Državna vsota. Statistična vsota. Izračun termodinamične skupne energije

Marianski rov ali Marianski rov je oceanski rov v zahodnem Tihem oceanu, ki je najgloblja znana geografska značilnost na Zemlji.

Raziskovanje Marianskega jarka je začela odprava (december 1872 - maj 1876) angleške ladje "Challenger" (HMS Challenger), ki je izvedla prve sistemske meritve globin Tihega oceana. Ta vojaška jadralna korveta s tremi jambori je bila leta 1872 predelana v oceanografsko plovilo za hidrološka, ​​geološka, ​​kemična, biološka in meteorološka dela.

K preučevanju Marianskega globokega jarka so pomembno prispevali tudi sovjetski raziskovalci. Leta 1958 je odprava na "Vityaz" ugotovila obstoj življenja na globinah več kot 7000 m in s tem ovrgla takrat prevladujočo predstavo o nezmožnosti življenja na globinah več kot 6000-7000 m.

"Vityaz" v mestu Kaliningrad na večnem parkirišču

Pred pol stoletja, 23. januarja 1960, se je zgodil pomemben dogodek v zgodovini osvajanja svetovnih oceanov.

Tržaški bathyscaphe, ki sta ga pilotirala francoski raziskovalec Jacques Piccard (1922–2008) in poročnik ameriške mornarice Don Walsh, je dosegla najglobljo točko oceanskega dna, Challenger Deep, ki se nahaja v Marijanskem rovu in je dobila ime po angleški ladji Challenger. od koder so leta 1951 prejeli prve podatke o njem. Potop je trajal 4 ure 48 minut in se je končal na 10911 m nadmorske višine. Na tej strašni globini, kjer pošastni tlak 108,6 MPa (kar je več kot 1100-krat večji od običajnega atmosferskega tlaka) splošči vsa živa bitja, so raziskovalci naredili pomembno oceanološko odkritje: videli so dve 30-centimetrski ribi, podobni iverki. , plavanje mimo okna. Pred tem je veljalo, da na globinah, ki presegajo 6000 m, ni življenja.

Tako je bil postavljen absolutni rekord globine potapljanja, ki ga niti v teoriji ni mogoče preseči. Picard in Walsh sta bila edina, ki sta bila na dnu Challengerjevega brezna. Vse nadaljnje potope do najgloblje točke svetovnih oceanov so v raziskovalne namene že izvajali robotski batiskafi brez posadke. Vendar jih ni bilo toliko, saj je "obisk" Challenger Abyss naporen in drag.

Eden od dosežkov tega potopa, ki je blagodejno vplival na ekološko prihodnost planeta, je bila zavrnitev jedrskih sil, da radioaktivne odpadke zakopljejo na dno Marianskega jarka. Dejstvo je, da je Jacques Picard eksperimentalno ovrgel takrat prevladujoče mnenje, da na globinah nad 6000 m ni gibanja vodnih mas navzgor.

V 90. letih je tri potope opravil japonski aparat Kaiko, ki je bil daljinsko voden z "mate" ladje preko optičnega kabla. Vendar je leta 2003 med raziskovanjem drugega dela oceana med neurjem počila vlečna jeklenica in robot se je izgubil.

Podmorniški katamaran Nereus je postal tretje globokomorsko vozilo, ki je doseglo dno Marianskega jarka.

31. maja 2009 je človeštvo ponovno doseglo najglobljo točko Pacifika in pravzaprav celotnega svetovnega oceana - ameriško globokomorsko vozilo Nereus je potonilo v vrtačo Challenger na dnu Marijanskega jarka. Naprava je vzela vzorce zemlje in izvedla podvodno fotografiranje in video snemanje na največji globini, osvetljeno le z LED reflektorjem.

V rokah študentke Eleanor Bors je morska kumara, ki živi v samem breznu in jo je pobral Nereusov aparat.

Med trenutnim potopom so Nereusovi instrumenti zabeležili globino 10.902 metrov. Kazalnik "Kaiko", ki se je tu prvič spustil leta 1995, je bil 10.911 metrov, Picard in Walsh pa sta izmerila vrednost 10.912 metrov. Na mnogih ruskih zemljevidih ​​je še vedno navedena vrednost 11.022 metrov, ki jo je pridobilo sovjetsko oceanografsko plovilo "Vityaz" med odpravo leta 1957. Seveda vse to priča o netočnosti meritev in ne o resnični spremembi globine: nihče ni izvedel navzkrižne kalibracije merilne opreme, ki je dala dane vrednosti.

Marianski rov tvorijo meje dveh tektonskih plošč: ogromna pacifiška plošča sega pod ne tako veliko filipinsko ploščo. To je območje izjemno visoke potresne aktivnosti, del tako imenovanega pacifiškega vulkanskega ognjenega obroča, ki se razteza na 40 tisoč km, območje z najpogostejšimi izbruhi in potresi na svetu. Najgloblja točka jarka je brezno Challenger, poimenovano po angleški ladji.

Depresija se razteza vzdolž Marianskih otokov v dolžini 1500 km; ima profil v obliki črke V, strma (7-9 °) pobočja, ravno dno široko 1-5 km, ki ga brzice delijo na več zaprtih depresij. Na dnu tlak vode doseže 108,6 MPa, kar je več kot 1100-krat višje od običajnega atmosferskega tlaka na ravni Svetovnega oceana. Depresija se nahaja na stičišču dveh tektonskih plošč, v območju gibanja vzdolž prelomov, kjer pacifiška plošča prehaja pod Filipinsko ploščo.

Nerazložljivo in nerazumljivo je vedno privlačilo ljudi, zato znanstveniki po vsem svetu tako radi odgovorijo na vprašanje: "Kaj se skriva v globinah Marianskega jarka?"

Ali živi organizmi lahko živijo na tako veliki globini in kako naj bi izgledali, če jih pritiskajo ogromne mase oceanskih voda, katerih tlak presega 1100 atmosfer? Težave, povezane s preučevanjem in razumevanjem bitij, ki živijo v teh nepredstavljivih globinah, so dovolj, a človeška iznajdljivost ne pozna meja. Oceanologi so dolgo časa menili, da je noro domnevati, da bi življenje lahko obstajalo na globinah več kot 6000 metrov v nepregledni temi, pod pošastnim pritiskom in pri temperaturah blizu nič. Vendar pa so rezultati raziskav znanstvenikov v Tihem oceanu pokazali, da so v teh globinah, precej pod mejo 6000 metrov, ogromne kolonije živih organizmov pogonophora ((rogonophora; iz grščine pogon - brada in phoros - prenašanje), vrsta morskih nevretenčarjev, ki živijo v dolgih hitinskih ceveh, odprtih na obeh koncih). V zadnjem času so tančico skrivnosti dvignila podvodna vozila s posadko in avtomati, izdelani iz težkih materialov, opremljena z video kamerami. Rezultat je bilo odkritje bogate živalske skupnosti, ki jo sestavljajo tako znane kot manj znane morske skupine.

Tako so na globinah 6000 - 11000 km našli naslednje:

Barofilne bakterije (razvijajo se le pri visokem tlaku);

Od protozojev - foraminifera (odred protozojev podrazreda rizopodov s citoplazmatskim telesom, oblečenim z lupino) in ksenofiofori (barofilne bakterije iz praživali);

Od večceličnih organizmov - polihete, izopodi, amfipodi, holoturiji, školjke in polži.

V globinah ni sončne svetlobe, ni alg, stalna slanost, nizke temperature, obilica ogljikovega dioksida, ogromen hidrostatični tlak (naraste za 1 atmosfero na vsakih 10 metrov). Kaj jedo prebivalci brezna?

Viri hrane globoko zakoreninjenih živali so bakterije, pa tudi dež "trušev" in organski detritus, ki prihaja od zgoraj; globoke živali so bodisi slepe bodisi z močno razvitimi očmi, pogosto teleskopskimi; številne ribe in glavonožci s fotofluoroidi; pri drugih oblikah se površina telesa ali njegovih delov sveti. Zato je videz teh živali tako grozen in neverjeten kot razmere, v katerih živijo. Med njimi - 1,5 metra dolgi črvi zastrašujočega videza, brez ust in anusa, mutantne hobotnice, izjemne morske zvezde in nekaj mehkih bitij, dolgih dva metra, ki jih sploh še niso identificirali.

Kljub temu, da so znanstveniki naredili velik korak pri preučevanju Marianskega jarka, se vprašanja niso zmanjšala, pojavile so se nove skrivnosti, ki jih je treba še rešiti. In oceansko brezno zna hraniti svoje skrivnosti. Ali jih bodo ljudje lahko razkrili v bližnji prihodnosti?

—> Satelitski pogled na depresijo <—

Vsota nad stanji (sinonimi - particijska funkcija, statistični integral) je normalizacijski faktor porazdelitvene funkcije kanoničnega ansambla. Če so znane energijske ravni sistema E i in njihove statistične uteži g i(tj. število nivojev z energijo E i), potem ima vsota po stanjih obliko:

kje T-temperatura, V- prostornina sistema, N je število delcev. Ime "vsota nad stanji" odraža dejstvo, da je funkcija Z(T,V,N) je vsota Boltzmannovih faktorjev za vsako energijsko raven.

Včasih se vsota stanj za sistem, sestavljen iz identičnih delcev, določi preko integrala po faznem prostoru (od tod tudi ime - "statistični integral"). Če je Hamiltonova funkcija sistema znana H(str,q), potem se vsota po stanjih določi na naslednji način:

kjer je integral prevzet po koordinatah in momentih vseh N delci. Tukaj h= 6,63 10 -34 J. s - Planckova konstanta. Faktor pred integralom upošteva neločljivost delcev in načelo kvantne negotovosti.

Glavna prednost vsote pred državami je v tem vsebuje vse termodinamične informacije o sistemu ... Če je bilo mogoče na nek način (analitično ali numerično) izračunati vsoto po stanjih sistema, potem je mogoče določiti vse termodinamične funkcije in najti enačbo stanja tega sistema. tako, glavna naloga statistične termodinamike je zmanjšana na izračun vsote po stanjih termodinamičnih sistemov .

Lastnosti državne vsote

Vse spodaj navedene lastnosti izhajajo iz definicij (11.1) in (11.2).

1. Vsota stanj je brezrazsežna količina. Odvisno je od temperature, prostornine in števila delcev: Z = Z(T,V,N). To je izrecno odvisno od temperature, ravni energije pa so odvisne od prostornine in števila delcev: E i = E i(V,N).

2. Vsota stanj ni absolutna vrednost: določena je v okviru konstantnega faktorja, ki je odvisen od izbire energijske referenčne točke. Če premaknete izhodišče, t.j. spremenite vse ravni energije za enako količino: E i E i+, potem se bodo vsi Boltzmannovi faktorji povečali (ali zmanjšali) za enako število krat, vsota stanj pa se bo spremenila za enako količino:

Z

Običajno se za referenčno točko vzame energija sistema pri absolutni ničli, U 0 .

3. Kdaj T 0 vsi Boltzmannovi faktorji težijo k 0, razen tistega, ki ustreza nižji energijski ravni, zato se vsota stanj nagiba k statistični teži te ravni:

Pri nizkih temperaturah so samo nizkoenergijski nivoji ( E ~ kT).

4. Kdaj T vsi eksponenti, vključeni v definicijo (11.1), težijo k 1, tako da se vsota nad stanji stremi k vsoti statističnih uteži vseh ravni:

,

ki je lahko končna ali neskončna, odvisno od števila energijskih nivojev. Primer sistema s končno mejo vsote stanj so jedrski vrti v kristalih LiF v zunanjem magnetnem polju.

5. Vsota stanj je monotono naraščajoča funkcija temperature. To izhaja iz dejstva, da je izpeljanka ( Z/T) V, N, izračunan iz definicije (11.1), je pozitiven pri vseh temperaturah.

6. Če lahko sistem razdelimo na dva neodvisna podsistema, tako da lahko vsako energijsko raven predstavimo kot vsoto: E i = E i 1 + E i 2, potem je vsota stanj razdeljena na faktorje (faktorizirane): Z = Z 1Z 2, kjer funkcije Z 1 in Z 2 so definirane z izrazom (11.1), vendar seštevek v njem velja samo za energetske ravni tega podsistema.

7. Glavna lastnost vsote nad stanji je njena povezava s termodinamičnimi funkcijami.

Razmerje med vsoto po stanjih in termodinamičnimi funkcijami

Notranjo energijo termodinamičnega sistema lahko predstavimo kot povprečno energijo na vseh ravneh, ob upoštevanju njihove populacije:

,

kje U 0 - energija pri absolutni ničli T= 0. Desno stran te definicije lahko transformiramo z uporabo definicije vsote po stanjih (11.1):

. (11.3)

Tako je, če poznamo vsoto stanj, mogoče določiti notranjo energijo kot funkcijo temperature in prostornine.

Drugo osnovno razmerje se nanaša na vsoto stanj in Helmholtzovo energijo:

. (11.4)

Diferencialna funkcija F po temperaturi in prostornini lahko najdete entropijo in tlak:

. (11.6)

Zadnja relacija ni nič drugega kot toplotna enačba stanja, tj. odvisnost tlaka od prostornine in temperature.

Z relacijami (11.3) - (11.6) lahko najdemo katero koli drugo termodinamično funkcijo. Zanimivo je, da vse termodinamične funkcije ne določa sama vsota stanj, temveč njen logaritem.

Molekularna vsota nad idealnimi plinskimi stanji

Številne lastnosti vsote nad stanji lahko obravnavamo na primeru pomembnega posebnega primera termodinamičnega sistema - idealen plin... Vsota stanj idealnega plina, sestavljena iz N enakih delcev, lahko izrazimo z vsoto stanj enega delca Q:

kjer je faktor 1 / N! upošteva kvantno načelo nerazločljivosti delcev.

V mnogih primerih je mogoče ravni energije idealne molekule plina razdeliti na izraze, ki ustrezajo različnim vrstam gibanja – translacijskemu, rotacijskemu, vibracijskemu, elektronskemu in jedrskemu: E = E objava + E bp + Eštej + E e-pošta + E strup, zato je molekularna vsota stanj faktorizirana:

Q = Q hitro Q vr Qšteti Q E-naslov Q strup (11,8)

a) Translacijsko vsoto po stanjih lahko izračunamo po formuli (11.2) s Hamiltonovo funkcijo H(str,q) = str 2 / 2m (m je masa molekule). Integracija treh koordinat in treh projekcij zagona se izvede ločeno in daje:

Q post =, (11,9)

kje V- prostornina, v kateri se giblje molekula.

b) Rotacijska vsota po stanjih je odvisna od simetrije molekule. V najpreprostejšem primeru so ravni energije za linearno molekulo odvisne le od rotacijskega kvantnega števila J: E J = hcBJ(J+1), kje B- rotacijsko konstanto (dimenzija - cm -1), ki jo določa vztrajnostni moment molekule, c= 3 10 10 cm / s - hitrost svetlobe. Vsaka stopnja rotacije ima statistično težo g J = 2 J+ 1. Pri ne zelo nizkih temperaturah ( T >> B / k) seštevanje v (11.1) lahko nadomestimo z integracijo nad J, kaj daje:

Q bp = (11,10)

Za simetrične molekule je treba to vrednost deliti s številom simetrije (za diatomske homonuklearne molekule je enako 2).

Pri nizkih temperaturah najdemo rotacijsko vsoto po stanjih s seštevanjem več nižjih vrednosti J.

c) Nihanja jeder so opisana z modelom harmonskega oscilatorja, v katerem so ravni energije linearno odvisne od vibracijskega kvantnega števila: E n = hc n, kjer je frekvenca vibracij (v cm -1); energija stanja s n= 0 se vzame kot referenčna točka. Nivo vibracijske energije ni degeneriran, statistična teža je 1. Vsota stanj harmonskega oscilatorja s frekvenco je enaka:

Q= (11.11)

Ta vsota se od 1 izrazito razlikuje le, če je ulomek v eksponentu manjši od 1, tj. za temperature T > Tštej = hc/ k... Slednje se imenuje efektivna vibracijska temperatura za dano vibracijo. Če je temperatura pod temperaturo vibracij, je vsota stanj skoraj enaka 1.

V molekuli, sestavljeni iz n atomi so 3 n-6 (v linearni molekuli - 3 n-5) različne vibracije, vsaka s svojo frekvenco jaz, zato je vsota vibracij po stanjih molekule enaka zmnožku vsote stanj za vsako od teh vibracij:

Qštej = (11.12)

d) Raven elektronske in jedrske energije v molekuli sta običajno zelo oddaljeni drug od drugega in pri ne previsokih temperaturah k ustrezni vsoti stanj prispeva samo nivo tal, katerih energija je vzeta kot 0 . Elektronska in jedrska vsota nad državami sta enaka statističnim uteži nižje elektronske in jedrske ravni:

Q email = g E-naslov, Q strup = g JAZ. (11.13)

Molekularne vsote nad stanji za posamezne vrste gibanja lahko uporabimo za izračun absolutne in relativne populacije posameznih energijskih nivojev po Boltzmannovem zakonu o porazdelitvi:

. (11.14)

PRIMERI

Primer 11-1. Molekula je lahko na ravni z energijo 0 ali na eni od treh ravni z energijo E... Poišči molekulsko vsoto po stanjih in izračunaj odvisnost molarne notranje energije od temperature.

Rešitev... Molekularno vsoto po stanjih najdemo preprosto po definiciji:

Skupna vsota stanj je povezana z molekularnim razmerjem (11.7). Za izračun molarne notranje energije ni potrebna sama vsota, ampak njen logaritem:

Če diferenciramo ta izraz glede na temperaturo in uporabimo formulo (11.3), ugotovimo:

(N A je Avogadrovo število).

Primer 11-2. Vsota stanj določenega termodinamičnega sistema, sestavljenega iz N enakih delcev je enako:

Poiščite notranjo energijo, entropijo in enačbo stanja tega sistema.

Rešitev... Poiščite logaritem vsote nad stanji:

in uporabite formule (11.3), (11.5) in (11.6):

,

kje S 0 ni odvisno od T in V.

Ta sistem je idealen plin.

Primer 11-3. Izračunajte molekularno translacijsko vsoto stanj za N 2 v normalnih pogojih, če je znano, da je molekularna translacijska vsota stanj za H 2 pri temperaturi 298 K in tlaku 101,3 kPa 6,70 10 28.

Rešitev... Translacijska vsota po stanjih je enaka:

Q post =

Tlak je v obeh primerih enak, razlikujejo se le molekulske mase in temperature. Razmerje translacijskih vsot lahko najdemo glede na razmerje med mas in temperaturami:

kje Q post (N 2) = 42,1 6,70 10 28 = 2.82 10 30 .

Primer 11-4. Od katere vibracijske ravni bo populacija molekule klora (= 560 cm -1) manjša od 1 % pri 1000 K?

Rešitev... Za energijske nivoje uporabljamo Boltzmannovo formulo (11.14). E n = hc n in vibracijska vsota nad stanji (11.11):

.

Izračunajmo eksponent, vključen v to neenakost:

Rešitev enačbe

daje n = 4.97 5.

NALOGE

11-1. Naj neka molekula obstaja v treh stanjih z energijami, enakimi 0, E in E... Poiščite izraz za molekulsko vsoto po stanjih Q in molarna notranja energija.

11-2. Naj je za neko hipotetično molekulo pri visokih temperaturah molekulska vsota po stanjih enaka: Q = 2 - /(kT). Poiščite izraze za: a) molsko povprečno energijo; b) molarna entropija; c) molarna izohorična toplotna kapaciteta. Pojasni, zakaj taka molekula ne more obstajati.

11-3. Statistična vsota določenega termodinamičnega sistema, sestavljenega iz N enakih delcev je enako:

.

Poiščite notranjo energijo, Helmholtzovo energijo, entropijo in enačbo stanja tega sistema.

11-4. Podana sta dva termodinamična sistema. Za enega od njih je znana odvisnost notranje energije od temperature: U(T) = kT + U 0, za drugo - odvisnost Helmholtzove energije od temperature: F(T) = -kT ln T + U 0 (, so stalni faktorji, k- Boltzmannova konstanta). Poiščite statistično vsoto glede na temperaturo za oba sistema.

11-5. S pomočjo enačbe stanja poiščite prostornino odvisnost skupne vsote od stanj idealnega plina in van der Waalsovega plina.

11-6. Z uporabo razmerja med vsoto po stanjih in termodinamičnimi funkcijami izrazite izpeljanke ( U/V) T in ( S/V) T skozi tlak in njegove derivate.

11-7. Za nek termodinamični sistem (ni idealen plin) je znana vsota stanj, Z(T,V). Poiščite delo, ki ga ta sistem opravi pri reverzibilni izotermični ekspanziji V 1 do V 2 .

11-8. Izračunajte translacijsko vsoto po stanjih O 2 pri temperaturi 100 °C in normalnem tlaku, če je znano, da je translacijska vsota po stanjih He v normalnih pogojih 1,52. 10 29.

11-9. Kolikšna je vsota vibracij za stanja joda (= 214 cm -1) pri temperaturi 1200 K?

11-10. Izračunajte vsoto molekularnih vibracij za stanja ogljikovega monoksida (IV) pri 1500 K. Frekvence vibracij: 1 = 1388,2 cm -1, 2 = 667,4 cm -1 (dvojna degeneracija), 3 = 2349,2 cm -1.

11-11. Izračunajte rotacijsko vsoto stanj molekule F 2 pri 0 °C, če je znano, da je vsota rotacije nad stanji molekule 35 Cl 2 pri 298 K 424. Medjedrna razdalja v molekuli fluora je 1,4-kratna manj kot v molekuli klora.

11-12 *. Kako se bo rotacijska vsota spremenila po stanjih, če iz vsakega (2 J+1) ravni z enako energijo J ravni bodo povečale svojo energijo za nekaj vrednosti, J ravni bodo zmanjšale energijo za enako količino, vendar se ena energijska raven ne bo spremenila?

11-13. Izračunajte verjetnost, da boste našli molekulo vodika (= 4400 cm -1) v prizemnem vibracijskem stanju pri 4000 K.

11-14. Izračunajte verjetnost, da boste našli atomsko žveplo v tleh in prvih vzbujenih elektronskih stanjih pri 1000 K z uporabo naslednjih podatkov:

Elektronski izraz	Energija (cm -1)	Statistična teža

11-15. S pomočjo podatkov iz prejšnjega problema izračunajte vsoto elektronov po stanjih in povprečno energijo elektronov atoma žvepla pri 1000 K.

11-16 *. Določite ravnotežne koncentracije orto- in paravodika pri 120 K (rotacijska konstanta B= 60,9 cm -1).

11-17. Poiščite raven rotacijske energije molekule N 2 ( B= 2,00 cm -1), ki ima najvišjo populacijo pri: a) T= 298 K, b) T= 1000 K.

11-18. Pri kateri temperaturi je rotacijski nivo s J= 10 v osnovnem elektronskem in vibracijskem stanju molekule O 2 ( B= 1,45 cm -1) ima najvišjo populacijo med vsemi rotacijskimi ravnmi?

11-19. Upoštevajte populacijo J rotacijski nivo dvoatomske molekule kot funkcija temperature. Pri kakšni temperaturi je ta populacija največja? (Rotacijska konstanta B).

Statistična vsota (oz državna vsota ) je najpomembnejši parameter modela kanoničnega statističnega ansambla, ki se uporablja za opis najpogostejše vrste statističnih sistemov – sistemov v termičnem stiku s termostatom.

Uporabnost statističnih vsot je posledica številnih njihovih posebnosti.

1) statistična vsota je številčna značilnost, ki odraža funkcijo porazdelitve statističnega ansambla v strnjeni obliki;

2) statistične vsote so multiplikativne - če je v kompleksnem sistemu mogoče razlikovati več šibko medsebojno delujočih podsistemov, potem lahko statistično vsoto sistema predstavimo kot produkt statističnih vsot njegovih podsistemov;

Q = q 1 q 2 … q n

3) vse glavne termodinamične značilnosti sistema lahko izrazimo s statistično vsoto:

brezplačno energijoF = – kT ln Q

notranja energijaU= (kT) 2 d(ln Q) /d (kT)

entropija S = k  d (kT V Q) / d (kT)

ki omogoča izračun teh makroskopskih značilnosti snovi na podlagi informacij o zgradbi njenih molekul in zunanjih pogojih (temperatura itd.).

S formalnega vidika igra particijska funkcija vlogo normalizacijskega faktorja pri izračunu verjetnosti v modelu kanoničnega ansambla:

str(E jaz) = (1 / Q) exp (- E jaz/ ), kjer je Q = 

Za razliko od verjetnosti str(E jaz), vrednost same statistične vsote Q je odvisna od uporabljene energetske lestvice. Zato pri izračunu uporabite posebno statistično lestvico , pri katerem ničelna oznaka sovpada z najnižjo energijsko raven, ki je na voljo za preučevani sistem. Povedano drugače, statistični izračuni ne bi smeli upoštevati t.i. "nič energije" E o, ki označuje vse sorodne sisteme. Ta energija ne more sodelovati pri izmenjavi toplote z okoljem (termostat) in zato na noben način ne prispeva k statističnemu obnašanju termostatskega sistema. Tako pri izračunu statističnih vsot ne smemo uporabljati energijskih vrednosti, ki jih dajejo kvantno mehanski modeli (potencialna škatla, oscilator itd.), ampak popravljene vrednosti:

E stat = E krzno - E O

Na primer, model enodimenzionalne potencialne škatle vodi do dopustnih energijskih vrednosti, izraženih z dobro znano formulo:

E n= ( 2  2/2 ml)  n 2 , kje n = 1, 2, …

Na statistični lestvici ima ta izraz drugačno obliko:

(E n) stat = E n – E 1 = ( 2  2/2 ml)  (n 2 – 1)

Ker je v statistični lestvici prva dovoljena energijska vrednost nič, je prvi eksponent v vsoti vedno enak ena, formula za izračun statistične vsote pa ima obliko:

Q = 1 + 

kjer bi se moralo začeti seštevanje jaz= 2.

Iz tega zlasti sledi, da možne številčne vrednosti statistične vsote vedno ležijo v intervalu: 1< Q<, причем равенствоQ= 1 наблюдается для чисто механических систем, изолированных от окружающей среды, для которых энергия может иметь единственное допустимое значение (в статистической шкале оно будет равно нулю)

Verjetnost za nižjo (prvo) raven energije bo izražena s formulo:

P 1 = 1 / Q = N 1 /N

statistično vsoto pa lahko definiramo kot razmerje med številom vseh sistemov v ansamblu ( N) na število sistemov v nevzbujenem energijskem stanju ( N 1):

Q = N /N 1

Z drugimi besedami, če nobeden od sistemov ansambla ni vzbujen (ni stika s termostatom), potem je Q = 1. Več sistemov ansambla preide v vzbujena stanja, večja postaja particijska funkcija. Lahko rečemo, da je statistična vsota merilo stopnje vpliva termostata na lastnosti termostatskega sistema (merilo »statističnosti«).

Oglejmo si nekaj primerov uporabe statističnih vsot kot značilnosti statističnih sistemov.

Pri fiksni temperaturi, prostornini in številu delcev. Velika kanonična particijska funkcija se nanaša na velik kanonični statistični ansambel, v katerem lahko sistem izmenjuje tako toploto kot delce z okoljem pri določeni temperaturi, prostornini in kemičnem potencialu. V drugih primerih lahko definirate druge vrste statističnih vsot.

Statistična vsota v kanoničnem ansamblu

Opredelitev

Recimo, da obstaja sistem, ki upošteva zakone termodinamike in je v stalnem toplotnem stiku z medijem, ki ima temperaturo texvc , prostornina sistema in število njegovih sestavnih delcev pa sta fiksna. V takšni situaciji sistem spada v kanonično zasedbo. Označujemo natančen stanja, v katerih je lahko sistem, skozi Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): (J = 1,2,3, \ ldots), skupna energija sistema pa je v stanju Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): J - Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): E_j... Običajno lahko na ta mikrostanja gledamo kot na diskretna kvantna stanja sistema.

Funkcija kanonske particije- to je

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): Z = \ sum_j e ^ (- \ beta E_j),

kje je temperatura povratka Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri konfiguraciji glejte matematiko / README.): \ Beta definirano kot

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Beta \ equiv \ frac (1) (k_BT),

a Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri konfiguraciji glejte matematiko / README.): K_B je Boltzmannova konstanta. V klasična bilo bi napačno, če bi statistična mehanika statistično vsoto opredelila kot vsoto diskretnih členov, kot je v zgornji formuli. V klasični mehaniki se lahko koordinate in momenti delcev nenehno spreminjajo, niz mikrostanj pa je nešteto. V tem primeru je treba fazni prostor razdeliti na celice, to pomeni, da se dve mikrostanji štejeta za enaki, če njune razlike v koordinatah in momentih "niso prevelike". V tem primeru ima statistična vsota obliko integrala. Na primer statistična vsota plina iz Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc klasični delci so

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): Z = \ frac (1) (N! H ^ (3N)) \ int \ exp [- \ beta H (p_1, \ ldots, p_N, x_1, \ ldots, x_N) ] \, d ^ 3p_1 \ ldots d ^ 3p_N \, d ^ 3x_1 \ ldots d ^ 3x_N,

kje Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc - neka vrednost dimenzije delovanja (ki mora biti enaka Planckovi konstanti, da ustreza kvantni mehaniki), in Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): H je klasični Hamiltonian. Razlogi za pojav množitelja Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc pojasnil. Zaradi poenostavitve bo ta članek uporabil diskretno obliko particije, vendar dobljeni rezultati veljajo enako za neprekinjeno obliko.

V kvantni mehaniki se lahko particijska funkcija bolj formalno zapiše kot sled nad prostorom stanj (ki je neodvisen od izbire osnove):

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): Z = \ mathrm (tr) \, (e ^ (- \ beta H)),

kje Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): H- Hamiltonov operater. Eksponent operatorja se določi z razširitvijo potenzivnega niza.

Pomen in pomen

Najprej razmislimo, od česa je odvisno. Razdelitvena funkcija je predvsem funkcija temperature. Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): T, v drugem pa - energije mikrostanj Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): E_1, E_2, E_3 itd. Energije mikrostanj določajo druge termodinamične količine, kot so število delcev in prostornina, pa tudi mikroskopske lastnosti, kot je masa delcev. Ta odvisnost od mikroskopskih lastnosti je temeljna v statistični mehaniki. Z uporabo modela mikroskopskih komponent sistema je mogoče izračunati energije mikrostanj in posledično statistično vsoto, ki omogoča izračun vseh ostalih termodinamičnih lastnosti sistema.

Za izračun termodinamičnih veličin lahko uporabimo particijsko funkcijo, saj ima zelo pomemben statistični pomen. Verjetnost Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): P_j s katerim je sistem v mikrostanju Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): J, je enako

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): P_j = \ frac (1) (Z) e ^ (- \ beta E_j).

Statistična vsota je vključena v Gibbsovo porazdelitev v obliki normalizacijskega faktorja (it ne odvisno od Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): J), ki zagotavlja, da je vsota verjetnosti enaka enoti:

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Sum_j P_j = \ frac (1) (Z) \ sum_j e ^ (- \ beta E_j) = \ frac (1) (Z) Z = 1.

Izračun termodinamične skupne energije

Za prikaz uporabnosti razdelitvene funkcije izračunamo termodinamično vrednost celotne energije. To je preprosto matematično pričakovanje ali povprečna energijska vrednost ansambla, enaka vsoti energij mikrostanj, vzetih z utežmi, ki so enake njihovim verjetnosti:

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Langle E \ rangle = \ sum_j E_jP_j = \ frac (1) (Z) \ sum_j E_j e ^ (- \ beta E_j) = - \ frac (1) (Z ) \ frac (\ delno) (\ delno \ beta) Z (\ beta, \; E_1, \; E_2, \; \ ldots) = - \ frac (\ delno \ ln Z) (\ delno \ beta)

ali, kar je isto

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri prilagajanju glejte matematiko / README.): \ Langle E \ rangle = k_B T ^ 2 \ frac (\ delno \ ln Z) (\ delno T).

Opozoriti je mogoče tudi, da so energije mikrostanj odvisne od parametra Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc kako

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): E_j = E_j ^ ((0)) + \ lambda A_j

za vse Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): J, nato povprečna vrednost Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): A enaka

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Langle A \ rangle = \ sum_j A_jP_j = - \ frac (1) (\ beta) \ frac (\ delno) (\ delno \ lambda) \ ln Z (\ beta , \ ; \ lambda).

To je osnova za tehniko, ki vam omogoča izračun povprečnih vrednosti številnih mikroskopskih veličin. To količino je treba umetno dodati energiji mikrostanj (ali, v jeziku kvantne mehanike, Hamiltonianu), izračunati novo particijsko funkcijo in povprečje ter nato postaviti Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glejte matematiko / README za referenco konfiguracije.): \ Lambda enako nič. Podobna metoda se uporablja v kvantni teoriji polja.

V tem razdelku je prikazano razmerje med particijsko funkcijo in različnimi termodinamičnimi parametri sistema. Te rezultate je mogoče dobiti z uporabo metode, opisane v prejšnjem razdelku, in različnih termodinamičnih razmerij.

Kot smo že videli, je energija

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri prilagajanju glejte matematiko / README.): \ Langle E \ rangle = - \ frac (\ delno \ ln Z) (\ delno \ beta). Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): C_v = \ frac (\ delno \ langle E \ rangle) (\ delno T) = \ frac (1) (k_B T ^ 2) \ langle \ delta E ^ 2 \ rangle. Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): S \ equiv-k_B \ sum_j P_j \ ln P_j = k_B (\ ln Z + \ beta \ langle E \ rangle) = \ frac (\ delno) (\ delno T) ( k_B T \ ln Z) = - \ frac (\ delni F) (\ delni T),

kje Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri konfiguraciji glejte matematiko / README.): F- brezplačna energija, opredeljena kot Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): F = E-TS, kje Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): E je skupna energija in Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): S je entropija, torej

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri konfiguraciji glejte matematiko / README.): F = \ langle E \ rangle-TS = -k_B T \ ln Z.

Statistična vsota podsistemov

Recimo, da je sistem sestavljen iz Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): N podsistemi, katerih interakcija je zanemarljiva. Če so statistične vsote podsistemov enake Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Zeta_1, \; \ zeta_2, \; \ ldots, \; \ zeta_N, potem je statistična vsota celotnega sistema izdelek posamezne statistične vsote:

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): Z = \ prod_ (j = 1) ^ N \ zeta_j.

Če imajo podsistemi enake fizične lastnosti, so njihove statistične vsote enake: Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Zeta_1 = \ zeta_2 = \ ldots = \ zeta, in v tem primeru

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): Z = \ zeta ^ N.

Vendar pa obstaja ena pomembna izjema od tega pravila. Če so podsistemi identični delci, torej temeljijo na načelih kvantne mehanike, jih niti načeloma ni mogoče razlikovati, je treba celotno particijsko funkcijo deliti z Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): N! :

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): Z = \ frac (\ zeta ^ N) (N. !}

To se naredi zato, da ne bi večkrat upoštevali istega mikrostanja.

Velika kanonična ansambelska particijska funkcija

Opredelitev

Podobno kot kanonična particijska funkcija za kanonični ansambel lahko definiramo velika kanonična particijska funkcija za velik kanonični ansambel - sistem, ki lahko izmenjuje tako toploto kot delce z medijem in ima konstantno temperaturo Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): T, glasnost Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc in kemični potencial Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri konfiguraciji glejte matematiko / README.): \ Mu... Velika kanonična particijska funkcija, čeprav težja za razumevanje, poenostavlja izračun kvantnih sistemov. Velika kanonična particijska funkcija Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glejte matematiko / README za nastavitev.): \ Mathcal (Z) za kvantni idealni plin zapišemo kot:

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Mathcal (Z) = \ sum_ (N = 0) ^ \ infty \, \ vsota _ (\ (n_i \)) \, \ prod_i e ^ (- \ beta n_i ( \ varepsilon_i- \ mu)),

kje Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): N- skupno število delcev v prostornini Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): V, indeks Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc teče skozi vsa mikrostanja sistema, Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): N_i- število delcev v stanju Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): I, a Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Varepsilon_i- energija v stanju Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): I . Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ (N_i \)- vsi možni nizi številk zasedbe za vsako mikrodržavo, tako da Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): \ Sum_i n_i = N... Upoštevajte na primer izraz, ki ustreza Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ... Eden od možnih nizov številk za polnjenje bi bil Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ (N_i \) = 0, \; 1, \; 0, \; 2, \; 0, \ ldots, prispeva k izrazu s Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): N = 3 enako

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Prod_i e ^ (- \ beta n_i (\ varepsilon_i- \ mu)) = e ^ (- \ beta (\ varepsilon_1- \ mu)) \, e ^ (- 2 \ beta (\ varepsilon_3- \ mu)). Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Mathcal (Z) _i = \ sum_ (n_i = 0) ^ \ infty e ^ (- \ beta n_i (\ varepsilon_i- \ mu)) = \ frac (1) (1 -e ^ (- \ beta (\ varepsilon_i- \ mu))), Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Mathcal (Z) _i = \ sum_ (n_i = 0) ^ 1 e ^ (- \ beta n_i (\ varepsilon_i- \ mu)) = \ frac (1) ( 1 + e ^ (- \ beta (\ varepsilon_i- \ mu))).

V primeru Maxwellian-Boltzmannovega plina je treba pravilno izračunati stanja in razdeliti Boltzmannov faktor Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): E ^ (- \ beta (\ varepsilon_i- \ mu)) na Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri konfiguraciji glejte matematiko / README.): N_i!

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte math / README.): \ Mathcal (Z) _i = \ sum_ (n_i = 0) ^ \ infty \ frac (e ^ (- \ beta n_i (\ varepsilon_i- \ mu))) (n_i=\exp\left(e^{-\beta(\varepsilon_i-\mu)}\right). !}

Razmerje s termodinamičnimi količinami

Tako kot kanonična particijska funkcija se lahko velika kanonična particijska funkcija uporablja za izračun termodinamičnih in statističnih vrednosti sistema. Tako kot v kanoničnem ansamblu termodinamične količine niso fiksne, ampak statistično porazdeljene okoli srednje vrednosti. Označevanje Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri konfiguraciji glejte matematiko / README.): \ Alpha = - \ beta \ mu, dobimo povprečne vrednosti polnilnih številk:

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Langle n_i \ rangle = - \ levo (\ frac (\ delno \ ln \ mathcal (Z) _i) (\ delno \ alpha) \ desno) _ (\ beta, \; V) = \ frac (1) (\ beta) \ levo (\ frac (\ delno \ ln \ mathcal (Z) _i) (\ delno \ mu) \ desno) _ (\ beta, \; V).

Za Boltzmannove delce to daje:

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Langle n_i \ rangle = e ^ (- \ beta (\ varepsilon_i- \ mu)).

Za bozone:

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Langle n_i \ rangle = \ frac (1) (e ^ (\ beta (\ varepsilon_i- \ mu)) - 1).

Za fermione:

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Langle n_i \ rangle = \ frac (1) (e ^ (\ beta (\ varepsilon_i- \ mu)) + 1),

kar sovpada z rezultati, pridobljenimi z uporabo kanoničnega ansambla za statistiko Maxwell - Boltzmann, statistiko Bose - Einstein in statistiko Fermi - Dirac. (Stopnja degeneracije Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Glej matematiko / README - referenca za nastavitev.): G_i v teh enačbah ni, saj je indeks Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): Išteje posamezna stanja, ne ravni energije.)

Skupno število delcev

Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Langle N \ rangle = - \ levo (\ frac (\ delno \ ln \ mathcal (Z)) (\ delno \ alpha) \ desno) _ (\ beta, \ ; V ) = \ frac (1) (\ beta) \ levo (\ frac (\ delno \ ln \ mathcal (Z)) (\ delno \ mu) \ desno) _ (\ beta, \; V). Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Langle P \ rangle = \ frac (1) (\ beta) \ levo (\ frac (\ delno \ ln \ mathcal (Z)) (\ delno V) \ desno ) _ (\ mu, \; \ beta). Izraza ni mogoče razčleniti (izvedljiva texvc ni najdeno; Za pomoč pri nastavitvi glejte matematiko / README.): \ Langle PV \ rangle = \ frac (\ ln \ mathcal (Z)) (\ beta).

Napišite oceno o "Statistični vsoti"

Literatura

• Kubo R. Statistična mehanika. - M .: Mir, 1967.
• Huang K. Statistična mehanika. - M .: Mir, 1966. (Huang, Kerson, "Statistična mehanika", John Wiley & Sons, New York, 1967.)
• Ishihara A. Statistična fizika. - M .: Mir, 1973. (Isihara A. "Statistična fizika". - New York: Academic Press, 1971.)
• Kelly, James J.
• Landau, L. D., Lifshits, E. M. Statistična fizika. 1. del - 5. izdaja. - Moskva: Fizmatlit, 2005 .-- 616 str. - ("Teoretična fizika", letnik V). - ISBN 5-9221-0054-8..

Izvleček, ki označuje statistično vsoto

- Kje je moja hiša? .. - sem presenečeno vprašal.
- Daleč je ... V ozvezdju Orion je zvezda s čudovitim imenom Asta. To je tvoja hiša, Isidora. Enako kot moj.
Pretreseno sem ga pogledala in nisem mogla verjeti. Niti razumeti tako čudne novice. V moji vneti glavi to ni šlo v nobeno pravo realnost in zdelo se je, da sem, tako kot Karaffa, postopoma izgubljal razum ... Toda Sever je bil resničen in ni se zdelo, da bi se šalil. Zato, ko sem se nekako zbral, sem veliko bolj mirno vprašal:
- Kako se je zgodilo, da vas je Karaffa našel? Ali ima darilo? ..
- Ne, nima Darila. Ima pa um, ki mu odlično služi. Zato ga je uporabil, da nas je našel. O nas je bral v zelo stari kroniki, za katero ni znano, kako in kje jo je dobil. Ve pa veliko, verjemi mi. Ima neverjeten vir, iz katerega črpa svoje znanje, vendar ne vem, od kod je in kje je ta vir mogoče najti, da bi ga zaščitili.
- Oh, ne skrbi! Ampak to zelo dobro vem! Poznam ta »vir«! .. To je njegova čudovita knjižnica, v kateri se hranijo najstarejši rokopisi v neštetih količinah. Zanje mislim, da Karaffe potrebuje svoje dolgo življenje ... - Bil sem žalosten do smrti in hotel sem jokati kot otrok ... - Kako ga lahko uničimo, Sever ?! Nima pravice živeti na zemlji! On je pošast, ki bo zahtevala milijone življenj, če je ne ustavi! Kaj počnemo?
- Nič zate, Isidora. Samo oditi moraš. Našli bomo način, da se ga znebimo. Samo čas je potreben.
- In v tem času bodo umrli nedolžni ljudje! Ne, Sever, odšel bom šele, ko ne bom imel druge izbire. In dokler bo on, se bom boril. Tudi če ni upanja.
K tebi bodo pripeljali mojo hčerko, poskrbi zanjo. ne morem ga obdržati ...
Njegova svetleča postava je postala popolnoma pregledna. In začela je izginjati.
- Vrnil se bom, Isidora. - je zašumel ljubkoval glas.
- Zbogom, Sever ... - sem odgovorila enako tiho.
- Ampak kako je to?! - je nenadoma vzkliknila Stella. - Sploh niste vprašali o planetu, s katerega ste prišli?! .. Ali vam ni bilo zanimivo?! Kako to?..
Po pravici povedano, tudi jaz sem komaj zdržala, da ne bi o tem vprašala Isidore! Njeno bistvo je prišlo od zunaj in o tem ni niti vprašala! .. A do neke mere sem jo verjetno razumel, saj je bil zanjo prestrašen čas in se je smrtno bala za tiste, ki jih je zelo ljubila in ki jih je še vedno poskuša rešiti. No, in Hiša - jo je bilo mogoče najti pozneje, ko ni bilo druge izbire, kot da odide ...
- Ne, ljubica, nisem vprašal, ne zato, ker me ne zanima. A ker takrat nekako ni bilo tako pomembno, da so umrli čudoviti ljudje. In umrli so v brutalnih mukah, ki jih je dovolila in podpirala ena oseba. In ni imel pravice obstajati na naši zemlji. To je bilo najpomembnejše. Ostalo pa lahko pustimo za kasneje.
Stella je zardela, sramovala se je svojega izbruha in tiho zašepetala:
- Oprosti mi, prosim, Isidora ...
In Isidora je že spet "odšla" v svojo preteklost in nadaljevala svojo neverjetno zgodbo ...
Takoj, ko je Sever izginil, sem takoj poskušal miselno poklicati očeta. Toda iz nekega razloga se ni odzval. To me je malo opozorilo, a ne pričakoval nič slabega, sem poskusil znova - še vedno ni bilo odgovora ...
Ker sem se odločil, da zaenkrat ne bom pustil na volji svoji vneti domišljiji in pustil očeta za nekaj časa pri miru, sem se potopil v sladke in žalostne spomine na Annin nedavni obisk.
Še vedno sem se spominjal vonja njenega krhkega telesa, mehkobe njenih gostih črnih las in izjemnega poguma, s katerim je moja čudovita dvanajstletna hčerka doletela svojo zlo usodo. Bil sem neverjetno ponosen nanjo! Anna je bila borka in verjel sem, da se bo, ne glede na to, kaj se zgodi, borila do konca, do zadnjega diha.
Nisem še vedel, ali mi jo bo uspelo rešiti, vendar sem si zaobljubil, da bom storil vse, kar je v moji moči, da jo rešim iz trdovratnih krempljev krutega papeža.
Caraffa se je vrnil nekaj dni pozneje, zelo razburjen in na nek način tih. Le z roko mi je pokazal, naj mu sledim. ubogal sem.
Po dolgih hodnikih smo se znašli v majhni pisarni, ki je bila (kot sem kasneje izvedel) njegova zasebna recepcija, kamor je zelo redko vabil goste.
Caraffa je tiho pokazal na stol in se počasi usedel nasproti. Njegov molk se je zdel zlovešč in, kot sem že vedel iz lastnih žalostnih izkušenj, ni nič dobrega. Toda jaz sem se po srečanju z Ano in nepričakovanem prihodu severa neoprostljivo sprostil, do neke mere "zazidal" svojo običajno budnost in zamudil naslednji udarec ...
- Nimam časa za vljudnost, Isidora. Odgovorili boste na moja vprašanja ali pa bo kdo drug zelo trpel. Torej, svetujem vam, da odgovorite!
Caraffa je bil jezen in jezen, in nasprotovati mu v takem času bi bila prava norost.
»Poskušal bom, vaša svetost. Kaj želiš vedeti?
- Tvoja mladost, Isidora? Kako si ga dobil? Star si osemintrideset let in izgledaš kot dvajset in se ne spremeniš. Kdo ti je dal mladost? Odgovori mi!
Nisem mogel razumeti, kaj je tako razjezilo Karaffo? .. Med najinim že precej dolgim ​​poznanstvom ni nikoli kričal in zelo redko je izgubil nadzor nad seboj. Zdaj se mi je pogovarjal pobesneli, izgubljeni živci, od katerega je bilo mogoče pričakovati karkoli.
- Odgovori, Madonna! Ali pa vas čaka drugo, zelo neprijetno presenečenje.
Od takšne izjave so se mi lasje začeli premikati ... Razumel sem, da se ne bo mogoče poskušati izogniti vprašanju. Caraffa je nekaj zelo razjezilo in tega ni skušal skriti. Igre ni sprejel in se ni hotel šaliti. Ostalo je le odgovoriti v slepo upanju, da bo sprejel polovično resnico ...
- Sem dedna čarovnica, Svetost, in danes sem najmočnejša med njimi. Mladost je prišla k meni po dediščini, nisem je prosil. Tako kot moja mama, moja babica in preostala vrsta čarovnic v moji družini. Morate biti eden izmed nas, Vaša Svetost, da to prejmete. Poleg tega biti najbolj vreden.
- Neumnost, Isidora! Poznal sem ljudi, ki so sami dosegli nesmrtnost! In niso bili rojeni z njim. Torej obstajajo načini. In ti mi jih boš odprl. Zaupaj mi.
Imel je popolnoma prav ... Bili so načini. Ampak nisem mu jih nameraval zastonj odpreti. Brez mučenja.
- Oprostite mi, vaša svetost, vendar vam ne morem dati tistega, česar sam nisem prejel. Nemogoče je - ne vem, kako. Toda vaš Bog bi vam, mislim, dal "večno življenje" na naši grešni zemlji, če bi mislil, da ste vredni, kajne? ..
Caraffa je postala vijolična in je zlobno sikala, kot strupena kača, pripravljena na napad:
- Mislil sem, da si pametnejša, Isidora. No, ne bo trajalo dolgo, da vas zlomim, ko boste videli, kaj sem vam pripravil ...
In nenadoma me je prijel za roko in me grobo odvlekel v svojo grozljivo klet. Nisem se niti imela časa zares prestrašiti, saj sva se znašla pri istih železnih vratih, za katerimi je pred kratkim tako brutalno poginil moj nesrečni mučeni mož, moj ubogi dobri Girolamo ... In nenadoma grozno, mrzlo ugibaj mi je prerezal možgane - oče !!! Zato se ni odzval na moj ponovni klic! .. Verjetno so ga zgrabili in mučili v isti kleti, stal je pred mano, dihal od besa, pošast, tujo kri in bolečino, "očiščeval" vsak cilj! . .
»Ne, ne to! Prosim, ne tega!!!" - moja ranjena duša je kričala kot žival. Ampak sem že vedela, da je tako ... "Naj mi nekdo pomaga !!! Nekdo! "... Toda iz nekega razloga me nihče ni slišal ... In nisem pomagal ...
Težka vrata so se odprla ... Široko odprte sive oči so gledale naravnost vame, polne nečloveške bolečine ...
Sredi znane sobe, dišeče po smrti, je na železnem naslanjaču sedel krvav, moj ljubljeni oče ...
Udarec je bil grozen! .. Ko sem zavpil z divjim krikom "Ne !!!", sem izgubil zavest ...

* Opomba: ne zamenjujte (!!!) z grškim kompleksom samostanov Meteora v Kalambaki v Grčiji. Meteora v grščini pomeni "visi v zraku", kar v celoti ustreza osupljivemu pogledu na samostane, kot rožnate gobe, ki rastejo na najvišjih vrhovih nenavadnih gora. Prvi samostan je bil zgrajen okoli leta 900. In med 12. in 16. stoletjem jih je bilo že 24. Do danes se je ohranilo le šest samostanov, ki še vedno navdušujejo turiste.
Res je, turisti ne poznajo ene zelo smešne podrobnosti ... V Meteorju je še en samostan, v katerega "vedoželjni" niso dovoljeni ... Zgradil ga je (in dal povod za ostale) en nadarjeni fanatik, ki je nekoč študiral v pravi Meteor in iz njega izgnan. Jezen na ves svet se je odločil zgraditi "svoje Meteoro", da bi zbral enake "užaljene", kot je bil on, in živel svoje samotno življenje. Kako mu je to uspelo, ni znano. Toda od takrat so se masoni začeli zbirati v njegovem Meteorju na skrivnih sestankih. Kaj se zgodi enkrat na leto do danes.
Samostani: Veliki Meteoron (Veliki Meteoron); Rusano; Svetega Nikolaja; Agia Trios; Agias Stefanos; Varlaam se nahajajo zelo blizu drug drugemu.

37. Izidora-3. Meteora
Zbudil sem se v grozljivi, mrzli kleti, debelo nasičeni z neprijetnim vonjem krvi in ​​smrti ...
Otrplo telo ni ubogalo in je bolelo, nikakor se ni hotelo "prebuditi" ... In Duša je z lahkoto ptice lebdela v svetlem svetu spominov in iz spomina vračala ljubljene obraze in dneve, polne sreče. ko žalost še ni zagledala v naše življenje in ko v njem ni bilo grenkobe in bolečine ... Tam, v tistem čudovitem "minujočem" svetu, je še vedno živel moj čudoviti mož Girolamo ... tam je vesel smeh male Ane je napolnil zvonec ... tam se mi je zjutraj nasmehnila moja sladka, nežna mati ... tam me je potrpežljivo učil modrosti življenja, moj prijazen in svetel oče ... Ta svet je bil srečen in sončen, in moja duša je bila raztrgana nazaj, letela je vedno dlje ... da se nikoli več ne vrnem ...
Toda zlobna resničnost me iz nekega razloga ni izpustila ... Neusmiljeno je trkala in na silo prebudila vnete možgane in zahtevala, da se vrne "domov". Domači in nepopolni zemeljski svet je klical na pomoč ... Karaffa je živel ... In medtem ko je dihal, v našem svetu ni moglo biti veselja in svetlobe.
Čas je bil za vrnitev ...
Ko sem globoko vdihnil, sem končno začutil, da je moje fizično telo zmrznjeno v osamljenosti - življenje se mu je nejevoljno, po malem vračalo ... Ostalo je le, da se opogumim ...
V sobi, v kateri sem bil, je vladala gosta, oglušujoča, gosta tišina. Sedela sem na grobem lesenem stolu, nisem se premikala ali odpirala oči in se trudila, da ne pokažem »darilnosti« (če je sploh bilo), ki sem jo prebudila. Ko sem vse odlično začutil in slišal, sem se intenzivno »ogledal naokoli« in poskušal ugotoviti, kaj se dogaja naokoli.
Počasi sem okreval in se začel spominjati, kaj se je zgodilo, sem nenadoma zelo jasno videl, KAJ se je izkazal za pravi razlog za mojo nenadno in globoko omedlevico! ..
Hladna groza z ostrim prijemom je stisnila mrtvo srce in mu niti ni dovolila, da bi se popolnoma prebudila! ..
Oče! .. Moj ubogi, prijazen oče je bil TUKAJ !!! V tej grozni, krvavi kleti - grozljivem brlogu prefinjene smrti ... Bil je poleg Girolama ... Umiral je. Caraffina zlovešča past se je zaklenila in pogoltnila njegovo čisto dušo ...
V strahu, da bi videl najhujše, sem kljub temu zbral svoj popolnoma ubežni pogum v pest in dvignil glavo ...
Prva stvar, ki sem jo videl tik pred seboj, so bile Karaffine črne oči, ki so gorele od globokega zanimanja ... Očeta ni bilo v mučilnici.
Karaffa je stal, osredotočen, strmel v moj obraz, kot da bi poskušal razumeti, kaj se v resnici dogaja v moji duši, pohabljeni od trpljenja ... Njegov pameten, tanek obraz je na moje največje presenečenje izražal iskreno navdušenje (!), ki pa je kljub temu , očitno mi ni nameraval pokazati ... Ker je videl, da sem se zbudil, je Karaffa v trenutku "nadel" svojo običajno, brezbrižno masko in se že na vso moč nasmehnil "nežno" rekel:

Nanaša se na kanonični statistični ansambel, v katerem lahko sistem izmenjuje toploto z okoljem pri določeni temperaturi, prostornini in številu delcev. Velika kanonična particijska funkcija se nanaša na velik kanonični statistični ansambel, v katerem lahko sistem izmenjuje tako toploto kot delce z okoljem pri določeni temperaturi, prostornini in kemičnem potencialu. V drugih primerih lahko definirate druge vrste statističnih vsot.

Statistična vsota v kanoničnem ansamblu

Opredelitev

Recimo, da obstaja sistem, ki upošteva zakone termodinamike in je v stalnem toplotnem stiku z medijem, ki ima temperaturo $T$, prostornina sistema in število njegovih sestavnih delcev pa sta fiksna. V takšni situaciji sistem spada v kanonično zasedbo. Označujemo natančen stanja, v katerih je lahko sistem, skozi $j$ $(j\; =\; 1,2,3,\; \backslash \; ldots)$, skupna energija sistema pa je v stanju $j$ - $E\_j$... Običajno lahko na ta mikrostanja gledamo kot na diskretna kvantna stanja sistema.

Funkcija kanonske particije- to je

$Z\; =\; \backslash \; vsota\_j\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; E\_j),$

kje je temperatura povratka $\backslash \; beta$ definirano kot

$\backslash \; beta\; \backslash \; equiv\; \backslash \; frac\; (1)\; (k\_BT),$ $Z\; =\; \backslash \; mathrm\; (tr)\; \backslash ,\; (e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; H)),$

Pomen in pomen

Najprej razmislimo, od česa je odvisno. Razdelitvena funkcija je predvsem funkcija temperature. $T$, v drugem pa - energije mikrostanj $E\_1,\; E\_2,\; E\_3$ itd. Energije mikrostanj določajo druge termodinamične količine, kot so število delcev in prostornina, pa tudi mikroskopske lastnosti, kot je masa delcev. Ta odvisnost od mikroskopskih lastnosti je temeljna v statistični mehaniki. Z uporabo modela mikroskopskih komponent sistema je mogoče izračunati energije mikrostanj in posledično statistično vsoto, ki omogoča izračun vseh ostalih termodinamičnih lastnosti sistema.

Za izračun termodinamičnih veličin lahko uporabimo particijsko funkcijo, saj ima zelo pomemben statistični pomen. Verjetnost $P\_j$ s katerim je sistem v mikrostanju $j$, je enako

$P\_j\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; E\_j).$

Statistična vsota je vključena v Gibbsovo porazdelitev v obliki normalizacijskega faktorja (it ne odvisno od $j$), ki zagotavlja, da je vsota verjetnosti enaka enoti:

$\backslash \; vsota\_j\; P\_j\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; \backslash \; vsota\_j\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; E\_j)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; Z\; =\; 1.$

Izračun termodinamične skupne energije

Za prikaz uporabnosti razdelitvene funkcije izračunamo termodinamično vrednost celotne energije. To je preprosto matematično pričakovanje ali povprečna energijska vrednost ansambla, enaka vsoti energij mikrostanj, vzetih z utežmi, ki so enake njihovim verjetnosti:

$\backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\_j\; E\_jP\_j\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; \backslash \; sum\_j\; E\_j\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; E\_j)\; =\; -\; \backslash \; frac\; (1)\; (Z)\; \backslash \; frac\; (\backslash \; delno)\; (\backslash \; delno\; \backslash \; beta\; )\; Z\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; E\_1,\; \backslash ;\; E\_2,\; \backslash ;\; \backslash \; ldots)\; =\; -\; \backslash \; frac\; (\backslash \; delno\; \backslash \; ln\; Z)\; (\backslash \; delno\; \backslash \; beta)$

ali, kar je isto

$\backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle\; =\; k\_B\; T\; ^\; 2\; \backslash \; frac\; (\backslash \; delno\; \backslash \; ln\; Z)\; (\backslash \; delno\; T).$

Opozoriti je mogoče tudi, da so energije mikrostanj odvisne od parametra $\backslash \; lambda$ kako

$E\_j\; =\; E\_j\; ^\; ((0))\; +\; \backslash \; lambda\; A\_j$

za vse $j$, nato povprečna vrednost $A$ enaka

$\backslash \; langle\; A\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\_j\; A\_jP\_j\; =\; -\; \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; frac\; (\backslash \; delno)\; (\backslash \; delno\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; ln\; Z\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; \backslash \; lambda).$

To je osnova za tehniko, ki vam omogoča izračun povprečnih vrednosti številnih mikroskopskih veličin. To količino je treba umetno dodati energiji mikrostanj (ali, v jeziku kvantne mehanike, Hamiltonianu), izračunati novo particijsko funkcijo in povprečje ter nato postaviti $\backslash \; lambda$ enako nič. Podobna metoda se uporablja v kvantni teoriji polja.

V tem razdelku je prikazano razmerje med particijsko funkcijo in različnimi termodinamičnimi parametri sistema. Te rezultate je mogoče dobiti z uporabo metode, opisane v prejšnjem razdelku, in različnih termodinamičnih razmerij.

Kot smo že videli, je energija

$\backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; frac\; (\backslash \; delno\; \backslash \; ln\; Z)\; (\backslash \; delno\; \backslash \; beta).$ $c\_v\; =\; \backslash \; frac\; (\backslash \; delno\; \backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle)\; (\backslash \; delno\; T)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (k\_B\; T\; ^\; 2)\; \backslash \; langle\; \backslash \; delta\; E\; ^\; 2\; \backslash \; rangle.$ $S\; \backslash \; equiv-k\_B\; \backslash \; sum\_j\; P\_j\; \backslash \; ln\; P\_j\; =\; k\_B\; (\backslash \; ln\; Z\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle)\; =\; \backslash \; frac\; (\backslash \; delno)\; (\backslash \; delno\; T)\; (k\_B\; T\; \backslash \; ln\; Z)\; =\; -\; \backslash \; frac\; (\; \backslash \; delno\; F)\; (\backslash \; delno\; T),$ $\backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i\; =\; \backslash \; vsota\_\; (n\_i\; =\; 0)\; ^\; \backslash \; infty\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; n\_i\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (1-e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i)\; -\; \backslash \; mu))),$ $\backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i\; =\; \backslash \; vsota\_\; (n\_i\; =\; 0)\; ^\; 1\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; n\_i\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (1\; +\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))).$

V primeru Maxwellian-Boltzmannovega plina je treba pravilno izračunati stanja in razdeliti Boltzmannov faktor $e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))$ na $n\_i!$

$\backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i\; =\; \backslash \; sum\_\; (n\_i\; =\; 0)\; ^\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; (e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; n\_i\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu)))\; (n\_i=\backslash exp\backslash left(e^\{-\backslash beta(\backslash varepsilon\_i-\backslash mu)\}\backslash right).!\}$

Razmerje s termodinamičnimi količinami

Tako kot kanonična particijska funkcija se lahko velika kanonična particijska funkcija uporablja za izračun termodinamičnih in statističnih vrednosti sistema. Tako kot v kanoničnem ansamblu termodinamične količine niso fiksne, ampak statistično porazdeljene okoli srednje vrednosti. Označevanje $\backslash \; alfa\; =\; -\; \backslash \; beta\; \backslash \; mu$, dobimo povprečne vrednosti polnilnih številk:

$\backslash \; langle\; n\_i\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; levo\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; delno\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i)\; (\backslash \; delno\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; desno)\; \_\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; V)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; levo\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; delno\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z)\; \_i)\; (\backslash \; delno\; \backslash \; mu)\; \backslash \; desno)\; \_\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; V).$

Za Boltzmannove delce to daje:

$\backslash \; langle\; n\_i\; \backslash \; rangle\; =\; e\; ^\; (-\; \backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu)).$

Za bozone:

$\backslash \; langle\; n\_i\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (e\; ^\; (\backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))\; -\; 1).$

Za fermione:

$\backslash \; langle\; n\_i\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (e\; ^\; (\backslash \; beta\; (\backslash \; varepsilon\_i-\; \backslash \; mu))\; +\; 1),$

kar sovpada z rezultati, pridobljenimi z uporabo kanoničnega ansambla za statistiko Maxwell - Boltzmann, statistiko Bose - Einstein in statistiko Fermi - Dirac. (Stopnja degeneracije $g\_i$ v teh enačbah ni, saj je indeks $jaz$šteje posamezna stanja, ne ravni energije.)

Skupno število delcev

$\backslash \; langle\; N\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; levo\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; delno\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z))\; (\backslash \; delno\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; desno)\; \_\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; V)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; beta\; )\; \backslash \; levo\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; delno\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z))\; (\backslash \; delno\; \backslash \; mu)\; \backslash \; desno)\; \_\; (\backslash \; beta,\; \backslash ;\; V).$ $\backslash \; langle\; P\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; levo\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; delno\; \backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z))\; (\backslash \; delno\; V)\; \backslash \; desno)\; \_\; (\backslash \; mu,\; \backslash ;\; \backslash \; beta).$ $\backslash \; langle\; PV\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; frac\; (\backslash \; ln\; \backslash \; mathcal\; (Z))\; (\backslash \; beta).$

Napišite oceno o "Statistični vsoti"

Literatura

• Kubo R. Statistična mehanika. - M .: Mir, 1967.
• Huang K. Statistična mehanika. - M .: Mir, 1966. (Huang, Kerson, "Statistična mehanika", John Wiley & Sons, New York, 1967.)
• Ishihara A. Statistična fizika. - M .: Mir, 1973. (Isihara A. "Statistična fizika". - New York: Academic Press, 1971.)
• Kelly, James J.
• Landau, L. D., Lifshits, E. M. Statistična fizika. 1. del - 5. izdaja. - Moskva: Fizmatlit, 2005 .-- 616 str. - ("Teoretična fizika", letnik V). - ISBN 5-9221-0054-8..

Izvleček, ki označuje statistično vsoto

- Alpatych! Znan glas je nenadoma zaklical starca.
- Oče, vaša ekscelenca, - je odgovoril Alpatych in takoj prepoznal glas svojega mladega princa.
Princ Andrej, v plašču, jezdel črnega konja, je stal za množico in gledal Alpatycha.
- Kako si tukaj? - je vprašal.
- Vaša ... vaša ekscelenca, - je rekel Alpatych in zajokal ... - Vaš, vaš ... ali smo že izginili? oče…
- Kako si tukaj? - je ponovil princ Andrej.
Plamen se je v tistem trenutku močno razplamtel in razsvetlil Alpatychov bledi in izčrpani obraz njegovega mladega gospodarja. Alpatych je povedal, kako so ga poslali in kako je lahko odšel s silo.
- No, vaša ekscelenca, ali smo se izgubili? Ponovno je vprašal.
Princ Andrey je brez odgovora vzel zvezek in, dvignil koleno, začel pisati s svinčnikom na raztrgan list. Svoji sestri je napisal:
»Smolensk se predaja,« je zapisal, »čez teden dni bo sovražnik zasedel Bald Hills. Pojdite zdaj v Moskvo. Odgovorite mi takoj, ko odidete, tako da pošljete kurirja v Usvyazh."
Ko je list napisal in izročil Alpatychu, mu je ustno povedal, kako naj poskrbi za odhod princa, princese in sina z učiteljem ter kako in kje naj mu takoj odgovori. Ni še imel časa dokončati teh ukazov, ko je konjeni načelnik štaba v spremstvu svojega spremstva prihitel k njemu.
- Ste polkovnik? - je zavpil načelnik štaba z nemškim naglasom, ki je bil znan po glasu princa Andreja. - V vaši prisotnosti so hiše osvetljene, vi pa stojite? Kaj to pomeni? Odgovorili boste,« je zavpil Berg, ki je bil zdaj pomočnik načelnika štaba levega boka pehotnih sil prve armade,« je kraj zelo prijeten in na vidiku, kot je rekel Berg.
Princ Andrey ga je pogledal in, ne da bi odgovoril, nadaljeval in se obrnil na Alpatycha:
"Torej mi povejte, da čakam na odgovor do desetega, in če desetega ne bom prejel novice, da so vsi odšli, bom moral sam vse opustiti in iti v Lysye Gory."
- Jaz, princ, samo zato, ker pravim, - je rekel Berg, ko je prepoznal princa Andreja, - da moram ubogati ukaze, ker vedno natančno naredim ... Oprostite mi, prosim, - se je na nek način upravičil Berg.
V ognju je nekaj prasketalo. Ogenj je za trenutek utihnil; izpod strehe so se vili črni oblaki dima. Nekaj ​​drugega je strašno škripalo v ognju in nekaj ogromnega se je zrušilo.
- Urruru! - ob odmevanju podrtega stropa skednja, iz katerega je dišal vonj po pecih iz zažganega kruha, je rjovela množica. Plamen se je razplamtel in osvetlil živahne vesele in mučene obraze ljudi, ki so stali okoli ognja.
Moški v plašču s frizom je dvignil roko in zavpil:
- Pomembno! šel v boj! Fantje, pomembno je! ..
"To je sam lastnik," so se zaslišali glasovi.
- Torej, tako, - je rekel princ Andrej, ki se je nanašal na Alpatych, - povej vse, kot sem ti povedal. In ne odgovori niti besede Bergu, ki je ob njem utihnil, se je dotaknil konja in odjahal v ulico.

Čete so se še naprej umikale iz Smolenska. Sovražnik jim je sledil. 10. avgusta je polk, ki mu je poveljeval knez Andrej, šel po veliki cesti mimo avenije, ki vodi v Lysye Gory. Vročina in suša sta trajali več kot tri tedne. Po nebu so se vsak dan sprehajali kodrasti oblaki in občasno zakrivali sonce; proti večeru pa se je spet zjasnilo in sonce je zahajalo v rjavkasto rdečo meglico. Le močna rosa ponoči je osvežila zemljo. Kruh, ki je ostal pri korenu, je zagorel in izlil. Močvirja so suha. Živina je rjovela od lakote, na travnikih, požganih od sonca, ni našla hrane. Samo ponoči in v gozdovih je bila še rosa, bil je hlad. Toda ob cesti, po veliki cesti, po kateri so hodile čete, tudi ponoči, tudi po gozdovih, ni bilo takega hladu. Na peščenem cestnem prahu, ki ga je prebilo več kot četrt aršina, rose ni bilo opaziti. Takoj, ko se je svitalo, se je začelo gibanje. Vozi, topništvo so tiho hodili po vozišču, pehota pa je bila do gležnjev v mehkem, zatohlem, vročem prahu, ki se ponoči ni ohladil. En del tega peščenega prahu so gnetele noge in kolesa, drugi se je dvignil in stal kot oblak nad vojsko ter se vlekel v oči, lase, ušesa, nosnice in, kar je najpomembneje, v pljuča ljudi in živali, ki so se gibale po tem. cesta. Višje ko se je sonce dvigalo, višje se je dvigal oblak prahu in skozi ta tanek, vroč prah na soncu, ki ga niso pokrivali oblaki, se je videlo s preprostim očesom. Zdelo se je, da je sonce velika škrlatna krogla. Vetra ni bilo in ljudje so se v tem mirnem ozračju dušili. Ljudje so hodili z zavezanimi robčki okoli nosov in ust. Ko je prišlo v vas, je vse hitelo k vodnjakom. Borili so se za vodo in jo pili do blata.
Princ Andrey je poveljeval polku, in struktura polka, dobro počutje njegovih ljudi, potreba po prejemanju in izdajanju ukazov so ga okupirali. Smolenski požar in njegova opustitev sta bila doba za princa Andreja. Nov občutek grenkobe do sovražnika ga je prisilil, da je pozabil na svojo žalost. Ves je bil predan zadevam svojega polka, skrbel je za svoje ljudi in častnike ter prijaznost do njih. V polku so ga imenovali naš princ, bili so ponosni nanj in ga imeli radi. Bil pa je prijazen in krotek samo s svojimi polki, s Timohinom itd., z ljudmi povsem novimi in v tujem okolju, z ljudmi, ki niso mogli poznati in razumeti njegove preteklosti; a takoj ko je naletel na enega od svojih nekdanjih, iz štaba, je takoj spet nabreknil; postal zloben, posmehljiv in prezirljiv. Vse, kar je povezovalo njegov spomin s preteklostjo, ga je odbijalo, zato se je trudil v odnosih tega nekdanjega sveta le ne biti krivičen in izpolniti svojo dolžnost.
Res je, princu Andreju se je vse zdelo v temni, mračni luči - še posebej potem, ko so 6. avgusta zapustili Smolensk (ki bi ga po njegovem mnenju lahko in bi morali braniti) in potem, ko je moral bolan oče pobegniti v Moskvo in vreči Plešasti griči, tako ljubljeni, zgrajeni in naseljeni z njimi, pleniti; a kljub temu je princ Andrew po zaslugi polka lahko pomislil na drugo temo, popolnoma neodvisno od splošnih vprašanj - o svojem polku. 10. avgusta se je kolona, ​​v kateri je bil njegov polk, poravnala z Plešastimi gorami. Princ Andrej je pred dvema dnevoma prejel novico, da so oče, sin in sestra odšli v Moskvo. Čeprav princ Andrej ni imel kaj početi na Bald Hillsu, se je s svojo značilno željo, da bi zapravil svojo žalost, odločil, da se ustavi v Bald Hillsu.
Ukazal je osedlati svojega konja in s prehoda jezdil na konju v očetovo vas, v kateri se je rodil in preživel otroštvo. Ko se je peljal mimo ribnika, kjer je na desetine žensk vedno klepetalo, tepelo z valjarji in si spiralo perilo, je princ Andrej opazil, da na ribniku ni nikogar, na sredini pa je bočno plaval raztrgan splav, napol zaliven z vodo. ribnika. Princ Andrew se je odpeljal do vratnice. Pri kamnitih vhodnih vratih ni bilo nikogar in vrata so bila odklenjena. Vrtne poti so bile že zaraščene, teleta in konji pa so se sprehajali po angleškem parku. Princ Andrew se je odpeljal do rastlinjaka; steklo je bilo razbito, nekatera drevesa v kadeh pa podrta, nekatera se posušijo. Zaklical je vrtnarja Tarasa. Nihče se ni odzval. Ko se je obrnil okoli rastlinjaka do razstave, je videl, da je izrezljana deskasta ograja vsa polomljena, slivovi plodovi pa odtrgani z vejami. Stari kmet (princ Andrej ga je kot otrok videl pri vratih) je sedel in na zeleni klopi pletel čevlje.
Bil je gluh in ni slišal vstopa princa Andreja. Sedel je na klopi, na kateri je rad sedel stari princ, poleg njega pa je bila na vejicah zlomljene in posušene magnolije drobna znamenja.
Princ Andrew se je odpeljal do hiše. Na starem vrtu je bilo posekanih več lip, pred hišo pa je med vrtnicami hodil en gologlav konj z žrebetom. Hiša je bila obdana z polkni. Eno okno spodaj je bilo odprto. Dvoriščni fant je, ko je zagledal princa Andreja, stekel v hišo.
Alpatych, ki je poslal svojo družino, je ostal sam v Plešastih gorah; sedel je doma in bral Življenje. Ko je izvedel za prihod princa Andreja, je z očali na nosu, zapenjal se, zapustil hišo, naglo odšel do princa in, ne da bi rekel ničesar, se razjokal in princa Andreja poljubil na koleno.
Nato se je s srcem obrnil k svoji slabosti in mu začel poročati o stanju stvari. Vse dragoceno in drago so odpeljali v Bogucharovo. Izvlekel se je tudi kruh, do sto četrt; seno in spomladanski pridelki, izredni, kot je dejal Alpatych, so letošnjo letino vzele in posekale čete. Kmetje so uničeni, nekateri so odšli tudi v Bogučarovo, majhen del je ostal.
Princ Andrej, ki ga ni poslušal, je vprašal, kdaj sta odšla oče in sestra, torej kdaj sta odšla v Moskvo. Alpatych je odgovoril, saj je menil, da sprašujejo o odhodu v Bogucharovo, da so odšli iz sedmega, in se spet razširil po delnicah kmetije in prosil za navodila.
- Ali boste ukazali ekipam, naj spustijo oves proti prejemu? Ostalo nam je še šeststo četrtin, - je vprašal Alpatych.
»Kaj naj mu rečem? - je pomislil princ Andrej, ko je gledal plešasto glavo starca, ki sije na soncu, in v izrazu njegovega obraza prebral zavest, da sam razume nepravočasnost teh vprašanj, a sprašuje le tako, da bi zadušil njegovo lastno žalost.
"Da, pusti," je rekel.
- Če ste z veseljem opazili motnje na vrtu, - je rekel Alpatych, - je bilo nemogoče preprečiti: trije polki so šli in prenočili, zlasti draguni. Izpisal sem čin in čin poveljnika za vložitev peticije.
- No, kaj boš naredil? Ali boš ostal, če ga vzame sovražnik? - ga je vprašal princ Andrej.
Alpatych, ki je obrnil obraz k princu Andreju, ga je pogledal; in nenadoma je s slovesno kretnjo dvignil roko.
- On je moj zavetnik, naj bo njegova volja! Rekel je.
Množica kmetov in hlapcev je hodila po travniku z odprtimi glavami in se približevala princu Andreju.
- No, zbogom! - je rekel princ Andrej in se sklonil k Alpatychu. - Pustite se, vzemite, kar lahko, in ljudi so odpeljali v Rjazan ali Moskovsko regijo. - Alpatych se je oprijel njegove noge in je zajokal. Princ Andrew ga je previdno potisnil v stran in se dotaknil konja v galopu po uličici.
Na razstavi je starec sedel enako ravnodušno, kot muha na obrazu dragega mrtvaca, in tapkal po čevlju iz batičkov, in dve dekleti s slivami v krilu, ki sta jih nabrali iz rastlinjakov. , pobegnil od tam in naletel na princa Andreja. Ko je zagledala mladega gospodarja, je starejša deklica s prestrašenim izrazom na obrazu zgrabila za roko manjšo spremljevalko in se z njo skrila za brezo, ne da bi imela časa pobrati raztresene zelene slive.
Princ Andrej se je v strahu naglo obrnil od njih, saj se je bal, da bi opazili, da jih je videl. Zasmilil se mu je tega precej prestrašenega dekleta. Strah ga je bilo pogledati vanjo, a si je obenem tega neustavljivo želel. Nov, razveseljujoč in pomirjujoč občutek ga je prevzel, ko je ob pogledu na ta dekleta spoznal obstoj drugih, njemu povsem tuj in prav tako legitimnih človeških interesov, kot so tisti, ki so ga zasedli. Ta dekleta so očitno hrepenela po eni stvari - da bi odnesla in pokončala te zelene slive in jih ne bi ujeli, in princ Andrej je z njimi zaželel uspeh njihovega podjetja. Ni si mogel pomagati, da jih ne bi še enkrat pogledal. Ker so verjeli, da so že varni, so skočili iz zasede in za nekaj jedli s tankimi glasovi, držali se za krila, veselo in hitro s pogorelimi bosimi nogami tekli po travniškem travniku.
Princ Andrey se je nekoliko osvežil, saj je odpeljal iz prašnega območja glavne ceste, po kateri so se gibale čete. Toda nedaleč za Plešastimi griči je zapeljal nazaj na cesto in dohitel svoj polk na postanku, pri jezu majhnega ribnika. Ura je bila že dve po poldnevu. Sonce, rdeča krogla v prahu, je neznosno pripekalo in mi je opeklo hrbet skozi črn plašč. Prah, še vedno enak, je negibno stal nad mrmranjem ustavljajočih se čet. Vetra ni bilo, V prehodu ob jezu je princ Andrej dišal po blatu in svežini ribnika. Želel je iti v vodo – ne glede na to, kako umazana je bila. Pogledal je nazaj proti ribniku, iz katerega so se slišali kriki in smeh. Majhen blatni ribnik z zelenjem se je očitno dvignil za dve četrtini in napolnil jez, ker je bil poln človeških, vojaških, nagih belih teles, ki so lebdile v njem, z opečno rdečimi rokami, obrazi in vratovi. Vse to golo, belo človeško meso je s smehom in bumom blodilo v tej umazani luži, kot v zalivalko natlačeni karaši. To potepanje je odmevalo z veseljem in zato je bilo še posebej žalostno.