В соотношении
может быть поставлена задача отыскания любого из трех чисел по двум другим, заданным. Если даны а и то N находят действием возведения в степень. Если даны N и то а находят извлечением корня степени х (или возведением в степень ). Теперь рассмотрим случай, когда по заданным а и N требуется найти х.
Пусть число N положительно: число а положительно и не равно единице: .
Определение. Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить число N; логарифм обозначается через
Таким образом, в равенстве (26.1) показатель степени находят как логарифм N по основанию а. Записи
имеют одинаковый смысл. Равенство (26.1) иногда называют основным тождеством теории логарифмов; в действительности оно выражает определение понятия логарифма. По данному определению основание логарифма а всегда положительно и отлично от единицы; логарифмируемое число N положительно. Отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют. Можно доказать, что всякое число при данном основании имеет вполне определенный логарифм. Поэтому равенство влечет за собой . Заметим, что здесь существенно условие в противном случае вывод был бы не обоснован, так как равенство верно при любых значениях х и у.
Пример 1. Найти
Решение. Для получения числа следует возвести основание 2 в степень Поэтому.
Можно проводить записи при решении таких примеров в следующей форме:
Пример 2. Найти .
Решение. Имеем
В примерах 1 и 2 мы легко находили искомый логарифм, представляя логарифмируемое число как степень основания с рациональным показателем. В общем случае, например для и т. д., этого сделать не удастся, так как логарифм имеет иррациональное значение. Обратим внимание на один связанный с этим утверждением вопрос. В п. 12 мы дали понятие о возможности определения любой действительной степени данного положительного числа. Это было необходимо для введения логарифмов, которые, вообще говоря, могут быть иррациональными числами.
Рассмотрим некоторые свойства логарифмов.
Свойство 1. Если число и основание равны, то логарифм равен единице, и, обратно, если логарифм равен единице, то число и основание равны.
Доказательство. Пусть По определению логарифма имеем а откуда
Обратно, пусть Тогда по определению
Свойство 2. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
Доказательство. По определению логарифма (нулевая степень любого положительного основания равна единице, см. (10.1)). Отсюда
что и требовалось доказать.
Верно и обратное утверждение: если , то N = 1. Действительно, имеем .
Прежде чем сформулировать следующее свойство логарифмов, условимся говорить, что два числа а и b лежат по одну сторону от третьего числа с, если они оба либо больше с, либо меньше с. Если одно из этих чисел больше с, а другое меньше с, то будем говорить, что они лежат по разные стороны от с.
Свойство 3. Если число и основание лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен; если число и основание лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен.
Доказательство свойства 3 основано на том, что степень а больше единицы, если основание больше единицы и показатель положителен или основание меньше единицы и показатель отрицателен. Степень меньше единицы, если основание больше единицы и показатель отрицателен или основание меньше единицы и показатель положителен.
Требуется рассмотреть четыре случая:
Ограничимся разбором первого из них, остальные читатель рассмотрит самостоятельно.
Пусть тогда в равенстве показатель степени не может быть ни отрицательным, ни равным нулю, следовательно, он положителен, т. е. что и требовалось доказать.
Пример 3. Выяснить, какие из указанных ниже логарифмов положительны, какие отрицательны:
Решение, а) так как число 15 и основание 12 расположены по одну сторону от единицы;
б) , так как 1000 и 2 расположены по одну сторону от единицы; при этом несущественно, что основание больше логарифмируемого числа;
в) , так как 3,1 и 0,8 лежат по разные стороны от единицы;
г) ; почему?
д) ; почему?
Следующие свойства 4-6 часто называют правилами логарифмирования: они позволяют, зная логарифмы некоторых чисел, найти логарифмы их произведения, частного, степени каждого из них.
Свойство 4 (правило логарифмирования произведения). Логарифм произведения нескольких положительных чисел по данному основанию равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.
Доказательство. Пусть даны положительные числа .
Для логарифма их произведения напишем определяющее логарифм равенство (26.1):
Отсюда найдем
Сравнив показатели степени первого и последнего выражений, получим требуемое равенство:
Заметим, что условие существенно; логарифм произведения двух отрицательных чисел имеет смысл, но в этом случае получим
В общем случае, если произведение нескольких сомножителей положительно, то его логарифм равен сумме логарифмов модулей этих сомножителей.
Свойство 5 (правило логарифмирования частного). Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию. Доказательство. Последовательно находим
что и требовалось доказать.
Свойство 6 (правило логарифмирования степени). Логарифм степени какого-либо положительного числа равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени.
Доказательство. Запишем снова основное тождество (26.1) для числа :
что и требовалось доказать.
Следствие. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня:
Доказать справедливость этого следствия можно, представив как и воспользовавшись свойством 6.
Пример 4. Прологарифмировать по основанию а:
а) (предполагается, что все величины b, с, d, е положительны);
б) (преполагается, что ).
Решение, а) Удобно перейти в данном выражении к дробным степеням:
На основании равенств (26.5)-(26.7) теперь можно записать:
Мы замечаем, что над логарифмами чисел производятся действия более простые, чем над самими числами: при умножении чисел их логарифмы складываются, при делении - вычитаются и т.д.
Именно поэтому логарифмы получили применение в вычислительной практике (см. п. 29).
Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием, а именно: потенцированием называется действие, с помощью которого по данному логарифму числа находится само это число. По существу потенцирование не является каким-либо особым действием: оно сводится к возведению основания в степень (равную логарифму числа). Термин «потенцирование» можно считать синонимом термина «возведенение в степень».
При потенцировании надо пользоваться правилами, обратными по отношению к правилам логарифмирования: сумму логарифмов заменить логарифмом произведения, разность логарифмов - логарифмом частного и т. д. В частности, если перед знаком логарифма находится какой-либо множитель, то его при потенцировании нужно переносить в показатель степени под знак логарифма.
Пример 5. Найти N, если известно, что
Решение. В связи с только что высказанным правилом потенцирования множители 2/3 и 1/3, стоящие перед знаками логарифмов в правой части данного равенства, перенесем в показатели степени под знаками этих логарифмов; получим
Теперь разность логарифмов заменим логарифмом частного:
для получения последней дроби в этой цепочке равенств мы предыдущую дробь освободили от иррациональности в знаменателе (п. 25).
Свойство 7. Если основание больше единицы, то большее число имеет больший логарифм (а меньшее - меньший), если основание меньше единицы, то большее число имеет меньший логарифм {а меньшее - больший).
Это свойство формулируют также и как правило логарифмирования неравенств, обе части которых положительны:
При логарифмировании неравенств по основанию, большему единицы, знак неравенства сохраняется, а при логарифмировании по основанию, меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный (см. также п. 80).
Доказательство основано на свойствах 5 и 3. Рассмотрим случай, когда Если , то и, логарифмируя, получим
(а и N/М лежат по одну сторону от единицы). Отсюда
Случай а следует , читатель разберет самостоятельно.
Здравствуйте! Здесь для вас подобрал ещё несколько задачек на проценты, на сайте уже есть статьи на эту тему. Чтобы освежить понятие процента посмотрите . В представленных ниже заданиях особое внимание обратите на задачи про Петра Степановича, про учеников изучающих немецкий, про жителей смотрящих баскетбол.
Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Пётр Степанович получил 12615 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Пётра Степановича?
При решении задач на проценты постепенно вырабатывается как бы привычка что-то брать за 100 процентов. Но есть задачи, где за 100 процентов берётся неизвестная величина, то есть та, которую необходимо найти.
Внимание! 12615 рублей это зарплата после удержания 13%, значит 9570 это 87% от всей зарплаты. А нам нужно найти полную зарплату Перта Степановича. Составим пропорцию:
Принимаем всю зарплату (х рублей) за 100%:
12615 рублей — 87%
х рублей - 100 %
Ответ: 14500
Тетрадь стоит 25 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 80 тетрадей, если при покупке больше 40 тетрадей магазин делает скидку 15% от стоимости всей покупки?
Отметим, что покупатель приобретает 80 тетрадей, значит он получит скидку. Стоимость без скидки составляет 25∙80=2000 рублей.
Определим размер скидки. Пятнадцать процентов это 15/100 от стоимости, то есть
Таким образом, покупатель заплатит 2000 – 300 = 1700 рублей.
Ответ: 1700
Призерами городской олимпиады по математике стало 22 ученика, что составило 8% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?
Сказано, что 22 ученика составляют 8% от всего количества участников. Необходимо найти количество всех участников (то есть 100%), обозначим их за х . Можем составить пропорцию:
22 учеников - 8%
х учеников — 100 %
Ответ: 275
Только 90% из 10500 выпускников города правильно решили задачу B2. Сколько человек правильно решили задачу В2?
Девяноста процентов это 90/100 (девяноста сотых) от числа всех выпускников.
Вычислим, сколько из них решили задачу правильно:
Ответ: 9450
Графический планшет стоил 7200 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 5760 рублей. На сколько процентов была снижена цена?
Сначала определим, сколько процентов составляет 5760 рублей от начальной стоимости. 7200 рублей это стоимость, с которой мы сравниваем, поэтому принимаем её за 100%.
Тогда 5760 это у нас х%. Составляем пропорцию:
7200 рублей - 100%
5760 рублей - х %
Таким образом, цена была снижена на 100 – 80 = 20%.
Ответ: 20
В школе 1200 учеников, из них 25% - ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 30% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?
В данной задаче нужно сначала определить число учеников в начальной школе, затем мы сможем определить сколько учеников относится к средней и старшей школе. И уже затем без труда вычислим сколько учеников средней и старшей школы изучают немецкий.
Определим, сколько учеников в начальной школе. Сказано, что их 25%, то есть это 25/100 (двадцать пять сотых) от всего числа:
Значит учеников средней и старшей школы 1200 – 300=900 человек.
Теперь определим, сколько из них изучают немецкий язык.
ВНИМАНИЕ!!! За 100% принимаем 900 человек, так как сказано, что 30% именно средней и старшей школы изучают немецкий.
Составляем пропорцию:
900 учеников - 100%
х учеников - 30%
Таким образом, 270 учеников в школе изучают немецкий язык.
Ответ: 270
Среди 50000 жителей города 40% не интересуется баскетболом. Среди баскетбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?
Выстроим рассуждение следующим образом.
Баскетболом не интересуется 40% жителей, значит 60% это интересующиеся этим видом спорта. Шестьдесят процентов от 50000 это:
Сказано, что 80% из них смотрели финал по телевизору, то есть это 80/100 от 30000 человек:
Ответ: 24000
В сентябре 1 кг винограда стоил 120 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?
Определяем цену килограмма после первого подорожания. Двадцать пять процентов от 120 рублей это:
Значит цена после подорожания на 25% составила 120 + 30 = 150 рублей.
*Можно было вычислить по формуле:
Определим цену после второго подорожания, причём считать будем уже относительно цены 150 рублей. Двадцать процентов от 150 рублей это:
Значит цена после подорожания на 20% составила 150 + 30 = 180 рублей.
*Также можно было выстроить решение через составление пропорций.
Ответ: 180
В сентябре 1 кг помидор стоил 70 рублей. В октябре они подорожали на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?
Числа «удобные» для устного счёта, поэтому можно обойтись без составления пропорции. Двадцать процентов это пятая часть от цены, то есть 14 рублей. Именно на эту сумму подорожали помидоры. Таким образом, после подорожания помидоры стали стоить 70 +14 = 84 рубля.
Ответ: 84
Сегодняшний короткий видеоурок посвящен одной из типичных задач B2 из ЕГЭ по математике. А именно: задаче на проценты, налоги и зарплату. Прежде, чем решать эту задачу, давайте договоримся, каким образом мы будем искать проценты. Вообще говоря, существует как минимум общепризнанных способа, с помощью которого решается любая задача на проценты. А именно:
Давайте посмотрим, о чем идет речь. Давайте запишем стандартную формулу простого процента:
Поясню, что означают величины, входящие в эту формулу. x — это исходное значение, y — это конечное значение, которое получается после изменения x на k процентов, ну, а коэффициент k — это те самые проценты, которые берутся с плюсом или с минусом в зависимости от того, увеличивается или уменьшается исходная величина.
Теперь из записанной формулы получим формулу простого процента. Для этого разбиваем дробь-множитель на два слагаемых. Получаем:
Как вы понимаете, обе формулы практически эквивалентны. Кроме того, им посвящено довольно много видеоуроков на нашем сайте, поэтому сегодня мы займемся пропорциями. Итак, решаем задачу.
Задача B2. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Петра Ивановича равна 24 000 рублей. Сколько рублей он получит после удержания налога на доходы?
Решаем эту задачу методом пропорций. В первую очередь выписываем все, что нам известно. А именно: 24 000 рублей — это исходная зарплата, т.е. 100%. Кроме того, нам известно, что налог на доходы составляет 13%. Однако его величину в рублях мы не знаем, поэтому обозначим ее за x . Сводим все расчеты в таблицу и составляем пропорцию:
24 000 — 100%
x
— 13%
Мы получили классическое дробно-рациональное уравнение. Прежде чем его решать, давайте разделим обе части уравнения на 100. Другими словами, зачеркнем в числителе правой и левой дроби по два нуля. Получим:
Теперь воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получим:
240 · 13 = 1 · x
Получилось очень простое линейное уравнение, в котором нам даже и выражать-то ничего не надо. Достаточно просто подсчитать:
x = 240 · 13 = 3120
Это довольно большие числа, поэтому перемножать их пришлось столбиком.
Прекрасно! Мы получили, что x = 3120 рублей. Но является ли это решением задачи? Нет, ни в коем случае! Потому что найденное нами число является налогом — тем, что нужно вычесть из исходного числа, из 24 000 рублей. Что ж, давайте вычтем.
Зарплата (обозначим ее переменной n ), которую получит Петр Иванович, что называется, на руки, будет равна:
n = 24 000 − 3120 = 20 880
Итого мы получили, что после удержания налога в размере 13% наш персонаж получит 20 880 рублей. Это и есть ответ к нашей задаче. Все!
Надеюсь, этот видеоурок поможет разобраться с задачами B2 такого типа всем, кто готовится к ЕГЭ по математике. А у меня на этом все. До новых встреч!
Сегодня мы выясним, сколько НДФЛ процентов составляет в 2016 году. Кроме того, научимся правильно вычислять его. И, разумеется, изучим всё, что только может касаться этого взноса в казну государства. Стоит сразу отметить: платёж, описываемый нами в этой статье, касается практически всех граждан. А значит, о нём должен знать каждый. Что же это такое? И каков порядок уплаты оного?
Итак, что он собой представляет? Расшифровывается эта аббревиатура следующим образом: То есть он имеет прямое отношение к гражданам. Если же посмотреть определение термина, можете заметить, что мы имеем дело с так называемым подоходным взносом. Иногда его ещё называют налогом на прибыль.
Платят НДФЛ, как уже было сказано, почти все граждане. Точнее, налогоплательщики, у которых имеется доход. Не во всех случаях, но чаще всего именно так и получается. Некоторая прибыль налогом не облагается. За что платить нужно, а когда можно увильнуть от подобного платежа?
"Сколько НДФЛ процентов составляет в России на 2016 год?" - не самый важный вопрос. Перед этим нужно понять, какой именно доход облагается этим платежом. Может быть, вы не должны вносить денежные средства в казну государства.
Начнём с того, что любой доход физического лица должен декларироваться. Более того, с него взимается налог. В этом случае - подоходный. Но бывают некоторые исключения. Например, не платят налоги граждане, получившие от близких родственников какую-то денежную сумму или недвижимость. Также от уплаты освобождаются сделки с собственностью, которой прежний владелец распоряжался не менее 3 лет. Наследство, полученное от близкой родни (на практике именно так и получается), опять же не облагается никакими взносами в казну государства.
Это всё. Уплата НДФЛ происходит во всех остальных случаях. Если вы сдаёте квартиру или недвижимость, продаёте собственность, которой распоряжались менее 3 лет, а также просто получаете заработную плату, то придётся отдать определённый процент от прибыли.
Есть у НДФЛ вычеты. Это своеобразное уменьшение налоговой базы по тем или иным случаям, которое приводит к снижению суммы взноса. Стандартных вычетов много. Обычно принято под ними подразумевать те или иные траты, которые вы будете совершать при получении прибыли. Например, можно просто сделать налоговый вычет, если во время продажи собственности у вас были какие-то траты для этого. При этом получаемый доход уменьшится на указанную сумму. Главное, чтобы у вас были подтверждения трат.
Чаще всего для НДФЛ вычеты назначаются в отношении заработной платы. Распространённая форма - на содержание детей. Так, если у вас имеются несовершеннолетние малыши, то вы можете уменьшить налоговую базу. Не слишком сильно, но всё же. На первых двух детей с дохода вычитают по 1 400 рублей, на третьего и последующих, а также на инвалидов - по 3 000. Очень полезно делать вычеты, если хорошенько присмотреться к этой идее. Тем более что никакой лишней бумажной волокиты у вас не будет. Достаточно предъявить подтверждения для вычетов. С этим проблем не возникает.
Сколько НДФЛ процентов составляет? Этот вопрос волнует всех граждан. Действительно, всегда важно знать, какой процент от дохода вы должны будете отдать государству. Тем более когда речь идёт о регулярных и обязательных платежах.
Ответить однозначно не получится. Ведь у подобного процесса имеются свои особенности. Тем не менее принято полагать, что физические лица платят по 13% от своей прибыли в виде налога. А вот непосредственная сумма может меняться в том или ином случае. Ничего трудного, верно? Выходит, сколько бы вы ни получили дохода, от него нужно в обязательном порядке отнять 13%. Когда речь идёт о кладах и выигрышах, этот показатель возрастает почти в 3 раза - до 35%. Не самое частое явление.
Платят подоходные налоги не только граждане РФ. Им облагаются все люди, которые получают прибыль на территории страны. А значит, нерезиденты тоже. Это граждане, находящиеся в России в год менее 183 дней. Сколько НДФЛ процентов для них составит? Не нужно надеяться на положенные 13% для жителей России. С иностранцами получается несколько иная картина. Они платят от прибыли по 30% в казну государства. При большом доходе получаются достаточно большие выплаты. Даже с учётом всех вычетов, если такие имеют место.
Теперь понятно, сколько НДФЛ процентов составляет в том или ином случае. Запомните, стандартная ставка - 13%, для нерезидентов - 30. Ничего особо трудного в этом нет. Как же вычисляется сумма, положенная к уплате?
Всё просто. Имеется определённая формула, которой нужно придерживаться. Сумма НДФЛ, как мы выяснили, варьируется. В зависимости от так называемой налоговой базы. Если её умножить на (13 или 30 процентов соответственно), получится цифра, отражающая долг перед государством. Налоговая база вычисляется просто. Если никаких расходов и вычетов у вас нет, то просто берётся полная сумма полученного дохода. Она и умножается на ставку. Когда положены вычеты либо у вас были расходы, от дохода отнимаются траты. И уже полученные цифры будут считаться базой.
Например: гражданин получает 15 000 в месяц в виде заработной платы, у него есть 1 несовершеннолетний ребёнок. База будет следующей: 15 000-1 400=13 600. А Ничего трудного, верно? Если детей у нашего гражданина нет, то придётся отдавать в месяц в виде НДФЛ 15 000*13%=1 950 рублей. Вот так всё просто на самом деле.
Декларация НДФЛ - это своеобразный вид отчёта перед налоговыми органами. И каждый гражданин должен в обязательном порядке декларировать свой доход. Даже если налогом он не облагается. Подавать этот документ необходимо до 30 апреля каждого года. Приблизительно к этому же времени нужно закрывать все долги и платить налоги. Такая практика в России распространена. Платежи, сделанные до 30 апреля, считаются авансовыми. А вообще, можно отсрочить уплату до 15 июля. Отчётные периоды по НДФЛ могут быть разными. На практике граждане просто ежемесячно производят выплаты. Приблизительно к 25 числу каждого месяца. Получили зарплату - отдали долг, заработали прибыль - отчитались перед государством и произвели положенную уплату. Это избавит вас от проблем.
К слову, декларация НДФЛ заполняется или вручную, или при помощи специализированных программ. Чаще всего используются формы 2-НДФЛ и 3-НДФЛ. Для заполнения вам потребуются сведения о доходе, ИНН, ваши паспортные данные, а также подтверждения вычетов/расходов. Если речь идёт о сделках с собственностью, нужно будет также запастись документами о праве на то или иное имущество. Далее просто заполняете строки в декларации (они все подписаны, затруднений обычно не бывает) и подписываете её. Можно подавать документ в налоговые службы. Не забудьте приложить к ней копии доказательств вычетов, а также прав собственности и расходов.
Сегодня мы выяснили, сколько НДФЛ процентов составляет на 2016 год. Как видите, этот платёж вовсе не так опасен, как кажется на первый взгляд. Уклониться от него в некоторых случаях можно на законных основаниях. Более того, в месяц выходит не самая большая сумма, положенная к уплате. Старайтесь не скрывать получаемые деньги. Ведь если доход не декларируется, можно навлечь на себя беду. Сначала следует устное предупреждение с просьбами исправить ситуацию, а потом вас могут привлечь даже к уголовной ответственности. Плюс при просрочках оплаты налогов появляется пеня. Её тоже придётся выплачивать сверх 13% по НДФЛ.
