مفهوم الشكل التربيعي. مصفوفة الشكل التربيعي. الشكل القانوني للشكل التربيعي. طريقة لاغرانج. عرض عادي للشكل التربيعي. رتبة وفهرس وتوقيع النموذج التربيعي. موجب شكل تربيعي محدد. التربيعية.
مفهوم الشكل التربيعي:دالة على مساحة متجهة محددة بواسطة متعددة الحدود متجانسة من الدرجة الثانية في إحداثيات المتجه.
الشكل التربيعي من نالمجهولات عبارة عن مجموع، كل حد منه هو إما مربع أحد هذه المجهولات، أو حاصل ضرب مجهولين مختلفين.
المصفوفة التربيعية:تسمى المصفوفة بمصفوفة ذات صورة تربيعية على أساس معين. إذا كانت خاصية المجال لا تساوي 2، يمكننا أن نفترض أن مصفوفة الشكل التربيعي متماثلة، أي.
اكتب مصفوفة ذات صورة تربيعية:
لذلك،
في صورة المصفوفة المتجهة، يكون الشكل التربيعي كما يلي:
الشكل القانوني للشكل التربيعي:يسمى الشكل التربيعي الكنسي إذا كان كل شيء على سبيل المثال.
يمكن اختزال أي شكل تربيعي إلى الشكل القانوني باستخدام التحويلات الخطية. في الممارسة العملية، عادة ما تستخدم الطرق التالية.
طريقة لاغرانج : الاختيار المتسلسل للمربعات الكاملة. على سبيل المثال، إذا
ثم يتم تنفيذ إجراء مماثل مع الصيغة التربيعية، وما إلى ذلك. إذا لم يكن كل شيء في الصورة التربيعية، فبعد التحويل الأولي، يعود الأمر إلى الإجراء الذي تم النظر فيه. لذلك، إذا، على سبيل المثال، فإننا نفترض
الصورة العادية للشكل التربيعي:الصيغة التربيعية العادية هي صيغة تربيعية قانونية تكون فيها جميع المعاملات مساوية لـ +1 أو -1.
رتبة وفهرس وتوقيع النموذج التربيعي:رتبة الشكل التربيعي أويسمى رتبة المصفوفة أ. لا تتغير رتبة الشكل التربيعي في ظل التحويلات غير المنحلة للمجهول.
ويسمى عدد المعاملات السالبة بمؤشر الشكل السلبي.
يُطلق على عدد المصطلحات الإيجابية في الشكل القانوني مؤشر القصور الذاتي الإيجابي للشكل التربيعي ، ويسمى عدد المصطلحات السالبة بالمؤشر السلبي. يسمى الفرق بين المؤشرات الموجبة والسالبة بتوقيع الصورة التربيعية
صيغة تربيعية محددة موجبة:يُطلق على الشكل التربيعي الحقيقي اسم موجب محدد (محدد سالب) إذا كان لأي قيم حقيقية للمتغيرات التي ليست صفرًا في نفس الوقت،
في هذه الحالة، تسمى المصفوفة أيضًا محددة موجبة (محددة سالبة).
فئة الأشكال الإيجابية المحددة (السلبية المحددة) هي جزء من فئة الأشكال غير السلبية (غير الإيجابية).
رباعيات:رباعي - ن-السطح الفائق الأبعاد ن+1- البعد الفضاء، ويعرف بأنه مجموعة الأصفار من كثيرة الحدود من الدرجة الثانية. إذا قمت بإدخال الإحداثيات ( س 1 , س 2 , س ن+1 ) (في الفضاء الإقليدي أو المتقارب)، المعادلة العامة للمعادلة التربيعية هي
يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة بشكل أكثر إحكاما في تدوين المصفوفة:
حيث س = ( س 1 , س 2 , س ن+1 ) — ناقل الصف، س T هو ناقل منقول، س- مصفوفة الحجم ( ن+1)×( ن+1) (من المفترض أن يكون أحد عناصره على الأقل غير صفر)، صهو ناقلات الصف، و ر- ثابت. غالبًا ما يتم أخذ المعادلات التربيعية على الأعداد الحقيقية أو المعقدة بعين الاعتبار. يمكن توسيع التعريف ليشمل المعادلات التربيعية في الفضاء الإسقاطي، انظر أدناه.
وبشكل أكثر عمومية، تُعرف مجموعة الأصفار في نظام المعادلات متعددة الحدود بالتنوع الجبري. وبالتالي، فإن التربيعية هي مجموعة جبرية (متقاربة أو إسقاطية) من الدرجة الثانية والبعد المشترك 1.
تعريف التحول المستوي. كشف الحركة. خصائص الحركة. والحركات نوعان: حركة النوع الأول، وحركة النوع الثاني. أمثلة على الحركات. التعبير التحليلي للحركة. تصنيف الحركات المستوية (اعتماداً على وجود نقاط ثابتة وخطوط ثابتة). مجموعة من الحركات الطائرة.
تعريف تحويل المستوى: التعريف.يسمى التحويل المستوي الذي يحافظ على المسافة بين النقاط حركة(أو حركة) الطائرة. يسمى التحول المستوي نسيب، إذا حولت أي ثلاث نقاط تقع على نفس الخط إلى ثلاث نقاط تقع أيضًا على نفس الخط وفي نفس الوقت تحافظ على العلاقة البسيطة بين النقاط الثلاث.
تعريف الحركة:هذه هي تحويلات الشكل التي تحافظ على المسافات بين النقاط. إذا تم محاذاة رقمين بدقة مع بعضهما البعض من خلال الحركة، فإن هذه الأرقام هي نفسها، متساوية.
خصائص الحركة:كل حركة تحافظ على اتجاه المستوى هي إما ترجمة متوازية أو دوران؛ كل حركة تغيير اتجاه المستوى هي إما تناظر محوري أو تناظر منزلق. عند التحرك، تتحول النقاط الواقعة على خط مستقيم إلى نقاط تقع على خط مستقيم، ويتم الحفاظ على ترتيب مواقعها النسبية. عند التحرك، يتم الحفاظ على الزوايا بين نصف الخطوط.
نوعان من الحركات: حركة النوع الأول، وحركة النوع الثاني:الحركات من النوع الأول هي تلك الحركات التي تحافظ على اتجاه قواعد شكل معين. يمكن تحقيقها من خلال الحركات المستمرة.
والحركات من النوع الثاني هي تلك الحركات التي تغير اتجاه القواعد إلى العكس. لا يمكن تحقيقها بالحركات المستمرة.
ومن أمثلة الحركات من النوع الأول الانتقال والدوران حول خط مستقيم، والحركات من النوع الثاني هي التماثلات المركزية والمرآة.
إن تكوين أي عدد من الحركات من النوع الأول هو حركة من النوع الأول.
إن تركيب عدد زوجي من حركات النوع الثاني هو حركة من النوع الأول، وتركيب عدد فردي من حركات النوع الثاني هو حركة من النوع الثاني.
أمثلة على الحركات:النقل الموازي. دع a يكون المتجه المعطى. النقل الموازي إلى المتجه a هو تعيين المستوى على نفسه، حيث يتم تعيين كل نقطة M إلى النقطة M 1، بحيث يكون المتجه MM 1 مساويًا للمتجه a.
الترجمة الموازية هي حركة لأنها رسم خريطة للمستوى على نفسه، مع الحفاظ على المسافات. يمكن تمثيل هذه الحركة بصريًا على أنها تحول للمستوى بأكمله في اتجاه متجه معين a بطوله.
استدارة.دعونا نشير إلى النقطة O على المستوى ( مركز تحول) وضبط الزاوية α ( زاوية الدوران). دوران المستوى حول النقطة O بزاوية α هو تعيين المستوى على نفسه، حيث يتم تعيين كل نقطة M إلى النقطة M 1، بحيث تكون OM = OM 1 والزاوية MOM 1 تساوي α. في هذه الحالة، تظل النقطة O في مكانها، أي يتم تعيينها على نفسها، وتدور جميع النقاط الأخرى حول النقطة O في نفس الاتجاه - في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة (يوضح الشكل دورانًا عكس اتجاه عقارب الساعة).
الدوران هو حركة لأنه يمثل رسمًا للمستوى على نفسه، حيث يتم الحفاظ على المسافات.
التعبير التحليلي للحركة:العلاقة التحليلية بين إحداثيات الصورة الأولية وصورة النقطة لها الشكل (1).
تصنيف الحركات المستوية (اعتماداً على وجود نقاط ثابتة وخطوط ثابتة): التعريف:
تكون النقطة على المستوى ثابتة (ثابتة) إذا تحولت إلى نفسها في ظل تحويل معين.
مثال: في التماثل المركزي، تكون نقطة مركز التماثل ثابتة. عند الدوران، تكون نقطة مركز الدوران ثابتة. في التماثل المحوري، الخط الثابت هو خط مستقيم - محور التماثل هو خط مستقيم من النقاط الثابتة.
النظرية: إذا لم يكن للحركة نقطة ثابتة واحدة، فإن لها على الأقل اتجاهًا ثابتًا واحدًا.
مثال: النقل الموازي. وفي الواقع، فإن الخطوط المستقيمة الموازية لهذا الاتجاه ثابتة كشكل ككل، على الرغم من أنها لا تتكون من نقاط ثابتة.
النظرية: إذا تحرك شعاع فإن الشعاع يترجم إلى نفسه، وهذه الحركة إما أن تكون تحولاً متطابقاً أو تناظراً بالنسبة إلى الخط المستقيم الذي يحتوي على الشعاع المعطى.
لذلك، بناءً على وجود نقاط أو أرقام ثابتة، من الممكن تصنيف الحركات.
| اسم الحركة | نقاط ثابتة | خطوط ثابتة |
| حركة من النوع الأول. | ||
| 1. - بدوره | (الوسط) - 0 | لا |
| 2. تحويل الهوية | جميع نقاط الطائرة | كل شيء على التوالي |
| 3. التماثل المركزي | النقطة 0 - المركز | جميع الخطوط التي تمر عبر النقطة 0 |
| 4. النقل الموازي | لا | كل شيء على التوالي |
| حركة من النوع الثاني. | ||
| 5. التماثل المحوري. | مجموعة من النقاط | محور التماثل (الخط المستقيم) جميع الخطوط المستقيمة |
مجموعة الحركة الطائرة:في الهندسة، تلعب مجموعات من التركيبات الذاتية للأشكال دورًا مهمًا. إذا كان هناك شكل معين على مستوى (أو في الفضاء)، فيمكننا النظر في مجموعة كل حركات المستوى (أو الفضاء) التي يتحول خلالها الشكل إلى نفسه.
هذه المجموعة هي مجموعة. على سبيل المثال، بالنسبة للمثلث متساوي الأضلاع، فإن مجموعة الحركات المستوية التي تحول المثلث إلى نفسه تتكون من 6 عناصر: الدوران عبر الزوايا حول نقطة والتماثلات حول ثلاثة خطوط مستقيمة.
تظهر في الشكل. 1 خطوط حمراء. يمكن تحديد عناصر مجموعة المحاذاة الذاتية للمثلث العادي بشكل مختلف. لشرح ذلك، دعونا نرقم رؤوس مثلث منتظم بالأرقام 1، 2، 3. أي محاذاة ذاتية للمثلث تأخذ النقاط 1، 2، 3 إلى نفس النقاط، ولكن بترتيب مختلف، أي. يمكن كتابتها بشكل مشروط على شكل أحد هذه الأقواس:
حيث تشير الأرقام 1، 2، 3 إلى أرقام تلك القمم التي تذهب إليها القمم 1، 2، 3 نتيجة للحركة قيد النظر.
مفهوم الفضاء الإسقاطي ونموذج الفضاء الإسقاطي. الحقائق الأساسية للهندسة الإسقاطية. مجموعة الخطوط المتمركزة عند النقطة O هي نموذج للمستوى الإسقاطي. النقاط الإسقاطية. المستوى الممتد هو نموذج للمستوى الإسقاطي. يعد الفضاء المتقارب ثلاثي الأبعاد أو الفضاء الإقليدي نموذجًا للفضاء الإسقاطي. صور الأشكال المسطحة والمكانية في التصميم المتوازي.
مفهوم الفضاء الإسقاطي ونموذج الفضاء الإسقاطي:
المساحة الإسقاطية فوق الحقل عبارة عن مساحة تتكون من خطوط (مسافات فرعية أحادية البعد) لبعض المساحة الخطية فوق حقل معين. يتم استدعاء المساحات المباشرة النقاطالفضاء الإسقاطي. ويمكن تعميم هذا التعريف على هيئة تعسفية
إذا كان له بعد، فإن بُعد الفضاء الإسقاطي يسمى رقمًا، ويُشار إلى الفضاء الإسقاطي نفسه ويُسمى مرتبطًا به (للإشارة إلى ذلك، تم اعتماد الترميز).
يُطلق على الانتقال من الفضاء المتجه ذي البعد إلى الفضاء الإسقاطي المقابل الإسقاطفضاء.
يمكن وصف النقاط باستخدام الإحداثيات المتجانسة.
الحقائق الأساسية للهندسة الإسقاطية:الهندسة الإسقاطية هي فرع من فروع الهندسة يدرس المستويات والمساحات الإسقاطية. السمة الرئيسية للهندسة الإسقاطية هي مبدأ الازدواجية، الذي يضفي تناسقًا أنيقًا على العديد من التصميمات. يمكن دراسة الهندسة الإسقاطية من وجهة نظر هندسية بحتة، ومن وجهة نظر تحليلية (باستخدام إحداثيات متجانسة) ووجهة نظر جبرية، مع الأخذ في الاعتبار المستوى الإسقاطي كهيكل فوق الحقل. في كثير من الأحيان، وتاريخيًا، يعتبر المستوى الإسقاطي الحقيقي هو المستوى الإقليدي مع إضافة "الخط عند اللانهاية".
أما خصائص الأشكال التي تتعامل بها الهندسة الإقليدية فهي قياس(قيم محددة للزوايا والقطاعات والمساحات)، وتكافؤ الأشكال يعادلها التطابق(أي عندما يمكن ترجمة الأشكال إلى بعضها البعض من خلال الحركة مع الحفاظ على الخصائص المترية)، هناك المزيد من الخصائص "العميقة" للأشكال الهندسية التي يتم الحفاظ عليها في ظل تحويلات من نوع أكثر عمومية من الحركة. تتعامل الهندسة الإسقاطية مع دراسة خصائص الأشكال الثابتة ضمن الفصل التحولات الإسقاطيةوكذلك هذه التحولات نفسها.
تُكمل الهندسة الإسقاطية الهندسة الإقليدية من خلال تقديم حلول جميلة وبسيطة للعديد من المشكلات المعقدة بسبب وجود الخطوط المتوازية. النظرية الإسقاطية للمقاطع المخروطية بسيطة وأنيقة بشكل خاص.
هناك ثلاث طرق رئيسية للهندسة الإسقاطية: البديهية المستقلة، وتكامل الهندسة الإقليدية، والبنية على المجال.
بديهية
يمكن تعريف الفضاء الإسقاطي باستخدام مجموعة مختلفة من البديهيات.
توفر كوكستر ما يلي:
1. يوجد خط مستقيم ونقطة ليست عليه.
2. يحتوي كل سطر على ثلاث نقاط على الأقل.
3. من خلال نقطتين يمكنك رسم خط مستقيم واحد بالضبط.
4. إذا أ, ب, ج، و د- نقاط مختلفة و أ.بو قرص مضغوطتقاطع إذن مكيف الهواءو دينار بحرينيتتقاطع.
5. إذا اي بي سيإذا كان مستوى، فهناك نقطة واحدة على الأقل ليست في المستوى اي بي سي.
6. يتقاطع مستويان مختلفان في نقطتين على الأقل.
7. النقاط القطرية الثلاث للشكل الرباعي الكامل ليست على خط واحد.
8. إذا كانت ثلاث نقاط على الخط X X
يتم تعريف المستوى الإسقاطي (بدون البعد الثالث) من خلال بديهيات مختلفة قليلاً:
1. من خلال نقطتين يمكنك رسم خط مستقيم واحد بالضبط.
2. أي خطين متقاطعين.
3. هناك أربع نقاط، ثلاث منها ليست على خط مستقيم.
4. النقاط القطرية الثلاثة للأشكال الرباعية الكاملة ليست على خط واحد.
5. إذا كانت ثلاث نقاط على الخط Xثابتة فيما يتعلق بإسقاطية φ، ثم كل النقاط Xثابت بالنسبة لـ φ.
6. نظرية ديسارج: إذا كان مثلثان منظورين من خلال نقطة ما، فإنهما منظوران من خلال خط.
في وجود بعد ثالث، يمكن إثبات نظرية ديسارج دون تقديم نقطة وخط مثاليين.
المستوى الممتد - نموذج المستوى الإسقاطي:في الفضاء التقاربي A3 نأخذ حزمة من الخطوط S(O) مركزها عند النقطة O ومستوى Π لا يمر عبر مركز الحزمة: O 6∈ Π. مجموعة الخطوط في الفضاء المتقارب هي نموذج للمستوى الإسقاطي. دعونا نحدد تعيينًا لمجموعة نقاط المستوى Π على مجموعة الخطوط المستقيمة للوصلة S (اللعنة، صلوا إذا كان لديك هذا السؤال، سامحني)
الفضاء المتقارب أو الإقليدي الممتد ثلاثي الأبعاد – نموذج للفضاء الإسقاطي:
من أجل جعل التعيين شاملاً، نكرر عملية تمديد المستوى التقاربي Π رسميًا إلى المستوى الإسقاطي Π، مع استكمال المستوى Π بمجموعة من النقاط غير المناسبة (M∞) مثل: ((M∞)) = ف0(س). نظرًا لأن الصورة المعكوسة لكل مستوى من حزمة المستويات S(O) في الخريطة هي خط على المستوى d، فمن الواضح أن مجموعة جميع النقاط غير الصحيحة للمستوى الممتد: Π = Π ∩ (M∞) ، (M∞)، يمثل خطًا غير مناسب d∞ للمستوى الممتد، وهو الصورة العكسية للمستوى المفرد Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) دعونا نتفق على أننا هنا ومن الآن فصاعدا سوف نفهم المساواة الأخيرة P0(O) = Π0 بمعنى المساواة في مجموعات من النقاط، ولكنها تتمتع ببنية مختلفة. من خلال استكمال المستوى التقاربي بخط غير مناسب، تأكدنا من أن التعيين (I.21) أصبح موضوعيًا على مجموعة جميع نقاط المستوى الممتد:
صور الأشكال المسطحة والمكانية أثناء التصميم المتوازي:
في القياس المجسم، تتم دراسة الأشكال المكانية، ولكن في الرسم يتم تصويرها كأشكال مسطحة. كيف ينبغي تصوير الشكل المكاني على المستوى؟ عادة في الهندسة، يتم استخدام التصميم المتوازي لهذا الغرض. دع p يكون بعض الطائرة ، ل- خط مستقيم يتقاطع معها (الشكل 1). من خلال نقطة تعسفية أ، لا ينتمي إلى الخط ل، ارسم خطًا موازيًا للخط ل. تسمى نقطة تقاطع هذا الخط مع المستوى p بالإسقاط الموازي للنقطة أإلى المستوى p في اتجاه الخط المستقيم ل. دعونا نشير إلى ذلك أ". إذا كانت النقطة أينتمي إلى الخط ل، ثم عن طريق الإسقاط الموازي أتعتبر نقطة تقاطع الخط على المستوى p لمع الطائرة ص.
وهكذا كل نقطة أالفضاء تتم مقارنة إسقاطه أ" على المستوى p. تسمى هذه المراسلات الإسقاط المتوازي على المستوى p في اتجاه الخط المستقيم ل.
مفهوم التحول الإسقاطي للطائرة. أمثلة على التحولات الإسقاطية للطائرة. خصائص التحولات الإسقاطية. التماثل، خصائص التماثل. مجموعة من التحولات الإسقاطية.
مفهوم التحول الإسقاطي للطائرة:مفهوم التحول الإسقاطي يعمم مفهوم الإسقاط المركزي. إذا قمنا بإسقاط مركزي للمستوى α على مستوى ما α 1، فسيتم إسقاط α 1 على α 2، و α 2 على α 3، ... وأخيرًا، بعض المستوى α نمرة أخرى على α 1، فإن تكوين كل هذه الإسقاطات هو التحول الإسقاطي للمستوى α؛ ويمكن أيضًا تضمين التوقعات المتوازية في مثل هذه السلسلة.
أمثلة على تحويلات المستوى الإسقاطي:التحويل الإسقاطي للمستوى المكتمل هو رسم خرائط واحد لواحد على نفسه، حيث يتم الحفاظ على العلاقة الخطية المتداخلة للنقاط، أو بعبارة أخرى، صورة أي خط هي خط مستقيم. أي تحول إسقاطي هو تكوين لسلسلة من الإسقاطات المركزية والمتوازية. التحويل التقاربي هو حالة خاصة من التحويل الإسقاطي، حيث يتحول الخط عند اللانهاية إلى نفسه.
خصائص التحولات الإسقاطية:
أثناء التحويل الإسقاطي، يتم تحويل ثلاث نقاط لا تقع على خط إلى ثلاث نقاط لا تقع على خط.
أثناء التحول الإسقاطي، يتحول الإطار إلى إطار.
أثناء التحويل الإسقاطي، يتحول الخط إلى خط مستقيم، ويتحول قلم الرصاص إلى قلم رصاص.
التماثل، خصائص التماثل:
يسمى التحويل الإسقاطي للمستوى الذي يحتوي على خط من النقاط الثابتة، وبالتالي قلم رصاص من الخطوط الثابتة، بالتماثل.
1. الخط الذي يمر عبر نقاط التماثل المقابلة غير المتطابقة هو خط ثابت؛
2. الخطوط التي تمر عبر نقاط التماثل المتناظرة غير المتطابقة تنتمي إلى نفس قلم الرصاص الذي يكون مركزه نقطة ثابتة.
3. النقطة وصورتها ومركز التماثل تقع على نفس الخط المستقيم.
مجموعة التحولات الإسقاطية:ضع في اعتبارك التعيين الإسقاطي للمستوى الإسقاطي P 2 على نفسه، أي التحويل الإسقاطي لهذا المستوى (P 2 ’ = P 2).
كما كان من قبل، تكوين f للتحولات الإسقاطية f 1 و f 2 للمستوى الإسقاطي P 2 هو نتيجة التنفيذ المتسلسل للتحولات f 1 و f 2: f = f 2 °f 1 .
النظرية 1: المجموعة H لجميع التحولات الإسقاطية للمستوى الإسقاطي P 2 هي مجموعة فيما يتعلق بتكوين التحولات الإسقاطية.
فوق الميدان ك (\displaystyle K)و ه 1 , ه 2 , … , ه n (\displaystyle e_(1),e_(2),\dots ,e_(n))- أساس في إل (\displaystyle L).
الشكل الثنائي القطبي إلى الشكل التربيعي الموجب المحدد يفي بجميع بديهيات الضرب النقطي.
في حال ك = ص (\displaystyle K=\mathbb (R))(مجال الأعداد الحقيقية)، لأي شكل تربيعي هناك أساس تكون مصفوفته قطرية، والشكل نفسه له عرض قانوني(العرض العادي):
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2 , 0 ≥ p , q ≥ r , p + q = r , (∗) (\displaystyle Q(x) =x_(1)^(2)+\cdots +x_(p)^(2)-x_(p+1)^(2)-\cdots -x_(p+q)^(2),\quad \ 0\leq ص،q\leq r،\quad p+q=r،\qquad (*))أين ص (\displaystyle r)- رتبة الشكل التربيعي. في حالة الشكل التربيعي غير المنحل ص + ف = ن (\displaystyle p+q=n)، وفي حالة الانحطاط - ع+ف<
n
{\displaystyle p+q
لتقليل الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني، عادة ما يتم استخدام طريقة لاغرانج أو تحويلات الأساس المتعامد، ويمكن إحضار الشكل التربيعي المحدد إلى الشكل القانوني بأكثر من طريقة.
رقم ف (\displaystyle ف)( مصطلحات سلبية ) تسمى مؤشر القصور الذاتينظرا للشكل التربيعي، والعدد ص − ف (\displaystyle p-q)(يسمى الفرق بين عدد المصطلحات الإيجابية والسلبية). إمضاءشكل تربيعي. لاحظ أنه في بعض الأحيان يكون توقيع النموذج التربيعي هو الزوج (ص , ف) (\displaystyle (p,q)). أعداد ص , ف , ص − ف (\displaystyle p,q,p-q)هي ثوابت من الشكل التربيعي، أي لا تعتمد على طريقة اختزاله إلى الشكل القانوني ( قانون سيلفستر للقصور الذاتي).
في حال ك = ج (\displaystyle K=\mathbb (C))(مجال الأعداد المركبة)، لأي شكل تربيعي هناك أساس يكون فيه النموذج هو الشكل القانوني
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2 , (∗ ∗) (\displaystyle Q(x)=x_(1)^(2)+\cdots +x_(r)^(2),\qquad ( **))أين ص (\displaystyle r)- رتبة الشكل التربيعي. وهكذا، في الحالة المعقدة (على عكس الحالة الحقيقية)، يكون للشكل التربيعي رتبة واحدة ثابتة، وجميع الأشكال غير المتدهورة لها نفس الشكل القانوني (مجموع المربعات).
أثبت شهر سبتمبر أنه شهر قوي لجميع فئات الأصول. ووفقا لـ "المال"، فإن جميع الاستثمارات تقريبا قدمت نتائج إيجابية. وفي الوقت نفسه، جاء أعلى الدخل من الاستثمارات في الذهب، والتي استفادت ليس فقط من ارتفاع تكلفة المعدن الثمين، ولكن أيضًا من ضعف الروبل. تم جلب أرباح عالية للمستثمرين من خلال الفئات الرئيسية لصناديق الاستثمار المشتركة والودائع وكذلك معظم الأسهم الروسية. أصبحت صناديق السندات، التي حظيت بشعبية كبيرة في السنوات الأخيرة، غير مربحة، وكذلك أسهم سبيربنك، التي يمكن أن تعاني أكثر من غيرها في حالة تشديد العقوبات الأمريكية.
فيتالي كابيتونوف
وبعد خمسة أشهر، أصبح الذهب هو الاستثمار الأفضل عائدًا لهذا الشهر. وفقًا لـ "Money"، بعد أن استثمر 100 ألف روبل في المعدن الثمين في 15 أغسطس، يمكن للمستثمر أن يحصل على ما يقرب من 5 آلاف روبل في الشهر. دخل. وهذه هي ثاني أعلى نتيجة شهرية هذا العام. يمكن للمستثمر أن يكسب أكثر في أبريل - 9.3 ألف روبل.
يعود العائد المرتفع على الاستثمار في المعدن الثمين جزئيًا فقط إلى الزيادة في سعره. ومنذ منتصف أغسطس، ارتفع سعر الذهب بنسبة 2.4% ليصل إلى 1205 دولارًا للأونصة. ويعكس هذا توقعات التضخم في الولايات المتحدة. ووفقا لوزارة التجارة الأمريكية، تباطأ التضخم في البلاد من 2.9% في يوليو إلى 2.7% في أغسطس، لكنه لا يزال أعلى من أهداف بنك الاحتياطي الفيدرالي. وبالتالي، يستمر التضخم في الارتفاع، مما سيسمح لبنك الاحتياطي الفيدرالي برفع أسعار الفائدة دون تغييرات جذرية. حصل المعدن الثمين على دعم من الأخبار التي تفيد بأن السلطات الأمريكية والكندية تواصل بذل محاولات لإيجاد حل وسط بشأن اتفاقية نافتا الجديدة. وقال ميخائيل شيبي، استراتيجي السلع الأولية في سبيربنك لأبحاث الاستثمار: "هذه الأخبار تخفف المخاوف التجارية التي أثرت على سوق الذهب وتدعم الدولار". وعزز تأثير ارتفاع أسعار الذهب ارتفاع سعر صرف الدولار في روسيا (+2.5%). ونتيجة لذلك، جلبت استثمارات الروبل في المعدن الثمين دخلاً كبيرًا.
ومع ذلك، يقول المشاركون في السوق إنه يجب التعامل مع الاستثمارات الإضافية في الذهب بحذر. ويظل الخطر الرئيسي للاستثمار في المعدن الثمين هو تصاعد المواجهة التجارية بين الولايات المتحدة والصين. يقول ميخائيل شيبي: "تم استبعاد عامل الضغط السياسي، مما يعني أن ظهور حواجز جديدة هو أمر محسوم عمليا. وهذا التطور للأحداث سلبي بالنسبة للذهب، لأن الطلب على الدولار كأصل وقائي سيزداد". .
ما الدخل الذي جلبته الاستثمارات في الذهب (٪)
المصادر: بلومبرج، رويترز، سبيربنك.
تظل صناديق الاستثمار المشتركة من بين المنتجات المالية الأكثر ربحية، وقد تمكنت بعض منتجات شركات الإدارة من توفير هوامش ربح تتجاوز هامش الذهب. وفي أكتوبر/تشرين الأول، كانت الاستثمارات الأكثر نجاحاً في صناديق الأسهم الصناعية التي تركز على شركات المعادن والاتصالات والنفط والغاز. وفقًا لـ "Money"، استنادًا إلى بيانات من Investfunds، بحلول نهاية الشهر، كانت الاستثمارات في هذه الصناديق ستجلب مستثمري القطاع الخاص من 2.2 ألف روبل إلى 5.2 ألف روبل.
كما قدمت فئات أخرى من الصناديق أرباحًا عالية: صناديق المؤشرات، والاستثمارات المختلطة، وسندات اليورو. يمكن للصناديق في هذه الفئات جلب مستثمريها من 200 روبل. ما يصل إلى 4 آلاف روبل لكل 100 ألف استثمار.
وحققت صناديق السندات التي يفضلها مستثمرو القطاع الخاص نتائج سلبية. تعتبر الأموال في هذه الفئة محافظة، وبالتالي فإن خسائر المستثمرين من القطاع الخاص كانت رمزية - تصل إلى 1000 روبل. في مثل هذه الظروف، بدأ المستثمرون في جني الأرباح في صناديق السندات. وفقًا لـ Investfunds، قام مستثمرو التجزئة في أغسطس بسحب 4 مليارات روبل روسي من صناديق السندات. لقد انسحبوا بشكل أسرع من الأموال في هذه الفئة في ديسمبر 2014. ثم، على خلفية انخفاض قيمة صرف الروبل والارتفاع السريع في الأسعار في السوق المحلية، قام المستثمرون بسحب أكثر من 4.5 مليار روبل من الأموال.
يستخدم المستثمرون جزئيًا السيولة المحررة لشراء صناديق الأسهم الأكثر خطورة. وتجاوز حجم الاستثمارات في صناديق هذه الفئة في أغسطس 3.5 مليار روبل، أي 500 مليون روبل. أكثر من حجم مناطق الجذب في يوليو. ويتزايد الطلب على الاستراتيجيات المحفوفة بالمخاطر للشهر السادس على التوالي، ويستحوذ حجم الاستثمارات على حصة أكبر بشكل متزايد من إجمالي التدفق إلى صناديق التجزئة. صناديق الاتصالات السلكية واللاسلكية والنفط والغاز هي في الطلب الأكبر بين المستثمرين.
ما الدخل الذي جلبته الاستثمارات في صناديق الاستثمار المشتركة (٪)
|
المصادر: الرابطة الوطنية للمديرين، صناديق الاستثمار.
ارتفع الغرباء في أغسطس - الأسهم - إلى المركز الثالث من المركز الرابع في تصنيف المال. خلال الشهر الماضي، كانت الاستثمارات في مؤشر بورصة موسكو ستجلب لمستثمري التجزئة 3.4 ألف روبل. وفي الوقت نفسه، فإن بداية الفترة قيد الاستعراض لم تنبئ بمثل هذه النتيجة العالية. وفي الفترة من 15 إلى 18 أغسطس، انخفض مؤشر بورصة موسكو بنسبة 1.2%. لكن الوضع تحسن بعد 24 أغسطس. وعلى مدى ثلاثة أسابيع، قفز المؤشر بنسبة 5% تقريباً، ليصل إلى 2374 نقطة. وهذا أقل بنقطتين فقط من أعلى مستوى على الإطلاق المسجل في مارس.
ومع ذلك، في شهر سبتمبر، أظهرت العديد من مؤشرات الأسهم في البلدان النامية والمتقدمة ديناميكيات إيجابية. ووفقا لتقديرات بلومبرج، نمت المؤشرات الروسية بالقيمة الدولارية بنسبة 4.4% فقط. وأظهرت المؤشرات التركية فقط نموًا أقوى، حيث ارتفعت بنسبة 5.9-6.3%. ومن بين مؤشرات الدول المتقدمة، كان الرائد هو مؤشر FTSE MIB الإيطالي، الذي أضاف 3.4% خلال الشهر.
ارتفعت أسهم ALROSA و Gazprom و MMC Norilsk Nickel و Magnit بشكل أكبر: يمكن للمستثمر أن يكسب على هذه الأوراق المالية 4.2-8.3 ألف روبل. لكل مائة ألف استثمار. وفقًا لأنطون ستارتسيف، المحلل الرئيسي في شركة Olma Investment Company، فإن اهتمام المستثمرين بالأوراق المالية ALROSA كان مدعومًا بتصريح وزير المالية أنطون سيلوانوف بأن الشركة يمكنها استخدام 75٪ من صافي أرباحها لدفع أرباح الأسهم.
كان الاستثناء من الصورة العامة هو أسهم RusHydro، وRostelecom، وAeroflot، التي كانت الاستثمارات فيها ستؤدي إلى خسارة ما لا يقل عن 200 روبل. ما يصل إلى 1.4 ألف روبل. كان الحد الأقصى للخسائر للمستثمرين الذين استثمروا الأموال في الأوراق المالية لسبيربنك - 2.1 ألف روبل. ولا تزال أسهمه تحت ضغط من تعليقات مسؤولي وزارة الخارجية الأمريكية، الذين لا يستبعدون احتمال فرض عقوبات على البنك في نوفمبر. مثل هذه الاحتمالات تخيف المستثمرين الدوليين وتجبرهم على الخروج ليس فقط من منطقة OFZ، بل وأيضا الأوراق المالية للبنك.
ويقول المحللون إنه بعد الانهيار في أغسطس وسبتمبر، أصبحت أسهم سبيربنك جذابة للاستثمار. يقول ALOR Broker: "من المحتمل جدًا حدوث انتعاش في الأوراق المالية لأكبر بنك روسي، ومخاطر مشترياتهم مبررة تمامًا في الوقت الحالي، يجب على المستثمرين على المدى المتوسط التركيز على تثبيت الأرباح في منطقة 180 روبل للسهم الواحد". المحلل أليكسي أنتونوف.
ما الدخل الذي جلبته الاستثمارات في الأسهم (٪)
|
لذلك، وفقًا لنظرية تبسيط الصورة التربيعية، لأي صورة تربيعية \(A(x,x)\) هناك أساس قانوني \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\) \)، لذلك بالنسبة لأي متجه \(x\)، \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k\eta _k ^2. \] بما أن \(A(x,x)\) ذات قيمة حقيقية، وتغييرات الأساس لدينا تتضمن أيضًا أرقامًا حقيقية فقط، فإننا نستنتج أن الأرقام \(\lambda _k\) حقيقية. ومن بين هذه الأرقام موجب وسالب ويساوي الصفر.
تعريف. يتم استدعاء الرقم \(n_+\) من الأعداد الموجبة \(\lambda _k\). مؤشر تربيعي إيجابي \(A(x,x)\)، يتم استدعاء الرقم \(n_-\) من الأرقام السالبة \(\lambda _k\) مؤشر تربيعي سلبي ، يتم استدعاء الرقم \((n_++n_-)\). رتبة الشكل التربيعي . إذا \(n_+=n\)، يتم استدعاء الصيغة التربيعية إيجابي .
بشكل عام، لا يتم تحويل الشكل التربيعي إلى شكل قطري بطريقة فريدة. السؤال الذي يطرح نفسه: هل تعتمد الأرقام \(n_+\)، \(n_-\) على اختيار الأساس الذي يكون فيه الشكل التربيعي قطريًا؟
نظرية (قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية). لا تعتمد المؤشرات الإيجابية والسلبية للشكل التربيعي على طريقة اختزاله إلى الشكل القانوني.
يجب أن تكون هناك قاعدتان أساسيتان، \(\(f\)\)، \(\(g\)\)، بحيث يتم تمثيل أي متجه \(x\) بالشكل: \[ x=\sum_(k =1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] و \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k ^2= \sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] اجعل بين \(\lambda _k\) أول \(p\) موجبًا، والباقي إما سالبًا أو صفرًا، بين \(\mu_m\) \(s\) الأول إيجابية والباقي إما سلبي أو صفر. نحن بحاجة إلى إثبات أن \(p=s\). لنعيد كتابة (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_ ( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] لذلك كل المصطلحات في كلا طرفي المعادلة غير سلبيين. لنفترض أن \(p\) و \(s\) غير متساويين، على سبيل المثال، \(p
لقد أثبتنا أن المؤشرات الإيجابية تتزامن. وبالمثل، يمكننا أن نثبت أن المؤشرات السلبية تتطابق أيضًا. إلخ.
1. تحويل الأشكال التربيعية إلى مجموع المربعات:
أ) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);
الدروس الفردية عبر الإنترنت: أرسل طلبك الآن: [البريد الإلكتروني محمي]§ 4. قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية. تصنيف الأشكال التربيعية
1. قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية. وقد سبق أن لاحظنا (انظر الملاحظة 2 من الفقرة 1 من الفقرة السابقة) أن رتبة الشكل التربيعي تساوي عدد المعاملات القانونية غير الصفرية. وبالتالي، فإن عدد المعاملات القانونية غير الصفرية لا يعتمد على اختيار التحويل غير المنحط الذي يتم من خلاله تقليل الشكل A(x, x) إلى الشكل القانوني. في الواقع، مع أي طريقة لتقليل الشكل A(x, x) إلى الشكل القانوني، فإن عدد المعاملات القانونية الموجبة والسالبة لا يتغير. تسمى هذه الخاصية قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية.
قبل الانتقال إلى تبرير قانون القصور الذاتي، دعونا نبدي بعض الملاحظات.
دع النموذج A(x, x) في الأساس e = (e 1, e 2,..., e n) يتم تحديده بواسطة المصفوفة A(e) = (a ij):
حيث ξ 1، ξ 2، ...، ξ n هي إحداثيات المتجه x في الأساس e. لنفترض أن هذا النموذج تم اختزاله إلى الشكل القانوني باستخدام تحويل الإحداثيات غير المنحل
و π 1 , π 2 ,..., π ك- المعاملات القانونية غير الصفرية، مرقمة بحيث تكون أول q من هذه المعاملات موجبة، والمعاملات التالية سالبة:
ẫ 1 > 0, ẫ 2 > 0, ..., π س> 0, π ف+1< 0, ..., λ k <0.
خذ بعين الاعتبار تحويل الإحداثيات غير المنحل التالي μ i (من السهل أن نرى أن محدد هذا التحويل غير صفر):
ونتيجة لهذا التحول، فإن الشكل A(x, x) سيأخذ الشكل
يسمى الشكل العادي للشكل التربيعي.
لذلك، باستخدام بعض التحويلات غير المنحلة للإحداثيات ξ 1، ξ 2، ...، ξ n للمتجه x في الأساس e = (e 1، e 2،...، e n)
(هذا التحويل هو نتاج التحولات ξ إلى μ و μ إلى η وفقًا للصيغ (7.30)) يمكن اختزال الشكل التربيعي إلى الشكل العادي (7.31).
دعونا نثبت العبارة التالية.
النظرية 7.5 (قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية). لا يعتمد عدد الحدود ذات المعاملات الإيجابية (السلبية) في الصورة العادية للشكل التربيعي على طريقة اختزال النموذج إلى هذا الشكل.
دليل. دع النموذج A(x, x) يتم اختزاله إلى الشكل العادي (7.31) باستخدام تحويل الإحداثيات غير المنحل (7.32) ويتم تقليله إلى الشكل العادي باستخدام تحويل الإحداثيات غير المنحل
من الواضح أنه لإثبات النظرية يكفي التحقق من المساواة p = q.
دع ع > ف. دعونا نتأكد من أنه في هذه الحالة يوجد متجه غير صفري x بحيث أنه فيما يتعلق بالقواعد التي يكون فيها النموذج A(x, x) بالشكل (7.31) و (7.33)، فإن الإحداثيات η 1، η 2، ...، η q و ζ Р+1، ...، ζ نمن هذا المتجه يساوي الصفر:
η 1 = 0، η 2 = 0، ...، η ف = 0، ζ Р+1 = 0، ...، ζ n = 0 (7.34)
منذ الإحداثيات η أنايتم الحصول عليها عن طريق التحويل غير المنحط (7.32) للإحداثيات ξ 1، ...، ξ n، والإحداثيات ζ أنا- باستخدام تحويل مماثل غير منحط لنفس الإحداثيات ξ 1، ...، ξ n، ثم يمكن اعتبار العلاقات (7.34) كنظام من المعادلات المتجانسة الخطية للإحداثيات ξ 1، ...، ξ n ل المتجه المطلوب x في الأساس e = ( e 1, e 2,..., e n) (على سبيل المثال، في الشكل الموسع، تكون العلاقة η 1 = 0، وفقًا لـ (7.32)، بالشكل a 11 ξ 1 + أ 12 ξ 2 + أ 1 ن ξ ن= 0) - بما أن p > q، فإن عدد المعادلات المتجانسة (7.34) أقل من n، وبالتالي فإن النظام (7.34) لديه حل غير الصفر فيما يتعلق بالإحداثيات ξ 1، ...، ξ n لل المتجه المطلوب x. وبالتالي، إذا كانت p > q، فهناك متجه غير صفري x تكون العلاقات (7.34) مرضية له.
دعونا نحسب قيمة النموذج A(x, x) لهذا المتجه x. وبالانتقال إلى العلاقات (7.31) و(7.33)، نحصل على
المساواة الأخيرة لا يمكن أن تتم إلا في حالة η q+1 = ... = η k = 0 و ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ Р = 0.
وهكذا، في بعض الأساس جميع الإحداثيات ζ 1، ζ 2، ...، ζ نالمتجه غير الصفري x يساوي الصفر (انظر آخر المعادلات والعلاقات (7.34))، أي. المتجه x يساوي الصفر. ولذلك فإن الافتراض p > q يؤدي إلى التناقض. لأسباب مماثلة، الافتراض ص< q.
لذا ف = ف. لقد تم إثبات النظرية.
2. تصنيف الأشكال التربيعية. في الفقرة 1 من البند 2 من هذا الفصل (انظر التعريف 2)، تم تقديم مفاهيم الأشكال التربيعية المحددة الموجبة والسالبة والمتناوبة وشبه الإشارة.
في هذا القسم، باستخدام مفاهيم مؤشر القصور الذاتي ومؤشرات القصور الذاتي الإيجابية والسلبية للشكل المربع، سنشير إلى كيفية معرفة ما إذا كان الشكل التربيعي ينتمي إلى واحد أو آخر من الأنواع المذكورة أعلاه. في هذه الحالة، سيكون مؤشر القصور الذاتي بالشكل التربيعي هو عدد المعاملات القانونية غير الصفرية لهذا الشكل (أي رتبته)، ومؤشر القصور الذاتي الإيجابي هو عدد المعاملات القانونية الموجبة، ومؤشر القصور الذاتي السلبي عدد المعاملات القانونية السلبية معاملات. ومن الواضح أن مجموع مؤشرات القصور الذاتي الإيجابية والسلبية يساوي مؤشر القصور الذاتي.
لذلك، دع مؤشر القصور الذاتي، مؤشرات القصور الذاتي الإيجابية والسلبية على الشكل التربيعي A(x، x) يساوي k، p و q (k = p + q)، على التوالي، في الفقرة السابقة ثبت ذلك في أي الأساس القانوني f = (f 1 , f 2 , ..., f n) يمكن اختزال هذا النموذج إلى الشكل العادي التالي:
حيث η 1، η 2، ...، η n هي إحداثيات المتجه x في الأساس f.
1°. شرط ضروري وكاف لعلامة الشكل التربيعي. البيان التالي هو الصحيح.
من أجل أن يكون الشكل التربيعي A(x, x)، المحدد في الفضاء الخطي ذو الأبعاد n L، ذو علامة محددة، فمن الضروري والكافي أن يكون إما المؤشر الموجب للقصور الذاتي p أو المؤشر السلبي للقصور الذاتي q يساوي البعد n للفراغ L .
علاوة على ذلك، إذا كانت p = n، فإن الصورة تكون موجبة محددة، ولكن إذا كانت q = n، فإن الصورة تكون سالبة محددة.
دليل. وبما أن حالات الصورة المحددة الموجبة والصورة المعرفة السالبة تعتبران متشابهتين، فسوف نقوم ببرهان العبارة على الصور المحددة الموجبة.
1) الضرورة. دع الصيغة A(x,x) تكون موجبة ومحددة. ثم التعبير (7.35) سوف يأخذ الشكل
أ(س,س) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η Р 2.
إذا كان في نفس الوقت ص< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0، η 2 = 0، ...، η Р = 0، η п+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
تختفي الصورة A(x,x) وهذا يتناقض مع تعريف الصورة التربيعية الموجبة المحددة. لذلك، ع = ن.
2) الكفاية. دع ع = ن. ثم العلاقة (7.35) لها الصيغة A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η Р 2. من الواضح أن A(x, x) ≥ 0، وإذا كانت A = 0، فإن η 1 = η 2 = ... = η ن= 0، أي أن المتجه x هو صفر. لذلك، A(x, x) هي صيغة محددة موجبة.
تعليق. لتوضيح مسألة العلامة المحددة للصورة التربيعية باستخدام المعيار المشار إليه، لا بد من إعادة هذه الصورة إلى صورتها القانونية.
في القسم التالي سوف نثبت معيار سيلفستر للعلامة المحددة للصورة التربيعية، والذي يمكننا من خلاله توضيح مسألة العلامة المحددة لصورة معينة على أي أساس دون الاختزال إلى الصورة القانونية.
2°. شرط ضروري وكاف لتناوب علامات الشكل التربيعي. دعونا نثبت العبارة التالية.
لكي يكون الشكل التربيعي متناوبًا، من الضروري والكافي أن يكون كلا من مؤشرات القصور الذاتي الموجبة والسالبة لهذا الشكل مختلفًا عن الصفر.
دليل. 1) الضرورة. وبما أن الشكل البديل يأخذ قيمًا موجبة وسالبة، فإن تمثيله G.35) في الشكل العادي يجب أن يحتوي على مصطلحات موجبة وسالبة (وإلا فإن هذا النموذج سيأخذ قيمًا غير سالبة أو غير موجبة). وبالتالي، فإن مؤشرات القصور الذاتي الإيجابية والسلبية ليست صفرية.
2) الكفاية. دع ≠ 0 و q ≠ 0. ثم للمتجه x 1، مع الإحداثيات η 1 ≠ 0، ...، η ≠ 0، η Р+1 = 0، ...، η n = 0لدينا A(x 1 x 1) > 0، وبالنسبة للمتجه x 2 بإحداثيات η 1 = 0, ..., η Р = 0, η п+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0لدينا أ(س 2، × 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. شرط ضروري وكاف لتحديد شبه الإشارة للشكل التربيعي. البيان التالي هو الصحيح.
لكي تكون الصيغة A(x, x) شبه إشارة محددة، من الضروري والكافي أن تقام العلاقات التالية: إما p< n
,
q = 0, либо р = 0, q < n
.
دليل. وسوف ننظر في حالة وجود شكل محدد شبه علامة إيجابية. يتم التعامل مع حالة الشكل المحدد لشبه الإشارة السلبية بالمثل.
1) الضرورة. دع الصيغة A(x,x) تكون علامة شبه موجبة محددة. ومن الواضح أن q = 0 وp< n
(если бы р =
n
, то форма была бы положительно определенной),
2) الكفاية. إذا ص< n
, q = 0, то А(х, х)
≥ 0
и для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η
2 = 0,
..., η
р = 0, η п+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0لدينا A(x, x) = 0، أي A(x,x) هي صيغة محددة لشبه الإشارة الإيجابية.
3. معيار سيلفستر (جيمس جوزيف سيلفستر (1814-1897) - عالم رياضيات إنجليزي) لعلامة الشكل التربيعي. دع النموذج A(x, x) في الأساس e = (e 1, e 2,..., e n) يتم تحديده بواسطة المصفوفة A(e) = (a ij):
دعها تذهب Δ 1 = أ 11، 
- القصر الزاوي ومحدد المصفوفة (a ij). البيان التالي هو الصحيح.
النظرية 7.6 (معيار سيلفستر). لكي تكون الصيغة التربيعية A(x, x) موجبة ومحددة، من الضروري والكافي أن تكون المتباينات Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0 محققة.
لكي تكون الصورة التربيعية سالبة محددة، من الضروري والكافي أن تتناوب إشارات الزوايا الصغرى، بحيث تكون Δ 1< 0.
دليل. 1) الضرورة. دعونا نثبت أولاً أنه بشرط أن تكون الصيغة التربيعية A(x, x) محددة الإشارة فإنها تتبع Δ أنا ≠ 0، ط = 1، 2،...، ن.
دعونا نتأكد من أن الافتراض Δ ك= 0 يؤدي إلى تناقض - في ظل هذا الافتراض، هناك متجه غير صفري x له A(x, x) = 0، وهو ما يتعارض مع العلامة المحددة للنموذج.
لذلك دعونا Δ ك= 0. خذ بعين الاعتبار النظام المتجانس التربيعي التالي للمعادلات الخطية:
منذ Δ كهو المحدد لهذا النظام و Δ ك= 0، فإن النظام لديه حل غير صفري ξ 1، ξ 2، ...، ξ k (ليس كل ξ i يساوي 0). دعونا نضرب أول المعادلات (7.36) في ξ 1، والثانية في ξ 2، ...، والأخيرة في ξ k ونضيف العلاقات الناتجة. ونتيجة لذلك نحصل على المساواة 
، الجانب الأيسر منها يمثل قيمة الصيغة التربيعية A(x, x) لمتجه غير صفري x بإحداثيات (ξ 1, ξ 2, ..., ξ k, 0, ..., 0) . هذه القيمة هي صفر، وهو ما يتعارض مع العلامة المحددة للنموذج.
لذلك، نحن مقتنعون بأن Δ أنا≠ 0، ط = 1، 2،...، ن. لذلك، يمكننا تطبيق طريقة جاكوبي لاختزال الصيغة A(x, x) إلى مجموع المربعات (انظر النظرية 7.4) واستخدام الصيغ (7.27) للمعاملات الأساسية α أنا. إذا كانت A(x, x) صيغة محددة موجبة، فإن جميع المعاملات الأساسية تكون موجبة. ولكن من العلاقات (7.27) يترتب على ذلك أن Δ 1 > 0، Δ 2 > 0، ...، Δ n > 0. إذا كانت A(x, x) شكلًا سالبًا محددًا، فإن جميع المعاملات الأساسية تكون سلبية. ولكن بعد ذلك من الصيغ (7.27) يترتب على ذلك أن علامات الزوايا الصغرى تتناوب، و Δ 1< 0.
2) الكفاية. دع الشروط المفروضة على القصر الزاويين تتحقق أنافي صياغة النظرية. منذ Δ أنا≠ 0، i = 1، 2،...، n، ثم يمكن اختزال الشكل A إلى مجموع المربعات باستخدام طريقة جاكوبي (انظر النظرية 7.4)، والمعاملات الأساسية α أنايمكن العثور عليها باستخدام الصيغ (7.27). إذا كانت Δ 1 > 0، Δ 2 > 0، ...، Δ n > 0، فمن العلاقات (7.27) يترتب على ذلك أن جميع π أنا> 0، أي أن الصيغة A(x, x) موجبة ومحددة. إذا كانت العلامات Δ أناالبديل و Δ1< 0, то из соотношений (7.27) следует,
что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.
