دخل سنويهو مصطلح مقبول بشكل عام ويشير إلى هيكل السداد لآلية مالية (الدفع الشهري للقرض، والفائدة، وما إلى ذلك).
يتم تنظيم دفعات الأقساط بمبالغ متساوية خلال نفس الفترة الزمنية. جدول السداد الذي توفره هذه الطريقة له اختلافات معينة عن جدول السداد المعتاد، حيث يتم توجيه كامل مبلغ المدين إلى نهاية مدة الآلية المالية. مع جدول الدفع المعتاد، يتم دفع الفائدة أولاً، وبعد ذلك فقط يتم شطب المبلغ الأصلي.
بمعنى آخر، القسط السنوي هو نظام معين لسداد الديون، حيث يتم دفع مبلغ الدين والفائدة بالتساوي طوال مدة القرض بأكملها. يُطلق على المعاش أيضًا اسم المعاش المالي، وهو في الأساس نفس الشيء.
على سبيل المثال، إذا كان راتب الموظف يتراكم كل شهر بمبالغ متساوية، فإن هذا الدخل هو القسط السنوي. عندما تتقدم بطلب للحصول على خطة التقسيط في أحد المتاجر لأي منتج، فإن الدفعة الشهرية للبنك سيكون لها أيضًا حالة الأقساط السنوية.
يتكون مبلغ القسط السنوي دائمًا من الدين الرئيسي والفائدة. في مفهومه، هذا المصطلح له نطاق واسع: يمكن اعتبار المعاش السنوي:
يتم دائمًا تحديد المعاش من قبل المؤسسات المصرفية بشكل فردي لكل عميل. ويأتي في نوعين:
وينقسم المعاش أيضا إلى:
في مدة المعاشيتم إيداع الأموال في فترة معينة، والتي لها فترة زمنية محدودة. ويتميز استلام الأموال بأجزاء متساوية وبعد نفس الفترة الزمنية. يتم حساب هذا النوع من الأقساط باستخدام نظام الاستحقاق أو نظام الخصم. الخصم هو تحديد تكلفة المدفوعات من خلال دراسة المقبوضات النقدية في وقت معين. ببساطة، إنه تحليل للعلاقة بين الدخل المستقبلي وقيمته الحالية. يمكن أن تكون أمثلة المعاشات التقاعدية محددة المدة أنواعًا مختلفة من مدفوعات إيجار المساكن والأراضي وما إلى ذلك.
المعاش الدائمومن المعتاد النظر في دفعات متساوية على فترات متساوية على مدى فترة طويلة من الزمن. تعد وحدة التحكم مثالًا ممتازًا لفهم تفاصيل المعاش السنوي الدائم. وتبلغ فترة استحقاق هذه السندات المدعومة من الحكومة أكثر من 30 عامًا.
تختلف دفعات الأقساط في عدد الدفعات. ويمكن دفعها إما مرة واحدة في السنة أو عدة مرات خلال العام (بمعاش سنوي محدد المدة).
قد تتراكم الفائدة مرة واحدة في السنة، أو عدة مرات في السنة، أو بشكل مستمر. يتم دائمًا حل هذه المشكلة بشكل فردي بين المؤسسة المصرفية والعميل.
اعتمادًا على الوضع المالي في الدولة أو سياسة البنك، يمكن تحديد ما يلي:
من أجل تحديد مبلغ دفعات القرض المتساوية خلال فترة زمنية معينة، من الضروري حساب معامل القسط السنوي، والذي يمكنه تحويل دفعة مقطوعة إلى جدول سداد.
لحساب هذا المعامل، يتم استخدام صيغة خاصة مقبولة بشكل عام:
من الناحية العملية، قد تنشأ بعض التناقضات من الحساب الرياضي باستخدام صيغة: لتسهيل إجراء الدفع، يمكن تطبيق نظام تقريب مبلغ المدفوعات، أو يتم تقريب المبلغ بسبب عدد الأيام المختلفة في شهر معين. ينطبق هذا بشكل خاص على الشهر الأخير في جدول الدفع. في الواقع، المجموع الذي يغلق القائمة يختلف دائمًا للأسفل بمقدار بعض القيمة.
دائمًا تقريبًا، مع القسط السنوي، يتم الدفع في نهاية الفترة المشمولة بالتقرير - بعد العدد. في هذه الحالة، يجب حساب مبلغ الدفعة للفترة باستخدام صيغة مختلفة:
من أجل النظر في هيكل مدفوعات الأقساط بمزيد من التفصيل، فإن الأمر يستحق حل مشكلة بسيطة. على سبيل المثال، تحتاج إلى حساب الدفعة الشهرية على القرض لمدة خمس سنوات وبمبلغ 30 ألف روبل بمعدل 8٪ سنويا. سيتم سداد الدفعات شهريًا، ومن الضروري تحويل سعر الفائدة السنوي إلى شهري. ويتم ذلك باستخدام صيغة بسيطة إلى حد ما:
بعد ذلك، تحتاج إلى استبدال القيم i = 0.00643 و n = 60 في الصيغة (5 سنوات هي 60 شهرًا). يجب ضرب المعامل الناتج بمبلغ القرض - 30000 ونتيجة لذلك نجد أن مبلغ الدفعة الشهرية يبلغ حوالي 603 روبل.
عادة ما يتم سداد القرض كل شهر أو كل ثلاثة أشهر. بالنسبة لهذه المدفوعات، يتم تحديد سعر الفائدة السنوي. بشرط أن يتم تخصيص الدفعات بعد العدد م مرات سنويًا لمدة n سنة، فهناك صيغة تختلف عن الصيغة السابقة في زيادة دقة حساب معامل القسط السنوي:
تعتمد الصيغة المحددة لحساب نسبة دفع القسط السنوي على زيادة مبلغ مبلغ الدين باستخدام صيغة نسبة مئوية معقدة. وفي الحسابات المصرفية هناك صيغة أخرى لتحديد المعامل، وهي تعتمد على الزيادة في مبلغ الدين باستخدام صيغة نسبة مئوية بسيطة. ومن السمات المميزة للفائدة البسيطة والمركبة عدم وجود فجوة في رسملة نسب الفائدة. في هذا السيناريو، سيتم سداد الدين الرئيسي أولا، وبعد سداده، سيتم دفع الفائدة.
تجدر الإشارة إلى أن تنفيذ جميع الخطوات المذكورة أعلاه بنفسك يستغرق وقتًا طويلاً ويتطلب عمالة مكثفة. سوف يستغرق الأمر وقتًا طويلاً حتى يتمكن شخص واحد من فهم ذلك، وإذا كنت بحاجة إلى حساب عدة مئات من المعاشات التقاعدية، فإن الوضع بالنسبة لموظف البنك العادي سيكون مستحيلًا تمامًا. لذلك، عند التقدم للحصول على قرض، لدى موظفي المؤسسات المصرفية حاسبات وبرامج خاصة في ترسانتهم، حيث تحتاج فقط إلى إدخال القيم الرقمية الصحيحة، وسوف يقومون بحساب جدول دفع الأقساط السنوية لكل عميل بشكل مستقل.
تعد دفعات الأقساط إحدى الطرق الحديثة لسداد دين القرض إلى البنك. هذا الخيار لسداد التزام الدين ليس مفيدًا دائمًا للعميل، لكنه يتميز براحة متزايدة - لا يوجد ارتباك "متى يتم الدفع وبأي كمية". يتم استلام دفعة القرض كل شهر في نفس الوقت وبنفس المعادل النقدي. هذه إضافة كبيرة للعميل وللمؤسسة المصرفية: ليست هناك حاجة للذهاب إلى البنك وأخذ قسيمة الراتب لتحديد مبلغ الدين للشهر التالي.
بالإضافة إلى ذلك، تعتبر طريقة سداد القرض هذه مفضلة للأشخاص ذوي الدخل المنخفض.
إلى جانب الأقساط السنوية، هناك سداد الديون الائتمانية وفق نظام متمايز، حيث يتم إعادة حساب الدفعات شهريًا، لأنه يتم دفع جزء من الفائدة على المبلغ النهائي لدين العميل. مع كل شهر بعد سداد القرض، يتناقص مبلغ الدين، وبالتالي يتغير سعر الفائدة أيضًا. اتضح أنه من الضروري إيداع أموال أقل فأقل كل شهر، لكن مبالغ الدفع الأولية مرتفعة جدًا ولا تتاح لكل شخص الفرصة لدفعها.
هذا النوع من الدفع له عيب كبير: تعتمد المدفوعات في البداية على نسبة مئوية سائدة، أي. مبلغ الدين يعتمد على ثلثي الفائدة، وثلث مبلغ الدين.
يعتبر المعاش السنوي مفيدًا للمؤسسة المصرفية: أولاً، سيحمي البنك نفسه من خلال تحصيل الفائدة، ثم "يقبل" أموال القرض.
إذا كان العميل ينوي سداد ديونه قبل الموعد المحدد، فيجب إجراء هذه العملية قبل دفع الفائدة. لن يكون لهذه العملية أي معنى تقريبًا عند السداد "بعد" - لن يقوم أحد بإرجاع المبلغ المدفوع مقابل الفائدة. وفي هذه الحالة، فإن السداد المبكر سيؤدي ببساطة إلى إلغاء التزام القرض.
لتلخيص ذلك، يمكننا القول أن القسط السنوي هو خيار جيد للمقترضين الذين لديهم التزامات دين وليس لديهم مستوى عال من الدخل. بعد كل شيء، من الأسهل والأسهل دائمًا دفع نفس المبلغ مرة واحدة شهريًا في نفس اليوم.
لا تتضمن معظم المعاملات التجارية الحديثة دفعات لمرة واحدة، بل سلسلة من المقبوضات النقدية (أو على العكس من ذلك، المدفوعات) على مدى فترة معينة. يمكن أن يكون هذا سلسلة من الدخل والنفقات لمؤسسة معينة، أو سداد الديون، أو المساهمات المنتظمة أو غير المنتظمة لإنشاء أنواع مختلفة من الأموال، وما إلى ذلك. ويسمى هذا التسلسل بتدفق المدفوعات.
تدفق. تسمى المدفوعات أحادية الاتجاه مع فترات متساوية بين الدفعات المتعاقبة على مدى عدد معين من السنوات بالمعاش السنوي (الإيجار المالي).
نظرية المعاش هي جزء أساسي من الرياضيات المالية. يتم استخدامه عند النظر في قضايا ربحية الأوراق المالية، في تحليل الاستثمار، وما إلى ذلك. الأمثلة الأكثر شيوعًا على الأقساط: المساهمات المنتظمة في صندوق التقاعد، وسداد قرض طويل الأجل، ودفع الفائدة على الأوراق المالية.
تختلف المعاشات التقاعدية عن بعضها البعض في الخصائص الرئيسية التالية:
يُطلق على القسط السنوي الذي يتم سداد الدفعات له في بداية الفترات الزمنية المقابلة اسم القسط السنوي قبل العددي؛ إذا تم سداد الدفعات في نهاية الفواصل الزمنية، فسنحصل على معاش سنوي لاحق (المعاش السنوي العادي) - ربما الحالة الأكثر شيوعًا.
الأكثر أهمية من وجهة نظر عملية هي المعاشات السنوية التي تكون فيها جميع المدفوعات متساوية مع بعضها البعض (المعاشات الدائمة) أو تتغير وفقًا لنمط معين. هذه هي المعاشات التي سندرسها أكثر.
دعونا نقدم التدوين التالي:
ف - مبلغ كل دفعة فردية؛
ic هو معدل الفائدة المركب الذي يتم حساب الفائدة عليه؛
Sk هو المبلغ المتراكم للدفعة السنوية k-th بعد الأرقام؛
S هو المبلغ المستحق (المستقبلي) لكامل القسط السنوي بعد العدد (أي مجموع جميع الدفعات مع الفائدة)؛
Ak هي القيمة الحالية للدفعة السنوية k-th بعد الأرقام؛
A هي القيمة الحديثة لكامل القسط السنوي بعد العدد (أي مجموع القيم الحديثة لجميع المدفوعات)؛
Sp - المبلغ المستحق من القسط السنوي؛
Ap هي القيمة الحديثة للمعاش السنوي؛
ن - عدد الدفعات.
دعونا نفكر في دفعات سنوية بعد العدد مع دفعات سنوية P لمدة n من السنوات، حيث يتم استحقاق الفائدة بمعدل سنوي مركب (الشكل 5).
أرز. 5.
المبلغ S 1 للدفعة الأولى، والذي من الواضح أن الفائدة عليه ستتراكم (ن - 1) مرة، سيكون وفقًا للصيغة (3.1):
S 1 = Р(1 + i c) n-1
بالنسبة للدفعة الثانية (سوف تتراكم الفائدة عليها لمدة عام واحد أقل) لدينا
Sn=P ثم لإجمالي المبلغ المتراكم لدينا
حيث ki,n هو معامل نمو القسط السنوي مع المعلمات i, n - يمثل، كما ترون، مجموع شروط التقدم الهندسي الذي يكون فيه الحد الأول a 1 يساوي 1، والمقام (دعنا نسميها ف) هو (1 + أنا ج).
باستخدام الصيغة الرياضية لمجموع حدود التقدم الهندسي:
دعونا نكتب التعبير (7.1) في شكل أكثر ملاءمة للحسابات:
بالنسبة لمعامل النمو، وفقا لذلك، لدينا
دعونا الآن نجد القيمة الحديثة A لهذا القسط السنوي (الشكل 6).
أرز. 6.
بالنسبة لسعر فائدة معين، سيتم تحديد القيمة الحالية لكل دفعة بواسطة الصيغة:
وبالتالي فإن القيمة الحالية للقسط السنوي بأكمله ستكون
حيث ai,n هو معامل تخفيض القسط السنوي، مرة أخرى مجموع التقدم الهندسي، الآن مع المعلمات a 1 =q=1/(1 +i c).
ثم بالنسبة لـ ai,n نحصل على التعبير:
للقيمة الحديثة A، على التوالي
كما ترون، فإن القيمة الحالية والمبلغ المتزايد من القسط السنوي مرتبطان ببعضهما البعض من خلال النسبة:
ص=أ(1+ط ج) ن (7.6)
من الصيغ التي تم الحصول عليها، من السهل الحصول على عدة صيغ أخرى عن طريق التحويل.
لذلك، لتحديد حجم الدفعة التالية (P) لدينا
لتحديد فترة القسط السنوي (ع)، في ظل شروط محددة أخرى، نحصل عليها
لإجراء حسابات محددة، يتم تحديد إحدى الصيغتين لكل زوج اعتمادًا على الكميات المعروفة المحددة.
من الواضح أن الاختلاف عن الحالة السابقة هو أن فترة حساب الفائدة على كل دفعة تزداد
أرز. 7. القيمة المستقبلية للمعاش السنوي prenumerando
يتم تمديدها لمدة سنة واحدة، أي أن كل زيادة في كمية Sk تزيد بمقدار (1 + ic) مرة. ولذلك، لدينا لكامل المبلغ S
بالنسبة لمعامل نمو القسط السنوي prenumerando k p i,n نحصل على العلاقة التالية:
وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنه لتحديد القيم الحديثة لكل دفعة، يتم إجراء الخصم بمعدل معين مرة واحدة أقل مما هو عليه في حالة القسط السنوي. ولذلك فإن كل قيمة حديثة لـ Ak ستكون أكبر بمقدار (1+0 مرة).
وبالنسبة لمعامل التخفيض a n i,n نحصل عليه
أ ص أنا، ن = أ أنا، ن (1+أنا ج) (7.14)
للعثور على مبلغ الدفع ومدة القسط السنوي، يمكنك استخدام الصيغ (7.11) و (7.13) للعثور على القيم المقابلة لـ S و A للقيم المحددة لـ Sp و Ap ثم استخدم الصيغ المشتقة للمعاش التقاعدي بعد العدد.
لتحديد معاملات الزيادة والتخفيض في المعاش العادي، هناك جداول سهلة الاستخدام في التطبيقات العملية.
العمليات الحسابية الحد الأقصى لأسعار الفائدة في مثل هذه الجداول عادة لا يتجاوز 30-40٪، وهو أقل بكثير من أسعار الفائدة المطبقة حاليا في روسيا. ولكن عليك أن تضع في اعتبارك أن n في هذه الحالة ليس عدد السنوات، بل عدد الفترات من نفس المدة (اليوم، الشهر، الربع، وما إلى ذلك) التي يتم فيها قبول سعر فائدة معين. ومن ثم، إذا تم تحديد معدل فائدة سنوي، فيمكنك العثور على المعدل المعادل له على فترة زمنية أقصر واعتبار n أيضًا عدد هذه الفواصل الزمنية.
إذا كانت مدة القسط n غير محدودة، نحصل على حالة القسط السنوي الدائم. بالنسبة للمعاش التقاعدي بعد العدد، فإن التعبيرات الخاصة بالمبلغ المستحق والقيمة الحديثة ستأخذ الشكل التالي:
بالنسبة للقسط السنوي prenumerando، نحصل على التوالي،
ومن ثم فإن الفرق بين نوعي المعاشات الدائمة يؤثر بطبيعة الحال على تحديد قيمتها الحديثة.
لا يقل أهمية عن ذلك عندما يتغير تسلسل المدفوعات وفقًا لبعض القوانين، وبالتالي يمكن وصفها أيضًا باستخدام الوسائل الرياضية.
لنفكر في القسط السنوي العادي الذي تزداد فيه المدفوعات باستمرار بقيمة إيجابية معينة ح، أي. هـ هم أعضاء في المتوالية الحسابية حيث الحد الأول a1 = P والفرق h. أي أن الدفعات عبارة عن سلسلة:
ف، ف+ ح، ف+ 2ح،... ف+ (ن- 1)ح.
بالنسبة للمبلغ المتراكم لكامل القسط السنوي نحصل على التعبير التالي:
S=Р(1+ i c) n-1 + (Р+ h)(1+ ic) n-2 + (Р+ 2h)(1+ ci) n-3 +...+ [Р+ (n - 1) ح].
لنضرب طرفي هذه المساواة بـ (1 + ic) ونطرح التعبير الأول من النتيجة التي تم الحصول عليها بعد الضرب:
S ic= P(1+ ic)n -[P+(n -1)h]+h(1+ ic)n-1+ h(1+ ic)n-2+...+ h(1+ ic) ).
يمكن ملاحظة أن جزءًا من المساواة الناتجة هو مجموع حدود المتوالية الهندسية، حيث a1= h(1+ ic); ف = = (1 + جيم). وبعد تحويلات بسيطة نحصل على:
دعونا الآن نجد القيمة الحديثة للمعاش السنوي أ.
دعونا نضرب طرفي المساواة في (1 + i c) n.
ا(1+i ج) n =P(l+i c) n-1 +(P+ h)(1+i c) n-2 + ... + =S.
كما نرى، في هذه الحالة، فإن الصيغة (7.6)، التي تم الحصول عليها سابقًا للمعاش السنوي العادي، صحيحة:
أ (1 + أنا ج) ن - ق،
من الممكن أيضًا أن تزداد المدفوعات باستمرار بمقدار q مرات، أي أنها أعضاء في تقدم هندسي:
P، Pq، Pq 2، ... ، Pq n-1، ثم بالنسبة لمبلغ القسط المتراكم لدينا
S=Р[(1+ i c) n-1 + q(1+ i c) n-2 +/(1+ i c) n-3 +...+q n-1 ].
بين قوسين مربعين حصلنا على تقدم هندسي مع الحد الأول a1 = (1 + ic)n والمقام q/(1 + ic). باستخدام صيغة مجموع التقدم الهندسي مرة أخرى، نحصل على التعبير عن S:
س=ف/.
من الواضح أنه للعثور على القيمة الحديثة للمعاش السنوي A، يمكن أيضًا تطبيق الصيغة (7.6) هنا:
أ=ف/.
الآن لدينا الفرصة لحل مثال لتحديد تدفق المدفوعات ذات القيمة التعسفية.
أوجد القيمة الحالية لتدفق الدفعات المحددة على النحو التالي: السنة الأولى - الإيصالات 500 ص. دولار السنة الثانية - إيصالات 200 صباحا. دولار السنة الثالثة - دفع 400 دولار أمريكي. دولار ثم لمدة سبع سنوات - دخل 500 صباحا. معدل الخصم بالدولار الأمريكي - 6% سنويًا. حل
في هذا المثال، يمثل تدفق الدفعات على مدى السنوات السبع الماضية معاشًا سنويًا دائمًا. وباستخدام الصيغة (7.5) يمكننا حساب قيمته الحديثة aq. ويجب ألا ننسى أن هذه ستكون القيمة الحديثة في بداية الفترة الرابعة:
500 5.58 = 2791 (دولار أمريكي)
(توجد معاملات التخفيض في الجدول 4 من الملحق 2). بعد ذلك، باستخدام الصيغة (3.11)، نجد القيم الحالية في بداية تدفق الدفع لجميع الدفعات المتبقية والقيمة aq:
A1 = 500 0.953 = 471.5 (دولار أمريكي)؛
A2 = 200 0.89 = 178 (دولار أمريكي)؛
A3 = 400 0.840 = 336 (دولار أمريكي)؛
A4 = 2791 0.840 = 2344.44 (دولار أمريكي).
وبجمع القيم الناتجة، نجد القيمة الحالية لتدفق الدفع بالكامل:
أ=أ1+أ2+أ3+أ4= 2657.94 ص. لعبة.
القيمة الحديثة للمعاش
في جميع الحالات التي يكون فيها التدفق الاعتباطي للمدفوعات متسلسلة يمكن وصفها بأنها ثابتة أو متغيرة عند البعض
عند النظر في المعاشات التقاعدية، يجب عليك الانتباه إلى نقطة البداية ومدة هذه المعاشات، والتي لا تتزامن مع نقطة البداية ومدة التدفق الكامل للمدفوعات.
المرحلة التالية من دراستنا هي تحويل المعاشات التقاعدية. يُفهم تحويل القسط السنوي على أنه تغيير في المعلمات الأولية للقسط السنوي، وبعد ذلك سيكون القسط الجديد معادلاً للقسط الحالي.
تعتبر المعاشات السنوية متكافئة إذا كانت قيمها الحديثة، المخفضة إلى نفس النقطة الزمنية، متساوية.
في الممارسة العملية، غالبا ما تنشأ الحاجة إلى حساب معايير الأقساط المكافئة عندما تتغير شروط سداد الدين أو سداد القرض أو القرض، وما إلى ذلك. في هذه الحالة، يمكن أن يحدث التحويل في وقت حساب القسط السنوي (في هذه اللحظة يتم حساب القيم الحديثة للمعاشات المعادلة)، وبعد دفع جزء من المعاش. وفي الحالة الأخيرة، يتم إجراء كافة الحسابات للدين المتبقي في وقت التحويل.
دعونا نلقي نظرة على الحالات الأكثر شيوعًا لتحويل الأقساط الدائمة.
1. بعد فترة زمنية معينة n0 (يمكن أن تساوي 0) بعد بدء القسط السنوي، يمكن سداد رصيد الدين بالكامل مرة واحدة (استرداد القسط السنوي). من الواضح، في هذه الحالة، أن المبلغ المدفوع سيكون مساوياً للقيمة الحالية لرصيد القسط السنوي، المحسوب للفترة n1 = n- n0.
من الواضح أن. إذا زادت مدة القسط السنوي، فإن قيمة P ستنخفض. والعكس صحيح.
4. قد ينشأ موقف عندما يجب تغيير مبلغ الدفع P في اتجاه أو آخر. دعونا نفكر في هذه الحالة باستخدام المثال 28.
لسداد القرض الصادر بمعدل فائدة مركب قدره 4٪ سنويًا، يجب سداد دفعات سنوية قدرها 5000 غريفنا هريفنا لمدة 10 سنوات. تتيح الشروط المتغيرة إيداع 7500 دولار منذ البداية. تحديد مصطلح جديد n1، والذي سيتم سداد الدين فيه بالكامل. حل
دعونا أولا نحسب القيمة الحالية للمعاش السنوي المتاح (الذي يمثل مبلغ الدين للفترة الأولية). باستخدام الصيغة (7.5) نحصل عليها
أ = 5000 /0.04 - 40554.5 (دولار أمريكي). بعد ذلك، بالنسبة لـ P المتغير، نجد معامل تخفيض القسط السنوي باستخدام نفس الصيغة:
аi,n = А/Р 1 = 40554.5am. دولار أمريكي / 7500 صباحا. دولار = 5.4.
باستخدام الجدول 4 من الملحق 2، نجد القيمة n 1 الأكثر ملاءمة لهذا المعامل بمعدل فائدة 4٪، مع تقريبها إلى الأسفل: n 1 = 6. وبما أنه تم العثور على القيمة n1 تقريبًا، فمن الضروري حسابها القيمة الحالية للمعاش الجديد:
A1 = 7,500 /0.04 = 39,316 (دولار أمريكي). إذا لم يكن من الممكن تغيير مبالغ الدفع، فيجب دفع المبلغ المفقود A0 = 40,554.5 - 39,316 = 1,238.5 (USD) إلى الدائن على الفور. (تتم مناقشة مثال لكيفية تعديل مبالغ الدفع في مثل هذه الحالة في نهاية هذا القسم.)
5. بدء سداد الديون بسعر فائدة معين
يجوز تأجيل معدل IC: أ) مع الحفاظ على حجم الدفعة؛ ب) مع الحفاظ على فترة السداد.
من الواضح، في الحالة الأولى، يجب أن تزيد فترة الأقساط، وفي الثانية - مبلغ الدفع.
دعونا نشير بـ n 0 إلى فترة التأخير. بعد ذلك، عند بداية الدفع، سيكون مبلغ الدين a1، والذي يجب أن يكون القيمة الحالية للقسط السنوي الجديد، وفقًا لصيغة الفائدة المركبة:
A1=أ(1+ic) n0 . ومن هنا نحصل على معادلة التكافؤ:
ف = ف (1 + ط ج) ن0
بعد ذلك، نمضي قدمًا بالمثل مع الحالات التي سبق النظر فيها. في الخيار الأول، نجد القيمة n1 لمدة القسط السنوي الجديد بقيمة معينة P1 = P (سيتم العثور على n1 تقريبًا، لذلك سيكون من الضروري دفع مبلغ تعويضي، انظر المثال 28). في الثانية - مبلغ الدفع P1 عند n 1 = = n – n 0.
6. في بعض الحالات، قد يكون من الضروري دمج عدة دفعات سنوية في واحدة (توحيد المعاشات السنوية). في هذه الحالة، يمكن أن تكون المعاشات المجمعة موجودة، وفي المعاش الموحد المطلوب تكون إحدى المعلمات غير معروفة مع تحديد جميع المعلمات الأخرى.
اثنين من المعاشات مع المعلمات:
يجب استبداله بواحد - بمدة 10 سنوات وبسعر فائدة 6٪ سنويًا.
تحديد مبلغ الدفعة الجديدة.
دعونا أولاً نجد القيمة الحديثة المشتركة للمعاشين السنويين. وفقا للصيغة (7.5) لدينا
أ = A1 +A2=2000/0.05+ + 3,500/0.06 = = 17,726.5 + 25,760.3 = 43,486.8 (دولار أمريكي). بعد ذلك، باستخدام الصيغة (7.7)، نجد مبلغ الدفعة الجديدة:
P = 43,486.8 0.06/ = 5,930 (دولار أمريكي).
يبقى لنا الآن أن نفكر في تطبيق عملي مهم لنظرية المعاشات التقاعدية - وهو وضع خيارات (خطط) مختلفة لسداد الديون. عند وضع خطة ل
دفعات سداد الفائدة هي حجم الدفعات الدورية للمقترض - مدفوعات الفائدة والمدفوعات لسداد المبلغ الأصلي للدين - في ظل شروط سداد مختلفة (تسمى هذه المدفوعات مدفوعات عاجلة).
هناك خمسة خيارات رئيسية لسداد الديون:
إذا كان يجب على المقترض سداد كامل مبلغ الدين في نهاية المدة، فقد يكون من المستحسن إنشاء صندوق سداد (إهلاك)، يتم من خلاله إيداع مبالغ معينة بشكل دوري، وتحمل الفائدة عليه.
إذا كان سعر الفائدة الذي يتم إيداع الأموال به لا يتجاوز المعدل الذي يتم به إصدار القرض، فإن إنشاء صندوق غارق ليس له معنى. ومن الأفضل دفع هذه المبالغ للدائن على الفور.
دعونا نقدم التدوين التالي:
د- المبلغ الأصلي (بدون فوائد).
i c هو سعر الفائدة على القرض؛
أنا - فائدة القرض؛
ف - مقدار المساهمة في صندوق الغرق؛
g هو المعدل الذي يتم به حساب الفائدة على المساهمات في الصندوق؛
Y هو مبلغ الدفعة العاجلة؛
n هي مدة القرض.
لنجد مبلغ الدفعة العاجلة Y ومكوناتها (K=1+P).
بحكم التعريف، أنا = د i ج .
المبلغ المتراكم في صندوق الغرق لمدة n من السنوات، أي المبلغ المتراكم من القسط السنوي مع المعلمات P، n، g، يجب أن يصل إلى القيمة D. باستخدام الصيغة (7.2) نحصل عليها
D = Р[(1 +g)n-1]/g. من هنا
P=Dg/[(1 +g)n-1].
وهذا يعني أنه في هذه الحالة يتم تحديد مبلغ الدفعة العاجلة بالصيغة:
Y=Di c + Dg/[(1+ g) n -1]. (7.23)
إذا لم يتم دفع الفائدة، ولكن تمت إضافتها إلى المبلغ الأصلي، فإن الدفع الفوري يتكون فقط من المساهمات في صندوق الغرق.
المبلغ الإجمالي للدين سيكون حسب الصيغة (3.1) القيمة D(1 + ic)n التي نحصل منها
Y= Р= D(1 +i c) n g/[(1+g) n -1].
3. سداد الديون بمبالغ متساوية
دع الدين يتم سداده على مدار n من السنوات بمبالغ متساوية، ويتم دفع الفائدة بشكل دوري. ثم يتم سداد الدفعات بمبلغ D/n باستمرار للسداد، ويتم تخفيض مدفوعات الفائدة سنويًا مع انخفاض المبلغ الأصلي للدين. دعونا نشير
Dk هو مقدار الدين بعد السنة k:
Ik هو دفع الفائدة للسنة k. ثم
D1= د- د/ن = د(1 -1/ن);
وفي نهاية السنة الثانية نحصل على D2= D1- D/n= D(1 -2/);
I2= د(1- 1/ن)ج;
Y2 = D(1 -1/n) ic+ D/n، إلخ.
لتحديد مبلغ الدفعة العاجلة ودفع الفائدة بعد السنة k، نحصل على Dk = D(1- k/n);
إيك= د(1 -(ك-1)/ن] إيك:
ص = د جيم + د / ن.
وفي نهاية الفصل الدراسي، أي السنة التاسعة، لدينا
Dn= D(1- ن/ن) = 0:
Yn= D |1 – (n -1)/n] ic+ D/n = D (1 + ic)/n. ويمكن ملاحظة أنه يجب دفع أكبر المبالغ في بداية فترة السداد، وهو ما يمكن اعتباره في معظم الحالات عيبًا لهذه الطريقة لسداد الديون.
4. سداد الديون باستخدام دفعات عاجلة ثابتة
دع القرض بالحجم D، الصادر بسعر فائدة سنوي مركب، يتم سداده خلال /؛ سنوات مع دفعات عاجلة متساوية Y = 1 + R. ومن الواضح أنه مع مرور الوقت المكون I
دعونا نشتق صيغًا لحساب مقدار أموال الفائدة ومبلغ سداد الدين في نهاية السنة k.
يعتبر الدفع الدوري لمبلغ ثابت Y بسعر فائدة معين لمدة n من السنوات بمثابة قسط سنوي مع المعلمات المناسبة.
ولذلك يتم تحديد مبلغ الدفعة العاجلة بالصيغة (7.9):
Y= D/a i,n (a i,n هو معامل تخفيض الإيجار).
بالإشارة إلى Pk المبلغ المستخدم لسداد القرض في نهاية السنة k، نكتب النسب التالية:
باستبدال التعبيرات 3) و 4) في العلاقة 2) نحصل عليها
Ik+1/ic=Ik/i c -Рk، عندماcei k+1 =Ik-P k i c أعد كتابة التعبير 1) باستخدام المساواة الأخيرة:
Ik+ Pk= Ik- Pkic+ Pk+1
من أين نحصل عليه
Pk+1=Pk(1+ic)=P1(1+ic) ك
بما أن I 1 = Di c لـ P، نحصل على
P1=D/a i,n -Di c =D (l/a i,n -ic). لذلك،
Pk=D(1/أ i,n -ic)(1+ic) k-1
Ik=D k-1 ic =Dic/с - D (1/a i,n -ic)[(1 + i c) k-1].
عندما يتم سداد القرض عن طريق دفعات عاجلة ثابتة، يمكن تحديد قيمتها مسبقًا، ومن ثم تنشأ مشكلة تحديد فترة سداد الدين، وقد تم النظر في مسألة تحديد فترة الأقساط سابقًا فيما يتعلق بتحويل الأقساط
أغراض. في هذه الحالة، من أجل الامتثال لمبدأ التكافؤ، كان من الضروري دفع المبلغ المفقود (الناشئ عن تقريب المبلغ الناتج) في بداية فترة السداد. وبدلا من ذلك، من الممكن أيضا إجراء تغيير طفيف في مبلغ المدفوعات العاجلة.
دعونا نلقي نظرة على مثال لتوضيح الوضع.
قرض بمبلغ 12,000 دولار أمريكي. دولار أمريكي يتم إصداره بمعدل فائدة مركب قدره 4% سنويًا. حدد طول فترة السداد إذا كان المقترض يخطط لسداد 1500 دولار سنويًا. دولار وضع جدول زمني لسداد الديون.
دعونا أولاً نحسب معامل تخفيض القسط السنوي d:
أ 4، ن = أ/ب = 12000 ص. دولار أمريكي/لتر 500 صباحا. دولار = 8
باستخدام الجدول، نحدد تقريبًا n، الموافق لهذا المعامل وسعر الفائدة 4٪. وبما أن np = 10 يتوافق مع المعامل a 4.10 = 8.11، فإننا نأخذ np = 9 ونحسب لهذه الفترة والقيمة الحديثة A = 12000 ص. دولار قيمة الدفعة الجديدة R. نستخدم الصيغة (7.8) لذلك، ونجد قيمة معامل التخفيض حسب الجدول 4 من الملحق 2.
P = A/a 4.9 = 12000 صباحا. دولار أمريكي/7,435 = 1,614 دولار أمريكي لعبة.
دعونا الآن نضع جدولاً لسداد الديون، والذي ينبغي أن يتضمن مدفوعات الفوائد، ونفقات سداد الديون، ورصيد الدين في نهاية كل عام.
باستخدام الصيغ المشتقة سابقا، نجد القيم المطلوبة:
|
مبلغ الدين في نهاية العام |
الدفع العاجل (ص) |
النسبة المئوية (أنا/) |
الدفع مقابل السداد (ف) |
|
يحدث تباين بسيط في رصيد الدين في نهاية السنة الثامنة ومبلغ الدفعة الأخيرة للسداد بسبب تقريب بعض قيم المبالغ السابقة.
5. سداد الديون باستخدام دفعات متغيرة المدة
في كثير من الحالات، يفضل سداد الديون باستخدام دفعات متغيرة الأجل. يمكن أن تختلف الدفعات العاجلة وفقًا لنمط معين أو يتم تحديدها حسب جدول السداد.
خذ بعين الاعتبار الحالة التي يمثل فيها تسلسل الدفعات العاجلة مهنة حسابية بفارق معين h. بمعلومية فترة السداد n وسعر الفائدة ic، باستخدام الصيغة (7.20)، نجد قيمة الدفعة العاجلة P:
Р = [А i c +nпh/(1 +ic) n - h а i,n ]/ والتي على أساسها يتم تطوير خطة سداد الديون.
6. من الناحية العملية، غالبًا ما تكون هناك حالة يتم فيها تحديد مبالغ جميع المدفوعات العاجلة مسبقًا، باستثناء الدفعة الأخيرة، التي يتم تحديدها بمقدار رصيد الدين في بداية الفترة الأخيرة (انظر المثال 31).
دين 10000 دولار. يجب سداد الدولارات خلال خمس سنوات، ويبلغ مبلغ الدفعات العاجلة في السنوات الأربع الأولى 2000 دولار أمريكي. دولار أمريكي، 2000 دولار أمريكي دولار أمريكي، 4000 دولار أمريكي دولار أمريكي، 1500 دولار أمريكي دولار أوجد مبلغ الدفعة الأخيرة إذا كان سعر الفائدة 5٪ سنويًا.
سنقوم بتطوير خطة سداد الديون.
الفائدة للسنة الأولى هي
I1 = Dic=10,000 0.05 = 500 (دولار أمريكي).
P1 = Y1 - I1 = 1500 صباحا. لعبة.؛
D1= D-P1 = 8000 صباحا. لعبة.
للسنوات اللاحقة نحصل عليها
I2 = د 1 ط ق = 8500 ص. 0.05 دولار أمريكي = 425 دولارًا أمريكيًا لعبة.؛
ف 2 = Y 2 -I 2 = 2000 - 425 = 1575 (دولار أمريكي):
د 2 = د 1 - ف 2 = 8500 - 1575 = 6925 (دولار أمريكي)؛
أنا 3 = د 2 إيك = 6925 ص. دولار * 0.05 = 346.25 صباحا. لعبة.؛
Р 3 = Yз -Iз = 4000 - 346.25 = 3653.75 (دولار أمريكي)؛
D 3 = D 2 -Рз = 6,925 - 3,653.75 = 3,271.25 (دولار أمريكي)؛
أنا 4 = د 3 إيك = 3,271.25 ص. 0.05 دولار أمريكي = 163.56 دولار أمريكي لعبة.؛
ف 4 = ص 4 - ط 4 = 1500 - 163.56 = 1,336.44 (دولار أمريكي):
د 4 = د 3 - ف 4 = 3,271.25 - 1,336.44 = 1,934.81 (دولار أمريكي)؛
أنا 5 = د 4 جيم = 1,934.81 صباحا. 0.05 دولار أمريكي = 96.74 دولار أمريكي لعبة.؛
Y 5 =D 4 +I 5 =1934.81=96.74=2031.55 (بالدولار الأمريكي)؛ P4= D4= 1,934.81 ص. لعبة.
لذا، يجب أن يكون مبلغ الدفعة الأخيرة 2031.55 دولارًا أمريكيًا. لعبة.
دخل سنوي (الإيجار المالي) هو تدفق نقدي يتم فيه تحويل دفعات بمبالغ متساوية خلال فترات زمنية متساوية. جميع المعاشات هي عاجلو غير محدود.
ينص القسط السنوي محدد المدة على سلسلة من التحويلات النقدية بنفس المبلغ مع الفائدة المتراكمة من الفترة الأولى. من السهل فهم الفرق بين نوعي المعاشات السنوية من الشكل الوارد في كتاب ج. فان هورن:
يقارن الشكل بين إجراءات حساب نوعين من المعاشات السنوية بمبلغ 1000 دولار وبمعدل سنوي قدره 8٪. يلاحظ J. Van Horn: يبدو كما لو أنه مع القسط السنوي العادي يتم الدفع في الفترات 1 و 2 و 3، ومع القسط السنوي المحدد - في الفترات 2 و 3 و 4. وتبين أن التكلفة الإجمالية للقسط السنوي لمدة ثلاث سنوات في المثال تساوي تكلفة القسط السنوي العادي مع فترة إضافية واحدة. وبطبيعة الحال، فإن المعاش السنوي محدد المدة هو أكثر ربحية بالنسبة لمتلقي المال، لأن دخل الفائدة أعلى.
يتم تصنيف المعاشات السنوية حسب وقت الدفع في com.postnumerandoو com.prenumerando. مع القسط السنوي السابق للرقم، يتم تحويل الأموال في بداية العام، مع القسط السنوي بعد العدد - في النهاية.
يمكن حساب كل من postnumerando وprenumerando وفقًا لمخططين: خصمو إنشاء:
خصمهو حساب القيمة الحالية للتدفق المالي المستقبلي. عند خصم مدة الأقساط السنوية، يتم استخدام الصيغة التالية:
أ = FV * * (1 + ص) / ص
حيث FV هو المبلغ الإجمالي للقسط السنوي، وr هو سعر الفائدة، وA هو الجزء الثابت من الدفعة، وn هو عدد الفترات.
يسمى التعبير بين قوسين مربعين عامل خصم المعاش. يمكن تمثيل هذا التعبير رياضيًا، لكن الحساب سيستغرق الكثير من الوقت. من الأسهل بكثير تحديد معامل القسط السنوي باستخدام جدول خاص :
لتتمكن من استخدام الجدول، يكفي معرفة سعر الفائدة وعدد الفترات.
امتداد- وهذا على العكس من ذلك هو حساب المبلغ المستقبلي الذي يمكن الحصول عليه واقعيا من الأموال المتوفرة. تختلف صيغة حساب المعاش السنوي للمصطلح المسبق قليلاً:
FV = أ * [(1 + ص) ^ ن - 1] * (1 + ص) / ص
يوجد أيضًا جدول حساب لمعدل النمو: 
لحساب المعاش السنوي لمصطلح ما بعد العدد، يتم استخدام الصيغ التالية (المتغيرات مألوفة بالفعل):
|
خصم |
أ = فف / (1 + ص) + فف / (1 + ص) ^ 2 +…+ فف / (1 + ص) ^ ن |
|
امتداد |
FV = أ * (1 + ص) ^ (ن - 1) + أ * (1 + ص) ^ (ن - 2) + … + أ |
يصادف الناس المعاشات السنوية طوال الوقت في الحياة. على سبيل المثال، إذا كان الشخص الذي يقوم بتجديد وديعة مصرفية بشكل منتظم يريد حساب مقدار الربح الذي سيحصل عليه في غضون سنوات قليلة، فيجب عليه استخدام مصطلح صيغة مضاعفة المعاش السنوي.
بالإضافة إلى ذلك، فإن حساب المعاش السنوي محدد المدة ضروري من أجل:
ابق على اطلاع بكل الأحداث المهمة لـ United Traders - اشترك في قناتنا
معاش سنوي مع دفعات سنوية P لمدة n سنة، تحمل فائدة بالمعدل السنوي المركب ic.
ومن الواضح أن الفرق عن الحالة السابقة هو أن مدة احتساب الفائدة على كل دفعة تزيد بمقدار سنة، أي كل زيادة مبلغ س كيزيد بمقدار (1+ ط ج)مرة واحدة. لذلك، لكامل المبلغ س نلدينا س ن = س( 1+ أنا ج).
بالنسبة لمعامل نمو المعاش السنوي نحصل على العلاقة التالية: 
تحديد القيم الحديثة لكل دفعة مع الخصم بنسبة معينة أنا جيتم تنفيذه مرة واحدة أقل مما هو الحال في حالة القسط السنوي بعد العدد. لذلك، كل قيمة حديثة و لسيكون هناك المزيد في (1+ أنا) مرة واحدة. وبالتالي، أ ن = أ(1 + أنا ج). وبالنسبة لمعامل التخفيض أنا، نن نحصل 
مثال 14.ابحث عن المبلغ المستحق للقسط السنوي والقيمة الحالية لتدفق الدفع إذا كان الدخل المستلم في بداية العام على مدار ثلاث سنوات سيكون 500 ألف روبل. معدل الخصم 6% سنويا.
حل.
في هذا المثال، يمثل تدفق الدفع على مدى ثلاث سنوات دفعة سنوية دائمة. سيتم تحديد المبلغ المستحق لهذا القسط السنوي بواسطة الصيغة:
ويمكن تحديد نسبة الزيادة من الجدول رقم 3 لقيمة القسط السنوي المتزايد: ك 0.06؛ 3= 3,1836∙(1+0,06)=3,3746.
المبلغ السنوي المتراكم سيكون:
S ع =500∙3.3746=1687.3 ألف روبل.
وللتحقق، سنحدد مقدار المبالغ المستحقة حسب السنة.
الدخل المستلم في السنة الأولى سيكون:
S 1 =500∙(1+0.06) 3 =500∙1.1910=595.5 ألف روبل؛ الدخل المستلم في السنة الثانية، S 2 = 500∙(1+0.06) 2 = 500∙1.1236 = 561.8 ألف روبل. والدخل المستلم في السنة الثالثة S 3 = 500∙(1+0.06) 1 =500∙1.06 = 530 ألف روبل.
إجمالي المبلغ المتراكم S p =S 1 p +S 2 p +S 3 p =595.5+561.8+530=1687.3 ألف روبل.
وفقا للصيغة 
(1+ يمكننا حساب القيمة الحالية للقسط السنوي. وسوف نحدد معامل تخفيض القسط السنوي باستخدام الجدول 4. ل ن=3 و أنا ج =0,06 ك 0.06؛ 3=2.6730. ثم ك ن =2,6730∙1,06=2,8334.
القيمة الحالية للمعاش A p =500∙2.8334=1416.7 ألف روبل.
يمكننا التحقق من الحسابات من خلال تحديد مجموع القيم الحديثة لجميع المدفوعات والفوائد المستحقة. صيغة القيم الحديثة لكل دفعة ( و ل) سوف تأخذ النموذج: 
القيم الحالية لجميع المدفوعات ستكون مساوية:
ألف روبل.
ألف روبل.
سيكون مجموع القيم الحديثة لجميع المدفوعات متساويًا.
في العالم الحديث، حيث تعد المنتجات المصرفية جزءًا من حياة كل شخص، يصبح فهم جوهر الرياضيات المالية والقدرة على إجراء حسابات مالية بسيطة مهارة ضرورية. لكن العديد من الكتب والمقالات حول هذا الموضوع مكتوبة بلغة معقدة من المصطلحات المالية والصيغ الرياضية. وبطبيعة الحال، لا يمكننا الاستغناء عن المصطلحات والصيغ. ومع ذلك، يمكن شرح جوهر العمليات الحسابية بلغة بسيطة يمكن لأي شخص أن يفهمها. هذه المقالة هي استمرار للمقال الخاص بخصم التدفقات النقدية. سوف نتحدث عن الأقساط (التدفقات النقدية السنوية). المعاش الدائم، صيغة المعاش - حساب القيمة الحالية والمستقبلية باستخدام أمثلة بسيطةتوضيحات للأشخاص وليس للمصرفيين - ستتعرف على ذلك من خلال قراءة هذا المقال.
عند سماع كلمة المعاش، سيفكر الكثيرون في شيء معقد للغاية ولا يمكن فهمه. في الواقع، كل شيء بسيط، فقط الكلمة أجنبية.
المعاش هومسلسل تطابقالمدفوعات عبر نفس الشيءفترات زمنية. هذا المصطلح هو "ترجمة" حرفية للكلمة الإنجليزية دخل سنوي، وهو ما يعني "مبلغ ثابت يُدفع كل عام". سيتذكر الأشخاص الذين يتحدثون الإنجليزية أيضًا كلمة "سنوي"، والتي تعني "سنوي". كلتا الكلمتين تأتي من الكلمة اللاتينية سنوي- سنويا. وبالتالي، فإن كلمة الأقساط نفسها تحتوي على إشارة إلى التكرار السنوي للمدفوعات.
على الخط الزمني (أو المقياس الزمني)، يمكن تصوير التدفقات النقدية السنوية، على سبيل المثال، على النحو التالي (الشكل 1): 
في الوقت الحالي، لا يشير القسط السنوي إلى سلسلة من الدفعات السنوية المتطابقة فحسب، بل يشير أيضًا إلى أي سلسلة من الدفعات بنفس المبلغ، بغض النظر عن تكرارها. يمكن أن تكون هذه دفعات سنوية أو ربع سنوية أو شهرية. يبقى الشيء الرئيسي: المعاش هوبعض تطابقالمدفوعات (التدفقات النقدية) من خلال نفس الشيءفترات زمنية. على سبيل المثال الراتب. إذا كان راتبك ثابتًا طوال العام، فإن التدفق النقدي الشهري على شكل راتب هو راتب سنوي مع فترة سداد شهرية. مثال آخر: إذا اشتريت شيئًا ما بالتقسيط، فإن دفعاتك الشهرية للبنك ستكون أيضًا معاشًا سنويًا.
بعض المصطلحات الأخرى. يمكن أن تكون المعاشات التقاعدية قبل العدد أو بعد العدد. هذه المصطلحات الجميلة والغامضة تعني فقط لحظة الدفع: com.prenumerandoيعني الدفعات في بداية كل فترة زمنية، com.postnumerando- في نهايته. تُستخدم هذه المصطلحات، التي جاءت إلينا على ما يبدو من اللاتينية، في الكتب المدرسية أو الأوراق الرسمية. سأتحدث باللغة الروسية: التدفقات النقدية مع الدفع في نهاية العام أو في بداية العام.
تتناول هذه المقالة أمثلة لحساب المعاشات السنوية البسيطة التي تتساوى فيها فترة السداد وفترة الفائدة مع بعضهما البعض. أي أنه إذا استحقت الفائدة لمدة عام على سبيل المثال، فإن الدفعات ستكون سنوية. أو يتم احتساب الفائدة شهريًا ويتم سداد الدفعات شهريًا أيضًا. هناك معاشات سنوية تكون فيها هذه الفترات غير متماثلة (فترات الدفع وفترات الفائدة)، ولكن هذه حسابات أكثر تعقيدًا. لن أتطرق إليهم. يجب على أي شخص يريد فهم هذا الموضوع بالتفصيل الرجوع إلى الكتب المدرسية حول الرياضيات المالية.
أولا، دعونا نتذكر ما هو الخصم والتراكم. تمت مناقشة هذا بمزيد من التفصيل في المقالة السابقة. وتناولت خصم وزيادة التدفق النقدي الواحد، أي مبلغ واحد من المال. الخصم يعني حساب القيمة الحالية للتدفق النقدي المستقبلي. بمعنى، إذا كنت بحاجة إلى ادخار مبلغ معين بحلول تاريخ ما في المستقبل، فباستخدام الخصم يمكنك حساب المبلغ الذي تحتاج إلى إيداعه في البنك اليوم.
التراكم هو الحركة من اليوم إلى الغد: حساب القيمة المستقبلية للأموال التي لديك اليوم. إذا قمت بإيداع أموال في حساب مصرفي، فإن معرفة سعر البنك سيسمح لك بحساب مقدار الأموال التي ستحتفظ بها في حسابك في أي وقت في المستقبل.
بالطبع لا يمكن تطبيق المضاعفة والخصم إذا كنت تحتفظ بأموالك في المنزل. كل هذه الحسابات صالحة فقط إذا كان بإمكانك استثمار أموالك: ضعها في حساب مصرفي أو قم بشراء سندات الدين.
لا ينطبق الخصم والمضاعفة على تدفق نقدي واحد فحسب، بل ينطبق أيضًا على سلسلة من التدفقات النقدية، ويمكن أن تكون المبالغ النقدية بأي حجم. وهناك حالة خاصة لمثل هذه التدفقات النقدية المتعددة المعاشات.
كما يمكن خصم وزيادة التدفقات النقدية السنوية، أي يمكن تحديد قيمتها الحالية والمستقبلية.
على سبيل المثال، يعد هذا ضروريًا عندما نحتاج إلى الاختيار بين خيارين معروضين علينا لتلقي الأموال. دون معرفة المبادئ الأساسية للرياضيات المالية، يمكنك ارتكاب خطأ واختيار خيار غير مواتٍ لك بشكل واضح. وهذا ما يستخدمه المشاركون الأكثر دراية في السوق المالية، أي البنوك.
مثال 1.لنأخذ مثالا مجردا. لنفترض أنك بحاجة إلى اختيار الأفضل:
المجموع هو 5 * 25000 = 125000، وهو ما يبدو أفضل من 100000 دولار. ولكن هل هو كذلك؟ بعد كل شيء، المال لديه أيضا قيمة "الوقت". لنفترض أن سعر الفائدة البنكي في الوقت الحالي في بلد معين هو 10%.
الخيار (ب) هو خيار الأقساط البسيط. لكن لا يعلم الجميع أن هذا هو بالضبط ما يطلق عليه. لمقارنة هذين الخيارين مع بعضهما البعض (أيهما أكثر ربحية؟)، تحتاج إلى إحضارهما إلى نفس النقطة الزمنية، لأن قيمة المال في نقاط زمنية مختلفة مختلفة. في هذه الحالة، من الضروري خصم التدفق النقدي السنوي (B)، أي. احسب قيمته اليوم. إذا كانت القيمة المخصومة للقسط السنوي أكبر من 100000 دولار، فإن الخيار الثاني هو الأفضل عند سعر فائدة معين.
تعلمنا في المقالة السابقة كيفية خصم مبلغ واحد. يمكن إجراء نفس الحسابات هذه المرة، لكن سيتعين عليك تكرارها 5 مرات.
على هذا المقياس الزمني، بالإضافة إلى الدفع بمبلغ 25000، يتم رسم عوامل الخصم المقابلة لكل فترة. الواردة في المادة السابقة حول الخصم.
إذا قمت بخصم (أي جلب إلى اللحظة الحالية) كل مبلغ على حدة، فسوف تحصل على جدول مثل هذا:
هنا يتم ضرب مبلغ الدفعة بعامل الخصم المقابل لكل سنة. في المجموع، خمس دفعات بقيمة 25.000 في نهاية كل عام بعد الخصم تبلغ قيمتها 94.770، أي أقل قليلاً من 100.000 اليوم. لذلك، فإن 100000 اليوم بمعدل 10٪ سيكون أكثر ربحية من القسط السنوي المقترح لمدة 5 سنوات عند 25000.
هذا المثال مهم ليس فقط لتوضيح القيمة الزمنية للنقود مرة أخرى. يتضح من الجدول كيف يمكن تبسيط الحساب القيمة المخفضة للمعاش.بدلاً من خصم كل مبلغ على حدة، يمكنك إضافة جميع عوامل الخصم وضربها مرة واحدة فقط:
25.000*(0.9091+0.8264+0.7513+0.6830+0.6209) وهو نفس 25.000* 3,7908 =94,770
من هذا المثال من السهل استخلاص الرياضيات صيغة لحساب القيمة المخصومة للمعاش.
أولاً، دعونا نتذكر كيف تبدو صيغة الخصم:
PV = FV*1/(1+R) ن
عامل الخصم هو 1/(1+ص)ن- هذا هو 0.9091، 0.8264، الخ. في مثالنا.
صيغة المعاش(لحساب القيمة المخصومة للتدفقات النقدية السنوية)
بف = فف *
يمكن تمثيل التعبير بين قوسين مربعين رياضيًا، ولكن من غير المرجح أن يكون هذا ضروريًا لمعظم الناس. وهذا ما يسمى عامل القسط السنوي، أو عامل خصم القسط السنوي، والاسم الدقيق ليس مهما. في المثال أعلاه، هذا المعامل يساوي 3,7908 .
من المفيد جدًا أن تكون قادرًا على استخدام جداول هذه المعاملات لحساب القيمة الحالية (المخفضة) للتدفق النقدي السنوي. تسمح لك هذه الجداول بحل مشاكل خصم الأقساط البسيطة بسرعة. ويرد أدناه مثال على جدول الخصم هذا:
إذا كان أي شخص يحتاج بالضبط صيغة المعاش، وبشكل أكثر دقة صيغة عامل خصم القسط السنوي، فها هي:
عامل خصم المعاش: 1/ر — 1/(ر*(1+ر) ن)
القيمة المخصومة من المعاش: PV = الدفع مضروبا في المعامل
في المثال أعلاه، أخذنا في الاعتبار القيمة المخصومة للتدفق النقدي. أي أنهم أوصلوا قيمة التدفق النقدي إلى النقطة الزمنية الحالية. يمكنك أيضًا حل المشكلة العكسية - اكتشف ذلك القيمة المستقبلية للمعاش(التدفق النقدي السنوي).
مثال 2.في المثال الأول، يمكننا حساب القيمة المستقبلية لكلا الخيارين. إذا انتقلنا من مجال الرياضيات البحتة إلى مستوى الحياة، فعلينا أن نختار أيهما أفضل:
بالنسبة للخيار الأول، يمكنك استخدامه (موجود في المقالة السابقة).
بالنسبة للخيار (أ)، يتم حساب القيمة المستقبلية ببساطة: 100000 دولار في 5 سنوات ستساوي 100000 * 1.6105 = 161.050 دولارًا
بالنسبة للخيار (ب)، فإن الوضع أكثر تعقيدًا إلى حد ما. 
نريد أن نعرف المبلغ الذي سيكون لدينا في حسابنا خلال 5 سنوات إذا قمنا بتوفير 25000 دولار .في نهايةالمطافكل عام. أي أننا سنقوم بالدفعة الأخيرة ونحسب على الفور المبلغ الذي وفرناه. لتجنب الأخطاء، من الأفضل التوقيع على معاملات الزيادة المقابلة لكل سنة على المقياس الزمني. سيتم سداد الدفعة الأولى في نهاية السنة الأولى، مما يعني أنه بعد 5 سنوات لن تستحق الفائدة إلا لمدة 4 سنوات. وفقًا لذلك، سنتلقى فائدة على الدفعة الثانية لمدة 3 سنوات، وعلى الدفعة الثالثة - لمدة عامين، وعلى الدفعة الرابعة - لمدة عام واحد، وأخيرًا، بعد إيداع الأموال للمرة الخامسة، ستظل هناك فائدة على الدفعة الأخيرة (أي أنه يجب ضربه بـ 1.10 أس صفر!)
25,000*(1,1) 4 +25,000*(1,1) 3 + 25,000*(1,10) 2 + 25,000*(1,10) 1 + 25,000 (1,10) 0 وهو ما يساوي
25,000*1,4641 + 25,000*1,3310 +25,000*1,2100 +25,000*1,1000 + 25,000*1 = 25,000*6,1051 = 152,628
القيمة المستقبلية للقسط السنوي (الخيار ب) تساوي $152,628, وهو أقل بكثير من $161,050 (الخيار أ). وهذا يعني أن إيداع 100000 دولار في حساب مصرفي اليوم أكثر ربحية من إيداع 25000 دولار .في نهايةالمطافكل سنة من السنوات الخمس القادمة. هذا الاستنتاج صالح لمعدل البنك بنسبة 10٪ سنويا.
لحساب القيمة المستقبلية للتدفقات النقدية السنوية، توجد أيضًا جداول للمعاملات. في هذه الحالة، يمكن استخدام هذا الجدول لحساب المعاشات السنوية مع الدفعات في نهاية الفترة الزمنية (أي ما بعد العدد).
لمحبي الرياضيات صيغة المعاشلحساب قيمته المستقبلية يبدو كما يلي:
معدل نمو المعاش: FV = الدفع مضروبا في المعامل,
حيث يكون المعامل: [(1+ص)ن – 1]/ر
لقد كان معاشًا سنويًا مع الدفعات في نهاية كل عام ( com.postnumerando).
مثال 3.يمكننا أن نفكر في مثال آخر. كم سنتراكم في حساب مصرفي إذا قمنا بإيداع 25000 لكل منهما بدايةكل عام وليس في النهاية؟ سيكون هذا ما يسمى بالمعاش السنوي المسبق، دعنا نسميه الخيار ب. يمكن تصوير هذا التدفق النقدي على نطاق زمني بهذه الطريقة:
وكما يتبين من الشكل، يتم سداد دفعات قدرها 25000 في بداية كل فترة سنوية. على سبيل المثال، قررت إيداع مبلغ 25000 دولار في حسابك البنكي كل عام في الأول من يناير. ستمنحنا الدفعة الأولى فائدة على 5 سنوات، والثانية على 4 سنوات فائدة، والثالثة على 3 سنوات فائدة، والرابع على سنتين فائدة، وأخيراً الدفعة التي يتم سدادها في بداية السداد السنة الخامسة سوف تعطينا سنة واحدة من الفائدة. أخذته من الجدول المقابل، والذي يمكن فتحه عبر الرابط.
25,000*1,6105+25,000*1,4641 +25,000*1,3310 + 25,000*1,2100 + 25,000*1,1000 = 25,000* (1,6105+1,4641+1,3310+1,2100+1,1000) = 25,000*6,7156 = 167,890
وبالتالي، إذا بدأت بإيداع 25000 كل عام في بداية الفترة السنوية وقمت بذلك لمدة 5 سنوات، فبعد 5 سنوات سيكون المبلغ في الحساب مساوياً لـ $167,890 . يعد هذا الخيار (ب) أكثر ربحية من الخيارين (أ) و(ب)، اللذين تمت مناقشتهما سابقًا.
وكما يتبين من المثالين الأخيرين، فإن لحظة سداد الدفعات لها أهمية كبيرة: في بداية الفترة أو في نهايتها. ولذلك، إذا كنت بحاجة إلى حساب القيمة المخصومة أو المستقبلية لأي تدفقات نقدية، فمن المستحسن السحب، الذي تلاحظ عليه المبالغ والمعاملات المقابلة لكل فترة.
كيف يمكن أن تكون هذه الحسابات مفيدة في الحياة؟
في الأمثلة أعلاه، تمت مناقشة أمثلة مجردة للمعاشات التقاعدية. لكننا نواجه أيضًا تدفقات نقدية سنوية في الحياة الواقعية. على سبيل المثال، سيكون من المثير للاهتمام حساب المبلغ الذي يمكنك تجميعه في حساب التوفير إذا قمت بادخار جزء من راتبك كل شهر. وبطريقة مماثلة، سيكون من الممكن حساب، على سبيل المثال، القيمة المخصومة لجميع مدفوعات قرض السيارة. تشكل المدفوعات للبنك عند شراء سيارة (وليس مجرد سيارة) عن طريق الائتمان راتبًا سنويًا. ستكون قيمتها المخفضة (المخفضة إلى اليوم) هي تكلفة السيارة المشتراة. يمكنك معرفة المبلغ الذي تدفعه أكثر من اللازم عند شراء سيارة بالائتمان مقارنةً بشراء سيارة ودفع المبلغ بالكامل مقدمًا. سيكون من الممكن أيضًا مقارنة عروض القروض من البنوك المختلفة. المشكلة الوحيدة في مثل هذه الحسابات هي اختيار معدل الخصم الشهري الصحيح.
القسط الدائم هو القسط السنوي الذي تستمر دفعاته إلى أجل غير مسمى. بمعنى آخر، إنها سلسلة من المدفوعات المتماثلة التي تستمر إلى الأبد. يكون هذا الخيار ممكنًا، على سبيل المثال، إذا كان لديك وديعة في أحد البنوك، وقمت بسحب الفائدة السنوية فقط، وظل المبلغ الأساسي للإيداع دون تغيير. بعد ذلك، إذا لم يتغير سعر الفائدة على الودائع، فسيكون لديك ما يسمى.
في العصر الفيكتوري، عاش جميع الأرستقراطيين الإنجليز على الفوائد من عاصمتهم. فكلما زاد رأس المال في البنك، كلما أمكن إنفاق المزيد من الأموال على الحياة دون الحاجة إلى العمل. كان رأس المال موروثًا، ومن الناحية النظرية (إذا لم يكن هناك إفلاس بنوك وحروب وتضخم) يمكن أن يستمر هذا إلى الأبد.
القيمة المستقبلية للقسط السنوي الدائم لا معنى لها لأن الدفعات تستمر إلى أجل غير مسمى. ومع ذلك، فإن القيمة الحالية للمعاش الدائم هي مبلغ محدود يمكن حسابه باستخدام الصيغة:
PV = الدفع/R،
حيث R هو سعر البنك %، PV هي القيمة الحالية
على سبيل المثال، إذا كنت ترغب في سحب فائدة من حسابك بمبلغ 500000 روبل سنويًا، وكان سعر الفائدة البنكي السنوي 8٪، فهذا يعني أن مبلغ الإيداع في الحساب البنكي يجب أن يساوي:
500000/0.08 = 6250000 روبل (PV).
في هذه الحالة (ما لم يتم سحب ترخيص البنك أو إفلاس البنك نفسه)، يمكنك سحب هذه الفائدة بشكل مستمر لفترة غير محدودة من الزمن. والشيء الوحيد الذي يمكن أن يعطل هذه الصورة المثالية هو التضخم، الذي تنخفض بسببه قيمة الأموال. لذلك، مع مرور الوقت، فإن الفائدة المسحوبة ستجلب فوائد مادية أقل وأقل.
استطراد فلسفي لأولئك الذين قرأوا هذا الحد.
ولكي يكون الإيجار أبديا، لا بد من الحفاظ على رأس المال الذي نتلقى منه هذا الإيجار. هذا القانون لا ينطبق فقط على العالم المالي. تعيش البشرية على الإيجار الطبيعي، فهي تستخدم موارد الكوكب، والتي للأسف، قابلة للاستنفاد. إذا أخذت الكثير من الطبيعة، فسوف يجف الإيجار الطبيعي. إن استنزاف موارد الأرض يحدث أمام أعيننا.
في الصيد التقليدي، يتم صيد الأسماك شيئًا فشيئًا، لكن هذا يمكن أن يستمر إلى الأبد. تحتاج المدن الصناعية إلى أسماك ذات تنوع ونوعية معينة، والتي يتم اصطيادها بواسطة أسطول الصيد الصناعي. السفن الكبيرة تسعى فقط لتحقيق الربح ولا تحترم المحيط. وفي الوقت الحالي، تم استنفاد 80% من مناطق الصيد في أوروبا. ووفقا للعلماء، فإن الصيد الصناعي سوف يختفي بحلول عام 2050. "إيجار" الصيد سوف يستنفد نفسه. كم عدد الموارد الأخرى التي ستبقى للبشرية خلال 35-50 سنة؟
"إن العالم كبير بما يكفي لتلبية احتياجات كل شخص، ولكنه أصغر من أن يرضي جشع الإنسان." المهاتما غاندي
كوكب الأرض لنا الوحيدمنزل. هل نفكر في هذا؟
يمكنك حساب دخلك المحتمل على الوديعة بنفسك، دون الاعتماد على حاسبات الدخل المنشورة على مواقع المؤسسات المصرفية. توضح هذه المقالة، باستخدام أمثلة محددة، كيفية حساب الدخل على الودائع مع رسملة الفائدة (ربع سنوي، شهري، يومي، مستمر) وكيفية حساب المعدل الفعلي على الودائع مع الرسملة.
