Obresti se lahko obračunajo na enega od štirih načinov:
po formulah enostavnega interesa;
po formulah sestavljenih obresti;
uporaba fiksne obrestne mere;
z uporabo spremenljive obrestne mere.
Če v pogodbi ni določen način obračunavanja obresti, se obresti izračunajo po formuli preprostih obresti z uporabo fiksne obrestne mere.
Pri izračunu višine obresti na privzeta in plasirana sredstva se upoštevata obrestna mera (v odstotkih na leto) in dejansko število koledarskih dni, za katere so bila sredstva privzeta oziroma plasirana.
nežna zdravila. V tem primeru se za osnovo vzame dejansko število koledarskih dni v letu (365 oziroma 366).
Razmislimo o formuli za določanje vračunanega zneska dolga na privzeta (plasirana) sredstva bank.
Enostavna formula obresti:
S = Px (1 + 1xT / K), (19,1)
kje:
T je število dni obračunavanja obresti na privzeta (naložena) sredstva;
Р - začetni znesek pritegnjenih sredstev (v depozitu, depozitu in drugih bančnih računih) ali danih (na kredit, posojilo na drugih bančnih računih);
S- znesek sredstev, ki jih je treba vrniti (prejeti), enak začetnemu znesku pritegnjenih (položenih) sredstev, ki se jim prištejejo obračunane obresti.
Primer 1. Določanje obračunanih obresti na znesek vezanega depozita po formuli 19.1.
02.07.99 Banka sprejema gotovino v medbančnem depozitu v višini 50 tisoč rubljev. za obdobje 7 dni po stopnji 24,9 %. Polni rok depozita (02-09.07.99) je 8 koledarskih dni, rok za obračunavanje obresti na depozit (02-08.07.99) je 7 koledarskih dni. 09.07.99 banka vrne znesek depozita in plača obračunane obresti v višini:
50.000 rubljev x 24,9% x (7 dni / 365 dni) = 238 rubljev. 77 kopejk.
Primer 2. Obračun obresti na znesek posojila, danega po fiksni obrestni meri (glej formulo 19.1.). 11. avgusta 1999 banka izda posojilo pravni osebi (podjetju) v višini 250 tisoč rubljev. za 1 mesec po stopnji 25%. Rok za vračilo zneska posojila in plačilo obresti nanj je 11. 09. 99. Polni rok posojila (11. 8.-11. 9. 99) je 32 koledarskih dni, obdobje za obračunavanje obresti na posojilo (11. 8.-10. 09.). 99) je 31 koledarskih dni. 11.09.99, v skladu s pogoji posojilne pogodbe, posojilojemalec odplača posojilni dolg banki in plača obresti za koriščenje posojila v višini:
250.000 rubljev x 25% x (31 dni / 365 dni) = 5308 rubljev. 22 kopejk
Formula sestavljenih obresti:
S = Px (l + IxJ / K) \ (19,2)
kje:
I - letna obrestna mera;
J - število koledarskih dni v obdobju, po katerem banka usredstveni obračunane obresti;
K - število koledarskih dni v letu (365 in 366);
n - število operacij kapitalizacije obračunanih obresti v celotnem obdobju pridobivanja (plasiranja) sredstev;
Р - začetni znesek pritegnjenih sredstev (na depozit, depozit in druge bančne račune) ali danih (na kredit, posojilo na drugih bančnih računih);
S - znesek sredstev, ki jih je treba vrniti (prejeti), enak začetnemu znesku pritegnjenih (položenih) sredstev, ki se jim prištejejo obračunane obresti.
Primer 3. Obračun obresti na znesek vezanega depozita s pogojem mesečne kapitalizacije obresti (glej formule 19.1-10.2).
20. julija 1999 banka z vlagateljem sklene 3-mesečno pogodbo o vlogi (rok za vračilo depozita je 20. 10. 99). Znesek depozita je 10 tisoč rubljev. Obrestna mera - 22%, 20. dan vsakega meseca pogodbe se obračunane obresti usredstvenijo. Ponovna prijava depozita ob izteku pogodbe pod prej veljavnimi pogoji vezanega depozita pogodba ni predvidena. Plačilo obresti na znesek depozita se izvede po izteku pogodbe. V času trajanja pogodbe banka trikrat, 20. 8. 99, 20. 9. 99 in 20. 10. 99, usredstveni obračunane obresti na depozit. 20. oktobra 1999, ko je potekla pogodba o vezanem depozitu, se vlagatelj v roku, določenem v pogodbi, ni pojavil za depozit. Istega dne, po koncu operativnega dne, banka določeno vezano vlogo ponovno formalizira v depozit na vpogled. Dne 28.10-99 vlagatelj prejme znesek depozita na vpogled in obračunane obresti za obdobje od 20.10.99 do vključno 27.10.99 (8 koledarskih dni) po fiksni obrestni meri 4%. Polni rok vezanega depozita (20.07-20.10.99) je 93 koledarskih dni, obdobje obračunavanja obresti po stopnji vezanega depozita je 22% (20.07-19.10.99) - 92 koledarskih dni.
Polni rok depozita na vpogled (20.10-28.10.99) je 9 koledarskih dni. Obdobje obračunavanja obresti po stopnji depozita na vpogled - 4% (20.10-27.10.99) - 8 koledarskih dni.
Postopek za izračun obresti s strani banke na znesek depozita bo naslednji:
znesek vezanega depozita na dan 21.08.99 (s kapitalizacijo obračunanih obresti za obdobje od 20.07.99 do vključno 19.08.99):
10.000 rubljev (10.000 x 22% x 31 dni / 365 dni) = 10.186 rubljev. 85 kopejk
znesek vezanega depozita na dan 21. 09. 99 (s kapitalizacijo obračunanih obresti za obdobje od 20. 99. do vključno 19. 9. 99):
10 186,85 rubljev (10 186,85 x 22 % x 31 dni / 365 dni) = 10 377 rubljev. 19 kopejk
znesek vezanega depozita na koncu delovnega dne 20. oktobra 1999 (s kapitalizacijo obresti, obračunanih za obdobje od 20. septembra 1999 do vključno 19. oktobra 1999), ob koncu delovnega dne dne 20.10.1999 ponovno vknjižen kot depozit na vpogled:
10 377 rubljev 85 kopejk + (10.377 rubljev 19 kopejk x 22% x 30 dni / 365 dni) = 10.564 rubljev. 83 kopejk
znesek obresti na depozit na vpogled (za obdobje od 20.10.99 do vključno 27.10.99)
10.564 RUB 83 kopejk x 4% x 8 dni / 365 dni) = 9 rubljev. 26 kopejk.
Tako bo skupni znesek denarja, vrnjenega vlagatelju, od 28.10.99 znašal 10.574 rubljev. 09 kopejk, od tega 10.764 rubljev. 83 kopejk - znesek vezanega depozita, ob upoštevanju kapitaliziranih obresti in 9 rubljev. 26 kopejk. - obračunane obresti za čas, ki je pretekel od trenutka ponovnega vpisa določenega vezanega depozita v depozit na vpogled.
Primer 4. Obračun obresti na znesek vezanega depozita po formuli sestavljenih obresti (glej formulo 19.2).
Banka dne 05. 08. 99 z vlagateljem sklene pogodbo o vezanem bančnem depozitu za 21 dni (rok za vračilo depozita je 26. 8. 99). Znesek depozita je 10 tisoč rubljev. Obrestna mera - 15%, v skladu s pogoji pogodbe, obresti, obračunane ob koncu vsakega dneva trajanja depozita, povečajo znesek depozita. Polni rok depozita (05.08-25.08.99) je 22 koledarskih dni, rok za obračunavanje obresti na depozit (05.08-25.08.99) je 21 koledarskih dni, 26.08.99 banka vrne depozit vlagatelju. (ob upoštevanju dnevne kapitalizacije obresti) v višini:
10.000 rubljev x (1 + 15% x 1 dan / 365 dni) x 21 = 10 086 rubljev. 66 kopejk
Primer 5. Obračun obresti na znesek depozita po spremenljivi obrestni meri (glej formulo 19.1).
17. novembra 1999 banka za 7-dnevni depozit pritegne sredstva pravne osebe (podjetja) v višini 45 tisoč rubljev. po spremenljivi obrestni meri, ki je enaka obrestni meri refinanciranja BR v času depozita (od 17. novembra 1999 - 18 %) plus 0,5 %.
19. novembra 1999 Banka Rusije napoveduje znižanje obrestne mere refinanciranja od 20. novembra 1999 z 18 na 16%.
Polni rok depozita (17.-24. november 1999) je 8 koledarskih dni.
24.11.1999 banka družbi vrne znesek depozita in plača obračunane obresti v višini:
(45.000 rubljev x 18,5 % x 3 dni / 365 dni) + (45 000 rubljev x 16,5 % x 4 dni / 365 dni) =
= 149 rubljev 79 kopejk
Obrestna mera - relativni znesek plačil obresti na izposojeni kapital za določeno časovno obdobje, običajno za eno leto.
Glede na stopnjo odzivnosti na spremembe tržne ravni obresti ločimo fiksne in spremenljive obrestne mere.
Fiksna obrestna mera - obrestna mera, določena za celotno obdobje uporabe izposojenih sredstev brez pravice do spremembe.
Spremenljiva obrestna mera - obrestna mera za srednje- in dolgoročna posojila, katere raven niha glede na konjunkturo denarnega trga.
Spremenljiva obrestna mera je sestavljena iz dveh delov. Prvi del predstavlja premično osnovo, ki se spreminja v skladu s konjunkturo denarnega trga. Njeno vlogo običajno igrajo medbančne stopnje ponudbe kreditnih virov: LIBOR, PIBOR, FIBOR itd. Premija je fiksni znesek, ki je predmet dogovora med strankama in praviloma ostane nespremenjen ves čas trajanja. posojilne pogodbe. Višina fiksnega pribitka je odvisna od pogojev posla in stopnje njegovega tveganja.
V monetarni sferi zahodnih držav obstaja veliko različnih obrestnih mer.
Prva stopnja obrestnih mer so uradne obrestne mere, ki jih določajo centralne banke posameznih držav za posojila poslovnim bankam. Te stopnje se imenujejo diskontne ali refinancirane stopnje.
Refinanciranje poslovnih bank se lahko izvede bodisi z neposrednim posojanjem bodisi z reeskontiranjem komercialnih menice. Stopnja pomembnosti te ali one stopnje je odvisna od zgodovinskega razvoja obtoka blagajniških zapisov in sistema refinanciranja v državi.
Diskontna mera Centralne banke Ruske federacije je skupaj s politiko na področju obveznih rezerv iz obsega sredstev, ki jih pritegnejo banke in poslovanja na odprtem trgu, eden glavnih instrumentov monetarne regulacije. Z manevriranjem diskontne mere želi Centralna banka Ruske federacije uravnavati obseg denarne ponudbe v obtoku in stopnjo inflacijske depreciacije denarja. Tako zmanjšanje uradne diskontne stopnje vodi v znižanje stroškov in povečanje ponudbe kreditnih virov na trgu. Cilj te politike je oživiti naložbe in spodbuditi gospodarsko rast. Vodenje obratne računovodske politike vodi v krčenje denarne ponudbe, upočasnitev inflacije, hkrati pa je način za zmanjšanje obsega investicij v gospodarstvo. Tako bi morala računovodska politika Centralne banke temeljiti na stanju denarnega sistema in upoštevati tako nevarnost inflacije v okviru politike »poceni denar« kot negativne posledice nizkih stopenj gospodarske rasti v obdobjih restriktivnih politika Centralne banke Ruske federacije.
Naslednjo raven obrestnih mer predstavljajo stopnje ponudbe na medbančnem kreditnem trgu. Po stopnjah ponudbe vodilne banke posojajo v evrih prvovrstnim bankam tako, da položijo zadnje depozite. Primer je obrestna mera LIBOR (LIBOR) - londonska medbančna ponudbena obrestna mera, ki ni uradno določena vrednost, vsaka velika komercialna banka jo določi glede na konjunkturo denarnega trga od 11. ure vsak delovni dan. Obrestno mero LIBOR razumemo tudi kot povprečno obrestno mero za te banke, izračunano kot aritmetično povprečje.
Obrestne mere so naslednja stopnja obrestnih mer, po kateri poslovne banke dajejo posojila prvovrstnim posojilojemalcem.
Končno, zadnja stopnja obrestnih mer so obrestne mere za bolj tvegana posojila podjetjem in posameznikom.
Rusija ima trenutno tudi celo vrsto obrestnih mer, katerih struktura je blizu zahodni praksi. Razlikujejo se: diskontna stopnja Centralne banke Ruske federacije, obrestne mere medbančnega denarnega trga, ki jih predstavlja velik nabor instrumentov (IIBID - napovedana stopnja za odobritev posojil s strani poslovnih bank, MI AKR - dejanska obrestna mera za dana posojila, izračunana s strani Informacijskega konzorcija kot povprečje obrestnih mer za pridobivanje in dajanje medbančnih posojil, INSTAR - medbančne osnovne obrestne mere, ki jih izračuna Medbančna finančna hiša na podlagi rezultatov poslov, ki jih sklenejo poslovne banke), "osnova" obrestne mere za kreditiranje prvovrstnih komitentov za zavarovana posojila in obrestne mere ob upoštevanju premije za tveganje za kreditiranje drugih posojilojemalcev.
Poleg zgoraj obravnavanih obrestnih mer kreditnega trga, sistem obrestnih mer vključuje obrestne mere denarnega in delniškega trga: obrestne mere na zakladniške, bančne in podjetniške menice, obresti na državne in podjetniške obveznice itd.
V bančni praksi obstajajo različni načini in načini obračunavanja obresti.
Tako se v bančni praksi uporabljajo preproste in sestavljene obresti.
Enostavne obresti se uporabljajo predvsem za kratkoročno posojanje, ko se obresti obračunajo in plačajo posojilodajalcu enkrat na četrtletje ali v drugem obdobju, določenem v pogodbi.
Banka mora skrbno analizirati vse točke, ki lahko na koncu vplivajo na donosnost bančnega poslovanja. Na primer, upoštevati je treba naravo inflacije in v zvezi s tem določiti, kaj je za banko bolj smotrno: bodisi povečati znesek dolga z obračunanimi, a ne zahtevanimi obrestmi, bodisi prejeti letno plačilo za posojilo.
Obstajajo različni načini izračunavanja obresti: določeni so z naravo merjenja števila dni porabe posojila in dolžine leta v dnevih (časovna osnova za izračun obresti). Število dni posojila je torej mogoče natančno ali približno določiti, ko se trajanje katerega koli polnega meseca prizna kot 30 dni. Časovna osnova je enaka bodisi dejanski dolžini leta (365 ali 366 dni) bodisi približno 360 dni. V skladu s tem se uporabljajo naslednje možnosti za izračun zapletenih obresti:
Točne obresti z dejanskim številom dni posojila; ta metoda daje najbolj natančne rezultate in jo uporabljajo številne centralne in velike poslovne banke. Zanj je značilno, da se za izračun uporablja točno število dni posojila, časovna osnova pa je enaka dejanski dolžini leta.
Navadne obresti z natančnim številom dni posojila.
Navadne obresti s približnim številom dni posojila.
Tu je trajanje posojila v dnevih določeno približno, časovna osnova je 360 dni. Menijo, da je natančno število dni posojila v večini primerov večje od približnega, zato je znesek obresti, ki se obračunajo s točnim številom dni, običajno večji kot pri približnem.
Bančna praksa v Rusiji predvideva obračunavanje obresti na privzeta in dana sredstva (razen za dolžniške obveznosti in transakcije s plačilnimi karticami) po prvi metodi, in sicer kot natančne obresti z dejanskim številom dni posojila. Za zadolžnice in potrdila o vlogi se uporablja metoda izračuna navadnih obresti s približnim številom dni posojila.
Kozmetološka naprava Plasma Pencil deluje na principu koagulacijske plazme Obstajajo štiri agregatna stanja snovi: trdna, tekoča, plinasta in plazma. Plazma je delno ali popolnoma ioniziran plin, v katerem sta gostota pozitivnih in negativnih nabojev praktično enaka. Plazemski lok nastane, ko sta kisik in dušik (zrak) ionizirana med elektrodo, ki se napaja z elektriko, in površino kože.
Čas kot dejavnik finančnih in komercialnih izračunov
V praktičnih finančnih in komercialnih transakcijah so zneski denarja nujno povezani z določenimi trenutki ali časovnimi intervali. Za to so v pogodbah določeni ustrezni pogoji, datumi, pogostost prejema sredstev ali njihovih plačil.
Časovni faktor nima nič manjše vloge kot velikost denarnih vsot. Določena je potreba po upoštevanju časovnega faktorja načelo neenakostidenarja ki se nanašajo na različne časovne točke. Dejstvo je, da tudi v odsotnosti inflacije in tveganja 1 milijon rubljev, prejetih leto pozneje, ni enakovreden enakemu znesku, prejetemu danes. Neenakost je določena z dejstvom, da je v teoriji mogoče vložiti kateri koli znesek denarja in ustvariti dohodek. Prejeti dohodek pa je mogoče ponovno vložiti itd. Posledično je današnji denar v tem smislu vrednejši od prihodnjega denarja, prihodnji prejemki pa so manj vredni od sodobnega denarja.
Očitna posledica načela "neenake vrednosti" je nezakonitost seštevanja denarnih vrednosti, povezanih z različnimi časovnimi točkami. Tovrstno seštevanje je dopustno le, kadar časovni faktor ni pomemben – na primer pri računovodstvu za pridobitev seštevkov za obdobja in pri finančnem nadzoru.
Pri finančnih izračunih se kot eden najpomembnejših elementov nujno upošteva časovni faktor. Njegovo računovodstvo se izvaja z uporabo obresti.
Obresti in obrestne mere
Spodaj obresti denar ali na kratko, odstotkov pri finančnih izračunih razumejo absolutno vrednost dohodka iz posojanja denarja v kakršni koli obliki: v obliki dajanja gotovinskega posojila, prodaje na kredit, polaganja denarja na varčevalni račun, obračunavanja menice, nakupa varčevalne listine ali obveznic, itd.
V kateri koli obliki obresti niso, so vedno specifična manifestacija takšne ekonomske kategorije, kot so obresti za posojila.
Pri sklenitvi finančne ali kreditne pogodbe se stranki (posojilodajalec in posojilojemalec) dogovorita o višini obrestna mera- razmerje med zneskom denarnih obresti, plačanih za določen čas, in zneskom posojila. Prikliče se časovni interval, na katerega se nanaša obrestna mera obdobje obračunavanja... Stopnja se meri v odstotkih, v obliki decimalnih ali naravnih ulomkov. V slednjem primeru je v pogodbah zabeležena z natančnostjo 1/16 ali celo 1/32.
Obresti se običajno obračunavajo diskretno, t.j. v ločenih (običajno enako oddaljenih) trenutkih ( diskretni interes), poleg tega, ker obdobja obračunavanja trajajo leto, pol leta, četrtletje, mesec. Včasih prakticirajo dnevno obračunavanje, v nekaterih primerih pa je priročno za uporabo stalno zanimanje.
Obresti se bodisi plačajo posojilodajalcu, ko nastanejo, bodisi se prištejejo dolgovanemu znesku. Imenuje se proces povečanja denarja v zvezi z dodajanjem obresti znesku dolga nastajanje oz rast prvotni znesek.
V kvantitativni finančni analizi se obrestna mera ne uporablja le kot orodje za povečanje zneska dolga, ampak tudi v širšem smislu – kot merilo stopnje donosnosti (učinkovitosti) finančne transakcije oziroma komercialno-gospodarske dejavnosti.
V praksi obstajajo različni načini izračuna obresti, odvisno od pogojev pogodb. V skladu s tem se uporabljajo različne vrste obrestnih mer. Ena glavnih razlik je povezana z izbiro začetne osnove (zneske) za izračun obresti. Obrestne mere se lahko uporabljajo za enak začetni znesek skozi celotno obdobje posojila ali za znesek z obračunanimi obrestmi v preteklem obdobju. V prvem primeru se imenujejo preprosta, in v drugem - sestavljene obrestne mere.
Obrestne mere, navedene v pogodbah, so lahko trajno oz spremenljivke (« plavajoče») ... V tujih gospodarskih transakcijah se pogosto uporabljajo spremenljive obrestne mere. V tem primeru je vrednost stopnje enaka vsoti določene osnovne vrednosti, ki se sčasoma spreminja, in pribitka nanjo ( marža). Primer osnovne obrestne mere je londonska medbančna obrestna mera LIBOR ( LIBOR - Londonska medbančna ponujena obrestna mera ) ali moskovska medbančna obrestna mera MIBOR. Višina marže je določena s številnimi pogoji (obdobje operacije itd.). Sodeč po svetovni praksi je običajno v območju 0,5-5%. Pogodba lahko uporablja tudi časovno spremenljivo maržo.
Zdaj bomo razmislili o metodah za analizo transakcij, ki predvidevajo enkratna plačila pri izdaji in odplačilu posojila ali depozita. Naloge takšne analize so zmanjšane na izračun obračunanega zneska, zneska obresti in zneska popusta, trenutne vrednosti (trenutne vrednosti) plačila, ki bo izvedeno v prihodnosti.
Formula za gradnjo s preprostimi obrestmi
Spodaj obračunani znesek posojilo (dolg, depozit, druge vrste vloženih sredstev) pomeni njegov začetni znesek skupaj z natečenimi obrestmi do konca obdobja.
Naj bo Pzačetni znesek denarja,jaz- obrestna mera navadnih obresti. Obračunane obresti za eno obdobje so enake Pi in zan obdobja - Pni.
Postopek spreminjanja zneska dolga z obračunanimi enostavnimi obrestmi je opisan z aritmetično progresijo, katere člani so vrednosti
P, P + Pi = P (1 + i), P (1 + i) + Pi = P (1 + 2i) itd. itd. prej P (1 + ni).
Prvi mandat tega napredovanja jeP, razlika Pi, zadnji izraz pa je opredeljen kot
S = P (1 + ni) (1)
in je obračunani znesek. Formula (1) se imenuje formula za izgradnjo na preproste obresti ali, skratka, formula za preproste obresti. Faktor (1+ ni) je množitelj kopičenja... Kaže, kolikokrat je nabrani znesek večji od prvotnega zneska. Obračunani znesek je mogoče predstaviti kot dva izraza: prvotni znesekPin zneski obrestijaz
S = P + I, (2)
kje
I = Pni. (3)
Proces rasti zneska dolga po preprostih obrestih je enostavno prikazati grafično (gl. riž. 1). Pri izračunu preprostih obresti po obrestni meri jaz za osnovo se vzame začetni znesek dolga. Zbrani znesek S s časom linearno raste.
Primer 1.
Določimo obresti in znesek nakopičenega dolga, če je posojilo enako 100.000 rubljev, je rok dolga 1,5 leta po navadni obrestni meri 15% na leto.
jaz = 100.000 1,5 0,15 = 22.500 rubljev. - obresti za 1,5 leta
S = 100.000 + 22.500 = 122500 rubljev. - obračunani znesek.
riž. 1. Povečanje po enostavni obrestni meri
Praksa izračuna preprostih obresti
Obračun navadnih obresti se običajno uporablja v dveh primerih: (1) pri sklepanju kratkoročnih pogodb (dajanje kratkoročnih posojil ipd.), katerih rok ne presega enega leta (n£ 1); (2) ko se znesku dolga ne prištejejo obresti, ampak se plačujejo periodično.
Obrestna mera se običajno določi na letni ravni, zato je treba, če je posojilo krajše od enega leta, ugotoviti, kolikšen del obresti se plača posojilodajalcu. Za to vrednostnizraženo kot ulomek
n= t/ K, kje
n- rok posojila (merjeno v delih leta),
K- število dni v letu (časovna baza),
t- trajanje operacije (posojila) v dnevih.
Obstaja več možnosti za izračun obresti, ki se razlikujejo po izbiri časovne osnove.Kin način merjenja življenjske dobe posojila.
Pogosto se za osnovo za merjenje časa vzame leto, ki je pogojno sestavljeno iz 360 dni (12 mesecev po 30 dni). V tem primeru pravijo, da izračunajo vsakdanji oz komercialni interes... Za razliko od njega točen odstotek se dobijo, ko se za osnovo vzame dejansko število dni v letu: 365 ali 366.
Določiti je mogoče tudi število dni uporabe posojila natančen oz približen... V prvem primeru se izračuna dejansko število dni med dvema datumoma, v drugem se trajanje posojila določi s številom mesecev in dni posojila, pri čemer približno upoštevamo, da so vsi meseci enaki, vsak vsebuje 30 dni. . V obeh primerih se štetje dni začne od naslednjega dne po odprtju transakcije. Natančno število dni med dvema datumoma lahko izračunate na računalniku tako, da vzamete razliko med tema datumoma, ali pa uporabite posebno tabelo, ki prikazuje redne številke datumov v letu.
Z združevanjem različnih možnosti časovne osnove in metod za izračun dni posojila dobimo tri možnosti za izračun obresti, ki se uporabljajo v praksi:
(1) točne obresti z natančnim številom dni posojila (365/365) - UK;
(2) skupni interes z natančnim številom dni posojila (365/360) - francoščina;
(3) navadne obresti s približnim številom dni posojila (360/360) - nem.
Možnost izračuna s točnimi obrestmi in okvirnim merjenjem časa izposoje ne velja.
Preproste spremenljive stopnje
Kot veste, obrestne mere skozi čas ne ostanejo konstantne, zato posojilne pogodbe včasih predvidevajo diskretno spreminjanje obrestnih mer skozi čas. V tem primeru ima formula za izračun obračunanega zneska naslednjo obliko
S = P (1 + n 1 i 1 + n 2 i 2 + ...) = P(1+ Sn t i t), (4)
kje
P- začetni znesek (posojilo),
jaz t- obrestna mera navadnih obresti v obdobju s številkot,
n t- trajanje obdobjat- obdobje nastanka po tečajujaz t.
Primer 2.
Naj pogodba, izračunana za leto, sprejme navadno obrestno mero za prvo četrtletje v višini 10 % letno, za vsako naslednje četrtletje pa je 1 % manj kot v prejšnjem. Določimo faktor nastajanja za celotno obdobje pogodbe.
1+ Sn t i t = 1+0,25 0,10+0,25 0,09+025 0,08+0,25 0,07 = 1,085
Reinvestiranje z enostavnimi obrestmi
Znesek depozita, prejetega ob koncu določenega obdobja, skupaj z natečenimi obrestmi je mogoče ponovno vložiti, čeprav najverjetneje z drugačno obrestno mero, in ta postopek ponovno vlaganje včasih večkrat ponovljeno v ocenjenem obdobjuN... Nato se v primeru večkratnih naložb v kratkoročne depozite in uporabe enostavne obrestne mere obračunani znesek za celotno obdobjeNizračunano najdemo po formuli
S = P (1 + n 1 i 1) (1 + n 2 i 2) =, (5)
kje
n 1 , n 2 ,..., n m- trajanje zaporednega
obdobja reinvestiranja,
jaz 1 , jaz 2 ,..., sem- stopnje, po katerih se
ponovno vlaganje.
Diskontiranje in računovodstvo po enostavnih cenah
V praksi je pogosto treba rešiti problem obratno glede na povečanje obresti, ko za določen znesekSki ustreza koncu finančne transakcije, morate najti prvotni znesekP... Plačilo P na Spoklical popust vsoteS... Vrednost Pugotovljeno z diskontiranjem se imenuje moderne velikosti(trenutno strošek) količinaS... Obresti kot razlikaD= S- Pse imenujejo popust oz popust... Imenuje se postopek izračuna in odbitka obresti vnaprej (v obliki popusta). ob upoštevanju... Diskont kot popust na končni znesek dolga se lahko določi preko obrestne mere ali kot absolutna vrednost.
Tako se v praksi za izračun obresti uporabljata dva načela: (1) s povečanjem zneska posojila in (2) določitvijo diskonta na končni znesek dolga.
V večini primerov se časovni faktor v finančnih pogodbah upošteva prav s pomočjo diskontiranja. KoličinaPje enakovredna vsotiSv smislu, da bo po določenem času in ob dani obrestni meri zaradi povečanja postala enakaS... Zato se operacija diskontiranja imenuje tudi oddaja. Toda koncept castinga je širši od diskontiranja. Prinašanje je definicija katere koli vrednosti v določenem trenutku. Če se določen znesek prenese na zgodnejši datum od trenutnega, se uporabi popust, če pa govorimo o poznejšem datumu, potem - obračunavanje.
Obstajata dve vrsti diskontiranja: matematično diskontiranje in bančno (komercialno) računovodstvo.
Matematično diskontiranje. Ta vrsta diskontiranja je rešitev problema v nasprotju s kopičenjem prvotnega posojila. Če v neposrednem problemu
S = P (1 + ni),
nato v obratni smeri
. (6)
Ulomek na desni strani enakosti pri vrednostiSpoklical diskontni faktor... Ta multiplikator kaže, koliko je prvotnega zneska posojila v končnem znesku dolga. Popust na znesekS je enako
D = S-P. (7)
Bančno ali komercialno računovodstvo ... Računovodsko poslovanje (obračunavanje menic) je, da ga banka pred zapadlostjo menice ali druge plačilne obveznosti odkupi od lastnika (ki je upnik) po ceni, nižji od zneska, ki ga mora plačati dne. to na koncu mandata, tj jo pridobi (obračuna) s popustom.
Za izračun obresti pri obračunavanju zadolžnic velja naslednje diskontna stopnja, ki ga označujemo s simbolomd.
Po definiciji je preprosta letna diskontna stopnja enaka
. (8)
Znesek diskonta ali obračuna banke je
D = Snd, (9)
kje
P = S-D = S-Snd = S (1.). (deset)
Faktor (1- nd) imenujemo diskontni faktor. Terminnmeri časovno obdobje od trenutka knjiženja menice do datuma njegove zapadlosti v letih. Diskontiranje po diskontni stopnji se najpogosteje izvaja ob predpostavki, da je leto enako 360 dni.
Povečajte po diskontni stopnji. Diskontna stopnja se lahko uporabi za obračunavanje, t.j. za izračunS na P... V tem primeru iz formule (10) izhaja, da
. (11)
Primerjava obračunske in diskontne stopnje. Operacije kopičenja in diskontiranja so si same po sebi nasprotne, vendar se lahko obračunska stopnja in diskontna stopnja uporabita za rešitev obeh težav. V tem primeru je glede na uporabljeno stopnjo mogoče razlikovati med neposrednimi in inverznimi problemi.
|
Ñòàâêà |
Ïðÿìàÿ çàäà÷à |
Îáðàòíàÿ çàäà÷à |
|
íàðàùåíèÿ jaz |
íàðàùåíèå: S= P(1+ ni) |
Äèñêîíòèðîâàíèå: P= S/(1+ ni) |
|
ó÷åòíàÿ d |
äèñêîíòèðîâàíèå: P = S (1.) |
Íàðàùåíèå: S= P/(1- nd) |
Kombinacija obračunavanja obresti po obračunski obrestni meri in diskonta po diskontni stopnji ... V primeru, da je dolžniška obveznost predmet obračuna, ki predvideva obračunavanje navadnih obresti na začetni znesek dolga, je treba rešiti dva problema: (1) določiti končni znesek dolga v trenutku njeno odplačilo; (2) izračunati znesek, ki ga je treba obračunati z diskontiranjem končnega zneska dolga z uporabo diskontne stopnje, ki je veljala v času obračuna.
Rešitev teh dveh težav je mogoče zapisati v obliki ene same formule, ki vsebuje povečanje po enostavni obrestni meri, ki se pojavi v dolžniški obveznosti, in diskontiranje po diskontni meri:
P 2 = P 1 (1 + n 1 i) (1-n 2 d),
kje
P 1 - začetni znesek posojila,
P 2 - znesek, prejet ob obračunu obveznosti,
n 1 - skupni rok plačilne obveznosti, v katerem se obračunavajo obresti,
n 2 - obdobje od trenutka obračuna do poplačila dolga.
Primer 3.
Plačilna obveznost za plačilo 2 milijona rubljev v 100 dneh. z obrestmi, izračunanimi po enostavni obrestni merijaz= 20 % letno, je bila evidentirana 40 dni pred zapadlostjo po diskontni stopnjid= 15 %. Potrebno je določiti znesek, prejeti med računovodstvom.
Rešitev.
milijonov rubljev
Upoštevajte, da je akumulacija tukaj uporabila časovno osnovo 365 dni, pri diskontiranju pa 360.
Določitev trajanja posojila. Včasih je problem postavljen tako, da je treba poiskati časovni interval, v katerem bo začetni znesek ob dani obrestni meri narasel na zahtevano vrednost, ali obdobje, ki zagotavlja določen popust od dane vrednosti. Z drugimi besedami, govorimo o reševanju formul (1) in (10) glede nan.
Pri uporabi preproste stopnje gradnjejaz iz (1) dobimo
, (12)
in po diskontni stopnjid iz (10) imamo
. (13)
Formuli (12) in (13) dajeta rok, merjen v letih, vendar se enostavne obrestne mere uporabljajo predvsem pri kratkoročnih transakcijah, ko se rok izračuna v dnevih. V tem primeru je trajanje finančne transakcije v dnevih izraženo kot
t= nK, (14)
kje K- časovna baza.
Določitev višine obrestne mere. Višina obrestne mere lahko služi kot merilo donosnosti posla, merilo za primerjavo alternativ in izbiro najugodnejših pogojev. Iz istih formul (1) in (10) dobimo stopnjo povečanjajazin računovodstvo
ocenitid
(15)
(16)
kjer je bila uporabljena relacija (14). Spomnimo se, da je izraznv obeh formulah ima drugačen pomen: v prvem primeru gre za celotno obdobje operacije, v drugem pa za preostali rok do zapadlosti.
Primer 4.
Določite donosnost operacije za posojilodajalca, če mu je bilo odobreno posojilo v višini 2 milijona rubljev. za 100 dni in pogodba predvideva znesek odplačila dolga v višini 2,5 milijona rubljev. Izrazite donos kot preprosto obrestno merojazin diskontno stopnjod... Vzemite časovno osnovo enakoK= 360 dni.
Rešitev.
, tj. 90 %
tiste. 72 %.
Včasih je velikost popusta v pogodbah določena za celotno obdobje posojila kot delež (ali odstotek) zneska zapadlosti. Tako je raven obrestne mere tu določena implicitno. Ni pa težko izpeljati formule, s katerimi je mogoče izračunati vrednosti teh stopenj.
Naj bo S- znesek odkupnine,d n- delež tega plačila, ki določa višino popusta za celotno obdobje posojilan... Treba je določiti, katere ravni letnih stopenjjazin d takšni pogoji so enakovredni.
torej S- znesek odplačila ob koncu obdobja posojila,P= S(1- d n) - posojilo, ki je bilo dejansko izdano ob sklenitvi pogodbe.
(17)
(18)
Primer 5.
Posojilodajalec in posojilojemalec sta se dogovorila, da se od zneska posojila, izdanega za 200 dni, takoj odšteje popust v višini 25 % določenega zneska. Določiti je treba ceno posojila v obliki enostavne letne diskontne meredin letno obrestno merojaz... Preberite časovno bazoK enako 365 dni.
Rešitev.
tiste. 45,625 %
tiste. 60,833 %.
Bibliografski opis:
A.K. Nesterov Metode in metode izračunavanja obresti [Elektronski vir] // Spletno mesto izobraževalne enciklopedije
Posojilne obresti kot plačilo za koriščenje posojila imajo določen znesek, določen z obrestno mero na posojilo oziroma višino obrestne mere.
Posojilna obrestna mera je razmerje med višino letnega dohodka posojilodajalca, ki ga je prejel od danega posojila, in višino posojila, izraženo v odstotkih. Sinonim za obrestno mero je obrestna mera.
Pri izračunu posojilne obrestne mere se upošteva letni dohodek posojilodajalca, zato se posojilna obrestna mera izračuna za eno leto.
Obstajajo naslednje znanstvene metode obračunavanja obresti:
Metoda stroškov plus predvideva, da se banke zavedajo vseh svojih stroškov dajanja posojil katere koli vrste.
Metoda posojila plus stroški
Ta model za izračun obrestne mere temelji na naslednjih komponentah:
Bistvena pomanjkljivost tega modela je začetna predpostavka, da banka natančno pozna svoje stroške in lahko določi obrestno mero posojila, ne da bi upoštevala dejanja drugih bank, ki so konkurenti na trgu posojilnega kapitala. Glede na nesorazmernost teh omejitev se je v bančni praksi pojavil model »cenovnega vodstva«.
Metoda obračunavanja obresti po modelu "cenovnega vodstva"
Osnovna obrestna mera je najnižja obrestna mera, ki jo ponujajo kreditno najbolj sposobnim komitentom za kratkoročna posojila za obratna sredstva. Znesek premije za tveganje za dano posojilo se običajno imenuje premija.
Model z doplačilom je modifikacija prejšnjega modela. Pojav tega modela je posledica naraščajoče konkurence na trgu posojilnega kapitala med velikimi bankami, zato so nekatere banke začele izvajati aktivno kreditno politiko po obrestnih merah, ki so blizu stroškom privabljanja posojilnih virov.
Model za določanje posojilnih obresti po metodi doplačila
Če uporabimo ta model, je obrestna mera za kratkoročna posojila lahko 2-3 odstotne točke nižja od uveljavljene osnovne obrestne mere, kar zmanjšuje pomen slednje kot referenčne obrestne mere za posojila podjetjem. Vzpostavitev neznatnega zneska marže pri takih posojilih je privedla do razširjene prakse udeležbe pri posojilih, ko so velike banke začele aktivno deliti svoja največja posojila z majhnimi bankami, prejemati prihodke od provizij in vsaj del takšnih posojil prenašati na banke. z nižjimi stroški zadolževanja.
Metoda meje obrestne mere je tudi različica modela vodilnega cenovnega položaja. Ta model upošteva dogovorjeno zgornjo mejo kreditne mere, ne glede na prihodnjo dinamiko obrestnih mer. Pri uporabi tega modela se posojilojemalcu ponudi spremenljiva obrestna mera po naslednjem načelu.
Metoda obresti za zgornjo mejo obrestne mere
Na primer, pri osnovni obrestni meri 10 % se posojilo ponuja po stopnji 10 % + 2 % z največ 5 % nad prvotno obrestno mero. V tem primeru bo začetna stopnja enaka 10 + 2 = 12 %, nato pa se lahko poveča do največ 17 % (12 % + 5 %), ne glede na to, katero raven bodo tržne stopnje dosegle v obdobju tega sporazuma.
Zgornjo mejo obrestne mere banke zagotavljajo svojim komitentom kot posebno nagrado, ker posojilojemalcu zaupati v najvišjo ceno posojila, saj bodo vse plačane obresti, ki presegajo to obrestno mero, posojilojemalcu povrnjene v enkratnem znesku enkrat letno ali ob koncu posojilne pogodbe.
Pristop stroškov in koristi ima tri elemente.
Metoda obračunavanja obresti med stroški in koristmi
Glede na metodo stroškov in koristi si oglejte naslednji primer. Posojilojemalec odpre kreditno linijo v višini 1.000.000 rubljev, v resnici pa uporablja le 800.000 rubljev. po stopnji 20 %. Poleg tega mora plačati provizijo za prevzem obveznosti v višini 1 % zneska neizkoriščene kreditne linije. Posojilojemalec mora vzdrževati odškodnine v višini 20 % porabljenega zneska in 5 % neporabljenega zneska. Obvezna rezerva, ki jo določi Centralna banka, je 10 %. V skladu z metodo stroškov in koristi bomo naredili izračune:
Ocena prihodka od posojila = del uporabljene kreditne linije + neizkoriščen del kreditne linije
800.000 * 0,2 + 200.000 * 0,01 = 162.000 rubljev.
Ocena zneska bančnih sredstev, ki jih porabi posojilojemalec = Porabljeni znesek posojila - Zahteve za odškodninska stanja + Zahteve za rezervacije
800.000 - (800.000 * 0,2 + 200.000 * 0,05) + 0,1 * (800.000 * 0,2 + 200.000 * 0,05) = 613.000 rubljev.
Ocena dobička banke pri tem posojilu pred obdavčitvijo = 162.000 / 613.000 * 100 % = 26,43 %.
Metoda analize dobičkonosnosti stranke temelji na izračunu zneskov prihodkov in odhodkov v korespondenci s transakcijami na računih stranke. Prihodki vključujejo provizije, stroške vzdrževanja računa, obresti na konverzijske operacije, plačila za različne bančne storitve itd. Vzporedno se ocenjujejo povprečna četrtletna stanja na računih in promet. Odhodki vključujejo stroške poslovanja, obračunane obresti na stanje na računu strank, odhodke za obresti, stroške zbiranja sredstev iz tujih virov itd.
Čisti dohodek stranke je opredeljen kot razlika med prejetimi prihodki in nastalimi odhodki:
BH = D - R
NP - čisti dobiček na stranko
D je skupni prihodek, ki ga banka prejme iz poslovanja stranke
Р - skupni strošek, ki se pripiše stranki
Dobičkonosnost strank je opredeljena kot razmerje med čistim dohodkom in celotnim dohodkom v odstotkih:
DC = BH / D * 100 %
Izračun posojilne obrestne mere je narejen na podlagi veljavnih metod in interne kreditne politike banke.
Banke uporabljajo različne načine zaračunavanja. V bančni praksi različnih držav se uporablja metode izračunavanja obresti razlikujejo po naravi merjenja števila dni koriščenja posojila in dolžine leta v dnevih.
Dejansko so glede na število dni najpogostejši trije praktični načini izračuna obresti.
Pri izračunu obresti za uporabo posojene vrednosti se uporablja metoda enostavnih in sestavljenih obresti.
Z metodo enostavnih obresti se njihovo obračunavanje izvaja na trajni osnovi, kar je začetni znesek izposojene vrednosti. Izračun se izvede po formuli:
kjer je S znesek plačil za posojilo ob upoštevanju prvotnega dolga (nakopičenega zneska dolga);
P je prvotni dolg;
n je trajanje posojila v letih ali razmerje med obdobjem uporabe posojila v dnevih in veljavno osnovo za izračun (360 ali 365 dni);
i - obrestna mera.
Ta način izračuna se običajno uporablja za kratkoročna posojila.
»V praksi morajo banke običajno ravnati ravno nasprotno, torej določiti začetni znesek dolga glede na natečeno.« Ta operacija se izvede v skladu z matematično formulo diskontiranja, ki ima naslednjo obliko:
P = S / (1 + ni)
Metoda enostavnih obresti predvideva tudi prilagoditev za čas dejanske porabe posojila. Če posojilojemalec odplačuje posojilo postopoma, vam metoda preprostih obresti omogoča določitev zmanjšanja stanja dolga in s tem zneska plačanih obresti. S to metodo posojilojemalec prihrani pri plačilih obresti, ko se posojilo bliža zapadlosti.
Obresti se posojilodajalcu plačajo, ko se obračunajo ali dodajo dolgovanemu znesku.
Pri nakupu (obračunskih) zadolžnic se uporablja naslednja formula:
P = S (1 - nd)
kjer je d diskontna stopnja (diskontna stopnja).
To vrsto računovodstva uporabljamo pri nakupu (obračunu) menic in drugih kratkoročnih obveznosti. Bistvo operacije je v tem, da jo banka od lastnika odkupi po ceni, ki je nižja od zneska, ki mu ga mora plačati ob izteku roka, pred dnevom zapadlosti za plačilo menice. jo pridobi s popustom. Ko banka prejme denar ob zapadlosti, banka izvede diskont.
Za dolgoročno posojanje se uporablja metoda obrestnih obresti, ko se po izteku obračunskega obdobja na obračunani znesek opravi novo obračunavanje obresti. Izračun se izvede po naslednjih formulah:
Po stalni obrestni meri:
S spremenljivo stopnjo:
S = P (1+ i 1) n1 * (1 + i 2) n2 *: * (1 + i k) nk
V kontekstu inflacije je treba pri določanju obrestne mere upoštevati stopnjo inflacije. Raven obrestne mere ob upoštevanju inflacije se lahko izračuna na dva načina:
1. Približna metoda:
kjer je f stopnja inflacije v odstotkih.
2. Natančen način:
če = i + f + i * f / 100
Prav tako se v praksi lahko uporablja kombinirana shema enostavnih in sestavljenih obresti, ki se uporablja, če je posojilo več kot eno leto, vendar ne šteje natančnega števila let.
Glede na vse vidike današnjega posojilnega poslovanja lahko govorimo o potrebi po dobro razvitih pristopih k izračunu posojilnih obresti. V sodobnih razmerah razvoja denarnih odnosov obstaja več kot en model za določanje obrestne mere, ki se uporablja glede na politiko lastnika kapitala in povpraševanje po njem s strani posojilojemalcev.
Lliteratura
Zdaj, ko smo navedli, poglejmo, kako oceniti stroške posojila. Eksplicitna (nominalna) cena posojila odraža njegovo letno obrestno mero. Ta kazalnik lahko služi kot vodilo, vendar je treba upoštevati, da lahko natančnejši izračun plačil banki pokaže znesek b O več, kot pričakuje posojilojemalec. Povsem mogoče je soočiti s paradoksom, ko je obrestna mera v banki A nižje kot B, medtem ko skupni strošek posojila A- zgoraj. Tukaj je vredno povedati nekaj besed o izrazih. To je pomembno, ker se v tem primeru uporablja ena beseda za označevanje različnih pomenov.
Ko smo v prvem delu članka uporabili izraz »vračilo (posojila) z obrestmi«, potem »obresti« tukaj pomenijo celoten znesek nadomestila za bančne storitve. Ko pa govorijo o "natečenih obrestih", mislijo predvsem na odstotek, za katerega se poveča velikost dolga posojilojemalca (v zgornji formuli). Poleg obračunanih obresti banka zaračunava provizije in plačila zavarovanja. Ti dodatni stroški se ne odražajo v obrestni meri. Poleg tega so odhodki za obresti odvisni od načina obračunavanja. Na kratko razmislimo o glavnih.
Obstajata dve glavni metodi obračunavanja - metoda preprosta in zapleteno odstotkov. Jasno so predstavljeni v spodnjih diagramih.
.
Obresti se obračunajo po šestih mesecih. Na diagramih lahko vidite, da se za razliko od izračuna enostavnih obresti pri izračunu kompleksnih obresti v osnovo za izračun obresti tekočega obdobja vštevajo nabrane obresti preteklega obdobja. Zato znesek dolga narašča pospešeno. Znesek posojila (vrstica »obračunska osnova«) je v obeh tabelah enak, obrestna mera pa je različna. V diagramu 1 je letni, v diagramu 2 pa polletni, čeprav je ob koncu prvega leta znesek obračunanih obresti v obeh primerih enak - 200.000 denarnih enot.
Kakšna je razlika med obema metodama in v katerih primerih se uporablja katera? Oglejte si naslednji graf:
Urnik: Primerjava metod izračuna obresti
Tu se obe metodi obračunavanja primerjata za eno letno obrestno mero. Kot lahko vidite, so za posojila z zapadlostjo manj kot eno leto obresti, natečene po preprosti metodi, večje kot pri kompleksni (zelena črta je višja od rdeče). Pri dolgoročnih posojilih je ravno obratno (po presečišču črt je rdeča višja od zelene). Z letno obrestno mero znotraj 30% je razlika v metodah nepomembna, zato se uporablja metoda preprostih obresti, lažja za izračune.
Anuitetna metoda je obrestna metoda, pri kateri se posojilo odplačuje v enakih obrokih. Na diagramu se posojilo v višini 1.000.000 evrov pri 20% letno odplačuje enakomerno v 3 letih s polletnimi plačili. Kaže, da se z zmanjšanjem glavnice (obrestna osnova je svetlo modro območje na dnu diagrama), zmanjšajo tudi natečene obresti (svetlo zeleno območje na vrhu diagrama). Višina odplačila glavnice in obresti (temno zelene in temno modre površine) se enakomerno (linearno) povečujejo, prav zato, ker so vsa odplačila rent enaka.
Aktuarska metoda je sicer podobna metodi rente, vendar za razliko od nje predvideva poplačilo dolga v neenakih delih. Če posojilojemalec odplača dolg naenkrat, se obresti občasno obračunajo na glavnico skupaj s predhodno obračunanimi obrestmi. Ta primer odraža prej dani diagram izračuna zapletenih obresti.
Če posojilojemalec dolg plača v več obrokih, se na preostanek dolga zaračunajo obresti. V tem primeru se dolg zmanjša za znesek naslednjega plačila minus do tega trenutka obračunane obresti. Z drugimi besedami, znesek plačila, ki presega zamudne obresti.
Na diagramu je prikazano posojilo v višini 1.000.000 evrov po 20% letno za 4 leta, odplačano v treh obrokih. Prvo plačilo v višini 300.000 se porabi za poplačilo obresti v prvem letu (200.000), preostanek plačila gre za zmanjšanje glavnice. Zato se v drugem letu obračunajo obresti za manjši znesek - 900.000. V 3. letu je plačilo 700.000, skupno pa - 300.000 + 700.000 = 1.000.000. V 4. letu se preostanek dolga odplača. - 380.000.
Če je naslednje plačilo manjše od obračunanih obresti, ostane obračunska osnova v naslednjem obdobju enaka, to plačilo pa se prišteje k naslednjemu.
V tem članku so številne metode izračunavanja obresti ostale zunaj obsega, vendar upamo, da vam splošna ideja omogoča oblikovanje. Za podrobnejšo študijo te teme boste našli veliko virov na internetu. Na primer, za nadaljevanje začetne študije si lahko ogledate http://www.finmath.ru/likbez.
