Járadék egy általánosan elfogadott kifejezés, amely egy pénzügyi mechanizmus törlesztési szerkezetére utal (hitel havi fizetése, kamat stb.).
A járadékfizetések azonos összegben, azonos időtartamra strukturálódnak. Az ezzel a módszerrel biztosított törlesztési ütemezés bizonyos eltéréseket mutat a szokásos törlesztési ütemezéstől, ahol az adós teljes összege a pénzügyi mechanizmus futamidejének végére irányul. A szokásos fizetési ütemezés mellett először kamatot fizetnek, majd csak ezután írják le a tőkeösszeget.
Más szóval, a járadék egy bizonyos adósság-visszafizetési rendszer, ahol az adósság összegét és a kamatokat egyenletesen fizetik a teljes hitel futamideje alatt. A járadékot pénzügyi járadéknak is nevezik, ami lényegében ugyanaz.
Például, ha egy alkalmazott fizetése minden hónapban egyenlő összegben halmozódik fel, akkor ez a jövedelem járadék. Amikor egy üzletben részletfizetést igényel bármely termékre, a banknak fizetett havi fizetés is járadék státuszú lesz.
A járadék összege mindig a tőketartozásból és a kamatból áll. Koncepciójában ez a fogalom széles körű: járadéknak tekinthető:
A járadékot a banki szervezetek mindig egyedileg állapítják meg minden ügyfél számára. Két típusban kapható:
A járadék is fel van osztva:
Nál nél futamidejű járadék a pénzeszközök jóváírása egy bizonyos időszakon belül történik, amely korlátozott ideig áll rendelkezésre. A pénz átvételét egyenlő részekkel és azonos idő elteltével jellemzik. Az ilyen típusú járadék kiszámítása eredményszemléletű vagy diszkontrendszer segítségével történik. A diszkontálás a fizetések költségének azonosítása a készpénzfelvételek egy adott időpontban történő tanulmányozásával. Egyszerűen fogalmazva, ez a jövőbeli jövedelem és a jelenérték közötti kapcsolat elemzése. A határozott idejű járadékok példái lehetnek a különböző típusú lakások, földterületek stb. bérleti díjai.
Örökjáradék Szokás szerint egyenlő időközönként, hosszú időn keresztül egyenlő kifizetéseket kell figyelembe venni. A konzol kiváló példa az örökjáradék sajátosságainak megértésére. Az állam által fedezett kötvények futamideje meghaladja a 30 évet.
A járadékfizetések a kifizetések számában különböznek. Évente egyszer, vagy év közben többször is kifizethetők (határozott idejű járadékkal).
A kamat felhalmozódhat évente egyszer, évente többször vagy folyamatosan. Ezt a kérdést mindig egyénileg oldják meg a banki szervezet és az ügyfél között.
Az ország pénzügyi helyzetétől vagy a bank politikájától függően a következők állapíthatók meg:
Egy bizonyos időn belüli egyenlő hiteltörlesztés összegének meghatározásához ki kell számítani a járadékegyütthatót, amely az egyösszegű kifizetést fizetési ütemezéssé alakíthatja.
Ennek az együtthatónak a kiszámításához egy speciális általánosan elfogadott képletet használnak:
Gyakorlati szempontból bizonyos eltérések adódhatnak a képlet segítségével végzett matematikai számításból: a befizetés megkönnyítése érdekében a befizetések összegének kerekítési rendszere alkalmazható, vagy az összeg kerekítése a a napok eltérő száma egy adott hónapban. Ez különösen vonatkozik a fizetési ütemezés utolsó hónapjára. Valójában a listát lezáró összeg mindig valamilyen értékkel lefelé különbözik.
Szinte mindig járadékkal a kifizetések a jelentési időszak végén történnek - postnumerando. Ebben az esetben az időszakra vonatkozó fizetési összeget egy másik képlet segítségével kell kiszámítani:
A járadékfizetés szerkezetének részletesebb átgondolásához érdemes egy egyszerű problémát megoldani. Például ki kell számítania a kölcsön havi törlesztését öt évre, 30 ezer rubel összeggel, évi 8% -kal. A fizetés havonta történik, az éves kamatlábat át kell váltani havira. Ez egy meglehetősen egyszerű képlet segítségével történik:
Ezután be kell cserélnie az i = 0,00643 és az n = 60 értékeket a képletbe (5 év az 60 hónap). A kapott együtthatót meg kell szorozni a kölcsön összegével - 30 000 Ennek eredményeként azt találjuk, hogy a havi fizetés összege körülbelül 603 rubel.
A hitel törlesztése általában havonta vagy negyedévente történik. Az ilyen kifizetéseknél az i éves kamatláb kerül megállapításra. Feltéve, hogy a kifizetéseket n évre numerando utáni m-szer rendelik hozzá, akkor van egy képlet, amely az előző képlettől a járadékegyüttható kiszámításának megnövekedett pontosságában tér el:
A járadékfizetési arány kiszámításának meghatározott képlete a tartozás összegének összetett százalékos képlettel történő növelésén alapul. A banki számításokban van egy másik képlet az együttható meghatározására, amely az adósság összegének növekedésén alapul egy egyszerű százalékos képlet segítségével. Az egyszerű és kamatos kamat megkülönböztető jellemzője, hogy nincs rés a kamatlábak tőkésítésében. Ebben a forgatókönyvben először a tőketartozást kell visszafizetni, majd annak kifizetése után kamatot kell fizetni.
Érdemes megjegyezni, hogy a fenti lépések mindegyikének saját maga elvégzése nagyon idő- és munkaigényes. Sok időbe telik, amíg egy ember kitalálja, és ha több száz járadékot kell kiszámítania, akkor egy átlagos banki alkalmazott helyzete teljesen lehetetlennek bizonyul. Ezért hiteligényléskor a banki szervezetek alkalmazottai speciális számológépekkel és programokkal rendelkeznek, ahol csak a helyes számértékeket kell megadni, és önállóan számítják ki a járadék fizetési ütemezését minden ügyfél számára.
A járadékfizetés a hiteltartozás bank felé történő visszafizetésének egyik modern módja. Az adósságkötelezettség fizetésének ez a lehetősége nem mindig előnyös az ügyfél számára, de a megnövekedett kényelem jellemzi - nincs félreértés „mikor kell fizetni és milyen mennyiségben”. A hitel törlesztőrészlete minden hónapban ugyanabban az időpontban és pénzbeli egyenértékben érkezik. Ez óriási plusz az ügyfél és a banki szervezet számára: nem kell bemenni a bankba, és fizetési bizonylatot venni a következő havi tartozás összegének meghatározásához.
Ezenkívül ez a hitelfizetési mód előnyösebb azok számára, akik alacsony keresetűek.
A járadékfizetés mellett differenciált rendszerben történik a hiteltartozás kifizetése, ahol a törlesztőrészletek havonta újraszámításra kerülnek, mivel az ügyfél tartozásának végösszege után fizetendő kamat egy része. A kölcsön kifizetését követő minden hónapban csökken az adósság összege, és ennek megfelelően a kamatláb is változik. Kiderült, hogy minden hónapban egyre kevesebb pénzt kell befizetni, de a kezdeti befizetések meglehetősen magasak, és nem mindenkinek van lehetősége befizetni.
Ennek a fizetési típusnak van egy nagy hátránya: kezdetben a kifizetések túlnyomó százalékos egyenértéken alapulnak, pl. a tartozás összege a kamat 2/3-án, 1/3-a pedig a tartozás összegén alapul.
A járadék egy banki szervezet számára előnyös: először a bank kamatszedéssel védekezik, majd „elfogadja” a hitelpénzt.
Ha az ügyfél a határidő előtt kívánja visszafizetni tartozását, akkor ezt a műveletet a kamatfizetés előtt kell elvégezni. Ennek a műveletnek gyakorlatilag nincs értelme, ha „után” fizetik vissza - senki nem fogja visszaadni a kamatért kifizetett összeget. Ebben az esetben a végtörlesztés egyszerűen megszünteti a hitelkötelezettséget.
Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy a járadék jó választás azoknak a hitelfelvevőknek, akiknek adósságkötelezettsége van, és nem rendelkeznek magas jövedelemmel. Hiszen mindig könnyebb és egyszerűbb ugyanannyit havonta egyszer, ugyanazon a napon fizetni.
A legtöbb modern kereskedelmi tranzakció nem egyszeri kifizetéseket foglal magában, hanem készpénzbevételek sorozatát (vagy fordítva, kifizetéseket) egy bizonyos időszakon keresztül. Ez lehet egy bizonyos vállalkozás bevételeinek és kiadásainak sorozata, adósságok kifizetése, rendszeres vagy szabálytalan hozzájárulások különféle alapok létrehozásához stb. Ezt a sorozatot nevezik kifizetési folyamnak.
Folyam. az egyirányú kifizetéseket az egymást követő kifizetések között egyenlő időközökkel bizonyos számú éven keresztül járadéknak (pénzügyi bérleti díjnak) nevezzük.
A járadékelmélet a pénzügyi matematika elengedhetetlen része. Értékpapírok jövedelmezőségével kapcsolatos kérdések mérlegelésekor, befektetési elemzéseknél stb. használják. A járadék leggyakoribb példái: rendszeres nyugdíjpénztári befizetések, hosszú lejáratú kölcsön visszafizetése, értékpapírok kamatai.
A járadékok a következő főbb jellemzőkben különböznek egymástól:
Az olyan járadékot, amelyre a megfelelő időszakok elején fizetnek, prenumeral-rando járadéknak nevezzük; ha a kifizetések az intervallumok végén történnek, postnumerando járadékot (közönséges járadékot) kapunk - ez talán a leggyakoribb eset.
Gyakorlati szempontból a legérdekesebbek azok a járadékok, amelyekben minden kifizetés egyenlő egymással (permanens járadék), vagy egy bizonyos minta szerint változik. Pontosan ezeket a járadékokat fogjuk tovább tanulmányozni.
Vezessük be a következő jelölést:
P - az egyes kifizetések összege;
ic az az összetett kamatláb, amelyen a kamatot számítják;
Sk a numerando utáni k-ik járadékfizetés elhatárolt összege;
S a teljes numerando utáni járadék felhalmozott (jövőbeni) összege (azaz az összes kamatfizetés összege);
Ak a k-adik járadékfizetés aktuális értéke numerando után;
A a teljes numerando utáni járadék modern értéke (azaz az összes kifizetés modern értékének összege);
Sp - a járadék felhalmozott összege;
Ap a járadék prenumerando modern értéke;
n - kifizetések száma.
Tekintsünk egy numerando utáni járadékot P éves befizetésekkel n évre, amelyre ic összetett éves kamatláb mellett halmozódik fel a kamat (5. ábra).
Rizs. 5.
Az első befizetés S 1 összege, amelynek kamata nyilvánvalóan (n - 1)-szeres lesz, a (3.1) képlet szerint lesz:
S 1 = Р(1 + i c) n-1
A második befizetésre (egy évvel kevesebb kamata jár utána) megvan
Sn=P Ekkor a rendelkezésünkre álló teljes felhalmozott összegre
ahol ki,n a járadéknövekedési együttható i paraméterekkel, n -, amint látható, egy geometriai progresszió tagjainak összegét jelenti, ahol az első tag a 1 egyenlő 1-gyel, és a nevező (nevezzük q) jelentése (1 + i c).
A matematikai képlet segítségével a geometriai progresszió tagjainak összegére:
Írjuk fel a (7.1) kifejezést a számításokhoz kényelmesebb formában:
A növekedési együttható esetében ennek megfelelően megvan
Keressük most ennek a járadéknak a mai A értékét (6. ábra).
Rizs. 6.
Egy adott ic kamatláb esetén az egyes kifizetések aktuális értékét a következő képlet határozza meg:
A teljes járadék jelenértéke tehát az lesz
ahol ai,n a járadékcsökkentési együttható, ismét egy geometriai progresszió összege, immár a 1 =q=1/(1 +i c) paraméterekkel.
Ekkor az ai,n kifejezésre a következő kifejezést kapjuk:
a modern A értékre, ill
Amint látható, a járadék jelenlegi értéke és megemelt összege a következő arányban kapcsolódik egymáshoz:
S=A(1+i c)n (7,6)
A kapott képletekből könnyen még több képletet lehet transzformációval előállítani.
Tehát, hogy meghatározzuk a következő fizetés (P) méretét
A járadékperiódus (n) meghatározásához egyéb meghatározott feltételek mellett azt kapjuk
Konkrét számításokhoz minden párhoz két képlet közül egyet választunk az adott ismert mennyiségek függvényében.
Nyilvánvalóan az a különbség az előző esethez képest, hogy az egyes kifizetések utáni kamatszámítási időszak növekszik
Rizs. 7. A járadék jövőbeli értéke prenumerando
egy évre meghosszabbodik, azaz minden megnövelt Sk mennyiség (1 + ic)-szeresére nő. Ezért a rendelkezésünkre álló teljes S összegre
A prenumerando k p i,n járadéknövekedési együtthatóra a következő összefüggést kapjuk:
Megjegyzendő az is, hogy az egyes kifizetések korszerű értékeinek meghatározásához egy adott kamatlábú ic diszkontálás egyszer kevesebb, mint a prenumerando járadék esetében. Ezért Ak minden modern értéke (1 +0-szorosával nagyobb. Így,
Az a n i,n csökkentési együtthatóra pedig azt kapjuk
a p i,n =a i,n (1+i c) (7.14)
A fizetés összegének és a prenumerando járadék futamidejének meghatározásához a (7.11) és (7.13) képletekkel megkeresheti az S és A megfelelő értékeit az adott Sp és Ap értékekhez, majd használja a numerando utáni járadékra levezetett képleteket.
A közönséges járadék növelésének és csökkentésének együtthatóinak meghatározásához vannak olyan táblázatok, amelyek kényelmesek a gyakorlati alkalmazásokban.
számításokat. Az ilyen táblázatokban szereplő maximális kamatlábak általában nem haladják meg a 30-40%-ot, ami lényegesen alacsonyabb az Oroszországban jelenleg alkalmazott kamatoknál. De szem előtt kell tartani, hogy n ebben az esetben nem az évek száma, hanem az azonos időtartamú időszakok (nap, hónap, negyedév stb.) száma, amelyekben egy adott kamat elfogadásra kerül. Így ha éves kamatlábat adunk meg, akkor rövidebb intervallumon találhatjuk meg az azzal egyenértékű kamatlábat, és a továbbiakban n-t tekintjük ilyen intervallumok számának.
Ha az n járadék futamideje korlátlan, akkor az örökjáradék esetét kapjuk. A numerando utáni járadék esetében a felhalmozott összeg és a modern érték kifejezései a következő formában jelennek meg:
A prenumerando járadékra ennek megfelelően azt kapjuk
Így a kétféle örökjáradék közötti különbség természetesen befolyásolja modern értékük meghatározását.
Nem kevésbé fontos az az eset, amikor a fizetések sorrendje valamilyen törvény szerint változik, és ezért matematikai eszközökkel is leírható.
Tekintsünk egy közönséges járadékot, amelyben a kifizetések folyamatosan nőnek egy bizonyos pozitív h értékkel, azaz. e. egy aritmetikai sorozat tagjai, amelynek első tagja a1 = P és h különbség. Vagyis a kifizetések sorozatok:
P, P+ h, P+ 2h,... P+ (n-1)h.
A teljes járadék felhalmozott összegére a következő kifejezést kapjuk:
S=Р(1+ i c) n-1 + (Р+ h)(1+ ic) n-2 + (р+ 2h)(1+ ci) n-3 +...+ [Р+ (n - 1)h].
Szorozzuk meg ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát (1 + ic)-vel, és vonjuk ki az első kifejezést a szorzás után kapott eredményből:
Sic= P(1+ic)n -[P+(n-1)h]+h(1+ic)n-1+ h(1+ic)n-2+...+ h(1+ic) ).
Látható, hogy a kapott egyenlőség egy része egy geometriai haladás tagjainak összege, ahol a1= h(1+ ic); q = = (1 + ic). Egyszerű átalakítások után a következőket kapjuk:
Keressük most az A járadék modern értékét.
Szorozzuk meg az egyenlőség mindkét oldalát (1 + i c) n-nel.
A(1+i c) n =P(l+i c) n-1 +(P+ h)(1+i c) n-2 + ... + =S.
Amint látjuk, ebben az esetben a rendes járadékra korábban kapott (7.6) képlet helyes:
A (1 + i c) n - S,
Az is előfordulhat, hogy a kifizetések folyamatosan q-szorosára nőnek, azaz egy geometriai progresszió tagjai:
P, Pq, Pq 2, ... , Pq n-1, Ekkor a megemelt járadékösszeghez rendelkezünk
S=Р[(1+ i c) n-1 + q(1+ i c) n-2 +/(1+ i c) n-3 +...+q n-1].
Szögletes zárójelben egy geometriai progressziót kaptunk, amelynek első tagja a1 = (1 + ic)n és nevezője q/(1 + ic). A geometriai progresszió összegének képletével ismét megkapjuk az S kifejezést:
S=P/.
Nyilvánvalóan az A járadék modern értékének meghatározásához itt is alkalmazható a (7.6) képlet:
A=P/.
Most lehetőségünk van egy példát megoldani egy tetszőleges értékű fizetési folyamat meghatározására.
Keresse meg a fizetési folyamat aktuális értékét, amelyet a következőképpen határoz meg: első év - bevételek 500 óra. dollár, második év - bevételek 200 am. dollár, harmadik év - 400 amerikai dollár kifizetése. dollár, majd hét évig - 500 am bevétel. USD Diszkontráta - 6% évente. Megoldás
Ebben a példában az elmúlt hét év kifizetéseinek folyama állandó járadékot jelent. A (7.5) képlet segítségével kiszámíthatjuk annak modern értékét aq. Nem szabad elfelejteni, hogy ez lesz a modern érték a negyedik periódus elején:
500 5,58 = 2791 (USD)
(a csökkentési együtthatók a 2. függelék 4. táblázatában találhatók). Ezután a (3.11) képlet segítségével megtaláljuk az aktuális értékeket a fizetési folyamat elején az összes fennmaradó fizetéshez és az aq értéket:
A1 = 500 0,953 = 471,5 (USA dollár);
A2 = 200 0,89 = 178 (USA dollár);
A3 = 400 0,840 = 336 (USA dollár);
A4 = 2791 0,840 = 2344,44 (USA dollár).
Az így kapott értékeket összeadva megkapjuk a teljes fizetési folyamat aktuális értékét:
A =A1 +A2+ A3+ A4= 2657,94 am. Baba.
A járadék modern értéke
Minden olyan esetben, amikor egy tetszőleges fizetési folyamatban vannak olyan sorozatok, amelyek állandónak vagy bizonyos szerint változónak írhatók le
A járadékok mérlegelésekor ügyelni kell ezen járadékok kiindulási pontjára és futamidejére, amelyek nem esnek egybe a teljes folyósítás kezdőpontjával és futamidejével.
Tanulmányunk következő szakasza a járadékok átváltása. Járadékkonverzió alatt a járadék kezdeti paramétereinek olyan változását értjük, amely után az új járadék egyenértékű lenne a jelenlegivel.
Két járadék akkor tekinthető egyenértékűnek, ha a modern értékük azonos időpontra redukálva egyenlő.
A gyakorlatban az ekvivalens járadék paramétereinek kiszámításának igénye leggyakrabban akkor merül fel, ha a tartozás visszafizetésének, a kölcsön vagy a kölcsön visszafizetésének feltételei megváltoznak. Ebben az esetben az átváltás a járadék számításakor is megtörténhet (jelen pillanatban az egyenértékű járadékok modern értékeit számítják ki), és a járadék egy részének kifizetése után. Ez utóbbi esetben minden számítás az átváltáskor fennmaradó tartozásra történik.
Nézzük meg a tartós járadékkonverzió leggyakoribb eseteit.
1. A járadék kezdete után egy bizonyos n0 idő elteltével (ez lehet egyenlő 0-val) a tartozás teljes egyenlege egy alkalommal kifizethető (járadék kiváltása). Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben a kifizetett összeg megegyezik az n1 = n-n0 időszakra számított járadékegyenleg aktuális értékével.
Ez nyilvánvaló. ha a járadék futamideje nő, akkor P értéke csökken. és fordítva.
4. Előállhat olyan helyzet, amikor a P kifizetés összegét egyik vagy másik irányba módosítani kell. Tekintsük ezt az esetet a 28. példa segítségével.
Az évi 4%-os kamatos kamattal kibocsátott kölcsön törlesztéséhez 10 éven keresztül 5000 UAH éves törlesztést kell fizetni. A megváltozott feltételek már a kezdetektől 7500 befizetést tesznek lehetővé. dollár Határozzon meg egy új n1 futamidőt, amelyre az adósságot teljes mértékben visszafizeti. Megoldás
Először számítsuk ki a rendelkezésre álló járadék aktuális értékét (ami a kezdeti időszak tartozásának összegét jelenti). A (7.5) képlet segítségével azt kapjuk
A = 5000 /0,04 - 40554,5 (USD). Ezután a megváltozott P-hez ugyanazt a képletet használva megtaláljuk a járadékcsökkentési együtthatót:
аi,n = А/Р 1 = 40554.5am. USD/7500am. dollár = 5,4.
A 2. függelék 4. táblázata segítségével megtaláljuk az ehhez az együtthatóhoz legmegfelelőbb n 1 értéket 4%-os kamat mellett, lefelé kerekítve: n 1 = 6. Mivel az n1 értéket hozzávetőlegesen találtuk, ki kell számítani az új járadék jelenlegi értéke:
A1 = 7500 /0,04 = 39 316 (USD). Ha a fizetési összegek nem módosíthatók, a hiányzó A0 = 40 554,5 - 39 316 = 1 238,5 USD (USD) összeget haladéktalanul ki kell fizetni a hitelezőnek. (E rész végén található egy példa arra, hogy a kifizetési összegeket hogyan módosítják ilyen helyzetben.)
5. Adott kamatozású adósságfizetés megkezdése
az ic kamatláb halasztható: a) a fizetés nagyságának megőrzése mellett; b) a fizetési határidő betartása mellett.
Nyilvánvaló, hogy az első esetben a járadékidőt kell növelni, a második esetben pedig a kifizetés összegét.
Jelöljük n 0-val a késleltetési periódust. Ekkor a fizetés megkezdésekor az a1 tartozás összege, amely az új járadék aktuális értéke kell legyen, a kamatos kamatképlet szerint lesz:
A1=A(1+ic) n0 . Innen kapjuk az ekvivalencia egyenletet:
P = P (1 + i c) n0
Ezután a korábban tárgyalt esetekhez hasonlóan járunk el. Az első lehetőségnél az új járadék futamidejének n1 értékét találjuk egy adott P1 = P értéknél (n1 hozzávetőlegesen fog megjelenni, tehát kompenzációs összeget kell fizetni, lásd 28. példa). A másodikban a P1 befizetés összege n 1 = = n – n 0 időpontban.
6. Bizonyos esetekben szükség lehet több járadék egyesítésére (járadékkonszolidáció). Ebben az esetben a kombinált járadékok tetszőlegesek lehetnek, és a kívánt kombináló járadékban az egyik paraméter ismeretlen az összes többi megadott paraméterrel.
Két járadék paraméterekkel:
egyet kell cserélni - 10 éves futamidővel és évi 6%-os kamattal.
Határozza meg az új kifizetés összegét.
Először keressük meg a két járadék közös modern értékét. A (7.5) képlet szerint megvan
A = A1 + A2 = 2000/0,05+ + 3500/0,06 = = 17 726,5 + 25 760,3 = 43 486,8 (USA dollár). Ezután a (7.7) képlet segítségével megtaláljuk az új kifizetés összegét:
P = 43 486,8 0,06/ = 5 930 (USD).
Most már hátra van a járadékelmélet egy fontos gyakorlati alkalmazásának megfontolása - különféle lehetőségek (tervek) kidolgozása az adósság visszafizetésére. A terv elkészítésekor
a kamattörlesztések a hitelfelvevő időszakos fizetéseinek – kamatfizetések és a tartozás tőkeösszegének törlesztésére irányuló kifizetések – nagysága különböző visszafizetési feltételek mellett (az ilyen kifizetéseket sürgős fizetésnek nevezzük).
Az adósság visszafizetésének öt fő lehetősége van:
Ha a hitelfelvevőnek a tartozás teljes összegét vissza kell fizetnie a futamidő végén, célszerű lehet törlesztési (amortizációs) alapot létrehozni, amelyre időszakonként bizonyos összegeket letétbe helyeznek, amelyre kamatot számítanak fel.
Ha a pénzeszközök letétbe helyezésének kamata nem haladja meg a kölcsön kibocsátásának kamatlábat, nincs értelme süllyedő alap létrehozásának. Kifizetődőbb ezeket az összegeket azonnal kifizetni a hitelezőnek.
Vezessük be a következő jelölést:
D- tőkeösszeg (kamat nélkül);
i c a kölcsön kamata;
I - hitelkamat;
P - a süllyedő alaphoz való hozzájárulás összege;
g az a kamatláb, amelyen az alapba történő hozzájárulások után számítják a kamatot;
Y a sürgős fizetés összege;
n a kölcsön futamideje.
Határozzuk meg az Y sürgős fizetés összegét és összetevőit (K=1+P).
Definíció szerint I = D i c .
A süllyedő alapban n éven át felhalmozott összeg, azaz a P, n, g paraméterekkel rendelkező járadék felhalmozott összege a D értéknek kell, hogy megfeleljen. A (7.2) képlet segítségével megkapjuk
D = Р[(1 +g)n-1]/g. Innen
P=Dg/[(1 +g)n-1].
Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben a sürgős fizetés összegét a következő képlet határozza meg:
Y = Di c + Dg/[(1+ g) n-1]. (7,23)
Ha a kamatot nem fizetik, hanem hozzáadják a tőkeösszeghez, akkor az azonnali kifizetés csak a süllyedő alapba történő hozzájárulásokból áll.
Az adósság teljes összege a (3.1) képlet szerint a D(1 + ic)n érték lesz, amelyből megkapjuk
Y= Р= D(1 +i c) n g/[(1 + g) n -1].
3. Adósság törlesztése egyenlő összegekben
Legyen az adósság törlesztése n év alatt egyenlő arányban, és fizessenek időszakonként kamatot. Ekkor folyamatosan törlesztenek D/n összegű befizetéseket, és a tartozás tőkeösszegének csökkenésével évente csökkennek a kamatfizetések. Jelöljük
Dk a tartozás összege a k. év után:
Ik a k. évi kamatfizetés. Akkor
D1=D-D/n=D(1-1/n);
A második év végén D2= D1- D/n= D(1 -2/);
I2 = D(1-1/n)ic;
Y2 = D(1-1/n) ic+ D/n stb.
A k. év utáni sürgős fizetés és kamatfizetés összegének meghatározásához Dk = D(1- k/n);
Ik= D(1-(k-1)/n] ic:
Yk= D ic+ D/n.
A futamidő végén, azaz az n-edik évben megvan
Dn = D(1-n/n) = 0:
Yn= D |1 – (n -1)/n] ic+ D/n = D (1 + ic)/n. Látható, hogy a legnagyobb összegeket a törlesztési időszak elején kell kifizetni, ami az esetek többségében az adósságtörlesztés ezen módja hátrányának tekinthető.
4. Tartozás törlesztése állandó sürgős fizetésekkel
Az ic kamatos kamattal kibocsátott D méretű kölcsön törlesztendő / belül; év azonos sürgős kifizetésekkel Y = 1 + R. Nyilvánvaló, hogy idővel az I. komponens
Vezessünk le képleteket a kamatpénz összegének és a tartozás törlesztendő összegének a kiszámításához a k. év végén.
Egy állandó Y összeg adott ic kamatláb mellett n éven keresztül történő időszakos kifizetése a megfelelő paraméterekkel rendelkező járadék.
Ezért a sürgős fizetés összegét a (7.9) képlet határozza meg:
Y= D/a i,n (a i,n a lakbércsökkentési együttható).
Pk-vel jelölve a hitel törlesztésére fordított összeget a k. év végén, a következő arányokat írjuk:
Ha a 3) és 4) kifejezést behelyettesítjük a 2) relációba, megkapjuk
Ik+1/ic=Ik/i c -рk, innen k+1 =Ik-P k i c Írja át az 1) kifejezést az utolsó egyenlőséggel:
Ik+ Pk= Ik- Pkic+ Pk+1
honnan szerezzük be
Pk+1=Pk(1+ic)=P1(1+ic) k
Mivel I 1 = Di c P-re, azt kapjuk
P1=D/a i,n-Di c=D (l/a i,n-ic). Ennélfogva,
Pk=D(1/a i,n-ic)(1+ic) k-1
Ik=D k-1 ic =Dic/с - D (1/a i,n -ic)[(1 + i c) k-1 ].
A kölcsön folyamatos halaszthatatlan törlesztése esetén ezek értéke előre meghatározható, majd az adósságtörlesztési idő megállapításának problémája merült fel korábban a járadék átszámítása kapcsán
tételeket. Ebben az esetben az egyenértékűség elvének betartása érdekében a hiányzó (az így keletkező összeg kerekítése következtében keletkező) összeget a törlesztési időszak kezdetén kellett befizetni. Ehelyett a sürgős fizetések összegének kismértékű módosítása is lehetséges.
Nézzünk egy példát a helyzet tisztázására.
Kölcsön 12 000 USD összegben. évi 4%-os kamatos kamattal kibocsátott dollár. Határozza meg a visszafizetési időszak hosszát, ha a hitelfelvevő évente 1500 dollárt tervez visszafizetni. dollár Készítsen adósságtörlesztési ütemtervet.
Először számítsuk ki az ad d járadékcsökkentési együtthatót:
a 4,n = A/P = 12 000 am. USD/l 500 am. dollár = 8.
A táblázat segítségével körülbelül n értéket határozunk meg, amely megfelel ennek az együtthatónak és a 4%-os kamatlábnak. Mivel np = 10 az a 4,10 = 8,11 együtthatónak felel meg, np = 9-et veszünk, és számítunk erre az időszakra, és a modern A = 12 000 am értékre. dollár új fizetési érték R. Ehhez a (7.8) képletet használjuk, a 2. számú melléklet 4. táblázata szerinti csökkentési együttható értékét keresve.
P = A/a 4,9 = 12 000 am. USD/7435 = 1614 USD Baba.
Készítsünk most egy adósságtörlesztési ütemtervet, aminek tartalmaznia kell a kamatokat, az adósságtörlesztési kiadásokat és az adósságegyenleget minden év végén.
A korábban levezetett képletek segítségével megtaláljuk a szükséges értékeket:
|
Tartozás összege év végén |
Sürgős fizetés (Y) |
százalék (I/) |
Visszaváltási fizetés (P) |
|
A 8. év végi adósságegyenleg és az utolsó törlesztőrészlet összege között kis eltérés adódik a korábbi összegek egyes értékeinek kerekítése miatt.
5. Adósságtörlesztés változó futamidejű fizetéssel
Sok esetben előnyösebb az adósság törlesztése változó futamidejű fizetéssel. A sürgős fizetések bizonyos minták szerint változhatnak, vagy törlesztési ütemterv szerint állíthatók be.
Tekintsük azt az esetet, amikor a sürgős fizetések sorozata egy számtani szakmát reprezentál adott h különbséggel. Az n törlesztési időszak és az ic kamatláb ismeretében a (7.20) képlet segítségével megkapjuk a P sürgős fizetés értékét:
Р = [А i c +nпh/(1 +ic) n - h а i,n ]/ amely alapján adósságtörlesztési tervet dolgoznak ki.
6. A gyakorlatban gyakran előfordul, hogy minden sürgős fizetés összegét előre meghatározzák, kivéve az utolsót, amelyet az utolsó időszak eleji tartozás egyenlegének összege határoz meg (lásd a 31. példát).
10 000 dollár adósság. dollárt kell visszafizetni öt év alatt, a sürgős kifizetések összege az első négy évben 2000 amerikai dollár. USD, 2000 USA USD, 4000 USA USD, 1500 US dollár Határozza meg az utolsó kifizetés összegét, ha a kamatláb évi 5%.
Adósságtörlesztési tervet készítünk.
Az első év kamata az
I1 = Dic = 10 000 0,05 = 500 (USD).
P1 = Y1 - I1 = 1500 am. Baba.;
D1= D-P1 = 8000 óra. Baba.
A következő évekre megkapjuk
I2 = D 1 i s = 8500 am. 0,05 USD = 425 USD Baba.;
P 2 = Y 2 -I 2 = 2000 - 425 = 1575 (USA dollár):
D 2 = D 1 - P 2 = 8500 - 1575 = 6925 (USA dollár);
I 3 =D 2 ic=6925 am. dollár * 0,05 = 346,25, am. Baba.;
Р 3 = Yз -Iз = 4000 - 346,25 = 3 653,75 (USA dollár);
D 3 = D 2 -Рз = 6 925 - 3 653,75 = 3 271,25 (USA dollár);
I 4 =D 3 ic = 3271,25 am. 0,05 USD = 163,56 USD Baba.;
P 4 = Y 4 - I 4 = 1500 - 163,56 = 1 336,44 (USD):
D4=D3-P4=3271,25-1336,44=1934,81 (USA-dollár);
I 5 =D 4 ic = 1 934,81 am. 0,05 USD = 96,74 USD Baba.;
Y 5 = D 4 + I 5 = 1934,81 = 96,74 = 2031,55 (USA dollár); P4= D4= 1934,81 am. Baba.
Tehát az utolsó befizetés összege 2031,55 USD legyen. Baba.
Járadék (pénzügyi bérleti díj) egy olyan pénzáramlás, amelyben egyenlő időközönként azonos összegű kifizetéseket utalnak át. Minden járadék sürgősÉs korlátlan.
A határozott idejű járadék azonos összegű készpénz-átutalások sorozatát biztosítja, a legelső időszaktól kezdve felhalmozódó kamattal. A kétféle járadék közötti különbség könnyebben megérthető J. Van Horn könyvében szereplő ábrából:
Az ábra összehasonlítja a kétféle, 1000 dolláros és 8%-os éves járadékkal kapcsolatos számítási eljárást. J. Van Horn megjegyzi: úgy tűnik, mintha egy közönséges járadékkal az 1., 2. és 3. periódusban, határozott idejű járadékkal pedig a 2., 3., 4. periódusban történnének kifizetések. A példában egy hároméves futamidejű járadék összköltsége megegyezik egy további periódussal rendelkező közönséges járadék költségével. Természetesen a határozott idejű járadék jobban megtérül a pénzt átvevőnek, mert magasabb a kamatbevétele.
A futamidejű járadékok besorolása a fizetés időpontja szerint történik postnumerandoÉs prenumerando. A numerando előtti járadéknál a pénz átutalása az év elején, a numerando utáni járadéknál - a végén.
Mind a postnumerando, mind a prenumerando két séma szerint számítható ki: leszámítolásÉs felépít:
Leszámítolás egy jövőbeli pénzügyi folyamat jelenlegi értékének számítása. A járadék prenumerando kifejezés diszkontálásakor a következő képletet használjuk:
A = FV * * (1 + r) / r
ahol FV a járadék teljes összege, r a kamatláb, A a kifizetés fix része, n a periódusok száma.
A szögletes zárójelben lévő kifejezést ún járadék diszkont faktor. Ez a kifejezés matematikailag is ábrázolható, azonban a számítás túl sok időt vesz igénybe. Sokkal könnyebb meghatározni a járadék együtthatóját egy speciális táblázat segítségével :
A táblázat használatához elegendő a kamatlábat és a periódusok számát ismerni.
Kiterjesztés- ez éppen ellenkezőleg, a rendelkezésre álló pénzből reálisan megszerezhető jövőbeni összeg számítása. A prenumerando járadék kiszámításának képlete kissé eltér:
FV = A * [(1 + r) ^ n - 1] * (1 + r) / r
Van egy számítási táblázat is a növekedési ütemhez: 
A numerando utáni járadék kiszámításához a következő képleteket használjuk (a változók már ismertek):
|
Leszámítolás |
A = FV / (1 + r) + FV / (1 + r) ^ 2 +…+ FV / (1 + r) ^ n |
|
Kiterjesztés |
FV = A * (1 + r) ^ (n - 1) + A * (1 + r) ^ (n - 2) + … + A |
Az emberek életük során mindig találkoznak lejáratú járadékkal. Például, ha egy bankbetétet rendszeresen feltöltő személy ki akarja számolni, hogy mennyi haszna lesz néhány éven belül, akkor a járadékösszetevő képlet kifejezést kell használnia.
Ezenkívül a határozott idejű járadék kiszámítása szükséges:
Legyen naprakész a United Traders összes fontos eseményével kapcsolatban – iratkozzon fel oldalunkra
Egy járadék prenumerando P éves kifizetésekkel n éven keresztül, ic összetett éves kamattal kamatozva.
Nyilvánvalóan az a különbség az előző esethez képest, hogy minden egyes kifizetés utáni kamatszámítási időszak egy évvel, azaz minden emelt összeggel növekszik. S k növekszik (1 + én c) egyszer. Ezért a teljes összegre S n nekünk van S n =S( 1+ i c).
A prenumerando járadék növekedési ütemére a következő összefüggést kapjuk: 
Az egyes fizetések modern értékeinek meghatározása, adott árfolyamon történő diszkontálás i c egyszer kevesebbet hajtanak végre, mint a numerando utáni járadék esetében. Ezért minden modern érték És hogy több lesz benne (1+ én) egyszer. Így A n = A(1 + i c). És a csökkentési együtthatóhoz a i, n n kapunk 
14. példa. Keresse meg a járadék felhalmozott összegét és a fizetési folyamat aktuális értékét, ha három év alatt az év elején kapott bevétel 500 ezer rubel lesz. A kedvezmény mértéke évi 6%.
Megoldás.
Ebben a példában a három éven át tartó fizetési adatfolyam állandó járadék prenumerando. Az ilyen járadék felhalmozott összegét a következő képlet határozza meg:
A növekedés mértéke a megemelt járadékérték 3. táblázatából határozható meg: k 0,06; 3= 3,1836∙(1+0,06)=3,3746.
A felhalmozott járadék összege a következő lesz:
S p =500∙3,3746=1687,3 ezer rubel.
Az ellenőrzéshez évenként meghatározzuk a felhalmozott összegek összegét.
Az első évben kapott bevétel:
S 1 =500∙(1+0,06) 3 =500∙1,1910=595,5 ezer rubel; a második évben kapott jövedelem, S 2 = 500∙(1+0,06) 2 = 500∙1,1236 = 561,8 ezer rubel. és a harmadik évben kapott jövedelem, S 3 = 500∙(1+0.06) 1 =500∙1.06 = 530 ezer rubel.
Teljes felhalmozott összeg S p =S 1 p +S 2 p +S 3 p =595,5+561,8+530=1687,3 ezer rubel.
A képlet szerint 
(1+ kiszámíthatjuk a járadék aktuális értékét. A járadékcsökkentési együtthatót a 4. táblázat segítségével határozzuk meg. n=3 és i c =0,06 k 0,06; 3=2,6730. Akkor k n =2,6730∙1,06=2,8334.
A járadék jelenlegi értéke A p =500∙2,8334=1416,7 ezer rubel.
A számításokat úgy tudjuk ellenőrizni, hogy meghatározzuk az összes kifizetés és a felhalmozott kamat modern értékeinek összegét. Az egyes fizetések modern értékeinek képlete ( És hogy) a következő formában jelenik meg: 
Az összes kifizetés aktuális értéke egyenlő lesz:
ezer rubel.;
ezer rubel.;
Az összes fizetés modern értékének összege egyenlő lesz.
A modern világban, ahol a banki termékek minden ember életének részét képezik, a pénzügyi matematika lényegének megértése és az egyszerű pénzügyi számítások elvégzésének képessége elengedhetetlen készséggé válik. De sok tankönyv és cikk ebben a témában a pénzügyi kifejezések és matematikai képletek összetett nyelvén íródott. Természetesen nem nélkülözhetjük a kifejezéseket és képleteket. A számítások lényege azonban egyszerű, bárki számára érthető nyelven elmagyarázható. Ez a cikk a pénzáramlások diszkontálásáról szóló cikk folytatása. Szó lesz a járadékról (járadék cash flow). Örökjáradék, járadékképlet - jelenlegi és jövőbeli érték kiszámítása egyszerű példák segítségével, magyarázatok embereknek, nem bankároknak – ezt a cikket elolvasva megtudhatja.
A járadék szó hallatán sokaknak valami rendkívül összetett és megérthetetlen dolog jut eszébe. Valójában minden egyszerű, csak a szó idegen.
A járadék az sorozat azonos keresztül történő fizetések ugyanaz időszakok. Ez a kifejezés az angol szó szó szerinti "fordítása". járadék, ami „évente fizetett fix összeget” jelent. Az angolul beszélők emlékezni fognak az „annual” szóra is, ami lefordítva azt jelenti, hogy „éves”. Mindkét szó a latin szóból származik annuus- évente. Így maga a járadék szó tartalmazza a kifizetések éves gyakoriságának jelzését.
Egy idővonalon (vagy időskálán) a járadékos pénzáramlások például így ábrázolhatók (1. ábra): 
Jelenleg a járadék nem csak egy sor azonos éves kifizetést jelent, hanem bármely azonos összegű kifizetési sorozatot is, függetlenül azok gyakoriságától. Ezek lehetnek éves, negyedéves, havi kifizetések. A lényeg marad: járadék az néhány azonos kifizetések (pénzforgalom) keresztül ugyanaz időszakok. Például a fizetés. Ha egész évben állandó a fizetése, akkor a fizetés formájában megjelenő havi pénzforgalom havi fizetési periódusú járadék. Egy másik példa: ha részletre vásárolsz valamit, akkor a havi banki befizetésed is járadék lesz.
Még néhány kifejezés. A járadék lehet prenumerando vagy post-numerando. Ezek a gyönyörű és titokzatos kifejezések csak a fizetés pillanatát jelentik: prenumerando fizetéseket jelent az egyes időszakok elején, postnumerando- a végén. Ezeket a kifejezéseket, amelyek látszólag latinból kerültek hozzánk, tankönyvekben vagy hivatalos papírokban használják. Oroszul fogok beszélni: pénzforgalom év végi vagy év eleji fizetéssel.
Ez a cikk példákat mutat be olyan egyszerű járadékok kiszámítására, amelyekben a fizetési időszak és a kamatperiódus megegyezik egymással. Azaz, ha például egy évre kamatot halmoznak fel, akkor a kifizetések évesek lesznek. Vagy havonta számolják a kamatot, és a kifizetéseket is havonta. Vannak járadékok, amelyekben ezek az időszakok nem azonosak (fizetési időszakok és kamatperiódusok), de ezek összetettebb számítások. Nem nyúlok hozzájuk. Aki részletesen meg akarja érteni ezt a témát, az olvassa el a pénzügyi matematikai tankönyveket.
Először is emlékezzünk arra, mi az a diszkontálás és az akkréció. Erről részletesebben az előző cikkben lesz szó. Egyetlen cash flow, azaz egy pénzösszeg diszkontálásával és növelésével foglalkozott. A diszkontálás egy jövőbeli pénzáramlás jelenértékének kiszámítását jelenti. Vagyis ha a jövőben valamilyen időpontig meg kell takarítania egy bizonyos összeget, akkor a diszkontálás segítségével ki tudja számolni, hogy ma mennyit kell bankba tennie.
A felhalmozás a máról holnapra való mozgás: a ma birtokában lévő pénz jövőbeli értékének kiszámítása. Ha pénzt utal be egy bankszámlára, a banki kamatláb ismeretében kiszámolhatja, hogy a jövőben bármikor mennyi pénz lesz a számláján.
A kompenzáció és a leszámítolás természetesen nem alkalmazható, ha otthon tartja a pénzét. Mindezek a számítások csak akkor érvényesek, ha pénzét befektetheti: bankszámlára helyezheti vagy hitelviszonyt megtestesítő értékpapírt vásárolhat.
A diszkontálás és kompenzáció nem csak egy pénzáramra vonatkozik, hanem a pénzáramlások sorozatára is, és a készpénzösszegek tetszőleges méretűek lehetnek. Az ilyen többszörös pénzáramlások speciális esetei járadékok.
A járadék pénzáramok diszkontálhatók és növelhetők, azaz meghatározható jelenlegi és jövőbeli értéke.
Erre például akkor van szükség, ha a pénz fogadására felkínált két lehetőség közül kell választanunk. A pénzügyi matematika alapelveinek ismerete nélkül hibázhat, és olyan lehetőséget választhat, amely nyilvánvalóan előnytelen a maga számára. Ezt használják ki a pénzügyi piac hozzáértőbb szereplői, nevezetesen a bankok.
1. PÉLDA Vegyünk egy elvont példát. Tegyük fel, hogy ki kell választania, melyik a jobb:
A végösszeg 5 * 25 000 = 125 000, ami jobbnak tűnik, mint 100 000 dollár. De vajon az? Hiszen a pénznek is van „időértéke”. A banki kamat jelenleg egy adott országban, mondjuk 10%.
A (B) opció egy egyszerű járadékopció. De nem mindenki tudja, hogy pontosan így hívják. A két lehetőség összehasonlításához (melyik a jövedelmezőbb?), ugyanarra az időpontra kell hozni őket, mivel a pénz értéke különböző időpontokban eltérő. Ebben az esetben szükséges a járadék cash flow (B) diszkontálása, azaz. számítsa ki a mai értékét. Ha a járadék diszkontált értéke meghaladja a 100 000 dollárt, akkor adott kamat mellett a második lehetőség jobb.
Az előző cikkben megtanultuk, hogyan lehet egyetlen összeget engedményezni. Ugyanezek a számítások ezúttal is elvégezhetők, de 5-ször meg kell ismételni őket.
Ezen az időskálán a 25 000 összegű befizetésen felül az egyes időszakoknak megfelelő diszkonttényezőket ábrázolnak. az előző cikkben a kedvezményekről.
Ha minden összeget külön-külön leenged (vagyis az aktuális pillanatra hoz), akkor egy ilyen táblázatot kap:
Itt a befizetés összegét megszorozzuk az egyes éveknek megfelelő kedvezménytényezővel. Összességében a diszkontálás után minden év végén öt 25 000-es kifizetés 94 770-et ér, ami ma valamivel kevesebb, mint 100 000. Ezért ma 100 000 10%-os kamattal jövedelmezőbb lesz, mint a javasolt 25 000 5 éves járadék.
Ez a példa nem csak azért fontos, hogy még egyszer bemutassa a pénz időértékét. A táblázatból világossá válik, hogyan egyszerűsíthető a számítás a járadék diszkontált értéke. Az egyes összegek külön-külön történő leszámítolása helyett összeadhatja az összes kedvezménytényezőt, és csak egyszer szorozhatja meg:
25.000*(0.9091+0.8264+0.7513+0.6830+0.6209), ami megegyezik a 25.000-rel* 3,7908 =94,770
Ebből a példából könnyen levezethető a matematikai képlet a járadék diszkontált értékének kiszámításához.
Először is emlékezzünk arra, hogyan néz ki a diszkontálási képlet:
PV = FV*1/(1+R) n
A diszkont faktor az 1/(1+R)n- ez 0,9091, 0,8264 stb. példánkban.
Járadékképlet(a járadékos cash flow-k diszkontált értékének kiszámításához)
PV = FV*
A szögletes zárójelben lévő kifejezés matematikailag is ábrázolható, de erre a legtöbb ember számára valószínűleg nem lesz szükség. Ezt hívják járadéktényezőnek, vagy járadékdiszkont-tényezőnek, a pontos megnevezés nem annyira fontos. A fenti példában ez az együttható egyenlő 3,7908 .
Sokkal hasznosabb, ha az ilyen együtthatók táblázatait felhasználhatjuk a járadék cash flow jelen (diszkontált) értékének kiszámításához. Az ilyen táblázatok lehetővé teszik az egyszerű járadékleszámítási problémák gyors megoldását. Az alábbiakban látható egy példa egy ilyen diszkonttáblázatra:
Ha valakinek pontos kell járadékképlet, vagy inkább a járadék diszkonttényező képletét, akkor itt van:
Járadék diszkont tényező: 1/R — 1/(R*(1+R) n)
A járadék diszkontált értéke: PV = kifizetés szorozva együtthatóval
A fenti példában a cash flow diszkontált értékét vettük figyelembe. Vagyis az aktuális időpontra hozták a cash flow értékét. Megoldhatod az inverz problémát is – derítsd ki a járadék jövőbeli értéke(járadék pénzáramlás).
2. PÉLDA. Első példánkban kiszámolhatjuk mindkét opció jövőbeli értékét. Ha a tiszta matematika területéről áttérünk az élet síkjára, akkor ki kell választanunk, melyik a jobb:
Az első lehetőséghez használhatja (az előző cikkben található).
Az (A) opció esetében a jövőbeli érték kiszámítása egyszerűen történik: 100 000 USD 5 év múlva 100 000 * 1,6105 = 161 050 USD lesz.
A (B) lehetőség esetében a helyzet valamivel bonyolultabb. 
Szeretnénk tudni, mennyi lesz a számlánkon 5 év múlva, ha megtakarítunk 25 ezret a végén minden évben. Vagyis teljesítjük az utolsó fizetést, és azonnal kiszámoljuk, mennyit spóroltunk. A hibák elkerülése érdekében jobb, ha az egyes éveknek megfelelő növekedési együtthatókat írunk alá az időskálán. Az első kifizetésre az első év végén kerül sor, ami azt jelenti, hogy 5 év után csak 4 évig kamatozik. Ennek megfelelően a második befizetéskor 3 évig, a harmadikon - két évig, a negyediken - egy évig kapunk kamatot, végül a pénz ötödik befizetése után az utolsó befizetés után is kamat keletkezik. (azaz meg kell szorozni 1,10-zel a nulla hatványhoz!)
25 000*(1,1) 4 +25 000*(1,1) 3 + 25 000*(1,10) 2 + 25 000*(1,10) 1 + 25 000 (1,10) 0, amely egyenlő
25,000*1,4641 + 25,000*1,3310 +25,000*1,2100 +25,000*1,1000 + 25,000*1 = 25,000*6,1051 = 152,628
A járadék jövőbeli értéke (B lehetőség) egyenlő $152,628, ami lényegesen kevesebb, mint $161,050 (A lehetőség). Ez azt jelenti, hogy ma jövedelmezőbb 100 000 dollárt befizetni egy bankszámlára, mint 25 000 dollárt. a végén a következő 5 évben. Ez a következtetés az évi 10%-os banki kamatra érvényes.
A járadék pénzáramlásának jövőbeli értékének kiszámításához együtthatók táblázatai is rendelkezésre állnak. Ebben az esetben ez a táblázat használható a járadékok kiszámítására az időintervallum végén (vagyis a numerando utáni) kifizetésekkel.
A matematika szerelmeseinek járadékképlet a jövőbeli érték kiszámítása a következőképpen néz ki:
Járadék növekedési ráta: FV = kifizetés szorozva együtthatóval,
ahol az együttható: [(1+R)n – 1]/R
Ez egy járadék volt, minden év végén fizetendő ( postnumerando).
3. PÉLDA. Tekinthetünk egy másik példát is. Mennyit fogunk felhalmozni egy bankszámlán, ha 25.000 per kezdet minden évben, nem a végén? Ez lesz az úgynevezett prenumerando járadék, nevezzük B opciónak. Ez a pénzáramlás időskálán így ábrázolható:
Az ábrából látható, hogy minden éves időszak elején 25 000 kifizetésre kerül sor. Például úgy dönt, hogy minden év január 1-jén befizet 25 000-et a bankszámlájára. Az első befizetés 5 év kamatot ad, a második 4 év kamatot, a harmadik 3 év kamatot, a negyedik 2 év kamatot és végül a fizetési időszak elején történt fizetés. az ötödik év egy év érdeklődést biztosít számunkra. A megfelelő táblázatból vettem, ami a linken keresztül nyitható meg.
25,000*1,6105+25,000*1,4641 +25,000*1,3310 + 25,000*1,2100 + 25,000*1,1000 = 25,000* (1,6105+1,4641+1,3310+1,2100+1,1000) = 25,000*6,7156 = 167,890
Így ha minden évben az éves időszak elején kezd el 25 000 befizetést és ezt 5 évig teszi, akkor 5 év múlva a számlán lévő összeg megegyezik $167,890 . Ez a B lehetőség jövedelmezőbb, mint a korábban tárgyalt A és B lehetőség.
Amint az az utolsó két példából is kitűnik, a kifizetések pillanatának nagy jelentősége van: az időszak elején vagy végén. Ezért ha valamilyen pénzáramlás diszkontált vagy jövőbeli értékét kell kiszámítani, akkor célszerű lehívni, amelyre fel kell jegyezni az egyes időszakoknak megfelelő összegeket és együtthatókat.
Hogyan lehetnek hasznosak ezek a számítások az életben?
A fenti példákban a járadékok absztrakt példáit tárgyaltuk. De a járadékos pénzáramlásokkal a való életben is találkozunk. Érdekes lesz például kiszámolni, mennyit halmozhatsz fel egy megtakarítási számlán, ha minden hónapban megtakarítod a fizetésed egy részét. Hasonló módon ki lehet majd számítani mondjuk az autóhitel összes befizetésének kedvezményes értékét. A banknak fizetett befizetések autó (és nem csak autó) hitelre történő vásárlásakor járadékot jelentenek. Ennek kedvezményes (mára csökkentett) értéke a megvásárolt autó költsége lesz. Pontosan megtudhatja, hogy mennyit fizet túl, ha hitelből vásárol autót ahhoz képest, hogy autót vásárol és a teljes összeget előre kifizeti. Lehetőség lesz a különböző bankok hitelajánlatainak összehasonlítására is. Az egyetlen probléma az ilyen számításokkal a megfelelő havi diszkontráta kiválasztása.
Az örökjáradék olyan járadék, amelynek kifizetése korlátlanul folytatódik. Más szóval, ez egy sor azonos kifizetés, amely örökké tart. Ez a lehetőség akkor lehetséges, ha például van betéted egy bankban, csak éves kamatot veszel fel, és a betét tőkeösszege érintetlen marad. Majd ha nem változik a betét kamata, akkor az ún.
A viktoriánus korszakban minden angol arisztokrata a tőke kamataiból élt. Minél több tőke volt a bankban, annál több pénzt lehetett az életre költeni anélkül, hogy dolgozni kellett volna. A tőke öröklődött, és elméletileg (ha nem lennének bankcsődök, háborúk és infláció) ez örökké folytatódhatna.
Az örökjáradék jövőbeli értéke értelmetlen, mivel a kifizetések korlátlanul folytatódnak. Az örökjáradék jelenértéke azonban egy véges összeg, amely a következő képlettel számítható ki:
PV = fizetés/R,
ahol R a banki kamatláb %, PV az aktuális érték
Például, ha évi 500 000 rubelt szeretne levenni a számlájáról, és az éves banki kamatláb 8%, akkor ez azt jelenti, hogy a bankszámlán lévő betét összegének egyenlőnek kell lennie:
500 000/0,08 = 6 250 000 rubel (PV).
Ebben az esetben (hacsak nem veszik el a bank engedélyét, vagy maga a bank megy csődbe) korlátlan ideig folyamatosan felveheti ezt a kamatot. Ezt az idilli képet csak az infláció tudja megzavarni, ami miatt a pénz leértékelődik. Ezért idővel a megvont kamat egyre kevesebb anyagi haszonnal jár.
Filozófiai kitérő azoknak, akik idáig olvastak.
Ahhoz, hogy a bérleti díj örökérvényű legyen, meg kell őrizni azt a tőkét, amelyből ezt a bérleti díjat kapjuk. Ez a törvény nem csak a pénzügyi világra vonatkozik. Az emberiség természetes járadékból él - a bolygó erőforrásait használja, amelyek sajnos kimerültek. Ha túl sokat veszel ki a természetből, a természetes járadék kiszárad. A Föld erőforrásainak kimerülése a szemünk előtt zajlik.
A hagyományos horgászatban apránként fogtak halat, de ez így folytatódhat örökké. Az ipari városok bizonyos fajtájú és minőségű halakat igényelnek, amelyeket egy ipari halászflotta fog ki. A nagy hajók csak haszonra törnek, és nem tisztelik az óceánt. Jelenleg Európa halászterületeinek 80%-a kimerült. A tudósok szerint az ipari halászat 2050-re megszűnik. A horgász „bérleti díj” kimeríti önmagát. Hány egyéb erőforrás marad az emberiségnek 35-50 év múlva?
"A világ elég nagy ahhoz, hogy minden ember szükségleteit kielégítse, de túl kicsi ahhoz, hogy kielégítse az emberi kapzsiságot."
A Föld bolygó a miénk az egyetlen ház. Ezen gondolkodunk?
A betétből származó potenciális jövedelmét saját maga is kiszámíthatja, anélkül, hogy a bankintézetek webhelyein közzétett jövedelemkalkulátorokra támaszkodna. Ez a cikk konkrét példákon keresztül bemutatja, hogyan számítható ki a kamattőkésítéssel rendelkező betétek bevétele (negyedéves, havi, napi, folyamatos), és hogyan számítható ki a tőkésített betétek effektív kamatlába.
