Jednostavan i složen procenat povećanja. Metodologija rješavanja zadataka za jednostavan i složen procentni rast. Dobro je znati - dokument

V Štedionica Rusija za neke vrste depozita prihvaćena sledeći sistem obračunavanje novca. Za prvu godinu od pronalaska deponovani iznos 40% od toga je uplaćeno na račun. Na kraju godine deponent može podići ovaj novac sa računa - "kamate", kako se obično zovu.

Ako nije, onda se pridružuju početni doprinos, te stoga krajem naredne godine banka naplaćuje 40% na novi, uvećani iznos. Drugim riječima, kod ovakvog sistema banka se tereti za novi, uvećani iznos. Drugim riječima, po takvom sistemu se obračunava "kamata na kamatu", ili, kako se obično naziva, kompleks interes.

Izračunajmo koliko će novca deponent dobiti za 3 godine ako položi 1000 rubalja na hitni račun u banci. i nikada neće uzeti novac sa računa:

40% od 1000 rubalja. su 0,4 * 1000 = 400 rubalja, i stoga će za godinu dana na njegovom računu biti

1000 + 400 = 1400 (rub.)

40% popusta novi iznos 1400 RUB su 0,4 * 1400 = 560 rubalja, i stoga, nakon 2 godine, njegov račun će biti

1400 + 560 = 1960 (rub.)

40% od novog iznosa 1960 rubalja. su 0,4 * 1960 = 784 rubalja, i stoga će za 3 godine na njegovom računu biti

1960 + 784 = 2744 (rub.)

Nije teško zamisliti koliko sa takvim direktnim, " frontalni»Izračunavanje bi trebalo vremena da se pronađe iznos depozita za 10 godina. U međuvremenu, brojanje se može obaviti mnogo lakše.

Tačno godinu dana kasnije početni iznosće porasti za 40%, odnosno biće 140% od početne, odnosno povećaće se za 1,4 puta. Iduće godine će se i novi, već uvećani iznos povećati za istih 40%. Stoga će se nakon 2 godine početni iznos povećati za 1,4 * 1,4 = 1,4 2 puta.

U narednoj godini ovaj iznos će se povećati za 1,4 puta, tako da će se početni iznos povećati za 1,4 * 1,4 2 = 1,4 3 puta. Ovom metodom zaključivanja dobijamo mnogo jednostavnije rješenje našeg problema:

1,4 3 * 1000 = 2,744 * 1000 = 2744 (rub.)

Hajde da sada rešimo ovaj problem u opšti pogled... Neka banka naplati p% godišnje, deponovani iznos je jednak S rubalja, a iznos koji će biti na računu do kraja n godine, jednak je S n rubalja.

p% od S su pS / 100 rubalja, a za godinu dana račun će imati sumu S 1 = (1 + p / 100) S

odnosno početni iznos će se povećati za 1 + p / 100 puta.

Per sljedeće godine iznos S 1 će se povećati za isti iznos, pa će prema tome za dvije godine račun imati taj iznos

S 2 = (1 + p / 100) S 1 = (1 + p / 100) (1 + p / 100) S = (1 + p / 100) 2 S.

S n = (1 + p / 100) 3 S.

Ova formula se zove formula rasta složenih kamata, ili jednostavno formula složene kamate.

Cilj 1. Koliki će iznos biti na oročenom računu deponenta za 4 godine ako banka naplaćuje 10% godišnje, a deponovani iznos iznosi 2.000 rubalja?

Zamijenite u formulu vrijednosti kamatna stopa p = 10, broj godina n = 4 i vrijednost početnog doprinosa S = 2000, dobijamo:

(1 + 10/100) 4 * 2000 = 1,1 4 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (rubalji).

Odgovor: za 4 godine račun će imati iznos od 2928,2 rublja.

Problemi sa kamatama. Jednostavna i složena procentualni rast.

Učenicima je često teško riješiti probleme s procentima. Jedan od razloga je taj što uobičajeno korišćeni udžbenici matematike obično daju standardne probleme u procentima. Riječni problemi, uključujući probleme s interesom, nalaze se u ispitni testovi iz matematike, u 9. i 11. razredu. U članku je opisana metodologija rješavanja problema jednostavnog i složenog procentnog rasta (tzv. bankarski zadaci»). ovo djelo može se koristiti od strane nastavnika za izradu izbornog predmeta o problemima sa procentima, a biće od koristi i učenicima opšteobrazovnih ustanova za samopriprema do završnih testova.

Ovo je korisno znati.

Korisno za razumijevanje različitih oblika izrazi iste promjene vrijednosti, formulisani bez kamate i uz pomoć kamate.

Na primjer, u porukama “ nadnica namještenici su od januara povećani za 50%, a od januara plate državnih službenika su povećane 1,5 puta, kažu isto. Na isti način, povećati za 2 puta znači povećati za 100%, povećati za 3 puta znači za 200%, smanjiti za 2 puta znači smanjiti za 50%.

Zapamtite:

Izrazimo p iz zadnje formule:

(1+ ;

Formula odgovara na pitanje: u kom procentu I više od V.

Ako je B manji od A za q%, onda

B = A - A;

Ako želite odgovoriti na pitanje: koliko posto B je manje od A, onda iz posljednje formule, izražavajući q, dobijamo

Pažljivi čitalac je primijetio da ako je A veće od B za p%, onda to ne znači da je B manji od A za p%. Potvrdimo još jednom ovu tvrdnju rješavanjem sljedećeg zadatak: U razredu ima 25% više dječaka nego djevojčica. Koliko je posto djevojčica u ovom razredu manje od dječaka?

Čitanje ovaj zadatak možete odmah odgovoriti: za 25%. Ali to nije slučaj.

Rješenje:

Neka je m - broj dječaka, d - broj djevojčica; (m, d N);

25%=

Po uvjetu m = d + m =

Tada je d = d = (1-) m; d = m-m; = 20%

odgovor: ima 20% manje djevojčica u razredu.

Jednostavan procentualni rast.

Hajde da razmotrimo problem. Neka je S mjesečna zakupnina, kazna je p% zakupnine za svaki dan kašnjenja plaćanja, n je broj dana kašnjenja. Koliko osoba treba da plati nakon n dana kašnjenja?

Rješenje:

Označimo iznos koji osoba mora platiti nakon n dana kašnjenja sa Sn. Za n dana kašnjenja, kazna će biti (pn)% od S ili S, a ukupno morate platiti S + S ili, što je isto, (1+ S

Dobijamo S n = (1+) S

Ova formula će se dobiti u svim ostalim slučajevima, kada se određena vrijednost povećava za konstantan broj postotaka za svaki fiksni vremenski period. Ova formula ima poseban naziv: formula jednostavan procentualni rast.

Hajde da razmotrimo problem. Banka deponentima isplaćuje svakog mjeseca 2% od iznosa depozita. Klijent je dao 500 rubalja. Koliki će iznos biti na njegovom računu za šest mjeseci?

Rješenje: Da bismo riješili problem, zamjenjujemo kamatnu stopu p = 2, broj mjeseci n = 6 i početni doprinos S = 500 u formulu:

S 6 = (1+ 500 = 1,12500 = 560 (rub.)

odgovor: za šest mjeseci to će biti 560 rubalja.

Slična formula će se dobiti ako se određena vrijednost smanji u ovog perioda vrijeme za određeni broj posto. U ovom slučaju

Ova formula se naziva i jednostavna formula procentualnog rasta. Iako se data vrijednost zapravo smanjuje.

Rast složenih kamata.

U bankama Rusije za neke vrste depozita (tzv. oročene depozite, koji se ne mogu uzeti ranije od, na primjer, godinu dana kasnije), usvojen je sljedeći sistem obračuna novca. Za prvu godinu od pronalaženja deponovanog iznosa na računu naplaćuje se p% istog. Na kraju godine, deponent može podići ovaj novac od „kamate“ sa računa.

Ako to nije učinio, onda se dodaju na početni depozit, pa se na kraju sljedeće godine banka obračunava p% za novi, uvećani iznos. Istovremeno, kažu i da su ti procenti napisano velikim slovom. U takvom sistemu se obračunava "kamata na kamatu", ili, kako se obično naziva, kompleks interes.

Da riješimo problem općenito. Neka banka izračuna p% godišnje, deponovani iznos je S rubalja, a iznos koji će biti na računu za n godina jednak je Sn rubalja.

P% od S je (rublja i za godinu dana račun će imati zbir S 1 = S + S = (1+

Za dvije godine na računu će biti iznos

S 2 = S 1 + S 1 = (1+) S 1 = (1+) (1+) S = (1+) 2 S

Isto tako , S 3 = (1+) 3 S i tako dalje.

Drugim riječima, jednakost

S n = (1+) n S

Ova formula se zove formula rasta složenih kamata ili jednostavno formula složene kamate.

Hajde da rešimo problem.

Koji iznos će biti na hitan depozit deponent za 4 godine, ako banka naplaćuje 10% godišnje i deponovani iznos je 5.000 rubalja?

Rješenje:

Zamijenite formulu S n = (1+) n S Kada se vrijednost smanji za određeni broj postotaka, računajući od prethodne vrijednosti, u formuli, kao za jednostavan rast, pojavljuje se znak minus.

Štedionica Rusije usvojila je sljedeći sistem obračuna novca za neke vrste depozita. Za prvu godinu deponovanog iznosa na računu naplaćuje se 40% iznosa. Na kraju godine deponent može podići ovaj novac sa računa - "kamate", kako se obično zovu.

Ako to nije uradio, onda se pridružuju inicijalnom depozitu, pa na kraju naredne godine banka naplaćuje 40% na novi, uvećani iznos. Drugim riječima, kod ovakvog sistema banka se tereti za novi, uvećani iznos. Drugim riječima, po takvom sistemu se obračunava "kamata na kamatu", ili, kako se obično naziva, kompleks interes.

Izračunajmo koliko će novca deponent dobiti za 3 godine ako položi 1000 rubalja na hitni račun u banci. i nikada neće uzeti novac sa računa:

40% od 1000 rubalja. su 0,4 * 1000 = 400 rubalja, i stoga će za godinu dana na njegovom računu biti

1000 + 400 = 1400 (rub.)

40% od novog iznosa 1400 rubalja. su 0,4 * 1400 = 560 rubalja, i stoga, nakon 2 godine, njegov račun će biti

1400 + 560 = 1960 (rub.)

40% od novog iznosa 1960 rubalja. su 0,4 * 1960 = 784 rubalja, i stoga će za 3 godine na njegovom računu biti

1960 + 784 = 2744 (rub.)

Nije teško zamisliti koliko sa takvim direktnim, " frontalni»Izračunavanje bi trebalo vremena da se pronađe iznos depozita za 10 godina. U međuvremenu, brojanje se može obaviti mnogo lakše.

Tačno za godinu dana početni iznos će porasti za 40%, odnosno biće 140% od početnog, odnosno povećaće se za 1,4 puta. Iduće godine će se i novi, već uvećani iznos povećati za istih 40%. Stoga će se nakon 2 godine početni iznos povećati za 1,4 * 1,4 = 1,4 2 puta.

U narednoj godini ovaj iznos će se povećati za 1,4 puta, tako da će se početni iznos povećati za 1,4 * 1,4 2 = 1,4 3 puta. Ovom metodom zaključivanja dobijamo mnogo jednostavnije rješenje našeg problema:

1,4 3 * 1000 = 2,744 * 1000 = 2744 (rub.)

Hajde da rešimo ovaj problem uopšteno. Neka banka naplati p% godišnje, deponovani iznos je jednak S rubalja, a iznos koji će biti na računu do kraja n godine, jednak je S n rubalja.

p% od S su pS / 100 rubalja, a za godinu dana račun će imati sumu S 1 = (1 + p / 100) S

odnosno početni iznos će se povećati za 1 + p / 100 puta.

U narednoj godini iznos S 1 će se povećati za isto toliko puta, pa će za dvije godine račun imati iznos

S 2 = (1 + p / 100) S 1 = (1 + p / 100) (1 + p / 100) S = (1 + p / 100) 2 S.

S n = (1 + p / 100) 3 S.

Ova formula se zove formula rasta složenih kamata, ili jednostavno formula složene kamate.

Cilj 1. Koliki će iznos biti na oročenom računu deponenta za 4 godine ako banka naplaćuje 10% godišnje, a deponovani iznos iznosi 2.000 rubalja?

Zamijenite vrijednost kamatne stope u formulu p = 10, broj godina n = 4 i vrijednost početnog doprinosa S = 2000, dobijamo:

(1 + 10/100) 4 * 2000 = 1,1 4 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (rubalji).

Odgovor: za 4 godine račun će imati iznos od 2928,2 rublja.

Ako osoba ne plati blagovremeno zakupninu za stan, onda mu se izriče novčana kazna, koja se zove "kazna". Dakle, u Moskvi je kazna 1% od kirije za svaki dan kašnjenja. Stoga, na primjer, za 19 dana kašnjenja iznos će iznositi 19% zakupnine, a na mjestu, recimo, od 100 rubalja. osoba će morati platiti kaznu od 0,19 * 100 = 19 rubalja, a samo 119 rubalja.

Jasno je da u različitim gradovima i na različiti ljudi, kirija, visina penzije i vrijeme kašnjenja su različiti. Tako da ima smisla pomiriti se opšta formula kirije za neuredne platiše, primjenjive u svim okolnostima.

Neka je S mjesečna tromjesečna uplata, kazna je str% zakupnine za svaki dan kašnjenja, i n- broj dana kašnjenja. Iznos koji osoba mora platiti nakon n dana kašnjenja, označite S n.

Onda za n dana kašnjenja, kazna će biti pn% od S, ili pnS / 100, a ukupno morate platiti S + pnS / 100. Dakle, S n = (1 + pn / 100) S

Cilj 1. Koliko bi Moskovljanin trebao platiti ako je njegova kirija 100 rubalja? i kasni 5 dana?

Zamjena vrijednosti u formulu str= 1 i vrijednosti n= 5 * 4, dobijamo:

(1 + 1 * 5/100) * 100 = 1,05 * 100 = 105 (rub.)

Odgovor: nakon 5 dana - 105 rubalja.

Dakle, uspostavljena formula vam omogućava brzo izračunavanje tražene vrijednosti uplate za stan.

Razmotrimo još jednu situaciju. Banka isplaćuje depozite svaki mjesec str% deponovanog iznosa. Dakle, ako je klijent deponovao iznos S, onda kroz n mjeseci na njegovom računu će biti (1 + pn / 100) S, i opet dobijamo da je S n = (1 + pn / 100) S

Imamo potpuno ista formula, kao u primjeru sa stanarinom, iako slova u ova dva primjera imaju različita značenja: u prvom primjeru n je broj dana, a u drugom primjeru n je broj mjeseci, u prvom primjeru S je iznos zakupnine, au drugom S je iznos plaćen banci. Ista formula će se dobiti u svim ostalim slučajevima, kada se određena vrijednost povećava za konstantan broj postotaka za svaki fiksni vremenski period. Ova formula opisuje mnoge specifične situacije i ima poseban naziv: formula za jednostavan procentualni rast.

Cilj 2.Banka deponentima isplaćuje svakog mjeseca 2% od iznosa depozita. Klijent je položio depozit od 500 rubalja. Koliki će iznos biti na njegovom računu za šest mjeseci?

Da biste riješili problem, dovoljno je zamijeniti kamatnu stopu u formulu str= 2, broj mjeseci n = 6 i početni doprinos S = 500:

(1 + 2 * 6/100) * 500 = 1,12 * 500 = 560 (rub.)

Odgovor: za šest mjeseci depozit će biti 560 rubalja.

Metodologija rješavanja zadataka za jednostavan i složen procentni rast.

Ovo je korisno znati.

Korisno je razumjeti različite oblike izražavanja iste promjene količine, formulirane bez kamate i uz pomoć postotaka.

Na primer, u porukama „od januara plate državnih službenika povećane su za 50 odsto“, a „od januara plate državnih službenika povećane su 1,5 puta“, stoji isto. Na isti način, povećati za 2 puta znači povećati za 100%, povećati za 3 puta znači za 200%, smanjiti za 2 puta znači smanjiti za 50%.

Zapamtite:

Izrazimo p iz zadnje formule:

Formula odgovara na pitanje: u kom procentu I više od V.

Ako je B manji od A za q%, onda

B = A - A;

Ako želite odgovoriti na pitanje: koliko posto B je manje od A, onda iz posljednje formule, izražavajući q, dobijamo

Pažljivi čitalac je primijetio da ako je A veće od B za p%, onda to ne znači da je B manji od A za p%. Potvrdimo još jednom ovu tvrdnju rješavanjem sljedećeg zadatak: U razredu ima 25% više dječaka nego djevojčica. Koliko je posto djevojčica u ovom razredu manje od dječaka?

Čitajući ovaj problem, odmah možete dati odgovor: za 25%. Ali to nije slučaj.

Neka je m - broj dječaka, d - broj djevojčica; (m, d N);

Po uvjetu m = d + m =

Tada je d = d = (1-) m; d = m-m; = 20%

Odgovor: ima 20% manje djevojčica u razredu.

Jednostavan procentualni rast.

Hajde da razmotrimo problem. Neka je S mjesečna zakupnina, kazna je p% zakupnine za svaki dan kašnjenja plaćanja, n je broj dana kašnjenja. Koliko osoba treba da plati nakon n dana kašnjenja?

Označimo iznos koji osoba mora platiti nakon n dana kašnjenja sa Sn. Za n dana kašnjenja, kazna će biti (pn)% od S ili S, a ukupno morate platiti S + S ili, što je isto, (1+ S

Dobijamo S n = (1+) S

Ova formula će se dobiti u svim ostalim slučajevima, kada se određena vrijednost povećava za konstantan broj postotaka za svaki fiksni vremenski period. Ova formula ima poseban naziv: formula jednostavan procentualni rast.

Hajde da razmotrimo problem. Banka deponentima isplaćuje svakog mjeseca 2% od iznosa depozita. Klijent je dao 500 rubalja. Koliki će iznos biti na njegovom računu za šest mjeseci?

Rješenje: Da bismo riješili problem, zamjenjujemo kamatnu stopu p = 2, broj mjeseci n = 6 i početni doprinos S = 500 u formulu:

S 6 = (1+ 500 = 1,12500 = 560 (rub.)

Odgovor: za šest mjeseci to će biti 560 rubalja.

Slična formula će se pokazati ako se određena vrijednost smanji u određenom vremenskom periodu za određeni broj postotaka. U ovom slučaju

Ova formula se naziva i jednostavna formula procentualnog rasta. Iako se data vrijednost zapravo smanjuje.

Rast složenih kamata.

U bankama Rusije za neke vrste depozita (tzv. oročene depozite, koji se ne mogu uzeti ranije od, na primjer, godinu dana kasnije), usvojen je sljedeći sistem obračuna novca. Za prvu godinu od pronalaženja deponovanog iznosa na računu naplaćuje se p% istog. Na kraju godine, deponent može podići ovaj novac od „kamate“ sa računa.

Ako to nije učinio, onda se dodaju na početni depozit, pa se na kraju sljedeće godine banka obračunava p% za novi, uvećani iznos. Istovremeno, kažu i da su ti procenti napisano velikim slovom. U takvom sistemu se obračunava "kamata na kamatu", ili, kako se obično naziva, kompleks interes.

Da riješimo problem općenito. Neka banka izračuna p% godišnje, deponovani iznos je S rubalja, a iznos koji će biti na računu za n godina jednak je Sn rubalja.

P% od S je (rublja i za godinu dana račun će imati zbir S 1 = S + S = (1+

Za dvije godine na računu će biti iznos

S 2 = S 1 + S 1 = (1+) S 1 = (1+) (1+) S = (1+) 2 S

Drugim riječima, jednakost

Ova formula se zove formula rasta složenih kamata ili jednostavno formula složene kamate.

Hajde da rešimo problem.

Koliki će iznos biti na oročenom depozitu deponenta za 4 godine ako banka naplaćuje 10% godišnje, a deponovani iznos iznosi 5.000 rubalja?

Zamijenite formulu S n = (1+) n S

Vrijednost kamatne stope je p = 10, broj godina je n = 4, a vrijednost početnog doprinosa je S = 5000 rubalja.

S 4 = (1+) 4 5000 = 1,1 4 5000 = 1,46415000 = 7320,5 (rub.)

Odgovor: za 4 godine račun će biti 7320,5 rubalja.

Gore dobijena formula primjenjiva je, naravno, ne samo na probleme rasta doprinosa, već i na svaku situaciju kada se smatra da vrijednost za svaki dati vremenski period raste za određeni broj postotaka, računajući od svog prethodnog vrijednost. Kada se vrijednost smanji za određeni broj postotaka, računajući od prethodne vrijednosti, u formuli se pojavljuje znak minus, kao kod jednostavnog rasta.

Hajde da razmotrimo problem.

Stanovništvo grada T. je za dvije godine raslo za 2% godišnje. Kao rezultat toga, broj stanovnika je povećan za 11.312 ljudi. Koliko je stanovnika bilo u gradu T. U početku?

Neka je x osoba (xN) prvobitno bila. Tada je, prema uslovu zadatka, za dvije godine broj stanovnika bio x (1+) 2 ili (x + 11312) ljudi. Dobijamo jednačinu:

x (1+) 2 = x + 11312

x1,02 2 = x + 11312

x (1,02 2 -1) = 11312

x (1,02-1) (1,02 + 1) = 11312

Odgovor: U T je bilo 280.000 stanovnika. U početku.

Bibliografija

Egerev V.K., Zaitsev V.V., Kordemsky B.A. i dr. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate na univerzitetima, priredio MI Skanavi. M.: "ONIX 21. vek", "Mir i obrazovanje", "Savez-V", 2003.

2. G. G. Gilmiyeva, R. G. Khamitov. Problemi sa procentima. Rešavamo sa lakoćom. Studijski vodič, 2008 Ritz "Škola". i kompleks. Jednostavno enzimi - ovo je jednostavno ... metodologija elektroforeza on kolona ... neophodna znam: 1) ... pripremite manji postotak homogenat). Do ... ne riješeno zadatak... ozbiljno... korisno na...