Az egyszerűtől a bonyolultig...
Miért hozza az ember a megtakarításait a bankba? Természetesen a biztonságuk érdekében, és ami a legfontosabb, hogy bevételhez jussanak. És itt minden eddiginél jobban hasznos lesz az egyszerű vagy kamatos kamat képletének ismerete, valamint a betét előzetes kamatszámításának lehetősége. Hiszen a betéti vagy hitelkamat előrejelzése a pénzügyek körültekintő kezelésének egyik összetevője. Az ilyen előrejelzést célszerű a szerződéskötés és a pénzügyi tranzakciók lebonyolítása előtt, valamint a következő kamatfelhalmozás és a már megkötött betétszerződés szerinti betéthez történő hozzáadásának időszakában elvégezni.
A betétek (betétek) és a hitelek kamatának kiszámításához a következő képleteket kell alkalmazni:
Fix kamatról akkor beszélünk, ha a bank betétére megállapított kamat a betétszerződésben rögzítésre kerül, és a teljes befektetési időszak változatlan, pl. megjavítva. Ez az arány csak a szerződés új időtartamra történő automatikus meghosszabbítása esetén, vagy a szerződéses jogviszony idő előtti felmondása és a tényleges befektetési időszakra vonatkozó „igény szerint” kamatfizetés esetén változhat, amelyet a szerződés rögzít. körülmények.
Változó kamatról akkor beszélünk, ha a szerződésben eredetileg megállapított kamat a teljes befektetési időszak alatt változhat. Az árfolyamok módosításának feltételeit és eljárását a betéti szerződés rögzíti. A kamatok változhatnak: a refinanszírozási kamatláb változása, az árfolyam változása, a betéti összeg más kategóriába történő átcsoportosítása és egyéb tényezők miatt.
A képletek segítségével történő kamatok felhalmozásához ismernie kell a betétszámlára történő befektetés paramétereit, nevezetesen:
Most pedig nézzük meg a fent nevezett standard kamatképleteket, amelyek a betétek kamatának kiszámításához szolgálnak.
Az egyszerű kamat képletét akkor alkalmazzuk, ha a betét után felhalmozott kamatot csak a betét futamideje végén adjuk hozzá a betéthez, vagy egyáltalán nem, hanem külön számlára utalják, pl. az egyszerű kamat számítása nem rendelkezik a kamat tőkésítéséről.
A betét típusának kiválasztásakor érdemes odafigyelni a kamatszámítás menetére. Ha jelentős a betét összege és az elhelyezési futamidő, és a bank az egyszerű kamat képletét alkalmazza, ez a betétes kamatjövedelmének alulbecsléséhez vezet. Az egyszerű betéti kamat képlete így néz ki:
Egyszerű kamatképlet
Egyszerű kamatösszeg képlete
A szimbólumok jelentése:
Sp a kamat (jövedelem) összege.
I - éves kamatláb
t - a lehívott betét után felhalmozott kamatnapok száma
K - a napok száma egy naptári évben (365 vagy 366)
P - a betéthez vonzott pénzeszközök összege.
Feltételes példákat hozok az egyszerű kamat és az egyszerű kamatozású bankbetét összegének kiszámítására:
1. példa Tegyük fel, hogy a bank 50 000 rubel összegű letétet fogadott el 30 napos időszakra. Fix kamatláb - 10,5% évente. A képletek alkalmazásával a következő eredményeket kapjuk:
S = 50 000 + 50 000 * 10,5 * 30/365/100 = 50431,51
Sp = 50 000 * 10,5 * 30/365/100 = 431,51
2. példa A bank ugyanilyen összegű, 50 000 rubel letétet fogadott el 3 hónapra (90 napra), fix, 10,5 százalékos „évi” kamattal. A feltételek között csak a befektetési határidő változott.
S = 50 000 + 50 000 * 10,5 * 90/365/100 = 51294,52
Sp = 50 000 * 10,5 * 90/365/100 = 1294,52
A két példa összehasonlításakor látható, hogy a havi felhalmozott kamat összege az egyszerű kamatképlet segítségével nem változik.
431,51 * 3 hónap = 1294,52 rubel.
3. példa A bank 50 000 rubel összegű letétet fogadott el 3 hónapra (90 napra), fix, 10,5 százalékos "évi" kamattal. A letétet feltöltik, és a 61. napon a letétet 10 000 rubel értékben feltöltötték.
S1 = 50 000 + 50 000 * 10,5 * 60/365/100 = 50863,01
Sp1 = 50 000 * 10,5 * 60/365/100 = 863,01
S2 = 60 000 + 60 000 * 10,5 * 30/365/100 = 60517,81
Sp2 = 60 000 * 10,5 * 30/365/100 = 517,81
Sp = Sp1 + Sp2 = 50 000 * 10,5 * 60/365/100 + 60 000 * 10,5 * 30/365/100 = 863,01 + 517,81 = 1380,82
4. példa A bank ugyanilyen összegű, 50 000 rubel letétet fogadott el 3 hónapos (90 napos) időszakra, változó kamatozás mellett. Az első hónapban (30 nap) a kamatláb 10,5%, a következő 2 hónapban (60 nap) a kamatláb 12%.
S1 = 50 000 + 50 000 * 10,5 * 30/365/100 = 50 000 + 431,51 = 50431,51
Sp1 = 50 000 * 10,5 * 30/365/100 = 431,51
S2 = 50 000 + 50 000 * 12 * 60/365/100 = 50 000 + 986,3 = 50 986,3
Sp2 = 50 000 * 12 * 60/365/100 = 986,3
Sp = 50 000 * 10,5 * 30/365/100 + 50 000 * 12 * 60/365/100 = 431,51 + 986,3 = 1417,81
A kamatos kamat képletet akkor alkalmazzuk, ha a betét kamata rendszeres időközönként (napi, havi, negyedévente) felszámításra kerül, és a felhalmozott kamat hozzáadódik a betéthez, azaz a kamatos kamat számítása a kamat tőkésítéséről (kamatfelhalmozás) gondoskodik. .
A legtöbb bank negyedéves kapitalizációjú betéteket kínál (Oroszország Sberbank, VTB stb.), azaz. kamatos kamattal. Egyes bankok pedig a betétek tekintetében tőkésítést kínálnak a befektetési időszak végén, pl. amikor a betétet a következő futamidőre meghosszabbítják, ami finoman szólva is olyan reklámfogásra utal, ami arra készteti a betétest, hogy ne vegye fel a felhalmozott kamatot, hanem maga a kamatfelhalmozás valójában az egyszerű kamat képlete szerint történik. . És ismétlem, amikor jelentős a betét összege és az elhelyezési idő, akkor az ilyen "tőkésítés" nem vezet a betétes kamatbevételének növekedéséhez, mert a korábbi időszakokban kapott kamatjövedelemre nincs kamatfelhalmozás.
A kamatos kamat képlete így néz ki:
Összetett kamat képlete
Csak a kamatos kamat kiszámítása képlet segítségével a következőképpen néz ki:
Csak kamatos kamat
Feltételes példát adok a kamatos kamat és a kamatos kamattal járó bankbetét összegének kiszámítására:
5. példa Elfogadott letét összege 50 ezer rubel. 90 napos időszakra, évi 10,5 százalékos rögzített kamattal. Kamatfelhalmozás - havonta. Következésképpen a felhalmozott kamat tőkésítési műveleteinek száma (p) 90 napon belül - 3. A naptári napok száma pedig abban az időszakban, amely után a bank aktiválja a felhalmozott kamatot (j) - 30 nap (90/3). ). Mennyi lesz a kamat összege?
S = 50 000 * (1 + 10,5 * 30/365/100) 3 = 51305,72
Sp = 50 000 * (1 + 10,5 * 30/365/100) 3 - 50 000 = 1305,72
A kamatos kamatmódszerrel számított kamat összegének helyességét az egyszerű kamatképlet segítségével ellenőrizheti újra.
Ehhez a betét futamidejét 3 független, 30 napos időszakra (3 hónap) osztjuk, és az egyszerű kamatképlet segítségével minden időszakra kiszámoljuk a kamatot. A betét összegét minden következő időszakban az előző időszakok kamatait figyelembe véve vesszük figyelembe. A számítás eredményeként kiderült:
Tehát a kamat teljes összege, figyelembe véve a havi tőkésítést (kamatfelhalmozás), a következő:
Sp = Sp1 + Sp2 + Sp3 = 431,51 + 435,23 + 438,98 = 1305,72
Ez megfelel az 5. példában kamatos kamattal számított összegnek.
És amikor a 2. példában szereplő egyszerű kamatképlet alapján számították ki a kamatot ugyanarra az időszakra, a bevétel mindössze 1294,52 rubel volt. A kamattőkésítés további 11,2 rubelt hozott a betétesnek. (1305,72 - 1294,52), i.e. kamatos kamat alkalmazása esetén nagy jövedelmezőség érhető el a kamattőkésítéssel ellátott betétekből.
A kamat kiszámításakor még egy apró árnyalatot kell figyelembe venni. A betétre vonatkozó kamat felszámítási napok számának (t) vagy a naptári napok számának meghatározásakor a felhalmozott kamatot a bank tőkésítési időszakában (j) a betét lezárásának (kivonásának) napját nem veszi figyelembe. . Így például 07.11.02-án a bank 7 napos futamidőre fogadott el betétet. A betét teljes futamideje 02.11.07-09.11.07, i.e. 8 naptári nap. A betét kamatszámítási időszaka pedig 02.11.07-08.11.07 lesz, i.e. - 7 naptári nap. A 09.11.07 napot nem vesszük figyelembe, mert a kaució visszakerül az ügyfélnek.
Befejezve az anyagot, ismételten szeretném felhívni a figyelmet arra, hogy a fenti kamatképletek szerint lehetséges a hitelek kamatának kiszámítása. A bevételek és kiadások sikeres kiszámítása.
A kamatos kamat abban tér el a megszokottól, hogy nem csak a betét tőkeösszegét terhelik, hanem a rajta felhalmozott kamat összegét is. Emiatt a komplex kamatozású megtakarítási számlákon gyorsabban nőnek az összegek, mint az egyszerű kamatozású számlákon. Sőt, a megtakarítások még gyorsabban nőnek, ha a kamatot évente többször aktiválják. A kamatos kamat különféle típusú befektetésekben, valamint bizonyos típusú kölcsönökben, például hitelkártyákban található. Az eredeti összeg kamatos kamattal történő növekedésének kiszámítása elég egyszerű, ha ismeri a megfelelő képletet.
1. rész
Éves kamatos kamat manuális számításaHatározza meg az éves kapitalizációt. A befektetések vagy hitelszerződések kamata egy évre szól. Például, ha autóhitelének kamata 6%, akkor a hitelösszeg 6%-át fizeti évente. A kamat tőkésítésénél a legegyszerűbb a kamatos kamatot évente egyszer számolni.
Számítsa ki a tőkésítési kamatot az első évre. Tegyük fel, hogy van 1000 dollárja, és azt amerikai államkötvényekbe fektette be évi 6%-os kamattal. Az amerikai államkötvények kamata a kamatláb és az értékpapír aktuális értéke alapján évente halmozódik fel.
Számítsa ki a következő évek kamatkapitalizációját. Ha tisztábban szeretné látni a kamatos kamat és a szokásos kamat közötti különbséget, számítsa ki értéküket a következő évekre. Évről évre nő a kamat összege.
Hozzon létre egy táblázatot az Excelben a teljes kamatos kamatösszeg kiszámításához. Hasznos, ha vizuálisan ábrázolja a kamatos kamatot egy egyszerű Excel-táblázatban, amely megmutatja befektetésének növekedését. Nyissa meg a dokumentumot, és jelölje meg az A, B és C oszlop legfelső celláit Évi költségként és Felhalmozott kamatként.
Végezze el a matematikát a képlet alapján. Egyszerűsítse a kifejezést az egyes részek kiszámításával, kezdve a zárójelekkel és az ott található törttel.
Az eredményből vonjuk le az eredeti összeget. A különbözet a felhalmozott kamat összegét jelenti.
3. rész
Összetett kamatszámítás a rendszeres betétpótláshozTanuld meg a képletet. A kamatos kamat még gyorsabban fog növekedni, ha rendszeresen növeli a betét összegét, például havonta egy bizonyos összeget letétbe helyez egy betétszámlára. Az ebben az esetben alkalmazott képlet nagyobb lesz, de ugyanazokon az elveken alapul. Ez így néz ki: FV = P (1 + ic) n ∗ c + R ((1 + ic) n ∗ c - 1) ic (\ displaystyle FV = P (1 + (\ frac (i) (c))) ^ (n * c) + (\ frac (R ((1 + (\ frac (i) (c))) ^ (n * c) -1)) (\ frac (i) (c))))... A képletben szereplő összes változó változatlan marad, de hozzáadunk még egy mutatót:
Határozza meg a változók kezdeti értékét. A betét jövőbeni értékének kiszámításához ismerni kell a betét kezdeti (jelenlegi) összegét, az éves kamatlábat, a kamattőkésítés gyakoriságát, a betét futamidejét és a betét havi feltöltésének mértékét. Mindez megtalálható a bankjával kötött szerződésben.
Illessze be az adatokat a képletbe. Folytatva a fenti példát, tegyük fel, hogy úgy dönt, hogy havi 100 USD letétet tölt fel. Ebben az esetben a kezdeti betét összege 5000 USD, az arány évi 3,45%, a tőkésítés havonta történik. Számítsuk ki a betét növekedését két évre.
Készíts egy számítást. Ismételten ne felejtsük el a műveletek helyes sorrendjét. Ez azt jelenti, hogy a zárójelben lévő lépések végrehajtásával kell kezdenie.
A kamatos kamatot a hosszú távú pénzügyi és hitelműveletek során alkalmazzák, ha a kamatot nem fizetik rendszeresen, közvetlenül az elmúlt időintervallum felhalmozódása után, hanem hozzáadják a tartozás összegéhez. A felhalmozott kamat hozzáadását a megállapításuk alapjául szolgáló összeghez gyakran ún tőkésítés százalék.
Összetételi képlet kamatos kamathoz
Legyen az adósság kezdeti összegeP, akkor egy év múlva a tartozás összege a hozzáadott kamattalP(1+ én) , 2 év után P(1+ én)(1+ én)= P(1+ én) 2 , keresztben névek - P(1+ én) n... Így megkapjuk a kamatos kamat felépítésének képletét
S = P (1 + i) n, (19)
ahol S- a felhalmozott összeg,én- a kamatos kamat éves mértéke,n- kölcsön futamideje, (1+ én) na felépítési szorzó.
A gyakorlati számításoknál főként diszkrét százalékokat használnak, pl. azonos időintervallumokra (év, félév, negyedév stb.) számított kamat. A kamatos kamatnövekedés exponenciális növekedés, amelynek első tagja azP, és a nevező (1+ én).
Vegye figyelembe, hogy egy ideign<1 az egyszerű kamattal történő növelés jobb eredményt ad, mint az összetett, és azzaln>1 - oda-vissza. Ezt konkrét numerikus példákkal könnyű ellenőrizni. Az egyszerű kamatra felhalmozott összeg legnagyobb többlete a kamatos kamatra felhalmozott összegnél (ugyanolyan kamat mellett) az időszak közepén érhető el.
Összetételi képlet az összetett kamatokhoz,
amikor az arány idővel változik
Abban az esetben, ha az összetett kamatláb idővel változik, az elhatárolási képlet a következő
(20)
ahol i 1, i 2, ..., i k - az időszakokban érvényes kamatlábak egymást követő értékei n 1, n 2, ..., nk illetőleg.
6. példa
A szerződés változó mértékű kamatos kamatot tartalmaz, amelynek mértéke évi 20%, plusz 10% kamat az első két évben, 8% a harmadik évben, 5% a negyedik évben. Határozza meg a 4 éves felépítési szorzót.
Megoldás.
(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704
Duplázási képlet
Kilátásaik felmérése érdekében a hitelező vagy az adós felteheti a kérdést: hány év múlva nő a hitel összegeNalkalommal adott kamattal. Erre általában akkor van szükség, ha előre megjósolja a jövőbeli befektetési lehetőségeit. A választ úgy kapjuk, hogy a növekedési tényezőt egyenlővé tesszük az értékkelN:
A) egyszerű érdeklődésre
(1+ niegyszerű.) = N, ahol
. (21)
B) kamatos kamatra
(1+ énösszetett) n= N, ahol
. (22)
Különösen gyakran használjákN= 2. Ekkor a (21) és (22) képleteket duplázó képleteknek nevezzük, és a következő alakot öltik:
A) egyszerű érdeklődésre
, (23)
B) kamatos kamatra
. (24)
Ha a (23) képlet könnyen alkalmazható durva számításokhoz, akkor a (24) képlethez számológép szükséges. Alacsony (mondjuk 10% alatti) kamat esetén azonban egy egyszerűbb közelítés is használható. Könnyű megszerezni, ha belegondolunk ln 2 0,7 és ln (1+ i) i. Azután
n"0,7 / én. (25)
7. példa.
Megoldás.
a) Egyszerű százalékokkal:
évek.
b) kamatos kamattal és pontos képlettel:
Az év ... ja.
c) kamatos kamattal és hozzávetőleges képlettel:
n"0,7 / én= 0,7 / 0,1 = 7 év.
Következtetések:
1) Az egyszerű és kamatos kamatláb azonos értéke teljesen eltérő eredményekhez vezet.
2) Az összetett kamatláb alacsony értékeinél a pontos és közelítő képletek majdnem ugyanazt az eredményt adják.
Éves kamat felhalmozása töredékévekre
Töredékszámú évek esetén a kamatot különböző módon számítják ki:
1) A kamatos kamat képlete szerint
S = P (1 + i) n, (26)
2) Vegyes módszer alapján, amely szerint a kamatos kamatot egész számú évre, az egyszerű kamatot töredékre számítják
S = P (1 + i) a (1 + bi), (27)
ahol n= a+ b, a- egész számú év,b- az év töredéke.
3) Számos kereskedelmi bank alkalmaz olyan szabályt, amely szerint a felhalmozási időszaknál rövidebb időszakokra nem halmozódik fel kamat, pl.
S = P (1 + i) a. (28)
Nominális és effektív kamatlábak
Névleges kamatláb ... Legyen az éves kamatos kamatlábj, valamint a felhalmozási időszakok száma éventem... Ezután minden alkalommal a kamatláb szerint számítják ki a kamatot j/m. Licit jnévlegesnek nevezzük. A névleges kamatlábú kamat a következő képlet szerint halmozódik fel:
S = P (1 + j/m) N, (29)
ahol N- a felhalmozási időszakok száma.
Ha a kölcsön futamidejét töredékszámú felhalmozási időszakokkal mérjük, akkor azzalmévi egyszeri kamatfelhalmozás, a felhalmozott összeg többféleképpen számítható, ami eltérő eredményekhez vezet:
1) Összetett kamat képlete
S = P (1 + j / m) N /t, (30)
ahol N/ t- a kamatfelhalmozási időszakok száma (esetleg töredéke),t- kamatfelhalmozási időszak,
2) Vegyes formula
, (31)
ahol a- a felhalmozási időszakok egész száma (pl.a= [ N/ t] - a teljes kölcsön futamidejének felosztásának teljes részeNa felhalmozási időszakrat),
b- a felhalmozási időszak fennmaradó töredéke ( b= N/ t- a).
8. példa.
A kölcsön összege 20 millió rubel. 28 hónapig biztosított. A névleges kamatláb évi 60%. Kamatfelhalmozás negyedévente. Számítsa ki a felhalmozott összeget három esetben: 1) ha kamatos kamatot számítanak fel a töredékre, 2) ha egyszerű kamatot számítanak fel a töredékre, 3) ha a töredéket figyelmen kívül hagyják. Hasonlítsa össze az eredményeket.
Megoldás.
Kamatfelhalmozás negyedévente. Összesen blokkok vannak.
1)
= 73,713 millió rubel.
2) = 73,875 millió rubel.
3) S = 20 (1 + 0,6/4) 9= 70,358 millió dörzsölés .
A felhalmozott összegek összehasonlításából azt látjuk, hogy a legnagyobb értékét a második esetben éri el, azaz. törtrész egyszerű kamatának számításakor.
Hatékony ráta megmutatja, hogy melyik éves kamatos kamatláb adja ugyanazt a pénzügyi eredményt, mintm- évi egyszeri meghosszabbítás ütembenj/ m.
Ha a kamatot tőkésítikmévente egyszer, minden alkalommal árfolyammalj/ m, akkor definíció szerint felírhatja a megfelelő növekedési tényezők egyenlőségét:
(1 + iNS) n = (1 + j / m) mn, (32)
ahol énNSaz effektív árfolyam, ésj- névleges. Így azt találjuk, hogy az effektív és a nominális kamatláb közötti kapcsolatot az arány fejezi ki
(33)
Az inverz kapcsolatnak megvan a formája
j = m [(1 + iNS) 1/m -1].(34)
9. példa.
Számítsa ki az effektív kamatlábat, ha a bank negyedévente számol kamatot, évi 10%-os névleges kamatláb alapján.
Megoldás
énNS= (1 + 0,1 / 4) 4 -1 = 0,1038, azaz. 10,38%.
10. példa.
Határozza meg, hogy mekkora legyen a negyedéves kamatfelhalmozás névleges rátája, hogy évi 12%-os effektív kamatláb legyen.
Megoldás.
j= 4 [(1 + 0,12) 1/4 -1] = 0,11495, azaz 11,495%.
Könyvelés (diszkontálás) komplex kamattal
Itt, csakúgy, mint az egyszerű kamat esetében, kétféle elszámolást kell figyelembe venni - matematikai és banki.
Matematikai számvitel ... Ebben az esetben a kamatos kamat emelésével ellentétes probléma megoldódik. Írjuk fel az eredeti építési képletet
S = P (1 + i) n
és viszonylagosan oldja megP
, (35)
ahol
(36)
számviteli vagy diszkonttényező.
Ha kamatot számítanak felmévente egyszer kapunk
, (37)
ahol
(38)
kedvezmény szorzó.
Az érték Pleszámítolással szerezték megShívják modern vagy jelenlegi érték vagy adott méret S... Összegek Pés Segyenértékűek abban az értelemben, hogy a fizetés az összegbenSát név egyenlő az összeggelPjelenleg fizetik.
Különbség D= S- Phívják kedvezmény.
Banki könyvelés... Ebben az esetben egy komplex diszkontráta alkalmazását feltételezzük. A komplex diszkontrátával történő diszkontálás a képlet szerint történik
P = S (1-dsl) n, (39)
ahol dsl- összetett éves diszkontráta.
A kedvezmény ebben az esetben az
D = S-P = S-S (1-dsl) n = S.(40)
Komplex diszkontráta alkalmazásakor a leszámítolási folyamat progresszív lassítással történik, mivel a diszkontrátát minden alkalommal az előző időszakra a kedvezmény mértékével csökkentett összegre alkalmazzák.
Nominális és effektív diszkontráták
Névleges diszkontráta ... Ahol a kedvezményt alkalmazzákmévente egyszer használja nominális diszkontráta f. Majd minden periódusban egyenlő 1/ maz év egy részében a diszkontálás komplex diszkontrátával történikf/ m... A diszkontálási folyamat ehhez az összetett könyveléshezmévente egyszer a képlet írja le
P = S (1-f/m) N, (41)
ahol N- a kedvezményes időszakok teljes száma (N= mn).
A kedvezmény nem egy, hanem mévente egyszer csökkenti a kedvezmény mértékét.
Hatékony diszkontráta... Az effektív diszkontráta egy összetett éves leszámítolási kamatláb, amely (a pénzügyi eredmények tekintetében) egyenértékű az évente adott számú engedményre alkalmazott nominális kamatláb.m.
Az effektív diszkontráta definíciójának megfelelően a nominálishoz való viszonyát a diszkonttényezők egyenlőségéből találjuk meg.
(1-f/m) mn = (1-dsl) n,
amiből az következik
dsl= 1- (1-f/m) m. (42)
Vegye figyelembe, hogy az effektív diszkontráta mindig kisebb, mint a nominális.
Növekedés komplex diszkontrátával. A felhalmozás a diszkontráták fordított problémája. A komplex diszkontráták felhalmozási képlete a megfelelő diszkontálási képletek (39. és 41.) megoldásával érhető el aS... Kapunk
tól től P = S (1-d cl) n
, (43)
és től P= S(1- f/ m) N
. (44)
11. példa.
Milyen összeget kell feltenni a számlára, ha a ténylegesen kibocsátott összeg 20 millió rubel, a lejárati idő 2 év. A számla kiszámítása 10%-os összetett éves diszkontráta alapján történik.
Megoldás.
millió rubel
12. példa.
Oldja meg az előző problémát, feltéve, hogy a komplex diszkontrátával történő emelést nem egyszer, hanem évente 4 alkalommal hajtják végre.
Megoldás.
millió rubel
Felhalmozás és diszkontálás
Az elhatárolt összeget diszkrét kamattal a képlet határozza meg
S= P(1+ j/ m) mn,
ahol ja névleges kamatláb, ésm- az évenkénti kamatfelhalmozási időszakok száma.
A több m, annál rövidebbek az időintervallumok a kamatfelhalmozási pillanatok között. A limitben:m® ¥ nekünk van
S = lim P (1 + j / m) mn = P lim [(1 + j / m) m] n. (45)
m ® ¥ m ® ¥
Ismeretes, hogy
lim (1 + j / m) m = lim [(1 + j / m) m / j] j = e j,
m ® ¥ m ® ¥
ahol ea természetes logaritmusok alapja.
Ezt a határt a (45) kifejezésben felhasználva végül azt kapjuk, hogy a felhalmozott összeg folyamatos kamatfelhalmozás esetén a kamatlábj egyenlő
S= Pe jn. (46)
A folyamatos kamatlábat a diszkrét kamatoktól való megkülönböztetésére növekedési erőnek nevezzük, és szimbólummal jelöljük. d. Azután
S = Pedn. (47)
A növekedés ereje d a névleges kamatlábat jelentim® ¥ .
A folyamatos kamatozáson alapuló diszkontálás a képlet segítségével történik
P = Se -dn. (48)
A diszkrét és a folyamatos kamatlábak kapcsolata
A diszkrét és a folyamatos kamatlábak funkcionális kapcsolatban állnak, aminek köszönhetően áttérhet a folyamatos kamatszámításról a diszkrétre és fordítva. Az egyik arányról a másikra való ekvivalens átmenet képletét a megfelelő növekedési tényezők egyenlítésével kaphatjuk meg
(1 + i) n = edn. (49)
Az írott egyenlőségből következik, hogy
d = ln(1+ én) , (50)
én= ed-1 . (51)
13. példa.
Az éves kamatos kamat 15%, ami a növekedés egyenértékű erőssége,
Megoldás.
Az (50) képletet használjuk
d = ln(1+ én)= ln(1+0,15)=0,13976,
azok. a növekedés egyenértékű erőssége 13,976%.
Hitel futamidő és kamatszámítás
Számos gyakorlati problémában a kezdeti ( P) és végső (S ) az összegeket a szerződés határozza meg, és meg kell határozni vagy az esedékesség időpontját, vagy a kamatlábat, amely ebben az esetben a piaci mutatókkal való összehasonlítás mérőszámaként és a művelet jövedelmezőségének jellemzője lehet a hitelező számára. . A feltüntetett értékeket nem nehéz megtalálni a kezdeti felhalmozási vagy diszkontálási képletekből. Valójában mindkét esetben az inverz probléma bizonyos értelemben megoldódik.
Kölcsön futamideje
A szerződés paramétereinek kialakításakor és a kívánt eredmény elérésének időzítésének megítélésekor a művelet időtartamát (kölcsön futamidejét) a többi tranzakciós paraméteren keresztül kell meghatározni. Tekintsük ezt a kérdést részletesebben.
én.
S = P (1 + i) n
ezt követi
(52)
ahol a logaritmus tetszőleges bázisba vehető, mivel a számlálóban és a nevezőben is jelen van.
mévente egyszer a képletből
S = P (1 + j/m) mn
kapunk
(53)
d... A képletből
P = S(1-d) n
nekünk van 
(54)
mévente egyszer. Tól től
P = S (1-f/m) mn
eljutunk a képlethez
(55)
Állandó növekedési erejű felépítéskor. Alapján
S= Pedn
kapunk
ln( S/ P)= d n. (56)
Kamatláb számítás
A fenti kiindulási képletekből kapjuk a kamatláb kifejezéseit.
A) Komplex éves ütemű felépítéskorén. Az eredeti felépítési képletből
S = P (1 + i) n
ezt követi
(57)
B) A névleges kamatozású felépítésnélmévente egyszer a képletből
S = P (1 + j/m) mn
kapunk 
(58)
C) Komplex éves diszkontrátával diszkontálvad... A képletből
P = S(1-d) n
nekünk van 
(59)
D) A nominális diszkontrátával diszkontálvamévente egyszer. Tól től
P = S (1-f/m) mn
eljutunk a képlethez
(60)
E) Állandó növekedési ütem szerinti felépítéskor. Alapján
S= Pedn
kapunk
(61)
Kamatfelhalmozás és infláció
Az infláció következménye a pénz vásárlóerejének csökkenése, amely az időszak soránnaz index jellemziJ n... Vásárlóerő index egyenlő az árindex reciprokávalJ p, azaz
J n=1/ J p. (62)
Árindexmegmutatja, hányszor emelkedtek az árak egy meghatározott időszak alatt.
Növelje egyszerű kamattal
Ha megnőtt a n év a pénz mennyiségeSaz árindex pedig azJ p, akkor a ténylegesen megnövekedett pénzmennyiség vásárlóerejüket figyelembe véve egyenlő a
C = S/J p. (63)
Legyen a várható átlagos éves infláció (amely az éves áremelkedést jellemzi). h ... Akkor az éves árindex lesz (1+ h).
Ha a felépítés megtörténik egyszerű árfolyamon alattnévre, akkor a reálnövekedés az infláció mértékével h lesz
(64)
ahol általában
(65)
és különösen állandó árnövekedési ütem melletth,
J p = (1 + h) n. (66)
Az inflációt kompenzáló kamat az egyszerű kamat kiszámításakor egyenlő
(67)
A pénz leértékelődésének kompenzálásának egyik módja a kamat emelése az ún. inflációs prémium. Az így beállított árfolyamot ún bruttó kamatláb... A bruttó árfolyam, amelyet a szimbólummal fogunk jelölnir, az inflációval korrigált bruttó kamatfelhalmozási tényező és a reálkamat felépítési tényező egyenlőségéből adódik.
(68)
ahol
(69)
A kamatos kamat eszkalációja
Megnövekedett kamatos kamatról a kölcsön futamideje végén a pénz vásárlóerejének csökkenését is figyelembe véve (azaz állandó rubelben)
(70)
ahol az árindexet a (65) vagy (66) kifejezés határozza meg, az inflációs ráta volatilitásától vagy állandóságától függően.
Ebben az esetben a pénz vásárlóerejének csökkenése az árfolyamon kompenzálódikén= hegyenlőség biztosításaC= P.
Alkalmazzák kétféle módon lehet kompenzálni a veszteségeket a kamatos kamat számításánál a pénz vásárlóerejének csökkenésétől.
A) Kamatláb kiigazítás, amely mentén a felépítés történik, az összeggel inflációs prémium. Az inflációs prémiummal megnövelt kamatlábat bruttó kamatnak nevezzük. Jelöljük a szimbólummalr... Feltéve, hogy az éves inflációs rátah, felírhatjuk a megfelelő növekedési tényezők egyenlőségét
(71)
ahol én- valós árfolyam.
Ebből kapjuk a Fischer-képletet
r = i + h + ih. (72)
Vagyis az inflációs prémium azh+ ih.
B) Az eredeti összeg indexálása P ... Ebben az esetben az összegPaz előre meghatározott index mozgásának megfelelően igazítva. Azután
S = PJ p (1 + i) n. (73)
Könnyen belátható, hogy az A) és a B) esetben ugyanarra a növekedési képletre jutunk (73). Ebben a jobb oldalon lévő első két tényező az eredeti összeg indexálását, az utolsó kettő pedig a kamatláb kiigazítását tükrözi.
A reálkamat mérése
A gyakorlatban meg kell oldani az inverz problémát - meg kell találni a reálkamatot az infláció összefüggésében. A felhalmozás szorzói közötti azonos arányokból könnyen levezethetők a valós rátát meghatározó képletekénadott (vagy bejelentett) bruttó árfolyamon r.
Egyszerű kamat számításánál az éves reálkamat az
(74)
A kamatos kamat kiszámításakor a reálkamatot a következő kifejezés határozza meg
(75)
Az elmélet gyakorlati alkalmazásai
Nézzük meg az általunk vizsgált elmélet néhány gyakorlati alkalmazását. Megmutatjuk, hogy a fent kapott képleteket hogyan alkalmazzák egyes pénzügyi tranzakciók hatékonyságának számítási problémáinak megoldásában, és összehasonlítjuk a különböző számítási módszereket.
Valutakonverzió és kamatfelhalmozás
Fontolja meg a valutaváltás (váltás) és az építkezés kombinálását egyszerű érdeklődés Hasonlítsuk össze a rendelkezésre álló pénzeszközök közvetlen betétbe helyezéséből vagy egy másik devizára történő előzetes átváltásból származó eredményeket. Összesen 4 lehetőség van az érdeklődés növelésére:
1. Nincs átalakítás. A devizaforrások devizabetétként kerülnek elhelyezésre, az induló összeg növelése devizaárfolyamon történik az egyszerű kamat képletének közvetlen alkalmazásával.
2. Átalakítással. A kezdeti devizaalapokat rubelre váltják át, az emelést rubel árfolyamon hajtják végre, a művelet végén a rubel összegét visszaváltják az eredeti pénznemre.
3. Nincs átalakítás. A rubel összegét rubel betét formájában helyezik el, amelyre az egyszerű kamatképlet szerint kamat halmozódik fel a rubel árfolyamon.
4. Átalakítással. A rubel összegét egy adott pénznemre váltják át, amelyet devizabetétbe fektetnek be. A kamat számítása devizaárfolyamon történik. A tranzakció végén felhalmozott összeget visszaváltják rubelekre.
Az átalakítás nélküli műveletek nem bonyolultak. A kettős konverziós elhatárolásos ügyletnek két bevételi forrása van: a kamatfelhalmozás és az árfolyamváltozás. A kamatfelhalmozás ráadásul feltétlen forrás (rögzített kamat, infláció még nem számít). Az árfolyam változása lehet egyik és másik irányú is, és egyszerre jelenthet többletbevételt és veszteségeket is. Ezután kifejezetten két lehetőségre (2. és 4.) összpontosítunk, amelyek kettős konverziót biztosítanak.
Először a következő JEGYZÉST vezetjük be:
P v- a betét összege devizában,
P r- a letét összege rubelben,
S v- a felhalmozott összeget devizában,
S r- a felhalmozott összeg rubelben,
K 0 - árfolyam a művelet elején (valuta árfolyam rubelben)
K 1 - a művelet végén érvényes árfolyam,
n- a betét futamideje,
én- a rubelösszegek elhatárolási aránya (tizedes tört formájában),
j- egy adott valuta felhalmozódási aránya.
OPCIÓ: PÉNZE ® RUBLES ® RUBLES ® PÉNZTÁR
A művelet három szakaszból áll: valutaváltás rubelre, a rubel összegének növelése, a rubel összegének visszaváltása az eredeti pénznemre. A tranzakció végén devizában kapott elhatárolt összeg lesz
.
Amint látható, a művelet három szakasza három tényező formájában jelenik meg ebben a képletben.
A felhalmozási szorzó, figyelembe véve a kettős konverziót, az
,
ahol k= K 1 / K 0 - az árfolyam növekedési üteme a művelet időtartama alatt.
Látjuk, hogy a felhalmozódási szorzómlineárisan kapcsolódik az árfolyamhozénés a tranzakció végén érvényes árfolyammal megfordítaniK 1 (vagy az árfolyam növekedési ütemévelk).
Vizsgáljuk meg elméletileg egy kettős átszámítással végzett művelet teljes jövedelmezőségének függőségét a VALUTA séma szerint.® RUBLES ® RUBLES ® VALUTA a végső és a kezdeti árfolyam arányábólk .
Az egyszerű éves kamatláb, amely a működés egészének jövedelmezőségét jellemzi, az
.
Helyettesítsd be ebbe a képletbe a korábban leírt kifejezéstS v
.
Így növekedésselk jövedelmezőségén eff hiperbolába esik -1 aszimptotával / n ... Lásd az ábrát. 2.
Rizs. 2.
Vizsgáljuk meg ennek a görbének a szinguláris pontjait. Jegyezze meg, hogy azértk =1 a művelet jövedelmezősége megegyezik a rubel árfolyamával, azaz.én eff = én ... Nál nélk >1 én eff < én , és atk <1 én eff > én ... ábrán. 1 látható, valamilyen kritikus értéknélk amelyet úgy fogunk jelölnik * , a művelet jövedelmezősége (hatékonysága) nullának bizonyul. Az egyenlőségtőlén eff = 0 azt találjukk * =1+ ni ami viszont azt jelentiK * 1 = K 0 (1+ ni ).
1. KÖVETKEZTETÉS: Ha a várható értékekk vagyK 1 túllépik a kritikus értéket, akkor a működés egyértelműen veszteséges (én eff <0 ).
Most határozzuk meg az árfolyam maximális megengedett értéke a művelet végén K 1 , amelynél a hatásfok megegyezik a devizabetétek jelenlegi kamatával, és a kettős átváltás alkalmazása nem jár további előnyökkel. Ehhez két alternatív művelet felépítési tényezőit egyenlővé tesszük
.
Az írott egyenlőségből következik, hogy
vagy
.
2. KÖVETKEZTETÉS: A rubelre történő átváltással történő devizabetét jövedelmezőbb, mint a devizabetét, ha a tranzakció végén várhatóan alacsonyabb árfolyam lesz.maxK 1 .
OPCIÓ: RUBEL® VALUTA® VALUTA® RUBEL
Tekintsük most a kettős átváltás lehetőségét, amikor a kezdeti összeg rubelben van megadva. Ebben az esetben a művelet három szakasza a következő kifejezés három tényezőjének felel meg a felhalmozott összegre
.
A felhalmozási szorzó itt is lineárisan kamatfüggő, de most már a devizakamattól. Lineárisan függ a végső árfolyamtól is.
Végezzük el e kettős konverziós művelet hatékonyságának elméleti elemzését és határozzuk meg a kritikus pontokat.
.
Ezért a kifejezést helyettesítveS r , kapunk
.
A hatékonysági mutató függéseén eff tól tőlk lineáris, ez az ábrán látható. 3
Rizs . 3.
Nál nél k = 1 i
eff
= j
,
nál nél k> 1 i
eff
> j
,
nál nél k<1
én
eff
Keressük most a kritikus értéketk * aholén eff =0 ... Kiderül, hogy egyenlő
vagy .
3. KÖVETKEZTETÉS: Ha a várható értékekk vagyK 1 kisebb a kritikus értékeinél, akkor a működés egyértelműen veszteséges (én eff <0 ).
Minimális megengedett értékk (az árfolyam növekedési üteme a művelet teljes időtartamára), amely ugyanazt a jövedelmezőséget biztosítja, mint a rubelben történő közvetlen hozzájárulás, az alternatív műveletek felhalmozásának szorzóinak egyenlítésével (vagy az egyenlőségből) határozható meg.én eff = én )
,
ahol min vagymin .
4. KÖVETKEZTETÉS: A rubel összegű pénznemre történő átváltással történő letétbe helyezése jövedelmezőbb, mint a rubel betét, ha a tranzakció végén várhatóan magasabb árfolyam lesz.minK 1 .
Most nézzük meg a valutaváltás és a felépítés kombinálását kamatos kamat. Korlátozzuk magunkat egy lehetőségre.
OPCIÓ: PÉNZE® RUBEL® RUBEL® VALUTAk =1 én NS = én , nál nélk >1 én NS < én , és atk <1 én NS > én .
Kritikus értékk , amelynél a művelet hatékonysága nulla, azaz.én NS =0 ,
ként meghatározottk * =(1+ én ) n , ami azt jelenti, hogy a valutaárfolyam átlagos éves növekedési üteme megegyezik a rubel árfolyamon számított éves növekedési rátával: .
5. KÖVETKEZTETÉS: Ha a várható értékekk vagyK 1 nagyobb a kritikus értékeinél, akkor a szóban forgó kettős átalakítási művelet egyértelműen veszteséges (én NS <0 ).
Maximális megengedett értékk , amelynél a művelet jövedelmezősége megegyezik a devizaalapok közvetlen befektetésének jövedelmezőségével
Pénzügyi tranzakció vázlata
A pénzügyi vagy hitelműveletek a befektetés és a megtérülés egyensúlyát foglalják magukban. Az egyensúly fogalma a grafikonon magyarázható.
Rizs. 5.
Hagyja a kölcsön összegétD 0 időszakra adják kiT ... Ebben az időszakban például két időközi kifizetésre kerül sor az adósság törlesztésére.R 1 ésR 2 , és a futamidő végén a tartozás egyenlege kifizetésre kerülR 3 a művelet mérlegét összegezve.
Időintervallumbant 1 felé nő az adósságD 1 ... Ebben a pillanatbant 1 adósságra csökkenK 1 = D 1 - R 1 stb. A művelet azzal ér véget, hogy a hitelező megkapja a tartozás egyenlegétR 3 ... Ebben a pillanatban az adósság teljes mértékben visszafizetett.
Nevezzük a b) típusú gráfot pénzügyi tranzakció vázlata. A kiegyensúlyozott működés szükségszerűen zárt hurkú, azaz. az utolsó kifizetés teljes mértékben fedezi a tartozás egyenlegét. A művelet körvonalát általában akkor alkalmazzák, amikor az adósságot részleges előrehaladásban törlesztik.
A rövid lejáratú kötelezettségeket néha egymást követő törlesztőrészletekkel számolják el. Ebben az esetben két módszer létezik a kamatszámításra és az adósságegyenleg meghatározására. Az elsőt úgy hívják aktuáriusiés főként kifejezéssel végzett tranzakciókban használatos több mint egy éve... A második módszer neve kereskedői szabály... Általában kereskedelmi cégek használják feltételes tranzakciók során legfeljebb egy év.
Megjegyzés: A kamat kiszámításakor általában a közönséges kamatot használják hozzávetőleges számú napos időszakkal.
Aktuáriusi módszer
Az aktuáriusi módszer azt feltételezi, hogy a kamat szekvenciálisan halmozódik fel a tényleges tartozás után. A részfizetés elsősorban a fizetés napján felhalmozott kamat kifizetésére szolgál. Ha a fizetés összege meghaladja a felhalmozott kamat összegét, akkor a különbözetet a tartozás tőkeösszegének törlesztésére használják fel. Az adósság fennálló egyenlege szolgál alapul a következő időszakra vonatkozó kamatszámításhoz stb. Ha a részleges kifizetés kisebb, mint a felhalmozott kamat, akkor a tartozás összegét nem számítják be. Ez a nyugta hozzáadódik a következő fizetéshez.
ábrán látható esethez. 5 b) alapján a következő számítási képleteket kapjuk a tartozás egyenlegének meghatározásához:
K 1 = D 0 (1 + t 1 i) -R 1; K 2 = K1 (1 + t2i) -R2; K 2 (1 + t 3 i) -R3 = 0,
ahol az időszakokt 1 , t 2 , t 3 - években és a kamatlábban adják megén - éves.
A kereskedő szabálya
A kereskedői szabály egy másik megközelítés a törlesztőrészletek kiszámításához. Itt két helyzet lehetséges.
1) Ha a kölcsön futamideje nem haladja meg, a tartozás összege a teljes időszakra felhalmozott kamattal együtt a teljes visszafizetésig változatlan marad. Ugyanakkor felhalmozódnak a részfizetések, amelyekre a futamidő végéig felhalmozódik a kamat.
2) Abban az esetben, ha az időtartam meghaladja az egy évet, a fenti számításokat azokra kell elvégezni évi eladósodás időszaka. Az év végén a felhalmozott törlesztőrészletek összege levonásra kerül a fennálló összegből. Az egyenleg jövőre esedékes.
Teljes kölcsön futamidővelT £ 1 algoritmus a következőképpen írható fel
,
aholS - a tartozás egyenlege a futamidő végén,
D - a megnövekedett adósságösszeg,
K - a megnövekedett kifizetések összege,
R j - a részleges befizetés összege,
t j - a fizetés pillanatától a futamidő végéig eltelt idő,
m - a részleges (köztes) kifizetések száma.
Változó számlaösszeg és kamatszámítás
Vegyünk egy olyan helyzetet, amikor megtakarítási számlát nyitnak egy bankban, és a tárolási időszak alatt a számla összege megváltozik: pénzeszközöket vesznek fel, további befizetéseket teljesítenek. Majd a banki gyakorlatban a kamatszámításnál gyakran alkalmazzák a számítási módszert az ún. százalékos számok... Minden alkalommal, amikor a számlán lévő összeg változik, százalékot számítanak kiC j az elmúlt időszakbanj , melynek során a számlán lévő összeg változatlan maradt, a képlet szerint
,
aholt j - időtartamj -adik időszak napokban.
A teljes időszakra felhalmozott kamat összegének meghatározásához az összes százalékos számot összeadják, és összegüket elosztják egy állandó osztóvalD :
,
aholK - időalap (napok száma egy évben, azaz 360 vagy 365 vagy 366),én - az egyszerű kamat éves mértéke (%-ban).
A számla lezárásakor a tulajdonos a számlán lévő összeg utolsó értékével és a kamatokkal megegyező összeget kap.
14. példa.
Legyen egy kereslet elszámolása összegébenP 1 = 3000 RUB, a betét kamata voltén = évi 20%. A további hozzájárulás a számlához az voltR 1 = 2000 rubel. és augusztus 15-én vették fel. összegben történő levonás a számlárólR 2 = -4000 RUB október 1-jén rögzítették, november 21-én pedig a számla lezárásra került. A számlazáráskor meg kell határozni a kamat összegét és a betétes által befolyt teljes összeget.
Megoldás.
A számítás a séma szerint (360/360) történik. Itt három időszak van, amely alatt a számlán lévő összeg változatlan maradt: február 20-tól augusztus 15-ig (P 1 =3000, t 1 = 10 + 5 * 30 + 15 = 175), augusztus 15-től október 1-ig (P 2 = P 1 + R 1 = 3000 + 2000 = 5000 rubel,t 2
A számlazáráskor fizetendő összeg a
P 3 + I = 1000 + 447,22 = 1447 dörzsölés. 22 zsaru.
Most megmutatjuk ennek a technikának az összefüggését az egyszerű százalékok képletével. Tekintsük a fenti példát algebrai formában.
CA számlazáráskor fizetendő umma az alábbiak szerint található
Így egy olyan kifejezést kaptunk, amelyből az következik, hogy minden számlára felvett vagy onnan felvett összeg után a megfelelő művelet végrehajtásának pillanatától a számlazárásig kamat keletkezik. Ez a séma a 6.2. szakaszban tárgyalt kereskedői szabályt követi.
Változások a szerződés feltételeiben
A gyakorlatban gyakran szükséges a szerződési feltételek módosítása: például az adós kérheti az adósság törlesztési időszakának halasztását, vagy éppen ellenkezőleg, kifejezheti óhaját, hogy azt határidő előtt visszafizesse, bizonyos esetekben szükség lehet több adósságkötelezettség összevonására (konszolidálására) stb. Mindezekben az esetekben a régi (csere) és új (csere) kötelezettségek pénzügyi egyenértékűségének elve érvényesül. A szerződési feltételek megváltoztatásával járó problémák megoldására az ún ekvivalencia egyenlet, amelyben a helyettesített befizetések összege, bármely időpontra áthozva, megegyezik az új kötelezettségre vonatkozó, ugyanarra a dátumra hozott kifizetések összegével. A rövid távú szerződéseknél egyszerű kamatlábakat, a közép- és hosszú távú szerződéseknél összetett kamatlábakat alkalmaznak.
A megtakarítással rendelkező ügyfél fő célja a bankhoz fordulás, hogy pénzt takarítson meg és gyarapítson. Ahhoz, hogy a legjövedelmezőbb opciót válassza ki a különféle szervezetek széles kínálatából, képesnek kell lennie önállóan kiszámítani a beruházás jövőbeli megtérülését. Gyakran előfordul, hogy az első pillantásra a legjövedelmezőbbnek és legérdekesebbnek tűnő lehetőségek nem hoznak jó eredményt. Ezért az üzletkötés előtt tudnia kell megjósolni a betét kamatait.
A betét hozamának kiszámításához egyszerű és összetett kamatszámítási módszert alkalmaznak. Mindegyiknek megvannak a maga sajátosságai és "csapdái", amelyeket figyelembe kell venni. Nézzük meg közelebbről a használat módját képletek a betéti kamat kiszámításához, ami az egyes komponenseket jelenti, és példákon keresztül kiszámítjuk az egyes módszerek hatékonyságát.
Szinte bármely betét jövedelmezősége önállóan, a számítási módszertan ismeretében kiszámítható. Ehhez ismernie kell a jövőbeni befektetés paramétereit, amelyek magukban foglalják:
Akkor használatos, ha a felhalmozott bevétel a betét futamideje végén a betét törzsrészéhez kerül, vagy nem kerül hozzáadásra és a folyószámlára vagy plasztikkártyára kerül. Ezt a számítási eljárást figyelembe kell venni, ha jelentős mennyiséget helyez el hosszú időre. Általában ebben az esetben a bankok tőkésítés nélküli elhelyezési lehetőségeket alkalmaznak, ami csökkenti a betétes általános hasznát.
Egyszerű % képlet:
Összeg% az i-edik időintervallum után kapott bevétel.
P a kezdeti beruházási volumen.
t - befektetési futamidő.
T a napok száma egy évben.
Vegyünk egy példát: 100 000 rubelt helyezünk el hat hónapra 12% -on. Számítsuk ki a kapott bevételt:
Így hat hónapon belül 105 950,68 rubelt lehet majd kivenni a számláról.
A bank letéti gyakorlatában ritkábban alkalmazzák, de vannak ilyen javaslatok. A legtöbb betétes számára nem vonzóak, mivel a kamatláb számukra alacsonyabb, mint a termékek esetében, amikor a bevétel csak a betéti szerződés lejárta után halmozódik fel. A bevételhez való csatlakozás gyakorisága eltérő lehet: havonta egyszer, hetente egyszer, negyedévente egyszer, évente. Tőkésítést vagy „kamat kamat” felhalmozását jelenti.
Összetett% képlet:
P a kezdeti befizetés összege.
i - éves betéti kamat.
k - a napok száma abban az időszakban, amelyen keresztül a bevétel felhalmozódik.
T a napok száma egy évben.
n a jövedelemtőkésítések száma a betét teljes futamideje alatt.
Tekintsük az 1. példát: 100 000 rubelt helyezünk el évi 12%-os áron hat hónapig havi tőkésítéssel.
Így a havi tőkésítés miatt a teljes befektetés jövedelmezőbbnek bizonyult, mint abban az opcióban, amikor a futamidő végén kamatot számolnak.
2. példa: 6 hónapra 100 000 rubelt helyezünk el évi 12%-os áron heti kapitalizációval.
A kapott értéket az Excelben végzett számítások igazolják.
3. példa: 100 000 rubelt helyezünk el 1 évre, évi 12%-os áron negyedéves tőkésítéssel.
A kapott értéket az Excelben végzett számítások igazolják.
A bankbetét előnyeit nem csak a kamatláb méri. A kamatszámítás módja nagyban befolyásolja a betét jövedelmezőségét. A pénzügyi szektorban létezik az egyszerű és kamatos kamat fogalma. Mikor alkalmazzák ezt vagy azt a számítási módszert? Hogyan halmozódik fel a kamat az egyes módszerekre? És melyik módszer a jövedelmezőbb a betétes számára?
Az egyszerű kamat számítási módszere a pénz számtani sorozatban történő felhalmozásának elvén alapul. Tegyük fel, hogy egy befektető az év elején 100 000 rubelt tett be egy bankba. évi 10%-kal:
Mivel a bankok az évre vonatkozó kamatlábat adják meg, akkor egy másik időszak (például 3 hónap) bevételének meghatározásához egyszerű kamatlábat alkalmazva a képlet a következő lenne:
S = (P x I xT/ K) / 100, ahol:
S- a felhalmozott kamat összege (rubel);
P- a befektetett pénzeszközök kezdeti összege;
én- évi kamatláb;
T- a betét futamideje napokban;
K- a napok száma egy évben.
Vagyis 100 000 rubel letéttel. 3 hónapra, évi 10%-kal, az egyszerű kamat számítása a következőképpen történik: (100 000 x 10 x 92/365) / 100 = 2520,55 (dörzsölje).
Kiderül, hogy a futamidő végén a betétes megkapja a letétbe helyezett 100 000 rubelt. plusz 2520,55 RUB bevétel, azaz 102 520,55 RUB
Az egyszerű és összetett kamatszámítási séma közötti különbségek egyértelműbb bemutatása érdekében az adatokat a táblázatba kell beírni:
Az arányszámok számításánál az éves kamattőkésítést használtuk. A táblázat azt mutatja, hogy:
Ha egy hasonló táblázatot összeállítottunk, a negyedéves kapitalizációt is figyelembe véve láthatjuk, hogy negyedéves járulék esetén ugyanannyi lesz a bevétel. Rövidebb betétekkel (egy-két hónapra) egyszerű kamattal több bevétel érkezik. A kamatos kamat viszont jövedelmezőbb lesz a több mint negyedéves futamidejű betéteknél.
A betét jövedelmezőségének meghatározásának ezen elve a kamatszámítás módjától függően a havi számításnál is megmarad. Összegezve elmondható, hogy a kamatos kamat alkalmazása akkor előnyös, ha a betét futamideje meghaladja a tőkésítés időtartamát. Más szavakkal:
Ha a betét futamideje kisebb, mint a tőkésítés gyakorisága, akkor az egyszerű betéti kamat számítása jövedelmezőbb lesz.
