Pisanski eonardo, znan kot Fibonacci, je bil prvi od velikih matematikov Evrope v poznem srednjem veku. Rojen v Pisi v bogati trgovski družini, je k matematiki prišel zaradi čisto praktične potrebe po navezovanju poslovnih stikov. Leonardo je v mladosti veliko potoval in spremljal očeta na službenih potovanjih. Na primer, vemo za njegovo dolgo bivanje v Bizantu in na Siciliji. Med takšnimi potovanji se je veliko pogovarjal z lokalnimi znanstveniki.
Številčna serija, ki nosi njegovo ime danes, je nastala iz problema s kunci, ki ga je Fibonacci opisal v svoji knjigi Liber abacci, napisani leta 1202:
Moški je dal nekaj zajcev v ogrado, obdano z vseh strani z obzidjem. Koliko parov zajcev lahko ta par rodi v enem letu, če je znano, da vsak mesec, začenši od drugega, vsak par zajcev rodi en par?
Lahko se prepričate, da bo število parov v vsakem od naslednjih dvanajstih mesecev v mesecu ustrezno
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Z drugimi besedami, število parov zajcev ustvari vrstico, katere član je vsota prejšnjih dveh. Znan je kot Fibonaccijeva serija, in same številke so Fibonaccijeve številke... Izkazalo se je, da ima to zaporedje veliko zanimivih lastnosti z matematičnega vidika. Tu je primer: črto lahko razdelite na dva segmenta, tako da bo razmerje med večjim in manjšim segmentom sorazmerno z razmerjem med celotno črto in večjim segmentom. To razmerje stranic, približno 1.618, je znano kot zlata sredina... V času renesanse je veljalo, da prav ta delež, opažen v arhitekturnih strukturah, najbolj veseli oko. Če vzamete zaporedne pare iz serije Fibonacci in delite večje število iz vsakega para z manjšim, se bo vaš rezultat postopoma približal zlatemu razmerju.
Odkar je Fibonacci odkril njegovo zaporedje, so našli celo naravne pojave, pri katerih se zdi, da ima to zaporedje pomembno vlogo. En od njih - filotaksija(razporeditev listov) - pravilo, po katerem se na primer semena nahajajo v socvetju sončnice. Semena so razporejena v dve vrsti spirale, od katerih ena hodi v smeri urinega kazalca, druga v nasprotni smeri. In koliko je semen v vsakem primeru? 34 in 55.
Fibonaccijevo zaporedje. Če pogledate liste rastline od zgoraj, boste opazili, da cvetijo v spirali. Koti med sosednjimi listi tvorijo pravilno matematično vrsto, znano kot Fibonaccijevo zaporedje. Zahvaljujoč temu vsak posamezen list, ki raste na drevesu, prejme največjo razpoložljivo količino toplote in svetlobe.
Piramide v Mehiki
Ne samo, da so egipčanske piramide zgrajene v skladu s popolnimi razmerji zlatega reza, isti pojav so našli tudi v mehiških piramidah. Pojavlja se zamisel, da so egipčanske in mehiške piramide približno istočasno postavili ljudje skupnega izvora.
Prerez piramide prikazuje obliko, podobno stopnišču, s 16 stopnicami v prvi stopnji, 42 stopnicami v drugi in 68 stopnicami v tretji.
Te številke temeljijo na Fibonaccijevem razmerju na naslednji način:
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68
Po prvih nekaj številkah zaporedja je razmerje katerega koli od njegovih članov do naslednjega približno 0,618, do prejšnjega pa 1,618. Višja kot je redna številka člana zaporedja, bližje je razmerje številu phi, ki je iracionalno število in je enako 0,618034 ... Razmerje med člani zaporedja, ločeno z eno številko, je približno enako do 0,382, njegova obratna številka pa je 2,618. Na sl. 3-2 je tabela razmerij vseh Fibonaccijevih števil od 1 do 144.
Ф je edino število, ki, ko se doda številki 1, daje obratno vrednost: 1 + 0,618 = 1: 0,618. To razmerje postopkov seštevanja in množenja vodi do naslednjega zaporedja enačb:
Če nadaljujemo s tem postopkom, bomo ustvarili pravokotnike 13 do 21, 21 do 34 itd.
Zdaj pa preverite. Če 13 delite z 8, dobite 1.625. In če delite večje število z manjšim, se ta razmerja vse bolj približujejo 1,618, ki je mnogim znano kot zlato razmerje, številka, ki že stoletja navdušuje matematike, znanstvenike in umetnike.
Tabela Fibonaccijevih razmerij
Z naraščanjem novega napredovanja številke tvorijo tretje zaporedje, sestavljeno iz števil, dodanih zmnožku štirih in Fibonaccijevega števila. To je omogočeno zaradi dejstva. da je razmerje med člani zaporedja, dva položaja drug od drugega, enako 4.236. kjer je število 0,236 obratno od 4,236 in. poleg tega razlika med 4.236 in 4. Drugi dejavniki povzročajo različne sekvence, vse na podlagi Fibonaccijevih razmerij.
1. Nobeno od dveh zaporednih Fibonaccijevih števil nima skupnih deliteljev.
2. Če so člani Fibonaccijevega zaporedja oštevilčeni kot 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 itd., Ugotovimo, da je, razen četrtega člena (številka 3), število poljubnih Fibonaccijevih število, ki je praštevilo (torej brez drugih delilnikov razen samega sebe in enotnosti), je tudi preprosto čisto. Podobno, razen četrtega člana Fibonaccijevega zaporedja (številka 3), vsa sestavljena števila članov zaporedja (torej tista, ki imajo vsaj dva delitelja, razen zase in enega), ustrezajo sestavljenim Fibonaccijevim številom , kot je prikazano v spodnji tabeli. ... Obratno ni vedno res.
3. Vsota vseh desetih članov zaporedja je deljena z enajstimi.
4. Vsota vseh Fibonaccijevih števil do določene točke v zaporedju plus ena je enaka Fibonaccijevemu številu dve poziciji od zadnjega dodanega števila.
5. Vsota kvadratov vseh zaporednih izrazov, ki se začnejo s prvim 1, bo vedno enaka zadnji (iz danega vzorca) številki zaporedja, pomnoženi z naslednjim členom.
6. Kvadrat Fibonaccijevega števila minus kvadrat drugega člena zaporedja v smeri zmanjševanja bo vedno Fibonaccijevo število.
7. Kvadrat katerega koli Fibonaccijevega števila je enak prejšnjemu članu zaporedja, pomnoženemu z naslednjim številom v zaporedju, plus ali minus ena. Dodajanje in odštevanje enega se med napredovanjem zaporedja izmenjuje.
8. Vsota kvadrata števila Fn in kvadrata naslednjega Fibonaccijevega števila F je enaka Fibonaccijevemu številu F,. Formula F - + F 2 = F „, velja za pravokotne trikotnike, kjer je vsota kvadratov obeh krajših strani enaka kvadratu najdaljše stranice. Na desni je primer z uporabo F5, F6 in kvadratnega korena Fn.
10. Eden od presenetljivih pojavov, ki, kolikor vemo, še ni omenjen, je, da so razmerja med Fibonaccijevimi števili enaka številkam, ki so zelo blizu tisočinkam drugih Fibonaccijevih števil, z razliko, ki je enaka tisočinki drugo številko Fibonacci (glej sliko 3-2). Torej je v naraščajoči smeri razmerje dveh enakih Fibonaccijevih števil 1 ali 0,987 plus 0,013: sosednja Fibonaccijeva števila imajo razmerje 1,618. ali 1,597 plus 0,021; Fibonaccijeva števila, ki se nahajajo na obeh straneh nekega člana zaporedja, imajo razmerje 2,618 ali 2,584 plus 0,034 itd. V nasprotni smeri imajo sosednja Fibonaccijeva števila razmerje 0,618. ali 0,610 plus 0,008: Fibonaccijeva števila, ki se nahajajo na obeh straneh določenega člana zaporedja, imajo razmerje 0,382 ali 0,377 plus 0,005; Fibonaccijeva števila, med katerimi sta dva člana zaporedja, imajo razmerje 0,236 ali 0,233 plus 0,003: Fibonaccijeva števila, med katerimi so trije člani zaporedja, imajo razmerje 0 146 ali 0,144 plus 0,002: Fibonaccijeva števila, med katerimi so štirje člani zaporedja se nahajajo v razmerju 0,090 ali 0,089 plus 0,001: Fibonaccijeva števila, med katerimi se nahaja pet članov zaporedja, imajo razmerje 0,056. ali 0,055 plus 0,001; Fibonaccijeva števila, med katerimi je šest do dvanajst članov zaporedja, imajo razmerja, ki so sama tisočinke Fibonaccijevih števil, začenši z 0,034. Zanimivo je, da se pri tej analizi koeficient, ki povezuje Fibonaccijeva števila, med katerimi je trinajst članov zaporedja, znova zažene v nizu pri 0,001, tisočinki števila, kjer se je začel! Z vsemi izračuni res dobimo podobnost ali "samorazmnoževanje v neskončnem nizu", ki razkrije lastnosti "najmočnejše povezave med vsemi matematičnimi relacijami".
Na koncu upoštevajte, da je (V5 + 1) / 2 = 1,618 in [\ ^ 5-1) / 2 = 0,618. kjer je V5 = 2,236. 5 se izkaže za najpomembnejše število za valovno načelo, njegov kvadratni koren pa je matematični ključ do števila φ.
Število 1.618 (ali 0.618) je znano kot zlato razmerje ali zlata sredina. Sorazmernost, povezana z njim, je prijetna za oko in uho. Pojavlja se v biologiji, glasbi, slikarstvu in arhitekturi. William Hoffer je v članku iz decembra 1975 v reviji Smithsonian Magazine dejal:
“... Razmerje števila 0,618034 proti 1 je matematična podlaga za obliko igralnih kart in Partenona, sončnice in školjke, grških vaz in spiralnih galaksij vesolja. Ta delež je osnova toliko umetnin in arhitekture med Grki. Imenovali so jo "zlata sredina".
Plodni zajci Fibonacci se pojavljajo na najbolj nepričakovanih mestih. Fibonaccijeve številke so nedvomno del mistične naravne harmonije, ki je prijetna za čute, izgleda dobro in celo dobro zveni. Glasba na primer temelji na oktavi osmih not. Na klavirju to predstavlja 8 belih in 5 črnih tipk - skupaj 13. Ni naključje, da je glasbeni interval, ki našemu sluhu prinaša največje veselje, šesti. Opomba E vibrira v razmerju 0,62500 do note C. To je le 0,006966 od natančne zlate sredine. Razmerja šestega prenašajo prijetne vibracije na polžnico srednjega ušesa, organ, ki ima tudi obliko logaritmične spirale.
Stalni pojav Fibonaccijevih števil in zlata spirala v naravi natančno pojasnjuje, zakaj je razmerje 0,618034 proti 1 tako prijetno v umetnosti. Človek v umetnosti vidi odsev življenja, ki ima v svojem temelju zlato sredino. "
Narava uporablja zlato razmerje pri svojih najbolj popolnih stvaritvah-od majhnih, kot so mikro zvitki možganov in molekule DNK (glej sliko 3-9), do velikih, kot so galaksije. Prav tako se kaže v tako različnih pojavih, kot so rast kristalov, lom svetlobnega snopa v steklu, struktura možganov in živčnega sistema, glasbene konstrukcije, zgradba rastlin in živali. Znanost ponuja vse več dokazov, da ima narava glavno načelo sorazmernosti. Mimogrede, to knjigo držite z dvema od petih prstov, pri čemer je vsak prst v treh delih. Skupaj: pet enot, od katerih je vsaka deljiva s tremi-napredovanje 5-3-5-3, podobno tistemu, na katerem temelji valovno načelo.
Simetrična in sorazmerna oblika, prispeva k najboljši vizualni percepciji in vzbuja občutek lepote in harmonije. Celostna podoba je vedno sestavljena iz delov različnih velikosti, ki so v določenem razmerju med seboj in s celoto. Zlato razmerje je najvišja manifestacija popolnosti celote in njenih delov v znanosti, umetnosti in naravi.
Če je za preprost primer zlati presek delitev segmenta na dva dela v takšnem razmerju, pri katerem se večji del nanaša na manjšega, njihov vsota (celoten segment) na večjega.
Če vzamemo celoten segment c kot 1, bo segment a enak 0,618, segment b - 0,382, le tako bo izpolnjen pogoj zlatega reza (0,618 / 0,382 = 1,618; 1 / 0,618 = 1,618). Razmerje c do a je 2,618, c do b pa 1,618. To so enaka, že znana nam, Fibonaccijeva razmerja.
Seveda obstaja zlati pravokotnik, zlati trikotnik in celo zlati kvader. Razmerja človeškega telesa so v mnogih razmerjih blizu zlatega reza.
Najbolj zanimivo pa se začne, ko pridobljeno znanje združimo. Slika jasno prikazuje razmerje med Fibonaccijevim zaporedjem in zlatim razmerjem. Začnemo z dvema kvadratoma prve velikosti. Na vrh dodajte kvadrat druge velikosti. Slikamo poleg kvadrata s stranico, ki je enaka vsoti strani dveh prejšnjih, tretjih velikosti. Po analogiji se pojavi kvadrat pete velikosti. In tako naprej, dokler vam ni dolgčas, glavno je, da je dolžina stranice vsakega naslednjega kvadrata enaka vsoti dolžin stranic prejšnjih dveh. Vidimo vrsto pravokotnikov, katerih stranske dolžine so Fibonaccijeva števila, nenavadno pa se imenujejo Fibonaccijevi pravokotniki.
Če skozi vogale svojih kvadratov potegnemo gladke črte, potem ne dobimo nič drugega kot Arhimedovo spiralo, katere povečanje koraka je vedno enakomerno.
Vsak član zlate logaritmične sekvence je stopnja zlatega deleža ( z). Del vrstice izgleda nekako takole: ... z -5; z -4; z -3; z -2; z -1; z 0; z 1; z 2; z 3; z 4; z 5 ...Če zlato razmerje zaokrožimo na tri števke, dobimo z = 1.618, potem vrstica izgleda tako: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Vsak naslednji izraz je mogoče pridobiti ne le s pomnožitvijo prejšnjega 1,618 , pa tudi z dodajanjem prejšnjih dveh. Tako se eksponentna rast v zaporedju doseže s preprostim dodajanjem dveh sosednjih elementov. To je serija brez začetka ali konca, zato je Fibonaccijevo zaporedje podobno. Ker ima zelo določen začetek, si prizadeva za ideal, ki ga nikoli ne doseže. To je življenje.
In vendar se v zvezi z vsem videnim in prebranim porajajo povsem naravna vprašanja:
Od kod prihajajo te številke? Kdo je ta arhitekt vesolja, ki ga je poskušal narediti popolnega? Je bilo kdaj tako, kot si je želel? In če je tako, zakaj je zgrešil? Mutacije? Prosta izbira? Kaj bo naslednje? Ali se spirala zvije ali odvije?
Ko boste našli odgovor na eno vprašanje, boste prejeli naslednje. Rešili ga boste, dobili boste dva nova. Ukvarjajte se z njimi, pojavili se bodo še trije. Ko jih tudi rešite, boste imeli pet nerešenih. Nato osem, nato trinajst, 21, 34, 55 ...
Italijanski matematik Leonardo Fibonacci je živel v 13. stoletju in je bil eden prvih v Evropi, ki je uporabljal arabske (indijske) številke. Prišel je do nekoliko umetnega problema glede zajcev, ki se gojijo na kmetiji, vsi pa veljajo za samice, samci pa se ne upoštevajo. Kunci se začnejo razmnoževati po dveh mesecih, nato pa vsak mesec rodijo zajca. Kunci nikoli ne poginejo.
Določiti je treba, koliko zajcev bo na kmetiji n mesecev, če je bil na začetku samo en novorojenček.
Očitno ima kmet enega zajca v prvem mesecu in enega zajca v drugem mesecu. V tretjem mesecu bosta dva zajca, v četrtem - tri itd. Označimo število zajcev v n mesec kot. Tako 
,
,
,
,
,
…
Za iskanje je mogoče sestaviti algoritem 
za katero koli n.
Glede na stanje problema, skupno število zajcev 
v n+1 mesec se razgradi na tri komponente:
enomesečni zajci, ki v količini niso sposobni za vzrejo
;
Tako dobimo
. (8.1)
Formula (8.1) vam omogoča izračun vrste števil: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,. ..
Številke v tem zaporedju so klicane Fibonaccijeve številke .
Če sprejmete 
in 
, potem lahko s formulo (8.1) določimo vsa druga Fibonaccijeva števila. Pokliče se formula (8.1) ponavljajoče se
po formuli ( ponovitev
- "vrnitev" v latinščini).
Primer 8.1. Recimo, da je notri stopnišče n koraki. Lahko se povzpnemo z enim korakom ali - z dvema stopnicama. Koliko kombinacij različnih načinov dviganja obstaja?
Če n= 1, obstaja le ena rešitev problema. Za n= 2 obstajata 2 možnosti: dva enojna koraka ali ena dvojna. Za n= 3 obstajajo 3 možnosti: tri stopnje enote ali ena enota in ena dvojna ali ena dvojna in ena enota.
V naslednjem primeru n= 4, imamo 5 možnosti (1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2).
Če želite na vprašanje zastaviti poljubno n, označimo število možnosti kot 
in poskusite opredeliti 
po znanem 
in 
... Če začnemo z enim samim korakom, potem imamo 
kombinacije za preostale n koraki. Če začnemo z dvojnim korakom, potem imamo 
kombinacije za preostale n- 1 korak. Skupno število možnosti za n+1 stopnica je enaka
. (8.2)
Dobljena formula je podobna formuli (8.1) kot dvojček. Vendar to ne omogoča identifikacije števila kombinacij 
s Fibonaccijevimi številkami 
... To vidimo na primer 
, ampak 
... Vendar pa obstaja naslednje razmerje:
.
To velja za n= 1, 2 in velja tudi za vsakega n... Fibonaccijeve številke in število kombinacij 
se izračunajo po isti formuli, vendar z začetnimi vrednostmi 
,
in 
,
se razlikujejo.
Primer 8.2. Ta primer je praktičnega pomena za težave s kodiranjem, ki odpravljajo napake. Poiščite število vseh binarnih besed po dolžini n ki ne vsebujejo več ničel zapored. To številko označimo z 
... Očitno, 
in besede dolžine 2, ki izpolnjujejo našo omejitev, so: 10, 01, 11, tj. 
... Naj bo 
- takšna beseda od n znakov. Če simbol 
, potem 
lahko poljubno ( 
) -dobesedna beseda, ki ne vsebuje več ničel zapored. Zato je število besed z enoto na koncu 
.
Če simbol 
, potem zagotovo 
in prvi 
simbol 
je lahko poljuben, ob upoštevanju upoštevanih omejitev. Zato obstaja 
dolžina besede
n z ničlo na koncu. Tako je skupno število besed, ki nas zanimajo, enako
.
Glede na to 
in 
, nastalo zaporedje števil je Fibonaccijeva števila.
Primer 8.3. V primeru 7.6 smo ugotovili, da je število binarnih besed konstantne teže t(in dolžino k) enako 
... Zdaj najdemo število binarnih besed konstantne teže t ki ne vsebujejo več ničel zapored.
Lahko razmišljate tako. Naj bo 
število ničel v zadevnih besedah. Vsaka beseda ima 
vrzeli med najbližjimi ničlami, od katerih vsaka vsebuje eno ali več enak. Predpostavlja se, da 
... V nasprotnem primeru ni nobene besede brez sosednjih ničl.
Če iz vsakega intervala odstranimo točno eno enoto, dobimo besedo dolžine 
ki vsebujejo 
ničle. Vsako takšno besedo je mogoče dobiti na določen način od nekaterih (in še več, samo ene) k-besedna beseda, ki vsebuje 
ničle, od katerih nista dve drug poleg drugega. Zato zahtevano število sovpada s številom vseh besed po dolžini 
natančno vsebuje 
ničle, tj. enako 
.
Primer 8.4. Dokažimo, da je vsota 
je enako Fibonaccijevim številkam za katero koli celo število 
... Simbol 
označuje najmanjše celo število večje ali enako
... Na primer, če 
, potem 
; kaj če 
, potem 
strop("strop"). Pojavi se tudi simbol 
kar pomeni največje celo število manjše ali enako
... V angleščini se ta operacija imenuje nadstropje
("nadstropje").
Če 
, potem 
... Če 
, potem 
... Če 
, potem 
.
Tako je v obravnavanih primerih vsota res enaka Fibonaccijevim številkam. Zdaj podajamo dokaz za splošni primer. Ker je mogoče s ponavljajočo se enačbo (8.1) pridobiti Fibonaccijeva števila, mora biti izpolnjena enakost:
.
In v resnici drži:
Tu smo uporabili prej pridobljeno formulo (4.4): 
.
Vsota Fibonaccijevih števil
Določimo vsoto prvega n Fibonaccijeve številke.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Z lahkoto je videti, da z dodajanjem enotnosti na desno stran vsake enačbe spet dobimo Fibonaccijevo število. Splošna formula za določanje vsote prvega n Fibonaccijeve številke so:
Dokažimo to z metodo matematične indukcije. Če želite to narediti, napišite:
Ta znesek mora biti enak 
.
Zmanjšanje leve in desne strani enačbe za –1 dobimo enačbo (6.1).
Formula za Fibonaccijeva števila
Izrek 8.1. Fibonaccijeva števila je mogoče izračunati po formuli
.
Dokaz... Preverimo veljavnost te formule za n= 0, 1, nato pa dokažite veljavnost te formule za poljubno n z indukcijo. Izračunajmo razmerje dveh najbližjih Fibonaccijevih števil:
Vidimo, da razmerje teh številk niha okoli 1.618 (če zanemarimo prvih nekaj vrednosti). S to lastnostjo so Fibonaccijeva števila podobna članom geometrijske progresije. Sprejeli bomo 
,
(
). Potem pa izraz
pretvori v
ki po poenostavitvah izgleda tako
.
Dobili smo kvadratno enačbo, katere korenine so enake:
Zdaj lahko zapišemo:
(kje c je stalen). Oba člana 
in 
ne podajajte Fibonaccijevih številk kot 
, medtem 
... Vendar razlika 
izpolnjuje ponavljajočo se enačbo:
Za n= 0 ta razlika daje 
, to je: 
... Vendar pa s n= 1 imamo 
... Za pridobitev 
, je treba sprejeti: 
.
Zdaj imamo dve sekvenci: 
in 
ki se začnejo z istimi dvema številkama in izpolnjujejo isto formulo ponovitve. Biti morajo enaki: 
... Izrek je dokazan.
Naraščajoče nčlan 
postane zelo velik, medtem ko 
, in vlogo člana 
razlika se zmanjša. Zato za velike n okvirno lahko zapišemo
.
Ignoriramo 1/2 (ker se Fibonaccijeva števila segajo v neskončnost s n do neskončnosti).
Odnos 
poklical zlata sredina, se uporablja zunaj matematike (na primer v kiparstvu in arhitekturi). Zlato razmerje je razmerje med diagonalo in stranjo navadni peterokotnik(slika 8.1).
Riž. 8.1. Navaden peterokotnik in njegove diagonale
Za označevanje zlatega reza je običajno uporabiti črko 
v čast slavnega atenskega kiparja Fidija.
praštevila
Vsa naravna števila, velike enote, spadajo v dva razreda. Prva vključuje številke, ki imajo natančno dva naravna delitelja, enega in samega sebe, do drugega - vse ostale. Kličejo se številke prvega razreda preprosto, in drugi - sestavni del... Prva števila v prvih treh deseticah: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Lastnosti praštevil in njihov odnos z vsemi naravnimi števili je preučeval Euclid (3. stoletje pr. N. Št.). Če zaporedna števila izpišete, boste opazili, da se njihova relativna gostota zmanjšuje. V prvih desetih jih je 4, torej 40%, v sto - 25, t.j. 25%, na tisoč - 168, tj. manj kot 17%, na milijon - 78498, tj. manj kot 8%itd. Vendar je njihovo skupno število neskončno.
Med prostimi števili obstajajo pari takih, razlika med katerimi je enaka dvema (t.i preprosta dvojčka), vendar končnost ali neskončnost takih parov nista bili dokazani.
Euclid je menil, da je očitno, da je mogoče z množenjem samo praštevil pridobiti vsa naravna števila in da je vsako naravno število lahko edinstveno predstavljeno kot produkt praštevil (do vrstnega reda faktorjev). Tako praštevila tvorijo multiplikativno osnovo za naravni niz.
Študija porazdelitve praštevil je privedla do oblikovanja algoritma, ki vam omogoča pridobivanje tabel osnovnih števil. Ta algoritem je Eratostenovo sito(3. stoletje pr. N. Št.). Ta metoda vključuje odstranitev (na primer s prečrtanjem) teh celih števil v danem zaporedju 
ki so deljive z vsaj enim prostim številom, manjšim od 
.
Izrek 8 . 2 . (Euklidov izrek). Število praštevilk je neskončno.
Dokaz... Dokazimo Euclidov izrek o neskončnosti števila praštevil z metodo, ki jo je predlagal Leonard Euler (1707–1783). Euler je izdelek upošteval nad vsemi prostimi števili str:
ob 
... Ta produkt konvergira in če ga razširimo, se zaradi edinstvenosti razgradnje naravnih števil na osnovne faktorje izkaže, da je enak vsoti niza 
, od kod sledi Eulerjeva identiteta:
.
Od ob 
vrstica na desni se razhaja (harmonska serija), potem iz Eulerjeve identitete izhaja Euclidov izrek.
Ruski matematik P.L. Chebyshev (1821-1894) je izvedel formulo, ki določa meje, v katerih je zaprto število osnovnih števil 
ne presega X:
,
kje 
,
.
Svetovno znano Fibonaccijevo teorijo je postavil italijanski matematik Leonardo Fibonacci leta 1710. Po potovanju po svetu je Leonardo izdal knjigo "Liber Abacci" ("Knjiga računa"), v kateri je orisal svojo teorijo decimalnega številskega sistema. , ki takrat v Evropi še ni bil znan.
V glavnem Fibonaccijevem znanstvenem delu je opisano številčno zaporedje: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 itd. Ta teorija odraža koncept zlatega reza, znan že od antičnih časov. Na primer, vsako število je 1,618 -kratnik prejšnjega, vsako prejšnje pa 0,618 -krat naslednje. Takšne številke imenujemo antipodi. Par 1.618 in 0.618 sta edina absolutna antipoda v aritmetiki. Ta odkritja se pogosto uporabljajo pri analizi trga Forex.
Druga metoda je t.i
Fibonaccijevi "loki"
(Fibonaccijevi loki). Potem ko je črta potegnjena od največje točke začetka gibanja do največje točke zaključka gibanja, se zgradijo loki, ki se potegnejo na določenih ravneh: 38,2%, 50%in 61,8%. Menijo, da so ti loki potencialni kazalniki stopnje podpore in upora na presečišču točk.
Gradnja
Fibonaccijevi "oboževalci"
(navijači) ima podobno načelo. Tako kot v prejšnjem primeru se po potezu črte potegne na ravni 38,2%, 50%in 61,8%. Te črte kažejo na potencialno stopnjo trdnosti pobočja.
Drug način je
ravni popravkov
(popravki). Ko je črta potegnjena od največje točke začetka gibanja do največje točke zaključka gibanja, se potegne 9 vodoravnih črt na ravneh 0,0%, 23,6%, 38,2%, 50%in 61,8%, 100%, 161, 8%, 261,8%in 423,6%. Izbira ravni je odvisna od obsega grafikona.
Fibonaccijevi časovni pasovi
Je zaporedje navpičnih črt v intervalih 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 itd. V bližini teh vrstic je treba pričakovati najpomembnejše spremembe cen.
Fibonaccijevo teorijo uporabljajo analitiki po vsem svetu. Vendar se ne smete omejiti le na to.
Članki iz pododdelka "Tehnična analiza":
Opozorilo o tveganjih:
Začetniki se morajo zavedati velikih tveganj, povezanih s trgovanjem na Forexu. Preden začnete trgovati na realnih računih, se morate teoretično in praktično pripraviti, da se prepričate, da je izbrana strategija trgovanja učinkovita s trgovanjem na brezplačnih demo računih. Ne trgujte z denarjem, ki ga niste pripravljeni izgubiti.
Portal Forex-Resource želi zagotoviti vse potrebne informacije, ki bodo trgovcem koristne za uspešno trgovanje. Vendar "Forex-Resource" ne odgovarja za trgovalna dejanja, ki ste jih izvedli na podlagi informacij na straneh portala.
Leonardo Fibonacci je eden največjih matematikov srednjega veka. V enem od svojih del "Knjiga izračunov" je Fibonacci opisal indoarabski sistem računa in prednosti njegove uporabe pred rimskim.
Opredelitev
Fibonaccijeva števila ali Fibonaccijevo zaporedje je številčno zaporedje, ki ima številne lastnosti. Na primer, vsota dveh sosednjih števil zaporedja daje vrednost naslednjega (na primer 1 + 1 = 2; 2 + 3 = 5 itd.), Kar potrjuje obstoj tako imenovanih Fibonaccijevih razmerij , tj stalna razmerja.
Zaporedje Fibonacci se začne tako: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...
2.
Popolna opredelitev Fibonaccijevih števil
3.
Lastnosti Fibonaccijevega zaporedja
4.
1. Razmerje med vsakim številom in naslednjim se vedno bolj povečuje z 0,618, ko se povečuje redna številka. Razmerje vsakega števila do prejšnjega je 1,618 (obratno do 0,618). Število 0,618 se imenuje (PI).
2. Pri deljenju vsakega števila z naslednjim po enem dobimo število 0,382; nasprotno - 2.618.
3. S tako izbiro razmerij dobimo glavni niz Fibonaccijevih koeficientov:… 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.
5.
Povezava med Fibonaccijevim zaporedjem in "zlatim presekom"
6.
Fibonaccijevo zaporedje asimptotično (približuje se vse počasneje) stremi k nekemu konstantnemu razmerju. Vendar je to razmerje iracionalno, to je število z neskončnim, nepredvidljivim zaporedjem decimalnih mest v ulomku. Nemogoče je natančno izraziti.
Če kateri koli član Fibonaccijevega zaporedja delite s tistim, ki je pred njim (na primer 13: 8), bo rezultat vrednost, ki niha okoli iracionalne vrednosti 1,61803398875 ... in občasno to naredi ne doseči. Toda tudi če smo se dotaknili Večnosti, je nemogoče natančno poznati razmerje do zadnje decimalke. Zaradi trdote ga bomo prevedli v obliki 1.618. Posebna imena za to razmerje so začeli dajati, še preden ga je Luca Pacioli (matematik sredi stoletja) imenoval Božanski delež. Med njegovimi sodobnimi imeni so na primer Zlato razmerje, Zlata sredina in razmerje vrtljivih kvadratov. Keplep je to razmerje označil za enega "zakladov geometrije". V algebri njeno oznako na splošno sprejema grška črka phi
Predstavljajmo si zlato razmerje z uporabo segmenta črte kot primer.
Razmislite o segmentu s koncema A in B. Naj točka C razdeli segment AB tako, da:
AC / CB = CB / AB oz
AB / CB = CB / AC.
O tem si lahko mislite tako: A -– C --– B
7.
Zlato razmerje je takšna sorazmerna delitev segmenta na neenake dele, pri kateri se celoten segment nanaša na večji del toliko, kot se sam večji del nanaša na manjšega; ali z drugimi besedami, manjši segment se nanaša na večjega, večji pa na vse.
8.
Odseki zlatega reza so izraženi z neskončnim iracionalnim ulomkom 0,618 ... če AB vzamemo kot enoto, je AC = 0,382 .. Kot že vemo, sta številki 0,618 in 0,382 koeficienta Fibonaccijevega zaporedja.
9.
Fibonacci in Zlati rez v naravi in zgodovini
10.
Pomembno je omeniti, da je Fibonacci tako rekoč človeštvo spominjal na njegovo zaporedje. Poznali so jo celo stari Grki in Egipčani. Dejansko so od takrat v naravi, arhitekturi, likovni umetnosti, matematiki, fiziki, astronomiji, biologiji in mnogih drugih področjih našli vzorce, opisane s Fibonaccijevimi koeficienti. Neverjetno je, koliko konstant lahko izračunamo s pomočjo Fibonaccijevega zaporedja in kako se njeni člani pojavljajo v ogromnem številu kombinacij. Vendar pa ne bi bilo pretirano reči, da to ni samo igra s številkami, ampak najpomembnejši matematični izraz naravnih pojavov, ki so jih kdaj odkrili.
11.
Spodnji primeri prikazujejo nekaj zanimivih aplikacij tega matematičnega zaporedja.
12.
1. Lupina je spiralno navita. Če ga razgrnete, dobite dolžino, ki je nekoliko manjša od dolžine kače. Majhna deset centimetrska lupina ima spiralo dolgo 35 cm. Oblika spiralno navite lupine je pritegnila Arhimedovo pozornost. Bistvo je, da je razmerje meritev kodrov lupine konstantno in enako 1,618. Arhimed je preučil spiralo školjk in izpeljal enačbo za spiralo. Spirala, potegnjena iz te enačbe, se imenuje po njem. Povečanje njenega koraka je vedno enakomerno. Trenutno se Arhimedova spirala široko uporablja v tehnologiji.
2. Rastline in živali. Tudi Goethe je poudarjal nagnjenost narave do spirale. Spiralno in spiralno razporeditev listov na vejah dreves so opazili že davno. Spiralo smo videli v razporeditvi sončničnih semen, v borovih storžih, ananasih, kaktusih itd. Skupno delo botanikov in matematikov je osvetlilo te neverjetne naravne pojave. Izkazalo se je, da se v razporeditvi listov na veji sončničnih semen, borovih storžih kaže serija Fibonacci, zato se kaže zakon zlatega reza. Pajek spiralno tka mrežo. Orkan se vrti v spirali. Prestrašena čreda severnih jelenov se razprši po spirali. Molekula DNA je zvita v dvojno vijačnico. Goethe je spiralo imenoval "krivulja življenja".
Med obcestnimi travami raste neopazna rastlina - radič. Oglejmo si ga pobliže. Iz glavnega stebla je nastal proces. Prvi list se nahaja prav tam. Poganjki naredijo močan izmet v vesolje, se ustavijo, sprostijo list, vendar so krajši od prvega, spet naredijo izmet v vesolje, vendar z manjšo silo, sprostijo list še manjše velikosti in se spet izvržejo. Če je prva emisija 100 enot, potem je druga 62 enot, tretja 38, četrta 24 itd. Dolžina cvetnih listov je prav tako odvisna od zlatega reza. Med rastjo, osvajanjem vesolja je rastlina ohranila določene razsežnosti. Impulzi njegove rasti so se postopoma zmanjševali sorazmerno z zlatim rezom.
Kuščar je živoroden. V kuščarju se na prvi pogled ujamejo razsežnosti, ki so prijetne za naše oči - dolžina repa je toliko povezana z dolžino preostalega dela telesa kot 62 do 38.
Tako v rastlinskem kot v živalskem svetu se formativna težnja narave vztrajno prebija - simetrija glede na smer rasti in gibanja. Tu se zlato razmerje pojavi v razmerju delov, pravokotnih na smer rasti. Narava je izvedla delitev na simetrične dele in zlate razsežnosti. V delih se kaže ponavljanje strukture celote.
Pierre Curie je na začetku tega stoletja oblikoval številne globoke ideje o simetriji. Trdil je, da ne moremo upoštevati simetrije katerega koli telesa, ne da bi upoštevali simetrijo okolja. Vzorci zlate simetrije se kažejo v energetskih prehodih osnovnih delcev, v strukturi nekaterih kemičnih spojin, v planetarnih in vesoljskih sistemih, v genetskih strukturah živih organizmov. Ti vzorci, kot je navedeno zgoraj, so v strukturi posameznih organov osebe in telesa kot celote in se kažejo tudi v bioritmih ter delovanju možganov in vizualnem zaznavanju.
3. Prostor. Iz zgodovine astronomije je znano, da je I. Titius, nemški astronom 18. stoletja, s pomočjo te serije (Fibonacci) odkril pravilnost in red v razdaljah med planeti sončnega sistema
En primer, ki je bil navidezno v nasprotju z zakonom: med Marsom in Jupitrom ni bilo planeta. Koncentrirano opazovanje tega območja neba je privedlo do odkritja asteroidnega pasu. To se je zgodilo po Titijevi smrti v začetku 19. stoletja.
Serija Fibonacci se pogosto uporablja: predstavlja arhitektoniko živih bitij, umetnih struktur in strukturo galaksij. Ta dejstva so dokaz neodvisnosti številske serije od pogojev njene manifestacije, kar je eden od znakov njene univerzalnosti.
4. Piramide. Mnogi so poskušali razkriti skrivnosti piramide v Gizi. Za razliko od drugih egipčanskih piramid, to ni grobnica, ampak nerazrešljiva uganka kombinacij števil. Izjemna iznajdljivost, spretnost, čas in trud arhitektov piramide, ki so jih uporabili pri gradnji večnega simbola, kažejo na izreden pomen sporočila, ki so ga želeli posredovati prihodnjim generacijam. Njihovo obdobje je bilo predpismeno, predhieroglifsko in simboli so bili edino sredstvo za beleženje odkritij. Ključ do geometrijsko-matematične skrivnosti piramide v Gizi, ki je bila tako dolgo skrivnost za človeštvo, so Herodotu dejansko predali tempeljski duhovniki, ki so ga obvestili, da je piramida zgrajena tako, da je območje vsak njegov obraz je bil enak kvadratu njegove višine.
Območje trikotnika
356 x 440/2 = 78320
Kvadratna površina
280 x 280 = 78400
Dolžina roba osnove piramide v Gizi je 238,7 m (783,3 čevljev), višina piramide je 147,6 m (484,4 čevljev). Dolžina osnovnega rebra, deljena z višino, vodi v razmerje Ф = 1,618. Višina 484,4 čevljev ustreza 5813 palcev (5-8-13)-to so številke iz zaporedja Fibonacci. Ta zanimiva opažanja kažejo, da zasnova piramide temelji na razmerju Φ = 1.618. Nekateri sodobni učenjaki so nagnjeni k interpretaciji, da so jo stari Egipčani zgradili z edinim namenom prenašanja znanja, ki so ga želeli ohraniti za prihodnje rodove. Intenzivne študije piramide v Gizi so pokazale, kako obsežno je bilo takrat znanje matematike in astrologije. V vseh notranjih in zunanjih razsežnostih piramide ima številka 1.618 osrednjo vlogo.
Piramide v Mehiki. Ne samo, da so egipčanske piramide zgrajene v skladu s popolnimi razmerji zlatega reza, isti pojav so našli tudi v mehiških piramidah. Pojavlja se zamisel, da so egipčanske in mehiške piramide postavili približno istočasno ljudje skupnega porekla.
Fibonaccijeve številke - v Forexu so matematično razmerje in temelj za različne metode in strategije tehnične analize v Forexu. Te številke so osnova in v mnogih drugih tržnih strategijah Forex.
V njegovo čast je malo kasneje zaporedje takšnih številk dobilo ime po ustanovitelju samem - » Fibonaccijeva serija».
S pomočjo te knjige so se Evropejci naučili indoarabskega zaporedja števil, nato pa so rimske številke v matematiki in geometriji izpodrinili. Vsa dela Leonarda Fibonaccija, so prinesle ogromne koristi razvoju fizike, matematike, astronomije in... Edinstvena Fibonaccijeva formula je presenetljivo preprosta: 1, 2, 3, 5, 8 (in tako naprej do neskončnosti).
Fibonaccijeva številčna serija ima zelo nenavadne lastnosti, in sicer vsako število glede na prejšnjo. Če seštejemo dve sosednji Fibonaccijevi številki, dobimo število, ki sledi prvima dvema. Kot primer lahko navedete naslednje: 2 + 2 = 4. Razmerje poljubnega števila do prejšnjega števila ima vrednost blizu zlate sredine 1, 618. Na primer: 13: 8 = 1, 625; ali 21: 13 = 1, 615; itd.
Razmislimo tudi o drugem primeru zaporedne serije Leonarda Fibonaccija:
Opazujte, kako se razmerje med številkami giblje okoli 0,618!
Pravzaprav sam Leonardo Fibonacci ne velja za prvega odkritelja te številčne serije. Ker so sledi te matematične povezave našli v glasbi, biologiji in arhitekturi. Tudi ureditev planetov in celotnega sončnega sistema temelji na teh pravilih.
Fibonaccijeve številke so pri gradnji Partenona uporabljali Grki, Egipčani pa pri gradnji znamenite piramide v Gizi. Edinstvene lastnosti "numerične sredine" so poznali tudi največji znanstveniki antike, kot so Platon, Pitagora, Arhimed in Leonardo da Vinci.
Neverjetna številka Fibonaccijevega vzorca
Praviloma je popravek nenehno sestavljen iz 3 skokov ...
Običajni popravek je razdeljen na 2 vrsti:
Na četrtem mestu se običajno tvorijo trikotniki, ki so nenehno pred zadnjim oblikovanim valom. Ta tvorba je lahko tudi korekcijski val B.
Vsak val je razdeljen na manjše in je daljša komponenta.
Zgodi se, da se en impulzni val raztegne, druga dva pa bi morala biti praviloma enaka po velikosti in času tvorbe.
Za iskanje se uporabijo Fibonaccijeve številke in razmerje velikosti popravka, ki izhajajo iz teh številk.
Razmerje velikosti popravka s premikom prejšnjega trenda je običajno: 62, 50, 38 odstotkov.
Metoda zamenjave pravi: ne smete čakati na isto manifestacijo dinamike cen 2 -krat zapored.
Aktivni bikovski trg ne more pasti pod začetek prejšnjega vala 4.
Poleg tega se val 4 ne sme preseči s prvim.
1) valovna oblika;
2) razmerje med njihovo dolžino;
3) obdobje njihovega razvoja.
Poleg tega, kot smo že omenili, veliko več temelji na zaporedju, ki ga je izvedel Leonardo Fibonacci, kar se bo zagotovo dotaknilo v materialih tega spletnega mesta.
