Как работают проценты

Понятие процент встречается в нашей жизни слишком часто, поэтому очень важно знать, как решать задачи на проценты. В принципе, это дело не сложное, главное, понять принцип работы с процентами.

Что такое процент

Мы оперируем с понятием 100 процентов, и соответственно, один процент это сотая доля определенного числа. И все счисления ведутся уже исходя из этого соотношения.

Например, 1% от 50 это 0,5, 15 от 700 это 7.

Как решать

1. Зная, что один процент это одна сотая от представленного числа, можно найти любое количество требуемых процентов. Для того чтобы было нагляднее, попробуем найти 6 процентов от числа 800. Делается это просто.
   • Сначала находим один процент. Для этого 800 делим на 100. Получается 8.
   • Теперь этот самый один процент, то есть 8, умножаем на нужное нам количество процентов, то есть на 6. Получается 48.
   • Закрепим результат повторением.

   15% от 150. Решение: 150/100*15=22.

   28% от 1582. Решение: 1582/100*28=442.

2. Бывают другие задачки, когда вам даются величины, а вам нужно найти проценты. Например, вам известно, что в магазине 5 алых роз из 75 белых, и вам нужно узнать, каков процент алых. Если мы не знаем этот процент, значит, обозначим его как х.

   Для этого есть формула: 75 – 100%

   В этой формуле цифры умножаются крест на крест, то есть х=5*100/75. Получается, что х=6% Значит процент алых роз составляет 6%.

3. Существует еще один тип задач на проценты, когда вам надо найти на сколько процентов одно число больше или меньше другого. Как решать задачи с процентами в этом случае?

   В классе учится 30 человек, из них 16 мальчиков. Вопрос, на сколько процентов мальчиков больше, чем девочек. Для начала необходимо сосчитать, какой процент составляют учащиеся мальчики, затем нужно узнать, сколько процентов девочек. А уж в конце найти разницу.

   Итак, приступим. Составляем пропорцию 30 уч. – 100%

   16 уч. –х %

   Теперь считаем. Х=16*100/30, х=53,4 % от всех учащихся в классе составляют мальчики.

   Теперь найдем процент девочек в этом же классе. 100-53,4=46,6 %

Осталось теперь только найти разницу. 53,4-46,6=6,8% . Ответ: мальчиков больше, чем девочек на 6,8%.

Основные моменты в решении процентов

Итак, чтобы у вас не было проблем с тем, как решать задачи на проценты, запомните несколько основных правил:

1. Чтобы не запутаться в задачках на проценты, всегда будьте бдительны: переходите от конкретных величин к процентам и наоборот, если понадобится. Главное, никогда не путать одно с другим.
2. Будьте внимательны, когда высчитываете проценты. Важно знать, от какой конкретной величину нужно считать. При последовательных изменениях величин процент вычисляется от последнего значения.
3. Прежде, чем записать ответ еще раз прочитайте всю задачу, ведь может быть так, что вы нашли только промежуточный ответ, и вам необходимо выполнить еще одно или пару действий.

Таким образом, решение задач с процентами не такое уж и сложное дело, главное в нем внимательность и аккуратность, как впрочем, и во всей математике. И не забывайте, что для совершенствования любого навыка необходима практика. Так что решайте больше, и все у вас будет хорошо или даже отлично.

Никитина Кристина

Проценты – это одна из сложнейших тем математики для многих школьников, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека.

К сожалению, решение задач на проценты предусмотрено в основном в 5-6 классах, а в последующих классах данной теме отдана незначительная часть учебного времени.

В умении же решать эти задачи есть большая необходимость, поскольку они встречаются в экзаменационных материалах, как в 9 , так и в 11 классе. И начинать подготовку нужно заранее, чтобы в дальнейшем рационально использовать своё время на решение остальных заданий.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 22»

Как научиться решать задачи на проценты

(материалы на III городскую научно-практическую конференцию

школьников по математике «Шаги в науку »)

Никитина Кристина,

обучающаяся 7 класса

Научный руководитель:

Салпанова Н.Л.,

учитель математики

Анжеро-Судженск 2014

Введение……………………………………………………………………………3

1. Из истории происхождения процентов………………………………………..5

2. Основные типы задач на проценты, способы их решения…………….……..6

3. Решение задач по формуле сложных процентов……………………………...9

4. Задачи на проценты из экзаменационных материалов 9 и 11 класса..……...11

Заключение………………………………………………………………………...15

Список литературы………………………………………………………………..16

Приложения……………………………………………………………………......17

Введение

Давайте оглядимся по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках с любыми продуктами. Значок процента «%» смотрит на нас с рекламных плакатов скидок и распродаж. В новостях проценты сразу бросаются в глаза, когда речь идет о повышении цен на товары или коммунальные услуги. Разве мы сможем расшифровать всё это, если не научимся решать задачи с процентами?

Допустим, вы купили что-нибудь через интернет и получили извещение от ближайшего почтового отделения. Или сами собираетесь послать подарок другу в другой город. Вам обязательно надо уметь разбираться с процентами, чтобы узнать, сколько денег почта захочет получить за свои услуги по пересылке.

Или возьмем банковские кредиты и ипотеку. Банки в договорах всегда пишут мелкими буквами всякие вещи, которые полезно понимать. Например, какой процент по кредиту придется заплатить банку кроме тех денег, которые вы у него «одолжили» и обязаны вернуть.

А самый близкий пример связан с ЕГЭ. Каждый год после экзаменов публикуют официальную статистику, в которой немало задействованы и проценты. И эти проценты имеют прямое отношение к будущим выпускникам. Например, процент выпускников, набравших наибольшее количество баллов, говорит о том, сколько абитуриентов имеют реальный шанс поступить в тот или иной ВУЗ. Чем их больше, тем выше конкурс. Если сравнивать их результаты со своими оценками, можно прикинуть собственные шансы на поступление.

Проценты – это одна из сложнейших тем математики для многих школьников, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека.

К сожалению, решение задач на проценты предусмотрено в основном в 5-6 классах, а в последующих классах данной теме отдана незначительная часть учебного времени.

В умении же решать эти задачи есть большая необходимость, поскольку они встречаются в экзаменационных материалах, как в 9 , так и в 11 классе. И начинать подготовку нужно заранее, чтобы в дальнейшем рационально использовать своё время на решение остальных заданий.

Цель нашей работы:

Расширение знаний о применении процентных вычислений в задачах, встречающихся в экзаменационных материалах.

Задачи:

• Познакомиться с историей возникновения процентов.
• Научиться решать задачи на проценты разными способами.
• Сделать подборку задач из экзаменационных материалов 9 и 11классов.
• Познакомиться с формулой сложных процентов и её применением при решении задач на проценты.

В первой главе нашей работы мы напоминаем понятие процента, знакомимся с историей его происхождения.

Вторая глава посвящена знакомству с типами задач на проценты, и способами их решения.

В третьей главе демонстрируется формула сложных процентов и её применение при решении задач.

В заключение предлагается подборка заданий из экзаменационных материалов 9 и 11 классов.

Кроме того, работа содержит приложение, где собраны все прототипы В2 и В14 из ЕГЭ, связанные с задачами на проценты.

Из истории происхождения процентов

Слово «процент» происходит от латинского pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста».

Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto ввел %.

Проценты применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, сейчас проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Что такое проценты в математике?

Единственное, что нужно запомнить железно – что такое один процент. Это понятие - и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще.

Один процент – это одна сотая часть какого-то числа.

Того числа, о котором идёт речь в задании. Если там говорится о цене, один процент – это одна сотая часть цены. Если о скорости, один процент – это одна сотая часть скорости. И так далее.

Запомнив, что такое один процент, вы легко найдёте и два процента, и тридцать четыре, и семнадцать, и сто двадцать шесть! Сколько надо, столько и найдёте.

А это, между прочим, основное умение для решения задач на проценты.

Основные типы задач на проценты, способы их решения

Находим процент от числа

Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?

Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов (500).

20% = 0,2.

500 * 0,2 = 100.

100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.

Находим число по его проценту.

Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?

Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25% от общего их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого:

38/0,25 = 38 * 100/25 = 152.

Именно 152 задачи включили в этот сборник.

Находим процентное отношение двух чисел.

Задача. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?

Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.

Увеличиваем число на процент.

Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?

Решение . Если некое число а увеличено на х%, то оно увеличилось в (1 + х /100) раз.

Откуда а * (1 + х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.

Уменьшаем число на процент.

Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?

Решение. Если число а уменьшено на х% и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле

а * (1 – х/100).

Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 * (1 – 25/100) = 75.

Задачи на простые проценты.

Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?

Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как х% и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * х/100). Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000.

Кстати, простые задачи на проценты можно очень легко решать с помощью пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что выбирать можно каждому тот способ решения, который кажется проще. Давайте решим задачу №3 про класс и процент девочек в нем, составив пропорцию.

Решение. Обозначим искомый процент девочек в классе как х, общее количество учеников примем за 100%. Пропорция выглядит так:

30–100%
14 – х%

Перемножим крест накрест левую и правую части пропорции и получим, что 30*х = 14 * 100 («30 относится к х также, как 14 относится к 100»).

Откуда найти х уже совсем несложно: х = 14 * 100/30 = 47%.

Решение задач по формуле сложных процентов

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты.

Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.

х (1+ 0,01а)n - периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов.

где х - начальный вклад, сумма.

а – процент годовых

n- время размещения вклада в банке

Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х(1- 0,01а)n - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.

Решим задачу: Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на счете через шесть лет?

Применим эту формулу к нашей задаче

первоначальный вклад – 2000

процент годовых - 12

n – 6 лет, значит

2000(1 + 0,12)6 = 2000*1,126 = 2000*1,973823 = 3947,65

ОТВЕТ: через 6 лет на счете будет лежать сумма в виде 3947 руб. и 65 коп.

Ещё одна задача: После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов стоимость товара с 400 рублей снизилась до 324 рублей. На сколько процентов стоимость товара снижалась каждый раз?

Решим эту задачу по формуле сложных процентов – х (1-0,01а)n

Получим:

400*(1-0,01а)2=324

20(1 – 0,01а) = 18

1 – 0,01а = 0,9

а = 10

ОТВЕТ: стоимость товара каждый раз снижалась на 10%

Решение задач из экзаменационных материалов 9 и 11 классов

В ЕГЭ задачи на проценты очень популярны. От самых простых до сложных. В простых задачах, как правило, нужно перейти от процентов к тем величинам, о которых идёт речь в задаче. К рублям, килограммам, секундам, метрам, и так далее. Или наоборот. После этого задача становится понятной и легко решается.

«Проезд на автобусе стоит 14 рублей. В дни школьных каникул для учащихся ввели скидку 25%. Сколько стоит проезд на автобусе в дни школьных каникул?»

один процент от 14 рублей - 14/100 = 0,14 рубля. Умножим 0,14 рубля на 25. Получим 3,5 рублей. Величину скидки в рублях мы установили, остаётся узнать новую стоимость проезда:

14 – 3,5 = 10,5.

«Раньше Вася решал правильно две задачи на проценты из двадцати. После изучения темы на одном полезном сайте, Вася стал решать правильно 16 задач из 20. На сколько процентов поумнел Вася? За стопроцентный ум считаем 20 решённых задач»

Две задачки из 20 – это сколько процентов? 2 меньше 20 в 10 раз, правильно? Значит, количество задачек в процентах будет в 10 раз меньше, чем 100%. То есть 100/10 = 10.

10%. Но вот он поумнел, и решает 16 задач из 20. Считаем, сколько это будет процентов? Во сколько раз 16 меньше 20?

В 5/4 раза. Ну а теперь делим 100 на 5/4:

Но это ещё не ответ! Читаем задачу снова, чтобы не ошибиться на ровном месте. Да, нас спрашивают, на сколько процентов поумнел Вася? 80% - 10% = 70%. На 70%.

«Красивая тетрадка летом стоила 40 рублей. Перед началом учебного года, продавец поднял цену на 25%. Однако, тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%. Всё равно не берут! Пришлось ему снизить цену ещё на 15%. Вот тут торговля пошла! Какова была окончательная цена тетрадки?»

25% от 40 рублей - это 10 рублей. То есть, подорожавшая тетрадка стала стоить 50 рублей.

А теперь нам надо сбросить цену на 10% от 50 рублей. От 50, а не 40! 10% от 50 рублей – это 5 рублей. Следовательно, после первого удешевления тетрадь стала стоить 45 рублей.

Считаем второе удешевление. 15% от 45 рублей (от 45, а не 40, или 50! ) – это 6,75 рубля. Стало быть, окончательная цена тетрадки:

45 – 6,75 = 38,25 рубля.

Рассмотрим ещё несколько не простых задач из материалов ЕГЭ.

Задача 1. После открытия торгов на бирже в понедельник акции некой компании выросли в цене на неизвестное количество процентов. А во вторник на то же самое количество процентов упали в цене. В итоге они подешевели на 4% по отношению к своей первоначальной стоимости в понедельник. На какой процент акции этой компании поднимались в цене в понедельник?

Решение. Пускай первоначальная стоимость акций это 1. В понедельник акции дорожают на х * 100%. Их стоимость в это время: 1 + х * 1. Во вторник акции дешевеют на х * 100%. Их стоимость после этого: 1 + х – х * (1 + х). После чего они стали дешевле на 4%, т.е. стали стоить 0,96.

Отсюда 1 + х – х * (1 + х) = 0,96 ↔1 – х 2 = 0,96 ↔ х 2 = 0,04 ↔ х = 0,2. Т.е. в понедельник акции компании дорожали на 20%.

Задача 2. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. Подсчитайте, на сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто.

Решение. Исходя из условия задачи, стоимость четырех пар брюк – это 92% от стоимости пальто. Легко подсчитать, что стоимость одной пары брюк – это 23% стоимости пальто (92/4 = 23). Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто (23 * 5 = 115). Т.е. пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.

Задача 3. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Надо вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

Решение. Из условия следует, что общий доход семьи находится в прямой зависимости от доходов мужа. Не так важно, насколько ему поднимут зарплату. В любом случае общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз эти 67% от общего дохода. Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 – это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход. Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии – это 4% дохода, то вся стипендия – это 6%. А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100% – 67% – 6% = 27%.

Задача 4. В емкости находится 5 литров водного раствора с концентраций вещества, равной 12%. В емкость добавили еще 7 литров воды. Раствор какой концентрации (с каким процентным содержанием вещества) получился после этого?

Решение. Опишем концентрацию вещества в растворе такой формулой: С = Vвещества/ Vраствора * 100%. Изначально в растворе содержится 0,12 * 5 = 0,6 литра вещества. Когда были добавлены 7 литров воды, объем раствора в емкости увеличился. Но концентрация вещества понизилась (его объем остался неизменным). Подставим все известные нам цифры в формулу и получим ответ: 0,6/5 + 7 *100% = 0,6 /12 * 100% = 5%.

Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в кураге, которая из них получается, только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

Решение. Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге оно содержится в концентрированном виде – 95%. Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества. На вопрос задачи мы ответим, если разделим одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах. Чтобы получить 20 килограммов кураги, нужно взять 19/0,1 = 190 килограммов свежих абрикосов.

Заключение

В ходе работы над рефератом мы углубили свои знания при решении задач на проценты, познакомились с формулой сложных процентов. Сделали подборку задач из экзаменационных материалов 9 и 11 классов.

Решать задачи на проценты не так уж сложно. Если усвоить основные правила и подключить воображение, можно щелкать такие задачки как орешки. Необходимо уже сейчас учиться решать подобные задачи самостоятельно, поскольку на уроках математики им уделяется очень незначительное количество времени.

В приложении мы предлагаем подбор прототипов В2 и В14 из ЕГЭ, содержащих задачи на проценты. В2 – это элементарные задачи, которые должен уметь решать каждый, В14 – задачи посложнее. Но их тоже можно научиться решать. Нужно только захотеть и приложить немного усидчивости и терпения.

Используемая литература

1 «Внеклассная работа по математике», Альхова З.Н., Макеева А.В., Саратов ОАО Издательство «Лицей»,2003.

2.«Готовимся к ЕГЭ по математике», Семенко Е.А. и др., Краснодар, Просвещение-Юг, 2005.

3. Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. М. Дрофа 2003.

4. Открытый банк заданий ЕГЭ по математике

Приложение

Прототипы заданий В2 на ЕГЭ

Прототипы заданий В14 на ЕГЭ

1. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 1%, а в 2010 году - на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
2. В среду акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в четверг подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 64% дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?
3. Семь одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов десять таких же рубашек дороже куртки?
4. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 112%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
5. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20900 рублей, через два года был продан за 16929 рублей.
6. Дима, Андрей, Гриша и Коля учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Дима внес 26% уставного капитала, Андрей - 55000 рублей, Гриша - 0,16 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Коля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Коле? Ответ дайте в рублях.
7. В сосуд, содержащий 7 литров 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
8. Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
9. Смешали 3 литра 25-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 15-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
10. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 82 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
11. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй - 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
12. Первый сплав содержит 5% меди, второй - 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
13. Смешав 6-процентный и 74-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 19-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 24-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 6-процентного раствора использовали для получения смеси?
14. Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй - 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 41% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 50% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Каждый школьник рано или поздно задается вопросом «Как решать задачи на проценты?» . Не смотря на простоту (да, да, вы не ослышались) данной темы, она вызывает ужас в глазах не только у учащихся школы, но и у многих студентов… да что уж скрывать, вообще у многих людей. А ведь умение решать задачи с процентами необходимо не только в стенах школы. В повседневной жизни мы ежедневно сталкиваемся с процентами: скидки в магазинах, проценты по кредитам и т.д.

А ведь для того, чтобы понять как решать задачи с процентами, нужно уяснить/понять/запомнить (нужное подчеркнуть) всего одно правило:
один процент – это одна сотая часть числа (о котором идет речь в задаче),
то есть 1% = 0,01
Отсюда следует вывод: само число (все то же, о котором идет речь в задаче) всегда составляет 100% .
Из этих несложных правил нетрудно понять, как быстро посчитать требуемый процент от любого числа:
1. нужно найти один процент (для этого разделить имеющееся число на 100)
2. умножить полученный один процент на то количество процентов, которое нужно найти.

Еще один пример.

Пример 1. Найдите 15% от числа 45.
Решение: Понятно, что 45 – это 100%. Найдем 1% от 45, для этого 45 разделим на 100, получим 0,45. Ну вот, 1% нашли, теперь осталось совсем немного: умножить 1% на 15

А вот короткая запись всех наших размышлений:

Вот и все. Теперь скажите что это сложно.

А теперь рассмотрим обратную задачу.

Пример 2. Предположим, что нас просят найти сколько процентов составляют 5 отличников из 25 учащихся.
Еще не посчитали? Тогда давайте вместе:
Решение:
Допустим, что искомая величина у нас равна x%.
А так как 25 учащихся, это, по традиции, 100%, тогда 0,25 – это 1%. А 0,25– это как раз x%.
Другими словами, x процентов – это 0,25x отличников. А таких отличников у нас по условию 5, осталось только приравнять

отсюда находим. Т.е. 5 отличников составляют 20% от 25 учащихся.

Но, не знаю как вам, а лично мне всегда было легче и быстрее решать задачи на проценты с помощью пропорции. Посмотрите сами:

25 уч. – 100%

Из пропорции находим x

Вы же помните что пропорция считается «крест-накрест»?

Есть в задачах с процентами еще одна тонкость, на которую всегда нужно обращать внимание. Внимательно читайте, от какой величины вам нужно посчитать процент. Для наглядности посмотрим на примере.

Пример 3. Завод изготавливает за 1 месяц 500 деталей. Руководство принимает решение повысить объем производства на 15%. Но в первый же месяц увеличенного производства становится понятно, что реализовать всю произведенную продукцию у завода не получится. Руководство теперь принимает решение снизить объем производимых деталей на 5%, но эта мера не помогает, и тогда они снижают объем еще раз, уже на 10%. Какое количество деталей будет производить завод в результате?
Решение:
Сразу напрашивается ответ 500 деталей. Но вот тут-то и «изюминка». Давайте приглядимся повнимательнее.
Изначально было 500 деталей. После первого повышения на 15% получим

т.е. теперь завод изготавливает 500+75 = 575 деталей.

Теперь давайте снизим производство на 5%. За 100% у нас уже принимается сумма 575, а не 500.

тогда

деталей, т.е. завод после первого снижения будет изготавливать 575 – 28,75 = 546,25 деталей в месяц.

А теперь снизим объем производства еще на 10%. За 100% принимаем 546,25 (мы ведь хотим найти 10% от того объема который завод выпускает сейчас, а не 2 месяца назад).

из пропорции

т.е. после второго снижения завод будет изготавливать 546,25-54,625=491,625 деталей в месяц.

Числа получились неудобоваримые, но суть, я надеюсь, ясна. Нужно обращать внимание на то, процент от какого числа просят найти. Если в задаче на последовательное повышение/понижение процента не оговаривается отдельно от чего считать проценты, то следует считать их от последнего значения.

Теперь давайте решим задачку посложнее.

Пример 4. Магазин приобрел 1000 рубашек для перепродажи по цене 9000 долларов за всю партию. В течение месяца магазин продавал рубашки с 80%-ой наценкой от стоимости приобретения, а со второго месяца снизил цену до уровня 20%-ой наценки от стоимости. В течение первого месяца было продано 75% рубашек, а в течение второго месяца было продано 50% оставшегося количества рубашек. Какую выручку заработал магазин на данной партии?
Решение:
Ух, как запутанно, но это только на первый взгляд, сейчас вместе во всем разберемся.

Для начала найдем стоимость приобретения одной рубашки: 9000 дол./1000 рубашек= 9 дол. за 1 штуку. Отлично. Идем дальше. Теперь нам говорят, что в первый месяц рубашки продавали с 80%-ой накруткой от стоимости приобретения. Найдем цену, по которой их продавали в первый месяц:

9 долларов – 100%

x долларов – 80%

Но это мы нашли только саму 80% -ую наценку, а конечная цена продажи = 9 дол. + 7,2 дол. = 16,2 долларов.

Еще про первый месяц нам сказано, что за него было продано 75% рубашек. А так как всего рубашек у нас было 1000, то получаем:

рубашек было продано за первый месяц.

750 рубашек продано по цене 16,2 доллара за штуку, т. е. выручка составила 750 * 16,2 = 12150 долларов.

Аналогично посчитаем выручку за второй месяц.

Для начала найдем стоимость 1-ой рубашки.

9 долларов – 100%

х долларов – 20%

Цена за 1 рубашку = 9 дол. + 1,8 дол. = 10,8 дол.

Про количество проданных рубашек нам сказано, что их было продано 50% от оставшихся после первого месяца продаж, т.е. закупили 1000 рубашек, в первый месяц продали 750 рубашек, значит осталось 250 рубашек и половину из них нам и надо найти. Не сложно посчитать, что во второй месяц было продано 125 рубашек. Выручка магазина за второй месяц продаж составила

125 * 10,8 = 1350 долларов.

Найдем общую выручку за 2 месяца 12150 дол. + 1350 дол. = 13500 дол.

Все, ответ получен. Задача оказалась не так уж и страшна.

И еще одна интересная задачка на закрепление материала.

Пример 5. Число а составляет 92% от числа b. Увеличим число b на 700, теперь новое число на 9% больше числа a. Найдите a и b.

Решение:

Мы уже знаем, что процент можно представить в виде дроби

По условию составим систему уравнений:

Решив систему, получим, а = 230000, b = 250000.

Ответ: 230000; 250000.

Несколько заданий для самостоятельного решения:

1. Посчитайте, сколько это:

20% от 1350 руб.
180% от 200 грамм
3% двоечников из 30 учащихся
80% от 30 литров воды.

1. Посчитайте, сколько процентов составляют:

200 рублей от 1200
150 страниц из 500
18 мужчин из 40 человек
6 от 8
8 от 6

1. Найдите число, 25 % которого равны 51.
2. Телефон стоил 5000 рублей, сначала он подорожал на 3%, а потом подешевел на 3%. Как и на сколько рублей изменилась цена телефона?
3. Леша прочитал 213 страниц учебника, что составляет 37 % числа всех страниц. Найдите сколько всего страниц в учебнике.
4. Из 100 яблок 13 оказались червивыми. Сколько процентов всех яблок составили червивые яблоки?
5. Первое число составляет 50% от второго. Сколько процентов от первого составляет второе?
6. В школе 340 учащихся, из которых 10% неуспевающих. После отчисления некоторого числа неуспевающих, их процент снизился до 5,4%. Сколько учащихся отчислено?
7. Цена на единицу товара понизилась на 30%, а затем еще на 15%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?
8. Первоначальная стоимость единицы продукции равнялась 75 руб. В течение первого года производства она повысилась на некоторое, число процентов, а в течение второго года снизилась (по отношению к повышенной стоимости) на такое же число процентов, в результате чего она стала равна 72 руб. Определите проценты повышения и понижения стоимости единицы продукции.

Я надеюсь, что Вы поняли как решать задачи на проценты и Ваши глаза больше не будут округляться при виде их.

А если по какой-либо причине у Вас не получается решить задачу самостоятельно, Вы можете заказать решение у нас. Стоимость решения одной задачи на проценты из школьного курса — 10 руб.

А в следующий раз мы научимся решать более сложный вид задач на проценты –