Standard definíció: "A vektor egy irányított szegmens." Általában ez csak a vektorok diplomásának ismeretére korlátozódik. Kinek szüksége van néhány "irányított szegmensre"?
És valójában, mi a vektorok és miért?
Időjárás előrejelzés. "A szél északnyugati, másodpercenként 18 méteres sebesség." Egyetértek, a szél irányainak iránya (ahol fúj), és a modul (vagyis az abszolút értéke) sebessége.
Azok az értékek, amelyeknek nincs iránya, skalárnak nevezik. Tömeg, munka, az elektromos töltés nem irányul bárhol. Ezeket csak egy numerikus érték jellemzi - "hány kilogramm" vagy "mennyi joule".
Fizikai mennyiségek, amelyek nemcsak abszolút értékDe az irányt vektornak hívják.
Sebesség, erő, gyorsulás - vektorok. Számukra fontos "mennyit" és fontos, hogy "hol". Például a szabad esés gyorsítása A Föld felszínére irányul, és értéke 9,8 m / s 2. Impulzus, elektromos térerősség, indukció mágneses mező - Vektor értékek is.
Emlékszel erre fizikai mennyiségek Lett betűkkel, latin vagy görög. A levél feletti arrogo azt mutatja, hogy az érték vektor:
Itt van egy másik példa.
Az autó a b-ből mozog. Végeredmény - A mozgása a B. pontig, azaz a vektorra költözött.
Most egyértelmű, hogy a vektor miért irányított szegmens. Megjegyzés, a vektor vége ott van a nyíl. Hossza vektor A szegmens hossza. Jelöli: vagy
Eddig skaláris értékekkel dolgoztunk az aritmetikai és elemi algebra szabályai szerint. Vektorok - új koncepció. Ez egy másik osztály a matematikai tárgyak. Nekik, saját szabályaik.
Miután nem tudtuk a számokról. Ismerkedés velük kezdődött a junior osztályokban. Kiderült, hogy a számok összehasonlíthatók egymással, hajtogatni, levonni, szaporodni és megosztani. Megtanultuk, hogy van egy első szám és a nulla szám.
Most már megismerkedünk a vektorokkal.
A vektorok "több" és "kevesebb" fogalma nem létezik - különböző irányok lehetnek. Csak a vektorok hosszait összehasonlíthatja.
De a vektorok egyenlőségének fogalma.
Egyenlő Az azonos hosszúságú és ugyanolyan irányú vektorok hívják. Ez azt jelenti, hogy a vektor párhuzamosan átadható magával bárhol a síkban.
Egyetlen Úgynevezett vektor, amelynek hossza 1. Zero - vektor, amelynek hossza nulla, azaz a kezdete egybeesik a végével.
A legmegfelelőbb a téglalap alakú koordinátarendszerben lévő vektorokkal való együttműködés - a funkciók grafikonjai. A koordinátarendszer minden egyes pontja két számnak felel meg - az X és Y koordinátái, az abszcissza és az ordináta.
A vektor két koordinátát is beállít:
Itt a zárójelben rögzítette a vektor koordinátáit - x és y-en.
Ezek egyszerűen: a vektor koordinátája mínusz koordinátája.
Ha a vektorkoordinátákat megadják, hossza a képlet szerint található
A vektorok hozzáadásához kétféleképpen van.
Egy. Szabály paralária. A vektorokat, és mindkettőt egy ponton elkezdjük. Ön befejeződik a paralelogramhoz, és ugyanabból a pontból elvégezzük a paralelogram átlóját. Ez lesz a vektorok összege és.
Emlékszel a kötőelemről a hattyúról, a rákról és a csukaról? Nagyon megpróbálták, de soha nem váltották ki, ki a helyszínről. Végtére is, az autóhoz csatlakoztatott erők vektorösszege nulla volt.
2. A vektorok hozzáadásának második módja háromszög szabály. Vegyük ugyanazokat a vektorokat és. Az első vektor végére a második elejét csatolom. Most csatlakozzon a második kezdetétől és végéig. Ez a vektorok összege és.
Ugyanígy több vektor is összecsukható. Hozzáadjuk őket egyenként, majd az első kezdetét az utóbbi végével kombináljuk.
Képzeld el, hogy az A. pontból a B. bekezdésig, a B C-ről D-ről, majd E-ben és f. Ezeknek a műveleteknek a végeredménye az f.
Vektorok hozzáadásakor és:
A vektort az ellenkező vektorra küldjük. A vektorok hossza egyenlő.
Most világos, hogy a vektorok kivonása. A vektorok különbsége a vektor és a vektor összege.
Ha a K számot szaporít, a vektort kapjuk, amelynek hossza eltér a hossztól. Vektorral van bevonva, ha a k nagyobb, és ellentétes, ha a k kisebb, mint nulla.
A vektorok nemcsak számban, hanem egymással is megszorozhatók.
A vektorok skaláris terméke a vektorok hosszainak terméke a sarok koszinusánál.
Megjegyzés - Két vektort mozgatott, és a skalár kiderült, azaz a szám. Például a fizika, a mechanikai munka megegyezik a két vektor - erők és mozgalmak skaláris termékével:
Ha a vektorok merőlegesek, a skaláris termékük nulla.
És itt van a skaláris termék a vektorok koordinátái révén, és:
A skaláris termék képletéből megtalálhatja a vektorok közötti szöget:
Ez a képlet különösen alkalmas a sztereometriában. Például a feladat 14 profil vizsga a matematika, meg kell találni a szöget határon egyenesen között vagy az egyenes és sík. Gyakran vektoros módszer A 14. feladat többször is megoldódik, mint a klasszikus.
A matematika iskolai programjában csak a vektorok skaláris termékét vizsgálják.
Kiderül, hogy kivéve a Skalar-t, van egy vektoros termék, amikor a vektor a szaporodási vektorok eredményeként. Ki ad Kémfizika , tudja, mi a Lorentz ereje és az AMPER hatalma. Az erők megtalálásának képlete vektoros művészetet tartalmaz.
Vektorok - hasznos matematikai eszköz. Ebben az első évben látni fogod.
Vektoros grafikus vektorok használata
a négyzet kiszámításához
néhány geometriai alakok
Kutatás matematika
Diák 10 B osztály
Mou Sosh №73.
Tisztek:
Assistant Cafe. Az SSU mechanikai és matematikai karának matematikai elemzése. N.G. Chernyhevsky Berdnikov Gleb Sergeevich
Saratov, 2015.
Bevezetés
1. Elméleti felülvizsgálat.
1.1. Vektorok és számítások vektorokkal.
1.2. A vektoros megoldásokkal kapcsolatos vektorok skaláris terméke
1.4. Vektoros művészet vektorok háromdimenziós euklideszi térben: meghatározása koncepció.
1.5. A vektor koordinátái Vektorok munkái.
2. Gyakorlati rész.
2.1. A vektoros művészet kommunikációja háromszög területen és párhuzamossággal. A képlet képletének és geometriai jelentésének nézeteltérése a vektoros művészeti vektor.
2.2. Csak a pontok koordinátáit ismeri, megtalálja a háromszög területet. Igazolás a tétel
2.3. Ellenőrizze a képlet helyességének példáit.
2.4. Gyakorlati használat Vektor algebra és vektorok alkotása.
Következtetés
Bevezetés
Amint ismeretes, sok geometriai feladatnak két kulcsfontosságú módja van a grafika és az analitikus megoldáshoz. Grafikus módszer A grafikonok és rajzok kialakításához kapcsolódik, és az analitika elsősorban az algebrai akciók segítségével megoldja a problémákat. BAN BEN utolsó eset A problémák megoldására szolgáló algoritmus az analitikai geometriával kapcsolatos. Az analitikai geometria a matematika területe, vagy inkább egy lineáris algebra, amely a geometriai problémák megoldását az algebrák segítségével a sík és az űrkoordináták módszere alapján végzi. Az analitikai geometria lehetővé teszi a geometriai képek elemzését, a vonalakat és a felületeket, amelyek fontosak a gyakorlati alkalmazásokhoz. Ugyanakkor ebben a tudományban a vektorok vektoros művészetét néha az alakzatok térbeli megértésének bővítésére használják.
Kapcsolatban széles terjesztés Háromdimenziós térfogati technológiák, a vektortermék segítségével egyes geometriai formák tulajdonságainak vizsgálata relevánsnak tűnik.
E tekintetben a célt jelezték ez a projekt - A vektorok vektoros termék használata néhány geometriai alakzat területének kiszámításához.
A cél elérése érdekében megoldották következő feladatok:
1. Elméletileg vizsgálja meg a vektor algebra szükséges alapjait, és adja meg a vektorok vektortermék meghatározását a koordinátarendszerben;
2. elemezze a vektoros termék kötődésének jelenlétét háromszögterületen és párhuzamossággal;
3. a háromszög területének képletét és a koordináták paralisztikáját;
4. Ellenőrizze különleges példák a származtatott képlet hűsége.
1. Elméleti felülvizsgálat.
Vektorok és számítások vektorokkal
Az irányított szegmens iránya, amelyre az elejét és a végét jelzi:
BAN BEN ez az eset A szegmens kezdete a pont DE, vágási pont BAN BEN. A vektort maga is jelzi 
vagy 
. A vektor koordinátáinak megtalálása , Ismerje meg a kezdeti pontok koordinátáit, és a B végpontt a végpont koordinátáiból szükséges a kiindulási pont megfelelő koordinátáinak kivonása érdekében:
= {
B.
x.
- A.
x.
; B.
y.
- A.
y.
}
A Collinines-t párhuzamosan vagy egy egyenes vonalon fekvő vektoroknak nevezik. Ebben az esetben a vektor szegmens, amelyet hossz és irány jellemez.
Az irányított szegmens hossza határozza meg numerikus érték Vektor és úgynevezett vektorhossz vagy vektor modul.
Vektor hossza || A téglalap alakú dekovaruláris koordináták egyenlő a négyzetgyökérnek a koordinátáinak négyzeteinek összegével.
Vektorokkal különböző lépéseket tehet.
Például, kiegészítés. Ahhoz, hogy hajtsa őket, először tartsa a második vektort az első végétől, majd csatlakoztassa az első kezdetét a második végével (1. ábra). A vektorok összege egy másik vektor új koordinátákkal.
Vektorok összege = {a. x. ; A. y. ) I. 
= {b. x. ; B. y. ) Megtalálhatja a használatát következő képlet:
+
\u003d (A.
x.
+ B.
x.
; A.
y.
+ B.
y.
}
Ábra. 1. Vektoros cselekvések
Összefedt vektorok, először el kell tölteni őket egy pontból, majd csatlakoztassa a második végét az első végéig.
Vektoros különbség = {a. x. ; A. y. ) I. 
= {b. x. ; B. y. }
a képlet alapján található:
-
= {
a.
x.
- B.
x.
; A.
y.
- B.
y.
}
A vektorokat is meg lehet szorozni a számmal. Az eredmény egy olyan vektor lesz, amely a K-t több (vagy kevesebb). Az iránya a K jeltől függ: pozitív K-vel, a vektorok együtt irányulnak, és negatív - az ellentétes irányú.
Munka vektor = {a. x. ; A. y. }
És a K szám a következő képlet segítségével található:
k · \u003d (K. · A.
x.
; K · A.
y.
}
Lehet-e szaporítani a vektort a vektoron? Természetesen még két lehetőség is!
Az első lehetőség egy skalár termék.
Ábra. 2. Skaláris termék koordinátákban
A vektorok termékének megtalálásához a 3. ábrán látható adatvektorok közötti szöget használhatja.
A képletből következik, hogy a skaláris termék megegyezik a vektorok e hosszainak termékével a szögben lévő szögben, az eredmény a szám. Fontos, hogy ha a vektorok merőlegesek, a skaláris termék nulla, mert Cosine közvetlen szög közöttük nulla..
A koordináta síkban a vektor is koordináta.BAN BEN az egész szám, koordinátáik és a skalár terméke az egyik leginkább kényelmes módszerek Az egyenes (vagy szegmensük közötti szög), ha a koordináta-rendszert megadja. És ha koordináták 
, a skaláris terméke egyenlő:
A háromdimenziós térben van 3 tengely, és ennek megfelelően, a pontok és vektorok egy ilyen rendszer lesz 3 koordinátákat, és a skalár szorzata vektorok alábbi képlettel számítottuk ki:
1.2. Vektoros művészet vektorok háromdimenziós térben.
A vektorok második kiviteli alakja vektoros termék. De hogy már nem egy sík, hanem a háromdimenziós tér, amelyben a vektor kezdete és vége 3 koordináta van.
A háromdimenziós térben lévő vektorok skaláris termékével ellentétben a "vektoros szorzás" művelet egy másik eredményhez vezet. Ha az előző esetben egy skaláris szaporodás két vektor, az eredmény szám volt, akkor a vektorok vektortartalma, az eredmény lesz egy másik vektor, amely merőleges mindkét vektorba, amely a munkába lépett. Ezért a vektorok ezt a terméket vektornak nevezik.
Nyilvánvaló, hogy egy ebből eredő vektort építenek 
merőleges a két, amely belépett a munkába - és lehet kiválasztani kettő ellentétes irányok. Ugyanakkor a kapott vektor iránya Szabály szerint jobb kézVagy a szabály a brouchiver. Ha felhívni a vektort úgy, hogy azok kezdődik egybeesnek, és forgassa az első vektor a legrövidebb utat a második méhben, és a négy ujj a jobb oldali megmutatta a forgásirányt (mintha lefedő forgó henger), akkor a hüvelykujj ujja megmutatja az irányt vektor-munkák (7. ábra).
Ábra. 7. Jobb kézi szabály
1.3. A vektoros grafika tulajdonságai.
Az eredményvektorok hosszát a képlet határozza meg
.
Azzal, hogy 
Vektoros művészet. Mint már említettük, a kapott vektor merőleges lesz 
És irányát a jobb keze határozza meg.
A vektor termék a tényezők sorrendjétől függ, az:
A nem nulla vektorok vektoros terméke 0, ha collinear, akkor a köztük lévő sarok sinus lesz 0.
A vektorok koordinátáit háromdimenziós térben fejezzük ki a következő módon:. Ezután az eredményvektorok koordinátáit a képlet találja
A kapott vektor hossza a következő képlet szerint történik:
.
2. Gyakorlati rész.
2.1. A vektoros művészet kommunikációja egy háromszög területen és egy párhuzamos egy síkban. A vektoros művészeti vektorok geometriai jelentése.
Adjuk meg az ABC háromszöget (8. ábra). Ismert tény .
a vektorok vektoros termékének hossza megegyezik a vektorok oldalán lévő háromszög megduplázódott területével, és ha egy pontról elhalasztják őket.
Más szóval, a vektorok vektortermének hossza, és egyenlő a párhuzamosság területével, Vektorokba építettekés Az oldalakkal és a szög között, egyenlő.
Ábra. 9. A vektoros művészeti vektorok geometriai jelentése
Ebben a tekintetben a vektoros vektorok egy másik definícióját vezethet :
Vektoros termék vektor A vektort vektornak hívják 
, amelynek hossza numerikusan megegyezik a vektorokban beépített paralelogram területével és merőleges a vektorok síkjára és irányítva, hogy a legkisebb forgás A vektor körül Az óramutató járásával ellentétes irányba került, ha a vektor végétől nézve (10. ábra).
Ábra. 10. A vektoros vektorok meghatározása
parallelogramm segítségével
2.2. A koordinátákban lévő háromszög területének megtalálásának képletének kimenete.
Tehát az ABC háromszöget kapunk a csúcsok síkjában és koordinátáiban. Megtaláljuk a háromszög területét (11. ábra).
Ábra. 11. Példa arra, hogy megoldja a problémát, hogy megtalálja a háromszög területét a csúcsok koordinátáival
Döntés.
Kezdjük, figyelembe vesszük a csúcsok koordinátáit az űrben, és kiszámítjuk az AV és az AU vektorok koordinátáit.
Ehhez a képlet előtt kiszámítjuk vektoros művészetének koordinátáit. A vektor hossza az ABC háromszög 2 négyzete. A háromszög területe 10.
Ráadásul, ha megnézzük a gépen lévő háromszöget, akkor a vektoros termék első 2 koordinátája mindig nulla lesz, ezért a következő tételeket megfogalmazhatjuk.
Tétel: Legyen az ABC háromszög és a csúcsok koordinátái (12. ábra).
Azután.
Ábra. 12. A tétel igazolása
Bizonyíték.
Fontolja meg az űrben lévő pontokat, és kiszámolja a nap és a ba vektorok koordinátáit. . Az alábbi képlet szerint kiszámítjuk a vektorok vektoros termékének koordinátáit. Értesítsük, hogy az összes tag tartalmúz.1 vagy z.2, 0-nak, mert z.Első z.2 \u003d 0. eltávolítás !!!
És ezért, ezáltal,
2.3. A képlet helyességének ellenőrzése a példákon
Keresse meg a vektorok által kialakított háromszög területét A \u003d (-1; 2; -2) és B \u003d (2; 1; -1).
Döntés: A vektorok vektoros termékét találjuk:
a. × b \u003d
I (2 · (1) - (-2) · 1) - J ((- 1) · (-1) - (-2) · 2) + K ((- 1) · 1 - 2 · 2) \u003d.
I (-2 + 2) - J (1 + 4) + K (-1 - 4) \u003d -5 J - 5 k \u003d (0; -5; -5)
A vektoros munka tulajdonságaiból:
SΔ \u003d
| A × B | \u003d.
√ 02 + 52 + 52 =
√ 25 + 25 =
√ 50 =
5√ 2
Válasz: Sδ \u003d 2,5√2.
2.4. Alkalmazások vektor algebra
és skalár és vektoros grafika.
Hol van szüksége vektorokra? Vektoros tér és vektorok viseljen nemcsak elméleti jellegű, hanem nagyon valóságos gyakorlati használat ban ben modern világ.
Mechanika és fizika, sok érték nemcsak numerikus érték, hanem az irány is. Az ilyen értékeket vektornak nevezik. Együtt a használata elemi mechanikai fogalmak, támaszkodva a fizikai jelentése, sok értéket tekintjük csúszó vektorok, és azok tulajdonságait írják le axiómák, mint elfogadni az elméleti mechanika és a segítségével matematikai tulajdonságai vektorok. A legtöbb fényes példák A vektor mennyisége sebesség, impulzus és teljesítmény (12. ábra). Például az impulzus pillanata és a Lorentz hatalom matematikailag rögzített vektorokkal.
A fizikában nem csak a vektor maguk is fontos, hanem olyan műveik, amelyek segítenek az értékek számításában, szintén fontosak. Vektor a termék hasznos meghatározására kollinearitása vektorok A vektor terméket modulja két vektor egyenlő a termék a saját modulok, ha azok merőlegesek, és a nullára csökken, ha a vektorok vannak bevonva, vagy ellentétes irányú.
Egy másik példa: A skaláris terméket az alábbi képletű munka kiszámításához használják, ahol f az áramvektor, és S a mozgás vektora.
Egy példa a grafikát vektorok az a pillanat erő egyenlő a termék a sugár-vektor költött a forgástengely, hogy a pont a az erő alkalmazása, a vektor ezen erő.
A fizikában kiszámított nagy részét a jobb oldali szabály szerint vektoros termék. Keressen megerősítéseket a példákhoz.
Érdemes megjegyezni, hogy kétdimenziós és háromdimenziós tér nem kimerült lehetséges lehetőségek Vektoros terek. A magasabb matematika nagyobb méretű tereket veszi figyelembe, amely szintén meghatározza a formulák analógjait skaláris és vektoros művészethez. Annak ellenére, hogy a 3-nál nagyobb méretű terek, az emberi tudat képtelen képtelen képzelni, ők csodálatos módon Keresse meg az alkalmazásokat a tudomány és az ipar sok területén.
Ugyanakkor, az eredmény egy vektor termék vektorok egy három-dimenziós euklideszi tér nem szám, hanem egy kapott vektor koordinátái, irányát és hosszát.
A kapott vektor irányát a jobb oldali szabály határozza meg, amely az analitikai geometria egyik legcsodálatosabb rendelkezése.
Vektor grafikát vektorok is használhatók találni egy háromszög terület vagy egy paralelogramma szerint a megadott vertex koordinátákat, amely megerősítette a eltávolítása a általános képletű, a igazolást a tétel, és az oldatot gyakorlati feladatok.
A vektorok széles körben használják a fizika, ahol az ilyen mutatók, mint a sebesség, impulzus és energia is képviselteti magát vektor mennyiségét és kiszámítjuk geometriailag.
A használt források listája
AtanaSyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. és mások. Geometria. 7-9 osztály: Általános oktatási szervezetek bemutatója. M.:, 2013. 383 p.
AtanaSyan L.S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. és mások. Geometria. 10-11 osztályok: Általános oktatási szervezetek bemutatója: Alapvető és profilszint. M.:, 2013. 255 p.
Bugrov Ya.s., Nikolsky S.. Magasabb matematika. VOLUME ONE: A lineáris algebra és analitikai geometria elemei.
TENIC D.V. A feladatok gyűjtése az analitikai geometria szerint. M.: Tudomány, Fizmatlit, 1998.
Analitikus geometria.
Matematika. Lóhere.
Tanulási matematika online.
http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/
Webhely V. Koknev.
http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm.
Wikipedia.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%c2%EE5Ea%F2%EE%F0%EEEEEE%EE5_%EF0%EEEE%EE8%EEHE2%EEE5E5E4%EE5%%ED % E8% E5
Ha például 45 ezer lakosú városban 450 ember alkot egy P. populációt. Tegyük fel, hogy egyes vállalkozás 20 ezer rubelt töltött. és nettó jövedelem 3 ezer rubelt kaptunk. Ebben az esetben a jövedelem 15/100 rész ... ... ... Enciklopédikus szótár f.a. Brockhaus és i.a. Efron
ÉN. feleségek. Földterületen. század II. . Nagyon kicsi, kisebb, kis rész, valami részesedése. III. . Rész, a részvénytől kapott megosztástól százra osztva egyenlő részek; Száz. Magyarázó szótár Efremova. T. F. Efremova. 2000 ... Modern szótár Orosz nyelv Efremova
ÉN. feleségek. Földterületen. század II. . Nagyon kicsi, kisebb, kis rész, valami részesedése. III. . Rész, a száz egyenlő részre osztott arányból származó arány; Száz. Magyarázó szótár Efremova. T. F. Efremova. 2000 ... Az orosz nyelv modern magyarázatos szótárja
Az ilyen egységek százalékának százalék része a különbség mérésére szolgál kamatlábak. Például, ha a kamatláb 10,4% -ról 10,8% -ra emelkedett, akkor 40 alappontra változott ... A közgazdaságtan és a törvény enciklopédikus szótár
Pont, alapvető - a százalék század része; A jövedelemváltozások kamatlábainak különbségének jellemzésére használt mutató értékpapír stb. Például, ha kincstárjegy 7,17% -os jövedelmet hoz, és az ár változik, hogy most hozza ... ... ... Nagy Gazdasági Szótár
alaplap - a százalékos víkendház. Ilyen egységekben szokásos jellemző, mérje meg a különbséget a kamatlábakon. Például, ha a kamatláb 6,2% -ról 6,5% -ra emelkedett, akkor 20 bázispontra változott ... Gazdasági feltételek szótárai
Százalék - Sota része valami, jelöli% ... Népszerű politikai szótár
Az intézkedési egységek listája monetáris összegekegyenlő meghatározott részvény Alapvető monetáris egység (Pénznemek). Általános szabályok, ezek az érmék, kevésbé gyakori bankjegyek, vagy nincsenek fizikai forma balesetegységekamelyeket kis számításokhoz használnak, és hívják ... ... Wikipedia
- (Lat.). Ábra, jelentése nyereség vagy díj százakkal. A kémia: számokban kifejezve alkatrészek Anyagok. A statisztikákban: a lakosság hozzáállása stb. Szótár, amely az orosz nyelv részét képezi. Chudinov a ... Az orosz nyelv külföldi szavainak szótárja
