Iparágközi egyensúly (A MOB, input-output módszer) egy olyan közgazdasági és matematikai egyensúlymodell, amely az ágazatok közötti termelési kapcsolatokat jellemzi az ország gazdaságában. Jellemzi a kapcsolatot egy iparág kibocsátása és az összes részt vevő iparág termékeinek költségei, ráfordításai között, amelyek e kibocsátás biztosításához szükségesek. Az input-output mérleg készpénzben és természetben történik.
Az input-output egyensúly (IOB) lineáris egyenletrendszer formájában jelenik meg. Ez egy táblázat, amely az aggregált társadalmi termék kialakulásának és felhasználásának folyamatát tükrözi ágazati kontextusban. A táblázat bemutatja az egyes termékek előállítási költségeinek szerkezetét és a gazdaságban való megoszlásának szerkezetét. Az oszlopok a gazdasági ágazatok bruttó kibocsátásának értékösszetételét tükrözik folyó termelőfelhasználás és hozzáadott érték elemenként. A vonalak az egyes iparágak erőforrásainak felhasználási irányát tükrözik.
A MOB modellben négy kvadráns... V első tükrözi a folyó termelőfelhasználást és a termelési kapcsolatok rendszerét, ban ben második- GDP végfelhasználás szerkezete, v harmadik - a GDP költségszerkezeteés be negyedik - a nemzeti jövedelem újraelosztása.
Az input-output egyensúly elmélet lehetővé teszi:
1. Elemezze és prognosztizálja a nemzetgazdaság főbb ágazatainak fejlődését különböző szinteken - regionális, ágazaton belüli, termékközi;
2. Objektív és naprakész előrejelzést készíteni a nemzetgazdaság fejlődésének üteméről és jellegéről;
3. Határozza meg azon főbb makrogazdasági mutatók jellemzőit, amelyeknél a nemzetgazdaság egyensúlyi állapota létrejön! A rájuk gyakorolt hatás következtében közelítse meg az egyensúlyi állapotot;
5. a nemzetgazdaság egésze és egyes ágazatai erőforrás-intenzitásának meghatározása;
6. meghatározni a nemzetközi és regionális munkamegosztás hatékonyságának növelésének és racionalizálásának irányait.
Az Input-Output táblarendszer kettőt hajt végre funkciókat: statisztikai és elemző.
1.Statisztikai függvény abban rejlik, hogy a rendszer ellenőrzi az áruk és szolgáltatások áramlását jellemző gazdasági információk (vállalkozások, háztartások, költségvetések, vámfizetések) összhangját.
2.Analitikai funkció a rendszer a felhasználási lehetőségekben fejeződik ki a gazdaság állapotának, dinamikájának elemzésére, előrejelzési folyamatokra, valamint a gazdaság fejlődésének forgatókönyveinek modellezésére a különböző tényezők változása következtében. V. Leontiev az input-output rendszer szimmetrikus modelljén keresztül dolgozott ki módszereket az egyes iparágak elsődleges költségei és kibocsátása, valamint az ezek iránti végső kereslet közötti kapcsolat elemzésére. Ez az elemzés azon a feltételezésen alapul, hogy a termék előállítási költsége egy adott időszak alatt állandó.
NAK NEK az ágazatközi egyensúly fő célkitűzései viszonyul:
- a gazdaságban zajló szaporodási folyamatok jellemzői anyagösszetétel szempontjából részletes ágazati bontásban;
- az anyagtermelés és szolgáltatás területén létrehozott termékek előállítási és forgalmazási folyamatának tükrözése;
- az áruk és szolgáltatások, a termelés, a jövedelemtermelés és a tőketranzakciók számláinak részletezése az ágazati termék- és szolgáltatáscsoportok szintjén;
- a termelési tényezők szerepének meghatározása és hatékony felhasználása a gazdaságfejlesztésben.
Bevezetés ................................................... ................................................... .. 3
1. Az input-output egyensúly modellje ................................................ .. 4
1. 1. Dinamikus Leontief modell ................................................ ......... 7
1. 2. A dinamikus Leontief-modell felépítése ................................. 12
2. A Neumann-modell ................................................ .................................. 16
Következtetés................................................. ............................................ húsz
Hivatkozások ................................................ . ................................ 21
A gazdaság dinamikus modelljei olyan modellek, amelyek a gazdaság fejlődését írják le (szemben a statikus modellekkel, amelyek egy adott pillanatban jellemzik állapotát). Egy modell akkor dinamikus, ha legalább egy változója olyan időszakra vonatkozik, amely eltér attól az időtől, amelyhez a többi változó hozzá van rendelve.
Általánosságban elmondható, hogy a gazdaság dinamikus modelljei a következő gazdasági jelenségek leírására redukálódnak: a gazdaság kezdeti állapota, a termelés technológiai módszerei (minden „módszer” azt mondja, hogy x erőforráshalmazból y termékek halmaza állítható elő. időegység), valamint egy optimalitási kritérium.
A gazdaság dinamikus modelljeinek matematikai leírása differenciálegyenlet-rendszerekkel (folyamatos idejű modelleknél), differenciálegyenlet-rendszerekkel (diszkrét idejű modelleknél), valamint közönséges algebrai egyenletrendszerekkel történik.
A dinamikus modellek segítségével különösen a következő gazdasági folyamatok tervezési és előrejelzési feladatait oldják meg: a gazdasági rendszer pályájának, állapotainak meghatározása adott időpontban, a rendszer stabilitásának elemzése, szerkezeti eltolódások elemzése.
Az elméleti elemzés szempontjából a Neumann-féle dinamikus modell nagy jelentőséget kapott. Ami a gazdaság dinamikus modelljeinek gyakorlati alkalmazását illeti, még korai stádiumban van: a valósághoz legalább valamelyest közel álló modellen alapuló számítások rendkívül összetettek. De a fejlődés ebben az irányban folytatódik. Használt különösen a gazdaságfejlesztés multiszektorális (multiszektorális) dinamikus modelljei, amelyek magukban foglalják az input-output egyensúly dinamikus modelljeit, valamint a termelési függvényt, a gazdasági növekedés elméletét.
Az ágazatközi modellezés a makrogazdaság része
modellezése és a nemzetgazdaság általános gazdasági egyensúlyi állapotának elemzésére, értékelésére szolgál. Nemzeti
az ágazatközi egyensúlyban a gazdaságot számos tiszta iparág képviseli,
a termékek értékesítéséből származó összefüggő pénzügyi áramlások,
munkák és szolgáltatások. A tiszta iparágak feltételes iparágak, amelyek képviselik
egy vagy több homogén termék előállítása.
Az input-output egyensúly dinamikus modelljei – a gazdaság dinamikus modelljeinek speciális esete; az ágazatközi egyensúly elvén alapulnak, amelyben kiegészítésképpen olyan egyenleteket is bevezetnek, amelyek az ágazatközi kapcsolatok időbeli változásait jellemzik egyedi mutatók alapján: például tőkebefektetések és tárgyi eszközök (amely lehetővé teszi az egyenlegek közötti folytonosság megteremtését). az egyes időszakok).
Az input-output egyensúly modell főbb feltételezései:
Minden iparág pontosan egy terméket állít elő
Minden terméket pontosan egy iparág állít elő
A termékek száma megegyezik az iparágak számával
Az iparág intenzitása a megfelelő termék termelési volumenével mérhető.
Bármely termék költsége minden iparágban egyenesen arányos annak intenzitásával
Az input-output mérleg egy közgazdasági és matematikai modell, amely a táblázat sorainak és oszlopainak átfedésével, azaz a termékek elosztásának és előállításuk költségeinek egyenlegei, az eredményeknek megfelelően összekapcsolva alakul ki. A fő mutatók itt a teljes és a közvetlen költségek arányai.
Az input-output egyensúly dinamikus modellje több éven át jellemzi a nemzetgazdaság termelési viszonyait, tükrözi dinamikában az újratermelés folyamatát. Az input-output mérleg modell szerint kétféle számítást végeznek: az első típust, amikor a termelés és a termékek elosztásának kiegyensúlyozott mennyiségét számítják ki a végső fogyasztás adott szintje szerint; a második típus, amely vegyes számításokat tartalmaz, amikor egy iparág (termék) adott termelési volumenére és más iparágakban egy adott végső fogyasztásra teljes mértékben kiszámítják a termékek termelési és elosztási mérlegét.
A legelterjedtebb az input-output egyensúly mátrixos közgazdasági és matematikai modellje. Ez egy téglalap alakú táblázat (mátrix), melynek elemei a gazdasági objektumok viszonyát tükrözik. Ezen objektumok mennyiségi értékeit a mátrixelméletben megállapított szabályok szerint számítják ki. A mátrix modell a termelési és elosztási költségek, valamint az újonnan létrehozott érték szerkezetét tükrözi.
A termelés és elosztás input-output mérlegének táblázata
termékek, munkák és szolgáltatások
Az első kvadráns a termékek kölcsönös szállítására vonatkozó adatokat tükrözi,
munkák, szolgáltatások iparágak között. Az első negyedet kvadránsnak nevezik
folyó termelőfelhasználást és jellemzi a folyó termelőfelhasználást
(költségek) vagy az iparágak közbenső kereslete a termékek előállításában,
munkák, szolgáltatások:
x ij- a termék költsége én-th iparág szállított j ipar be
év közben, vagy az előállítási költséget én-edik iparág fogyasztott j th
ipar egész évben;
én sor - termékek folyó termelőfelhasználása én az ipar mindenki által
iparágak;
j-edik oszlop - fogyasztás (költségek) in j minden iparág
a termékeiket előállító iparágak;
x én- a megtermelt bruttó termék költsége én ipar be
egész évben.
A második negyedet végfelhasználási kvadránsnak nevezik.
(fogyasztás) vagy végső kereslet. Bemutatja az iparágak termékeinek végső felhasználását, a végső fogyasztáshoz ( VAL VEL én), befektetések ( én én), export ( E én) és import ( M én), külkereskedelmi mérleg ( E én – M én). A végső fogyasztás magában foglalja a háztartások (népesség), a kormányzat és a nonprofit szervezetek fogyasztását.
A harmadik negyedet hozzáadott érték kvadránsnak nevezzük. . Benne
bemutatja az iparágak költségeihez hozzáadott értéket
más iparágak termékei a termékek, munkák, szolgáltatások előállítása során.
A nemzetgazdasági ágazatokban termelt hozzáadott érték
tartalmazza: bér ( V j), amortizáció (állóeszköz-felhasználás)
(C j), nettó jövedelem ( m j). A negyedik negyed nincs kitöltve.
A MOB ágai közé tartoznak az anyagtermelés ágazatai:
ipar (energia, gépipar, fény- és élelmiszeripar
ipar, építőipar, mezőgazdaság) és iparágak
immateriális szolgáltatások (lakás- és kommunális szolgáltatások, bankügy, egészségügy, oktatás, tudomány stb.). A valós input-output mérleg körülbelül 30 iparágat foglal magában. Az elmúlt év input-output egyenlegét jelentési input-output egyenlegnek nevezzük.
Az input-output egyensúlyt a tudomány és a gyakorlat V.V. által kifejlesztett „input-output” módszerként ismeri. Leontyev. Ez a módszer egy lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik, ahol a paraméterek a termelési költségek együtthatói. Az együtthatók a gazdaság ágazatai közötti kapcsolatot fejezik ki (az aktuális anyagköltségek együtthatói), stabilak és kiszámíthatóak. Az egyenletrendszer megoldása lehetővé teszi annak meghatározását, hogy az egyes iparágakban mekkora legyen a kibocsátás és a költségek annak érdekében, hogy az adott volumenű és szerkezetű végtermék előállítása biztosítva legyen. Ehhez az ágazatok közötti áruáramlások táblázatát állítják össze. Az ismeretlenek az egyes iparágakban előállított és felhasznált áruk kibocsátása és költségei. Számításuk együtthatók segítségével a termelés mennyiségét jelenti, általános egyensúlyt biztosítva. Abban az esetben, ha egyensúlyhiányt észlelnek, figyelembe véve a fogyasztók megrendeléseit, beleértve az államiakat is, mátrix tervet készítenek minden típusú anyagi javak felszabadítására és előállítási költségeire.
Az input-output módszer univerzális előrejelzési és tervezési módszerré vált mind a piac, mind az irányelv gazdaságában. Az ENSZ rendszerében, az Egyesült Államokban és más országokban a gazdaság, a termelés szerkezetének és az ágazatok közötti kapcsolatok előrejelzésére és tervezésére használják.
A dinamikus modellek a gazdasági fejlődés folyamatát tükrözik. Bennük
termelő tőkebefektetések elkülönülnek a végső
vizsgálja azok szerkezetét és a termelés növekedésére gyakorolt hatását.
A dinamikus input-output egyensúly sémáját a táblázat mutatja be
A táblázat két mátrixot tartalmaz. A második mátrix elemei azt mutatják, hogy hány termék én-th iparág irányul a jelenlegi időszakban j ipar mint termelési tőkebefektetések álló- és forgóeszközökbe.
Dinamikus sémában a végtermék nál nél én termékeket tartalmaz én- az ipar személyes és állami fogyasztásra, felhalmozásra kerül
nem termelő szféra, folyamatban lévő építés, exportra. Minden
a mutatókat értékben adjuk meg.
A táblázatban a következő mérlegarányok teljesülnek:
Az iparágak közötti tőkebefektetések az időszakra vonatkoznak
(t- 1,t). A dinamikát további relációk határozzák meg:
Az együtthatók közgazdasági jelentése ϕ ij = Кij / ΔХj következő: ők
mutasd meg, hány termék én- az iparágba kell befektetni
j iparban, hogy növelje termékeinek egységenkénti kibocsátását
a kérdéses egységeket. Esély ϕ ij hívják
tőkebefektetési arányok vagy növekményes
tőkeintenzitás. Az (1) egyenletrendszer a (2) figyelembe vételével a következőképpen írható fel:
A (3)-t mátrix formában ábrázoljuk:
(4)
A (4)-ből az következik, hogy
A (3) modellt Leontiev input-output egyensúlyának diszkrét dinamikus modelljének nevezik. A (3) egyenletrendszer egy I. rendű lineáris differenciaegyenletrendszer. Ennek a modellnek a tanulmányozásához be kell állítani a kezdeti időpontban a vektorokat x (0 ) és Y (t) számára t = 1, 2, …, T. A modell megoldása a vektorok értékei lesz x (t), K (t), t = 1, 2, …, T.
A (3) rendszer oldhatóságának feltétele a vektor vonatkozásában NS (t) a követelmény det ( E − A − F) ≠ 0
Ebben a modellben azt feltételezzük, hogy a termelés növekedése az időszakban
(t – 1, t) ugyanebben az időszakban végrehajtott beruházásoknak köszönhető.
Rövid ideig ez a feltételezés irreális, mivel létezik
befektetések közötti időeltolódások (időeltolódások).
termelési eszközök és a kibocsátás növekedése. Modellek,
a tőkebefektetések elmaradását figyelembe véve külön csoportot alkotnak
az input-output egyensúly dinamikus modelljei.
Ha folytonos időre megyünk, akkor a (3) egyenleteket állandó együtthatójú elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerré írjuk át:
(6)
Megoldásához az áramvonalak együtthatóinak mátrixai mellett
anyagköltségek A = (a ij) és a tőkeköltségek együtthatói F = (ϕ ij)
ismerni kell a bruttó kibocsátás szintjeit a kezdeti időpontban
t = 0 (x(0)) és a végtermék értékváltozásának törvénye y (t) a szegmensen .
A (6) egyenletrendszer megoldása a vektorfüggvény értékei lesznek x (t)
a szegmensen . A (6) rendszer megoldhatósági feltétele det F ≠ 0 .
Általánosabb dinamikus ágazatközi modell az, amelyik
iparágak termelési kapacitását figyelembe véve. Az alábbiakban a következő arányok formájában mutatjuk be:
(7)
(9)
A gazdaság helyzete egy év alatt t dinamikában a következők jellemzik
változók:
NS t- az iparágak bruttó kibocsátásának vektoroszlopa;
v t–A fiókkapacitások üzembe helyezésének vektora;
γ a kapacitáskivonás átlós mátrixa;
x t- ágazati kapacitások vektoroszlopa (maximális kimenet);
l t = (l 1 , l 2 ,..., l n)t az ipari termelés munkaintenzitásának vektora függhet az időtől;
L t – a gazdaság munkaerő-forrásainak mennyisége.
A modellben az idő diszkrét, és évenkénti időközönként változik
(t = 1, 2, …, T). Közvetlen költségmátrix együtthatók А = ║аij║és mátrixok
a termelési kapacitás növekedésének tőkeintenzitása Ф = ║фij║ lehet
időtől függ. A vektorfüggvény exogén módon adott Y tés numerikus függvény L t . A modell megoldása a vektorok NS tés x t az egyenlőtlenségek rendszerének kielégítése (7) - (10).
A (7) egyenlőtlenségek azt mutatják, hogy a bruttó termék vektor x t kellene
biztosítják a folyamatos termelési költségeket FEJSZE t, előállítási költségek for
termelő létesítmények üzembe helyezése ФV tés nem termelő fogyasztásra Y t. Az egyenlőtlenségek (8) korlátozzák a rendelkezésre álló kapacitással rendelkező iparágak bruttó kibocsátását, az egyenlőtlenségek (9) a termelőkapacitások változásának ágazati mérlegét jelentik azok kiáramlását és inputját figyelembe véve, az egyenlőtlenségek (10) azt mutatják, hogy a teljes foglalkoztatást a rendelkezésre álló munkaerő-erőforrások korlátozzák.
Határozzuk meg azokat az értékeket, amelyek 5 iparág bruttó kibocsátásának változását jellemzik 7 időintervallumban.
| Rybnaya | -25056 | -46023 | -27579 | -9222 | 18357 | -22098 | -79866 |
| Logisztika | 101607 | -1499 | 56461 | 8932 | 226650 | -181033 | -583399 |
| Hajójavítás | -7076 | 29510 | 9728 | 55934 | -35028 | 15280 | -432869 |
| Étel | 10100 | 11822 | 39809 | -54373 | 12350 | 35889 | -532456 |
| Gép és műszer | 11706 | 2156 | 16085 | -97206 | 36989 | 9201 | -543768 |
Most reprodukáljuk a D mátrixot. Együttható d ij A D mátrixból egyenlő az i ipar termékeinek számával, amely ahhoz szükséges, hogy a j iparág készletét egy egységgel (értékben kifejezve) növeljük. Esély d ij Az OPF növekményeinek tőkeintenzitásának együtthatóinak nevezzük.
| Termékek előállítása, B | Termék fogyasztás | Végtermék Y |
Bruttó kibocsátás |
||||
| Rybnaya | Logisztika | Hajójavítás | Étel | Gép és műszer | |||
| Rybnaya | 1 | 5,5 | 1,5 | 5 | 6 | 56700 | 101964 |
| Logisztika | 6 | 1 | 5 | 4,5 | 3 | 56430 | 204324 |
| Hajójavítás | 4,5 | 5 | 1 | 6 | 6 | 390860 | 508326 |
| Étel | 5 | 5 | 5 | 1 | 6 | 787890 | 1289754 |
| Gép és műszer | 4 | 4 | 5 | 4 | 1 | 323630 | 734563 |
Készítsünk egy K mátrixot a tőkekiadások vagy tőkearányok együtthatóiból.
| Termékek előállítása, B | Termék fogyasztás | Végtermék Y | Bruttó kibocsátás | ||||
| Rybnaya | Logisztika | Hajójavítás | Étel | Gép és műszer | |||
| Rybnaya | 0,8 | 4,4 | 1,2 | 4 | 4,8 | 56700 | 101964 |
| Logisztika | 4,8 | 0,8 | 4 | 3,6 | 2,4 | 56430 | 204324 |
| Hajójavítás | 3,6 | 4 | 0,8 | 4,8 | 4,8 | 390860 | 508326 |
| Étel | 4 | 4 | 4 | 0,8 | 4,8 | 787890 | 1289754 |
| Gép és műszer | 3,2 | 3,2 | 4 | 3,2 | 0,8 | 323630 | 734563 |
Most határozzuk meg
Legyen Ф 0 = 0,
(A mátrix – közvetlen költségek mátrixa)
Tehát megvan az első vektor
| Ipar | x t = 1-nél | Ф t = 1-nél | y t = 1-nél |
| Rybnaya | 191487 | -20044,8 | -3,601*10^4 |
| Logisztika | 372281 | 81285,6 | 7,575*10^4 |
| Hajójavítás | 364521 | -5660,8 | 2,697*10^3 |
| Étel | 476859 | 8080 | 1,824*10^4 |
| Gép és műszer | 564837 | 9364,8 | -8,428*10^3 |
Hasonló módon kapjuk meg a t = 2, 3, 4, 5, 6 táblázatokat.
| Ipar | x t = 2-nél | Ф t = 2-nél | y t = 2-nél |
| Rybnaya | 166431 | -56863,2 | -6,808*10^4 |
| Logisztika | 473888 | 80086,4 | -6,632*10^3 |
| Hajójavítás | 357445 | 17947,2 | 2,495*10^4 |
| Étel | 486959 | 17537,6 | 2,816*10^4 |
| Gép és műszer | 576543 | 11089,6 | 5,698*10^3 |
| Ipar | x t = 3-nál | Ф t = 3-nál | y t = 3-nál |
| Rybnaya | 120408 | -78926,4 | -4,702*10^4 |
| Logisztika | 472389 | 125255,2 | 2,757*10^4 |
| Hajójavítás | 386955 | 25729,6 | 8,966*10^3 |
| Étel | 498781 | 49384,8 | 3,867*10^4 |
| Gép és műszer | 578699 | 23957,6 | -3,451*10^3 |
| Ipar | x t = 4-nél | Ф t = 4-nél | y t = 4-nél |
| Rybnaya | 92829 | -86304 | -4,489*10^4 |
| Logisztika | 528850 | 132400,8 | 5,323*10^4 |
| Hajójavítás | 396683 | 70476,8 | 3,166*10^4 |
| Étel | 538590 | 5886,4 | -3,038*10^4 |
| Gép és műszer | 594784 | -53807,2 | -6,271*10^4 |
| Ipar | x t = 5-nél | Ф t = 5-nél | y t = 5-nél |
| Rybnaya | 83607 | -71618,4 | 8,141*10^3 |
| Logisztika | 537782 | 313720,8 | 1,671*10^5 |
| Hajójavítás | 452617 | 42454,4 | -2,388*10^4 |
| Étel | 484217 | 15766,4 | -2,626*10^3 |
| Gép és műszer | 497578 | -24216 | -2,208*10^4 |
| Ipar | x t = 6-nál | Ф t = 6-nál | y t = 6-nál |
| Rybnaya | 101964 | -89296,8 | -9,557*10^3 |
| Logisztika | 764432 | 168894,4 | -1,595*10^5 |
| Hajójavítás | 417589 | 54678,4 | 1,239*10^4 |
| Étel | 496567 | 44477,6 | 3,563*10^4 |
| Gép és műszer | 534567 | -16855,2 | 3,836*10^4 |
A Neumann-modell bemutatja n termékek és m módjaik
Termelés. Minden egyes j- A módszert a termékköltségek oszlopvektora adja meg
a jés a termékkiadások oszlopvektora b j egységenként
folyamat intenzitása:
(1)
Ez azt jelenti, hogy egységnyi intenzitáson j th termelési folyamatban elfogyasztott vektor termékek a jés előállított termékek b j... A vektorokat (1) természetes egységekben vagy változatlan árakon kell figyelembe venni.
A bemenetek és kimenetek vektoraiból költségmátrixokat képeznek Aés kérdéseket
V nem negatív költségarányokkal a ijés kérdéseket b ij :
Mátrixok Aés V a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1) 
a
ij
≥0 ,b
ij≥0, azaz minden mátrixelem nem negatív;
2) ami azt jelenti: mindegyikben m módokon
a termelés legalább egy terméket fogyaszt;
3) ami azt jelenti: minden termék
legalább egy gyártási módszerrel előállított;
Így a mátrix minden oszlopa Aés a mátrix minden sorát V
legalább egy pozitív elemmel kell rendelkeznie.
Át NS (t) jelöljük az intenzitások oszlopvektorát
Azután FEJSZE (t) A költségvektor, Bx (t) Egy adott kimenetek vektora
vektor NS (t) a folyamatok intenzitását.
A Neumann-modell a dinamikus modell általánosítása
Leontyev input-output mérlege, mivel lehetővé teszi egy termék több gyártási módszerrel történő előállítását, és egybeesik vele, ha B = E.
A Neumann-modellben a következő összefüggések mennek végbe:
(2)
A kapcsolatok (2) azt jelentik, hogy a termékek előállítása során egy évben
(t+ 1) az egy évben előállított termékeket fogyasztják t.
Vektor p (t)=(p 1 (t), p 2 (t),..., p n (t)) A ≥0 értéket árvektornak nevezzük
évente gyártott termékek t ha kielégíti a következő összefüggéseket:
(3)
Ha a mátrixok együtthatói Aés V Akkor az értékek változatlan árakban vannak R (t) az árindexek vektora lesz.
Az első vektoregyenlőtlenség a (3)-ban azt jelenti, hogy a kibocsátási költség
termékek az egyes technológiai gyártási módokhoz évente t+ 1 nem lehet több, mint a költségek költsége az év árában t.
A (2) és (3) pontból következik, hogy a következő összefüggések állnak fenn:
(4)
Az első reláció a (4)-ben azt jelenti, hogy az ár én termék évente t egyenlő nullával, ha a kibocsátása egy évben t több lesz, mint az évi költségei ( t + 1).
A második reláció (4) azt jelenti j-th technológiai folyamat évente t nem vonatkozik (az intenzitás nulla), ha költségeinek költsége egy évben t több, mint a kiadás évi költsége ( t + 1).
Meghatározás. Vektorok NS (t) és p (t), t = 1, 2, …, T pályának nevezzük
kiegyensúlyozott növekedés a Neumann-modellben, ha kielégítik
körülmények:
(5)
Itt λ az arány, ρ a kiegyensúlyozott növekedési százalék.
Az (5)-ből következik, hogy a kiegyensúlyozott növekedés állapotában a vektor összetevőinek értékei NS (t) arányosan növekednek, és a vektorok p (t) csökken. Ebben az esetben a következő kapcsolatok jönnek létre:
(6)
ahol NS(0) és R(0) - a vektorok kezdeti értékei egy évben t = 0.
Az (5), (6)-ból az következik, hogy a kiegyensúlyozott növekedés pályáján az összefüggéseknek teljesülniük kell.
(7)
A kiegyensúlyozott növekedési pályák meglétének kérdésével foglalkozunk
a következő tételekkel.
Neumann első tétele... Ha az A és B mátrixok kielégítik
tulajdonságok 1-3, akkor a (7) egyenlőtlenségrendszernek van megoldása X (t), p (t), λ, ρ,
azok. a Neumann-modellben kiegyensúlyozott növekedési pályák vannak.
Neumann második tétele. Van megoldás x * (t), p * (t),λ * ,ρ *
rendszer (7), amelynek maximális növekedési sebessége λ * ≥ λ és
minimális százalékarány ρ * ≤ ρ más megoldásokhoz képest.
Ebben az esetben az arány teljesül:
(8)
Ezt a megoldást ún országút, vagy pálya
maximális kiegyensúlyozott növekedés a Neumann modellben.
A Neumann-modell egy kiszámíthatatlan, tisztán elméleti modell. A gyakorlati eredményekhez való hozzáférés V. Leont'ev dinamikus modelljén keresztül történik, amely a Neumann-modell speciális esete. A dinamikus egyensúly alapján kapott árak a Neumann-modell árainak tulajdonságaival rendelkeznek. A Leontief-modell a dinamikus input-output egyensúlyból származó adatokat használ. A dinamikus egyensúly alapján lehetőség van a maximális kiegyensúlyozott gazdasági növekedés Neumann-sugarának megalkotására is, és ennek a sugárnak megfelelő, az alternatív költséget tükröző árak kiszámítására. A dinamikus interszektorális modell és a Neumann-modell közötti különbség az, hogy azon a feltételezésen alapul, hogy minden iparágban egy és csak egy gyártási folyamat lehetséges. Így az egyes iparágak megoldásának megválasztása csak a termelési mód intenzitásának meghatározására redukálódik.
Befejezésül megjegyezzük, hogy az ágazatközi mérleg segítségével megoldják
a következő feladatokat:
1. Az input-output mérleg táblázat segítségével keresse meg a közvetlen és a teljes költségek mátrixát!
2. A végső termelés vektorának beállítása után határozza meg a bruttó termelés vektorát.
3. A bruttó termelés vektorának beállítása után határozza meg a végtermék vektorát.
4. A hozzáadott érték új értékeivel keressen árindexeket, és készítsen egy új input-output mérleg táblázatot.
5. Keresse meg a bruttó kibocsátás, hozzáadott érték, költségek vektorait,
a költségek és a hozzáadott érték aránya a bruttó termékben, ágazatközi
termékellátás, elkészíti az input-output mérleg táblázatát.
Az „input-output” analitikai módszer gyakorlati tartalommal töltötte meg az általános gazdasági egyensúly elméletét, hozzájárult a matematikai apparátus fejlesztéséhez. Leontief módszerét az egyértelműség és az egyszerűség, az egyetemesség és a globalitás, más szóval az egyes országok és régiók gazdaságára, a világgazdaság egészére való alkalmasság jellemzi.
Leontief input-output modellje az input-output egyensúly sémáján alapul, feltéve, hogy minden iparág egy és csak saját terméket állít elő más iparágak termékeinek felhasználásával és lineáris technológiával. Segít elemezni az iparágak közötti áruáramlást, és választ ad arra a kérdésre: lehetséges-e e technológia körülményei között kielégíteni a lakosság végső áruigényét?
A fő pálya a Neumann-sugár. A gerincelmélet fő kérdése az optimalizálási modellek pályáinak a megfelelő gerincekhez való közelségének elemzése. A dinamikus Leontiev és Neumann modellek optimális pályái bizonyos további feltételek mellett rendelkeznek ilyen tulajdonságokkal.
1. Kolemajev V.A. "Gazdasági és matematikai modellezés" UNITY-DANA, 2005 295 p.
2. Pottosina S. A., Zhuravlev V. A. "Közgazdasági és matematikai modellek és módszerek" Tankönyv közgazdasági szakos hallgatóknak, 2003. - 94 p.
3. Közgazdasági és matematikai modellek és módszerek / Szerk. A.V. Kuznyecova. - Minszk: BSEU, 2000.
4.http: //slovari.yandex.ru/dict/lopatnikov/article/lop/lop-0879.htm
5.http://www.sseu.ru/edumat/v_mat/course2/razd10_2/par10_4k2.htm
Gyakran a régiók vagy az ország egészének szintjén történő gazdasági tervezés során szükségessé válik az árukibocsátás mennyiségének meghatározása, amely megfelel a lakosság adott keresletének és a termelési igényeknek. Ezt a problémát a termelés és a termékek elosztásának egyensúlyi modelljei segítségével lehet megoldani. V. e modellek felépítésének alapja a mérlegmódszer, vagyis a rendelkezésre álló anyagi, munkaerő- és anyagi erőforrások és azok szükségleteinek kölcsönös összehasonlításának módszere.
Az egyensúlytervezési módszerek a gazdasági objektumok hierarchiájának különböző szintjein jöhetnek szóba: vállalkozások, egyesületek, iparágak, a nemzetgazdaság egésze. Az input-output egyensúly modell (IOB) történelmileg a konszolidált nemzetgazdasági tervezés első közgazdasági és matematikai modellje. A nemzetgazdaság első mérlegeit a Szovjetunió Központi Statisztikai Hivatala dolgozta ki a években. Jelenleg a világ mintegy nyolcvan országában állítják össze a nemzeti szintű input-output mérlegeket. Emellett a régiók és a nagyvárosok szintjén is kiépülnek az ágazatközi egyensúlyok.
A MOB elődjei: F. Quesnay gazdasági táblázata (1758) és K. Marx társadalmi újratermelési sémája (XIX. század). Az ágazatközi kapcsolatokat tanulmányozó orosz közgazdász () volt az első, aki erre a célra lineáris egyenleteket alkalmazott, és technológiai együtthatókat javasolt. Az input-output elemzés modern modelljének (angol nyelvű országokban "input-output elemzésnek" nevezik) szerzője egy amerikai tudós (származék szerint orosz) Vaszilij Leontyev. 1973-ban Nobel-díjat kapott a gazdasági elemzés kidolgozott módszereiért (input-output modell).
Ez a modell lehetővé teszi a bruttó kibocsátás összköltségének, a kibocsátási egységre jutó közvetlen és közvetett költségek kiszámítását, valamint egyértelmű mennyiségi összefüggések megállapítását a bruttó társadalmi termék, a nemzeti jövedelem és az egyes szektorok fejlődése között. A módszer univerzális. Segítségével például az amerikaiak végrehajtották a gazdaság szerkezetátalakítását katonai pályáról békésre. Ez szolgált a Japánban használt indikatív tervek alapjául.
Iparágközi egyensúly termékek előállítása és forgalmazása - a társadalmi termelés szerkezetének elemzésére és tervezésére szolgáló eszköz, figyelembe véve a termelési szféra ágainak összetett kölcsönhatásait. Attól függően, hogy a mérlegben milyen egységekben mérik a termékáramlásokat, az iparágak közötti mérlegre többféle lehetőség kínálkozik: természetben, értékben, természetben, munka szempontjából... Az információ közgazdasági tartalma szerint a mérlegek feloszthatók tervezett és jelentéstétel; a használt modell jellegétől függően - statikussá és dinamikussá.
Tekintsük a jelentést készítő iparágak közötti mérleg (IOB) egy töredékét (három szakaszát), amelyben a termékáramlásokat a megtermelt áruk értéke alapján mérik bizonyos fix áron (1. táblázat). A mérleg alapja az anyagtermelés ágainak összessége. Az ágazatközi mérlegben az iparág fogalma eltér az általánosan elfogadotttól, itt a „tiszta” (vagy technológiai) fogalmát használjuk, vagyis egy feltételes iparágat, amely egyesíti az adott termék teljes termelését, függetlenül az osztálytól. vállalkozások és cégek alárendeltsége.
Asztal 1
Az input-output mérleg tábla töredéke
Minden iparág kétszer szerepel a mérlegben: termelőként és fogyasztóként. Egy iparágnak, mint termékgyártónak a táblázat egy meghatározott sora, a termékek fogyasztójaként pedig egy adott oszlopnak felel meg. Mivel az iparágak tiszták, az iparági index azonosítható mind a termék típusával, mind a technológiai folyamattal.
Az első rész az ágazatok közötti kapcsolatokról tartalmaz információkat. Az i az iparágak termelési tevékenységéhez). ...
Így az első szakasz minden sora az -edik szektor termékeinek megoszlását mutatja a nemzetgazdaság más ágazatai között. - az -edik iparág termékeinek termelési felhasználása a gazdasági rendszer által (a -edik iparág köztes terméke).
A mérleg első részének oszlopai az egyes iparágak anyagköltségeinek szerkezetét tükrözik. - az -edik iparág összes termelési költsége a beszámolási időszakban. - az összes ágazat termelési összköltsége vagy a nemzetgazdaság teljes köztes terméke.
Így az MB első része általános képet mutat a termelési költségekről és az iparágak termékeinek termelési célú elosztásáról. Az I. kvadráns adatai meghatározó szerepet játszanak az iparágak anyagköltségeinek szerkezetének, az ágazatok közötti arányoknak és termelési kapcsolatoknak, az anyag- és műszaki ellátórendszer áramlásainak elemzésében.
A második rész tartalmazza a mennyiségeket - a végtermék értékeit és - a bruttó termék értékeit ().
Végtermék- ezek az anyagi termelés ágainak termékei, amelyeket személyes és közcélú, nem termelő fogyasztásra, tárgyi eszközök felhalmozására és selejtezésének megtérítésére, készletnövekedésre, oktatási költségekre, egészségügyre, exportra szállítanak. stb.).
- a gazdasági rendszer vagy a nemzeti jövedelem teljes végterméke, és az oszlop a nemzeti jövedelem anyagi szerkezetét jellemzi.
A részletes mérlegdiagramokon az egyes iparágak végterméke felhasználási irányok szerint differenciáltan jelenik meg: fogyasztásra, beruházásra, készlet- és tartaléknövekedésre, exportra és egyéb kiadásokra.
Az input-output mérleg első és második szakaszát input-output táblának nevezzük. A táblázat sorai szerint a következő egyenleghányad épül fel:
, (),
(2.1),
vagyis az egyes iparágak bruttó terméke megegyezik a vég- és a közbenső termékek összegével.
Az MB harmadik része az iparágak bruttó termékének költségszerkezetét tükrözi. A táblázatunkban a harmadik szakaszt 2 sor képviseli. Az első tartalmazza az értékeket, amelyek mindegyike az iparág hozzáadott értékét (feltételesen nettó kibocsátását) jelenti, a második pedig a bruttó terméket. Az ideiglenes nettó termelés a bruttó termelés és a teljes termelési költség különbsége:
(2.2)
Hozzáadott érték a termék értékének az a része, amely egy adott iparágban keletkezik. Ez tükrözi az egyes tárgyaknál (ágazatoknál) felmerülő nyereséget, béreket, értékcsökkenési költségeket, adókat és egyéb költségeket a más iparágaktól kapott erőforrásokért fizetett kifizetéseken túl.
A telepített MB-kben az elméleti nettó termelést általában értékcsökkenési költségekre és nettó termelésre osztják.
A (2.1) és (2.2) kapcsolatok azt jelentik
(2.3),
honnan kapjuk: (2.4)
Ez az arány azt mutatja, hogy a gazdasági rendszer teljes végterméke (nemzeti jövedelem) egyenlő a teljes feltételesen nettó termeléssel. Így a harmadik rész is a nemzeti jövedelmet jellemzi, de értékösszetétele oldaláról az anyagi termelés valamennyi ága bérének és nettó jövedelmének összegeként, és az értékek az ipar nemzeti jövedelemhez való hozzájárulását mutatják.
A harmadik rész adatai az újonnan létrehozott és átadott érték, a szükséges és többlettermék értéke közötti kapcsolat elemzéséhez szükségesek általában az anyagtermeléshez és ágazati összefüggésben. Általánosságban a (2.4) egyenlet azt mutatja, hogy az ágazatközi mérlegben a nemzeti jövedelem anyagi, tárgyi és értékösszetételének egységének legfontosabb elve érvényesül.
Megjegyzendő, hogy a fizikai egyenleg általában csak az input-output mérleg séma I. és II. szakaszának mutatóit tartalmazza. A legfontosabb terméktípusokhoz fejlesztették ki, és általában nem fedi le a teljes társadalmi termelést.
Hangsúlyozzuk, hogy az általunk vizsgált jelentéskészítő IB még nem modell, hanem csak egy módja az ország gazdaságáról szóló statisztikai információk bemutatásának. Az egyes vállalkozások eredményeinek összesítése alapján épül fel. A jelentési MB-k mellett a tervezett MB-k kialakítása is folyamatban van. Felépítésükhöz szektorközi egyensúlyi modellek alkalmazása szükséges.
A mérlegmodell a következő feltételezéseken alapul egy gazdasági objektum tulajdonságaira vonatkozóan:
· A gazdasági rendszer több gazdasági egységből áll. Az egyes objektumok által megtermelt termékek mennyisége egy számmal jellemezhető, amelyet legtöbbször bruttó kibocsátásnak tekintenek bizonyos fix árakon.
Az egyes objektumok által előállított termékeket részben a rendszer többi objektuma elfogyasztja, részben pedig ennek a rendszernek a végtermékeként kerül kifelé, vagyis a relációba.
(2.5)
· A rendszer célja adott mennyiségű végtermék előállítása.
· A fogyasztás teljessége: adott mennyiségű termék kiadásához egy tárgynak szigorúan meghatározott mennyiségű egyéb terméket kell kapnia.
· A fogyasztás linearitásának tulajdonsága: a kibocsátás bizonyos számú növekedéséhez az objektum összes többi termék fogyasztását ugyanannyiszor kell növelni.
Nyilvánvaló, hogy a megfogalmazott feltételezések csak hozzávetőlegesen tükrözik a valós gazdasági helyzetet, például a fogyasztás teljességére vonatkozó feltételezést, amely azt feltételezi, hogy az egyes létesítményekben a termelési technológia változatlan marad a vizsgált időszakban, és minden iparágban egy gyártási technológia, nem szabad egy erőforrást másokkal helyettesíteni.
A valós gyártás során ugyanaz a termék az alkalmazott technológiától függően eltérő mennyiségű összetevőt igényelhet, és a modell feltételezi, hogy a terméket valamilyen átlagolt módon állítják elő. Az egyszerűsítések ellenére a mérlegmodell kényelmes tervezési eszköz, mivel egyszerűsége és a terv összes mutatója kiszámítható.
A modell építése.
Válasszuk a modell változóinak a bruttó kibocsátás értékét -. (). A 2. feltevés értelmében ennek a terméknek egy része végtermékként távozik a rendszerből. Az értékeket a modellben tervezett feladatnak tekintjük, míg a (2.5) összefüggés teljesül:
()
A fogyasztás linearitása és teljessége határozza meg a rendszerben az erőforrások átalakulását szabályozó törvényszerűségeket, vagyis a teljesség tulajdonsága szerint a termelési egység felszabadításához a tárgynak a kérdéses gazdasági rendszer egyéb termékeit kell használnia. egy bizonyos arány. Legyen ` 
a vektor, amely meghatározza ezt az arányt, ahol a mennyiségeket technológiai együtthatóknak vagy közvetlen költségek együtthatóinak nevezzük
- az i-edik iparág termékeinek mennyisége, amely egy termelési egység előállításához szükséges a j-edik iparágban. A mennyiségek nem függenek a termelés mennyiségétől, és viszonylag stabilak az idő múlásával.
A mennyiségekből álló mátrixot technológiai együtthatók mátrixának vagy közvetlen költségek mátrixának nevezzük
A = 
A mennyiségek közgazdasági jelentéséből következik, hogy a mátrix minden eleme nem negatív. Ezt a tulajdonságot a következőképpen írjuk:. Mivel a reprodukciós folyamat nem valósulhatott volna meg, ha az iparban nagyobb mennyiségű terméket fordítanak saját termelésre, mint amennyit létrehoztak, nyilvánvaló, hogy a mátrix átlós elemei kisebbek, mint 1: < 1
A linearitási tulajdonság alapján azt lehet állítani, hogy. ha az -edik objektum nem termelési egységet ad ki, hanem akkor szüksége lesz () egységnyi termékre az -edik iparágból, azaz az -edik iparágból az -edik iparba történő iparágak közötti termékellátásra.
Hiba! Szerkesztési mezőkódokból nem hozható létre objektum. (2.6)Hiba! Szerkesztési mezőkódokból nem hozható létre objektum.
Helyettesítve (2.6)-t (2.5)-re, és megkapjuk a következő egyensúlyi egyenletrendszert:
() (2.7)
A nagyságrend gazdasági jelentéséből Hiba! Szerkesztési mezőkódokból nem hozható létre objektum. (2.8)
A (2.7) és (2.8) összefüggések az együtthatók és vektorok kifejtett értelmezésével együtt egy egyszerű Leontjev-mérlegmodellt határoznak meg.
Mátrix formában a modell a következőképpen írható fel:
(2.9).
A mérlegmodellben a következőket tekintjük adottnak: az A mátrixot és az Y végtermék vektorát. Meg kell határozni az X mátrixot (bruttó kibocsátás).
Az egyensúlyi modellek mérlegelésekor felmerül a közvetlen költségek együtthatóinak meghatározása. (A mátrixok). Az egyszerűsített modellben azt feltételezzük, hogy a közvetlen költségek együtthatói a vizsgált időszakban állandóak és csak a meglévő gyártási technológiától függenek, és ez lehetővé teszi azok kiszámítását a valós termékáramlásra vonatkozó adatok feldolgozása alapján. Beszámoló MB-ban bemutatott elmúlt időszak: (2.10)
Tekintsünk egy mérlegmodellt:
A (2.11) egyenletrendszer vizsgálata mindenekelőtt azoknak a feltételeknek a tisztázását jelenti, amelyek garantálják e rendszer nemnegatív megoldásának létezését és egyediségét. (2.11) lineáris egyenletrendszer változókkal. Az ilyen rendszereknek egyedi megoldásuk van, ha a determinánsuk nem egyenlő nullával. Bemutatjuk az E egységmátrixot, és a (2.11)-et a következő formában írjuk fel:
Tehát ahhoz, hogy a (2.11) egyenletrendszernek legyen megoldása, szükséges, hogy a mátrix determinánsa nullától eltérő legyen: ( 
). Ebben az esetben van egy mátrix fordítottja .
Ekkor a (2.11) rendszer megoldása a következőképpen definiálható:
Ahhoz azonban, hogy egy megoldásnak közgazdasági értelme legyen, nem negatívnak kell lennie, pl. ... Vegyük észre, hogy a mátrix megléte nem biztosítja a kapott megoldás nem-negativitását. Ezenkívül gazdasági szempontból különösen érdekesek azok a rendszerek, amelyek nemnegatív megoldással rendelkeznek a végső termelés bármely adott vektorára, azaz bármely pozitívra. .
A Leontief-modell tanulmányozása során felmerülő fő kérdés tehát a következő: képes-e a vizsgált technológia a mátrix által adott végső igényt kielégíteni. Matematikai szempontból ez azt jelenti, hogy meg kell határozni azokat a feltételeket, amelyeket a mátrixnak teljesítenie kell ahhoz, hogy a mérlegegyenletrendszernek bármelyikre nem negatív megoldása legyen. A kérdésre adott válasz a mátrix termelékenység fogalmához kapcsolódik.
Meghatározás. Egy mátrixot produktívnak nevezünk, ha van olyan nem-negatív vektor
, azaz (2.15).
A (2.15) feltétel azt jelenti, hogy több termelést állítanak elő, mint amennyit termelési fogyasztásra fordítanak (köztes termék). ). Következésképpen minden objektum egy bizonyos mennyiségű végterméket állít elő. Produktív mátrix esetén a (2.11-2.12) modellt produktívnak is nevezzük.
Tétel - 1... A mátrix termelékenysége szükséges és elégséges feltétele a (2.11) mérlegegyenletrendszer nem negatív megoldásának létezésének és egyediségének.
Tétel - 2(a termelékenység szükséges és elégséges feltétele). Mátrix Hiba! Szerkesztési mezőkódokból nem hozható létre objektum. akkor és csak akkor produktív, ha van mátrix és minden eleme nem negatív.
Tétel - 3(elegendő feltétel a termelékenységhez)
Egy mátrix akkor produktív, ha minden eleme nem negatív, és az egyes oszlopok elemeinek összege nem több egynél ( 
).
Egy elégséges feltétel csak értékmérőben használható mátrixhoz. Ezenkívül meg kell jegyezni, hogy a mátrix akkor is produktív lehet, ha ez a feltétel nem teljesül (hiszen ez elégséges, nem szükséges tulajdonság).
Tehát a produktív mátrixra a mérlegegyenletrendszer megoldása felírható:
vagyis egy adott végtermékre vonatkozó közvetlen költségek együtthatói alapján azonnal meg lehet határozni az iparágak bruttó kibocsátását. Ez az alapötlet az ágazatközi modellek használatának a termeléstervezésben. A Leontyev-modell linearitásából az következik, hogy a vektor növekménye és a vektor megfelelő növekménye egyenlettel van összefüggésben. Ezért a mátrix lehetővé teszi a végső fogyasztás változása által a bruttó kibocsátás változásának kiszámítását. Ezért a mátrix 
gyakran mátrixszorzónak vagy Leontief-szorzónak nevezik.
Jelöljük azzal 
a mátrix elemeit, és megtudja azok gazdasági jelentését. Tekintsünk egy speciális esetet: valamelyik iparág állítson elő egy egységet a végtermékből, a többi ágazat pedig ne állítsa elő a végterméket, pl.
(2.17)
Ha - akkor produktív , azaz
=
(2.18)
A (2.18) vektorok egyenlőségéből az következik, hogy () (2.19).
A (2.19) összefüggések felfedik a mátrixelemek közgazdasági jelentését:
itt van az a bruttó termékmennyiség, amelyet az iparnak le kell gyártania ahhoz, hogy az ipar egy egységet tudjon előállítani a végtermékből. Ezért az elemeket a teljes anyagköltség együtthatóinak, a mátrixot pedig az összes anyagköltség mátrixának nevezik (az anyagköltségek ebben az esetben a vizsgált gazdasági rendszer tárgyai által gyártott termékek).
Közvetlen költségtényezők jellemzik az -edik iparág termékeinek közvetlen költségeit az -edik iparág termékegységének előállítására. A közvetlen költségek mellett azonban vannak közvetett vagy közvetett költségek is. Vegyük például a villamosenergia-költségek kialakulását az autók gyártása során. A következő technológiai láncra szorítkozunk:
autó - karosszéria - acéllemez - hengerelt.
Az elektromos áram költsége közvetlenül az autó összeszerelése során (1. szakasz) közvetlen költség lesz. De acéllemezből és hengerelt termékekből acélból készült karosszéria gyártása során elektromos áramra is szükség van. Ezek a karosszéria- és acéllemez gyártás közvetlen költségei az autógyártás első, illetve másodrendű közvetett (közvetett) költségei.
A közvetett költségek bevezetése lehetővé teszi, hogy a következőképpen definiáljuk az összköltség arányait:
az összes anyagköltség aránya Az i-edik iparág teljes termelési mennyiségének nevezzük, amely az i-edik iparág kibocsátási egységének előállításához szükséges mind közvetlenül, mind közvetve, figyelembe véve az i-edik iparág termékeinek előállításához szükséges összes köztes terméket a termelés minden szakaszában.
Az ipar termelési egységének előállításához közvetlenül szükséges egy termékkészletet elkölteni 
, amelyet formálisan a mátrix th oszlopa ír le ... Egy termékkészlet előállításához viszont a gazdasági ágazatok termékeire is szükség van. Ezt a termékkészletet a következővel fogjuk jelölni. A linearitási tulajdonság miatt = ... A vektor elemeit elsőrendű közvetett költségegyütthatóknak nevezzük a termék egy egységének - az iparnak - előállítására. A () oszlopokból álló mátrixot elsőrendű általános mátrixnak nevezzük. Ez nyilvánvaló 
A másodrendű közvetett költségek az első rendű közvetett költségek biztosításához szükséges költségek, pl. 
vagy mátrix formában: stb.
A teljes költség az összes megrendelés közvetlen és közvetett költségeinek összege:
Ezt figyelembe véve megkapjuk
Tétel... Ha a mátrix produktív, akkor a mátrix egy konvergáló teljesítménymátrix sorozat összegeként ábrázolható:
(bizonyítsd be! A bizonyítás a lemmán alapul :
ha az A mátrix produktív, akkor 
)
A (2.21) és (2.22) összefüggések összehasonlítása lehetővé teszi a mátrixok és az összes anyagköltség közötti kapcsolat megállapítását: Ez a kapcsolat határozza meg a mátrixok és a végtermék egysége közötti különbség gazdasági jelentését. Az összköltség mátrixának ismerete lehetővé teszi a végtermék és a bruttó termék közötti kapcsolat elemzését, az egyik vagy olyan típusú végtermék előállításának összköltségét, valamint a különböző mennyiségi és strukturális végső fogyasztási konstrukciójú tervek kiszámítását.
Meghatározás. A Mátrix 
az indirekt anyagköltségek mátrixának nevezzük. A (2.22) reláció segítségével felírhatjuk:
A magasabb rendű közvetett költségek nagyon kicsik, ezért a gyakorlati számításoknál elhanyagolhatóak. A (2.22) és (2.23) összefüggések segítségével megkereshetjük a megfelelő mátrixok közelítő értékét. Minél több tagot választanak ki a kiszámításához, annál pontosabbak.
A gazdasági objektumok működéséhez nemcsak e rendszer más objektumainak termékeire van szükség, hanem olyan termelési tényezőkre is, mint a termelési eszközök (berendezések, termelési területek, munkaerő stb.) Ezen túlmenően a gazdasági rendszer a termékekből is kaphat termékeket. más gazdasági rendszerek általában korlátozottak, ami az oka annak, hogy a végtermék minden vektorát nem tudja a gazdasági rendszer előállítani még az A mátrix termelékenysége esetén sem. a rendszer termelési tényezők iránti kereslete.tényezők elérhető mennyiségei.
A rendszer termelési tényezők iránti igényét jelöljük 
, hol van szükség a -edik tényezőre. A szükséglet mérhető természetes mértékegységekben (óra, négyzetméter stb.), és pénzegységekben is. Minden egyes gazdasági objektumot a termelési tényezők egységnyi kibocsátásra vetített költségvektora jellemez: itt van a -edik tényező összege, amelyre a létesítménynek szüksége van egy egység kibocsátás előállításához. A mennyiségeket a termelési tényezők közvetlen költségeinek együtthatóinak és mátrixnak nevezzük ,
ezekből az együtthatókból áll - a termelési tényezők közvetlen költségeinek mátrixa.
A mátrix minden oszlopa = meghatározza egy adott iparág tényezőinek közvetlen költségeit, és minden sor leírja a rendszer -edik termelési tényező iránti igényét. Úgy gondoljuk, hogy a termelési tényezők esetében teljesülnek a linearitás és a fogyasztás teljessége tulajdonságai. Ha a bruttó kibocsátás vektora, akkor a gazdasági rendszer teljes kereslete a 00. faktorban: 
... Ez az arány mátrix formában írható fel:
mióta hol .
Mátrix . meghatározza a termelési tényezők összköltségét termelési egységenként. Mint már említettük, az egyes tényezők száma korlátozott, és a mátrix adja meg 
... Ekkor a végtermék terve akkor elfogadható, ha a megvalósításhoz szükséges termelési tényezők mennyisége nem haladja meg a rendelkezésre állásukat, azaz az arány teljesül:
Írjunk egy mérlegmodellt termelési tényezőkkel:
(2.26)
Az egyszerű mérlegmodelltől eltérően ez a modell még produktív mátrix esetén sem bármelyik, hanem csak kielégítő relációra (2.25) megoldható, azaz ebben az esetben már nem lehet arról beszélni, bármilyen végső igény kielégítése.
Ezért, mielőtt a mérlegegyenlet-rendszer megoldásával folytatnánk, egy adott tervre vonatkozóan ellenőrizni kell a (2.25) feltétel teljesülését. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor a végtermék kibocsátásának volumenét módosítani kell, annak szerkezetét megtartva, vagyis a terv minden elemét ugyanannyiszor kell megváltoztatni. A méretezési tényező meghatározása a következőképpen történik:
Érvelésünk eddig csak a gyártástechnológiáról szólt. Nézzük meg az oszlopegyenleget, és vizsgáljuk meg az egyenlegmodellek árazási aspektusát. Írjuk fel az egyenleg arányokat az MB költség oszlopai szerint:
(2.27)
Itt van a hozzáadott érték.
Tegyük fel, hogy minden iparágban előrejelzés van az árváltozásokról jövőre alkalommal a folyó évhez képest a vektorok azonos természeti értékeivel. Az értékeket árváltozási indexeknek nevezzük.
Az árindexeket bevezetjük a (2,27) relációba, helyette jelen esetben a 
.
Ekkor (2.27) felírható :
(2.28)
Elosztjuk (2,28) a bruttó kibocsátással, és megkapjuk:
, (2.29),
ahol az egységenkénti hozzáadott érték aránya – Th termékek.
Az áregyenleg-modell mátrix formában a következő lesz:
(2.30)
Itt van a technológiai együtthatók A mátrixára transzponált mátrix, a hozzáadott értékek termelési egységenkénti részesedésének mátrixa. A modellben és adottnak tekintendők. Az árváltozási indexek mátrixát kiszámítjuk.
Ha feltételezzük, hogy az iparágak termékeinek ára a beszámolási időszakban egy volt, akkor az iparág egységáraként értelmezhető.
Nem nehéz megfelelést létrehozni az árazási modell és a kimeneti modell között, nevezetesen:. Ezeket a kölcsönös megfeleléseket szem előtt tartva a kibocsátási modellt és az ármodellt nevezzük ambivalens
Az ármodellre ugyanazok az elméleti feltevések érvényesek, mint a kibocsátási mennyiségek modelljére. Konkrétan, ha A produktív, akkor van egy egyedi, nem negatív megoldás a (2.30) modellhez:
(2.31).
Meg lehet mutatni, hogy), akkor
Az ármérleg modellben a mátrix a hozzáadott érték arányának változásának szorzója, pl.
(2.33).
Abban az esetben, ha a hozzáadott értéket csak a bérek jelentik, az árindexek arányosak a teljes munkaerő-kereslet együtthatóival, függetlenül a végtermék tervezett céljától, és az arányossági együttható egybeesik a javadalmazási együtthatóval, azaz. Mutassuk meg.
Legyen 
vektor a közvetlen munkaerőköltségek, akkor - bérek, a gyártás egy egység - th termelés. Azt feltételezzük .
Azután
Ennélfogva,
1. cél. Készítsen egyensúlyi modellt, és találja meg a megoldást a végtermék adott tervére 
... Tervezett egyensúly kialakítása. Hogyan változik a bruttó kibocsátás az 1. iparág végső keresletének 20%-os növekedésével. A jelentett értékegyenleget a következő táblázat tartalmazza
Az input-output mérleg (IOB) a gazdaság szerkezeti összefüggéseinek elemzésére és előrejelzésére szolgáló eszköz. Kialakításának módja a különböző iparágak és gazdasági ágazatok kettős figyelembevételéből áll: egyrészt, mint termékfogyasztást, másrészt bizonyos típusú árukat és szolgáltatásokat saját fogyasztásra és más ágazatok szükségleteire állítanak elő. a gazdaságé.
Az input-output mérleg az iparágak „sakktáblája”, amelyben vertikálisan jelennek meg az adott gazdasági ág termékeinek előállításának anyagköltségei, az ebből az ágazatból másokhoz termelési szükségletekre átadott termékek mennyisége (köztes termék), valamint az ipar végső termékfogyasztása, vízszintesen jelennek meg ... Ezen adatok felhasználásával meghatározhatja egy erőforrás egységköltségét a végtermék kiadásához. Ehhez egy oszlop vagy sor kiválasztott mutatóját el kell osztani a bruttó termék értékével. Például a villamosenergia-felhasználás mennyiségét elosztva a gépgyártási termelés mennyiségével, megkapjuk a gépgyártás fajlagos teljesítményfelvételét.
Ez a modell Vaszilij Leontyev, a híres orosz származású amerikai közgazdász publikációiból került be a világgazdasági gondolkodásba. V. Leontyev megalkotott egy tudományosan megalapozott input-output módszert, amely lehetővé teszi a nemzetgazdasági szektorok közötti kapcsolatok elemzését és az ágazati struktúra optimalizálásának lehetséges irányainak meghatározását. Ezért a tudományos teljesítményéért Nobel-díjat kapott.
Általában a Leontief MOB modellnek a következő formája van:
ahol X bármely iparág termelési volumene;
Y ennek az iparágnak a végterméke;
A - a közvetlen költségek technológiai együtthatóinak mátrixa
aij, amelyek azt mutatják meg, hogy az iparág kibocsátásának mekkora részét kell az iparág kibocsátásának egységnyi előállításához elkölteni.
Ez a modell a termelés és a végtermék közötti kapcsolatot mutatja be. Egyenletrendszerré bontakozik ki, ahol a különféle iparágak meghatározott technológiai együtthatókkal jelennek meg.
Az input-output táblák használata lehetővé teszi annak nyomon követését, hogy bármely iparág termelésnövekedése hogyan idézi elő más iparágak megfelelő növekedését.
A MOB-modellt a társadalom munkaerő-forrásainak makrogazdasági egyensúlyának, a termékkibocsátás volumenének, az egyéb célú tárgyi eszközök előállításának és elosztásának speciális elemzésére használják. Az input-output mérleg lehetővé teszi az árak makroökonómiai kölcsönös függésének elemzését, az anyag- és munkaerőköltségek felmérését, valamint a hozzáadott érték meghatározását. Az input-output módszer olyan információkat ad, amelyeket a makrogazdasági elemzés más módszereivel és modelljeivel szinte lehetetlen megszerezni.
A gazdasági előrejelzés szempontjából azonban ennek a modellnek van egy jelentős hátulütője, amely a dinamikusan fejlődő társadalom előrejelzésekor még fokozódik. A modell bemutatja a gazdaságfejlesztés képletét a már megállapított technológiai együtthatók alapján. Extenzív fejlesztéssel ez a lehetőség lehetséges, de a termelés intenzívebbé válása mellett a technológiai együtthatók mobilizálódnak, ezért nem teljesen indokolt a régi arányok alapján előrejelzéseket készíteni.
"Iparágak közötti egyensúly" és mások
Iparágközi egyensúly (CSŐCSELÉK, input-output modell, input-output módszer) egy gazdasági és matematikai egyensúlymodell, amely az ország gazdaságában az ágazatközi termelési kapcsolatokat jellemzi. Jellemzi a kapcsolatot egy iparág kibocsátása és az összes részt vevő iparág termékeinek költségei, ráfordításai között, amelyek e kibocsátás biztosításához szükségesek. Az input-output mérleg készpénzben és természetben történik.
Az input-output egyensúlyt lineáris egyenletrendszer formájában mutatjuk be. Az input-output mérleg (IOB) egy táblázat, amely az aggregált társadalmi termék kialakulásának és felhasználásának folyamatát tükrözi ágazati kontextusban. A táblázat bemutatja az egyes termékek előállítási költségeinek szerkezetét és a gazdaságban való megoszlásának szerkezetét. Az oszlopok a gazdasági ágazatok bruttó kibocsátásának értékösszetételét tükrözik folyó termelőfelhasználás és hozzáadott érték elemenként. A vonalak az egyes iparágak erőforrásainak felhasználási irányát tükrözik.
Az MPS modellben négy kvadráns található. Az első a folyó termelőfelhasználást és a termelési kapcsolatok rendszerét, a második a GDP végső felhasználásának szerkezetét, a harmadik a GDP költségszerkezetét, a negyedik pedig a nemzeti jövedelem újraelosztását tükrözi.
1 / 5
Az input-output egyensúly elméleti alapjait V. V. Leontiev dolgozta ki Berlinben, a „ A Szovjetunió nemzetgazdaságának egyensúlya„Kiadta a „Tervgazdaság” folyóiratot a 12. számban 1925-ben. A tudós cikkében kimutatta, hogy a gazdasági ágazatok közötti kapcsolatokat kifejező együtthatók meglehetősen stabilak, előre jelezhetők.
Az 1930-as években V. V. Leontjev az ágazatközi kapcsolatok elemzésének módszerét alkalmazta a lineáris algebra apparátusával az Egyesült Államok gazdaságának tanulmányozására. A módszer input-output néven vált ismertté. A második világháború idején Leontief német gazdaságra vonatkozó input-output mátrixa az Egyesült Államok légierejének célpontjainak kiválasztását szolgálta. A Szovjetunió számára hasonló, Leontyev által kidolgozott mérleget használtak az Egyesült Államok hatóságai a Lend-Lease volumenéről és struktúrájáról.
Felismerve, hogy a szovjet szektorközi kutatás számos területen méltó helyet foglalt el a világtudományban, Leontyev világosan megértette, hogy a szovjet tudósok elméleti fejleményei nem találtak gyakorlati alkalmazást a reálgazdaságban, ahol minden döntést a politikai helyzet alapján hoznak meg:
A nyugati közgazdászok gyakran próbálták feltárni a szovjet tervezési módszer "elvét". Nem jártak sikerrel, hiszen eddig egyáltalán nem létezett ilyen módszer.
Legyen y i (\ displaystyle y_ (i)) az i-edik iparág termékeinek végső kibocsátása (végső fogyasztásra), és y = (y 1, y 2,..., y n) T (\ displaystyle y = (y_ (1), y_ (2), ..., y_ (n)) ^ (T))- az összes iparág végső kibocsátásának (végső fogyasztásra) vektora i = 1..n. jelöljük A (\ megjelenítési stílus A)- technológiai együtthatók mátrixa, ahol a mátrix elemei a i j (\ displaystyle a_ (ij))- az i-edik iparág termékmennyisége a j-edik iparág termékegységének előállításához. Hadd is x i (\ displaystyle x_ (i))- az i-edik iparág kumulált kibocsátása, ill x = (x 1, x 2,... x n) T (\ megjelenítési stílus x = (x_ (1), x_ (2), ... x_ (n)) ^ (T))- az összes iparág teljes kibocsátásának vektorai.
Az összes iparág összesített kibocsátása x (\ displaystyle x) két komponensből áll - végső fogyasztásra való kibocsátás y (\ displaystyle y), valamint szektorközi fogyasztásra szánt kibocsátás (más iparágak termékeinek előállításának biztosítására). Az ágazatközi fogyasztás kibocsátását a technológiai együtthatók mátrixával határozzuk meg: A x (\ displaystyle Ax), illetve összesen a végső fogyasztással y (\ displaystyle y) megkapjuk a kumulatív kimenetet x (\ displaystyle x):
X = A x + y (\ displaystyle x = Ax + y)
X = (I - A) - 1 y (\ displaystyle x = (I-A) ^ (- 1) y)
Mátrix (I - A) - 1 (\ displaystyle (I-A) ^ (- 1)) a mátrixszorzó, mivel a kapott kifejezés ténylegesen érvényes (a modell linearitása miatt) a kimeneti lépésekre:
Δ x = (I - A) - 1 Δ y (\ displaystyle \ Delta x = (I-A) ^ (- 1) \ Delta y)
Egy modellt akkor nevezünk produktívnak, ha a vektor minden eleme x (\ displaystyle x) nem negatívak. A modell produktivitásának elégséges feltétele a mátrix reverzibilitásának reverzibilitása és nem negatív meghatározottsága. I - A (\ displaystyle I-A).
A Leontief-modell kettőssége a következő
P = A T p + ν (\ displaystyle p = A ^ (T) p + \ nu)
ahol p (\ displaystyle p)- iparágak árának vektora, ν (\ displaystyle \ nu) a hozzáadott értékek termelési egységenkénti vektora, A T p (\ displaystyle A ^ (T) p)- az iparágak termelési egységenkénti költségvektora. Ennek megfelelően p-A ^ Tp az egységnyi kibocsátásra jutó nettó jövedelem vektora, amely egyenlő a hozzáadott értékek vektorával, a duális modell megoldása.
P = (I - A T) - 1 ν (\ displaystyle p = (I-A ^ (T)) ^ (- 1) \ nu)
Vegyünk két iparágat: szén- és acélgyártást. Szénre van szükség az acél előállításához, és némi acélra, szerszámok formájában, a szén bányászatához. Tegyük fel, hogy a feltételek a következők: 1 tonna acél előállításához 3 tonna szénre van szükség, 1 tonna szénhez pedig 0,1 tonna acélra.
Azt akarjuk, hogy a szénipar nettó termelése 200 000 tonna szén, a vaskohászaté pedig 50 000 tonna acél legyen. Ha csak 200 000, illetve 50 000 tonnát termelnek, akkor termelésük egy részét ők használják fel, és a nettó hozam is kevesebb lesz.
Valójában 50 000 tonna acél előállításához van szükség 3 ⋅ 5 ⋅ 10 4 = 15 ⋅ 10 4 (\ displaystyle 3 \ cdot 5 \ cdot 10 ^ (4) = 15 \ cdot 10 ^ (4)) tonna szén és 200 000 tonna megtermelt szén nettó hozama: 2 ⋅ 10 5 - 1,5 ⋅ 10 5 (\ displaystyle 2 \ cdot 10 ^ (5) -1,5 \ cdot 10 ^ (5))= 50 000 tonna szén. 200 000 tonna szén előállításához szüksége van 0, 1 ⋅ 2 ⋅ 10 5 (\ displaystyle 0.1 \ cdot 2 \ cdot 10 ^ (5))= 20 000 tonna acél és 50 000 tonna acél nettó hozama lesz 5 ⋅ 10 4 - 2 ⋅ 10 4 (\ displaystyle 5 \ cdot 10 ^ (4) -2 \ cdot 10 ^ (4))= 30 000 tonna acél.
Vagyis 200 000 tonna szén és 50 000 tonna acél előállításához, amelyet a szenet és acélt nem termelő iparágak (nettó kibocsátás) el tudnának fogyasztani, további szenet és acélt kell előállítani, amelyeket ezek előállítására használnak. . jelöljük x 1 (\ displaystyle x_ (1))- a szükséges teljes szénmennyiség (bruttó kibocsátás), x 2 (\ displaystyle x_ (2))- a szükséges teljes acélmennyiség (bruttó kibocsátás). Az egyes termékek bruttó kibocsátása az egyenletrendszer megoldása:
(x 1 - 3 x 2 = 2 ⋅ 10 5 - 0, 1 x 1 + x 2 = 5 ⋅ 10 4 (\ displaystyle \ left \ ((\ begin (array)) (lcr) x_ (1) -3x_ (2 ) & = 2 \ cdot 10 ^ (5) \\ - 0,1x_ (1) + x_ (2) & = 5 \ cdot 10 ^ (4) \\\ end (tömb)) \ right.)
Megoldás: 500 000 tonna szén és 100 000 tonna acél. Az input-output mérleg számítási problémáinak szisztematikus megoldása érdekében megállapítják, hogy mennyi szénre és acélra van szükség az egyes termékek 1 tonna előállításához.
(x 1 - 3 x 2 = 1 - 0, 1 x 1 + x 2 = 0. (\ displaystyle \ left \ ((\ begin (tömb)) (lcr) x_ (1) -3x_ (2) & = 1 \ \ -0,1x_ (1) + x_ (2) & = 0. \\\ end (tömb)) \ right.)
X 1 = 1,42857 (\ displaystyle x_ (1) = 1,42857)és x 2 = 0,14286 (\ displaystyle x_ (2) = 0,14286)... Annak megállapításához, hogy mennyi szén és acél szükséges tonna szén tiszta előállításához, meg kell szorozni ezeket a számokat 2 ⋅ 10 5 (\ displaystyle 2 \ cdot 10 ^ (5))... Kapunk: (285714; 28571) (\ displaystyle (285714; 28571)).
Hasonlóképpen egyenleteket állítunk össze 1 tonna acél előállításához szükséges szén és acél mennyiségének meghatározására:
(x 1 - 3 x 2 = 0 - 0, 1 x 1 + x 2 = 1. (\ displaystyle \ left \ ((\ begin (tömb)) (lcr) x_ (1) -3x_ (2) & = 0 \ \ -0,1x_ (1) + x_ (2) & = 1. \\\ end (tömb)) \ right.)
X 1 = 4,28571 (\ displaystyle x_ (1) = 4,28571)és x 2 = 1,42857 (\ displaystyle x_ (2) = 1,42857)... A tonna acél nettó előállításához szüksége van: (214286; 71429).
Bruttó kibocsátás termelésre 2 ⋅ 10 5 (\ displaystyle 2 \ cdot 10 ^ (5)) tonna szén és 5 ⋅ 10 4 (\ displaystyle 5 \ cdot 10 ^ (4)) tonna acél: (285714 + 214286; 28571 + 71429) = (500000; 100000) (\ displaystyle (285714 + 214286; 28571 + 71429) = (500000; 1000)).
A Szovjetunióban elsőként és a világon az elsők között a nemzetgazdaság dinamikus interszektorális modelljét Novoszibirszkben dolgozta ki N. F. Shatilov közgazdaságtudományi doktor. Ezt a modellt és a számítások elemzését a következő könyveiben írja le: "A kiterjesztett szaporodás modellezése" (Moszkva, Közgazdaságtan, 1967), "A szocialista kiterjesztett reprodukció függőségének elemzése és modellezésének tapasztalatai" (Novoszibirszk: Nauka, Sib). .otd., 1974), valamint a "Nemzetgazdasági modellek használata a tervezésben" című könyvben (A. G. Aganbegyan és K. K. Valtukh szerkesztésében; Moszkva: Economics, 1974).
A jövőben különböző speciális feladatokra a MOB további dinamikus modelljeit fejlesztették ki.
Leontyev input-output modellje és saját tapasztalatai alapján a „Stratégiai Tervezés Tudományos Iskolája” alapítója N.I. Veduta (1913-1998) kifejlesztette saját dinamikus MOB modelljét.
Sémájában szisztematikusan összehangolják a termelők és a végfogyasztók - az állam (államközi blokk), a háztartások, az exportőrök és az importőrök (külgazdasági mérleg) - bevételi és kiadási mérlegét.
Az MPS dinamikus modelljét ő dolgozta ki a gazdasági kibernetika módszerével. Ez egy olyan algoritmusrendszer, amely hatékonyan köti össze a végfelhasználók feladatait a tulajdon valamennyi formáját képviselő termelők (anyagi, munkaerő- és pénzügyi) képességeivel. A modell alapján meghatározásra kerül az állami termelési beruházások hatékony allokációja. A MOB dinamikus modelljének bevezetésével az ország vezetése valós időben tudja módosítani a fejlesztési célokat a lakosság kifinomult termelési képességeitől és a végfelhasználók keresletének dinamikájától függően. Az MPS dinamikus modelljét az 1998-ban megjelent „Társadalmilag hatékony gazdaságtan” című könyv vázolja.
