Pokojninska blagajna ima v lasti t2. Vrednostni papirji pokojninskih skladov

Priprava na enotni državni izpit iz matematike. Video analiza in izbor ekonomskih problemov o bančnih obrestih in optimizaciji.

Video analiza nalog

Pokojninski sklad ima v lasti vrednostne papirje, ki so ob koncu leta $t$ vredni $t^2$ tisoč rubljev ($t = 1; 2; \ldots$). Ob koncu katerega koli leta lahko pokojninski sklad proda vrednostne papirje in položi denar na bančni račun, ob koncu vsakega naslednjega leta pa se znesek na računu poveča $(1 + r)$-krat. Pokojninski sklad želi ob koncu leta vrednostne papirje prodati tako, da bo ob koncu petindvajsetega leta znesek na njegovem računu največji. Izračuni so pokazali, da je za to treba vrednostne papirje prodati strogo ob koncu enaindvajsetega leta. Za katere pozitivne vrednosti $r$ je to mogoče?

Julija 2016 je načrtovano najem posojila pri banki za pet let v višini S tisoč rubljev. Pogoji za njegovo vrnitev so naslednji:
− vsak januar se dolg poveča za 20 % glede na konec preteklega leta;
− v juliju 2017, 2018 in 2019 dolg ostaja enak S tisoč rubljev;
− plačila v letih 2020 in 2021 znašajo 360 tisoč rubljev;
− do julija 2021 bo dolg v celoti poplačan.
Poiščite skupna plačila za pet let.

15. januarja je načrtovano najem bančnega posojila za 1 milijon rubljev za 6 mesecev. Pogoji za njegovo vrnitev so naslednji:
− vsakega 1. v mesecu se dolg poveča za celo število $r$ odstotkov glede na konec prejšnjega meseca;
− od 2. do 14. v mesecu je treba odplačati del dolga;
− 15. v mesecu mora dolg znašati določen znesek v skladu z naslednjo tabelo

Poiščite največjo vrednost $r$, pri kateri bo skupni znesek plačil manjši od 1,2 milijona rubljev.

Izbor problemov

1. Depozit naj bi bil odprt za štiri leta. Začetni depozit je celo število milijonov rubljev. Ob koncu vsakega leta se prispevek poveča za 10% glede na njegovo velikost na začetku leta, poleg tega pa se na začetku tretjega in četrtega leta prispevek letno dopolni za 2 milijona rubljev. Poiščite največji znesek začetnega depozita, pri katerem bo po štirih letih depozit manjši od 15 milijonov rubljev. (USE-2016)
2. Depozit v višini 10 milijonov rubljev naj bi bil odprt za štiri leta. Ob koncu vsakega leta se vloga poveča za 10 % v primerjavi z njeno velikostjo na začetku leta, poleg tega pa se na začetku tretjega in četrtega leta vloga letno polni za enak fiksni znesek, ki je enak na celo število milijonov rubljev. Poiščite najmanjši možni znesek, tako da bo depozit po štirih letih znašal najmanj 30 milijonov rubljev. (USE-2016)
3. Julija 2016 je načrtovano najem bančnega posojila za štiri leta v višini $S$ milijonov rubljev, kjer je $S$ celo število. Pogoji za njegovo vrnitev so naslednji:
   
   − od februarja do junija vsako leto je treba odplačati del dolga;
   − v juliju vsakega leta mora biti dolg del posojila v skladu z naslednjo tabelo. Poiščite največjo vrednost $S$, pri kateri bo skupni znesek plačil manjši od 50 milijonov rubljev. (USE-2016)
4. Julija 2016 je načrtovano najem bančnega posojila za pet let v višini $S$ tisoč rubljev. Pogoji za njegovo vrnitev so naslednji:
   − vsak januar se dolg poveča za 25 % glede na konec preteklega leta;
   − od februarja do junija vsako leto je treba odplačati del dolga;
   − v juliju 2017, 2018 in 2019 dolg ostaja enak $S$ tisoč rubljev;
   − plačila v letih 2020 in 2021 znašajo 625 tisoč rubljev;
   − do julija 2021 bo dolg v celoti poplačan. Poiščite skupna plačila za pet let. (USE-2016)
5. Depozit v višini 10 milijonov rubljev naj bi bil odprt za štiri leta. Ob koncu vsakega leta banka depozit poveča za 10 % glede na njegovo višino na začetku leta. Poleg tega vlagatelj na začetku tretjega in četrtega leta letno dopolni depozit za $x$ milijonov rubljev, kjer je $x$ celo število. Poiščite najmanjšo vrednost x, pri kateri bo banka v štirih letih nakazala več kot 7 milijonov rubljev na depozit. (USE-2016)
6. Depozit v višini 20 milijonov rubljev naj bi bil odprt za štiri leta. Ob koncu vsakega leta banka depozit poveča za 10 % glede na njegovo višino na začetku leta. Poleg tega vlagatelj na začetku tretjega in četrtega leta letno dopolni depozit za $x$ milijonov rubljev, kjer je $x$ celo število. Poiščite največjo vrednost $x$, pri kateri bo banka v štirih letih pripisala manj kot 17 milijonov rubljev na depozit. (USE-2016)
7. V juliju 2016 je načrtovano najem bančnega posojila v višini $S$ tisoč rubljev, kjer je $S$ naravno število, za 3 leta. Pogoji za njegovo vrnitev so naslednji
   − vsak januar se dolg poveča za 15 % glede na konec preteklega leta;
   − od februarja do junija vsako leto je treba plačati del dolga v enem plačilu;
   − v juliju vsakega leta mora biti dolg del posojila v skladu z naslednjo tabelo. Poiščite najmanjšo vrednost S, pri kateri bo vsako plačilo celo število tisoč rubljev. (USE-2016)
8. Vladimir je lastnik dveh tovarn v različnih mestih. Tovarni proizvajata povsem enako blago, vendar tovarna v drugem mestu uporablja naprednejšo opremo. Kot rezultat, če delavci v tovarni, ki se nahaja v prvem mestu, delajo skupno $t^2$ ur na teden, potem v tem tednu proizvedejo $2t$ enot blaga; Če delavci v tovarni v drugem mestu delajo skupno $t^2$ ur na teden, potem v tem tednu proizvedejo $5t$ enot blaga. Za vsako uro dela (v vsaki tovarni) Vladimir plača delavcu 500 rubljev. Vladimir mora vsak teden proizvesti 580 enot blaga. Kolikšen je najmanjši znesek, ki ga boste morali porabiti tedensko za plačilo delavcev? (USE-2015)
9. Gregory je lastnik dveh tovarn v različnih mestih. Tovarni proizvajata povsem enako blago, vendar tovarna v drugem mestu uporablja naprednejšo opremo. Kot rezultat, če delavci v tovarni, ki se nahaja v prvem mestu, delajo skupaj $t^2$ ur na teden, potem v tem tednu proizvedejo $3t$ enot blaga; Če delavci v tovarni v drugem mestu delajo skupaj $t^2$ ur na teden, potem v tem tednu proizvedejo $4t$ enot blaga. Za vsako uro dela (v vsaki tovarni) Grigorij plača delavcu 500 rubljev. Grigorij je pripravljen za plačilo delavcev nameniti 5.000.000 rubljev na teden. Kakšno je največje število enot, ki jih je mogoče proizvesti v enem tednu v teh dveh obratih? (USE-2015)
10. 15. januarja je predviden najem bančnega posojila za 19 mesecev. Pogoji za njegovo vrnitev so naslednji:
    — 1. vsakega meseca se bo dolg povečal za $r$% glede na konec prejšnjega meseca;
    — od 2. do 14. vsakega meseca je treba odplačati del dolga;
    — Vsakega 15. v mesecu mora biti dolg enak znesku manjši od dolga 15. v prejšnjem mesecu.
    Znano je, da je skupni znesek plačil po popolnem odplačilu posojila 30% večji od izposojenega zneska. Poiščite $r$. (USE-2015)
11. 31. decembra 2013 je Sergej pri banki vzel kredit v višini 9.930.000 rubljev z 10% letno. Shema odplačevanja posojila je naslednja: 31. decembra vsako naslednje leto banka zaračuna obresti na preostali znesek dolga (torej dolg poveča za 10%), nato Sergej določen znesek letnega plačila nakaže na banka. Kolikšen bi moral biti znesek letnega plačila, da bi Sergej dolg odplačal v treh enakih letnih obrokih?
12. Sergej je najel bančno posojilo za obdobje 9 mesecev. Ob koncu vsakega meseca se skupni znesek preostalega dolga poveča za 12 % in nato zmanjša za znesek, ki ga plača Sergej. Izplačani zneski ob koncu vsakega meseca so izbrani tako, da se posledično znesek dolga vsak mesec enakomerno zmanjšuje, to je za enak znesek. Kolikšen odstotek zneska posojila je bil skupni znesek, ki ga je Sergej plačal banki (če presega posojilo)?
13. Državljan Petrov je ob rojstvu sina 1. septembra 2008 odprl bančni račun, na katerega letno položi 1000 rubljev. V skladu s pogoji depozita banka letno zaračuna 20% zneska na računu. Po 6 letih je državljan Petrov dobil hčerko in 1. septembra 2014 je odprl račun v drugi banki, na katerega letno položi 2200 rubljev, banka pa zaračuna 44% na leto. V katerem letu, po naslednji polnitvi, bodo zneski depozitov enaki, če denar ne bo dvignjen z računov?
14. Kmet je od banke dobil posojilo z določenim odstotkom na leto. Leto kasneje je kmet za poplačilo posojila vrnil banki $\dfrac(3)(4)$ celotnega zneska, ki ga je do takrat dolgoval banki, leto kasneje pa, da bi ga v celoti poplačal. posojila je na banko položil znesek v višini 21 %, ki je presegal znesek prejetega posojila. Kakšna je letna obrestna mera za posojilo te banke?
15. Igor je kupil delnico za 8000. Ob koncu vsakega leta se vrednost delnice poveča za 1000. Igor lahko delnico kadarkoli proda in ves denar položi na bančni račun. Ob koncu vsakega leta se znesek na bančnem računu poveča za 8 %. V katerem letu mora Igor položiti denar na banko, da bo 25 let po nakupu delnic znesek na bančnem računu maksimalen?
16. Za depozit »A« banka v obdobju treh let ob koncu vsakega leta poveča za 20 % razpoložljivi znesek na depozitu v začetku leta, za depozit »B« pa za 21 %. % v vsakem od prvih dveh let. Poiščite najmanjše celo število odstotkov za tretje leto na depozitu "B", pri katerem bo vsa tri leta ta depozit še vedno donosnejši od depozita "A".
17. V skladu s poslovnim načrtom je v štiriletni projekt predvideno vlaganje milijonov rubljev. Ob koncu vsakega leta je načrtovano povečanje sredstev vlagateljev za 20 % glede na začetek leta. Natečene obresti ostanejo vložene v projekt. Poleg tega so takoj po izračunu obresti potrebne dodatne naložbe: 20 milijonov rubljev v prvem in drugem letu ter 10 milijonov v tretjem in četrtem letu. Poiščite najmanjši znesek začetnih naložb, pri katerem bodo v dveh letih postale več kot 125 milijonov, v štirih letih pa več kot 200 milijonov rubljev.
18. V dveh regijah je zaposlenih 160 delavcev, od katerih je vsak pripravljen delati 5 ur na dan pri rudarjenju aluminija ali niklja. Na prvem območju en delavec pridobi 0,1 kg aluminija oziroma 0,3 kg niklja na uro. Na drugem področju rudarjenje $x$ kg aluminija na dan zahteva $x^2$ delovnih ur, pridobivanje $y$ kg niklja na dan pa $y^2$ delovnih ur. Za industrijske potrebe lahko uporabimo aluminij ali nikelj, 1 kg aluminija pa lahko nadomestimo z 1 kg niklja. Kolikšna je največja masa kovin, ki jo je mogoče skupno izkopati v dveh regijah za industrijske potrebe?
19. Draguljar je v obdelavo prejel diamant z napako. To napako lahko odpravite tako, da diamant razdelite na tri dele, katerih skupna teža po rezanju bo 50 karatov. V tem primeru teža manjšega od nastalih diamantov ne bo manjša od 5 karatov, teža večjega od njih pa ne bo večja od 30 karatov (možnost enake teže diamantov ni izključena). Znano je, da je cena diamanta sorazmerna s kvadratom njegove teže. Koliko teže mora mojster dati vsakemu od treh diamantov, da bo njihova skupna vrednost največja?
20. Majhno podjetje proizvaja dve vrsti izdelkov. Za izdelavo izdelka prve vrste je potrebnih 5 ur delovanja stroja A in 3 ure delovanja stroja B, za izdelavo izdelka druge vrste pa 2 uri delovanja stroja A in 4 ure delovanja stroja A. stroj B (stroji lahko delujejo v poljubnem vrstnem redu). Iz tehničnih razlogov lahko stroj A dela največ 150 ur na mesec, stroj B - ne več kot 132 ur na mesec. Vsak izdelek prve vrste prinese podjetju 300 denarnih enot dobička, vsak izdelek druge vrste pa 200 denarnih enot dobička. Poiščite najvišji možni mesečni dobiček podjetja in ugotovite, koliko izdelkov prve vrste in koliko izdelkov druge vrste je treba proizvesti za pridobitev tega dobička.
21. Depozit naj bi bil odprt za štiri leta. Začetni depozit je celo število milijonov rubljev. Ob koncu vsakega leta se prispevek poveča za 10% glede na njegovo velikost na začetku leta, poleg tega pa se na začetku tretjega in četrtega leta prispevek letno dopolni za 2 milijona rubljev. Poiščite največji znesek začetnega depozita, pri katerem bo po štirih letih depozit manjši od 15 milijonov rubljev.
22. Julija je načrtovano najem bančnega posojila v višini 28 milijonov rubljev za določeno obdobje (celo število let). Pogoji za njegovo odplačilo so naslednji: - vsak januar se dolg poveča za 25 % glede na konec prejšnjega leta; — od februarja do junija vsako leto je treba odplačati del dolga; — v juliju vsakega leta mora biti dolg za enak znesek manjši od dolga za julij prejšnjega leta. Kolikšen bo skupni znesek plačil po popolnem odplačilu posojila, če je največje letno plačilo 9 milijonov rubljev?
23. Aleksej je kupil vrednostni papir za 7 tisoč rubljev. Cena papirja se vsako leto poveča za 2 tisoč rubljev. Alexey lahko papir kadar koli proda in izkupiček položi na bančni račun. Vsako leto se znesek na računu poveča za 10%. V katerem letu po nakupu naj Aleksej proda vrednostni papir, da bo trideset let po nakupu tega vrednostnega papirja znesek na bančnem računu največji?
24. Savely želi vzeti posojilo v višini 1,4 milijona rubljev. Posojilo se odplačuje enkrat letno v enakih zneskih (razen morda zadnjega) po obračunu obresti. Obrestna mera je 10% letno. Za koliko let lahko Saveliy vzame posojilo, tako da letna plačila ne presegajo 330 tisoč rubljev?
25. Peter je 31. decembra 2014 pri banki najel določen znesek kredita z določenim odstotkom na leto. Shema odplačevanja kredita je naslednja - 31. decembra vsako naslednje leto banka zaračuna obresti na preostali znesek dolga (to pomeni, da dolg poveča za odstotek), nato Peter nakaže naslednjo tranšo. Če vsako leto plača 2.592.000 rubljev, bo dolg odplačal v 4 letih. Če vsak 4.392.000 rubljev, potem 2 leti. Po kolikšnem odstotku je Peter vzel denar iz banke?
26. Odvisnost količine $Q$ (v enotah) blaga, kupljenega pri podjetju, od cene $P$ (v rubljih na enoto) je izražena s formulo $Q=15000-P$, $1000\leqslant P\leqslant 15000 $. Dohodek od prodaje blaga znaša $PQ$ rubljev. Stroški proizvodnje $Q$ enot blaga so $3000Q+5000000$ rubljev. Dobiček je enak razliki med prihodkom od prodaje izdelka in stroški njegove proizvodnje. Da bi pritegnili pozornost kupcev, je podjetje znižalo ceno izdelkov za 20%, vendar se njegov dobiček ni spremenil. Za koliko odstotkov je treba zvišati znižano ceno, da dosežemo največji dobiček?
27. Gradnja novega obrata stane 78 milijonov rubljev. Proizvodni stroški x tisoč enot. izdelki v takem obratu so enaki $0,5x^2+2x+6$ milijonov rubljev na leto. Če se izdelki tovarne prodajajo po ceni r tisoč rubljev na enoto, bo dobiček podjetja (v milijonih rubljev) za eno leto $px - (0,5x^2+2x+6)$. Ko bo obrat zgrajen, bo podjetje proizvajalo izdelke v takih količinah, da bo dobiček največji. Pri kateri najmanjši vrednosti p se bo gradnja elektrarne povrnila v največ 3 letih?
28. V dveh regijah je zaposlenih 160 delavcev, od katerih je vsak pripravljen delati 5 ur na dan pri rudarjenju aluminija ali niklja. Na prvem območju en delavec pridobi 0,1 kg aluminija oziroma 0,3 kg niklja na uro. Na drugem področju je za izkop x kg aluminija na dan potrebnih $x^2$ delovnih ur, za izkopavanje kg niklja na dan pa $y^2$ delovnih ur. Za industrijske potrebe lahko uporabimo aluminij ali nikelj, 1 kg aluminija pa lahko nadomestimo z 1 kg niklja. Kolikšna je največja masa kovin, ki jo je mogoče izkopati v dveh regijah skupaj na dan za industrijske potrebe?
29. Dva rudnika proizvajata aluminij in nikelj. V prvem rudniku je 60 delavcev, od katerih je vsak pripravljen delati 5 ur na dan. V tem primeru en delavec proizvede 2 kg aluminija ali 3 kg niklja na uro. V drugem rudniku je 260 delavcev, od katerih je vsak pripravljen delati 5 ur na dan. V tem primeru en delavec proizvede 3 kg aluminija ali 2 kg niklja na uro. Oba rudnika dobavljata izkopano kovino obratu, kjer za industrijske potrebe proizvajajo zlitino aluminija in niklja, pri kateri 1 kg niklja predstavlja 2 kg aluminija. Hkrati se rudniki med seboj dogovorijo za pridobivanje kovin, da lahko obrat proizvede največjo količino zlitine. Koliko kilogramov zlitine lahko proizvede obrat dnevno v takih pogojih?
30. Podjetnik je kupil stavbo in namerava v njej odpreti hotel. Hotel ima lahko standardne sobe s površino 27 kvadratnih metrov in luksuzne sobe s površino 45 kvadratnih metrov. Skupna površina, ki jo je mogoče dodeliti sobam, je 981 kvadratnih metrov. Podjetnik lahko to površino poljubno razdeli med različne vrste prostorov. Običajna soba bo hotelu prinesla 2000 rubljev na dan, luksuzna soba pa 4000 rubljev na dan. Kolikšen je največji znesek denarja, ki ga lahko podjetnik zasluži na dan s svojim hotelom?
31. Kmet ima dve njivi, vsako ima površino 10 ha. Na vsakem polju lahko gojite krompir in peso, polja lahko razdelite med te kulture v poljubnem razmerju. Pridelek krompirja na prvem polju je 500 c/ha, na drugem polju pa 300 c/ha. Pridelek pese na prvem polju je 300 c/ha, na drugem pa 500 c/ha. Kmet lahko proda krompir za 5000 rubljev. na centner, in pesa - po ceni 8.000 rubljev. na centner. Kakšen je najvišji dohodek, ki ga lahko prejme kmet?
32. V 1. razred vstopa 45 ljudi: 20 fantov in 25 deklet. Razdelili so jih v dva razreda: v enem naj bi bilo 22 ljudi, v drugem pa 23. Po razdelitvi so izračunali odstotek deklet v vsakem razredu in dobljene številke sešteli. Kakšna naj bo porazdelitev po razredih, da bo dobljeni znesek največji?
33. Kmet ima dve njivi, vsako ima površino 10 ha. Na vsakem polju lahko gojite krompir in peso, polja lahko razdelite med te kulture v poljubnem razmerju. Pridelek krompirja na prvem polju je 400 c/ha, na drugem polju pa 300 c/ha. Pridelek pese na prvem polju je 300 c/ha, na drugem polju pa 400 c/ha. Kmet lahko prodaja krompir po ceni 10.000 rubljev. na centner, in pesa - po ceni 11.000 rubljev. na centner. Kakšen je najvišji dohodek, ki ga lahko prejme kmet?
34. V dveh regijah je zaposlenih 160 delavcev, od katerih je vsak pripravljen delati 5 ur na dan pri rudarjenju aluminija ali niklja. Na prvem območju en delavec pridobi 0,1 kg aluminija oziroma 0,1 kg niklja na uro. Na drugem področju je za izkop x kg aluminija na dan potrebnih $x^2$ delovnih ur, za izkopavanje kg niklja na dan pa $y^2$ delovnih ur. Za industrijske potrebe lahko uporabimo aluminij ali nikelj, 1 kg aluminija pa lahko nadomestimo z 1 kg niklja. Kolikšna je največja masa kovin, ki jo je mogoče skupaj izkopati v dveh regijah v enem dnevu?
35. Vsaka od obeh tovarn zaposluje 100 ljudi. V prvem obratu en delavec na izmeno proizvede 3 dele A ali 1 del B. V drugem obratu je za proizvodnjo t delov (tako A kot B) potrebnih $t^2$ delovnih izmen. Obe tovarni dobavljata dele v obrat, kjer se izdelek sestavi, njegova proizvodnja pa zahteva 1 del A in 3 dele B. Istočasno se tovarni med seboj dogovorita za proizvodnjo delov tako, da se lahko sestavi največje število izdelkov. Koliko izdelkov lahko v takšnih pogojih obrat sestavi na izmeno?
36. Gregory je lastnik dveh tovarn v različnih mestih. Tovarni proizvajata povsem enako blago, vendar tovarna v drugem mestu uporablja naprednejšo opremo. Kot rezultat, če delavci v tovarni, ki se nahaja v prvem mestu, delajo skupno $t^2$ ur na teden, potem v tem tednu proizvedejo 3t enot blaga; Če delavci v tovarni v drugem mestu delajo skupaj $t^2$ ur na teden, potem v tem tednu proizvedejo 4t enot blaga. Za vsako uro dela (v vsaki tovarni) Grigorij plača delavcu 500 rubljev. Grigorij je pripravljen za plačilo delavcev nameniti 5.000.000 rubljev na teden. Kakšno je največje število enot, ki jih je mogoče proizvesti v enem tednu v teh dveh obratih?
37. Proizvodnja x tisoč enot izdelka stane $q = 0,5x^2 + x + 7 milijonov rubljev na leto. Pri ceni p tisoč rubljev na enoto je letni dobiček od prodaje tega izdelka (v milijonih rubljev) $px - q$. Pri kateri najnižji vrednosti p bo skupni dobiček v treh letih vsaj 75 milijonov rubljev?
38. Primarne informacije so razdeljene na strežnika št. 1 in št. 2 in se na njih obdelujejo. Iz strežnika št. 1, z obsegom $t^2$ GB vhodnih informacij, pride ven $20t$ GB informacij, iz strežnika št. 2, z obsegom $t^2$ GB vhodnih informacij, pa Izide $21t$ GB obdelanih informacij; 25 $< t < 55$. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?

Pokojninski sklad ima v lasti vrednostne papirje, ki so ob koncu leta vredni več tisoč rubljev.Ob koncu katerega koli leta lahko pokojninski sklad proda vrednostne papirje in položi denar na bančni račun, ob koncu vsakega naslednjega leta pa znesek v račun se bo povečal za nekajkrat. Pokojninski sklad želi vrednostne papirje ob koncu leta prodati tako, da bo ob koncu petindvajsetega leta znesek na njegovem računu največji. Izračuni so pokazali, da je za to treba vrednostne papirje prodati strogo ob koncu enaindvajsetega leta. Pri kakšnih pozitivnih vrednostih r ali je to možno?

rešitev.

Če pokojninski sklad prodaja vrednostne papirje na koncu kode k, potem bo ob koncu petindvajsetega leta na njegovem računu tisoč rubljev.

Poiščimo izpeljanko dobljenega izraza:

Upoštevajte, da je najdeni derivat enak nič v eni sami točki in je pozitiven pri in negativen pri Zato se poveča za in zmanjša za Iz pogoja je znano, da je treba vrednostne papirje prodati ob koncu 21 let, torej, dohodek od prodaje vrednostnih papirjev ob koncu 21 let je večji od dohodka, ki bi ga sklad lahko prejel pri prodaji vrednostnih papirjev ob koncu 20. leta in ob koncu 22. leta. Iz zgoraj omenjene narave monotonosti funkcije lahko sklepamo, da je izpolnitev neenakosti in zagotavlja, da za vse vrednosti k, drugačen od 21. To pomeni, da je potrebno in zadostno najti rešitve sistema neenačb:

Opomba. Rešitev ni mogoče omejiti na reševanje neenačb (*). Iz dejstva, da je prihodek od prodaje vrednostnih papirjev konec leta 21 večji od prihodka od njihove prodaje konec leta 20 in 22, ne sledi, da je ta prihodek večji kot prihodek od prodaje v katerem koli drugem letu, in prav to je določeno v pogoju. Lahko pa brez izpeljanke.

Na primer, upoštevajte razliko med pričakovanim dohodkom od prodaje vrednostnih papirjev ob koncu leta in leta:

Prvi faktor je pozitiven, drugi lahko spremeni predznak. Pozitivnost produkta pomeni, da dohodek, ki ga bo sklad prejel s prodajo vrednostnih papirjev ob koncu leta k, manj prihodkov ob njihovi prodaji naslednje leto. Negativnost produkta pomeni, da dohodek, ki ga bo sklad prejel s prodajo vrednostnih papirjev ob koncu leta k, več prihodkov, ki jih lahko prejmete s prodajo vrednostnih papirjev naslednje leto.

Naj Ker ima kvadratni trinom en sam koren na pozitivni pol-osi, in torej, če je za neko naravno število kČe je neenakost izpolnjena, potem je neenakost izpolnjena za vse. Iz tega sledi, da če se je dohodek od prodaje delnic v nekem letu izkazal za manj dobičkonosnega od dohodka od prodaje v prejšnjem letu, potem je v vseh naslednjih letih bo manj donosna prodaja delnic.

Ker je treba vrednostne papirje prodati strogo ob koncu enaindvajsetega leta, morajo biti hkrati izpolnjene neenakosti, to je in torej in od koder

Dajmo še eno utemeljitev. Ugotovimo, kolikokrat se vrednost vrednostnih papirjev poveča glede na njihovo vrednost v preteklem letu, če sklad vrednostnih papirjev ne prodaja, ampak jih hrani:

Nastalo razmerje monotono pada z naraščanjem k, torej če ima sklad vrednostne papirje, ne da bi jih prodal, z leti dobiček dohodka pada in se približuje enotnosti. Zaradi prikazanega zmanjšanja, če je trenutek prodaje prišel ob koncu 21 let, potem ni mogel priti niti prej niti pozneje. Zato rešitve dvojne neenakosti

bo podala zahtevane vrednosti r. Prva od teh neenakosti pomeni, da bo dohodek od imetja vrednostnih papirjev v 22. letu prinesel manj dobička, kot če bi bili prodani ob koncu 21. leta - nima smisla čakati, saj je donosnost postala manjša od bančne. in bo vsa naslednja leta manj. Druga neenakost pomeni, da prodaja prej tudi ni bila smiselna - prihodki od imetja vrednostnih papirjev v 21. letu presegajo prihodke, ki bi jih prejeli od banke, in tako je bilo vsa prejšnja leta.

Omeniti velja še, da

Razmislimo o več težavah z ekonomsko vsebino iz odprte banke opravil FIPI.

Naloga 1. t 2 tisoč rubljev ob koncu leta t (t = 1 ;   2 ;   … 1 + r enkrat. Pokojninski sklad želi vrednostne papirje ob koncu leta prodati tako, da bo ob koncu dvajsetega leta znesek na njegovem računu največji. Izračuni so pokazali, da je za to treba vrednostne papirje prodati strogo ob koncu devetega leta. Pri kakšnih pozitivnih vrednostih r ali je to možno?

rešitev.Pazljivo si oglejmo pogoje problema.

Ob koncu prvega letavrednostni papirji stanejo 1-2 tisoč rubljev,

Ob koncu drugega letavrednostni papirji stanejo 2-2 tisoč rubljev,

Ob koncu tretjega letnikavrednostni papirji stanejo 3-2 tisoč rubljev,

………………………….

Na koncu t -1 letastroški vrednostnih papirjev (t -1 ) 2 tisoč rubljev,

Na koncu t letavrednostni papirji so vrednit 2 tisoč rubljev.

Zdaj pa razumemo, kolikokrat se vrednost vrednostnih papirjev poveča v primerjavi s prejšnjim letom:

t 2 /(t -1 ) 2 =(t /(t -1)) 2 = ((t-1+1) /(t -1)) 2 = (1+1 /(t -1)) 2 =1+2 /(t -1)+1 /(t -1) 2 .

Prodaja vrednostnih papirjev in vlaganje denarja v banko je smiselno, ko ima banka rastr v enem letu bo več kot2 /(t -1)+1 /(t -1) 2 .

V skladu s pogoji naloge morajo biti vrednostni papirji prodani striktno ob koncu 9. leta, kar pomeni, da je v 9. letu povečanje vrednosti vrednostnih papirjev celo večje od povečanja banke,

in v 10. letu ga ni več. Na koncu leta 9 dobimo:

2 /(9 -1)+1 /(9 -1) 2 > r ali 2/8+1/64 > r, 17/64 > r.

Ob koncu leta 10:

2 /(10 -1)+1 /(10 -1) 2 < r или 2/9+1/81< r, 19/81< r.

Kot rezultat dobimo dvojno neenakost

19/81< r <17/64.

odgovor: 19/81< r <17/64.

PS. Če ulomke v odgovoru zreduciramo na skupni imenovalec, dobimo

1216/5184< r <1377/5184, среди них есть r = 1296/5184=1/4=0,25. То есть, если каждый год вклад в банке будет увеличиваться на 25%.

Naloga 2.Pokojninski sklad ima v lasti vrednostne papirje v vrednosti t 2 tisoč rubljev ob koncu leta t (t = 1 ;   2 ;   … ). Ob koncu katerega koli leta lahko pokojninski sklad proda vrednostne papirje in položi denar na bančni račun, ob koncu vsakega naslednjega leta pa se znesek na računu poveča za 10 %. Ob koncu katerega leta naj pokojninski sklad proda vrednostne papirje, da bo ob koncu petindvajsetega leta znesek na njegovem računu največji?

Uporabimo izračune iz prejšnje naloge. Prodaja vrednostnih papirjev in vlaganje denarja v banko je smiselno, ko ima banka rastr v enem letu bo več kot2 /(t -1)+1 /(t -1) 2 . V našem primeru 2 /(t -1)+1 /(t -1) 2 <0,1.

S spremembo spremenljivk y= t -1 , dobimo neenakost 2/ pri +1/leto 2 <0,1 или, после умножения обеих частей неравенства на 10 pri 2 , dobimo pri 2 – 20 pri –10 >0 .

Neenačbo rešujemo z intervalno metodo, koreni enačbepri 2 – 20 pri –10 =0 y 1 = 10 - Ö 110 in y 2 = 10 + Ö 110 . Glede na to y >0 dobimo y >10 + Ö 110.

Izvedba obratne zamenjavet -1 >10 + Ö 110 oz t >11+ Ö 110.

2. Pokojninski sklad ima v lasti vrednostne papirje v vrednosti t 2 tisoč rubljev ob koncu leta t (t= 1; 2 ; ...). Ob koncu katerega koli leta lahko pokojninski sklad proda vrednostne papirje in položi denar na bančni račun, ob koncu vsakega naslednjega leta pa se znesek na računu poveča za 25%. Ob koncu katerega leta naj pokojninski sklad proda vrednostne papirje, da bo ob koncu dvajsetega leta znesek na njegovem računu največji?