Простой и сложный процентный прирост. Методика решения задач на простой и сложный процентный рост. Это полезно знать - Документ

В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесенной суммы на счете начисляется 40% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги – «проценты», как их обычно называют.

Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 40% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк1000 руб. и ни разу не будет брать деньги со счета:

40% от 1000 руб. составляют 0,4 * 1000 = 400 руб., и следовательно, через год на его счете будет

1000 + 400 = 1400 (руб.)

40% от новой суммы 1400 руб. составляют 0,4 * 1400 = 560 руб., и следовательно, через 2 года на его счете будет

1400 + 560 = 1960 (руб.)

40% от новой суммы 1960 руб. составляют 0,4 * 1960 = 784 руб., и следовательно, через 3 года на его счете будет

1960 + 784 = 2744 (руб.)

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, «лобовом » подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 10 лет. Между тем, подсчёт можно вести значительно проще.

Именно через год начальная сумма увеличится на 40%, то есть составит 140% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,4 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4 = 1,4 2 раза.

Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4 2 = 1,4 3 раза. При таком способе рассуждения получаем решение нашей задачи значительно более простое:

1,4 3 * 1000 = 2,744 * 1000 = 2744 (руб.)

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма равна S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна S n рублей.

p% от S составляют pS/100 рублей, и через год на счёте окажется сумма S 1 =(1+p/100)S

то есть начальная сумма увеличится в 1 + p/100 раза.

За следующий год сумма S 1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счёте будет сумма

S 2 = (1 +p/100) S 1 = (1 +p/100) (1+p/100) S =(1 +p/100) 2 S.

S n = (1 + p/100) 3 S.

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

Задача 1. Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесённая сумма равна 2 000 рублей?

Подставим в формулу значения процентной ставки p = 10, количество лет n = 4 и величину первоначального вклада S = 2000, получим:

(1 + 10/100) 4 * 2000 = 1,1 4 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (рублей).

Ответ: через 4 года на счёте будет сумма 2928,2 рубля.

Задачи на проценты. Простой и сложный процентный рост.

Решения задач с процентами у учащихся нередко вызывают трудности. Одной из причин является то, что в широко используемых учебниках математики, как правило, даются стандартные задачи на проценты. Текстовые задачи, в том числе задачи на проценты встречаются в тестах ЕГЭ по математике, как в 9-х, так и в 11-ых классах. В статье изложена методика решения задач на простой и сложный процентный рост (так называемых «банковских задач»). Данная работа может быть использована учителями для разработки элективного курса, посвященного текстовым задачам с процентами, а также будет полезна учащимся общеобразовательных учреждений для самостоятельной подготовки к итоговым тестам.

Это полезно знать.

Полезно понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов.

Например, в сообщениях «заработная плата бюджетникам с января повышена на 50%» и «заработная плата бюджетникам с января повышена в 1,5 раза» говорится об одном и том же. Точно так же, увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза- значит на 200%, уменьшить в 2 раза- значит уменьшить на 50%.

Следует запомнить:

Выразим из последней формулы p:

(1+ ;

Формула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов А больше, чем В.

Если В меньше А на q%, то

В=А- А;

Если требуется ответить на вопрос: на сколько процентов В меньше, чем А, то из последней формулы, выразив q, получим

Внимательный читатель заметил, что если А больше, чем В на p%, то это не означает , что В меньше А на p%. Убедимся в этом высказывании ещё раз, решив следующую задачу: В классе мальчиков на 25% больше, чем девочек. На сколько процентов девочек в этом классе меньше, чем мальчиков?

Читая данную задачу можно сразу дать ответ: на 25%. Но это не так.

Решение:

Пусть м- количество мальчиков, d- количество девочек; (м, d N );

25%=

По условию м=d+ м=

Тогда d= d=(1- )м; d=м- м; =20%

Ответ: девочек на 20% в классе меньше.

Простой процентный рост.

Рассмотрим задачу. Пусть S - ежемесячная квартплата, пеня составляет p% квартплаты за каждый день просрочки платежа, n- число просроченных дней. Какую сумму должен заплатить человек после n дней просрочки?

Решение:

Обозначим сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки Sn. За n дней просрочки пеня составит (pn)% от S или S, а всего придется заплатить S+ S или, что то же самое, (1+ S

Получим S n =(1+ )S

Эта формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Рассмотрим задачу. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент внёс 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

Решение: Для решения задачи подставим в формулу величину процентной ставки p=2, числа месяцев n=6 и первоначального вклада S=500:

S 6 =(1+ 500=1,12500=560(руб.)

Ответ: через полгода будет 560 рублей.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшится за данный период времени на определённое число процентов. В этом случае

Эта формула также называется формулой простого процентного роста. Хотя заданная величина в действительности убывает.

Сложный процентный рост.

В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесённой суммы на счёте начисляется p% от неё. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги- «проценты».

Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года p% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. При этом ещё говорят, что эти проценты капитализируются. При такой системе, начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.

Решим задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна Sn рублей.

P% от S составляет ( рублей и через год на счёте окажется сумма S 1 =S+ S=(1+

Через два года на счёте будет сумма

S 2 =S 1 + S 1 =(1+ )S 1 =(1+ ) (1+ ) S=(1+ ) 2 S

Аналогично, S 3 =(1+ ) 3 S итакдалее.

Другими словами, справедливо равенство

S n =(1+ ) n S

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста или просто формулой сложных процентов.

Решим задачу.

Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесенная сумма равна 5000 рублей?

Решение:

Подставим формулу S n =(1+ ) n S При уменьшении величины на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, проявляется знак минус.

В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесенной суммы на счете начисляется 40% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги – «проценты», как их обычно называют.

Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 40% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк1000 руб. и ни разу не будет брать деньги со счета:

40% от 1000 руб. составляют 0,4 * 1000 = 400 руб., и следовательно, через год на его счете будет

1000 + 400 = 1400 (руб.)

40% от новой суммы 1400 руб. составляют 0,4 * 1400 = 560 руб., и следовательно, через 2 года на его счете будет

1400 + 560 = 1960 (руб.)

40% от новой суммы 1960 руб. составляют 0,4 * 1960 = 784 руб., и следовательно, через 3 года на его счете будет

1960 + 784 = 2744 (руб.)

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, «лобовом » подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 10 лет. Между тем, подсчёт можно вести значительно проще.

Именно через год начальная сумма увеличится на 40%, то есть составит 140% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,4 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4 = 1,4 2 раза.

Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4 2 = 1,4 3 раза. При таком способе рассуждения получаем решение нашей задачи значительно более простое:

1,4 3 * 1000 = 2,744 * 1000 = 2744 (руб.)

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма равна S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна S n рублей.

p% от S составляют pS/100 рублей, и через год на счёте окажется сумма S 1 =(1+p/100)S

то есть начальная сумма увеличится в 1 + p/100 раза.

За следующий год сумма S 1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счёте будет сумма

S 2 = (1 +p/100) S 1 = (1 +p/100) (1+p/100) S =(1 +p/100) 2 S.

S n = (1 + p/100) 3 S.

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

Задача 1. Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесённая сумма равна 2 000 рублей?

Подставим в формулу значения процентной ставки p = 10, количество лет n = 4 и величину первоначального вклада S = 2000, получим:

(1 + 10/100) 4 * 2000 = 1,1 4 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (рублей).

Ответ: через 4 года на счёте будет сумма 2928,2 рубля.

Если человек не вносит своевременную плату за квартиру, то на него налагается штраф, который называется «пеня». Так в Москве пеня составляет 1% от суммы квартплаты за каждый день просрочки. Поэтому, например, за 19 дней просрочки, сумма составит 19% от суммы квартплаты, и в месте, скажем, со 100 руб. квартплаты человек должен будет внести пеню 0,19 * 100 = 19 руб., а всего 119 руб.

Ясно, что в разных городах и у разных людей, квартплата, размер пани и время просрочки разные. Поэтому имеет смысл, составить общую формулу квартплаты для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.

Пусть S – ежемесячная кварт плата, пеня составляет p % квартплаты за каждый день просрочки, а n – число просроченных дней. Сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим S n .

Тогда за n дней просрочки, пеня составит pn% от S , или pnS/100, а всего придётся заплатить S+pnS/100.Таким образом, S n =(1+pn/100)S

Задача 1. Сколько надо заплатить москвичу, если его квартплата составляет 100 руб. и просрочена на 5 дней?

Подставляя в формулу значение p = 1 и значения n = 5 * 4, получим:

(1 + 1 * 5/100) * 100 = 1,05 * 100 = 105 (руб.)

Ответ: через 5 дней – 105 руб.

Таким образом, установленная формула позволяет быстро рассчитывать необходимые значения выплат за квартиру.

Рассмотрим еще одну ситуацию. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц p % от внесенной суммы. Поэтому, если клиент внес сумму S, то через n месяцев на его счете будет (1+pn/100)S, и мы вновь получаем, что S n =(1+pn/100)S

Мы получили в точности ту же самую формулу, что и в примере с квартплатой, хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл: в первом примере n – число дней, а во втором примере n - число месяцев, в первом примере S – величина квартплаты, а во втором S – сумма, внесенная в банк. Такая же формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Задача 2. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

Для решения задачи достаточно подставить в формулу величину процентной ставки p = 2, числа месяцев n = 6 и первоначального вклада S = 500:

(1 + 2 * 6/100) * 500 = 1,12 * 500 = 560 (руб.)

Ответ: через полгода на вкладе будет 560 руб.

Методика решения задач на простой и сложный процентный рост.

Это полезно знать.

Полезно понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов.

Например, в сообщениях «заработная плата бюджетникам с января повышена на 50%» и «заработная плата бюджетникам с января повышена в 1,5 раза» говорится об одном и том же. Точно так же, увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза- значит на 200%, уменьшить в 2 раза- значит уменьшить на 50%.

Следует запомнить:

Выразим из последней формулы p:

Формула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов А больше, чем В.

Если В меньше А на q%, то

В=А- А;

Если требуется ответить на вопрос: на сколько процентов В меньше, чем А, то из последней формулы, выразив q, получим

Внимательный читатель заметил, что если А больше, чем В на p%, то это не означает , что В меньше А на p%. Убедимся в этом высказывании ещё раз, решив следующую задачу: В классе мальчиков на 25% больше, чем девочек. На сколько процентов девочек в этом классе меньше, чем мальчиков?

Читая данную задачу можно сразу дать ответ: на 25%. Но это не так.

Пусть м- количество мальчиков, d- количество девочек; (м, d N);

По условию м=d+ м=

Тогда d= d=(1- )м; d=м- м; =20%

Ответ: девочек на 20% в классе меньше.

Простой процентный рост.

Рассмотрим задачу. Пусть S- ежемесячная квартплата, пеня составляет p% квартплаты за каждый день просрочки платежа, n- число просроченных дней. Какую сумму должен заплатить человек после n дней просрочки?

Обозначим сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки Sn. За n дней просрочки пеня составит (pn)% от S или S, а всего придется заплатить S+ S или, что то же самое, (1+ S

Получим S n =(1+ )S

Эта формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Рассмотрим задачу. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент внёс 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

Решение: Для решения задачи подставим в формулу величину процентной ставки p=2, числа месяцев n=6 и первоначального вклада S=500:

S 6 =(1+ 500=1,12500=560(руб.)

Ответ: через полгода будет 560 рублей.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшится за данный период времени на определённое число процентов. В этом случае

Эта формула также называется формулой простого процентного роста. Хотя заданная величина в действительности убывает.

Сложный процентный рост.

В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесённой суммы на счёте начисляется p% от неё. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги- «проценты».

Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года p% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. При этом ещё говорят, что эти проценты капитализируются. При такой системе, начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.

Решим задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна Sn рублей.

P% от S составляет ( рублей и через год на счёте окажется сумма S 1 =S+ S=(1+

Через два года на счёте будет сумма

S 2 =S 1 + S 1 =(1+ )S 1 =(1+ )(1+ )S=(1+ ) 2 S

Другими словами, справедливо равенство

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста или просто формулой сложных процентов.

Решим задачу.

Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесенная сумма равна 5000 рублей?

Подставим формулу S n =(1+ ) n S

Значение процентной ставки p=10, количество лет п=4 и величину первоначального вклада S=5000 рублей.

S 4 =(1+ ) 4 5000=1,1 4 5000=1,46415000=7320,5(руб.)

Ответ: через 4 года на счёте будет 7320,5 рублей.

Полученная выше формула применима, естественно, не только к задачам о росте вклада, но и к любой ситуации, когда рассматривается величина, которая за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения. При уменьшении величины на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, проявляется знак минус.

Рассмотрим задачу.

Численность населения в городе Т. В течение двух лет возрастала на 2% ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в городе Т. Первоначально?

Пусть х человек (хN) было первоначально. Тогда согласно условию задачи через два года количество жителей составило х(1+ ) 2 или (х+11312) человек. Получим уравнение:

х(1+ ) 2 =х+11312

х1,02 2 = х+11312

х(1,02 2 -1)= 11312

х(1,02-1)(1,02+1)=11312

Ответ: 280000 жителей было в городе Т. Первоначально.

Список литературы

Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы под редакцией Сканави М.И. М.: «ОНИКС 21 век», «Мир и Образоване», «Альянс-В», 2003г.

2. Г.Г.Гильмиева, Р.Г.Хамитов. Задачи с процентами. Решаем с легкостью. Учебно-методическое пособие, 2008г. Риц «Школа». и сложные . Простые ферменты - это простые ... методика проведения электрофореза на колонке... необходимо знать : 1) ... готовят меньший процентный гомогенат). По... не решенной задачей . Серьезным... полезными при...