Egyszerű és kamatos kamatnyereség. Problémamegoldási módszerek egyszerű és összetett százalékos növekedéshez. Jó tudni – dokumentum

NÁL NÉL Takarékpénztár Oroszország bizonyos típusú betétek esetében elfogadott következő rendszer pénz felhalmozása. A tartózkodás első évére letétbe helyezett összeg Ennek 40%-a jóváírásra kerül a számlán. Az év végén a betétes leveheti ezt a pénzt a számláról - "kamat", ahogy szokták nevezni.

Ha nem, akkor csatlakoznak kezdeti letét, és ezért a következő év végén 40%-ot számol fel a bank egy új, emelt összegért. Vagyis egy ilyen rendszernél új, emelt összeget számítanak fel a banknak. Más szavakkal, egy ilyen rendszerben „kamat kamatot” számítanak fel, vagy ahogy szokták nevezni, összetettérdeklődés.

Számítsuk ki, mennyi pénzt kap a betétes 3 év alatt, ha 1000 rubelt tesz egy határozott futamidejű bankszámlára. és soha nem vesz fel pénzt a számláról:

40% 1000 rubeltől. 0,4 * 1000 = 400 rubel, ezért egy év múlva a számlája

1000 + 400 = 1400 (rubel)

40% kedvezmény új összeget 1400 dörzsölje. 0,4 * 1400 = 560 rubel, ezért 2 év elteltével a számlája

1400 + 560 = 1960 (rubel)

Az új 1960 rubel összeg 40%-a. 0,4 * 1960 = 784 rubel, ezért 3 év elteltével a számlája

1960 + 784 = 2744 (rubel)

Nem nehéz elképzelni, mennyi egy ilyen közvetlen, elülső» A 10 év alatti járulék összegének kiszámítása időbe telik. Eközben a számítás sokkal könnyebben elvégezhető.

Pontosan egy évvel később kezdeti összeg 40%-kal fog növekedni, azaz a kezdeti 140%-a lesz, vagy más szóval 1,4-szeresére nő. Jövőre az új, már megemelt összeg is ugyanilyen 40%-kal emelkedik. Ezért 2 év elteltével a kezdeti összeg 1,4 * 1,4 = 1,4 2-szeresére nő.

Egy másik évben ez az összeg is 1,4-szeresére nő, így a kezdeti összeg 1,4 * 1,4 2 = 1,4 3-szorosára nő. Ezzel az érvelési módszerrel sokkal egyszerűbb megoldást kapunk a problémánkra:

1,4 3 * 1000 \u003d 2,744 * 1000 \u003d 2744 (rubel)

Most megoldjuk ezt a problémát Általános nézet. Hagyja, hogy a bank számoljon fel p%Évente a letétbe helyezett összeg S rubel, és a számlán lévő összeg név egyenlő S n rubel.

p% S-től pS / 100 rubel, és egy év múlva az S 1 \u003d (1 + p / 100) S összeg a számlán lesz

vagyis a kezdeti összeg 1 + p/100-szorosára nő.

Per következő év az S 1 összeg ugyanennyivel növekszik, és ezért két év múlva lesz a számlán az összeg

S 2 \u003d (1 + p / 100) S 1 \u003d (1 + p / 100) (1 + p / 100) S \u003d (1 + p / 100) 2 S.

S n \u003d (1 + p / 100) 3 S.

Ezt a képletet ún kamatos kamat növekedési képlete, vagy egyszerűen kamatos kamat képlete.

1. feladat. Mekkora összeg lesz a betétes sürgősségi számláján 4 év elteltével, ha a bank évente 10% -ot halmoz fel, és a betét összege 2000 rubel?

Cserélje be a képlet értékeit kamatláb p= 10, évek száma n= 4 és a kezdeti hozzájárulás értéke S = 2000, kapjuk:

(1 + 10/100) 4 * 2000 = 1,1 4 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (rubel).

Válasz: 4 év elteltével a számla összege 2928,2 rubel lesz.

Érdeklődési feladatok. Egyszerű és összetett százalékos növekedés.

A százalékos problémák megoldása gyakran okoz nehézségeket a tanulóknak. Ennek egyik oka az, hogy a gyakran használt matematikai tankönyvek általában szabványos százalékos feladatokat adnak meg. Szöveges problémák, beleértve a százalékokkal kapcsolatos problémákat is, itt találhatók USE tesztek matematikából a 9. és a 11. évfolyamon egyaránt. A cikk leírja az egyszerű és összetett százalékos növekedés problémáinak megoldásának módszertanát (az ún. banki feladatokat»). ez a munka a tanárok használhatják százalékos szöveges feladatok választható kurzusának kidolgozására, és hasznos lesz az oktatási intézmények diákjai számára is az önálló tanulás a végső tesztekre.

Ezt hasznos tudni.

Jó megérteni különböző formák azonos nagyságrendű változású kifejezések, százalékok nélkül és százalékok segítségével megfogalmazva.

Például az üzenetekben bér január óta 50%-kal megemelték az állami alkalmazottakat” és „január óta másfélszeresére emelték az állami alkalmazottak bérét” erre utal. Hasonlóképpen a 2-szeres növekedés 100%-os növekedést jelent, 3-szoros növekedés 200%-ra, kétszeres csökkenés 50%-os csökkentést jelent.

Nem szabad elfelejteni:

Az utolsó p képletből kifejezzük:

(1+ ;

A képlet választ ad a kérdésre: hány százalékkal A több mint B.

Ha B q%-kal kisebb, mint A, akkor

B=A-A;

Ha arra a kérdésre akarunk válaszolni: hány százalékkal kisebb B, mint A, akkor az utolsó képletből q-t kifejezve azt kapjuk, hogy

A figyelmes olvasó észrevette, hogy ha A p%-kal nagyobb, mint B, akkor nem azt jelenti hogy B p%-kal kisebb, mint A. Ellenőrizzük újra ezt az állítást a következő megoldással feladat: 25%-kal több fiú van az osztályban, mint lány. A lányok hány százaléka kevesebb ebben az osztályban, mint a fiúk?

Olvasás ez a feladat Azonnal válaszolhat: 25%-kal. De nem az.

Megoldás:

Legyen m a fiúk száma, d a lányok száma; (m, dN);

25%=

Feltétel szerint m=d+ m=

Ekkor d=d=(1-)m; d=m-m; =20%

Válasz: 20%-kal kevesebb lány van az osztályban.

Egyszerű százalékos növekedés.

Tekintsük a problémát. Legyen S a havi bérleti díj, a kötbér a bérleti díj p%-a minden egyes fizetési késedelem napjára, n a késedelmes napok száma. Mekkora összeget kell fizetnie a személynek n nap késés után?

Megoldás:

Jelöljük azt az összeget, amelyet egy személynek n nap késés után kell fizetnie Sn. n napos késedelem esetén a kötbér S vagy S (pn)%-a, és összesen S+S vagy, ami ugyanannyi, (1+ S) kell fizetni

S n =(1+ )S-t kapunk

Ezt a képletet minden más esetben megkapjuk, amikor egy bizonyos érték állandó százalékos számmal növekszik minden rögzített időtartamra. Ennek a képletnek van egy speciális neve: a képlet egyszerű százalékos növekedés.

Tekintsük a problémát. A bank havonta fizet a betéteseknek a betét összegének 2%-át. Az ügyfél 500 rubelt fizetett. Mennyi pénz lesz a számláján hat hónap múlva?

Megoldás: A probléma megoldásához cseréljük be a képletbe a kamatláb p=2, a hónapok száma n=6 és az induló betét S=500 értékét:

S 6 \u003d (1+ 500 \u003d 1,12500 \u003d 560 (dörzsölje)

Válasz: hat hónap múlva 560 rubel lesz.

Hasonló képletet kapunk, ha egy bizonyos érték fölé csökken adott időszak idō valamire bizonyos szám százalék. Ebben az esetben

Ezt a képletet egyszerű százalékos növekedési képletnek is nevezik. Bár az alapjel valójában csökken.

Összetett százalékos növekedés.

Az orosz bankokban bizonyos típusú betétekre (az úgynevezett lekötött betétekre, amelyeket nem lehet korábban, mint például egy éven belül felvenni) a következő pénzfelhalmozási rendszert alkalmazták. A számlán elhelyezett összeg első évére annak p%-a jár el. Az év végén a betétes leveheti ezt a pénzt - „kamatot” a számláról.

Ha ezt nem tette meg, akkor csatlakoznak az induló betéthez, és ezért a következő év végén p%-ot számít fel a bank új, emelt összegért. Azt is mondják, hogy ezek a százalékok nagybetűvel írják. Egy ilyen rendszerben „kamat kamatot” számítanak fel, vagy ahogyan ezeket általában nevezik, összetettérdeklődés.

Oldjuk meg a problémát általánosan. Hagyja, hogy a bank évente p%-ot halmozzon fel, a letétbe helyezett összeg S rubel, és az összeg, amely n év múlva a számlán lesz, Sn rubel.

S P%-a ( rubel és egy év múlva a számlán az összeg S 1 =S+ S=(1+

Két év elteltével a számlán meglesz az összeg

S 2 \u003d S 1 + S 1 \u003d (1+ )S 1 \u003d (1+ ) (1+ ) S \u003d (1+ ) 2 S

Hasonlóképpen , S 3 =(1+ ) 3 S és így tovább.

Más szóval, az egyenlőség

S n =(1+ ) n S

Ezt a képletet ún kamatos kamat növekedési képlete vagy csak a kamatos kamat képletét.

Oldjuk meg a problémát.

Mekkora összeg lesz lekötött betét betétes 4 év után, ha a bank évente 10% -ot halmoz fel, és a letétbe helyezett összeg 5000 rubel?

Megoldás:

Helyettesítsük be az S n =(1+ ) n S képletet Amikor az érték egy bizonyos számú százalékkal csökken, az előző értékétől számítva, a képletben, mint a egyszerű növekedés, megjelenik a mínusz jel.

Az Orosz Takarékpénztár a következő rendszert fogadta el bizonyos típusú betétekre történő felhalmozáshoz. A számlán elhelyezett összeg első évében annak 40%-a kerül felszámításra. Az év végén a betétes leveheti ezt a pénzt a számláról - "kamat", ahogy szokták nevezni.

Ha ezt nem tette meg, akkor csatlakoznak az induló betéthez, és ezért a következő év végén 40%-ot számít fel a bank az új, emelt összegért. Vagyis egy ilyen rendszernél új, emelt összeget számítanak fel a banknak. Más szavakkal, egy ilyen rendszerben „kamat kamatot” számítanak fel, vagy ahogy szokták nevezni, összetettérdeklődés.

Számítsuk ki, mennyi pénzt kap a betétes 3 év alatt, ha 1000 rubelt tesz egy határozott futamidejű bankszámlára. és soha nem vesz fel pénzt a számláról:

40% 1000 rubeltől. 0,4 * 1000 = 400 rubel, ezért egy év múlva a számlája

1000 + 400 = 1400 (rubel)

40% az új összeg 1400 rubel. 0,4 * 1400 = 560 rubel, ezért 2 év elteltével a számlája

1400 + 560 = 1960 (rubel)

Az új 1960 rubel összeg 40%-a. 0,4 * 1960 = 784 rubel, ezért 3 év elteltével a számlája

1960 + 784 = 2744 (rubel)

Nem nehéz elképzelni, mennyi egy ilyen közvetlen, elülső» A 10 év alatti járulék összegének kiszámítása időbe telik. Eközben a számítás sokkal könnyebben elvégezhető.

Egy év alatt az induló összeg 40%-kal nő, azaz a kezdeti összeg 140%-a, vagyis 1,4-szeresére nő. Jövőre az új, már megemelt összeg is ugyanilyen 40%-kal emelkedik. Ezért 2 év elteltével a kezdeti összeg 1,4 * 1,4 = 1,4 2-szeresére nő.

Egy másik évben ez az összeg is 1,4-szeresére nő, így a kezdeti összeg 1,4 * 1,4 2 = 1,4 3-szorosára nő. Ezzel az érvelési módszerrel sokkal egyszerűbb megoldást kapunk a problémánkra:

1,4 3 * 1000 \u003d 2,744 * 1000 \u003d 2744 (rubel)

Most oldjuk meg ezt a problémát általános formában. Hagyja, hogy a bank számoljon fel p%Évente a letétbe helyezett összeg S rubel, és a számlán lévő összeg név egyenlő S n rubel.

p% S-től pS / 100 rubel, és egy év múlva az S 1 \u003d (1 + p / 100) S összeg a számlán lesz

vagyis a kezdeti összeg 1 + p/100-szorosára nő.

A következő évben az S 1 összeg ugyanennyivel nő, így két év múlva már a számlán lesz az összeg

S 2 \u003d (1 + p / 100) S 1 \u003d (1 + p / 100) (1 + p / 100) S \u003d (1 + p / 100) 2 S.

S n \u003d (1 + p / 100) 3 S.

Ezt a képletet ún kamatos kamat növekedési képlete, vagy egyszerűen kamatos kamat képlete.

1. feladat. Mekkora összeg lesz a betétes sürgősségi számláján 4 év elteltével, ha a bank évente 10% -ot halmoz fel, és a betét összege 2000 rubel?

Helyettesítse be a kamatláb értékeket a képletbe p= 10, évek száma n= 4 és a kezdeti hozzájárulás értéke S = 2000, kapjuk:

(1 + 10/100) 4 * 2000 = 1,1 4 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (rubel).

Válasz: 4 év elteltével a számla összege 2928,2 rubel lesz.

Ha egy személy nem fizet időben egy lakást, akkor pénzbírságot szabnak ki rá, amelyet "büntetésnek" neveznek. Tehát Moszkvában a büntetés a bérleti díj 1%-a minden késedelem napjára. Ezért például 19 napos késés esetén az összeg a bérleti díj 19% -a lesz, és a helyén, mondjuk, 100 rubeltől. bérleti díj esetén egy személynek 0,19 * 100 \u003d 19 rubel büntetést kell fizetnie, és csak 119 rubelt.

Egyértelmű, hogy be különböző városokés at különböző emberek, eltérő a bérleti díj, a pani mérete és a késés ideje. Ezért van értelme, hogy általános képlet hanyag fizetőknek minden körülmények között alkalmazható bérleti díj.

Legyen S a havi bérleti díj, a büntetés az p A bérleti díj %-a minden késedelmes nap után, ill n- a késedelmes napok száma. Az az összeg, amelyet egy személynek fizetnie kell n napos késés, jelölje S n.

Aztán azért n napos késedelem esetén a büntetés mértéke pn% tól től S , vagy pnS/100, és összesen S+pnS/100-at kell fizetni. Így S n =(1+pn/100)S

1. feladat. Mennyit kell fizetni egy moszkvainak, ha a bérleti díja 100 rubel. és 5 napot késik?

Az érték behelyettesítése a képletben p= 1 és értékek n= 5 * 4, kapjuk:

(1 + 1 * 5/100) * 100 = 1,05 * 100 = 105 (rubel)

Válasz: 5 nap múlva - 105 rubel.

Így a létrehozott képlet lehetővé teszi a gyors számítást szükséges értékeket lakás kifizetések.

Tekintsünk még egy helyzetet. A bank havonta fizet a betéteseknek p a befizetett összeg %-a. Ezért, ha az ügyfél letétbe helyezte az S összeget, akkor keresztül n A számláján lévő hónapok száma (1+pn/100)S lesz, és ismét azt kapjuk, hogy S n =(1+pn/100)S

Kaptunk pontosan ugyanaz a képlet mint a bérleti díj példájában, bár ebben a két példában a betűk jelentése eltérő: az első példában n a napok száma, a második példában n a hónapok száma, az első példában S az összeg a bérleti díjból, a második S-ben pedig a banknak fizetett összeg. Ugyanezt a képletet kapjuk minden más esetben, amikor egy bizonyos érték állandó százalékos számmal növekszik minden rögzített időtartamra. Ez a képlet sokakat leír konkrét helyzetekés különleges neve van: képlet az egyszerű százalékos növekedéshez.

2. feladat.A bank havonta fizet a betéteseknek a betét összegének 2%-át. Az ügyfél 500 rubelt letétbe helyezett. Mennyi pénz lesz a számláján hat hónap múlva?

A probléma megoldásához elegendő a kamatláb értékét behelyettesíteni a képletbe p= 2, hónapok száma n= 6 és kezdeti hozzájárulás S = 500:

(1 + 2 * 6/100) * 500 = 1,12 * 500 = 560 (rubel)

Válasz: hat hónap múlva 560 rubel lesz a betéten.

Problémamegoldási módszerek egyszerű és összetett százalékos növekedéshez.

Ezt hasznos tudni.

Hasznos megérteni ugyanazon nagyságrendi változás különböző kifejezési formáit, százalékok nélkül, százalékok segítségével megfogalmazva.

Ugyanezt mondják például az „az állami alkalmazottak bérét január óta 50%-kal emelték”, illetve „az állami alkalmazottak bérét január óta másfélszeresére emelték” üzenetekben. Hasonlóképpen a 2-szeres növekedés 100%-os növekedést jelent, 3-szoros növekedés 200%-ra, kétszeres csökkenés 50%-os csökkentést jelent.

Nem szabad elfelejteni:

Az utolsó p képletből kifejezzük:

A képlet választ ad a kérdésre: hány százalékkal A több mint B.

Ha B q%-kal kisebb, mint A, akkor

B=A-A;

Ha arra a kérdésre akarunk válaszolni: hány százalékkal kisebb B, mint A, akkor az utolsó képletből q-t kifejezve azt kapjuk, hogy

A figyelmes olvasó észrevette, hogy ha A p%-kal nagyobb, mint B, akkor nem azt jelenti hogy B p%-kal kisebb, mint A. Ellenőrizzük újra ezt az állítást a következő megoldással feladat: 25%-kal több fiú van az osztályban, mint lány. A lányok hány százaléka kevesebb ebben az osztályban, mint a fiúk?

A probléma elolvasása után azonnal választ adhat: 25%-kal. De nem az.

Legyen m a fiúk száma, d a lányok száma; (m, dN);

Feltétel szerint m=d+ m=

Ekkor d=d=(1-)m; d=m-m; =20%

Válasz: 20%-kal kevesebb lány van az osztályban.

Egyszerű százalékos növekedés.

Tekintsük a problémát. Legyen S a havi bérleti díj, a kötbér a bérleti díj p%-a minden egyes fizetési késedelem napjára, n a késedelmes napok száma. Mekkora összeget kell fizetnie a személynek n nap késés után?

Jelöljük azt az összeget, amelyet egy személynek n nap késés után kell fizetnie Sn. n napos késedelem esetén a kötbér S vagy S (pn)%-a, és összesen S+ S vagy, ami ugyanannyi, (1+ S) kell fizetni

S n =(1+ )S-t kapunk

Ezt a képletet minden más esetben megkapjuk, amikor egy bizonyos érték állandó százalékos számmal növekszik minden rögzített időtartamra. Ennek a képletnek van egy speciális neve: a képlet egyszerű százalékos növekedés.

Tekintsük a problémát. A bank havonta fizet a betéteseknek a betét összegének 2%-át. Az ügyfél 500 rubelt fizetett. Mennyi pénz lesz a számláján hat hónap múlva?

Megoldás: A probléma megoldásához cseréljük be a képletbe a kamatláb p=2, a hónapok száma n=6 és az S=500 kezdeti betét értékét:

S 6 \u003d (1+ 500 \u003d 1,12500 \u003d 560 (dörzsölje)

Válasz: hat hónap múlva 560 rubel lesz.

Hasonló képletet kapunk, ha egy bizonyos érték egy adott időtartam alatt bizonyos százalékokkal csökken. Ebben az esetben

Ezt a képletet egyszerű százalékos növekedési képletnek is nevezik. Bár az alapjel valójában csökken.

Összetett százalékos növekedés.

Az orosz bankokban bizonyos típusú betétekre (az úgynevezett lekötött betétekre, amelyeket nem lehet korábban, mint például egy éven belül felvenni) a következő pénzfelhalmozási rendszert alkalmazták. A számlán elhelyezett összeg első évére annak p%-a jár el. Az év végén a betétes leveheti ezt a pénzt - „kamatot” a számláról.

Ha ezt nem tette meg, akkor csatlakoznak az induló betéthez, és ezért a következő év végén p%-ot számít fel a bank új, emelt összegért. Azt is mondják, hogy ezek a százalékok nagybetűvel írják. Egy ilyen rendszerben „kamat kamatot” számítanak fel, vagy ahogyan ezeket általában nevezik, összetettérdeklődés.

Oldjuk meg a problémát általánosan. Hagyja, hogy a bank évente p%-ot halmozzon fel, a letétbe helyezett összeg S rubel, és az összeg, amely n év múlva a számlán lesz, Sn rubel.

S P%-a ( rubel és egy év múlva a számlán az összeg S 1 =S+ S=(1+

Két év elteltével a számlán meglesz az összeg

S 2 \u003d S 1 + S 1 \u003d (1+ )S 1 \u003d (1+ ) (1+ ) S \u003d (1+ ) 2 S

Más szóval, az egyenlőség

Ezt a képletet ún kamatos kamat növekedési képlete vagy csak a kamatos kamat képletét.

Oldjuk meg a problémát.

Mekkora összeg lesz a betétes lekötött betétén 4 év elteltével, ha a banknál évi 10% halmozódik fel, és a betét összege 5000 rubel?

Helyettesítsük be az S n =(1+ ) n S képletet

A kamatláb értéke p=10, az évek száma n=4 és az induló betét értéke S=5000 rubel.

S 4 = (1+) 4 5000 \u003d 1,1 4 5000 = 1,46415000 \u003d 7320,5 (dörzsölje)

Válasz: 4 év múlva a számlán 7320,5 rubel lesz.

A fent kapott képlet természetesen nem csak a járulék növekedésével kapcsolatos problémákra alkalmazható, hanem minden olyan helyzetre is, amikor egy olyan értékről van szó, amely minden adott időszak alatt bizonyos százalékos növekedést mutat, számolva korábbi értékét. Ha egy érték egy bizonyos számú százalékkal csökken, az előző értékétől számítva, a képletben egy mínuszjel jelenik meg, mint az egyszerű növekedésnél.

Tekintsük a problémát.

A lakosság a város T. Két éve, 2%-kal nőtt évente. Ennek eredményeként a lakosok száma 11 312 fővel nőtt. Hány lakosa volt kezdetben T. városában?

Legyen x ember (xN) eredetileg. Ekkor a probléma feltétele szerint két év múlva a lakosok száma x(1+) 2 vagy (x+11312) fő volt. Kapjuk az egyenletet:

x(1+) 2 = x+11312

x1,02 2 = x + 11312

x(1,02 2 -1) = 11312

x(1,02-1)(1,02+1)=11312

Válasz: 280 000 lakos volt T. városában. Kezdetben.

Bibliográfia

Egerev V.K., Zaitsev V.V., Kordemsky B.A. Matematikai feladatgyűjtemény egyetemekre jelentkezők számára, szerkesztette: Skanavi M.I. M .: "ONIX 21. század", "Világ és oktatás", "Alliance-V", 2003.

2. G. G. Gilmieva, R. G. Hamitov. Érdeklődési feladatok. Könnyedén megoldjuk. Oktatási és módszertani kézikönyv, 2008 Ritz "Iskola". és összetett. Egyszerű enzimek - ez egyszerű ... módszertan elektroforézis a oszlop... szükséges tudni: 1) ... készítsen elő egy kisebbet százalék homogenizálni). által... nem megoldva feladat. Komoly... hasznos nál nél...