Koncept kvadratne oblike. Matrika kvadratne oblike. Kanonična oblika kvadratne oblike. Lagrangeova metoda. Običajni pogled na kvadratno obliko. Rang, indeks in signatura kvadratne oblike. Pozitivno določena kvadratna oblika. Kvadriki.
Koncept kvadratne oblike: funkcija na vektorskem prostoru, definiranem s homogenim polinomom druge stopnje v koordinatah vektorja.
Kvadratna oblika iz n neznanke je vsota, katere vsak člen je kvadrat ene od teh neznank ali produkt dveh različnih neznank.
Kvadratna matrika: Matrika se imenuje matrika kvadratne oblike v dani osnovi. Če karakteristika polja ni enaka 2, lahko predpostavimo, da je matrika kvadratne oblike simetrična, tj.
Zapiši matriko kvadratne oblike:
torej
V obliki vektorske matrike je kvadratna oblika:
Kanonična oblika kvadratne oblike: Kvadratno obliko imenujemo kanonična, če so vse tj.
Vsako kvadratno obliko je mogoče reducirati na kanonično obliko z uporabo linearnih transformacij. V praksi se običajno uporabljajo naslednje metode.
Lagrangeova metoda : zaporedni izbor celih kvadratov. Na primer, če
Nato se izvede podoben postopek s kvadratno obliko, itd. Če ni vse v kvadratni obliki, potem se po predhodni transformaciji zadeva spusti na obravnavani postopek. Torej, če, na primer, potem domnevamo
Normalna oblika kvadratne oblike: Normalna kvadratna oblika je kanonična kvadratna oblika, v kateri so vsi koeficienti enaki +1 ali -1.
Rang, indeks in signatura kvadratne oblike: Rang kvadratne oblike A se imenuje rang matrike A. Rang kvadratne oblike se pri nedegeneriranih transformacijah neznank ne spremeni.
Število negativnih koeficientov se imenuje indeks negativne oblike.
Število pozitivnih členov v kanonični obliki se imenuje pozitivni indeks vztrajnosti kvadratne oblike, število negativnih členov pa negativni indeks. Razlika med pozitivnim in negativnim indeksom se imenuje signatura kvadratne oblike
Pozitivno določena kvadratna oblika: Realna kvadratna oblika se imenuje pozitivno določena (negativno določena), če je za vse realne vrednosti spremenljivk, ki niso hkrati nič,
V tem primeru se matrika imenuje tudi pozitivno določena (negativno določena).
Razred pozitivno določnih (zanikalno določnih) oblik je del razreda ne zanikanih (oz. nepozitivnih) oblik.
Kvadrik: Quadric - n-dimenzionalna hiperpovršina v n+1-dimenzionalni prostor, definiran kot množica ničel polinoma druge stopnje. Če vnesete koordinate ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (v evklidskem ali afinem prostoru) je splošna enačba kvadrike
To enačbo lahko prepišemo bolj kompaktno v matričnem zapisu:
kjer je x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) — vrstični vektor, x T je transponiran vektor, Q— matrika velikosti ( n+1)×( n+1) (predpostavlja se, da je vsaj eden od njegovih elementov različen od nič), p je vrstični vektor in R— stalna. Najpogosteje se obravnavajo kvadrike nad realnimi ali kompleksnimi števili. Definicijo lahko razširimo na kvadrike v projektivnem prostoru, glej spodaj.
Na splošno je množica ničel sistema polinomskih enačb znana kot algebraična raznolikost. Tako je kvadrika (afina ali projektivna) algebraična varieteta druge stopnje in kodimenzije 1.
Opredelitev ravninske transformacije. Zaznavanje gibanja. lastnosti gibanja. Dve vrsti gibanja: gibanje prve vrste in gibanje druge vrste. Primeri gibov. Analitično izražanje gibanja. Klasifikacija ravninskih gibanj (glede na prisotnost fiksnih točk in nespremenljivih linij). Skupina ravninskih gibov.
Definicija ravninske transformacije: Definicija. Ravninska transformacija, ki ohrani razdaljo med točkami, se imenuje premikanje(ali gibanje) letala. Ravninska transformacija se imenuje afin, če poljubne tri točke, ki ležijo na isti premici, pretvori v tri točke, ki prav tako ležijo na isti premici in hkrati ohranijo preprosto relacijo treh točk.
Opredelitev gibanja: To so transformacije oblike, ki ohranjajo razdalje med točkami. Če sta dve figuri natančno poravnani ena z drugo z gibanjem, potem sta ti figuri enaki, enaki.
Lastnosti gibanja: Vsako gibanje ravnine, ki ohranja orientacijo, je bodisi vzporedni premik ali rotacija, vsako gibanje ravnine, ki spreminja orientacijo, je bodisi osna simetrija bodisi drsna simetrija. Pri premikanju se točke, ki ležijo na ravni črti, preoblikujejo v točke, ki ležijo na ravni črti, vrstni red njihovih relativnih položajev pa se ohrani. Pri premikanju se ohranijo koti med polpremicami.
Dve vrsti gibanja: gibanje prve vrste in gibanje druge vrste: Gibanja prve vrste so tista gibanja, ki ohranjajo orientacijo osnov določene figure. Lahko jih uresničimo z neprekinjenimi gibi.
Gibanja druge vrste so tista gibanja, ki spremenijo orientacijo baz v nasprotno. Ni jih mogoče uresničiti z neprekinjenimi gibi.
Primeri gibanja prve vrste so translacija in rotacija okoli premice, gibanja druge vrste pa centralna in zrcalna simetrija.
Sestava poljubnega števila gibov prve vrste je gibanje prve vrste.
Sestava sodega števila gibov druge vrste je gibanje 1. vrste, sestava lihega števila gibanj 2. vrste pa je gibanje 2. vrste.
Primeri gibov:Vzporedni prenos. Naj bo a dani vektor. Vzporedni prenos na vektor a je preslikava ravnine nase, pri kateri se vsaka točka M preslika v točko M 1, tako da je vektor MM 1 enak vektorju a.
Vzporedni prevod je gibanje, ker je preslikava ravnine nase, pri čemer se ohranijo razdalje. To gibanje lahko vizualno predstavimo kot premik celotne ravnine v smeri danega vektorja a glede na njegovo dolžino.
Zasukaj. Označimo točko O na ravnini ( stružni center) in nastavite kot α ( kot vrtenja). Vrtenje ravnine okoli točke O za kot α je preslikava ravnine nase, pri čemer se vsaka točka M preslika v točko M 1, tako da je OM = OM 1 in je kot MOM 1 enak α. V tem primeru točka O ostane na svojem mestu, torej se preslika nase, vse ostale točke pa se vrtijo okoli točke O v isto smer - v smeri urinega kazalca ali nasprotni (slika prikazuje vrtenje v nasprotni smeri urinega kazalca).
Rotacija je gibanje, ker predstavlja preslikavo ravnine nase, pri čemer se ohranijo razdalje.
Analitični izraz gibanja: analitična povezava med koordinatama praslike in podobe točke ima obliko (1).
Razvrstitev ravninskih gibov (odvisno od prisotnosti fiksnih točk in invariantnih črt): Definicija:
Točka na ravnini je invariantna (fiksna), če se pod dano transformacijo spremeni vase.
Primer: Pri centralni simetriji je točka središča simetrije invariantna. Pri vrtenju je točka središča vrtenja nespremenljiva. Pri osni simetriji je invariantna črta ravna črta - simetrijska os je ravna črta invariantnih točk.
Izrek: Če gibanje nima niti ene invariantne točke, potem ima vsaj eno invariantno smer.
Primer: Vzporedni prenos. Dejansko so ravne črte, vzporedne s to smerjo, nespremenljive kot figura kot celota, čeprav ni sestavljena iz nespremenljivih točk.
Izrek: Če se žarek premika, se žarek prevede vase, potem je to gibanje bodisi identična transformacija ali simetrija glede na premico, ki vsebuje dani žarek.
Zato je na podlagi prisotnosti nespremenljivih točk ali figur mogoče razvrstiti gibanja.
| Ime gibanja | Invariantne točke | Invariantne črte |
| Gibanje prve vrste. | ||
| 1. - zavoj | (sredina) - 0 | št |
| 2. Identična transformacija | vse točke ravnine | vse naravnost |
| 3. Centralna simetrija | točka 0 - središče | vse premice, ki potekajo skozi točko 0 |
| 4. Vzporedni prenos | št | vse naravnost |
| Gibanje druge vrste. | ||
| 5. Osna simetrija. | niz točk | simetrijska os (premica) vse ravne črte |
Skupina gibanja ravnine: V geometriji imajo pomembno vlogo skupine samosestav likov. Če je določena figura na ravnini (ali v prostoru), potem lahko upoštevamo množico vseh tistih premikov ravnine (ali prostora), med katerimi se figura spremeni vase.
Ta niz je skupina. Na primer, za enakostranični trikotnik je skupina ravninskih gibanj, ki trikotnik pretvorijo vase, sestavljena iz 6 elementov: vrtenja skozi kote okoli točke in simetrije okoli treh ravnih črt.
Prikazane so na sl. 1 rdeče črte. Elemente skupine samoporavnav pravilnega trikotnika lahko določimo različno. Da bi to pojasnili, oštevilčimo oglišča pravilnega trikotnika s številkami 1, 2, 3. Vsaka samoporavnava trikotnika popelje točke 1, 2, 3 na iste točke, vendar v drugačnem vrstnem redu, tj. lahko pogojno zapišemo v obliki enega od teh oklepajev:
kjer številke 1, 2, 3 označujejo številke tistih točk, v katere gredo točke 1, 2, 3 kot rezultat obravnavanega gibanja.
Koncept projektivnega prostora in model projektivnega prostora. Osnovna dejstva projektivne geometrije. Množica premic s središčem v točki O je model projektivne ravnine. Projektivne točke. Razširjena ravnina je model projektivne ravnine. Razširjeni tridimenzionalni afini ali evklidski prostor je model projektivnega prostora. Podobe ravnih in prostorskih likov v vzporedni zasnovi.
Koncept projektivnega prostora in model projektivnega prostora:
Projektivni prostor nad poljem je prostor, sestavljen iz premic (enodimenzionalnih podprostorov) nekega linearnega prostora nad danim poljem. Neposredni prostori se imenujejo pike projektivni prostor. To definicijo lahko posplošimo na poljubno telo
Če ima razsežnost , potem se razsežnost projektivnega prostora imenuje število , sam projektivni prostor pa je označen in imenovan povezan z (za označevanje tega je uporabljen zapis).
Prehod iz vektorskega prostora dimenzije v ustrezen projektivni prostor imenujemo projektivizacija prostora.
Točke lahko opišemo z uporabo homogenih koordinat.
Osnovna dejstva projektivne geometrije: Projektivna geometrija je veja geometrije, ki preučuje projektivne ravnine in prostore. Glavna značilnost projektivne geometrije je načelo dvojnosti, ki mnogim dizajnom dodaja elegantno simetrijo. Projektivno geometrijo je mogoče preučevati tako s čisto geometrijskega vidika kot tudi z analitičnega (z uporabo homogenih koordinat) in salgebrskega vidika, pri čemer upoštevamo projektivno ravnino kot strukturo nad poljem. Pogosto in zgodovinsko se prava projektivna ravnina šteje za evklidsko ravnino z dodatkom "neskončne črte".
Medtem ko so lastnosti figur, s katerimi se ukvarja evklidska geometrija metrika(specifične vrednosti kotov, segmentov, območij), enakovrednost figur pa je enaka njihovi skladnost(tj. ko je figure mogoče prevesti eno v drugo z gibanjem, pri tem pa ohraniti metrične lastnosti), obstaja več "globoko ležečih" lastnosti geometrijskih likov, ki se ohranijo pri transformacijah bolj splošnega tipa kot gibanje. Projektivna geometrija se ukvarja s proučevanjem lastnosti figur, ki so invariantne pod razredom projektivne transformacije, kot tudi same te transformacije.
Projektivna geometrija dopolnjuje evklidsko geometrijo z zagotavljanjem lepih in preprostih rešitev za številne probleme, ki jih zapleta prisotnost vzporednih črt. Projektivna teorija koničnih prerezov je še posebej preprosta in elegantna.
Obstajajo trije glavni pristopi k projektivni geometriji: neodvisna aksiomatizacija, komplementacija evklidske geometrije in struktura nad poljem.
Aksiomatizacija
Projektivni prostor je mogoče definirati z uporabo drugačnega niza aksiomov.
Coxeter ponuja naslednje:
1. Obstaja premica in točka, ki ni na njej.
2. Vsaka premica ima vsaj tri točke.
3. Skozi dve točki lahko narišete točno eno ravno črto.
4. Če A, B, C, In D- različne točke in AB in CD sekajo, torej A.C. in BD sekajo.
5. Če ABC je ravnina, potem obstaja vsaj ena točka, ki ni v ravnini ABC.
6. Dve različni ravnini sekata vsaj dve točki.
7. Tri diagonalne točke popolnega štirikotnika niso kolinearne.
8. Če so tri točke na premici X X
Projektivna ravnina (brez tretje dimenzije) je definirana z nekoliko drugačnimi aksiomi:
1. Skozi dve točki lahko narišete točno eno ravno črto.
2. Katerikoli dve premici se sekata.
3. Točke so štiri, od katerih tri niso kolinearne.
4. Tri diagonalne točke popolnih štirikotnikov niso kolinearne.
5. Če so tri točke na premici X so invariantne glede na projektivnost φ, potem vse točke na X invariantna glede na φ.
6. Desarguesov izrek: Če sta dva trikotnika perspektivna skozi točko, potem sta perspektivna tudi skozi premico.
Ob prisotnosti tretje dimenzije je Desarguesov izrek mogoče dokazati brez uvedbe idealne točke in črte.
Razširjena ravnina - model projektivne ravnine: V afinem prostoru A3 vzamemo snop premic S(O) s središčem v točki O in ravnino Π, ki ne poteka skozi središče snopa: O 6∈ Π. Snop premic v afinem prostoru je model projektivne ravnine. Definirajmo preslikavo množice točk ravnine Π na množico premic veziva S (Jebiga, prosim, če imaš to vprašanje, oprosti mi)
Razširjeni tridimenzionalni afini ali evklidski prostor - model projektivnega prostora:
Da bi preslikava postala surjektivna, ponovimo postopek formalne razširitve afine ravnine Π na projektivno ravnino Π, pri čemer ravnino Π dopolnimo z nizom nepravilnih točk (M∞), tako da: ((M∞)) = P0(O). Ker je na preslikavi inverzna slika vsake ravnine snopa ravnin S(O) premica na ravnini d, je očitno, da je množica vseh neustreznih točk razširjene ravnine: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), predstavlja nepravilno premico d∞ razširjene ravnine, ki je inverzna slika singularne ravnine Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Dogovorimo se, da bomo tu in v nadaljevanju zadnjo enakost P0(O) = Π0 razumeli v smislu enakosti množic točk, vendar z drugačno strukturo. Z dopolnitvijo afine ravnine z nepravilno premico smo zagotovili, da je preslikava (I.21) postala bijektivna na množici vseh točk razširjene ravnine:
Slike ravnih in prostorskih likov pri vzporednem oblikovanju:
V stereometriji preučujemo prostorske figure, vendar so na risbi upodobljene kot ravne figure. Kako naj bo prostorska figura prikazana na ravnini? Običajno se v geometriji za to uporablja vzporedno načrtovanje. Naj bo p neka ravnina, l- ravna črta, ki jo seka (slika 1). Skozi poljubno točko A, ki ne pripada črti l, narišite črto, vzporedno s črto l. Točko presečišča te premice z ravnino p imenujemo vzporedna projekcija točke A na ravnino p v smeri premice l. Označimo ga A". Če bistvo A pripada liniji l, nato z vzporedno projekcijo Ašteje se, da je presečišče premice na ravnini p l z ravnino p.
Tako vsaka točka A prostor se primerja njegova projekcija A" na ravnino p. To ujemanje imenujemo vzporedna projekcija na ravnino p v smeri premice l.
Koncept projektivne transformacije ravnine. Primeri projektivnih transformacij ravnine. Lastnosti projektivnih transformacij. Homologija, lastnosti homologije. Skupina projektivnih transformacij.
Koncept projektivne transformacije ravnine: Koncept projektivne transformacije posplošuje koncept centralne projekcije. Če izvedemo centralno projekcijo ravnine α na neko ravnino α 1, nato projekcijo α 1 na α 2, α 2 na α 3, ... in končno na neko ravnino α n spet na α 1, potem je sestava vseh teh projekcij projektivna transformacija ravnine α; V tako verigo lahko vključimo tudi vzporedne projekcije.
Primeri projektivnih ravninskih transformacij: Projektivna transformacija dokončane ravnine je njena ena-na-ena preslikava nase, pri čemer je ohranjena kolinearnost točk, ali z drugimi besedami, slika katere koli črte je ravna črta. Vsaka projektivna transformacija je sestava verige centralnih in vzporednih projekcij. Afina transformacija je poseben primer projektivne transformacije, pri kateri se premica v neskončnosti spremeni vase.
Lastnosti projektivnih transformacij:
Med projektivno transformacijo se tri točke, ki ne ležijo na premici, pretvorijo v tri točke, ki ne ležijo na premici.
Med projektivno transformacijo se okvir spremeni v okvir.
Med projektivno transformacijo gre črta v ravno črto in svinčnik v svinčnik.
Homologija, lastnosti homologije:
Projektivna transformacija ravnine, ki ima premico invariantnih točk in torej svinčnik invariantnih premic, se imenuje homologija.
1. Premica, ki poteka skozi nesovpadajoče ustrezne homološke točke, je invariantna premica;
2. Premice, ki potekajo skozi nesovpadajoče ustrezne homološke točke, pripadajo istemu svinčniku, katerega središče je invariantna točka.
3. Točka, njena slika in središče homologije ležijo na isti premici.
Skupina projektivnih transformacij: obravnavamo projektivno preslikavo projektivne ravnine P 2 nase, to je projektivno transformacijo te ravnine (P 2 ’ = P 2).
Kot prej je sestava f projektivnih transformacij f 1 in f 2 projektivne ravnine P 2 rezultat zaporednega izvajanja transformacij f 1 in f 2: f = f 2 °f 1 .
Izrek 1: množica H vseh projektivnih transformacij projektivne ravnine P 2 je skupina glede na kompozicijo projektivnih transformacij.
Nad poljem K (\displaystyle K) in e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\pike ,e_(n))- osnova v L (\displaystyle L).
Bilinearna oblika, polarna na pozitivno določeno kvadratno obliko, izpolnjuje vse aksiome pikčastega produkta.
V primeru K = R (\displaystyle K=\mathbb (R) )(polje realnih števil), za vsako kvadratno obliko obstaja osnova, v kateri je njena matrika diagonalna, sama oblika pa ima kanoničnega pogleda(običajni pogled):
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2 , 0 ≤ p , q ≤ r , p + q = r , (∗) (\displaystyle Q(x) =x_(1)^(2)+\cdots +x_(p)^(2)-x_(p+1)^(2)-\cdots -x_(p+q)^(2),\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*))Kje r (\displaystyle r)- rang kvadratne oblike. V primeru nedegenerirane kvadratne oblike p + q = n (\displaystyle p+q=n), in v primeru degeneriranega - p+q<
n
{\displaystyle p+q
Za redukcijo kvadratne oblike v kanonično obliko se običajno uporablja Lagrangeova metoda ali ortogonalne transformacije baze, dano kvadratno obliko pa je mogoče pripeljati v kanonično obliko na več kot en način.
številka q (\displaystyle q)(negativni členi) se imenuje vztrajnostni indeks dana kvadratna oblika in število p − q (\displaystyle p-q)(razlika med številom pozitivnih in negativnih členov) se imenuje podpis kvadratna oblika. Upoštevajte, da je včasih podpis kvadratne oblike par (p , q) (\displaystyle (p,q)). Številke p , q , p − q (\displaystyle p,q,p-q) so invariante kvadratne oblike, tj. niso odvisne od metode redukcije v kanonično obliko ( Sylvestrov zakon vztrajnosti).
V primeru K = C (\displaystyle K=\mathbb (C) )(polje kompleksnih števil), za vsako kvadratno obliko obstaja baza, v kateri ima oblika kanonično obliko
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2 , (∗ ∗) (\displaystyle Q(x)=x_(1)^(2)+\cdots +x_(r)^(2),\qquad ( **))Kje r (\displaystyle r)- rang kvadratne oblike. Tako ima v kompleksnem primeru (v nasprotju z realnim primerom) kvadratna oblika eno samo invarianto - rang, vse nedegenerirane oblike pa imajo enako kanonično obliko (vsota kvadratov).
September se je izkazal za močnega meseca za vse razrede sredstev. Po poročanju "Money" so skoraj vse naložbe dale pozitivne rezultate. Hkrati so največji prihodki prinesle naložbe v zlato, ki jim ni koristila le rast cene plemenite kovine, temveč tudi slabitev rublja. Visoke dobičke so vlagateljem prinesle glavne kategorije vzajemnih skladov, depoziti, pa tudi večina ruskih delnic. V zadnjih letih priljubljeni obvezniški skladi so postali nedonosni, prav tako delnice Sberbank, ki bi lahko ob zaostritvi ameriških sankcij najbolj trpele.
Vitalij Kapitonov
Pet mesecev pozneje je zlato postalo najbolj donosna naložba tega meseca. Po navedbah "Money" bi lahko investitor, ki je 15. avgusta vložil 100 tisoč rubljev v plemenito kovino, prejel skoraj 5 tisoč rubljev v enem mesecu. dohodek. To je drugi najvišji letošnji mesečni rezultat. Vlagatelj bi lahko aprila zaslužil več - 9,3 tisoč rubljev.
Visoka donosnost naložbe v plemenito kovino je le delno posledica rasti njene cene. Od sredine avgusta se je cena zlata zvišala za 2,4 % na 1.205 $ za trojsko unčo. To je odražalo inflacijska pričakovanja v ZDA. Po podatkih ameriškega ministrstva za trgovino se je inflacija v državi znižala z 2,9 % julija na 2,7 % avgusta, vendar ostaja nad cilji Feda. Tako inflacija še naprej narašča, kar bo Fed-u omogočilo dvig obrestnih mer brez drastičnih sprememb. Žlahtno kovino je podprla novica, da si ameriške in kanadske oblasti še naprej prizadevajo najti kompromis glede novega sporazuma NAFTA. "Ta novica zmanjšuje trgovinske pomisleke, ki so pritiskali na trg zlata in podpirali dolar," je dejal Mikhail Sheibe, blagovni strateg pri Sberbank Investment Research. Učinek rasti cen zlata je okrepil dvig tečaja dolarja v Rusiji (+2,5 %). Posledično so rubljeve naložbe v plemenito kovino prinesle znaten dohodek.
Z nadaljnjimi naložbami v zlato pa je treba ravnati previdno, pravijo udeleženci na trgu. Ključno tveganje za naložbe v plemenito kovino ostaja stopnjevanje trgovinskega spopada med ZDA in Kitajsko. "Dejavnik političnega pritiska je bil izključen, kar pomeni, da je pojav novih ovir praktično dogovorjen. Ta razvoj dogodkov je negativen za zlato, saj se bo povpraševanje po dolarju kot zaščitnem sredstvu povečalo," pravi Mikhail Sheibe. .
Kakšen dohodek so prinesle naložbe v zlato (%)
Viri: Bloomberg, Reuters, Sberbank.
Vzajemni investicijski skladi ostajajo med najbolj donosnimi finančnimi produkti, nekateri produkti družb za upravljanje pa so lahko zagotavljali marže, ki presegajo zlato. Oktobra so bile najuspešnejše naložbe v panožne delniške sklade, usmerjene v metalurška, telekomunikacijska ter naftno-plinska podjetja. Po podatkih "Money", ki temelji na podatkih Investfunds, bi do konca meseca naložbe v takšne sklade zasebnim vlagateljem prinesle od 2,2 tisoč rubljev do 5,2 tisoč rubljev.
Visoke dobičke so zagotavljale tudi druge kategorije skladov: indeksni skladi, mešane naložbe in evroobveznice. Sredstva v teh kategorijah bi lahko svojim vlagateljem prinesla od 200 rubljev. do 4 tisoč rubljev. na 100 tisoč naložb.
Obvezniški skladi, ki so bili naklonjeni zasebnim vlagateljem, so prinesli negativne rezultate. Sredstva v tej kategoriji veljajo za konzervativna, zato so bile izgube zasebnih vlagateljev simbolične - do 1 tisoč rubljev. V takih razmerah so vlagatelji začeli ubirati dobičke v obvezniške sklade. Po podatkih Investfunds so avgusta mali vlagatelji iz obvezniških skladov umaknili 4 milijarde rubljev. Iz skladov v tej kategoriji so decembra 2014 hitreje črpali. Nato so vlagatelji v ozadju devalvacije tečaja rublja in hitre rasti tečajev na domačem trgu iz sredstev umaknili več kot 4,5 milijarde rubljev.
Vlagatelji sproščeno likvidnost delno porabijo za nakupe bolj tveganih delniških skladov. Obseg naložb v sklade te kategorije je avgusta presegel 3,5 milijarde rubljev, kar je 500 milijonov rubljev. več kot obseg zanimivosti v juliju. Povpraševanje po tveganih strategijah raste že šesti mesec zapored, obseg naložb pa zavzema čedalje večji delež celotnega priliva v sklade prebivalstva. Med vlagatelji je največ povpraševanja po telekomunikacijskih ter naftnih in plinskih skladih.
Kakšen dohodek so prinesle naložbe v vzajemne sklade (%)
|
Viri: National League of Managers, Investfunds.
Avgustovski avtsajderji - delnice - so se povzpele na tretje mesto s četrtega v oceni denarja. V zadnjem mesecu bi naložbe v indeks MICEX malim vlagateljem prinesle 3,4 tisoč rubljev. Hkrati pa začetek obravnavanega obdobja ni napovedoval tako visokega rezultata. V obdobju od 15. avgusta do 18. avgusta se je indeks MICEX znižal za 1,2%. Vendar se je stanje po 24. avgustu izboljšalo. V treh tednih je indeks poskočil za skoraj 5 % in se dvignil na 2374 točk. To je le 2 točki pod najvišjo vrednostjo, doseženo v marcu.
Septembra pa so številni delniški indeksi držav v razvoju in razvitih držav pokazali pozitivno dinamiko. Po ocenah Bloomberga so ruski indeksi v dolarjih zrasli le za 4,4 %. Močnejšo rast so zabeležili le turški indeksi, ki so se dvignili za 5,9-6,3 %. Med kazalniki razvitih držav je vodilni italijanski FTSE MIB, ki je v mesecu dni dodal 3,4 %.
Najbolj so zrasle delnice ALROSA, Gazprom, MMC Norilsk Nickel in Magnit: na teh vrednostnih papirjih je vlagatelj lahko zaslužil 4,2-8,3 tisoč rubljev. za vsakih sto tisoč naložb. Po besedah Antona Startseva, vodilnega analitika Olma Investment Company, je zanimanje vlagateljev za vrednostne papirje ALROSA podprla izjava finančnega ministra Antona Siluanova, da lahko družba porabi 75% svojega čistega dobička za izplačilo dividend.
Izjema v splošni sliki so bile delnice RusHydro, Rostelecom, Aeroflot, naložbe v katere bi prinesle izgubo najmanj 200 rubljev. do 1,4 tisoč rubljev. Največje izgube bi imeli vlagatelji, ki so vložili denar v vrednostne papirje Sberbank - 2,1 tisoč rubljev. Njene delnice ostajajo pod pritiskom komentarjev uradnikov ameriškega zunanjega ministrstva, ki ne izključujejo možnosti sankcij proti banki novembra. Takšni obeti prestrašijo mednarodne vlagatelje in jih prisilijo, da zapustijo ne le OFZ, ampak tudi vrednostne papirje banke.
Po propadu avgusta in septembra so delnice Sberbank postale zanimive za naložbe, pravijo analitiki. "Odboj vrednostnih papirjev največje ruske banke je zelo verjeten in tveganja njihovih nakupov so povsem upravičena. Zaenkrat bi se morali srednjeročni vlagatelji osredotočiti na fiksiranje dobička v območju 180 rubljev na delnico," pravi ALOR Broker. analitik Aleksej Antonov.
Kakšen dobiček so prinesle naložbe v delnice (%)
|
Torej, v skladu z izrekom o redukciji kvadratne oblike, za vsako kvadratno obliko \(A(x,x)\) obstaja kanonična baza \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\) \), torej za kateri koli vektor \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k\eta _k ^2. \] Ker ima \(A(x,x)\) realno vrednost in tudi naše osnovne spremembe vključujejo samo realna števila, sklepamo, da so števila \(\lambda _k\) realna. Med temi števili so pozitivna, negativna in enaka nič.
Opredelitev. Pokliče se število \(n_+\) pozitivnih števil \(\lambda _k\). pozitivni kvadratni indeks \(A(x,x)\), imenujemo število \(n_-\) negativnih števil \(\lambda _k\) negativni kvadratni indeks , se kliče število \((n_++n_-)\). rang kvadratne oblike . Če \(n_+=n\), se kliče kvadratna oblika pozitivno .
Na splošno redukcija kvadratne oblike na diagonalno obliko ni realizirana na edinstven način. Postavlja se vprašanje: ali so števila \(n_+\), \(n_-\) odvisna od izbire baze, v kateri je kvadratna oblika diagonalna?
Izrek (Zakon vztrajnosti kvadratnih oblik). Pozitivni in negativni indeksi kvadratne oblike niso odvisni od metode njene redukcije na kanonično obliko.
Naj obstajata dve kanonični bazi, \(\(f\)\), \(\(g\)\), tako da je vsak vektor \(x\) predstavljen v obliki: \[ x=\sum_(k =1) ^n\eta _kf_k=\vsota _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] in \[ A(x,x)=\vsota_(k=1)^n\lambda _k\eta _k ^2= \vsota _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Naj bo med \(\lambda _k\) prvi \(p\) pozitiven, ostali negativni ali nič, med \(\mu_m\) prvi \(s\) pozitiven, ostali negativni ali ničelni. Dokazati moramo, da \(p=s\). Prepišimo (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_ ( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] torej vsi izrazi v obe strani enačbe sta nenegativni. Recimo, da \(p\) in \(s\) nista enaka, na primer \(p
Dokazali smo, da pozitivni indeksi sovpadajo. Podobno lahko dokažemo, da tudi negativni indeksi sovpadajo. itd.
1. Pretvorite kvadratne oblike v vsoto kvadratov:
a) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);
Individualne spletne ure: Oddajte svojo zahtevo zdaj: [e-pošta zaščitena]§ 4. Vztrajnostni zakon kvadratnih oblik. Klasifikacija kvadratnih oblik
1. Zakon vztrajnosti kvadratnih oblik. Omenili smo že (glej 2. opombo 1. odstavka prejšnjega odstavka), da je rang kvadratne oblike enak številu neničelnih kanoničnih koeficientov. Tako število neničelnih kanoničnih koeficientov ni odvisno od izbire nedegenerirane transformacije, s pomočjo katere se oblika A(x, x) reducira na kanonično obliko. Pravzaprav se pri kateri koli metodi redukcije oblike A(x, x) na kanonično obliko število pozitivnih in negativnih kanoničnih koeficientov ne spremeni. Ta lastnost se imenuje vztrajnostni zakon kvadratnih oblik.
Preden preidemo na utemeljitev zakona vztrajnosti, naredimo nekaj pripomb.
Naj bo oblika A(x, x) v bazi e = (e 1, e 2,..., e n) določena z matriko A(e) = (a ij):
kjer so ξ 1, ξ 2, ..., ξ n koordinate vektorja x v bazi e. Predpostavimo, da je ta oblika reducirana na kanonično obliko z uporabo nedegenerirane transformacije koordinat
in λ 1 , λ 2 ,..., λ k- neničelni kanonični koeficienti, oštevilčeni tako, da je prvi q teh koeficientov pozitiven, naslednji koeficienti pa negativni:
λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λ q+1< 0, ..., λ k <0.
Razmislite o naslednji nedegenerirani koordinatni transformaciji μ i (lahko je videti, da je determinanta te transformacije različna od nič):
Kot rezultat te transformacije bo oblika A(x, x) dobila obliko
imenujemo normalna oblika kvadratne oblike.
Torej z uporabo neke nedegenerirane transformacije koordinat ξ 1, ξ 2, ..., ξ n vektorja x v bazi e = (e 1, e 2,..., e n)
(ta transformacija je produkt transformacij ξ v μ in μ v η po formulah (7.30)) lahko kvadratno obliko reduciramo na normalno obliko (7.31).
Dokažimo naslednjo trditev.
Izrek 7.5 (vztrajnostni zakon kvadratnih oblik). Število členov s pozitivnimi (negativnimi) koeficienti v normalni obliki kvadratne oblike ni odvisno od načina redukcije oblike na to obliko.
Dokaz. Naj bo oblika A(x, x) reducirana na normalno obliko (7.31) z uporabo nedegenerirane transformacije koordinat (7.32) in reducirana na normalno obliko z uporabo druge nedegenerirane transformacije koordinat
Očitno je za dokaz izreka dovolj, da preverimo enakost p = q.
Naj bo p > q. Prepričajmo se, da v tem primeru obstaja neničelni vektor x, tako da so glede na baze, v katerih ima oblika A(x, x) obliko (7.31) in (7.33), koordinate η 1, η 2, ..., η q in ζ р+1 , ..., ζ n tega vektorja so enake nič:
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ р+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7.34)
Ker koordinate η jaz dobimo z nedegenerirano transformacijo (7.32) koordinat ξ 1, ..., ξ n in koordinat ζ jaz- z uporabo podobne nedegenerirane transformacije istih koordinat ξ 1, ..., ξ n lahko relacije (7.34) obravnavamo kot sistem linearnih homogenih enačb za koordinate ξ 1, ..., ξ n želeni vektor x v bazi e = ( e 1, e 2,..., e n) (npr. v razširjeni obliki ima relacija η 1 = 0 po (7.32) obliko a 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n= 0) - Ker je p > q, je število homogenih enačb (7.34) manjše od n, zato ima sistem (7.34) različno rešitev glede na koordinate ξ 1, ..., ξ n želeni vektor x. Posledično, če je p > q, potem obstaja neničelni vektor x, za katerega so izpolnjena razmerja (7.34).
Izračunajmo vrednost oblike A(x, x) za ta vektor x. Če se obrnemo na razmerja (7.31) in (7.33), dobimo
Zadnja enakost se lahko zgodi le v primeru η q+1 = ... = η k = 0 in ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
Tako so v neki bazi vse koordinate ζ 1, ζ 2, ..., ζ n neničelni vektor x enak nič (glej zadnje enačbe in relacije (7.34)), tj. vektor x je enak nič. Zato predpostavka p > q vodi v protislovje. Iz podobnih razlogov velja domneva p< q.
Torej je p = q. Izrek je dokazan.
2. Klasifikacija kvadratnih oblik. V 1. odstavku §2 tega poglavja (glej 2. definicijo) so bili uvedeni koncepti pozitivno določene, negativno določene, izmenične in kvazipredznačno določene kvadratne oblike.
V tem razdelku bomo s pojmi vztrajnostnega indeksa, pozitivnih in negativnih vztrajnostnih indeksov kvadratne oblike pokazali, kako lahko ugotovimo, ali kvadratna oblika pripada eni ali drugi od zgoraj naštetih vrst. V tem primeru bo indeks vztrajnosti kvadratne oblike število neničelnih kanoničnih koeficientov te oblike (tj. njen rang), pozitivni indeks vztrajnosti število pozitivnih kanoničnih koeficientov, negativni indeks vztrajnosti število negativnih kanoničnih koeficientov. koeficientov. Jasno je, da je vsota pozitivnega in negativnega indeksa vztrajnosti enaka indeksu vztrajnosti.
Naj bodo torej indeks vztrajnosti, pozitivni in negativni indeksi vztrajnosti kvadratne oblike A(x, x) enaki k, p in q (k = p + q) v prejšnjem odstavku je bilo dokazano, da je v kateri koli kanonična osnova f = (f 1 , f 2 , ..., f n) se ta oblika lahko reducira na naslednjo normalno obliko:
kjer so η 1, η 2, ..., η n koordinate vektorja x v bazi f.
1°. Potreben in zadosten pogoj za predznak kvadratne oblike. Naslednja trditev drži.
Da bi bila kvadratna oblika A(x, x), definirana v n-dimenzionalnem linearnem prostoru L, določenega predznaka, je potrebno in zadostno, da je bodisi pozitiven indeks vztrajnosti p ali negativen indeks vztrajnosti q enaka dimenziji n prostora L.
Še več, če je p = n, potem je oblika pozitivno določena, če pa je q = n, potem je oblika negativno določena.
Dokaz. Ker sta primera pozitivno določne oblike in nikalno določne oblike obravnavana podobno, bomo dokaz trditve izvedli za pozitivno določne oblike.
1) Nujnost. Naj bo oblika A(x, x) pozitivno določena. Potem bo izraz (7.35) dobil obliko
A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2.
Če hkrati p< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
oblika A(x, x) izgine, kar je v nasprotju z definicijo pozitivno določene kvadratne oblike. Zato je p = n.
2) Zadostnost. Naj bo p = n. Potem ima relacija (7.35) obliko A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2. Jasno je, da je A(x, x) ≥ 0, in če je A = 0, potem je η 1 = η 2 = ... = η n= 0, kar pomeni, da je vektor x enak nič. Zato je A(x, x) pozitivno določena oblika.
Komentiraj. Da bi razjasnili vprašanje dokončnega znaka kvadratne oblike z uporabo navedenega kriterija, moramo to obliko pripeljati do njene kanonične oblike.
V naslednjem razdelku bomo dokazali Silvestrov kriterij za določen predznak kvadratne oblike, s pomočjo katerega lahko razjasnimo vprašanje določnega predznaka oblike, podane v katerikoli bazi brez redukcije na kanonično obliko.
2°. Potreben in zadosten pogoj za menjavo predznakov kvadratne oblike. Dokažimo naslednjo trditev.
Da bi bila kvadratna oblika izmenična, je nujno in zadostno, da sta pozitivni in negativni indeks vztrajnosti te oblike različna od nič.
Dokaz. 1) Nujnost. Ker ima izmenična oblika tako pozitivne kot negativne vrednosti, mora njena predstavitev G.35) v normalni obliki vsebovati tako pozitivne kot negativne člene (sicer bi ta oblika imela nenegativne ali nepozitivne vrednosti). Posledično sta tako pozitivni kot negativni vztrajnostni indeks različna od nič.
2) Zadostnost. Naj bo r ≠ 0 in q ≠ 0. Potem je za vektor x 1 s koordinatami η 1 ≠ 0, ..., η р ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0 imamo A(x 1 x 1) > 0 in za vektor x 2 s koordinatami η 1 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 imamo A(x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Nujen in zadosten pogoj za kvaziznakovno določenost kvadratne oblike. Naslednja trditev drži.
Da bi bila oblika A(x, x) kvaziznakovno določena, je nujno in zadostno, da veljajo naslednje relacije: bodisi p< n
,
q = 0, либо р = 0, q < n
.
Dokaz. Upoštevali bomo primer pozitivne kvaziznakovno določene oblike. Podobno se obravnava primer negativne kvaziznakovne določne oblike.
1) Nujnost. Naj bo oblika A(x, x) pozitivno kvazipredznačno določena. Potem je očitno q = 0 in p< n
(если бы р =
n
, то форма была бы положительно определенной),
2) Zadostnost. Če p< n
, q = 0, то А(х, х)
≥ 0
и для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η
2 = 0,
..., η
р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 imamo A(x, x) = 0, tj. A(x, x) je pozitivna kvazipredznačno določena oblika.
3. Sylvestrov kriterij (James Joseph Sylvester (1814-1897) - angleški matematik) za znak kvadratne oblike. Naj bo oblika A(x, x) v bazi e = (e 1, e 2,..., e n) določena z matriko A(e) = (a ij):
naj gre Δ 1 = a 11, 
- kotni minori in matrična determinanta (a ij). Naslednja trditev drži.
Izrek 7.6 (Sylvestrov kriterij). Da bi bila kvadratna oblika A(x, x) pozitivno določena, je nujno in zadostno, da so izpolnjene neenakosti Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0.
Da bi bila kvadratna oblika negativno določena, je nujno in zadostno, da se znaki kotnih minorov izmenjujejo, pri čemer je Δ 1< 0.
Dokaz. 1) Nujnost. Najprej dokažimo, da iz pogoja, da je kvadratna oblika A(x, x) predznačno določena, sledi Δ i ≠ 0, i = 1, 2,..., n.
Prepričajmo se, da je predpostavka Δ k= 0 vodi v protislovje - pod to predpostavko obstaja neničelni vektor x, za katerega je A(x, x) = 0, kar je v nasprotju z določenim znakom obrazca.
Naj torej Δ k= 0. Razmislite o naslednjem kvadratnem homogenem sistemu linearnih enačb:
Ker je Δ k je determinanta tega sistema in Δ k= 0, potem ima sistem neničelno rešitev ξ 1, ξ 2, ..., ξ k (niso vsi ξ i enaki 0). Pomnožimo prvo izmed enačb (7.36) z ξ 1, drugo z ξ 2, ..., zadnjo z ξ k in seštejemo nastale relacije. Kot rezultat dobimo enakost 
, katerega leva stran predstavlja vrednost kvadratne oblike A(x, x) za neničelni vektor x s koordinatami (ξ 1, ξ 2, ..., ξ k, 0, ..., 0) . Ta vrednost je nič, kar je v nasprotju z določenim znakom obrazca.
Torej smo prepričani, da Δ jaz≠ 0, i = 1, 2,..., n. Zato lahko uporabimo Jacobijevo metodo redukcije oblike A(x, x) na vsoto kvadratov (glej izrek 7.4) in uporabimo formule (7.27) za kanonične koeficiente λ jaz. Če je A(x, x) pozitivno določena oblika, potem so vsi kanonični koeficienti pozitivni. Toda potem iz relacij (7.27) sledi, da je Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Če je A(x, x) negativno določena oblika, potem so vsi kanonični koeficienti negativni. Toda potem iz formul (7.27) sledi, da se znaki kotnih minorjev izmenjujejo in Δ 1< 0.
2) Zadostnost. Naj bodo izpolnjeni pogoji, naloženi kotnim minorjem Δ jaz v formulaciji izreka. Ker je Δ jaz≠ 0, i = 1, 2,..., n, potem lahko obliko A reduciramo na vsoto kvadratov z Jacobijevo metodo (glej izrek 7.4) in kanonične koeficiente λ jaz lahko najdete z uporabo formul (7.27). Če je Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, potem iz razmerij (7.27) sledi, da so vsi λ jaz> 0, kar pomeni, da je oblika A(x, x) pozitivno določena. Če so znaki Δ jaz izmenično in Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует,
что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.
