قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية. لقد لاحظنا سابقًا أن رتبة الصورة التربيعية تساوي عدد المعاملات القانونية غير الصفرية. وبالتالي، فإن عدد المعاملات القانونية غير الصفرية لا يعتمد على اختيار التحويل غير المنحل الذي يتم من خلاله تقليل النموذج إلى الشكل القانوني. في الواقع، مع أي طريقة لاختزال النموذج إلى الشكل القانوني، لا يتغير عدد المعاملات القانونية الموجبة والسالبة. تسمى هذه الخاصية قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية.
دع النموذج في الأساس يتم تحديده بواسطة المصفوفة:
, (4.20)
أين هي إحداثيات المتجه في الأساس ه. لنفترض أن هذا النموذج تم اختزاله إلى الشكل القانوني باستخدام تحويل إحداثي غير منحط
وهي معاملات قانونية غير صفرية، يتم ترقيمها بحيث يكون أول هذه المعاملات موجبًا، والمعاملات التالية سالبة:
, , …, , , …, .
خذ بعين الاعتبار تحويل الإحداثيات غير المنحل التالي:
ونتيجة لهذا التحول، فإن الشكل سوف يأخذ الشكل
يسمى الشكل العادي للشكل التربيعي.
النظرية 4.5 (قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية). لا يعتمد عدد الحدود ذات المعاملات الإيجابية (السلبية) في الصورة العادية للشكل التربيعي على طريقة اختزال النموذج إلى هذا الشكل.
عاقبة.يكون الشكلان التربيعيان متكافئين إذا وفقط إذا كانت رتب الشكلين متساوية وتطابقت مؤشرات القصور الذاتي الموجبة والسالبة.
تصنيف الأشكال التربيعية.في هذا القسم، باستخدام مفاهيم مؤشر القصور الذاتي، مؤشرات القصور الذاتي الإيجابية والسلبية للشكل التربيعي، سنشير إلى كيفية معرفة ما إذا كان الشكل التربيعي ينتمي إلى واحد أو آخر من الأنواع المذكورة أعلاه (محدد موجب، سالب محدد، بالتناوب وشبه علامة محددة). في هذه الحالة، سوف نسمي مؤشر القصور الذاتي بالشكل التربيعي عدد المعاملات القانونية غير الصفرية لهذه الصورة (أي رتبتها)، ومؤشر القصور الذاتي الموجب هو عدد المعاملات القانونية الموجبة، ومؤشر القصور الذاتي السلبي عدد المعاملات القانونية السالبة المعاملات الكنسي. ومن الواضح أن مجموع مؤشرات القصور الذاتي الإيجابية والسلبية يساوي مؤشر القصور الذاتي. ترتبط مؤشرات القصور الذاتي السلبية والإيجابية بالعلاقة، ويسمى الزوج أو إمضاءشكل تربيعي.
لذا، فليكن مؤشر القصور الذاتي، ومؤشرات القصور الذاتي الموجبة والسالبة للصورة التربيعية مساوية لـ و () على التوالي. وقد ثبت في الفقرة السابقة أنه على أي أساس قانوني يمكن اختزال هذه الصورة إلى الصورة العادية التالية:
أين هي إحداثيات المتجه في الأساس.
مثال 6أوجد الصيغة العادية وتوقيع الصيغة التربيعية
الشكل القانوني لهذا النموذج هو : . هيا نضع ، ، . ثم . هذا هو الشكل الطبيعي للشكل التربيعي. مؤشر القصور الذاتي الإيجابي: مؤشر القصور الذاتي السلبي. وبالتالي فإن توقيع الصيغة التربيعية هو .
النظرية 4.6 (شرط ضروري وكافي لإشارة الشكل التربيعي)لكي تكون الصيغة التربيعية المعطاة في الفضاء الخطي ذو الأبعاد n L محددة الإشارة، فمن الضروري والكافي أن يكون إما المؤشر الموجب للقصور الذاتي أو المؤشر السلبي للقصور الذاتي مساويًا لبعد الفضاء L. علاوة على ذلك فإذا كانت الصورة موجبة محددة، وإذا كانت الصورة سالبة محددة.
تعليق. لتوضيح مسألة العلامة المحددة للصورة التربيعية باستخدام المعيار المشار إليه، لا بد من إعادة هذه الصورة إلى صورتها القانونية.
النظرية 4.7 (شرط ضروري وكافي لتناوب علامات الشكل التربيعي)لكي يكون الشكل التربيعي متناوبًا، من الضروري والكافي أن يكون كلا من مؤشرات القصور الذاتي الموجبة والسالبة لهذا الشكل مختلفًا عن الصفر.
النظرية 4.8 (شرط ضروري وكافي لتحديد شبه الإشارة للشكل التربيعي)لكي يكون النموذج شبه محدد الإشارة، من الضروري والكافي أن تقام العلاقات التالية: إما، أو، أو.
معيار سيلفستر للعلامة المحددة للشكل التربيعي.دع الشكل الموجود في الأساس يتم تحديده بواسطة المصفوفة: ودع ، ، ...، تكون القاصرين الزاويين (الرئيسيين) ومحدد المصفوفة. البيان التالي هو الصحيح:
النظرية 4.9 (معيار سيلفستر)لكي تكون الصورة التربيعية موجبة محددة، من الضروري والكافي أن تكون المتباينات، ، …، .
لكي تكون الصورة التربيعية سالبة محددة، من الضروري والكافي أن تتناوب إشارات الزوايا الصغرى، و .
النتيجة الطبيعية 1لكي تكون الصورة التربيعية سالبة ومحددة، من الضروري والكافي أن تكون جميع الزوايا الثانوية ذات الرتبة الزوجية موجبة وجميع الزوايا الثانوية ذات الرتبة الفردية سالبة، وإلا فإن المتباينات، ، ...، ، محققة .
النتيجة الطبيعية 2لكي تكون الصورة التربيعية غير سالبة، من الضروري والكافي أن تكون جميع العناصر الثانوية الرئيسية (وليس فقط الزاوية) في مصفوفتها غير سالبة.
النتيجة الطبيعية 3لكي تكون الصورة التربيعية غير موجبة، من الضروري والكافي أن تكون جميع العناصر الثانوية الأولية ذات الرتبة الزوجية غير سالبة وجميع العناصر الثانوية الأولية ذات الرتبة الفردية غير موجبة.
النتيجة الطبيعية 4لكي تكون الصيغة التربيعية غير محددة (متناوبة)، من الضروري والكافي أن تحتوي مصفوفتها على صغرى بادئة سالبة ذات ترتيب زوجي واثنتين صغريين بادئتين من رتب فردية بإشارات مختلفة.
مثال 7التحقيق في الأشكال التربيعية لتحديد الإشارة:
1) في المصفوفة ذات الصورة التربيعية، أوجد جميع الزوايا الصغرى
في هذه الحالة، مرة أخرى، من المستحيل إعطاء إجابة فقط من خلال قيم القاصرين الزاويين. دعونا نجد جميع القاصرين الرئيسيين. العناصر الثانوية الرئيسية غير الزاوية من الدرجة الأولى هي 2 و 4. العناصر الثانوية الرئيسية غير الزاوية من الدرجة الثانية هي، . هناك قاصر رئيسي سلبي ذو ترتيب متساوي. ولذلك، فإن الصورة التربيعية غير محددة.
لذلك، وفقًا لنظرية تبسيط الصورة التربيعية، لأي صورة تربيعية \(A(x,x)\) هناك أساس قانوني \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\) \)، لذلك بالنسبة لأي متجه \(x\)، \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k\eta _k ^2. \] بما أن \(A(x,x)\) ذات قيمة حقيقية، وتغييرات الأساس لدينا تتضمن أيضًا أرقامًا حقيقية فقط، فإننا نستنتج أن الأرقام \(\lambda _k\) حقيقية. ومن بين هذه الأرقام موجب وسالب ويساوي الصفر.
تعريف. يتم استدعاء الرقم \(n_+\) من الأعداد الموجبة \(\lambda _k\). مؤشر تربيعي إيجابي \(A(x,x)\)، يتم استدعاء الرقم \(n_-\) من الأرقام السالبة \(\lambda _k\) مؤشر تربيعي سلبي ، يتم استدعاء الرقم \((n_++n_-)\). رتبة الشكل التربيعي . إذا \(n_+=n\)، يتم استدعاء الصيغة التربيعية إيجابي .
بشكل عام، لا يتم تحويل الشكل التربيعي إلى شكل قطري بطريقة فريدة. السؤال الذي يطرح نفسه: هل تعتمد الأرقام \(n_+\)، \(n_-\) على اختيار الأساس الذي يكون فيه الشكل التربيعي قطريًا؟
نظرية (قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية). لا تعتمد المؤشرات الإيجابية والسلبية للشكل التربيعي على طريقة اختزاله إلى الشكل القانوني.
يجب أن تكون هناك قاعدتان أساسيتان، \(\(f\)\)، \(\(g\)\)، بحيث يتم تمثيل أي متجه \(x\) بالشكل: \[ x=\sum_(k =1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] و \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k ^2= \sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] اجعل بين \(\lambda _k\) أول \(p\) موجبًا، والباقي إما سالبًا أو صفرًا، بين \(\mu_m\) \(s\) الأول إيجابية والباقي إما سلبي أو صفر. نحن بحاجة إلى إثبات أن \(p=s\). لنعيد كتابة (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_ ( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] لذلك كل المصطلحات في كلا طرفي المعادلة غير سلبيين. لنفترض أن \(p\) و \(s\) غير متساويين، على سبيل المثال، \(p
لقد أثبتنا أن المؤشرات الإيجابية تتزامن. وبالمثل، يمكننا أن نثبت أن المؤشرات السلبية تتطابق أيضًا. إلخ.
1. تحويل الأشكال التربيعية إلى مجموع المربعات:
أ) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);
يمكن اختزال الشكل التربيعي إلى الشكل الطبيعي عن طريق تحويلات خطية مختلفة غير متحللة (تحويلات إحداثيات). السؤال الذي يطرح نفسه: كيف ترتبط الأشكال العادية المختلفة لنفس الشكل التربيعي ببعضها البعض؟
يترك Ln - مساحة خطية ذات أبعاد n فوق المجال ر ودعها تعطى بشكل تربيعي ي (أ ). اتركه Ln يتم إعطاء الأساس ه = (ه 1 , ه 2, … , ه ن ) دعها تذهب أهي مصفوفة من شكل معين على هذا الأساس. يترك ه 1 = (ه 1 1 , ه 2 1, … , ه ن 1 ) هو أحد القواعد التي ي (أ ) له شكل قانوني، و تمصفوفة الانتقال من الأساس ه إلى القاعدة ه 1 . في الأساس ه 1 استمارة ي (أ ) لديه مصفوفة قطرية أ 1. حسب الصيغة (56) أ1 = تت × أ× ت.المصفوفات تو ت T غير منحط. ضرب المصفوفة أإلى مصفوفة غير مفردة لا يغير رتبة المصفوفة أ، وبالتالي المرتبة أ= رتبة أ 1، أي. على أي أساس، المصفوفة ذات الصورة التربيعية لها نفس المرتبة.
التعريف 63. الرتبة الشكل التربيعي المحدد في الفضاء الخطي Ln هي رتبة مصفوفتها على أي أساس من هذا الفضاء.
بما أن رتبة المصفوفة القطرية تساوي عدد العناصر القطرية غير الصفرية، فإن أي شكل قانوني لشكل تربيعي معين يحتوي على نفس العدد من المتغيرات المربعة بمعاملات غير صفرية. هذا الرقم يساوي رتبة النموذج. ولذلك ثبت القول:
النظرية 66. يمكن اختزال الصورة التربيعية المعقدة إلى نفس الصورة العادية عن طريق أي تحويل خطي غير منحط، يتكون من صمربعات المتغيرات مع معاملات الوحدة، أي ي= × 1 2 + × 2 2+ … + س ص 2.
إذا كان المجال ر هو حقل من الأعداد الحقيقية، فإن الصورة العادية للصيغة التربيعية ستكون ي (أ ) = × 1 2 + × 2 2 + … + س إلى 2 – س ك+1 2– … – س ص 2.
التعريف 64. يسمى عدد مربعات المتغيرات المتضمنة المعامل (+1) في الصورة العادية للصورة التربيعية الحقيقية مؤشر القصور الذاتي الإيجابي هذا من. يسمى عدد المربعات ذات المعامل (-1). مؤشر القصور الذاتي السلبي ، الفرق بين عدد المتغيرات ورتبة الصورة التربيعية (أي. ن -ص) يسمى لها خلل .
النظرية 67(قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية ). إن عدد المربعات الموجبة وعدد المربعات السالبة في الصورة العادية، التي يتم اختزال إليها الشكل التربيعي ذو المعاملات الحقيقية عن طريق تحويل خطي حقيقي غير منحط، لا يعتمد على اختيار هذا التحويل.
دليل.يترك ي (أ ) - الشكل التربيعي المحدد في الأساس ه = (ه 1 , ه 2, … , ه ن ) الفضاء الخطي Ln فوق الميدان ر ,أ = × 1 ه 1 + × 2 ه 2 + … + س ن ه ن . ليختزل هذا النموذج بطريقتين إلى شكلين عاديين. ووفقا للنتائج السابقة، فإن كلا هذين النموذجين العاديين يحتويان على نفس العدد من المتغيرات المربعة بمعاملات غير الصفر. يترك
ي = ص 1 2 + ص 2 2 + … + ص إلى 2 – ص ك+1 2 – … – ص ص 2 =
= ض 1 2 + ض 2 2 + … + ض ص 2 – ض ص+1 2 – … – ض ص 2. (*)
يترك ذ ط = , і = 1, 2, … , ن(**)، و ض ј = , ј = 1, 2, … , ن (***).
وبما أن هذه الصيغ تحدد التحولات غير المتحللة، فإن محدداتها تكون غير صفرية. ويكفي إثبات ذلك ك = ص.دعونا نتظاهر بذلك ل¹ ر. وبدون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض ذلك ل< ر. دعونا إنشاء نظام المعادلات y 1 = y 2 = ... = y k = z p+1 = ... = z r = z r+1 = ... = z n = 0. هذا نظام ن – ص+ لالمعادلات الخطية المتجانسة من نمجهول. بما أن عدد المعادلات أقل من عدد المجهولات، فإن حلولها غير صفرية. يترك ( × 1 0، × 2 0، …، × ن 0) واحد منهم. باستبدال هذا الحل في الصيغتين (**) و (***)، نحسب الكل ذ طو ض јواستبدلهم بالمساواة (*). نحن نحصل -( ص ك+1 0) 2 – … – (ص ص 0) 2 = (ض 1 0) 2 +(ض 2 0) 2 + … +(ض ص 0) 2 . هذه المساواة ممكنة إذا وفقط إذا ص ك+1 0 = … = ص ص 0 = ض 1 0 =ض 2 0 = … = ض ص 0= 0. وجدنا أن النظام ض 1 =ض 2 = … = ض Р = ض Р+1 = … = ض ص = ض ص+1 = … = ض ن = 0 لديه حل غير الصفر ( × 1 0، × 2 0، …، × ن 0)، وهو أمر مستحيل، لأن رتبة هذا النظام هو ن. لذا فإن افتراضنا خاطئ. لذلك، ك = ص.
9.5. الأشكال التربيعية المحددة الإيجابية
التعريف 65. يسمى الشكل التربيعي الحقيقي إيجابية محددة ، إذا كان لأي ناقل أ ¹ 0 يحدث ي (أ ) > 0.
النظرية 68.يكون الشكل التربيعي الحقيقي موجبًا محددًا إذا وفقط إذا كانت رتبته ومؤشر القصور الذاتي الموجب مساويين لعدد المجهولين.
دليل.Þ دع ي (أ ) هو شكل تربيعي محدد إيجابي حقيقي. دعها تعاد إلى وضعها الطبيعي
ص 1 2 + ص 2 2 + … + ص إلى 2 – ص ك+1 2 – … – ص ص 2 (*),
فيها سواء ص< n ، أو ص = ن، لكن ل< n . دع التحويل الإحداثي، الذي يتم من خلاله تقليل النموذج إلى الشكل الطبيعي، يتم تقديمه بواسطة الصيغ ذ ط= (**). محدد هذه الصيغ يختلف عن الصفر. لو ص< n, ثم سنأخذها ص 1 = ص 2 = … = ص ن–1 = 0, ذ ن= 1 واستبدله في (**). دعونا الحصول على النظام نالمعادلات الخطية غير المتجانسة مع نمجهول ومحدده مختلف عن الصفر. وفقا لقاعدة كريمر، فإن هذا النظام لديه حل فريد من نوعه. من الواضح أن هذا الحل ليس صفرًا، لذا فهو يحدد متجهًا غير صفري أ . ولكن بعد ذلك ي (أ ) = 0، وهو ما يتناقض مع تعريف الشكل المحدد الإيجابي. وبالمثل نصل إلى تناقض في هذه القضية ص = ن، لكن ل< n . إذن، إذا كانت الصورة موجبة محددة، فإن صورتها العادية تكون كذلك ص 1 2 + ص 2 2 + … + ص ن 2. وهذا يعني أن رتبة القصور الذاتي ومؤشرها الإيجابي متساويان ن.
ü رتبة القصور الذاتي ومؤشره الإيجابي متساويان في الشكل التربيعي الحقيقي ن.أثبت لنفسك أن الشكل إيجابي محدد.
دعونا نلاحظ بدون دليل نظرية أخرى حول الصيغ التربيعية الحقيقية الإيجابية المحددة.
النظرية 69 . تكون الصورة التربيعية الحقيقية موجبة ومحددة إذا وفقط إذا كانت جميع العناصر الثانوية الرئيسية في مصفوفتها موجبة.
النظرية 70. يتم الحصول على مربع طول المتجه على أي أساس للفضاء الإقليدي بشكل تربيعي محدد موجب.
دليل.يترك ه ن – نالفضاء الإقليدي ذو الأبعاد، ه = (ه 1 , ه 2, … , ه ن ) أساس فيه و زهي مصفوفة جرام التي تحدد المنتج العددي للمتجهات على هذا الأساس. لو أ = × 1 ه 1 + × 2 ه 2 + … + س ن ه ن , الخامس = في 1 ه 1 + في 2 ه 2 + … + ذ ن ه ن ، الذي - التي ( أ، ج) = س ت × ز× في، أين × ت- سلسلة إحداثيات المتجهات أ , ذ –عمود إحداثيات المتجهات الخامس . لذلك، أ 2 = (أ , أ ) = س ت × ز× X.وإذا قارنا بالصيغة (60) نحصل على ذلك س ت × ز× Xهناك شكل تربيعي مع مصفوفة ز.في الفضاء ه ن هناك أساس متعامد. على هذا الأساس أ 2 = × 1 2 + × 2 2+…+ س ن 2. لكن هذا يعني أنه عند الانتقال إلى الأساس المتعامد، تكون الصورة التربيعية س ت × ز× Xخفضت إلى الشكل الطبيعي × 1 2 + × 2 2+…+ س ن 2. بواسطة نظرية 68 نجد أن النموذج س ت × ز× Xهو إيجابي واضح.
مثال.أي من الصور التربيعية التالية موجبة ومحددة؟
1. 4× 1 2 – × 1 × 2 + 3× 2 2 – × 2 × 3+ 6× 2 × 4.
2. 4× 1 × 2 – × 1 × 3 + 2× 2 2 – 4× 2 × 3+ 3× 2 × 4+ 5× 4 2 .
3. 4× 1 2 – 5× 1 × 2 + 3× 2 2 – 2× 2 × 3+ × 3 2 + 4× 2 × 4 – × 4 2 .
حل.هناك طريقتان للإجابة على السؤال: اختزال النموذج إلى الشكل القانوني أو حساب العناصر الثانوية الرئيسية لمصفوفة نموذج معين. بالنسبة للنموذج الأول نستخدم الطريقة الأولى، وللثانية والثالثة - الطريقة الثانية.
1. 4× 1 2 – × 1 × 2 + 3× 2 2 – × 2 × 3+ 6× 2 × 4 = (4× 1 2 – × 1 × 2+ ) – + 3× 2 2 – × 2 × 3+ 6× 2 × 4 =
في الفقرة 1 من الفقرة 2 من هذا الفصل (انظر التعريف 2)، تم تقديم مفاهيم الأشكال التربيعية المحددة الموجبة والسالبة والمتناوبة وشبه الإشارة.
في هذه الفقرة، باستخدام مفاهيم مؤشر القصور الذاتي، مؤشرات القصور الذاتي الإيجابية والسلبية للشكل التربيعي، سنشير إلى كيفية معرفة ما إذا كان الشكل التربيعي ينتمي إلى واحد أو آخر من الأنواع المذكورة أعلاه. في هذه الحالة، سنسمي مؤشر القصور الذاتي للمعادلة التربيعية عدد المعاملات القانونية غير الصفرية لهذه الصورة (أي رتبتها)، ومؤشر القصور الذاتي الموجب عدد المعاملات القانونية الموجبة، ومؤشر القصور الذاتي السلبي عدد المعاملات القانونية السالبة المعاملات الكنسي. ومن الواضح أن مجموع مؤشرات القصور الذاتي الإيجابية والسلبية يساوي مؤشر القصور الذاتي.
لذا، دع مؤشر القصور الذاتي، مؤشرات القصور الذاتي الإيجابية والسلبية للشكل التربيعي تكون مساوية على التوالي لـ. وقد ثبت في الفقرة السابقة أنه على أي أساس قانوني يمكن اختزال هذه الصورة إلى الصورة العادية التالية:
أين هي إحداثيات المتجه x في الأساس.
1°. شرط ضروري وكاف لعلامة الشكل التربيعي.
البيان التالي هو الصحيح:
لكي تكون الصورة التربيعية المعطاة في فضاء خطي ذو عدد n ذات علامة محددة، من الضروري والكافي أن يكون إما معامل القصور الذاتي الموجب أو معامل القصور الذاتي السلبي مساويًا لبعد الفضاء
علاوة على ذلك، إذا كانت الصورة موجبة محددة، وإذا كانت الصورة سالبة محددة.
دليل. وبما أن حالات الصورة المحددة الموجبة والصورة المعرفة السالبة تعتبران متشابهتين، فسوف نقوم ببرهان العبارة على الصور المحددة الموجبة.
1) الضرورة. دع النموذج يكون إيجابيا محددا. ثم التعبير (7.35) سوف يأخذ الشكل
إذا كان في نفس الوقت، فمن التعبير الأخير يتبع ذلك بالنسبة لمتجه غير صفري x مع الإحداثيات
وتختفي الصورة، وهذا يخالف تعريف الصورة التربيعية الإيجابية المحددة. لذلك،
2) الكفاية. دع العلاقة إذن (7.35) لها الشكل . من الواضح أنه حيث، إذا، أي أن المتجه x هو صفر. لذلك، هو شكل محدد إيجابي.
تعليق. لتوضيح مسألة العلامة المحددة للصورة التربيعية باستخدام المعيار المشار إليه، لا بد من إعادة هذه الصورة إلى صورتها القانونية.
في القسم التالي سوف نثبت معيار سيلفستر للعلامة المحددة للصورة التربيعية، والذي يمكننا من خلاله توضيح مسألة العلامة المحددة لصورة معينة على أي أساس دون الاختزال إلى الصورة القانونية.
2°. شرط ضروري وكاف لتناوب علامات الشكل التربيعي.
فلنثبت العبارة التالية:
لكي يكون الشكل التربيعي متناوبًا، من الضروري والكافي أن يكون كلا من مؤشرات القصور الذاتي الموجبة والسالبة لهذا الشكل مختلفًا عن الصفر.
دليل. 1) الضرورة. بما أن الشكل البديل يأخذ قيمًا موجبة وسالبة، فإن تمثيله (7.35) في الشكل العادي يجب أن يحتوي على مصطلحات موجبة وسالبة (وإلا فإن هذا النموذج سيأخذ قيمًا غير سالبة أو غير موجبة). وبالتالي، فإن مؤشرات القصور الذاتي الإيجابية والسلبية ليست صفرية.
2) الكفاية. يترك . ثم بالنسبة للمتجه بالإحداثيات لدينا، وبالنسبة للمتجه بالإحداثيات لدينا.
الدروس الفردية عبر الإنترنت: أرسل طلبك الآن: [البريد الإلكتروني محمي]§ 4. قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية. تصنيف الأشكال التربيعية
1. قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية. وقد سبق أن لاحظنا (انظر الملاحظة 2 من الفقرة 1 من الفقرة السابقة) أن رتبة الشكل التربيعي تساوي عدد المعاملات القانونية غير الصفرية. وبالتالي، فإن عدد المعاملات القانونية غير الصفرية لا يعتمد على اختيار التحويل غير المنحط الذي يتم من خلاله تقليل الشكل A(x, x) إلى الشكل القانوني. في الواقع، مع أي طريقة لتقليل الشكل A(x, x) إلى الشكل القانوني، فإن عدد المعاملات القانونية الموجبة والسالبة لا يتغير. تسمى هذه الخاصية قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية.
قبل أن ننتقل إلى تبرير قانون القصور الذاتي، دعونا نبدي بعض الملاحظات.
دع النموذج A(x, x) في الأساس e = (e 1, e 2,..., e n) يتم تحديده بواسطة المصفوفة A(e) = (a ij):
حيث ξ 1, ξ 2, ..., ξ n هي إحداثيات المتجه x في الأساس e. لنفترض أن هذا النموذج تم اختزاله إلى الشكل القانوني باستخدام تحويل الإحداثيات غير المنحل
و π 1 , π 2 ,..., π ك- المعاملات القانونية غير الصفرية، مرقمة بحيث تكون أول q من هذه المعاملات موجبة، والمعاملات التالية سالبة:
π 1 > 0, π 2 > 0, ..., π س> 0, π ف+1< 0, ..., λ k <0.
خذ بعين الاعتبار تحويل الإحداثيات غير المنحل التالي μ i (من السهل أن نرى أن محدد هذا التحويل غير صفر):
ونتيجة لهذا التحول، فإن الشكل A(x, x) سيأخذ الشكل
يسمى الشكل العادي للشكل التربيعي.
لذلك، باستخدام بعض التحويلات غير المنحلة للإحداثيات ξ 1، ξ 2، ...، ξ n للمتجه x في الأساس e = (e 1، e 2،...، e n)
(هذا التحويل هو نتاج التحولات ξ إلى μ و μ إلى η وفقًا للصيغ (7.30)) يمكن اختزال الشكل التربيعي إلى الشكل العادي (7.31).
دعونا نثبت العبارة التالية.
النظرية 7.5 (قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية). لا يعتمد عدد الحدود ذات المعاملات الإيجابية (السلبية) في الصورة العادية للشكل التربيعي على طريقة اختزال النموذج إلى هذا الشكل.
دليل. دع النموذج A(x, x) يتم اختزاله إلى الشكل العادي (7.31) باستخدام تحويل الإحداثيات غير المنحل (7.32) ويتم تقليله إلى الشكل العادي باستخدام تحويل الإحداثيات غير المنحل
من الواضح أنه لإثبات النظرية يكفي التحقق من المساواة p = q.
دع ع > ف. دعونا نتأكد من أنه في هذه الحالة يوجد متجه غير صفري x بحيث أنه فيما يتعلق بالقواعد التي يكون فيها النموذج A(x, x) بالشكل (7.31) و (7.33)، فإن الإحداثيات η 1، η 2، ...، η q و ζ Р+1، ...، ζ نمن هذا المتجه يساوي الصفر:
η 1 = 0، η 2 = 0، ...، η ف = 0، ζ Р+1 = 0، ...، ζ n = 0 (7.34)
منذ الإحداثيات η أنايتم الحصول عليها عن طريق التحويل غير المنحط (7.32) للإحداثيات ξ 1، ...، ξ n، والإحداثيات ζ أنا- باستخدام تحويل مماثل غير منحط لنفس الإحداثيات ξ 1، ...، ξ n، ثم يمكن اعتبار العلاقات (7.34) كنظام من المعادلات المتجانسة الخطية للإحداثيات ξ 1، ...، ξ n ل المتجه المطلوب x في الأساس e = ( e 1, e 2,..., e n) (على سبيل المثال، في الشكل الموسع، تكون العلاقة η 1 = 0، وفقًا لـ (7.32)، بالشكل a 11 ξ 1 + أ 12 ξ 2 + أ 1 ن ξ ن= 0) - بما أن p > q، فإن عدد المعادلات المتجانسة (7.34) أقل من n، وبالتالي فإن النظام (7.34) لديه حل غير الصفر فيما يتعلق بالإحداثيات ξ 1، ...، ξ n لل المتجه المطلوب x. وبالتالي، إذا كانت p > q، فهناك متجه غير صفري x تكون العلاقات (7.34) مرضية له.
دعونا نحسب قيمة النموذج A(x, x) لهذا المتجه x. وبالانتقال إلى العلاقات (7.31) و(7.33)، نحصل على
المساواة الأخيرة لا يمكن أن تتم إلا في حالة η q+1 = ... = η k = 0 و ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ Р = 0.
وهكذا، في بعض الأساس جميع الإحداثيات ζ 1، ζ 2، ...، ζ نالمتجه غير الصفري x يساوي الصفر (انظر آخر المعادلات والعلاقات (7.34))، أي. المتجه x يساوي الصفر. ولذلك فإن الافتراض p > q يؤدي إلى التناقض. لأسباب مماثلة، الافتراض ص< q.
لذا ف = ف. لقد تم إثبات النظرية.
2. تصنيف الأشكال التربيعية. في الفقرة 1 من الفقرة 2 من هذا الفصل (انظر التعريف 2)، تم تقديم مفاهيم الأشكال التربيعية المحددة الموجبة والسالبة والمتناوبة وشبه الإشارة.
في هذا القسم، باستخدام مفاهيم مؤشر القصور الذاتي ومؤشرات القصور الذاتي الإيجابية والسلبية للشكل المربع، سنشير إلى كيفية معرفة ما إذا كان الشكل التربيعي ينتمي إلى واحد أو آخر من الأنواع المذكورة أعلاه. في هذه الحالة، سيكون مؤشر القصور الذاتي بالشكل التربيعي هو عدد المعاملات القانونية غير الصفرية لهذا الشكل (أي رتبته)، ومؤشر القصور الذاتي الإيجابي هو عدد المعاملات القانونية الموجبة، ومؤشر القصور الذاتي السلبي عدد المعاملات القانونية السلبية معاملات. ومن الواضح أن مجموع مؤشرات القصور الذاتي الإيجابية والسلبية يساوي مؤشر القصور الذاتي.
لذا، فليكن مؤشر القصور الذاتي ومؤشرات القصور الذاتي الموجبة والسالبة على الصورة التربيعية A(x, x) مساوية لـ k وp وq (k = p + q) على التوالي، وفي الفقرة السابقة ثبت أنه في أي الأساس القانوني f = (f 1 , f 2 , ..., f n) يمكن اختزال هذا النموذج إلى الشكل العادي التالي:
حيث η 1، η 2، ...، η n هي إحداثيات المتجه x في الأساس f.
1°. شرط ضروري وكاف لعلامة الشكل التربيعي. البيان التالي هو الصحيح.
من أجل أن يكون الشكل التربيعي A(x, x)، المحدد في الفضاء الخطي ذو الأبعاد n L، ذو علامة محددة، فمن الضروري والكافي أن يكون إما المؤشر الموجب للقصور الذاتي p أو المؤشر السلبي للقصور الذاتي q يساوي البعد n للفراغ L .
علاوة على ذلك، إذا كانت p = n، فإن الصورة تكون موجبة محددة، ولكن إذا كانت q = n، فإن الصورة تكون سالبة محددة.
دليل. وبما أن حالات الصورة المحددة الموجبة والصورة المعرفة السالبة تعتبران متشابهتين، فسوف نقوم ببرهان العبارة على الصور المحددة الموجبة.
1) الضرورة. دع الصيغة A(x,x) تكون موجبة ومحددة. ثم التعبير (7.35) سوف يأخذ الشكل
أ(س,س) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η Р 2.
إذا كان في نفس الوقت ص< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0، η 2 = 0، ...، η Р = 0، η п+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
تختفي الصورة A(x,x) وهذا يتناقض مع تعريف الصورة التربيعية الموجبة المحددة. لذلك، ع = ن.
2) الكفاية. دع ع = ن. ثم العلاقة (7.35) لها الصيغة A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η Р 2. من الواضح أن A(x, x) ≥ 0، وإذا كانت A = 0، فإن η 1 = η 2 = ... = η ن= 0، أي أن المتجه x هو صفر. لذلك، A(x, x) هي صيغة محددة موجبة.
تعليق. لتوضيح مسألة العلامة المحددة للصورة التربيعية باستخدام المعيار المشار إليه، لا بد من إعادة هذه الصورة إلى صورتها القانونية.
في القسم التالي سوف نثبت معيار سيلفستر للعلامة المحددة للصورة التربيعية، والذي يمكننا من خلاله توضيح مسألة العلامة المحددة لصورة معينة على أي أساس دون الاختزال إلى الصورة القانونية.
2°. شرط ضروري وكاف لتناوب علامات الشكل التربيعي. دعونا نثبت العبارة التالية.
لكي يكون الشكل التربيعي متناوبًا، من الضروري والكافي أن يكون كلا من مؤشرات القصور الذاتي الموجبة والسالبة لهذا الشكل مختلفًا عن الصفر.
دليل. 1) الضرورة. وبما أن الشكل البديل يأخذ قيمًا موجبة وسالبة، فإن تمثيله G.35) في الشكل العادي يجب أن يحتوي على مصطلحات موجبة وسالبة (وإلا فإن هذا النموذج سيأخذ قيمًا غير سالبة أو غير موجبة). وبالتالي، فإن مؤشرات القصور الذاتي الإيجابية والسلبية ليست صفرية.
2) الكفاية. دع ≠ 0 و q ≠ 0. ثم للمتجه x 1، مع الإحداثيات η 1 ≠ 0، ...، η ≠ 0، η Р+1 = 0، ...، η n = 0لدينا A(x 1 x 1) > 0، وبالنسبة للمتجه x 2 بإحداثيات η 1 = 0, ..., η Р = 0, η п+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0لدينا أ(س 2، × 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. شرط ضروري وكاف للتحديد شبه الإشارة للشكل التربيعي. البيان التالي هو الصحيح.
لكي تكون الصيغة A(x, x) شبه إشارة محددة، من الضروري والكافي أن تقام العلاقات التالية: إما p< n
,
q = 0, либо р = 0, q < n
.
دليل. وسوف ننظر في حالة وجود شكل محدد شبه علامة إيجابية. يتم التعامل مع حالة الشكل المحدد لشبه الإشارة السلبية بالمثل.
1) الضرورة. دع الصيغة A(x,x) تكون علامة شبه موجبة محددة. ومن الواضح أن q = 0 وp< n
(если бы р =
n
, то форма была бы положительно определенной),
2) الكفاية. إذا ص< n
, q = 0, то А(х, х)
≥ 0
и для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η
2 = 0,
..., η
р = 0, η п+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0لدينا A(x, x) = 0، أي A(x,x) هي صيغة محددة لشبه الإشارة الإيجابية.
3. معيار سيلفستر (جيمس جوزيف سيلفستر (1814-1897) - عالم رياضيات إنجليزي) لعلامة الشكل التربيعي. دع النموذج A(x, x) في الأساس e = (e 1, e 2,..., e n) يتم تحديده بواسطة المصفوفة A(e) = (a ij):
دعها تذهب Δ 1 = أ 11، 
- القصر الزاوي ومحدد المصفوفة (a ij). البيان التالي هو الصحيح.
النظرية 7.6 (معيار سيلفستر). لكي تكون الصيغة التربيعية A(x, x) موجبة ومحددة، من الضروري والكافي أن تكون المتباينات Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0 محققة.
لكي تكون الصورة التربيعية سالبة محددة، من الضروري والكافي أن تتناوب إشارات الزوايا الصغرى، مع Δ 1< 0.
دليل. 1) الضرورة. دعونا نثبت أولاً أنه بشرط أن تكون الصيغة التربيعية A(x, x) محددة الإشارة فإنها تتبع Δ أنا ≠ 0، ط = 1، 2،...، ن.
دعونا نتأكد من أن الافتراض Δ ك= 0 يؤدي إلى تناقض - في ظل هذا الافتراض، هناك متجه غير صفري x له A(x, x) = 0، وهو ما يتعارض مع العلامة المحددة للنموذج.
لذلك دعونا Δ ك= 0. خذ بعين الاعتبار النظام المتجانس التربيعي التالي للمعادلات الخطية:
منذ Δ كهو المحدد لهذا النظام و Δ ك= 0، فإن النظام لديه حل غير صفري ξ 1، ξ 2، ...، ξ k (ليس كل ξ i يساوي 0). دعونا نضرب أول المعادلات (7.36) في ξ 1، والثانية في ξ 2، ...، والأخيرة في ξ k ونضيف العلاقات الناتجة. ونتيجة لذلك نحصل على المساواة 
، الجانب الأيسر منها يمثل قيمة الصيغة التربيعية A(x, x) لمتجه غير صفري x بإحداثيات (ξ 1, ξ 2, ..., ξ k, 0, ..., 0) . هذه القيمة هي صفر، وهو ما يتعارض مع العلامة المحددة للنموذج.
لذلك، نحن مقتنعون بأن Δ أنا≠ 0، ط = 1، 2،...، ن. لذلك، يمكننا تطبيق طريقة جاكوبي لاختزال الصيغة A(x, x) إلى مجموع المربعات (انظر النظرية 7.4) واستخدام الصيغ (7.27) للمعاملات الأساسية α أنا. إذا كانت A(x, x) صيغة محددة موجبة، فإن جميع المعاملات الأساسية تكون موجبة. ولكن من العلاقات (7.27) يترتب على ذلك أن Δ 1 > 0، Δ 2 > 0، ...، Δ n > 0. إذا كانت A(x, x) شكلًا سالبًا محددًا، فإن جميع المعاملات الأساسية تكون سلبية. ولكن بعد ذلك من الصيغ (7.27) يترتب على ذلك أن علامات الزوايا الصغرى تتناوب، و Δ 1< 0.
2) الكفاية. دع الشروط المفروضة على القصر الزاويين تتحقق أنافي صياغة النظرية. منذ Δ أنا≠ 0، i = 1، 2،...، n، ثم يمكن اختزال الشكل A إلى مجموع المربعات باستخدام طريقة جاكوبي (انظر النظرية 7.4)، والمعاملات الأساسية α أنايمكن العثور عليها باستخدام الصيغ (7.27). إذا كانت Δ 1 > 0، Δ 2 > 0، ...، Δ n > 0، فمن العلاقات (7.27) يترتب على ذلك أن جميع π أنا> 0، أي أن الصيغة A(x, x) موجبة ومحددة. إذا كانت العلامات Δ أناالبديل و Δ1< 0, то из соотношений (7.27) следует,
что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.
