Мертон Миллер и Дэниел Орр создали модель определения целевого остатка денежных средств, учитывающую фактор неопределенности денежных выплат, и поступлений. Их основная предпосылка состоит в том, что распределение сальдо ежедневного денежного потока является приблизительно нормальным. Фактическая величина сальдо в любой из дней может соответствовать ожидаемой величине, быть выше или ниже ее. Таким образом, сальдо денежного потока варьирует по дням случайным образом; какая-либо тенденция его изменения не предусматривается.
На рис.1 показана модель Миллера-Орра, на основании которой определяются верхний, Н и нижний, L, пределы колебаний остатка денежных средств, а также целевой остаток денежных средств - Z. Когда остаток денежных средств достигает величины Н, как в точке А, то на величину (Н - Z) дол.
фирма покупает ценные бумаги. Аналогичным образом, когда остаток денежных средств достигает L, как в точке В, то на (Z - L) дол. фирма продает ценные бумаги. Нижний предел, L, определяет руководство фирмы в зависимости от приемлемого уровня потерь в связи с нехваткой денежных средств; это в свою очередь зависит от доступности займов и вероятности нехватки денежных средств.
Рис.1.
После того как значение L установлено, с помощью модели Миллера-Орра можно определить целевой остаток средств на счете, t, и верхний предел, Н. Мы не будем приводить вывод формул, по которым находятся Z и Н; конечный результат выглядит так:
Средний остаток денежных средств находится по формуле
Здесь L - целевой остаток денежных средств; Н - верхний предел остатка денежных средств; L - нижний предел остатка денежных средств; k - относительная величина альтернативных затрат (в расчете на день); у 2 - дисперсия сальдо дневного денежного потока.
Например, предположим, что F = 150 дол., k = 15% годовых, среднее квадратическое отклонение, у, сальдо дневного денежного потока равно 1000 дол. Таким образом, относительная величина альтернативных затрат в расчете на день и дисперсия сальдо денежного потока составляют
(1+k) 360 - 1.0 = 0,15, (1+k) 360 = 1,15,1+k = 1.00039,k = 0.00039,у 2 = 1000 2 = 1000000
Затем предположим, что, по мнению руководства фирмы, нижний предел, L, можно установить равным нулю, поскольку фирма в состоянии осуществить продажу ценных бумаг или получить ссуду в короткое время. Подставляя эти величины в формулы (4) - (6), определяем Z, Н и средний остаток средств на счете:
Н = 3 х 6607 дол. - 2 х 0 дол. = 19821 дол.
и средний остаток средств на счете =
При использовании модели Миллера-Орра следует обратить внимание на следующие моменты.
Целевой остаток средств на счете не является средней величиной между верхним и нижним пределами, поскольку его величина чаще приближается к своему нижнему пределу, чем к верхнему. Если установить целевой остаток равным средней величине между пределами, это минимизирует трансакционные затраты, но если он будет установлен ниже среднего уровня, результатом явится снижение величины альтернативных затрат. На основании этого Миллер и Орр рекомендуют устанавливать целевой остаток в размере Н/3, если L = 0 дол.; это минимизирует общие затраты.
Величина целевого остатка денежных средств и, следовательно, пределы колебания, увеличиваются с ростом F и у; увеличение F делает более затратным достижение верхнего предела, а большая у 2 приводит к более частым достижениям обоих из них.
Величина целевого остатка сокращается с увеличением k; так как если ставка банковского процента увеличивается, то растет величина альтернативных затрат и фирма стремится вложить средства, а не хранить их на счете.
Нижний предел не обязательно должен быть равен нулю, он может быть положителен, если фирме приходится поддерживать компенсационный остаток или руководство предпочитает иметь страховой запас денежных средств.
Опыт применения описанной модели показал ее преимущества перед чисто интуитивным управлением денежными средствами; однако если фирма имеет несколько альтернативных вариантов вложения временно свободных денежных средств, а не единственный в виде покупки, например, государственных ценных бумаг, то модель перестает действовать.
6. Модель может быть дополнена предположением о сезонных колебаниях выручки. В этом случае денежные потоки не будут соответствовать нормальному распределению, а станут учитывать вероятность увеличения или уменьшения остатка средств в зависимости от того, переживает компания период спада активности или подъема. При этих предположениях величина целевого баланса денежных средств не всегда будет равна 1/3 между верхним и нижним пределами.
Случайный в целом характер изменения запаса денежных средств во времени требует применения более продвинутых и адекватных реальным условиям подходов к его моделированию. К таким подходам следует отнести стохастические модели, а также методы имитационного моделирования.
Одна из первых стохастических моделей решения рассматриваемой проблемы была предложена М. Миллером (M. Miller) и Д. Орром (D. Orr) (Miller M., Orr D. A model of the demand for monney by firms. Quarterly Journal of Economics, August 1966).
Эта модель расчета оптимального остатка денежных средств представляет собой компромисс между простотой и реальностью. При ее построении был использован процесс Бернулли - стохастический процесс, в котором поступление и расходование денег от периода к периоду являются независимыми случайными событиями с равными вероятностями (т.е. р = 0,5).
Логика построения модели Миллера-Орра заключается в следующем, компанией устанавливается для себя некоторый минимальный запас денежных средств LCL, например равный страховому запасу либо компенсационному остатку.
Остаток средств на счете хаотически меняется между нижней LCL и верхней UCL границами. Если остаток достигает верхнего предела UCL, организация инвестирует денежные средства в различные финансовые инструменты с целью приведения запаса к некоторому оптимальному уровню (точке возврата - RP). Если запас денежных средств достигает нижнего предела LCL, то в этом случае предприятие реализует свои вложения либо привлекает кредит и таким образом пополняет запас денежных средств до оптимального уровня RP.
Так как целью управления согласно данной модели является минимизация суммарных издержек, формула для расчета оптимального запаса денежных средств, соответствующих точке возврата RP, имеет следующий вид :
Где,
RP - целевой остаток денежных средств (между минимальным и максимальным его значениями);
b - расходы по обслуживанию одной операции с финансовыми инструментами;
σ - среднеквадратическое отклонение (дисперсия) ежедневного объема денежного оборота;
i - среднедневной уровень потерь альтернативных доходов при хранении денежных средств (среднедневная ставка процента по краткосрочным финансовым операциям).
Соответственно, максимальный и средний остатки денежных средств определяются по формулам:
Нижний предел остатка денежных средств LCL определяет менеджмент организации в зависимости от доступности займов и вероятности нехватки денежных средств (он должен быть больше или равен нулю).
Формула рассчета оптимального кассового остатка модели Миллера-Орра также может быть представлена в виде:
В этом случае, оптимальное значение верхнего предела определяется как: UCL = 3*RP , а средний остаток денежных средств приближенно рассчитывается как (UCL + RP)/3 .
Таким образом, для использования модели Миллера - Орра на практике необходимо:
Недавно перечитал книгу Ричарда Брейли и Стюарта Майерса , в которой, в частности описываются модели управления денежными средствами. Модель Бомола является простейшей (см. главу 31 упомянутой ссылки). Однако она основана на ряде искусственных допущений. Серьезным развитием в этой области явилась модель Миллера-Орра. Настоящая заметка – это фрагмент книги Брейли и Майерса.
Рис. 1. В модели Миллера и Орра кривая остатка денежных средств свободно изгибается, пока не достигнет верхнего или нижнего предела. В этой точке фирма покупает или продает ценные бумаги, чтобы восстановить остаток до точки возврата, которая соответствует сумме нижнего предела и одной трети расстояния между верхним и нижним пределами.
Скачать заметку в формате или
Модель Бомола хорошо работает до тех пор, пока фирма постоянно использует свои запасы денежных средств. Однако обычно этого не происходит. В одни недели фирма может получать деньги по некоторым крупным неоплаченным счетам и, следовательно, иметь чистый приток денежных средств. В другие недели она может платить своим поставщикам и, следовательно, иметь чистый отток денежных средств.
Экономисты и ученые, занимающиеся проблемами управления, разработали более сложные и реалистичные модели, которые учитывают возможность как притока, так и оттока денежных средств. Давайте рассмотрим модель, разработанную Миллером и Орром. Она представляет собой хороший компромисс между простотой и реализмом.
Миллер и Орр рассчитали, как фирма должна управлять своими остатками денежных средств, если она не может прогнозировать их ежедневные притоки и оттоки (рис. 1). Вы можете видеть, что кривая остатка денежных средств изгибается непредсказуемо, пока не достигнет верхнего предела. В этой точке фирма покупает достаточное количество ценных бумаг, чтобы вернуть остаток денежных средств к нормальному уровню. И снова кривая остатка денежных средств может изгибаться, пока на этот раз не достигнет нижнего предела. Когда это происходит, фирма продает достаточное количество ценных бумаг, чтобы восстановить остаток до нормального уровня. Таким образом, правило заключается в том, чтобы позволить величине денежных средств «свободно гулять», пока она не достигнет верхнего или нижнего предела. Когда это происходит, фирма покупает или продает ценные бумаги, чтобы достичь желаемой величины остатка.
Насколько свободно фирма может позволить «гулять» своему остатку денежных средств? Миллер и Орр показывают, что ответ зависит от трех факторов. Если ежедневные колебания денежных потоков велики или если фиксированные затраты на куплю-продажу ценных бумаг высоки, тогда фирма должна расположить контрольные пределы далеко друг от друга. И наоборот, если высока ставка процента, контрольные пределы надо расположить ближе друг к другу. Формула расчета расстояния между пределами следующая:
Заметили ли вы одну странную вещь на рис. 1? Фирма возвращается не к точке, находящейся посередине между нижним и верхним пределом. Фирма всегда возвращается к точке, находящейся на одной трети расстояния от нижней до верхней точки. Другими словами, точка возврата равна:
Точка возврата = нижний предел + разрыв/3
Это означает, что, начиная всегда с точки возврата, фирма чаще достигает нижнего предела, чем верхнего. Это не минимизирует количество операций - для этого необходимо всегда начинать точно с середины расстояния. Однако если всегда начинать с середины, то это будет означать бо льшую среднюю величину остатка денежных средств и большие расходы на выплату процентов. Точка возврата Миллера и Орра минимизирует сумму операционных издержек и расходов на выплату процентов.
Модель Миллера-Орра легко использовать. Первый шаг – установить нижний предел остатка денежных средств. Это может быть ноль, некоторая минимально безопасная предельная величина больше нуля или остаток, который необходим, чтобы банк был удовлетворен. Второй шаг – оценка дисперсии денежных потоков. Например, вы можете записывать чистые притоки и оттоки денежных средств за каждый из последних 100 дней, а затем рассчитать дисперсию на основе этой выборки из 100 наблюдений. Более сложные методы измерения можно было бы использовать, если бы, скажем, существовали сезонные колебания в изменениях денежных потоков. Третьим шагом является рассмотрение ставки процента и операционных издержек по каждой покупке или продаже ценных бумаг. И заключительный шаг – расчет верхнего предела и точки возврата, передача этой информации клерку с инструкциями следовать стратегии «контрольных пределов», основанной на модели Миллера-Орра. Числовой пример представлен на рис. 2.
Рис. 2. Числовой пример использования модели Миллера-Орра
Практическая полезность этой модели ограничена допущениями, на которых она построена. Например, лишь немногие менеджеры согласятся, что притоки и оттоки денежных средств полностью непредсказуемы, как предполагает модель Миллера и Орра. Менеджер магазина игрушек знает, что перед Рождеством будет значительный приток денежных средств. Финансовые менеджеры знают, когда будут выплачиваться дивиденды и когда наступает срок уплаты налога на прибыль. Фирмы стремятся прогнозировать притоки и оттоки денежных средств, и их краткосрочные инвестиции и решения по финансированию поддерживают величину денежных средств, когда это необходимо, или ведут к вложению денег для получения процентов, когда в денежных средствах нет необходимости.
Такой вид краткосрочного финансового плана обычно разрабатывается, чтобы получить устойчивый нижний предел остатка денежных средств. Но всегда существуют колебания, особенно ежедневные, которые финансовые менеджеры не могут спланировать. Вы можете считать результаты исследований Миллера-Орра ответом на проблему денежных притоков и оттоков, которые нельзя или не стоит прогнозировать. Попытка спрогнозировать все денежные потоки «съела» бы огромное количество времени менеджеров.
Модель Миллера-Орра была проверена на данных о ежедневных денежных потоках нескольких фирм. Результаты получены аналогичные или лучше тех, которые достигались интуитивными действиями менеджеров. Однако модель не обеспечивает безусловный успех; в частности, простые эмпирические правила работают также хорошо. Модель Миллера-Орра может помочь нашему пониманию проблемы управления денежными средствами, но она не имеет больших преимуществ по сравнению с методами, основанными на суждениях менеджеров, при условии, конечно, что менеджеры понимают обсуждаемые проблемы.
Формула основана на допущении, что ожидаемое ежедневное изменение остатка денежных средств равняется нулю. Таким образом, предполагается отсутствие систематических понижательных или повышательных тенденций в остатках денежных средств. Если формула Миллера-Орра применима, вам необходимо знать лишь дисперсию ежедневных денежных потоков, т.е. дисперсию ежедневных изменений остатков денежных средств.
Которая базируется на предположении о равномерности расходования денежных средств, модель Миллера-Орра базируется на предположении о неопределенности входящих и исходящих денежных потоков . Она может быть применена на практике при соблюдении следующих исходных положений.
1. Существует неопределенность осуществления выплат и поступлений денежных средств.
2. Сальдо ежедневного денежного потока подчиняется закону нормального распределения, то есть изменяется случайным образом, а не подчиняется какой-либо тенденции.
3. При необходимости излишек денежных средств может быть вложен в ликвидные ценные бумаги.
4. При осуществлении купли-продажи ценных бумаг возникают определенные транзакционные издержки.
5. Предполагается возможность поддержания определенного страхового остатка денежных средств.
Согласно модели Миллера-Орра оптимальный остаток денежных средств рассчитывается по следующей формуле:
где F –транзакционные издержки пополнения остатка денежных средств;
σ – среднеквадратическое отклонение сальдо дневного денежного потока;
k - альтернативные издержки поддержания остатка денежных средств (процентная ставка по ликвидным ценным бумагам);
CB min – минимально допустимый остаток денежных средств.
Максимально допустимый остаток денежных средств (CB max ) рассчитывается по следующей формуле:
Величина минимально допустимого остатка денежных средств определяется индивидуально исходя из текущего финансового положения и потребностей бизнеса. При наличии существенных вложений в ликвидные ценные бумаги или возможности взять краткосрочный кредит в любой момент, он может быть установлен на нулевом уровне. Однако при других обстоятельствах бизнес может поддерживать определенный страховой остаток денежных средств на случай возникновения непредвиденных обстоятельств, что не противоречит исходным положениям модели Миллера-Орра.
Предположим, что среднеквадратическое отклонение сальдо ежедневного денежного потока составляет 5000 у.е., процентная ставка по ликвидным ценных бумагам 12% годовых, а транзакционные издержки при купле-продаже ценных бумаг 75 у.е. При этом руководство компании приняло решение поддерживать страховой остаток денежных средств на уровне 10000 у.е.
Приведем процентную ставку по ликвидным ценным бумагам к дневному выражению, для чего необходимо решить следующее уравнение:
(1+k) 365 - 1 = 0,12
(1+k) 365 = 1,12
Оптимальный остаток денежных средств составит 26536,14 у.е., а максимальный 59608,41 у.е.
Обоснование минимального и максимального остатка денежных средств задает допустимый диапазон колебаний. При этом оптимальный остаток денежных средств является ориентиром, которого следует придерживаться в следующих ситуациях.
1. При снижении фактического остатка денежных средств до минимально допустимого уровня (точка А на рисунке) его следует пополнить до оптимального уровня за счет продажи купленных ранее ликвидных ценных бумаг.
2. При увеличении фактического остатка денежных средств до максимально допустимого уровня (точка Б на рисунке) необходимо купить ликвидных ценных бумаг на сумму равную (CB max - OCB ), тем самым снизив остаток до оптимального уровня.
При использовании модели Миллера-Орра на практике также необходимо учитывать следующие моменты.
1. С ростом транзакционных издержек (F ) при пополнении денежных средств оптимальный остаток будет увеличиваться.
2. Рост среднеквадратического отклонения сальдо ежедневного денежного потока также приводит к увеличению оптимального остатка денежных средств, а также увеличивает вероятность достижения минимального и максимального предела.
3. С увеличением альтернативных издержек (k ) оптимальный остаток денежных средств будет снижаться, поскольку вкладывать деньги в ликвидные ценные бумаги станет более выгодно.
Рис. 8.16. Модель Миллера–Орра
При решении вопроса о размахе вариации (разность между верхним и нижним пределами) рекомендуется придерживаться следующий политики: если ежедневная изменчивость денежных потоков велика или постоянные затраты, связанные с покупкой и продажей ценных бумаг, высоки, то предприятию следует увеличить размах вариации и наоборот. Также рекомендуется уменьшить размах вариации, если есть возможность получения дохода благодаря высокой процентной ставке по ценным бумагам. Реализация модели осуществляется в несколько этапов:
1. Устанавливается минимальная величина денежных средств (Он), которую целесообразно постоянно иметь на расчетном счете (она определяется экспертным путем исходя из средней потребности предприятия в оплате счетов, возможных требований банка и др.).
2. По статическим данным определяется вариация ежедневного поступления средств на расчетный счет (V).
3. Определяются расходы (РХ) по хранению средств на расчетном счете (обычно их принимают в сумме ставки ежедневного дохода по краткосрочным ценным бумагам, циркулирующим на рынке) и расходы (РТ) по взаимной трансформации денежных средств и ценных бумаг (эта величина предполагается постоянной; аналогом такого вида расходов, имеющим место в отечественной практике, являются, например, комиссионные, уплачиваемые в пунктах обмена валюты).
4. Рассчитывают размах вариации остатка денежных средств на расчетном счете (S) по формуле (8.15.):
(8.15)
5. Рассчитывают верхнюю границу денежных средств на расчетном счете (Ов), при превышении которой необходимо часть денежных средств конвертировать в краткосрочные ценные бумаги:
Ob=Oh+S. (8.16)
6. Определяют точку возврата (ТВ) – величину остатка денежных средств на расчетном счете, к которой необходимо вернуться в случае, если фактический остаток средств на расчетном счете выходит за границы интервала (ОН, ОВ):
Пример:
Приведены следующие данные о денежном потоке на предприятии:
– минимальный запас денежных средств (ОН) – 10 тыс. долл.;
– расходы по конвертации ценных бумаг (РТ) – 25 долл.;
– процентная ставка – 11,6% в год;
– среднее квадратическое отклонение в день – 2000 долл.
С помощью модели Миллера- Орра определить политику управления средствами на расчетном счете.
Решение
1. Расчет показателя РХ:
(1+РХ)365=1,116,
отсюда: РХ=0,0003, или 0,03% в день.
2. Расчет вариации ежедневного денежного потока:
V=20002=4000000.
3. Расчет размаха вариации по формуле: 
= 18900 долл.
4. Расчет верхней границы денежных средств и точки возврата:
ОВ= 1000+18900 долл.=29900 долл.
ТВ=10000+1/3*18900=16300 долл.
Таким образом, остаток средств на расчетном счете должен варьировать в интервале (10000, 18900); при выходе за пределы интервала необходимо восстановить средства на расчетном счете в размере 16300 долл.
