A másodfokú forma fogalma. Másodfokú mátrix. A másodfokú forma kanonikus formája. Lagrange módszer. A másodfokú forma normál nézete. A másodfokú alak rangja, indexe és aláírása. Pozitív határozott másodfokú forma. Kvadrikus.
A másodfokú forma fogalma: függvény egy vektortéren, amelyet a vektor koordinátáiban egy másodfokú homogén polinom határoz meg.
Másodfokú forma -tól n Az ismeretlen egy olyan összeg, amelynek minden tagja vagy az egyik ismeretlen négyzete, vagy két különböző ismeretlen szorzata.
Kvadratikus mátrix: A mátrixot egy adott alapon másodfokú mátrixnak nevezik. Ha a térkarakterisztika nem egyenlő 2-vel, akkor feltételezhetjük, hogy a másodfokú mátrix szimmetrikus, azaz.
Írj fel egy másodfokú mátrixot:
Ennélfogva,
Vektormátrix formában a másodfokú alak a következő:
A másodfokú forma kanonikus formája: Egy másodfokú formát kanonikusnak nevezünk, ha minden i.e.
Bármilyen másodfokú forma lineáris transzformációkkal redukálható kanonikus formává. A gyakorlatban általában a következő módszereket alkalmazzák.
Lagrange módszer : teljes négyzetek szekvenciális kiválasztása. Például ha
Ezután hasonló eljárást hajtunk végre a másodfokú formával stb. Ha nincs minden másodfokú formában, akkor egy előzetes transzformáció után a dolog a vizsgált eljárásra kerül. Tehát, ha például akkor feltételezzük
A másodfokú forma normál formája: A normál másodfokú forma egy kanonikus másodfokú forma, amelyben minden együttható +1 vagy -1.
Másodfokú alak rangsora, indexe és aláírása: A másodfokú forma rangja A a mátrix rangjának nevezzük A. A másodfokú alakok rangja nem változik az ismeretlenek nem degenerált transzformációi során.
A negatív együtthatók számát negatív formaindexnek nevezzük.
A kanonikus formában lévő pozitív tagok számát a másodfokú forma pozitív tehetetlenségi indexének, a negatív tagok számát negatív indexnek nevezzük. A pozitív és negatív indexek közötti különbséget a másodfokú forma aláírásának nevezzük
Pozitív határozott másodfokú forma: Egy valós másodfokú formát pozitív határozottnak (negatív határozottnak) nevezünk, ha a változók bármely valós értéke esetén, amely nem egyidejűleg nulla,
Ebben az esetben a mátrixot pozitív határozottnak (negatív határozottnak) is nevezik.
A pozitív határozott (negatív határozott) formák osztálya a nem negatív (illetve nem pozitív) formák osztályának része.
Négyszögek: négyes - n-dimenziós hiperfelület be n+1-dimenziós tér, egy másodfokú polinom nullák halmazaként definiálva. Ha megadja a koordinátákat ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (euklideszi vagy affin térben), a négyzet általános egyenlete
Ez az egyenlet tömörebben átírható mátrixjelöléssel:
ahol x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) – sorvektor, x T egy transzponált vektor, K- méretmátrix ( n+1)×( n+1) (feltételezzük, hogy legalább egy eleme nem nulla), P egy sorvektor, és R- állandó. Leggyakrabban a valós vagy komplex számok feletti négyeseket veszik figyelembe. A definíció kiterjeszthető a projektív térben lévő négyzetekre, lásd alább.
Általánosabban, a polinomiális egyenletrendszer nullák halmazát algebrai változatnak nevezzük. Így a quadric egy (affin vagy projektív) algebrai másodfokú és 1-es kóddimenziós változat.
A síktranszformáció definíciója. Mozgásérzékelés. a mozgás tulajdonságai. Kétféle mozgás: az első típusú mozgás és a második típusú mozgás. Példák mozgásokra. A mozgás analitikus kifejezése. Síkmozgások osztályozása (fix pontok és invariáns egyenesek meglététől függően). Síkmozgások csoportja.
A síktranszformáció definíciója: Definíció. A pontok közötti távolságot megőrző síktranszformációt nevezzük mozgalom(vagy mozgása) a sík. A síktranszformációt ún affin, ha bármely három ugyanazon az egyenesen fekvő pontot három, szintén ugyanazon az egyenesen fekvő ponttá alakít át, és egyúttal megőrzi a három pont egyszerű összefüggését.
Mozgás meghatározása: Ezek olyan alaktranszformációk, amelyek megőrzik a pontok közötti távolságokat. Ha két figura mozgással pontosan egymáshoz igazodik, akkor ezek a figurák azonosak, egyenlőek.
A mozgás tulajdonságai: Egy sík minden orientációt megőrző mozgása vagy párhuzamos elmozdulás, vagy egy sík minden orientációt megváltoztató mozgása vagy tengelyirányú szimmetria, vagy csúszó szimmetria. Mozgáskor az egyenesen fekvő pontok egyenesen fekvő pontokká alakulnak, és egymáshoz viszonyított helyzetük sorrendje megmarad. Mozgáskor a félvonalak közötti szögek megmaradnak.
Kétféle mozgás: az első típusú mozgás és a második típusú mozgás: Az első típusú mozgások azok a mozdulatok, amelyek megőrzik egy bizonyos alakzat alapjainak tájolását. Folyamatos mozgásokkal valósíthatók meg.
A második típusú mozgások azok a mozgások, amelyek az alapok irányát az ellenkezőjére változtatják. Folyamatos mozgással nem valósíthatók meg.
Az első típusú mozgások példái az egyenes vonal körüli elfordítás és forgatás, a második típusú mozgások pedig a központi és tükörszimmetriák.
Az első típusú mozgás tetszőleges számú összetétele az első típusú mozgás.
A második típusú páros számú mozgás összetétele az 1. típusú mozgás, a páratlan számú 2. típusú mozgás összetétele pedig a 2. típusú mozgás.
Példák a mozgásokra:Párhuzamos átvitel. Legyen a az adott vektor. Az a vektorra való párhuzamos átvitel a sík önmagára való leképezése, amelyben minden M pont az M 1 pontra van leképezve úgy, hogy az MM 1 vektor egyenlő az a vektorral.
A párhuzamos fordítás mozgás, mert a síkot önmagára leképezi, megőrzi a távolságokat. Ez a mozgás vizuálisan úgy ábrázolható, mint a teljes sík eltolódása egy adott vektor irányában a hosszával.
Forog. Jelöljük az O pontot a síkon ( forgóközpont) és állítsa be az α szöget ( forgásszög). A sík O pont körüli elforgatása α szöggel a sík önmagára való leképezése, amelyben minden M pont az M 1 pontra van leképezve úgy, hogy OM = OM 1 és a MOM 1 szög egyenlő α-val. Ebben az esetben az O pont a helyén marad, azaz önmagára van leképezve, és az összes többi pont az O pont körül ugyanabban az irányban - az óramutató járásával megegyezően vagy ellentétes irányban - forog (az ábra az óramutató járásával ellentétes forgást mutat).
A forgatás mozgás, mert a sík önmagára való leképezését jelenti, amelyben a távolságok megmaradnak.
A mozgás analitikus kifejezése: az előkép koordinátái és a pont képe közötti analitikus kapcsolat alakja (1).
Síkmozgások osztályozása (fix pontok és invariáns vonalak jelenlététől függően): Definíció:
A síkon egy pont akkor invariáns (rögzített), ha egy adott transzformáció során önmagává alakul.
Példa: Központi szimmetria esetén a szimmetriaközéppont pontja invariáns. Forduláskor a forgásközéppont invariáns. Axiális szimmetria esetén az invariáns egyenes egyenes - a szimmetriatengely invariáns pontok egyenes vonala.
Tétel: Ha egy mozgásnak nincs egyetlen invariáns pontja, akkor legalább egy invariáns iránya van.
Példa: Párhuzamos átvitel. Valójában az ezzel az iránnyal párhuzamos egyenesek egész alakban változatlanok, bár nem invariáns pontokból áll.
Tétel: Ha egy sugár mozog, a sugár önmagába fordítódik, akkor ez a mozgás vagy azonos transzformáció, vagy szimmetria az adott sugarat tartalmazó egyeneshez képest.
Ezért az invariáns pontok vagy ábrák jelenléte alapján lehetséges a mozgások osztályozása.
| Mozgás neve | Invariáns pontok | Változatlan vonalak |
| Az első típusú mozgás. | ||
| 1. - fordul | (középen) - 0 | Nem |
| 2. Azonos transzformáció | a sík összes pontja | mind egyenesen |
| 3. Központi szimmetria | pont 0 - középpont | a 0 ponton átmenő összes egyenes |
| 4. Párhuzamos átvitel | Nem | mind egyenesen |
| A második típusú mozgás. | ||
| 5. Tengelyszimmetria. | pontok halmaza | szimmetriatengely (egyenes) minden egyenes |
Síkmozgás csoport: A geometriában fontos szerepet kapnak a figurák önkompozícióinak csoportjai. Ha egy alak egy síkon (vagy térben) van, akkor a sík (vagy tér) mindazon mozgásainak halmazát tekinthetjük, amelyek során az alak önmagába fordul.
Ez a készlet egy csoport. Például egy egyenlő oldalú háromszögnél a háromszöget önmagává alakító síkmozgások csoportja 6 elemből áll: egy pont körüli szögeken keresztüli elforgatásokból és három egyenes körüli szimmetriából.
ábrán láthatók. 1 piros vonal. Egy szabályos háromszög önigazítási csoportjának elemei eltérően adhatók meg. Ennek magyarázatára számozzuk meg egy szabályos háromszög csúcsait 1, 2, 3 számokkal. A háromszög bármilyen önbeállítása az 1, 2, 3 pontokat ugyanabba a pontba viszi, de más sorrendben, azaz. feltételesen felírható a következő zárójelek egyikébe:
ahol az 1, 2, 3 számok azoknak a csúcsoknak a számát jelölik, amelyekbe a vizsgált mozgás eredményeként az 1, 2, 3 csúcsok kerülnek.
A projektív tér fogalma és a projektív tér modellje. A projektív geometria alapjai. Az O pont középpontjában álló vonalcsokor a projektív sík modellje. Projektív pontok. A kiterjesztett sík a projektív sík modellje. A kiterjesztett háromdimenziós affin vagy euklideszi tér a projektív tér modellje. Lapos és térbeli alakzatok képei párhuzamos kivitelben.
A projektív tér fogalma és a projektív tér modellje:
A mező feletti projektív tér egy adott mező feletti lineáris tér vonalaiból (egydimenziós altereiből) álló tér. A közvetlen tereket nevezzük pontok projektív tér. Ez a meghatározás tetszőleges testre általánosítható
Ha dimenziója van, akkor a projektív tér dimenzióját számnak nevezzük, magát a projektív teret pedig jelöljük és társítva nevezzük (ennek jelzésére a jelölést átveszi).
A dimenziós vektortérből a megfelelő projektív térbe való átmenetet ún projektivizálás hely.
A pontok homogén koordinátákkal írhatók le.
A projektív geometria alapjai: A projektív geometria a geometriának egy olyan ága, amely a projektív síkokat és tereket vizsgálja. A projektív geometria fő jellemzője a kettősség elve, amely elegáns szimmetriát kölcsönöz számos mintának. A projektív geometria tanulmányozható tisztán geometriai szempontból, valamint analitikai (homogén koordináták felhasználásával) és salgebrai szempontból, a projektív síkot egy mező feletti szerkezetnek tekintve. Gyakran és történelmileg az igazi projektív síkot az euklideszi síknak tekintik, a "végtelen vonallal" kiegészítve.
Míg az euklideszi geometriával foglalkozó ábrák tulajdonságai metrikus(szögek, szakaszok, területek konkrét értékei), és az ábrák egyenértékűsége megegyezik azokkal egyezést(azaz amikor az alakzatokat mozgással egymásba lehet fordítani a metrikus tulajdonságok megőrzése mellett), a geometriai alakzatoknak több „mélyen fekvő” tulajdonsága van, amelyek a mozgásnál általánosabb típusú transzformációk során megmaradnak. A projektív geometria az osztály alatt invariáns alakzatok tulajdonságainak tanulmányozásával foglalkozik projektív transzformációk, valamint maguk ezek az átalakulások.
A projektív geometria kiegészíti az euklideszi geometriát azzal, hogy gyönyörű és egyszerű megoldásokat kínál számos olyan problémára, amelyet a párhuzamos vonalak jelenléte bonyolít. A kúpszelvények projektív elmélete különösen egyszerű és elegáns.
A projektív geometriának három fő megközelítése létezik: a független axiomatizálás, az euklideszi geometria kiegészítése és a mező feletti struktúra.
Axiomatizálás
A projektív tér különböző axiómakészletek segítségével határozható meg.
A Coxeter a következőket nyújtja:
1. Van egy egyenes és egy pont, amely nincs rajta.
2. Minden vonalnak legalább három pontja van.
3. Két ponton keresztül pontosan egy egyenest húzhatunk.
4. Ha A, B, C, És D- különböző pontok és ABÉs CD akkor metszik egymást A.C.És BD metszik egymást.
5. Ha ABC egy sík, akkor legalább egy pont nincs a síkban ABC.
6. Két különböző sík legalább két pontot metsz.
7. Egy teljes négyszög három átlós pontja nem kollineáris.
8. Ha három pont van egy egyenesen x x
A projektív síkot (a harmadik dimenzió nélkül) kissé eltérő axiómák határozzák meg:
1. Két ponton keresztül pontosan egy egyenest húzhatunk.
2. Bármely két egyenes metszi egymást.
3. Négy pont van, ebből három nem egyvonalas.
4. A teljes négyszögek három átlós pontja nem kollineáris.
5. Ha három pont van egy egyenesen x invariánsak a φ projekttivitásához képest, akkor minden pont on x invariáns φ-hez képest.
6. Desargues-tétel: Ha két háromszög egy ponton keresztül perspektivikus, akkor egy egyenesen keresztül perspektivikus.
Egy harmadik dimenzió jelenlétében a Desargues-tétel ideális pont és egyenes bevezetése nélkül igazolható.
Kiterjesztett sík - projektív sík modell: Az A3 affin térben veszünk egy S(O) egyenesköteget, amelynek középpontja az O pontban van, és egy Π síkot, amely nem megy át a köteg középpontján: O 6∈ Π. Az affin térben lévő vonalköteg a projektív sík modellje. Határozzuk meg a Π sík pontjainak leképezését az S összekötő egyenesek halmazára (Baszki, imádkozz, ha megkaptad ezt a kérdést, bocsáss meg)
Kiterjesztett háromdimenziós affin vagy euklideszi tér – a projektív tér modellje:
Annak érdekében, hogy a leképezés szürjektív legyen, megismételjük a Π affin sík formális kiterjesztésének folyamatát a Π projektív síkra, kiegészítve a Π síkot nem megfelelő pontok halmazával (M∞), így: ((M∞)) = P0(O). Mivel a térképen az S(O) síkköteg minden síkjának inverz képe egy egyenes a d síkon, nyilvánvaló, hogy a kiterjesztett sík összes helytelen pontjának halmaza: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), a kiterjesztett sík egy nem megfelelő d∞ egyenesét jelenti, amely a Π0 szinguláris sík inverz képe: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Egyezzünk meg abban, hogy itt és a továbbiakban az utolsó P0(O) = Π0 egyenlőséget ponthalmazok egyenlősége értelmében fogjuk érteni, de más szerkezettel felruházva. Az affin síkot egy nem megfelelő vonallal kiegészítve biztosítottuk, hogy a leképezés (I.21) bijektív legyen a kiterjesztett sík összes pontjának halmazán:
Lapos és térbeli alakzatok képei párhuzamos tervezés során:
A sztereometriában a térbeli alakzatokat tanulmányozzák, de a rajzon lapos figurákként ábrázolják őket. Hogyan kell egy térbeli alakot síkon ábrázolni? A geometriában jellemzően párhuzamos tervezést alkalmaznak erre. Legyen p valami sík, l- azt metsző egyenes (1. ábra). Egy tetszőleges ponton keresztül A, nem tartozik a vonalhoz l, rajzoljon a vonallal párhuzamos egyenest l. Ennek az egyenesnek a p síkkal való metszéspontját a pont párhuzamos vetületének nevezzük A az egyenes irányába eső p síkra l. Jelöljük A". Ha a lényeg A sorhoz tartozik l, majd párhuzamos vetítéssel A az egyenes metszéspontját a p síkon lévőnek tekintjük l síkkal p.
Így minden pont A tér vetületét összehasonlítjuk A" a p síkra. Ezt a megfelelést nevezzük párhuzamos vetítésnek a p síkra az egyenes irányában l.
A sík projektív transzformációjának fogalma. Példák a sík projektív transzformációira. Projektív transzformációk tulajdonságai. Homológia, a homológia tulajdonságai. Projektív transzformációk csoportja.
A sík projektív transzformációjának fogalma: A projektív transzformáció fogalma általánosítja a központi vetület fogalmát. Ha végrehajtjuk az α sík központi vetületét valamilyen α 1 síkra, akkor α 1 vetítését α 2-re, α 2 vetítését α 3-ra, ... és végül valamilyen α síkra. n ismét α 1-en, akkor ezeknek a vetületeknek az összetétele az α sík projektív transzformációja; Egy ilyen láncban párhuzamos vetületek is szerepelhetnek.
Példák projektív sík transzformációra: Egy kész sík projektív transzformációja annak egy az egyhez leképezése önmagára, amelyben megmarad a pontok kollinearitása, vagy más szóval bármely vonal képe egyenes. Bármely projektív transzformáció központi és párhuzamos vetületek láncolatának összetétele. Az affin transzformáció a projektív transzformáció speciális esete, amelyben a végtelenben lévő egyenes önmagába fordul.
A projektív transzformációk tulajdonságai:
A projektív transzformáció során három, egy egyenesen nem fekvő pont három nem egy egyenesen fekvő ponttá alakul.
A projektív transzformáció során a keret keretté alakul.
A projektív transzformáció során a vonal egyenes, a ceruza pedig a ceruzává válik.
Homológia, a homológia tulajdonságai:
Egy olyan sík projektív transzformációját, amelyben invariáns pontokból álló vonal van, tehát invariáns vonalakból álló ceruza, homológiának nevezzük.
1. A nem egybeeső megfelelő homológiapontokon átmenő egyenes invariáns egyenes;
2. A nem egybeeső megfelelő homológiapontokon átmenő egyenesek ugyanahhoz a ceruzához tartoznak, amelynek középpontja egy invariáns pont.
3. A pont, a képe és a homológia középpontja ugyanazon az egyenesen fekszik.
Projektív transzformációk csoportja: tekintsük a P 2 projektív sík önmagára való projektív leképezését, vagyis ennek a síknak a projektív transzformációját (P 2 ’ = P 2).
Mint korábban, a P 2 projektív sík f 1 és f 2 projektív transzformációinak f összetétele az f 1 és f 2 transzformációk szekvenciális végrehajtásának eredménye: f = f 2 °f 1 .
1. Tétel: a P 2 projektív sík összes projektív transzformációjának H halmaza a projektív transzformációk összetétele szempontjából egy csoport.
A mező felett K (\displaystyle K)És e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\dots ,e_(n))- alap be L (\displaystyle L).
A pozitív határozott négyzetes formához poláris bilineáris forma kielégíti az összes pontszorzat-axiómát.
Abban az esetben K = R (\displaystyle K=\mathbb (R) )(valós számok mezője), minden másodfokú alaknak van egy alapja, amelyben a mátrixa átlós, és magának az alaknak van kanonikus nézet(normál nézet):
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2, 0 ≤ p, q ≤ r, p + q = r, (∗) (\displaystyle Q(x) =x_(1)^(2)+\cdots +x_(p)^(2)-x_(p+1)^(2)-\cdots -x_(p+q)^(2),\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*))Ahol r (\displaystyle r)- a másodfokú forma rangja. Nem degenerált másodfokú forma esetén p + q = n (\displaystyle p+q=n), degenerált esetén - p+q<
n
{\displaystyle p+q
A másodfokú formák kanonikusra redukálásához általában a Lagrange-módszert vagy az alap ortogonális transzformációit alkalmazzák, és egy adott másodfokú formát többféleképpen is kanonikus formára lehet hozni.
Szám q (\displaystyle q)(negatív kifejezések) nevezzük tehetetlenségi index adott másodfokú alak, és a szám p − q (\displaystyle p-q)(a pozitív és negatív tagok számának különbsége) nevezzük aláírás másodfokú forma. Vegye figyelembe, hogy néha a másodfokú alak aláírása a pár (p , q) (\displaystyle (p,q)). Számok p , q , p − q (\displaystyle p,q,p-q) másodfokú alak invariánsai, azaz. nem függ a kanonikus formára redukálás módszerétől ( Sylvester tehetetlenségi törvénye).
Abban az esetben K = C (\displaystyle K=\mathbb (C) )(komplex számok mezője), minden másodfokú alakhoz van egy alap, amelyben az alak kanonikus alakkal rendelkezik
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2, (∗ ∗) (\displaystyle Q(x)=x_(1)^(2)+\cdots +x_(r)^(2),\qquad ( **))Ahol r (\displaystyle r)- a másodfokú forma rangja. Így összetett esetben (a valós esettel ellentétben) a másodfokú alaknak egyetlen invariáns - rangja van, és minden nem degenerált alaknak ugyanaz a kanonikus alakja (négyzetek összege).
A szeptember minden eszközosztály számára erős hónapnak bizonyult. A „Money” szerint szinte minden befektetés pozitív eredményt hozott. A legnagyobb bevétel ugyanakkor az aranybefektetésekből származott, amelyek nemcsak a nemesfém drágulásából, hanem a rubel gyengüléséből is profitáltak. Magas profitot hoztak a befektetőknek a befektetési alapok fő kategóriái, a betétek, valamint a legtöbb orosz részvény. Az elmúlt években népszerű kötvényalapok veszteségessé váltak, valamint a Sberbank részvényei, amelyek a leginkább szenvedhetnek az amerikai szankciók szigorítása esetén.
Vitalij Kapitonov
Öt hónappal később az arany lett a legjobban megtérülő befektetés a hónapban. A „Money” szerint, miután augusztus 15-én 100 ezer rubelt fektetett be a nemesfémbe, egy befektető közel 5 ezer rubelt kaphat egy hónap alatt. jövedelem. Ez a második legmagasabb havi eredmény idén. A befektető áprilisban többet kereshet - 9,3 ezer rubelt.
A nemesfémbe történő befektetés magas megtérülése csak részben köszönhető az áremelkedésnek. Augusztus közepe óta az arany ára 2,4%-kal, troyunciánként 1205 dollárra nőtt. Ez az Egyesült Államok inflációs várakozásait tükrözte. Az Egyesült Államok Kereskedelmi Minisztériuma szerint az országban az infláció a júliusi 2,9%-ról augusztusra 2,7%-ra lassult, de továbbra is meghaladja a Fed céljait. Így az infláció tovább emelkedik, ami lehetővé teszi a Fed számára, hogy drasztikus változtatások nélkül emelje kamatemelését. A nemesfémet alátámasztották azok a hírek, amelyek szerint az amerikai és a kanadai hatóságok továbbra is megpróbálnak kompromisszumot találni az új NAFTA-egyezmény kapcsán. "Ez a hír enyhíti az aranypiacot és a dollárt támogató kereskedelmi aggodalmakat" - mondta Mikhail Sheibe, a Sberbank Investment Research árupiaci stratégája. Az emelkedő aranyár hatását fokozta az oroszországi dollár árfolyam emelkedése (+2,5%). Ennek eredményeként a nemesfémbe történő rubelbefektetések jelentős bevételt hoztak.
A piaci szereplők szerint azonban óvatosan kell bánni a további aranybefektetésekkel. A nemesfémbe történő befektetés fő kockázata továbbra is az Egyesült Államok és Kína közötti kereskedelmi konfrontáció eszkalációja. „A politikai nyomás tényezőjét kizárták, ami azt jelenti, hogy az új korlátok kialakulása gyakorlatilag kész ügynek számít. .
Milyen jövedelmet hoztak az aranybefektetések (%)
Források: Bloomberg, Reuters, Sberbank.
A befektetési alapok továbbra is a legjövedelmezőbb pénzügyi termékek közé tartoznak, az alapkezelő társaságok egyes termékei pedig az aranynál is meghaladó fedezetet tudtak biztosítani. Októberben a legsikeresebb befektetések a kohászati, távközlési, valamint olaj- és gázipari vállalatokra koncentráló ipari részvényalapokban voltak. A „Money” szerint az Investfunds adatai alapján a hónap végére az ilyen alapokba történő befektetések 2,2 ezer rubelről 5,2 ezer rubelre hozták volna a magánbefektetőket.
Az alapok más kategóriái is magas jövedelmet hoztak: indexalapok, vegyes befektetések és eurókötvények. Az ezekbe a kategóriákba tartozó alapok 200 rubeltől hozhatták befektetőiket. legfeljebb 4 ezer rubel. 100 ezer befektetésenként.
A magánbefektetők által kedvelt kötvényalapok negatív eredményeket hoztak. Az ebbe a kategóriába tartozó alapok konzervatívnak tekinthetők, így a magánbefektetők veszteségei szimbolikusak voltak - akár 1 ezer rubel is. Ilyen körülmények között a befektetők kötvényalapokból kezdtek el nyereséget gyűjteni. Az Investfunds szerint augusztusban a lakossági befektetők 4 milliárd rubelt vontak ki kötvényalapokból. Az ebbe a kategóriába tartozó alapokból gyorsabban vonultak ki 2014 decemberében. Ezután a rubel árfolyamának leértékelődése és a hazai piaci árfolyamok gyors növekedése miatt a befektetők több mint 4,5 milliárd rubelt vontak ki az alapokból.
A felszabaduló likviditást a befektetők részben kockázatosabb részvényalapok vásárlására fordítják. Az ebbe a kategóriába tartozó alapokba történő befektetések volumene augusztusban meghaladta a 3,5 milliárd rubelt, ami 500 millió rubelt jelent. több, mint a júliusi attrakciók mennyisége. A kockázatos stratégiák iránti kereslet már hatodik hónapja növekszik, a lakossági alapok teljes beáramlásából pedig egyre nagyobb arányt képvisel a befektetések volumene. A befektetők körében a legnagyobb kereslet a távközlési, valamint az olaj- és gázalapok iránt van.
Milyen bevételt hoztak a befektetési alapokba történő befektetések (%)
|
Források: National League of Managers, Investfunds.
Az augusztusi kívülállók - a részvények - a Money osztályzat negyedik helyéről a harmadik helyre emelkedtek. Az elmúlt hónapban a MICEX indexbe történő befektetések 3,4 ezer rubelt hoztak volna a lakossági befektetőknek. A vizsgált időszak eleje ugyanakkor nem jósol ilyen magas eredményt. Az augusztus 15. és 18. közötti időszakban a MICEX index 1,2%-kal csökkent. Augusztus 24-e után azonban javult a helyzet. Három hét alatt az index csaknem 5%-ot ugrott és 2374 pontra emelkedett. Ez mindössze 2 ponttal marad el a márciusban felállított történelmi csúcstól.
Szeptemberben azonban számos fejlődő és fejlett ország részvényindexe pozitív dinamikát mutatott. A Bloomberg becslései szerint az orosz indexek dollárban kifejezve mindössze 4,4%-kal nőttek. Erőteljesebb növekedést csak a török indexek mutattak, 5,9-6,3%-kal emelkedtek. A fejlett országok mutatói közül az olasz FTSE MIB volt az élen, amely 3,4%-kal nőtt a hónap során.
A legnagyobb mértékben az ALROSA, a Gazprom, az MMC Norilsk Nickel és a Magnit részvényei nőttek: ezeken az értékpapírokon egy befektető 4,2-8,3 ezer rubelt kereshetett. minden százezer befektetésre. Anton Startsev, az Olma Investment Company vezető elemzője szerint az ALROSA-papírok iránti befektetői érdeklődést Anton Siluanov pénzügyminiszter kijelentése is alátámasztotta, miszerint a társaság nettó nyereségének 75%-át osztalékfizetésre fordíthatja.
Az összkép alól kivételt képeztek a RusHydro, Rostelecom, Aeroflot részvényei, amelyekbe a befektetések legalább 200 rubel veszteséget hoztak volna. legfeljebb 1,4 ezer rubel. A maximális veszteség azoknak a befektetőknek lett volna, akik pénzt fektettek be a Sberbank értékpapírjaiba - 2,1 ezer rubelt. Részvényeire továbbra is nyomás nehezedik az amerikai külügyminisztérium tisztviselőinek megjegyzései miatt, akik nem zárják ki a bank elleni szankciók lehetőségét novemberben. Az ilyen kilátások megrémisztik a nemzetközi befektetőket, és nem csak az OFZ-ből, hanem a bank értékpapírjaiból is ki kell lépniük.
Elemzők szerint az augusztusi és szeptemberi összeomlás után a Sberbank részvényei vonzóvá váltak a befektetés számára. „Nagyon valószínű a legnagyobb orosz bank papírjainak fellendülése, és vásárlásaik kockázata is indokolt. A középtávú befektetőknek egyelőre a részvényenkénti 180 rubel körüli profit rögzítésére kell koncentrálniuk” – mondja az ALOR Broker. elemző Alekszej Antonov.
Milyen bevételt hoztak a részvényekbe történő befektetések (%)
|
Tehát a másodfokú forma redukciójára vonatkozó tétel szerint bármely \(A(x,x)\) másodfokú alakra van egy kanonikus alap \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\) \), tehát bármely \(x\) vektor esetén \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k\eta _k ^2. \] Mivel \(A(x,x)\) valós értékű, és bázisváltozásaink is csak valós számokat tartalmaznak, arra a következtetésre jutottunk, hogy a \(\lambda _k\) számok valósak. Ezek között vannak pozitív, negatív és nullával egyenlő számok.
Meghatározás. A pozitív számok \(n_+\) számát \(\lambda _k\) nevezzük pozitív másodfokú index \(A(x,x)\), a negatív számok \(n_-\) számát \(\lambda _k\) hívjuk negatív másodfokú index , akkor a \((n_++n_-)\) szám kerül hívásra másodfokú forma rangja . Ha \(n_+=n\), akkor a másodfokú alakot hívjuk meg pozitív .
Általánosságban elmondható, hogy a másodfokú forma átlós formává való redukálása nem egyedi módon valósul meg. Felmerül a kérdés: a \(n_+\), \(n_-\) számok függenek-e attól a bázistól, amelyben a másodfokú alak átlós?
Tétel (A másodfokú formák tehetetlenségi törvénye). A másodfokú forma pozitív és negatív indexei nem függenek attól, hogy milyen módszerrel redukáljuk kanonikus formára.
Legyen két kanonikus bázis, \(\(f\)\), \(\(g\)\), így bármely \(x\) vektor a következő formában kerül ábrázolásra: \[ x=\sum_(k =1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] és \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k ^2= \sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Legyen \(\lambda _k\) közül az első \(p\) pozitív, a többi negatív vagy nulla, a \(\mu_m\) között az első \(s\) legyen pozitív, a többi negatív vagy nulla. Be kell bizonyítanunk, hogy \(p=s\). Írjuk át (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_ ( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] tehát minden kifejezés az egyenlet mindkét oldala nem negatív. Tegyük fel, hogy \(p\) és \(s\) nem egyenlő, például \(p
Bebizonyítottuk, hogy a pozitív indexek egybeesnek. Hasonlóképpen bebizonyíthatjuk, hogy a negatív indexek is egybeesnek. stb.
1. Alakítsa át a másodfokú formákat négyzetek összegére:
a) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);
Egyéni online órák: Nyújtsa be kérelmét most: [e-mail védett]4. § A másodfokú formák tehetetlenségi törvénye. A másodfokú formák osztályozása
1. A másodfokú formák tehetetlenségi törvénye. Már megjegyeztük (lásd az előző bekezdés 1. bekezdésének 2. megjegyzését), hogy egy másodfokú alak rangja megegyezik a nullától eltérő kanonikus együtthatók számával. Így a nem nulla kanonikus együtthatók száma nem függ a nem degenerált transzformáció megválasztásától, amelynek segítségével az A(x, x) formát kanonikus formává redukáljuk. Valójában az A(x, x) formát kanonikus formára redukáló bármely módszerrel a pozitív és negatív kanonikus együtthatók száma nem változik. Ezt a tulajdonságot a másodfokú formák tehetetlenségi törvényének nevezzük.
Mielőtt rátérnénk a tehetetlenségi törvény igazolására, tegyünk néhány megjegyzést.
Határozzuk meg az e = (e 1, e 2,..., e n) bázis A(x, x) alakját az A(e) = (a ij) mátrix:
ahol ξ 1, ξ 2, ..., ξ n az x vektor koordinátái az e bázisban
és λ 1, λ 2,..., λ k- nem nulla kanonikus együtthatók, úgy számozva, hogy ezen együtthatók első q értéke pozitív, a következő együtthatók pedig negatívak:
λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λ q+1< 0, ..., λ k <0.
Tekintsük a következő μ i nem degenerált koordináta transzformációt (könnyen belátható, hogy ennek a transzformációnak a determinánsa nem nulla):
Ennek az átalakításnak az eredményeként az A(x, x) alak felveszi a formát
másodfokú forma normálalakjának nevezzük.
Tehát az x vektor ξ 1, ξ 2, ..., ξ n koordinátáinak valamilyen nem degenerált transzformációját használva az e = (e 1, e 2,..., e n) bázisban.
(ez a transzformáció a (7.30) képletek szerinti ξ - μ és μ - η transzformációk szorzata) a másodfokú forma visszavezethető normál alakra (7.31).
Bizonyítsuk be a következő állítást.
7.5. Tétel (a másodfokú formák tehetetlenségi törvénye). A pozitív (negatív) együtthatójú tagok száma egy másodfokú alak normál alakjában nem függ attól, hogy milyen módszerrel redukáljuk az alakot erre a formára.
Bizonyíték. Legyen az A(x, x) normál alakra (7.31) redukálva egy nem degenerált koordináta transzformációval (7.32) és redukálva normál alakra egy másik nem degenerált koordináta transzformációval
Nyilvánvalóan a tétel bizonyításához elegendő a p = q egyenlőség igazolása.
Legyen p > q. Győződjön meg arról, hogy ebben az esetben van olyan x nullától eltérő vektor, amely azon bázisok vonatkozásában, amelyekben az A(x, x) alak (7.31) és (7.33) alakú, az η 1 koordináták, η 2, ..., η q és ζ р+1 , ..., ζ n ennek a vektornak a értéke nulla:
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ р+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7,34)
Mivel az η koordináták én a ξ 1, ..., ξ n koordináták és a ζ koordináták nem degenerált transzformációjával kapjuk meg (7.32). én- ugyanazon ξ 1, ..., ξ n koordináták hasonló, nem degenerált transzformációját alkalmazva, akkor a (7.34) összefüggések lineáris homogén egyenletrendszernek tekinthetők a ξ 1, ..., ξ n koordinátákra. a kívánt x vektor az e = ( e 1, e 2,..., e n) bázisban (például kiterjesztett formában az η 1 = 0 összefüggés a (7.32) szerint a 11 alakú ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n= 0) - Mivel p > q, a (7.34) homogén egyenletek száma kisebb, mint n, ezért a (7.34) rendszernek nullától eltérő megoldása van a ξ 1, ..., ξ n koordinátáihoz képest. kívánt x vektor. Következésképpen, ha p > q, akkor van egy nem nulla x vektor, amelyre a (7.34) összefüggések teljesülnek.
Számítsuk ki ennek az x vektornak az A(x, x) alak értékét. Áttérve a (7.31) és (7.33) összefüggésekre, azt kapjuk
Az utolsó egyenlőség csak η esetén jöhet létre q+1 = ... = η k = 0 és ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
Így valamilyen alapon minden ζ 1, ζ 2, ..., ζ koordináta n nem nulla x vektor egyenlő nullával (lásd az utolsó egyenlőségeket és összefüggéseket (7.34)), i.e. x vektor egyenlő nullával. Ezért a p > q feltevés ellentmondáshoz vezet. Hasonló okokból kifolyólag a feltevés p< q.
Tehát p = q. A tétel bizonyítást nyert.
2. A másodfokú formák osztályozása. E fejezet 2. §-ának 1. bekezdésében (lásd 2. definíció) került bevezetésre a pozitív határozott, negatív határozott, alternáló és kvázi előjelű határozott másodfokú alakok fogalma.
Ebben a részben a tehetetlenségi index, a négyzetes alak pozitív és negatív tehetetlenségi indexe fogalmát használva azt mutatjuk be, hogyan lehet kideríteni, hogy egy másodfokú forma a fent felsorolt típusok valamelyikébe tartozik-e. Ebben az esetben egy másodfokú forma tehetetlenségi indexe ennek az alaknak a nullától eltérő kanonikus együtthatóinak száma (azaz a rangja), a pozitív tehetetlenségi indexe a pozitív kanonikus együtthatók száma, a negatív tehetetlenségi indexe a negatív kanonikus együtthatók száma lesz. együtthatók. Nyilvánvaló, hogy a pozitív és negatív tehetetlenségi indexek összege egyenlő a tehetetlenségi indexszel.
Legyen tehát az A(x, x) másodfokú tehetetlenségi indexe k, p és q (k = p + q) értékkel. Az előző bekezdésben bebizonyosodott, hogy bármely kanonikus alap f = (f 1 , f 2 , ..., f n) ez a forma a következő normálformára redukálható:
ahol η 1, η 2, ..., η n az x vektor koordinátái az f bázisban.
1°. A másodfokú alak jelének szükséges és elégséges feltétele. A következő állítás igaz.
Ahhoz, hogy az L n-dimenziós lineáris térben meghatározott A(x, x) másodfokú alak határozott előjelű legyen, szükséges és elegendő, hogy vagy a p pozitív, vagy a q negatív tehetetlenségi index egyenlő az L tér n méretével.
Sőt, ha p = n, akkor az alak pozitív határozott, de ha q = n, akkor a forma negatív határozott.
Bizonyíték. Mivel a pozitív határozott alak és a negatív határozott alak eseteit hasonlóképpen kezeljük, az állítás bizonyítását a pozitív határozott alakokra fogjuk elvégezni.
1) Szükségszerűség. Legyen az A(x, x) alak pozitív határozott. Ekkor a (7.35) kifejezés a következő alakot veszi fel
A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2.
Ha ugyanakkor p< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
az A(x, x) alak eltűnik, és ez ellentmond a pozitív határozott másodfokú forma definíciójának. Ezért p = n.
2) Elegendőség. Legyen p = n. Ekkor a (7.35) reláció A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2 alakú. Nyilvánvaló, hogy A(x, x) ≥ 0, és ha A = 0, akkor η 1 = η 2 = ... = η n= 0, azaz az x vektor nulla. Ezért A(x, x) pozitív határozott alak.
Megjegyzés. Hogy tisztázzuk a másodfokú forma határozott jelének kérdését a megjelölt ismérv alapján, ezt a formát a kanonikus formájába kell hoznunk.
A következő részben a másodfokú forma határozott jelére vonatkozó Sylvester-kritériumot bizonyítjuk, melynek segítségével tisztázhatjuk a tetszőleges alapon adott forma határozott jelének kérdését a kanonikus formára redukálás nélkül.
2°. A másodfokú alak jeleinek váltakozásának szükséges és elégséges feltétele. Bizonyítsuk be a következő állítást.
Ahhoz, hogy egy másodfokú alak váltakozzon, szükséges és elégséges, hogy ennek a formának mind a pozitív, mind a negatív tehetetlenségi indexe különbözik a nullától.
Bizonyíték. 1) Szükségszerűség. Mivel a váltakozó alak pozitív és negatív értékeket is felvesz, a G.35) normál formában való ábrázolásának tartalmaznia kell pozitív és negatív kifejezéseket is (egyébként ez a forma nem negatív vagy nem pozitív értékeket vesz fel). Következésképpen mind a pozitív, mind a negatív tehetetlenségi index értéke nem nulla.
2) Elegendőség. Legyen р ≠ 0 és q ≠ 0. Ekkor az x 1 vektorra, ahol η 1 ≠ 0, ..., η р ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0 van A(x 1 x 1) > 0, és az x 2 vektorhoz η 1 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 van A(x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Szükséges és elégséges feltétele a másodfokú alak kvázi jelhatározottságának. A következő állítás igaz.
Ahhoz, hogy az A(x, x) alak kvázi előjel határozott legyen, szükséges és elegendő, hogy a következő összefüggések teljesüljenek: vagy p< n
,
q = 0, либо р = 0, q < n
.
Bizonyíték. Megvizsgáljuk a pozitív kvázi előjelű határozott alak esetét. Hasonlóan kezeljük a negatív kvázi előjelű határozott alak esetét is.
1) Szükségszerűség. Legyen az A(x, x) alak pozitív kvázi előjelű határozott. Ekkor nyilvánvalóan q = 0 és p< n
(если бы р =
n
, то форма была бы положительно определенной),
2) Elegendőség. Ha p< n
, q = 0, то А(х, х)
≥ 0
и для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η
2 = 0,
..., η
р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 van A(x, x) = 0, azaz. A(x, x) pozitív kvázi előjelű határozott alak.
3. Sylvester kritériuma (James Joseph Sylvester (1814-1897) - angol matematikus) a másodfokú alak jelére. Határozzuk meg az e = (e 1, e 2,..., e n) bázis A(x, x) alakját az A(e) = (a ij) mátrix:
elengedni Δ 1 = a 11, 
- szögmollok és mátrix meghatározó (a ij). A következő állítás igaz.
7.6. Tétel (Sylvester-kritérium). Ahhoz, hogy az A(x, x) másodfokú alak pozitív határozott legyen, szükséges és elégséges, hogy a Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0 egyenlőtlenségek teljesüljenek.
Ahhoz, hogy egy másodfokú alak negatív határozott legyen, szükséges és elegendő, hogy a szögmollok előjelei váltakoznak, Δ 1-el< 0.
Bizonyíték. 1) Szükségszerűség. Először is bizonyítsuk be, hogy abból a feltételből, hogy az A(x, x) másodfokú alak előjel-határozott, Δ következik. i ≠ 0, i = 1, 2,..., n.
Győződjön meg arról, hogy a Δ feltevés k= 0 ellentmondáshoz vezet - e feltevés szerint van egy nem nulla x vektor, amelyre A(x, x) = 0, ami ellentmond az alak előjelének.
Tehát legyen Δ k= 0. Tekintsük a következő másodfokú homogén lineáris egyenletrendszert:
Mivel Δ k ennek a rendszernek a determinánsa és Δ k= 0, akkor a rendszernek van egy nem nulla megoldása ξ 1, ξ 2, ..., ξ k (nem minden ξ i egyenlő 0-val). A (7.36) egyenletek közül az elsőt szorozzuk meg ξ 1-gyel, a másodikat ξ 2-vel, ..., az utolsót ξ k-val, és adjuk össze a kapott összefüggéseket. Ennek eredményeként megkapjuk az egyenlőséget 
, melynek bal oldala az A(x, x) másodfokú alak értékét ábrázolja egy nem nulla x vektorhoz, koordinátákkal (ξ 1, ξ 2, ..., ξ k, 0, ..., 0) . Ez az érték nulla, ami ellentmond a forma határozott előjelének.
Tehát meg vagyunk győződve arról, hogy Δ én≠ 0, i = 1, 2,..., n. Ezért alkalmazhatjuk a Jacobi-módszert az A(x, x) alak redukálására négyzetek összegére (lásd 7.4. Tétel), és használhatjuk a (7.27) képleteket a λ kanonikus együtthatókhoz. én. Ha A(x, x) pozitív határozott alak, akkor minden kanonikus együttható pozitív. De ekkor a (7.27) összefüggésekből az következik, hogy Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Ha A(x, x) negatív határozott alak, akkor minden kanonikus együttható negatív. De a (7.27) képletekből az következik, hogy a szögmollok előjelei váltakoznak, és Δ 1< 0.
2) Elegendőség. Legyenek teljesülnek a Δ szög-mollokra támasztott feltételek én a tétel megfogalmazásában. Mivel Δ én≠ 0, i = 1, 2,..., n, akkor az A alak négyzetösszegre redukálható Jacobi módszerrel (lásd 7.4. Tétel), és a kanonikus együtthatók λ én a (7.27) képletekkel találhatjuk meg. Ha Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, akkor a (7.27) összefüggésekből következik, hogy minden λ én> 0, azaz az A(x, x) alak pozitív határozott. Ha a Δ jelek én alternatív és Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует,
что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.
