A másodfokú formák tehetetlenségi törvénye. Fentebb már megjegyeztük, hogy egy másodfokú alak rangja megegyezik a nem nulla kanonikus együtthatók számával. Így a nem nulla kanonikus együtthatók száma nem függ a nem degenerált transzformáció megválasztásától, amellyel a formát kanonikus formává redukáljuk. Valójában a formát kanonikus formára redukáló bármely módszerrel a pozitív és negatív kanonikus együtthatók száma nem változik. Ezt a tulajdonságot a másodfokú formák tehetetlenségi törvényének nevezzük.
Határozza meg a bázis formáját a mátrix:
, (4.20)
hol vannak a vektor koordinátái a bázisban e. Tételezzük fel, hogy ezt a formát nem degenerált koordinátatranszformáció segítségével kanonikus formává redukáljuk
és nem nulla kanonikus együtthatók, úgy számozva, hogy ezen együtthatók közül az első pozitív, a következő együtthatók pedig negatívak:
, , …, , , …, .
Tekintsük a következő nem degenerált koordináta transzformációt:
Ennek az átalakításnak az eredményeként a forma felveszi a formát
másodfokú forma normálalakjának nevezzük.
4.5. Tétel (a másodfokú formák tehetetlenségi törvénye). A pozitív (negatív) együtthatójú tagok száma egy másodfokú alak normál alakjában nem függ attól, hogy milyen módszerrel redukáljuk az alakot erre a formára.
Következmény. Két másodfokú alak akkor és csak akkor ekvivalens, ha az alakok rangsorai egyenlőek, és a pozitív és negatív tehetetlenségi indexek egybeesnek.
A másodfokú formák osztályozása. Ebben a részben a tehetetlenségi index, a másodfokú alak pozitív és negatív tehetetlenségi indexe fogalmát használva azt mutatjuk be, hogyan lehet megtudni, hogy egy másodfokú forma a fent felsorolt típusok valamelyikébe tartozik-e (pozitív határozott, negatív határozott, váltakozó és kvázi jel határozott). Ebben az esetben egy másodfokú forma tehetetlenségi indexének az ilyen alakú nem nulla kanonikus együtthatók számát (azaz a rangját), a pozitív tehetetlenségi indexét a pozitív kanonikus együtthatók számának, a negatív tehetetlenségi indexét a negatívak számának nevezzük. kanonikus együtthatók. Nyilvánvaló, hogy a pozitív és negatív tehetetlenségi indexek összege megegyezik a tehetetlenségi indexszel. A negatív és pozitív tehetetlenségi indexeket a reláció kapcsolja össze, és a vagy párt hívják aláírás másodfokú forma.
Legyen tehát a másodfokú alak tehetetlenségi indexe, pozitív és negatív tehetetlenségi indexe rendre egyenlő, és ()-vel. Az előző bekezdésben bebizonyosodott, hogy bármely kanonikus alapon ez a forma a következő normál formára redukálható:
hol vannak a vektor koordinátái a bázisban.
6. példa Keresse meg a másodfokú alak normálalakját és aláírását!
Ennek a formának a kanonikus alakja: . Tegyük fel , , . Akkor . Ez a másodfokú forma normál formája. Pozitív tehetetlenségi index: , negatív tehetetlenségi index. Ezért a másodfokú alak aláírása .
4.6. Tétel (szükséges és elégséges feltétel a másodfokú alak előjeléhez) Ahhoz, hogy egy n-dimenziós L lineáris térben adott másodfokú alak előjel-határozott legyen, szükséges és elegendő, hogy vagy a pozitív tehetetlenségi mutató, vagy a negatív tehetetlenségi index egyenlő legyen az L tér dimenziójával. , ha , akkor az alak pozitív határozott, ha , akkor a forma negatív határozott.
Megjegyzés. Hogy tisztázzuk a másodfokú forma határozott jelének kérdését a megjelölt ismérv alapján, ezt a formát a kanonikus formájába kell hoznunk.
4.7. Tétel (szükséges és elégséges feltétele a másodfokú alak jeleinek váltakozásának) Ahhoz, hogy egy másodfokú alak váltakozzon, szükséges és elégséges, hogy ennek a formának mind a pozitív, mind a negatív tehetetlenségi indexe különbözik a nullától.
4.8. Tétel (szükséges és elégséges feltétele egy másodfokú alak kvázijel-meghatározásának) Ahhoz, hogy egy forma kvázi előjel határozott legyen, szükséges és elegendő, hogy a következő relációk teljesüljenek: vagy , , vagy , .
Sylvester kritériuma a másodfokú forma határozott jelére. Határozza meg a bázis alakját a mátrix: és legyen , , … a szög (fő)mollok és a mátrix determinánsa. A következő állítás igaz:
4.9. tétel (Sylvester-kritérium) Ahhoz, hogy egy másodfokú alak pozitív határozott legyen, szükséges és elégséges, hogy a , , …, .
Ahhoz, hogy egy másodfokú alak negatív határozott legyen, szükséges és elégséges, hogy a szögmollok jelei váltakoznak, és.
Következmény 1 Ahhoz, hogy egy másodfokú alak negatív határozott legyen, szükséges és elégséges, hogy minden páros sorrendű szögmoll pozitív, és minden páratlan sorrendű szögmoll negatív legyen, ellenkező esetben a , , ..., , egyenlőtlenségek teljesülnek. .
Következmény 2 Ahhoz, hogy egy másodfokú alak nenegatív legyen, szükséges és elégséges, hogy a mátrixának minden nagyobb (nem csak szögletes) mollja nem negatív.
Következmény 3 Ahhoz, hogy egy másodfokú alak ne legyen pozitív, szükséges és elegendő, hogy minden páros sorrendű vezető moll ne legyen negatív, és minden páratlan sorrendű vezető moll ne legyen pozitív.
Következmény 4 Ahhoz, hogy egy másodfokú alak határozatlan (alternáló) legyen, szükséges és elegendő, hogy a mátrixában legyen egy páros rendű negatív vezető moll és két különböző előjelű páratlan sorrendű vezető moll.
7. példa Vizsgálja meg a másodfokú alakzatokat a jelek meghatározottságára:
1) Másodfokú mátrix esetén keresse meg az összes szög-mollt
Ebben az esetben megint csak a szögletes kiskorúak értékei alapján nem lehet választ adni. Keressük meg az összes nagyobb kiskorút. Az elsőrendű nem szögletes főmollok a 2 és 4. A másodrendű nem szögletes főmollok a ,. Van egy páros sorrendű negatív vezető moll. Ezért a másodfokú forma határozatlan.
Tehát a másodfokú forma redukciójára vonatkozó tétel szerint bármely \(A(x,x)\) másodfokú alakra van egy kanonikus alap \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\) \), tehát bármely \(x\) vektor esetén \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k\eta _k ^2. \] Mivel \(A(x,x)\) valós értékű, és bázisváltozásaink is csak valós számokat tartalmaznak, arra a következtetésre jutottunk, hogy a \(\lambda _k\) számok valósak. Ezek között vannak pozitív, negatív és nullával egyenlő számok.
Meghatározás. A pozitív számok \(n_+\) számát \(\lambda _k\) nevezzük pozitív másodfokú index \(A(x,x)\), a negatív számok \(n_-\) számát \(\lambda _k\) hívjuk negatív másodfokú index , akkor a \((n_++n_-)\) szám kerül hívásra másodfokú forma rangja . Ha \(n_+=n\), akkor a másodfokú alakot hívjuk meg pozitív .
Általánosságban elmondható, hogy a másodfokú forma átlós formává való redukálása nem egyedi módon valósul meg. Felmerül a kérdés: a \(n_+\), \(n_-\) számok függenek-e attól a bázistól, amelyben a másodfokú alak átlós?
Tétel (A másodfokú formák tehetetlenségi törvénye). A másodfokú forma pozitív és negatív indexei nem függnek attól, hogy milyen módszerrel redukáljuk kanonikus formára.
Legyen két kanonikus bázis, \(\(f\)\), \(\(g\)\), így bármely \(x\) vektor a következő formában kerül ábrázolásra: \[ x=\sum_(k =1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] és \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k ^2= \sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Legyen \(\lambda _k\) közül az első \(p\) pozitív, a többi negatív vagy nulla, a \(\mu_m\) között az első \(s\) legyen pozitív, a többi negatív vagy nulla. Be kell bizonyítanunk, hogy \(p=s\). Írjuk át (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_ ( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] tehát minden kifejezés az egyenlet mindkét oldala nem negatív. Tegyük fel, hogy \(p\) és \(s\) nem egyenlő, például \(p
Bebizonyítottuk, hogy a pozitív indexek egybeesnek. Hasonlóképpen bebizonyíthatjuk, hogy a negatív indexek is egybeesnek. stb.
1. Alakítsa át a másodfokú formákat négyzetek összegére:
a) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);
A másodfokú alak különböző nem degenerált lineáris transzformációkkal (koordinátatranszformációkkal) redukálható normál alakra. Felmerül a kérdés: hogyan kapcsolódnak egymáshoz ugyanazon másodfokú alak különböző normálformái?
Hadd Ln – n-dimenziós lineáris tér a mező felett R és legyen másodfokú alakja j (A ). Beengedni Ln az alap adott e = (e 1 , e 2, … , e n ) elengedni A egy adott alakú mátrix ebben a bázisban. Hadd e 1 = (e 1 1 , e 2 1, … , e n 1 ) az egyik alap, amelyben j (A ) kanonikus formája van, és Tátmenet mátrix bázisról e a bázisra e 1 . Az alapon e 1 forma j (A ) átlós mátrixa van A 1. Az (56) képlet szerint A 1 = T T × A× T. Mátrixok TÉs T A T nem degenerált. Mátrixszorzás A egy nem szinguláris mátrixra nem változtatja meg a mátrix rangját A, tehát rang A= rang A 1, azaz bármely alapon a másodfokú alakú mátrix ugyanolyan rangú.
Definíció 63. Rang lineáris térben meghatározott másodfokú forma Ln mátrixának rangja ennek a térnek bármely bázisában.
Mivel az átlós mátrix rangja megegyezik a nullától eltérő átlós elemek számával, egy adott másodfokú forma bármely kanonikus alakja ugyanannyi négyzetes változót tartalmaz nem nulla együtthatókkal. Ez a szám megegyezik az űrlap rangjával. Ezért bebizonyosodott az állítás:
66. tétel. Egy összetett másodfokú forma bármilyen nem degenerált lineáris transzformációval ugyanarra a normál alakra redukálható, r egységegyütthatós változók négyzetei, azaz. j= x 1 2 + x 2 2+ … + x r 2.
Ha a mező R valós számok mezője, akkor a másodfokú alak normálalakja lesz j (A ) = x 1 2 + x 2 2 + … + x-től 2-ig – x k+1 2– … – x r 2.
64. definíció. A valós másodfokú alak normál alakjában az együtthatóval (+1) szereplő változók négyzeteinek számát ún. pozitív tehetetlenségi index ez a forma. A (–1) együtthatójú négyzetek számát nevezzük negatív tehetetlenségi index , a változók száma és a másodfokú forma rangja közötti különbség (pl. n – r) őt hívják disszidál .
67. tétel(másodfokú formák tehetetlenségi törvénye ). A pozitív és a negatív négyzetek száma normál alakban, amelyre egy valós együtthatós másodfokú alakot egy valós nem degenerált lineáris transzformáció redukál, nem függ ennek a transzformációnak a megválasztásától.
Bizonyíték. Hadd j (A ) – az alapban meghatározott másodfokú alak e = (e 1 , e 2, … , e n ) lineáris tér Ln a mező fölött R ,A = x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + x n e n . Legyen ez a forma kétféleképpen redukálva két normál alakra. A korábbi eredmények szerint mindkét normálalak ugyanannyi négyzetes változót tartalmaz nem nulla együtthatókkal. Hadd
j = y 1 2 + y 2 2 + … + y-től 2-ig – y k+1 2 – … – év r 2 =
= z 1 2 + z 2 2 + … + z r 2 – z r+1 2 – … – z r 2. (*)
Hadd u i = , і = 1, 2, … , n(**), És z ј = , ј = 1, 2, … , n (***).
Mivel ezek a képletek nem degenerált transzformációkat határoznak meg, determinánsaik nem nullák. Ezt elég bizonyítani k = r. Tegyünk úgy, mintha Nak nek¹ R. Az általánosság elvesztése nélkül azt feltételezhetjük Nak nek< R. Hozzunk létre egyenletrendszert y 1 = y 2 = ... = y k = z p+1 = ... = z r = z r+1 = ... = z n = 0. Ez egy rendszer n – p+ Nak nek lineáris homogén egyenletek abból n ismeretlen. Mivel az egyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlenek száma, ezért vannak nem nullától eltérő megoldásai. Hagyd ( x 1 0, x 2 0, …, x n 0) ezek egyike. Ezt a megoldást a (**) és (***) képletekre behelyettesítve kiszámítjuk az összeset u iÉs z јés helyettesítse őket egyenlőséggel (*). Kapunk -( y k+1 0) 2 – … – (y r 0) 2 = (z 1 0) 2 +(z 2 0) 2 + … +(z р 0) 2. Ez az egyenlőség akkor és csak akkor lehetséges y k+1 0 = … = y r 0 = z 1 0 =z 2 0 = … = z р 0= 0. Megállapítottuk, hogy a rendszer z 1 =z 2 = … = z р = z р + 1 = … = z r = z r + 1 = … = z n = 0-nak van egy nem nulla megoldása ( x 1 0, x 2 0, …, x n 0), ami lehetetlen, mert ennek a rendszernek a rangja az n. Tehát a feltevésünk téves. Ennélfogva, k = r.
9.5. Pozitív határozott másodfokú formák
65. definíció. A valódi másodfokú formát ún pozitív határozott , ha bármely vektorra A ¹ 0 bekövetkezik j (A ) > 0.
68. tétel. Egy valós másodfokú alak akkor és csak akkor pozitív határozott, ha rangja és pozitív tehetetlenségi indexe megegyezik az ismeretlenek számával.
Bizonyíték.Þ Hadd j (A ) valódi pozitív határozott másodfokú alak. Engedd vissza a normális kerékvágásba
y 1 2 + y 2 2 + … + y-től 2-ig – y k+1 2 – … – év r 2 (*),
amelyben akár r< n , vagy r = n, De Nak nek< n . Adják meg a képletek azt a koordináta-transzformációt, amelynek segítségével a formát normál formába hozzuk u i= (**). Ezeknek a képleteknek a determinánsa különbözik a nullától. Ha r< n, akkor visszük y 1 = y 2 = … = y n–1 = 0, y n= 1, és cserélje be (**)-ra. Vegyük a rendszert n lineáris inhomogén egyenletek -val n ismeretlen és nullától eltérő determinánssal. Cramer szabálya szerint ennek a rendszernek egyedi megoldása van. Nyilvánvaló, hogy ez a megoldás nem nulla, tehát nullától eltérő vektort definiál A . De aztán j (A ) = 0, ami ellentmond a pozitív határozott alak definíciójának. Hasonlóan ellentmondáshoz jutunk az ügyben is r = n, De Nak nek< n . Tehát, ha egy forma pozitív határozott, akkor a normálalakja az y 1 2 + y 2 2 + … + y n 2. Ez azt jelenti, hogy a rang és a pozitív tehetetlenségi index egyenlő n.
Ü Valós másodfokú alak rangja és pozitív tehetetlenségi mutatója egyenlő n. Bizonyítsa be magának, hogy a forma pozitív határozott.
Bizonyítás nélkül jegyezzünk meg még egy tételt a pozitív határozott valós másodfokú alakokról.
69. tétel . Egy valós másodfokú alak akkor és csak akkor pozitív határozott, ha mátrixának minden vezető mollja pozitív.
70. tétel. Egy vektor hosszának négyzetét az euklideszi tér bármely bázisában egy pozitív határozott másodfokú forma adja meg.
Bizonyíték. Hadd E n – n- dimenziós euklideszi tér, e = (e 1 , e 2, … , e n ) alapja van benne és G a Gram-mátrix, amely ezen az alapon határozza meg a vektorok skaláris szorzatát. Ha A = x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + x n e n , V = 1-kor e 1 + 2-kor e 2 + … + y n e n , Az ( a, c) = x T ×G× nál nél, Ahol x T– vektor koordináta karakterlánc A , y – vektor koordináta oszlop V . Ennélfogva, A 2 = (A , A ) = x T ×G× X. Ha összehasonlítjuk a (60) képlettel, azt kapjuk x T ×G× x van egy mátrixos másodfokú forma G.Űrben E n ortonormális alapja van. Ezen az alapon A 2 = x 1 2 + x 2 2+…+ x n 2. De ez azt jelenti, hogy ha egy ortonormális alapra térünk át, akkor a kvadratikus alak x T ×G× x normál formába redukálva x 1 2 + x 2 2+…+ x n 2. A 68. tétel alapján azt találjuk, hogy az alak x T ×G× x pozitív határozott.
Példa. Az alábbi másodfokú formák közül melyik pozitív határozott?
1. 4x 1 2 – x 1 x 2 + 3x 2 2 – x 2 x 3+ 6x 2 x 4.
2. 4x 1 x 2 – x 1 x 3 + 2x 2 2 – 4x 2 x 3+ 3x 2 x 4+ 5x 4 2 .
3. 4x 1 2 – 5x 1 x 2 + 3x 2 2 – 2x 2 x 3+ x 3 2 + 4x 2 x 4 – x 4 2 .
Megoldás. Kétféleképpen válaszolhatunk a kérdésre: redukáljuk az űrlapot kanonikus formára, vagy számítsuk ki egy adott forma mátrixának fő minorit. Az első formában az első módszert használjuk, a második és a harmadik - a második módszert.
1. 4x 1 2 – x 1 x 2 + 3x 2 2 – x 2 x 3+ 6x 2 x 4 = (4x 1 2 – x 1 x 2+ ) – + 3x 2 2 – x 2 x 3+ 6x 2 x 4 =
E fejezet 2. §-ának 1. bekezdésében (lásd 2. definíció) került bevezetésre a pozitív határozott, negatív határozott, alternáló és kvázi előjelű határozott másodfokú alakok fogalma.
Ebben a bekezdésben a tehetetlenségi index, a másodfokú alak pozitív és negatív tehetetlenségi indexe fogalmát használva azt mutatjuk be, hogyan lehet kideríteni, hogy egy másodfokú forma a fent felsorolt típusok valamelyikébe tartozik-e. Ebben az esetben egy másodfokú forma tehetetlenségi indexének nevezzük ennek az alaknak a nullától eltérő kanonikus együtthatóinak számát (azaz a rangját), a pozitív tehetetlenségi indexet a pozitív kanonikus együtthatók számának, a negatív tehetetlenségi indexét pedig a negatívak számának. kanonikus együtthatók. Nyilvánvaló, hogy a pozitív és negatív tehetetlenségi indexek összege egyenlő a tehetetlenségi indexszel.
Legyen tehát a másodfokú alak tehetetlenségi indexe, pozitív és negatív tehetetlenségi indexe rendre egyenlő . Az előző bekezdésben bebizonyosodott, hogy bármely kanonikus alapon ez a forma a következő normál formára redukálható:
hol vannak az x vektor koordinátái a bázisban.
1°. A másodfokú alak jelének szükséges és elégséges feltétele.
A következő állítás igaz:
Ahhoz, hogy egy n-dimenziós lineáris térben adott másodfokú alak határozott előjelű legyen, szükséges és elegendő, hogy vagy a pozitív tehetetlenségi mutató, vagy a negatív tehetetlenségi index egyenlő legyen a tér dimenziójával.
Sőt, ha , akkor az alak pozitív határozott, ha pedig, akkor az alak negatív határozott.
Bizonyíték. Mivel a pozitív határozott alak és a negatív határozott alak eseteit hasonlóképpen kezeljük, az állítás bizonyítását a pozitív határozott alakokra fogjuk elvégezni.
1) Szükségszerűség. Legyen a forma pozitív határozott. Ekkor a (7.35) kifejezés a következő alakot veszi fel
Ha ugyanakkor, akkor az utolsó kifejezésből az következik, hogy egy nem nulla x koordinátákkal rendelkező vektorra
a forma eltűnik, és ez ellentmond a pozitív határozott másodfokú forma meghatározásának. Ennélfogva,
2) Elegendőség. Legyen Akkor a (7.35) reláció alakja . Világos, hogy ahol, ha , akkor, azaz az x vektor nulla. Ezért egy pozitív határozott forma.
Megjegyzés. Hogy tisztázzuk a másodfokú forma határozott jelének kérdését a jelzett ismérv alapján, ezt a formát a kanonikus formába kell hoznunk.
A következő részben a másodfokú forma határozott jelére vonatkozó Sylvester-kritériumot bizonyítjuk, melynek segítségével tisztázhatjuk a tetszőleges alapon adott forma határozott jelének kérdését a kanonikus formára redukálás nélkül.
2°. A másodfokú alak jeleinek váltakozásának szükséges és elégséges feltétele.
Bizonyítsuk be a következő állítást:
Ahhoz, hogy egy másodfokú alak váltakozó előjelű legyen, szükséges és elégséges, hogy ennek a formának mind a pozitív, mind a negatív tehetetlenségi indexe különbözik a nullától.
Bizonyíték. 1) Szükségszerűség. Mivel a váltakozó alakzat pozitív és negatív értékeket is felvesz, normál formában a (7.35) reprezentációjának pozitív és negatív kifejezéseket is tartalmaznia kell (egyébként ez a forma vagy nem negatív, vagy nem pozitív értékeket vesz fel). Következésképpen mind a pozitív, mind a negatív tehetetlenségi index értéke nem nulla.
2) Elegendőség. Hadd . Ekkor egy koordinátájú vektorhoz van , egy koordinátájú vektorhoz pedig .
Egyéni online órák: Nyújtsa be kérelmét most: [e-mail védett]4. § A másodfokú formák tehetetlenségi törvénye. A másodfokú formák osztályozása
1. A másodfokú formák tehetetlenségi törvénye. Már megjegyeztük (lásd az előző bekezdés 1. bekezdésének 2. megjegyzését), hogy egy másodfokú alak rangja megegyezik a nullától eltérő kanonikus együtthatók számával. Így a nem nulla kanonikus együtthatók száma nem függ a nem degenerált transzformáció megválasztásától, amelynek segítségével az A(x, x) formát kanonikus formává redukáljuk. Valójában az A(x, x) formát kanonikus formára redukáló bármely módszerrel a pozitív és negatív kanonikus együtthatók száma nem változik. Ezt a tulajdonságot a másodfokú formák tehetetlenségi törvényének nevezzük.
Mielőtt rátérnénk a tehetetlenségi törvény igazolására, tegyünk néhány megjegyzést.
Határozzuk meg az e = (e 1, e 2,..., e n) bázis A(x, x) alakját az A(e) = (a ij) mátrix:
ahol ξ 1, ξ 2, ..., ξ n az x vektor koordinátái az e bázisban
és λ 1, λ 2,..., λ k- nem nulla kanonikus együtthatók, úgy számozva, hogy ezen együtthatók első q értéke pozitív, a következő együtthatók pedig negatívak:
λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λ q+1< 0, ..., λ k <0.
Tekintsük a következő μ i nem degenerált koordináta transzformációt (könnyen belátható, hogy ennek a transzformációnak a determinánsa nem nulla):
Ennek az átalakításnak az eredményeként az A(x, x) alak felveszi a formát
másodfokú forma normálalakjának nevezzük.
Tehát az x vektor ξ 1, ξ 2, ..., ξ n koordinátáinak valamilyen nem degenerált transzformációját használva az e = (e 1, e 2,..., e n) bázisban.
(ez a transzformáció a (7.30) képletek szerinti ξ - μ és μ - η transzformációk szorzata) a másodfokú forma visszavezethető normál alakra (7.31).
Bizonyítsuk be a következő állítást.
7.5. Tétel (a másodfokú formák tehetetlenségi törvénye). A pozitív (negatív) együtthatójú tagok száma egy másodfokú alak normál alakjában nem függ attól, hogy milyen módszerrel redukáljuk az alakot erre a formára.
Bizonyíték. Legyen az A(x, x) formát normál alakra (7.31) redukálva egy nem degenerált koordináta transzformációval (7.32) és normál alakra egy másik nem degenerált koordináta transzformációval
Nyilvánvalóan a tétel bizonyításához elegendő a p = q egyenlőség igazolása.
Legyen p > q. Győződjön meg arról, hogy ebben az esetben van olyan x nullától eltérő vektor, amely azon bázisok vonatkozásában, amelyekben az A(x, x) alak (7.31) és (7.33) alakú, az η 1 koordináták, η 2, ..., η q és ζ р+1 , ..., ζ n ennek a vektornak a értéke nulla:
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ р+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7,34)
Mivel az η koordináták én a ξ 1, ..., ξ n koordináták és a ζ koordináták nem degenerált transzformációjával kapjuk meg (7.32). én- ugyanazon ξ 1, ..., ξ n koordináták hasonló, nem degenerált transzformációját alkalmazva, akkor a (7.34) összefüggések lineáris homogén egyenletrendszernek tekinthetők a ξ 1, ..., ξ n koordinátákra. a kívánt x vektor az e = ( e 1, e 2,..., e n) bázisban (például kiterjesztett formában az η 1 = 0 összefüggés a (7.32) szerint a 11 alakú ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n= 0) - Mivel p > q, a (7.34) homogén egyenletek száma kisebb, mint n, ezért a (7.34) rendszernek nullától eltérő megoldása van a ξ 1, ..., ξ n koordinátáihoz képest. kívánt x vektor. Következésképpen, ha p > q, akkor van egy nem nulla x vektor, amelyre a (7.34) összefüggések teljesülnek.
Számítsuk ki ennek az x vektornak az A(x, x) alak értékét. Áttérve a (7.31) és (7.33) összefüggésekre, azt kapjuk
Az utolsó egyenlőség csak η esetén jöhet létre q+1 = ... = η k = 0 és ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
Így valamilyen alapon minden ζ 1, ζ 2, ..., ζ koordináta n nem nulla x vektor egyenlő nullával (lásd az utolsó egyenlőségeket és összefüggéseket (7.34)), i.e. x vektor egyenlő nullával. Ezért a p > q feltevés ellentmondáshoz vezet. Hasonló okokból kifolyólag a feltevés p< q.
Tehát p = q. A tétel bizonyítást nyert.
2. A másodfokú formák osztályozása. E fejezet 2. §-ának 1. bekezdésében (lásd 2. definíció) került bevezetésre a pozitív határozott, negatív határozott, alternáló és kvázi előjelű határozott másodfokú alakok fogalma.
Ebben a részben a tehetetlenségi index, a négyzetes alak pozitív és negatív tehetetlenségi indexe fogalmát használva azt mutatjuk be, hogyan lehet kideríteni, hogy egy másodfokú forma a fent felsorolt típusok valamelyikébe tartozik-e. Ebben az esetben egy másodfokú forma tehetetlenségi indexe ennek az alaknak a nullától eltérő kanonikus együtthatóinak száma (azaz a rangja), a pozitív tehetetlenségi indexe a pozitív kanonikus együtthatók száma, a negatív tehetetlenségi indexe a negatív kanonikus együtthatók száma lesz. együtthatók. Nyilvánvaló, hogy a pozitív és negatív tehetetlenségi indexek összege egyenlő a tehetetlenségi indexszel.
Legyen tehát az A(x, x) másodfokú tehetetlenségi indexe k, p és q (k = p + q) értékkel. Az előző bekezdésben bebizonyosodott, hogy bármely kanonikus alap f = (f 1 , f 2 , ..., f n) ez a forma a következő normálformára redukálható:
ahol η 1, η 2, ..., η n az x vektor koordinátái az f bázisban.
1°. A másodfokú alak jelének szükséges és elégséges feltétele. A következő állítás igaz.
Ahhoz, hogy az L n-dimenziós lineáris térben meghatározott A(x, x) másodfokú alak határozott előjelű legyen, szükséges és elegendő, hogy vagy a p pozitív, vagy a q negatív tehetetlenségi index egyenlő az L tér n méretével.
Sőt, ha p = n, akkor az alak pozitív határozott, de ha q = n, akkor a forma negatív határozott.
Bizonyíték. Mivel a pozitív határozott alak és a negatív határozott alak eseteit hasonlóképpen kezeljük, az állítás bizonyítását a pozitív határozott alakokra fogjuk elvégezni.
1) Szükségszerűség. Legyen az A(x, x) alak pozitív határozott. Ekkor a (7.35) kifejezés a következő alakot veszi fel
A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η p 2.
Ha ugyanakkor p< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
az A(x, x) alak eltűnik, és ez ellentmond a pozitív határozott másodfokú forma definíciójának. Ezért p = n.
2) Elegendőség. Legyen p = n. Ekkor a (7.35) reláció A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2 alakú. Nyilvánvaló, hogy A(x, x) ≥ 0, és ha A = 0, akkor η 1 = η 2 = ... = η n= 0, azaz az x vektor nulla. Ezért A(x, x) pozitív határozott alak.
Megjegyzés. Hogy tisztázzuk a másodfokú forma határozott jelének kérdését a jelzett ismérv alapján, ezt a formát a kanonikus formába kell hoznunk.
A következő részben a másodfokú forma határozott jelére vonatkozó Sylvester-kritériumot bizonyítjuk, melynek segítségével tisztázhatjuk a tetszőleges alapon adott forma határozott jelének kérdését a kanonikus formára redukálás nélkül.
2°. A másodfokú alak jeleinek váltakozásának szükséges és elégséges feltétele. Bizonyítsuk be a következő állítást.
Ahhoz, hogy egy másodfokú alak váltakozó előjelű legyen, szükséges és elégséges, hogy ennek a formának mind a pozitív, mind a negatív tehetetlenségi indexe különbözik a nullától.
Bizonyíték. 1) Szükségszerűség. Mivel a váltakozó forma pozitív és negatív értékeket is felvesz, a G.35) normál formában való ábrázolásának tartalmaznia kell pozitív és negatív kifejezéseket is (egyébként ez a forma nem negatív vagy nem pozitív értékeket vesz fel). Következésképpen mind a pozitív, mind a negatív tehetetlenségi index értéke nem nulla.
2) Elegendőség. Legyen р ≠ 0 és q ≠ 0. Ekkor az x 1 vektorra, ahol η 1 ≠ 0, ..., η р ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0 van A(x 1 x 1) > 0, és az x 2 vektorhoz η 1 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 van A(x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Szükséges és elégséges feltétele a másodfokú alak kvázi jelhatározottságának. A következő állítás igaz.
Ahhoz, hogy az A(x, x) alak kvázi előjel határozott legyen, szükséges és elegendő, hogy a következő összefüggések teljesüljenek: vagy p< n
,
q = 0, либо р = 0, q < n
.
Bizonyíték. Megvizsgáljuk a pozitív kvázi előjelű határozott alak esetét. Hasonlóan kezeljük a negatív kvázi előjelű határozott alak esetét is.
1) Szükségszerűség. Legyen az A(x, x) alak pozitív kvázi előjelű határozott. Ekkor nyilvánvalóan q = 0 és p< n
(если бы р =
n
, то форма была бы положительно определенной),
2) Elegendőség. Ha p< n
, q = 0, то А(х, х)
≥ 0
и для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η
2 = 0,
..., η
р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 van A(x, x) = 0, azaz. A(x, x) pozitív kvázi előjelű határozott alak.
3. Sylvester kritériuma (James Joseph Sylvester (1814-1897) - angol matematikus) a másodfokú alak jelére. Határozzuk meg az e = (e 1, e 2,..., e n) bázis A(x, x) alakját az A(e) = (a ij) mátrix:
elengedni Δ 1 = a 11, 
- szögmollok és mátrix meghatározó (a ij). A következő állítás igaz.
7.6. Tétel (Sylvester-kritérium). Ahhoz, hogy az A(x, x) másodfokú alak pozitív határozott legyen, szükséges és elégséges, hogy a Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0 egyenlőtlenségek teljesüljenek.
Ahhoz, hogy egy másodfokú alak negatív határozott legyen, szükséges és elegendő, hogy a szögmollok előjelei váltakoznak, Δ 1-el< 0.
Bizonyíték. 1) Szükségszerűség. Először is bizonyítsuk be, hogy abból a feltételből, hogy az A(x, x) másodfokú alak előjel-határozott, Δ következik. i ≠ 0, i = 1, 2,..., n.
Győződjön meg arról, hogy a Δ feltevés k= 0 ellentmondáshoz vezet - e feltevés szerint van egy nem nulla x vektor, amelyre A(x, x) = 0, ami ellentmond az alak határozott előjelének.
Tehát legyen Δ k= 0. Tekintsük a következő másodfokú homogén lineáris egyenletrendszert:
Mivel Δ k ennek a rendszernek a determinánsa és Δ k= 0, akkor a rendszernek van egy nem nulla megoldása ξ 1, ξ 2, ..., ξ k (nem minden ξ i egyenlő 0-val). A (7.36) egyenletek közül az elsőt szorozzuk meg ξ 1-gyel, a másodikat ξ 2-vel, ..., az utolsót ξ k-val, és adjuk össze a kapott összefüggéseket. Ennek eredményeként megkapjuk az egyenlőséget 
, melynek bal oldala az A(x, x) másodfokú alak értékét ábrázolja egy nem nulla x vektorhoz, koordinátákkal (ξ 1, ξ 2, ..., ξ k, 0, ..., 0) . Ez az érték nulla, ami ellentmond a forma határozott előjelének.
Tehát meg vagyunk győződve arról, hogy Δ én≠ 0, i = 1, 2,..., n. Ezért alkalmazhatjuk a Jacobi-módszert az A(x, x) alak redukálására négyzetek összegére (lásd 7.4. Tétel), és használhatjuk a (7.27) képleteket a λ kanonikus együtthatókhoz. én. Ha A(x, x) pozitív határozott alak, akkor minden kanonikus együttható pozitív. De ekkor a (7.27) összefüggésekből az következik, hogy Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Ha A(x, x) negatív határozott alak, akkor minden kanonikus együttható negatív. De a (7.27) képletekből az következik, hogy a szögmollok előjelei váltakoznak, és Δ 1< 0.
2) Elegendőség. Teljesüljenek a Δ szög-mollokra támasztott feltételek én a tétel megfogalmazásában. Mivel Δ én≠ 0, i = 1, 2,..., n, akkor az A alak négyzetösszegre redukálható Jacobi módszerrel (lásd 7.4. Tétel), és a kanonikus együtthatók λ én a (7.27) képletekkel találhatjuk meg. Ha Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, akkor a (7.27) összefüggésekből következik, hogy minden λ én> 0, azaz az A(x, x) alak pozitív határozott. Ha a Δ jelek én alternatív és Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует,
что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.
