معكوس نسبة التراكم. معدل البناء الفعال. الفائدة البسيطة: المبلغ المستحق والقيمة الحالية ومعدلات الاستحقاق والخصم

يتيح لك عامل الخصم تحديد قيمة شيء ما من الماضي في الوقت الحاضر أو ​​قيمته في المستقبل. يجدر التفكير في مثال بسيط: لنفترض أنك تتلقى بعض المبلغ في حسابك الجاري ، لأنه بمجرد قيامك باستثمار جيد وأنت الآن تتلقى أرباحًا مستحقة. هل يعني أن القيمة الحقيقية للاستثمار في الماضي هي الربح المحقق في الوقت الحاضر؟ إلى حد كبير. لكن ليس كل شيء غامضًا للغاية ، لأنك ما زلت بحاجة إلى تقييم المخاطر التي صاحبت هذا الاستثمار ، وهي موجودة دائمًا.

ومع ذلك ، هناك حالات تحتاج فيها الآن إلى إجابة السؤال عن القيمة المستقبلية أو الحالية لإجراء (إيجار أو أصل) في الماضي. من الواضح ، على وجه التحديد ، بالأرقام. مثال على هذه الحاجة هو تبرير طلب للحصول على قرض من البنك. دولار واحد اليوم أقل من دولار واحد غدا. وعندما توافق المؤسسة المالية على القرض ، فإنها تود أن ترى أن المقترض يفهم ذلك. لذلك ، عند إقراض مشروع ما ، من الضروري حساب التدفقات النقدية المخفضة ذات الطبيعة المختلفة: كل من الإيرادات والتكاليف.

لكن تطبيق إجراء الخصم لا يتم تنفيذه من قبل البنوك فقط. من نواحٍ عديدة ، يعد هذا ضروريًا لأصحاب المشاريع أنفسهم في عملية التخطيط لتجنب الأخطاء الفادحة في ربحية العمليات التجارية. وهذا جزئيًا سبب الإشارة إلى عامل الخصم أحيانًا على أنه القيمة الحقيقية للإيجار. يُقترح فهم عملية الحساب والمعنى الاقتصادي للنتائج التي تم الحصول عليها على صفحات هذه المقالة.

طبيعة معدل الخصم: تكلفة الوقت

الوقت قيم. صحيح ، وإن لم يكن متطابقًا. هذا القانون له أساس منطقي تم التحقق منه يكمن في مستوى الاقتصاد. يتعلق الأمر بإمكانية إنشاء سلع لها قيمة سوقية. لنفترض أن الشخص الذي لديه 10 دولارات في جيبه يشتري سلعة مشهورة بهذا المال - على سبيل المثال ، التفاح. ويلي ذلك إعادة بيعها بهامش 10٪ على سبيل المثال. تستغرق العملية بأكملها يومًا واحدًا. بعد ذلك ، في بداية اليوم التالي ، سيحصل الشخص بالفعل على 11 دولارًا ، وتكلفة يوم واحد تساوي دولارًا واحدًا.

إن القدرة ذاتها على استخدام الأموال لخلق قيمة مضافة هي التي تؤدي إلى طبيعة الفائدة لاستخدامها. مع ظهور الوقت الذي بدأت فيه الأسواق (بما في ذلك الأسواق المالية) العمل وفقًا للقواعد ، بدأت الفائدة على القروض التي تصدرها البنوك تعكس الفرصة الفعلية ومقدار الأرباح في الاقتصاد.

ويترتب على ذلك أن الفائدة ، كأرباح ، يمكن اعتبارها في توقعين:

1. نسبة المحاسبة (الفعلية). هذا هو المبلغ المحدد في اتفاقية القرض.
2. الفائدة الاقتصادية (الربح الاقتصادي). هذا هو زيادة الفائدة الفعلية على ربحية أفضل بديل استثماري لنفس الصناديق.

من السهل فهم هذا إذا كنت تأخذ منصب مؤسسة ائتمانية (بنك) ، تقرض الأموال. تفرض هذه المؤسسة الفائدة الفعلية على القرض. ولكن إذا كان هناك مشروع تجاري معين حيث يمكنك استثمار نفس الأموال ، بدلاً من إصدارها بموجب اتفاقية ائتمان. ثم يتم احتساب الفائدة الاقتصادية للبنك على أنها الفرق بين الفائدة التي تخضع لاتفاقية القرض وربحية المشروع البديل.

إذا كانت النسبة المئوية للمحاسبة إيجابية دائمًا ، فإن النسبة الاقتصادية بعيدة عن أن تكون دائمًا. تشير القيمة الإيجابية للمصلحة الاقتصادية إلى أن البنك (أو أي مشروع آخر في مكانه) اختار مجال نشاط ريادة الأعمال بشكل أكثر عقلانية. (لأن البديل الأفضل هو أقل ربحية من الأعمال الأساسية).

مثال ملموس: منذ عام 1995 ، أظهرت السندات الحكومية المحلية للاتحاد الروسي (GKO) معجزات الربحية. مع موثوقية 100٪ (حسب النظرية) ، أعطوا 50٪ ، 60٪ وحتى 85٪ ربحية سنويًا (مع تضخم لا يتجاوز 24٪ سنويًا). توقفت العديد من الشركات في الدولة فعليًا عن أنشطتها الأساسية ، حيث قامت بتحويل رأس مالها العامل إلى السوق المالية ، وتعميمها باستمرار بمساعدة GKOs. أولئك الذين كانوا يتمتعون بالذكاء السريع ، في وقت واحد مع مجموعة السندات ، قاموا بشراء العقود الآجلة للعملات من أجل التحوط من مخاطر التخلف عن السداد. شهد الجميع أزمة عام 1998 بأفضل ما يمكنهم ، ولكن في السنوات الثلاث الماضية شهدت البلاد تأثيرًا بديلًا ، عندما كانت الربحية الفائقة للدين العام ، كما لو كانت مع مكنسة كهربائية ، تمتص الأموال من الاقتصاد. ثم كانت النسبة الاقتصادية لأي نشاط في البلاد سلبية.

ليس من قبيل المصادفة أن يتم إعطاء مثال يتعلق بعائد السندات الحكومية. بالإضافة إلى وظائف تغطية عجز الميزانية ، فهي أداة فعالة تسمح للسلطات بتنظيم معدل الربح في الاقتصاد. العائد على السندات يسمى سعر الفائدة. في حالة صحية ، عندما تكون الأسواق أكثر كفاءة ، تكون الربحية الفعلية في مختلف الصناعات مساوية لمعدل الفائدة ، أي الفائدة الاقتصادية هي 0.

تم الاعتراف بالوضع في السوق الأوروبية على هذا النحو في نهاية عام 2016. سعر فائدة البنك المركزي الأوروبي من 10.03.2016 كان يساوي 0٪. في الوقت نفسه ، أنهى العديد من كبار المصنعين المعروفين في ألمانيا وإيطاليا وفرنسا العام بدون ربح اقتصادي. ومن هنا جاءت النتيجة - ليست النتيجة الاقتصادية الصفرية دائمًا تشير إلى تدني جودة إدارة الأعمال. في بعض الأحيان يكون هذا دليلاً على الكفاءة العالية للأسواق.

إن إثبات الأهمية النظرية والعملية لسعر الفائدة في الاقتصاد له أسبابه هنا. لنفترض ، لسبب ما ، أن الفرد بحاجة إلى معرفة رأس المال الذي سيكون لديه الآن إذا باع شقته قبل 3 سنوات. إذا أخذنا في الاعتبار استثمارات في عمل افتراضي ، أو ودائع في بنوك مختلفة وطرق أخرى ، فيمكننا أن نبتعد كثيرًا عن الموضوعية. كل هذه الاستثمارات تنطوي على مخاطر عالية (يمكنك أن تخسر كل شيء على الإطلاق). هذا هو السبب في أنه من المعتاد مراعاة سعر الفائدة على تلك الالتزامات التي تضمنها القوة المالية للدولة. ستكون هذه النسبة هي تكلفة الوقت المنقضي ، وهو هو معيار معدل الخصم.

الآن القليل من الرياضيات. في جميع الأمثلة الموضحة أعلاه ، تم تقديم الأساس المنطقي لاختيار معدل فائدة أو آخر. الآن نحن بحاجة إلى إجراء حسابات واضحة. سيساعدنا عامل الخصم في ذلك.

التعريف: عامل الخصم هو مؤشر يستخدم لجلب قيمة قيمة نقدية معينة إلى لحظة معينة (تسمى لحظة التخفيض).

يوضح هذا المؤشر بوضوح المبلغ الذي سنحصل عليه ، مع مراعاة عامل الوقت (أي بعد فترة معينة) ، بناءً على معدل خصم معين. المصطلح الأخير ، كما هو موضح في القسم السابق ، يتوافق مع سعر الفائدة على الالتزامات التي تضمنها الحكومة. صيغة عامل الخصم هي:

ن

معنى الأس n مثير للفضول. إن عدم ارتكاب خطأ هنا أهم بكثير من تحديد القيمة الصحيحة لسعر الخصم. يخبرنا N عدد المرات التي يمكننا فيها إعادة استثمار نتائج النشاط (أي الربح المحتمل المكتسب).

لنفترض أن مستأجرًا مبتدئًا اشترى منزلًا ريفيًا منذ 3 سنوات. يتذكر مبلغ الصفقة ، والأهم من ذلك أنه يتتبع قيمتها السوقية الحالية. ويود تقييم فعالية استثماره. لنفترض عددًا من الافتراضات: لنفترض أن المنزل قد تم شراؤه بمبلغ 1،000،000 دولار ، والآن يكلف 1،200،000 دولار ، وظل معدل الفائدة عند مستوى 15 ٪ لجميع السنوات الثلاث (للودائع السنوية في بنك الدولة). ثم ستبدو حساباته كما يلي:

• نحسب عامل الخصم:

1 / (1 + 0,15) 3 = 0,572

• نضرب القيمة الحالية للمنزل في عامل الخصم:

1 200 000 * 0,572 = 686 400

• نقارن هذه القيمة الحالية بسعر الشراء:

686 400 << 1 000 000

هذا يعني أن صاحب الريع أخطأ في التقدير. إذا لم يكن قد استثمر 1،000،000 في العقارات ، لكنه كان سيودع هذه الأموال في وديعة ، ففي هذه اللحظة كان بإمكانه شراء منزل ، وكان هناك الكثير (لأن شراء منزل مقابل 1،200،000 اليوم كان كذلك) ضروري منذ 3 سنوات ، ضع 686400 فقط على الوديعة).

نسبة البناء

لكن الصيغة أعلاه مناسبة ليس فقط لتسجيل النتائج الحالية لأخطاء الماضي. في كثير من الأحيان ، نحن مهتمون أكثر بحساب المقدار الذي يمكن أن يجلبه لنا هذا الاستثمار أو ذاك الآن في المستقبل. في هذه الحالة ، من المعتاد التحدث عن نسبة التراكم. صيغتها:

(1 + معدل الزيادة) ن

ن- عدد فترات الاستثمار حتى لحظة الاستقدام.

وهنا مرة أخرى سيساعد مثالنا مع التفاح على الفهم. أكمل الشخص دورة كاملة في يوم واحد. للتبسيط ، لنفترض أنه في نفس اليوم سيكون قادرًا على شراء أو بيع أي عدد من التفاح: على الأقل 10 ، 1000 على الأقل ، على الأقل 1000000 دولار للفرد في السنة سيصلح رأس المال بمبلغ:

$10 * (1+0,1) 365 = $12833055803133800

مبلغ هائل! ومع ذلك ، فهي تدرك مدى أهمية مؤشر فرص إعادة الاستثمار (في بعض الأحيان).

حسنًا ، ما هو معدل الفائدة السنوي لتوفير دخل مماثل. لا تحتاج إلى العد حتى تفهم - ستكون النسبة رائعة ، وشائن. بالطبع ، في الحياة الواقعية ، سيستغرق حجم الأعمال فترة أطول بكثير. وكلما زاد عدد التفاح ، زاد صعوبة بيعه. وسيهبط هامش 10٪ حتماً (بمجرد أن يبدأ العرض في الزيادة). ومع ذلك ، تم تضمين هذا المثال هنا لتوضيح مدى انتشار أهمية وقت إعادة الرسملة على قيمة النسبة المئوية الثابتة. حتى لو كانت هناك صفقة ، إذن لإمكانية تقليل شروط إعادة الاستثمار.

صافي القيمة الحالية

في عالم المال ، تتطور المواقف باستمرار عندما تكون نتيجة إجراء ما متباعدة في الوقت المناسب (ولا يهم ما إذا كان في الماضي أو الحاضر أو ​​حتى في المستقبل). ومع ذلك ، يجب تقديم هذه النتيجة بطريقة ما إلى رقم واحد ، على سبيل المثال ، لتكون قادرًا على المقارنة. وإذا كنا نتحدث عن الربح الذي تم تسجيله في الحساب الجاري للشركة مرة في الشهر لمدة خمس سنوات ، فكيف يمكننا تحويل كل شيء إلى رقم واحد؟ فقط لمقارنة هذا الرقم مع الاستثمار الأولي وتحديد فعالية الأعمال.

في هذه الحالة ، نتحدث عن حساب صافي القيمة الحالية (NPV) أو صافي القيمة الحالية (NPV) (وكذلك صافي القيمة الحالية أو حتى صافي القيمة الحالية). إنه مجموع القيم المخصومة لتدفق المدفوعات ، التي تم تخفيضها إلى يوم معين في الماضي. هذا اليوم في الماضي ، كقاعدة عامة ، هو اليوم الذي تم فيه الاستثمار. كما هو واضح من التعريف ، يتم حساب NPV عند تنفيذ إجراء التخطيط. على وجه الخصوص ، عند وضع خطط العمل.

للحصول على هذه القيمة ، يجب علينا خصم جميع مكونات التدفق النقدي (في حالتنا ، مؤشرات الربح الشهرية) وخصم كل منها باستخدام الصيغة:

1 / (1 + سعر الخصم) ن

بعد ذلك ، نلخص النتائج التي تم الحصول عليها ونطرح قيمة الاستثمار الأولي من هذا المبلغ. NPV الناتج هو الفرق بين جميع الإيصالات والنفقات النقدية في وقت الاستثمار. في الواقع ، هذا هو المبلغ المالي الذي يتوقع رائد الأعمال الحصول عليه من عمله بعد فترة زمنية محددة.

في الواقع ، نحصل على حجم الربح الاقتصادي (EP). بربطها بالاستثمار الأولي (PI) ، نحسب قيمة الفائدة الاقتصادية (الربحية) (ED):

ED = EP / PI * 100٪

هذا هو العائد الحقيقي على المشروع - مقدار ربحية هذا العمل المعين تتجاوز المستوى الاقتصادي العام.

يتم تقدير الإيجار ، الذي يتكون من إيصالات مالية ، على أنه مبلغ واحد ، والذي يتضمن القيمة الزمنية لجميع مكوناته. وبالتالي ، يمكن تفسير NPV كقيمة مضافة حقيقية ناتجة عن نشاط ريادة الأعمال (مهما كان مجال النشاط).

بالطبع ، من المهم للغاية هنا اختيار معدل الخصم المناسب. أعلاه ، كان اختيارها مبررًا على مستوى الاهتمام بالالتزامات التي تضمنها الدولة. لكن هذا ليس صحيحًا دائمًا ، ومثال التخلف عن السداد عام 1998 يؤكد ذلك. على الرغم من حقيقة أن هذه كانت سندات حكومية ، فقد انهار الهرم وخسر الكثير من الناس كل استثماراتهم. هل سيكون من الصحيح إذن في الحسابات استخدام نسبة 60٪ عالية الارتفاع من العائد الحقيقي على أذون الخزانة؟ بالطبع لا. لا يمكن الهدوء هنا إذا كانت كلمة "دولة" موجودة في اسم الأوراق المالية. تقييم المخاطر الصحيح هو المفتاح. للإشارة ، نحتاج إلى عائد يتوافق مع الحد الأدنى من المخاطر (من الناحية المثالية صفر). في حالة الاقتراض القوي بمساعدة GKOs ، كانت مخاطر التخلف عن السداد عالية للغاية وكانت واضحة بالفعل ابتداء من عام 1996.

معدل العائد الداخلي

معدل العائد الداخلي (IRR) هو معدل الفائدة المستخدم في حساب NPV.

IRR لديها الكثير لتفعله مع المثال أعلاه. الآن ، عند تبرير صافي القيمة الحالية في خطة عمل ، لا تحتاج إلى ربط الإيجار المربح بدقة بسعر الحكومة. سندات. يكفي إعلان معيار IRR معين وتبرير اختياره بحجتين:

1. بإعطاء مثال لمجال نشاط به ربحية أقل ومخاطر أقل ؛
2. ذكر نشاط آخر (لكنه مشابه في جوهره الاستثماري) ، ولكن بمخاطر أكبر وربحية أكبر.

ومع ذلك ، يتم "مطابقة" معدل العائد الداخلي ليس فقط وليس كثيرًا بالنسبة للدائنين المحتملين. بادئ ذي بدء ، معدل العائد الداخلي هو الهدف والمعيار لأصحاب الأعمال. هذا هو المعدل الذي سيتم قياس جميع العمليات على أساسه في المستقبل ، حتى في بيئة الأعمال المحيطة. وسيتم اتخاذ قرار الاستثمار في بعض الصناعات الأخرى بعد المقارنة التي لا غنى عنها لربحية المشروع المقترح مع معدل العائد الداخلي للمؤسسة الحالية.

هذا صحيح ليس فقط للشركات ولكن أيضًا على الأفراد. فقط في هذه الحالة ، يُفهم الاستثمار ، كقاعدة عامة ، على أنه مساهمة في أي مؤسسة مالية (سواء كانت بنكًا أو شركة سمسرة أو صندوق رأس مال استثماري). وكمعدل العائد الداخلي ، يتم استخدام معدل الفائدة على وديعة موجودة (على سبيل المثال) في بنك موثوق به تم اختباره عبر الزمن.

معدل IRR هو مقياس للعديد من العمليات في الحياة. في الواقع ، جميع الأفراد على الإطلاق ، دون استثناء ، لديهم معدل عائد داخلي داخلي خاص بهم! في النهاية ، هذا ما تريد أن تكافح من أجله. لذلك ، من المهم جدًا اختيار المستوى الصحيح. بعد كل شيء ، يمكن أن تؤدي القيمة العالية جدًا للمؤشر إلى المبالغة في التوقعات سواء في العمل أو في الحياة ، ويمكن أن يؤدي التقليل من القيمة إلى تقدير قاتل لقدرات الفرد.

. أساس حساب الفائدة المركبة ، على عكس الفائدة العادية ، لا يظل ثابتًا نوح - يزداد مع كل خطوة في الوقت المناسب. يزيد المبلغ المطلق للفائدة المشحونة والعمليةتتسارع الزيادة في حجم الدين. يمكن التفكير في تراكم الاهتمام على أنه تابع إعادة استثمار الأموال المستثمرة في مشاريع بسيطةسنتات عن فترة استحقاق واحدة (فترة التشغيل ). انضمغالبًا ما يتم استدعاء زيادة الفائدة المتراكمة إلى المبلغ الذي كان بمثابة أساس استحقاقها رسملة الفائدة.

لنجد صيغة لحساب المبلغ المستحق بموجب الشرط vii أن الفائدة يتم استحقاقها ورسملة قيمتها مرة واحدةعام (فائدة سنوية). للقيام بذلك ، قم بتطبيق من الصعب أن تصبح كابناء. لكتابة صيغة التراكم ، نستخدمهانفس التعيينات كما في صيغة البناء بالبساطةسنتات:

ص - المبلغ الأولي للدين (قروض ، ائتمان ، رأس ماللا ، وما إلى ذلك) ،

س - المبلغ المستحق في نهاية مدة القرض ،

ص - المدة ، عدد سنوات الزيادة ،

أنا - مستوى معدل الفائدة السنوية الذي يمثله دجزء رمادي.

من الواضح ، في نهاية السنة الأولى ، النسب المئوية تساوي ص أنا , وسيكون المبلغ المستحق. إلى النهايةفي السنة الثانية سيصل إلى القيمة الخامسنهاية سيكون المبلغ المستحق في العاممساوي ل

(4.1)

النسب المئوية لنفس الفترة بشكل عام كما يلي:

(4.2)

يتم تدريس بعضها من خلال تراكم الفائدة على الفائدة. هي تصنع

(4.3)

كما هو موضح أعلاه ، فإن النمو في الفائدة المركبة هوهي عملية تتوافق مع التقدم الهندسي هذا ، المصطلح الأول منه ص , والمقام.المدة الأخيرة من التقدم تساوي المبلغ المتراكم في النهايةفترة قرض.

القيمة وتسمى مضاعف التراكم على الفائدة المركبة. معاني هذاعامل الأعداد الصحيحة ص تعطى في جداول معقدة نسبه مئويه.دقة حساب المضاعف في العمليات الحسابيةيتم تحديدها من خلال الدرجة المسموح بها لتقريب المستحقالمبالغ (حتى آخر كوبك ، روبل ، إلخ).

عادة ما يقيس وقت البناء بمعدل معقد Xia مثل AST / أشارع.

كما ترى ، يعتمد حجم عامل التراكم على اثنينالمعلمات - أناو ص.وتجدر الإشارة إلى أنه لفترة طويلةتراكم ، حتى تغيير طفيف في معدل يؤثر بشكل ملحوظبقيمة المضاعف. في المقابل ، فترة طويلة جدايؤدي إلى نتائج مخيفة حتى ولو كانت صغيرةسعر الفائدة.

يتم الحصول على صيغة تكوين الفائدة المركبةلمعدل الفائدة السنوي والمدة ، مُقاسًا بالسنوات.ومع ذلك ، يمكن أيضًا تطبيقه على فترات الاستحقاق الأخرى.نيا. في هذه الحالاتأنايعني معدل فترة استحقاق واحدة (شهر ، ربع سنوي ، إلخ.) ، ون - عدد هذه الفترات. على المثال إذا أنا- معدل نصف سنة إذن ص – عدد الفصول الدراسيةإلخ.

الصيغ (4.1) - (4.3) تفترض أن الفائدة علىسنتات يتم تحميلها بنفس السعر عند تحميلها على أصل مبلغ الدين. دعونا نعقد شروط حساب الفائدةالرفيق دع الفائدة على الدين الأساسي تحسب بالسعرأناوالفائدة على الفائدة - بالسعر في هذه الحالة

السلسلة الموجودة بين قوسين مربعين تمثل الشكل الهندسيالتقدم مع الحد الأول يساوي 1 والمقام.نتيجة لذلك ، لدينا

(4.4)

· مثال 4.1

2. استحقاق الفائدة في فترات التقويم المجاورة. أنت علاوة على ذلك ، عند حساب الفائدة ، لم يتم أخذ موقع الفترة لحساب الفائدة فيما يتعلق بالفترات التقويمية في الاعتبار. ومع ذلك ، غالبًا ما تكون تواريخ بدء القرض وانتهائه في فترتين. من الواضح أن تقييمها لكامل الفترة ، لا يمكن أن تنسب الفائدة إلى الماضي فقطله فترة. في المحاسبة والضرائب ،أخيرًا في تحليل الأنشطة المالية للشركةيتم حذف مهمة توزيع الفائدة المتراكمة على فترات.

إجمالي مدة القرض مقسمة إلى فترتينن 1 و ن 2 . على التوالى ،

أين

· مثال 4.2

3. معدلات متغيرة. تفترض الصيغة ثابتًاالمعدل طوال فترة استحقاق الفائدة بالكامل. يجعل عدم استقرار السوق النقدية من الضروري تحديث المخطط "الكلاسيكي" ، على سبيل المثال ، باستخدام المثال نينيا معدلات عائمة ( يطفو على السطح معدل). بطبيعة الحال ، الحسابللمستقبل بهذه المعدلات مشروط للغاية. إنها مسألة مختلفة -حساب ما بعد الوقائع. في هذه الحالة وكذلك عند الغشحجم الرهانات ثابت في العقد ، المجموع تُعرَّف الزيادة بأنها حاصل ضرب الحاصل ، أي

(4.5)

حيث - القيم المتتالية للمعدلات ؛ - الفترات التي يتم خلالها المقابلةمعدلات.

· مثال 4.3

4. استحقاق الفائدة بعدد كسري من السنوات. في كثير من الأحيان مصطلح في ال qax لحساب الفائدة ليس عددًا صحيحًا. في قواعد عدد من البنوك التجارية لبعض المعاملات يتم احتساب الفائدة فقط لعدد كامل من السنوات أو لفترات الاستحقاق الأخرى. يتم تجاهل الجزء الكسري من الفترة. في معظم الحالات ، يتم أخذ المصطلح الكامل في الاعتبار. حيثيتم استخدام طريقتين. وفقًا للأول ، دعنا نسميها جنرال لواء،يتم الحساب وفقًا للصيغة:

(4.6)

ثانيا، سم شانيتفترض الطريقة استحقاق الفائدة على الكلعدد السنوات وفقًا لصيغة الفائدة المركبة وللجزء الكسري المصطلح باستخدام صيغة الفائدة البسيطة:

,(4.7)

أين - فترة قرض، أ- عدد صحيح من السنوات ،ب - جزء من السنة.

يتم استخدام طريقة مماثلة في الحالات التي تكون فيها الفترةاستحقاق المنزل نصف عام أو ربع أو شهر.

عند اختيار طريقة الحساب ، ينبغي أن يؤخذ في الاعتبار الكثيرتبين أن مقيم المبنى وفقًا للطريقة المختلطة أكثر إلى حد ما مما هو عليه في الطريقة العامة ، منذ ذلك الحين ص < 1 عادلفيما يتعلق

لوحظ أكبر فرقعندما تعطى ب = 1/2.

· مثال 4.4

5. مقارنة النمو في الفائدة المركبة والبسيطة. دع الأساس الزمني للاستحقاق هو نفسه ، ومستوى أسعار الفائدة هو نفسه ، ثم:

1) لمدة تقل عن عام ، تكون الفائدة البسيطة أكثر تعقيدًا

2) لأكثر من عام

3) لمدة سنة واحدة ، تكون مضاعفات التراكم متساوية مع بعضها البعض

باستخدام معدل الزيادة للفائدة المركبة البسيطة ، يمكنك تحديد الوقت المطلوب لزيادة المبلغ الأولي فين ذات مرة. لهذا ، من الضروري أن تكون معدلات النمو متساويةن:

1) لمصلحة بسيطة

2) للفائدة المركبة

صيغ مضاعفة رأس المال هي كما يلي:

1.5 الإيجار المالي. خصائص معاملي استحقاق وخصم الإيجار.

تعريف.يُطلق على تيار المدفوعات الذي يكون فيه جميع الأعضاء موجبين وتماثل الفترات الزمنية بين الدفعات ، الإيجار المالي.

المعالم الرئيسية للإيجار:

عضو سنوي- مبلغ الدفعة المنفصلة ؛

فترة الإيجار- الفاصل الزمني بين دفعتين متجاورتين ؛

مدة الأقساط- الوقت من بداية فترة الأقساط الأولى إلى نهاية الفترة الأخيرة ؛

معدل الفائدة على الأقساط- معدل الفائدة المركبة المستخدم لبناء وخصم أعضاء الإيجار ؛

م - عدد الفوائد المستحقة سنويًا على أعضاء الإيجار ؛

ص - عدد الدفعات في السنة.

إذا تم الدفع لأعضاء الأقساط مرة واحدة في السنة ، فسيتم استدعاء الأقساط السنوية سنوي.

إذا تم دفع الأقساط لأعضاء صمرة كل سنة ( ص> 1) ، ثم يسمى الإيجار ص- العاجلة.

إذا تم استلام المدفوعات كثيرًا بحيث يمكن النظر فيها ، فسيتم استدعاء الإيجار مستمر.

الإيجار يسمى دائمإذا كان أعضاء الإيجار متماثلين ولم يتغيروا بمرور الوقت.

الإيجار يسمى عاملإذا تغير أعضاء المعاش بمرور الوقت وفقًا لبعض القوانين المؤقتة.

إذا تم سداد الدفعات في نهاية كل فترة سنوية ، فسيتم استدعاء الأقساط السنوية المعتادأو postnumerando.

يُطلق على القسط السنوي الذي يتم دفعه في بداية كل فترة اسم الأقساط السنوية. prenumerando.

ضع في اعتبارك حساب التكلفة الحالية والمبلغ المستحق للثابت المعتاد(postnumerando) ص -المعاش العاجل. القيمة السنوية صدفعت في حصص متساوية صمرة واحدة في السنة إلى حساب مصرفي بداخله نسنين. ثم لدينا تدفق من npمدفوعات الجميع في لحظات
... لنأخذ سنة واحدة كوحدة قياس. يترك أنا- معدل الفائدة السنوي الفعلي للفائدة المركبة على المدفوعات الواردة. وفقًا لتعريف القيمة الحديثة لتيار المدفوعات (الصيغة (4.2)) ، نحصل عليها

.

حساب المبلغ npأعضاء متتالية هندسية ، قاسمها
، نحن نحصل:

(5.1)

القيمة الحالية للثابت المعتاد ص - نسنين. ومن هنا جاءت القيمة الحالية للإيجار السنوي العادي ( ع = 1) عند احتساب الفائدة على أعضاء الإيجار مرة في السنة:

. (5.2)

استخدام النسب المعادلة لسعر الفائدة الفعلي
و
(الفقرة 1.1) ، نحصل على القيمة الحالية المعتادة ص -راتب سنوي محدد المدة عند استحقاق الفائدة المركبة على أعضاء الأقساط السنوية ممرة واحدة في السنة بسعر الفائدة الاسمي أنا (م) واستحقاق الفائدة المستمر بمعدل فائدة ثابت δ في السنة:

(5.3)

. (5.4)

يمكن الحصول على معادلات مبلغ الإيجار المستحق مباشرة بالتعريف وفقًا للصيغة (4.3). على سبيل المثال ، من أجل المعتاد المستمر ص -أقساط محددة المدة عند حساب الفائدة على أعضاء الأقساط مرة واحدة في السنة خلال نسنوات حصلنا عليها:

. (5.5)

س = أ ف(تي) = أ(1 + أنا) ن =
(5.6)

بالنسبة للأنواع الأخرى من الإيجار العادي من (5.3) و (5.4) ، باستخدام معاملات التراكم
و
على التوالي ، نحصل على:

(5.7)

(5.8)

على وجه الخصوص ، ل م = ص(فترة احتساب الفائدة تساوي فترة الإيجار) من (5.3) و (5.7) نحصل عليها

(5.9)

(5.10)

إذا كانت الوحدة الزمنية هي 1 سنة و صهي دفعة السنة (وحدة زمنية) ، ثم المضاعف في معادلات القيمة الحديثة للإيجار يساوي يسمى معدل خصم الإيجار... المضاعف في الصيغ لمبلغ الإيجار المستحق ، يساوي يسمى معدل زيادة الإيجار... من (5.1) - (5.10) يمكن الحصول على معاملات التراكم والخصم لجميع أنواع الإيجار العادي المعتبرة. لنفكر في بعض العلاقات بين هذه المعاملات.

وبحسب (5.1) و (5.5) فإن عوامل الخصم والتراكم المعتادة ص - نسنوات متساوية على التوالي

و
.

و
- هذا هو ، على التوالي ، التكلفة الحديثة والمبلغ المتراكم للثابت المعتاد ص -الأقساط السنوية مع دفع سنوي قدره 1 وحدة عملة في حصص متساوية صمرة واحدة في السنة بالمبلغ في بعض الأحيان
مع تراكم الفائدة على الأعضاء مرة في السنة. لذلك،
و
ترتبط بالعلاقة (4.6):

= (1 + أنا) ن
.

إن معاملات الخصم وتراكم الأنواع الأخرى المدروسة من الإيجار العادي لها نفس المعنى. بالنسبة لهذه المعاشات ، لدينا العلاقات:

- الإيجار السنوي مع الفائدة المستحقة مرة واحدة في السنة ؛

- ص - ممرة كل سنة؛

- ص -راتب سنوي محدد المدة مع فائدة مستمرة.

معدلات الخصم واستحقاق الإيجار السنوي عند حساب الفائدة مرة واحدة في السنة

و

مجدولة ومقدمة في ملاحق المؤلفات المالية. إذا كان قابلا للتطبيق ص -راتب سنوي محدد المدة مع الفائدة صمرة كل سنة ( م = ص) بالسعر الاسمي السنوي أنا (ص) ، ثم يمكن أخذ وحدة قياس الوقت جزء من العام. ثم - الدفع لكل وحدة زمنية (postnumerando) ، - سعر الفائدة لوحدة زمنية واحدة ، مدة الإيجار - npوحدات زمنية. معاملا الخصم والاستحقاق لهذا الإيجار متساويان ، على التوالي
و
... من الصيغ (5.9) ، (5.10) لدينا

,
,

مما يسمح باستخدام نفس جداول المعامل لهذا الإيجار. لاحظ أنه إذا كانت وحدة قياس الوقت هي سنة واحدة ، فعندئذ يتم تحديد معاملات الخصم واستحقاق هذا الإيجار على أنها =
و =
وتحسب بالصيغ التي تم الحصول عليها من (5.9) ، (5.10):

,
.

=
و
=
. (5.11)

مثال 5.1.في نهاية كل شهر ، يتم استثمار ٢٠٠ وحدة عملة في حساب توفير. يتم احتساب الفائدة المركبة شهريًا على الدفعات الواردة بمعدل سنوي قدره 12٪. ما هو مبلغ الوديعة في سنتين؟ ما المبلغ الذي يمكن للمستثمر وضعه في حساب وديعة لتلقي نفس مبلغ الإيداع في غضون عامين؟

يتم تقديم مساهمات حساب التوفير في شكل منتظم ص -راتب سنوي محدد المدة مع الفائدة صمرة في السنة لمدة سنتين. هنا ن = 2, ص = 12,
= 0.12. إذا تم أخذ شهر واحد كوحدة لقياس الوقت ، إذن = 200 وحدة عملة - الدفع لكل وحدة زمنية ، == 0.01 - معدل الفائدة لوحدة زمنية واحدة ، فترة الأقساط np= 24 وحدة زمنية. باستخدام جدول معدلات النمو للإيجارات المنفصلة ، نجد س 24، 0.01 = 26.97346485. ثم مبلغ الإيداع المستحق في عامين
= 200س 24 ، 0.01 = 5394.69 (c.u.).

المبلغ الذي يمكن للمستثمر وضعه في حساب الوديعة لتلقي نفس مبلغ الوديعة في عامين هو القيمة الحالية للإيجار
= 200أ 24.0.01 = 4248.68 (وحدة عملة) ، حيث عامل الخصم أ 24.0.01 = 21.2433873 محدد من جدول المعاملات. لأن
= 4248.68 (1 + 0.01) 24 = 5394.69 (وحدة عملة) ، ثم وضع مبلغ 4248.68 إلى حساب وديعة لاحتساب الفائدة المركبة الشهرية عليه بمعدل سنوي 12٪ سيسمح للمستثمر باستلام نفس مبلغ الإيداع في غضون عامين.

تعليق.احسب معدلات الخصم
والتراكم
، باستخدام الصيغ أعلاه ، وتحقق من العلاقات (5.11). اشرح السبب
و
يمكن العثور عليها في جداول المعامل ، و
و
- رقم. ما الذي يمكن أن يتأثر باختيار الوحدة الزمنية؟

ضع في اعتبارك الإيجار prenumerando... العلاقة بين معدلات الخصم واستحقاق الإيجار prenumerandoو postnumerandoيتبع من تعريفهم. يتم تقليل فترة الخصم لكل دفعة من الأقساط السنوية السابقة ، وتزداد فترة الاستحقاق بمقدار فترة سنوية واحدة مقارنة بالدفع السنوي المعتاد. كما كان من قبل ، فإننا نعتبر سنة واحدة كوحدة قياس الوقت. إذا
و
- عوامل الخصم والتراكم ص -المعاش العاجل prenumerando (يتم استلام المدفوعات في بداية كل فترة زمنية ) عندما تتراكم الفائدة على الأعضاء مرة واحدة في السنة ، فإن النسب التالية صحيحة:

=

=

= (1 + أنا) ن
.

ومن ثم ، في ع = 1 نحصل على نسب المعاشات السنوية:

=

=

= (1 + أنا) ن
.

مع تراكم الفائدة المستمر ل ص -المعاش العاجل ، لدينا النسب التالية:

=

.

يعتبر مستمرإيجار. يمكن الحصول على معاملات الخصم وتراكم الإيجار المستمر من الصيغ الخاصة بـ ص -المعاش العاجل في
أو حسب التعريف (الصيغ (4.9) ، (4.10)) لتدفق مستمر مدفوع بشكل موحد للمدفوعات بمعدل سنوي ثابت F(ر) = 1. على سبيل المثال ، للإيجار المستمر مع تراكم الفائدة المستمر بمعدل نمو ثابت نحن نحصل:

,

أين
هو عامل الخصم للمعتاد ص -راتب سنوي محدد المدة مع فائدة مستمرة. لاحظ أنه منذ ذلك الحين
، أين
- معامل الخصم ص -المعاش السنوي محدد المدة مع تراكم الفائدة المستمر ، إذن

.

في الواقع ، مع الدفعات المستمرة ، يختفي التمييز بين الأقساط السنوية قبل numerando وما بعد numerando.

سيتم الحصول على معامل خصم القسط السنوي المستمر عند حساب الفائدة مرة واحدة في السنة بالتعريف:

يمكن العثور على معدلات نمو المعاشات المستمرة من المساواة في النموذج (4.6):

=
,

=
.

يمكن إنشاء العلاقة بين معاملات الخصم للأنواع الثلاثة من المعاشات التي تم أخذها في الاعتبار - عادية ، وسابقة ، ومستمرة - من الاعتبارات التالية. لأن
، أين أنا (ص) هو سعر الفائدة الاسمي السنوي المعادل ، إذن

على الجانب الآخر،

.

لذلك

, (5.12)

أين
,
- معاملات خصم الإيجار السنوي المعتاد مع استحقاق الفائدة مرة في السنة والإيجار المستمر بفائدة مستمرة. يمكن أن تستمر المعادلات (5.12) للإيجار الأولي ، إذا أخذنا في الاعتبار نسبة معاملات الخصم لكل من المعاشات:

و
.

=
=
. (5.13)

أين
- معدل الخصم المعادل. من (5.12) ، (5.13) نحصل عليها

أين
- معدل الخصم الاسمي المكافئ. كل تعبير في هذه المساواة هو القيمة الحالية للفائدة المدفوعة على قرض 1 وحدة عملة. ل نسنوات وفق طرق دفع الفوائد المختلفة.

يمكن الحصول على نسب مماثلة لمعاملات استحقاق الإيجار.

إذا كان يعتقد أن مدة القسط السنوي ن= ∞ ، ثم يسمى الإيجار أبدي... المبلغ المستحق من الأقساط السنوية الدائمة لا نهائي. ومع ذلك ، يمكن العثور على القيمة الحالية لهذا الإيجار. للأبدية المعتادة ص -راتب سنوي عاجل مع الفوائد المتراكمة مرة واحدة في السنة ، نحصل عليه ن → ∞:

لنفس الإيجار prenumerando

علاوة على ذلك،

في هذا الطريق،

,
,
. (5.15)

إذا كان القسط السنوي الدائم سنويًا ( ع = 1) ، ثم لدينا

,
,
. (5.16)

إذا كان بداية الإيجار أي. بداية فترتها الأولى ، يتم نقلها إلى المستقبل بواسطة روحدات زمنية بالنسبة إلى اللحظة الحالية ر= 0 ، ثم يسمى هذا الإيجار تأخير... القيمة الحالية للمعاش السنوي المؤجل أ ر يتم تعريفه على النحو التالي. وفقًا لتعريف القيمة الحديثة لتيار الدفع ،

أين
,
,
- مضاعفات الخصم ك- الدفع على فترات زمنية ، [ ر, ر ك]، على التوالى. لأن
، ومن بعد أ- تكلفة الإيجار محسوبة في بداية فترته الأولى ، أي في بداية الأقساط غير المؤجلة. لذلك، أهي القيمة الحالية للمعاش غير المؤجل. وبالتالي ، يتم تحديد القيمة الحالية للقسط السنوي المؤجل عن طريق الخصم بمعدل الفائدة السنوي بمرور الوقت رقيمة حديثة أراتب سنوي غير محدد:

, (5.17)

مثال 5.2.بموجب العقد ، المنتجات المصنعة بقيمة 2 مليون وحدة عملة. تدفع على أقساط في نهاية كل ربع سنة لمدة خمس سنوات مع فائدة مركبة مستحقة مرة واحدة في السنة بمعدل 10٪ سنويًا. ابحث عن مبلغ المساهمة المنفصلة إذا تم تأجيل بدء الدفع للمنتجات بعد ستة أشهر من توقيع العقد.

إذا بدأ العد التنازلي ر= 0 هي لحظة توقيع العقد ، والوحدة الزمنية هنا هي سنة واحدة ن = 5, ص = 4, أنا = 0,1, ر= 0.5. وفقًا للصيغة (5.17) ، فإن قيمة تدفق المدفوعات مقابل المنتجات في وقت توقيع العقد تساوي
=
، أين أ ر= 2 مليون وحدة عملة ، أ- القيمة الحالية للقيمة العادية غير المؤجلة ص -الإيجار لأجل مع الفائدة المستحقة مرة واحدة في السنة خلال نسنين. وفقًا لـ (5.1) ،
... من الصيغ لـ أ رو أنجد مقدار مساهمة منفصلة = CU133432.20 ضد
133432.20 = 127222.61 وحدة عملة ، إذا لم يتم تأجيل بدء الدفع مقابل الإنتاج.

تعليق.ويترتب على تعريف مصطلح الأقساط أنه إذا
- فترة الأقساط ثم فترة الأقساط ن(سنوات) هي من مضاعفات ، بمعنى آخر.
، أين مهو عدد صحيح موجب. من المعروف أن أي رقم منطقي موجب يمكن تمثيله كـ ، أين م, صهي أعداد صحيحة موجبة ، ويمكن استبدال أي عدد غير نسبي برقم منطقي بأي درجة من الدقة ... هذا يعني أنه إذا كان مصطلح الأقساط نليس عددًا صحيحًا ، فمن الممكن دائمًا (تمامًا أو بأي درجة من الدقة) تمثيله نكعدد صحيح لفترات البعض ص -الإيجار لأجل واستخدام العلاقة بين معدلات الخصم واستحقاق الإيجار:
و
... إذا كوحدة قياس الوقت ، ثم يتم استخدام النسب التالية:
=
و
=
... وبالتالي ، فإن جميع الصيغ التي تم الحصول عليها لمعاملات الخصم والإيجار صالحة لها
، بمعنى آخر. لجميع القيم غير السالبة ن، ليس فقط الكل.

خصائص معاملي استحقاق وخصم الإيجار.

دعونا ننظر في اعتماد معدلات الخصم واستحقاق الإيجار على مدة الإيجار وسعر الفائدة. بما أن طبيعة التبعية لا ينبغي أن تعتمد على عدد المدفوعات في السنة ، ضع في اعتبارك الإيجار العادي السنوي مع الفائدة المتراكمة مرة واحدة في السنة.

1) أنا = 0.

لدينا
,
.

يمكن النظر إلى الوضع على أنه دين بدون فوائد صادر بقيمة نوعاد على أقساط متساوية خلال نسنين.

2) تأسيس الاعتماد على أنامعدل زيادة الإيجار
.

بوضوح،
- زيادة الوظيفة أنا، الذي يتبع خصائص المبلغ المستحق للدفع لمرة واحدة. في الواقع ، منذ ذلك الحين
و
، ومن بعد
- زيادة الدالة المحدبة للحجة أنا(الشكل 1.5.1).

3) تأسيس الاعتماد على أنامعدل الخصم من الأقساط
.

.

بوضوح،
- تناقص الوظيفة أنا، والتي تأتي من خصائص التكلفة الحديثة للدفع الواحد. في الواقع ، منذ ذلك الحين
و
، ومن بعد
- تناقص الدالة المحدبة للحجة أنا(الشكل 1.5.2).

4) تأسيس الاعتماد على نمعدل زيادة الإيجار
.

، أين
.

تي

س ن ، أنا

كيف
و
، ومن بعد
- زيادة الدالة المحدبة للحجة ن(الشكل 1.5.3).

5) تأسيس الاعتماد على نمعدل الخصم من الأقساط
.

، أين
.

الموضوع: الأسس الرياضية للإدارة المالية

أسئلة:

طرق احتساب الفائدة

جوهر الفائدة البسيطة والمركبة

طرق تقييم المعاشات

الإجابات:

1. طرق احتساب الفائدة

النسبة المئوية- هذا الدخل من توفير رأس المال في الديون بأشكال مختلفة أو من استثمارات ذات طبيعة إنتاجية أو مالية.

زيادة مبلغ الدين الأصلي- هذه زيادة في مبلغ الدين نتيجة إضافة الفوائد المتراكمة (الدخل).

نسبة البناءهي قيمة توضح عدد المرات التي نما فيها رأس المال الأولي.

فترة الاستحقاق- هذه هي الفترة الزمنية التي يتم فيها احتساب الفائدة.

هناك طريقتان لتحديد الفائدة وحسابها:

طريقة استطرادية لحساب الفائدة- يتم احتساب الفائدة في نهاية كل فترة زمنية ، ويتم تحديد قيمة xi بناءً على مقدار رأس المال المقدم ، ومعدل الفائدة على الخطاب هو نسبة مبلغ الدخل المستحق خلال فترة زمنية معينة إلى المبلغ المتاح في بداية هذا الفاصل الزمني ، معبراً عنها بالنسبة المئوية.

طريقة غير افتراضية لحساب الفائدة- يتم احتساب الفائدة في بداية كل فترة زمنية ، ويتم تحديد مبلغ الفائدة على أساس المبلغ المستحق. سيتم التعبير عن معدل الفائدة كنسبة مئوية ، نسبة مبلغ الدخل المدفوع لفترة معينة إلى قيمة المبلغ المستحق المستلم بعد هذه الفترة.

في الممارسة العالمية ، تعتبر الطريقة الخطابية لزيادة أسعار الفائدة هي الأكثر انتشارًا ، بينما تعتبر الطريقة المضادة للافتراض لزيادة أسعار الفائدة بمثابة خصم بنكي أو محاسبة بنكية للفواتير ، وعادة ما تستخدم خلال فترات التضخم المرتفع.

2- جوهر الفائدة البسيطة والمركبة

هناك مخططان رئيسيان لحساب الفائدة المنفصل:

يفترض مخطط الفائدة البسيطة أن الأساس الذي يتم من خلاله الحساب يظل دون تغيير. يتم تحديد عملية الخصم وفقًا لنظام الفائدة البسيط من خلال الصيغة:

يفترض مخطط الفائدة المركبة التباين بسبب رسملة الفائدة المتراكمة ولكن لم يتم دفعها للمبلغ الأساسي. استحقاق الفائدة المركبة:

المضاعف في عملية التراكم لتحديد التكلفة السيئة ، يتم جدولة قيمها.

تسمى العملية التي يتم فيها تعيين المبلغ الأولي والسعر عملية الاستحقاق ، والقيمة المطلوبة هي المبلغ المستحق ، والمعدل المستخدم في العملية هو معدل الاستحقاق.

يتم استدعاء العملية التي يتم فيها استلام المبلغ المتوقع في المستقبل وتعيين السعر عملية الخصم، القيمة المطلوبة هي المبلغ المخفض، والسعر المستخدم في المعاملة هو معدل الخصم.

تتم عملية الخصم بفائدة بسيطة وفق الصيغة التالية:

تتم عملية الخصم وفقًا لنظام الفائدة المركبة وفقًا للصيغة:

عامل الخصم لتحديد المبلغ الحالي ، يتم جدولة قيمه.

4- طرق تقدير المعاشات

يتم استدعاء دفق المدفوعات أحادية الاتجاه بفواصل زمنية متساوية بين المدفوعات المتتالية على مدى عدد معين من السنوات دخل سنوي(إيجار مالي).

أمثلة على الأقساط: صندوق التقاعد ، سداد القرض من قبل المقترض.

يمكن إجراء تقييم التدفق النقدي كجزء من حل المشكلات:

مباشر - أي يتم إجراء تقييم من منظور المستقبل ويتم تنفيذ مخطط تراكمي (مخطط تراكم الأقساط السنوية بعد الأرقام.

مجموع القسط السنوي

FM3 (i ؛ n) - مضاعف الأقساط في عملية التراكم ، يتم أيضًا جدولة القيم

يتم تنفيذ مخطط الاستحقاق للرقم المسبق والراتب السنوي وفقًا للصيغة

FV = A * FM3 (أنا ؛ ن) * (1 + أنا)

معكوس ، أي يتم إجراء التقييم من وجهة نظر الحاضر ، ويجري تنفيذ مخطط الخصم.

يتم تنفيذ عملية الخصم لمرتب ما بعد الرقم والدفع السنوي وفقًا للصيغة

A * FM4 (i؛ n) هو عامل خصم لمعاش سنوي ، كما يتم جدولة قيمه.

النسبة المئوية للخصم للترقيم المسبق: = A * FM4 (i ؛ n) * (1 + i)

في اقتصاد السوق ، يُطلق على أي تفاعل للأفراد والشركات والمؤسسات بهدف تحقيق ربح معاملة. في المعاملات الائتمانية ، الربح هو مقدار الدخل من توفير الأموال في الديون ، والذي يتحقق عمليًا من خلال استحقاق الفائدة (سعر الفائدة - 1). تعتمد الفائدة على مبلغ المبلغ المقدم ، ومدة القرض ، وشروط الاستحقاق ، وما إلى ذلك.

المكان الأكثر أهمية في المعاملات المالية هو عامل الوقت (ر). يرتبط مبدأ عدم المساواة وعدم المساواة في الاستثمارات بعامل الوقت. من أجل تحديد التغييرات التي تحدث مع المبلغ الأولي للمال (P) ، من الضروري حساب مقدار الدخل من توفير الأموال في القرض ، واستثمارها في شكل مساهمة (وديعة) ، واستثمارها في الأوراق المالية ، إلخ.

تسمى عملية زيادة مبلغ المال المرتبط بتراكم الفائدة (1) بالزيادة أو الزيادة في المبلغ الأصلي (P). وبالتالي ، فإن التغيير في القيمة الأولية تحت تأثير عاملين: معدل الفائدة والوقت يسمى التكلفة المتراكمة (S).

يمكن تحديد التكلفة المتراكمة وفقًا لمخطط الفائدة البسيطة والمركبة. يتم استخدام الفائدة البسيطة عندما يتم تحديد المبلغ المستحق فيما يتعلق بقاعدة غير متغيرة ، أي أن الفائدة المستحقة يتم سدادها (مدفوعة) مباشرة بعد الاستحقاق (وبالتالي ، لا يتغير المبلغ الأولي) ؛ في حالة تغير المبلغ الأولي (الأولي) في الفترة الزمنية ، فإنهم يتعاملون مع الفائدة المركبة.

عند حساب الفائدة البسيطة ، يتم تحديد المبلغ المستحق بواسطة الصيغة

S = P (1 + i t) ، (1)

حيث S هو المبلغ المستحق (التكلفة) ، روبل ؛ ف - المبلغ الأولي (التكلفة) ، روبل ؛ ط - معدل الفائدة المعبر عنه كمعامل ؛ t هي فترة احتساب الفائدة.

S = 10000 (1+ 0.13 1) = 11300 ، فرك. (مبلغ سداد القرض) ؛

ΔР = 11300 - 10000 = 1300 فرك. (مبلغ الفائدة المتراكمة).

تحديد مبلغ سداد الديون ، مع مراعاة مدفوعات الفائدة السنوية ، إذا أصدر البنك قرضًا بمبلغ 50000 روبل. لمدة سنتين بمعدل 16٪ سنويا.

S = 50000 (1+ 0.16 2) = 66000 ، فرك.

وبالتالي ، فإن استحقاق الفائدة البسيطة يتم في حالة عدم تراكم الفائدة المستحقة على مبلغ الدين الأساسي ، ولكن يتم سدادها بشكل دوري ، على سبيل المثال ، مرة في السنة ، نصف سنة ، ربع ، شهر ، إلخ ، والتي تحددها شروط اتفاقية القرض. أيضًا ، من الناحية العملية ، هناك حالات يتم فيها إجراء التسويات لفترات أقصر ، ولا سيما على أساس يوم واحد.

في الحالة التي تكون فيها مدة القرض (الوديعة ، إلخ) أقل من سنة واحدة ، من الضروري في الحسابات تعديل سعر الفائدة المحدد اعتمادًا على الفترة الزمنية. على سبيل المثال ، يمكنك تمثيل فترة استحقاق الفائدة (t) كنسبة ، حيث q هي عدد الأيام (الأشهر ، الأرباع ، الفصول الدراسية ، إلخ) للقرض ؛ k هو عدد الأيام (الأشهر ، الأرباع ، الفصول الدراسية ، إلخ) في السنة.

وبالتالي ، تتغير الصيغة (1) ولها الشكل التالي:

S = P (1 + i). (2)

يقبل البنك الودائع لأجل لمدة 3 أشهر بنسبة 11٪ سنويًا. احسب دخل العميل عند استثمار 100،000 روبل. لفترة محددة.

S = 100000 (1+ 0.11 ·) = 102749.9 روبل ؛

ΔР = 102.749.9 - 100000 = 2749.9 ، فرك.

خيارات الحساب المختلفة ممكنة بناءً على عدد الأيام في السنة. في حالة اعتبار السنة أساسًا لقياس الوقت ، والتي تتكون من 360 يومًا (12 شهرًا من 30 يومًا) ، يتم حساب الفائدة العادية أو التجارية. عندما يتم أخذ العدد الفعلي للأيام في السنة كأساس (365 أو 366 - في سنة كبيسة) ، فإنهم يتحدثون عن النسبة المئوية الدقيقة.

عند تحديد عدد أيام استخدام القرض ، يتم أيضًا استخدام نهجين: دقيق وعادي. في الحالة الأولى ، يتم حساب العدد الفعلي للأيام بين تاريخين ، وفي الحالة الثانية ، يتم أخذ الشهر يساوي 30 يومًا. في كلتا الحالتين الأولى والثانية ، يتم احتساب يوم الإصدار ويوم الاسترداد كيوم واحد. هناك أيضًا حالات يتم فيها استخدام عدد أيام التسوية أو العمل المصرفي في الحساب ، وعددها 24 يومًا في الشهر.

وبالتالي ، هناك أربعة خيارات حسابية:

1) الفائدة العادية مع العدد الدقيق لأيام القرض ؛

2) فائدة عادية مع عدد تقريبي لأيام القرض ؛

3) فائدة محددة مع العدد التقريبي لأيام القرض ؛

4) الفائدة الدقيقة مع عدد أيام العمل المصرفية.

وتجدر الإشارة إلى أنه في الممارسة العملية ، يتم اعتبار يوم الإصدار ويوم سداد القرض (الإيداع) يومًا واحدًا.

تم إصدار القرض بمبلغ 20000 روبل. لفترة من 10.01.06 إلى 15.06.06 بنسبة 14٪ سنويًا. تحديد مبلغ سداد القرض.

1. الفائدة العادية مع العدد الدقيق لأيام القرض:

156=21+28+31+30+31+15;

S = 20000 (1 + 0.14 ·) = 21213.3 فرك.

2. فائدة عادية مع عدد تقريبي لأيام الإعارة:

S = 20000 (1 + 0.14) = 21205.6 ، فرك.

3. الفائدة الدقيقة مع العدد التقريبي لأيام القرض:

S = 20000 (1 + 0.14) = 21189.0 ، فرك.

4. الفائدة المحددة مع عدد أيام العمل المصرفية:

S = 20000 (1 + 0.14 ·) = 21516.7 فرك.

يتم تقديم البيانات الخاصة بحساب عدد الأيام في فترة ما في الملحق. 12.

كما ذكرنا أعلاه ، بالإضافة إلى حساب الفائدة البسيطة ، يتم تطبيق عملية حسابية معقدة ، حيث يتم احتساب الفائدة عدة مرات على مدى فترة ولا يتم دفعها ، ولكن يتم تجميعها على مبلغ الدين الأساسي. هذه الآلية فعالة بشكل خاص للقروض المتوسطة والطويلة الأجل.

بعد السنة الأولى (الفترة) ، يتم تحديد المبلغ المستحق من خلال الصيغة (1) ، حيث سأكون معدل الفائدة السنوية المركبة. بعد عامين (فترات) ، سيكون المبلغ المتراكم لـ S 2 كما يلي:

S 2 = S 1 (1 + it) = P (1 + it) (1 + it) = P (1 + it) 2.

وبالتالي ، عند حساب الفائدة المركبة (بعد س سنوات (فترات) من الاستحقاق) ، يتم تحديد المبلغ المستحق بواسطة الصيغة

S = P (1 + i t) n ، (3)

حيث i هو معدل الفائدة المركب ، معبرًا عنه كمعامل ؛ n هو عدد مستحقات الفائدة المركبة للفترة بأكملها.

يتم حساب نسبة التراكم في هذه الحالة بواسطة الصيغة

كن = (1 + أنا ر) ن ، (4)

حيث Кн هو معامل الزيادة في التكلفة الأولية للوحدات.

المودع لديه الفرصة لوضع أموال بمبلغ 75000 روبل. على وديعة في بنك تجاري لمدة 3 سنوات بنسبة 10٪ سنويًا.

حدد مقدار الفائدة المتراكمة في نهاية مدة الإيداع ، عند حساب الفائدة المركبة.

S = 75000 (1+ 0.1 · 1) 3 = 99825 ، فرك.

ΔР = 24825 ، فرك.

وبالتالي ، سيكون عامل النمو هو:

كن = (1+ 0.1 1) 3 = 1.331

وبالتالي ، يوضح عامل الاستحقاق عدد المرات التي زاد فيها المبلغ الأولي وفقًا للشروط المحددة.

نسبة العمليات الحسابية التي تستخدم الفائدة المركبة في الممارسة المالية كبيرة جدًا. غالبًا ما تسمى الحسابات وفقًا لقاعدة الفائدة المركبة تراكم الفائدة على الفائدة ، وغالبًا ما يُطلق على إجراء إضافة الفائدة المتراكمة إعادة الاستثمار أو الرسملة.

أرز. 1. ديناميات الزيادة في النقد عند حساب الفائدة البسيطة والمركبة

نظرًا للنمو المستمر للقاعدة بسبب إعادة استثمار الفائدة ، يتم تنفيذ نمو المبلغ الأولي للمال مع التسارع ، والذي يظهر بوضوح في الشكل. واحد.

في الممارسة المالية ، يتم تحصيل الفائدة عادة عدة مرات في السنة. إذا تم تجميع الفائدة وإضافتها أكثر من مرة (م مرات في السنة) ، فسيكون هناك استحقاق مضاعف للفائدة. في مثل هذه الحالة ، لا تحدد شروط المعاملة المالية معدل الفترة ، وبالتالي ، فإن معدل الفائدة السنوي i ثابت في العقود المالية ، والتي على أساسها يتم حساب معدل الفائدة للفترة (). في هذه الحالة ، يُطلق على المعدل السنوي اسم اسمي ، ويعمل كأساس لتحديد معدل الفائدة المتراكمة في كل فترة ، والمعدل (() مليون) المطبق فعليًا في هذه الحالة يكون ساريًا ، والذي يميز التأثير الكامل (الدخل) من العملية ، مع مراعاة الرسملة البينية السنوية ...

يتم تحديد المبلغ المستحق بموجب نظام الفائدة المركبة الفعال بواسطة الصيغة

S = P (1+) مليون ، (5)

حيث i هو المعدل الاسمي السنوي ،٪ ؛ (1+) مليون - معامل زيادة المعدل الفعال ؛ م - عدد حالات استحقاق الفائدة للسنة ؛ mn - عدد حالات استحقاق الفائدة للفترة.

S = 20000 (1+) 4 1 = 22950 ، فرك.

وتجدر الإشارة إلى أنه لمدة عام واحد ، سيتوافق عدد حالات استحقاق الفائدة للسنة مع عدد حالات استحقاق الفائدة للفترة بأكملها. إذا كانت الفترة أكثر من سنة واحدة ، فإن n (انظر الصيغة (3)) - سوف تتوافق مع هذه القيمة.

S = 20000 (1+) 4 3 = 31279 ، 1 ، فرك.

يتم تطبيق الفائدة المركبة أيضًا ليس فقط في حالات حساب مبلغ الدين الذي زاد بفائدة ، ولكن أيضًا في التسجيل المتكرر للأوراق المالية ، وتحديد الإيجار لخدمات التأجير ، وتحديد التغير في قيمة المال تحت تأثير التضخم ، إلخ.

كما ذكر أعلاه ، فإن المعدل الذي يقيس الدخل النسبي المستلم ككل خلال الفترة يسمى فعال. يستخدم حساب معدل الفائدة الفعلي لتحديد الربحية الحقيقية للمعاملات المالية. يتم تحديد هذا العائد من خلال سعر الفائدة الفعلي المقابل.

I eff = (1+) mn - 1. (6)

تحسب مؤسسة الائتمان الفائدة على الوديعة لأجل بناءً على معدل رمزي قدره 10٪ سنويًا. تحديد معدل المركب اليومي الفعال.

أنا = (1+) 365-1 = 0.115156 ، أي 11٪.

الدخل الحقيقي للمودع هو 1 فرك. الأموال المستثمرة لن تكون 10 كوبيل. (من الشرط) ، و 11 كوبيل. وبالتالي ، فإن معدل الفائدة الفعلي على الوديعة أعلى من السعر الاسمي.

في نهاية العام ، يدفع البنك 10٪ سنويًا على الودائع. ما هي الربحية الحقيقية للودائع عند حساب الفائدة: أ) ربع سنوي ؛ ب) نصف سنوي.

أ) أنا = (1+) 4-1 = 0.1038 ، أي 10.38٪ ؛

ب) أنا = (1+) 2-1 = 0.1025 ، أي 10.25٪.

يُظهر الحساب أن الفرق بين المعدلات ضئيل ، ومع ذلك ، فإن الاستحقاق بنسبة 10٪ سنويًا على أساس ربع سنوي يكون أكثر ربحية للمودع.

يسمح حساب معدل الفائدة الفعلي في الممارسة المالية لموضوعات العلاقات المالية بالتنقل في مقترحات البنوك المختلفة واختيار الخيار الأنسب لاستثمار الأموال.

تنص اتفاقيات القروض أحيانًا على تغييرات في أسعار الفائدة بمرور الوقت. هذا بسبب التغيير في الشروط التعاقدية ، وتقديم المزايا ، وفرض العقوبات ، وكذلك التغيير في الشروط العامة للمعاملات ، على وجه الخصوص ، يرتبط التغيير في سعر الفائدة بمرور الوقت (عادةً ما يكون صعودًا) الوقاية من المخاطر المصرفية نتيجة تغيير الوضع الاقتصادي في الدولة ، وارتفاع الأسعار ، وانخفاض قيمة العملة الوطنية ، وما إلى ذلك.

يمكن إجراء حساب المبلغ المستحق عندما يتغير سعر الفائدة بمرور الوقت عن طريق حساب الفائدة البسيطة والفائدة المعقدة. يتم تحديد مخطط احتساب الفائدة في الاتفاقية المالية ويعتمد على مدة ومبلغ وشروط المعاملة.

دع سعر الفائدة يتغير على مر السنين. لأول ن 1 سنة ، ستكون مساوية لـ i 1 ، n 2 - i 2 ، إلخ. عند حساب الفائدة البسيطة على المبلغ الأولي ، من الضروري إضافة أسعار الفائدة i 1 ، i 2 ، في ، و بالنسبة لتلك المعقدة ، ابحث عن منتجها.

عند حساب الفائدة البسيطة ، يتم تطبيق الصيغة

S = P (1 + i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n)، (7)

حيث i n هو سعر الفائدة البسيط ؛ t n - مدة فترة الاستحقاق.

في السنة الأولى بمبلغ 10000 روبل. يتم احتساب 10٪ سنويًا ، في الثانية - 10.5٪ سنويًا ، في الثالث - 11٪ سنويًا. تحديد المبلغ المراد سداده إذا تم دفع الفائدة سنويًا.

S = 10000 (1 + 0.10 · 1 + 0.105 · 1 + 0.11 · 1) = 13150 روبل ؛

ΔР = 3150 ، فرك.

عند حساب الفائدة المركبة ، يتم تطبيق الصيغة

S = P (1 + i 1 t 1) (1+ i 2 t 2) (1+ i 3 t 3) (1+ i n t n) (8)

حيث i n هو معدل الفائدة المركب ؛ t n - مدة فترة استحقاقها.

في السنة الأولى بمبلغ 10000 روبل. يتم احتساب 10٪ سنويًا ، في الثانية - 10.5٪ سنويًا ، في الثالث - 11٪ سنويًا. حدد المبلغ الذي سيتم سداده إذا تمت رسملة الفائدة.

S = 10000 (1 + 0.10 · 1) · (1 + 0.105 · 1) · (1 + 0.11 · 1) = 13492.05 ، فرك.

تؤكد الأمثلة المذكورة أعلاه حقيقة أن استحقاق الفائدة البسيطة يرتبط بتحديد المبلغ المستحق فيما يتعلق بالقاعدة غير المتغيرة ، أي كل عام (فترة) يتم استحقاق الفائدة على نفس التكلفة الأولية. إذا أخذنا في الاعتبار المثال 10 ، ففي هذه الحالة ستكون التكلفة المتراكمة:

- للسنة الأولى: S 1 = 10000 (1 + 0.10 · 1) = 11000 روبل ؛

ΔР 1 = 1000 روبل ؛

- للسنة الثانية: S 2 = 10000 (1 + 0.105 1) = 11050 روبل ؛

ΔР 2 = 1050 روبل ؛

- للسنة الثالثة: S 3 = 10000 (1 + 0.11 · 1) = 11100 روبل ؛

ΔР 3 = 1100 ، فرك.

وبالتالي ، سيكون مقدار الفائدة لمدة 3 سنوات كما يلي:

ΔР = 1،000 + 1،050 + 1،100 = 3150 ، فرك. (انظر المثال 10).

في حالة حساب الفائدة المركبة ، يتغير المبلغ الأولي بعد كل استحقاق ، حيث لا يتم دفع الفائدة ، ولكن تتراكم على المبلغ الأساسي ، أي الفائدة المستحقة على الفائدة. خذ بعين الاعتبار المثال 11:

- في السنة الأولى: S 1 = 10000 (1 + 0.10 · 1) = 11000 روبل ؛

- في السنة الثانية: S 2 = 11000 (1 + 0.105 · 1) = 12100 روبل ؛

- في السنة الثالثة: S 3 = 12100 (1 + 0.11 · 1) = 13431 ، فرك.

وبالتالي ، سيكون مقدار الفائدة لمدة 3 سنوات: i 3 = 3431 روبل. (انظر المثال 10).

عند تطوير شروط العقود أو تحليلها ، يصبح من الضروري أحيانًا حل المشكلات العكسية - لتحديد مدة العملية أو مستوى سعر الفائدة.

يمكن حساب معادلات حساب مدة القرض بالسنوات والأيام وما إلى ذلك عن طريق تحويل الصيغتين (1) و (5).

مدة القرض (الوديعة):

ر = 365. (9)

حدد المدة التي يستغرقها المودع لوضع 10000 روبل. على وديعة عند حساب فائدة بسيطة بمعدل 10٪ سنويًا لتلقي 12000 روبل.

ر = ( ) 365 = 730 يومًا (سنتان).

العميل لديه الفرصة لاستثمار 50000 روبل في البنك. لمدة نصف عام. حدد معدل الفائدة الذي يوفر دخل العميل بمبلغ 2000 روبل.

ر = ( ) = 0.08 = 8٪ سنويا

وبالمثل ، يتم تحديد تاريخ الإكمال المطلوب للمعاملة المالية وطولها ، أو مقدار معدل الفائدة المطلوب عند حساب الفائدة المركبة.

لتبسيط العمليات الحسابية ، يتم عرض قيم المعامل (المضاعف) للتراكم في الملحق. 3.