبار هذه العملية بمثابة إصدار لقرض من قبل البنك بالمبلغ المحدد في الفاتورة ، بسعر الخصم المستخدم في حساباته ، لفترة تساوي الفترة من تاريخ المحاسبة إلى تاريخ استرداد فاتورة. وبالتالي ، سيتم تحديد المبلغ الصادر إلى مالك الكمبيالة من خلال الصيغة
Р = 8 (1 - Дп-ё) = 8 (1 - ё-Дд / К) ، حيث Дп = Дд / К - المدة بالأيام من تاريخ المحاسبة إلى تاريخ استرداد الكمبيالة ؛
الجحيم - عدد الأيام من تاريخ المحاسبة إلى تاريخ استرداد الفاتورة.
المهمة 5.14
عند حساب السند الإذني بمبلغ 100 ألف روبل ، قبل تاريخ الاستحقاق الذي بقي 80 يومًا ، دفع البنك لمالكه 98 ألف روبل. حدد معدل الخصم الذي استخدمه البنك مع قاعدة زمنية تتكون من 360 يومًا.
المحلول:
د = (100،000 - 98،000) × 360 / (100،000 × 80) = 0.09 = 9٪.
تقرر لنفسك
المهمة 5.15
سند إذني بمبلغ 200 ألف روبل. المحاسبة في البنك قبل 30 يومًا من تاريخ الاستحقاق بسعر خصم 15٪ سنويًا. تحديد المبلغ الذي استلمه صاحب الفاتورة ، ومقدار الخصم الذي حصل عليه البنك ، على أساس زمني 360 يومًا.
الجواب: 197500 روبل ؛ 2500 فرك.
المهمة 5.16
يمنح البنك قروضاً بمعدل خصم 15٪ سنوياً. حدد مدة القرض بالسنوات ، إذا كان المقترض يريد الحصول على 500 ألف روبل ، والمبلغ المدفوع يجب أن يكون 550 ألف روبل
... الجواب: 0.61 سنة.
طريقة مركب مضاد (أسعار الفائدة المركبة)
دعونا نقدم الترميز التالي:
es - معدل الخصم المعقد ؛
^ - معدل الخصم السنوي الاسمي (يتم تطبيقه عند حساب الفائدة بسعر الخصم عدة مرات في السنة) ؛
صيغة خصم معدل الخصم المعقدة:
P = 8 (1 - DS) ص.
المبلغ المستحق في n من السنوات: 8 = P / (1 - Ds) p.
هنا 1 / (1 - ds) n هو معدل الزيادة بمعدل خصم معقد.
إذا تساوت فائدة الإقراض وسعر الخصم ، فإن الزيادة في المبلغ الأولي في الحالة الثانية (بطريقة مكافحة الاحتكاك) تكون أسرع. لذلك ، في الأدبيات ، يمكنك العثور على العبارة التي تفيد بأن طريقة deccursive لحساب الفائدة هي أكثر فائدة للمقترض ، وأن طريقة مكافحة الاشتراكية أكثر فائدة للمقرض. ومع ذلك ، يمكن اعتبار هذا عادلاً فقط لأسعار الفائدة المنخفضة ، عندما لا يكون التناقض كبيرًا. ولكن مع ارتفاع سعر الفائدة ، يصبح الفرق في المبالغ المستحقة كبيرًا (ويزداد مع زيادة النسبة المئوية) ، وليس من المنطقي مقارنة الطريقتين.
ويترتب على الصيغة أن معدل الخصم يمكنه فقط أن يأخذ قيمًا أقل بدقة من 100٪. يزداد المبلغ المستحق بسرعة مع نمو معدل الخصم ، ويميل إلى اللانهاية.
إذا تغير معدل الخصم خلال مدة القرض:
ن
8 = ص / ف (1 - ن).
1=1
هنا n1، n2، ... nN هي مدة فترات الاستحقاق بالسنوات ؛
d1، ... ^ - معدلات الخصم في هذه الفترات ؛
إذا كان استحقاق الفائدة ر مرة في السنة ، إذن
8 = P / (1 - G / t) ™
إذا أجرينا العمليات الحسابية 8 لأنواع مختلفة من أسعار الفائدة (قرض وخصم بسيط ومعقد) بنفس السعر وحجم أسعار الفائدة ، فسيتم الحصول على أكبر نمو لرأس المال في حالة استحقاق الفائدة بسعر خصم بسيط .
المهمة 5.17
المبلغ الأولي للديون 25 ألف روبل. حدد المبلغ المستحق بعد 3 سنوات عند استخدام طرق deccursive و anti-sipative لحساب الفائدة. معدل الفائدة السنوي 25٪.
المحلول:
= 25000 (1 + 0.25) 3 = 48828.125 روبل ؛
= 25000 (1 - 0.25) -3 = 59255.747 ص.
تقرر لنفسك
المهمة 5.18
حدد القيمة الحالية لمبلغ 120000 روبل ، والتي سيتم دفعها في غضون عامين باستخدام معدل خصم معقد قدره 20 ٪ سنويًا.
الجواب: 76800 رور
المهمة 5.19.
حدد المبالغ المستحقة لأنواع مختلفة من أسعار الفائدة في ظل نفس الشروط الأولية: P = 10000 روبل ، وسعر الفائدة = 10٪.
لخص نتائج الحساب في جدول وقارن معدلات النمو. نوع السعر وصيغة الحساب 8 المدة = 1 المدة = 3 المدة = 6 قرض بسيط: 8 = P (1 + t) 11000 13000 16000 قرض مركب: 8 = P (1 + 1s) p الاستحقاق المستمر ٪٪ 8 = P e] ع 11 044 محاسبة بسيطة: 8 = P / (1 - dn) محاسبة مركبة: 8 = P / (1 - d) p
على سبيل المثال ، يعرض السطر العلوي نتائج حساب المبالغ المستحقة بمعدل إقراض بسيط لشروط القرض التي تساوي سنة وثلاث وست سنوات. يجب ملء الأسطر الفارغة بنفسك.
في صيغة حساب الفائدة المستمرة ، e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي. بالنسبة إلى n = 1: 8 = 10،000 x 2.701 x 1 = 11،044.
معدلات الفائدة المعادلة أسعار الفائدة المعادلة هي تلك المعدلات ذات الأنواع المختلفة ، والتي يؤدي تطبيقها في ظل نفس الشروط الأولية إلى نفس النتائج المالية. تحتاج إلى معرفتها عندما تكون هناك إمكانية لاختيار شروط المعاملات المالية والأداة المطلوبة لمقارنة أسعار الفائدة المختلفة بشكل صحيح.
تستخدم معادلات التكافؤ لإيجاد معدلات فائدة معادلة. يتم تحديد قيمة يمكن حسابها باستخدام أنواع مختلفة من الأسعار (عادةً ما يكون هذا مبلغًا مستحقًا). بناءً على المساواة بين التعبيرين لقيمة معينة ، يتم وضع معادلة تكافؤ ، يتم من خلالها ، عن طريق التحولات المناسبة ، الحصول على نسبة تعبر عن العلاقة بين أسعار الفائدة بأنواعها المختلفة. على سبيل المثال ، للعثور على معدل خصم بسيط مكافئ لسعر قرض بسيط ، ستكون معادلة التكافؤ
P (1 + w) = P / (1 - ni) أو (1 + w) = 1 / (1 - ni) ، أي من الضروري معادلة عوامل البناء المقابلة. ومن ثم فإن د = 1 / (1 + ث) و 1 = د / (1 - ني).
الهدف 5.20
استحقاق التزام الدين ستة أشهر ، ومعدل الخصم البسيط 18٪. ما هو العائد على هذه الصفقة محسوباً بسعر الإقراض البسيط؟
المحلول:
1 = 0.18 / (1 - 0.5 × 0.18) = 0.198 = 19.8٪. للعثور على التكافؤ بين معدل الإقراض السنوي المركب ومعدل الإقراض السنوي المعقد المعقد ، فإننا نساوي التعبيرات: 8 = P (1 + 1c) n و 8 = P (1 + Ut) ™ ، أي (1 + dp = (1 + Ut) ™
ومن ثم 1c = (1 + Ym) m - 1.
يُطلق على معدل التركيب السنوي الناتج الذي يعادل معدل الفائدة الاسمي معدل المركب الفعال. تحتاج إلى معرفته لتحديد العائد الحقيقي أو مقارنة الفائدة عند استخدام فترات حساب مختلفة.
الهدف 5.21
احسب معدل الفائدة المركب الفعال إذا كان المعدل الاسمي 24٪ ويتم تحصيل الفائدة شهريًا.
المحلول:
1 ث = (1 + 0.24 / 12) 12-1 = 0.268 = 26.8٪.
الهدف 5.22
حدد معدل الفائدة الذي يكون من الأكثر ربحية أن تضع رأس المال في 10000 ألف روبل. لمدة 5 سنوات:
أ) بمعدل إقراض بسيط قدره 20٪ في السنة ؛
ب) بمعدل إقراض مركب قدره 12٪ سنويًا بفائدة ربع سنوية.
المحلول:
هنا ليس من الضروري حساب مبلغ المبلغ المستحق بمعدلات مختلفة. لذلك ، فإن حجم رأس المال الأولي ليس مهمًا. يكفي ، على سبيل المثال ، العثور على سعر فائدة بسيط مكافئ لسعر معقد معين ، أي استخدم الصيغة
1 = [(1 +] / م) tp - 1] / n = [(1 + 0.12 / 4) 20-1] / 5 = 0.1612 = 16.12٪.
نظرًا لأن معدل الفائدة البسيط البالغ 16.12٪ ، والذي سيعطي نفس النتيجة مثل معدل الفائدة المعقد المحدد (12٪) ، أقل بكثير من السعر المقترح في الخيار الأول (20٪) ، فمن الواضح أن خيار الاستثمار الأول (بمعدل بسيط قدره 20٪ سنويًا) أكثر ربحية بكثير ...
لنحسب الآن المبالغ المستحقة في كلتا الحالتين:
أ) 8 = 10000 (1 + 5 × 0.2) = 20000 ألف روبل ؛
ب) 8 = 10000 (1 + 0.12 / 4) 20 = 18061 ألف روبل.
تؤكد النتيجة التي تم الحصول عليها الاستنتاج السابق بأن الخيار الأول أكثر ربحية ، لأنه يعطي قدرًا كبيرًا من التراكم. في الوقت نفسه ، يؤدي استخدام معدلات مكافئة إلى خفض الحسابات إلى النصف.
تقرر لنفسك
الهدف 5.23
تم تسجيل الكمبيالة قبل ثلاثة أشهر من تاريخ الاستحقاق بمعدل خصم 20٪ في السنة. تحديد قيمة المعدل المكافئ للفائدة البسيطة ، والتي تحدد ربحية العملية المحاسبية.
الجواب: 21.1٪.
الهدف 5.24
معدل الفائدة البسيط هو 20٪ سنويًا. تحديد قيمة معدل الخصم المعادل عند إصدار قرض لمدة ستة أشهر.
الإجابة: 18٪.
الهدف 5.25
يتم تقديم القرض لمدة عامين بمعدل فائدة مركب قدره 16٪ سنويًا. تحديد قيمة معدل الخصم المعادل عند إصدار قرض لمدة ستة أشهر.
الجواب: 14.5٪.
الهدف 5.26
يتم تحميل شهادة الإيداع لمدة خمس سنوات بفائدة بسيطة على القرض بمعدل 15٪ سنويًا. حدد معدل الفائدة المركب المكافئ.
الجواب: 11.84٪.
الهدف 5.27
يحسب البنك الفائدة الشهرية على الودائع بمعدل سنوي اسمي يبلغ 12٪ سنويًا. تحديد ربحية الودائع بسعر فائدة سنوي مركب.
الجواب: 12.68٪.
الاستنتاجات التالية يمكن استخلاصها:
تكون قيمة المعدل الفعال أكبر من القيمة الاسمية ، وتتطابق عند م = 1.
دائمًا ما يكون معدل الخصم البسيط أقل من معدلاته الأخرى المكافئة (نظرًا لأن الزيادة في هذا المعدل ، مع تساوي جميع الأشياء الأخرى ، تكون دائمًا أسرع).
لا يعتمد معادلة أسعار الفائدة المختلفة على قيمة المبلغ الأولي P (يُفترض أن يكون المبلغ الأولي هو نفسه).
يعتمد معادلة أسعار الفائدة دائمًا على طول فترة استحقاق الفائدة ، باستثناء حالات التكافؤ بين أنواع مختلفة من أسعار الفائدة المركبة (إذا كانت فترة الاستحقاق هي نفسها).