Összetett kamatláb. Összetett kamatok. Egyszerű és kamatos kamat

Összetett kamatláb

Termesztési képletek

Az összetett kamatos kamatláb olyan kamatláb, amelynél az elhatárolási alap az egyszerű kamattól eltérően változó, pl. kamatra számítanak kamatot.

Ezenkívül előre megállapodnak egy bizonyos egységnyi intervallumban a kamatszámításhoz (év, hónap, negyedév stb.), valamint az i kamatláb (vagy i % = 100i). Legyen az adósság kezdeti összege egyenlő P-vel. Ekkor egyetlen intervallum után az adósság összege S 1 =P (1+i) lesz, mint az egyszerű kamat esetében. A 2. egységintervallum végére azonban az adósság összege S 2 \u003d S 1 (1 + i ) \u003d P (1 + i ) 2 (ellentétben az S 2 \u003d P (1 + 2i) képlettel ) egyszerű kamatra. A 3. periódus végére S 3 \u003d S 2 (1 + i) \u003d P (1 + i) 3. Stb. Az n-edik egységintervallum végére kapjuk

Tehát n intervallum után a P kezdeti összeg (1 + i )n-szeresére nő. Az (1+i )n tényezőt nevezzük növekményes szorzó. Megjegyezzük, hogy a kamatos kamatnövekedés a kezdeti összeg növekedését jelenti a geometriai progresszió törvénye szerint, amelynek első tagja egyenlő P-vel, nevezője pedig 1+i.

1. feladat . Kezdeti letéti összeg P = 40 000 rubel. Kamatláb %=10% évente. Határozza meg a kamatos kamat elhatárolást 3 évre, majd hasonlítsa össze az egyszerű kamatrendszer felhalmozási összegével.

Megoldás . Az (1) képlet alkalmazásával megvan

S 3, hajtsa \u003d P (1 + i) 3 = 40 000 (1 + 0,1) 3 = 53 240 rubel.

Számítsa ki a felhalmozott összeget az egyszerű kamatrendszer segítségével:

S 3, inc. \u003d P (1 + 3i) \u003d 40 000 (1 + 0,3) = 52 000 rubel.< 53 240 р.

Tehát a szóban forgó esetben a kamatos kamat alkalmazása nagyobb elhatárolást eredményez, ami a betétes számára jövedelmezőbb, mint az egyszerű kamatrendszerben történő elhatárolás.

A kamatos kamat felhalmozásának képlete (1), egészre származtatva

Itt P a kezdeti összeg, n k a kamatszámítás k-adik periódusának időtartama és i k az egyszerű kamatláb a k számú időszakban.

3. feladat. A bankbetét 4 évre szóló kiszolgálásáról szóló megállapodásban változó kamatos kamat kerül rögzítésre az alábbiak szerint. Az 1. évben - évi 6%, a 2. és a 3. évben az arány megegyezik - évi 5%, a 4. évben

- nyolc%. Határozza meg a felhalmozási szorzó értékét 4 évre!

Megoldás . Legyen P valamilyen kezdőösszeg. A feladatnak megfelelően

i 1 = 0,06, i 2 = i 3 = 0,05, i 4 = 0,08.

Jelölje i 23 = 0,05. A (2) képletnek megfelelően rendelkezünk:

S = P (1 i 1 ) 1 (1 i 23 ) 2 (1 i 4 ) 1 = P (1 + 0,06) (1 + 0,05) 2 (1 + 0,08).

A számítások eredményeként megkapjuk a felhalmozási szorzó értékét:

S/P = (1+0,06)(1+0,05)2 (1+0,08) = 1,262142.

Az egyszerű és kamatos kamat növekedési erejének összehasonlítása

Ugyanazon i kamatláb esetén a kamatos kamat elhatárolása:

gyorsabban megy, mint az egyszerű kamat, ha a felhalmozási időszak hossza nagyobb, mint egyetlen időszak;

lassabb az egyszerű kamatnál, ha a felhalmozási időszak hossza kisebb, mint egy egységnyi időszak.

Korábban megjegyezték, hogy az egy időszakra vonatkozó felhalmozás ugyanaz, függetlenül attól, hogy az egyszerű kamatozást vagy a kamatos kamatozást alkalmazzák.

Indokoljuk meg az elhangzottakat. Valóban, ha i > 0:

ha t >1, akkor (1+i )t > 1+it ; ha 0

Ennek bizonyítására tekintsük az f (t ) = (1+i )t és g (t ) = 1+it függvényeket. Nyilvánvaló, hogy f (0) \u003d g (0), f (1) \u003d g (1) és mindkét függvény t 0-nál növekszik nem csak értelemszerűen, hanem formálisan is az f (t) deriváltjaik pozitívsága miatt. ) \u003d (1 + i) t ln (1+i ) és g (t ) =i . Ugyanakkor az f (t ) = (1+i )t ln 2 (1+i ) másodrendű derivált t 0-nál pozitív, ami azt jelenti, hogy az f (t ) függvény lefelé konvex t 0-nál ( azaz felgyorsult növekedés). Ebben az esetben a g (t) függvény lineárisan növekszik

(g(t) = 0).

A grafikon az f (t) \u003d (1 + i) t és g (t) \u003d 1 + it függvényeket mutatja t függvényében:

Példa. Növeljük a P =800 összeget az egyszerű és kamatos kamat i=8%-a mellett. Ezután a felhalmozott összegek

Kilátásaik felméréséhez gyakran fontos, hogy a hitelező és az adós tudja, hogy adott kamat mellett mennyi idő alatt nő a hitel összege N-szeresére. Ehhez a növekedési tényezőt az N értékkel egyenlővé tesszük, aminek eredményeként a következőt kapjuk:

a) egyszerű kamatra 1 + ni =N , ahonnan n = (N –1) / i .

b) kamatos kamatra (1+ i )n =N , ahonnan n = lnN / ln(1 + i ).

Megoldás . A feladat feltétele szerint i =0,04,N =2. Nekünk van

a) egyszerű kamatra n = (N –1) / i = 1 /i , ahonnan n = 1/0,04 = 25 év

b) kamatos kamatra n = lnN / ln(1 +i ), ahonnan n = ln 2/ln(1,04) 17,67 év. A kamatos kamat gyorsabban megduplázza adósságát.

Néhány kamatszámítási módszer töredékszámú évekre

A töredékévszámú t pénzintézetek gyakorlatában a kamatszámítás különböző módokon történik. Nézzük meg a három fő módszert.

1. kamatos kamat képlete: S = P(1+i)t.

2. Vegyes módszer alapján, amely szerint egész évekre kamatos kamatot, töredékévekre egyszerű kamatot számítanak fel: S = P (1+i )n (1+bi ), ahol t=n+b ,n az évek egész száma, b az év tört része.

3. Számos kereskedelmi banknál alkalmazzák azt a szabályt, miszerint a felhalmozási időszaknál rövidebb ideig nem halmozódik fel kamat, pl.

S = P(1+i)n.

5. feladat. A 27 hónapra nyújtott kölcsön összege 100 000 rubel. Az éves kamat 20%. Számítsa ki a felhalmozott összeget a jelzett három módon.

Megoldás . A probléma feltétele szerint a kölcsön futamideje 2,25 év. A következő számításaink vannak.

Az 1. módszer szerint: S I \u003d 100 000 (1 + 0,2) 2. 2 5 150 715 46 kop. A 2. módszer szerint: S II = 100 000 (1 + 0,2) 2 (1 + 0,25 0,2) \u003d 151 200 rubel. A 3. módszer szerint: S III \u003d 100 000 (1 + 0,2) 2 = 144 000 rubel.

Kedvezmény képletek kamatos kamatokhoz

6. feladat. Írjon táblázatot a diszkonttényező (1 + i) - n 5, 10 és 20 éves kölcsön futamideje esetén; az összetett elhatárolási arány 10% és 20%.

Megoldás . A (3) képlet alapján végzett számítások eredményeit a táblázat tartalmazza

Ha a diszkontálás a banki (kereskedelmi) számviteli séma szerint történik, akkor a diszkontráta kezdetben d, 0d<1. Она применяется не к начальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем промежутке времени. Размер дисконта, или учета, удерживаемого финансовым учреждением, равен

7. feladat. A 20 000 rubel értékű, 1,5 éven belüli lejáratú váltót évi 18%-os kamatos kamattal diszkontálják. Határozza meg a számlatulajdonos által a számvitel során kapott összeget, valamint a megfelelő kedvezményt.

Megoldás . Itt a feladat feltételének megfelelően S = 20 000, n = 1,5, d = 0,18. Ekkor a (4) képlet szerint a következő számítási eredményeket kapjuk:

a tulajdonos által kapott összeg P = 20 000(1 – 0,18)1,5 14850 r. 83 kop.,

kedvezmény D \u003d S - P 20 000 - 14850,83 \u003d 5149 rubel. 17 kop.

Fontolja meg a kamatos kamatokat - a kamat kiszámítását mind az adósság tőkeösszegére, mind a korábban felhalmozott kamatokra.

Egy kis elmélet

A tőke tulajdonosa, aki azt meghatározott időre kölcsönzi, bevételt vár ettől az ügylettől. A várható bevétel nagysága három tényezőtől függ: a hitelre nyújtott tőke nagyságától, a hitelnyújtás időtartamától, valamint a kölcsön kamatának mértékétől vagy egyébként a kamatlábtól.

A kamat kiszámítására többféle módszer létezik. Legfőbb különbségük a kezdeti összeg (alap) meghatározásában rejlik, amelyre kamatot számítanak fel. Ez az összeg állandó maradhat az időszak alatt, vagy változhat. Ennek függvényében különbséget tesznek az elhatárolásos módszer és a kamatos kamat között.

Az összetett kamatlábak alkalmazásakor az egyes felhalmozási időszakok után felhalmozott kamatpénz hozzáadódik a tartozás összegéhez. Így a kamatos kamat számításának alapja a felhasználással szemben minden elhatárolási időszakban változik. A felhalmozott kamat hozzáadását a számításuk alapjául szolgáló összeghez kamatkapitalizációnak nevezzük. Ezt a módszert néha "százalékos százaléknak" nevezik.

A példafájl egy grafikont tartalmaz a felhalmozott összeg egyszerű és kamatos kamattal történő összehasonlítására.

Ebben a cikkben a kamatos kamat felhalmozódását vizsgáljuk állandó kamatozás esetén. A változó kamatlábról kamatos kamat esetén.

Kamat felhalmozás évente egyszer

Legyen a betét kezdeti összege P, majd egy év múlva a betét összege hozzáadott kamattal =P*(1+i), 2 év múlva =P*(1+i)*(1+i) =P*(1+i )^2, n év múlva – P*(1+i)^n. Így megkapjuk a kamatos kamat elhatárolási képletét:
S = P*(1+i)^n
ahol S a felhalmozott összeg,
i - éves kamatláb,
n - kölcsön futamideje években,
(1+ i)^n - felhalmozási szorzó.

A fent tárgyalt esetben tőkésítésre évente egyszer kerül sor.
Évente m-szeres tőkésítéssel a kamatos kamat elhatárolási képlete így néz ki:
S = P*(1+i/m)^(n*m)
i/m az időszak árfolyama.
A gyakorlatban általában diszkrét kamatot alkalmaznak (azonos időintervallumokra felhalmozott kamat: év (m=1), félév (m=2), negyedév (m=4), hónap (m=12)).

Az MS EXCEL-ben különböző módokon számolhatja ki a kamatos kamat lejáratának végére felhalmozott összeget.

Fontolja meg a problémát: Legyen a kezdeti betét összege 20 ezer rubel, az éves kamatláb = 15%, a letéti időszak 12 hónap. A tőkésítés havonta, az időszak végén történik.

1. módszer. Számítás képleteket tartalmazó táblázat segítségével
Ez a legidőigényesebb módszer, de a leginkább vizuális. Ez abból áll, hogy az egyes időszakok végén egymást követően kiszámítják a hozzájárulás összegét.
A példafájlban ez a lapon van megvalósítva Állandó árfolyam.

Az első időszakra =20000*(15%/12) összegű kamat halmozódik fel, mert tőkésítés havonta történik, egy évben pedig, mint ismeretes, 12 hónap.
A második időszakra vonatkozó kamat kiszámításakor nem a betét kezdeti összegét kell alapul venni, amelyre a % kerül felszámításra, hanem az első időszak végén (vagy a második elején) fennálló betét összegét. . És így tovább mind a 12 időszakban.

2. módszer. Számítás a Felhalmozott kamat képletével
Helyettesítsük be az S = Р*(1+i)^n halmozott összeg képletében a feladat értékeit.
S = 20000*(1+15%/12)^12
Emlékeztetni kell arra, hogy kamatlábként az időszakra (tőkésítési időszakra) vonatkozó kamatlábat kell feltüntetni.
A képlet írásának másik módja a POWER () függvény
=20000*TELJESÍTMÉNY(1+15%/12; 12)

3. módszer: Számítás a BS() függvény segítségével.
A BS() függvény lehetővé teszi a befektetések meghatározását időszakos egyenlő kifizetések és állandó kamatláb feltétele mellett, pl. esetén elsősorban számításokra szolgál. A 3. paraméter (PLT=0) elhagyásával azonban a kamatos kamat kiszámítására is használható.
=-BS(15%/12;12;;20000)

Vagy úgy = -BS(15%/12;12;0;20000;0)

Jegyzet. Változó kamatozás esetén a Jövőérték meghatározása a BZRAISP() kamatos kamatmódszerrel.

Határozza meg a felhalmozott kamat összegét

Nézzük a problémát: Egy banki ügyfél 150 000 rubelt helyezett el. 5 évig éves kamatos kamattal, évi 12%-os kamattal. Határozza meg a felhalmozott kamat összegét.

A felhalmozott kamat I összege megegyezik az S felhalmozott összeg és a kezdeti Р összeg különbségével. Az S = Р*(1+i)^n felhalmozott összeg meghatározására szolgáló képlet segítségével kapjuk:
I \u003d S - P \u003d P * (1 + i) ^ n - P \u003d P * ((1 + i) ^ n -1) \u003d 150000 * ((1 + 12%) ^5-1)
Eredmény: 114 351,25 rubel.
Összehasonlításképpen: az egyszerű árfolyamon történő elhatárolás 90 000 rubelt eredményez. (lásd a példafájlt).

Határozza meg a tartozás futamidejét

Nézzük a problémát: Egy bank ügyfele bizonyos összeget letétbe helyezett éves kamatos kamattal, évi 12%-os kamattal. Mennyi idő alatt duplázódik meg a kaució?
Az S = Р*(1+i)^n egyenlet mindkét oldalának logaritmusát felvéve az ismeretlen n paraméterre oldjuk meg.

A példafájlban van megoldás, a válasz 6,12 év.

Számítsa ki az összetett kamatlábat!

Nézzük a problémát: Egy banki ügyfél 150 000 rubelt helyezett el. éves kamatos kamattal. Milyen éves árfolyamon duplázódik meg a betét összege 5 év alatt?

A példafájlban van megoldás, a válasz 14,87%.

jegyzet. Az effektív kamatlábról.

Kamatos kamat elszámolása (leszámítás).

A diszkontálás a pénz időértékének elvén alapul: a jelenleg rendelkezésre álló pénz bevételi potenciálja miatt többet ér, mint a jövőben ugyanennyi.
Tekintsünk 2 típusú számvitelt: matematikai és banki.

Matematikai számvitel. Ebben az esetben a probléma a kamatos kamatfelhalmozás fordítottan oldódik meg, azaz. a számításokat az Р=S/(1+i)^n képlet szerint végezzük
Az S diszkontálásával kapott P értékét S jelenértékének vagy aktuális értékének, vagy S redukált értékének nevezzük.
P és S egyenértékűek abban az értelemben, hogy S kifizetése n év múlva megegyezik a jelenleg fizetett P összeggel. Itt a D = S - P különbséget engedménynek nevezzük.

Példa. 7 év elteltével a biztosítottnak 2 000 000 rubelt fizetnek. Határozza meg az összeg jelenértékét, feltéve, hogy évi 15%-os kamatos kamatlábat alkalmaz.
Más szóval, tudjuk:
n = 7 év,
S = 2 000 000 rubel,
i = 15%.

Megoldás. P = 2000000/(1+15%)^7
A jelenérték értéke kisebb lesz, mert Nyítás Ma P összegű hozzájárulás 15%-os éves tőkésítéssel, 7 év múlva 2 millió rubelt kapunk.

Ugyanezt az eredményt a =PS(15%;7;;-2000000;1) képlet segítségével kaphatjuk meg.
A PS() függvény visszaadja a beruházás csökkentett (az aktuális pillanatra) költségét és .

Banki könyvelés. Ebben az esetben egy komplex diszkontráta alkalmazását feltételezzük. A komplex diszkontrátával történő diszkontálás a következő képlet szerint történik:
P \u003d S * (1- dsl) ^ n
ahol dcl az összetett éves diszkontráta.

Komplex diszkontráta alkalmazásakor a diszkontálási folyamat progresszív lassítással történik, mivel a diszkontrátát minden alkalommal az előző időszakra a kedvezmény összegével csökkentett összegre alkalmazzuk.

Összehasonlítva az S = Р*(1+i)^n kamatos kamat felhalmozási képletét és a komplex diszkontráta Р = S*(1- dsl)^n képletét, arra a következtetésre jutunk, hogy az előjel cseréjével kamatláb az ellenkezőjével, a diszkontált érték kiszámításához felhasználhatjuk mindhárom kamatos kamatfelhalmozás számítási módszerét, amelyeket a cikk részben tárgyalunk. Évente többször felhalmozódik a kamat.

És ennek a tranzakciónak a paramétereinek kiszámítása.

A pénzügyi matematika tantárgy két részből áll: egyszeri kifizetésekből és fizetési folyamokból. Egyszeri kifizetések- ezek olyan pénzügyi tranzakciók, amelyek során mindkét fél a szerződési feltételek teljesítésekor csak egyszer fizeti meg a pénzösszeget (kölcsön ad vagy törleszti a tartozást). Fizetési folyamatok- Olyan pénzügyi tranzakciókról van szó, amelyek során mindkét fél a szerződési feltételek teljesítése során legalább egy fizetést teljesít.

Egy pénzügyi tranzakcióban két fél vesz részt: a hitelező és a hitelfelvevő. Mindegyik fél lehet bank és ügyfél is. Az alapvető pénzügyi tranzakció egy bizonyos összegű adósság biztosítása. A pénz nem egyenlő az idővel. A modern pénz általában értékesebb, mint a jövő pénze. A pénz időértéke tükröződik a felhalmozott kamatpénz mennyiségében és felhalmozási és fizetési sémájában.

Az ilyen problémák megoldására szolgáló matematikai apparátus a "százalék" és a és .

Érdeklődés - alapfogalmak

Százalék- egy előre meghatározott alap egy százada (azaz az alap 100%-nak felel meg).

Válasz: több

Kamatláb

Kamatláb- a jövedelem relatív összege egy meghatározott időszakra. A jövedelem (kamatpénz – a pénzkölcsönadásból származó jövedelem abszolút értéke) az adósság összegéhez viszonyított aránya.

Felhalmozási időszak- erre az időintervallumra van időzítve a kamat, nem szabad összetéveszteni a felhalmozási időszakkal. Általában egy évet, fél évet, negyedévet, hónapot veszek ilyen időszaknak, de leggyakrabban éves díjakkal foglalkoznak.

Kamattőkésítés- kamat hozzáadásával a tartozás tőkeösszegéhez.

Növekedés- a pénzösszeg időbeni növelésének folyamata a kamatfelszámítás kapcsán.

Leszámítolás- fordított akkréció, amelyben a jövőre vonatkozó pénzösszeget a diszkontnak (leszámítolásnak) megfelelő összeggel csökkentik.

Az értéket felhalmozási szorzónak, az értéket pedig diszkontszorzónak nevezzük a megfelelő sémákkal.

A sémával " egyszerű érdeklődés„Az adósság teljes futamideje alatti kamatszámítás kezdeti alapja a kamatláb minden alkalmazási időszakára a tartozás kezdeti összege.

A sémával " kamatos kamat"(egész számok esetén) a kamatláb minden alkalmazási időszakában a teljes időszakra vonatkozó kamatfelhalmozás kezdeti alapja az előző időszakban felhalmozott tartozás összege.

A felhalmozott kamatpénz hozzáadását a számítás alapjául szolgáló összeghez kamatkapitalizációnak (vagy a betét újrabefektetésének) nevezzük. Az „összetett kamat” rendszer alkalmazásakor a kamat tőkésítése minden időszakban megtörténik.

Az "egyszerű kamat" rendszerben ( egyszerű kedvezmény) - a tartozás teljes futamideje alatti kamatfelhalmozás kezdeti alapja a diszkontráta minden alkalmazási időszakára a betéti futamidő végén fizetendő összeg.

Az "összetett kamatozású" sémával (egész számokhoz) ( összetett kedvezmény) - a kamat felhalmozásának kezdeti alapja a teljes időszakra a diszkontráta alkalmazásának minden időszakára az egyes időszakok végén fennálló tartozás összege.

Egyszerű és kamatos kamat

"Közvetlen" képletek

	Egyszerű érdeklődés	Kamatos kamat
- kamatláb			felépít
- kamatláb			diszkontálás (banki könyvelés)

"Fordított" képletek

Változó kamatláb és betétek újrabefektetése

Legyen az adósság futamidejének szakaszai, amelyek hossza egyenlő , ,

- egyszerű kamatprogram

1 . A szerződés a) egyszerű, b) kamatos kamat elhatárolását az alábbi sorrendben írja elő: az első félévben 0,09 éves kamattal, majd a következő évben 0,01-el csökkent a kamat, a következő évben pedig két félévben mindegyikben 0,005-tel nőtt. Keresse meg a felhalmozott betét értékét a futamidő végén, ha a kezdeti betét értéke 800 USD.

A piaci kamat, mint a legfontosabb makrogazdasági mutató

A kamat fontos. A kamat mértéke a ben biztosított pénz díja. Volt, hogy a törvény nem engedte meg a díjazást azért, hogy el nem költött, kölcsönvett pénzt adtak kölcsön. A modern világban széles körben használják a hiteleket, amelyek felhasználására százalékot határoznak meg. Mivel a kamatlábak a vállalkozók pénzhasználati költségeit és a fogyasztói szektor pénzhasználati elmulasztásának jutalmát mérik, a kamatszint jelentős szerepet játszik az ország gazdaságában.

A közgazdasági irodalomban nagyon gyakran használják a "kamatláb" kifejezést, bár sok kamatláb létezik. A kamatlábak differenciálása a hitelező által vállalt kockázathoz kapcsolódik. A kockázat a hitel futamidejével növekszik, mivel nagyobb a valószínűsége annak, hogy a hitelezőnek szüksége lehet a pénzre a kölcsön lejárta előtt, és ennek megfelelően nő a kamat. Növeli, ha egy kevéssé ismert vállalkozó hitelt kér. Egy kis cég magasabb kamatot fizet, mint egy nagy. A fogyasztók számára a kamatlábak is változnak.

Azonban bármennyire is eltérőek a kamatlábak, mindegyiket érinti: ha a pénzkínálat csökken, akkor a kamatok nőnek, és fordítva. Éppen ezért az összes kamatláb figyelembevétele levezethető egy kamatláb mintázatainak tanulmányozására, és a jövőben a „kamatláb” kifejezéssel operálhatunk.

Tegyen különbséget a nominális és a reálkamatok között

Reálkamat szint figyelembevételével kerül meghatározásra. Ez egyenlő a nominális kamatlábbal, amely a kereslet és kínálat hatására alakul ki, mínusz az infláció:

Ha például egy bank 15%-ot hitelez és számít fel, és az infláció 10%, akkor a reálkamat 5% (15% - 10%).

Kamatszámítási módszerek:

Egyszerű kamatláb

egyszerű kamat diagram

Határozza meg a kamatot és a felhalmozott tartozás összegét, ha az egyszerű kamatláb évi 20%, a kölcsön 700 000 rubel, a futamidő 4 év.

• I = 700 000 * 4 * 0,2 \u003d 560 000 rubel.
• S = 700 000 + 560 000 \u003d 1 260 000 rubel.

Olyan helyzet, amikor a kölcsön futamideje rövidebb, mint a felhalmozási időszak

• 360 nap. Ebben az esetben az ember kap rendes vagy kereskedelmi érdek.
• 365 vagy 366 nap. Számításhoz használják pontos kamat.

• Kölcsönnapok pontos száma – A kölcsön dátuma és a visszafizetés napja közötti napok számának számlálása határozza meg. A kiállítás napja és a visszaváltás napja egy napnak számít. A két dátum közötti napok pontos száma az év napjainak sorszámtáblázatából határozható meg.
• A kölcsönzési napok hozzávetőleges száma - attól a feltételtől függ, hogy bármely hónap 30 napnak felel meg.

• Pontos kamat a kölcsönnapok pontos számával (365/365)
• Rendes kamat a kölcsönzési napok pontos számával (bank; 365/360). Ha a kölcsön napjainak száma meghaladja a 360-at, ez a módszer azt a tényt eredményezi, hogy a felhalmozott kamat összege nagyobb lesz, mint az éves kamatláb.
• Rendes kamat körülbelül kölcsönnapok számával (360/360). Közbenső számításoknál használják, mivel nem túl pontos.

Január 20-tól október 5-ig 1 millió rubel összegű kölcsönt adtak ki évi 18%-os kamattal. Mennyit kell fizetnie az adósnak a futamidő végén az egyszerű kamat számításánál? Az egyszerű kamat kiszámításához háromféleképpen számoljon.

Kezdésként határozzuk meg a kölcsönzési napok számát: január 20. az év 20. napja, október 5. az év 278. napja. 278 - 20 \u003d 258. Hozzávetőleges számítással - 255. január 30. - január 20. \u003d 10. 8 hónap szorozva 30 nappal \u003d 240. összesen: 240 + 10 + 5 \u003d 2

1. Pontos kamat a kölcsönnapok pontos számával (365/365)

• S = 1 000 000 * (1 + (258/365) * 0,18) \u003d 1 127 233 rubel.

2. Rendes kamat kölcsönnapok pontos számával (360/365)

• S = 1 000 000 * (1 + (258/360) * 0,18 \u003d 1 129 000 rubel.

3. Rendes kamat a kölcsönnapok hozzávetőleges számával (360/360)

• S = 1 000 000 (1 + (255/360) * 0,18 \u003d 1 127 500 rubel).

Változó árfolyamok

A kölcsönszerződések időnként időben változó kamatokat írnak elő. Ha ezek egyszerű árfolyamok, akkor a futamidő végén felhalmozott összeget a következőképpen határozzák meg.

Az emberek mindig a jövőjükre gondoltak. Megpróbálták és próbálják megvédeni magukat, gyermekeiket és unokáikat az anyagi nehézségektől, legalább egy kis bizalomszigetet építve a jövőben. Ha most elkezdi építeni kis bankbetétekkel, akkor stabilitást és függetlenséget biztosíthat a jövőben.

A banki műveletek alapelve, hogy a pénzeszközök csak akkor növekedhetnek, ha állandó forgalomban vannak. Annak érdekében, hogy az ügyfelek magabiztosan tájékozódhassanak a pénzügyi szolgáltatások területén, és meg tudják választani a számukra előnyös feltételeket egy bizonyos időszakban, ismernie kell néhány egyszerű szabályt. Ez a cikk azokra a hosszú távú befektetésekre fókuszál, amelyek lehetővé teszik, hogy viszonylag kis mennyiségű induló tőkéből bizonyos számú éven keresztül jelentős haszonra tegyenek szert, vagy a betétet tovább használják fel, az időbeli elhatárolásokat a mindennapi szükségletekre vonva el.

A nyereség helyes kiszámításához egyszerű aritmetikai műveleteket kell végrehajtani az alábbi képletek alapján.

kamatos kamat képlete (években számolva)

Például úgy dönt, hogy 100 000,00 rubelt tesz. évi 11%-kal, hogy kihasználhassák a 10 év alatti megtakarításokat, amelyek a tőkésítés hatására jelentősen megnőttek. A teljes összeg kiszámításához a kamatos kamat számítási módszerét kell alkalmazni.

A kamatos kamat alkalmazása azt jelenti, hogy az egyes időszakok (év, negyedév, hónap) végén az elhatárolt nyereséget hozzáadják a hozzájáruláshoz. A kapott összeg a későbbi nyereségnövekedés alapja.

A kamatos kamat kiszámításához egy egyszerű képletet használunk:

• S - a betét lejártakor a betétesnek visszajáró teljes összeg (a betét "teste" + kamat);
• P a hozzájárulás kezdeti értéke;
• n - a kamattőkésítési műveletek teljes száma a forrásbevonás teljes időszakára vonatkozóan (ebben az esetben az évek számának felel meg);
• I az éves kamatláb.

Ha behelyettesítjük az értékeket ebbe a képletbe, azt látjuk, hogy:

5 év múlva lesz az összeg dörzsölés.,

és 10 év múlva az lesz dörzsölés.

Ha rövid időre számolnánk, akkor kényelmesebb lenne a kamatos kamatot a képlet alapján számolni

• K a napok száma az aktuális évben,
• J - az időszak azon napjainak száma, amelyek eredményét követően a bank tőkésíti a felhalmozott kamatot (a többi megjelölés megegyezik az előző képletben szereplővel).

De azok számára, akik kényelmesebbnek találják a betét havi kamatfelvételét, jobb, ha megismerkednek a koncepcióval. "A betét tőkésítése", ami egyszerű kamat kiszámítását jelenti.

A grafikon azt mutatja, hogy 100 000,00 rubel befektetése esetén hogyan nő a tőke a betét kamatai tőkésítésével. 10 évig 10%, 15% és 20%

kamatos kamat képlete (hónapokban számítva)

Van egy másik, az ügyfél számára jövedelmezőbb módszer a kamat felhalmozására és hozzáadására - havonta. Ehhez a következő képletet alkalmazzák:

ahol n szintén a tőkésítési tranzakciók számának felel meg, de már hónapokban van kifejezve. A százalékos mutatót itt még elosztjuk 12-vel, mert egy évben 12 hónap van, és a havi kamatlábat kell számolnunk.

Ha ezt a képletet használnák a betét negyedéves elhatárolására, akkor az éves százalékot elosztanák 4-gyel, és az n mutató egyenlő lenne a negyedévek számával, ha pedig félévenként halmozódna fel a kamat, akkor a kamatláb. osztva lenne 2-vel, és az n jelölés a félévek számának felelne meg.

Tehát, ha 100 000,00 rubel összegű hozzájárulást adtunk. a kamat havi tőkésítésével, akkor:

5 év (60 hónap) után a letét összege 172 891,57 rubelre nőtt volna, ami körülbelül 10 000 rubel. több, mint a betét éves tőkésítése esetén; dörzsölés.

és 10 év (120 hónap) után a „felhalmozott” összeg 298 914,96 rubel lett volna, ami már 15 000 rubel. meghaladja a kamatos kamat képlettel számított értéket, amely az években történő számítást biztosítja.

dörzsölés.

Ez azt jelenti, hogy a havi kamat hozama magasabb, mint az éves kamaté. Ha pedig nem vonják ki a profitot, akkor a kamatos kamat a betétes javára dolgozik.

Összetett kamatképlet bankbetétekre

A fent leírt kamatos kamatképletek nagy valószínűséggel szemléltető példák az ügyfelek számára, hogy megértsék, hogyan számítják ki a kamatos kamatokat. Ezek a számítások valamivel egyszerűbbek, mint a bankok által a valódi bankbetétekre alkalmazott képlet.

Az itt használt mértékegység a betét kamategyütthatója (p). Kiszámítása a következő:

A bankbetétek kamatos kamatát ("felhalmozott" összeget) a következő képlet alapján számítják ki:

Ez alapján és ugyanezen adatokkal példálózva a kamatos kamatot számoljuk ki banki módszerrel.

Először meghatározzuk a betét kamatlábat:

Most behelyettesítjük az adatokat a fő képletben:

dörzsölés. - ez a betét összege, amely 5 év alatt "növekszik" *;

dörzsölés. - 10 évig*.

*A példákban szereplő számítások hozzávetőlegesek, mivel nem veszik figyelembe a szökőéveket és a hónapok napjainak változó számát.

Ha a két példából származó összegeket összehasonlítjuk az előzővel, akkor azok valamivel kisebbek, de a kamattőkésítés előnyei így is nyilvánvalóak. Ezért, ha elhatározta, hogy hosszú ideig pénzt helyez el a bankba, akkor jobb, ha előzetesen kiszámítja a profitot a „banki” képlet segítségével - ez segít elkerülni a csalódást.

Általános rendelkezések
Szinte minden pénzügyi és gazdasági számítás, így vagy úgy, kapcsolódik a kamatszámításhoz. A banki gyakorlatban egyszerű és kamatos kamatot alkalmaznak.
A kamatpénz (kamat) a különböző formákban (kölcsönök, betétszámlák nyitása, kötvényvásárlás, felszerelés bérbeadása stb.) származó kölcsönadásból származó jövedelem összege.
A kamatpénz összege három tényezőtől függ:
a tőketartozás összege (a kölcsön összege);
időpont lejárata;
kamatláb, amely a kamatfelhalmozás intenzitását jellemzi.
A kamat felhalmozódása szerint fizethető, vagy hozzáadható a tartozás összegéhez. Az adósság összegének a felhalmozott kamatok összeadása miatti növekedését az eredeti tartozás összegének növekedésének nevezzük.
A felhalmozott összeg és az adósság kezdeti összegének arányát felhalmozási szorzónak (együtthatónak) (KN) nevezzük:
Kn \u003d 8/R,
ahol 8 - felhalmozott összeg (visszafizetett);
R az adósság kezdeti összege.
KN mindig nagyobb egynél.
Azt az időintervallumot, amelyre a kamatot számítják, felhalmozási időszaknak nevezzük.
Egyszerű kamatlábak alkalmazásakor a kamatpénz összege a tartozás teljes futamideje alatt annak kezdeti összege alapján kerül meghatározásra, függetlenül a felhalmozási időszakoktól és azok időtartamától, pl. nincs kamattőkésítés (kamat felhalmozása).
Az összetett kamatlábak alkalmazásakor az előző időszakra felhalmozott kamatot hozzáadják a tartozás összegéhez, és a következő időszakban kamat halmozódik fel rá (a kamattőkésítés megtörténik).
Maguk az árfolyamok (egyszerű és összetett) értéke változhat vagy változatlan maradhat. Ha változik a kamat, de nincs kapitalizáció, pl. mindig ugyanannyira számítanak fel kamatot, akkor egyszerű lesz. Ha állandó kamat mellett is van kapitalizáció, akkor kamat kamatos.
Mind az egyszerű, mind a kamatos kamatot kétféleképpen lehet kiszámítani:
dekurzív - a kamat kiszámítása minden intervallum végén történik;
antiszipatív – a kamatot minden intervallum elején számítják ki.
Az első esetben a kamatpénz összegét a kölcsön összege alapján határozzák meg. A dekurzív kamatlábat hitelkamatnak nevezzük. Ez az időintervallum során felhalmozott jövedelem összegének a kezdeti összeghez viszonyított aránya (a kamatszámítási időszak elején lévő összeg):
1 = Bevétel x 100% / R.
Az antiszipatív (előzetes) kamatszámítási módszerrel a kamatpénz összege a felhalmozott összeg alapján kerül megállapításra. A kamatlábat (ё) számviteli vagy antiszipatívnak nevezzük:
e \u003d Bevétel x 100% / 8.
A világgyakorlatban elterjedtebb a dekurzív módszer.
Fontolja meg a különböző típusú díjakat és számítási módszereket a következő terv szerint:
egyszerű dekurzív kamatlábak;
összetett dekurzív kamatlábak;
egyszerű antiszipatív (kedvezményes) árfolyamok;
komplex antiszipatív (kedvezményes) árfolyamok;
egyenértékű kamatlábak.
Dekurzív egyszerű kamatszámítási módszer
Az egyszerű kamatlábak elhatárolását általában a rövid lejáratú hiteleknél alkalmazzák.
Bemutatjuk a jelölést:
8 - felhalmozott összeg, dörzsölje.;
R - az adósság kezdeti összege, r.;
1 - éves kamatláb (egy egység töredékében);
n a kölcsön futamideje években.
Az első év végén a felhalmozott tartozás összege lesz
81 \u003d P + P 1 \u003d P (1 + 1);
a második év végén:
82 \u003d 81 + P 1 \u003d P (1 + 1) + P 1 \u003d P (1 + 2 1); a harmadik év végén:
83 \u003d 82 + P1 \u003d P (1 + 2 1) + P 1 \u003d P (1 + 3 1) és így tovább. Az n kifejezés végén: 81 \u003d P (1 + n 1).
Ez az elhatárolási képlet egyszerű kamatláb mellett.
Szem előtt kell tartani, hogy a kamatnak és a futamidőnek meg kell felelnie egymásnak, i.e. ha éves árfolyamot veszünk, akkor az időszakot években kell kifejezni (ha negyedéves, akkor negyedévben kell kifejezni az időszakot stb.).
A zárójelben lévő kifejezés az egyszerű kamatfelhalmozás:
Kn \u003d (1 + n 1).
Következésképpen,
81 = R Könyv.
Feladat 5.1
A bank 5 millió rubel összegű kölcsönt adott ki. hat hónapig egyszerű évi 12%-os kamattal. Határozza meg a fizetendő összeget.
Megoldás:
8 \u003d 5 millió (1 + 0,5 ¦ 0,12) \u003d 5 300 000 rubel.
Ha a kölcsönzés futamidejét napokban adják meg, akkor a felhalmozott összeg 8 = P (1 + d / K 1),
ahol d az időszak időtartama napokban;
K a napok száma egy évben.
K értékét időalapnak nevezzük.
Az időalap vehető egyenlőnek az év tényleges hosszával - 365 vagy 366 (akkor a kamatot nevezzük pontosnak) vagy hozzávetőlegesen, ami 360 napnak felel meg (akkor rendes kamatról van szó).
Pontosan vagy hozzávetőlegesen meghatározható az is, hogy hány napra kölcsönöznek pénzt. Ez utóbbi esetben bármely teljes hónap időtartamát 30 napnak kell feltételezni. Mindkét esetben egy napnak számít a hitelre történő pénzkibocsátás és a visszaküldés időpontja.
Feladat 5.2
A bank 200 ezer rubel összegű kölcsönt adott ki. március 12-től december 25-ig (szökőév) évi 7%-os kamattal. Határozza meg a törlesztési összeget különböző időalap-lehetőségekkel a hitelnapok pontos és hozzávetőleges számához, és vonjon le következtetést a bank és a hitelfelvevő szempontjából preferált lehetőségekről.
Megoldás:
A kölcsönzési napok pontos száma 12.03-tól. 25.12-ig:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
A kölcsönzési napok hozzávetőleges száma:
20+8-30+25=285;
a) Pontos kamat és a kölcsönnapok pontos száma:
8 = 200 000 (1 + 289 / 366 ¦ 0,07) \u003d 211 016 rubel;
b) rendes kamat és a kölcsönnapok pontos száma:
8 = 200 000 (1 + 289/360 ¦ 0,07) \u003d 211 200;
c) rendes kamat és a kölcsönnapok hozzávetőleges száma:
8 = 200 000 (1+285/360 ¦ 0,07) = 211 044;
d) pontos kamat és a kölcsönzési napok hozzávetőleges száma:
8 = 200 000 (1+285/366 ¦ 0,07) = 210 863.
Így a legnagyobb felhalmozott összeg a b) opcióban lesz - rendes kamat a kölcsönnapok pontos számával, és a legkisebb - a d) opcióban - pontos kamat a kölcsönnapok hozzávetőleges számával.
Ezért a bank, mint hitelező szempontjából a b) lehetőség, a hitelfelvevő szempontjából pedig a d) lehetőség előnyösebb.
Szem előtt kell tartani, hogy a rendes kamat mindenesetre előnyösebb a hitelező számára, és a pontos kamat a hitelfelvevő számára (minden esetben - egyszerű vagy összetett). Az első esetben a felhalmozott összeg mindig nagyobb, a második esetben pedig kevesebb.
Ha a kamatlábak a tartozás futamideje során eltérő felhalmozási időközönként eltérőek, a felhalmozott összeget a képlet határozza meg.
n
8 \u003d P (1 + X n 10,
1=1
ahol N a kamatszámítási intervallumok száma;
n - az 1. felhalmozási intervallum időtartama;
^ - kamatláb az I. felhalmozási intervallumon.
Feladat 5.3
A bank egyszerű kamattal fogad be betétet, amely első évben 10%, majd félévente 2 százalékponttal emelkedik. Határozza meg a hozzájárulás összegét 50 ezer rubelre. 3 év után kamattal.
Megoldás:
8 = 50 000 (1 + 0,1 + 0,5 0,12 + 0,5 0,14 + 0,5 0,16 + 0,5 0,18) \u003d 70 000 rubel.
A felhalmozott összeg képletével más meghatározott feltételek mellett is meghatározhatja a kölcsön futamidejét.
A kölcsön futamideje években:
8 - P N = .
R 1
Feladat 5.4
Határozza meg a kölcsön futamidejét években, amelyre az adósság 200 ezer rubel. 250 ezer rubelre fog növekedni. egyszerű kamatláb használata esetén - évi 16%.
Megoldás:
(250 000 - 200 000) / (200 000 0,16) = 1,56 (év).
A felhalmozott összeg képletéből meghatározhatja az egyszerű kamat mértékét, valamint a tartozás kezdeti összegét.
Döntse el egyedül
Feladat 5.5
600 ezer rubel kölcsön kiadásakor. megállapodtak abban, hogy a hitelfelvevő két év alatt 800 ezer rubelt ad vissza. Határozza meg a bank által alkalmazott kamatlábat!
Válasz: 17%.
Feladat 5.6
Az egyszerű, évi 15%-os kamattal kibocsátott kölcsönt 100 nap elteltével kell visszafizetni. Határozza meg a hitelfelvevő által kapott összeget és a bank által kapott kamatpénz összegét, ha a visszaküldendő összeg 500 ezer rubel. 360 napos időalappal.
Válasz: 480 000 dörzsölje.
Az ismert visszafizetendő tartozás kezdeti összegének megállapításának műveletét diszkontálásnak nevezzük. Tágabb értelemben a "leszámítolás" kifejezés egy érték P értékének egy adott időpontban történő meghatározását jelenti, feltéve, hogy a jövőben ez egy adott 8-as értékkel lesz egyenlő. Az ilyen számításokat az értékmutató bevitelének is nevezik. egy adott időpontra, és a diszkontálással meghatározott P értékét a bekerülési érték modern, vagy csökkentett értékének nevezzük. A diszkontálás lehetővé teszi az időtényező figyelembevételét a költségszámításoknál. A diszkonttényező mindig kisebb egynél.
Az egyszerű kamattal történő diszkontálás képlete a következő:
P = 8 / (1 + w), ahol 1 / (1 + w) a diszkonttényező.
Dekurzív módszer a kamatos kamat kiszámítására
A hosszú távú pénzügyi és hitelműveletek során a következő felhalmozási időszak utáni kamatot hozzáadják a tartozás összegéhez, a következő időszakban pedig a teljes összegre, azaz. kamatkapitalizációval. Az ilyen kamatokat kamatos kamatnak nevezzük, a felhalmozás alapja minden egymást követő felhalmozási időszakkal növekszik.
Az n évre felhalmozott összeget állandó éves kamatos kamat mellett 1c a képlet határozza meg
8 \u003d P (1 + 1s) p.
Feladat 5.7
A bank 500 ezer rubel kölcsönt adott ki. 3 éve. Határozza meg a visszafizetendő összeget évi 18%-os összetett kamatláb és a kamatpénz összegével.
Megoldás:
8 \u003d 500 000 (1 + 0,18) 3 = 821 516 rubel.
Kamatpénz \u003d 821 516 - 500 000 \u003d 321 516 rubel.
Az egy évnél hosszabb hitel futamideje kamatos kamatának számítása nagyobb kamatpénzt ad, mint az egyszerű kamat számítása.
Ha a kamatos kamatot évente többször (hónapra, negyedévre, félévre) számítják, akkor a névleges kamatláb - az éves kamatláb - kerül felhasználásra, amely alapján az egyes felhalmozási periódusokban alkalmazott kamatláb kerül megállapításra.
A felhalmozott összeget a képlet határozza meg
8 \u003d P (1 + ] / t) tp, ahol ] - a névleges kamatos kamatláb, tizedes tört;
m - az év során felhalmozódó kamatperiódusok száma;
n a kölcsön futamideje években;
] / t - kamatláb minden felhalmozási időszakban, tizedes tört.
Feladat 5.8
A betétekre a Bank negyedévente 16%-os nominális kamatot számít fel. Határozza meg a befektető által 5 év után kapott összeget, ha a kezdeti betét összege 100 ezer rubel.
Megoldás:
8 \u003d 100 000 (1 + 0,16 / 4) 4 x 5 = 219 112,2 rubel.
A felhalmozott összeg képletéből meghatározhatja a hitelfelvevőnek kiadott összeg értékét, pl. a 8-as összeget leszámítjuk az összetett kamattal.
Döntsd el magad
Feladat 5.9
Határozza meg az 500 ezer rubel összeg aktuális értékét, amelyet 3 éven belül fizetnek ki évi 20% kamatos kamattal.
Válasz: 289 351,8 rubel.
A kölcsön futamideje (az elhatárolt összeg képletéből) kerül meghatározásra
n \u003d 1od (8 / P) / 1od (1 + 1).
A logaritmus bármilyen egyenlő bázissal felvehető.
5.10. feladat
A bank évi 12%-os kamatos kamatot számít fel. Határozza meg azt az időszakot években, amelyre a letét összege 25 ezer rubel. 40 ezer rubelre fog nőni.
Válasz: 4,15 év.
5.11. feladat
Az adósság összege 3 év alatt megduplázódott. Határozza meg az alkalmazott éves kamatos kamatlábat!
Válasz: 26%.
Antiszipatív módszer az egyszerű kamat kiszámítására (egyszerű diszkontráták)
A leszámítolási kamatlábak alkalmazásakor a pénzkölcsönzésből származó kamatpénz összegét a visszafizetendő összeg alapján határozzák meg, pl. a felvett kölcsön összege nem a kapott összeg, hanem a felhalmozott összeg. A diszkont kamatláb mellett felhalmozott kamatpénzt a kölcsön kibocsátásakor azonnal visszatartják, és a hitelfelvevő azonnal megkapja a kölcsön összegét, levonva a kamatpénzt. Az ilyen műveletet diszkontráta melletti diszkontálásnak, valamint banki vagy kereskedelmi számvitelnek nevezik. A diszkontráta mellett felszámított kamat összegét diszkontnak nevezzük.
A hitelfelvevő által kapott összeget a képlet határozza meg
P \u003d 8 (1 - n.),
ahol d - egyszerű diszkontráta;
(1 - n e) - diszkonttényező egyszerű diszkontráta mellett.
A képletből látható, hogy a hitelkamatokkal ellentétben a diszkontkamatok nem vehetnek fel semmilyen értéket, a diszkonttényező nem lehet negatív, pl. n^e-nek szigorúan kisebbnek kell lennie egynél. A határértékhez közeli e értékekkel a gyakorlatban nem találkozunk. 5.12. feladat
A hitelfelvevő negyedévre kölcsönt vesz fel 100 ezer rubel visszafizetési kötelezettséggel. Határozza meg a hitelfelvevő által kapott összeget és a bank által visszatartott kedvezmény mértékét évi 15%-os diszkontrátával.
Megoldás:
P = 100 000 (1 - 0,25 x 0,15) \u003d 96 250 rubel.
Kedvezmény \u003d 8 - P = 100 000 - 96 250 \u003d 3750 rubel.
Ha a kölcsön futamideje napokban van megadva (d), akkor a hitelfelvevő által kapott összeget a képlet határozza meg
P = 8 (1 - a d / K),
ahol K az év napjainak száma (időalap).
Döntsd el magad
5.13. feladat
Határozza meg a hitelfelvevő által kapott összeget és a bank által kapott kedvezmény összegét, ha a szerződés értelmében a hitelfelvevőnek 200 napon belül 100 ezer rubelt kell visszafizetnie. évi 10%-os banki diszkontrátával és 360 napos időalappal.
Válasz: 94 444,44 rubel; 5 555,56 r.
A gyakorlatban a váltók és egyéb pénzbeli kötelezettségek vásárlásakor (könyvelésekor) diszkontrátákat alkalmaznak. Ebben az esetben a bank vagy más pénzintézet lejárat előtt megvásárolja a számlát a tulajdonostól (szállítótól) alacsonyabb áron, mint amennyit a futamidő végén fizetni kell, vagy ahogy mondani szokás, a banki engedmények a számla. A váltó tulajdonosa ezzel egyidejűleg a számlán megjelölt futamidőnél korábban kap pénzt, levonva a bank bevételét kedvezmény formájában. A bank, miután a számlán feltüntetett összeget lejáratkor megkapta, realizálja (kapja) a kedvezményt.
A meghatározott művelet a számlában megjelölt összegű, az elszámoláskor alkalmazott diszkontrátával a bank általi kölcsön kibocsátásának tekinthető, az elszámolás napjától a számlakiváltás napjáig terjedő időszakra. . Ebből következően a kedvezményes számla tulajdonosának kiállított összeget a képlet határozza meg
P \u003d 8 (1 - Dp-e) \u003d 8 (1 - e-Dd / K), ahol Dp \u003d Dd / K - az elszámolás napjától a számla visszafizetésének napjáig tartó időszak napokban;
Pokol - a napok száma az elszámolás napjától a számla visszafizetésének napjáig.
5.14. feladat
A 100 ezer rubel értékű számla elszámolásakor, amelynek esedékességéig 80 nap van hátra, a bank 98 ezer rubelt fizetett tulajdonosának. Határozza meg, hogy a bank milyen diszkontrátát alkalmazott 360 napos időalappal.
Megoldás:
e \u003d (100 000 - 98 000) x 360 / (100 000 x 80) \u003d 0,09 \u003d 9%.
Döntsd el magad
5.15. feladat
200 ezer rubel összegű számla. lejárat előtt 30 nappal a bankban történő könyvelés, évi 15%-os diszkontrátával. Határozza meg a számlatulajdonoshoz beérkező összeget és a bank által kapott kedvezmény mértékét, 360 napos időalappal!
Válasz: 197 500 rubel; 2500 dörzsölje.
5.16. feladat
A Bank évi 15%-os diszkont kamattal bocsát ki hiteleket. Határozza meg a kölcsön futamidejét években, ha a hitelfelvevő 500 ezer rubelt szeretne kapni, és a visszafizetett összegnek 550 ezer rubelnek kell lennie
. Válasz: 0,61 év.
Antiszipatív módszer a kamatos kamat kiszámítására (összetett diszkontráták)
Vezessük be a következő jelölést:
ёс - komplex diszkontráta;
^ - nominális éves leszámítolási kamatláb (akkor használjuk, ha a kamatot évente többször is a diszkontrátával számítják);
Az összetett diszkontráta melletti leszámítolás képlete:
P \u003d 8 (1 - ys) p.
Elhatárolt összeg n év után: 8 = P / (1 - Ds) p.
Itt 1 / (1 - ds)p - a felhalmozási együttható komplex diszkontráta mellett.
Ha a hitel kamata és a diszkontráta megegyezik, akkor a második esetben (antiszipatív módszerrel) gyorsabb a kezdeti összeg felhalmozódása. Ezért a szakirodalomban megtalálható az az állítás, hogy a dekurzív kamatszámítási módszer előnyösebb a hitelfelvevő számára, az antiszipatív módszer pedig előnyösebb a hitelező számára. Ez azonban csak kis kamatoknál tekinthető igazságosnak, amikor az eltérés nem olyan jelentős. De a kamatláb emelkedésével a felhalmozott összegek különbsége hatalmasra nő (és %-os növekedéssel nő), és e két módszer összehasonlítása értelmét veszti.
A képletből az következik, hogy a diszkontráta csak szigorúan 100%-nál kisebb értékeket vehet fel. A felhalmozott összeg a diszkontráta növekedésével gyorsan, a végtelenségig növekszik.
Ha a diszkont kamatláb a kölcsön futamideje alatt változik:
n
8 \u003d R / P (1 - n).
1=1
Itt n1, n2, ... nN a felhalmozási időközök időtartama években;
d1, ... ^ - diszkontráták ezekben az intervallumokban;
Ha a kamatot évente m-szer számolják, akkor
8 = P/(1 - G/t)™
Ha különböző kamattípusokra (egyszerű és összetett hitel- és diszkontkamatokra) végezzük a számításokat 8 azonos P és kamattal, akkor a legnagyobb tőkeemelést egyszerű diszkont kamatláb mellett kapjuk.
5.17. feladat
Az adósság kezdeti összege 25 ezer rubel. Határozza meg a felhalmozott összeget 3 év elteltével a kamatszámítás dekurzív és antiszipatív módszerével. Éves kamatláb - 25%.
Megoldás:
\u003d 25 000 (1 + 0,25) 3 \u003d 48 828 125 rubel;
\u003d 25 000 (1 - 0,25) -3 \u003d 59 255 747 rubel.
Döntsd el magad
5.18. feladat
Határozza meg a 120 000 rubel összeg aktuális értékét, amelyet 2 év alatt fizetnek ki évi 20% -os komplex diszkontrátával.
Válasz: 76 800 r
5.19. probléma.
Határozza meg a felhalmozott összegeket a különböző típusú kamatlábakhoz azonos kezdeti feltételek mellett: P = 10 000 rubel, kamat = 10%.
A számítási eredményeket táblázatban összegezzük, és az eltolódási arányokat összehasonlítjuk. Kamatláb típusa és számítási képlete 8 Futamidő = 1 Futamidő =3 Futamidő =6 Egyszerű kölcsön: 8 = Р (1 + t) 11 000 13 000 16 000 \u003d R e] p 11 044 Egyszerű elszámolás: 8 \u003d P / (1 - dp) Komplex számvitel: 8 \u003d P / (1 - d) p
Például a felső sorban a felhalmozott összegek egyszerű hitelkamatozású, egy, három és hat éves futamidővel történő kiszámításának eredményei láthatók. Az üres sorokat saját kezűleg kell kitölteni.
A folyamatos kamatszámítás számítási képletében e a természetes logaritmus alapja. n = 1 esetén: 8 = 10 000 x 2,701 x 1 = 11 044.
Egyenértékű kamatláb Az egyenértékű kamatlábak azok a különböző típusú kamatlábak, amelyek alkalmazása azonos kezdeti feltételek mellett ugyanazt a pénzügyi eredményt adja. Ezeket akkor kell ismerni, amikor a pénzügyi tranzakciók feltételei közül választhat, és szükség van egy eszközre a különböző kamatlábak helyes összehasonlításához.
Az ekvivalencia egyenletek az ekvivalens kamatlábak meghatározására szolgálnak. Olyan értéket választunk ki, amely különböző típusú kamatlábokkal számítható ki (általában ez egy elhatárolt összeg). Egy adott értékre vonatkozó két kifejezés egyenlősége alapján egy ekvivalenciaegyenletet állítunk össze, amelyből megfelelő transzformációkkal olyan arányt kapunk, amely kifejezi a különböző típusú kamatlábak közötti kapcsolatot. Például egy egyszerű leszámítolási kamatláb megtalálásához, amely egyenértékű egy egyszerű hitelkamattal, az ekvivalencia egyenlet
P (1 + w) \u003d P / (1 - nj) vagy (1 + w) \u003d 1 / (1 - nj), azaz. egyenlőségjelet kell tenni a megfelelő növekedési tényezők között. Ezért th = 1 / (1 + w) és 1 = th / (1 - nth).
5.20. feladat
A tartozás lejárata hat hónap, az egyszerű diszkontráta 18%. Mennyi ennek a műveletnek a hozama, egyszerű kamatlábban mérve?
Megoldás:
1 = 0,18 / (1 - 0,5 x 0,18) = 0,198 = 19,8%. Az éves összetett hitelkamat és az éves összetett névleges kamatláb ekvivalenciájának meghatározásához a kifejezéseket egyenlővé tesszük: (1 + dp = (1 + Ut)™
Ezért 1c \u003d (1 + Ym) m - 1.
Az így kapott éves kamatos kamatlábat, amely megegyezik a névleges kamatlábbal, effektív kamatos kamatlábnak nevezzük. Ismernie kell a reálhozam meghatározásához vagy a kamat összehasonlításához, ha különböző elhatárolási intervallumokat használ.
5.21. feladat
Számítsa ki az effektív kamatos kamatlábat, ha a névleges kamatláb 24%, és havonta kamatozik.
Megoldás:
1s = (1 + 0,24 / 12) 12 - 1 = 0,268 = 26,8%.
5.22. feladat
Határozza meg, milyen kamatláb mellett jövedelmezőbb 10 000 ezer rubel tőkét elhelyezni. 5 évig:
a) egyszerű évi 20%-os hitelkamattal;
b) évi 12%-os kamattal, negyedéves kamattal.
Megoldás:
Itt nem szükséges a felhalmozott összeg összegét különböző árfolyamon számolni. Ezért az induló tőke nagysága nem lényeges. Elég például egy adott összetett kamattal egyenértékű egyszerű kamatot találni, pl. használja a képletet
1 = [(1 + ] / m) m - 1] / n = [(1 + 0,12 / 4) 20 - 1] / 5 = 0,1612 = 16,12%.
Mivel a 16,12%-os egyszerű kamatláb, amely az adott kamatos kamattal (12%) ugyanazt az eredményt adná, lényegesen alacsonyabb az első opcióban javasolt kamatnál (20%), egyértelmű, hogy az első befektetési lehetőség (egyszerű évi 20%-os kamattal) sokkal jövedelmezőbb.
Most pedig számoljuk ki a felhalmozott összegeket mindkét esetben:
a) 8 \u003d 10 000 (1 + 5 x 0,2) \u003d 20 000 ezer rubel;
b) 8 = 10 000 (1 + 0,12 / 4) 20 \u003d 18 061 ezer rubel.
A kapott eredmény megerősíti azt a korábbi következtetést, hogy az első lehetőség jövedelmezőbb, mivel nagy mennyiségű felhalmozódást ad. Ugyanakkor az egyenértékű ráták alkalmazása felére csökkenti a számításokat.
Döntsd el magad
5.23. feladat
A váltót a lejárat előtt három hónappal diszkontálták évi 20%-os diszkontrátával. Határozza meg a számviteli művelet jövedelmezőségét meghatározó egyszerű kamatláb értékét!
Válasz: 21,1%.
5.24. feladat
Az egyszerű kamat mértéke évi 20%. Határozza meg az ezzel egyenértékű diszkontráta értékét hat hónapos kölcsön kibocsátásakor!
Válasz: 18%.
5.25. feladat
Kétéves kölcsönt nyújtottak évi 16%-os kamatos kamattal. Határozza meg az egyenértékű diszkontráta értékét hat hónapos kölcsön kibocsátásakor!
Válasz: 14,5%.
5.26. probléma
Az öt évre szóló letéti igazolás egyszerű hitelkamatot számít fel, amelynek mértéke évi 15%. Határozza meg az egyenértékű kamatos kamatlábat!
Válasz: 11,84%.
5.27. feladat
A Bank a betétek után havi kamatlábat számít fel, évi 12%-os nominális kamattal. Számítsa ki a befektetés megtérülését az összetett éves kamatláb mellett.
Válasz: 12,68%.
A következő következtetések vonhatók le:
Az effektív kamatláb értéke nagyobb, mint a névleges kamatláb, és m = 1-nél egybeesnek.
Egy egyszerű diszkontráta mindig kisebb, mint a vele egyenértékű többi kamatláb (mivel a felhalmozás ennél a kamatlábnál, egyéb tényezők változatlansága mellett, mindig gyorsabb).
A különböző kamatlábak egyenértékűsége nem függ a P kezdeti összeg értékétől (a kezdeti összeget azonosnak tételezzük fel).
A kamatlábak egyenértékűsége mindig a kamatfelhalmozási időszak időtartamától függ, kivéve a különböző típusú kamatos kamatlábak egyenértékűségét (ha a felhalmozási időszak azonos).